Matematika s programem Maple. Jaroslav Urbánek

Matematika s programem Maple

Jaroslav Urbánek

Listopad 2012

Obsah ´ 1 Uvod do syst´ emu Maple 1.1 Systém Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Standardn´ı zápisn´ık (Standard Worksheet) . 1.1.2 Klasick´ y zápisn´ık (Classic Worksheet) . . . . 1.1.3 Pˇr´ıkazov´ y ˇra´dek a kalkulaˇcka Maple . . . . . 1.1.4 Document Mode, Worksheet Mode . . . . . 1.1.5 Math Mode, Text Mode . . . . . . . . . . . 1.2 Základn´ı ovládán´ı systému . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Vyhodnocen´ı pˇr´ıkaz˚ u . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Palety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Názvy symbol˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Nápovˇeda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Tour of Maple, Quick Reference, Quick Help 1.3.2 What’s New, Startup Dialog . . . . . . . . . 1.3.3 Manuals, Resources, and more . . . . . . . . 1.3.4 Pomocn´ıci, instruktoˇri a ˇreˇsené u ´lohy . . . . 1.3.5 Pˇr´ıkaz ? (otazn´ık) . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Provádˇen´ı v´ ypoˇct˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Pˇr´ıkazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Oznaˇcen´ı v´ ysledk˚ u . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Vytváˇren´ı promˇenn´ ych . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Bal´ıky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ sen´ı rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Reˇ 2 Matematick´ a anal´ yza s Maple v R 2.1 V´ yrazy a jejich u ´pravy . . . . . . 2.1.1 Zjednoduˇsen´ı v´ yrazu . . . 2.1.2 Omezuj´ıc´ı podm´ınky . . . ´ 2.1.3 Uprava polynomu . . . . . 2.1.4 Pˇrevod v´ yrazu na jin´ y tvar 2.2 Funkce jedné promˇenné . . . . . . 2.2.1 Definice funkce . . . . . . 2.2.2 Vlastnosti funkc´ı . . . . . 2.2.3 Inverzn´ı funkce . . . . . . 2.2.4 Sloˇzená funkce . . . . . . 2.3 Vykreslen´ı grafu funkce . . . . . . 2.3.1 Vykreslován´ı . . . . . . . 2.3.2 Animace . . . . . . . . . . 2.4 Limita a spojitost funkce . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . 2

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6 6 7 8 9 9 10 11 11 12 13 13 13 14 15 15 16 17 18 19 20 22

. . . . . . . . . . . . . .

27 27 27 27 28 28 33 33 35 38 40 40 40 45 47

2.5

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

53 57 58 61 70 70 71 72 74 78 88

3 Matematick´ a anal´ yza s Maple v Rn 3.1 Funkce v´ıce promˇenn´ ych . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Definice funkce v´ıce promˇenn´ ych . . . . . . . 3.1.2 Vykreslen´ı funkce dvou promˇenn´ ych . . . . . . 3.1.3 Definiˇcn´ı obor funkce dvou promˇenn´ ych . . . . 3.2 Limita a spojitost funkce v´ıce promˇenn´ ych . . . . . . 3.2.1 Limita funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Spojitost funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Parciáln´ı derivace funkce v´ıce promˇenn´ ych . . . . . . 3.3.1 Smˇerové derivace . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Diferenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Taylor˚ uv polynom . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Extrémy funkce v´ıce promˇenn´ ych . . . . . . . . . . . 3.4.1 Lokáln´ı extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Absolutn´ı extrémy . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 V´ıcerozmˇern´ y integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Geometrická aplikace dvojného integrálu . . . 3.5.2 Geometrická aplikace trojného integrálu . . . 3.5.3 Transformace souˇradnic ve dvojném a trojném 3.6 Nekoneˇcné ˇrady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Absolutn´ı konvergence ˇrad . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . integrálu . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92 92 92 92 94 99 99 103 104 107 108 111 112 112 117 121 128 133 136 137 145

4 Line´ arn´ı algebra s Maple v Cn . 4.1 Vektorové prostory . . . . . . . . . 4.1.1 Vektory . . . . . . . . . . . 4.1.2 Matice . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Soustavy lineárn´ıch rovnic . 4.1.4 Gaussova eliminace . . . . . 4.1.5 Determinant . . . . . . . . . 4.2 Lineárn´ı zobrazen´ı . . . . . . . . . 4.2.1 Matice lineárn´ıho zobrazen´ı

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

148 148 148 153 158 162 166 171 172

. . . . .

177 177 177 177 179 179

2.6 2.7

Derivace funkce . . . . . . . . . . 2.5.1 Diferenciál . . . . . . . . . 2.5.2 Taylor˚ uv polynom . . . . Vyˇsetˇren´ı pr˚ ubˇehu funkce . . . . Integrál funkce . . . . . . . . . . 2.7.1 Neurˇcit´ y integrál . . . . . 2.7.2 Metoda per partes . . . . 2.7.3 Substituˇcn´ı metoda . . . . 2.7.4 Urˇcit´ y integrál . . . . . . 2.7.5 Aplikace urˇcitého integrálu 2.7.6 Nevlastn´ı integrál . . . . .

. . . . . . . . . . .

5 Chyby 5.1 Chybové zprávy (Error Messages) . 5.1.1 Math mode / Text mode . . 5.1.2 Chybné argumenty pˇr´ıkaz˚ u. 5.1.3 Nesprávné pouˇzit´ı závorek . 5.1.4 Nesprávné pˇriˇrazen´ı . . . . . 3

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

5.2 5.3

5.1.5 Dˇelen´ı nulou . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.6 Nesprávn´ y zápis mocnin . . . . . . . . . 5.1.7 Nesprávné pouˇzit´ı objekt˚ u . . . . . . . . 5.1.8 Nesprávné definice a pouˇzit´ı funkc´ı . . . 5.1.9 Chyby pˇri vykreslován´ı . . . . . . . . . . 5.1.10 Dalˇs´ı chybové zprávy . . . . . . . . . . . Varován´ı (Warnings) . . . . . . . . . . . . . . . Ostatn´ı chyby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Nenaˇcten´ı bal´ıku (knihovny) . . . . . . . 5.3.2 Nesprávné pouˇz´ıván´ı nˇekter´ ych symbol˚ u

6 N´ avody k ˇ reˇ sen´ı pˇ r´ıklad˚ u ´ 6.1 Uvod do systému Maple . . . . . . 6.2 Matematická anal´ yza s Maple v R . 6.3 Matematická anal´ yza s Maple v Rn 6.4 Lineárn´ı algebra s Maple v Cn . . .

. . . .

. . . .

4

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

180 180 180 180 182 182 183 184 184 184

. . . .

186 186 187 202 223

Pˇ redmluva Uˇcebn´ı text Matematika s programem Maple vznikl pˇrepracován´ım p˚ uvodn´ıho d´ıla Matema” ˇ ˇc. 2785/2010, tická anal´ yza – cviˇcen´ı s pouˇzit´ım Maple“, které vzeˇslo z ˇreˇsen´ı projektu FRVS rozˇs´ıˇren´ım o nˇekteré nové funkcionality pˇr´ıtomné v pozdˇeji vydan´ ych verz´ıch systému Maple, tj. verz´ıch 15 a 16, a doplnˇen´ım o kapitolu vˇenovanou lineárn´ı algebˇre. Souˇcasnˇe byly odstranˇeny nˇekteré známé nedostatky pˇredchoz´ıho textu. Text jeˇstˇe nen´ı dokonˇcen. Posledn´ı aktualizace: 28. 11. 2012. Nejviditelnˇejˇs´ı zmˇenou uvedenou v Maple 16 je vylepˇsen´ı vizualizace. Veˇskeré grafy vypadaj´ı mnohem lépe a profesionálnˇeji. Dalˇs´ı novinkou jsou matematické aplikace zvané Math Apps pˇrináˇsej´ıc´ı interaktivn´ı v´ yukové demonstraˇcn´ı dokumenty. Oproti verzi Maple 14 byly také vylepˇseny r˚ uzné pomocné nástroje jako napˇr. InverseTutor pro vykreslen´ı funkce a jej´ı inverze do jednoho grafu spolu s osou symetrie. Nakonec jeˇstˇe uved’me funkcionalitu zvanou Clickable Math nab´ızej´ıc´ı moˇznosti u ´pravy/vyhodnocen´ı/vykreslen´ı zobrazeného v´ yrazu (rovnice). V matematice je zvykem vynechávat symbol pro násoben´ı, teˇcku, mezi v´ yrazy, které spolu násob´ıme. Dostáváme tak napˇr. v´ yrazy 3x, 2π, xy ve skuteˇcnosti pˇredstavuj´ıc´ı 3 · x, 2 · π, x · y. Pˇrestoˇze je souˇcasná verze systému Maple jiˇz natolik chytrá“ a um´ı s v´ yrazy t´ımto zp˚ usobem ” pracovat (tj. vynechávat symbol pro násoben´ı), je pˇri tom tˇreba velké opatrnosti a pˇredevˇs´ım zaˇc´ınaj´ıc´ım uˇzivatel˚ um vynecháván´ı symbolu pro násoben´ı nem˚ uˇzeme doporuˇcit. Z tohoto d˚ uvodu je ve vˇsech pˇr´ıkazech systému Maple i v samotném textu d˚ uslednˇe dodrˇzováno vkládán´ı symbolu pro násoben´ı, byt’ to nˇekdy p˚ usob´ı nezvykle (viz napˇr. 2 · π).

5

´ 1 Uvod do syst´ emu Maple 1.1

Syst´ em Maple

Systém Maple je v´ ykonn´ y program pro ˇreˇsen´ı jednoduch´ ych i sloˇzitˇejˇs´ıch matematick´ ych problém˚ u. S jeho pomoc´ı také m˚ uˇzeme vytváˇret dokumenty vysoké kvality, prezentace a interaktivn´ı uˇzivatelské nástroje. Maple patˇr´ı do skupiny systém˚ u poˇc´ıtaˇcové algebry umoˇzn ˇuj´ıc´ı jak symbolické, tak numerické v´ ypoˇcty. Systém nav´ıc obsahuje komponenty podporuj´ıc´ı v´ yuku matematiky. V´ yrobcem systému je kanadská spoleˇcnost Maplesoft Inc., jej´ıˇz webové stránky1 poskytuj´ı ˇsiroké informace o systému a jeho dalˇs´ıch pˇr´ıbuzn´ ych programech jako je MapleSim, MapleNet, Maple T.A. a mnoho dalˇs´ıch nástroj˚ u a program˚ u. Webové stránky mimo jiné 2 obsahuj´ı tzv. Aplikaˇcn´ı centrum (Application Center), z nˇejˇz si m˚ uˇze kaˇzd´ y zaregistrovan´ y uˇzivatel stáhnout ukázkové programy demonstruj´ıc´ı pouˇzit´ı systému Maple pˇri ˇreˇsen´ı mnoha r˚ uzn´ ych matematick´ ych i technick´ ych problém˚ u. Poskytuj´ı i tzv. Studentské centrum 3 (Student Help Center), kde si zaregistrovan´ y student m˚ uˇze stáhnout mnoho studijn´ıch materiál˚ u. Dalˇs´ımi v´ yznamn´ ymi zdroji informac´ı o Maple jsou diskuzn´ı fórum uˇzivatel˚ u Maple4 a web ˇ distributora Maple pro Ceskou a Slovenskou republiku5 , kde je vˇetˇsina dokument˚ u v ˇceském jazyce [5], [9]. Systém Maple je vyv´ıjen od roku 1980, v nˇemˇz se objevila jeho prvn´ı limitovaná verze. V roce 2005 byla uvedena verze Maple 10 s nov´ ym grafick´ ym uˇzivatelsk´ ym rozhran´ım zvan´ ym Standard Worksheet a tzv. dokumentov´ ym reˇzimem (Document mode). D´ıky nim se ovládán´ı systému Maple stalo v´ yraznˇe jednoduˇsˇs´ım. V souˇcasné dobˇe vzniká kaˇzd´ y rok nová verze, v dobˇe psan´ı této inovované a rozˇs´ıˇrené verze p˚ uvodn´ıho textu byla na trhu nejnovˇejˇs´ı verze Maple 16. Budeme proto prezentovat moˇznosti právˇe zm´ınˇené nejnovˇejˇs´ı verze systému, nicménˇe naprostá vˇetˇsina pˇr´ıkaz˚ u a funkc´ı, jeˇz budeme pouˇz´ıvat, je v Maple dostupná jiˇz od dˇr´ıvˇejˇs´ıch verz´ı systému (zejména od pˇrelomové desáté verze). Se systémem je moˇzné pracovat nˇekolika r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby, které vol´ıme pˇri spuˇstˇen´ı programu ze startovac´ıho menu poˇc´ıtaˇce nebo kliknut´ım na pˇr´ısluˇsnou ikonu na ploˇse. Maple je k dispozici pro r˚ uzné operaˇcn´ı systémy. V následuj´ıc´ım textu pop´ıˇseme, jak program spouˇst´ıme v nejrozˇs´ıˇrenˇejˇs´ım operaˇcn´ım systému Windows.

1.1.1

Standardn´ı z´ apisn´ık (Standard Worksheet)

Grafické uˇzivatelské rozhran´ı Maple zvané Standard Worksheet se spust´ı ze startovac´ıho menu poˇc´ıtaˇce v´ ybˇerem poloˇzky Programy > Maple 16 > Maple 16 nebo kliknut´ım na ikonu Maple 16 na ploˇse. Toto prostˇred´ı poskytuje veˇskeré moˇznosti systému Maple 1

http://www.maplesoft.com http://maplesoft.com/applications/index.aspx 3 http://maplesoft.com/studentcenter/index.aspx 4 http://www.mapleprimes.com 5 http://www.maplesoft.cz 2

6

a pomáhá vytváˇret elektronické dokumenty (zápisn´ıky) zobrazuj´ıc´ı matematické v´ ypoˇcty, texty a komentáˇre spolu s propracovanou poˇc´ıtaˇcovou grafikou. Nˇekteré je moˇzné v zápisn´ıku schovat“ a nechat odkryté“ jen nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı pasáˇze tak, aby dokument poskytoval uˇzivateli ” ” potˇrebné informace. Jelikoˇz jsou vytvoˇrené dokumenty interaktivn´ı, tj. v jistém smyslu ˇzivé“, m˚ uˇze si uˇzivatel sám upravovat pˇreddefinované hodnoty parametr˚ u, vyhodnocovat ” pˇr´ıkazy, a z´ıskávat tak nové v´ ysledky. Menu zápisn´ıku Maple má tˇri vodorovné liˇsty: hlavn´ı menu (Menu Bar, zcela nahoˇre), nástrojovou liˇstu (Toolbar, pod hlavn´ım menu) a kontextovou liˇstu (Context Bar, pod nástrojovou liˇstou). Zápisn´ık dále obsahuje palety (Palettes, svisl´ y blok na levé stranˇe6 ), vlastn´ı pracovn´ı pole – dokument (Document), do nˇejˇz zadáváme pˇr´ıkazy, texty, provád´ıme v´ ypoˇctové a grafické akce, a stavovou liˇstu (Status Bar, zcela dole). Vlastn´ı pracovn´ı pole je moˇzné zobrazit pˇres celou obrazovku skryt´ım palet a vˇsech liˇst (kromˇe hlavn´ıho menu) kliknut´ım na pˇr´ısluˇsné poloˇzky v záloˇzce View hlavn´ıho menu.

Obr´ azek 1.1: Maple 16: Prostˇred´ı Standard Worksheet.

1.1.2

Klasick´ y z´ apisn´ık (Classic Worksheet)

U 32bitov´ ych operaˇcn´ıch systém˚ u je k dispozici téˇz tzv. Classic Worksheet, kter´ y se spust´ı ze startovac´ıho menu poˇc´ıtaˇce v´ ybˇerem poloˇzky Programy > Maple 16 > Classic Worksheet Maple 16 nebo kliknut´ım na ikonu Classic Worksheet Maple 16 na ploˇse. Tento zápisn´ık Maple je urˇcen pˇredevˇs´ım pro ménˇe v´ ykonné poˇc´ıtaˇce s omezenou pamˇet´ı. Neposkytuje také vˇsechny funkce, pˇr´ıkazy a moˇznosti systému Maple jako Standard Worksheet [5]. 6

Palety se automaticky zobrazuj´ı v levém bloku. Prostˇred´ı systému nab´ız´ı blok pro palety i po pravé stranˇe obrazovky (automaticky zavˇren´ y), kam je moˇzné nˇekteré (ale i vˇsechny) pˇresunout.

7

Obr´ azek 1.2: Prostˇred´ı Classic Worksheet v Maple 14 (pˇrevzato z [5]).

1.1.3

Pˇ r´ıkazov´ yˇ r´ adek a kalkulaˇ cka Maple

Se systémem Maple m˚ uˇzeme pracovat i pouze v reˇzimu tzv. pˇr´ıkazového ˇrádku spustitelného ze startovac´ıho menu poˇc´ıtaˇce v´ ybˇerem poloˇzky Programy > Maple 16 > Commandline Maple 16. Pˇr´ıkazov´ y ˇra´dek je urˇcen k ˇreˇsen´ı rozsáhl´ ych a sloˇzit´ ych u ´loh. K dispozici pˇritom nejsou ˇzádné grafické prvky.

Obr´ azek 1.3: Maple 16: Pˇr´ıkazov´ y ˇrádek.

Dále je moˇzné pouˇz´ıvat (a vytváˇret) tzv. maplety, tj. grafická uˇzivatelská rozhran´ı obsahuj´ıc´ı okénka, textová pole a dalˇs´ı vizuáln´ı prvky umoˇzn ˇuj´ıc´ı pouh´ ym klikán´ım spouˇstˇet v´ ypoˇcty. Kalkulaˇcka systému Maple je speciáln´ı typ mapletu, kter´ y je k dispozici pouze 8

pro operaˇcn´ı systémy Windows. Spouˇst´ı se ze startovac´ıho menu poˇc´ıtaˇce, kde se vybere Programy > Maple 16 > Maple Calculator [5].

1.1.4

Document Mode, Worksheet Mode

Dále se budeme vˇenovat pouze rozˇs´ıˇrenému prostˇred´ı Standard Worksheet. V tomto prostˇred´ı je moˇzné pracovat ve dvou základn´ıch reˇzimech: Worksheet Mode a Document Mode. Prvnˇe jmenovan´ y odpov´ıdá prostˇred´ı Classic Worksheet, v nˇemˇz je kaˇzd´ y pˇr´ıkaz Maple uvozen symbolem [> a mus´ı b´ yt ukonˇcen stˇredn´ıkem (v´ ysledek se zobraz´ı na dalˇs´ım ˇra´dku uprostˇred) nebo dvojteˇckou (v´ ysledek se nezobraz´ı). Otev´ırá se v hlavn´ım menu zvolen´ım File > New > Worksheet mode. Document Mode poskytuje pˇrehlednˇejˇs´ı zápis pˇr´ıkaz˚ u a matematick´ ych vzorc˚ u bez pˇrebyteˇcn´ ych“ symbol˚ u. Pˇri otevˇren´ı nového souboru z nástrojové liˇsty ” je automaticky spuˇstˇen právˇe tento reˇzim, jinak je moˇzné jej téˇz otevˇr´ıt z hlavn´ıho menu v poloˇzce File > New. Obvykle je zápisn´ık nastaven do jednoho reˇzimu7 , kter´ y je moˇzné zvolit pˇri otev´ırán´ı nového souboru v hlavn´ım menu (File > New > ...). Existuje vˇsak i moˇznost pˇrep´ınat mezi reˇzimy v rámci jednoho zápisn´ıku, kdy je ˇcást vytvoˇrena v jednom reˇzimu, ˇca´st v jiném. Z Document Mode se pˇrepneme do Worksheet Mode kliknut´ım na ikonku [> v nástrojové liˇstˇe. Naopak z Worksheet Mode se do reˇzimu Document Mode pˇrepneme v´ ybˇerem poloˇzky v hlavn´ım menu (Format > Create Document block) [5].

Obr´ azek 1.4: Reˇzimy zápisu (pˇrevzato z [5]).

1.1.5

Math Mode, Text Mode

Pro rozliˇsen´ı pˇr´ıkaz˚ u a obyˇcejného textu slouˇz´ı kontextová liˇsta zápisn´ıku, kde máme na v´ ybˇer Text Mode a Math Mode. Math Mode odpov´ıdá pˇr´ıkaz˚ um (po stisku klávesy Enter dojde k vyhodnocen´ı), v Text Mode p´ıˇseme texty dokumentu podobnˇe jako napˇr. v textovém editoru (po stisku klávesy Enter pˇrejdeme na nov´ y ˇra´dek bez jakéhokoli vyhodnocen´ı). Volit reˇzim zápisu m˚ uˇzeme bud’ kliknut´ım myˇsi (v kontextové liˇstˇe nad dokumentem jsou uvedeny 7

Ten zpravidla vol´ıme pˇri prvn´ım spuˇstˇen´ı po instalaci systému nebo jej m˚ uˇzeme následnˇe nastavit v hlavn´ım menu: Tools > Options... > Interface.

9

názvy pˇredstavuj´ıc´ı jednotlivé moˇznosti) nebo v´ ybˇerem poloˇzky v hlavn´ım menu (Edit > Switch to Text/Math Mode). Totéˇz lze rychleji provést klávesou F5. V reˇzimu Worksheet Mode lze pro text i pro pˇr´ıkazy pouˇz´ıt oba druhy zápisu. Pro psan´ı textu je nutné kliknout na ikonku T v nástrojové liˇstˇe nebo zvolit poloˇzku v hlavn´ım menu (Insert > Text). Podobnˇe pro zápis pˇr´ıkaz˚ u jazyka Maple je nutné kliknout na ikonku [> v nástrojové liˇstˇe nebo zvolit poloˇzku v hlavn´ım menu (Insert > Maple Input). Pˇri otevˇren´ı nového souboru je zápisn´ık automaticky nastaven na psan´ı pˇr´ıkaz˚ u. K pˇr´ıkaz˚ um máme dále moˇznost zapisovat komentáˇre uveden´ım symbolu mˇr´ıˇzky (#) pˇred text, kter´ y má b´ yt komentáˇrem (viz obrázek 1.5) [5].

Obr´ azek 1.5: Z´ apis komentáˇre v pˇr´ıkazovém reˇzimu (pˇrevzato z [5]).

1.2

Z´ akladn´ı ovl´ ad´ an´ı syst´ emu

Jiˇz v´ıme, jak spustit systém Maple a jak zvolit pracovn´ı prostˇred´ı, které chceme. Otevˇr´ıt jiˇz vytvoˇren´ y program m˚ uˇzeme z hlavn´ıho menu (File > Open...) nebo spuˇstˇen´ım programu rovnou z operaˇcn´ıho systému (prostˇrednictv´ım nˇejakého souborového manaˇzeru). Kdyˇz chceme vytvoˇren´ y dokument uloˇzit, zvol´ıme poloˇzku File > Save (resp. File > Save As...) v hlavn´ım menu systému Maple. Dokumenty prostˇred´ı Standard Worksheet maj´ı pˇr´ıponu mw, dokumenty prostˇred´ı Classic Worksheet pˇr´ıponu mws. V prostˇred´ı Standard Worksheet je moˇzné otevˇr´ıt oba typy soubor˚ u, v prostˇred´ı Classic Worksheet pouze typ mws. Maple poskytuje také moˇznost exportovat dokumenty jako soubory jin´ ych typ˚ u. Podporovány jsou typy: HTML, PDF, LaTeX, Maple Input, Maplet, Maple Text, Plain Text, Maple T.A. a Rich Text Format. Pro export dokumentu vybereme poloˇzku Export As... ze záloˇzky File v hlavn´ım menu. Nyn´ı si ukáˇzeme, jak v Document Mode zadávat jednoduché pˇr´ıkazy. Budeme proto pˇredpokládat, ˇze zápisn´ık je jiˇz nastaven pro psan´ı pˇr´ıkaz˚ u (Math Mode). Z´ akladn´ı operace: pro sˇc´ıtán´ı pouˇz´ıváme symbol plus (+), pro odˇc´ıtán´ı m´ınus (–), pro násoben´ı (*), ale pozor, pro dˇelen´ı mus´ıme pouˇz´ıvat pouze lom´ıtko (/), dvojteˇcka (:) má jin´ y v´ yznam (viz dále). Zad´ an´ı zlomku: zadáme ˇcitatel, lom´ıtko (/) a jmenovatel. Pro opuˇstˇen´ı zápisu jmenovatele staˇc´ı stisknout ˇsipku doprava (ve zlomku je téˇz moˇzno pohybovat se ˇsipkami). Zad´ an´ı mocniny: zadáme základ, symbol stˇr´ıˇska (ˆ) a exponent. Pro opuˇstˇen´ı zápisu exponentu je opˇet moˇzné pouˇz´ıt ˇsipku doprava. 10

1.2.1

Vyhodnocen´ı pˇ r´ıkaz˚ u

Pˇr´ıkaz vyhodnot´ıme stiskem klávesy Enter. V´ ysledek se zobraz´ı na dalˇs´ım ˇrádku uprostˇred. V dˇr´ıvˇejˇs´ıch verz´ıch (ménˇe neˇz 10) systému Maple bylo nutné pˇr´ıkaz ukonˇcovat stˇredn´ıkem, aby se provedl. Tato moˇznost nadále z˚ ustala (tj. zadáme-li za pˇr´ıkaz stˇredn´ık, nic nepo” kaz´ıme“) a v nˇekter´ ych situac´ıch je dokonce jediná moˇzná – napˇr. textov´ y reˇzim (Text Mode) pˇr´ıkaz˚ u v Worksheet Mode nebo pˇri psan´ı pˇr´ıkaz˚ u v prostˇred´ı Classic Worksheet. Z pˇredeˇsl´ ych verz´ı Maple se uchovala i funkcionalita symbolu dvojteˇcka (:), která po zaˇrazen´ı za pˇr´ıkaz a následného stisku klávesy Enter potlaˇc´ı zobrazen´ı v´ ysledku na dalˇs´ım ˇra´dku (tj. pˇr´ıkaz se vyhodnot´ı, ale na obrazovku se nic nevyp´ıˇse). Proto nen´ı moˇzné dvojteˇcku pouˇz´ıvat jako operátor dˇelen´ı. V Document Mode je nav´ıc moˇzné zapisovat pˇr´ıkaz i s v´ ysledkem na jeden ˇra´dek. Po napsán´ı pˇr´ıkazu k tomu staˇc´ı nam´ısto stisku klávesy Enter pouˇz´ıt klávesovou zkratku Ctrl + =“. ” Jak bylo zm´ınˇeno dˇr´ıve, interaktivn´ı dokumenty v Maple jsou ˇzivé“. T´ım máme na mysli skuteˇcnost, ˇze i v dˇr´ıve vytvoˇreném doku” mentu s vyhodnocen´ ymi pˇr´ıkazy otevˇreném po libovolnˇe dlouhé dobˇe m˚ uˇzeme kter´ ykoli v´ yraz upravit, znovu vyhodnotit (stisknout Enter nebo Ctrl + =“) a dostaneme nov´ y v´ ysledek. Oznaˇc´ıme-li myˇs´ı ” nˇekolik (libovolnˇe mnoho) pˇr´ıkaz˚ u a stiskneme ikonku ! (vykˇriˇcn´ık) z nástrojové liˇsty, vˇsechny oznaˇcené pˇr´ıkazy budou postupnˇe vyhodnoceny. K vyhodnocen´ı vˇsech pˇr´ıkaz˚ u v dokumentu slouˇz´ı ikonka !!! (tˇri vykˇriˇcn´ıky). Maple obsahuje v´ıce neˇz tis´ıc symbol˚ u, pomoc´ı nichˇz m˚ uˇzeme tvoˇrit matematické v´ yrazy a typograficky kvalitn´ı text. Patˇr´ı mezi nˇe p´ısmena a ˇc´ıslice, jimiˇz vytváˇr´ıme jména (posloupnost znak˚ u zaˇc´ınaj´ıc´ı p´ısmenem, za kter´ ym m˚ uˇze následovat kombinace p´ısmen, ˇc´ısel a vybran´ ych symbol˚ u), reálná ˇc´ısla (celá, racionáln´ı, iracionáln´ı, s desetinou teˇckou nebo v notaci pohyblivé ˇrádové ˇca´rky), Rkomplexn´ı ˇc´ısla, aritmetické, booleovské a jiné operátory (+, –, !, /, *, , lim, . . . ), konstanty (π, e, . . . ), imaginárn´ı jednotku, nekoneˇcno, matematické funkce (cos(x), sin( π3 ), . . . ) a promˇenné (pojmenované jménem . . . ). Velkou pˇrednost´ı systému Maple je jeho schopnost symbolick´ ych matematick´ ych v´ ypoˇct˚ u. Nˇekteré z matematick´ ych symbol˚ u, které m˚ uˇzeme pouˇz´ıt, nejsou na klávesnici, a tak se zadávaj´ı bud’ z palety nebo pomoc´ı sv´ ych názv˚ u [5].

1.2.2

Palety

Palety jsou pojmenované obdéln´ıˇcky“ s nab´ıdkou pˇreddefinovan´ ych ” symbol˚ u, zápis˚ u, v´ yraz˚ u apod. (obrázek 1.6), zpravidla pˇri levém okraji zápisn´ıku. Kaˇzdá paleta obsahuje symboly pˇr´ısluˇsné skupiny. Napˇr´ıklad paleta s názvem Expression nab´ız´ı nˇekteré základn´ı matematické v´ yrazy, paleta Greek p´ısmena ˇrecké abecedy atd. Standardnˇe z˚ ustává nˇekolik palet nezobrazen´ ych. V hlavn´ım menu (View > Palettes) m˚ uˇzeme seznam zobrazen´ ych palet upravit t´ım, ˇze nˇekteré pˇridáme, odebereme, ale tˇreba i jinak seˇrad´ıme. Totéˇz lze provést jen za pomoci myˇsi. Pˇridrˇzen´ım levého tlaˇc´ıtka vybranou paObr´ azek 1.6: Palety. letu pˇresuneme na jiné m´ısto, stisknut´ım pravého tlaˇc´ıtka vyvoláme stejnou nab´ıdku, jako bychom postupovali pˇres hlavn´ı menu. Kliknut´ı levého tlaˇc´ıtka myˇsi na nˇekterou z palet zobraz´ı (pˇr´ıp. skryje) symboly, které paleta nab´ız´ı. Vloˇzit z palety symbol 11

do zápisn´ıku pak staˇc´ı pouh´ ym kliknut´ım, pˇr´ıpadnˇe pˇretáhnut´ım“ s pomoc´ı levého tlaˇc´ıtka ” myˇsi. Obecné barevnˇe zv´ yraznˇené symboly ve v´ yrazu je moˇzné dále specifikovat (upravovat) dosazen´ım hodnoty, s n´ıˇz potˇrebujeme pracovat [5].

Pˇ r´ıklad 1.1: Vloˇzte do dokumentu v´ yraz

10 P

2i .

i=1

ˇ sen´ı: Pro zapsán´ı zadaného v´ Reˇ yrazu potˇrebujeme celkem dva r˚ uzné symboly: sumu a mocninu. Sumaˇcn´ı symbol nalezneme v paletˇe Expression. Kliknut´ım na tuto paletu ji otevˇreme (na obrázku 1.6 je jako jediná otevˇrená) a vybereme z n´ı pˇr´ıtomn´ y sumaˇcn´ı symbol. Po jeho vloˇzen´ı do zápisn´ıku pak jednoduˇse pˇrep´ıˇseme obecné symboly (k, n a f ) poˇzadovan´ ymi hodnotami. Pohybovat ve vzorci se m˚ uˇzeme pomoc´ı ˇsipek na klávesnici, s v´ yhodou lze vyuˇz´ıt klávesy Tab, pˇritom k u ´pravˇe v´ yrazu m˚ uˇzeme pouˇz´ıvat i vˇsechny ostatn´ı klávesy jako napˇr. Delete, Backspace, mezern´ık, ... Znak f pˇrep´ıˇseme mocninn´ ym v´ yrazem. To m˚ uˇzeme provést bud’ vloˇzen´ım dalˇs´ıho symbolu z palety Expression (symbol b a ) a následnou u ´pravou (specifikac´ı hodnot a, b), nebo uˇzit´ım jiˇz známé klávesy pro tvorbu mocnin – stˇr´ıˇsky (ˆ).

Pˇ r´ıklad 1.2: Vloˇzte do dokumentu v´ yraz

∞ P i=1

1 . i

3 −642 Pˇ r´ıklad 1.3: Vloˇzte do dokumentu v´ yraz 3217·2 4 . r Pˇ r´ıklad 1.4: Vloˇzte do dokumentu v´ yraz

1.2.3

ln(e5 )!·sin( 17·π )−3·13 2

√

log2 (16)−1

.

N´ azvy symbol˚ u

Mimo palet m˚ uˇzeme k zápisu symbol˚ u uˇz´ıvat jejich názv˚ u. Napˇr´ıklad √ symbol π vloˇz´ıme zapsán´ım jeho názvu Pi8 , pro odmocninu je vyhrazen název sqrt, takˇze x vloˇz´ıme napsán´ım sqrt(x). Pˇri vkládán´ı symbol˚ u pomoc´ı názv˚ u nebo pˇri tvorbˇe pˇr´ıkaz˚ u se m˚ uˇze hodit funkce dokonˇcován´ı“. Pro zadán´ı symbolu pak staˇc´ı napsat jeho u ´vodn´ı p´ısmeno (p´ısmena) a po” moc´ı klávesy Esc nebo kláves Ctrl + mezern´ık“ následnˇe z vyskakovac´ıho okénka zvolit ” poˇzadovan´ y pˇr´ıkaz. Na obrázku 1.7 je ukázka nab´ıdky pro dokonˇcen´ı zápisu p´ısmen so [5]. 3 −642 Pˇ r´ıklad 1.5: Vloˇzte do dokumentu v´ yraz 3217·2 zit´ı palet. 4 bez pouˇ ˇ sen´ı: Pro absolutn´ı hodnotu z poˇzadovaného v´ Reˇ yrazu pouˇzijeme pˇr´ıkaz abs, pˇri zadáván´ı mocnin vyuˇzijeme symbolu stˇr´ıˇsky (ˆ). V´ ysledn´ y zápis zadaného v´ yrazu tedy bude: abs((32^3-64^2)/(17*2^4)). r Pˇ r´ıklad 1.6: Vloˇzte do dokumentu v´ yraz

ln(e5 )!·sin( 17·π )−3·13 2

√

log2 (16)−1

8

bez pouˇzit´ı palet.

Maple rozliˇsuje mal´ a a velk´ a p´ısmena. Napˇr´ıklad zápis Pi pˇredstavuje Ludolfovo ˇc´ıslo π i s jeho hodnotou, zat´ımco z´ apis pi pˇredstavuje pouze symbol (ˇrecké p´ısmeno) π.

12

Obr´ azek 1.7: Funkce automatického dokonˇcován´ı (pˇrevzato z [5]).

1.3

N´ apovˇ eda

V´ yznamnou souˇca´st´ı systému Maple je jeho nápovˇeda. K dispozici je nˇekolik r˚ uzn´ ych typ˚ u nápovˇedy, které nejlépe najdeme v hlavn´ım menu v nab´ıdce Help. Základn´ı stránky nápovˇedy zobraz´ıme v´ ybˇerem poloˇzky Maple Help9 . Vyhledávat v nápovˇedˇe m˚ uˇzeme bud’ zadán´ım hledaného textu do textového pole v levé horn´ı ˇca´sti okna (na obrázku 1.8 je v tomto poli zapsán text abs), nebo tematick´ ym vyhledáván´ım v pˇripravené stromové struktuˇre témat v levé ˇcásti okna (na obrázku 1.8 je rozbalena Matematika a v n´ı téma Calculus, tedy Matematická anal´ yza). Odkliknut´ım zadaného slova abs v textovém vyhledávac´ım poli nápovˇedy zobraz´ıme v hlavn´ı ˇcásti okna nápovˇedu právˇe k pˇr´ıkazu abs. Jak m˚ uˇzeme vidˇet na obrázku 1.8, nápovˇeda obsahuje základn´ı popis pˇr´ıkazu, obecn´ y zápis pˇr´ıkazu pro jeho pouˇzit´ı a konkrétn´ı ukázkové pˇr´ıklady.

1.3.1

Tour of Maple, Quick Reference, Quick Help

Nab´ıdka Help hlavn´ıho menu poskytuje jeˇstˇe nˇekolik jin´ ych forem nápovˇedy. Poloˇzka Take a Tour of Maple zobraz´ı interaktivn´ı pˇrehled systému (jeho nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch prvk˚ u). Kliknut´ı na Quick Reference otevˇre tabulku informac´ı o ovládán´ı systému Maple, zejména pro nové uˇzivatele. Jedná se o základn´ı informace s odkazy do nápovˇedy Maple Help pro jejich pˇr´ıpadné doplnˇen´ı. Poloˇzka Quick Help nab´ız´ı jeˇstˇe struˇcnˇejˇs´ı tabulku neˇz pˇredchoz´ı nápovˇeda. Standardnˇe se objevuje v kaˇzdém novém zápisn´ıku pˇri pravé stranˇe v podobˇe ˇcerného okénka (pokud toto nastaven´ı nezruˇs´ıme). Po zavˇren´ı je moˇzné ji vyvolat stiskem klávesy F1, ˇci jako poloˇzku v hlavn´ım menu [5].

1.3.2

What’s New, Startup Dialog

Dalˇs´ımi druhy nápovˇedy jsou pˇrehled rozˇs´ıˇren´ı stávaj´ıc´ı verze Maple oproti pˇredcházej´ıc´ı verzi (dostupné pˇres Help > What’s New) a tzv. Startup Dialog obsahuj´ıc´ı tipy pro práci se systémem Maple. Startup Dialog se zobrazuje vˇzdy po spuˇstˇen´ı systému (pokud toto nastaven´ı nezruˇs´ıme) [5]. 9

Pro vyvol´ an´ı této n´ apovˇedy m˚ uˇzeme také pouˇz´ıt klávesovou zkratku Ctrl + F1“, nebo posledn´ı ikonku ” n´ astrojové liˇsty.

13

Obr´ azek 1.8: Hlavn´ı nápovˇeda systému Maple.

1.3.3

Manuals, Resources, and more

Vyvolán´ım Manuals, Resources, and more pˇrejdeme do dalˇs´ı oblasti nápovˇedy, z n´ıˇz pop´ıˇseme tˇri nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı ˇcásti. Maple Portal Od verze Maple 13 je k dispozici tzv. Maple Portal. Spustit jej m˚ uˇzeme samostatnˇe (Maple Portal má vlastn´ı ikonu na ploˇse) nebo pˇres nápovˇedu v hlavn´ım menu (Help > Manuals, Resources, and more > Maple Portal). Maple Portal slouˇz´ı jako pomocn´ık nov´ ym i zkuˇsenˇejˇs´ım uˇzivatel˚ um hledaj´ıc´ıch pokroˇcilejˇs´ı nápovˇedu. Je v nˇem moˇzné rychle naj´ıt detailn´ı popis práce se systémem Maple od ˇreˇsen´ı nejjednoduˇsˇs´ıch problém˚ u aˇz po velmi sloˇzité u ´lohy [5]. Applications and Examples Z nápovˇedy je moˇzno vyvolat i spustitelné soubory (tj. jiˇz vytvoˇrené dokumenty) demonstruj´ıc´ı moˇznosti systému Maple. Otevˇreme je pˇres nápovˇedu v hlavn´ım menu (Help > Manuals, Resources, and more > Applications and Examples) a pak kliknutim na zvolen´ y pˇr´ıklad [5]. Manuals Dále je je moˇzné vyvolat anglické manuály User manual, Introductory Programming Guide, Advanced Programming Guide a Getting Started with Maple Toolboxes podrobnˇe popisuj´ıc´ı moˇznosti systému Maple. Otevˇreme je pˇres nápovˇedu v hlavn´ım menu 14

Obr´ azek 1.9: Maple Portal (pˇrevzato z [5]).

(Help > Manuals, Resources, and more > Manuals) a pak kliknutim na zvolen´ y manuál [5].

1.3.4

Pomocn´ıci, instruktoˇ ri a ˇ reˇ sen´ eu ´ lohy

Systém Maple poskytuje také jiˇz pˇripravené pomocné nástroje“ pro ˇreˇsen´ı u ´loh. Jsou to tzv. ” ´ Pomocn´ıci (Assistants), Instruktoˇri (Tutors) a Ulohy (Tasks), které vyvoláme z hlavn´ıho menu (Tools > Assistants nebo Tools > Tutors anebo Tools > Tasks). Pomocn´ıci (Assistants) obsahuj´ı napˇr´ıklad nástroje pro hledán´ı funkˇcn´ı závislosti v datech, optimalizaci funkc´ı, ˇreˇsen´ı diferenciáln´ıch rovnic a dalˇs´ı. Pro dan´ y typ u ´lohy maj´ı implementováno nˇekolik ˇcasto pouˇz´ıvan´ ych algoritm˚ u. Po vyvolán´ı provedou uˇzivatele nastaven´ım a specifikac´ı parametr˚ u u ´lohy a zvolenou metodou u ´lohu vyˇreˇs´ı. Instruktoˇri (Tutors) provedou uˇzivatele ´ ˇreˇsenou problematikou pomoc´ı jednoduch´ ych názorn´ ych pˇr´ıklad˚ u. Ulohy (Tasks) zobrazuj´ı na pˇr´ıkladech, jak ˇreˇsit r˚ uzné u ´lohy. Zobraz´ı se vyvolán´ım z hlavn´ıho menu (Tools > Tasks > Browse) [5]. Od verze Maple 16 najdeme v záloˇzce Tools hlavn´ıho menu také v´ yukové demonstraˇcn´ı dokumenty pod názvem Math Apps. Tyto matematické aplikace byly vytvoˇreny ke znázornˇen´ı r˚ uzn´ ych matematick´ ych a fyzikáln´ıch koncept˚ u. Kaˇzd´ y z dokument˚ u obsahuje struˇcn´ y popis pˇr´ısluˇsného konceptu a nˇekteré interaktivn´ı prvky jako napˇr. tlaˇc´ıtka, posuvn´ıky, klikatelné“ ” grafy apod.

1.3.5

Pˇ r´ıkaz ? (otazn´ık)

Symbol ? (otazn´ık) je dalˇs´ım ze zp˚ usob˚ u zobrazen´ı nápovˇedy. Zapsán´ım a proveden´ım pˇr´ıkazu ? otevˇreme hlavn´ı stránku nápovˇedy. Otazn´ık spolu s názvem pˇr´ıkazu otevˇre nápovˇedu na stránce t´ ykaj´ıc´ı se zadaného pˇr´ıkazu. Tedy napˇr. pˇr´ıkaz ?evalf otevˇre hlavn´ı nápovˇedu 15

systému na stránce popisuj´ıc´ı syntaxi a sémantiku pˇr´ıkazu evalf spolu s pˇr´ıklady jeho pouˇzit´ı. Zapsán´ım dvou otazn´ık˚ u na zaˇcátek pˇr´ıkazu otevˇreme tutéˇz stránku nápovˇedy ve sbaleném“ tvaru osnovy, v n´ıˇz je moˇzné otevˇr´ıt (odkr´ yt) libovolné ˇcásti. Zadán´ım tˇr´ı ” otazn´ık˚ u pˇred pˇr´ıkaz otevˇreme nápovˇedu na pˇr´ıkladech pouˇzit´ı tohoto pˇr´ıkazu [5]. Otevˇr´ıt nápovˇedu na stránce zadaného pˇr´ıkazu (resp. kl´ıˇcového slova) m˚ uˇzeme téˇz stisknut´ım klávesy F2 (za pˇr´ıtomnosti kurzoru na kl´ıˇcovém slovˇe). Pˇ r´ıklad 1.7: Zjistˇete, k ˇcemu slouˇz´ı pˇr´ıkaz sum a jak se pouˇz´ıvá. Pˇ r´ıklad 1.8: Zjistˇete, jak je moˇzné v systému Maple pracovat s vektory a maticemi.

1.4

Prov´ adˇ en´ı v´ ypoˇ ct˚ u

Maple provád´ı pˇresnˇe numerické v´ ypoˇcty s cel´ ymi, racionáln´ımi i iracionáln´ımi ˇc´ısly. Kaˇzd´ y zadan´ y matematick´ y v´ yraz se snaˇz´ı zjednoduˇsit (napˇr. zlomek zkrátit a pˇrevést na základn´ı tvar, upravit algebraick´ y v´ yraz, . . . ), ale ne za cenu ztráty pˇresnosti. To znamená, ˇze napˇr´ıklad racionáln´ı ˇc´ısla (zlomky) udrˇzuje stále v jejich základn´ım tvaru. Podobnˇe s konstantami π, e a dalˇs´ımi, s odmocninami a jin´ ymi v´ yrazy pracuje jako se symboly. T´ımto je zaruˇcena absolutn´ı pˇresnost v´ ypoˇct˚ u i v pˇr´ıpadˇe, kdy nepracujeme pouze s cel´ ymi ˇc´ısly [5]. Jsou vˇsak situace, kdy potˇrebujeme znát pˇribliˇznou hodnotu reálného nebo racionáln´ıho ˇc´ısla v pohyblivé ˇra´dové ˇcárce. K tomu slouˇz´ı pˇr´ıkaz evalf, jenˇz vrát´ı zaokrouhlenou hodnotu svého argumentu na poˇcet platn´ ych cifer mantisy specifikovan´ y systémovou promˇennou Digits. Ta je standardnˇe nastavena na hodnotu 10. Vˇsechny v´ ypoˇcty, pˇri nichˇz je nutné zaokrouhlovat ˇc´ısla, provád´ı proto Maple s pˇresnost´ı na 10 platn´ ych m´ıst. Promˇennou Digits m˚ uˇzeme nastavit na takˇrka libovolné pˇrirozené ˇc´ıslo. Omezen´ı, jak vysoké toto ˇc´ıslo m˚ uˇze b´ yt, zjist´ıme pˇr´ıkazem kernelopts(maxdigits). Pro pˇredstavu uved’me, ˇze pro Maple 16 je toto ˇc´ıslo 38 654 705 646, tedy v´ıce neˇz 38 miliard platn´ ych cifer, s kter´ ymi dokáˇze systém 10 teoreticky“ poˇc´ıtat [5]. ”

Obr´ azek 1.10: Pˇr´ıkaz evalf.

Aniˇz bychom mˇenili nastaven´ı promˇenné Digits, m˚ uˇzeme zobrazit libovoln´ y v´ yraz s poˇzadovanou pˇresnost´ı pouze pomoc´ı pˇr´ıkazu evalf. Pˇr´ıkaz je moˇzné pouˇz´ıt s jedn´ım nebo dvˇema parametry. Jedin´ y zadan´ y parametr znamená, ˇze tento zadan´ y v´ yraz bude vyhodnocen na poˇcet platn´ ych m´ıst specifikovan´ y v promˇenné Digits. Druh´ y parametr, kter´ y ˇrekne funkci evalf, na kolik platn´ ych m´ıst má v´ yraz vyhodnotit, lze bud’ pˇridat do kulat´ ych závorek za vyhodnocovan´ y v´ yraz, nebo do hranat´ ych závorek um´ıstˇen´ ych pˇred kulat´ ymi - viz obrázek 1.10. Maple rozeznává pˇresná ˇc´ısla (mezi nˇeˇz patˇr´ı i zm´ınˇené symboly π a e, zlomky atp.) a ˇc´ısla typu Floating-Point, nebo-li ˇc´ısla v pohyblivé ˇrádové ˇcárce. Jestliˇze systému zadáme 10

V´ ypoˇcet se s rostouc´ım poˇctem platn´ ych m´ıst prodluˇzuje a je pamˇet’ovˇe nároˇcnˇejˇs´ı, coˇz zp˚ usobuje praktickou nepouˇzitelnost pro vyˇsˇs´ı poˇcet (z´ avisl´ y na typu u ´lohy) cifer.

16

v´ yraz, v nˇemˇz nˇekter´ y z jeho podv´ yraz˚ u bude typu Floating-Point, m˚ uˇze Maple na cel´ y v´ yraz pohl´ıˇzet jako by byl tohoto typu a bude v´ ysledky v´ ypoˇct˚ u zaokrouhlovat. To nejlépe uvid´ıme na dalˇs´ıch pˇr´ıkladech na obrázku 1.11 [5].

Obr´ azek 1.11: Pˇresn´ a ˇc´ısla a ˇc´ısla typu Floating-Point (pˇrevzato z [5]).

1.4.1

Pˇ r´ıkazy

Pro proveden´ı v´ ypoˇctu máme zpravidla v´ıce moˇznost´ı. Tou základn´ı, která je k dispozici ve vˇsech verz´ıch systému, jsou pˇr´ıkazy jazyka Maple. Chceme-li napˇr´ıklad vypoˇc´ıtat odmocninu z ˇc´ısla 2,5, zap´ıˇseme v systému Maple pˇr´ıkaz sqrt(2.5). Stejného v´ ysledku dosáhneme pouˇzit´ım symbolu pro odmocninu z palety Expression. Pokud chceme urˇcit nejmenˇs´ı spoleˇcn´ y násobek ˇc´ısel 10, 12 a 15, m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt pˇr´ıkazu lcm nebo zapsat ˇc´ısla na ˇrádek za sebe (oddˇelená ˇcárkami) a pˇres pravé tlaˇc´ıtko myˇsi zvolit z kontextové nab´ıdky Apply Function > Least Common Multiple, viz obrázky 1.12, 1.13 [5].

Obr´ azek 1.12: Proveden´ı v´ ypoˇctu pomoc´ı kontextové nab´ıdky (pˇrevzato z [5]).

Pˇ r´ıklad 1.9: Zobrazte ˇc´ıslo π s pˇresnost´ı na pˇet desetinn´ ych m´ıst. ˇ sen´ı: Pro zobrazen´ı pˇribliˇzné (zaokrouhlené) hodnoty s poˇzadovanou pˇresnost´ı vyuˇz´ıváme Reˇ pˇr´ıkazu evalf. Funkci evalf dáme jako prvn´ı argument v´ yraz, jehoˇz pˇribliˇznou hodnotu chceme urˇcit (tj. π). Druh´ y argument bude specifikovat poˇcet platn´ ych m´ıst. Jelikoˇz chceme, 17

aby poˇcet desetinn´ ych m´ıst byl roven pˇeti, poˇcet platn´ ych m´ıst nastav´ıme na 6. Z´ıskáme tak v´ ysledek na obrázku 1.14.

Obr´ azek 1.13: R˚ uzné moˇznosti proveden´ı v´ ypoˇctu (pˇrevzato z [5]).

ˇ sen´ı pˇr´ıkladu 1.9. Obr´ azek 1.14: Reˇ

Pˇ r´ıklad 1.10: Zobrazte Eulerovo ˇc´ıslo s pˇresnost´ı na dvˇe desetinná m´ısta. Pˇ r´ıklad 1.11: Vypoˇc´ıtejte, kolik je 1 −

1.4.2

1.0 3.0

−

1.0 3.0

−

1.0 . 3.0

Proˇc nen´ı v´ ysledek roven 0?

