Metode Least Square untuk Analisis Harmonik Secara umum metode Least Square mencari koefisien sebuah rumus yang diharapkan dapat mendekati suatu gejala di lapangan semaksimal mungkin. Dengan demikian metode ini selalu berpasangan dengan sebuah model persamaan yang diusulkan (telah dipilih) untuk mendekati suatu data hasil pengukuran lapangan atau bahkan sebuah persamaan diferensial parsial. Dalam bidang Analisis Harmonik untuk memisahkan gelombang pasang surut terukur menjadi komponen-‐komponennya atau tidal constituent, metode ini mencari nilai amplitudo dan phase lag (fase) yang paling sesuai untuk masing-‐masing komponen pasang-‐surut yang dilibatkan (dianggap penting). Amplitudo dan fase tiap komponen ini sebenarnya adalah koefisien dari fungsi yang diusulkan dapat mendekati fenomena. Dalam Metode Least Square, “kesesuaian” dengan data lapangan diartikan dengan keadaan dimana integral kuadrat nilai selisih elevasi muka air hasil hitungan dan pengukuran minimal (“least of square of error”). Teori Harmonik pada Pasang-‐Surut Pada Teori Harmonik gelombang pasang-‐surut, yang jika ditinjau pada suatu tempat, merupakan perubahan elevasi muka air dari waktu ke waktu. Dalam Teori Spektrum Gelombang diasumsikan bahwa gelombang yang terjadi merupakan integral dari gelombang sinusiodal dengan variasi periode gelombang menerus. Amplitudo dan fase gelombang-‐gelombang sinusoidal merupakan fungsi frekuensi atau periodenya atau dengan kata lain dua parameter tersebut bervariasi terhadap frekuensi dan fase gelombang-‐gelombang yang menyusun gelombang terukur.
a(f1)
α(f2)
= + +
η(t)
f1 f2 f3 t
t
2a(f)
f1
Gambar 1. Konsep spektrum gelombang.
f2 f3
f
Dalam Teori Harmonik, gelombang pembentuk sudah ditentukan periodenya yaitu komponen-‐ komponen pasang-‐surut yang diturunkan dari pemahaman gerakan-‐gerakan relatif antara Bumi, Bulan dan Matahari, seperti S2 dengan periode 12 jam, M2 dengan periode 12 jam 25 menit, dst. Sehingga permasalahannya tinggal mencari amplitudo dan fase tiap komponen yang diperkirakan berpengaruh secara signifikan.
η(t) t
2a(f)
fO1 fP1 fK1
fM2 f N2 fS2
fMN4
f
Gambar 2. Pemisahan data pasang-‐surut menjadi harmoniknya. Gerakan naik turunnya muka air laut atau pantai pada suatu tempat dapat diparameterisasi sebagai fungsi pasang-‐surut muka air laut, sebuah variabel elevasi muka air, yang bervariasi terhadap waktu. Fungsi pasang surut muka air (elevasi muka air yang berubah dari waktu ke waktu) yang diperoleh dari pengukuran di lapangan ini dapat disimbolkan dengan η(t). Fungsi yang mendekati (approximating function), dapat disimbolkan dengan γ(t), tersusun dari hasil penjumlahan urunan komponen-‐komponen pasang surut yang dilibatkan. Jadi γ(t) dibuat untuk sedekat mungkin dengan η(t). Sesuai Teori Harmonik,
γ(t)
η(t)
t Gambar 3. Analisis pemisahan harmonik gelombang pasang-‐surut adalah mendekati fungsi hasil pengukuran, η(t), dengan fungsi pendekat. γ(t), yang merupakan gabungan gelombang-‐ gelombang harmonik yang diperkirakan signifikan.
Fungsi pendekat, η(t),dapat dirumuskan sebagai berikut ini. N
γ (t ) = γ 0 + ∑ γ i cos(ωi t − α i ) i =1
Dalam persamaan tersebut, dua parameter yang tidak diketahui adalah γ dan α . Dua parameter lainnya, yaitu γ elevasi muka air rerata dan ω , frekuensi sudut (angular frequency) tiap komponen pasang-‐susut diketahui atau dapat dihitung sebagai berikut ini. ι
0,
ι
ι
γ0 =
1 N 2π η (ti ); ωi = ∑ N i=1 Ti
Parameter T adalah periode komponen pasang-‐surut dan indeks i adalah nomor komponen pasang-‐ surut yang disertakan dalam analisis. Metode Least Square meminimisasi beda antara fungsi hasil pengukuran dan fungsi pendekat. Fungsi beda, ε(t) dapat dirumuskan sebagai berikut.
