MATEMATIKA SZERB NYELVEN

ÉRETTSÉGI VIZSGA

●

2012. május 8.

Matematika szerb nyelven

középszint Javítási-értékelési útmutató 1111

MATEMATIKA SZERB NYELVEN

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM

Matematika szerb nyelven — középszint

Javítási-értékelési útmutató

Важне информације Формални захтеви: 1. Задатак треба исправити хемијском оловком другачије боје од оне коју користи кандидат, а грешке, недостатке итд. обележити одговарајући наставничкој пракси. 2. Међу сивим правоугаоницима који су поред задатака у првом је максималан број бодова за тај задатак, а у други наставник уписује постигнут број бодова за тај задатак. 3. У случају потпуно исправног решења (без грешке) у одговарајући правоугаоник је довољно уписати максималан број бодова. 4. У случају решења са недостатком/грешком, молимо да се на задатак напише појединачи делимични број бодова. 5. Осим скица (цртежа), делове који су написани графитном оловком наставник не може да вреднује (оцењује). Садржајни захтеви: 1. Код појединих задатака смо дали бодовање за више начина решавања. Уколико се нађе тачно решење различито од наведених, потражите у упутству делове који се подударају и на основу тога извршите бодовање! 2. Бодови у упутству се могу даље разложити. Међутим, број бодова који се додељује може бити само цео број. 3. У случају тачног поступка решавања и коначног решења максималан број бодова се даје и онда ако је код кандидата опис из упутства дат са мање детаља. 4. Ако у решењу има рачунске грешке, нетачности, бодови се не дају само на онај део где је ученик начинио грешку. Ако са погрешним делимичним резултатом даље ради тачним поступком, а проблем за решавање се у суштини не мења, додељују му се даљи делимични бодови. 5. У случају принципијелне грешке у оквиру једне мисаоне целине (у упутству означено двоструком линијом) ни за формално тачне математичке поступке се бодови не додељују. Уколико ученик наставља са радом и као почетни податак узима лоше решење које је добио због принципијелне грешке, а даље тачно рачуна у следећој мисаоној целини или делу питања, онда за тај део добија максималан број бодова, уколико се проблем за решавање у суштини није променио. 6. Ако се у упутству за решавање у загради налази нека напомена или нека мерна јединица, у случају њиховог недостатка се решење сматра да има потпуну вредност. 7. Од више тачних покушаја решења за један задатак вреднује се она варијанта коју је кандидат означио. 8. За решења се наградни бодови (бодови који прелазе прописани максимални број за дати задатак или његов део) не могу доделити. 9. За делимичне прорачуне који су са грешкама али их кандидат при решавању задатка није искористио не одузимају се бодови. 10. Од означених задатака у испитном делу II/Б се од 3 задатка вреднују само решења за 2 задатка. Кандидат је уписао у квадрат – вероватно – редни број задатка чије вредновање неће ући у укупан број бодова. Према томе, евентуално дато решење за означени задатак ни не треба исправљати. Ако није једносмислено јасно за који задатак кандидат не жели да се бодује, онда ће задатак који се не бодује аутоматски бити онај који је последњи по истакнутом редоследу.

írásbeli vizsga 1111

2 / 13

2012. május 8.



I. 1.

x − 3 = 20

1 бод

x = 23

1 бод образложења се дају оба

И за одговор без бода.

Укупно:

2 бода

Укупно:

Ако се из одговора не 2 бода види да су a и b вектори, даје се само 1 бод. 2 бода

Укупно:

2 бода 2 бода

Слово под којим се налази функција g : B. Нула функције: ( x =) − 1. Укупно:

2 бода 1 бод 3 бода

2. a+b

3.

x = −3

4.

5. Број могућности је 15. Укупно:

⎛6⎞ 2 бода Прихвата се и ⎜⎜ ⎟⎟ -! ⎝ 4⎠ 2 бода

6. Тачна скица. A z u

B x y

v w

1 бод

A ∩ B = {x; y} Укупно:

1 бод 2 бода

Укупно:

2 бода се дају и ако без формуле напише: 1 бод 50 000 ⋅1,12 . Ако добро израчуна вредност после 1 1 бод године, а затом лоше настави, добија 1 бод! 3 бода

7. t 2 = t0 ⋅ q 2

1 бод

t2 = 50 000 ⋅1,12 Вредност ороченог улога: 60 500 Ft.


3 / 13

2012. május 8.