Oznaˇ cen´ı v´ ysledk˚ u

Kaˇzdému zobrazenému v´ ysledku se v zápisn´ıku pˇriˇrazuje ˇc´ıselné oznaˇcen´ı, které se zapisuje zcela vpravo na ˇrádek s odpov´ıdaj´ıc´ım v´ ysledkem. Oznaˇcen´ı je moˇzné potlaˇcit (tj. nezobrazovat), znovu vyvolat, pˇr´ıpadnˇe upravit jeho formát v hlavn´ım menu (Format > Equation Labels > ...). D´ıky oznaˇcen´ı se m˚ uˇzeme na pˇredeˇslé v´ ysledky odvolávat a pouˇz´ıvat je pˇri tvorbˇe dalˇs´ıch pˇr´ıkaz˚ u. V ukázkách vytvoˇren´ ych dokument˚ u (prezentovan´ ych v tomto textu) je oznaˇcen´ı v´ ysledk˚ u vˇzdy potlaˇceno. Pouˇzit´ı oznaˇcen´ı ilustruje obrázek 1.15.

Obr´ azek 1.15: Oznaˇcen´ı v´ ysledk˚ u (pˇrevzato z [5]).

Pokud chceme napˇr´ıklad pˇriˇc´ıst ˇc´ıslo 10 k v´ ysledku s oznaˇcen´ım (2), pak nap´ıˇseme 10 ” + “ a pˇres klávesovou zkratku Ctrl + L“ vloˇz´ıme poˇzadované oznaˇcen´ı (tedy do vyska” ” kuj´ıc´ıho okénka“ zadáme ˇc´ıslo 2 a potvrd´ıme (OK)). M´ısto klávesové zkratky Ctrl + L“ ” 18

je moˇzné pouˇz´ıt horn´ı menu (Insert > Label. . . ). Pozor, zápis (2) vytvoˇren´ y (pouze) na klávesnici pˇri tvorbˇe pˇr´ıkazu Maple nepochop´ı, pro vloˇzen´ı oznaˇcen´ı do pˇr´ıkazu je tˇreba d˚ uslednˇe pouˇz´ıvat pˇredeˇsl´ y postup s vyskakuj´ıc´ım okénkem“ zobrazen´ ym na obrázku 1.16 ” [5].

Obr´ azek 1.16: Vyskakuj´ıc´ı okénko“ pro zadán´ı oznaˇcen´ı (pˇrevzato z [5]). ”

Maple dále nab´ız´ı moˇznost odkazovat se na posledn´ı tˇri v´ ysledky (v tomto pˇr´ıpadˇe je jedno, zda byly zobrazeny ˇci nikoliv, a zda maj´ı nˇejaké oznaˇcen´ı) pomoc´ı symbolu % (procento). Jedno procento (%) pˇredstavuje posledn´ı v´ ysledek, dvˇe procenta (%%) pˇredposledn´ı a tˇri procenta (%%%) pˇred-pˇredposledn´ı. Upozornˇeme, ˇze v´ ysledek z´ıskan´ y tˇemito pˇr´ıkazy závis´ı na poˇrad´ı vykonan´ ych pˇr´ıkaz˚ u, ne na jejich um´ıstˇen´ı v zápisn´ıku! Tedy napˇr. % vyp´ıˇse posledn´ı v´ ysledek z´ıskan´ y pˇredchoz´ım (ˇcasovˇe) vykonan´ ym pˇr´ıkazem (obrázek 1.17).

Obr´ azek 1.17: Vyuˇzit´ı procent pˇri odkazován´ı se na pˇredchoz´ı v´ ysledky (pˇrevzato z [5]).

1.4.3

Vytv´ aˇ ren´ı promˇ enn´ ych

Odkazovat se na v´ yrazy m˚ uˇzeme také po jejich pˇriˇrazen´ı k nˇejaké promˇenné. Operátorem pˇriˇrazen´ı je (dvoj)symbol := (dvojteˇcka + rovn´ıtko). Nam´ısto (dvoj)symbolu := m˚ uˇzeme k pˇriˇrazen´ı pouˇz´ıt pˇr´ıkaz assign. Tak, jak m˚ uˇzeme v´ yrazy do promˇenn´ ych pˇriˇrazovat, m˚ uˇzeme téˇz pˇriˇrazen´ı ruˇsit (tj. odebrat promˇenné uloˇzenou hodnotu). Zm´ınˇené provedeme pˇr´ıkazem unassign nebo pˇriˇrazen´ım názvu promˇenné v apostrofech (obrázek 1.18). Pˇriˇrazovat hodnoty m˚ uˇzeme i do tzv. systémov´ ych promˇenn´ ych. Jiˇz jsme se setkali s promˇennou Digits vyjadˇruj´ıc´ı poˇcet platn´ ych m´ıst, s nimiˇz Maple poˇc´ıtá. Ilustraci na obrázku 1.19 m˚ uˇzeme srovnat s obrázkem 1.10. Odstranit uloˇzenou hodnotu v systémové promˇenné nelze. Do systémov´ ych promˇenn´ ych m˚ uˇzeme hodnoty pouze pˇriˇrazovat, nebo vrátit pˇr´ıkazem restart nastaven´ı vˇsech systémov´ ych 19

Obr´ azek 1.18: Pˇriˇrazen´ı hodnot do promˇenn´ ych a odstranˇen´ı uloˇzené hodnoty (pˇrevzato z [5]).

Obr´ azek 1.19: Promˇenn´ a Digits a pˇr´ıkaz evalf (pˇrevzato z [5]).

promˇenn´ ych na jejich p˚ uvodn´ı hodnoty. Proveden´ı pˇr´ıkazu odstran´ı vˇsechny uloˇzené hodnoty v pamˇeti (tedy i námi definované promˇenné, naˇctené bal´ıky atd.). Pˇr´ıkaz restart se proto pouˇz´ıvá zpravidla na poˇca´tku ˇreˇsen´ı nové u ´lohy, zejména pak na zaˇcátku kaˇzdé práce se zápisn´ıkem (aby se pˇredeˇslo tomu, ˇze budeme pouˇz´ıvat promˇennou, v n´ıˇz je z dˇr´ıvˇejˇska uloˇzena pro nás nesprávná hodnota) [5].

1.4.4

Bal´ıky

Knihovna pˇr´ıkaz˚ u jazyka Maple je rozdˇelena na hlavn´ı knihovnu a tzv. bal´ıky11 . Pˇr´ıkazy, s nimiˇz jsme se doposud setkali, patˇr´ı do hlavn´ı knihovny, a m˚ uˇzeme je tak pouˇz´ıvat ihned po spuˇstˇen´ı systému. Naproti tomu vˇetˇsina speciáln´ıch pˇr´ıkaz˚ u náleˇz´ı do bal´ık˚ u, které mus´ıme pˇred pouˇzit´ım pˇr´ısluˇsného pˇr´ıkazu bud’ naˇc´ıst do dokumentu pomoc´ı pˇr´ıkazu with, nebo zadat pˇr´ıkaz spolu s názvem bal´ıku. Naˇcten´ı bal´ıku pomoc´ı pˇr´ıkazu with umoˇzn´ı pouˇz´ıván´ı vˇsech pˇr´ıkaz˚ u z pˇr´ısluˇsného bal´ıku. Naopak zadán´ı pˇr´ıkazu spolu s názvem bal´ıku je nutné provádˇet pˇri kaˇzdém pouˇzit´ı tohoto pˇr´ıkazu, pokud bal´ık nenaˇcteme (pˇr´ıkazem with). 11

Kromˇe pojmu bal´ık se v ˇceˇstinˇe pouˇz´ıv´ a také term´ın knihovna.

20

Naˇcten´ı bal´ıku m˚ uˇzeme zruˇsit pˇr´ıkazem unwith. Pokud bal´ık nenaˇcteme a pouˇzijeme z nˇej nˇejak´ y pˇr´ıkaz, Maple jej nerozpozná a pˇr´ıkaz vyp´ıˇse jako textov´ y ˇretˇezec. Napˇr´ıklad pˇr´ıkazy pro práci s vektory a maticemi náleˇz´ı do bal´ıku LinearAlgebra. Jestliˇze chceme tedy pouˇz´ıt pˇr´ıkaz Eigenvalues pro nalezen´ı vlastn´ıch ˇc´ısel matice, naˇcteme nejprve bal´ık LinearAlgebra, jak dokumentuje obrázek 1.20 [5].

Obr´ azek 1.20: Pouˇzit´ı bal´ık˚ u.

Jedn´ım z v´ yznamn´ ych bal´ık˚ u je bal´ık s názvem RealDomain. Systém Maple pracuje s komplexn´ımi ˇc´ısly a právˇe bal´ık RealDomain umoˇzn ˇuje omezit se pouze na mnoˇzinu reáln´ ych 12 ˇc´ısel (obrázek 1.21). Jednotky Práci s jednotkami umoˇzn ˇuje bal´ık Units. Pˇri v´ ypoˇctech tak nemus´ıme pracovat jen s ˇc´ısly, ale m˚ uˇzeme jim pˇriˇrazovat i jednotky. K vloˇzen´ı jednotek do zápisn´ıku vyuˇzijeme palety Units. Obrázek 1.22 ilustruje pouˇzit´ı jednotek pˇri v´ ypoˇctu gravitaˇcn´ı s´ıly p˚ usob´ıc´ı v t´ıhovém −2 poli Zemˇe (kde gravitaˇcn´ı zrychlen´ı je pˇribliˇznˇe rovno 9,81 ms ) na tˇeleso o hmotnosti 10 kg. Vid´ıme, ˇze Maple um´ı jednotky také zjednoduˇsovat (resp. upravovat na jin´ y tvar). Ke zjednoduˇsen´ı v´ yraz˚ u pˇritom slouˇz´ı pˇr´ıkaz simplify. Maple rozpoznává jednotky r˚ uzn´ ych soustav a velikost´ı, s nimiˇz um´ı pracovat a vzájemnˇe je pˇrevádˇet. Pro pˇrevod jednotek je k dispozici speciáln´ı nástroj zvan´ y Units Calculator. 12 ´

Upln´ y seznam pˇr´ıpad˚ u (resp. pˇr´ıkaz˚ u), v nichˇz se m˚ uˇzeme pomoc´ı tohoto bal´ıku omezit jen na re´ aln´ a ˇc´ısla, nalezneme v n´ apovˇedˇe k bal´ıku RealDomain

21

Obr´ azek 1.21: Pouˇzit´ı bal´ıku RealDomain.

Obr´ azek 1.22: Pouˇzit´ı jednotek (pˇrevzato z [5]).

Obr´ azek 1.23: Units Calculator (pˇrevzato z [5]).

Spustit jej m˚ uˇzeme z hlavn´ıho menu pˇres Tools > Assistants > Units Calculator.... Ukázku poskytuje obrázek 1.23. Pokud chceme pouˇz´ıt jednotku, která nen´ı v paletˇe Units, m˚ uˇzeme si ji vytvoˇrit sami tak, ˇze pˇridáme jednotku s názvem unit a název pˇrep´ıˇseme. V systému Maple 16 je implementováno pˇres 500 jednotek (tzn. v paletˇe Units je pouze nˇekolik vybran´ ych) [5].

1.4.5

ˇ sen´ı rovnic Reˇ

K ˇreˇsen´ı rovnic v systému Maple slouˇz´ı pˇr´ıkaz solve a nˇekolik pˇr´ıkaz˚ u k nˇemu pˇr´ıbuzn´ ych závisl´ ych na typech rovnic, viz tabulka 1.1. 22

Tabulka 1.1: Pˇr´ıkazy pro ˇreˇsen´ı rovnic Typ rovnice Rovnice a nerovnice Obyˇcejné diferenciáln´ı rovnice Parciáln´ı diferenciáln´ı rovnice Rovnice v oboru cel´ ych ˇc´ısel Rovnice v oboru cel´ ych ˇc´ısel v koneˇcném tˇelese Lineárn´ı integráln´ı rovnice Systémy lineárn´ıch rovnic Rekurentn´ı rovnice

Pˇ r´ıkaz pro ˇ reˇ sen´ı solve, fsolve dsolve pdsolve isolve msolve intsolve LinearAlgebra[LinearSolve] rsolve

Pomoc´ı interaktivn´ıho prostˇred´ı Standard Worksheet m˚ uˇzeme ˇreˇsit rovnice téˇz pomoc´ı kontextové nab´ıdky. Zap´ıˇseme rovnici a prav´ ym tlaˇc´ıtkem myˇsi zvol´ıme poˇzadovan´ y pˇr´ıkaz. Obrázek 1.24 ilustruje nˇekteré pˇr´ıklady ˇreˇsen´ı rovnic.

Obr´ azek 1.24: Uk´ azka ˇreˇsen´ı r˚ uzn´ ych druh˚ u rovnic pouˇzit´ım jednak pˇr´ıkazu, jednak kontextové nab´ıdky (pˇrevzato z [5]).

Pˇr´ıkazy pro ˇreˇsen´ı rovnic nemus´ı vˇzdy zobrazit vˇsechna ˇreˇsen´ı. Pokud je chceme zobrazit, pˇridáme pˇr´ıkazu solve nepovinn´ y parametr AllSolutions, viz obrázek 1.25 [5]. ˇ jde Symbol Z2∼ na obrázku 1.25 pˇredstavuje libovolnou celoˇc´ıselnou promˇennou. Ze o celoˇc´ıselnou promˇennou poznáme podle toho, ˇze se v symbolu vyskytuje p´ısmeno Z. Podobnˇe by v´ yskyt napˇr´ıklad p´ısmena C znaˇcil promˇennou komplexn´ı. Cifra 2 v symbolu 23

Obr´ azek 1.25: Zobrazen´ı vˇsech ˇreˇsen´ı rovnice (pˇrevzato z [5]).

promˇenné oznaˇcuje poˇrad´ı, v jakém byla promˇenná v zápisn´ıku zavedena. A nakonec znak ∼ vyjadˇruje, ˇze promˇenná splˇ nuje nˇejak´ y pˇredpoklad. Jaké pˇredpoklady promˇenná splˇ nuje pˇritom zjist´ıme pˇr´ıkazem about, pˇr´ıpadnˇe zápisem promˇenné a po kliknut´ı prav´ ym tlaˇc´ıtkem myˇsi zvolen´ım What Assumptions z kontextové nab´ıdky. V zobrazeném pˇr´ıkladu na obrázku 1.25 je pˇredpoklad celoˇc´ıselnosti (u jiˇz celoˇc´ıselné) promˇenné pˇrebyteˇcn´ y.

Obr´ azek 1.26: Tvar zobrazen´ı ˇreˇsen´ı rovnice (pˇrevzato z [5]).

Dále m˚ uˇze pˇr´ıkaz solve zobrazit v´ ysledek se strukturou RootOf vyjadˇruj´ıc´ı koˇren (tj. ˇreˇsen´ı) ˇ rovnice v nevyhodnoceném tvaru. Reˇsen´ı pak vyhodnot´ıme bud’ pˇr´ıkazem allvalues (pro symbolické vyjádˇren´ı), nebo pˇr´ıkazem evalf (pro numerické vyjádˇren´ı) – obrázek 1.26. Vedle pˇr´ıkaz˚ u m˚ uˇzeme téˇz vyuˇz´ıt pravého tlaˇc´ıtka myˇsi, zvolit z kontextové nab´ıdky poloˇzku All Values (pro symbolické vyjádˇren´ı) a z´ıskan´ y v´ ysledek pˇrevést na numerickou hodnotu zvolen´ım Approximate > 10 (pro 10 platn´ ych m´ıst) z kontextové nab´ıdky. Symboly Z ve struktuˇre RootOf nyn´ı nepˇredstavuj´ı celoˇc´ıselnou promˇennou (nebot’ za p´ısmenem Z nenásleduje ˇc´ıslo), n´ ybrˇz promˇennou libovolnou (tj. i komplexn´ı). Systém Maple po zadán´ı pˇr´ıkazu vyp´ıˇse zpravidla pouze ˇreˇsen´ı, pˇr´ıpadnˇe chybová hláˇsen´ı ˇci varován´ı. U pˇr´ıkazu solve (a nejen u nˇej) toto chován´ı zp˚ usobuje prázdn´ y v´ ypis“ v pˇr´ıpadˇe, ” ˇze Maple ˇza´dné ˇreˇsen´ı nenaˇsel. Pro v´ ypis podrobnˇejˇs´ıch informac´ı o pr˚ ubˇehu vyhodnocen´ı pˇr´ıkazu a v´ ysledc´ıch slouˇz´ı promˇenná infolevel. M˚ uˇzeme ji nastavit bud’ pro kaˇzd´ y pˇr´ıkaz samostatnˇe, pˇriˇcemˇz do hranat´ ych závorek za promˇennou vloˇz´ıme název pˇr´ısluˇsného pˇr´ıkazu, 24

nebo ji nastav´ıme vˇsem pˇr´ıkaz˚ um souˇcasnˇe na stejnou hodnotu uveden´ım slova all do hraˇ ım vyˇsˇs´ı hodnota je pˇriˇrazena nat´ ych závorek. Promˇenná m˚ uˇze nab´ yvat hodnot 1, 2, ..., 5. C´ v promˇenné infolevel, t´ım v´ıce informac´ı o vyhodnocen´ı pˇr´ıkazu obdrˇz´ıme. Standardnˇe nen´ı promˇenná nastavena na ˇzádnou hodnotu, coˇz v podstatˇe odpov´ıdá nastaven´ı promˇenné na hodnotu 0. Pouˇzit´ı promˇenné infolevel dokumentuj´ı obrázky 1.27 a 1.28 [5].

Obr´ azek 1.27: Promˇenn´ a infolevel a prázdn´ y v´ ypis“ pˇr´ıkazu solve (pˇrevzato z [5]). ”

Obr´ azek 1.28: Promˇenná infolevel a pˇr´ıkaz solve.

ˇ ste nerovnici: |x − 2| < 1 pro x ∈ R. Pˇ r´ıklad 1.12: Reˇ 25

ˇ sen´ı: Pro ˇreˇsen´ı nerovnice pouˇzijeme pˇr´ıkaz solve. Z´ıskan´ Reˇ y v´ ysledek odpov´ıdá zápisu x ∈ (1, 3). V´ yraz RealRange znaˇc´ı reáln´ y interval, v´ yraz Open(1) vyjadˇruje otevˇren´ y interval (v bodˇe 1). Pokud bychom zadali argument pˇr´ıkazu solve do sloˇzen´ ych závorek (tj. solve({|x-2|<1})), z´ıskali bychom v´ ysledek ve tvaru nerovnost´ı.


ˇ ste nerovnici |x − 2| < 1 pro x ∈ Z. Pˇ r´ıklad 1.13: Reˇ ˇ ste nerovnici |x − 2| ≥ 1 pro x ∈ Z. Pˇ r´ıklad 1.14: Reˇ Pˇ r´ıklad 1.15: Urˇcete koˇreny polynomu x3 − 3 · x2 − 13 · x + 15 pro x ∈ R. ˇ sen´ı: Koˇreny polynomu m˚ Reˇ uˇzeme urˇcit r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby. Jednak je moˇzné pouˇz´ıt pˇr´ıkaz solve a hledat body, v nichˇz je polynom nulov´ y. Systém Maple nab´ız´ı téˇz pˇr´ıkaz roots pro hledán´ı koˇren˚ u polynomu jedné promˇenné. Oba postupy ilustruje obrázek 1.30.


V´ ystup pˇr´ıkazu roots je tvoˇren seznamem dvojic. Kaˇzdá dvojice obsahuje hodnotu koˇrenu a jeho násobnost. ˇ ste nerovnici x ≤ x2 − 12 ≤ 4 · x pro x ∈ R. Pˇ r´ıklad 1.16: Reˇ Pˇ r´ıklad 1.17: Urˇcete obecnˇe koˇreny kvadratického polynomu tvaru a · x2 + b · x + c pro a ∈ R \ {0}, b ∈ R, c ∈ R, x ∈ C. Zamyslete se, jak byste v ˇreˇsen´ı postupovali, kdybychom povolili moˇznost a = 0 a x omezili jen na reálná ˇc´ısla. ˇ ste rovnici tan(x) = Pˇ r´ıklad 1.18: Reˇ

√ 3 pro x ∈ R.

ˇ ste soustavu rovnic Pˇ r´ıklad 1.19: Reˇ 5 · x − 7 · y = −9, 3·x+y =5 pro x ∈ R, y ∈ R.

26

2 Matematick´ a anal´ yza s Maple v R 2.1 2.1.1

V´ yrazy a jejich u ´ pravy Zjednoduˇ sen´ı v´ yrazu

Ke zjednoduˇsen´ı v´ yrazu slouˇz´ı pˇredevˇs´ım pˇr´ıkazy simplify, normal a combine. Pˇr´ıkaz simplify provád´ı základn´ı zjednoduˇsen´ı zadaného v´ yrazu, pˇr´ıkaz normal je urˇcen pro u ´pravy zlomk˚ u a pˇr´ıkaz combine sluˇcuje v´ yrazy. Vybrané pˇr´ıklady pouˇzit´ı m˚ uˇzeme pozorovat na obrázku 2.1.

Obr´ azek 2.1: Zjednoduˇsován´ı v´ yraz˚ u.

2.1.2

Omezuj´ıc´ı podm´ınky

Pˇr´ıkazu simplify (stejnˇe jako ostatn´ım pˇr´ıkaz˚ um) m˚ uˇzeme doplnit omezuj´ıc´ı podm´ınky (resp. pˇredpoklady), které budou aplikovány pˇri zjednoduˇsován´ı zadaného v´ yrazu. Prove’ deme to bud pˇridán´ım druhého parametru assume = podm´ ınka , nebo zápisem assuming 27

podm´ ınka za pˇr´ıkaz simplify. Jako druh´ y parametr m˚ uˇzeme uvést také mnoˇzinu omezuj´ıc´ıch rovnost´ı. Konkrétn´ı pˇr´ıklady vid´ıme na obrázku 2.2.

Obr´ azek 2.2: Zjednoduˇsov´ an´ı v´ yraz˚ u – dalˇs´ı moˇznosti pˇr´ıkazu simplify.

2.1.3

´ Uprava polynomu

Pˇredevˇs´ım pro u ´pravy polynom˚ u máme k dispozici pˇr´ıkazy collect, coeff, sort, factor a expand, jejichˇz pouˇzit´ı shrnuje tabulka 2.1 a na pˇr´ıkladech dokumentuj´ı obrázky 2.3, 2.4. Tabulka 2.1: Pˇr´ıkazy pro u ´pravy pˇredevˇs´ım polynom˚ u Pˇ r´ıkaz collect coeff sort factor expand

2.1.4

Pouˇ zit´ı vyt´ ykán´ı ve v´ yrazech (nejen polynomech) koeficient u zvoleného ˇclenu polynomu setˇr´ıdˇen´ı ˇclen˚ u polynomu (nebo prvk˚ u seznamu) rozklad polynomu na souˇcin koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u roznásoben´ı / rozvinut´ı (nejen u polynom˚ u)

Pˇ revod v´ yrazu na jin´ y tvar

Závˇerem této sekce zm´ın´ıme velmi univerzáln´ı pˇr´ıkaz convert. S jeho pomoc´ı m˚ uˇzeme pˇrevádˇet zadan´ y v´ yraz (pˇr´ıpadnˇe jinou datovou strukturu jako napˇr. seznam) na jin´ y (zvo28

Obr´ azek 2.3: Pouˇzit´ı pˇr´ıkaz˚ u collect, coeff a sort.

Obr´ azek 2.4: Pouˇzit´ı pˇr´ıkaz˚ u factor a expand.

len´ y) tvar1 . Obrázky 2.5 a 2.6 ukazuj´ı pouˇzit´ı pˇr´ıkazu pro pˇrevod desetinného ˇc´ısla na zlomek 1

Jelikoˇz m´ a pˇr´ıkaz convert mnoho r˚ uzn´ ych pouˇzit´ı, doporuˇcujeme ˇctenáˇri pod´ıvat se na stránku nápovˇedy k tomuto pˇr´ıkazu (viz ?convert).

29

(pˇridáváme parametr rational) a pro pˇrevod v´ yrazu na parciáln´ı zlomky (pˇridáváme para2 metr parfrac ).

Obr´ azek 2.5: Pouˇzit´ı pˇr´ıkazu convert.

Jak jsme jiˇz vidˇeli, v prostˇred´ı Standard Worksheet je obvykle v´ıce moˇznost´ı, jak ˇreˇsit danou u ´lohu. U v´ yˇse uveden´ ych pˇr´ıklad˚ u (na obrázc´ıch 2.1 – 2.6) je moˇzné vyuˇz´ıt také kontextové nab´ıdky. Do dokumentu vloˇz´ıme v´ yraz, kter´ y chceme upravovat, klikneme na nˇej prav´ ym tlaˇc´ıtkem myˇsi a z kontextové nab´ıdky zvol´ıme poˇzadovan´ y pˇr´ıkaz (ˇcasto i s upˇresnˇen´ım poˇzadované u ´pravy, tj. napˇr. vybereme Simplify>Simplify nebo Combine>exp ˇci Simplify>Assuming Real atp.). T´ımto zp˚ usobem m˚ uˇzeme obdrˇzet napˇr´ıklad v´ ysledky na obrázku 2.7. 2

Symbol I v systému Maple znaˇc´ı imagon´ arn´ı jednotku.

30

Obr´ azek 2.6: Moˇznosti pˇr´ıkazu convert pˇri rozkladu v´ yrazu na parciáln´ı zlomky.

Obr´ azek 2.7: Zjednoduˇsován´ı v´ yraz˚ u pomoc´ı kontextové nab´ıdky.

31

√

· (a·x−b·x) Pˇ r´ıklad 2.1: Urˇcete hodnotu v´ yrazu x+b pro b = 16, x = 9, y = 3. y 3 · (a−b) ˇ sen´ı: Pro vyˇreˇsen´ı máme v´ıce moˇznost´ı. Pouˇzijme nejprve pˇr´ıkaz simplify podobnˇe Reˇ jako na obrázku 2.2. M˚ uˇze se stát, ˇze pˇr´ıkaz neuprav´ı najednou“ zadan´ y v´ yraz aˇz na nej” jednoduˇsˇs´ı tvar. V takovém pˇr´ıpadˇe (kter´ y právˇe nyn´ı nastane) jej pouˇzijeme dvakrát. Dalˇs´ı moˇznost´ı je pouˇz´ıt vyhodnocovac´ı pˇr´ıkaz eval.


Pˇ r´ıklad 2.2: Vytvoˇrte polynom, kter´ y má jeden trojnásobn´ y koˇren s hodnotou 23 a jeden dvojnásobn´ y s hodnotou −5. Necht’ je v´ ysledn´ y polynom v roznásobeném tvaru. ˇ Reˇsen´ı: Polynom˚ u splˇ nuj´ıc´ıch zadán´ı je nekoneˇcnˇe mnoho, pˇripust´ıme-li moˇznost m´ıt i dalˇs´ı koˇreny. Koˇreny jednoznaˇcnˇe urˇcuj´ı koˇrenové ˇcinitele polynomu. Polynom maj´ıc´ı pouze koˇreny zm´ınˇené v zadán´ı bude tvoˇren´ y tˇremi ˇciniteli tvaru (x − 23 ) a dvˇema tvaru (x − 5). Roznásoben´ y tvar z´ıskáme pˇr´ıkazem expand.


Pˇ r´ıklad 2.3: Zjednoduˇste v´ yraz cos(n · π) za pˇredpokladu, ˇze n je sudé. 32

Pˇ r´ıklad 2.4: Zjednoduˇste v´ yraz a−b a+b

1−

a. b

Pˇ r´ıklad 2.5: Zjednoduˇste v´ yraz sin(2 · x) − cos(x) . cos(2 · x) − 1 + sin(x)

Pˇ r´ıklad 2.6: Rozloˇzte na souˇcin: 4 · x2 · (y 2 − z 2 ) + 25 · v · (z 2 − y 2 ). Pˇ r´ıklad 2.7: Zjednoduˇste: (2 · h + 5 · s)2 − (2 · h + 5 · s) · (2 · h − 5 · s). Pˇ r´ıklad 2.8: Necht’ p1 = x5 + 15 · x4 + 85 · x3 + 225 · x2 + 274 · x + 120,

p2 = x2 + 6 · x + 8.

Zjednoduˇste pp21 . V´ ysledek rozloˇzte na souˇcin koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u. V´ yraz parciáln´ı zlomky.

2.2 2.2.1

p2 p1

rozloˇzte na

Funkce jedn´ e promˇ enn´ e Definice funkce

V prostˇred´ı Standard Worksheet jsou 2 zp˚ usoby, jak definovat funkci. Vytvoˇrme napˇr´ıklad 2 funkci f (x) = x . Prvn´ı moˇznost´ı (k dispozici jen v prostˇred´ı Standard Worksheet a pro matematick´ y reˇzim Math Mode) je napsat funkˇcn´ı pˇredpis stejnˇe, jak jsme to udˇelali pˇred chv´ıl´ı, s t´ım rozd´ılem, ˇze nam´ısto rovn´ıtka ( =“) pouˇzijeme symbol pro pˇriˇrazen´ı ( :=“), ” ” tedy f(x):=x^2. Po spuˇstˇen´ı pˇr´ıkazu mus´ıme v následnˇe zobrazeném vyskakuj´ıc´ım okénku potvrdit, ˇze se jedná o definici funkce. Druhou moˇznost´ı (platnou i v jin´ ych prostˇred´ıch systému Maple), jak vytvoˇrit funkci, je pouˇzit´ı ˇsipkové notace. Pˇr´ıkaz pak vypadá následovnˇe: ˇ f:=x->x^2. Sipku vytvoˇr´ıme pomlˇckou následovanou symbolem vˇetˇs´ı neˇz“ ( >“). ” ” V prostˇred´ı Standard Worksheet si definován´ı funkce m˚ uˇzeme ulehˇcit vyuˇzit´ım palet. Bud’ je moˇzné pˇri vytváˇren´ı pˇr´ıkazu pouˇz´ıt ˇsipku z palety Arrows, nebo m˚ uˇzeme vz´ıt celou ˇsablonu pˇr´ıkazu vytvoˇren´ı funkce z palety Expression a modifikovat v n´ı poˇzadované symboly. Funkˇcn´ı hodnotu definované funkce v daném bodˇe z´ıskáme zápisem názvu funkce spolu s hodnotami parametr˚ u v závorce (nemus´ıme pˇritom zadávat pouze numerické hodnoty). D˚ uleˇzité je v Maple d˚ uslednˇe rozliˇsovat funkce a v´ yrazy, lépe ˇreˇceno funkˇcn´ı operátory a v´ yrazy. V matematice totiˇz uˇz´ıváme pojem funkce i v pˇr´ıpadech, které v Maple pˇredstavuj´ı v´ yrazy (funkˇcn´ı v´ yrazy – napˇr. f (x)). Jestliˇze vytvoˇr´ıme v´ yraz, napˇr´ıklad x^2, a pˇriˇrad´ıme jej k nˇejaké promˇenné, napˇr. g, jedná se stále pouze o v´ yraz. Hodnotu g pro x = 5 nem˚ uˇzeme proto urˇcit jako funkˇcn´ı hodnotu v bodˇe 5, ale mus´ıme pouˇz´ıt vyhodnocovac´ıho pˇr´ıkazu eval, pˇr´ıpadnˇe do x pˇriˇradit hodnotu 5. Naproti tomu funkˇcn´ı hodnotu funkce f (nebo vhodnˇeji ˇreˇceno funkˇcn´ıho operátoru) v bodˇe 5 z´ıskáme specifikac´ı argumentu operátoru (funkce) f , viz obrázek 2.11 [5]. Dále Maple nab´ız´ı pˇr´ıkaz unapply, kter´ y ze zadaného v´ yrazu udˇelá funkci (funkˇcn´ı operátor). Tento pˇr´ıkaz má dva argumenty: v´ yraz, z nˇehoˇz chceme udˇelat funkci, a nezávisle 33

Obr´ azek 2.10: Definice funkce v prostˇred´ı Standard Worksheet.

Obr´ azek 2.11: Rozd´ıl mezi funkc´ı a v´ yrazem (pˇrevzato z [5] a doplnˇeno).

promˇennou. Podobnˇe máme k dispozici téˇz pˇr´ıkaz apply, kter´ y z funkˇcn´ıho operátoru udˇelá v´ yraz (aplikuje funkˇcn´ı operátor na zadan´ y argument/argumenty) – pravá ˇca´st obrázku 2.11. V´ yrazy a funkce m˚ uˇzeme téˇz definovat po ˇca´stech pomoc´ı pˇr´ıkazu piecewise. Argumenty v závorce urˇcuj´ı vˇzdy nejprve interval následovan´ y funkˇcn´ı hodnotou na tomto intervalu. Posledn´ı mnoˇzinu bod˚ u jiˇz zapisovat nemus´ıme, staˇc´ı funkˇcn´ı hodnota. Maple ji 34

dopln´ı ve zb´ yvaj´ıc´ı mnoˇzinˇe zat´ım nedefinovan´ ych bod˚ u. Je moˇzné téˇz sestrojit funkci, která je definována pouze na libovolné podmnoˇzinˇe reáln´ ych ˇc´ısel. Pokud má funkce definovaná po ˇcástech pouze dva r˚ uzné pˇredpisy, m˚ uˇzeme k jej´ımu vytvoˇren´ı vyuˇz´ıt symbolu otevˇrené sloˇzené závorky z palety Expression (viz obrázek 2.12) [5].

Obr´ azek 2.12: Funkce definovaná po ˇcástech (pˇrevzato z [5]).

2.2.2

Vlastnosti funkc´ı

Definice 2.1: Definiˇcn´ım oborem funkce f naz´ yváme mnoˇzinu vˇsech hodnot, pro nˇeˇz je 3 funkce f definována. Znaˇc´ıme ji D(f ) . Oborem hodnot funkce f naz´ yváme mnoˇzinu vˇsech hodnot, kter´ ych funkce f na svém definiˇcn´ım oboru nab´ yvá. Znaˇc´ıme ji H(f )4 . Definice 2.2: Funkce f se naz´ yvá shora ohraniˇcená, pokud existuje K ∈ R tak, ˇze f (x) ≤ K pro vˇsechna x ∈ D(f ). Analogicky, funkce f se naz´ yvá zdola ohraniˇcená, pokud existuje L ∈ R tak, ˇze f (x) ≥ L pro vˇsechna x ∈ D(f ). Funkci f naz´ yváme ohraniˇcenou (omezenou), pokud je f ohraniˇcená zdola i shora. 3 4

V literatuˇre je téˇz moˇzné se setkat s oznaˇcen´ım Dom(f ). V literatuˇre je téˇz moˇzné se setkat s oznaˇcen´ım Im(f ), pˇr´ıpadnˇe R(f ).

35

Definice 2.3: Funkce f se naz´ yvá sudá, pokud pro vˇsechna x ∈ D(f ) plat´ı, ˇze −x ∈ D(f ) a f (x) = f (−x). Funkce f se naz´ yvá lichá, pokud pro vˇsechna x ∈ D(f ) plat´ı, ˇze −x ∈ D(f ) a f (x) = −f (−x). ˇ Definice 2.4: Necht’ M ⊆ D(f ) obsahuje alespoˇ n 2 body. Rekneme, ˇze funkce f je na M (a) rostouc´ı, jestliˇze ∀x1 , x2 ∈ M : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ), (b) klesaj´ıc´ı, jestliˇze ∀x1 , x2 ∈ M : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ), (c) nerostouc´ı, jestliˇze ∀x1 , x2 ∈ M : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ), (d) neklesaj´ıc´ı, jestliˇze ∀x1 , x2 ∈ M : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ), (e) konstantn´ı, jestliˇze ∀x1 , x2 ∈ M : f (x1 ) = f (x2 ). ˇ Definice 2.5: Necht’ M ⊆ D(f ) obsahuje alespoˇ n 2 body. Rekneme, ˇze funkce f je na M (a) prostá (injektivn´ı), jestliˇze ∀x1 , x2 ∈ M : x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ), (b) zobrazen´ım na mnoˇzinu N ⊆ H(f ) (surjektivn´ı), jestliˇze ∀y ∈ N : ∃x ∈ M ∧ f (x) = y, (c) bijektivn´ı z M do N , jestliˇze je prostá na M a souˇcasnˇe je zobrazen´ım na mnoˇzinu N (tedy injektivn´ı a surjektivn´ı). Systém Maple nemá ˇza´dné pˇr´ıkazy na urˇcován´ı právˇe definovan´ ych vlastnost´ı. To vˇsak neznamená, ˇze tyto vlastnosti nem˚ uˇzeme urˇcovat sami. V nˇekter´ ych pˇr´ıpadech nám m˚ uˇze systém Maple pomoci. I definiˇcn´ı obor a obor hodnot funkce mus´ıme zjistit sami. Systém Maple m˚ uˇzeme efektivnˇe vyuˇz´ıt pouze v pˇr´ıpadech, kdy si nejsme jisti, jestli dan´ y bod patˇr´ı do nˇekteré z mnoˇzin, a to bud’ pokusem o vyhodnocen´ı funkce v daném bodˇe nebo hledán´ım ˇreˇsen´ı rovnice, kdy se uvaˇzovaná funkce rovná danému bodu. Pˇ r´ıklad 2.9: Urˇcete D(f ) a H(f ) funkce f (x) = ln(x). ˇ sen´ı: Z pˇrednáˇsky Matematické anal´ Reˇ yzy v´ıme, ˇze D(f ) = R+ = {x ∈ R|x > 0} a H(f ) = R. Systém Maple bychom vyuˇzili asi jen v pˇr´ıpadˇe, kdybychom si nebyli jist´ı, jak je definována funkce ln(x) a chtˇeli se napˇr´ıklad pˇresvˇedˇcit, ˇze nen´ı definována pro x = 0. V tom pˇr´ıpadˇe bychom mohli zkusit z´ıskat funkˇcn´ı hodnotu v bodˇe 0. Na obrázku 2.13 vid´ıme, ˇze obdrˇz´ıme chybovou zprávu, která je sice trochu matouc´ı (zmiˇ nováno je dˇelen´ı nulou), nicménˇe funkˇcn´ı hodnota neexistuje. Podobnˇe m˚ uˇzeme napˇr´ıklad ovˇeˇrit, ˇze 0 ∈ H(f ), ˇreˇsen´ım rovnice ln(x) = 0. Upozornˇeme, ˇze Maple poˇc´ıtá standardnˇe s komplexn´ımi ˇc´ısly, a tak vyhodnocen´ı funkce ln(x) pro záporné x nezp˚ usob´ı ˇza´dnou chybu. Jelikoˇz se pohybujeme v oboru reáln´ ych ˇc´ısel, je tˇreba se omezit pouze na nˇej naˇcten´ım bal´ıku RealDomain (viz obrázek 1.21).


Pro zjiˇstˇen´ı, zda je funkce (shora, zdola) ohraniˇcená, ˇci nikoliv, m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt pˇr´ıkaz˚ u minimize a maximize pro hledán´ı nejmenˇs´ıch a nejvˇetˇs´ıch funkˇcn´ıch hodnot. V pˇr´ıpadˇe, ˇze funkce nen´ı v nˇekterém smˇeru“ ohraniˇcená, vrac´ı zm´ınˇené pˇr´ıkazy hodnotu ∞, resp. −∞. ” 36

Dalˇs´ı funkˇcn´ı vlastnosti m˚ uˇzeme urˇcovat (ovˇeˇrovat) za pomoci pˇr´ıkaz˚ u evalb nebo verify. Tyto pˇr´ıkazy otestuj´ı, zda je zadan´ y v´ yraz pravdiv´ y, ˇci nikoliv. Ukaˇzme si to na následuj´ıc´ım pˇr´ıkladu. Pˇ r´ıklad 2.10: Urˇcete, zda je funkce cos(x) sudá nebo lichá. ˇ sen´ı: Opˇet z pˇrednáˇsky v´ıme, ˇze funkce cos(x) je funkc´ı sudou. Sudost funkce otestuReˇ jeme zjiˇstˇen´ım pravdivostn´ı hodnoty v´ yrazu cos(x) = cos(−x), lichost podobnˇe podle pravdivostn´ı hodnoty v´ yrazu cos(x) = −cos(−x). I tentokrát bychom správnˇe mˇeli pouˇz´ıt bal´ık ’ RealDomain, nebot bez nˇej ovˇeˇrujeme zm´ınˇené rovnosti pro vˇsechna komplexn´ı x. V obou pˇr´ıpadech vˇsak z´ıskáme stejn´ y v´ ysledek.


Pˇrestoˇze m˚ uˇzeme vytvoˇrit logické v´ yrazy i pro zbylé funkˇcn´ı vlastnosti, pˇr´ıkazy evalb a verify vˇetˇsinou vracej´ı hodnotu FAIL jako znamen´ı, ˇze nedokáˇz´ı o pravdivostn´ı hodnotˇe rozhodnout. Nˇekteré dalˇs´ı pˇr´ıklady je proto potˇreba ˇreˇsit samostatnˇe a systém Maple vyuˇz´ıt jen k drobn´ ym pod´ ulohám“ – jako v následuj´ıc´ım pˇr´ıkladu 2.11. ” Pˇ r´ıklad 2.11: Urˇcete, zda je funkce cos(x) na R rostouc´ı, klesaj´ıc´ı, prostá ˇci bijektivn´ı. ˇ sen´ı: Z pˇrednáˇsky v´ıme, ˇze funkce cos(x) na celé mnoˇzinˇe R ˇza´dnou ze zm´ınˇen´ Reˇ ych vlastnost´ı nesplˇ nuje, coˇz m˚ uˇzeme dokázat nalezen´ım protipˇr´ıkladu. Vezmˇeme napˇr. body x1 = 0 a x2 = 2 · π. Plat´ı, ˇze x1 < x2 (tj. x1 6= x2 ) a souˇcasnˇe cos(x1 ) = cos(x2 ). Tedy funkce nen´ı rostouc´ı, nen´ı klesaj´ıc´ı a nen´ı prostá, z ˇcehoˇz plyne, ˇze nem˚ uˇze b´ yt ani bijektivn´ı. ’ Systém Maple tu m˚ uˇzeme pouˇz´ıt ke zjiˇst ován´ı funkˇcn´ıch hodnot (i kdyˇz v tomto pˇr´ıpadˇe známe funkˇcn´ı hodnoty zpamˇeti). V praxi se nám vˇsak ˇcasto hod´ı naj´ıt intervaly, v nichˇz funkce nˇekteré vlastnosti splˇ nuje. Funkce cos(x) je periodická s periodou 2 · π a na intervalech [k · π, (k + 1) · π] pro k ∈ Z je bijektivn´ı (tedy i prostá), pro sudá k je na tˇechto intervalech vˇzdy klesaj´ıc´ı, pro lichá k rostouc´ı. Pˇ r´ıklad 2.12: Dokaˇzte, ˇze funkce sin(x) je ohraniˇcená. Pˇ r´ıklad 2.13: Uvaˇzujme funkci f (x) = obor a obor hodnot. Je f ohraniˇcená?

1 . x2 −5·x+6

Je f sudá nebo lichá? Urˇcete jej´ı definiˇcn´ı

Pˇ r´ıklad 2.14: U následuj´ıc´ıch funkc´ı urˇcete, zda jsou sudé, liché, nebo ani jedno. (a) f (x) = 9 − x2 ,

(b) f (x) =

√ x,

37

(c) f (x) = x1 .

Pˇ r´ıklad 2.15: Definujte funkci f , pro niˇz plat´ı: (a) D(f ) = (0, 1), H(f ) = (0, 2), (b) D(f ) = R \ {1}, H(f ) = R \ {0}, (c) D(f ) = R \ {0}, H(f ) = R \ {1}, (d) D(f ) = R, H(f ) = R+ , f je prostá, (e) D(f ) = R \ (−2, 2), H(f ) = R, (f) D(f ) = R, H(f ) = R \ (−2, 2), (g) D(f ) = R, f je prostá a ohraniˇcená, (h) H(f ) = R, f je sudá.

Pˇ r´ıklad 2.16: Naleznˇete k ∈ R tak, aby byla funkce f (x) = x3 − k · x2 + 2 · x lichá. Pˇ r´ıklad 2.17: U následuj´ıc´ıch funkc´ı urˇcete, zda se jedná o bijekci, ˇci nikoliv. (a) f : R → R, f (x) = a · x + b, a, b ∈ R, + (b) f : R+ 0 → R0 , f (x) =

√ x,

2 (c) f : R → R+ 0 , f (x) = x ,

(d) f : R → R, f (x) = x3 , (e) f : R \ {0} → R \ {0}, f (x) = x1 .

2.2.3

Inverzn´ı funkce

Definice 2.6: Necht’ f je prostá funkce. Funkci f −1 , pro niˇz plat´ı: D(f −1 ) = H(f ) a ∀x ∈ D(f ) : ∃y ∈ H(f ) tak, ˇze f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y, naz´ yváme inverzn´ı funkc´ı. Pozn´ amka 2.1: Z definice plyne, ˇze funkce a jej´ı inverze jsou osovˇe symetrické vzhledem k pˇr´ımce y = x. Systém Maple má uchováno nˇekolik základn´ıch funkc´ı s jejich inverzemi v tabulce s názvem invfunc. Praktiˇctˇejˇs´ı je vyuˇz´ıt pˇr´ıkaz˚ u InverseTutor nebo InversePlot z bal´ıku Student[Calculus1] vykresluj´ıc´ıch do jednoho grafu funkci, jej´ı inverzi a osu y = x jakoˇzto osu symetrie. Pˇr´ıkaz InverseTutor provád´ı zm´ınˇené v mapletu, pˇr´ıkaz InversePlot slouˇz´ı pro pouˇzit´ı v dokumentu (obrázek 2.15). Hledat pˇredpis inverzn´ı funkce m˚ uˇzeme rovnou podle definice 2.6, a to ˇreˇsen´ım rovnice f (y) = x pro neznámou y. 38

Obr´ azek 2.15: Vykreslen´ı funkce a jej´ı inverze.


Pˇ r´ıklad 2.18: Naleznˇete inverzn´ı funkci k funkci f (x) = x2 . ˇ sen´ı: Naˇse odpovˇed’ by mohla b´ Reˇ yt velice struˇcná, nebot’ funkce f nen´ı prostá, a tak k n´ı neexistuje funkce inverzn´ı. Nicménˇe je moˇzné funkci f rozdˇelit na dvˇe funkce prosté a hledat inverzi ke kaˇzdé zvláˇst’. V systému Maple provedeme dˇr´ıve zm´ınˇen´ y postup, tj. budeme ˇreˇsit rovnici f (y) = x. Z´ısk´ vˇe pro 2 prosté ˇcásti“ funkce f . Pro x ≤ 0 je inverze k x2 rovna √ ame 2 ˇreˇsen´ı, a to prá√ ” − x, pro x ≥ 0 je rovna x (obrázek 2.16). 39

Pˇ r´ıklad 2.19: Naleznˇete inverzn´ı funkce k následuj´ıc´ım funkc´ım: (a) f (x) = 2 · x + 1,

(c) f (x) =

1+x , 1−x

(b) f (x) = x3 ,

(d) f (x) =

√ 1 − x,

(e) f (x) = x1 , (f) f (x) = x1 .

Pˇ r´ıklad 2.20: Existuje funkce, která je sama sobˇe inverz´ı? Pokud ano, je jediná, nebo jich existuje v´ıce?

2.2.4

Sloˇ zen´ a funkce

Operátorem sloˇzen´ı funkc´ı je v systému Maple symbol @ (zavináˇc). V praxi se bez nˇej vˇsak obejdeme, kdyˇz pouˇzijeme kulaté závorky. Na obrázku 2.17 je nˇekolik pˇr´ıklad˚ u vytvoˇren´ı −1 sloˇzené funkce, které potvrzuj´ı rovnost f (f (x)) = x.

Obr´ azek 2.17: Sloˇzená funkce.

2.3 2.3.1

Vykreslen´ı grafu funkce Vykreslov´ an´ı

Prostˇred´ı Standard Worksheet poskytuje nˇekolik moˇznost´ı, jak zobrazit graf funkce nebo v´ yrazu. Nejrychlejˇs´ı a zˇrejmˇe nejjednoduˇsˇs´ı moˇznost´ı je zapsat do dokumentu v´ yraz (resp. funkci), kter´ y chceme vykreslit, kliknout na nˇej prav´ ym tlaˇc´ıtkem a z kontextové nab´ıdky zvolit Plots > 2-D Plot. 40

Obr´ azek 2.18: Zvolen´ı typu vykreslen´ı v Plot Builder (pˇrevzato z [5]).

Obr´ azek 2.19: Okénko pro zad´ an´ı v´ yrazu z funkˇcn´ıho pˇredpisu a nezávisle promˇenn´ ych v Plot Builder (pˇrevzato z [5]).

41

Dále m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt pomocn´ık Plot Builder, a to dvˇema zp˚ usoby. Bud’ opˇet zap´ıˇseme do dokumentu v´ yraz z funkˇcn´ıho pˇredpisu, klikneme prav´ ym tlaˇc´ıtkem myˇsi a zvol´ıme Plots > Plot Builder, nebo zam´ıˇr´ıme do hlavn´ıho menu a vybereme Tools > Assistants > Plot Builder.... V prvn´ım pˇr´ıpadˇe se objev´ı okénko Interactive Plot Builder (obrázek 2.18), v nˇemˇz upˇresn´ıme typ vykreslen´ı. Pokud uvaˇzujeme funkci jedné promˇenné, vol´ıme 2-D Plot. Je moˇzné volit i jinou moˇznost jako napˇr´ıklad vykreslen´ı v polárn´ıch souˇradnic´ıch (2-D polar plot). Kliknut´ım na tlaˇc´ıtko Plot zobraz´ıme graf v dokumentu [5]. V druhém pˇr´ıpadˇe, kdy Plot Builder vyvoláme z hlavn´ıho menu, se nám objev´ı okénko (viz obrázek 2.19), do nˇejˇz zadáme v´ yraz z pˇredpisu funkce, kterou chceme zobrazit (zadán´ı nám umoˇzn´ı tlaˇc´ıtka Add, resp. Edit), a promˇenné (pokud v´ yraz obsahuje pouze promˇenné, systém je vypln´ı sám). Kliknut´ım na tlaˇc´ıtko OK pˇrejdeme do jiˇz známého okénka pro zvolen´ı typu vykreslen´ı (obrázek 2.18). Dalˇs´ı moˇznost´ı k vykreslen´ı grafu v´ yrazu nebo funkce je pˇr´ıkaz plot. Pˇri vykreslován´ı m˚ uˇzeme specifikovat nˇekolik atribut˚ u mˇen´ıc´ıch podobu grafu. Opˇet je nˇekolik moˇznost´ı, jak atributy zadávat. Pˇri pouˇzit´ı pomocn´ıka Plot Builder se v okénku Interactive Plot Builder (obrázek 2.18) objevuje tlaˇc´ıtko Options. Kliknut´ım na toto tlaˇc´ıtko pˇrejdeme na okénko (viz obrázek 2.21) umoˇzn ˇuj´ıc´ı nastavit parametry vykreslen´ı jako jsou rozsah hodnot závisle i nezávisle promˇenné, barva a styl vykreslované kˇrivky, titulek grafu, legenda atd. Uˇziteˇcné je nav´ıc tlaˇc´ıtko Preview umoˇzn ˇuj´ıc´ı pˇredbˇeˇznˇe si prohlédnout souˇcasn´ y stav a následnˇe pokraˇcovat v dalˇs´ım nastavován´ı atribut˚ u vykreslen´ı grafu.

Obr´ azek 2.20: Vykreslen´ı graf˚ u pomoc´ı kontextové nab´ıdky a pˇr´ıkazu plot (pˇrevzato z [5]).

