Dr Polgár Mihályné Érdekes matematikai feladatok matek.fazekas.hu

Dr Polgár Mihályné

Érdekes matematikai feladatok

1/22

matek.fazekas.hu



matek.fazekas.hu

KÜLÖNBÖZİ SZÁMHALMAZOK 1) Kakukktojást keresünk! a) 792

b)

360 405 24

9 0

14 2 3 5 5 3 6 8 7 10

c) 11

5

d)

21

π

81

0,1011011101111….

51

0,666….

201

20

18 Megoldás:

9 (nincs értelmezve a 0-val való osztás) – „kidobjuk”! 0 A megmaradt számhalmazban 18 irracionális szám: 2 × 9 = 3 2 : „dobjuk ki”!

a.)

24 nem osztható 9-cel! Maradt: 792, 360, 405, még ezek között is kereshetünk „kakukktojást”. Pl.: 405 páratlan szám. b.)

14 5 =7 ∈ Z A megmaradt halmazban végtelen szakaszos tizedes tört…stb. 2 3

c.)

11 prímszám

d.)

0,666…=

2 ∈ Q. 3

2) Igaz és hamis állítások a) b) c) d) e) f)

Bármely valós szám nulladik hatványa 1. Páratlan számok szorzata páratlan. Szorzat hatványa egyenlı a tényezık hatványának szorzatával. Z-Z+=ZA végtelen tizedes törtek irracionális számok. Van olyan prímszám, mely páros.

3.) Gondoltam egy számra! a) b) c) d) e)

81 − x 2 értelmezési tartományok eleme Természetes szám: „n” L( x) = x n függvény képe az origóra szimmetrikus Prímszám A szám négyzete n 2 , 10y+n alakú

( )

Megoldás: a.) − 9 ≤ x ≤ 9 ; b.) 0 ≤ x ≤ 9 ; c.) Páratlan: 1,3,5,7,9, lehet; d.) 3,5,7, e.) 25 ≥ a szám : 5

2/22



matek.fazekas.hu

4. Melyik a legkisebb természetes szám, mely a számjegyek összege 100? Megoldás:

A legkisebb szám 199...9 alakú, ahol 11 darab 9-es számjegy van.

Melyik az a legkisebb természetes szám, amelyben a számjegyek összege a.) 100 b.) 200 Megoldás:

100= 2 2 ⋅ 5 2 200= 2 3 ⋅ 5 2

a.) 455 b.) 558

Lehet-e 9 egész szám szorzata is összege is 9? Megoldás:

Igen: 9, 1,1,1,1, -1, -1, -1, -1

Lehet-e 8 egész szám összege és szorzata is 8? Megoldás:

Igen: 4, 2, 1, 1, 1, 1, -1, -1

Lehet-e 8 egész szám szorzata 8, összege 0? Megoldás:

Igen: 4, 2, -1, -1, -1, -1, -1, -1

Mennyi a (-12) és (+24) közti egész számok szorzata? Megoldás:

0

Milyen jelet kell 2 és 3 közé tennünk ahhoz, hogy 2-nél nagyobb, de háromnál kisebb számot kapjunk? Megoldás:

Tizedesvesszıt

Melyik az a legkisebb természetes szám, amely maradék nélkül osztható az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 számok mindegyikével? Megoldás:

0

5.) Mindenki írjon fel egy tetszıleges háromjegyő számot! Ugyanezt a számot folytatólagosan írja hozzá úgy, hogy egy hatjegyő számot kapjon. (pl.: 567567) Osszuk el a számot 7-tel! Maradék nélkül osztható! Az eredményt osszuk el 11-el! Maradék nélkül osztható! Az eredményt osszuk el 13-mal! Maradék nélkül osztható! Az a háromjegyő szám szerepel eredményként, melyet eredetileg írtunk fel! Miért? (Ha egy tetszés szerinti háromjegyő számot kétszer egymás után felírunk, ugyanazt a számot kapjuk, mintha az eredetit 1001-gyel szoroznánk. Mivel 1001 = 7.11.13. elvégezve az osztást a 7, 11,13 számokkal, visszakapjuk az eredeti számot. 6.) Egy névjegy szám osztható 12-vel. Ha a számjegyeket tetszılegesen felcseréljük, akkor a következı állítások közül melyik igaz? a.) A kapott szám biztosan osztható 12-vel. b.) A kapott szám biztosan osztható 6-tal. c.) A kapott szám biztosan osztható 4-gyel. d.) A kapott szám biztosan osztható 3-mal. e.) A kapott szám biztosan osztható 2-vel. A d.) igaz. Miért?

