Birtokrendezési feladatok megoldása matematikai programozással1

Gáspár Péter: Birtokrendezési feladatok megoldása matematikai programozással

1/12

Birtokrendezési feladatok megoldása matematikai programozással1 Gáspár Péter Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Általános- és Felsőgeodézia Tanszék 2003 Kulcsszavak: birtokrendezés, tagosítás, földcsere, matematikai programozás, egész értékű lineáris programozás, implicit leszámlálás, térinformatika, kataszteri informatika.

1. Bevezetés A privatizáció során létrejött sok apró, gazdaságtalanul művelhető termőföld terület, ugyanakkor jellemzően egy-egy tulajdonosnak sokszor több földterülete van. A gazdaságos művelés biztosítására a területek átrendezésével, a kisebb parcellák összevonásával a birtokrendezéssel nyílik lehetőség. Bár a birtokrendezésről szóló törvény még csak törvényjavaslat formájában van [1], és jelenleg csak az önkéntes földcserék útján megvalósítható, a birtokrendezésekre igen jelentős az igény. Az Európai Unió is elvárja, és támogatja a birtokrendezéseket, ez megmutatkozik a Müncheni Nyilatkozatban [2] is, de a különböző erre is irányuló támogatásokban és közös programokban is. Közös program keretében indult a TAMA 1 projekt, amely a németországi tapasztalatok hazai viszonyok közé adaptálását célozta meg. A külföldi és hazai tapasztalatok is azt mutatják, hogy célszerű a birtokrendezést az egyszerű földcseréknél szélesebben értelmezni, és összekapcsolni a falumegújítási, tájtervezési, ökológiai tervezéssel [3]. Ennek az átfogóbb megvalósítási gyakorlatnak a kialakítására indult a TAMA 2 projekt. Dolgozatunkban ennek a bonyolult folyamatnak csak egy kis részével kívánunk foglalkozni, a birtokrendezési terv optimális elkészítési módjával. Egy vagy több táblára kiterjedő birtokrendezésnél a feladat a tulajdonosok szétszórt parcellái helyett ugyanezen táblákból kialakítani az ugyanakkora illetve ugyanolyan értékű összevont földrészleteket. Megfelelő modellezés esetén ez a feladat matematikai programozással is megoldható, így egyrészt a tervezés hatékonyan végezhető, másrészt az eredmény remélhetőleg a tulajdonosok megelégedettségével is együtt jár. Korábbi dolgozatunkban [4] igen általánosan már vizsgáltuk a matematikai programozás lehetőségét, most konkrét megoldó algoritmus kialakítását tűztük ki célul.

2. A mintaállomány Megfelelő algoritmusok kidolgozásához, kipróbálásához és teszteléséhez mindenekelőtt megfelelő méretű és tartalmú mintaadatokra van szükség. A mintaállománynak célszerű egy teljes községre kiterjednie, tartalmaznia kell a birtokrendezésbe bevonható táblákat, művelési ágakat, minőségi osztályokat és földrészleteket. Információk kellenek a földrészletek tulajdonosairól, azok szándékairól. Ismerni kell a település úthálózatát, vízrajzát, esetleg domborzati viszonyait és még számos adatot. Ilyen méretű és jellegű adatállományokhoz nem egyszerű hozzájutni, de még ha hozzájutunk is, jogi szempontokból nehézkes azok kezelése, publikálása, így ezt a lehetőséget eleve elvetettük. Maradt a másik út, hogy egy megfelelő adatállományt, egy fiktív falut saját magunk alakítsunk ki. Ez a megoldás megszünteti a jogi akadályokat, és lehetőséget nyújt arra is, hogy tetszésünk, illetve a feladat jellege szerinti problémákat vizsgáljunk. Így született meg Nagyfalu község. Nagyfalu kialakításakor ügyelni kellett arra, hogy megfelelő arányokkal, méretekkel az adatállomány életszerűségét biztosítsuk, ezért kellett, hogy minimális valóságalapja legyen. Ezt azzal biztosítottuk, hogy a község átfogó szerkezetét az általános iskolai földrajz atlaszban megjelent űrfelvétel egy kis részletének nagyvonalú digitalizálása szolgáltatta, a többi részletet egyszerűen egy CAD szoftverrel megszerkesztettük. Kialakítottunk egy központi, és egy kisebb belterületet, a külterületen különböző művelési ágakat hoztunk létre. Elsősorban a szántó művelési 1 A cikk a T 031 719 nyilvántartási számú OTKA támogatásával készült