Pˇri pouˇzit´ı pˇr´ıkazu plot m˚ uˇzeme totéˇz provést specifikac´ı nepovinn´ ych parametr˚ u jako ’ jsou thickness pro tlouˇst ku kˇrivky, color pro jej´ı barvu, labels pro popisky os, legend pro tvar legendy u obrázku, axes pro nastaven´ı souˇrad´ ych os a dalˇs´ı. Ukázku pouˇzit´ı pˇr´ıkazu plot s nastaven´ım nˇekter´ ych nepovinn´ ych parametr˚ u nab´ız´ı obrázek 2.22 [5]. Vzhled grafu m˚ uˇzeme upravovat i po jeho vytvoˇren´ı a um´ıstˇen´ı do dokumentu. Jednak lze na graf kliknout prav´ ym tlaˇc´ıtkem myˇsi a z kontextové nab´ıdky vyb´ırat vlastnosti grafu, které jsme mohli mˇenit jiˇz dˇr´ıve, nebo m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt kontextové liˇsty tˇesnˇe nad dokumentem. Po kliknut´ı lev´ ym tlaˇc´ıtkem myˇsi na graf se ve zm´ınˇené liˇstˇe zobraz´ı nástroje skupiny nazvané Plot. K dispozici je téˇz skupina s názvem Drawing. Nástroje v tˇechto skupinách umoˇzn ˇuj´ı do hotového grafu pˇridávat text, kreslit, ˇci jinak graf upravovat [5]. Jestliˇze chceme vykreslit v´ıce funkc´ı (resp. v´ yraz˚ u) do jediného grafu, zap´ıˇseme vˇsechny do hranat´ ych, pˇr´ıpadnˇe sloˇzen´ ych, závorek jako prvn´ı parametr pˇr´ıkazu plot. Uˇzivatel˚ um doporuˇcujeme pouˇz´ıvat sp´ıˇse hranaté závorky, v nichˇz systém Maple respektuje poˇrad´ı. Pokud nechceme u vykreslovan´ ych funkc´ı nic dále specifikovat, je nám jedno, v jakém poˇrad´ı Maple funkce vezme“ a vykresl´ı, pouˇzijeme libovolné závorky (tj. hranaté nebo sloˇzené). ” 42

Obr´ azek 2.21: Okénko Plot Builder pro nastaven´ı parametr˚ u grafu (pˇrevzato z [5]).

Obr´ azek 2.22: Vykreslen´ı grafu pˇri specifikaci nˇekter´ ych nepovinn´ ych parametr˚ u (pˇrevzato z [5]).

43

Pokud vˇsak chceme napˇr. kaˇzdé z kˇrivek pˇriˇradit nˇejakou barvu, pouˇzit´ım hranat´ ych závorek se barvy aplikuj´ı v tom poˇrad´ı, v jakém oˇcekáváme. Pˇri pouˇzit´ı sloˇzen´ ych závorek tomu tak b´ yt nemus´ı, viz obrázek 2.23.

Obr´ azek 2.23: Vykreslen´ı grafu v´ıce v´ yraz˚ u pˇr´ıkazem plot.

K dispozici je dále pˇr´ıkaz display z bal´ıku plots, kter´ ym m˚ uˇzeme dosáhnout stejného v´ ysledku. Jednotlivé grafy nejprve vytvoˇr´ıme a pˇriˇrad´ıme do promˇenn´ ych, jeˇz dáme jako parametry právˇe pˇr´ıkazu display (obrázek 2.24).

Obr´ azek 2.24: Vykreslen´ı grafu v´ıce v´ yraz˚ u pomoc´ı pˇr´ıkazu display.

44

2.3.2

Animace

V systému Maple m˚ uˇzeme téˇz vytváˇret animace. Animace se skládá z nˇekolika graf˚ u, které jsou po spuˇstˇen´ı zobrazené v sekvenci za sebou. Vytvoˇr´ıme ji bud’ pˇr´ıkazem animate z bal´ıku plots, nebo pomoc´ı Plot Builderu. Obrázky 2.25 a 2.26 ukazuj´ı nastaven´ı Plot Builderu pro vytvoˇren´ı animace, obrázek 2.27 ilustruje tent´ yˇz pˇr´ıklad pˇri pouˇzit´ı pˇr´ıkazu animate.

Obr´ azek 2.25: Zad´ an´ı v´ yrazu z pˇredpisu funkce v Plot Builderu (pˇrevzato z [5]).

Ukonˇcen´ı Plot Builderu, resp. proveden´ı pˇr´ıkazu, um´ıst´ı do dokumentu prázdn´ y“ graf. ” Kliknut´ım na nˇej zobraz´ıme skupinu nástroj˚ u v kontextové liˇstˇe s názvem Animation. Pomoc´ı tˇechto nástroj˚ u m˚ uˇzeme animaci spustit, zmˇenit jej´ı rychlost, pod´ıvat se na libovoln´ y sn´ımek animace atd. Animace m˚ uˇzeme upravovat stejnˇe jako grafy, tj. mˇenit tlouˇst’ku, barvu a druh kˇrivky, souˇradné osy, legendu apod. Nav´ıc máme k dispozici nˇekolik nepovinn´ ych parametr˚ u, d´ıky nimˇz m˚ uˇzeme napˇr´ıklad urˇcit poˇcet graf˚ u, z nichˇz se animace skládá (parametr frames), nebo kolik graf˚ u vyjma posledn´ıho má z˚ ustat trvale zobrazen´ ych po spuˇstˇen´ı animace (parametr trace) [5].

45

Obr´ azek 2.26: Zvolen´ı druhu vykreslen´ı (animace) v Plot Builderu (pˇrevzato z [5]).

Obr´ azek 2.27: Animace vytvoˇren´ a pˇr´ıkazem animate (pˇrevzato z [5]).

46

Pˇ r´ıklad 2.21: Vykreslete funkci f (x) = x5 + 15 · x4 + 85 · x3 + 225 · x2 + 274 · x + 120. ˇ sen´ı: K vykreslen´ı zadané funkce ji staˇc´ı zapsat do dokumentu a pouˇz´ıt nˇekter´ Reˇ y z dˇr´ıve uveden´ ych postup˚ u. Mus´ıme vˇsak m´ıt na pamˇeti, co bychom rádi na grafu vidˇeli a ˇze je moˇzné z´ıskan´ y v´ ysledek ovlivnit. Napˇr´ıklad v tomto pˇr´ıpadˇe, kdyˇz nespecifikujeme rozsah vykreslen´ı (pouˇzije se standardn´ı rozmez´ı -10..10) zcela zkresl´ıme informaci o chován´ı funkce na intervalu [−5, 0].


Pˇ r´ıklad 2.22: K funkci g(x) = e2·x naleznˇete inverzn´ı funkci. Vykreslete do jednoho grafu funkci g(x), jej´ı inverzi a funkci f (x) = x. Do grafu pˇridejte také legendu. Pˇ r´ıklad 2.23: Zkoumejte závislost funkce h(x) = ea·x na parametru a ∈ R (pomoc´ı animace). Kdy je funkce rostouc´ı a kdy klesaj´ıc´ı? Pˇ r´ıklad 2.24: Vrat’te se k pˇr´ıklad˚ um 2.12 – 2.20 pˇredchoz´ı sekce a vykreslen´ım graf˚ u se ujistˇete o správnosti vaˇsich odpovˇed´ı.

2.4

Limita a spojitost funkce

Definice 2.7: Funkce f (x) má v bodˇe x0 ∈ R limitu L ∈ R, jestliˇze ke kaˇzdému ε > 0 existuje δ > 0 tak, ˇze pro vˇsechna x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) r˚ uzná od x0 plat´ı: |f (x) − L| < ε. Takovou limitu naz´ yváme vlastn´ı limitou ve vlastn´ım bodˇe. Definice 2.8: Funkce f (x) má v bodˇe x0 ∈ R limitu L ∈ R zleva, jestliˇze ke kaˇzdému ε > 0 existuje δ > 0 tak, ˇze pro vˇsechna x ∈ (x0 − δ, x0 ) plat´ı: |f (x) − L| < ε. Analogicky definujeme limitu zprava. Definice 2.9: Funkce f (x) má v bodˇe x0 ∈ R limitu rovnu +∞, jestliˇze ke kaˇzdému M ∈ R existuje δ > 0 tak, ˇze pro vˇsechna x ∈ (x0 −δ, x0 +δ) r˚ uzná od x0 plat´ı: f (x) > M . Analogicky definujeme limitu rovnu −∞. Takovou limitu naz´ yváme nevlastn´ı limitou ve vlastn´ım bodˇe. 47

Definice 2.10: Funkce f (x) má v bodˇe +∞ limitu rovnu L ∈ R, jestliˇze ke kaˇzdému ε > 0 existuje K ∈ R tak, ˇze pro vˇsechna x > K plat´ı: |f (x) − L| < ε. Analogicky definujeme limitu v bodˇe −∞. Takovou limitu naz´ yváme vlastn´ı limitou v nevlastn´ım bodˇe. Pˇ r´ıklad 2.25: Definujte limitu zprava. Pˇ r´ıklad 2.26: Definujte nevlastn´ı limitu v nevlastn´ım bodˇe. Systém Maple ve verzi 16 nab´ız´ı téˇz tzv. Matematické aplikace, které najdeme v hlavn´ım menu (Tools > Math Apps). Jednou z poloˇzek v sekci Calculus je dokument s názvem Definition of a Limit s definic´ı limity a jej´ı názornou interaktivn´ı demonstrac´ı – viz obrázek 2.29.

Obr´ azek 2.29: Interaktivn´ı demonstrace limity.

K v´ ypoˇctu limity pouˇzijeme bud’ pˇr´ısluˇsn´ y symbol z palety Expression (a uprav´ıme v nˇem barevné symboly, jak potˇrebujeme), nebo pˇr´ıkaz limit, kter´ y má povinnˇe dva parametry – v´ yraz (tj. i funkˇcn´ı v´ yraz) a bod, v nˇemˇz hledáme limitu. Také je moˇzné zadat do dokumentu v´ yraz, jehoˇz limitu chceme urˇcit, kliknout na nˇej prav´ ym tlaˇc´ıtkem a z kontextové nab´ıdky zvolit poloˇzku Limit. Otevˇre se nám okénko, v nˇemˇz je dále tˇreba specifikovat bod, v nˇemˇz hledáme limitu. M˚ uˇzeme dále uvést i typ limity – oboustrannou (základnˇe zvolená), limitu zleva nebo limitu zprava. V pˇr´ıpadˇe pouˇzit´ı palety specifikujeme jednostrannou limitu zapsán´ım symbolu + nebo − do exponentu bodu, v nˇemˇz chceme limitu urˇcit. Pˇr´ıkazu limit m˚ uˇzeme zadat tˇret´ı (nepovinnn´ y) parametr ve tvaru right nebo left pro limitu zprava, resp. zleva. Vˇsechny zm´ınˇené postupy ilustruje obrázek 2.30. V jeho pravé ˇca´sti je definována funkce a pˇri urˇcován´ı limit pouˇz´ıván funkˇcn´ı v´ yraz f (x). Funkˇcn´ı operátor (tj. f ) pouˇz´ıt nem˚ uˇzeme. Systém Maple v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech zobrazuje neoˇcekávané v´ ysledky, které m˚ uˇzeme oznaˇcit za chybné. Jedná se napˇr´ıklad o limity na obrázku 2.31. Vypsan´ ym v´ ysledkem se nám systém snaˇz´ı dát omezen´ı na funkˇcn´ı hodnoty v okol´ı bodu, v nˇemˇz hledáme limitu. Podle uveden´ ych definic v tomto textu vˇsak mus´ıme konstatovat, ˇze pˇr´ısluˇsné limity neexistuj´ı. 48

Obr´ azek 2.30: Urˇcen´ı limity v bodˇe.

Obr´ azek 2.31: Nedostatky Maplu pˇri urˇcován´ı limity.

Pˇ r´ıklad 2.27: Urˇcete následuj´ıc´ı limity: (a) lim

x→0

sin(x) , x

(c) lim

x→0

ex −1 , x

(d) lim tan(x). π+

sin(a·x) , x→0 sin(b·x)

(b) lim

x→ 2

Pˇ r´ıklad 2.28: Urˇcete následuj´ıc´ı limity: (a)

√ 3 2 √ x −3x lim √ , 3 2 √ x→0 x + 3 x

(b) limπ x→ 2

cos( x2 )−sin( x2 ) , cos(x)

√

(c) lim

x→2

x2 +5−3 , x2 −2·x

(d) lim

x→−∞

3·x+2 √ , x2 −1

Jak byste limity urˇcovali bez systému Maple? Pˇ r´ıklad 2.29: Definujte funkci, která: (a) má vlastn´ı limitu ve vlastn´ım bodˇe, (b) má vlastn´ı limitu v nevlastn´ım bodˇe, 49

5x +3x , x x→−∞ 4

(e) lim

(f) lim sin(t)·cos(t) . t−t2 t→0

(c) má nevlastn´ı limitu ve vlastn´ım bodˇe, (d) má nevlastn´ı limitu v nevlastn´ım bodˇe, (e) splˇ nuje vˇsechny pˇredchoz´ı body (a) – (d). Jak jsme se zm´ınili v sekci 1.3.4, Maple obsahuje pomocné nástroje, které nám ulehˇcuj´ı ˇreˇsen´ı u ´loh a pomáhaj´ı v uˇcen´ı nˇekter´ ych matematick´ ych postup˚ u pˇri jejich ˇreˇsen´ı. Jedn´ım z takov´ ych nástroj˚ u je maplet zvan´ y Limit Methods. Spust´ıme jej z hlavn´ı nab´ıdky zvolen´ım Tools > Tutors > Calculus − Single Variable > Limit Methods.... Tento nástroj um´ı ˇreˇsit zadané limity krok po kroku pomoc´ı implementovan´ ych matematick´ ych pravidel. M˚ uˇzeme mu tedy zadat v´ yraz a bod, v nˇemˇz chceme urˇcit jeho limitu, a nechat napˇr´ıklad maplet zobrazit celé ˇreˇsen´ı krok za krokem kliknut´ım na tlaˇc´ıtko All Steps. V´ ysledek tohoto postupu na pˇr´ıkladu 2.28.(b) m˚ uˇzeme vidˇet na obrázku 2.32. V mapletu si vˇsak m˚ uˇzeme zobrazit pouze následuj´ıc´ı krok v´ ypoˇctu, pokusit se pouˇz´ıt nˇekteré z implementovan´ ych pravidel nebo poˇza´dat o nápovˇedu, které pravidlo pouˇz´ıt.

Obr´ azek 2.32: Pomocn´ık pro urˇcován´ı limit.

ˇ Definice 2.11: Rekneme, ˇze funkce f (x) je spojitá v bodˇe x0 , pokud má v tomto bodˇe vlastn´ı limitu a plat´ı: lim f (x) = f (x0 ). x→x0

50

ˇ Definice 2.12: Rekneme, ˇze funkce f (x) je zprava (resp. zleva) spojitá v bodˇe x0 , pokud má v tomto bodˇe pˇr´ısluˇsnou jednostrannou vlastn´ı limitu a plat´ı: lim+ f (x) = f (x0 ) (resp. x→x0

lim− f (x) = f (x0 )).

x→x0

ˇ Definice 2.13: Rekneme, ˇze funkce f (x) je spojitá na intervalu J ∈ D(f ), pokud (a) f je spojitá v kaˇzdém vnitˇrn´ım bodˇe intervalu J (b) a patˇr´ı-li lev´ y (resp. prav´ y) koncov´ y bod do intervalu J, je v nˇem funkce f spojitá zprava (resp. zleva). V systému Maple m˚ uˇzeme jednak testovat rovnost limity a funkˇcn´ı hodnoty, jak plyne z definice. Pro urˇcován´ı spojitosti funkce na intervalu je vˇsak moˇzné (a vhodné) vyuˇz´ıt pˇr´ıkazu discont hledaj´ıc´ıho nespojistosti funkce. Pˇr´ıkaz má dva povinné parametry, a to v´ yraz, jehoˇz nespojitosti urˇcujeme, a nezávisle promˇennou. Dalˇs´ı moˇznost´ı je pouˇz´ıt pˇr´ıkaz iscont testuj´ıc´ı spojitost na zadaném intervalu. Odpovˇed´ı je pravdivostn´ı hodnota, zda je funkce na daném intervalu spojitá, ˇci nikoliv.

Obr´ azek 2.33: Zobrazován´ı nespojit´ ych funkc´ı.

Pokud je funkce y = f (x) nespojitá na daném intervalu jen v koneˇcnˇe mnoha (izolovan´ ych) bodech, systém Maple ji v tˇechto bodech spojuje u ´seˇckami rovnobˇeˇzn´ ymi s osou y. 51

Jestliˇze chceme nespojitosti zobrazit korektnˇe, pouˇzijeme nepovinn´ y atribut discont pˇr´ıkazu plot, kter´ y nastav´ıme na hodnotu true – viz obrázek 2.33. Od verze Maple 14 je moˇzné také zobrazovat odstranitelné nespojitosti (obrázek 2.34).

Obr´ azek 2.34: Zobrazov´ an´ı nespojit´ ych funkc´ı a vyznaˇcován´ı odstraniteln´ ych nespojitost´ı.

V´ ysledkem pˇr´ıkazu discont u funkc´ı definovan´ ych po ˇca´stech jsou vˇzdy body podezˇrelé“ ” z nespojitost´ı. Pro zjiˇstˇen´ı, zda se jedná o nespojitosti ˇci nikoliv, je potˇreba v tˇechto bodech provést test (existence a) rovnosti limity a funkˇcn´ı hodnoty. Obrázek 2.35 ukazuje pouˇzit´ı pˇr´ıkazu discont v pˇr´ıpadˇe funkce f (x) zadefinované po ˇcástech.

Obr´ azek 2.35: Pouˇzit´ı pˇr´ıkazu discont u funkce definované po ˇcástech.

52

( Pˇ r´ıklad 2.30: Naleznˇete ˇc´ıslo C ∈ R tak, aby funkce f (x) =

x2 −16 x−4

C

. . . x 6= 4 ... x = 4

byla spojitá pro vˇsechna x ∈ R. ˇ sen´ı: Jelikoˇz x2 −16 = (x−4)·(x+4), plat´ı f (x) = x+4 pro x 6= 4, a tedy lim f (x) = 8. Reˇ x→4

Z definice spojitosti pak dostáváme: C = f (4) = 8. Pˇ r´ıklad 2.31: Urˇcete   x + 1 (a) f (x) = 2 · x − 1   x−1 (b) f (x) =

3·x+3 , x2 −3·x−4

(c) f (x) =

x2 −b2 ,b x−b

body nespojitosti funkc´ı: ... x ≥ 2 . . . 1 < x < 2, ... x ≤ 1

∈ R.

 2  3 · x − 1 . . . x < 0 Pˇ r´ıklad 2.32: Naleznˇete ˇc´ısla c, d ∈ R tak, aby funkce f (x) = c · x + d . . . 0 ≤ x ≤ 1  √ x+8 ... x > 1 byla spojitá pro vˇsechna x ∈ R. Pˇ r´ıklad 2.33: Uved’te pˇr´ıklad funkce, která na uzavˇreném intevalu nen´ı spojitá, ale má limitu v kaˇzdém bodˇe tohoto intervalu.

2.5

Derivace funkce

Definice 2.14: Necht’ f je funkce, x0 ∈ R. Existuje-li lim

x→x0

f (x)−f (x0 ) , x−x0

naz´ yváme tuto limitu

derivac´ı funkce f v bodˇe x0 . Pozn´ amka 2.2: Derivace funkce f (x) je funkce, která je definovaná ve vˇsech bodech, v nichˇz existuje limita z pˇredchoz´ı definice. Tuto funkci znaˇc´ıme nˇekolika zp˚ usoby: f 0 (x), df (x) nebo ∂f∂x(x) . Analogicky m˚ uˇzeme definovat druhou derivaci funkce f (x) jako derivaci dx 0 funkce f (x) a podobnˇe derivace vyˇsˇs´ıch ˇrád˚ u. Pozn´ amka 2.3: Limita v definici 2.14 m˚ uˇze b´ yt vlastn´ı i nevlastn´ı. Podle toho rozliˇsujeme také vlastn´ı a nevlastn´ı derivaci. V tomto textu si situaci ulehˇc´ıme a budeme uvaˇzovat pouze vlastn´ı derivace. Z tohoto d˚ uvodu budeme slovo vlastn´ı“ vynechávat a slovem derivace“ ” ” budeme vˇzdy rozumˇet vlastn´ı derivaci. Systém Maple nab´ız´ı (jako obvykle) nˇekolik moˇznost´ı, jak urˇcit derivaci funkce. Opˇet m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt kontextové nab´ıdky (tj. zapsat do dokumentu v´ yraz, kter´ y chceme derivovat, kliknout na nˇej prav´ ym tlaˇc´ıtkem myˇsi a z nab´ıdky zvolit poloˇzku Differentiate s v´ ybˇerem nezávisle promˇenné). Dále je moˇzné pouˇz´ıt oba jiˇz uvedené symboly zápisu derivace, které jsou k dispozici v paletˇe Expression. Systém Maple (v reˇzimu Document Mode) rozpozná i zápis f 0 (x) (tj. pouˇzit´ı apostrofu jako symbolu derivace). Dlaˇs´ı moˇznost´ı je pˇr´ıkaz diff maj´ıc´ı dva povinné argumenty: v´ yraz a nezávisle promˇennou. 53

Obr´ azek 2.36: Pˇrehled moˇznost´ı pˇri v´ ypoˇctu derivace.

Pˇri poˇc´ıtán´ı derivac´ı mus´ıme b´ yt opˇet opatrn´ı a rozliˇsovat mezi funkˇcn´ım operátorem a v´ yrazem. Vˇsechny zm´ınˇené zp˚ usoby urˇcen´ı derivace funkce (nebo lépe v´ yrazu) vrac´ı v´ ysledek ’ jako v´ yraz. Pokud chceme poté urˇcit jeho funkˇcn´ı hodnotu, mus´ıme bud pouˇz´ıt pˇr´ıkaz eval, nebo ze z´ıskaného v´ yrazu udˇelat funkci pˇr´ıkazem unapply, pˇr´ıpadnˇe pouˇz´ıt apostrofovou notaci pro zápis derivace, viz obrázek 2.37.

Obr´ azek 2.37: V´ ypoˇcet derivace v bodˇe.

Systém Maple disponuje téˇz pˇr´ıkazem D pˇredstavuj´ıc´ım diferenciáln´ı operátor. Jeho argumentem je funkˇcn´ı operátor a v´ ysledkem derivace opˇet jako funkce (funkˇcn´ı operátor) – 54

pravá ˇca´st obrázku 2.37.

Obr´ azek 2.38: V´ ypoˇcet derivac´ı vyˇsˇs´ıch ˇrád˚ u.

Derivace vyˇsˇs´ıch ˇra´d˚ u zadáváme tak, jak jsme zvykl´ı s tuˇzkou na pap´ıˇre“. Pˇri pouˇzit´ı ” pˇr´ıkazu diff se n-tá derivace specifikuje tak, ˇze zadáme nezávisle promˇennou n-krát (jako argument pˇr´ıkazu)5 . Systém Maple (opˇet pouze v reˇzimu Document Mode) um´ı rozpoznat i zápis s ˇc´ıslem derivace v exponentu v´ yrazu v kulat´ ych závorách – toto je nutné pˇri odkliknut´ı jeˇstˇe potvrdit ve vyskakuj´ıc´ım okénku (obrázek 2.38). Stejnˇe jako u limit poskytuje Maple jednak pomocné nástroje pro v´ ypoˇcet derivac´ı, ale od verze 16 také matematickou aplikaci s definic´ı a znázornˇen´ım derivace (Tools > Math Apps > Calculus − Derivative Definition) – viz obrázek 2.39.

Obr´ azek 2.39: Interaktivn´ı znázornˇen´ı derivace.

Prvn´ım z pomocn´ ych nástroj˚ u pro v´ ypoˇcet derivace je maplet zvan´ y Derivatives. Spust´ıme 5

Je moˇzné pouˇz´ıt i zkr´ acen´ y z´ apis ve tvaru diff(f(x),x$n).

55

jej z hlavn´ı nab´ıdky zvolen´ım Tools > Tutors > Calculus − Single Variable > Derivatives.... Maplet pro zadanou funkci vypoˇc´ıtá jej´ı prvn´ı a druhou derivaci, zvolené funkce vykresl´ı do jednoho grafu.

Obr´ azek 2.40: Pomocn´ık pro v´ ypoˇcet a zobrazen´ı derivac´ı.

Obr´ azek 2.41: Pomocn´ık pro v´ ypoˇcet derivac´ı.

Druh´ y takov´ y nástroj je maplet s názvem Differentiation Methods. Spust´ıme jej 56

z hlavn´ı nab´ıdky zvolen´ım Tools > Tutors > Calculus − Single Variable > Differentiation Methods.... Stejnˇe jako analogick´ y pomocn´ık u limit um´ı ˇreˇsit derivace zadan´ ych funkc´ı krok po kroku pomoc´ı implementovan´ ych matematick´ ych pravidel (která nalezneme v nápovˇedˇe). M˚ uˇzeme mu tedy opˇet zadat v´ yraz a nezávisle promˇennou a nechat maplet zobrazit celé ˇreˇsen´ı krok za krokem kliknut´ım na tlaˇc´ıtko All Steps. V´ ysledek tohoto postupu m˚ uˇzeme vidˇet na obrázku 2.41. V mapletu si také m˚ uˇzeme zobrazit pouze následuj´ıc´ı krok v´ ypoˇctu (Next Step), pokusit se pouˇz´ıt nˇekteré z implementovan´ ych pravidel nebo poˇza´dat o nápovˇedu (Get Hint), které pravidlo pouˇz´ıt. Pˇ r´ıklad 2.34: Urˇcete: (a)

d (f (x) dx

(b)

d (f (g(x)), dx

d (a dx

· x3 + b · x2 + c · x + d), (x−1)3 d (d) dx . x2 −1

· g(x)),

(c)

Pˇ r´ıklad 2.35: Uved’te pˇr´ıklad spojité funkce na intervalu J, která na tomto intervalu nen´ı diferencovatelná (tj. nemá v alespoˇ n jednom bodˇe derivaci). Dokáˇzete uvést pˇr´ıklad funkce spojité na intervalu J, která na tomto intervalu nemá derivaci právˇe ve dvou bodech? Pozn´ amka 2.4: Geometrickou interpretac´ı derivace funkce f (x) v bodˇe x0 je smˇernice teˇcny k funkci f (x) v tomto bodˇe. Jestliˇze tedy y = k · x + q je rovnic´ı teˇcny v bodˇe x0 , pak k = f 0 (x0 ). Pˇ r´ıklad 2.36: Urˇcete rovnici teˇcny k funkci f (x) = x2 v bodˇe x0 = 1. Vykreslete do jednoho grafu funkci f (x) i tuto teˇcnu. Pˇ r´ıklad 2.37: Najdˇete bod x0 tak, aby teˇcna k funkci f (x) = x3 v tomto bodˇe byla rovnobˇeˇzná s pˇr´ımkou y = 12 · x − 5. Vykreslete do jednoho grafu funkci f (x), nalezenou teˇcnu a zadanou pˇr´ımku. Pˇ r´ıklad 2.38: Najdˇete bod x0 tak, aby teˇcna k funkci f (x) = x3 v tomto bodˇe byla kolmá na pˇr´ımku y = − 31 ·x−5. Vykreslete do jednoho grafu funkci f (x), nalezenou teˇcnu a zadanou pˇr´ımku.

2.5.1

Diferenci´ al

ˇ Definice 2.15: Rekneme, ˇze funkce f je diferencovatelná v bodˇe x0 , jestliˇze je v nˇem definovaná a jestliˇze existuje A ∈ R tak, ˇze lim f (x0 +h)−fh (x0 )−A·h = 0. Funkce A · h (h ∈ R) h→0

se naz´ yvá diferenciálem funkce f v bodˇe x0 a znaˇc´ı se df (x0 )(h). Pozn´ amka 2.5: Jak jiˇz bylo zm´ınˇeno v pˇr´ıkladu 2.35, diferencovatelná funkce“ je totéˇz ” co funkce maj´ıc´ı derivaci“. ” Diferenciál je moˇzné pouˇz´ıt k urˇcen´ı pˇribliˇzné hodnoty funkce v okol´ı bodu se známou funkˇcn´ı hodnotou. V systému Maple se tato v´ yhoda“ smazává, jelikoˇz samotn´ y Maple nám ” okamˇzitˇe vyp´ıˇse pˇribliˇznou funkˇcn´ı hodnotu s libovolnou“ pˇresnost´ı. Pˇresto je moˇzné si na ” pˇr´ıkladech v´ yznam pojmu ovˇeˇrit a vyuˇz´ıt Maple alespoˇ n k d´ılˇc´ım v´ ypoˇct˚ um. 57

Pˇ r´ıklad 2.39: Urˇcete pˇribliˇznˇe: arctan(1.01). ˇ sen´ı: Vyjdeme z definice 2.15. Ta nám ˇr´ıká, ˇze f (x0 + h) ≈ f (x0 ) + df (x0 ) · h. V naˇsem Reˇ ˇ sen´ı z´ıskané v Maple je znázornˇeno na obrázku 2.42. pˇr´ıpadˇe x0 = 1 a h = 0.01. Reˇ


Pˇ r´ıklad 2.40: Urˇcete pˇribliˇznˇe: Pˇ r´ıklad 2.41: Urˇcete pˇribliˇznˇe:

√

51.

√ 3

123.

Pˇ r´ıklad 2.42: Urˇcete pˇribliˇznˇe: 2.954 .

2.5.2

Taylor˚ uv polynom

Definice 2.16: Necht’ n ∈ N ∪ {0} a f je funkce maj´ıc´ı v bodˇe x0 ∈ R derivace aˇz do ˇra´du n. Polynom Tnf (x) = f (x0 ) +

f 0 (x0 ) f 00 (x0 ) f (n) (x0 ) · (x − x0 ) + · (x − x0 )2 + . . . + · (x − x0 )n , x ∈ R, 1! 2! n!

se naz´ yvá Taylor˚ uv polynom stupnˇe n funkce f v bodˇe x0 . Funkci Rnf (x) = Tnf (x) − f (x) ˇr´ıkáme Taylor˚ uv zbytek a cel´ y v´ yraz Tnf (x) + Rnf (x) naz´ yváme Taylorovým vzorcem. Pozn´ amka 2.6: Jak jsme si mohli vˇsimnout, aproximace funkˇcn´ı hodnoty pomoc´ı diferenciálu je vlastnˇe speciáln´ı pˇr´ıpad Taylorova polynomu pro n = 1. Taylor˚ uv polynom také m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt k aproximaci funkˇcn´ı hodnoty v okol´ı bodu se známou funkˇcn´ı hodnotou. Aproximace je t´ım pˇresnˇejˇs´ı, ˇc´ım vyˇsˇs´ı je n. D´ıky následuj´ıc´ı poznámce m˚ uˇzeme zjistit, jak vysoké mus´ı b´ yt n, abychom doc´ılili poˇzadované pˇresnosti aproximace. Pozn´ amka 2.7: Necht’ jsou splnˇeny pˇredpoklady definice 2.16. Pak existuje ˇc´ıslo Θ ∈ (0, 1) tak, ˇze f (n+1) (x0 + Θ · (x − x0 )) · (x − x0 )n+1 . Rnf (x) = (n + 1)!

58

Pozn´ amka 2.8: Kdyˇz poloˇz´ıme v Taylorovˇe vzorci x0 = 0, vˇsechny v´ yrazy se nám zjednoduˇsˇs´ı. V takovém pˇr´ıpadˇe také nˇekdy mluv´ıme o Maclaurinovˇe vzorci. Pro Maclaurin˚ uv zbytek pak plat´ı: f (n+1) (Θ · x) n+1 Rnf (x) = ·x . (n + 1)! Systém Maple obsahuje pˇr´ıkaz taylor vypisuj´ıc´ı Taylor˚ uv vzorec pˇr´ısluˇsn´ y zadané funkci v prvn´ım parametru pˇr´ıkazu. Druh´ ym povinn´ ym parametrem je bod, v nˇemˇz se vzorec realizuje. Standardnˇe je vzorec vypisován pro n = 5, coˇz je o jedna niˇzˇs´ı hodnota neˇz základn´ı nastaven´ı systémové promˇenné Order. Tato promˇenná pˇredstavuje ˇra´d Taylorova zbytku, tedy ˇc´ıslo n + 1. Poˇcet ˇclen˚ u Taylorova vzorce tak m˚ uˇzeme ovlivnit pˇrenastaven´ım promˇenné Order nebo zapsán´ım této hodnoty na m´ısto tˇret´ıho (nepovinného) parametru pˇr´ıkazu taylor6 . Nˇekdy se nám m˚ uˇze hodit pracovat pouze s Taylorov´ ym polynomem (tedy bez Taylorova zbytku). K tomu je potˇreba pouˇz´ıt pˇr´ıkaz convert, kterému zadáme jako prvn´ı parametr Taylor˚ uv vzorec (z´ıskan´ y pˇr´ıkazem taylor) a na m´ısto druhého parametru zap´ıˇseme slovo polynom (ˇc´ımˇz se zbav´ıme“ vyjádˇren´ı Taylorova zbytku pomoc´ı funkce O). ”

Obr´ azek 2.43: Ukázka pouˇzit´ı pˇr´ıkazu taylor.

Maple 16 dále poskytuje matematickou aplikaci Taylor’s Theorem (Tools > Math Apps > Calculus − Taylor’s Theorem) – viz obrázek 2.44 s interaktivn´ı demonstrac´ı zavedeného pojmu. Pˇ r´ıklad 2.43: Najdˇete Maclaurin˚ uv polynom funkce tan(x) pátého stupnˇe. Pˇ r´ıklad 2.44: Vytvoˇrte Taylor˚ uv polynom pro funkci xx ˇctvrtého stupnˇe v bodˇe 1. Pˇ r´ıklad 2.45: Pomoc´ı Taylorova polynomu vyjádˇrete funkci f (x) = x5 +x4 +x3 +x2 +x+1 jako polynom v promˇenné x − 2. Jak jsme se zm´ınili v poznámce 2.6, Taylor˚ uv polynom m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt k nalezen´ı pˇribliˇzné funkˇcn´ı hodnoty. D´ıky poznámkám 2.7 a 2.8 máme nav´ıc nástroj, jak urˇcit tuto hodnotu se zadanou pˇresnost´ı. Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe pouˇzit´ı diferenciálu plat´ı i zde, ˇze (podstatnˇe) 6

V tomto pˇr´ıpadˇe nedojde ke zmˇenˇe hodnoty uloˇzené v promˇenné Order, ovlivnˇen bude pouze pˇr´ısluˇsn´ y v´ ypis pˇr´ıkazu taylor.

59

Obr´ azek 2.44: Interaktivn´ı demonstrace Taylorova polynomu.

jednoduˇsˇs´ım zp˚ usobem z´ıskáme dokonce pˇresnˇejˇs´ı hodnotu pouh´ ym pouˇzit´ım systému Maple. Pˇresto m˚ uˇze Maple slouˇzit jako pomocn´ık pˇri v´ ypoˇctu a souˇcasnˇe d´ıky nˇemu m˚ uˇzeme ovˇeˇrit, zda byla splnˇena poˇzadovaná pˇresnost v´ ypoˇctu. Pˇ r´ıklad 2.46: Urˇcete hodnotu Eulerova ˇc´ısla e s chybou menˇs´ı neˇz 10−3 . ˇ sen´ı: Chceme zjistit hodnotu ˇc´ısla e, vezmeme si proto na pomoc funkci f (x) = ex a buReˇ deme hledat funkˇcn´ı hodnotu f (1). Funkci mus´ıme aproximovat v nˇejakém jiném bodˇe neˇz je bod 1 (nebot’ pro ten bychom dostali pˇresnou hodnotu e a v niˇcem by nám to nepomohlo), souˇcasnˇe ale ne pˇr´ıliˇs daleko od tohoto bodu (ˇc´ım dále od tohoto bodu bychom hledali aproximaci, t´ım nepˇresnˇejˇs´ı bude v´ ysledek). Abychom si situaci co nejv´ıce zjednoduˇsili, vezmeme bod 0 (kter´ y je bl´ızko“ bodu 1), pro nˇejˇz máme tvar Taylorova (resp. Maclaurinova) zbytku ” urˇcen´ y poznámkou 2.8. Máme tedy funkci f (x) = ex a v´ıme, ˇze pro pˇr´ısluˇsn´ y Maclaurin˚ uv zbytek plat´ı: x

Rne (x) =

eΘ·x · xn+1 , (n + 1)!

kde Θ ∈ (0, 1). Nás bude zaj´ımat funkˇcn´ı hodnota v bodˇe 1, tj. pro x = 1 dostáváme: x

Rne (1) =

eΘ . (n + 1)!

V zadán´ı je poˇzadována pˇresnost 10−3 . Má tedy platit: ex Rn (1) < 10−3 . Dosazen´ım z´ıskáme:

eΘ eΘ −3 = (n + 1)! (n + 1)! < 10 .

Nyn´ı je tˇreba si uvˇedomit, ˇze eΘ < 3, jelikoˇz Θ ∈ (0, 1). M˚ uˇzeme proto psát, ˇze plat´ı: eΘ 3 < . (n + 1)! (n + 1)! 60

Kdyˇz nyn´ı najdeme n takové, ˇze 3 < 10−3 , (n + 1)! pak bude jistˇe platit: eΘ < 10−3 . (n + 1)! Z´ıskané n pˇredstavuje stupeˇ n Maclaurinova polynomu, takˇze uˇz zb´ yvá pouze popsan´ y postup aplikovat v systému Maple – obrázek 2.45.


Pˇ r´ıklad 2.47: S chybou menˇs´ı neˇz 10−3 urˇcete hodnotu ˇc´ısla: (a)

2.6

1 , e

(b)

√ 5

250.

Vyˇ setˇ ren´ı pr˚ ubˇ ehu funkce

Neˇz zaˇcneme s vyˇsetˇrován´ım pr˚ ubˇehu funkce na pˇr´ıkladech, pˇripomeˇ nme si základn´ı d˚ uleˇzité pojmy a jejich vlastnosti. Pozn´ amka 2.9: Necht’ f (x) je funkce. Pokud f 0 (x) > 0 pro vˇsechna x ∈ J, pak je f (x) na intervalu J rostouc´ı. Pokud f 0 (x) < 0 pro vˇsechna x ∈ J, pak je f (x) na intervalu J klesaj´ıc´ı. ˇ Definice 2.17: Rekneme, ˇze funkce f (x) má v bodˇe x0 ∈ R lokáln´ı minimum, jestliˇze existuje δ ∈ R, δ > 0 tak, ˇze f (x) ≥ f (x0 ) pro vˇsechna x ∈ (x0 − δ, x0 + δ). Analogicky definujeme lokáln´ı maximum funkce. Lokáln´ı minima a maxima se souhrnnˇe naz´ yvaj´ı lokáln´ı extrémy. 61

Pozn´ amka 2.10: Necht’ f (x) je spojitá v bodˇe x0 . Jestliˇze existuje δ ∈ R, δ > 0 tak, ˇze f (x) je neklesaj´ıc´ı na intervalu (x0 − δ, x0 ) a nerostouc´ı na intervalu (x0 , x0 + δ), má f (x) v bodˇe x0 lokáln´ı maximum. Analogické tvrzen´ı plat´ı pro lokáln´ı minimum. Pozn´ amka 2.11: V pˇredchoz´ı poznámce jsou zámˇernˇe pouˇzity v´ yrazy neklesaj´ıc´ı“ a ne” ” rostouc´ı“. Lokáln´ı minimum (resp. maximum) se totiˇz m˚ uˇze podle definice nacházet i na intervalu, kde je funkce konstantn´ı. V tom pˇr´ıpadˇe se jedná o tzv. neostr´ y extrém. Pro pˇr´ıpad ostr´ ych extrém˚ u je moˇzné v pˇredchoz´ı poznámce nahradit slovo neklesaj´ıc´ı“ za rostouc´ı“ ” ” a nerostouc´ı“ za klesaj´ıc´ı“. ” ” Pozn´ amka 2.12: Body x0 , v nichˇz f 0 (x0 ) = 0, naz´ yváme stacionárn´ımi body. Tyto body a body, v nichˇz funkce f (x) nemá derivaci, jsou podezˇrelé“ z toho, ˇze jsou lokáln´ımi extrémy ” funkce. Jestli se skuteˇcnˇe jedná o extrém, urˇc´ıme bud’ podle definice 2.17, poznámky 2.10 nebo poznámky 2.13. Pozn´ amka 2.13: Necht’ f 0 (x0 ) = 0 a f 00 (x0 ) 6= 0. Pokud f 00 (x0 ) < 0, má funkce f (x) v bodˇe x0 lokáln´ı maximum. Pokud f 00 (x0 ) > 0, má funkce f (x) v bodˇe x0 lokáln´ı minimum. ˇ ıkáme, ˇze f je konvexn´ı na J, jestliˇze Definice 2.18: Necht’ f (x) je funkce, J interval. R´ pro kaˇzdé dva body x1 , x2 ∈ J, x1 < x2 a kaˇzdá dvˇe nezáporná reálná ˇc´ısla a1 , a2 taková, ˇze a1 + a2 = 1 plat´ı: f (a1 · x1 + a2 · x2 ) ≤ a1 · f (x1 ) + a2 · f (x2 ). Pokud za t´ ychˇz pˇredpoklad˚ u plat´ı: f (a1 · x1 + a2 · x2 ) ≥ a1 · f (x1 ) + a2 · f (x2 ), ˇr´ıkáme, ˇze f je konkávn´ı na J. Pokud zmˇen´ıme vˇsechny neostré nerovnosti na ostré, mluv´ıme o ryz´ı konvexitˇe, resp. ryz´ı konkávitˇe. Pozn´ amka 2.14: Necht’ f má na intervalu J ⊆ D(f ) druhou derivaci. Pokud f 00 (x) ≥ 0 pro vˇsechna x ∈ J, pak je f na J konvexn´ı. Pokud plat´ı ostrá nerovnost, je f na J ryze konvexn´ı. Analogicky, pokud f 00 (x) ≤ 0 pro vˇsechna x ∈ J, pak je f na J konkávn´ı. V pˇr´ıpadˇe ostré nerovnosti je ryze konkávn´ı. Pozn´ amka 2.15: Body, v nichˇz se mˇen´ı ryz´ı konvexita funkce na ryz´ı konkávitu a naopak, naz´ yváme inflexn´ımi body. Necht’ tedy x0 ∈ R, δ ∈ R, δ > 0. Pokud f (x) je na (x0 −δ, x0 ) ryze konvexn´ı a na (x0 , x0 + δ) ryze konkávn´ı (resp. naopak), naz´ yváme bod x0 bodem inflexn´ım. Pozn´ amka 2.16: V bodech nespojitosti x0 funkce f (x) zkoumáme, jestli v nich jsou asymptoty bez smˇernice, a to ovˇeˇren´ım, zda lim− f (x) = ±∞ nebo lim+ f (x) = ±∞. x→x0

x→x0

Dále zkoumáme, zda má funkce f (x) asymptotu (asymptoty) se smˇernic´ı, tj. zda existuj´ı A, B ∈ R tak, ˇze lim f (x) = A · x + B nebo lim f (x) = A · x + B. x→∞

x→−∞

Plat´ı, ˇze A = lim

x→∞

f (x) x

a B = lim (f (x) − A · x) x→∞

f (x) resp. A = lim x→−∞ x resp. B = lim (f (x) − A · x) . x→−∞

62

Pˇri vyˇsetˇrován´ı pr˚ ubˇehu zadané funkce f (x) zkoumáme vlastnosti popsané v pˇredchoz´ıch definic´ıch a poznámkách, spolu s nˇekter´ ymi dˇr´ıve zaveden´ ymi pojmy. Aplikujeme tak následuj´ıc´ı postup: 1. Zjiˇst’ujeme D(f ), hledáme nulové body (tj. taková x, pro která f (x) = 0), pr˚ useˇc´ık s osou y (tj. f (0)), urˇcujeme, kdy je funkce kladná, záporná, a hledáme body nespojitosti funkce f . 2. Vyˇsetˇrujeme funkci f 0 (x). Hledáme D(f 0 ), nulové body a intervaly, kde je funkce f 0 (x) kladná (tj. f (x) je rostouc´ı) a kde záporná (tj. f (x) je klesaj´ıc´ı). 3. Vyˇsetˇrujeme funkci f 00 (x). Hledáme nulové body a intervaly, kde je funkce f 00 (x) kladná (tj. f (x) je konvexn´ı) a kde záporná (tj. f (x) je konkávn´ı). Ovˇeˇrujeme, zda je nˇekter´ y z dˇr´ıve nalezen´ ych stacionárn´ıch bod˚ u lokáln´ım extrémem funkce f (x). 4. Hledáme asymptoty funkce f , a to asymptoty bez smˇernice a asymptoty se smˇernic´ı. 5. Vykreslujeme graf funkce f (x). 1

Pˇ r´ıklad 2.48: Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f (x) = x · e x . ˇ sen´ı: Reˇ Budeme procházet právˇe uveden´ y postup, pˇriˇcemˇz budeme vyuˇz´ıvat moˇznost´ı Maple 14. 1. Definiˇcn´ı obor funkce vid´ıme na prvn´ı pohled z jej´ıho pˇredpisu. Funkce nen´ı definovaná pouze v bodˇe nula, tedy D(f ) = R \ {0}. K nalezen´ı nulov´ ych bod˚ u a interval˚ u, kde je 7 funkce kladná, resp. záporná, vyuˇzijeme pˇr´ıkaz solve . V tomto pˇr´ıpadˇe vˇsak pˇr´ıkaz 1 ˇza´dné ˇreˇsen´ı nenajde. Mus´ıme jej proto urˇcit sami“. V´ yraz e x je pro libovolná x ” kladn´ y, z ˇcehoˇz plyne, ˇze f (x) > 0 pro x > 0 a f (x) < 0 pro x < 0. Pro nalezen´ı nespojitost´ı pouˇzijeme pˇr´ıkaz discont.

ˇ sen´ı pˇr´ıkladu 2.48 – bod 1. Obr´ azek 2.46: Reˇ

7

Upozornˇeme, ˇze pˇr´ıkaz solve m´ a jednu nepˇr´ıjemnou“ vlastnost: v pˇr´ıpadech, kdy nenalezne ˇz´ adné ” ˇreˇsen´ı, na v´ ystup nic nevyp´ıˇse a pˇrejde na dalˇs´ı ˇrádek.

63

2. Vypoˇcteme f 0 (x). Definiˇcn´ı obor prvn´ı derivace je stejn´ y jako u p˚ uvodn´ı funkce, tedy 0 D(f ) = R\{0}. Dále pouˇzijeme pˇr´ıkaz solve. Nyn´ı jiˇz dostáváme vˇsechny poˇzadované v´ ysledky od Maple. Pro nalezen´ı stacionárn´ıch bod˚ u je moˇzné téˇz pouˇz´ıt pˇr´ıkaz extrema vypisuj´ıc´ı funkˇcn´ı hodnoty ve stacionárn´ıch bodech. Prvn´ım parametrem pˇr´ıkazu je v´ yraz, jehoˇz stacionárn´ı body hledáme, druh´ ym parametrem je mnoˇzina omezuj´ıc´ıch podm´ınek (kdyˇz ˇza´dné nejsou, uvedeme prázdné sloˇzené závorky). Dalˇs´ım parametrem je nezávisle promˇenná zadané funkce a posledn´ım ˇctvrt´ ym parametrem je název promˇennné (v apostrofech), do n´ıˇz se uloˇz´ı stacionárn´ı body – viz obrázek 2.47.



64

3. Vypoˇcteme f 00 (x) a do tˇretice pouˇzijeme pˇr´ıkaz solve, kter´ y podobnˇe jako poprvé 1 nezvládne vypoˇc´ıtat zkoumané nerovnosti. Jelikoˇz je v´ yraz e x vˇzdy kladn´ y, m˚ uˇzeme nerovnosti zjednoduˇsit a hledat pouze znaménka v´ yrazu x3 . Vyhodnocen´ım druhé derivace ve stacionárn´ım bodˇe x = 1 zjist´ıme, ˇze se jedná o lokáln´ı minimum. 4. Poˇc´ıtáme dˇr´ıve uvedené limity a zjiˇst’ujeme, ˇze zadaná funkce má asymptotu se smˇernic´ı tvaru y = x + 1 a asyptotu bez smˇernice v bodˇe x = 0 (obrázek 2.49).



65

5. Vykresl´ıme graf funkce f (x). Pouˇzijeme k tomu pˇr´ıkaz plot, jemuˇz nastav´ıme nˇekolik nepovinn´ ych parametr˚ u pro lepˇs´ı vzhled. Do grafu vykresl´ıme zadanou funkci f (ˇcervenˇe) a asymptotu se smˇernic´ı y = x + 1 (zelenˇe ˇcárkovanˇe). Parametr discont nastav´ıme na true, aby byla správnˇe zobrazena nespojitost funkce f .

Pˇ r´ıklad 2.49: Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f (x) = ˇ Reˇsen´ı:

x . x2 +1

1. Definiˇcn´ı obor funkce f je celá mnoˇzina reáln´ ych ˇc´ısel, tj. D(f ) = R. K nalezen´ı nulov´ ych bod˚ u a interval˚ u, kde je funkce kladná, resp. záporná, vyuˇzijeme klasicky pˇr´ıkaz solve. Pro nalezen´ı nespojitost´ı pouˇzijeme opˇet pˇr´ıkaz discont.


2. Postupujeme zcela analogicky pˇredchoz´ımu pˇr´ıkladu. D(f 0 ) = R.


66

3. Opˇet postupujeme stejnˇe jako v pˇr´ıkladu 2.48. Tentokrát vˇsak z´ıskáváme nulové body druhé derivace zadané funkce. Jak vid´ıme z interval˚ u konvexity a konkávity, vˇsechny tˇri z´ıskané body jsou body inflexn´ı. Stacionárn´ı body jsou dva, bod x = 1 je lokáln´ım maximem funkce f a bod x = −1 jej´ım lokáln´ım minimem.


4. Urˇc´ıme asymptoty se smˇernic´ı a bez smˇernice.


5. Vykresl´ıme graf funkce f (x). 67


Pˇ r´ıklad 2.50: Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce: (a) f (x) = (x2 − 1)3 , (b) f (x) =

x √ , 3 2 x −1

(c) f (x) =

(x−1)3 , x2

(d) f (x) = sin(x) + x, ( x2 · ln |x| . . . x 6= 0 (e) f (x) = 0 . . . x = 0.

Pˇri vyˇsetˇrován´ı pr˚ ubˇehu funkce nám mohou dále pomoci nˇekteré pˇr´ıkazy nacházej´ıc´ı se v bal´ıku Student[Calculus1]. Pˇredstavme si alespoˇ n nˇekolik z nich. Pˇr´ıkaz Asymptotes, vyp´ıˇse asymptoty funkce (zadané systému jako v´ yraz) se smˇernic´ı i bez smˇernice. Pouˇzit´ı na funkc´ıch z pˇr´ıklad˚ u 2.48 a 2.49 ilustruje obrázek 2.56.

Obr´ azek 2.56: Pouˇzit´ı pˇr´ıkazu Asymptotes z bal´ıku Student[Calculus1].