3/22



7.) Mely pozitív egész n-re lesz egész szám n + 11 (n − 9) + 20 20 = 1+ = n−9 n−9 n−9

matek.fazekas.hu

n + 11 ? n−9

20 osztható: 1, 2, 4, 5, 10, 20, -1, -2, -4, -5, -10, -20 n A tört értéke A kifejezés értéke

29 1

19 2

14 4

13 5

11 10

10 20

-11 -1

-1 -2

4 -4

5 -5

7 -10

8 -20

2

3

5

6

11

21

0

-1

-3

-4

-9

-19

Függvények 1) Függvények megadása táblázattal a) Az ötvözetek aranytartalma és karátszáma között egyenes arányosság van. 24 karát=1000‰ aranytartalom Karát 1 2 4 6 9 12 14 15 Aranytartalom ‰-ben

18

24 1000

1000 2 = 41 ‰ aranytartalom. 24 3 2 1 12 karát: 500‰ 14 karátos „magyar” ötvözet: 14 × 41 = 583 ‰ 3 3

24 karát: 1000‰

1 karát:

6 karát: 250‰ stb. Ez a matematikai összefüggések alapján készült táblázat: matematikai táblázat. b) A tapasztalati adatok alapján készült táblázat is lehet függvény. Például.: Egy autójavító mőhelyben egy hónap alatt javított autók száma márkájuk szerint. Fiat Volksw. Opel Dacia Suzuki 75 db 45 db 30db 90 db 60db c) Egy faiskolában a facsemeték fajtájáról és arányáról a követezıt tudjuk: ıszibarack: 35 % meggy: 15 % alma: 20 % dió 5% fenyı: 25 % Számítsuk ki, hogy melyikbıl hány darab van, ha összesen 1200 facsemete van a faiskolában!

4/22



matek.fazekas.hu

2) Függvények megadása grafikonnal a) Készítsünk a táblázat alapján „oszlopos” grafikont. b) Készítsünk körgrafikont tapasztalati táblázatainkhoz! Autó márka Fiat VW. Opel Dacia Suzuki Össz.: 100% 10%

db 75 45 30 90 60 300 300 30

% 25% 15% 10% 30% 20% 100%

Kp.-i szög 900 540 360 1080 720 360

Jelölés

3600 360

3) Két város távolsága 300 km. „A” városból indul „B” felé egy autóbusz. 7 órától 10 óráig 75 km/h sebességgel halad. 10 órától 11 óráig áll, majd visszaindul 100 km/h sebességgel „A”-ba. „B”-bıl 730-kor indul egy autó „A” felé. 930-ig 100 km/h sebességgel halad. 930-tól 1030-ig áll, majd visszaindul 75 km/h sebességgel „B”-be. a) Hány órakor találkoznak? Hány km-re „A”-tól? b) Mikor érkeznek vissza kiindulási helyükre? c) Mekkora átlag sebességgel induljon „A” városból 8 órakor egy motoros, ha a második találkozásnál jelen szeretne lenni? Megoldás: Találkozás: 900,1130 I: visszaérkezése „A”-ba: 1315 I: visszaérkezése „B”-be: 1310 30 A második találkozás 11 -kor175 km-re „A”-tól történik. A motoros sebessége: ∆t = 11,5 − 3 = 3,5 (óra ) vmotor=

175 km / h = 50km / h 3,5

5/22



matek.fazekas.hu

FÜGGVÉNYEK 1) Elsıfokú függvények hiányos táblázatait látjuk. Töltsük ki a a táblázatot és írjuk fel a függvények képletét! x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ….. f1(x) 1 2 f(x)=x f2(x) 3 6 f(x)=3x f3(x) 5 8 f(x)=3x+8 f4(x) 6 5 −1

f ( x) =

f5(x)

0

f6(x)

1

2

1

2

x+5

1 2

1 x 4 1 5 f ( x) = − x + 3 3

f ( x) =

2) Helikopter 1 sec alatt alatt 1,8 m-t emelkedik. Határozzuk meg helyzetét 3, 4, 5…x sec múlva. A helikopter tengerszint felett 360 m magas helyrıl indul v=1,8 m/s sebességgel. Határozzuk meg helyzetét 3, 4, 5…x sec múlva. Megoldás:

f1(x)=1,8x

f2(x)=1,8x+360

Olajkútfúró berendezés „feje” óránként 2,4 m-t halad. Határozzuk meg a helyzetét 2, 3, 5…x sec múlva. Olajkútfúró a tengerszint felett 500 m magasról indul. Határozzunk meg helyzetét 2, 3, 5…x sec múlva. Az olajkútfúró a tengerszint alatt 120 m-ról indul. Határozzuk meg helyzetét 2, 3, 5…x sec múlva. Megoldás:

f1(x)=-2,4x

f2(x)=-2,4x+500

f3(x)=-2,4x-120

Melyik függvény fejez ki egyenes arányosságot? Melyik csökkenı illetve növekvı? Határozzuk meg a függvények értékkészletét! Mi okoz gondot?

