´ MEGOLDASOK ´ A MATEMATIKAI FELADATOK ES ´ KONVENCIOI K´ antor S´ andor (Debrecen) Egy matematikai feladat megsz¨ovegez´es´en´el, a megold´as le´ır´ as´ an´ al ´es a megold´as helyess´eg´enek elb´ır´al´as´an´al nagyon sokszor sz¨ uks´eg van a feladatsz¨oveg ´es a megold´assz¨oveg olyan ´ertelmez´es´ere, ami elt´er k¨oznapi nyelvben haszn´alatos ´ertelmez´est˝ ol, ´es speci´alisan a matematikai sz¨oveg ´ertelmez´es´ere val´ o. Az ilyen sz¨oveg´ertemez´es a matematika tan´ıt´asa ´es tanul´asa sor´an ´altal´ aban kialakul, de nem minden¨ utt alakul ki, ´es nem mindig azonosra alakul. M´arpedig a tan´ar ´es a di´ak, a feladatkit˝ uz˝ o ´es a megold´o, valamint a megold´as helyess´eg´et ellen¨orz˝o (a dolgozatjav´ıt´ o) kell, hogy azonosan ´ertelmezze a vizsg´alt sz¨oveget. Az azonos ´ertelmez´est meg´allapod´asok (konvenci´ ok) seg´ıtik, illetve teszik lehet˝ov´e, hiszen nem lehet mindig mindent r´eszletesen le´ırni. Ezek a konvenci´ok z´art k¨orben alakulnak ki, p´eld´ aul akkor, ha ´evek sor´an egy¨ utt dolgozik a tan´ar ´es a di´ak. De sok az elt´er˝ o ´ertelmez´es akkor, ha csak egyszeri a munkakapcsolat, pl. az ´ır´asbeli ´eretts´egin´el, vagy a tanulm´ anyi versenyeken. J´on´eh´any konvenci´ot sem a tank¨onyvek, sem a kor´ abbi ´eretts´egi (felv´eteli) feladatsorok alapj´an nem lehetett r¨ogz´ıteni. P´elda erre az ,,oldjuk meg az al´abbi egyenletet a val´os sz´amok halmaz´an” feladatsz¨oveg ´ertelmez´ese, amir˝ol 30 ´ev anyag´ anak vizsg´alat´aval kider¨ ult, hogy nemcsak a k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o ´evek p´eldasoraiban, de egy p´eldasoron bel¨ ul is(!!) pontsz´amelt´er´est eredm´enyez˝ o ´ertelmez´esi k¨ ul¨ onbs´egek voltak. Ezzel az ´ır´assal, amelyet vitaanyagnak tekintek, a konvenci´ ok tiszt´az´ as´ at ´es r¨ogz´ı´ t´es´et szeretn´em el´erni. Altal´ aban hat´arozott v´elem´enyem van arr´ol, hogy mi legyen a konvenci´o, de n´eh´anyszor csak azt hangs´ ulyozom, hogy kell valamilyen konvenci´ o, ´es azt szerintem t¨obb k¨ ul¨onb¨oz˝o v´altozat k¨oz¨ ul lehet kiv´alasztani. A hozz´asz´ol´asokkal, a vit´akkal kialak´ıtott konvenci´ okat hivatalosan elfogadottnak tekinthetj¨ uk, hiszen a budapesti, szegedi ´es debreceni egyetem matematikai szakm´odszertannal foglalkoz´o tansz´ekei kifejezetten v´allalt´ ak az anyag v´elem´enyez´es´et. Term´eszetesen v´arjuk a vizsgak¨ozpontok, a versenyszervaz˝ o int´ezm´enyek, ´es minden ´erdekl˝ od˝o bekapcsol´od´as´at ebbe a munk´aba. A konvenci´ok kidolgoz´as´aval el lehet ´erni egyr´eszt azt, hogy a di´akok felk´esz´ıt´ese sor´an ne kelljen ezut´an azt mondani nekik, amit most mondunk: ”biztons´ag kedv´e´ert ezt is, azt is c´elszer˝ u le´ırni, mert egyszer ´ıgy, m´askor u ´gy k´ıv´ ant´ ak meg”. M´asr´eszt ´ıgy azt is el´erj¨ uk, hogy a reklam´aci´ on´ al hivatkozni lehet az illet´ekes szakemberek v´elem´eny´ere.
