Matematikai statisztika
Norm´ alis eloszl´ as
ξ val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o norm´ alis eloszl´ as´ u. ξ ∼ N µ, σ 2
Param´eterei: µ: v´arhat´o ´ert´ek, σ 2 : sz´or´ asn´egyzet (µ tetsz˝oleges, σ 2 tetsz˝oleges pozit´ıv val´ os sz´am)
Norm´alis eloszl´as s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye: (t−µ)2 1 − f (t) = √ · e 2σ2 σ 2π
Norm´alis eloszl´asf¨ uggv´eny: 1 F (t) = √ · σ 2π
Zt e−
(t−µ)2 2σ 2
−∞
Norm´alis eloszl´as v´arhat´o ´ert´eke: E (ξ) = µ
Norm´alis eloszl´as sz´or´asn´egyzete: V ar (ξ) = σ 2
Norm´alis eloszl´as negyedik centr´alis momentuma: 4 µ4 = E (ξ − E (ξ)) = 3 · σ 4
Matematikai statisztika
Beta eloszl´ as
ξ val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o Beta eloszl´ as´ u. ξ ∼ Beta (N − k + 1, k + 1) N + 1 darab [0, 1]-ben egyenletes eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ o k¨oz¨ ul a nagys´ag szerinti k + 1-edik eloszl´asa Beta eloszl´as s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye: f (t) = ´es f (t) = 0,
(N + 1)! tk (1 − t)N −k (N − k)! · k!
ha
0≤t≤1
ha t < 0 vagy 1 < t (N ´es k pozit´ıv eg´esz, k ≤ N ).
Beta eloszl´as v´arhat´o ´ert´eke: E (ξ) =
k+1 N +2
Beta eloszl´as sz´or´asn´egyzete: V ar (ξ) =
(N − k + 1) · (k + 1) (N + 3) · (N + 2)2
Matematikai statisztika
Binomi´ alis eloszl´ as
ξ val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o N -ed rend˝ u, p param´eter˝ u binomi´ alis eloszl´ as´ u ξ ∼ B (N, p) (N pozit´ıv eg´esz, k nemnegat´ıv eg´esz, k ≤ N , 0 ≤ p ≤ 1) P (ξ = k): annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy egy p val´ osz´ın˝ us´eg˝ u esem´eny N f¨ uggetlen megfigyel´esben pontosan k alkalommal fordul el˝o. P (ξ = k) =
N k
pk (1 − p)N −k
A binomi´alis eloszl´as v´arhat´o ´ert´eke: E (ξ) = N p
A binomi´alis eloszl´as sz´or´asn´egyzete: V ar (ξ) = N p(1 − p)
Matematikai statisztika
Exponenci´ alis eloszl´ as
ξ val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o λ-param´eter˝ u exponenci´ alis eloszl´ as´ u. (λ > 0) ξ val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye. f (t) =
0 λe−λt
,ha t ≤ 0, ,ha t > 0.
ξ val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´asf¨ uggv´enye. F (t) =
0 1 − e−λt
,ha t ≤ 0, ,ha t > 0.
Az exponenci´alis eloszl´as v´arhat´o ´er´eke: E (ξ) =
1 λ
Az exponenci´alis eloszl´as sz´or´asn´egyzete: V ar (ξ) =
1 λ2
Teh´at az exponenci´alis eloszl´as sz´or´asa ´es v´arhat´o ´ert´eke megegyezik.
Matematikai statisztika
Gamma eloszl´ as
ξ val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o (λ,K)-param´eter˝ u Gamma eloszl´ as´ u, (ahol λ > 0 val´os sz´am, K ≥ 1 eg´esz sz´am): K darab f¨ uggetlen λ param´eter˝ u exponenci´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o ¨osszege. A gamma eloszl´as s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye: fK (t) =
0 λK (K−1)!
−λt
·t
E(ξ) =
K λ
·e
K−1
A gamma eloszl´as v´arhat´o ´ert´eke:
A gamma eloszl´as sz´or´asn´egyzete: V ar(ξ) =
K λ2
,ha t ≤ 0, ,ha t > 0.