8. За једно или два добра решења укупно 1 бод. 2 бода Ако се у решењу налазе и погрешне вредности, бод се не додељује.

Могуће вредности за y : 1; 4; 7. Укупно:

2 бода

Укупно:

1 бод 1 бод 2 бода

9. Место максимума функције: 6. Вредност максимума функције: 3.

10. На скици се налази тачно један чвор трећег степена, тачно три чвора другог степена и тачно један чвор првог степена. Укупно:

11. (x − 2 )2 + ( y + 1)2 = 5

1 бод 1 бод 1 бод 3 бода

За тачно скицу се дају сва 3 бода.

2 бода се дају и у случају да добро примењује 2 бода одговарајуће формуле из логаритамских таблица.

Центар је тачка са координатама O(2; –1) , а полупречник је 5 . Укупно:


12. A: нетачно. B: нетачно. C: тачно. Укупно:


4 / 13

1 бод 1 бод 1 бод 3 бода

2012. május 8.



II. A 13. a) 10112=11, Павлетова тврдња је нетачна. Укупно:


Укупно:


13. б) 10 = a1 + 36 a1 = −26

13. ц) први начин − 26 + (n − 1) ⋅ 4 ≥ 100

2 бода

n ≥ 32,5 ; дакле 33. члан низа. Тражени члан је a33 = 102 .

Ако у релацији нешто недостаје, даје се 1 бод.

1 бод Укупно:

1 бод 4 бода

13. ц) решење на други начин Делећи са бројем 4 у овом низу, ради се о бројевима са остатком два. Међу њима је најмањи троцифрен број 102. 10 + k .4 = 102 ; k = 23 Дакле, ради се о 10 + 23 = 33. члану низа. Укупно:

1 бод 1 бод 1 бод 1 бод 4 бода

13. д) Први одговарајући члан је a10 = 10 , а последњи

a32 = 98 , зато скуп има 22+1=23 елемента. Укупно:


5 / 13


2012. május 8.



14. a) p=

Уколико се ова мисао види

k ⎛ број повољних случајева ⎞ ⎜= ⎟ n ⎜⎝ број укупних случајева ⎟⎠

1 бод само током решавања, и онда се даје 1 бод.

1978 ≈ 12320 ≈ 0,16 p=

1 бод Укупно:

1 бод ≈16,06% 3 бода

14. б) између 18 и 60 год.

испод 18 год.

изнад 60 година

Број лечених особа које су изнад 60 година: 1978 − 138 − 633 = 1207 . За 138 особа испод 18 год. је на кружном дијаграму 138 ⋅ 360° ≈ 25o -одговарајући угао. 1978 За 633 особе између 18 и 60 год. је на круж. диј. ⎛ 633 ⎞ ⋅ 360° ≈ ⎟115° - одговарајући угао. ⎜ ⎝ 1978 ⎠ За 1207 особа преко 60 год. је на круж. дијаграму ⎛ 1207 ⎞ ⋅ 360° ≈ ⎟ 220° - одговарајући угао. ⎜ ⎝ 1978 ⎠ Тачан кружни дијаграм (одговарајући углови, натписи на кружним исечцима). Укупно:

1 бод 1 бод

1 бод

1 бод

Ако се тачан начин израчунавања углова у кружном дијаграму уопште не појављује, и у случају да су подаци добри се даје само 1 бод. Ако детаљише само један прорачун, а сва три податка су тачна, дају се 2 бода.

1 бод 5 бодова

14. ц)

Међу становницима града Недођије 12320⋅ 0,24 = = 2956,8(≈ 2957) особа су изнад 60 година. Број особа изнад 60 год. које су лечене је 1207, па 1207 (≈ 0,41) . је тражена вероватноћа: 2957 Вероватноћа се увећала за 0,41 − 0,16 = 0,25 . Укупно:


6 / 13

1 бод 1 бод прихвата се и 2956. 1 бод 1 бод 4 бода

2012. május 8.



15. Примењујући косинусну теорему у троуглу ABP :

BP2 = 6202 + 7202 − 2 ⋅ 620 ⋅ 720 ⋅ cos53° , BP ≈ 605 Угао AQB је 19º. Примењујућу синусну теорему (два пута) у троуглу ABQ :

620 AQ = , sin 19° sin 108° AQ ≈ 1811 PQ ≈ 1811 − 720 = 1091 620 BQ = , sin 19° sin 53° BQ ≈ 1521 Растојања заокружена на метре: PQ = 1091 m, BQ = 1521 m és BP = 605 m.