3) Írjuk fel annak a lineáris függvénynek a képletét, melynek grafikonjára illeszkedik a P1(-1; 6) és a P2(1, 5) pont! Megoldás: f(x)= mx+b 6=-1m+b b=6+1m 5=1m+b b=5-1m 2m=5-6

1 6 = (−1) x −   + b 2 −1 1 m= 6 = +b 2 2 1 1 f ( x) = x + 5 2 2

6+1m=5-1m

b=5,5

6/22



matek.fazekas.hu

4) Igaz? Hamis? a) Párhuzamos egyenesek meredeksége azonos. b) Minden elsıfokú (lineáris) függvény képe egyenes arányosság grafikonja. c) Két változó mennyiség egyenesen arányos, ha az egyiket növelve a másik is ugyanannyival növekszik. (1002=4) Az igaz állítást jelöljük 1-gyel, a hamisat 0-val! Tekintsük a 3 számjegyet egy 3jegyő 2-es számrendszerbeli számnak! Melyik számról van szó?

5) Ábrázoljuk a következı függvényeket! 3( x 2 − 2 x + 1) 3( x − 1) 2 = = 3( x − 1) = 3 x − 3 x −1 x −1 Értelmezési tartomány: x ∈ R /{1} Érték készlet: f ( x) ∈ R /{0}

a) f ( x) =

f ( x) =

3x 2 − 6 x + 3 x −1

f ( x) =

2 x 2 − 32 2( x 2 − 16) 2( x + 4)( x − 4) = = = 2x + 8 x−4 x−4 x−4 x ∈ R /{4}

x≠4

f ( x) ∈ R /{16} x 2 − 4 2( x + 3) ( x − 2)( x + 2) × 2( x + 3) f ( x) = × = = x−2 4x + 6 x+2 2( x + 3)( x + 2) x ∈ R /{− 2}{− 3}

x ≠ −3 x ≠ −2 x − 16 : (x − 2) x+2 ( x 2 − 4)( x 2 + 4) x 4 − 16 = = x2 + 4 f (x ) = ( x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) x ∈ R /{− 2,+2}

b) f ( x ) =

4

x ≠ 2 x ≠ −2 x+5 x−5 50 − − 2( x − 5) 2( x + 5) 25 − x 2 f (x ) = c) 20 2 x − 5x x ∈ R /{− 5,0,5} A számláló:

x 2 + 10x + 25 − x 2 + 10x − 25 + 100 20x + 100 20(x + 5) 10 = = = 2(x − 5)(x + 5) 2(x − 5)(x + 5) 2(x + 5)(x − 5) x − 5 Ezért: Figyelj:

10 20 10 x( x − 5) 1 = ⋅ = x : 2 x − 5 x − 5x x − 5 20 2 x ≠ −5,0,5!

7/22



matek.fazekas.hu

Szögfüggvény 1) A következı feladatok részeredményit ne írjuk le! Számoljunk szóban! – Csak a végeredményt kérjük! /Óra eleji „bemelegítı”-jó gyakorló, értékelhetı feladatok/ a.) sin 300 értékét szorozd meg 8-cal! Vedd a kapott szám négyzetgyökét! Az eredménybıl vedd el 900 sinusának a kétszeresét! A kapott számot tekintsük, mint α szög cosinusát!

α=

Határozzuk meg α-t! b.) sin

π

2

+ nπ

n∈Z

3π π π értékét szorozd meg tg -mal, majd sin -tal. 2 3 6

Melyik szög cosinusával egyenlı az eredmény?

5π + 2 nπ 6 7π α2 = + 2 nπ 6

α1 = cos α =

− 3 2

n∈Z

2) Igaz? Hamis? a, Minden szögfüggvény folytonos függvény. b, A sinus x függvény képét π távolságra eltoljuk pozitív vagy negatív irányba, a cosx függvény képét kapjuk. c, A sinus függvény grafikonja az origóra szimmetrikus. d, Hegyesszög cosinusa egyenlı a szög sinusának reciprokával. /00102=2/ 3. Történelmi események…

8/22



matek.fazekas.hu

EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY ÉS INVERZE:A LOGARITMUS FÜGGVÉNY A tanár a következı egyenleteket írta fel a táblára: x

3 1   = − x +1 2 2 x +3 2 = 4x + 8 1 log 2 x = x 2 3 log 1 x = x − 5 4 2

/ x = 0, x = −2 / / x = 0, x' = −1 / / x = 2, x = 4 / / x = 4/

Hogyan tudjuk megoldani? – Csak grafikusan! – mondták a tanulók. - Jó, felteszem az írásvetítıre a koordináta tengelyes fóliát. Most vettem észre, hogy csak két függvény képét hoztam be az órára! Elég lesz? - Attól függ, mely függvények képérıl van szó! – szólt rövid gondolkodás után egy fiú. - Például? – kérdezte a tanár. - Elég lenne az f ( x) = 2 x exponenciális függvény és egy lineáris függvény képe, vagyis az egyenes. - Helyes! – mondta a tanár. – Miért?

9/22



matek.fazekas.hu

SÍKGEOMETRIAI ALAKZATOK, TRASZFORMÁCIÓK 1) Kakukktojást keresünk! a.) Négyzet Rombusz Szabályos ötszög Szabályos hatszög Szabályos kilencszög

b.)