68

D´ıky dalˇs´ımu pˇr´ıkazu, FunctionChart, zobraz´ıme graf funkce (zadané jako v´ yraz) s vyznaˇcen´ım v´ yznamn´ ych bod˚ u a funkˇcn´ıch vlastnost´ı. Na obrázku 2.57 jsou zobrazeny graf vyˇsetˇrovan´ ych funkc´ı z pˇr´ıklad˚ u 2.48 a 2.49. Jsou v nˇem znázornˇeny extrémn´ı a limitn´ı body, monotonie funkce a konvexita s konkávitou.

Obr´ azek 2.57: Pouˇzit´ı pˇr´ıkazu FunctionChart z bal´ıku Student[Calculus1].

Do bal´ıku Student[Calculus1] dále náleˇz´ı pˇr´ıkazy CriticalPoints pro hledán´ı stacionárn´ıch bod˚ u, ExtremePoints pro hledán´ı extrém˚ u, InflectionPoints pro hledán´ı inflexn´ıch bod˚ u, Roots pro hledán´ı koˇren˚ u a dalˇs´ı. Závˇerem uved’me jeˇstˇe pˇr´ıkazy RollesTheorem a MeanValueTheorem pro vizualizaci Rolleovy vˇety, resp. Lagrangeovy vˇety o stˇredn´ı hodnotˇe. Pozn´ amka 2.17: Rolleova vˇ eta: Necht’ funkce f splˇ nuje tyto pˇredpoklady: (1) Je spojitá na uzavˇreném intervalu [a, b]. (2) V kaˇzdém bodˇe otevˇreného intervalu (a, b) má vlastn´ı nebo nevlastn´ı derivaci. (3) Plat´ı f (a) = f (b). Pak existuje ˇc´ıslo c ∈ (a, b) tak, ˇze f 0 (c) = 0. Pozn´ amka 2.18: Lagrangeova vˇ eta o stˇ redn´ı hodnotˇ e: Necht’ funkce f splˇ nuje tyto pˇredpoklady: (1) Je spojitá na uzavˇreném intervalu [a, b]. (2) V kaˇzdém bodˇe otevˇreného intervalu (a, b) má vlastn´ı nebo nevlastn´ı derivaci. Pak existuje ˇc´ıslo c ∈ (a, b) tak, ˇze plat´ı f 0 (c) = 69

f (b)−f (a) . b−a

Obr´ azek 2.58: Ilustrace v´ yznamn´ ych tvrzen´ı pˇr´ıkazy z bal´ıku Student[Calculus1].

2.7

Integr´ al funkce

2.7.1

Neurˇ cit´ y integr´ al

ˇ Definice 2.19: Rekneme, ˇze funkce F (x) je na intervalu I primitivn´ı funkc´ı k f (x), jestliˇze 0 pro vˇsechna x ∈ I plat´ı F (x) = f (x). Pozn´ amka 2.19: Ke kaˇzdé funkci f (x) spojité na I existuje na intervalu I nekoneˇcnˇe mnoho primitivn´ıch funkc´ı liˇs´ıc´ıch se o tzv. integraˇcn´ı konstantu. Definice 2.20: Mnoˇzinu vˇsech primitivn´ıch funkc´ı k funkci f (x) naz´ yváme neurˇcitý integrál a znaˇc´ıme Z f (x) dx.

Pozn´ amka 2.20: Necht’ F (x) je primitivn´ı k funkci f (x). Pak plat´ı: Z f (x) dx = F (x) + C, kde C ∈ R je integraˇcn´ı konstanta. V systému Maple máme opˇet nˇekolik moˇznost´ı, jak spoˇc´ıtat integrál ze zadané funkce, pˇresnˇeji ˇreˇceno, jak k této funkci urˇcit funkci primitivn´ı. Systém Maple totiˇz k v´ ysledk˚ um nepˇridává integraˇcn´ı konstantu (resp. ji pokládá standardnˇe rovnu 0), coˇz mus´ıme m´ıt stále na pamˇeti. Pˇri v´ ypoˇctu m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt symbol pro integrován´ı z palety Expression, pˇr´ıkaz int, jehoˇz parametry jsou v´ yraz, kter´ y chceme integrovat, a promˇenná podle n´ıˇz integrujeme. 70

Nakonec m˚ uˇzeme zapsat v´ yraz do dokumentu, kliknout na nˇej prav´ ym tlaˇc´ıtkem myˇsi a z kontextové nab´ıdky zvolit Integrate a následnˇe promˇennou, podle n´ıˇz chceme integrovat (viz obrázek 2.59).

Obr´ azek 2.59: V´ ypoˇcet primitivn´ı funkce.

K v´ ypoˇctu integrál˚ u se nejˇcastˇeji pouˇz´ıvaj´ı 2 základn´ı metody - metoda per partes a substituˇcn´ı metoda. Pozn´ amka 2.21: Metoda per partes vycház´ı z pravidla pro derivaci souˇcinu. Jej´ı pˇredpis pro funkce u(x) a v(x) (které maj´ı na daném intervalu spojité derivace) vypadá následovnˇe: Z Z 0 u(x) · v (x) dx = u(x) · v(x) − u0 (x) · v(x) dx. Substituˇcn´ı metoda poskytuje ˇreˇsen´ı pro integraci sloˇzené funkce. Jestliˇze F (x) je primitivn´ı funkc´ı k f (x) a funkce ϕ(x) má derivaci v kaˇzdém bodˇe svého definiˇcn´ıho oboru, pak plat´ı: Z Z 0 f (ϕ(x)) · ϕ (x) dx = f (t) dt = F (t) = F (ϕ(x)) pˇri substituci t = ϕ(x).

2.7.2

Metoda per partes

Systém Maple obsahuje bal´ık s názvem IntegrationTools. Pro aplikaci metody per partes slouˇz´ı pˇr´ıkaz Parts maj´ıc´ı dva parametry – integrál, kter´ y chceme urˇcit, a funkci, jej´ıˇz derivaci chceme poˇc´ıtat (v poznámce 2.21 tomu odpov´ıdá funkce u(x)). Pro zápis integrálu se v tomto pˇr´ıpadˇe pouˇz´ıvá pˇr´ıkaz Int8 , kter´ y vytvoˇr´ı integrál symbolicky a nevyhodnot´ı jej (narozd´ıl od pˇr´ıkazu int). Pro vyhodnocen´ı symbolicky zapsaného v´ yrazu m˚ uˇzeme pouˇz´ıt pˇr´ıkaz value. R Pˇ r´ıklad 2.51: Pomoc´ı metody per partes urˇcete x · ex dx. ˇ sen´ı: V systému Maple pouˇzijeme v´ Reˇ yˇse popsané pˇr´ıkazy. Pˇri aplikaci metody per partes máme vˇzdy v´ıce moˇznost´ı9 , jak volit funkci, která se bude derivovat. Nˇekteré moˇznosti vedou k c´ıli, jiné ne, jak je vidˇet i na tomto ˇreˇsen´ı (obrázek 2.60). Druhá volba funkce, která se má derivovat, vedla k jeˇstˇe v´ ypoˇcetnˇe nároˇcnˇejˇs´ımu integrálu, neˇz byl v zadán´ı. 8 9

Pozor na to, ˇze Maple rozliˇsuje mal´ a a velká p´ısmena! Ve skuteˇcnosti jich je nekoneˇcnˇe mnoho.

71


R Pˇ r´ıklad 2.52: Pomoc´ı metody per partes urˇcete x2 · sin(x) dx. ˇ sen´ı: Aplikujeme stejn´ Reˇ y postup jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu10 . Pˇrestoˇze zvol´ıme vhodnˇe funkci, která se bude derivovat, nedospˇejeme hned k v´ ysledku. Metodu per partes je tˇreba v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech aplikovat v´ıcekrát, a toto je právˇe jeden z nich. Takˇze metodu per partes aplikujeme na z´ıskan´ y v´ ysledek jeˇstˇe jednou a z´ıskáme hledané ˇreˇsen´ı (které opˇet vyhodnot´ıme pˇr´ıkazem value).

2.7.3

Substituˇ cn´ı metoda

Pro aplikaci substituˇcn´ı metody slouˇz´ı pˇr´ıkaz Change, opˇet z bal´ıku IntegrationTools. Pˇr´ıkaz má dva parametry (zcela analogicky k pˇr´ıkazu Parts) – integrál, kter´ y chceme urˇcit, a substituci, jiˇz zam´ yˇsl´ıme pouˇz´ıt. Zaveden´ım substituce pˇrejdeme k jiné promˇenné, v n´ıˇz také obdrˇz´ıme v´ ysledek. Na závˇer se proto mus´ıme vrátit“ k promˇenné p˚ uvodn´ı, coˇz provedeme zaveden´ım téˇze substi” tuce (nazpˇet) pomoc´ı pˇr´ıkazu subs. Pˇr´ıkaz subs má 2 povinné parametry – substituce, jeˇz hodláme zavést, a v´ yraz, v nˇemˇz budou substituce aplikovány11 .

10

Pouze nebudeme naˇc´ıtat bal´ık IntegrationTools, nebot’ jsme jej naˇcetli jiˇz dˇr´ıve. Upozornˇeme na rozd´ıl mezi pˇr´ıkazy Change a subs. Pˇr´ıkaz Change zavede substituci promˇenn´ ych v zadaném integr´ alu, zat´ımco pˇr´ıkaz subs provede substituce v zadaném v´ yrazu. 11

72


R Pˇ r´ıklad 2.53: Pomoc´ı substituˇcn´ı metody urˇcete sin3 (x) · cos(x) dx. ˇ sen´ı: Postupujeme analogicky jako v pˇredchoz´ıch pˇr´ıkladech. Pokud jsme pˇri pˇredchoz´ı Reˇ práci se systémem Maple nenaˇcetli bal´ık IntegrationTools, je tˇreba jej naˇc´ıst. Zavedeme substituci, z´ıskáme tabulkov´ y“ integrál, kter´ y vyhodnot´ıme pˇr´ıkazem value, a dalˇs´ı substi” tuc´ı se vrát´ıme k p˚ uvodn´ı promˇenné.


Pˇri v´ ypoˇctech integrál˚ u se uplatˇ nuj´ı i nˇekteré dalˇs´ı postupy jako napˇr´ıklad rozklad na parciáln´ı zlomky, pravidlo o integraci souˇctu funkc´ı, ˇci pravidlo o integraci funkce násobené konstantou (podrobnosti najdeme téˇz v nápovˇedˇe systému). Pro rozklad na parciáln´ı zlomky je moˇzné pouˇz´ıt jiˇz dˇr´ıve zm´ınˇen´ y pˇr´ıkaz convert s parametrem parfrac.

73

Pˇ r´ıklad 2.54: Pomoc´ı vhodné metody (resp. vhodného postupu) urˇcete následuj´ıc´ı integrály. Pˇr´ıkazem int následnˇe ovˇeˇrte správnost vaˇseho v´ ypoˇctu. R 2 R 1 dx, (a) 5·x√x−3 dx, (g) x·ln(x) √

x4 −2+x−4 x3

√ x2 + 1 dx,

(h)

R

x·

(x − 1) · (x − 2) · (x − 3) dx,

(i)

R

x · cos2 (x) dx,

R

x (x−1)·(x−2)2

(j)

R

x · ln(x) dx,

(e)

R

1 x3 +1

(k)

R

arctan(x) dx,

(f)

R

cos(5 · x + 6) dx,

(l)

R

x3 · ex dx.

(b)

R

(c)

R

(d)

dx,

dx,

dx,

2

Jiˇz jsme se setkali s v´ yukov´ ymi nástroji pro v´ ypoˇcet limit a derivac´ı. Podobn´ y nástroj je k dispozici i pro integrován´ı. Spust´ıme jej z hlavn´ı nab´ıdky zvolen´ım Tools > Tutors > Calculus – Single Variable > Integration Methods.... Maplet nás krok po kroku povede v´ ypoˇctem zadaného integrálu, nab´ız´ı tradiˇcnˇe nápovˇedu k jednotliv´ ym krok˚ um a pravidla, která je moˇzno pouˇz´ıt (viz obrázek 2.63).

Obr´ azek 2.63: V´ yukov´ y nástroj pro poˇc´ıtán´ı integrál˚ u.

2.7.4

Urˇ cit´ y integr´ al

Definice 2.21: Mˇejme funkci f (x), která je ohraniˇcená na uzavˇreném intervalu [a, b]. Rozdˇelme interval [a, b] na n podinterval˚ u a oznaˇcme toto dˇelen´ı d. Délku i-tého podin74

tervalu (pro i = 1, 2, ..., n) i samotn´ y podinterval oznaˇcme stejn´ ym symbolem ∆xi . Oznaˇcme dále mi infimum f (x) pro x ∈ ∆xi a Mi supremum f (x) na tomtéˇz intervalu. Nyn´ı definujeme doln´ı integráln´ı souˇcet pˇredpisem: s(d) =

n X

mi · ∆xi

i=1

a horn´ı integráln´ı souˇcet pˇredpisem: S(d) =

n X

Mi · ∆xi .

i=1

Definice 2.22: Necht’ plat´ı pˇredpoklady a oznaˇcen´ı definice 2.21. Nyn´ı definujeme doln´ı integrál jako supremum vˇsech doln´ıch integráln´ıch souˇct˚ u (pro r˚ uzná dˇelen´ı d), tj.: Zb f (x) dx = sup s(d) d a

a horn´ı integrál jako infimum vˇsech horn´ıch integráln´ıch souˇct˚ u (pro r˚ uzná dˇelen´ı d), tj.: Zb f (x) dx = inf S(d). d

a

Definice 2.23: Jestliˇze plat´ı: Zb

Z

b

f (x) dx,

f (x) dx = a

a

pak ˇrekneme, ˇze ohraniˇcená funkce f (x) je na intervalu [a, b] integrovatelná (resp. má urˇcit´ y integrál). Spoleˇcnou hodnotu z pˇredchoz´ı rovnosti naz´ yváme Riemannovým integrálem z funkce f (x) na intervalu [a, b] a znaˇc´ıme: Zb f (x) dx. a

Pozn´ amka 2.22: (Newtonova-Leibnizova formule) Jestliˇze je funkce f (x) na intervalu [a, b] integrovatelná, funkce F (x) na intervalu [a, b] spojitá a primitivn´ı k f (x), pak plat´ı: Zb

f (x) dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a).

a

K v´ ypoˇctu urˇcitého integrálu systém Maple nab´ız´ı pˇreddefinovan´ y symbol v paletˇe Expression. Je moˇzné pouˇz´ıt i pˇr´ıkaz int podobnˇe jako pro neurˇcit´ y integrál s t´ım rozd´ılem, ˇze nyn´ı pˇri specifikaci promˇenné, podle n´ıˇz integrujeme, uvád´ıme i jej´ı rozsah (rozsah integrace). 75

Obr´ azek 2.64: V´ ypoˇcet urˇcitého integrálu.

Obr´ azek 2.65: V´ ypoˇcet urˇcitého integrálu pomoc´ı Newtonovy-Leibnizovy formule.

Je samozˇrejmˇe moˇzné vyuˇz´ıt i Newtonovy-Leibnizovy formule, pˇriˇcemˇz si pom˚ uˇzeme pˇr´ıkazem unapply pro pˇrevod v´ yrazu na funkci. Na tomto pˇr´ıkladu si m˚ uˇzeme vˇsimnout, ˇze r˚ uzn´ ymi postupy je moˇzné doj´ıt ke stejnému, ale jinak upravenému v´ ysledku. Pro geometrickou interpretaci urˇcitého integrálu a názorné zobrazen´ı dˇr´ıve definovan´ ych pojm˚ u (doln´ı integráln´ı souˇcet, horn´ı integráln´ı souˇcet, ...) poskytuje systém Maple pˇr´ıkaz RiemannSum z bal´ıku Student[Calculus1]. Pˇr´ıkaz má dva povinné argumenty, a to funkci, jiˇz chceme integrovat, a interval, pˇres kter´ y chceme integrovat. Pokud zadáme jen tyto parametry, pˇr´ıkaz vypoˇc´ıtá integráln´ı souˇcet pro funkˇcn´ı hodnoty ve stˇredech podinterval˚ u vznikl´ ych rozdˇelen´ım p˚ uvodn´ıho intervalu a vyp´ıˇse hodnotu tohoto souˇctu. K dispozici je vˇsak nˇekolik parametr˚ u, které m˚ uˇzeme nastavit. Prvn´ım je parametr method urˇcuj´ıc´ı, jakou metodou budou voleny funkˇcn´ı hodnoty v podintervalech vznikl´ ych z rozdˇelen´ı p˚ uvodn´ıho intervalu. Pro doln´ı integráln´ı souˇcet pouˇzijeme nastaven´ı method=lower, pro horn´ı integráln´ı souˇcet nastaven´ı method=upper (základn´ı nastaven´ı odpov´ıdá zápisu method=midpoint). Dalˇs´ım parametrem je output (v´ ystup). Pro nás jsou zaj´ımavé zejména moˇznosti output=plot (zobraz´ı funkci v grafu i s dˇelen´ım p˚ uvodn´ıho intervalu a základn´ımi informacemi) a output=animation (vytvoˇr´ı animaci sestávaj´ıc´ı z graf˚ u v pˇr´ıpadˇe output=plot pro r˚ uznˇe jemná dˇelen´ı p˚ uvodn´ıho inter76

Obr´ azek 2.66: Geometrická interpretace urˇcitého integrálu – vykreslen´ı.

Obr´ azek 2.67: Geometrická interpretace urˇcitého integrálu – animace.

valu)12 . Nakonec uved’me jeˇstˇe parametr partition specifikuj´ıc´ı dˇelen´ı p˚ uvodn´ıho intervalu. Parametru je moˇzné pˇriˇradit ˇc´ıslo (v tom pˇr´ıpadˇe se p˚ uvodn´ı interval rozdˇel´ı na zadan´ y poˇcet stejnˇe velk´ ych interval˚ u) nebo seznam bod˚ u, v nichˇz se má p˚ uvodn´ı interval rozdˇelit. Pokud nechceme pouˇz´ıvat pˇr´ıkaz RiemannSum, je moˇzné vyuˇz´ıt dalˇs´ı z nástroj˚ u systému Maple, kter´ y nalezneme v menu zvolen´ım Tools > Tutors > Calculus – Single Variable 12

V animaci tak m˚ uˇzeme sledovat, jak se pro r˚ uznˇe jemná dˇelen´ı p˚ uvodn´ıho intervalu mˇen´ı hodnota aproximace integr´ alu.

77

> Approximate Integration.... V tomto mapletu (obrázek 2.68) m˚ uˇzeme zadat funkci, interval, poˇcet podinterval˚ u tohoto intervalu a zvolit metodu, která bude pouˇzita k v´ ypoˇctu urˇcitého integrálu. Na v´ ybˇer máme pˇritom i nˇekolik dalˇs´ıch metod kromˇe Riemannov´ ych souˇct˚ u. Maplet také nab´ız´ı srovnán´ı provedené aproximace integrálu a jeho skuteˇcné hodnoty. Pˇresto tento nástroj postrádá nˇekteré moˇznosti, které nám poskytuje pˇr´ıkaz RiemannSum.

Obr´ azek 2.68: Maplet pro pˇribliˇzn´ y v´ ypoˇcet urˇcitého integrálu a jeho geometrická interpretace.

Pˇ r´ıklad 2.55: Pomoc´ı vhodné metody (resp. vhodného postupu) aplikované pomoc´ı existuj´ıc´ıch pˇr´ıkaz˚ u urˇcete následuj´ıc´ı integrály. Pˇr´ıkazem int následnˇe ovˇeˇrte správnost vaˇseho v´ ypoˇctu. (a)

R1

arctan(x) dx,

(d)

0

(b)

R9 1

(c)

1√ 1+ x

dx,

(e)

dx,

2·π R

x2 · cos(x) dx,

0

sin(x) · cos2 (x) dx,

(f)

0

2.7.5

ex e2·x −1

ln(2)

π

R4

ln(3) R

ln(2) R √

ex − 1 dx.

0

Aplikace urˇ cit´ eho integr´ alu

Obsah plochy Jiˇz z geometrické interpretace urˇcitého integrálu vid´ıme jednu z jeho moˇzn´ ych aplikac´ı pro ˇreˇsen´ı praktick´ ych u ´loh, a tou je v´ ypoˇcet obsahu plochy vymezené dvˇema (pˇr´ıpadnˇe i v´ıce) kˇrivkami. 78

Pozn´ amka 2.23: Necht’ f (x) je na intervalu [a, b] nezáporná integrovatelná funkce. Pak pro obsah S plochy vymezené funkc´ı f (x), osou x a pˇr´ımkami x = a, x = b plat´ı: Zb S=

f (x) dx. a

Pokud je naopak funkce f (x) na tomto intervalu nekladná, pak pro obsah S plochy vymezené t´ ymiˇz kˇrivkami plat´ı: Zb S = − f (x) dx. a

Z pˇredchoz´ı poznámky m˚ uˇzeme odvodit i jak poˇc´ıtat obsah plochy v pˇr´ıpadˇe, kdy funkce f (x) na intervalu [a, b] prot´ıná osu x (interval rozdˇel´ıme na podintervaly, v nichˇz je funkce nezáporná, a podintervaly, v nichˇz je nekladná). Podobnˇe m˚ uˇzeme odvodit, ˇze pro v´ ypoˇcet obsahu S plochy vymezené funkcemi f (x), g(x) takov´ ymi, ˇze ∀x ∈ [a, b] : f (x) ≥ g(x), a pˇr´ımkami x = a, x = b plat´ı: Zb (f (x) − g(x)) dx.

S= a

Funkce je moˇzné zadávat téˇz parametricky, a to napˇr´ıklad rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ [a, b]. Pozn´ amka 2.24: Necht’ je funkce f zadána rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ [a, b], pˇriˇcemˇz funkce ϕ(t), ψ(t) jsou spojité pro t ∈ [α, β]. Je-li ϕ(t) ryze monotonn´ı a má spojitou derivaci na [a, b], pˇriˇcemˇz ϕ(α) = a, ϕ(β) = b, pak pro obsah S plochy vymezené funkc´ı f (x), osou x a pˇr´ımkami x = a, x = b plat´ı: β Z 0 S = ψ(t) · ϕ (t) dt . α

Pˇ r´ıklad 2.56: Urˇcete obsah plochy vymezené kˇrivkami x2 a x3 . ˇ sen´ı: V zadán´ı pˇr´ıkladu nen´ı zm´ınˇen interval, na kterém se plocha nacház´ı, nebot’ inReˇ terval urˇc´ı samotné kˇrivky x2 a x3 prot´ınaj´ıc´ı se právˇe ve dvou bodech. Souˇradnice pr˚ useˇc´ık˚ u na ose x tvoˇr´ı hledané body a a b. Pr˚ useˇc´ıky zadan´ ych funkc´ı zjist´ıme napˇr. pˇr´ıkazem solve. Poté staˇc´ı pouze dosadit do vzoreˇcku“ 13 . Plochu, jej´ıˇz obsah poˇc´ıtáme, m˚ uˇzeme zobrazit téˇz ” graficky. K vybarven´ı plochy mezi funkcemi vyuˇzijeme pˇr´ıkaz implicitplot z bal´ıku plots (viz obrázek 2.69). Pˇ r´ıklad 2.57: Urˇcete obsah plochy vymezené osou x a funkc´ı zadanou rovnicemi x = t − sin(t), y = 1 − cos(t), t ∈ [0, 2 · π]. ˇ sen´ı: Funkce x = t − sin(t) je na [0, 2 · π] ryze monotonn´ı a má spojitou derivaci, takˇze Reˇ m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt pˇredchoz´ı poznámku. Pˇri vykreslován´ı plochy vyuˇzijeme atributu filled, jenˇz nastav´ıme na hodnotu true. T´ım dosáhneme vykreslen´ı plochy pod kˇrivkou funkce aˇz k ose x. Souˇcasnˇe nastav´ıme atribut scaling na hodnotu constrained, abychom mˇeli na obou osách stejné mˇeˇr´ıtko (a graf funkce tak nebyl zkreslen´ y). 13

Jeˇstˇe je tˇreba vˇedˇet, kter´ a ze zadan´ ych funkc´ı je na z´ıskaném intervalu vˇetˇs´ı“. ”

79

ˇ sen´ı pˇr´ıkladu 2.56 vlevo, ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 2.57 vpravo. Obr´ azek 2.69: Reˇ

Pˇ r´ıklad 2.58: Urˇcete obsah plochy ohraniˇcené kˇrivkami: (a) y = 4 − x2 , y = x2 ,

(d) y = tan(x), y = 0, x = π4 ,

(b) y = x3 , y = −x, y = 1, (c) y = x2 , x = y 2 ,

(e) y = ex , y = e−x , y = 2.

Pˇ r´ıklad 2.59: Urˇcete obsah plochy ohraniˇcené: (a) funkc´ı y = x2 − 2 · x + 2, jej´ı teˇcnou v bodˇe [3, 5] a souˇradn´ ymi osami, (b) funkc´ı y = x3 a teˇcnou v bodˇe x = 1, (c) parabolou y = x2 − 6 · x + 8 a teˇcnami v bodech [1, 3] a [4, 0]. Pˇ r´ıklad 2.60: Urˇcete obsah plochy ohraniˇcené osou x a kˇrivkou zadanou parametricky: √ √ (a) x = 3 · t2 , y = 3 · t − t3 , t ∈ [− 3, 3], (b) x = 2 · (t − sin(t)), y = 2 · (1 − cos(t)), t ∈ [0, 2 · π], (c) x = 3 · sin3 (t), y = 3 · cos3 (t), t ∈ [0, π].

80

Pˇ r´ıklad 2.61: Odvod’te vzorec pro obsah kruhu o polomˇeru r. D´ elka oblouku kˇ rivky Pozn´ amka 2.25: Necht’ má funkce f (x) spojitou derivaci na intervalu [a, b]. Pak pro délku kˇrivky l funkce f (x) od bodu a k bodu b plat´ı: Zb q l= 1 + (f 0 (x))2 dx. a

Pozn´ amka 2.26: Necht’ je funkce f zadána parametricky rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ [α, β], pˇriˇcemˇz funkce ϕ(t), ψ(t) maj´ı spojité derivace pro t ∈ [α, β]. Pak pro délku kˇrivky l funkce f od α k β plat´ı: Zβ q (ϕ0 (t))2 + (ψ 0 (t))2 dt. l= α

Pˇ r´ıklad 2.62: Urˇcete délku kˇrivky funkce y = ln(x) mezi body x = 1 a x = 10. ˇ sen´ı: Funkce (ln(x))0 = 1 je spojitá na [1, 10], m˚ Reˇ uˇzeme tedy vyuˇz´ıt poznámky 2.25, x pˇr´ıpadnˇe pˇr´ıkazu ArcLength z bal´ıku Student[Calculus1] (obrázek 2.70).


81

Pˇ r´ıklad 2.63: Urˇcete délku kˇrivky zadané parametricky rovnicemi x = cos3 (t), y = sin3 (t), t ∈ [0, 2 · π]. ˇ sen´ı: Funkce cos3 (t), sin3 (t) maj´ı na intervalu [0, 2 · π] spojité derivace, takˇze m˚ Reˇ uˇzeme vyuˇz´ıt poznámky 2.26, pˇr´ıpadnˇe opˇet pˇr´ıkazu ArcLength z bal´ıku Student[Calculus1] (obrázek 2.71).


Pˇ r´ıklad 2.64: Urˇcete délku kˇrivky: (a) y 2 = x3 na intervalu [0, 1], (b) y =

ex +e−x 2

na intervalu [−1, 1],

(c) y = sin(x) na intervalu [0, π], (d) y = sin2 (x) na intervalu [0, π].

Pˇ r´ıklad 2.65: Urˇcete délku kˇrivky zadané parametricky: √ 3 (a) x = t2 , y = t − t3 , t ∈ [0, 3], (b) x = t · cos(t), y = t · sin(t), t ∈ [0, 4 · π], (c) x = cos(t) + t · sin(t), y = sin(t) − t · cos(t), t ∈ [0, 2 · π].

Pˇ r´ıklad 2.66: Odvod’te vzorec pro délku kruˇznice o polomˇeru r. 82

Objem rotaˇ cn´ıho tˇ elesa Pozn´ amka 2.27: Necht’ je funkce f (x) spojitá a nezáporná na intervalu [a, b]. Pak rotaˇcn´ı tˇeleso vzniklé rotac´ı kˇrivoˇcarého lichobˇeˇzn´ıka ohraniˇceného shora funkc´ı f (x), osou x a pˇr´ımkami x = a, x = b kolem osy x má objem V : Zb V =π·

f 2 (x) dx.

a

Pozn´ amka 2.28: Necht’ je funkce f zadána parametricky rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ [α, β], pˇriˇcemˇz funkce ϕ(t) má spojitou derivaci pro t ∈ [α, β] a funkce ψ(t) je spojitá a nezáporná pro t ∈ [α, β]. Pak pro objem V rotaˇcn´ıho tˇelesa vzniklého rotac´ı oblasti x ∈ [ϕ(α), ϕ(β)] a y ∈ [0, ψ(t)] kolem osy x plat´ı: Zβ V =π·

ψ 2 (t) · |ϕ0 (t)| dt.

α

Pˇ r´ıklad 2.67: Vypoˇctˇete objem tˇelesa, které vznikne rotac´ı oblasti ohraniˇcené kˇrivkami y = x2 , y = 2 − x2 kolem osy x. ˇ sen´ı: Objem budeme poˇc´ıtat podobnˇe, jako kdyˇz poˇc´ıtáme obsah plochy vymezené Reˇ dvˇema kˇrivkami. Pˇresnˇeji ˇreˇceno: vypoˇcteme objem rotaˇcn´ıho tˇelesa, které vznikne rotac´ı funkce y = 2 − x2 kolem osy x, a od nˇej odeˇcteme objem tˇelesa, které vznikne rotac´ı funkce y = x2 kolem osy x. Jelikoˇz obˇe funkce splˇ nuj´ı pˇredpoklady poznámky 2.27, m˚ uˇzeme k v´ ypoˇctu objemu pouˇz´ıt uveden´ y vztah. V systému Maple lze jednak vykreslit zadanou oblast, která má rotovat kolem osy x, dále m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt pˇr´ıkazu plot3d pro vykreslován´ı trojrozmˇern´ ych graf˚ u, pˇr´ıkazu animate pro vytvoˇren´ı animace a v neposledn´ı ˇradˇe také pˇr´ıkazu VolumeOfRevolution z bal´ıku Student[Calculus1]. Nastaven´ım parametru coords=cylindrical vytvoˇr´ıme rotaˇcn´ı tˇeleso vzniklé rotac´ı kolem jedné z os. Dále nastavujeme parametry jako u ´hel, o nˇejˇz má zadaná (resp. zadané) funkce rotovat, a interval oblasti – obrázky 2.72 a 2.73. Pozn´ amka 2.29: Mˇejme funkci zadanou parametricky rovnicemi x = f (t), y = g(t), z = h(t), t ∈ [α, β]. Pak tˇelesopvzniklé rotac´ı této funkce p kolem osy x je popsáno parametricky 2 2 rovnicemi x = f (t), y = g(t) + h(t) · cos(s), z = g(t)2 + h(t)2 · sin(s), t ∈ [α, β], s ∈ [0, 2 · π]. Pˇ r´ıklad 2.68: Vypoˇctˇete objem tˇelesa, které vznikne rotac´ı plochy vymezené kˇrivkou zadanou parametricky rovnicemi x = t − sin(t), y = 1 − cos(t), t ∈ [0, 2 · π] a osou x kolem této osy. ˇ sen´ı: Zadaná kˇrivka splˇ Reˇ nuje pˇredpoklady poznámky 2.28. V´ ypoˇcet objemu tedy provedeme dosazen´ım do pˇr´ısluˇsného vzorce. V systému Maple opˇet vykresl´ıme zadanou oblast, která má rotovat kolem osy x, a poté i z´ıskané tˇeleso pomoc´ı pˇr´ıkazu plot3d. Pˇritom vyuˇzijeme poznámky 2.29 – obrázek 2.74.

83



Pˇ r´ıklad 2.69: Urˇcete objem tˇelesa vzniklého rotac´ı plochy ohraniˇcené zadan´ ymi kˇrivkami kolem osy x: (a) y 2 = x, y = x2 ,

(c) y = x, y = x1 , y = 2,

(b) y = 0, x = 0, y = sin(x), x = π,

(d) x2 + y 2 = 4, x + y = 2. 84


Pˇ r´ıklad 2.70: Urˇcete objem tˇelesa, které vznikne rotac´ı plochy ohraniˇcené kˇrivkou zadanou parametricky a osou x kolem této osy: √ 3 (a) x = t2 , y = t − t3 , t ∈ [0, 3], (b) x = 3 · sin3 (t), y = 3 · cos3 (t), t ∈ [− π2 , π2 ], (c) x = sin2 (t), y = 1 − cos(t), t ∈ [0, π], (d) x = 2 + sin(t), y = 2 + cos(t), t ∈ [0, 2 · π].

Pˇ r´ıklad 2.71: Odvod’te vzorec pro objem koule o polomˇeru r. Pˇ r´ıklad 2.72: Odvod’te vzorec pro objem válce o polomˇeru podstavy r a v´ yˇsce válce v. Pˇ r´ıklad 2.73: Odvod’te vzorec pro objem kuˇzele o polomˇeru podstavy r a v´ yˇsce kuˇzele v.

Obsah pl´ aˇ stˇ e rotaˇ cn´ıho tˇ elesa Pozn´ amka 2.30: Necht’ je funkce f (x) spojitá a nezáporná na intervalu [a, b] a má zde spojitou derivaci. Pak pro obsah S rotaˇcn´ı plochy vzniklé rotac´ı kˇrivky y = f (x) kolem osy x plat´ı: Zb q S = 2 · π · f (x) · 1 + (f 0 (x))2 dx. a

85

Pozn´ amka 2.31: Necht’ je funkce f zadána parametricky rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ [α, β], pˇriˇcemˇz funkce ϕ(t) a ψ(t) maj´ı spojité derivace pro t ∈ [α, β] a funkce ψ(t) je nezáporná pro t ∈ [α, β]. Pak pro obsah S rotaˇcn´ı plochy vzniklé rotac´ı grafu funkce f kolem osy x plat´ı: Zβ q S = 2 · π · ψ(t) · (ϕ0 (t))2 + (ψ 0 (t))2 dt. α

Pˇ r´ıklad 2.74: Vypoˇctˇete obsah pláˇstˇe rotaˇcn´ıho kuˇzele, kter´ y vznikne rotac´ı funkce y = x pro x ∈ [0, 3] kolem osy x. ˇ sen´ı: Jelikoˇz plat´ı vˇsechny pˇredpoklady poznámky 2.30, staˇc´ı dosadit do uvedeného Reˇ vzorce. K dispozici máme také pˇr´ıkaz SurfaceOfRevolution z bal´ıku Student[Calculus1] (obrázek 2.75).


Pˇ r´ıklad 2.75: Vypoˇctˇete obsah pláˇstˇe tˇelesa, které vznikne rotac´ı kˇrivky zadané parametricky rovnicemi x = cos3 (t), y = sin3 (t), t ∈ [0, π] kolem osy x. ˇ sen´ı: Zadaná kˇrivka splˇ Reˇ nuje vˇsechny pˇredpoklady poznámky 2.31. Pouˇzijeme proto pˇr´ısluˇsn´ y vztah pro v´ ypoˇcet obsahu pláˇstˇe (obrázek 2.76).

86


Pˇ r´ıklad 2.76: Urˇcete obsah pláˇstˇe tˇelesa vzniklého rotac´ı plochy ohraniˇcené zadan´ ymi kˇrivkami kolem osy x: (a) y 2 = x, y = x2 , (b) y = 0, x = 0, y = sin(x), x = π, (c) y = x, y = x1 , y = 2, (d) x2 + y 2 = 4, x + y = 2.

Pˇ r´ıklad 2.77: Urˇcete obsah pláˇstˇe tˇelesa, které vznikne rotac´ı plochy ohraniˇcené kˇrivkou zadanou parametricky a osou x kolem této osy: √ 3 (a) x = t2 , y = t − t3 , t ∈ [0, 3], (b) x = 3 · sin3 (t), y = 3 · cos3 (t), t ∈ [− π2 , π2 ], (c) x = sin2 (t), y = 1 − cos(t), t ∈ [0, π], (d) x = 2 + sin(t), y = 2 + cos(t), t ∈ [0, 2 · π].

Pˇ r´ıklad 2.78: Odvod’te vzorec pro povrch koule o polomˇeru r. 87

Pˇ r´ıklad 2.79: Odvod’te vzorec pro povrch válce o polomˇeru podstavy r a v´ yˇsce válce v. Dˇr´ıve uvedené pˇr´ıkazy bal´ıku Student[Calculus1], tedy pˇr´ıkazy ArcLength, VolumeOfRevolution a SurfaceOfRevolution, jsou k dispozici i ve formˇe maplet˚ u, jeˇz najdeme v hlavn´ım menu (Tools > Tutors > Calculus − Single Variable).

2.7.6

Nevlastn´ı integr´ al

Definice 2.24: Necht’ je funkce f (x) integrovatelná v kaˇzdém intervalu [a, t], kde a < t < b, Rt a necht’ je f (x) neohraniˇcená v levém okol´ı bodu b. Existuje-li vlastn´ı limita lim− f (x) dx, t→b

pak ˇrekneme, ˇze integrál

Rb

a

f (x) dx konverguje, a klademe

a

Zb

Zt f (x) dx = lim−

f (x) dx.

t→b

a

a

Pokud zm´ınˇená limita neexistuje nebo je nevlastn´ı, ˇr´ıkáme, ˇze integrál

Rb

f (x) dx diverguje.

a

Pozn´ amka 2.32: V pˇr´ıpadˇe neohraniˇcenosti funkce f (x) na intervalu [a, b] v pravém okol´ı Rb bodu a definujeme integrál f (x) dx analogicky. a

Pˇ r´ıklad 2.80: Urˇcete

R1 0

√ 1 1−x2

dx.

ˇ sen´ı: V systému Maple obdrˇz´ıme ˇreˇsen´ı automaticky pouh´ Reˇ ym zad´ an´ım integrálu a pro1 veden´ım pˇr´ıkazu. Mus´ıme si vˇsak uvˇedomit, ˇze zadaná funkce √1−x2 nen´ı v bodˇe 1 spojitá a na intervalu [0, 1] ohraniˇcená! Správnˇe bychom se tedy mˇeli o z´ıskaném v´ ysledku pˇresvˇedˇcit urˇcen´ım limity z definice 2.24.


88


R1

x · ln(x) dx.

0

Pozn´ amka 2.33: Pokud je funkce f (x) neohraniˇcená na intervalu [a, b] v pravém okol´ı bodu a i v levém okol´ı bodu b, rozdˇel´ıme interval [a, b] libovoln´ ym bodem c ∈ (a, b), ˇc´ımˇz pˇrejdeme k pˇr´ıpad˚ um popsan´ ym v definici 2.24 a poznámce 2.32. Definice 2.25: Necht’ je funkce f (x) integrovatelná v kaˇzdém intervalu [a, b], kde a < b. R∞ Rb Existuje-li vlastn´ı limita lim f (x) dx, pak ˇrekneme, ˇze integrál f (x) dx konverguje, b→∞ a

a

a klademe Z∞

Zb f (x) dx = lim

f (x) dx.

b→∞

a

a

Neexistuje-li zm´ınˇená vlastn´ı limita, ˇr´ıkáme, ˇze integrál

R∞

f (x) dx diverguje.

a

Rb

Pozn´ amka 2.34: Analogicky definujeme nevlastn´ı integrál

f (x) dx. Je-li funkce f inte-

−∞

grovatelná na kaˇzdém omezeném intervalu, pak ˇrekneme ˇze integrál

R∞

f (x) dx konverguje,

−∞

jestliˇze pro nˇejaké a ∈ R konverguj´ı oba nevlastn´ı integrály

Ra

f (x) dx,

−∞

Z∞ −∞


R∞ 2

1 x2

f (x) dx a klademe

a

Z∞

Za f (x) dx =

R∞

f (x) dx + −∞

f (x) dx. a

dx.

ˇ sen´ı: V systému Maple obdrˇz´ıme ˇreˇsen´ı opˇet automaticky pouh´ Reˇ ym zadán´ım integrálu a proveden´ım pˇr´ıkazu. Jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe bychom si vˇsak mˇeli uvˇedomit, zda existuje Rb vlastn´ı limita lim x12 dx. Pˇri v´ ypoˇctu limity Maple zahlás´ı, ˇze neum´ı urˇcit, jestli b < 0. b→∞ 2

Je moˇzné mu pomoci“ zaveden´ım pˇredpokladu, ˇze b > 0, pomoc´ı pˇr´ıkazu assume (obrázek ” 2.78). Pˇ r´ıklad 2.83: Urˇcete následuj´ıc´ı integrály: (a)

R∞ 1

(b)

√1 x

R∞ −∞

dx,

1 1+x2

(c)

R∞

sin(x2 ) dx,

1

dx,

(d)

R∞ x2 +1 0

89

x3 +1

dx.


Doposud jsme se setkali pouze s pˇr´ıklady, kdy Maple um´ı nalézt symbolické ˇreˇsen´ı (pˇri pouˇzit´ı standardn´ıch“ funkc´ı). Jsou vˇsak pˇr´ıpady, kdy Maple zavád´ı funkce nové ˇci symbo” lické ˇreˇsen´ı nenalezne. Pokud Maple zahrne do v´ ysledku novou funkci, najdeme jej´ı pˇredpis v nápovˇedˇe. Napˇr´ıklad na obrázku 2.79 je v ˇreˇsen´ı zahrnuta tzv. chybová funkce erf(x) s pˇredpisem x R −t2 e dt 2· 0 √ . erf (x) = π

Obr´ azek 2.79: Symbolická a numerická integrace.

Jestliˇze Maple nenalezne symbolické ˇreˇsen´ı, vyp´ıˇse námi zadan´ y pˇr´ıkaz jako v´ ysledek. ’ V pˇr´ıpadˇe urˇcitého integrálu m˚ uˇzeme hledat numerické ˇreˇsen´ı, a to bud pˇridán´ım nepo90

vinného parametru numeric pˇr´ıkazu int, nebo pouˇzit´ım pˇr´ıkazu evalf na integrál zadan´ y 14 pˇr´ıkazem Int . Numerick´ ych metod pro v´ ypoˇcet urˇcitého integrálu nab´ız´ı Maple nˇekolik. Mezi nimi je moˇzné volit specifikac´ı parametru method (v´ıce v nápovˇedˇe systému).

14

Upozornˇeme na rozd´ıl v zad´ an´ı evalf(Int(..)) a evalf(int(...)). Prvn´ı moˇznost vede na numerické ˇreˇsen´ı zadaného integr´ alu, v druhém pˇr´ıpadˇe je nejprve vyhodnocen integrál symbolicky pˇr´ıkazem int a n´ aslednˇe v´ ysledek pˇreveden na numerickou hodnotu pˇr´ıkazem evalf.

91

3 Matematick´ a anal´ yza s Maple v Rn Aˇckoli v sobˇe název kapitoly obsahuje prostor Rn , ˇcasto se budeme omezovat na funkce dvou promˇenn´ ych, tedy prostor R2 , pro nˇejˇz máme v systému Maple grafickou podporu.

3.1 3.1.1

Funkce v´ıce promˇ enn´ ych Definice funkce v´ıce promˇ enn´ ych

Funkci v´ıce promˇenn´ ych definujeme v systému Maple zcela analogicky k funkci jedné promˇenné (viz 2.2.1). V prostˇred´ı Standard Worksheet pouˇz´ıváme tytéˇz postupy, pouze pˇridáváme“ ” promˇenné - obrázky a .

Obr´ azek 3.1: Definice funkce dvou promˇenn´ ych.

3.1.2

Vykreslen´ı funkce dvou promˇ enn´ ych

V závˇeru pˇredchoz´ı kapitoly jsme se jiˇz setkali s pˇr´ıkazem plot3d pro vykreslován´ı trojrozmˇern´ ych graf˚ u. V systému Maple máme tedy moˇznost vykreslovat funkce dvou promˇenn´ ych, a to opˇet podobn´ ymi postupy jako v pˇr´ıpadˇe funkce jedné promˇenné. Prvn´ı zp˚ usob nab´ız´ı kliknut´ı prav´ ym tlaˇc´ıtkem na funkci (resp. v´ yraz) dvou promˇenn´ ych v dokumentu a zvolen´ı Plots > 3-D Plot se specifikac´ı promˇenn´ ych. Dalˇs´ı moˇznost poskytuje pomocn´ık zvan´ y PlotBuilder a nakonec máme k dispozici jiˇz zm´ınˇen´ y pˇr´ıkaz plot3d. Narozd´ıl od vykreslován´ı funkc´ı jedné promˇenné Maple nyn´ı v grafu standardnˇe nezobrazuje souˇradnicové osy. Pokud je chceme zobrazit (a na v´ ybˇer máme z nˇekolika typ˚ u: normal, boxed, framed), je tˇreba pˇri tvorbˇe grafu specifikovat parametr axes. Graf je moˇzné upravovat i po jeho vytvoˇren´ı kliknut´ım pravého tlaˇc´ıtka myˇsi a volen´ım poˇzadovan´ ych parametr˚ u grafu z kontextové nab´ıdky. Kliknut´ım na graf a pˇridrˇzen´ım levého tlaˇc´ıtka myˇsi m˚ uˇzeme 92

Obr´ azek 3.2: Definice funkce v´ıce promˇenn´ ych.

s grafem funkce otáˇcet podle pohyb˚ u myˇsi, pˇr´ıpadnˇe provádˇet dalˇs´ı u ´pravy, které si pˇredem vybereme v kontextové liˇstˇe, resp. kontextovém menu. Rozd´ıl mezi pˇr´ıkazy plot a plot3d je také v povinnosti specifikovat rozsah nezávisle promˇenn´ ych. Zat´ımco u pˇr´ıkazu plot se pouˇzije standardn´ı interval [−10, 10] pˇri nezadán´ı rozsahu, pˇr´ıkaz plot3d zadán´ı rozsahu vyˇzaduje pro obˇe nezávisle promˇenné, jinak se neprovede a vyp´ıˇse chybové hláˇsen´ı. Stejnˇe jako v pˇr´ıpadˇe funkce jedné promˇenné mus´ıme i zde myslet na to, jak má graf funkce vypadat a pˇr´ıpadnˇe vyzkouˇset r˚ uzná nastaven´ı parametr˚ u (tj. napˇr. rozsah˚ u nezávisle promˇenn´ ych), abychom dostali názorn´ y graf. Nˇekterá zobrazen´ı mohou velmi zkreslovat (resp. zobrazovat graf funkce chybnˇe). Systém Maple kv˚ uli efektivitˇe (rychlosti) vykreslován´ı poˇc´ıtá funkˇcn´ı hodnoty1 jen v nˇekolika bodech. Graf b´ yvá zpravidla rozdˇelen na ˇctvercovou s´ıt’ bod˚ u, v nichˇz je spoˇc´ıtána odpov´ıdaj´ıc´ı (funkˇcn´ı) hodnota. Parametry s´ıtˇe se pro r˚ uzné typy graf˚ u liˇs´ı, napˇr´ıklad v Maple 16 je pro pˇr´ıkaz plot3d standardnˇe pouˇzita s´ıt’ 25x25 bod˚ u, pro pˇr´ıkaz implicitplot s´ıt’ 26x26 bod˚ u atp. Zbylé body grafu jsou z´ıskané lineárn´ı (rovinnou) interpolac´ı. Pokud chceme po systému pˇresnˇejˇs´ı zobrazen´ı, máme nˇekolik moˇznost´ı. Prvn´ı je omezen´ı rozsah˚ u nezávisle promˇenn´ ych (viz obrázek 3.4). M˚ uˇzeme také nastavit parametr numpoints urˇcuj´ıc´ı, v kolika bodech bude vypoˇc´ıtána (funkˇcn´ı) hodnota. Dalˇs´ı moˇznost´ı je nastavit explicitnˇe s´ıt’ poˇc´ıtan´ ych bod˚ u pomoc´ı parametru grid. Ten specifikujeme dvojic´ı v hranat´ ych 2 závorkách: [poˇcet bod˚ u na ose x, poˇcet bod˚ u na ose y] . 1

Ve skuteˇcnosti nemus´ı j´ıt jen o funkˇcn´ı hodnoty, vykreslovat m˚ uˇzeme napˇr´ıklad i hodnoty vyhovuj´ıc´ı nˇejaké rovnosti (nerovnosti). 2 Pˇr´ıkazu implicitplot je moˇzné nav´ıc nastavit parametr gridrefine, kter´ y zjemˇ nuje“ s´ıt’ poˇc´ıtan´ ych ” bod˚ u. Standardn´ı nastaven´ı je 0. Nastaven´ı na hodnotu 1 (zjednoduˇsenˇe) znamená, ˇze m´ısto jedné (funkˇcn´ı) hodnoty v daném m´ıstˇe s´ıtˇe budou urˇceny dvˇe funkˇcn´ı hodnoty. Pˇri dalˇs´ım zvyˇsován´ı hodnoty parametru gridrefine se vˇzdy rekurzivnˇe poˇc´ıtaj´ı dvˇe nové (funkˇcn´ı) hodnoty m´ısto jedné pˇredcházej´ıc´ı. V´ıce informac´ı nalezneme v n´ apovˇedˇe k pˇr´ıkazu implicitplot.

93

Obr´ azek 3.3: Vykreslen´ı funkce dvou promˇenn´ ych pomoc´ı pˇr´ıkazu plot3d.

Obr´ azek 3.4: Uk´ azka r˚ uzn´ ych nastaven´ı pˇr´ıkazu plot3d.

3.1.3

Definiˇ cn´ı obor funkce dvou promˇ enn´ ych

Systém Maple nám dává moˇznosti, jak zakreslit do grafu dvourozmˇernou (pˇr´ıpadnˇe i tˇr´ırozmˇernou) oblast. K zakreslen´ı dvourozmˇerné oblasti zadané implicitnˇe (rovnost´ı ˇci nerovnost´ı) slouˇz´ı 94

Obr´ azek 3.5: Uk´ azka dalˇs´ıch nastaven´ı pˇr´ıkazu plot3d pro pˇresnˇejˇs´ı vykreslen´ı.

pˇr´ıkaz implicitplot z bal´ıku plots. Pokud chceme zadanou oblast vyplnit, nastav´ıme parametr filled na hodnotu true. Pro vykreslen´ı oblast´ı vymezen´ ych v´ıce nerovnostmi (resp. rovnostmi) je nˇekdy nutné pouˇz´ıt jin´ y postup. Pokud je oblast vymezená lineárn´ımi nerovnostmi, je moˇzné pouˇz´ıt pˇr´ıkaz inequal z bal´ıku plots. Pˇ r´ıklad 3.1: Nakreslete oblast A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1}. ˇ sen´ı: Pouˇzijeme pˇr´ıkaz implicitplot, kterému nav´ıc specifikujeme i parametr view Reˇ pro rozsah souˇradn´ ych os3 (obrázek 3.6). Pˇ r´ıklad 3.2: Nakreslete oblast A = {(x, y) ∈ R2 : |x| + |y| ≤ 1}. ˇ sen´ı: Právˇe v tomto pˇr´ıpadˇe se projev´ı nedostateˇcn´ Reˇ y poˇcet generova´ ych bod˚ u pro vykreslen´ı zadané oblasti. Vyuˇzijeme proto parametru gridrefine, kter´ y poskytuje pˇr´ıkaz implicitplot (obrázek 3.7). Pˇ r´ıklad 3.3: Nakreslete oblast A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y < 1}. ˇ sen´ı: Poˇzadovaná oblast je zadána tˇremi nerovnostmi, pˇriˇcemˇz vˇsechny jsou lineárn´ı. Reˇ Vyuˇzijeme proto pˇr´ıkazu inequal. Pˇr´ıkaz má nˇekolik nepovinn´ ych parametr˚ u, v nichˇz m˚ uˇzeme napˇr´ıklad specifikovat barvu, kterou budou vykreslovány body patˇr´ıc´ı (resp. nepatˇr´ıc´ı) do zadané mnoˇziny (oblasti) nebo hraniˇcn´ı body (obrázek 3.8).