´ Altal´ anos jelleg˝ u meg´ allapod´ asok. A 1. A feladat megold´asa sor´an - k´et kiv´etellel - mindig bizony´ıtani kell. Akkor is, ha a feladat sz¨ovege ezt nem tartalmazza. Az egyik kiv´etel a teszt. A m´asik kiv´etel az olyan feladat, amelyn´el t´etelesen ki van ´ırva, hogy bizony´ıt´ ast nem kell v´egezni. Megjegyz´es. Ha a feladat sz¨oveg´eben ”mennyi”, ”hol van”, ”´ırja fel” stb. k´erd´es szerepel, ´es nincs ki´ırva, hogy bizony´ıtani kell, akkor is be kell bizony´ıtani, hogy a k´erd´esre adott v´alaszunk helyes. A bizony´ıt´ as form´aja ´es r´eszletei nagyon elt´er˝ oek lehetnek. A 2. A lehets´eges esetek v´egigpr´ ob´ al´ asa is teljes ´ert´ek˝ u bizony´ıt´ as. A 3. A bizony´ıt´ast jelent˝o, egym´as ut´an k¨ovetkez˝ o ´all´ıt´ asok k¨oz¨ ul annyit kell felt´etlen¨ ul le´ırni, amennyib˝ol egy j´o di´ak szem´evel n´ezve a k¨ovetkeztet´esi l´ep´esek ´atl´athat´ok. Megjegyz´es. D¨ont˝o a l´enyeg vil´agos kiemel´ese, a trivialit´asokat nem kell le´ırni. A feladatmegold´as nem sz˝orsz´alhasogat´ as. Ha valamib˝ ol valami k¨ovetkezik, ´es egy j´o di´akt´ol elv´arhat´o, hogy l´assa azt, hogy hogyan k¨ovetkezik, akkor csak azt kell le´ırni, hogy mib˝ol ´es mi k¨ovetkezik, a hogyant m´ar nem. P´eld´aul: 3|f (n) ´es 8|f (n) -b˝ol k¨ovetkezik 24|f (n), teh´at nem kell le´ırni, hogy ,,mert 3 ´es 8 relat´ıv pr´ımek”. Vagy 2f (x) = 2g(x) -b´ ol k¨ovetkezik f (x) = g(x), teh´at nem kell le´ırni, hogy ,,mert a 2 alap´ u exponenci´alis f¨ uggv´eny szigor´ uan monoton”. A 4. A bizony´ıt´as sor´an az elfajul´o esetek t´argyal´ asa nyilv´ anval´ o esetben elhagyhat´o. Megjegyz´es. Egy p´elda: a bizony´ıt´ as sor´an h´aromsz¨ oget mondhatunk akkor is, ha az bizonyos esetekben az szakassz´ a fajul el, de arra az esetre trivi´alisan igaz az ´all´ıt´asunk. A 5. A feladatmegold´ashoz k´esz´ıtett ´abra nem bizony´ıt. Megjegyz´es. A geometri´aban (legink´abb a t´ergeometri´ aban) sokszor elfogadhat´o indokol´as a szeml´eletre val´o hivatkoz´ as, de nem az ´abr´ ara val´ o hivatkoz´ as. A 6. A szimmetri´ara val´o hivatkoz´ ast (p´eld´ aul egyenletrendszern´el vagy geometriai alakzatn´al) r´eszletezni kell. A 7. Egy halmaz egy tetsz˝oleges elem´ere v´egzett bizony´ıt´ as a hamaz minden elem´ere ´erv´enyes, de ezt jelezni kell. Megjegyz´es: Geometriai feladatokn´al szok´asos probl´ema ez. A 8. A fejben k¨onnyen elv´egezhet˝ o sz´am´ıt´ asokat nem kell le´ırni. A 9. Ha a feladat sz´amszer˝ u v´egeredm´eny´et m˝ uveleti jelekkel ´es f¨ uggv´enyjelekkel adjuk meg, akkor a nyilv´anval´o egyszer˝ us´ıt´eseket el kell rajta v´egezni. Ha kalkul´ ator haszn´alata megengedett, akkor a k¨ozel´ıt˝ o ´ert´ek´et is meg kell adni. Megjegyz´es. A k¨ozel´ıt˝o ´ert´ekekn´el az ´ert´ekes sz´amjegyek sz´am´ at vagy a tizedesjegyek