Matematikai modellezés – nyitott feladatok és az értékelés
Valós probléma
1
2 3
Matematikai probléma
5
4
A modellezési ciklus Valós megoldás 5
(A PISA tanulmányból, 2003) “Valós világ”
Matematikai megoldás “Matematikai világ”
1. Induljunk ki egy valós környezetben levı problémából 1 2. Rendezzük el ezt matematikai fogalmak szerint, valamint ismerjük fel az 2 idevonatkozó matematikai eljárásokat 3. Fokozatosan vagdossuk le a valóság elemeit olyan folyamatok segítségével, 3 mint pl. feltételezések, általánosítás és formalizálás, amelyek elıtérbe helyezik a szituáció matematikai vonásait és a valós problémát olyan matematikai problémává alakítják, amely hitelesen reprezentálja a szituációt 4. A matematikai probléma megoldása 4 5 5. Értelmezzük a matematikai megoldást a valós szituációra vonatkoztatva
1. feladat: „Aláírással az új törvény ellen” Nemrégiben, 2006. április 25-én az egyik spanyol ellenzéki párt 4.000.000 összegyőjtött aláírást nyújtott be az országgyőlésnek a kormány egy új törvény javaslata ellen.
Minden spanyol újság lehozta a fotókat a hatalmas ládákról és a tíz teherautóról, amely az aláírásokkal teli papírlapokat szállította a parlamentbe. Szerinted politikai célra használták a hatalmas felhajtást, vagy a sok doboz és teherautó valóban szükséges volt a 4.000.000 aláírás elszállításához?
1. példa: Aláírással az új törvény ellen Aláírásgyőjtés Collecting signatures Carrying them Elszállítani azReal-world országgyőléshez to the Congress
How may Hány papírlap? sheets of paper?
Nem jeleníthetı meg a k ép. Lehet, hogy nincs elegendı memória a megny itásához, de az sem k izárt, hogy sérült a k ép. Indítsa újra a számítógépet, és ny issa meg újból a fájlt. Ha tov ábbra is a piros x ik on jelenik meg, törölje a k épet, és szúrja be ismét.
Nem jeleníthetı meg a k ép. Lehet, hogy nincs elegendı memória a megny itásához, de az sem k izárt, hogy sérült a k ép. Indítsa újra a számítógépet, és ny issa meg újból a fájlt. Ha tov ábbra is a piros x ik on jelenik meg, törölje a k épet, és szúrja be ismét.
probléma Tényleg 11needed? teherautó? Are 11szükséges vans really
1
2 3
5
4
Térfogatok kiszámítása Comparing volumes (n n sheets ( Real megoldás ofpapírlap n paper vs. - 11 11 teherautó) vans) Arguing Vita és érvelés about the situation “Valós világ”
Matematikai Mekkora What is the térfogatot volume tesz occupied ki by n probléma sheets of paper? papírlap?
Számítások Arithmetic calculations Matematikai 5
Térfogatszámítás Calculating a volume megoldás “Matematikai világ ”
1. feladat Feladatok 1 task (all the cycle(aand steps have Modellezés Modellezési feladat teljes ciklust és to az egyes lépéseket is át kell gondolni) be considered) A feladat szövege
Vissza a prezentációhoz
A nyitott feladatok szerepe • A „nagybetős életben” hogyan merülnek fel a megoldandó problémák? – Adott egy 25m2-es garzonlakás a IV. kerületben 300 000 Ft/m2 egységáron. A munkahelyed a XXII. kerületben van, fizetésed 250 000 Ft/hó nettó, amelybıl 30%-ot tudsz törlesztésre fordítani…….. – Meg kell oldanod a lakhatási problémádat!
igen
nem Bérlés?
igen Lakás?
nem Új?
Kölcsön?
Gondolkodás • Zárt végő feladatok – konvergens gondolkodás dominál (adott adatokból, adott algoritmus felhasználásával adott eredményre jutni) • Nyílt végő feladatok – Divergens gondolkodás – a lehetséges megoldási algoritmusok számbavétele, az egyes esetekben a szükséges adatok győjtése (2. lépés) – Konvergens gondolkodás – a legígéretesebb eljárás kiválasztása (3. lépés), a felesleges adatok elhagyásával egy lehetséges megoldás (4. lépés), az eredmény érvényességének a vizsgálata (5. lépés)
Értékelési problémák modellezési feladatok esetén • A modellezési ciklus egyes lépéseinek a „jóságát” az utolsó lépés (a matematikai megoldás értelmezése a valós helyzetre vonatkoztatva) határozza meg, lásd newton, illetve einsteini világkép. • Nincs hagyománya az ilyen típusú feladatoknak a pedagógiai fejlesztésekben, az értékelésben ennek következtében teljesen kimaradt.