Ако се ова мисао види

1 бод само током решавања, и онда се даје 1 бод. 1 бод 2 бода* 1 бод Ако се ова мисао види 1 бод само током решавања, и онда се даје 1 бод.

1 бод 1 бод * 1 бод * 1 бод 1 бод * Овај бод се даје за означену мерну 1 бод * јединицу (м) у одговору.

Укупно: 12 бодова Уколико приликом прорачуна примењује правилно заокруживање које се може пратити, бодови који су означени са * се додељују и у случају да резултати одступају од тачних највише 3 метра.


7 / 13

2012. május 8.



II. Б 16. a) (Код екипе A сваки од 7 играча игра меч са својих 6 сународника, па смо тако израчунали дупли број мечева.)

7⋅6 = 21 меч. Код екипе A је одигран 2 (Екипа B има n чланова,) n ⋅ (n − 1) = 55 . па је број одиграних мечева 2 Az n2 − n − 110 = 0

позитивни корен једначине је 11 (корени су − 10 и 11).

Екипа B има 11 чланова.

1 бод

2 бода 1 бод 2 бода 1 бод

Укупно: 7 бодова

16. б) Сваки од 6 играча екипе A игра 8 мечева. У другој недељи је одиграно укупно 6·8 = 48 мечева.

Укупно:

1 бод 2 бода 3 бода

16. ц) (Уз примену класичног модела вероватноће.) бројповољнихслучајева p= бројукупнихслучајева ⎛18 ⎞ Добитнике можемо изабрати на ⎜⎜ ⎟⎟ начина. ⎝4⎠ Од 7 чланова екипе A једнога на 7 начина, од 11 чланова екипе B тројицу можемо изабрати ⎛11⎞ на ⎜⎜ ⎟⎟ начина. ⎝3⎠ (Два избора независно једно од другог.) ⎛11⎞ Број повољних случајева: 7 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝3⎠ ⎛11⎞ 7 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ 3 Тражена вероватноћа p = ⎝ ⎠ = ⎛18 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝4⎠

Ако се ова мисао види

1 бод само током решавања, и онда се даје 1 бод. 1 бод 1 бод 1 бод Ови бодови се дају и у

случају да тачно напише само број повољних случајева.

1 бод

1 бод

⎛ 7 ⋅165 ⎞ ⎜= ⎟≈ ⎝ 3060 ⎠ За тачну вероватноћу

≈ 0,377 ≈ 38%.

1 бод дату у било којем облику 1 бод.

Укупно: 7 бодова írásbeli vizsga 1111

8 / 13

2012. május 8.



17. a) Бод се даје и у случају да на крају приликом замене 1 бод открије корен који не одговара.

2 x − 1 > 0 и 2 x − 3 > 0 , дакле x > 1,5 На основу једнакости логаритама: lg(2 x − 1)(2 x − 3) = lg 8 (За логаритамску функцију важи принцип узајамно једносмислене,) па је (2 x − 1)(2 x − 3) = 8 ,

4 x 2 − 8x − 5 = 0 . значи Корени су : 5 1 x1 = и x 2 = − . 2 2

1 бод 1 бод 1 бод 1 бод

У област дефинисаности припада само x1 =

5 , па 2

1 бод

је то решење. Укупно: 6 бодова

17. б) Добијени корени једначине за cos x се поклапају са коренима једначине другог степена под a) . 5 1 ( (cos x )1 = и (cos x )2 = − ) 2 2 5 За cos x = не добијамо решење. 2 1 cos x = − 2 Једини угао који од решења 2π x = 120o = 3 , који може бити угао троугла је па је то решење задатка. Укупно:

2 бода

1 бод За било које тачно решење угла x се даје 1 бод. 1 бод Бод се не даје ако кандидат напише више углова.

4 бода

17. ц) први начин Увешћемо замену y = z , па је зато решење само 0 ≤ z . Једини позитиван корен једначине другог степена 5 4 z 2 − 8z − 5 = 0 је z = . 2 25 Тако је решење почетне једначине y = , 4 што је и решење задатка. Укупно:


9 / 13

1 бод 1 бод 1 бод

1 бод 4 бода

2012. május 8.