6, 8, 10 5. 12. 13 15, 30, 45 9, 40, 41 /P. számhármasok-a 15, 30, 45 kivételével/

c.) Egyenesre vonatkozó tükrözés Pontra vonatkozó tükrözés Eltolás Derékszög szerkesztése Középpontos nagyítás Elforgatás 2) Igaz és hamis állítások a) Minden négyzet rombusz. b) A deltoid mindig konvex. c) A trapéz területképlete:

(axc)ma . 2

d) A szimmetrikus trapéznak mindig van köré írható köre. e) Van olyan deltoid, amelyik trapéz. Az igaz állítást jelöljük 1-gyel, a hamisat 0-val! Tekintsük az öt számjegyet egy ötjegyő 2-es számrendszerbeli számnak! Melyik számról van szó?

/ 100112 = 19 /

a) A szabályos háromszög köré írt kör sugara a magasság b) c) d) e) f)

2 része. 3

A négyzet köré írt kör átmérıje az oldal 1,5-szerese. Nincs olyan négyszög, melynek belsejébe csak egy átló húzható. Van olyan háromszög, amelyiknek pontosan két szimmetria tengelye Van. Minden egyenlıszárú trapéz húrtrapéz.

/ 10000 2 = 16 / a) Egy négyszög oldalai a=6cm, b=4cm, c=5cm, d=5cm. Állítás: a négyszög érintınégyszög. b) A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb, mint a harmadik oldal. c) A háromszög bármely két oldalának négyzetösszege nagyobb, mint a harmadik oldal négyzete. d) Bármely háromszögben két oldal aránya megegyezik a velük szemközi szögek sinusának arányával. /01012 = 5/ 3) Papírból kivágott négyzet, rombusz, trapéz és deltoid modelleket 1-tıl 4-ig számozott borítékokba helyzetünk egyenként. Állapítsuk meg mindegyik síkidomról, hogy hányas számú borítékba került, ha tudjuk: a) Az 1. átlói mindig merılegesek egymásra. b) A 4. oldali egyenlık c) A 2. átlói felezik egymást. d) A 4.-nek több szimmetriatengelye van, mint a 2.-nak.

10/22



A kizárási lépések után. 1. 2. + Rombusz Négyzet Trapéz + Deltoid

matek.fazekas.hu

Megoldás:

3. + -

4. + -

4) Rombuszt, trapézt, deltoidot, négyzetet, téglalapot helyzetünk 1-tıl 5-ig számozott borítékokba, mindegyikbe egyet. Állapítsuk meg, melyik hányas borítékba került, ha tudjuk: a) Az 1. és 5. átlói felezik egymást. b) A 3. átlói nem merılegesek egymásra. c) A 2. érintınégyszög. d) A 4. húrnégyszög. e) A 4.-nek több szimmetriatengelye van, mint 5.-nek. f) Az 1.-nek a szimmetriatengelye átló Megoldás: Rombusz Trapéz Deltoid Négyzet Téglalap

1. + -

2. + -

3. + -

4. + -

5. +

5) Tegyük fel, hogy a Föld pontosan gömb alakú és az Egyenlítı hossza pontosan 40.000 km. Egy telefontársaság 5m-rel a föld felett, illetıleg a víz felett az Egyenlítın körbevezetett egy telefonvezetéket. A társaság mérnöke azt javasolta, hogy a gyakori rongálások miatt tegyék a vezetéket 3 m-rel magasabbra. A társaság vezetıi ellenezték a javaslatot, mondván, hogy a sok új drót nagyon költséges lenne, hiszen a drót métere 150 Ft. Erre a mérnök kijelentette, hogy akár rögtön kifizeti a szükséges dróttöblet árát. Hány forintba kerülne ez a mérnöknek? Eredeti elképzelés: Új elképzelés

2 Rπ × 150 Ft 2( R + 3)π × 150 = 2 Rπ × 150 + 6π × 150 = a régi ár + 6 π4 ×2 150 = 1 43 2828 Ft

6) Egy háromszögrıl tudjuk, hogy két oldala 3cm és 5cm. A harmadik oldal mérıszáma is természetes szám. Mekkora lehet a harmadik oldal? /3cm, 4cm, 5cm, 6cm, 7cm/ Ha ezeket megszerkesztjük, melyik háromszögnél esik egy nevezetes pont a háromszög egyik oldalára? – (Melyik ez a pont?) 7) Közös középponttal köröket rajzolunk úgy, hogy a sugaraik aránya 1:2:3:4:5 legyen. A bevonalkázott körgyőrő területe hány százaléka a legnagyobb kör területének? a) b) c) d) e)

25%-a 28%-a 33%-a 36 %-a Az a, b, c, d válasz hibás.