2/12

ág érdekelt minket, ezért a szántókon belül három minőségi osztályt különítettünk el. Az úthálózat digitalizálásánál illetve szerkesztésénél arra ügyeltünk, hogy az alkalmas legyen az útvonaloptimalizálási feladatok elvégzésére is, így vizsgálható legyen a lakóhely és az egyes táblák megközelítése is. A CAD-ben szerkesztett anyagot elsősorban szemléltetési célból konvertáltuk egy nem túlságosan elterjedt térinformatikai rendszer (TNT Lite V6.2) oktatási változatába (1. ábra.).

1. ábra A megfelelő topológia kialakítására a szerkesztések során is gondot fordítottunk, de a konvertálás során alakult ki a végső állapot. A falu vázlatos térképét kiegészítettük a feladatunk szempontjából legszükségesebb adatbázis tartalommal, és ezzel létrejött a kiinduláshoz használható térinformatikai rendszer.

3. Az optimalizálási feladat megfogalmazása Az optimalizálási feladat kialakításánál a korábbi modellünknél egyszerűbb modellt dolgoztunk ki, hogy az amúgy is nagy méretű feladat megoldható legyen, de azért még tükrözze az elképzeléseinket. Az alapgondolat az, hogy a birtokrendezésbe bevont táblák földrészleteinek tulajdonosai bevitt csereértéküket kapják meg újra a táblák átrendezése után, csak jobb elrendezésben. Az átrendezés több tábla esetén akkor oldható meg jól, ha van egy kis többletterület, hogy a kiinduló és az új területeknek ne kelljen táblánként pontosan megegyeznie. Erre az ad lehetőséget, hogy feltételeztük, hogy néhány tulajdonos nem akarja művelni a területét, hanem eladná, illetve erre a célra a Nemzeti Földalap területeinek egy része is felhasználható. Így a táblánként létrejövő ki nem osztott földterület mérete a lehetőségekhez mérten szabadon megadható, illetve ezt a többletterületet a táblába osztott tulajdonosok igény esetén megvásárolhatnák. Egy másik feltételezésünk, hogy a tulajdonosok kisebb-nagyobb csoportokban közösen művelik illetve művelnék a földjüket. Ezeknek a tulajdonosoknak a bevitt földjeik összes csereértékét egy tagban kellene kiadni függetlenül attól, hogy azt a tulajdoni részarányaik szerint parcellázzuk-e, vagy sem. Ez a feltételezés nem jelent semmiféle megszorítást, hiszen egy csoportban egyetlen tulajdonos vagy család is lehet, viszont a kialakítandó földrészletek számát első körben csökkenti, és


3/12

valós igényeket lehet ezáltal kielégíteni. Harmadik feltételezés, hogy a tulajdonosok a földjüket bár akármelyik táblában elfogadnák, de egyes táblákat előnyben részesítenének másokkal szemben. Ezt a kérdést úgy kívánjuk kezelni, hogy a kialakítandó csoportok rangsorolhatnák az egyes táblákat, és ezeket a rangsor-értékeket használnánk fel az optimalizálási feladat célfüggvényében hogy a cél a minél nagyobb elégedettség elérése legyen. Természetesen a csoportok rangsor-értékeit súlyozhatjuk is, és ezzel a kisebb tulajdonnal rendelkezők érdekeit előnyben részesíthetjük. Ezzel nagy vonalakban körvonalaztuk is a megoldandó feladatunkat. A feladat megoldásához létrehoztunk egy mintapéldát. Első lépésként kiválasztottuk a birtokrendezésbe bevonható táblákat (2. ábra).