17. ц) други начин Обе стране једначине ћемо подићи на квадрат: 16 y 2 − 40 y + 25 = 64 y Корени једначине другог степена 25 1 y1 = 16 y 2 − 104 y + 25 = 0 су , y2 = 4 4 Замењивањем или контролом скупа вредности почетне једначине се показује да је само први корен тражено решење једначине. Укупно:

1 бод 2 бод

1 бод 4 бода

17. д) Ако се ова мисао види

Средњи број ћемо фиксирати. Редослед осталих бројева је могућ на 6! начина, дакле за седам бројева постоји 720 начина да их напишемо по редоследу на тражени начин. Укупно:


10 / 13

1 бод само током решавања, и онда се даје 1 бод. 1 бод 1 бод 3 бода

2012. május 8.



18. a) A

E

F

3m

3m 3m

B

8m

D

G

C

3m

Разумевање задатка. Површина доњег дела резервоара (површина сфере полупречника r = 3 метра): 4r 2π A 1= = 2r 2π = 2 ⋅ 32 ⋅ π = 18π (≈ 56,5) 2 Површина средњег дела резервоара (површина омотача правог ваљка полупречника основе r = 3 метра и висине m = 8 метара): A 2 = 2rπ m = 2 ⋅ 3 ⋅ π ⋅ 8 = 48π (≈ 150,8) Површина горњег дела резервоара (површина омотача праве купе полупречника основе r = 3 метра и висине m = 3 метра): Изводница купе: AB = a = 2r A 3 = raπ = 3 ⋅ 3 2 ⋅ π = 9 2 π (≈ 40 )

1 бод 1 бод

1 бод

1 бод 1 бод

Унутрашња површина: A = 18π + 48π + 9 2π = 66 + 9 2 π ≈ 247 ,33 m2 пошто по тумачењу задатка овде заокруживање треба извршити на горе, да би било довољно 1 бод материјала, тачан одговор је 248 m2 . Укупно: 6 бодова

(


)

11 / 13

Уколико изврши само математичко заокруживање, и за 247 m2 eсе даје бод.

2012. május 8.



18. б) A

A скица 1. 1. ábra

F 0,9 m 3m 3m

E

I

B E

2,1 m r’ 0,9 m

F

H B

3m

8m A скица 2. 2. ábra

G

D

C

I

3m

E

Висина резервоара: (3 + 8 + 3 = ) 14 метара. 85% од висине је: (14 ⋅ 0,85 = ) 11,9 метара, што значи да су полулопта и ваљак сасвим пуни, а у купи је вода до 0,9 метара висине. Запремина доњег дела резервоара (запремина полулопте полупречника r = 3 метра): 1 4r 3π ⎛ 2r 3π ⎞ ⎜= ⎟= V 1= ⋅ 2 3 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 2 ⋅ 33 ⋅ π (= 18π ≈ 56,5) . 3 Запремина средњег дела резервоара (запремина правог ваљка полупречника основе r = 3 метра и висине m = 8 метара): V 2= r 2π m =

=

= 32 ⋅ π ⋅ 8 (= 72π ≈ 226,2) .

⎛ IH ⎞ r ' 2,1 ⎛ AI ⎞ =⎟ = ⎜ ⎜= ⎟, 3 ⎝ AF ⎠ ⎝ FB ⎠ 3 r '= 2,1 .

π

π 3

(

)

m r 2 + r '2 + rr ' =

(

1 бод

1 бод

1 бод

1 бод

1 бод *

1 бод

)

1 бод 1 бод Укупно:


1 бод

1 бод *

⋅ 0,9 ⋅ 32 + 2,12 + 3 ⋅ 2,1 = (5,913π ≈ 18,6) . 3 Запремина воде у резервоару: V = 18π + 72π + 5,913π = 95,913 π ≈ 301 m3. =

F

1 бод

Запремина горњег дела резервоара (запремина зарубљене купе). Полупречник круга који затвара зарубљену купу ћемо израчунати из подударности троуглова: (скица 1.)

V 3=

3m

r’ H 0,9 m J 0,9 mB

12 / 13

11 бодова

2012. május 8.



Други начин решавања за два бода означена са * . Запремина горњег дела резервоара (запремина зарубљене купе). Полупречник круга који затвара зарубљену купу ћемо израчунати ако приметимо да су троуглови AFB∆ и HJB∆ правоугли са истим крацима, (скица 2.) па је r ' = (FB − JB = 3 − 0,9 = ) 2,1 .


13 / 13

1 бод *

1 бод *

2012. május 8.

MATEMATIKA SZERB NYELVEN

Recommend Documents