3

Neplést s nastaven´ım rozsahu nez´ avisle promˇenn´ ych!

95



96


Pˇ r´ıklad 3.4: Nakreslete oblast: (a) A = {(x, y) ∈ R2 : |x · y| ≤ 1}, (b) A = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ y ≤ 1}, (c) A = {(x, y) ∈ R2 : (x − 2)2 + y 2 ≥ 1}, (d) A = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ |x| + |y| < 2}, (e) A = {(x, y) ∈ R2 : x < x2 + y 2 ≤ 1}. Vykreslován´ı dvourozmˇern´ ych oblast´ı vyuˇzijeme pˇri urˇcován´ı definiˇcn´ıho oboru funkce dvou promˇenn´ ych. Systém Maple nemá ˇza´dn´ y nástroj pro nalezen´ı definiˇcn´ıho oboru funkce, nic nám vˇsak nebrán´ı vyuˇz´ıt jej pˇri pod´ ulohách vedouc´ıch k hledanému ˇreˇsen´ı. Pˇ r´ıklad 3.5: Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce f (x, y) =

r

x2 +

(y−2)2 4

a zakreslete jej v rovinˇe. ˇ sen´ı: V´ Reˇ yraz pod odmocninou mus´ı b´ yt nezáporn´ y, tj. (y − 2)2 2 x + − 1 · x2 + y 2 − 6 · x ≥ 0. 4 97

− 1 · (x2 + y 2 − 6 · x)

Pˇredchoz´ı nerovnost se nám rozpadne na 2 pˇr´ıpady, které bychom dále upravovali. V tuto chv´ıli vˇsak jiˇz m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt pˇr´ıkazu implicitplot a pˇr´ısluˇsnou oblast – definiˇcn´ı obor funkce f (x, y) – rovnou vykreslit. Opˇet je nutné specifikovat nˇekter´ y z parametr˚ u kvality“ ” zobrazen´ı, pouˇzijeme proto napˇr´ıklad znovu parametr gridrefine (obrázek 3.9).


Pˇ r´ıklad 3.6: U následuj´ıc´ıch funkc´ı urˇcete jejich definiˇcn´ı obor a zobrazte jej v rovinˇe: p x (a) f (x, y) = 1 − x2 − 4 · y 2 , (d) f (x, y) = arccos( x+y ), p p √ (b) f (x, y) = sin(x2 + y 2 ), (e) f (x, y) = 1 − x2 + 1 − y 2 , (c) f (x, y) = ln(x + y),

(f) f (x, y) = ln (x · ln(y − x)).

V systému Maple je moˇzné vykreslovat téˇz vrstevnice funkc´ı dvou promˇenn´ ych, tj. mnoˇziny bod˚ u se stejnou funkˇcn´ı hodnotou. Slouˇz´ı k tomu pˇr´ıkaz contourplot, pˇr´ıpadnˇe je moˇzné vrstevnice zakreslit do grafu funkce nastaven´ım parametru style pˇr´ıkazu plot3d na hodnotu patchcontour (lze nastavit i dodateˇcnˇe v kontextové liˇstˇe ˇci kontextovém menu). Pˇr´ıkaz˚ um contourplot a plot3d m˚ uˇzeme dále zadat parametr contours urˇcuj´ıc´ı, kolik 4 vrstevnic se zobraz´ı , pˇr´ıpadnˇe jaké vrstevnice (tj. vrstevnice jak´ ych funkˇcn´ıch hodnot)5 obrázek 3.10. 4 5

zad´ ame pˇrirozené ˇc´ıslo zad´ ame seznam funkˇcn´ıch hodnot

98

Obr´ azek 3.10: Zobrazen´ı vrstevnic funkce dvou promˇenn´ ych.

Pˇ r´ıklad 3.7: Zobrazte vrstevnice následuj´ıc´ıch funkc´ı: (c) f (x, y) = xy ,

(a) f (x, y) = x2 − y 2 , (b) f (x, y) =

3.2 3.2.1

1 , x2 +y 2

(d) f (x, y) = x · y.

Limita a spojitost funkce v´ıce promˇ enn´ ych Limita funkce

ˇ Definice 3.1: Rekneme, ˇze funkce f (x, y) má v bodˇe [x0 , y0 ] ∈ R2 limitu L ∈ R, jestliˇze ke kaˇzdému ε > 0 existuje δ > 0 tak, ˇze pro vˇsechny [x, y] splˇ nuj´ıc´ı |x − x0 | < δ, |y − y0 | < δ a [x, y] 6= [x0 , y0 ] plat´ı |f (x, y) − L| < ε, a p´ıˇseme lim

f (x, y) = L.

(x,y)→(x0 ,y0 )

Pozn´ amka 3.1: Analogicky k vlastn´ım a nevlastn´ım bod˚ um a limitám definujeme tyto 2 body i v prostoru R . Limita se naz´ yvá nevlastn´ı, jestliˇze je rovna ∞ nebo −∞. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe se naz´ yvá vlastn´ı. Nevlastn´ı bod je bod s alespoˇ n jednou souˇradnic´ı rovnou ∞ nebo −∞, tj. bod typu [a, ±∞] nebo [±∞, a], kde a ∈ R ∪ {−∞, ∞}. Pozn´ amka 3.2: Taktéˇz analogicky definujeme pˇr´ısluˇsné pojmy v prostoru dimenze vˇetˇs´ı neˇz 2. 99

Pozn´ amka 3.3: Zásadn´ı rozd´ıl mezi limitou funkce jedné promˇenné a limitou funkce dvou promˇenn´ ych spoˇc´ıvá v okol´ı limitn´ıho bodu a tedy smˇeru pˇribliˇzován´ı k limitn´ımu bodu. U funkce jedné promˇenné se bl´ıˇz´ıme pouze po jedné pˇr´ımce (a to zleva nebo zprava). Naproti tomu u funkce dvou (a v´ıce) promˇenn´ ych se k limitn´ımu bodu bl´ıˇz´ıme po r˚ uzn´ ych pˇr´ımkách, parabolách ˇci jin´ ych mnoˇzinách. Pokud v daném bodˇe limita existuje, nesm´ı záleˇzet na cestˇe, po jaké se k tomuto bodu pˇribliˇzujeme. V systému Maple máme moˇznost poˇc´ıtat limity funkc´ı dvou (i v´ıce) promˇenn´ ych. Nemáme k tomu vˇsak jiˇz symbol v paletˇe Expression, a tak mus´ıme pouˇz´ıt pˇr´ıkaz limit. Pˇr´ıkaz pouˇz´ıváme jedin´ y, limitn´ı bod zap´ıˇseme do sloˇzen´ ych závorek. Pokud bychom pouˇzili pˇr´ıkaz dvakrát za sebou vˇzdy pro jednu promˇennou, tj. napˇr. limit(limit(f(x,y),x=a),y=b), nepoˇc´ıtali bychom dˇr´ıve definovanou limitu. K limitn´ımu bodu bychom se totiˇz v tomto pˇr´ıpadˇe bl´ıˇzili pouze ve dvou smˇerech (nejprve po ose x a následnˇe po ose y).

Obr´ azek 3.11: V´ ypoˇcet limity funkce v´ıce promˇenn´ ych.

ˇ Systém Maple limitu v mnoh´ ych pˇr´ıpadech neum´ı urˇcit, i kdyˇz limita existuje. Casto je proto vhodnˇejˇs´ı pouˇz´ıt klasick´ y“ zp˚ usob urˇcen´ı limity a Maple pouˇz´ıt jako pomocn´ıka pˇri ” d´ılˇc´ıch v´ ypoˇctech a pro vykreslen´ı funkce (v´ yrazu) v bl´ızkosti limitn´ıho bodu (pro vysloven´ı hypotézy o existenci limity a jej´ı hodnotˇe). Pokud je moˇzné do v´ yrazu, jehoˇz limitu poˇc´ıtáme, “, dosadit, ˇreˇsen´ı je triviáln´ı. Pokud pˇri dosazen´ı dostáváme neurˇcit´ y v´ yraz typu 00 “ nebo ∞ ”∞ ” upravujeme p˚ uvodn´ı v´ yraz, abychom do nˇej mohli dosadit“. Nejbˇeˇznˇejˇs´ımi u ´pravami jsou ” rozˇs´ıˇren´ı zlomk˚ u, pouˇzit´ı (souˇctov´ ych) vzorc˚ u ˇci substituce. Kl´ıˇcová je otázka, zda limita v˚ ubec existuje. Pokud oˇcekáváme, ˇze zadan´ y v´ yraz nemá limitu, je moˇzné vyuˇz´ıt pˇribliˇzován´ı k limitn´ımu bodu z r˚ uzn´ ych smˇer˚ u (tj. napˇr. po r˚ uzn´ ych pˇr´ımkách, po pˇr´ımkách a po parabolách, ...). Pokud dostaneme r˚ uzné v´ ysledky (limity), liˇ mita neexistuje. Casto je vyuˇz´ıvána transformace do polárn´ıch souˇradnic a následné pˇribliˇzován´ı se k limitn´ımu bodu po kruˇznic´ıch. V tomto pˇr´ıpadˇe je nutné m´ıt na pamˇeti, ˇze v´ ysledná limita nesm´ı záviset na u ´hlu (ϕ) a ˇze pˇribliˇzován´ı se po kruˇznici je opˇet pouze jeden z moˇzn´ ych zp˚ usob˚ u pˇribliˇzován´ı se k limitn´ımu bodu! Nicménˇe existuje tvrzen´ı, které nám za jist´ ych pˇredpoklad˚ u dovol´ı urˇcit limitu funkce (v´ yrazu) pouˇzit´ım jen této metody. Pozn´ amka 3.4: Plat´ı-li pro funkci f (x, y) po transformaci do polárn´ıch souˇradnic lim (x,y)→(x0 ,y0 )

f (x, y) = lim+ h(r) · g(ϕ), r→0

pˇriˇcemˇz lim h(r) = 0 a g(ϕ) je ohraniˇcená pro ϕ ∈ [0, 2 · π),

r→0+

100

pak lim

f (x, y) = 0.

(x,y)→(x0 ,y0 )


1 lim 2 2. (x,y)→(0,0) x +y

ˇ sen´ı: Právˇe v tomto pˇr´ıpadˇe od systému Maple obdrˇz´ıme chybné ˇreˇsen´ı. Reˇ

Obr´ azek 3.12: Pokus o z´ıskán´ı ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 3.8 v Maple.

Jiˇz prvn´ı pohled nám napov´ıdá, ˇze by limita mˇela existovat a mˇela b´ yt rovna ∞. K urˇcen´ı limity mus´ıme vyj´ıt z definice nevlastn´ı limity. Potˇrebujeme ukázat, ˇze pro libovolnˇe velké M ∈ R existuje δ > 0 tak, ˇze pro vˇsechna [x, y] splˇ nuj´ıc´ı |x| < δ, |y| < δ a [x, y] 6= [0, 0] plat´ı f (x, y) > M . nuj´ıc´ı Mˇejme proto libovolné, ale pevné M ∈ R. Poloˇzme δ = √ 1 . Pro [x, y] splˇ 2

2

2

|x| < δ, |y| < δ a [x, y] 6= [0, 0] nyn´ı plat´ı: x + y < 2 · δ = skuteˇcnˇe f (x, y) > M pro tato [x, y], a tedy lim

(x,y)→(0,0) x2


2·|M | 1 . |M |

Z toho uˇz vid´ıme, ˇze

1 = ∞. + y2

x2 ·y 2 2 +y 2 . x (x,y)→(0,0)

lim

ˇ sen´ı: Od systému Maple nez´ıskáme ˇreˇsen´ı. Nejprve mus´ıme odhadnout“, zda limita Reˇ ” existuje a pokud ano, ˇcemu je rovna. Z toho vyvod´ıme postup, jak´ ym vyslovenou hypotézu dokázat. D´ıky tvaru zadán´ı nemus´ıme uvaˇzovat nad zmˇenami znamének, funkˇcn´ı hodnoty jsou vˇzdy nezáporné. Kdyˇz se budou x a y bl´ıˇzit k nule, budou velmi malá“. Pˇritom pro ” |x| < 1 a |y| < 1 plat´ı x2 + y 2 > x2 · y 2 a pod´ıl ˇcitatele a jmenovatele bude t´ım menˇs´ı, ˇc´ım menˇs´ı (v absolutn´ı hodnotˇe) budou x a y. To nás pˇrivád´ı na myˇslenku, ˇze limita existuje a je rovná nule. Nyn´ı bychom mohli opˇet postupovat podle definice. Vzali bychom libovolné, ale pevné ε a k nˇemu bychom vytvoˇrili“ δ tak, abychom splnili pˇredpoklady definice 3.1 pro L = 0. ” 101

Zkusme vˇsak k v´ ypoˇctu limity pouˇz´ıt transformaci do polárn´ıch souˇradnic, tzn. provést substituci: [x, y] = [r · cos(ϕ), r · sin(ϕ)]. Z´ıskali jsme (viz obrázek 3.13) v´ ysledek tvaru r2 · cos2 (ϕ) · sin2 (ϕ). Aplikac´ı poznámky 3.4 dostáváme h(r) = r2 a g(ϕ) = cos2 (ϕ) · sin2 (ϕ). Plat´ı, ˇze lim+ h(r) = 0 a g(ϕ) je ohraniˇcená r→0

pro ϕ ∈ [0, 2 · π). Tedy x2 · y 2 = 0. (x,y)→(0,0) x2 + y 2 lim


x2 ·y 2 2 +y 2 x (x,y)→(0,0)

lim

pˇr´ımo z definice limity.


Pˇ r´ıklad 3.11: Urˇcete: (a) (b) (c) (d)

x−2·y , (x,y)→(0,0) 3·x+y

lim

(e)

lim

x3 ·y 4 +y 4 , x (x,y)→(0,0)

(f)

(x,y)→(1,1)

x2 +y

lim (x,y)→(0,2)

x·y lim 2 2, (x,y)→(0,0) x +y

√ x·y

x2 +y 2

(x,y)→(0,0)

lim

lim

√ x·y

sin(x·y) , x

√ , 2

(g)

lim (x,y)→(0,0)

102

,

x2 +y 2 +1−1 . x2 +y 2

3.2.2

Spojitost funkce

ˇ Definice 3.2: Rekneme, ˇze funkce f (x, y) je spojitá v bodˇe [x0 , y0 ] ∈ R2 , jestliˇze má v tomto bodˇe vlastn´ı limitu a plat´ı lim (x,y)→(0,0)

f (x, y) = f (x0 , y0 ).

V systému Maple máme pro hledán´ı bod˚ u nespojitosti funkce jedné promˇenné pˇr´ıkaz discont. Ten vˇsak funguje“ jen pro funkce jedné promˇenné. Pro funkce v´ıce promˇenn´ ych ” m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt pˇr´ıkazu singular hledaj´ıc´ıho tzv. singularity. Jeho pouˇzit´ım pak m˚ uˇzeme odhalit nˇekteré body nespojitosti. Pˇr´ıkaz singular má vˇsak nˇekolik nedostatk˚ u“ (resp. ” omezen´ı“), takˇze je vhodnˇejˇs´ı hledat nespojitosti klasicky“ a Maple vyuˇz´ıvat k d´ılˇc´ım ” ” u ´kol˚ um. Pˇ r´ıklad 3.12: Je funkce ( f (x, y) =

x3 ·y x4 +y 4

0

. . . [x, y] 6= [0, 0] . . . [x, y] = [0, 0]

spojitá na celém R2 ? ˇ sen´ı: V pˇr´ıkladu 3.11.(b) piln´ Reˇ y ˇctenáˇr zjistil, ˇze funkce f (x, y) nemá v bodˇe [0, 0] limitu. Podle definice 3.2 proto f (x, y) nen´ı v tomto bodˇe spojitá. Pˇ r´ıklad 3.13: Urˇcete body nespojitosti u následuj´ıc´ıch funkc´ı: (a) f (x, y) = √

1 , x2 +y 2

(b) f (x, y) = sin

1 x·y

(c) f (x, y) = arccos

,

x , y

(d) f (x, y) = ln |1 − x2 − y 2 |, ( 2 2 x ·y . . . [x, y] 6= [0, 0] 2 2 (e) f (x, y) = x +y . 0 . . . [x, y] = [0, 0]

Pˇ r´ıklad 3.14: Urˇcete C ∈ R tak, aby byla následuj´ıc´ı funkce spojitá v bodˇe [0, 0]: (√ (a) f (x, y) =

x2 +y 2 +1−1 x2 +y 2

C ( (b) f (x, y) =

x·y x2 +y 2

C

. . . [x, y] 6= [0, 0] , . . . [x, y] = [0, 0]

. . . [x, y] 6= [0, 0] . . . . [x, y] = [0, 0]

103

3.3

Parci´ aln´ı derivace funkce v´ıce promˇ enn´ ych

Definice 3.3: Necht’ je funkce f (x, y) definována v bodˇe [x0 , y0 ] a nˇejakém jeho okol´ı. Poloˇzme ϕ(x) = f (x, y0 ). Existuje-li derivace funkce ϕ(x) v bodˇe x0 , naz´ yváme tuto derivaci parciáln´ı derivac´ı funkce f (x, y) podle promˇenné x v bodˇe [x0 , y0 ] a znaˇc´ıme fx0 (x0 , y0 ) resp. ∂f (x0 ,y0 ) . ∂x Pozn´ amka 3.5: Pˇredchoz´ı definici m˚ uˇzeme zapsat následovnˇe: fx0 (x0 , y0 ) = lim

x→x0

f (x, y0 ) − f (x0 , y0 ) . x − x0

Pozn´ amka 3.6: Analogicky definujeme fy0 (x0 , y0 ) resp. v´ıce promˇenn´ ych.

∂f (x0 ,y0 ) ∂y

ˇci parciáln´ı derivace funkc´ı

V systému Maple máme nˇekolik moˇznost´ı, jak urˇcovat parciáln´ı derivace funkc´ı (v´ yraz˚ u). ∂ d Jednak máme v paletˇe Expression jiˇz pˇreddefinované symboly pro derivaci ( dx f , ∂x f ), vyuˇz´ıt m˚ uˇzeme téˇz pˇr´ıkaz diff funguj´ıc´ı pro v´ yrazy libovolného poˇctu promˇenn´ ych. M˚ uˇzeme téˇz zapsat v´ yraz (funkci) do dokumentu, kliknout prav´ ym tlaˇc´ıtkem myˇsi a z kontextové nab´ıdky zvolit Differentiate a promˇennou, podle n´ıˇz chceme derivovat. Oproti derivaci funkce jedné promˇenné nen´ı moˇzné nyn´ı pouˇz´ıvat apostrof jako symbol pro derivaci. Respektive to moˇzné je, ale apostrof má v´ yznam parciáln´ı derivace podle promˇenné x, takˇze m˚ uˇzeme t´ımto zp˚ usobem derivovat pouze podle této promˇenné. Stále mus´ıme m´ıt na pamˇeti rozd´ıl mezi funkc´ı a v´ yrazem (jak to vn´ımá“ Maple, kter´ y ” vˇetˇsinou pracuje s v´ yrazem). Pro derivován´ı funkc´ı z pohledu systému Maple (tj. funkˇcn´ıch operátor˚ u) máme pˇr´ıkaz D (s n´ımˇz jsme se setkali jiˇz v pˇr´ıpadˇe funkc´ı jedné promˇenné, viz sekce 2.5). Na obrázku 3.14 vid´ıme, ˇze v´ ysledek pouˇzit´ı pˇr´ıkazu D m˚ uˇze b´ yt ponˇekud matouc´ı (viz v´ ysledek pˇr´ıkazu D[2](g), kde by bylo vhodnˇejˇs´ı obdrˇzet (x,y)->1). Pˇr´ıkaz D totiˇz vˇzdy vrac´ı opˇet funkci (funkˇcn´ı operátor). Pozn´ amka 3.7: Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe derivace funkce jedné promˇenné má sv˚ uj geometrick´ y v´ yznam i parciáln´ı derivace funkce dvou promˇenn´ ych. Také parciáln´ı derivace funkce f (x, y) v bodˇe [x0 , y0 ] je smˇernic´ı teˇcny k funkci f (x, y), a to v bodˇe [x0 , y0 , f (x0 , y0 )]. Takov´ ych teˇcen je vˇsak nekoneˇcnˇe mnoho. Konkrétnˇe parciáln´ı derivace funkce f (x, y) podle promˇenné x je smˇernic´ı teˇcny ke kˇrivce vzniklé jako pr˚ useˇc´ık grafu funkce f (x, y) a roviny y = y0 . Podobnˇe parciáln´ı derivace funkce f (x, y) podle promˇenné y je smˇernic´ı teˇcny ke kˇrivce vzniklé jako pr˚ useˇc´ık grafu funkce f (x, y) a roviny x = x0 . Tvrzen´ı poznámky 3.7 nyn´ı zobraz´ıme graficky. Na pomoc si vezmeme funkci f (x, y) = x + y 2 a budeme poˇc´ıtat jej´ı parciáln´ı derivaci v bodˇe [−1, 1] podle promˇenné x. Podle zm´ınˇené poznámky je tato parciáln´ı derivace smˇernic´ı teˇcny v bodˇe [−1, 1, 2] ke kˇrivce vzniklé jako pr˚ useˇc´ık funkce f (x, y) a roviny y = 1. Pro vykreslen´ı funkce f (x, y) pouˇzijeme jiˇz znám´ y pˇr´ıkaz plot3d. Pro vykreslen´ı roviny y = 1 pouˇzijeme pˇr´ıkaz implicitplot3d k vykreslován´ı objekt˚ u v tˇr´ırozmˇerném prostoru zadan´ ych implicitnˇe. Následnˇe vykresl´ıme teˇcnu k funkci f (x, y) (jej´ıˇz smˇernici urˇcuje parciáln´ı derivace) pˇr´ıkazem spacecurve pro vykreslován´ı prostorov´ ych kˇrivek zadan´ ych parametricky. Rovnice teˇcny je dána rovnic´ı z = k · x + q, pˇriˇcemˇz hodnota k je právˇe parciáln´ı derivace funkce f (x, y) v bodˇe [−1, 1] a je tedy rovna −2. Bod q jiˇz dopoˇc´ıtáme dosazen´ım bodu 2

104

Obr´ azek 3.14: V´ ypoˇcet parciáln´ı derivace v Maple.

dotyku ([−1, 1, 2]) teˇcny k funkci f (x, y). Nakonec do grafu jeˇstˇe pro názornost zaneseme bod dotyku pomoc´ı pˇr´ıkazu pointplot3d. Vˇse vykresl´ıme najednou pˇr´ıkazem display a z´ıskáme obrázek 3.156 .

Obr´ azek 3.15: Geometrick´ y v´ yznam parciáln´ı derivace.

6

Vˇsechny pouˇzité pˇr´ıkazy kromˇe pˇr´ıkazu plot3d náleˇz´ı bal´ıku plots, kter´ y je potˇreba naˇc´ıst pˇred jejich pouˇzit´ım (pˇr´ıpadnˇe pouˇz´ıvat spolu s vol´ an´ım pˇr´ısluˇsného bal´ıku).

105

Definice 3.4: Necht’ bod [x0 , y0 ] patˇr´ı do definiˇcn´ıho oboru parciáln´ı derivace funkce f (x, y). Existuje-li parciáln´ı derivace funkce fx0 (x0 , y0 ) podle promˇenné x v bodˇe [x0 , y0 ], naz´ yváme tuto derivaci parciáln´ı derivac´ı 2. ˇra´du funkce f (x, y) v bodˇe [x0 , y0 ] podle promˇenné x a znaˇc´ıme ∂ 2 f (x0 , y0 ) 00 fxx (x0 , y0 ) resp. . ∂x2 yváme Existuje-li parciáln´ı derivace funkce fx0 (x0 , y0 ) podle promˇenné y v bodˇe [x0 , y0 ], naz´ tuto derivaci sm´ıˇsenou parciáln´ı derivac´ı 2. ˇrádu funkce f (x, y) v bodˇe [x0 , y0 ] a znaˇc´ıme ∂ 2 f (x0 , y0 ) 00 fxy (x0 , y0 ) resp. . ∂x∂y

Pozn´ amka 3.8: Analogicky definujeme zbylé“ parciáln´ı derivace 2. ˇrádu a parciáln´ı de” rivace vyˇsˇs´ıch ˇra´d˚ u. V systému Maple postupujeme pˇri zadáván´ı parciáln´ıch derivac´ı vyˇsˇs´ıch ˇra´d˚ u podobnˇe, jak tomu bylo u derivac´ı vyˇsˇs´ıch ˇra´d˚ u v pˇr´ıpadˇe funkce jedné promˇenné.

Obr´ azek 3.16: Parci´ aln´ı derivace vyˇsˇs´ıch ˇrád˚ u funkc´ı v´ıce promˇenn´ ych.

Pozn´ amka 3.9: (Schwarzova vˇeta) Necht’ má funkce f (x, y) spojité sm´ıˇsené parciáln´ı de00 00 rivace fxy a fyx v bodˇe [x0 , y0 ]. Pak plat´ı: 00 00 fxy (x0 , y0 ) = fyx (x0 , y0 ).

106

Pˇ r´ıklad 3.15: Urˇcete vˇsechny parciáln´ı derivace 1. a 2. ˇrádu u následuj´ıc´ıch funkc´ı: (c) f (x, y) = xy , (a) f (x, y) = x2 · y + ln xy , 4

(b) f (x, y) = (x2 · y + y) ,

(d) f (x, y) = x · y · ln (x + y).

Pˇ r´ıklad 3.16: Urˇcete vˇsechny parciáln´ı derivace 1. ˇra´du funkce f (x, y) v bodˇe A: p 2 2 (a) f (x, y) = ln x + x + y , A = [1, 2], 3 (b) f (x, y) = 1 + logy (x) , A = [e, e], y , A = [1, 2]. (c) f (x, y) = ln x + 2·x

3.3.1

Smˇ erov´ e derivace

Definice 3.5: Necht’ f je funkce n promˇenn´ ych, X = [x1 , x2 , ..., xn ] vnitˇrn´ı bod D(f ) a u = (u1 , u2 , ..., un ) vektor. Necht’ ϕ(t) = f (X + t · u). Má-li funkce ϕ(t) derivaci v bodˇe t = 0, naz´ yváme ji derivac´ı funkce f v bodˇe X ve smˇeru vektoru u nebo také smˇerovou derivac´ı funkce f a oznaˇcujeme ji fu0 (X). Tedy: ϕ(t) − ϕ(0) f (X + t · u) − f (X) = lim . t→0 t→0 t t

fu0 (X) = lim

Smˇerové derivace m˚ uˇzeme poˇc´ıtat bud’ rovnou z definice nebo vyuˇzijeme pˇr´ıkaz bal´ıku Student[MultivariateCalculus] s názvem DirectionalDerivative. Pˇ r´ıklad 3.17: Vypoˇctˇete smˇerovou derivaci funkce f (x, y) = x2 + y 2 v bodˇe [−2, 2] ve smˇeru vektoru u = (3, 5). ˇ sen´ı: Vyuˇzijeme pˇr´ıkazu DirectionalDerivative, kter´ Reˇ y má 3 povinné parametry – v´ yraz, bod, v nˇemˇz hledáme smˇerovou derivaci, a pˇr´ısluˇsn´ y smˇer (obrázek 3.17).


Systém Maple nab´ız´ı dále maplet s názvem Directional Derivative, kter´ y m˚ uˇzeme spustit z hlavn´ı nab´ıdky: Tools > Tutors > Calculus - Multi-Variable > Directional Derivatives.... Maplet pro zadanou funkci, bod a smˇer vypoˇc´ıtá smˇerovou derivaci a zobraz´ı ji graficky spolu s funkc´ı a teˇcnou rovinou v daném bodˇe. V mapletu je dále moˇzné zobrazit animaci sestávaj´ıc´ı ze smˇerov´ ych derivac´ı v r˚ uzn´ ych smˇerech ve stejném bodˇe (ukázku poskytuje obrázek 3.18). 107

Obr´ azek 3.18: Maplet zobrazuj´ıc´ı smˇerové derivace.

Pˇ r´ıklad 3.18: Urˇcete smˇerovou derivaci funkce √

(a) f (x, y) = arctan(x · y) v bodˇe [1, 1] ve smˇeru vektoru u = (

√ 2 2 , ), 2 2

(b) f (x, y) = ln (ex + ey ) v bodˇe [0, 0] ve smˇeru vektoru u = (cos(α), sin(α)).

3.3.2

Diferenci´ al

ˇ Definice 3.6: Rekneme, ˇze funkce f (x, y) je diferencovatelná v bodˇe [x0 , y0 ], jestliˇze existuj´ı reálná ˇc´ısla A, B tak, ˇze f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ) − (A · h + B · k) √ = 0. (h,k)→(0,0) h2 + k 2 lim

Lineárn´ı funkce A · h + B · k promˇenn´ ych h, k se naz´ yvá (totáln´ı) diferenciál funkce v bodˇe [x0 , y0 ] a znaˇc´ı se df (x0 , y0 )(h, k), resp. df (x0 , y0 ). Pozn´ amka 3.10: Je-li funkce f (x, y) diferencovatelná v bodˇe [x0 , y0 ], pak má v tomto bodˇe parciáln´ı derivace a plat´ı A = fx0 (x0 , y0 ), B = fy0 (x0 , y0 ), tj. df (x0 , y0 ) = fx0 (x0 , y0 ) · h + fy0 (x0 , y0 ) · k.

108

Pozn´ amka 3.11: Teˇcná rovina k funkci f (x, y) v bodˇe T = [x0 , y0 , f (x0 , y0 )] má tvar z = f (x0 , y0 ) + fx0 (x0 , y0 ) · (x − x0 ) + fy0 (x0 , y0 ) · (y − y0 ). Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe funkce jedné promˇenné vyuˇz´ıváme diferenciál k v´ ypoˇct˚ um odhad˚ u funkˇcn´ıch hodnot v okol´ı bodu, v nˇemˇz funkˇcn´ı hodnotu známe. I tady pochopitelnˇe plat´ı, ˇze samotn´ y systém Maple urˇc´ı funkˇcn´ı hodnotu pˇresnˇeji. Pˇresto jej m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt k d´ılˇc´ım v´ ypoˇct˚ um a kontrole pˇresnosti z´ıskan´ ych aproximac´ı. √ 3 Pˇ r´ıklad 3.19: Urˇcete pˇribliˇznˇe: 1.023 + 1.97 p. ˇ Reˇsen´ı: Budeme uvaˇzovat funkci f (x, y) = x3 + y 3 . Aproximaci z´ıskáme podle vztahu: f (x0 + h, y0 + k) ≈ f (x0 , y0 ) + df (x0 , y0 ) = f (x0 , y0 ) + fx0 (x0 , y0 ) · (x − x0 ) + fy0 (x0 , y0 ) · (y − y0 ). V naˇsem pˇr´ıpadˇe: [x0 , y0 ] = [1, 2], [x, y] = [1.02, 1.97]. Systém Maple vyuˇzijeme k v´ ypoˇctu parciáln´ıch derivac´ı v pˇr´ısluˇsn´ ych bodech a celkovému souˇctu vypoˇcten´ ych hodnot (obrázek 3.19).


109

Pˇ r´ıklad 3.20: Urˇcete pˇribliˇznˇe: (c) arctan( 1.02 ), 0.95

(a) 3.050.99 , √ (b) 3.05 · cos(62◦ ),

(d) log4 (4.01 · 0.972 ).

p Pˇ r´ıklad 3.21: Urˇcete rovnici teˇcné roviny k funkci f (x, y) = 1 − x2 − y 2 v bodˇe [ √13 , √13 , √13 ] a rovinu i s funkc´ı vykreslete. ˇ sen´ı: Vyjdeme z poznámky 3.11. V Maple vykresl´ıme funkci f (x, y) i teˇcnou rovinu poReˇ moc´ı pˇr´ıkazu plot3d (v nˇemˇz nastav´ıme parametr pr˚ uhlednosti – transparency – pro vˇetˇs´ı pˇrehlednost), nav´ıc dopln´ıme i bod dotyku (ˇcervenˇe) teˇcné roviny pˇr´ıkazem pointplot3d z bal´ıku plots (obrázek 3.20).


Pˇ r´ıklad 3.22: Urˇcete rovnici teˇcné roviny a rovinu i s funkc´ı vykreslete pro: (a) funkci f (x, y) = x2 + y 2 v bodˇe [2, −1, 5], (b) funkci f (x, y) = x4 + 2 · x2 · y − x · y + x v bodˇe [1, 0, 2], (c) funkci f (x, y) = ln(x2 + y 2 ) v bodˇe [2, 1, ln(5)], (d) funkci f (x, y) = ex

2 +y 2

v bodˇe [0, 0, 1].

110

3.3.3

Taylor˚ uv polynom

Definice 3.7: Necht’ n ∈ N ∪ {0} a f (x, y) funkce maj´ıc´ı v bodˇe [x0 , y0 ] ∈ R2 a nˇejakém jeho okol´ı spojité parciáln´ı derivace aˇz do ˇrádu n. Polynom Tnf (x, y) = f (x0 , y0 ) +

∂f ∂f (x0 , y0 ) · (x − x0 ) + (x0 , y0 ) · (y − y0 ) ∂x ∂y

1 ∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f 2 2 + · (x0 , y0 ) · (x − x0 ) · (y − y0 ) + 2 (x0 , y0 ) · (y − y0 ) (x0 , y0 ) · (x − x0 ) + 2 · 2! ∂x2 ∂x∂y ∂y n ∂ nf 1 X n · +... + (x0 , y0 ) · (x − x0 )n−j · (y − y0 )j n! j=0 r ∂xn−j ∂y j se naz´ yvá Taylor˚ uv polynom stupnˇe n funkce f (x, y) v bodˇe [x0 , y0 ]. Funkci Rnf (x, y) = Tnf (x, y) − f (x, y) ˇr´ıkáme Taylor˚ uv zbytek a cel´ y v´ yraz Tnf (x, y) + Rnf (x, y) naz´ yváme Taylorovým vzorcem. Podobnˇe jako v jednorozmˇerném pˇr´ıpadˇe existuje i nyn´ı pˇredpis“ pro Rnf (x, y), kter´ y nám ” f ˇrekne, jak dobrou“ aproximac´ı dané funkce f (x, y) je polynom Tn (x, y). My jej potˇrebovat ” nebudeme, a proto ˇctenáˇre pouze odkáˇzeme na dalˇs´ı literaturu (napˇr. [2]). V systému Maple slouˇz´ı k z´ıskán´ı Taylorova polynomu funkce v´ıce promˇenn´ ych pˇr´ıkaz mtaylor. Pˇr´ıkaz má 2 povinné parametry, a to v´ yraz (funkˇcn´ı pˇredpis) a seznam promˇenn´ ych s pˇr´ıpadnou specifikac´ı bodu, v nˇemˇz má b´ yt polynom rozvinut. Pokud bod nespecifikujeme, bude pouˇzit nulov´ y bod. M˚ uˇzeme si dále vˇsimnout, ˇze narozd´ıl od pˇr´ıkazu taylor v jednorozmˇerném pˇr´ıpadˇe nyn´ı z´ıskáme pouze“ Taylor˚ uv polynom (bez chybového ˇclenu). Stejnˇe ” jako dˇr´ıve vyuˇz´ıváme k nastaven´ı ˇrádu chybového ˇclenu systémovou promˇennou Order, pˇr´ıpadnˇe tˇret´ı (nepovinn´ y) parametr pˇr´ıkazu mtaylor (viz obrázek 3.21). Pˇ r´ıklad 3.23: Urˇcete Taylor˚ uv polynom pro (a) funkci f (x, y) =

x y

(b) funkci f (x, y) =

cos(x) sin(y)

v bodˇe [1, 1], v bodˇe [0, π2 ],

(c) funkci f (x, y) = sin(x + y) v bodˇe [0, 0] tak, aby byl chybov´ y ˇclen ˇrádu 9, (d) funkci f (x, y, z) = (cos(x + y)) · z v bodˇe [0, 0, 0]. Pˇ r´ıklad 3.24: Pomoc´ı Taylorova polynomu urˇcete pˇribliˇznˇe: √ (a) 1.023 + 1.973 , √ (b) 3.05 · cos(62◦ ), ), (c) arctan( 1.02 0.95 (d) log4 (4.01 · 0.972 ). 111

Obr´ azek 3.21: V´ ypis Taylorova polynomu funkce dvou promˇenn´ ych.

3.4 3.4.1

Extr´ emy funkce v´ıce promˇ enn´ ych Lok´ aln´ı extr´ emy

Definice 3.8: Necht’ ρ : Rn × Rn → R je funkce, pro niˇz pro libovolná X, Y, Z ∈ Rn plat´ı: (a) ρ(X, Y ) ≥ 0, (b) ρ(X, Y ) = 0 ⇔ X = Y , (c) ρ(X, Y ) = ρ(Y, X), (d) ρ(X, Z) ≤ ρ(X, Y ) + ρ(Y, Z). Takovou funkci naz´ yváme metrikou (resp. vzdálenost´ı) v Rn . Pomoc´ı metriky definujeme εn okol´ı bodu X ∈ R jako mnoˇzinu Oε (X) = {Y ∈ Rn | ρ(X, Y ) < ε}. V pˇr´ıpadˇe, ˇze hodnota ε nen´ı podstatná, mluv´ıme pouze o okol´ı bodu X. ˇ Definice 3.9: Rekneme, ˇze funkce f : Rn → R nab´ yvá v bodˇe X ∗ ∈ Rn lokáln´ıho maxima, ∗ jestliˇze existuje okol´ı bodu X takové, ˇze pro vˇsechna X z tohoto okol´ı plat´ı: f (X) ≤ f (X ∗ ). Je-li uvedená nerovnost ostrá, mluv´ıme o ostrém lokáln´ım maximu. Pozn´ amka 3.12: Zcela analogicky definujeme (ostré) lokáln´ı minimum. Minima a maxima souhrnnˇe naz´ yváme extrémy. Pˇ r´ıklad 3.25: Napiˇste definici lokáln´ıho minima. Definice 3.10: Mˇejme funkci f : Rn → R. Bod X ∗ ∈ Rn nazveme stacionárn´ım bodem funkce f , jestliˇze v bodˇe X ∗ existuj´ı vˇsechny parciáln´ı derivace funkce f a plat´ı: ∂f (X ∗ ) = 0 pro i = 1, ..., n. ∂xi

112

Pozn´ amka 3.13: Funkce f : Rn → R m˚ uˇze m´ıt lokáln´ı extrém pouze ve svém stacionárn´ım bodˇe nebo v bodˇe, kde alespoˇ n jedna z parciáln´ıch derivac´ı neexistuje [2]. Pozn´ amka 3.14: Nyn´ı se omez´ıme pouze na funkce dvou promˇenn´ ych. Necht’ má funkce f (x, y) v okol´ı bodu [x0 , y0 ] spojité parciáln´ı derivace druhého ˇrádu. Oznaˇcme 00 00 fxx (x0 , y0 ) fxy (x , y ) 0 0 00 . H2 = H1 = fxx (x0 , y0 ), 00 00 fyx (x0 , y0 ) fyy (x0 , y0 ) Pak: • Kdyˇz H2 > 0, má funkce f (x, y) v bodˇe [x0 , y0 ] ostr´ y lokáln´ı extrém. (a) Pokud nav´ıc H1 > 0, pak je v bodˇe [x0 , y0 ] lokáln´ı minimum. (b) Pokud nav´ıc H1 < 0, pak je v bodˇe [x0 , y0 ] lokáln´ı maximum. • Kdyˇz H2 < 0, nemá funkce f (x, y) v bodˇe [x0 , y0 ] lokáln´ı extrém. • Kdyˇz H2 = 0, neum´ıme o existenci extrému t´ımto zp˚ usobem rozhodnout. Matici druh´ ych derivac´ı funkce f (x, y), jej´ıˇz determinant jsme oznaˇcili H2 , naz´ yváme Hessovou matic´ı, jej´ı determinant, H2 , oznaˇcujeme jako hessián. V systému Maple je opˇet nˇekolik cest, po nichˇz m˚ uˇzeme dospˇet k lokáln´ım extrém˚ um zadané funkce. K dispozici máme nˇekolik pˇr´ıkaz˚ u, které nám mohou pomoci pˇr´ı d´ılˇc´ım v´ ypoˇctu, pˇr´ıpadnˇe i nalezen´ı nˇekterého z extrém˚ u, ˇza´dn´ y pˇr´ıkaz vˇsak obecnˇe nedokáˇze naj´ıt vˇsechny lokáln´ı extrémy. Nejuniverzálnˇejˇs´ı cesta je proj´ıt v´ yˇse popsan´ y postup, kter´ y známe z pˇrednáˇsky. Systém Maple pˇritom m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt k vykreslen´ı zadané funkce, v´ ypoˇctu parciáln´ıch derivac´ı (pˇr´ıpadnˇe rovnou k v´ ypoˇctu stacionárn´ıch bod˚ u pomoc´ı pˇr´ıkazu extrema), v´ ypoˇctu Hessovy matice ˇci jej´ıho determinantu. K v´ ypoˇctu Hessovy matice slouˇz´ı pˇr´ıkaz Hessian z bal´ıku VectorCalculus. Pro v´ ypoˇcet determinantu je urˇcen pˇr´ıkaz Determinant z bal´ıku LinearAlgebra. Pˇ r´ıklad 3.26: Najdˇete lokáln´ı extrémy funkce f (x, y) = (x − 2)2 + (y − 3)2 + 5. ˇ sen´ı: Vyuˇzijeme pˇr´ıkaz extrema k nalezen´ı stacionárn´ıch bod˚ Reˇ u. Následnˇe vypoˇc´ıtáme Hessovu matici pˇr´ıkazem Hessian a jej´ı determinant pˇr´ıkazem Determinant. Na základˇe poznámky 3.14 pak rozhodneme o lokáln´ıch extrémech (obrázek 3.22). Pˇ r´ıklad 3.27: Najdˇete lokáln´ı extrémy funkce f (x, y) = (y − 3)2 − (x − 2)2 + 5. ˇ sen´ı: Postupujeme zcela analogicky k pˇredchoz´ımu pˇr´ıkladu. Vyuˇzijeme opˇet pˇr´ıkaz Reˇ extrema k nalezen´ı stacionárn´ıch bod˚ u, pˇr´ıkaz Hessian k v´ ypoˇctu Hessovy matice a pˇr´ıkaz Determinant k urˇcen´ı jej´ıho determinantu. Na základˇe poznámky 3.14 pak rozhodneme o lokáln´ıch extrémech (obrázek 3.23). x2 +y 2

Pˇ r´ıklad 3.28: Najdˇete lokáln´ı extrémy funkce f (x, y) = x · y · e− 2 . ˇ sen´ı: Postupujeme opˇet stejnˇe. Nyn´ı z´ıskáváme v´ıc stacionárn´ıch bod˚ Reˇ u, pro nˇeˇz mus´ıme vyhodnotit Hessovu matici a jej´ı determinant. Pˇri tom si pom˚ uˇzeme“ pˇr´ıkazem eval a na” rozd´ıl od pˇredchoz´ıch pˇr´ıklad˚ u naˇcteme pˇr´ıkazem with potˇrebné bal´ıky pro pˇr´ıkazy Hessian a Determinant (obrázek 3.24). 113



114


Jak jsme zm´ınili dˇr´ıve, v systému Maple jsou i nˇekteré pˇr´ıkazy hledaj´ıc´ı extrémy funkc´ı. Jedná se pˇredevˇs´ım o pˇr´ıkazy minimize a maximize pro nalezen´ı globáln´ıho minima ˇci maxima (symbolicky). Stejné pˇr´ıkazy, ovˇsem s velk´ ymi poˇca´teˇcn´ımi p´ısmeny, tj. Minimize a Maximize z bal´ıku Optimization, hledaj´ı globáln´ı extrémy numericky. Vˇsem zm´ınˇen´ ym pˇr´ıkaz˚ um je moˇzné nastavit omezuj´ıc´ı podm´ınky, a hledat tak absolutn´ı extrémy na dané mnoˇzinˇe (v´ıce v dalˇs´ı ˇcásti kapitoly). M˚ uˇzeme také vyuˇz´ıt mapletu s názvem Optimization, kter´ y vyvoláme napˇr´ıklad z hlavn´ıho menu zvolen´ım Tools > Assistants > Optimization.... Na v´ ybˇer máme nˇekolik metod, kter´ ymi je extrém hledán, tlaˇc´ıtkem Solve vyp´ıˇseme ˇreˇsen´ı, tlaˇc´ıtkem Plot jej zobraz´ıme graficky. Jeho ukázku s nalezen´ım globáln´ıho minima funkce f (x, y) = x2 + y 2 poskytuje obrázek 3.25. p Pˇ r´ıklad 3.29: Najdˇete lokáln´ı extrémy funkce f (x, y) = x2 + y 2 . ˇ sen´ı: Postupujeme stále stejnˇe. V tomto pˇr´ıpadˇe vˇsak nenalezneme ˇza´dné stacionárn´ı Reˇ body. Jiˇz z grafu funkce je na prvn´ı pohled vidˇet, ˇze funkce má lokáln´ı minimum v bodˇe [0, 0], v nˇemˇz neexistuje parciáln´ı derivace. Existenci minima m˚ uˇzeme ovˇeˇrit vyˇsetˇren´ım lokáln´ıho chován´ı funkce v okol´ı tohoto bodu nebo vyuˇzit´ım pˇr´ıkazu minimize. Pˇr´ıkaz volan´ y s jedn´ım parametrem vyp´ıˇse pouze hodnotu minima. Abychom z´ıskali i jeho polohu, pˇridáme druh´ y nepovinn´ y parametr location (obrázek 3.26).

115

Obr´ azek 3.25: Optimization maplet.


Pˇ r´ıklad 3.30: Najdˇete lokáln´ı extrémy funkce: (a) f (x, y) = x3 + y 3 − 3 · x · y, (b) f (x, y) = x4 − 3 · x2 · y + 3 · y − y 3 , (c) f (x, y) = x · y · ln(x2 + y 2 ), (g) f (x, y) = 3 −

2

2

(d) f (x, y) = (x2 + y 2 ) · e−x −y , √ (e) f (x, y) = 3 · x2 − 2 · x · y + y − 8 · x + 12, √ √ (f) f (x, y) = y · 1 + x + x · y + 1,

p p x2 + y 2 + 2 · (x − 2)2 + (y − 3)2 . 116

3.4.2

Absolutn´ı extr´ emy

ˇ Definice 3.11: Mˇejme funkci f : Rn → R a mnoˇzinu M ⊂ D(f ). Rekneme, ˇze bod X ∗ ∈ M je bodem absolutn´ıho maxima funkce f na mnoˇzinˇe M , jestliˇze pro vˇsechna X z mnoˇziny M plat´ı: f (X) ≤ f (X ∗ ). Je-li uvedená nerovnost ostrá pro vˇsechna X 6= X ∗ , mluv´ıme o ostrém absolutn´ım maximu. Pozn´ amka 3.15: Zcela analogicky definujeme (ostré) absolutn´ı minimum. M´ısto pojmu absolutn´ı minimum (maximum, extrém) pouˇz´ıváme nˇekdy term´ın globáln´ı minimum (maximum, extrém). Pˇ r´ıklad 3.31: Napiˇste definici absolutn´ıho minima. Definice 3.12: Bod X ∈ Rn nazveme bodem uzávˇeru mnoˇziny M ⊆ Rn , jestliˇze pro libovolné ε plat´ı: Oε (X) ∩ M 6= ∅. Mnoˇzina vˇsech bod˚ u uzávˇeru mnoˇziny M se naz´ yvá uzávˇer mnoˇziny M a znaˇc´ı se M . Mnoˇzinu M nazveme uzavˇrenou, jestliˇze M = M . Pozn´ amka 3.16: Necht’ je mnoˇzina M uzavˇrená a ohraniˇcená a funkce f na mnoˇzinˇe M spojitá. Pak f nab´ yvá absolutn´ıch extrém˚ u na mnoˇzinˇe M bud’ v bodech lokáln´ıch extrém˚ u patˇr´ıc´ıch do mnoˇziny M nebo v nˇekterém hraniˇcn´ım bodˇe mnoˇziny M . Pˇri hledán´ı absolutn´ıch extrém˚ u m˚ uˇzeme v systému Maple vyuˇz´ıvat tytéˇz pˇr´ıkazy jako pˇri hledán´ı extrém˚ u lokáln´ıch, pˇriˇcemˇz specifikujeme nav´ıc i mnoˇzinu, na n´ıˇz extrémy hledáme. Má to vˇsak svá omezen´ı. Pˇr´ıkazu extrema m˚ uˇzeme zadat omezuj´ıc´ı podm´ınky pouze ve tvaru rovnost´ı. Pˇr´ıkaz˚ um minimize a maximize je moˇzné zadat omezen´ı ve tvaru rozsah˚ u (interval˚ u) jednotliv´ ych promˇenn´ ych. V´ıce moˇznost´ı nám nab´ız´ı pˇr´ıkazy Minimize a Maximize z bal´ıku Optimization hledaj´ıc´ı extrémy numericky a maplet Optimization (viz obrázek 3.25), u nichˇz m˚ uˇzeme zadávat omezen´ı i ve tvaru neostr´ ych nerovnost´ı. Pˇ r´ıklad 3.32: Najdˇete absolutn´ı extrémy funkce f (x, y) = x2 − y 2 + 4 na mnoˇzinˇe M : x2 + y 2 ≤ 1. ˇ sen´ı: Nejprve vykresl´ıme zadanou funkci i s vyznaˇcen´ım hranice mnoˇziny M , které Reˇ provedeme pˇr´ıkazem spacecurve. Následnˇe provˇeˇr´ıme lokáln´ı extrémy pˇr´ıkazem extrema s následn´ ym vyhodnocen´ım determinantu Hessovy matice. T´ ymˇz pˇr´ıkazem najdeme extrémy funkce na hranici mnoˇziny M (obrázek 3.27). Pˇ r´ıklad 3.33: Najdˇete absolutn´ı extrémy funkce f (x, y) = x2 + y 2 + 4 na mnoˇzinˇe M : x2 + y 2 ≤ 1. ˇ sen´ı: Postupujeme stejn´ Reˇ ym zp˚ usobem jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu. Zadaná funkce má jeden lokáln´ı extrém, kter´ y je souˇcasnˇe i jej´ım globáln´ım minimem na mnoˇzinˇe M . Absolutn´ıch maxim je nekoneˇcnˇe mnoho a jsou tvoˇreny hranic´ı mnoˇziny M (obrázek 3.28). Pˇ r´ıklad 3.34: Najdˇete absolutn´ı extrémy funkce f (x, y) = x2 + 2 · x · y − 4 · x − 8 · y na mnoˇzinˇe M urˇcené pˇr´ımkami x = 0, x = 1, y = 0, y = 2. ˇ sen´ı: K zakreslen´ı hranice mnoˇziny M do zadané funkce potˇrebujeme nyn´ı pouˇz´ıt Reˇ 4× pˇr´ıkaz spacecurve (pro kaˇzdou pˇr´ımku – resp. u ´seˇcku, zvláˇst’). Následnˇe nalezneme stacionárn´ı bod funkce pˇr´ıkazem extrema. Tento stacionárn´ı bod leˇz´ı mimo mnoˇzinu M , zadaná funkce je v kaˇzdém bodˇe diferencovatelná, absolutn´ı extrémy tedy leˇz´ı na hranici mnoˇziny M . D´ıky tvaru M (jedná se o obdéln´ık) ji m˚ uˇzeme jednoduˇse vyjádˇrit pomoc´ı dvou 117



118


interval˚ u (rozsah˚ u pro promˇenné x a y). Pˇresnˇe toto omezen´ı je moˇzné zadávat pˇr´ıkaz˚ um minimize a maximize, takˇze je vyuˇzijeme7 (obrázek 3.29). Pˇ r´ıklad 3.35: Urˇcete absolutn´ı extrémy funkce f (x, y) na mnoˇzinˇe M : (a) f (x, y) = x2 + y 2 , M : x2 + y 2 ≤ 1, (b) f (x, y) = x + y, M : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1, (c) f (x, y) = |x| + |y|, M : x2 + y 2 ≤ 1, (d) f (x, y) = x · y − x2 − y 2 + x + y, M je ohraniˇcená pˇr´ımkami x = 0, y = 0, y = 4 − x, uheln´ıková oblast s vrcholy v bodech (e) f (x, y) = x2 + 2 · x · y + 2 · y 2 − 3 · x − 5 · y, M je troj´ A = [0, 2], B = [3, 0], C = [0, −1], (f) f (x, y) = sin(x) · sin(y) · sin(x + y), M : x > 0, y ≤ π.