sz´am´at szokt´ak el˝o´ırni. Ha a feladatsz¨oveg ezt nem ´ırja el˝o, akkor konvenci´ oban kellene r¨ogz´ıteni, hogy a r´eszletsz´ amol´ asok sor´an ´es a v´egeredm´enyn´el minim´alisan milyen k¨ozel´ıt´essel sz´amoljon a feladatmegold´o. Itt nem arr´ol a probl´em´ar´ol van sz´o, hogy a feladat egy mennyis´eg kisz´am´ıt´ as´ at el˝o´ırt pontoss´aggal k´eri. Abban az esetben a feladatban elej´et˝ ol v´eg´eig figyelni kell 2
a k¨ozel´ıt˝o ´ert´eknek a r´eszletsz´am´ıt´ asoksor´ an bek¨ovetkez˝ o torz´ıt´ o hat´as´ ara. Ennek a r´afigyel´esnek az elmarad´asa durva szakmai hiba. A 10. K¨ozel´ıt˝o ´ert´ek megad´as´ an´ al kett˝ os hull´ amvonalat kell haszn´alni (enn´el az egyenl˝os´eg haszn´alata durva szakmai hiba). A 11. Ha a feladat nyitott (t¨obbf´ele j´o v´alasz van, ´es ezek k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o ´ert´ekel´est kapnak), akkor a feladatsz¨ovegben, vagy kieg´esz´ıt´esben jelezni kell a teljes ´ert´ek˝ u v´alasz krit´erium´at. Megjegyz´es. Tipikusan nyitott feladatra jellemz˝o sz¨ovegr´eszletek: ”hozzuk egyszer˝ ubb alakra”, ”mit mondhatunk r´ola”. Szerintem a nyitott feladat az oktat´as folyamat´aban nagyon hasznos, de t´etre men˝o sz´amonk´er´esn´el nem szabadna adni. A 12. A feladat k´erd´es´ere a megold´asban mindig v´alaszolni kell. A 13. A helytelen sz´ohaszn´ alat, ha nem ´ertelemzavar´ o, akkor k¨ovetkezm´eny n´elk¨ ul marad, tan´arn´al ´es di´akn´al egyar´ ant. Megjegyz´es. Felv´eteli feladatban is sokszor el˝ofordult m´ar ilyen, pl. ”a CD szakasz felezi a γ sz¨oget”, ”egys´egoldal´ u kocka”. Egy helytelen sz´ohaszn´ alat nem ´ertelemzavar´o, ha a kontaktusb´ol (a k¨ornyez˝ o sz¨ovegb˝ ol) kider¨ ul a sz´o jelent´ese. Ez a probl´ema gyakori a t¨obb´ertelm˝ u matematikai fogalmakn´al. P´eld´ aul a k¨or lehet k¨orlemez vagy k¨or´ıv, de nyilv´an egy k¨or ter¨ ulet´er˝ ol besz´elve mindenki tudja, hogy k¨orlemezr˝ol van sz´o. A 14. A k¨oz´episkol´as anyagba nem tartoz´o, a fels˝obb matematik´ab´ ol ismert t´etelre lehet hivatkozni a bizony´ıt´ as elv´egz´ese, vagy a megtal´al´ asi hely megjel¨ol´ese n´elk¨ ul is. A 15. Az egyessz´am ´es a t¨obbessz´am szerepeltet´ese a feladat sz¨oveg´eben l´enyegtelen a megold´as szempontj´ab´ol. Megjegyz´es. Ez nagyon fontos konvenci´ o, sokszor hangoztatni kell, mert nagyon is ellent´etes a helyes sz¨oveg´ert´essel. Matematik´aban nem j´aratos, de ´ertelmes feln˝ott butas´agnak v´eli ezt a konvenci´ot. Olyanf´ele sz¨ovegr˝ ol van sz´o, hogy ”adja meg azt a C pontot”, ´es t¨ort´enetesen k´et ilyen van, vagy ”mely sz´amok el´eg´ıtik ki”, ´es t¨ort´enetesen egy sincs, ami kiel´eg´ıten´e. Sokszor a di´ak is ideges, hogy hol rontotta el?! Viccnek is j´o, pedig megt¨ort´ent eset ´ırok le. Egy b¨olcs´esz egyetemi tan´ar k¨oz´episkol´ as unok´aja matematikai h´azi feladat´aban bizonyos adatok alapj´an kisz´amolva egy templom magass´ag´at, k´et ´ert´eket kapott, ´es a megold´as´ at az iskol´ aban elfogadt´ak. A nagyapa szerint but´ak a matematikatan´arok, mert szerint¨ uk egy templomnak k´et magass´aga van! A 16. Ha feladat sz´oszerinti ´ertelmez´essel vagy konvenci´ ok alkalmaz´ as´ aval (pl. az el˝oz˝o konvenci´o alkalmaz´as´aval) nem oldhat´o meg (vagy a megold´as olyan neh´ez, hogy nem v´arhat´o el a megold´asa), akkor emiatt a di´akot nem ´erheti h´atr´ any. Az ilyen helyzeteket, kor´abbi p´eld´akat tudatos´ıtani kellene a tan´arok ´es di´akok el˝ott. Megjegyz´es. H´atr´any lenne az is, ha ˝o nem adv´an megold´ast, nem kap pontot, egy m´asik di´ak pedig a feladatot m´odos´ıtja, ´es annak megold´as´ a´ert pontot kap. A 17. Ha feladat sz´oszerinti ´ertelmez´es´ehez tartoz´o megold´as szokatlan vagy neh´ezkes, ´es emiatt val´osz´ın˝ uleg nem ezt az ´ertelmez´est gondolta a feladatkit˝ uz˝ o,
3
akkor a di´ak k¨oteless´ege megadni a sz´oszerinti ´ertelmez´es´ehez tartoz´o megold´ast. Ezt a megold´ast el kell fogadni teljes ´ert´ek˝ u megold´asnak. A 18. Ha a feladat t¨obbf´elek´eppen ´erthet˝ o, akkor a di´ak v´alaszthat a lehets´eges ´ertelmez´esek k¨oz¨ ul. Azt a v´altozatot is el kell fogadni, amihez trivi´alis megold´as tartozik. Ekkor sem ´erheti h´atr´any a di´akot. Megjegyz´es. Erre az esetre tipikus p´elda a k¨ovetkez˝ o ´eretts´egi-felv´eteli feladat: Fejezze ki lg2 ´es lg5 ´ert´ek´et p seg´ıts´eg´evel, ha p = lg2 · lg5. A hivatalos megold´as az, hogy a fenti egyenlet a 10 = lg2 + lg5 egyenlettel egy¨ utt olyan egyenletrendszer, amib˝ol lg2 ´es lg5 ´ert´eke p seg´ıts´eg´evel kifejezhet˝o. A feladat p p sz¨ovege alapj´an viszont az is j´o megold´as, hogy lg2 = ´es lg5 = . lg5 lg2 A 19. A megold´asban csak olyan bet˝ ut (jel¨ol´est) szabad haszn´alni, amit vagy a feladatsz¨oveg m´ar haszn´alt, vagy a megold´asban magyar´ azva (defini´alva) van. Geometriai feladat megold´as´an´al ´abra megad´as´ aval is lehet a jel¨ol´eseket defini´alni, de ki kell ´ırni, hogy az ´abra jel¨ol´eseit haszn´aljuk. Konkr´ et t´ emak¨ or¨ okh¨ oz kapcsol´ od´ o konvenci´ ok. K 1. ”Oldjuk meg az al´abbi egyenletet a val´ os sz´amok halmaz´an” feladatsz¨oveg azt jelenti, hogy adjuk meg az egyenletet kiel´eg´ıt˝ o sz´amok halmaz´at (a gy¨ok¨ oket), a t¨obbsz¨or¨os gy¨ok¨oket multiplicit´assal egy¨ utt, ´es bizony´ıtsuk be, hogy pontosan ezek a gy¨ok¨ok. Megjegyz´es. Sokan u ´gy v´elik, hogy a megold´ashoz hozz´atartozik a felt´etelek megad´asa (az egyenlet k´et oldal´an lev˝o f¨ uggv´enyek k¨oz¨ os ´ertelmez´esi tartom´any´ anak megad´asa) abban az esetben is, ha ez a megad´as nem r´esze a feladatsz¨oveg fenti ´ertelmez´ese alapj´an k´esz´ıtett