Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név:
Nept. kód:
Id˝o:
1. f.
2. f.
3. f.
4. f.
5. f.
6. f.
Össz.:
Oszt.:
180 perc
0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont: közepes, 74-85 pont: jó, 86-100 pont: jeles
x2 + 1 1. Legyen f (x) = 2 . x −1 a) Írja fel R legb˝ovebb részhalmazát, amelyen f értelmezhet˝o!
2 pont
b) Számítsa ki a lim f (x), lim+ f (x) és lim− f (x) határértékeket!
3 pont
c) Határozza meg a függvény lokális széls˝oértékhelyeit és széls˝oértékeit!
4 pont
d) Injektív-e ez a függvény?
2 pont
x→∞
x→1
x→1
2. Legyen H = {1, 3, 5, 7} a) Hány eleme van a H halmaz hatványhalmazának?
3 pont
b) Hányféleképpen lehet sorbarendezni H elemeit?
3 pont
c) Hány H → H függvény van?
3 pont
d) Igazolja, hogy (H; ⊗8 ) csoport!∗ e) Sorolja fel a (H; ⊗8) csoport! összes részcsoportját!
5 pont
y′′ − 12y′ + 35y = 70x − 59
3.
∗
5 pont
a) Írja fel a fenti differenciálegyenlethez rendelt homogén egyenletet és adja meg annak általános megoldását!
4 pont
b) Igaz-e, hogy a homogén egyenlet megoldásai a szokásos függvényösszeadásra és konstanssal való szorzásra nézve lineáris teret alkotnak?
6 pont
c) Adjunk meg olyan lineáris függvényt, ami a fenti differenciálegyenletnek partikuláris megoldása!
5 pont
⊗8 a mod 8 szorzást jelenti.
d) Lineáris teret alkotnak-e az inhomogén egyenlet megoldásai a szokásos függvényösszeadásra és konstanssal való szorzásra nézve?
2 pont
x2 + y2 f (x, y) = xy
4.
a) Ábrázolja az xy-koordinátarendszerben azokat a pontokat, ahol az f függvény nem értelmezhet˝o!
4 pont
b) Van-e az f függvénynek zérushelye?
2 pont
c) Ábrázolja derékszög˝u koordinátarendszerben a függvény c = 2 értékhez tartozó szintvonalát!
6 pont
d) Határozza meg és ábrázolja derékszög˝u koordinátarendszerben az értelmezési tartomány azon helyeit, ahol f mindkét parciális deriváltja 0.
5 pont
6 pont
e) Integrálja az f függvényt a T = nyon! 5.
x, y | 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2 tartomá-
a) Igazolja teljes indukcióval a következ˝o egyenl˝oséget: 1+ 2+ 3+ ...+ n =
n(n + 1) 2
b) Adjuk meg zárt alakban az 1+
6 pont
5 pont
1 1 1 + + ...+ + ... 1+2 1+2+3 1+ 2+ ...+ n
numerikus sor n-edik részletösszegét! c) Konvergens-e a fenti numerikus sor? Ha igen akkor határozza meg az összegfüggvényét!
3 pont
6. Értelmezzük a ϕ transzformációt a következ˝oképpen: ϕ:
R3 → R3 ,
ϕ(x) = a × x,
ahol a(1, 1, 1) és a × m˝uvelet a vektoriális szorzás. a) Igazoljuk, hogy a ϕ transzformáció lineáris!
4 pont
b) Írja fel a transzformáció mátrixát!
4 pont
c) Van-e a transzformációnak inverze?
3 pont
d) Határozza meg a transzformáció sajátértékeit és sajátvektorait!
5 pont
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. jún. 2. Név:
Nept. kód:
Id˝o:
1. f.
2. f.
3. f.
4. f.
5. f.
6. f.
Össz.:
Oszt.:
180 perc
0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont: közepes, 74-85 pont: jó, 86-100 pont: jeles
1. Legyen f :
2.
3.
[−3, 3] → R,
f (x) = x4 − 8x2 .
a) Milyen szimmetria-tulajdonsága van f -nek?
3 pont
b) Határozza meg f zérushelyeit!
3 pont
c) Határozza meg a függvény lokális széls˝oértékhelyeit és széls˝oértékeit!
8 pont
d) Szürjektív-e ez a függvény?
2 pont
√ a) Oldja meg a komplex számok körében a z3 = −4 + 4 3 j egyenletet! A gyököket írja fel mindhárom alakban és ábrázolja Gauss-féle számsíkon!
8 pont
b) Csoportot alkot-e a fenti egyenlet megoldáshalmaza a komplex számok szorzására nézve?
3 pont
c) Az (({e, a, b} ; ◦) struktúra csoport, melynek egységeleme e. Írja fel a csoport m˝uveleti tábláját!
6 pont
y′ − 2y = 2 sin x − cos x − 2x + 1 a) Határozza meg a fenti differenciálegyenlet általános megoldását! b) Értelmezzünk az els˝orend˝u, lineáris differenciálegyenletek halmazán egy relációt: Két differenciálegyenlet relációban van egymással, ha van közös megoldásuk. Relációban van-e a fenti differenciálegyenlettel az
10 pont 4 pont
y′ + y = 6e2x − sin x − cos x + x + 1 differenciálegyenlet? c) Ekvivalencia-reláció-e az el˝oz˝o pontban értelmezett reláció?
5 pont
4.
5.
f (x, y) =
1−
x2 y2 − 9 4
a) Ábrázolja az xy-koordinátarendszerben az f függvény értelmezési tartományát!
4 pont
b) Írja fel az f függvény els˝orend˝u parciális deriváltfüggvényeit! Van-e olyan pontja f értelmezési tartományának, ahol f valamelyik változója szerint nem differenciálható?
6 pont
c) Számítsa ki a függvény P0 (1, 1) pontbeli, 45◦ -os szöghöz tartozó iránymenti deriváltját!
6 pont
∞ X k=1
6.
r
k+2 + 1)
k2 (k
a) Határozza meg a fenti sor harmadik részletösszegét!
3 pont
b) Igazolja teljes indukcióval, hogy a sor n-edik részletösszege kisebb, mint 1 3− . n
8 pont
c) Konvergens-e a fenti numerikus sor?
3 pont
a) Létezik-e olyan egyszer˝u gráf amelyben a csúcsok fokszámai a következ˝ok: i) 1,1,2,3,4,5,6,7,7,7 ii) 1,2,3,6,6,6 iii) 2,2,2,3,3,4
6 pont
b) Egy fa Prüfer-kódja 3,1,1,5,2,2. Állítsa el˝o ennek alapján a fát!
6 pont
c) Igazolja, hogy egy fában bármely két pont között pontosan egy út van!
6 pont