Pˇ r´ıklad 3.36: Najdˇete kladná ˇc´ısla x, y, z taková, ˇze x + y + z = 18 a x · y · z je maximáln´ı. ˇ sen´ı: Chceme maximimalizovat funkci f (x, y, z) = x · y · z. Pˇritom má platit, ˇze x + Reˇ y + z = 18. Tuto rovnost m˚ uˇzeme zahrnout rovnou do pˇredpisu funkce, a z´ıskat tak funkci pouze dvou promˇenn´ ych: x · y · (18 − y − x). Novˇe vzniklou funkci pˇritom maximalizujeme pro x ∈ (0, 18), y ∈ (0, 18), x + y < 18. T´ımto zápisem jsme zadanou u ´lohu pˇrevedli na klasické 7

Pˇr´ıkazy minimize a maximize v tomto pˇr´ıpadˇe neprocház´ı jen hranici mnoˇziny M , ale celou mnoˇzinu (coˇz n´ am ale nevad´ı). Pro jin´ y tvar mnoˇziny M , napˇr. troj´ uheln´ık, ˇcasto mus´ıme procházet jednotlivé ˇc´ asti jej´ı hranice, tj. napˇr. jednotlivé u ´seˇcky (a hledat na nich extrém).

119

hledán´ı absolutn´ıho maxima funkce, jak jsme jej ˇreˇsili v pˇredchoz´ıch pˇr´ıkladech. Tentokrát dokonce nemus´ıme ani vyˇsetˇrovat funkˇcn´ı hodnoty na hranici omezuj´ıc´ı“ mnoˇziny, nebot’ ” omezuj´ıc´ı podm´ınky jsou ostré nerovnosti. Celkem z´ıskáváme, ˇze poˇzadovaná kladná ˇc´ısla jsou: x = y = z = 6 (obrázek 3.30).


Pˇ r´ıklad 3.37: Najdˇete kladná ˇc´ısla x, y, z taková, ˇze x · y · z = 64 a x + y + z je minimáln´ı.

Pˇ r´ıklad 3.38: Jakého nejmenˇs´ıho ˇc´ısla m˚ uˇze nab´ yt souˇcet tˇr´ı kladn´ ych ˇc´ısel x, y, z, jestliˇze 2 pro nˇe plat´ı: x · y · z = 2500?

Pˇ r´ıklad 3.39: Najdˇete bod plochy z = x · y − 1, kter´ y je nejbl´ıˇze bodu [0, 0, 0].

Pˇ r´ıklad 3.40: Urˇcete rovnici pˇr´ımky, pro niˇz plat´ı, ˇze má od bod˚ u [0, 2], [1, 3] a [2, 5] nejmenˇs´ı souˇcet ˇctverc˚ u (druh´ ych mocnin) jejich vertikáln´ıch vzdálenost´ı (tj. ve smˇeru osy y) – tzv. metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u. 120

3.5

V´ıcerozmˇ ern´ y integr´ al

Pozn´ amka 3.17: Mˇejme spojitou funkci f (x, y) na obdéln´ıku [a, b]×[c, d]. Pak jsou spojité i funkce ϕ(x) a ψ(y) dané integrály: Zd ϕ(x) =

Zb f (x, y) dy

a

ψ(y) =

c

f (x, y) dx. a

Funkce ϕ(x) a ψ(y) tak m˚ uˇzeme integrovat znovu a z´ıskat: Zb

Zb Zd ϕ(x) dx =

f (x, y) dy dx,

a

a

c

Zd

Zd Zb ψ(y) dy =

c

f (x, y) dx dy. c

a

Pˇredeˇslé integrály naz´ yváme dvojnásobnými integrály. Definice 3.13: Necht’ T = [a, b] × [c, d] ⊂ R2 a necht’ je funkce f (x, y) spojitá na T . Dvojným integrálem funkce f (x, y) pˇres mnoˇzinu T pak rozum´ıme: Zb Zd

ZZ f (x, y) dx dy = T

Zd Zb f (x, y) dy dx =

a

c

f (x, y) dx dy. c

a

Definice 3.14: Uvaˇzujme nyn´ı oblast, j´ıˇz budeme ˇr´ıkat oblast základn´ı, definovanou jako T = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ [a1 , a2 ], y ∈ [s1 (x), s2 (x)]}, resp. T = {(x, y) ∈ R2 | y ∈ [b1 , b2 ], x ∈ [p1 (y), p2 (y)]}, pˇriˇcemˇz funkce s1 (x), s2 (x), p1 (y), p2 (y) jsou spojité na intervalech [a1 , a2 ], resp. [b1 , b2 ]. Základn´ı oblast ilustruje pro lepˇs´ı pˇredstavu obrázek 3.31.

Obr´ azek 3.31: Zobrazen´ı základn´ı oblasti (pˇrevzato z [4]).

Analogicky jako v pˇredchoz´ı definici nyn´ı definujeme dvojný integrál funkce f (x, y) pˇres mnoˇzinu T jako: 121

ZZ

Za2 sZ2 (x) f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx, a1 s1 (x)

T

ZZ resp.

Zb2 pZ2 (y) f (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy.

T

b1 p1 (y)

Pozn´ amka 3.18: Sjednocen´ım koneˇcnˇe mnoha základn´ıch oblast´ı m˚ uˇzeme z´ıskat tzv. elementárn´ı oblast (mnoˇzinu) K (viz obrázek 3.32).

Obr´ azek 3.32: Zobrazen´ı elementárn´ı oblasti (pˇrevzato z [8]).

ˇ ym krokem pˇri v´ Pozn´ amka 3.19: Cast´ ypoˇctu integrál˚ u je prohozen´ı poˇrad´ı integrace. Mus´ıme m´ıt na pamˇeti, ˇze vnˇejˇs´ı integrál mus´ı b´ yt vˇzdy ten, kter´ y neobsahuje promˇennou ve sv´ ych mez´ıch. Definice 3.15: Uvaˇzujme nyn´ı základn´ı oblast T = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ [a1 , a2 ], y ∈ [s1 (x), s2 (x)]}, pˇriˇcemˇz funkce s1 (x), s2 (x) jsou spojité na intervalu [a1 , a2 ]. Definujme základn´ı tˇeleso P = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ T, z ∈ [h1 (x, y), h2 (x, y)]}. Trojným integrálem funkce f (x, y, z) pˇres mnoˇzinu P naz´ yváme:  ZZZ

ZZ f (x, y, z) dx dy dz =

P

  T



h2Z(x,y)

Za2 sZ2 (x) h2Z(x,y)  f (x, y, z) dz  = f (x, y, z) dz dy dx. a1 s1 (x) h1 (x,y)

h1 (x,y)

V systému Maple zadáváme v´ıcenásobné integrály opakovan´ ym pouˇzit´ım integraˇcn´ıho symbolu z palety Expression, pˇr´ıkazu int ˇci vyvolán´ım kontextové nab´ıdky dokumentu (po kliknut´ı prav´ ym tlaˇc´ıtkem myˇsi na pˇredpis funkce) a zvolen´ım poloˇzky Integrate spolu se specifikac´ı integraˇcn´ı promˇenné (pouze pro neurˇcit´ y integrál). Pokud chceme do dokumentu zapsat v´ıcenásobn´ y integrál symbolicky (a nevyhodnocovat jej), pouˇzijeme pˇr´ıkaz Int. Dalˇs´ı moˇznost, jak zadat (urˇcit´ y) v´ıcenásobn´ y integrál (dvojn´ y nebo trojn´ y), poskytuje pˇr´ıkaz MultiInt z bal´ıku Student[MultivariateCalculus]. 122

Obr´ azek 3.33: V´ıcenásobné integrály.

Pˇr´ıkaz MultiInt nab´ız´ı moˇznost v´ ypisu integrálu jako symbolu i jako integrálu, kter´ y bude rovnou“ vyhodnocen. Nav´ıc je moˇzné nechat vypsat kroky v´ ypoˇctu integrálu nasta” ven´ım nepovinného parametru output na hodnotu steps. Dalˇs´ım nepovinn´ ym parametrem, kter´ y m˚ uˇzeme specifikovat, je parametr coordinates urˇcuj´ıc´ı, v jak´ ych souˇradnic´ıch je integrál uveden. Na v´ ybˇer máme podle dimenze integrálu souˇradnice kartézské (cartesian[x,y] nebo cartesian[x,y,z]), polárn´ı (polar[r,theta]), sférické (spherical[r,phi,theta]) ˇci cylindrické (cylindrical[r,theta,z]), viz obrázek 3.34. K pˇrevod˚ um mezi r˚ uzn´ ymi souˇradnicov´ ymi systémy m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt pˇr´ıkaz changecoords, kter´ y pˇrevede zadan´ y v´ yraz z kartézského systému souˇradnic do námi zvoleného. Pro dvojné a trojné integrály je k dispozici pˇr´ıkaz bal´ıku Student[MultivariateCalculus] s názvem ChangeOfVariables pˇrevádˇej´ıc´ı promˇenné mezi dˇr´ıve vyjmenovan´ ymi souˇradnicov´ ymi systémy. Pˇr´ıkaz má jednu slabinu“, a to, ˇze zpravidla nepˇrevede integraˇcn´ı meze do nov´ ych promˇenn´ ych, ” coˇz mus´ıme tedy udˇelat sami (obrázek 3.35). Pˇ r´ıklad 3.41: Stanovte meze dvojnásobného integrálu ZZ I= f (x, y) dx dy. Ω

Integrál následnˇe zapiˇste i s tˇemito mezemi pro integraˇcn´ı oblast: (a) Ω : 0 ≤ x ≤ y ≤ 1,

(c) Ω : 1 ≤ |x| + |y| < 2,

(b) Ω : x < x2 + y 2 ≤ 1,

(d) Ω je 4 s vrcholy [1, 0], [1, 1], [0, 0].

ˇ sen´ı: Pˇri stanovován´ı mez´ı nám m˚ Reˇ uˇze velmi pomoci obrázek. Nejprve si tedy zadanou mnoˇzinu Ω vˇzdy vykresl´ıme a následnˇe odvod´ıme meze jednotliv´ ych integrál˚ u. Vyuˇzijeme pˇritom pˇr´ıkaz˚ u inequal z bal´ıku plots, transform z bal´ıku plottools a implicitplot 123

Obr´ azek 3.34: V´ıcen´ asobné integrály s pˇr´ıkazy MultiInt a Int.

Obr´ azek 3.35: Transformace mezi souˇradnicov´ ymi systémy.

124

z bal´ıku plots, s nimiˇz jsme se jiˇz setkali pˇri vykreslován´ı oblast´ı a definiˇcn´ıch obor˚ u funkc´ı v sekci 3.1.3. (a)

Obr´ azek 3.36: Zobrazen´ı oblasti Ω z pˇr´ıkladu 3.41.(a)

Z obrázku 3.36 m˚ uˇzeme vyvodit 2 r˚ uzné (ekvivalentn´ı) zápisy integraˇcn´ıch mez´ı: 1. 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y, 2. 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1. Celkem tak z´ıskáváme: Z1 Zy

ZZ I=

f (x, y) dx dy =

f (x, y) dx dy = 0

Ω

Z1 Z1

0

f (x, y) dy dx. 0

x

(b) Z obrázku 3.37 m˚ uˇzeme vyvodit opˇet 2 r˚ uzné (ekvivalentn´ı) zápisy integraˇcn´ıch mez´ı. Dostáváme vˇsak v´ yraznˇe komplikovanˇejˇs´ı zápis neˇz v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe, a tak zapiˇsme pouze jednu moˇznost (která je jednoduˇsˇs´ı): √ √ 1. −1 ≤ x ≤ 0, − 1 − x2 ≤ y ≤ q1 − x2 , q √ √ 2 2 1 0 ≤ x ≤ 1, − 1 − x2 ≤ y < − 14 − x − 12 ∪ − x − 12 < y ≤ 1 − x2 . 4 Celkem tak z´ıskáváme:

Z0

ZZ I=

√

f (x, y) dx dy = Ω

Z1 −

Z1−x2

q

1 − 4

f (x, y) dy dx + √

−1 − 1−x2

f (x, y) dy dx + 0

125

1 2

Z (x− 2 )

√ − 1−x2

Obr´ azek 3.37: Zobrazen´ı oblasti Ω z pˇr´ıkladu 3.41.(b)

√

Z1−x2

Z1 +

f (x, y) dy dx. 0

q

1 − 4

2

(x− 12 )

(c)

Obr´ azek 3.38: Zobrazen´ı oblasti Ω z pˇr´ıkladu 3.41.(c)

I v tomto pˇr´ıpadˇe máme dvˇe (základn´ı) moˇznosti, jak zapsat integraˇcn´ı meze. Pro komplikovanost zápisu ukaˇzme opˇet pouze jednu z moˇznost´ı. Doplˇ nme, ˇze v pˇr´ıpadech, kdy je oblast Ω symetrická (kolem poˇca´tku ˇci kolem nˇekteré z os) a podobnˇe i zadaná funkce (vzhledem k ose z), poˇc´ıtáme zpravidla integrál pouze pro ˇcást oblasti (tj. napˇr. jen pro jeden kvadrant) a v´ ysledek vynásob´ıme poˇctem odpov´ıdaj´ıc´ıch si ˇcást´ı. V tomto pˇr´ıkladu bychom tak mohli poˇc´ıtat integrál pouze pro oblast náleˇz´ıc´ı prvn´ımu kvadrantu a v´ ysledek vynásobit ˇctyˇrmi (pokud by funkce f (x, y) byla symetrická kolem osy z). 126

1. −2 ≤ x ≤ −1, −x − 2 < y < x + 2, −1 ≤ x ≤ 0, −x − 2 < y ≤ −x − 1 ∪ x + 1 ≤ y < x + 2, 0 ≤ x ≤ 1, x − 2 < y ≤ x − 1 ∪ −x + 1 ≤ y < −x + 2, 1 ≤ x ≤ 2, x − 2 < y < −x + 2.

Celkem tak z´ıskáváme: ZZ I=

Z−1 Zx+2

Z0 −x−1 Z f (x, y) dy dx + f (x, y) dy dx +

−2 −x−2

−1 −x−2


Z0 Zx+2 Z1 Zx−1 Z1 −x+2 Z + f (x, y) dy dx + f (x, y) dy dx + f (x, y) dy dx + −1 x+1

0 x−2

0 −x+1

Z2 −x+2 Z + f (x, y) dy dx. 1

x−2

(d)

Obr´ azek 3.39: Zobrazen´ı oblasti Ω z pˇr´ıkladu 3.41.(d)

Z obrázku 3.39 vid´ıme, ˇze situace je velmi podobná pˇr´ıpadu (a). M˚ uˇzeme opˇet vyvodit 2 r˚ uzné (ekvivalentn´ı) zápisy integraˇcn´ıch mez´ı: 1. 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x, 2. 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1.

127

Celkem tak z´ıskáváme: Z1 Zx

ZZ I=

f (x, y) dx dy =

Z1 Z1 f (x, y) dy dx =

0

Ω

0

f (x, y) dx dy. 0

y

Pˇ r´ıklad 3.42: Stanovte meze dvojnásobného integrálu ZZ I= f (x, y) dx dy. Ω

Integrál následnˇe zapiˇste i s tˇemito mezemi pro integraˇcn´ı oblast: (a) Ω : 0 ≤ x + y ≤ 1 ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0,

(c) Ω : |x| + |y| < 3,

(b) Ω : x2 + y 2 ≤ 1 ∧ x ≥ 0,

(d) Ω je 4 s vrcholy [2, 1], [−2, 1], [0, 0].

Pˇ r´ıklad 3.43: Vyjádˇrete zadané integrály v obráceném poˇrad´ı integrace. (a)

R4 R2 0

(b)

f (x, y) dy dx,

(c)

x 2

f (x, y) dy dx,

0 0

R2 2·x R

(d)

f (x, y) dy dx,

R1 Rx2

f (x, y) dy dx.

0 x3

0 x

3.5.1

R2 Rx2

Geometrick´ a aplikace dvojn´ eho integr´ alu

Obsah rovinn´ e oblasti Pozn´ amka 3.20: Necht’ Ω ⊂ R2 je rovinná oblast. Plocha S oblasti Ω je dána vztahem ZZ S= dx dy. Ω

Pˇ r´ıklad 3.44: Urˇcete obsah oblasti Ω. (a) Ω je ohraniˇcená kˇrivkami y =

1 x

a y = 3 − 2 · x,

(b) Ω je ohraniˇcená pˇr´ımkami y = x, y = x − 3, y = 2 a y = 4. ˇ sen´ı: Reˇ V zadán´ı nen´ı specifikováno, jak máme obsah zadané oblasti hledat. Mohli bychom si proto vzpomenout na aplikace urˇcitého integrálu funkce jedné promˇenné a poˇc´ıtat obsah oblasti t´ımto zp˚ usobem. U nˇekter´ ych oblast´ı je nav´ıc jednoduˇsˇs´ı i jin´ y zp˚ usob neˇz poˇc´ıtat integrály (jednoduché ˇci dvojné). My si ukáˇzeme v´ ypoˇcet jak pomoc´ı jednoduchého, tak pomoc´ı dvojného integrálu. 128

Obr´ azek 3.40: Zobrazen´ı oblasti Ω z pˇr´ıkladu 3.44. Vlevo pˇr´ıpad (a), vpravo pˇr´ıpad (b).

(a) Pomoc´ı jednoduchého integrálu zvol´ıme jednu promˇennou, u n´ıˇz známe ˇc´ıselné meze, a odeˇc´ıtáme od sebe“ dvˇe funkce vymezuj´ıc´ı zadanou oblast. U dvojného integrálu ” zap´ıˇseme zadanou oblast pouze v integraˇcn´ıch mez´ıch. Pozor na to, ˇze pˇri v´ ypoˇctu dvojnásobného integrálu v systému Maple mus´ıme zadat funkci, která bude integrována. V pˇr´ıpadˇe poˇc´ıtán´ı obsah˚ u rovinn´ ych oblast´ı podle poznámky 3.20 se v integrálu ˇzádná funkce nevyskytuje, i kdyˇz ve skuteˇcnosti integrujeme konstantn´ı funkci f (x, y) = 1, kterou také zadáme do integrálu v systému Maple.

Obr´ azek 3.41: V´ ypoˇcet obsahu oblasti Ω z pˇr´ıkladu 3.44.(a)

(b)

Obr´ azek 3.42: V´ ypoˇcet obsahu oblasti Ω z pˇr´ıkladu 3.44.(b)

129

Pˇ r´ıklad 3.45: Urˇcete obsahy oblast´ı Ω z pˇr´ıkladu 3.42 a obsahy oblast´ı tvoˇren´ ych integraˇcn´ımi mezemi v pˇr´ıkladu 3.43. U pˇr´ıkladu 3.43 v´ ypoˇctem obsahu pˇr´ısluˇsné oblasti nav´ıc ovˇeˇrte rovnost integrál˚ u v zadán´ı a v ˇreˇsen´ı. Pˇ r´ıklad 3.46: Pomoc´ı dvojného integrálu urˇcete obsah kruhu o polomˇeru r. Pˇ r´ıklad 3.47: Pomoc´ı dvojného integrálu urˇcete obsah oblasti ohraniˇcené elipsou o délce hlavn´ı poloosy a a délce vedlejˇs´ı poloosy b. Objem tˇ elesa Pozn´ amka 3.21: Necht’ f (x, y) je spojitá funkce na mnoˇzinˇe Ω ⊂ R2 a necht’ f (x, y) ≥ 0 pro vˇsechna (x, y) ∈ Ω. Objem (kolmého) tˇelesa T ⊂ R3 ohraniˇceného zdola mnoˇzinou Ω a shora ˇca´st´ı grafu funkce f (x, y) je dán vztahem ZZ f (x, y) dx dy. V = Ω

Pˇ r´ıklad 3.48: Urˇcete objem kolmého tˇelesa ohraniˇceného: (a) funkc´ı f (x, y) = x2 + y 2 a mnoˇzinou Ω : |x| + |y| ≤ 1, (b) funkc´ı f (x, y) = 64 − x2 a rovinami 3 · x + 4 · y = 24, x = 0, y = 0 a z = 0. ˇ sen´ı: Reˇ (a) Nejprve v systému Maple zobraz´ıme tˇeleso, jehoˇz objem poˇc´ıtáme (obrázek 3.43), a jeho podstavu (mnoˇzinu Ω), abychom z´ıskali pˇredstavu a snáze odvodili meze dvojného integrálu.

ˇ sen´ı pˇr´ıkladu 3.48.(a) - vykreslen´ı tˇelesa. Obr´ azek 3.43: Reˇ

S mnoˇzinou Ω (resp. jej´ımi variantami) jsme se uˇz nˇekolikrát setkali, takˇze by nám nemˇelo ˇcinit problémy pˇrepsat ji do mez´ı pro promˇenné x a y. Kdyˇz si vˇsak uvˇedom´ıme, ˇze mnoˇzina Ω je stˇredovˇe soumˇerná podle poˇca´tku souˇradné soustavy (bodu [0, 0, 0]) 130

a ˇze zadaná funkce f (x, y) je symetrická podle osy z, m˚ uˇzeme poˇc´ıtat objem pouze ˇca´sti tˇelesa vyskytuj´ıc´ı se v prvn´ım oktantu (tj. pro x, y, z ≥ 0) a v´ ysledek vynásobit ˇctyˇrmi (abychom z´ıskali objem celého tˇelesa rozprost´ıraj´ıc´ıho se pˇres ˇctyˇri oktanty, pro nˇeˇz z ≥ 0). Pro meze odpov´ıdaj´ıc´ı prvn´ımu oktantu plat´ı: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x.

ˇ sen´ı pˇr´ıkladu 3.48.(a) Obr´ azek 3.44: Reˇ

ˇ sen´ı pˇr´ıkladu 3.48.(b) Obr´ azek 3.45: Reˇ

(b) Postupujeme zcela analogicky k pˇredchoz´ımu pˇr´ıkladu. Pro meze integrálu plat´ı: 0 ≤ x ≤ 8, 0 ≤ y ≤ 24−3·x . 4 131

Pˇ r´ıklad 3.49: Urˇcete objem kolmého tˇelesa ohraniˇceného: (a) funkc´ı f (x, y) = 6 − 2 · x − 3 · y a rovinami x = 0, y = 0 a z = 0, (b) funkc´ı f (x, y) = x + 2 · y a podstavou vymezenou grafy funkc´ı y = 2 − x2 a y = |x|, (c) funkc´ı f (x, y) = ex

2 +y 2

a kruhovou podstavou popsanou nerovnic´ı x2 + y 2 ≤ 4,

(d) funkc´ı f (x, y) = 5·x2 −2·x·y a troj´ uheln´ıkovou podstavou vymezenou body [2, 0], [0, 1] a [0, 0]. (e) funkc´ı f (x, y) = x = 2.

2 x y

a podstavou vymezenou grafy funkc´ı y = x, y =

1 x

a pˇr´ımkou

Pˇ r´ıklad 3.50: Pomoc´ı dvojného integrálu urˇcete objem kvádru o rozmˇerech a, b, c. Pˇ r´ıklad 3.51: Pomoc´ı dvojného integrálu urˇcete objem koule o polomˇeru r. Pˇ r´ıklad 3.52: Pomoc´ı dvojného integrálu urˇcete objem válce o polomˇeru podstavy r a v´ yˇsce v. Obsah plochy Pozn´ amka 3.22: Necht’ jsou funkce f (x, y), fx0 (x, y), fy0 (x, y) spojité na mnoˇzinˇe Ω ⊂ R2 . Obsah plochy tvoˇrené grafem funkce f (x, y) nad mnoˇzinou Ω je dán vztahem ZZ q 2 S= 1 + (fx0 (x, y))2 + fy0 (x, y) dx dy. Ω

Pˇ r´ıklad 3.53: Urˇcete obsah plochy tvoˇrené grafem funkce f (x, y) nad mnoˇzinou Ω z pˇr´ıkladu 3.48 v pˇr´ıpadˇe (a) i (b). ˇ sen´ı: Reˇ V obou pˇr´ıpadech vyuˇzijeme poznámky 3.22, jiˇz dˇr´ıve vypoˇc´ıtan´ ych integraˇcn´ıch mez´ı a pˇredpisu ohraniˇcuj´ıc´ı funkce, viz obrázek 3.46. Pˇ r´ıklad 3.54: Urˇcete obsah plochy tvoˇrené grafem funkce f (x, y) nad podstavou tˇelesa z pˇr´ıkladu 3.49. Pˇ r´ıklad 3.55: Urˇcete obsah povrchu koule o polomˇeru r. Pˇ r´ıklad 3.56: Urˇcete obsah ˇcásti plochy koule o rovnici x2 + y 2 + z 2 = 25 vymezené rovinami z = 2 a z = 4. 132

ˇ sen´ı pˇr´ıkladu 3.53.(a) vlevo, ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 3.53.(b) vpravo. Obr´ azek 3.46: Reˇ

Integr´ aln´ı souˇ cet Jak jiˇz v´ıme, geometrick´ ym v´ yznamem dvojného integrálu z funkce f (x, y) pˇres mnoˇzinu Ω je objem tˇelesa ohraniˇceného mnoˇzinou Ω, funkc´ı f (x, y) a svisl´ ymi plochami“. Tento objem ” m˚ uˇzeme poˇc´ıtat pˇribliˇznˇe pomoc´ı doln´ıch (resp. horn´ıch, ...) integráln´ıch souˇct˚ u podobnˇe, jako tomu bylo v pˇr´ıpadˇe jedné promˇenné v sekci 2.7.4. Tentokrát pˇritom aproximujeme objem souˇctem objem˚ u kvádr˚ u se zjemˇ nuj´ıc´ı se“ ˇctvercovou základnou a v´ yˇskou spoˇctenou ” napˇr. z funkˇcn´ı hodnoty ve stˇredu ˇctverce – základny nebo v jednom z vrchol˚ u. K tomu nám poslouˇz´ı pˇr´ıkaz ApproximateInt z bal´ıku Student[MultivariateCalculus]. Pouˇzit´ı pˇr´ıkazu ApproximateInt je takˇrka totoˇzné s pˇr´ıkazem RiemannSum, s n´ımˇz jsme se dˇr´ıve setkali. Pˇr´ıkazu opˇet povinnˇe zadáváme pˇredpis funkce, jiˇz chceme integrovat, a meze integrace. I v tomto pˇr´ıpadˇe m˚ uˇzeme zadávat nepovinné parametry specifikuj´ıc´ı typ integráln´ıho souˇctu, typ v´ ystupu, rozdˇelen´ı integraˇcn´ıch interval˚ u a dalˇs´ı. Ukázku pouˇzit´ı m˚ uˇzeme vidˇet na obrázku 3.47. Tak jako v pˇr´ıpadˇe funkc´ı jedné promˇenné, kde m˚ uˇzeme m´ısto pˇr´ıkazu RiemannSum vyuˇz´ıt nástroje Approximate Integration spouˇstˇeném napˇr´ıklad z hlavn´ıho menu, máme k dispozici analogick´ y nástroj i nyn´ı. Opˇet má název Approximate Integration a tentokrát jej spust´ıme napˇr´ıklad zvolen´ım Tools > Tutors > Calculus – Multi-Variable > Approximate Integration... v hlavn´ım menu (obrázek 3.48).

3.5.2

Geometrick´ a aplikace trojn´ eho integr´ alu

Objem tˇ elesa Pozn´ amka 3.23: Necht’ P je mnoˇzina z definice 3.15 (obecnˇe staˇc´ı tzv. mˇeˇritelná mnoˇzina). Pro objem V této mnoˇziny plat´ı vztah ZZZ V = dx dy dz. P

133

Obr´ azek 3.47: Aproximace dvojného integrálu pomoc´ı integráln´ıch souˇct˚ u.

Obr´ azek 3.48: Aproximace dvojného integrálu – maplet.

Pˇ r´ıklad 3.57: Urˇcete objem trojosého elipsoidu daného rovnic´ı x 2 y 2 z 2 + + = 1. a b c 134

ˇ sen´ı: Nejprve si elipsoid vykresl´ıme pro nˇejaké konkrétn´ı hodnoty a, b, c. Na obrázku Reˇ 3.49 jsou pouˇzity hodnoty a = 13, b = 8, c = 6. Následnˇe mus´ıme odvodit jednotlivé meze v trojném integrálu. Za poˇca´teˇcn´ı“ promˇennou vezmˇ tak plat´ı: x ∈ [−a, a]. emeqx, pro niˇzq ” 2 2 a nakonec Promˇennou y vyjádˇr´ıme pomoc´ı promˇenné x jako: y ∈ − 1 − xa , 1 − xa q q y 2 y 2 x 2 x 2 promˇennou z pomoc´ı zbyl´ ych promˇenn´ ych jako: z ∈ − 1 − a − b , 1 − a − b .


Pˇ r´ıklad 3.58: Pomoc´ı trojného integrálu urˇcete objem tˇelesa z pˇr´ıkladu 3.48.

Pˇ r´ıklad 3.59: Pomoc´ı trojného integrálu urˇcete objem kvádru o rozmˇerech a, b, c.

Pˇ r´ıklad 3.60: Pomoc´ı trojného integrálu urˇcete objem koule o polomˇeru r.

Pˇ r´ıklad 3.61: Pomoc´ı trojného integrálu urˇcete objem válce o polomˇeru podstavy r a v´ yˇsce v. 135

3.5.3

Transformace souˇ radnic ve dvojn´ em a trojn´ em integr´ alu

U skupiny integrál˚ u, kde pracujeme s kruhov´ ymi, kulov´ ymi ˇci válcov´ ymi plochami, b´ yvá v´ yhodná transformace do polárn´ıch, sférick´ ych ˇci cylindrick´ ych souˇradnic. Pozn´ amka 3.24: (Transformace do pol´ arn´ıch souˇ radnic) Uvaˇzujme dvojn´ y integrál ZZ f (x, y) dx dy. Ω1

Pro transformaci tohoto integrálu do polárn´ıch souˇradnic dan´ ych vztahy x = r · cos(θ),

y = r · sin(θ)

plat´ı: ZZ

ZZ

f (r · cos(θ), r · sin(θ)) · r dr dθ,

f (x, y) dx dy = Ω2

Ω1

kde r ∈ [0, ∞), θ ∈ [0, 2 · π]. Pozn´ amka 3.25: (Transformace do sf´ erick´ ych souˇ radnic) Uvaˇzujme trojn´ y integrál ZZZ f (x, y, z) dx dy dz. Ω1

Pro transformaci tohoto integrálu do sférick´ ych souˇradnic dan´ ych vztahy x = r · cos(φ) · sin(θ),

y = r · sin(φ) · sin(θ),

z = r · cos(θ)

plat´ı: ZZZ f (x, y, z) dx dy dz = Ω1

ZZZ =

f (r · cos(φ) · sin(θ), r · sin(φ) · sin(θ), r · cos(θ)) · sin(θ) · r2 dr dφ dθ,

Ω2

kde r ∈ [0, ∞), φ ∈ [0, 2 · π], θ ∈ [0, 2 · π]. Pozn´ amka 3.26: (Transformace do cylindrick´ ych souˇ radnic) Uvaˇzujme trojn´ y integrál ZZZ f (x, y, z) dx dy dz. Ω1

Pro transformaci tohoto integrálu do cylindrick´ ych souˇradnic dan´ ych vztahy x = r · cos(θ),

y = r · sin(θ),

z =z

plat´ı: ZZZ

ZZZ f (r · cos(θ), r · sin(θ), z) · r dr dθ dz,

f (x, y, z) dx dy dz = Ω1

Ω2

kde r ∈ [0, ∞), θ ∈ [0, 2 · π], z ∈ R. 136

Pˇ r´ıklad 3.62: Pouˇzit´ım transformace do polárn´ıch souˇradnic urˇcete objem kolmého tˇelesa 2 2 ohraniˇceného funkc´ı f (x, y) = ex +y a kruhovou podstavou popsanou nerovnic´ı x2 + y 2 ≤ 4. ˇ sen´ı: M˚ Reˇ uˇzeme vyuˇz´ıt poznámky 3.24 nebo zapsat dvojn´ y integrál pro kartézské souˇradnice, kter´ y jsme jiˇz vytvoˇrili v pˇr´ıkladu 3.49.(c), a pro transformaci do souˇradnic polárn´ıch vyuˇz´ıt pˇr´ıkaz ChangeOfVariables (ˇci pˇr´ıkaz changecoords). Vyuˇzijme zm´ınˇen´ y pˇr´ıkaz. Integraˇcn´ı meze Maple nepˇrevede, mus´ıme je tak vytvoˇrit sami. Podstavou tˇelesa je kruh o polomˇeru r = 2, coˇz vede na následuj´ıc´ı meze: r ∈ [0, 2], θ ∈ [0, 2 · π].


Pˇ r´ıklad 3.63: Pouˇzit´ım transformace do polárn´ıch souˇradnic urˇcete objem kolmého tˇelesa p ohraniˇceného funkc´ı f (x, y) = 1 − x2 − y 2 a kruhovou podstavou popsanou nerovnic´ı x2 + y 2 ≤ 1. Pˇ r´ıklad 3.64: Vrat’te se k pˇr´ıklad˚ um 3.46, 3.51, 3.52, 3.60 a 3.61. Pˇr´ısluˇsné v´ ypoˇcty nyn´ı ’ proved te i v jiném systému souˇradnic (tj. napˇr. polárn´ıch, sférick´ ych, ...) a v´ ysledky porovnejte s p˚ uvodnˇe z´ıskan´ ymi.

3.6

Nekoneˇ cn´ eˇ rady

Definice 3.16: Mˇejme funkci f : R → R. Jestliˇze D(f ) = N, naz´ yváme tuto funkci posloupnost´ı reálných ˇc´ısel a znaˇc´ıme {an }∞ . n=1 Definice 3.17: Necht’ {an }∞ aln´ ych ˇc´ısel. Symbol n=1 je posloupnost re´ ∞ X

an

nebo a1 + a2 + ... + an + ...

n=1

137

naz´ yváme nekoneˇcnou (ˇc´ıselnou) ˇradou. Posloupnost {sn }∞ redpisem n=1 definovanou pˇ s 1 = a1 ,

s2 = a1 + a2 ,

... sn = a1 + a2 + ... + an ,

...

naz´ yváme posloupnost´ı ˇcásteˇcných souˇct˚ u této ˇrady. Definice 3.18: Existuje-li vlastn´ı limita lim sn = s, ˇrekneme, ˇze ˇrada n→∞

∞ P

an konverguje

n=1

a má souˇcet s. ∞ P Neexistuje-li vlastn´ı limita lim sn , ˇrekneme, ˇze ˇrada an diverguje. n→∞

n=1

Pozn´ amka 3.27: Divergenci ˇrady m˚ uˇzeme jeˇstˇe rozliˇsit na tˇri pˇr´ıpady: • je-li lim sn = ∞, ˇr´ıkáme, ˇze ˇrada diverguje k ∞, n→∞

• je-li lim sn = −∞, ˇr´ıkáme, ˇze ˇrada diverguje k −∞, n→∞

• pokud lim sn neexistuje, ˇr´ıkáme, ˇze ˇrada osciluje. n→∞

V systému Maple zadáváme posloupnosti pomoc´ı pˇr´ıkazu seq nebo pomoc´ı kontextové nab´ıdky dokumentu. Pˇr´ıkaz seq je moˇzné pouˇz´ıt nˇekolika r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby s ohledem na to, jaké mu zadáváme parametry. S v´ yjimkou jediného pˇr´ıpadu mu vˇzdy zadáváme jako prvn´ı parametr n-t´ y ˇclen posloupnosti a dalˇs´ım parametrem (dalˇs´ımi parametry) specifikujeme, které ˇcleny posloupnosti chceme vypsat (coˇz m˚ uˇzeme uˇcinit zadán´ım intervalu, zápisem jediné hodnoty – pro jedin´ y ˇclen nebo v´ ypisem ˇclen˚ u posloupnosti v seznamu). V pˇr´ıpadˇe pouˇzit´ı kontextové nab´ıdky zadáme do dokumentu n-t´ y ˇclen posloupnosti, klikneme na nˇej prav´ ym tlaˇc´ıtkem a zvol´ıme poloˇzku Sequence spolu s iteraˇcn´ı promˇennou. V následnˇe zobrazeném okénku navol´ıme, které ˇcleny posloupnosti chceme vypsat do dokumentu. Pouˇzit´ı kontextové nab´ıdky má vˇsak oproti pˇr´ıkazu seq mnohá omezen´ı.

Obr´ azek 3.51: R˚ uzné moˇznosti vypsán´ı ˇclen˚ u posloupnosti.

Posloupnosti {an } m˚ uˇzeme téˇz vykreslovat do graf˚ u. Potˇrebujeme k tomu vytvoˇrit dvojice [n, an ], které následnˇe zobraz´ıme jako body pˇr´ıkazem plot. Pro vytvoˇren´ı dvojic [n, an ] m˚ uˇzeme pochopitelnˇe pouˇz´ıt pˇr´ıkaz seq, vykreslen´ı bod˚ u je tˇreba specifikovat parametrem style nastaven´ ym na hodnotu point (v pˇr´ıkazu plot). 138

Obr´ azek 3.52: Vykreslen´ı ˇclen˚ u posloupnosti.

Obr´ azek 3.53: R˚ uzné moˇznosti zápisu nekoneˇcn´ ych (i koneˇcn´ ych) ˇrad.

Nekoneˇcné ˇrady (i koneˇcné souˇcty) zadáváme v Maple nˇekolika zp˚ usoby. Jednak paleta Expression nab´ız´ı pˇreddefinovan´ y symbol velkého ˇreckého p´ısmene sigma, k dispozici je také pˇr´ıkaz sum a vyuˇz´ıt m˚ uˇzeme opˇet i kontextové nab´ıdky dokumentu (i kdyˇz trochu komplikovanˇe“). Pˇr´ıkaz sum má dva parametry (n-t´ y ˇclen ˇrady a souˇctové“ meze). Po ” ” proveden´ı pˇr´ıkaz vyp´ıˇse souˇcet ˇrady (pokud jej um´ı urˇcit). Systém Maple nab´ız´ı téˇz pˇr´ıkaz Sum s velk´ ym poˇca´teˇcn´ım p´ısmenem, jenˇz slouˇz´ı pro matematick´ y zápis ˇrady s pouˇzit´ım ˇreckého p´ısmene sigma. A právˇe takov´ y zápis je moˇzné z´ıskat i pomoc´ı kontextové nab´ıdky, 139

kdyˇz do dokumetu zap´ıˇseme n-t´ y ˇclen ˇrady, klikneme na nˇej prav´ ym tlaˇc´ıtkem myˇsi a zvol´ıme poloˇzku Constructions > Sum > n. Dalˇs´ım kliknut´ım pravého tlaˇc´ıtka myˇsi (tentokrát na matematick´ y zápis ˇrady) a zvolen´ım Evaluate (from inert) z´ıskáme souˇcet ˇrady (pokud jej Maple um´ı urˇcit) – obrázek 3.53. S t´ım, co jiˇz známe, nám nic nebrán´ı ve vypsán´ı posloupnosti ˇca´steˇcn´ ych souˇct˚ u. Tuto posloupnost nav´ıc m˚ uˇzeme vykreslit, napˇr´ıklad spoleˇcnˇe se souˇctem ˇrady – viz obrázek 3.54.

Obr´ azek 3.54: Vykreslen´ı posloupnosti ˇcásteˇcn´ ych souˇct˚ u a souˇctu ˇrady.

Existuj´ı nekoneˇcné ˇrady, jejichˇz souˇcet Maple neum´ı urˇcit. V takov´ ych pˇr´ıpadech ani nevyp´ıˇse, zda ˇrada souˇcet má (tj. zda konverguje) ˇci zda ˇrada diverguje. V tˇechto situac´ıch mus´ıme konvergenci ˇrady vyˇsetˇrit sami“ jin´ ymi postupy, pˇriˇcemˇz si samozˇrejmˇe m˚ uˇzeme ” pomáhat systémem Maple“ pˇri d´ılˇc´ıch kroc´ıch. ” Pˇ r´ıklad 3.65: Urˇcete souˇcty následuj´ıc´ıch ˇrad: (a)

∞ P n=1

1 , n·(n+1)

(b)

∞ P n=1

1 , n2

(c)

∞ P n=1

1 . n

Pˇ r´ıklad 3.66: Urˇcete souˇcty následuj´ıc´ıch ˇrad: (a)

∞ √ √ P √ n+2−2· n+1+ n ,

(b)

n=1

∞ P n=1

arctan

1 2·n2

.

ˇ sen´ı: Reˇ (a) Systém Maple zadanou ˇradu seˇc´ıst neum´ı. Urˇc´ıme tedy ˇcásteˇcn´ y souˇcet ˇrady sk pro libovolné (pevné) k a následnˇe provˇeˇr´ıme existenci limity tohoto ˇca´steˇcného souˇctu ˇ asteˇcn´ pro k → ∞. C´ y souˇcet sk pˇritom odvod´ıme na základˇe nˇekolika ˇca´steˇcn´ ych souˇct˚ u pro r˚ uzné konkrétn´ı numerické hodnoty. Zcela správnˇe bychom mˇeli (napˇr´ıklad matematickou indukc´ı) dokázat, ˇze pravidlo, které vypozorujeme z nˇekter´ ych (nejlépe nˇekolika prvn´ıch) ˇca´steˇcn´ ych souˇct˚ u plat´ı skuteˇcnˇe pro libovolné k. 140

Naznaˇcme proto takov´ y d˚ ukaz aspoˇ n nyn´ı. D´ıky Maple v´ıme, ˇze 10 X √ √ √ √ √ √ n + 2 − 2 · n + 1 + n = 1 − 2 − 11 + 12, n=1 11 X √ √ √ √ √ √ n + 2 − 2 · n + 1 + n = 1 − 2 − 12 + 13, n=1 12 X √ √ √ √ √ √ n + 2 − 2 · n + 1 + n = 1 − 2 − 13 + 14. n=1

Pˇredpokládejme nyn´ı, ˇze pro libovolné k ≥ 10 plat´ı: k X √

n+2−2·

√

√ √ √ √ n + 1 + n = 1 − 2 − k + 1 + k + 2.

n=1

Pak plat´ı: k+3 X √

n+2−2·

√

n+1+

√ √ √ √ n = 1− 2− k+1+ k+2

n=1

√ √ √ k+3−2· k+2+ k+1 √ √ √ k+4−2· k+3+ k+2 √ √ √ k+5−2· k+4+ k+3 √ √ √ 1 − 2 − k + 4 + k + 5.

+ + + =

Zjistili jsme tedy, ˇze pokud naˇse hypotéza plat´ı pro libovolné k ≥ 10, plat´ı i pro k + 3. Jelikoˇz v´ıme, ˇze vypozorovan´ y vztah plat´ı pro k ∈ {10, 11, 12}, pak mus´ı nutnˇe platit pro zcela libovolné k ≥ 10. (b) Systém Maple zadanou ˇradu seˇc´ıst opˇet neum´ı. Postupujeme totoˇzn´ ym zp˚ usobem jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu. Opˇet je tˇreba dokázat, ˇze vypozorovan´ y vztah skuteˇcnˇe plat´ı pro libovolné k. V tomto pˇr´ıpadˇe to necháváme na ˇctenáˇri (obrázek 3.55). Pokud nedokáˇzeme urˇcit souˇcet ˇrady ani my, zpravidla bychom chtˇeli alespoˇ n odpovˇed’ na otázku, zda ˇrada konverguje ˇci diverguje. Zab´ yvat se nyn´ı budeme ˇradami s nezáporn´ ymi ˇcleny, u nichˇz plat´ı, ˇze bud’ konverguj´ı (k nˇejaké koneˇcné reálné hodnotˇe) nebo diverguj´ı k nekoneˇcnu. Pro zjiˇstˇen´ı, zda ˇrada konverguje ˇci diverguje, máme nˇekolik rozhodovac´ıch kritéri´ı. Pozn´ amka 3.28: (Srovn´ avac´ı krit´ erium) Mˇejme ˇrady

∞ P n=1

a necht’ an ≤ bn pro vˇsechna n ∈ N. Pak plat´ı: • konverguje-li ˇrada

∞ P n=1

• diverguje-li ˇrada

∞ P

∞ P

bn , konverguje i ˇrada

n=1

an , diverguje i ˇrada

n=1

∞ P n=1

141

bn .

an ,

an ,

∞ P n=1

bn s nezáporn´ ymi ˇcleny

ˇ sen´ı pˇr´ıkladu 3.66. C´ ˇ ast (a) vlevo, ˇcást (b) vpravo. Obr´ azek 3.55: Reˇ

Pozn´ amka 3.29: (Limitn´ı srovn´ avac´ı krit´ erium) Mˇejme ˇrady

∞ P n=1

ˇcleny a necht’ existuje lim

n→∞

an ,

∞ P

bn s nezáporn´ ymi

n=1

an = L. bn

Pak plat´ı: ∞ P

• je-li L < ∞ a konverguje-li ˇrada

bn , konverguje i ˇrada

n=1

• je-li L > 0 a diverguje-li ˇrada

∞ P

∞ P

an ,

n=1 ∞ P

bn , diverguje i ˇrada

n=1

an .

n=1

Pozn´ amka 3.30: (Odmocninov´ e krit´ erium) Necht’

∞ P

an je ˇrada s nezáporn´ ymi ˇcleny.

n=1

• Plat´ı-li pro vˇsechna n ∈ N:

√ n

an ≤ q < 1, pak ˇrada konverguje, 142

• existuje-li lim

√ n

n→∞

kde q ∈ R ∪ {−∞, ∞},

an = q,

pak pro q < 1 ˇrada konverguje, pro q > 1 ˇrada diverguje.

Pozn´ amka 3.31: (Pod´ılov´ e krit´ erium) Necht’

∞ P

an je ˇrada s nezáporn´ ymi ˇcleny.

n=1

• Plat´ı-li pro vˇsechna n ∈ N: an+1 ≤ q < 1, pak ˇrada konverguje, plat´ı-li pro vˇsechna an n ∈ N: an+1 ≥ 1, pak ˇ r ada diverguje, an • existuje-li

an+1 = q, kde q ∈ R ∪ {−∞, ∞}, an pak pro q < 1 ˇrada konverguje, pro q > 1 ˇrada diverguje. lim

n→∞

Pozn´ amka 3.32: (Limitn´ı Raabeovo krit´ erium) Necht’

∞ P

an je ˇrada s nezáporn´ ymi

n=1

ˇcleny a necht’ existuje an+1 lim n · 1 − = q, n→∞ an

kde q ∈ R ∪ {−∞, ∞},

pak pro q > 1 ˇrada konverguje, pro q < 1 ˇrada diverguje.

Pozn´ amka 3.33: (Integr´ aln´ı krit´ erium) Necht’ je funkce f definovaná na intervalu [1, ∞), která je na tomto intervalu nezáporná a nerostouc´ı. Necht’ f (n) = an pro n ∈ N. ∞ P Pak ˇrada an konverguje právˇe tehdy, kdyˇz konverguje nevlastn´ı integrál n=1

Z∞ f (x) dx. 1

Pˇ r´ıklad 3.67: Rozhodnˇete o konvergenci následuj´ıc´ıch ˇrad: (a)

∞ P n=2

(b)

∞ P

1 , ln(n)

,

(e)

∞ P n=2

∞ P n=1

∞ P n=1

π n

sin

n=1

(c)

(d)

n

n

(3+ n1 )

nn , n!

1 . n·ln(n)

,

ˇ sen´ı: Reˇ (a) Vyuˇzijeme srovnávac´ıho kritéria a toho, ˇze ˇrada

∞ P n=2

n ∈ N \ {1} plat´ı:

1 n

<

1 , ln(n)

1 n

diverguje. Jelikoˇz pro vˇsechna

podle srovnávac´ıho kritéria ˇrada

∞ P n=2

143

1 ln(n)

diverguje.

Obr´ azek 3.56: Pomocné v´ ypoˇcty k ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 3.67.

(b) Nyn´ı vyuˇzijeme limitn´ıho srovnávac´ıho kritéria a znovu ˇrady Jelikoˇz lim

n→∞

π sin( n ) 1 n

= π, ˇrada

∞ P n=1

∞ P n=2

sin

π n

diverguje.

(c) Opˇet budemeqpoˇc´ıtat limitu, tentokrát v odmocninovém kritériu. Jelikoˇz lim n 3+n1 n = 31 , zadaná ˇrada konverguje. ( n) n→∞ 144

1 , n

která diverguje.

(d) V tomto pˇr´ıpadˇe vyuˇzijeme pod´ılového kritéria, resp. opˇet jeho limitn´ı varianty. Jelikoˇz lim

n→∞

(n+1)n+1 (n+1)! nn n!

= e, zadaná ˇrada diverguje.