megold´asnak. A konvenci´ o szerint, ha ezt is elv´arja a feladat kit˝ uz˝oje a megold´ot´ol, akkor azt szerepeltetni kell a feladat sz¨oveg´eben. K 2. A megold´asban az egym´as al´a ´ırt egyenletek (ett˝ol elt´er˝ o kapcsolatot jelent˝ o sz¨oveg n´elk¨ ul) k¨ovetkezm´enyesek a megold´o szerint. M´ask´eppen: Ha a megold´o az egym´as al´a ´ırt egyenleteket k¨ovetkezm´enyeseknek tartja, akkor azt nem kell ki´ırnia, de ha nem tartja k¨ovetkezm´enyeseknek, akkor ki kell ´ırnia, hogy milyennek tekinti. K 3. A megold´asban az egym´as al´a ´ırt egyenletek k¨oz´e ´ırt u ´n. t¨oltel´ekszavak, mint pl. ,,´atalak´ıt´assal kapjuk”, ,,rendez´essel kapjuk”, ,,n´egyzetre emelve”, stb. nem oldj´ak fel a K 2. konvenci´o ´erv´enyess´eg´et. K 4. Sz¨ovegb˝ol nyert egyenlet (sz¨oveges egyenlet) fel´all´ıt´ as´ at az ekvivalencia bizony´ıt´as´anak hi´any´aban u ´gy kell ´ertelmezni, hogy ,,..ha van a sz¨ovegnek megfelel˝o x ´ert´ek, akkor erre fenn´all, hogy...”. Megjegyz´es. Ez nyilv´an azt jelenti, hogy a sz¨oveg ´es a fel´all´ıtott egyenlet k¨ ul¨ on vizsg´alat n´elk¨ ul k¨ovetkezm´enyes. Meg kell gy˝oz˝ odni, hogy a kapott ´ert´ekek kiel´eg´ıtik-e a sz¨ovegben le´ırtakat. K 5. Ha egy egyenlet megold´asa a feladatmegold´as sor´an csak eszk¨oz (nem ez volt a feladat), akkor el lehet tekinteni annak bizony´ıt´ as´ at´ ol, hogy a megtal´alt ´ert´ek val´oban gy¨ok, de ki kell mondani. Megjegyz´es. Ezt a konvenci´ot nagyon ´ovatosan kell kezelni. Bizony´ ara pontos´ıtani
4
kell. K¨ ul¨on¨osen vigy´azni kell a sz¨oveges egyenletekre, ahol term´eszetesen ugyanolyan r´eszletesen kell a megold´as logik´aj´ at v´agigvinni, mint a fel´all´ıtott egyenletn´el. K 6. Egyenletek vagy egyenl˝ otlens´egek ¨osszead´ asa, valamivel szorz´asa annyira pontatlan hogy hib´anak min˝os´ıthet˝ o. Megjegyz´es. Tudom, hogy nehezen lehet elfogadtatni ezt a konvenci´ ot. K 7. Grafikus egyenletmegold´ as defini´alatlan fogalom, nem adhat´o t´etremen˝ o ´ert´ekel´esn´el. K 8. Val´os egy¨ utthat´os m´asodfok´ u egyenletnek nincs egy val´ os gy¨oke, k´et egybees˝o val´os gy¨oke lehet. K 9. ”Szerkessze meg” feladatsz¨oveg eset´en le kell ´ırni a szerkeszt´es l´ep´eseit, ´es bebizony´ıtani, hogy az adott elj´ar´ as val´ oban a keresett alakzatot adja. Megjegyz´es. Sokan u ´gy v´elik, hogy a megoldhat´os´ ag felt´etel´enek megad´as´ at ´es annak bizony´ıt´as´at is le kell ´ırni. De ha neh´ez a diszkusszi´o, akkor m´egse tartozik bele. Szerintem, ha diszkusszi´ot k´er¨ unk, akkor az szerepeljen a feladat sz¨oveg´eben. K 10. ”Hol helyezkednek el azok a pontok” azt jelenti, hogy ”adja meg azoknak a pontoknak a halmaz´at”. K 11. ”Fejezze ki” azt jelenti, hogy a k¨oz´episkol´ aban haszn´alt matematikai jel¨ol´esekkel adja meg az illet˝o mennyis´eget. Megjegyz´es. Szerintem