ε (t ) = γ (t ) − η (t ) Meminimisasi fungsi beda dapat dilakukan dengan mengubah-‐ubah nilai parameter yang tidak diketahui yaitu γ dan α sampai ditemukan nilai terrendah. Karena beda merupakan fungsi waktu, maka “beda terendah” harus merupakan satu besaran atau angka skalar saja yang merepresentasikan pengertian kedekatan dua fungsi tersebut. Banyak cara untuk merepresentasikan kedekatan dua fungsi satu dimensi (dengan satu variabel bebas, dalam kasus ini adalah waktu, t), sebagai contoh “dekat” dapat direpresentasikan dengan nilai absolut beda maksimum dua fungsi tersebut (cara Kolmogorov), integral nilai absolut fungsi beda, integral kuadrat fungsi beda (integral of square error), root mean square of error (RMS of error), dll. Metode Least Square menggunakan integral kuadrat fungsi beda untuk mendeteksi apakah dua fungsi tersebut sudah paling dekat. Jika integral ini disimbolkan dengan E, dan parameter yang diubah-‐ubah untuk mendapatkan nilai E yang minimum adalah γ dan α , maka rumusan minimisasi dapat ditulis sebagai berikut. ι
ι
ι
ι
t =t selesai 2
min E (γ i ,α i ) =
∫ ε (t )dt
t =t mulai
Dari teori optimasi, tempat (pada koordinat γ dan α ) di mana nilai E minimum atau maksimum adalah tempat di mana perubahan kecil pada γ dan α , hampir tidak memberikan perubahan pada nilai E. Dalam matematika, tempat tersebut adalah tempat di mana turunan E terhadap dua parameter bebas tersebut bernilai nol. Sehingga nilai minimum E adalah di nilai γ dan α , yang memberikan “kemiringan” permukaan kurva banyak dimensi E sama dengan nol. ι
ι
ι
ι
ι
ι
Mengingat data pengukuran adalah fungsi discrete (data ada pada waktu-‐waktu pengukuran saja, misalnya hanya pada tiap jam atau setengah jam saja), maka integral di atas menjadi penjumlahan (summation). Sehingga rumusan minimisasi menjadi, N
[
]
min E (γ i ,α i ) = ∑ ε (t j ) Δt j =1
2
Selanjutnya untuk mencari γ dan α yang memberikan E minimum terdapat persamaan-‐persamaan ι
ι
yang harus dipenuhi sebagai berikut.
∂E = 0, ∂γ i
∂E = 0; i = 1,2,3,, M ∂α i
M adalah jumlah komponen pasang-‐surut yang diperhitungkan. Jumlah persamaan adalah 2 kali M. Untuk mengurangi kerumitan hitungan, elevasi muka air rerata, γ0 yang juga sama dengan η0 dikurangkan pada data elevasi pengukuran maupun fungsi pendekatnya. M
η j = η (t j ) − η 0 ; γ j = γ (t j ) − γ 0 ; γ j = ∑ γ i cos(ωi jΔt − α i );
j = 1,2,3,, N ; i = 1,2,3,, M
i =1
Fungsi beda dapat ditulis secara rinci sebagai berikut ini.
⎡ M
⎤
⎣ i =1
⎦
ε j = ⎢∑ γ i cos(ωi jΔt − α i )⎥ − η j Fungsi dekat yaitu fungsi jumlah kuadrat beda dapat ditulis sebagai berikut ini. N
2
⎡⎧ M ⎤ ⎫ E (γ i ,α i ) = ∑ ⎢⎨∑ γ i cos(ωi jΔt − α i )⎬ − η j ⎥ Δt j =1 ⎣⎩ i =1 ⎭ ⎦ Berikut ini akan didemonstrasikan metode hitungannya dengan hanya menggunakan dua komponen pasang-‐surut supaya persamaannya sederhana. Diperlukan penyelesaian empat persamaan secara
bersama-‐sama untuk M sama dengan 2. Dalam praktek diperlukan minimal empat komponen pasang-‐ surut supaya mendapatkan hasil hitungan yang realistis. Rumusan fungsi pendekat setelah dikurangi elevasi muka air rerata adalah sebagai berikut ini.
γ j = γ 1 cos(ω1 jΔt − α 1 ) + γ 2 cos(ω 2 jΔt − α 2 ) Suku yang tetap dan yang akan diubah-‐ubah untuk minimisasi perlu dipisahkan sehingga persamaan di atas diubah bentuknya sesuai kaidah trigonometri menjadi,
γ j = γ 1 cos(ω1 jΔt )cosα1 + γ 1 sin (ω1 jΔt )sin α1 + γ 2 cos(ω 2 jΔt )cosα 2 + γ 2 sin (ω 2 jΔt )sin α 2 Dengan bentuk persamaan di atas, dapat dipisahkan faktor yang tidak diketahui dan faktor yang dapat dihutung pada tiap suku ruas kanan. Untuk supaya lebih mudah diikuti faktor yang tidak diketahui dikumpulkan dan diberi simbol baru sebagai berikut ini.
A1 = γ 1 cosα1 ; B1 = γ 1 sin α1 ; A2 = γ 2 cosα 2 ; B2 = γ 2 sin α 2 Dengan demikian, diperoleh persamaan yang lebih ringkas sebagai berikut.