2. ábra A táblákat úgy választottuk ki a probléma kezelésének érdekében, hogy a T1 tábla két különböző minőségi osztályú szántót, a T5 tábla pedig rét művelési ágat is tartalmazott. A táblákon belül kialakítottuk a földrészleteket, és ezzel kialakultak az alrészletek (T5 táblában), illetve az alosztályok (T1 tábla) is. Összességében 192 parcella alakult ki (3. ábra). A parcellákhoz tulajdonosokat rendeltünk, összesen 80 tulajdonost, és megadtuk minden tulajdonoshoz, hogy kikkel akarja közösen művelni a földjét, így 25+1 csoportot hoztunk létre. A 26. csoport a Nemzeti Földalap bevitt parcelláit és az eladók földjeit tartalmazza. Ennek a csoportnak a földjei képezik a tartalékot a számítások során, tehát igénylőként nem jelenik meg a csoport. Az egyes parcellák csoporthoz tartozását a 4. ábrán láthatjuk. A T1 táblát kinagyítva mutatja az 5. ábra. Látható, hogy a parcellákat a birtokrendezésre váró táblákra jellemző módon parcelláztuk, sok kicsi, többnyire keskeny parcella alakult ki, az egy csoporthoz tartozóknak gyakran egy táblán belül is elszórtan helyezkedik el a birtoka. Csak mintaként az egyik földrészlethez több tulajdonost is rendeltünk, ráadásul azok külön csoportokba kívánnak tartozni. A számítások szempontjából nem jelent nehézséget, ha osztatlan közös tulajdonú parcellákat kell kezelni, csak az ábrázolásnál okoz problémát, hiszen egy osztatlan tábla részei különböző csoportokhoz tartoznak. Most az egyszerűség kedvéért úgy ábrázoltuk, hogy a legnagyobb tulajdoni hányaddal rendelkező tulajdonos határozta meg a földrészlethez rendelt színt.


3. ábra

4. ábra

4/12


5/12

5. ábra

4. A mintaállomány adatbázisa A földrészletekhez viszonylag egyszerű szerkezetű adatbázist csatoltunk. Nem kívántuk a teljes ingatlan-nyilvántartási tartalmat modellezni, inkább csak azokat az adatokat vittük be, amelyeknek szerepe van, vagy lehet a birtokrendezés során. A 6. ábra az adatbázis tábláit, illetve azok kapcsolatait mutatja.

6. ábra


6/12

Az Internal, a Polygon_ID és a POLYSTATS táblák automatikusan jönnek létre a poligonok létrehozásakor. Az Internal tábla tartalmazza a sokszögek belső geometriai adatait, a POLYSTATS tábla a poligonok területét, kerületét stb., a Polygon_ID tábla pedig az adatkapcsolatokhoz biztosít egyedi azonosítókat a geometriai elemekhez. A LAYER tábla a CAD rendszerbeli rétegneveket tartalmazza, itt nincs különösebb jelentősége, a LAYERSTYLE tábla pedig a megjelenítési tulajdonságokat írja le. Számunkra fontos a ClassFromLabel tábla, ami a helyrajzi számokat kapcsolja össze a geometriai elemekkel. Ezt azért hoztuk létre, hogy az adatbevitelnél ne a rendszer által generált azonosítókat kelljen használnunk. Ehhez kapcsolódnak a külső adatok, az akt, a hrsz_nev, az alreszlet és a tulajdonos táblák. Az akt – aranykorona – művelési ág tábla MUVAG

String 4

Művelési ág jele

AKH

Floating-point 10, 2

Hektáronkénti aranykorona

MUVELESI_AG

String 10

Művelési ág megnevezése

MINOSZT

Integer 2

Minőségi osztály

A hrsz_nev – földrészletek tábla HRSZ

String 10

Helyrajzi szám

NEV_ID

Integer 4

Tulajdonos azonosító

T_HANYAD


Tulajdoni hányad

TABLA

Integer 4

Tábla azonosító

Az alreszlet – alrészletek, alosztályok táblája HRSZ

String 10

Helyrajzi szám

AL

String 2

Alrészlet/alosztály jele

MUVAG

String 4

Művelési ág jele

TERULET


Alrészlet területe

AK


Alrészlet/alosztály aranykorona értéke

A tulajdonos – tulajdonosok adatainak táblája NEV_ID

Integer 4

Tulajdonos azonosító

CSOPORT

Integer 4

Csoport azonosító

NEV

String 20

Tulajdonos neve

LEANYKORIN

String 20

Leánykori név

SZUL_EV

Integer 4

Születési év

ANYJA_NEVE

String 20

Anyja neve

CIME

String 40

Tulajdonos lakcíme


7/12

Az alosztályokat természetesen nem szokták jelölni, mi eltérő módon (pl.: „_b”) jelöltük az azonosíthatóság és az egységes kezelés érdekében. A h_g1 táblát csak a megjelenítés egyszerűsítése érdekében csatoltuk az adatbázishoz, egyéb jelentősége nincs. A h_g1_GROUP és a GROUP1 táblák a megjelenítési stílusokat írják le. Az így kialakított adatbázis illetve térinformatikai rendszer egyéb lekérdezési lehetőségek mellett biztosítja az optimalizálási feladathoz szükséges adatok lekérdezését. Lekérdezhetjük az egy táblához tartozó, vagy egy csoportba tartozó tulajdonosok, földrészletek, alrészletek adatait, területét, aranykorona értékét (7. ábra).