11/22



Megoldás: 2 A kör területe: (5r ) π A körgyőrő területe:

(4r )2 π − (3r )2 π

matek.fazekas.hu

= 7πr 2

7 r 2π 7 = = 0,28 ⇒ 28% 2 25r π 25

HATVÁNYOZÁS AZONOSSÁGAI 1) Igaz vagy hamis? 4 3

(3 ) = (3 2 ) 6

( 2 4 ) 2 = (4 2 ) 2

2 2 * 5 3 = 10 5 254 = 54 4 5 25 + 25 = 26

35 * 35 = 310 83 = 1,6 3 3 5 7 3 + 7 3 = 146

(5 2 ) 3 = 5 5 35 * 35 = 9 5 40 4 = 42 2 10

5 3 * 4 3 = 20 3

62 =2 32

2) Egyszerősíts, ha lehet !

2 2 * 32 * 5 2 = 32 32 + 32 + 32 + 32 = 32

2 2 + 32 + 52 = 32 2 2 + 23 + 25 = 22

a2 * a3 =

113 − 9 * 112 =

a2 + a3 =

8 x 3 + 2 x 3 − 10 x 3 =

3)

4) Mely valós „a” érték mellett teljesül, hogy

a 2 〈a 3

a2 = a3 ?

a 2 〉a 3

/Segít: Ábrázoljuk közös koordinátarendszerben f ( x ) = x 2 és g ( x ) = x 3 függvényeket a [− 2;2] intervallumban./ 5.) Melyik szám a nagyobb?

a.)

321 v 231

(32 )10 x 3 > (23 )10 × 2

2300 v 3200

(23 )100 v(32 )100 23 < 32

2100 v 1030

2100 v (2 × 5) 30

2100 v 230 × 530

2 70 v 530

2 7 > 53

202303 v303202

(2023 )101 v(3032 )101

1013 × 23 v1012 × 9 2

101× 8 > 9

99 20 v 999910

99 20 v (99 × 101)10

99 < 101

9910 v 10110 2

100

+3

3 1+   2

100

v4

100

2100 + 3100 v 2 200

100

v 2100

2100 + 3100 < 4100

12/22

(101× 3) 2 99 20 v 9910 × 10110


b.)

5

5v 2

4

7


1 2

1 2

1 4

1 7

5 v2

4v 7

4 v7

10 5

5 v2

10 2

matek.fazekas.hu

52 < 25 1 2 4

1 2

(2 ) = 2 v 2

1 7

14 2

2 v2

2 >7 7 + 10 v 3 + 19

17 + 2 70 v 22 + 2 57

2 7 0 v 5 + 2 57

280 v 25 + 4 × 57 + 20 57 = 253 + 20 57

7

14 7

2

7 + 10 < 3 + 19 6. Két szám négyzete akkor is egyenlı, ha az alapok elıjele különbözı.”Bebizonyítjuk, hogy 2x2=5! Írjuk fel: 16-36=25-45

/Mindkét oldalhoz adjunk 20

1 -et 4

1 1 =25-45+20 /Átalakítás 4 4 2 2 9 9 9 9 42 − 2 × 4 × +   = 52 − 2 × 5 × +   2 2 2 2

16-36+20

2

9 9    4 −  = 5 −  2 2  

2

9 9 4−  = 5−  2 2

4=5

Hol a hiba? 7) Milyen számhalmazon nagyobb? 1 1

a2 > a3 ;

1

1

1

a2 = a3 ;

1

a2 ≤ a3

8)Állítsuk növekvı sorrendbe a számokat! Olvassul össze a hozzájuk tartozó betőket! a) T = 1 P

3

I = 27 3

64 2

<

< T

E

 1  T =   b)  100000 −

1

−

2 5

1 E =  4

2

2

< İ

A= 5

5

3

27

−

1 4

3

F = 42

< F

8

< I

3

−2

−  8  3 D=  S = 16 4 B = 25 2 E = 625 8 27   12 5 1 3 9 1 8 < 2 < < 3 < = 2 < 5 = 5 5 < 16 4 = 32 < 100 5 2 4 4

B

U D A

P

E S

T

13/22

1 5 −1

9

 2 P=   3

1

İ=

U =4 4

7 P=  8

0



matek.fazekas.hu

9) Számítsuk ki az x értékeit! Egymás mellé írva ezeket egy négyjegyő számot kapunk. Tekintsük ezt évszámnak. Mit ünnepeltünk ebben az évben? 2

4 3

3 2

2

a)   *   =

4 x

/x=1/

a

125 2 b)   = x 5

x ∈ Z,a ∈ Z

/x=8; a=-3/

−2

3 c)   = 9  x d) 8 − 2 8 + 2

(

)(

/x=9/

)

/x=6/

1896: Honfoglalás…

Érdeklıdıknek ajánljuk 1) Hogyan kell három azonos számjegyet úgy felírni (mőveleti jelek nélkül), hogy a legnagyobb számot kapjuk? 9

Vegyünk pl. három 9-es és írjuk fel ıket így: 9 9 , 99 9 , 9 99 .

9 9 > 9 99 , mert 9 9 > 99; 9

9 9 = 9 357420489 9

Ez a szám csodálatos nagy. Földünk elektronjainak száma elenyészıen kicsi ehhez képest! 2) Írjuk fel a három kettesbıl álló lehetı legnagyobb számot, anélkül, hogy bármilyen mőveleti jelet alkalmaznánk.