γ j = A1 cos(ω1 jΔt ) + B1 sin (ω1 jΔt ) + A2 cos(ω 2 jΔt ) + B2 sin (ω 2 jΔt ) Persamaan minimisasi menjadi, N
2
⎡ 2 ⎤ min E ( Ai , Bi ) = ∑ ⎢∑ {Ai cos(ωi jΔt ) + Bi sin (ωi jΔt )}− η j ⎥ Δt; i = 1,2; j =1 ⎣ i =1 ⎦
j = 1,2,3,, N
Selanjutnya untuk mencari A1, B1, A2 dan B2 yang memberikan E minimum, disusun empat persamaan yaitu persamaan di atas diturunkan terhadap A1, B1, A2 dan B2 dan masing-‐masing disamakan dengan nol sebagai berikut ini. N ∂E ⎡ 2 ⎤ = ∑ ⎢∑ {Ai cos(ωi jΔt ) + Bi sin (ωi jΔt )}− η j ⎥ cos(ω1 jΔt ) = 0 ∂A1 j =1 ⎣ i =1 ⎦ N ∂E ⎡ 2 ⎤ = ∑ ⎢∑ {Ai cos(ωi jΔt ) + Bi sin (ωi jΔt )}− η j ⎥ sin (ω1 jΔt ) = 0 ∂B1 j =1 ⎣ i =1 ⎦ N ∂E ⎡ 2 ⎤ = ∑ ⎢∑ {Ai cos(ωi jΔt ) + Bi sin (ωi jΔt )}− η j ⎥ cos(ω 2 jΔt ) = 0 ∂A2 j =1 ⎣ i =1 ⎦ N ∂E ⎡ 2 ⎤ = ∑ ⎢∑ {Ai cos(ωi jΔt ) + Bi sin (ωi jΔt )}− η j ⎥ sin (ω 2 jΔt ) = 0 ∂B2 j =1 ⎣ i =1 ⎦
Setelah diuraikan dan disusun ulang empat persamaan tersebut di atas menjadi persamaan matriks sebagai berikut ini.
⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 ⎢a31 ⎢ ⎣a41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 ⎤⎛ A1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a24 ⎥⎥⎜ B1 ⎟ ⎜ b2 ⎟ = a34 ⎥⎜ A2 ⎟ ⎜ b3 ⎟ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a44 ⎦⎜⎝ B2 ⎟⎠ ⎜⎝ b4 ⎟⎠
Dengan elemen-‐elemen matriks dan vektor ruas kanan diketahui dan dihitung dengan persamaan di bawah ini. N
N
a11 = ∑ cos(ω1 jΔt )cos(ω1 jΔt ); a12 = ∑ sin (ω1 jΔt )cos(ω1 jΔt ); j =1
j =1
N
N
j =1
j =1
N
N
j =1
j =1
N
N
j =1
j =1
N
N
j =1
j =1
N
N
j =1
j =1
N
N
j =1
j =1
N
N
j =1
j =1
a13 = ∑ cos(ω2 jΔt )cos(ω1 jΔt ); a14 = ∑ sin (ω2 jΔt )cos(ω1 jΔt ); a21 = ∑ cos(ω1 jΔt )sin (ω1 jΔt ); a22 = ∑ sin (ω1 jΔt )sin (ω1 jΔt ); a23 = ∑ cos(ω2 jΔt )sin (ω1 jΔt ); a24 = ∑ sin (ω2 jΔt )sin (ω1 jΔt ); a31 = ∑ cos(ω1 jΔt )cos(ω2 jΔt ); a32 = ∑ sin (ω1 jΔt )cos(ω2 jΔt );
a33 = ∑ cos(ω2 jΔt )cos(ω2 jΔt ); a34 = ∑ sin (ω2 jΔt )cos(ω2 jΔt ); a41 = ∑ cos(ω1 jΔt )sin (ω2 jΔt ); a42 = ∑ sin (ω1 jΔt )sin (ω2 jΔt ); a43 = ∑ cos(ω2 jΔt )sin (ω2 jΔt ); a44 = ∑ sin (ω2 jΔt )sin (ω4 jΔt );
N
N
N
N
j =1
j =1
j =1
j =1
b1 = ∑η j cos(ω1 jΔt ); b2 = ∑η j sin (ω1 jΔt ); b3 = ∑η j cos(ω2 jΔt ); b4 = ∑η j sin (ω2 jΔt ); Setelah A1, B1, A2 dan B2 diperoleh, nilai γ , α , γ dan α , dapat dihitung dengan melalui pemahaman diagram berikut ini. 1
1
2
2
A1
γ
α
γ1 α1
B1
γ2 α2
B2
A2
A1 = γ 1 cosα1 ; B1 = γ 1 sin α1 ; A2 = γ 2 cosα 2 ; B2 = γ 2 sin α 2 Gambar 4. Diagram representasi parameter komponen pasang-‐surut yang dicari. Dari diagram di atas dapat diturunkan persamaan-‐persamaan untuk menghitung nilai γ , α , γ dan α seperti di bawah ini. 1
⎛ Bi ⎞ ⎟⎟ ⎝ Ai ⎠
γ i = Ai 2 + Bi 2 ; α i = arctan⎜⎜
Hitungan dapat dilakukan dengan spread sheet atau dengan program komputer.
1
2
2