7. ábra

5. A megoldó algoritmus Az optimalizálási feladat felállításánál kiinduló adatnak tekintjük az egyes csoportok birtokrendezésbe bevitt földjeinek értékét, és az egyes táblák értékét. Az érték mérésére ma különböző földértékelési módszereket dolgoznak ki, de jelenleg az általánosan elterjedt értékmérő a földek aranykorona értéke. Mi aranykoronában fejeztük ki a csereértékeket, de természetesen bármilyen más módon előállított csereértéket is használhatunk. Jelöljük az eladókon kívüli csoportok számát Nc-vel, a birtokrendezésbe bevont táblák számát Ntvel. A csoportok bevitt csereértékeit jelöljük Ai-vel, a táblák csereértékét Bj-vel. Vezessük be az yi,j bináris változókat, ahol a változó csak 0 vagy 1 értéket vehet fel, és 1 az értéke, ha az i-ik csoport a j-ik táblában kapja meg a csereértékének megfelelő földet, egyébként 0. Az ismeretlenek Ny száma értelemszerűen

N y = N c⋅N t A csoportokra felírhatjuk a következő korlátozó feltételt:

(1).


8/12

Nt

∑ yi , j =1

(i = 1,2,...,Nc)

(2)

j=1

ami azt fejezi ki, hogy az i-ik csoport pontosan egy táblából kaphatja meg a csereértékét. A táblákra a következő korlátozó feltételt írhatjuk fel: Nc

∑ Ai⋅y i , j B j

(j = 1, 2, …, Nt)

(3)

i=1

vagyis a j-ik táblából legfeljebb a csereértékének megfelelő mennyiségű föld osztható ki. A csoportoknak minősíteniük kell az egyes táblákat egy-egy számmal úgy, hogy a legkevésbé kedvező tábla 1 osztályzatot kapjon, a legkedvezőbb pedig Nt értéket. Ezeket az osztályzatokat jelöljük Mi,j -vel. Ebben a csoportok szubjektív megítélése szerint szerepelhet a föld minősége, a tábla elhelyezkedése, a lakóhelytől mért távolság stb. Az osztályzatokból alakíthatjuk ki a Ci,j(Mi,j) célfüggvény együtthatókat, legegyszerűbb esetben Ci,j(Mi,j)=Mi,j. Ezeket a kívánságokat figyelembe vehetjük egyenlő súlyokkal is, de a gyakorlatban a kisebb birtokkal rendelkezők és a tanyatulajdonosok igényeit nagyobb súllyal szokás figyelembe venni. A tapasztalataink alapján nem célszerű nagy súlykülönbségeket kialakítani, a példánkban csak maximum 20% eltérést engedtünk meg:

 i =4

i Nc

(i = 1,2,...,Nc)

(4)

ahol i a csoportok aranykorona érték szerint csökkenő sorba rendezése szerinti sorszámokat jelöli. A célfüggvény ezek után a következő módon írható fel: Nc

Nt

i=1

j=1

z=∑ i⋅∑ C i , j M i , j ⋅y i , j  max

(5)

A megoldandó feladat a fenti feltételekkel egy nulla – egy lineáris programozási feladatot eredményez, csak egy kicsit át kell alakítani, hogy a szokásos formában írhassuk fel. Először vezessük be az x nulla-egy értékű Ny elemű vektorváltozót az yi,j változók sorba rendezésével. Ezután a (3) egyenlőtlenségeket a megfelelő együtthatók átvételével és a többi helyen 0 alkalmazásával egyszerűen átírhatjuk:

a ' j⋅xB j

(j = 1, 2, …, Nt)

(6)

Mivel az algoritmusok általában felsőkorlátos formában megadott korlátozó feltételekre vannak kidolgozva, a (2) összefüggést is ennek megfelelően kell átalakítanunk:

d ' i⋅x1 −d ' i⋅x−1

(i = 1,2,...,Nc)

(7)

A (6) és (7) korlátozó feltételeket mátrixos írásmóddal a szokásos alakban írhatjuk fel:

A⋅xb

(8)

A célfüggvényt átalakítva kapjuk:

z=c '⋅x  max

(9)