2 2 = 2 4 = 16 nagyon kicsi. Kisebb, mint 222, vagy 22 2 ill. 2 22. / 22 2 = 484; 2 22 = 4194304 / 2

A példa nagyon tanulságos. Ebbıl láthatjuk, hogy a matematikára veszélyes csupám az analógiára építeni, mert ez könnyen téves következtetésekre vezet. 3) Legyen most a három számjegy 3-as!

33 < 333 3

/ 27 < 33 /

4) Legyen most a három számjegy 4-es!

4 4 > 4 44 4

Ismét a „kételemes” elhelyezés ad nagyobb számot! Hogy lehetséges ez? 5) Írjuk fel a három egyenlı számjegybıl álló lehetı legnagyobb számot anélkül, hogy bármilyen matematikai mőveleti jelet alkalmaznánk. Ha a számjegyeket a-val jelöljük, akkor a 2 22 , 333 , 4 44 hatványmennyiségek általános alakban így írhatjuk fel:

a 10 a + a = a 11a A „kétemeleteseket” pedig így: a

aa .

14/22



matek.fazekas.hu

Határozzuk meg, hogy a-nak milyen értékénél ad az utóbbi kifejezés nagyobb számot, mint az elsı.

a a > a11a , ha a a > 11a a

a a > 11a a a −1 > 11

/mindkét hatványnak a volt az alapja/ /az exponenciális függvény szigorúan monoton…/

/:a aa-1 csak akkor nagyobb, mint 11, ha az „a” nagyobb, mint 3, mivel 44-1>11

Így válnak érthetıvé azok a nem várt eredmények, melyekkel az elıbbi feladatok megoldása folyamán találkoztunk, azaz a ketteseket és hármasokat másképpen kell elhelyezni, mint a négyeseket vagy az ennél nagyobb számjegyeket.

Logaritmus 1) Kakukktojás

1 = 4

log 4

log 1 4 = 4

x

1 5 x=?   = 1,6 lg10 8 1 log a a∈R log 2 sin 30 0 a 1 log a Nincs értelmezve a valós számok halmazán, csak annak részhalmazán: a>0 a ≠ 1 a 1 is, mert értéke 1, a többié pedig -1. Kakukktojás az lg 10 2) Melyik nagyobb?

a ) log 9 729

log 9 81

b) lg 0,01

lg 0,1

c) log 2 4 d ) log 1 8 2

2

e) log 4 2 f ) log 1 3

1 4 log 1 4 log 2

1 3

log 25 5 log 1 9 3

g ) log 3 (−3)

log 4 (−4)

h) log1000 100

log 64 16

Indoklás szükséges! A d, f esetben a logaritmus függvény szigorúan monoton csökkenı! A g-nél: ax>0 bármely valós x-re, pozitív „a”-ra.

15/22



matek.fazekas.hu

Negatív irányban haladva számítsuk ki az ismeretlenek értékét a kifejezésben, illetve egyenletekben. Írjuk fel a megoldásokat egymás után! Tekintsük a kapott négyjegyő számot évszámnak! Teremtsünk kapcsolatot az évszám és e két név között!

János. György. /Husz János halála és a huszita mozgalom – 1415/ /Dózsa György, parasztháború – 1514/ /1848/

Térgeometriai alakzatok 1) Kakukktojást keresünk! Kocka Gúla Henger Téglatest Gömb Megoldás: Gömb, mert hálózata síkban nem teríthetı ki. Gúla, mert nem középpontosan szimmetrikus test. Csonkakúp Kúp Henger

Csonkagúla (négyzetalapú) Gúla

Megoldás: A henger, mert alaplappal párhuzamos síkmetszetei egybevágók. 2) Képzeljük el, hogy egy 1 m élő kockát 1 mm3-es kis kockákból raktak ki. Egymás után rakva a kis kockákat milyen hosszú sor alakulna ki belılük? a) 100m c) 10km b) 1km d) 100km Megoldás: Az e) válasz a helyes.

e) 1000km

16/22



matek.fazekas.hu

3) Igaz, hamis állítások a) A kocka testátlója olyan hegyesszöget zár be az alaplap síkjával, melynek sinusa