Egy erıtlen próbálkozás 11. Bergengóciában az elmúlt 3 évben a kormány jelentése szerint kiemelt beruházás volt a bérlakások építése. Ezt az állítást az alábbi statisztikával támasztották alá. Az egyes években a lakásépítésre fordított pénzösszegek: 2000-ben
12 millió peták
2001-ben
12,96 millió peták
2002-ben
14,4 millió peták
10 millió a) Miért megtévesztı a fenti oszlopdiagram? 3 pont Valaki nem érzi meggyızınek ezt a statisztikát, és további adatokat keres. Kiderült, hogy 2000-ben 1 m2 új lakás építése átlagosan 1000 petákba került, 2001-ben az építési költségek 20%-kal emelkedtek, 2002-ben pedig az elızı évi ár 1/3-ával növekedtek a költségek. b) Hogyan változott a három év során az egyes években újonnan megépített bérlakások összalapterülete? Válaszát számításokkal indokolja! 8 pont c) Lehet-e az új adatok alapján olyan oszlopdiagramot készíteni, amelybıl a kormány jelentésével ellentétes következtetés is levonható? Ha igen, akkor készítse el! 3 pont d) Több lakást építettek-e 2002-ben, mint 2001-ben? Válaszát indokolja! 3 pont
Egy erıtlen próbálkozás • d) • A megadott adatokból nem állapítható meg, mert nem tudjuk egy-egy lakás alapterületét (ami igen változó lehet). • • 3 pont
Miért baj, hogy nincs? • A jó képességő gyerekek esetén valósul meg leginkább a divergens gondolkodás fejlesztése (pl. nehéz geometriai feladatok, 2. megoldás keresése). İk éppen a jó képességeik okán gyorsan tudnak alkalmazkodni és nyílt végő feladatokra hatékony megoldási stratégiákat kialakítani. • A közepes vagy gyengébb képességő tanulók erre nem képesek, ezekre a helyzetekre közvetlenül alkalmazható eljárások nélkül számukra a feladat megoldhatatlannak tőnik.
2. feladat: Négygyermekes családok nemeloszlása Két eset: Egymás utáni születések
Egyszerre születések (négyes ikrek)
Kérdés: Milyen eloszlást követ a lányok száma? • 1. Modell Véletlen fogantatás, pénzérme dobás Születések függetlensége Binomiális eloszlás 4 1 P(X = k) = 4 k 2
1:4:6:4:1
Statisztikai adatok • Állatok • Emberek Miért nem passzol a modell az eredményekhez?
Második modell • A születések függnek az elızı születések nemétıl. Mondjuk 2 gyermekig nem, de aztán, ha már mindkét nem van, akkor kisebb eséllyel vállalkoznak harmadik gyermekre, mintha egynemőek.
3. Feladat: Kerekes székes megközelíthetıség • A helyzet • Sok országban a hatóságok nagy erıfeszítéseket tesznek, hogy biztosítsák a középületek kerekes székes megközelíthetıségét. Van néhány szabvány, amit be kell tartani, a rámpák tervezésekor. • Egyszemélyes kézzel hajtott kerekes-székek esetében: maximum dılés: 1:7 • Segítıvel, vagy elektromos kerekes székkel a maximum dılés 1:5 • Az 1:12 dılés lenne a kívánatos, ahol ez lehetséges.
Kérdések
Az iskolád megfelelı a kerekes székekkel közlekedık számára? Ha a válasz igen, akkor a rámpák megfelelnek a standardnak? Ha nem, tudnál készíteni egy beszámolót az igazgatónak, hogy miként oldja meg a problémát, ha lehetséges?
4. feladat: zenei fesztivál A kortárs elıadómővészetek Glastonburyben rendezett fesztiválja (Glastonbury Festival of Contemporary Performing Arts) a legnagyobb szabadtéri zenei és elıadómővészeti fesztivál a világon. 2005-ben a fesztivál számára elkerített terület meghaladta a 3,6 km²-t, és a rendezvény több, mint 385 élı elıadásnak adott otthont. A fesztivál látogatói közül sokan sátrat hoztak magukkal, hogy a fesztivál területén aludhassanak. A fesztivál rendezıinek korlátozniuk kellett a belépıjegyek számát, illetve a fesztivál területén felállítható sátrak számát annak érdekében, hogy garantálni tudják a helyszín biztonságát. Milyen tanácsot adnál a rendezıknek?