1 (e) V posledn´ım pˇr´ıpadˇe pouˇzijeme integráln´ı kritérium. Funkce f (x) = x·ln(x) je na intervalu [2, ∞) nezáporná a klesaj´ıc´ı (pˇredpoklady integráln´ıho kritéria). Jelikoˇz

Z∞ f (x) dx = ∞, 2 ∞ P

ˇrada

n=2

1 n·ln(n)

diverguje. Pomocné v´ ypoˇcty v Maple k tomuto pˇr´ıkladu ilustruje obrázek

3.56. Pˇ r´ıklad 3.68: Rozhodnˇete o konvergenci následuj´ıc´ıch ˇrad: (a)

∞ √ √ P n− n−1 ,

(d)

n=1

(b)

∞ P

∞ P

√

1 n2 +2·n

(e)

,

∞ P

sin

n=1

√

√

n=1

3.6.1

1 n2

ln 1 +

n=1

n=1

(c)

∞ P

n , n4 +1

(f)

∞ P n=1

π 2n

,

(g)

∞ P n=1

(h)

,

∞ P n=1

2n , n4

(i)

∞ P n=1

2n , nn

2n ·n! , nn

1 . n3

Absolutn´ı konvergence ˇ rad

Definice 3.19: Nekoneˇcná ˇrada

∞ P

an se naz´ yvá alternuj´ıc´ı, jestliˇze pro vˇsechna n ∈ N

n=1

plat´ı: signum(an+1 ) = −signum(an ). Pozn´ amka 3.34: (Leibnizovo krit´ erium) Necht’ an je nerostouc´ı posloupnost kladn´ ych ∞ P ˇc´ısel. Pak alternuj´ıc´ı ˇrada (−1)n−1 · an konverguje právˇe tehdy, kdyˇz plat´ı lim an = 0. n→∞

n=1

Alternuj´ıc´ı ˇrady zadáváme systému stejn´ ym zp˚ usobem jako veˇskeré nekoneˇcné ˇrady. Jak uvid´ıme, systém Maple um´ı poˇc´ıtat souˇcty alternuj´ıc´ıch ˇrad. V pˇr´ıpadech, kdy souˇcet ˇrady urˇcit nedokáˇze, nám velmi pom˚ uˇze v´ yˇse zm´ınˇené Leibnizovo kritérium konvergence. Pˇ r´ıklad 3.69: Rozhodnˇete o konvergenci následuj´ıc´ıch ˇrad: (a)

∞ P n=1

1 n

· (−1)n−1 ,

(b)

∞ P n=1

1 √ nn

· (−1)n−1 .

ˇ sen´ı: Reˇ (a) Systém Maple urˇc´ı souˇcet zadané ˇrady. (b) V tomto pˇr´ıpadˇe Maple souˇcet neurˇc´ı. Vyuˇzijeme proto Leibnizova kritéria, d´ıky nˇemuˇz zjist´ıme, ˇze zadaná ˇrada diverguje. 145


∞ P ˇ Definice 3.20: Rekneme, ˇze nekoneˇcná ˇrada an konverguje absolutnˇe , jestliˇze konver-

guje ˇrada ∞ P

∞ P

|an |. Jestliˇze ˇrada

n=1

n=1

∞ P

an konverguje a ˇrada

n=1

∞ P

|an | diverguje, ˇr´ıkáme, ˇze ˇrada

n=1

an konverguje neabsolutnˇe .

n=1

Pozn´ amka 3.35: Konverguje-li ˇrada ∞ P

an , pak diverguje také ˇrada

n=1

∞ P

∞ P

|an |, konverguje i ˇrada

n=1

∞ P

an . Diverguje-li ˇrada

n=1

|an |.

n=1

Pˇ r´ıklad 3.70: Rozhodnˇete o konvergenci a absolutn´ı konvergenci následuj´ıc´ıch ˇrad: (a)

∞ P

ln 1 +

n=1

1 n

· (−1)n−1 ,

(b)

∞ P n=2

1 n·ln(n)

· (−1)n .

ˇ sen´ı: Reˇ (a) Systém Maple souˇcet zadané ˇrady neurˇc´ı. Vyuˇzijeme proto Leibnizova kritéria, d´ıky nˇemuˇz zjist´ıme, ˇze zadaná ˇrada konverguje. K posouzen´ı absolutn´ı konvergence jiˇz m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt systému Maple. Závˇer tedy je, ˇze zadaná ˇrada konverguje neabsolutnˇe. (b) Systém Maple neurˇc´ı souˇcet ani jedné z ˇrad. Pro posouzen´ı konvergence zadané ˇrady vyuˇzijeme Leibnizova kritéria, d´ıky nˇemuˇz zjist´ıme, ˇze zadaná ˇrada konverguje. Konvergenci (resp. divergenci) ˇrady absolutn´ıch hodnot m˚ uˇzeme ovˇeˇrit napˇr. integráln´ım kritériem, coˇz jsme provádˇeli jiˇz v pˇr´ıkladu 3.67.(e), kde jsme zjistili, ˇze tato ˇrada diverguje. Závˇer tedy je, ˇze zadaná ˇrada konverguje neabsolutnˇe.

146


Pˇ r´ıklad 3.71: Rozhodnˇete o konvergenci a absolutn´ı konvergenci následuj´ıc´ıch ˇrad: (a)

∞ P n=1

(b)

∞ P n=1

(c)

∞ P n=1

1 (2·n+1)!

1 3·n−1

· (−1)n−1 ,

∞ P n=1

· (−1)n−1 ,

1 ln(n+1)

(d) (e)

∞ P n=1

· (−1)n−1 ,

(f)

147

∞ P

1 (n−ln(n)

1 (ln(n))n

n

n

1 3+ n ) n=1 (

· (−1)n , · (−1)n , · (−1)n−1 .

4 Line´ arn´ı algebra s Maple v Cn. Oproti kapitolám vˇenovan´ ym matematické anal´ yze nyn´ı pˇrejdeme od prostoru reáln´ ych ˇc´ısel R k obecnˇejˇs´ımu prostoru ˇc´ısel komplexn´ıch C.

4.1 4.1.1

Vektorov´ e prostory Vektory

Definice 4.1: Necht’ n ∈ N. Vektorem v prostoru Cn rozum´ıme uspoˇrádanou n-tici komplexn´ıch ˇc´ısel. Sˇc´ıtán´ı vektor˚ u definujeme po sloˇzkách, pˇri násoben´ı vektoru skalárem (tj. komplexn´ım ˇc´ıslem) vynásob´ıme skalárem kaˇzdou sloˇzku vektoru. Pozn´ amka 4.1: Vektorem zpravidla pˇresnˇeji rozum´ıme uspoˇra´danou n-tici zapsanou jako sloupec hodnot. V systému Maple m˚ uˇzeme vektor vytvoˇrit dvˇema hlavn´ımi zp˚ usoby1 . Prvn´ım je zapsat sloˇzky vektoru do lomen´ ych závorek, druh´ y zp˚ usob pˇredstavuje pouˇzit´ı pˇr´ıkazu Vector. Pˇr´ıkaz nemá ˇza´dn´ y povinn´ y parametr, nicménˇe jeho proveden´ı bez parametru vytvoˇr´ı 0dimenzionáln´ı vektor. V nepovinn´ ych parametrech m˚ uˇzeme pˇr´ıkazu pˇredevˇs´ım ˇr´ıct, jakou má m´ıt v´ ysledn´ y vektor dimenzi a z jak´ ych hodnot se má skládat.

Obr´ azek 4.1: Definice vektoru v Maple. 1

V sekci 4.1.2 si uk´ aˇzeme jeˇstˇe jeden v´ yznamn´ y zp˚ usob vytvoˇren´ı vektoru pomoc´ı palet.

148

Obr´ azek 4.2: Moˇznosti pˇri definován´ı vektoru.

Maple standardnˇe vytvoˇr´ı vektor jako sloupec hodnot. Pokud chceme m´ıt ˇra´dek hodnot, pouˇzijeme pˇr´ıkaz ve tvaru Vector[row]. V´ıce je patrné z obrázk˚ u 4.1 a 4.2. Na obrázku 4.2 Maple pˇri prvn´ım pokusu o vytvoˇren´ı vektoru vyp´ıˇse chybovou zprávu Error, recursive assignment. Tato zpráva se objevuje vˇzdy, kdyˇz se snaˇz´ıme definovat promˇennou pomoc´ı sebe sama. Mus´ıme m´ıt na pamˇeti, ˇze v Maple nen´ı moˇzné pouˇz´ıt znaˇcen´ı, na nˇeˇz jsme zvykl´ı z pˇrednáˇsek, tj. napˇr. u = (u1 , u2 , u3 ). K jednotliv´ ym sloˇzkám vektoru m˚ uˇzeme pˇristupovat pˇres indexy. Ty je moˇzné zapisovat do kulat´ ych nebo hranat´ ych závorek, pˇriˇcemˇz hranaté závorky jsou ekvivalentn´ı doln´ımu indexu, tj. u[i] = ui . Funkcionalita kulat´ ych a hranat´ ych závorek v indexován´ı vektor˚ u sice nen´ı naprosto totoˇzná, ale pro naˇse potˇreby prakticky bude, a je tak moˇzné pouˇz´ıvat oboj´ı znaˇcen´ı2 . Indexem m˚ uˇze b´ yt jediné ˇc´ıslo (i), seznam hodnot ([i1 , i2 , ..., in ]) nebo interval (i1 ..i2 ). Pouˇzit´ı ilustruje obrázek 4.3. Pozn´ amka 4.2: Vektory v prostorech R2 a R3 si pˇredstavujeme jako orientované u ´seˇcky, tj. u ´seˇcky, jejichˇz jeden krajn´ı bod povaˇzujeme za poˇca´teˇcn´ı a druh´ y za koncov´ y – ten je oznaˇcen´ y ˇsipkou. Pˇritom dvˇe stejnˇe dlouhé, rovnobeˇzné a souhlasnˇe orientované u ´seˇcky ˇ ıkáme, ˇze takové u pˇredstavuj´ı tent´ yˇz vektor. R´ ´seˇcky jsou r˚ uzn´ ymi um´ıstˇen´ımi téhoˇz vektoru. Poznámku 4.2 m˚ uˇzeme ilustrovat pomoc´ı pˇr´ıkazu PlotVector z bal´ıku VectorCalculus – obrázek 4.4.

2

V´ıce o indexov´ an´ı vektor˚ u, matic a obecn´ ych pol´ı najdeme napˇr. v nápovˇedˇe: http://www.maplesoft. com/support/help/Maple/view.aspx?path=rtable_indexing

149

Obr´ azek 4.3: Indexován´ı vektoru.

Obr´ azek 4.4: Vykreslen´ı vektoru.

Sˇc´ıtán´ı vektor˚ u m˚ uˇzeme v Maple znázornit napˇr´ıklad pomoc´ı matematické aplikace dostupné od verze Maple 16. Spuˇstˇen´ım Tools > Math Apps a zvolen´ım Vector Addition z ˇcásti Vectors um´ıst´ıme do dokumentu interaktivn´ı graf s dvˇema vektory a jejich souˇctem. Vektory je pˇritom moˇzné pomoc´ı myˇsi libovolnˇe mˇenit. Podobu interaktivn´ıho grafu posky150

tuje obrázek 4.5 vlevo. Kromˇe aplikace znázorˇ nuj´ıc´ı sˇc´ıtán´ı vektor˚ u nab´ız´ı Maple téˇz aplikaci pro odˇc´ıtán´ı vektor˚ u (Vector Subtraction) – obrázek 4.5 vpravo.

Obr´ azek 4.5: Interaktivn´ı graf zn´ azoˇrnuj´ıc´ı sˇc´ıtán´ı vektor˚ u (vlevo) a odˇc´ıtán´ı vektor˚ u (vpravo).

ˇ Definice 4.2: Necht’ n ∈ N. Rekneme, ˇze V ⊆ Cn spolu s v´ yˇse definovan´ ymi operacemi sˇc´ıtán´ı vektor˚ u a násoben´ı vektoru skalárem je vektorový (resp. lineárn´ı) prostor nad polem K ∈ {R, C}, jestliˇze 1. nulov´ y vektor, tj. (0, 0, ..., 0), patˇr´ı do V , 2. ∀u, v ∈ V, ∀k, l ∈ K : k · u + l · v ∈ V . Pozn´ amka 4.3: Vektorov´ y prostor nad obecn´ ym polem skalár˚ u spolu s operacemi sˇc´ıtán´ı vektor˚ u a násoben´ı vektoru skalárem (ne nutnˇe definovan´ ymi stejnˇe jako v tomto textu) b´ yvá standardnˇe definován pomoc´ı osmi axiom˚ u. Ty zajiˇst’uj´ı napˇr. komutativitu a asociativitu sˇc´ıtán´ı vektor˚ u, existenci nulového a jednotkového prvku a dalˇs´ı. Ponecháváme na ˇctenáˇri, aby ovˇeˇril, ˇze v´ yˇse definovan´ y vektorov´ y prostor vyhovuje i standardn´ı definici. Pozn´ amka 4.4: Standardn´ı definici vektorového prostoru odpov´ıdá daleko v´ıce mnoˇzin s operacemi sˇc´ıtán´ı vektor˚ u a násoben´ı vektoru skalárem. My jsme se pro jednoduchost omezili pouze na ty vektorové prostory, s nimiˇz budeme dále v textu pracovat. Definice 4.3: Necht’ n ∈ N, V je vektorov´ y prostor nad K ∈ {R, C}. V´ yraz n X

ki · ui

i=1

pro u1 , u2 , ..., un ∈ V, k1 , k2 , ..., kn ∈ K naz´ yváme lineárn´ı kombinac´ı vektor˚ u u1 , u2 , ..., un s koeficienty k1 , k2 , ..., kn . Vektory u1 , u2 , ..., un nazveme lineárnˇe závislými, jestliˇze existuj´ı ˇc´ısla k1 , k2 , ..., kn ∈ K tak, ˇze alespoˇ n jedno z nich je nenulové, a plat´ı n X ki · ui = 0. i=1

Pokud taková netriviáln´ı lineárn´ı kombinace neexistuje, naz´ yváme vektory u1 , u2 , ..., un line´ arnˇe nezávislými. 151

ˇ Definice 4.4: Necht’ V je vektorov´ y prostor nad K ∈ {R, C}. Rekneme, ˇze neprázdná mnoˇzina U ⊆ V je vektorový podprostor prostoru V nad K, jestliˇze vyhovuje definici 4.2. Mˇejme dále mnoˇzinu M ⊂ V . Pr˚ unik vˇsech vektorov´ ych podprostor˚ u prostoru V , které obsahuj´ı mnoˇzinu M , se naz´ yvá lineárn´ım obalem mnoˇziny M . Báz´ı vektorového prostoru V nad K je mnoˇzina lineárnˇe nezávisl´ ych vektor˚ u, jejichˇz lineárn´ı obal je roven celému prostoru V . Koeficienty lineárn´ı kombinace vyjadˇruj´ıc´ı vektor u ∈ V ve zvolené bázi {u1 , u2 , ..., un } se naz´ yvaj´ı souˇradnice vektoru u v této bázi.

Obr´ azek 4.6: Urˇcen´ı báze vektorového prostoru v Maple.

Pro nalezen´ı báze vektorového prostoru poskytuje Maple pˇr´ıkaz Basis z bal´ıku LinearAlgebra. Jeho parametrem je seznam (nebo mnoˇzina) vektor˚ u, z nichˇz chceme urˇcit bázi prostoru, kter´ y generuj´ı. Definice 4.5: Bázi εn = {e1 , e2 , ..., en }, n ∈ N vektorového prostoru V = Kn nad K ∈ {R, C}, kde ei (j) = 1 pro i = j, ei (j) = 0 pro i 6= j, i, j = 1, 2, ..., n naz´ yváme kanonickou (resp. standardn´ı) báz´ı tohoto prostoru. Pozn´ amka 4.5: Pokud nebude uvedeno jinak, budou v dalˇs´ım textu souˇradnice vektor˚ u udávány vˇzdy ve standardn´ı bázi. Podobnˇe vektorov´ y prostor V = Kn , K ∈ {R, C}, n ∈ N bude vˇzdy nad pˇr´ısluˇsn´ ym polem K. Pˇ r´ıklad 4.1: Necht’ V = C3 se standardn´ı báz´ı. Urˇcete souˇradnice vektoru u = (3, 5, −2) ve standardn´ı bázi. ˇ sen´ı: Odpovˇed’ je triviáln´ı. Pˇr´ıklad slouˇz´ı k zamyˇslen´ı se nad v´ Reˇ yˇse definovan´ ymi pojmy. Souˇradnice vektoru u ve standardn´ı bázi jsou právˇe (3, 5, −2), nebot’ 3 · e1 + 5 · e2 − 2 · e3 = 3 · (1, 0, 0) + 5 · (0, 1, 0) − 2 · (0, 0, 1) = (3, 5, −2). Pˇ r´ıklad 4.2: Necht’ V = C3 . Uvaˇzujme bázi α = {(3, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 1)}. Urˇcete souˇradnice vektor˚ u standardn´ı báze v bázi α. Pˇ r´ıklad 4.3: Jsou vektory u1 = (1, −2, 3), u2 = (2, −1, 0), u3 = (1, 1, −3) lineárnˇe nezávislé? Pˇ r´ıklad 4.4: Generuj´ı vektory u1 = (1, −2, 3), u2 = (2, −1, 0), u3 = (1, 1, −3), u4 = (1, 0, −1)} vektorov´ y prostor R3 ? 152

4.1.2

Matice

Definice 4.6: Necht’ m, n ∈ N. Matic´ı typu m × n nad mnoˇzinou komplexn´ıch ˇc´ısel C rozum´ıme obdéln´ıkové schéma   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n     .. .. ..  ,  . . .  am1 am2 . . . amn kde aij ∈ C pro vˇsechna i ∈ {1, 2, ..., m}, j ∈ {1, 2, ..., n} se naz´ yvaj´ı prvky matice. Jestliˇze m = n, mluv´ıme o ˇctvercové matici ˇrádu n. Pozn´ amka 4.6: Jelikoˇz vektorem m˚ uˇzeme chápat matici typu m × 1, lze vektory v Maple zadávat stejn´ ym zp˚ usobem jako matice. Matice v Maple vytváˇr´ıme pˇredevˇs´ım následuj´ıc´ımi tˇremi zp˚ usoby: • pouˇzit´ım lomen´ ych závorek se svislou ˇcarou oddˇeluj´ıc´ı jednotlivé sloupce matice, • pouˇzit´ım pˇr´ıkazu Matrix • nebo pouˇzit´ım palety Matrix. Konkrétn´ı pˇr´ıklady jsou uvedeny na obrázc´ıch 4.7 a 4.8.

Obr´ azek 4.7: Pˇr´ıklady vytvoˇren´ı matice v Maple.

Zcela analogicky, jako jsme pˇristupovali k jednotliv´ ym prvk˚ um vektoru, specifikujeme téˇz prvky matice. Opˇet vyuˇz´ıváme zápisu index˚ u do kulat´ ych nebo hranat´ ych závorek. Ovˇsem pozor, v pˇr´ıpadˇe matic jiˇz naraz´ıme na nˇekteré odliˇsnosti tˇechto dvou zápis˚ u. Pˇri pouˇzit´ı jediného indexu (resp. indexu pro jednu dimenzi), kter´ y vyjadˇruje oznaˇcen´ı ˇra´dku matice, je u kulat´ ych závorek automaticky brán pouze prvn´ı sloupec, u hranat´ ych závorek cel´ y ˇra´dek matice. V´ıce je patrné z pˇr´ıklad˚ u na obrázku 4.9. 153

Obr´ azek 4.8: Dalˇs´ı moˇznosti pˇri vytváˇren´ı matice v Maple.

Obr´ azek 4.9: Indexován´ı matice.

Pozn´ amka 4.7: Matice znaˇc´ıme velk´ ymi p´ısmeny, jejich prvky p´ısmeny mal´ ymi. To znamená, ˇze napˇr. prvky matice A budeme v textu znaˇcit aij (pro vhodná i, j). Systém Maple rozliˇsuje velikosti p´ısmen, takˇze v nˇem se mus´ıme drˇzet zavedeného oznaˇcen´ı (tj. pouˇz´ıvat stále stejné p´ısmeno vˇcetnˇe jeho velikosti). P´ısmenem E budeme znaˇcit jednotkovou ˇctvercovou matici ˇrádu n ∈ N, tj. matici, pro niˇz plat´ı: ∀i, j ∈ {1, 2, ..., n} : eij = 1 pro i = j, eij = 0 jinak. 154

Definice 4.7: Nad maticemi definujeme následuj´ıc´ı operace: • souˇcet matic: A + B = C, jestliˇze A, B, C jsou matice typu m × n (m, n ∈ N) a plat´ı: ∀i ∈ {1, 2, ..., m}, j ∈ {1, 2, ..., n} : cij = aij + bij , • násoben´ı matice skalárem: k · A = B, jestliˇze A, B jsou matice typu m × n (m, n ∈ N), k ∈ C a plat´ı: ∀i ∈ {1, 2, ..., m}, j ∈ {1, 2, ..., n} : bij = k · aij , • násoben´ı matic: A · B = C, jestliˇze A je matice typu m × n, B je matice typu n × q, C je matice typu m × q (m, n, q ∈ N) a plat´ı: ∀i ∈ {1, 2, ..., m}, k ∈ {1, 2, ..., q} : cik =

n X

aij · bjk .

j=1

Definice 4.8: Necht’ A je matice typu m × n (m, n ∈ N). Matici AT typu n × m nazveme transponovanou matic´ı matice A, jestliˇze pro jej´ı prvky plat´ı: aTij = aji pro vˇsechna i ∈ ˇ {1, 2, ..., m}, j ∈ {1, 2, ..., n}. Ctvercovou matici A ˇra´du n ∈ N naz´ yváme symetrickou, jestliˇze T plat´ı A = A. Definice 4.9: Necht’ A, B jsou ˇctvercové matice ˇra´du n ∈ N splˇ nuj´ıc´ı A · B = B · A = E. Pak se matice B naz´ yvá inverzn´ı matic´ı k matici A a znaˇc´ı se A−1 . Matici, k n´ıˇz existuje matice inverzn´ı, naz´ yváme invertibiln´ı matic´ı.

Obr´ azek 4.10: Maticové operace v Maple.

155

Obrázek 4.10 ilustruje pojmy pˇredcházej´ıc´ıch definic v Maple. Sˇc´ıtán´ı matic a násoben´ı matice skalárem je stejné jak v psaném textu. Totéˇz plat´ı pro zápis inverzn´ı matice. Pro násoben´ı matic je urˇcena teˇcka (tj. tatáˇz teˇcka na spodn´ım okraji ˇra´dku, kterou napˇr´ıklad ukonˇcujeme vˇetu). Zápis transponované matice se liˇs´ı od klasického matematického zápisu pˇridán´ım symbolu % do exponentu matice. Pro v´ ypoˇcet inverzn´ı a transponované matice poskytuje nav´ıc Maple pˇr´ıkazy MatrixInverse a Transpose, které vˇsak oba náleˇz´ı do bal´ıku LinearAlgebra, jenˇz je proto potˇreba pˇred jejich pouˇzit´ım naˇc´ıst. Pokud se pokus´ıme vypoˇc´ıtat inverzi k neinvertibiln´ı (tj. singulárn´ı) matici, vyp´ıˇse systém Maple chybovou zprávu Error, (in rtable/Power) singular matrix. Matici m˚ uˇzeme systému Maple zadávat i blokovˇe. Na obrázku 4.11 vid´ıme, jak k tomu pouˇz´ıt pˇr´ıkaz Matrix.


Pˇ r´ıklad 4.5: Necht’ cos(α) − sin(α) A= . sin(α) cos(α) Urˇcete A2 , A3 , .... ˇ sen´ı: V Maple z´ıskáme pˇr´ısluˇsné matice jednoduˇse, a to pouh´ Reˇ ym pˇrepisem maticov´ ych v´ yraz˚ u. Nicménˇe obdrˇzen´ y v´ ysledek nen´ı v nejjednoduˇsˇs´ım tvaru, coˇz naprav´ıme pouˇzit´ım pˇr´ıkazu combine (viz ˇcást 2.1.1). Pˇri provedn´ı indukˇcn´ıho kroku (k d˚ ukazu správnosti pˇredpok kladu o obecném tvaru A ) je moˇzné pro lepˇs´ı“ vzhled pouˇz´ıt pˇr´ıkaz factor, jenˇz je tˇreba ” ˇ sen´ı v systému Maple aplikovat na kaˇzd´ y prvek matice. K takové aplikaci slouˇz´ı pˇr´ıkaz map. Reˇ znázorˇ nuje obrázek 4.12. Pˇ r´ıklad 4.6: Necht’ 

 1 0 A =  2 1 , −1 2

B = −1 0 2 ,

156

C=

1 0 0 −1 , 0 2 0 5






1 2 0  F = −2 0 −3 , 0 3 5





1 0 0  G = 0 1 −4 , 1 0 1



 1 −3  H=  0 . 7

Urˇcete G2 − 3 · F, A − F, A − G · F · A, B · A · C · H − B · F · B T . Pˇ r´ıklad 4.7: K matic´ım 1 0 A= , 2 4

B=

1+I 1−I , 2 I

a b C= , c d

urˇcete matice inverzn´ı. Pˇ r´ıklad 4.8: Vytvoˇrte matici A typu 4 × 4 tak, aby: a) aij = i + j, b) aij = ij−1 , ( 1 ... pokud |i − j| > 1 c) aij = −1 ... pokud |i − j| ≤ 1. pro i, j ∈ {1, 2, 3, 4}. 157



 1 1 1 3 3 F = 2 −1 −3 −2

Pˇ r´ıklad 4.9: Necht’ 0 je nulová matice typu 2 × 2. Existuje nenulová matice A typu 2 × 2 tak, ˇze: a) A · A = 0 ? b) A · A = A ?

Pˇ r´ıklad 4.10: Ukaˇzte, ˇze matice cos(α) − sin(α) A= sin(α) cos(α) reprezentuje otoˇcen´ı v rovinˇe o u ´hel α. Tj. jestliˇze matic´ı A vynásob´ıme (sloupcov´ y) vektor, z´ıskáme vektor pootoˇcen´ you ´hel α. Ilustrujte graficky.

4.1.3

Soustavy line´ arn´ıch rovnic

Pozn´ amka 4.8: Soustavy lineárn´ıch rovnic m˚ uˇzeme pˇrehlednˇe zapisovat pomoc´ı matic. Uvaˇzujme systém a11 · x1 + a12 · x2 + · · · + a1n · xn = y1 , a21 · x1 + a22 · x2 + · · · + a2n · xn = y2 , .. . am1 · x1 + am2 · x2 + · · · + amn · xn = ym . Jestliˇze oznaˇc´ıme A = (aij ), x = (x1 , x2 , ..., xn )T , y = (y1 , y2 , ..., ym )T , m˚ uˇzeme uveden´ y systém pˇrepsat do tvaru A · x = y. Bal´ık LinearAlgebra nab´ız´ı pro ˇreˇsen´ı soustav lineárn´ıch rovnic pˇr´ıkaz LinearSolve. Pˇr´ıkaz má dva základn´ı parametry, a to matici A a vektor y, kter´ y nen´ı nutné uvádˇet v pˇr´ıpadˇe, ˇze je nulov´ y. Dále máme k dispozici jeˇstˇe nˇekolik nepovinn´ ych parametr˚ u, z nichˇz uved’me parametr free, v nˇemˇz m˚ uˇzeme specifikovat symbol pro volnou promˇenou (tj. parametr pouˇzit´ y pˇri zápisu v´ ysledku s nekoneˇcnˇe mnoha ˇreˇsen´ımi). Ukázku pouˇzit´ı nab´ız´ı obrázek 4.13. Mezi pomocn´ ymi nástroji zvan´ ymi Tutors (spustiteln´ ymi napˇr´ıklad z poloˇzky Tools hlavn´ıho menu) najdeme pro lineárn´ı algebru mj. nástroj ilustruj´ıc´ı soustavu lineárn´ıch rovnic graficky – Linear System Plot. Tento maplet je moˇzné pouˇz´ıt v oborech R2 a R3 , v nichˇz dané rovnice pˇredstavuj´ı pˇr´ımky nebo roviny. Názornˇe tak m˚ uˇzeme vidˇet, zda má zadaná soustava rovnic ˇreˇsen´ı a kolik jich je. Maplet je moˇzné spustit pˇr´ımo z dokumentu pˇr´ıkazem LinearSystemPlotTutor z bal´ıku Student[LinearAlgebra]. Jeho podobu znázorˇ nuje obrázek 4.14. Pomoc´ı pˇr´ıkazu LinearSolve m˚ uˇzeme téˇz jednoduˇse zjistit souˇradnice vektoru v zadané bázi – viz pˇr´ıklad 4.11. Pˇ r´ıklad 4.11: Uvaˇzujme bázi α = {u1 , u2 , u3 } vektorového prostoru V , kde u1 = (2, −1, 0)T , u2 = (−4, 1, 2)T , u3 = (3, 0, −1)T . Urˇcete souˇradnice vektoru z = (−2, −1, 2)T v bázi α. ˇ sen´ı: Souˇradnice zn v bázi α jsou ˇreˇsen´ım rovnice A · zn = z, kde matice A je tvoˇrena Reˇ právˇe báz´ı α. Postup v´ ypoˇctu ilustruje obrázek 4.15. 158

ˇ sen´ı soustav lineárn´ıch rovnic pˇr´ıkazem LinearSolve. Obr´ azek 4.13: Reˇ

Obr´ azek 4.14: Grafické zobrazen´ı soustavy lineárn´ıch rovnic.

Pˇ r´ıklad 4.12: Uvaˇzujme soustavu lineárn´ıch rovnic s neznám´ ymi x, y, z a parametry c, d ∈ C: x + c · y − c · z = −3, x + (c − 1) · y − (c + 3) · z = −5, x + (c + 1) · y + 2 · z = d − 1. Urˇcete, pro která c, d má soustava ˇza´dné, jedno, resp. nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı. 159


ˇ sen´ı: Zap´ıˇseme zadanou soustavu maticovˇe a vyuˇzijeme pˇr´ıazu LinearSolve. Z´ıskáme Reˇ ˇreˇsen´ı vyjádˇrené pomoc´ı parametr˚ u c, d. Poˇcet ˇreˇsen´ı soustavy je závisl´ y pˇredevˇs´ım na hodnotˇe jmenovatele. Pokud je nenulov´ y (c 6= 1), soustava má jediné ˇreˇsen´ı. Pokud je jmenovatel nulov´ y (c = 1), je nutné rozliˇsit pˇr´ıpady, kdy je nulov´ y i ˇcitatel (d = 0, nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı) a kdy je ˇcitatel r˚ uzn´ y od nuly (d 6= 0, tj. kdy zlomek nemá smysl, a tedy ani soustava ˇreˇsen´ı). Postup v´ ypoˇctu je uveden na obrázku 4.16. Pˇri ˇreˇsen´ı bylo vyuˇzito (novˇe) pˇr´ıkaz˚ u numer pro z´ıskán´ı ˇcitatele zlomku a op k z´ıskán´ı operand˚ u ze zadaného v´ yrazu (v tomto pˇr´ıpadˇe ze seznamu).


160

Pˇ r´ıklad 4.13: Uvaˇzujme bázi α = {u1 , u2 , u3 } vektorového prostoru V , kde u1 = (1, 1, 0)T , u2 = (1, 0, 1)T , u3 = (0, 1, 1)T . Urˇcete souˇradnice vektoru v = (1, 2, 3)T v bázi α. Pˇ r´ıklad 4.14: Kter´ y z vektor˚ u u1 , u2 , u3 , u4 doplˇ nuje mnoˇzinu α na bázi prostoru R4 ?: a) α = {(1, −2, 1, −1)T , (1, 0, −1, −1)T , (1, 1, −2, 0)T }, u1 = (−1, 2, −1, 1)T , u2 = (3, −1, −2, −1)T , u3 = (2, 1, 0, −2)T , u4 = (2, 1, −3, −2)T . b) α = {(1, 3, 0, −1)T , (1, 0, 0, −1)T , (0, 2, 1, 0)T }, u1 = (−1, 1, −1, 1)T , u2 = (3, −1, 0, −3)T , u3 = (2, 1, 0, −2)T , u4 = (1, −2, 0, −1)T . Pˇ r´ıklad 4.15: Prostory Rn [x] a Cn [x] vˇsech polynom˚ u s reáln´ ymi, resp. komplexn´ımi, koeficienty spolu se standardnˇe definovan´ ym souˇctem polynom˚ u a skalárn´ım násobkem polynomu tvoˇr´ı také vektorov´ y prostor (pozn. dokaˇzte). Zjistˇete, zda jsou následuj´ıc´ı polynomy v uveden´ ych prostorech lineárnˇe závislé nebo ne: a) R3 [x] : 1 − x, x − x2 , x2 − x3 , x3 − 1, b) R3 [x] : 1 + x, x + x2 , x2 + x3 , x3 + 1, c) R2 [x] : 2 − x + 4 · x2 , 3 + 6 · x + 2 · x2 , 2 + 10 · x − 4 · x2 , d) R2 [x] : 1 + 3 · x + 3 · x2 , x + x2 , 5 + 6 · x + 3 · x2 , 7 + 2 · x − x2 . Pˇ r´ıklad 4.16: Uvaˇzujme soustavu lineárn´ıch rovnic s neznám´ ymi x, y, z a parametry a, b ∈ R: a) a · x + y − 2 · z = 1, x − y + z = 0, (1 + a) · y − z = b. b) x − a · y − 2 · z = b, x + (1 − a) · y = b − 3, x + (1 + a) · y + a · z = 2 · b − 1. Urˇcete, pro která a, b má soustava ˇza´dné, jedno, resp. nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı. Pˇ r´ıklad 4.17: Uvaˇzujme soustavu lineárn´ıch rovnic s neznám´ ymi x1 , x2 , x3 a parametry a, b, c ∈ C: x1 + x2 + x3 = 3, x1 + a · x2 + x3 = 2, b · x1 + 2 · x2 + 2 · x3 = c. Urˇcete, pro která a, b, c má soustava ˇza´dné, jedno, resp. nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı. 161

4.1.4

Gaussova eliminace

Pozn´ amka 4.9: (Gaussova eliminace) Nenulovou matici A typu m×n nad C lze koneˇcnˇe mnoha elementárn´ımi ˇrádkov´ ymi operacemi pˇrevést na tzv. (ˇra´dkovˇe) schodovit´ y tvar. Tento tvar m˚ uˇzeme zapsat následuj´ıc´ımi podm´ınkami: • je-li ∀i : 1 ≤ i ≤ k < m, j ∈ {1, 2, ..., n} : aij = 0, pak také ∀i > k : aij = 0, • je-li pro 1 ≤ i < m, j ∈ {1, 2, ..., n} : aij prvn´ı nenulov´ y prvek na i-tém ˇra´dku, pak a(i+1)j = 0. Elementárn´ı ˇrádkovou operac´ı pˇritom rozum´ıme jednu z následuj´ıc´ıch transformac´ı: 1. v´ ymˇenu dvou ˇra´dk˚ u matice A, 2. vynásoben´ı nˇekterého ˇrádku matice A nenulov´ ym komplexn´ım ˇc´ıslem, 3. pˇriˇcten´ı skalárn´ıho násobku nˇekterého ˇra´dku matice A k jinému jej´ımu ˇra´dku.

Pro pˇrevod matice na schodovit´ y tvar poskytuje Maple pˇr´ıkaz GaussianElimination, opˇet z bal´ıku LinearAlgebra. Jeho jedin´ ym povinn´ ym parametrem je matice, jiˇz chceme na schodovit´ y tvar pˇrevést. Jedn´ım z voliteln´ ych parametr˚ u je parametr method, kter´ y pˇri nastaven´ı na FractionFree uprav´ı matici na schodovit´ y tvar tak, aby vˇsechna ˇc´ısla matice byla celá – obrázek 4.17.

Obr´ azek 4.17: Gaussova eliminace v Maple.

Pˇr´ıkazem GaussianElimination z´ıskáme rovnou v´ ysledek. Pokud nás zaj´ımá postup v´ ypoˇctu, m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt pomocn´ıka GaussianEliminationTutor z bal´ıku Student[LinearAlgebra] dostupného téˇz z hlavn´ıho menu (Tools > Tutors > LinearAlgebra > Gaussian Elimination...). Podobnˇe jako u jin´ ych pomocn´ ych maplet˚ u m˚ uˇzeme sami provádˇet zvolené u ´pravy se zadanou matic´ı nebo nechat systém Maple, aby nám sám ukázal následuj´ıc´ı krok v´ ypoˇctu, pˇr´ıpadnˇe celé odvozen´ı aˇz k v´ ysledku. Grafická podoba mapletu je uvedena na obrázku 4.18 vlevo. Pomoc´ı Gaussovy eliminace m˚ uˇzeme ˇreˇsit systémy lineárn´ıch rovnic. K tomu Maple nab´ız´ı dalˇs´ıho pomocn´ıka – pˇr´ıkaz LinearSolveTutor z bal´ıku Student[LinearAlgebra], taktéˇz dostupného z hlavn´ıho menu (Tools > Tutors > LinearAlgebra > Linear System Solving...). Podoba tohoto pomocn´ıka (obrázek 4.18 vpravo) je takˇrka shodná s mapletem pro 162

Obr´ azek 4.18: Pomocn´ık pˇri v´ ypoˇctu Gaussovy eliminace.

Gaussovu eliminaci. V tomto pˇr´ıpadˇe vˇsak m˚ uˇzeme postupovat dále k v´ ypoˇctu ˇreˇsen´ı (pomoc´ı tlaˇc´ıtka Solve System). Pˇri spouˇstˇen´ı pomocn´ıka jsme dotázán´ı, jestli chceme pouˇz´ıt Gaussovu eliminaci nebo Gaussovu-Jordanovu eliminaci, která uprav´ı matici aˇz do jednotkového tvaru. Jelikoˇz pro invertibiln´ı ˇctvercovou matici A plat´ı: A · A−1 = A−1 · A = E, kde E je jednotková matice, je moˇzné vyuˇz´ıt Gaussovy eliminace i pˇri v´ ypoˇctu inverzn´ı matice. Pro tento postup nab´ız´ı Maple dalˇs´ıho pomocn´ıka podobného dvˇema pˇredchoz´ım: pˇr´ıkaz3 InverseTutor z bal´ıku Student[LinearAlgebra], i v tomto pˇr´ıpadˇe dostupného z hlavn´ıho menu (Tools > Tutors > LinearAlgebra > Matrix Inverse...). ˇ stˇe soustavu lineárn´ıch rovnic v R uˇzit´ım Gaussovy eliminace: Pˇ r´ıklad 4.18: Reˇ 2 · x1 − 3 · x2 + 17 · x3 − 29 · x4 − 36 · x5 2 · x1 − 3 · x2 + 18 · x3 − 27 · x4 + 33 · x5 12 · x1 − 18 · x2 + 102 · x3 − 174 · x4 − 216 · x5 2 · x1 − 3 · x2 + 21 · x3 − 24 · x4 − 30 · x5 2 · x1 − 3 · x2 + 24 · x3 − 21 · x4 − 27 · x5

= = = = =

22, 21, 132, 20, 19.

ˇ sen´ı: Zadanou soustavu je moˇzné ˇreˇsit pomocn´ıkem LinearSolveTutor. Lze vˇsak Reˇ pouˇz´ıt i pˇr´ıkaz GaussianElimination, coˇz provedeme i my. Soustavu zap´ıˇseme maticovˇe ve tvaru A · x = y, pˇr´ıkaz GaussianElimination pouˇzijeme na matici A doplnˇenou o sloupec y. V tomto pˇr´ıpadˇe nemáme k dispozici svislou ˇcáru oddˇeluj´ıc´ı matici A od vektoru y, coˇz mus´ıme m´ıt na pamˇeti. Po aplikaci Gaussovy eliminace z´ıskáme matici ve schodovitém tvaru, z n´ıˇz na prvn´ı pohled poznáme, ˇze soustava má nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı závisl´ ych na parametru, kter´ y pˇriˇrad´ıme bud’ k neznámé x1 nebo x2 . Poté zb´ yvá uˇz pouze dopoˇc´ıtat hodnoty zbyl´ ych neznám´ ych, k ˇcemuˇz pouˇzijeme pˇr´ıkaz solve. Jeho prvn´ım parametrem je mnoˇzina rovnic vypl´ yvaj´ıc´ı ze z´ıskané matice ve schodovitém tvaru. Promˇenná res obsahuje vektor ˇreˇsen´ı, tj. (x1 , x2 , ..., x5 )T . 3

Pozor! Neplést se stejnojmenn´ ym pˇr´ıkazem z bal´ıku Student[Calculus1] pro vykreslen´ı inverzn´ı funkce.

163


ˇ stˇe soustavu lineárn´ıch rovnic v C uˇzit´ım Gaussovy eliminace: Pˇ r´ıklad 4.19: Reˇ a) x+2·I ·y (3 − I) · y + (6 − 2 · I) · z 2·x−z x+y−z

= = = =

5 + 4 · I, 10, 5 + 3 · I, 5 + 2 · I,

b) (1 + I) · x + 3 · I · y = −I, (1 + 2 · I) · x + (1 − I) · y = 6 + I, c) (1 + I) · x + (1 − I) · y = 6 + 4 · I, I · x + (1 + 2 · I) · y = −3 + 5 · I.

164

ˇ stˇe soustavu lineárn´ıch rovnic v R uˇzit´ım Gaussovy eliminace: Pˇ r´ıklad 4.20: Reˇ x1 + 3 · x2 − 2 · x3 + 2 · x5 2 · x1 + 6 · x2 − 5 · x3 − 2 · x4 + 4 · x5 − 3 · x6 5 · x3 + 10 · x4 + 15 · x6 2 · x1 + 6 · x2 + 8 · x4 + 4 · x5 + 18 · x6

= = = =

0, −1, 5, 6.

Pˇ r´ıklad 4.21: Urˇcete hodnoty parametr˚ u a, b, c ∈ C tak, aby mˇel následuj´ıc´ı systém právˇe jedno ˇreˇsen´ı: a · x + b · y = c, c · x + a · z = b, c · y + b · z = a.

Pˇ r´ıklad 4.22: K matici:

A=

I −2 1 I

naleznˇete matici inverzn´ı a ovˇeˇrte, ˇze A · A−1 = E, kde E je jednotková matice. ˇ sen´ı: Jednak m˚ Reˇ uˇzeme vyuˇz´ıt pomocn´ıka pro hledán´ı inverzn´ı matice, jednak m˚ uˇzeme pouˇz´ıt pˇr´ıbuzn´ y pˇr´ıkaz k pˇr´ıkazu GaussianElimination, a to ReducedRowEchelonForm provádˇej´ıc´ı Gaussovu-Jordanovu eliminaci, jelikoˇz potˇrebujeme zadanou matici upravovat aˇz na jednotkovou. Postup v´ ypoˇctu je uveden na obrázku 4.20.


Pˇ r´ıklad 4.23: Pomoc´ı Gaussovy eliminace najdˇete inverzn´ı matice k následuj´ıc´ım matic´ım:     1 2 3 1 −4 −3 8 5 1 3 A= , B= , C = 0 1 2 , F =  0 −5 −3 . 11 7 1 4 0 0 1 −1 6 4 U nalezen´ ych matic ovˇeˇrte, ˇze souˇcinem matice a jej´ı inverze vznikne jednotková matice. 165

Pˇ r´ıklad 4.24: Pomoc´ı Gaussovy eliminace najdˇete inverzn´ı matice k následuj´ıc´ım matic´ım:   1 −I 1 + I 1+I 1−I 2 I 1 0 , A= , B= , C =  −I 2 I 1 0 1−I 0 I   2+I 1+I 1+2·I 3−2·I 1 − I . F = 1−I 2−3·I 1+I 1+2·I U nalezen´ ych matic ovˇeˇrte, ˇze souˇcinem matice a jej´ı inverze vznikne jednotková matice.

4.1.5

Determinant

Definice 4.10: Permutac´ı mnoˇziny X nazveme bijektivn´ı zobrazen´ı σ : X → X. Permutaci σ(X) naz´ yváme transpozic´ı, jestliˇze existuj´ı r˚ uzná x, y ∈ X tak, ˇze σ(x) = y ∧ σ(y) = x, a pˇritom ∀z ∈ X \ {x, y} : σ(z) = z. Dvojice prvk˚ u a, b ∈ X = {1, 2, ..., n}, n ∈ N tvoˇr´ı inverzi v permutaci σ, je-li a < b ∧ σ(a) > σ(b). Paritu permutace σ definujeme vztahem (−1)poˇcet inverz´ı a znaˇc´ıme sgn(σ). Definice 4.11: Necht’ A s prvky aij je ˇctvercová matice ˇra´du n ∈ N. Determinant matice A definujeme vztahem X |A| = sgn(σ) · a1σ(1) · a2σ(2) · . . . · anσ(n) , σ∈Sn

kde Sn je mnoˇzina vˇsech permutac´ı na mnoˇzinˇe {1, 2, ..., n}. Pozn´ amka 4.10: Vyjádˇren´ım determinantu z pˇredchoz´ı definice pro n = 3 z´ıskáme tzv. Saarusovo pravidlo: a11 a12 a13 |A| = a21 a22 a23 = +a11 · a22 · a33 + a21 · a32 · a13 + a31 · a12 · a23 a31 a32 a33 −a31 · a22 · a13 − a21 · a12 · a33 − a11 · a32 · a23 . V systému Maple slouˇz´ı k v´ ypoˇctu determinantu matice pˇr´ıkaz Determinant z bal´ıku LinearAlgebra. M´ısto nˇej je moˇzné pouˇz´ıt svisl´ ych závorek (jak jsme zvykl´ı z psaného textu), pˇr´ıpadnˇe i kontextového menu po kliknut´ı prav´ ym tlaˇc´ıtkem myˇsi na matici. Obˇe tyto moˇznosti nevyˇzaduj´ı naˇcten´ı zm´ınˇeného bal´ıku. Ukázku v´ ypoˇctu poskytuje obrázek 4.21. Pˇ r´ıklad 4.25: Uvaˇzujme matice z pˇr´ıklad˚ u 4.23 a 4.24. Ovˇeˇrte, ˇze pro X ∈ {A, B, C, F } plat´ı: b) |X −1 | =

a) |X| = |X T |,

1 . |X|

Pˇ r´ıklad 4.26: Uvaˇzujme matice z pˇr´ıkladu 4.24. Ovˇeˇrte, ˇze plat´ı: |A · B| = |A| · |B|,

|C · F | = |C| · |F |.

166

Obr´ azek 4.21: V´ ypoˇcet determinantu v Maple.

Laplace˚ uv rozvoj determinantu Pozn´ amka 4.11: K v´ ypoˇctu determinantu matic vˇetˇs´ıch rozmˇer˚ u neˇz 3 × 3 (bez poˇc´ıtaˇce) se obvykle pouˇz´ıvá Gaussova eliminaˇcn´ı metoda a Laplace˚ uv rozvoj determinantu. Laplace˚ uv rozvoj determinantu nám ˇr´ıká, ˇze pro ˇctvercovou matici A ˇra´du n s prvky aij a pˇrirozená ˇc´ısla k, l taková, ˇze 1 ≤ k, l ≤ n plat´ı: n n X X k+j |A| = (−1) · akj · |Akj | = (−1)i+l · ail · |Ail |, j=1

i=1

kde Akj je matice A bez svého k-tého ˇra´dku a j-tého sloupce, tzv. submatice matice A. Systém Maple nenab´ız´ı nástroj, kter´ y by umˇel názornˇe provést Laplace˚ uv rozvoj. Nic nám vˇsak nebrán´ı v jeho vytvoˇren´ı. Zavedeme proto pˇr´ıkaz laplace jako proceduru se tˇremi povinn´ ymi parametry – ˇctvercovou matic´ı, pˇrirozen´ ym ˇc´ıslem od 1 do n udávaj´ıc´ı, podle kolikátého ˇrádku ˇci sloupce má b´ yt rozvoj proveden, a p´ısmenem r nebo s v uvozovkách znaˇc´ıc´ım, jestli se rozvoj povede podle ˇra´dku ˇci sloupce. Smyslem textu nen´ı nauˇcit programovat v Maple, a proto uved’me jen nˇekolik poznámek ke zdrojovému kódu um´ıstˇeném n´ıˇze v rámeˇcku. Procedura má tˇri parametry (ˇctvercovou matici, pˇrirozené ˇc´ıslo a znak). Pokud neuvedeme parametry v tomto poˇrad´ı a zm´ınˇen´ ych typ˚ u, vyp´ıˇse Maple chybovou zprávu Error, invalid input. l a p l a c e := p r o c (A : : ( Matrix ( s q u a r e ) ) , i : : p o s i n t , c : : c h a r a c t e r ) local k, n; uses LinearAlgebra ; n := RowDimension (A ) ; i f n < i then p r i n t f ( ” Druhy parametr musi byt c e l e c i s l o od 1 do %d . ” , n ) ; r e t u r n ; end i f ; i f c = ” r ” then add ( ( − 1 ) ˆ ( i+k ) ∗A[ i , k ] ∗ d e t ( DeleteRow ( DeleteColumn (A, k ) , i ) ) , k = 1 . . n ) e l i f c = ” s ” then add ( ( − 1 ) ˆ ( i+k ) ∗A[ k , i ] ∗ d e t ( DeleteRow ( DeleteColumn (A, i ) , k ) ) , k = 1 . . n ) e l s e p r i n t f ( ” T r e t i parametr musi byt pismeno r nebo pismeno s . ” ) ; r e t u r n ; end i f ; end p r o c :

V proceduˇre je pouˇzito nˇekolik pˇr´ıkaz˚ u z bal´ıku LinearAlgebra, kter´ y je na zaˇca´tku naˇcten“ (pouze pro potˇreby procedury!). Tˇemito pˇr´ıkazy jsou RowDimension pro zjiˇstˇen´ı ” 167

poˇctu ˇrádk˚ u (dimenze) zadané matice, DeleteRow a DeleteColumn pro odstranˇen´ı ˇrádku, resp. sloupce, zadané matice. Dalˇs´ımi pouˇzit´ ymi pˇr´ıkazy (tentokrát jiˇz z hlavn´ı knihovny Maplu) jsou add pro souˇcet prvk˚ u (zejména numerické) posloupnosti a printf pro formátovan´ y v´ ypis. Aby nedoˇslo k u ´plnému vyhodnocen´ı a byl vidˇet Laplace˚ uv rozvoj, je pro determinant pouˇzit neexistuj´ıc´ı pˇr´ıkaz“ det. Vyhodnotit z´ıskan´ y v´ ysledek a z´ıskat tak koneˇcnou hodnotu ” determinantu lze napˇr. posloupnost´ı pˇr´ıkaz˚ u eval pro vyhodnocen´ı a subs, j´ımˇz nahrad´ıme ˇretˇezec det pˇr´ıkazem pro v´ ypoˇcet determinantu, tj. napˇr. pouˇz´ıt: eval(subs(det = LinearAlgebra[Determinant], %)); následnˇe po z´ıskaném rozvoji determinantu. Název bal´ıku LinearAlgebra je pochopitelnˇe moˇzné vynechat, pokud jsme bal´ık dˇr´ıve naˇcetli (pˇr´ıkazem with). Ukázku pouˇzit´ı pˇr´ıkazu laplace nab´ız´ı obrázek 4.22.

Obr´ azek 4.22: Laplace˚ uv rozvoj determinantu v Maple.