Most már a szokásos formában felírt nulla-egy értékű lineáris programozási feladatunk van, viszonylag nagy számú ismeretlennel. A konkrét példánkban 125 ismeretlen és 55 korlátozó feltétel szerepel. Az ilyen jellegű feladatok megoldására kombinatorikus algoritmusokat szokás alkalmazni, a két leggyakrabban alkalmazott módszer a korlátozás és szétválasztás algoritmusa és az implicit leszámlálás algoritmusa. Mi az utóbbit választottuk a feladatunk megoldására. A módszer részletes ismertetése megtalálható az [5], [6] művekben. Az algoritmus alapgondolata, hogy az x vektor minden lehetséges értékét megvizsgálva kiválasztható a legnagyobb célfüggvényértéket eredményező optimális változat. Természetesen minden lehetséges változat tényleges vizsgálata


9/12

túlságosan sok időt igényelne, ezért arra törekszünk, hogy megfelelő lehetségességi és feltételes lehetségességi próbák alkalmazásával a változatok igen nagy részéről tényleges vizsgálat nélkül eldöntsük, hogy nem tartalmazhatják az optimális megoldást. Így viszonylag kevés számú változat tényleges vizsgálatára van csak szükség. Ha a vizsgálatok során találunk olyan lehetséges megoldást, ami az eddig ismert megoldásoknál nagyobb célfüggvényértéket ad, akkor azt tároljuk, mint az addig megismert legjobbat. Az algoritmus akkor ér véget, ha (implicit módon) az összes lehetséges megoldást megvizsgáltuk. Az algoritmus egyik jellemzője, hogy fokozatosan egyre jobb megoldások kerülnek tárolásra. Általában az optimális megoldás megtalálásához viszonylag kevés idő is elegendő, az idő legnagyobb részét az optimalitás igazolása (még jobb változatok keresése) teszi ki.

6. Az optimalizálási feladat megoldása A kialakított mintapéldát több célfüggvény változattal is lefuttattuk, és az eredmények értékelése során megállapítottuk, hogy nagyon jó eredményeket kaptunk, magas célfüggvény értékekkel, tehát a tulajdonosok átlagosan nagyon jó minősítést adtak volna az optimális megoldásra. A minősítést az alapján végeztük, hogy az egyes tulajdonoscsoportok nyilván az alapján ítélnék meg a megoldást, hogy a saját céljaik mennyire valósultak meg, tehát mekkora Mi,j érték tartozik a nekik kiosztott földhöz. A kiinduló adatokat az 1. táblázat tartalmazza:

Csoport

Aranykorona

Táblák minősítése (Mij) T1

T2

T3

T4

T5

1

1464.18

5

1

2

3

4

2

1203.85

3

2

1

4

5

3

1868.53

5

1

2

3

4

4

1076.46

4

1

2

3

5

5

671.60

5

1

3

2

4

6

782.91

5

1

2

3

4

7

715.72

5

1

3

2

4

8

224.71

5

4

3

2

1

9

62.43

1

5

4

3

2

10

58.31

1

2

3

4

5

11

370.41

1

5

4

3

2

12

74.33

1

2

3

4

5

13

255.78

1

5

4

3

2

14

54.37

1

2

3

4

5

15

201.89

5

4

3

2

1

16

114.57

3

1

2

4

5

17

429.28

2

1

3

4

5

18

13.45

3

4

5

2

1

19

69.67

1

2

3

4

5

20

6.89

2

4

5

3

1

21

110.88

1

2

3

4

5

22

25.49

4

5

3

2

1

23

47.55

1

2

3

4

5

24

264.58

5

4

3

2

1

25

239.09

5

4

3

2

1

26

-126.45

0

0

0

0

0

1. táblázat Az átlagosan jó megítélés azonban azt is jelentette, hogy előfordult 1 illetve 2 minősítés is, és ezek a tulajdonosok elégedetlenek lennének, vagy elfogadhatatlannak tartanák az egyébként jó eredményt. Ezek miatt az eredmények miatt olyan célfüggvényt kellett keresni, amelyik az általános elégedettség mellett azt is biztosítja, hogy az elégedetlen csoportok száma minél kisebb legyen. Így a következő célfüggvényt alkalmaztuk a végleges változatban:


C i , j  M i , j =2

N T −1

−2

N T− j

10/12

(10)

Az így kialakított célfüggvény együtthatók azt eredményezik, hogy a célfüggvény értéke azzal növelhető a leghatékonyabban, ha a leggyengébb minősítésű besoroláson javítunk, ezért remélhetjük, hogy az optimális változatot a lehető legtöbb tulajdonos minősíti majd legalább elfogadhatónak.