3 . 3

b) A téglatest testátlója az egy csúcsban összefutó élek összegével egyenlı. c) Ha egy kúpot az alapsíkkal párhuzamosan a magasság felével elmetszünk, a kapott kúp alapterülete az eredeti alapterület felével lesz egyenlı. d) A kocka felszíne 3l2. /l=lapátló/ e) A kocka köré írt gömb felszíne a beírt gömb felszínének háromszorosa. /100112=19/ 4) Töltsük ki a következı táblázatot! Keressünk összefüggést a 3 adat között, majd ellenırizzük sejtésünket más síklapú testeknél! A mértani test Lapok száma Élek száma Csúcsok száma Kocka 6 12 18 Háromoldalú gúla 4 6 4 Háromoldalú hasáb 5 9 6 Ötoldalú hasáb 6 10 6 Síkalapú testekre (poliéderekre) Euler tétele: lapok száma + csúcsok száma = élek száma + 2. a) Kockát, hengert, kúpot, egyenes gúlát, csonka gúlát, csonka kúpot és gömböt 1-tıl 7-ig számozott dobozokba helyezünk egyenként. Melyik test hányas dobozba kerül, ha tudjuk: 1. A páros számmal ellátott dobozokba került testeken szemléltethetjük Euler tételét. 2. Az 1. és 5. forgásetest. 3. A 2. és 3. alaplappal párhuzamos síkmetszetei hasonlók (λ ≠ 1) 4. A 7. alkotói az alapsíkkal hegyesszöget zárnak be. 5. Az 1.-be középpontosan szimmetrikus test került. 6. A 4. és 5. hálózatán találunk egybevágó síkidomokat. 7. A 7. térfogatának kiszámításához több adat kell, mint a 6. térfogatának kiszámításához, de kevesebb, mint a 2. test térfogatához. Test 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Kocka + Henger + Kúp + Gúla + Csonkagúla + Csonkakúp + Gömb + b) Kocka, henger, kúp, csonka kúp és gúla modelleket 1-tıl 5-ig számozott dobozokba helyeztünk. 1. A 2. forgástest. 2. A 3. és 4. párhuzamos síkmetszetei hasonlók, de nem egybevágóak. 3. Az 1. és 5. középpontosan szimmetrikus test. 4. Az 1. felszíne kevesebb lapból áll, mint az 5.-é, de többıl, mint a 2.-é5. A 4. egyik csúcsa megsérült csomagolás közben. Test 1. 2. 3. 4. 5. Kocka + Henger + Kúp + Csonkakúp + Gúla + -

17/22



matek.fazekas.hu

SOROZATOK 1)

Írjuk fel a következı sorozatok n-edik elemét! / an = n / a) 1, 2, 3, 4, 5,… b) 7, 14, 21,…

/ a n = 7n /

c) 1, 4, 9, 16,…

/ an = n 2 /

1 1 1 , , ,... 2 3 4 1 1 1 1 e) , , , 2 4 8 16

i) -1, 1, -1, 1,…

1 / n 1 / an = / 2n / a n = 0,1n / 1 / an = 2 + / 10n nα / a n = sin / 2 / a n = (−1) n /

j) 5, 10, 20, 40,…

/ a n = 5 x 2 n −1 /

/ an =

d) 1,

f) 0,1, 1,01, 0,001,… g) 2 +

1 1 1 ,2 + ,2 + ,... 10 20 30

h) 1, 0, -1, 0, 1,…

k)

2 2 2 , , ,... 3 9 27

/ an =

2 1 .  3 3

n −1

/

A felírt sorozatok közül melyik számtani sorozat? A felírt sorozatok közül melyik mértani sorozat? Melyik sorozat konvergens? Határozzuk meg ezeknek a határértékét! 2) Igazoljuk, hogy a következı számok egy mértani sorozat egymást követı tagjai:

2+2 ; −4

2 −2 ; 2

1 ; 2 /q= 2 − 2 /

3−2 2 ! 2

3) Mennyibe kerülne egy ló, ha csak a patkószegekért kellene fizetni? Az elsı patkószegért 1 fillért, és minden következıért kétszer annyit, mint a megelızıért. Egy patkóhoz 8 szög tartozik. 1, 2, 4, 8, 16,…

mértani sorozat

q=2

 2 32 − 1   = 2 32 − 1 (fillér) S 32 = 1x 2 − 1  

a1 = 1

4294967295 fillér=42949673 Ft.

4) Takarékpénztárba helyezett 50000 forintunk évi 12%-os kamatos kamat mellett mennyi idı alatt kétszerezıdik meg? 50.000 × 1,12n = 100.000 1,12n = 2 lg1,12n = lg2 n lg1,12 = lg2 n

=

lg 2 ≈ 6,12 lg 1,12

7 év múlva vehetjük fel, de akkor már 110.534 Ft-ot kapunk.

18/22



matek.fazekas.hu

5) Egy vállalat 2.000.000 Ft értékő gépkocsijának értékét évenként 20%-kal csökkentik (amortizáció). Hány év múlva vehetjük meg 1.200.000 Ft-ért? 0,8n 1.200.000 Ft /1-0,2/ = 1.200.000 2.000.000 × 0,8n

2.000.000

0,8n

=

12 6 = 20 10

lg 0,8n n lg0,8

= =

lg0,6 lg0,6

n

=

lg 0,6 ≈ 2,28 lg 0,8

3 év múlva!

Ellenırzés: 2.000.000; 1.600.000; 1.280.000; 1.024.000 forintért.