Matematikai statisztika
Lognorm´ alis eloszl´ as
A ξ val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o lognorm´ alis eloszl´ as´ u, ha ξ e alap´ u logaritmusa (azaz log ξ) norm´alis eloszl´as´ u. A lognorm´alis eloszl´asf¨ uggv´eny, ha t > 0:
F (t) =
1 √ σ 2π
logt Z (t−µ)2 − · e 2σ2 dt −∞
A lognorm´alis eloszl´as s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye: ( f (t) =
0 1 √ tσ 2π
·e
(logt−µ)2 − 2σ 2
,ha t ≤ 0, ,ha t > 0.
A lognorm´alis eloszl´as v´arhat´ o ´ert´eke: 2
µ+ σ2
E(ξ) = e
A lognorm´alis eloszl´as sz´or´asn´egyzete: V ar(ξ) = e
2µ+σ 2
· e
σ2
−1
Matematikai statisztika
Khi-n´ egyzet eloszl´ as
K sz´am´ u standard norm´alis eloszl´as´ u f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o n´egyzet´enek ¨osszeg´et K szabads´agfok´ u χ2 -eloszl´ as´ unak nevezz¨ uk: 2 χ2 = ξ12 + ξ22 + . . . + ξK ,
ahol ξ1 , ξ2 , . . . , ξK ∼ N (0, 1) eloszl´as´ u f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ ok. A K szabads´agfok´ u χ2 -eloszl´as s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye: ( fK (t) =
0
,ha t ≤ 0,
K t t 2 −1 ·e− 2 K 2 2 ·Γ K 2
( )
,ha t > 0.
A K szabads´agfok´ u χ2 -eloszl´as v´arhat´o ´ert´eke: E χ2 = K
A K szabads´agfok´ u χ2 -eloszl´as sz´or´asn´egyzete: V ar χ2 = 2K
Matematikai statisztika
Hipergeometrikus eloszl´ as
A ξ val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o hipergeometrikus eloszl´ as´ u, ha B W · N −b b P (ξ = b) = T N
A param´eterek jelent´ese: N k¨ ul¨onb¨oz˝o elemet v´alasztunk ki a T elemsz´am´ u alapsokas´ag´ol. Az alapsokas´ag B darab fekete ´es W darab feh´er elemb˝ ol ´all ´es T = B + W . ξ azt jel¨oli, hogy a kiv´alasztott elemek k¨oz¨ott h´any fekete van, lehets´eges ´ert´ekei b = 0, 1, 2, . . . , N Hipergeometrikus eloszl´as v´arhat´ o ´ert´eke: E (ξ) = N · p,
ahol p =
B T
Hipergeometrikus eloszl´as sz´or´asn´egyzete: N −1 V ar (ξ) = N p (1 − p) · 1 − T −1
Matematikai statisztika
Poisson eloszl´ as
A ξ val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o λ-param´eter˝ u Poisson eloszl´ as´ u, ha ξ lehets´eges ´ert´ekei a nem negat´ıv eg´esz sz´amok ´es: P (ξ = k) =
λk −λ ·e k!
(k = 0, 1, 2, . . .) .
A Poisson eloszl´as v´arhat´o ´ert´eke: E (ξ) = λ
A Poisson eloszl´as sz´or´asn´egyzete: V ar (ξ) = λ
Teh´at a Poisson eloszl´as v´arhat´ o ´ert´eke ´es sz´or´ asn´egyzete megegyezik.
Matematikai statisztika
Egyenletes eloszl´ as
A ξ val´osz´ın¨ us´egi v´altoz´o folytonos egyenletes eloszl´ as´ u az (a, b) intervallumban (a < b). Az egyenletes eloszl´as s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye: f (t) =
1 b−a
,ha a < t < b, ,egy´ebk´ent.
0
,ha t ≤ a, ,ha a < t < b, ,ha t ≥ b.
0
Az egyenletes eloszl´asf¨ uggv´eny: ( F (t) =
t−a b−a
1
Az egyenletes eloszl´as v´arhat´ o ´ert´eke: E (ξ) =
a+b 2
Az egyenletes eloszl´as sz´or´asn´egyzete: V ar (ξ) =
1 2 · (b − a) 12