Mérı feladat és fejlesztı feladat • Az elsı esetében ritkán fordul elı modellezési feladat, mivel azt jóval nehezebb sztenderdizálni és egységesen mérni. • A második esetben inkább, de ekkor sem világos, hogyan értékeljünk. Ez vezet át az értékelés kérdéseihez.
Értékelés a feladat megoldása során • Jellemzıen csoportmunka keretében oldják meg a tanulók ezeket a feladatokat⇒ – Tanári visszajelzések a munka során a diákoknak, a diákok együtt dolgozó csoportjainak – Diákok visszajelzései egymásnak – A diákok önértékelése
Tanári visszajelzések • Formatív, fejlesztı jellegő, folyamatos: hol tartanak a diákok a tanulás folyamatában, hová kell eljutniuk, s mi a legjobb mód arra, hogy odajussanak • Módszere: nyitott kérdések („Miért gondolod?” „Van más megközelítés?” „Mi a véleményed Ági elképzelésérıl?”)
Egymás értékelése, önértékelés • A csoportmunka során folyamatos – meg kell tanítani a fejlesztı típusú értékelést („Nekem az tetszik az elképzelésedben, hogy….., de azt úgy gondolom, hogy…..”) • A csoportok produktumainak egymás általi értékelése. • A diákok saját munkájának értékelése a csoporton belül („azt jól csináltam, hogy…, abban igazatok volt, hogy…..")
A feladatmegoldás értékelése • Szummatív, fejlesztı jellegő, lezáró • A megválaszolandó kérdésekre példák: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Megértették-e a problémát? Meg tudják-e magyarázni a lépéseket? Felvázolták-e, hogy milyen feltevésekkel éltek? Rendelkeznek-e megfelelı módszerrel – matematikai szempontból alkalmassal Jól alkalmazták-e a kiválasztott módszert? Használtak-e különbözı módszereket a probléma körüljárására? Voltak-e következtetéseik, megválaszolták-e a kérdéseiket? Megpróbálták-e a problémát kiterjeszteni?
Az értékelési kritériumok egy lehetséges rendszere Modell felállítása
1
2
3
4
Pontos munka
Értelmezés
Érvényesítés és Beszámoló bírálat
A diákoknak támogatást várnak ahhoz, hogy leegyszerősítsék a feladatban megfogalmazott helyzetet.
A diákok segítségre szorulnak a szükséges matematikai módszerek kiválasztásában, s munkájuk nem mindig pontos
A diákok akadályokba ütköznek A diákok nem gondolják át és sok segítségre van modelljük érvényességét. szükségük a feladatbeli helyzet értelmezése kapcsán.
A diákok képesek megtalálni, s felhasználni egy összetett helyzet egy-egy részének a leegyszerősítéséhez szükséges információkat.
A diákok felismerik a szükséges matematikai módszereket és a probléma bizonyos részeit meg tudják oldani, de munkájuk nem mindig pontos.
Segítséggel (pl. megfelelı kérdések feltevésével) a diákok képesek értelmezni a feladatbeli helyzetet.
A diákok felhasználják az információk egy bizonyos részét, hogy leegyszerősítsenek egy helyzetet.
A diákok képesek önállóan megoldani a feladatot a megfelelı matematikai módszerek használatával, de nem minden eredmény helyes.
A diákok tudják értelmezni a feladatbeli helyzetet, de nem teljes mélységében.
A diákok kritikusan átgondolják a modelljük számos aspektusát A diákok önállóan képesek megértve annak korlátait. megfelelı beszámolót készíteni a munkájukról.
A diákok jó döntéseket hoznak, hogy le tudjanak egyszerősíteni egy összetett helyzetet.
A diákok helyesen használják a matematikai nyelvet és szimbólumokat.
A diákok képesek értelmezni a feladatbeli helyzetet nagy alapossággal, s annak teljes mélységében.
A diákoknak jó kritikai felfogásuk van modelljük érvényességérıl és korlátairól.
A diákok nem elég önállóak ahhoz, hogy megfelelıen be tudjanak beszámolni a munkájukról.
A diákok tisztában vannak a modelljük néhány, de nem minden aspektusának érvényességével.
Segítséggel és iránymutatással a diákok képesek megfelelı beszámolót nyújtani a munkájukról.
A diákok képesek teljeskörő beszámolót készíteni a munkájukról.
Köszönjük a figyelmüket! Dr. Vancsó Ödön
[email protected];
[email protected]
Hodossy Attila
[email protected]
A modellezéses feladatokkal kapcsolatos további információ: http://lema-project.hu/