6) Adott egyenlı oldalú háromszögbe az ábrán látható módon érintı köröket rajzoltunk. Számítsuk ki az r1, r2, r3, r4 sugarak hosszát! Milyen sorozatot alkotnak? Szabályos háromszög magasságpontja, súlypontja, a beírt köré írt körének középpontja azonos

r1 =

3a 1 3a × = 2 3 6

2r1 = r1 , 2 1 3a 1 3a Ennek része lesz r2 = × = . 3 6 3 18 3a AB”C” magasságvonala . 18 3a 1 3a r3 = × = . 54 18 3 3a 3a 3a , , ... 6 18 54

AB’C’ magasságvonala: AF =

Megoldás:

Mértani sorozat, q =

1 3

7) Adva van egy papírlap. Ezt kettévágjuk, majd az egyik féllapot újra ketté és így tovább. Hányszor kell ezt megismételnünk, hogy akkora testecskét kapjunk, melynek tömege 1 atom tömegével egyenlı. – Tegyük fel, hogy a papírlap tömege 1g, egy atom tömegét vegyük

1 grammnak. (Becsléseket kérünk!) 10 24

19/22


Megoldás:


1 kifejezésben helyettesítsük a nevezıt 2 hatványával: 10 24

10 24 = 2 x 24 lg 10 = x lg 2 24 =x lg 2 x ≈ 79,7 ≈ 80 1 1 ≈ 80 24 10 2 Mindössze 80 kettéosztás szükséges! Gyakran több millióra gondolnak azok, akiknek ezt a kérdést feltesszük.

VEGYES FELADATOK 12.ÉVFOLYAM 1.) Kakukktojást keresünk!

3π 2 1 a.) log 3 3 cos 3π sin

log 5 c.)

2 cos π −1 5π sin 6

d.)

Galilei Ohm Ampére Voltaire

−1 b.)Derékszögő paralelogramma Egyenlı átlójú paralelogramma Körbe írható paralelogramma Kört érintı paralelogramma /Az elsı három téglalap/

1 25

2.)Évszám,esemény

a.) − sin

3π 2

b.) x 2 − 3 x = x( x − 3) = 0 Értelmezési tartomány?

x

56 7 c.)  = 56 8

d .) − ( x − 2 x + 1) 2

/ − ( x − 1) 2 = − (1 − 1) 2 = 0 / / 1001,1301 / 3.) P1 (0,-5) P2(3,0) Legyen ez a két pont egy négyszög két csúcsa. Középpontosan szimmetrikus az origóra. Soroljuk fel a csúcsokat! Milyen négyszögrıl van szó? Mekkora a rombusz egy oldala? Mekkora a területe?

20/22

matek.fazekas.hu



matek.fazekas.hu

Adjuk meg azt a lineáris függvényt, melynek grafinkonja az az egyenes, amely átmegy a két adott ponton! Soroljuk fel a többi oldalegyenes egyenletet! Megoldás:

a = 3 2 + 5 2 = 34

T=

10 x6 = 30 2

f ( x) =

5 x−5 3

4) Igaz és hamis állítások! a) Ha log 1 x > log 1 y, akkor x > y. 4

4

b) A másodfokú egyenlet gyökeinek szorzata a konstans és a másodfokú tag együtthatójának hányadosával egyenlı. c) A szabályos háromszög magasságvonalait a magasságpont 2:1 arányban osztja. d) A háromszög köré írt kör sugara kiszámítható egy oldal és a szemközti szög ismeretében. e) A háromszög területe: T =

ab cos π 2

/011102=14/ 5) Történelemi esemény a) log a a b) 12 ember 3 nap alatt végez el egy munkát. Ugyanolyan teljesítménnyel hány ember végzi el 4 nap alatt? c) A legkisebb prímszám d) Hatszög (konvex) átlóinak száma Megoldás:

1929 – Gazdasági világválság

6) Számolás szóban

1 2

9 sin x = 3

sin x =

4 tgx =

tgx = −1

3 cos

2

x

1 4

=3

10 cos x = 100

π

+ 2 nπ 6 5π x2 = + 2 nπ 6 3π x= + nπ 4 x1 =

cos 2 x = 0

x=

π

2 nincs

cos x = 2

21/22

+ nπ értelmezve

Dr Polgár Mihályné 7) Hasonló síkidomok Oldalainak aránya 1:3 5:4 ? ? Éleinek aránya 10:1 3:4 ? ? ?


matek.fazekas.hu

Területeinek aránya ? ? 36:49 121:86 Térfogatainak aránya ? ? 8:1000 27:1 1000000:64 Írjuk fel a lóhere levélkéire a megoldásként kapott számokat! Negatív irányban haladva nevezetes történelmi esemény évszámát kapjuk. a) n oldalú szabályos sokszög középponti háromszögének szárszöge 72°. n=? b) A kocka felszínképletében szereplı együttható. c) Z + / P ∪ Ö / P = prímszám, Ö = összetett számok/ d) Olyan páros szám, amely prímszám négyzete. Megoldás: 1456 – Nándorfehérvári gyızelem

22/22

Dr Polgár Mihályné Érdekes matematikai feladatok matek.fazekas.hu

Recommend Documents