8. ábra A 8. ábrán láthatjuk az optimális változat szerinti parcellázási tervet. Az ábrán fehérrel jelölt földrészletek az eladók illetve a Nemzeti Földalap tulajdonában lévő földterületek. Ezeket, különösen a kisebb területűeket igény esetén célszerű a táblába beosztott csoportoknak eladásra felkínálni. Így még kedvezőbb méretű és alakú parcellák alakulhatnak ki. A változat minősítése az elképzelésünknek megfelelően alakult:


11/12

Minősítő szám (Mij)

Földrészletek darabszáma

5

14

4

8

3

3

2

0

1

0

Nem minősített

5 2. táblázat

9. ábra A 9. ábrán a kiosztott parcellák minősítése látható, a fehér 0 értékű területek itt is az eladó, minősítésre nem kerülő területek. A kapott optimális változat valószínűleg kedvező fogadtatásra találna a tulajdonosok részéről is. Természetesen nem szükségszerű, hogy a kiinduló táblák kerüljenek kiosztásra. Nagyobb


12/12

összefüggő területre, vagy egy község teljes külterületére kiterjedő birtokrendezés esetén is használható a módszer. Kiindulásként az eredeti földrészletek adatait használhatjuk, majd a tájrendezési, úttervezési munkák után kialakított új táblák adatait használhatjuk a felosztási feladat adatainak meghatározására. Az alkalmazhatóság feltétele, hogy az igényelt földterületek elférjenek a kiosztásra kerülő táblákban. Ha az igények nagyobbak, mint a kiosztható földterület, akkor kártalanítással, az igények arányos csökkentésével még mindig biztosítható a megoldhatóság.

7. Összefoglalás Dolgozatunkban a birtokrendezés egy kevéssé vizsgált feladatával foglalkoztunk, a parcellázási terv kialakításával. Az irányelvek ismeretében jó műszaki érzékkel a feladat általában megoldható, viszont a szakmai szempontból jól kidolgozott tervek nem mindig találkoznak a tulajdonosok megelégedésével. Ezért egy olyan optimalizálási feladatot dolgoztunk ki, ami fő céljául a tulajdonosok igényeinek minél szélesebb körű kielégítését célozta meg. A problémát 0,1 változós lineáris programozási feladatként fogalmaztuk meg, és megoldó algoritmust kerestünk hozzá. A megoldó módszert egy erre a célra kidolgozott mintapéldán teszteltük. A kapott eredmények elemzése alapján megállapítottuk, hogy az algoritmus jól használható a birtokrendezési munkák során. Használata a feladat automatizálásán túl feltételezhetően a tulajdonosok elfogadási készségét is növeli, így gazdaságosabbá és eredményesebbé teszi a mérnöki munkát.

Irodalomjegyzék 1. Törvényjavaslat az általános birtokrendezésről Agrár hírlevél 2001. évi 9. szám http://www.zom.hu/agrar_hirlevel_0109_3.htm 2. Dr. Remetey-Fülöpp Gábor: Müncheni Nyilatkozat: a birtokrendezés mint a vidékfejlesztés eszköze Közép- és Kelet-Európa országaiban. 2002. A 2. Kaposvári Térinformatikai Konferencián elhangzott ismertető előadás nyomán, Tóth Mária (FVM FTF) fordítása felhasználásával. www.fomi.hu/hunagi/pdf/recommended/LCdeclarationMunich.pdf 3. Riegler Péter: Vidékfejlesztés? Birtokrendezés? GIS Open konferencia 2002. http://geoweb.cslm.hu/vhost/gisopen/cd_2002/dokumentum/doc_html/Riegler_P.htm

4. Gáspár Péter: Birtokrendezési feladatok modellezése 2002. http://www.agt.bme.hu/public_h/gaspar/birtok.htm 5. Forgó Ferenc: Nemkonvex és diszkrét programozás. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó Budapest, 1978. 6. Kósa András (szerk): Optimumszámítási modellek Műszaki Könyvkiadó Budapest, 1979. 7. TNT Lite dokumentáció

Birtokrendezési feladatok megoldása matematikai programozással1

Recommend Documents