legjobb lenne, ha ez a sz¨oveg nem is szerepelne feladatban! K 12. ”Pontos ´ert´ek” racion´alis sz´amot jelent. Megjegyz´es. Szerintem legjobb lenne, ha ez a sz¨oveg nem is szerepelne feladatban! K 13. Geometriai alakzatok megad´as´ an´ al a bet˝ uz´esi sorrend k¨or¨ ulj´ ar´ asi sorrendet is jelent. Megjegyz´es. P´eld´aul az ABCD paralelogramma eset´en A ´es C ´atellenes cs´ ucsok. K 14. Egy f¨ uggv´eny grafikonj´ anak elk´esz´ıt´es´et k´er˝ o feladatban meg kell adni azt a halmazt (intervallumot), amelyen az ´abr´ azol´ ast v´egezni kell. Ha a f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´anya v´eges intervallum, ´es ezen kell ´abr´ azolni is, akkor nem sz¨ uks´eges k¨ ul¨on is megadni ezt az intervallumot. K 15. Egy olyan f¨ uggv´eny grafikonj´ anak elk´esz´ıt´es´et k´erve, amely grafikon nem egyenes, vagy nem ´all v´eges sok egyenes szakaszb´ ol, akkor meg kell adni azokat a abszcissza ´ert´ekeket is, amelyeket mindenk´eppen haszn´alni kell az ´abra elk´esz´ıt´es´en´el. K 16. A m´ertani sor ¨osszegk´eplet´enek fel´ır´ as´ an´ al a q 6= 1-et ki kell ´ırni. K 17. A f¨ uggv´eny jel¨ol´es´ere t¨obbf´ele m´odot (a r´egebben szok´asosakat is) lehet haszn´alni (a feladatban ´es a megold´asban egyar´ ant). Megjegyz´es. P´eld´aul elfogadhat´o ´ıgy is: f (x) = x2 + 1. K 18. A halmazokat (k¨ ul¨on¨osen az egyenlet megold´ashalmaz´ at) egy´ertelm˝ uen ´es pontosan kell megadni. Megjegyz´es. P´eld´aul x0 = π4 + 2kπ eset´eben nem lehet arra hivatkozni, hogy a k eg´esz sz´am ”szokott lenni”, hanem k ∈ Z-t is ki kell ´ırni.
5
V´eg¨ ul k´et kieg´esz´ıt´est f˝ uz¨ok a konvenci´ o-javaslataimhoz, mert ezek megt´argyal´ as´ at is szeretn´em el´erni. Tudom, hogy sokan nem ´ertenek velem egyet az al´abbi t´em´ akban, de szeretn´em megismerni az ellen´erveket is. Az egyik t´ema a r´eszpontok ad´asa. ´ a j´o di´ak p´artj´an ´allok, ´es az ˝o szempontjait javaslom ´erv´enyes´ıteni. Ezt u En ´gy lehetne ¨osszefoglalni, hogy az ´ert´ekel´es teljes´ıtm´enycentrikus, ´es ne tud´ascentrikus legyen. Egy j´o di´ak nem ad be tiszt´azatk´ent pr´ob´ alkoz´ asokat. Ha a megold´as k¨ozben r´aj¨on, hogy nem tudja folytatni, vagy hib´azott, rosszul okoskodott, akkor nem ad be semmit, nem nevezi megold´asr´eszletnek addigi munk´ aj´ at. V´elem´enyem al´at´amaszt´as´ara megeml´ıtem, hogy tragikusnak tartom, hogy a di´akot arra kell biztatni, hogy ´ırja le mindazt (t´eteleket, lehets´eges ´atalak´ıt´ asokat stb.), ami a feladattal kapcsolatban esz´ebe jut, amivel a megold´as sor´an pr´ob´ alkozott, h´atha r´eszpontot kap ´erte! M´asr´eszt a tan´ar sz´am´ ara sokszor megoldhatatlan probl´ema annak eld¨ont´ese, hogy mit tekinthet ”befejezhet˝o megold´as r´esz´e”-nek. Indok lehet az is, hogy a tesztrendszer˝ u ´ert´ekel´esn´el sincs r´eszpont. Azt javasoln´am, hogy r´eszpont csak akkor legyen, ha a di´ak j´onak v´eli a megold´as´ at, de t´eved. N´egyf´ele pontlevon´ast javasolok: kis vagy nagy logikai hiba, kis vagy nagy sz´amol´asi hiba eset´ere. P´eld´aul 10 pontos feladatn´al kis logikai hiba 4 pont, nagy logikai hiba 8 pont, kis sz´amol´asi hiba 2 pont, nagy sz´amol´ asi hiba 4 pont levon´ asal j´arna, de nyilv´an legfeljebb 10 pont a levon´ as. A hiba m´ert´ek´ere a hivatalos megold´as p´eld´at mutathatna, de a jav´ıt´o tan´ar feladata a konkr´et esetben a d¨ont´es. Ugyanakkor nagyon fontos, hogy a di´ak a dolgozat´ır´ as el˝ott megtudja az ´ert´ekel´es szempontjait (t¨obbletmegold´as jutalma, sz´amol´ asi hiba b¨ untet´ese stb.). J´ol szeml´elteti ezt az al´abbi t¨ort´enet. M´eg a k¨oz¨os ´eretts´egi-felv´eteli idej´eben az egyik egyetem jav´ıt´ oja nem adott r´eszpontot az elsz´amol´as miatt hib´as eredm´enyt k¨ozl˝ o feladatra, ´es a t´em´ ar´ ol sz´ol´ o orsz´agos ank´eton sz´oban meg is indokolta cselekedet´et azzal, hogy a durv´an rossz v´egeredm´enyt a di´aknak fel kellett volna ismerni. Sajnos, nem volt alkalmam figyelmeztetni, hogy a di´ak nagy val´ osz´ın˝ us´eggel felismerte, hogy a v´egeredm´eny rossz, de nyilv´ an arra sz´am´ıtott, hogy pl. sz´amol´ asi hib´at v´etett, ´ıgy r´eszpontot kap, ez´ert nem h´ uzta ´at az eg´eszet. A hiba keres´es´evel pedig az´ert nem foglalkozott, mert m´as, m´eg h´atralev˝ o feladat megold´as´ ab´ ol t¨obb pontot rem´elt, mint a hiba megtal´al´as´aval szerezhet˝o pontok. A m´asik t´ema a m´ert´ekegys´egek haszn´alata. T´enyk´ent kellene elfogadni az al´abbiakat: 1.) A geometri´aban a m´ert´ek sz´am. A legt¨obb k¨oz´episkol´ as tank¨onyv is u ´gy defini´alja a ter¨ uletet, hogy az bizonyos tulajdons´agoknak eleget tev˝o sz´am. 2.) Fizikai m´ert´ekegys´eg a fizik´aban ´es a k¨oznapi ´eletben van, a matematik´aban nincs. A t´eglalap alak´ u asztallap egyik oldal´anak hossza lehet 50 cm, de a t´eglalap oldal´anak hossza 50. 3.) A fels˝obb matematika szakaszkalkulus´ aban van egys´eg, (amint a csoportalgebr´aban is van egys´egelem,) de az nem szakaszhossz, hanem maga a szakasz.) 4.) Minden fizikai mennyis´egnek (m´ert´eknek) van m´ert´ekegys´ege, a matematik´aban 6
egyiknek sincs. Egy h´aromsz¨og ter¨ ulete ´epp´ ugy 2 ´es nem 2 ter¨ uletegys´eg, mint ahogy egy f¨ uggv´eny differenci´alh´anyadosa egy pontban 2 ´es nem 2 differenci´alh´ anyadosegys´eg. A m´ert´ekegys´egek matematik´aban val´ o haszn´alat´ anak lelkes h´ıveit m´eg az sem gy˝ozi meg, hogy a jelenlegi helyzet tarthatatlan, aminek egyik bizony´ıt´eka, hogy a hivatalos megold´asban n´eha m´ask´epp haszn´alj´ ak a m´ert´ekegys´eget, mint a feladatban volt. Pedig legal´abb ennyit szeretn´ek el´erni.
7