Pozn´ amka 4.12: Pˇri ruˇcn´ım“ v´ ypoˇctu determinantu matice je tˇreba znát následuj´ıc´ı ” pravidla: • determinant troj´ uheln´ıkové matice se rovná souˇcinu jej´ıch diagonáln´ıch prvk˚ u, • v´ ymˇenou poˇrad´ı dvou ˇra´dk˚ u nebo sloupc˚ u matice se zmˇen´ı znaménko determinantu na opaˇcné, • vynásoben´ım nˇejakého ˇra´dku nebo sloupce matice nenulov´ ym skalárem k ∈ C, se jej´ı determinant zmˇen´ı na k-násobek p˚ uvodn´ı hodnoty, • pˇripoˇcten´ım skalárn´ıho násobku nˇejakého ˇrádku matice k jej´ımu jinému ˇra´dku, resp. násobku nˇejakého jej´ıho sloupce k jinému sloupci se hodnota jej´ıho determinantu nezmˇen´ı. Pˇ r´ıklad 4.27: Urˇcete hodnotu determinantu  7 2 6 6 A= 8 10 5 7

matice A pomoc´ı Laplaceova rozvoje, kde  3 2 6 7 . 9 10 3 3

ˇ sen´ı: Ukáˇzeme dva r˚ Reˇ uzné postupy. 168

Obr´ azek 4.23: Prvn´ı ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 4.27.

Obr´ azek 4.24: Druhé ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 4.27.

Prvn´ı postup, prezentovan´ y na obrázku 4.23, má za c´ıl napodobit pr˚ ubˇeh ruˇcn´ıho“ ” v´ ypoˇctu. Kdyˇz se pozornˇe pod´ıváme na matici A, vˇsimneme si, ˇze ve tˇret´ım sloupci jsou vˇsechna ˇc´ısla násobky tˇr´ı. Tj. vhodn´ ymi ˇra´dkov´ ymi u ´pravami doc´ıl´ıme tˇr´ı nul v tomto sloupci, aniˇz by se zmˇenila hodnota determinantu matice (viz poznámka 4.12). Pˇred u ´pravami si 169

vytvoˇr´ıme kopii B matice A pˇr´ıkazem copy, abychom nepˇrepisovali prvky p˚ uvodn´ı matice. Hledan´ y determinant oznaˇc´ıme p´ısmenem d. V Laplaceovˇe rozvoji z˚ ustane“ determinant ” jediné matice typu 3 × 3, jiˇz oznaˇc´ıme p´ısmenem C. Aˇckoli determinant matice ˇrádu 3 uˇz dokáˇzeme spoˇc´ıtat pˇr´ımo, je moˇzné opakovat tent´ yˇz postup co pro p˚ uvodn´ı matici A, z´ıskat upravenou matici F a jej´ım Laplaceov´ ym rozvojem dospˇet k determinantu jediné matice ˇra´du 2. Pˇri ˇreˇsen´ı ˇcasto vyuˇz´ıváme pˇr´ıkazu op, abychom z´ıskali ˇzádané operandy pˇredchoz´ıch v´ yraz˚ u automaticky a nemuseli je ruˇcnˇe kop´ırovat. V druhém pˇr´ıpadˇe – obrázek 4.24 – vyuˇzijeme toho, ˇze systému Maple nen´ı nutné pˇr´ıklad zjednoduˇsovat vytváˇren´ım nul“ v matici a necháme vˇse na nˇem. ” Pˇ r´ıklad 4.28: Urˇcete hodnotu determinantu zadan´ ych matic pomoc´ı Laplaceova rozvoje: 

1 2 A= 3 0

 0 1 −1 0 1 −2 , 3 −1 1  1 1 1



1 2 B= −1 2

 2 −1 0 2 1 1 , 1 2 3 1 1 −1



 2 1 −2 −1 1 −1 −1 1  . C= 4 2 2 1 8 1 1 2

Konjugovan´ a matice Definice 4.12: Matici A nazveme konjugovanou matic´ı (resp. komplexnˇe sdruˇzenou matic´ı) k matici A s prvky aij , jestliˇze matice A obsahuje prvky aij pro vˇsechna i, j, tj. jej´ıˇz prvky jsou komplexnˇe sdruˇzené k prvk˚ um matice A. Systém Maple nemá pˇr´ımo pˇr´ıkaz pro v´ ypoˇcet konjugované matice, lze vˇsak vyuˇz´ıt pˇr´ıkaz˚ u conjugate pro zisk komplexnˇe sdruˇzeného komplexn´ıho ˇc´ısla a map, j´ımˇz aplikujeme pˇr´ıkaz conjugate na kaˇzd´ y prvek matice. Zm´ınˇené lze provést téˇz pomoc´ı kontextové nab´ıdky, která se objev´ı po kliknut´ı prv´ ym tlaˇc´ıtkem myˇsi na matici – obrázek 4.25.

Obr´ azek 4.25: V´ ypoˇcet konjugované matice v Maple.

Pro komplexn´ı matici dále zavád´ıme tzv. hermitovskou transpozici. Hermitovsky transponovaná matice je transponovaná konjugovaná matice. Pro tuto operaci poskytuje Maple pˇr´ıkaz HermitianTranspose z bal´ıku LinearAlgebra. Operaci je vˇsak moˇzné provést téˇz pomoc´ı kontextové nab´ıdky po kliknut´ı prav´ ym tlaˇc´ıtkem myˇsi na matici, pˇr´ıpadnˇe zápisem A%H , kde A je daná matice. Ukázku pouˇzit´ı a rozd´ılu mezi obyˇcejnou a hermitovskou transpozic´ı poskytuje obrázek 4.26. Jelikoˇz (AT )T = A pro matici A, lze vyuˇz´ıt také hermitovské transpozice pro zisk konjugované matice. 170

Obr´ azek 4.26: Hermitovská transpozice matice v Maple.

Pˇ r´ıklad 4.29: Uvaˇzujme matice z pˇr´ıklad˚ u 4.23 a 4.24. Ovˇeˇrte, ˇze plat´ı pro X ∈ {A, B, C, F }: X = |X|.

4.2

Line´ arn´ı zobrazen´ı

ˇ Definice 4.13: Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad K ∈ {R, C}. Rekneme, ˇze ϕ : U → V je lineárn´ı zobrazen´ı, jestliˇze pro libovolná x, y ∈ U a a, b ∈ K plat´ı: ϕ(a · x + b · y) = a · ϕ(x) + b · ϕ(y).

Pˇ r´ıklad 4.30: Zjistˇete, zda je f : R3 → R2 , f (x) = (1 + x1 , x2 )T lineárn´ı zobrazen´ı. ˇ sen´ı: Systém Maple neumoˇzn Reˇ ˇuje vytváˇren´ı vektorov´ ych funkc´ı v pravém slova smyslu. Lze vˇsak vytvoˇrit jak´ ysi mezistupeˇ n“ skalárn´ı a vektorové funkce zápisem vzoru jako po” sloupnosti prvk˚ u (v kulat´ ych závorkách) a obrazu ve formˇe vektoru. Obrázek 4.27 poskytuje postup ˇreˇsen´ı. Vlevo byly vypisovány vˇsechny prvky vzoru jednotlivˇe, vpravo bylo pouˇzito oznaˇcen´ı a pˇr´ıkaz˚ u, aby postup odpov´ıdal práci s vektorem. Z tohoto d˚ uvodu je v posledn´ım pˇr´ıkazu vytváˇren seznam pouˇzit´ım hranat´ ych závorek a jeho odstranˇen´ı“ (tj. pˇrechod zpˇet ” k posloupnosti promˇenn´ ych) pˇr´ıkazem op. Nam´ısto pˇr´ıkazu map je vpravo operátor ∼ aplikuj´ıc´ı pˇredchoz´ı operaci na kaˇzd´ y prvek pole (tj. vektoru, seznamu, ...). Jak z obrázku 4.27 vid´ıme, zobrazen´ı f nen´ı lineárn´ı. Pˇ r´ıklad 4.31: Zjistˇete, zda je f : R3 → R2 lineárn´ı zobrazen´ı, pˇriˇcemˇz a) f (x) = (x1 + x2 , x1 − x3 )T , b) f (x) = (1, 2)T , c) f (x) = (x21 , −2 · x2 )T . 171


Pˇ r´ıklad 4.32: Dokaˇzte, ˇze derivace reálného polynomu tˇret´ıho stupnˇe je lineárn´ı zobrazen´ı.

Definice 4.14: Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad K ∈ {R, C}, ϕ : U → V je lineárn´ı zobrazen´ı. Jádrem zobrazen´ı ϕ naz´ yváme mnoˇzinu Ker(ϕ) = ϕ−1 (0) = {x ∈ U | ϕ(x) = 0}. Obrazem zobrazen´ı ϕ naz´ yváme mnoˇzinu Im(ϕ) = ϕ(U ) = {ϕ(x) | x ∈ U }. Pozn´ amka 4.13: Mnoˇzina Ker(ϕ) je vektorov´ y podprostor prostoru U a mnoˇzina Im(ϕ) je vektorov´ y podprostor prostoru V . Definice 4.15: Bijektivn´ı lineárn´ı zobrazen´ı ϕ : U → V naz´ yváme lineárn´ım isomorfisˇ mem. Rekneme, ˇze vektorové prostory U, V jsou isomorfn´ı, a p´ıˇseme U ∼ = V , jestliˇze existuje nˇejak´ y (lineárn´ı) isomorfismus ϕ : U → V . Pozn´ amka 4.14: Lineárn´ı zobrazen´ı ϕ : U → V je isomorfismus právˇe tehdy, kdyˇz Ker(ϕ) = {0}, Im(ϕ) = V .

4.2.1

Matice line´ arn´ıho zobrazen´ı

Definice 4.16: Necht’ U, V jsou vektorové prostory koneˇcné dimenze nad K ∈ {R, C} s bázemi α = {u1 , ..., un } v U a β = {v1 , ..., vm } ve V , kde m, n ∈ N. Matic´ı lineárn´ıho zobrazen´ı ϕ : U → V vzhledem k báz´ım α, β naz´ yváme matici A = (ϕ(u1 )β , ..., ϕ(un )β ) ∈ Km×n , 172

jej´ıˇz sloupce tvoˇr´ı souˇradnice obraz˚ u ϕ(ui ), i = 1, ..., n vektor˚ u báze α vyjádˇrené v bázi β. Tato matice se znaˇc´ı téˇz: A = (ϕ)β,α . Jestliˇze ϕ : U → U , p´ıˇseme pouze: A = (ϕ)α . Tuto matici naz´ yváme matic´ı lineárn´ı transformace. Pˇ r´ıklad 4.33: Zapiˇste matici lineárn´ıho zobrazen´ı f : R3 → R2 s bázemi α ∈ R3 a β ∈ R2 , f (x) = (x1 + 2 · x2 − 3 · x3 , 2 · x1 )T , kde a) α = ε3 , β = ε2 , b) α = {(1, 2, 0)T , (−2, 1, 0)T , (3, 1, −1)T }, β = {(2, 1)T , (0, 2)T }. ˇ sen´ı: Reˇ a) Z definice 4.16: A = (f (e1 )ε2 , f (e2 )ε2 , f (e3 )ε2 ) = f (1, 0, 0)T ε2 , f (0, 1, 0)T ε2 , f (0, 0, 1)T ε2 . Ze zadán´ı potom máme: f (1, 0, 0)T = (1, 2)T , f (0, 1, 0)T = (2, 0)T , f (0, 0, 1)T = (−3, 0)T . Vzhledem k tomu, ˇze f (ei )ε2 = f (ei ) pro i = 1, 2, 3, m˚ uˇzeme rovnou psát: 1 2 −3 A= , 2 0 0 b) Opˇet z definice 4.16: A = f (1, 2, 0)T β , f (−2, 1, 0)T β , f (3, 1, −1)T β . Ze zadán´ı máme: f (1, 2, 0)T = (5, 2)T , f (−2, 1, 0)T = (0, −4)T , f (3, 1, −1)T = (8, 6)T . Narozd´ıl od pˇr´ıpadu (a) mus´ıme z´ıskané obrazy pˇrevést do báze β, tj. naj´ıt jejich souˇradnice v této bázi. K tomu lze vyuˇz´ıt pˇr´ıkaz LinearSolve, jak jsme jej pouˇzili i dˇr´ıve – obrázek 4.28. Z´ıskané souˇradnice následnˇe zap´ıˇseme do matice podle definice: A=

5 2

− 14

173

0 4 . −2 1

Obr´ azek 4.28: Nalezen´ı souˇradnic vektor˚ u v pˇr´ıkladu 4.33.(b).

Pˇ r´ıklad 4.34: Uvaˇzujme lineárn´ı zobrazen´ı f : R4 → R4 , kde f (x) = (x1 + x2 + x3 + x4 , −x1 − x2 − x3 − x4 , x1 − x2 + x3 − x4 , −x1 + x2 − x3 + x4 )T . Urˇcete Ker(f ) a Im(f ). ˇ sen´ı: Nejprve nalezneme matici lineárn´ıho zobrazen´ı f . Jelikoˇz nebyla zadána ˇzádná Reˇ báze, m˚ uˇzeme uvaˇzovat standardn´ı bázi ε4 prostoru R4 . Z´ıskáme tak matici:   1 1 1 1 −1 −1 −1 −1  A=  1 −1 1 −1 . −1 1 −1 1 Systém Maple disponuje pˇr´ıkazem NullSpace z bal´ıku LinearAlgebra pro nalezen´ı báze tzv. nulového prostoru matice, tj. jádra pˇr´ısluˇsného zobrazen´ı. Dále máme k dispozici pˇr´ıkaz ColumnSpace z téhoˇz bal´ıku, kter´ y vyp´ıˇse bázi vektor˚ u zapsan´ ych ve sploupc´ıch dané matice, tj. bázi obrazu zobrazen´ı. Pˇr´ısluˇsné mnoˇziny (Ker(f ) a Im(f )) pak tvoˇr´ı lineárn´ı obaly nalezen´ ych báz´ı. Nalezen´ı báz´ı prostor˚ u Ker(f ) a Im(f ) je uvedeno na obrázku 4.29. Pˇ r´ıklad 4.35: Zjistˇete, zda je n´ıˇze uvedené zobrazen´ı f : Rn → Rn , n ∈ {2, 3} lineárn´ı. Pokud ano, najdˇete Ker(f ) a Im(f ). Je f isomorfismus? a) f (x, y) = (x, y 2 )T , b) f (x, y) = (2 · x + 3 · y, x − y)T , c) f (x, y, z) = ((x + y)2 , x − y, x + y + z)T , d) f (x, y, z) = (x − 2 · y + z, 2 · x − y + z, 3 · y − z)T . Pozn´ amka 4.15: Necht’ U, V jsou vektorové prostory koneˇcné dimenze nad K ∈ {R, C} s bázemi α v U a β ve V . Necht’ dále ϕ : U → V je lineárn´ı zobrazen´ı, A jeho matice. Pak pro vˇsechna u ∈ U plat´ı: (ϕ(u))β = (ϕ)β,α · (u)α = A · (u)α .

174

Obr´ azek 4.29: Nalezen´ı báz´ı prostor˚ u Ker(f ) a Im(f ) v pˇr´ıkladu 4.34.

Pˇ r´ıklad 4.36: Naleznˇete matici lineárn´ıho zobrazen´ı f : R2 → R2 , jestliˇze f (1, 1) = (2, −1)T , f (1, −1) = (2, 1)T . Aplikac´ı poznámky 4.15 ovˇeˇrte, ˇze A je skuteˇcnˇe matic´ı zobrazen´ı f . ˇ sen´ı: V zadán´ı nebyla specifikována báze prostoru R2 , ˇcili uvaˇzujeme standardn´ı bázi Reˇ ε2 . Pro vytvoˇren´ı matice A lineárn´ıho zobrazen´ı f potˇrebujeme naj´ıt obrazy vektor˚ u báze ε2 , f (1, 0) a f (0, 1), které tvoˇr´ı sloupce matice A. Jelikoˇz f je lineárn´ı, plat´ı: f (1, 0) = f (0, 1) =

1 · (f (1, 1) + f (1, −1)) = (2, 0)T , 2

1 · (f (1, 1) − f (1, −1)) = (0, −1)T . 2

Matice A je proto rovna: 2 0 A= . 0 −1 Rovnost z poznámky 4.15 pˇrecház´ı do tvaru: (f (u))ε2 = A · (u)ε2 = A · u. Ovˇeˇren´ı provedeme v Maple – obrázek 4.30.

Obr´ azek 4.30: Ovˇeˇren´ı správnosti nalezené matice v pˇr´ıkladu 4.36.

Pˇ r´ıklad 4.37: Naleznˇete matici lineárn´ıho zobrazen´ı f : R3 → R4 , jestliˇze f (1, 1, 0) = (0, 0, 0, 0)T , f (1, 0, 1) = (1, 0, 1, 0)T , f (0, 1, 1) = (0, 1, 0, 1)T . Aplikac´ı poznámky 4.15 ovˇeˇrte, ˇze A je skuteˇcnˇe matic´ı zobrazen´ı f . 175

Pˇ r´ıklad 4.38: Necht’ ε3 je báze prostoru R3 a β = {(1, 3)T , (−1, 4)T } je báze prostoru R2 , matice 1 3 2 A= −2 5 0 je matic´ı lineárn´ıho zobrazen´ı f : R3 → R2 vzhledem k báz´ım ε3 , β, tj. A = (f )β,ε3 . Urˇcete (f (1, 3, 5))β , (f (2, 0, −2))β . Pˇ r´ıklad 4.39: Je dána matice A lineárn´ıho zobrazen´ı f : R2 → R2 . Jak´ y je geometrick´ y v´ yznam tohoto zobrazen´ı? Znázornˇete graficky. 0 −1 a) A = , 1 0 1 0 b) A = , 0 −1 2 0 c) A = . 0 2 Pˇ r´ıklad 4.40: Najdˇete matici A lineárn´ıho zobrazen´ı f : Rn → Rn , n ∈ {2, 3} tak, aby jeho geometrick´ y v´ yznam byl následuj´ıc´ı: a) projekce na osu y v R2 , b) osová symetrie kolem osy y v R2 , c) kolmá projekce do osy x v R3 , d) kolmá projekce do roviny tvoˇrené osami y, z v R3 , e) otoˇcen´ı o 30◦ kolem osy x v R3 . Znázornˇete graficky.

176

5 Chyby V této kapitole si ukáˇzeme nejˇcastˇejˇs´ı chyby pˇri práci se systémem Maple.

5.1 5.1.1

Chybov´ e zpr´ avy (Error Messages) Math mode / Text mode

Jednou z prvn´ıch chyb, kter´ ych se uˇzivatelé ˇcasto dopouˇstˇej´ı, je nevˇenován´ı dostateˇcné pozornosti pˇr´ıkazovému (matematickému) a textovému reˇzimu. Pˇr´ıkazov´ y (matematick´ y) reˇzim (Math mode) slouˇz´ı k zápisu pˇr´ıkaz˚ u. Po kliknut´ı na klávesu Enter dojde k jeho vyhodnocen´ı. Textov´ y reˇzim slouˇz´ı k zápisu obyˇcejného textu. Po kliknut´ı na klávesu Enter se pouze“ ” ˇ a a nˇekdy tˇeˇzko odhalitelná chyba je sm´ıchán´ı“ tˇechto pˇresuneme na nov´ y ˇra´dek. Cast´ dvou ” reˇzim˚ u pˇri zápisu pˇr´ıkazu, kdy zpravidla z´ıskáváme chybné v´ ysledky. To, jestli je cel´ y pˇr´ıkaz zapsan´ y v pˇr´ıkazovém (matematickém) reˇzimu, m˚ uˇzeme poznat z fontu p´ısma (ale nemus´ı tomu tak nutnˇe b´ yt). Nejjistˇeji to poznáme um´ıstˇen´ım kurzoru na pˇr´ıkaz, kdy se objev´ı (naneˇstˇeˇst´ı slabˇe viditeln´ y) ˇsed´ y obdéln´ık tvoˇren´ y pˇreruˇsovanou ˇcárou vymezuj´ıc´ı znaky zapsané v pˇr´ıkazovém (matematickém) reˇzimu – viz obrázek 5.1. U pˇr´ıkaz˚ u na druhém ˇra´dku je vˇzdy um´ıstˇen kurzor pˇred ˇc´ıslic´ı 2. M˚ uˇzeme si tedy vˇsimnout zm´ınˇeného pˇreruˇsovaného obdéln´ıku, kter´ y v prvn´ım pˇr´ıpadˇe (vlevo) zahrnuje pouze ˇc´ıslici 2. Pˇr´ıkazy na prvn´ım ˇra´dku byly vytvoˇreny obdobnˇe.

Obr´ azek 5.1: Chyby v pouˇzit´ı matematického a textového reˇzimu.

5.1.2

Chybn´ e argumenty pˇ r´ıkaz˚ u

Dalˇs´ı velmi ˇcastou chybou (ne-li nejˇcastˇejˇs´ı) je ˇspatné zadán´ı argument˚ u pˇr´ıkaz˚ u. Kaˇzd´ y pˇr´ıkaz má definované pouˇzit´ı. Vˇzdy mu mus´ıme nastavit povinné argumenty, m˚ uˇzeme pˇridat volitelné (charakterizované slov´ıˇckem optional ). Argumenty mus´ı b´ yt zadány vˇzdy v takovém tvaru, jak´ y je pˇredepsan´ y. Informace o tom, jak dan´ y pˇr´ıkaz pouˇz´ıt, jak specifikovat argumenty pˇr´ıkazu, které argumenty jsou povinné a které volitelné, nalezneme v nápovˇedˇe 177

systému Maple k pˇr´ısluˇsnému pˇr´ıkazu. Následuje pˇrehled chybov´ ych zpráv, které Maple pˇri ˇspatném zadán´ı argument˚ u vypisuje.

Obr´ azek 5.2: Ve vˇsech pˇr´ıpadech si Maple stˇeˇzuje na ˇspatn´ y vstup. Nejprve je pˇr´ıkazu sin zad´ an seznam, kdeˇzto Maple oˇcek´ av´ a algebraickou hodnotu. Argumentem pˇr´ıkazu Eigenvalues má b´ yt ˇctvercová matice (nikoli re´ alné ˇc´ıslo). Pˇr´ıkazu solve jsou v chybné variantˇe zadány dvˇe rovnice jako dva parametry, pˇr´ıkaz vˇsak oˇcek´ av´ a, ˇze v pˇr´ıpadˇe v´ıce rovnic budou tyto zadány v jediném parametru jako seznam (resp. mnoˇzina). Nakonec pˇr´ıkaz simplify neakceptuje nerovnosti jako dodateˇcná omezen´ı.

Obr´ azek 5.3: Pˇr´ıkaz roots oˇcek´ av´ a jako argument polynom nad ˇc´ıseln´ ym tˇelesem, coˇz sin(x) nen´ı. Pˇr´ıkaz convert vyˇzaduje uveden´ı jména promˇenné, pokud upravovan´ y v´ yraz obsahuje v´ıce neznám´ ych.

178

Obr´ azek 5.4: Chybné z´ apisy omezuj´ıc´ıch podm´ınek pro pˇr´ıkaz simplify spolu s jejich správn´ ymi variantami.

5.1.3

Nespr´ avn´ e pouˇ zit´ı z´ avorek

V systému Maple m˚ uˇzeme pouˇz´ıvat vˇsechny typy závorek, kaˇzd´ y typ má vˇsak jin´ y v´ yznam a tedy jiné pouˇzit´ı. Nav´ıc je tˇreba dávat pozor na poˇcet lev´ ych (otev´ıraj´ıc´ıch) a poˇcet prav´ ych (uzav´ıraj´ıc´ıch) závorek. Vˇzdy, kdyˇz se tyto poˇcty nerovnaj´ı, systém vyp´ıˇse chybovou zprávu Error, unable to match delimiters (obrázek 5.5).

Obr´ azek 5.5: Chyby v pouˇz´ıván´ı závorek.

5.1.4

Nespr´ avn´ e pˇ riˇ razen´ı

Systém Maple disponuje tzv. systémov´ ymi promˇenn´ ymi a pˇr´ıkazy. Jejich názvy jsou chránˇené, tj. do chránˇen´ ych promˇenn´ ych nen´ı moˇzné pˇriˇrazovat jin´ y typ hodnot, neˇz pro kter´ y jsou urˇceny, a názvy pˇr´ıkaz˚ u nen´ı moˇzné pouˇz´ıvat jinak neˇz jako pˇr´ıkazy s definovan´ ym pouˇzit´ım (tj. nen´ı moˇzné si napˇr. vytvoˇrit promˇennou se stejn´ ym názvem jako nˇekter´ y z pˇr´ıkaz˚ u). To, jestli je nˇejak´ y název chránˇen´ y ˇci nikoliv, je moˇzné zjistit pˇr´ıkazem type maj´ıc´ım dva argumenty: název (jméno), u nˇejˇz chceme zjistit, zda je chránˇen´ y, a argument protected (kter´ y uˇz se nenastavuje na ˇzádnou hodnotu) – viz obrázek 5.6. 179

Obr´ azek 5.6: Chyby v pˇriˇrazován´ı hodnot do promˇenn´ ych.

5.1.5

Dˇ elen´ı nulou

Kdyˇz se pˇri u ´pravˇe zadaného v´ yrazu (pˇr´ıkazu) dostane Maple do situace, kdy má dˇelit nulou, vyp´ıˇse zprávu Error, numeric exception: division by zero. Tato situace se m˚ uˇze pˇrihodit i u v´ yraz˚ u (pˇr´ıkaz˚ u), u nichˇz to neoˇcekáváme (napˇr. u funkce ln) – obrázek 5.7.

Obr´ azek 5.7: Vyhodnocen´ı v´ yrazu, v nˇemˇz se dˇel´ı nulou.

5.1.6

Nespr´ avn´ y z´ apis mocnin

Nˇekteré chybové zprávy pˇri práci s mocninami nab´ız´ı obrázek 5.8.

5.1.7

Nespr´ avn´ e pouˇ zit´ı objekt˚ u

V systému Maple m˚ uˇzeme narazit také na chybovou zprávu Error, illegal use of an object as a name. Ta se objev´ı vˇzdy, kdyˇz pouˇzijeme nˇejak´ y objekt, kter´ y nen´ı jménem, na m´ıstˇe, kde systém jméno oˇcekává. V´ yznam chyby bude nejlépe patrn´ y z obrázku 5.9.

5.1.8

Nespr´ avn´ e definice a pouˇ zit´ı funkc´ı

R˚ uzn´ ych chyb se m˚ uˇzeme dopustit i pˇri definici a pouˇzit´ı funkce (obrázek 5.10). 180

Obr´ azek 5.8: Nesprávn´ y zápis mocnin.

Obr´ azek 5.9: Nesprávné pouˇzit´ı objekt˚ u.

Obr´ azek 5.10: Nesprávné definice a pouˇzit´ı funkc´ı.

181

5.1.9

Chyby pˇ ri vykreslov´ an´ı

Následuj´ı chyby vyskytuj´ıc´ı se pˇri vykreslován´ı. Jako u kaˇzdého pˇr´ıkazu mus´ıme dbát na správnˇe uvedené argumenty i u pˇr´ıkaz˚ u pro vykreslován´ı funkc´ı a v´ yraz˚ u. Chyby uvedené na obrázku 5.11 jsou zp˚ usobeny pˇredevˇs´ım nesprávnˇe uveden´ ym rozsahem promˇenné x.

Obr´ azek 5.11: Chyby pˇri vykreslován´ı.

5.1.10

Dalˇ s´ı chybov´ e zpr´ avy

Závˇerem chybov´ ych zpráv ukaˇzme jeˇstˇe tˇri ˇcasté chybové zprávy, obrázek 5.12.

182

Obr´ azek 5.12: Dalˇs´ı chybové zprávy.

5.2

Varov´ an´ı (Warnings)

Kromˇe chybov´ ych zpráv vypisuje systém jeˇstˇe tzv. varován´ı. Varován´ı m˚ uˇze signalizovat naˇsi chybu (v zápisu pˇr´ıkazu), ale zpravidla informuje o d˚ uvodech, proˇc nem˚ uˇze systém zadan´ y pˇr´ıkaz vyhodnotit (nˇekdy jej pˇresto vyhodnot´ı). Pˇri v´ ypisu varován´ı s textem Warning, solutions may have been lost je nutné pˇreformulovat problém (zapsat pˇr´ıkaz jinak, nebot’ jej Maple nedokáˇze vyhodnotit). Ne vˇzdy je toto moˇzné. Zpravidla m˚ uˇzeme jinou formulac´ı problému dosáhnout alespoˇ n nˇejak´ ych zlepˇsen´ı“. ”

Obr´ azek 5.13: Varován´ı.

183

Obr´ azek 5.14: Varován´ı po spuˇstˇen´ı pˇr´ıkazu plot.

5.3

Ostatn´ı chyby

Podkapitola ukazuje nˇekolik ˇcast´ ych chyb, které vˇsak nevyvolávaj´ı chybové zprávy ani varován´ı.

5.3.1

Nenaˇ cten´ı bal´ıku (knihovny)

Obr´ azek 5.15: Pˇri nenaˇcten´ı potˇrebného bal´ıku (knihovny) se pˇr´ıkaz pouze pˇrep´ıˇse“ na následuj´ıc´ı ” ˇrádek.

5.3.2

Nespr´ avn´ e pouˇ z´ıv´ an´ı nˇ ekter´ ych symbol˚ u

Maple je tzv. case sensitive, tj. záleˇz´ı na velikosti p´ısmen. Nav´ıc napˇr. pro Eulerovo ˇc´ıslo je vyhrazen speciáln´ı symbol r˚ uzn´ y od p´ısmene e psaného na klávesnici poˇc´ıtaˇce.

184

Obr´ azek 5.16: Nesprávné pouˇz´ıván´ı nˇekter´ ych symbol˚ u.

185

6 N´ avody k ˇ reˇ sen´ı pˇ r´ıklad˚ u 6.1

´ Uvod do syst´ emu Maple

Pˇr´ıklad 1.2: Pro vloˇzen´ı zadaného v´ yrazu potˇrebujeme: sumaˇcn´ı symbol a symbol nekoneˇcna. Sumaˇcn´ı symbol nalezneme v paletˇe Expression, symbol nekoneˇcna v paletˇe Common Symbols. Zlomek m˚ uˇzeme bud’ vz´ıt také z palety Expression, nebo jej zap´ıˇseme ruˇcnˇe pomoc´ı lom´ıtka. Pˇr´ıklad 1.3: Potˇrebujeme vloˇzit zlomek a mocninu (resp. exponent). Oboj´ı najdeme v paletˇe Expression. M˚ uˇzeme také pouˇz´ıt lom´ıtko a stˇr´ıˇsku“. ” Pˇr´ıklad 1.4: Opˇet vyuˇzijeme jiˇz dˇr´ıve zm´ınˇen´ ych palet. Pozor vˇsak na vkládán´ı Eulerova ˇc´ısla. To je nutné vz´ıt z palety (resp. pouˇz´ıt pˇr´ıkaz exp). Zapsané p´ısmeno e z klávesnice Maple bere jako obyˇcejné“ p´ısmeno (promˇennou) e. ” Pˇr´ıklad 1.6: K zadán´ı v´ yrazu potˇrebujeme pˇr´ıkaz sqrt pro vloˇzen´ı odmocniny a pˇr´ıkaz exp pro vloˇzen´ı Eulerova ˇc´ısla. Pˇr´ıkaz má jeden parametr, kter´ ym je exponent Eulerova ˇc´ısla (tj. pro Eulerovo ˇc´ıslo samotné zadáváme exp(1)). Vloˇzit Eulerovo ˇc´ıslo je moˇzné téˇz zapsán´ım p´ısmene e, vyvolán´ım funkce automatického dokonˇcován´ı a zvolen´ım poloˇzky Exponential ’e’. Pˇr´ıklad 1.7: Nejrychlejˇs´ı zp˚ usob je zadat do dokumentu ?sum, pˇr´ıpadnˇe zadat sum, um´ıstit kurzor na pˇr´ıkaz a stisknout klávesu F2. Pˇr´ıklad 1.8: Je nˇekolik zp˚ usob˚ u, jak to zjistit. Zˇrejmˇe nejrychlejˇs´ı je vyhledávat v nápovˇedˇe kl´ıˇcová slova matrix a vector, pˇr´ıpadnˇe Linear Algebra. Pˇr´ıklad 1.10: Pozor na rozd´ıl mezi poˇctem platn´ ych cifer a poˇctem desetinn´ ych m´ıst. Pˇr´ıklad 1.11: Kdyˇz zap´ıˇs´ıme nˇejaké ˇc´ıslo s desetinnou teˇckou, Maple jej automaticky bude brát jako ˇc´ıslo v pohyblivé ˇra´dové ˇca´rce a v´ ypoˇcty s n´ım bude zaokrouhlovat na poˇcet platn´ ych m´ıst specifikovan´ y promˇennou Digits. Pˇr´ıklad 1.13: Pouˇzijeme pˇr´ıkaz isolve. Pˇr´ıklad 1.14: Pouˇzijeme pˇr´ıkaz isolve. Systém Maple vyp´ıˇse ˇreˇsen´ı s pouˇzit´ım konstant, které jsou pˇrirozen´ ymi ˇc´ısly (bez nuly). Správnˇe vˇsak maj´ı b´ yt pouˇzity nezáporné celoˇc´ıselné konstanty. ˇ s´ıme jako soustavu nerovnic pˇr´ıkazem solve. Pˇr´ıklad 1.16: Reˇ

186

Pˇr´ıklad 1.17: Pouˇzijeme pˇr´ıkaz solve. Pro a = 0 bychom dostali lineárn´ı polynom. ˇ s´ıme opˇet pˇr´ıkazem solve. Pozor, daná rovnice má nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı. Pˇr´ıklad 1.18: Reˇ ˇ s´ıme jako soustavu rovnic pˇr´ıkazem solve. Pˇr´ıklad 1.19: Reˇ

6.2

Matematick´ a anal´ yza s Maple v R

Pˇr´ıklad 2.3: Pouˇzijeme zaveden´ı pˇredpokladu: assuming. Pˇr´ıklad 2.4: Pouˇzijeme pˇr´ıkaz simplify. Pˇr´ıklad 2.5: Pouˇzijeme pˇr´ıkaz simplify. Pˇr´ıklad 2.6: Pouˇzijeme pˇr´ıkaz factor. Pˇr´ıklad 2.7: Pouˇzijeme pˇr´ıkaz simplify. Pˇr´ıklad 2.8: Vyuˇzijeme pˇr´ıkaz˚ u simplify, factor a convert. Pˇr´ıklad 2.12: Pro vˇsechna x ∈ R plat´ı: sin(x) ∈ [−1, 1]. 1 1 a f (−x) = x2 +5·x+6 . Z toho máme: f (x) 6= f (−x), Pˇr´ıklad 2.13: Plat´ı: f (x) = x2 −5·x+6 f (x) 6= −f (−x) a tedy funkce nen´ı sudá, ani lichá. D(f ) = R \ {2, 3}, H(f ) = R \ (−4, 0]. Obor hodnot urˇc´ıme z toho, ˇze polynom x2 − 5 · x + 6 nab´ yvá vˇsech kladn´ ych hodnot (a proto mus´ı i funkce f (x)). Zm´ınˇen´ y polynom nab´ yvá téˇz záporn´ ych hodnot, a to na intervalu (2, 3), pˇriˇcemˇz tu nejmenˇs´ı pˇresnˇe uprostˇred intervalu, tj. v bodˇe x = 52 . Funkce f (x) v tomto bodˇe naopak nab´ yvá své nejvyˇsˇs´ı hodnoty na intervalu (2, 3), a to hodnoty −4. Z pˇredeˇslého plyne, ˇze funkce nen´ı ohraniˇcená.

Pˇr´ıklad 2.14: (a) f (x) = 9 − x2 , f (−x) = 9 − x2 = f (x) ⇒ sudá funkce, √ √ (b) f (x) = x, f (−x) = −x ⇒ ani sudá, ani lichá, (c) f (x) = x1 , f (−x) =

−1 x

= −f (x) ⇒ lichá funkce.

Pˇr´ıklad 2.15: (a) f (x) = 2 · x, kde x ∈ (0, 1), (b) f (x) =

1 , x−1

(c) f (x) =

1 x

  x − 2 ... x ≤ 0 (f) f (x) = 2 ... 0 < x ≤ 1 ,   x + 1 ... x ≥ 1

+ 1,

(d) f (x) = ex , ( x + 2 ... x ≤ −2 (e) f (x) = , x − 2 ... x ≥ 2

(g) f (x) = arctan(x), ( ln(−x) ... x < 0 (h) f (x) = . ln(x) ... x > 0 187

Pˇr´ıklad 2.16: f (x) = x3 − k · x2 + 2 · x, f (−x) = −(x3 + k · x2 + 2 · x). Z toho dostáváme: k = −k = 0. Pˇr´ıklad 2.17: (a) Pro a 6= 0 se jedná o bijekci. (b) Ano, je to bijekce. (c) Nejedná se o bijekci, funkce nen´ı prostá. (d) Ano, je to bijekce. (e) Ano, je to bijekce. Pˇr´ıklad 2.19: (a) f −1 (x) =

1 2

(c) f −1 (x) =

x−1 , x+1

· (x − 1), √ (b) f −1 (x) = 3 x,

(d) f −1 (x) = (1 − x)2 ... x ≥ 0, (e) f −1 (x) = x1 , (f) zadaná funkce nen´ı prostá (a nemá tak inverzi). Pˇr´ıklad 2.20: Kaˇzdá funkce osovˇe symetrická vzhledem k pˇr´ımce y = x je sama sobˇe inverz´ı. To znamená, ˇze jich je dokonce nekoneˇcnˇe mnoho. Pˇr´ıklad 2.22: g −1 (x) = 21 · ln(x). Legendu m˚ uˇzeme do grafu pˇridat nastaven´ım parametru legend pˇr´ıkazu plot nebo kliknut´ım na graf a v´ ybˇerem z kontextové nab´ıdky. Pˇr´ıklad 2.23: Pouˇzijeme pˇr´ıkaz animate. Funkce h(x) je klesaj´ıc´ı pro a < 0, rostouc´ı pro a > 0 a konstantn´ı pro a = 0. Pˇr´ıklad 2.25: Vycház´ıme z definice 2.8, pouze se nyn´ı pˇribliˇzujeme k bodu x0 zprava, tj. uvaˇzujeme interval (x0 , x0 + δ). Pˇr´ıklad 2.26: Vyjdeme z definic 2.9 a 2.10. Uvaˇzujeme bod ∞ (resp. −∞) a chceme popsat stav, kdy pro libovolnˇe vysokou“ (resp. n´ızkou“) hodnotu M existuje hranice, nad n´ıˇz ” ” (resp. pod n´ıˇz) pro vˇsechna x plat´ı, ˇze funkˇcn´ı hodnota f (x) je vˇetˇs´ı (resp. menˇs´ı) neˇz ona p˚ uvodnˇe (libovolnˇe) zvolená hodnota M . Pˇr´ıklad 2.27: Maple zvládne urˇcit vˇsechny limity. Postupujeme tedy klasicky vyuˇzit´ım symbolu pro poˇc´ıtán´ı limit z palety, kontextové nab´ıdky nebo pˇr´ıkazu limit. Pˇr´ıklad 2.28: (a) Zavedeme substituci y = x3 . 188

(b) Vyuˇzijeme vzorce cos(x) = cos( x2 )2 − sin( x2 )2 . √ (c) Rozˇs´ıˇr´ıme v´ yrazem x2 + 5 + 3. (d) Rozˇs´ıˇr´ıme v´ yrazem

1 x

√ a uvˇedom´ıme si, ˇze pro x → −∞ je x = − x2 .

(e) Zadan´ y zlomek rozloˇz´ıme na souˇcet dvou zlomk˚ u a zavedeme substituci u = −x. Dalˇs´ımi drobn´ ymi u ´pravami um´ıme rozhodnout, kam se kter´ y v´ yraz (zlomek) limitnˇe bl´ıˇz´ı pro u → ∞. (f) Vyuˇzijeme vzorce sin(2 · t) = 2 · sin(t) · cos(t) a platnosti lim

x→0

sin(x) x

= 1.

Pˇr´ıklad 2.29: (a) Staˇc´ı dát pˇr´ıklad takˇrka jakékoli rozumné“ funkce definované na nˇejakém neprázdném ” intervalu – viz definice 2.7. (b) Vycház´ıme z 2.10. Je tˇreba dát pˇr´ıklad funkce f (x), jej´ıˇz hodnoty se bl´ıˇz´ı nˇejakému koneˇcnému ˇc´ıslu pro x → ∞ (resp. x → −∞). Mohla by nˇeco takového splˇ novat nˇejaká polynomiáln´ı, mocninná, exponenciáln´ı, ˇci goniometrická funkce? (c) Takˇrka opaˇcn´ y“ pˇr´ıpad k pˇredeˇslému. Hledáme funkci f (x), která pro nˇejaké koneˇcnˇe ” velké x roste nade vˇsechny meze“ (resp. klesá pod vˇsechny meze“). Mohla by nˇeco ” ” takového splˇ novat nˇejaká polynomiáln´ı, mocninná, exponenciáln´ı, ˇci goniometrická funkce? (d) Nyn´ı chceme naj´ıt funkci f (x), jej´ıˇz hodnoty se bl´ıˇz´ı ∞ (resp. −∞) pro x → ∞ (resp. x → −∞). Opˇet je na m´ıstˇe stejná otázka: splˇ nuje toto nˇejaká polynomiáln´ı, mocninná, exponenciáln´ı, ˇci goniometrická funkce? (e) Mus´ıme spojit vˇsechny pˇredeˇslé body. Na bod (a) m˚ uˇzeme zapomenout. Pokud spln´ıme vˇsechny ostatn´ı, bude splnˇena i tato podm´ınka. Jedno moˇzné ˇreˇsen´ı je naj´ıt funkci splˇ nuj´ıc´ı (b) a (d) – takovou funkci jste jiˇz moˇzná dokonce naˇsli – a zkombinovat ji (tj. napˇr. vynásobit) s funkc´ı splˇ nuj´ıc´ı bod (c). Pˇr´ıklad 2.31: (a) Mus´ıme se obej´ıt bez systému Maple, jelikoˇz pˇr´ıkaz discont neum´ı hledat nespojitosti u funkc´ı definovan´ ych po ˇca´stech. Podezˇrelé body z nepojitosti jsou body 1 a 2. Mus´ıme ovˇeˇrit, zda v nich existuje limita a zda je rovna pˇr´ısluˇsné funkˇcn´ı hodnotˇe. (b) V tomto pˇr´ıpadˇe pˇr´ıkaz discont pracuje bezchybnˇe. (c) Opˇet se mus´ıme obej´ıt bez systému Maple. Postupujeme analogicky k ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 2.30. Pˇr´ıklad 2.32: Postupujeme analogicky k ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 2.30. Hledán´ı ˇc´ısel c a d vede na soustavu dvou rovnic. Pˇr´ıklad 2.33: Jsou dvˇe hlavn´ı moˇznosti, jak postupovat. Bud’ vz´ıt známou funkci, která nen´ı spojitá, ale v´ıme, ˇze má limitu v kaˇzdém bodˇe (na daném intervalu), nebo vz´ıt funkci spojitou (ta má limitu v kaˇzdém bodˇe) a nespojitost vytvoˇrit“, aniˇz bychom poruˇsili existenci limity. ” 189

Pˇr´ıklad 2.34: Systém Maple zvládne urˇcit vˇsechny derivace. Ke správné odpovˇedi je nutné porozumˇet v´ ypisu systému v pˇr´ıpadˇe (b). Symbol D tu znaˇc´ı diferenciáln´ı operátor. Pˇr´ıklad 2.35: Je tˇreba naj´ıt spojitou funkci f (x), pro niˇz by v nˇejakém bodˇe x0 neexistovala (x0 ) limita z definice 2.14: lim f (x)−f . K tomu, aby tato limita neexistovala, staˇc´ı, aby se x−x0 x→x0

nerovnaly limity zleva a zprava, tedy aby platilo: lim− x→x0

f (x)−f (x0 ) x−x0

6=

lim

x→x0 +

f (x)−f (x0 ) . x−x0

Jak

mus´ı vypadat funkce splˇ nuj´ıc´ı pˇredchoz´ı nerovnost? Kdyˇz najdeme právˇe popsanou funkci, je jiˇz jednoduché napˇr. definován´ım po ˇca´stech vytvoˇrit funkci, která bude m´ıt na daném intervalu libovoln´ y poˇcet (a tedy i napˇr. rovn´ y dvˇema) bod˚ u, v nichˇz bude funkce spojitá, ale nebude v nich m´ıt derivaci. Pˇr´ıklad 2.36: Z poznámky 2.4 v´ıme, ˇze smˇernice teˇcny je rovna derivaci funkce v pˇr´ısluˇsném bodˇe. V rovnici teˇcny tak zb´ yvá urˇcit pouze konstantn´ı ˇclen, jehoˇz hodnotu zjist´ıme z toho, ˇze teˇcna má s funkc´ı jeden spoleˇcn´ y bod. Pˇr´ıklad 2.37: Jelikoˇz má b´ yt teˇcna rovnobˇeˇzná s nˇejakou pˇr´ımkou, mus´ı m´ıt stejnou smˇernici. Tedy pokud y = k·x+q je rovnic´ı teˇcny k funkci f (x) v bodˇe x0 , pak mus´ı platit k = f 0 (x0 ) = 12 (nebot’ 12 je smˇernice rovnobˇeˇzné pˇr´ımky). Jelikoˇz f 0 (x0 ) = 3 · x0 2 , dostáváme dva r˚ uzné body x0 a tedy dvˇe teˇcny. ˇ s´ıme obdobnˇe jako pˇredchoz´ı pˇr´ıklad. Smˇernice zadané pˇr´ımky je rovna − 1 . Pˇr´ıklad 2.38: Reˇ 3 My potˇrebujeme nyn´ı smˇernici kolmice. K tomu vyuˇzijeme lineárn´ı algebry, odkud v´ıme, ˇze dva vektory jsou na sebe kolmé, jestliˇze je jejich skalárn´ı souˇcin roven 0. Máme-li pˇr´ımky y = k · x a y = l · x, pak tyto jsou na sebe kolmé, jestliˇze 1 + k · l = 0. Z toho dostáváme, ˇze smˇernice hledané kolmice je rovna 3, coˇz je tedy smˇernice teˇcny. Tedy pokud y = k · x + q je rovnic´ı teˇcny k funkci f (x) v bodˇe x0 , pak mus´ı platit k = f 0 (x0 ) = 3. Jelikoˇz f 0 (x0 ) = 3·x0 2 , dostáváme opˇet dva r˚ uzné body x0 a tedy dvˇe teˇcny. Pˇr´ıklad 2.40: f (x) = Pˇr´ıklad 2.41: f (x) =

√

x, x0 = 49, h = 2.

√ 3

x, x0 = 125, h = −2.

Pˇr´ıklad 2.42: f (x) = x4 , x0 = 3, h = −0.05. Pˇr´ıklad 2.43: Pouˇzijeme pˇr´ıkaz taylor pro bod x = 0 a z´ıskan´ y v´ ysledek pˇrevedeme na polynom pˇr´ıkazem convert. Pˇr´ıklad 2.44: Pouˇzijeme pˇr´ıkaz taylor pro bod x = 1. Promˇennou Order nastav´ıme na hodnotu 5 a z´ıskan´ y v´ ysledek pˇrevedeme na polynom pˇr´ıkazem convert. Pˇr´ıklad 2.45: Pouˇzijeme pˇr´ıkaz taylor pro bod x = 2. Pˇr´ıklad 2.47: Postupujeme analogicky k pˇr´ıkladu 2.46. (a) Uvaˇzujeme funkci ex , kterou rozvineme do Taylorova polynomu v bodˇe x0 = 0, a hledáme aproximaci v bodˇe x = −1. Stejn´ ym postupem jako v pˇr´ıkladu 2.46 dospˇejeme k tomu, ˇze je pro poˇzadovanou pˇresnost potˇreba nastavit promˇennou Order na hodnotu 7. 190

√ (b) Uvaˇzujeme funkci 5 x, kterou rozvineme do Taylorova polynomu v bodˇe x0 = 243, a hledáme aproximaci v bodˇe x = 250. Nyn´ı mus´ıme k odhadu velikosti Taylorova zbytku pouˇz´ıt poznámku 2.7, nebot’ x0 6= 0. Tvar zbytku je pak nejjednoduˇsˇs´ı vyhodnocovat postupnˇe pro n = 1, 2, ..., nebot’ Maple neum´ı vyˇreˇsit pˇr´ısluˇsnou nerovnici. Dostateˇcné n v tomto pˇr´ıpadˇe: n = 2. Pˇr´ıklad 2.50: (a) Funkce f má tˇri stacionárn´ı body, z nichˇz jedin´ y je lokáln´ı extrém, dalˇs´ı dva jsou body inflexn´ı. Funkce nemá ˇzádnou asymptotu. (b) Funkce f má dva stacionárn´ı body, oba jsou lokáln´ımi extrémy. Funkce má dále tˇri inflexn´ı body. Funkce nen´ı definována ve dvou bodech, v nichˇz má asymptoty bez smˇernice. Asymptoty se smˇernic´ı neexistuj´ı. Aby Maple tento pˇr´ıklad správnˇe vyˇreˇsil, je potˇreba naˇc´ıst bal´ık RealDomain. (c) Funkce má dva stacionárn´ı body, z nichˇz jeden je lokáln´ı extrém, druh´ y je inflexn´ım bodem. Funkce nen´ı definována v jediném bodˇe, v nˇemˇz má asymptotu bez smˇernice. Funkce má také asymptotu se smˇernic´ı. (d) Funkce má nekoneˇcnˇe mnoho stacionárn´ıch bod˚ u (na zjiˇstˇen´ı tohoto v Maple je tˇreba pouˇz´ıt atribut allsolutions), vˇsechny jsou vˇsak inflexn´ımi body. Funkce má i dalˇs´ı inflexn´ı body (vˇzdy uprostˇred intervalu tvoˇreného stacionárn´ımi body). Funkce nemá asymptotu bez smˇernice ani asymptotu se smˇernic´ı. Opˇet pozor na v´ ypoˇcet systému Maple – pˇri poˇc´ıtán´ı limit v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech vypisuje interval jako hodnotu limity (limita vˇsak neexistuje). (e) Zásadn´ı otázka v tomto pˇr´ıkladu je, zda je funkce f (x) spojitá v bodˇe 0. Funkce má tˇri stacionárn´ı body a vˇsechny jsou jej´ımi lokáln´ımi extrémy. Funkce má dále dva inflexn´ı body a ˇzádnou asymptotu (bez smˇernice ˇci se smˇernic´ı). Pˇr´ıklad 2.54: (a) Staˇc´ı rozloˇzit na dva zlomky a urˇcit pˇr´ımo ze znalosti tabulkov´ ych“ integrál˚ u. ” (b) V´ yraz pod odmocninou je moˇzné upravit tak, aby se dala odmocnina odstranit (aplikovat). Poté uˇz se v´ ysledek urˇc´ı podobnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe. (c) Po roznásoben´ı je moˇzné integrovat kaˇzd´ y ˇclen zvláˇst’. (d) Rozklad na parciáln´ı zlomky. (e) Opˇet rozklad na parciáln´ı zlomky. V tomto pˇr´ıpadˇe je vˇsak v´ yraznˇe pracnˇejˇs´ı neˇz ’ pˇredchoz´ı, nebot jeden ze z´ıskan´ ych parciáln´ıch zlomk˚ u je tˇreba dále upravit (rozloˇzit), abychom integrac´ı z´ıskali pˇrirozen´ y logaritmus. T´ım se nám vˇsak objev´ı dalˇs´ı zlomek, u nˇejˇz je tˇreba rozpoznat, ˇze pˇripom´ıná derivaci funkce arkus tangens (arctan), jen je potˇreba zlomek opˇet upravit do vhodného tvaru. (f) Zavedeme substituci t = 5 · x + 6. (g) Zavedeme substituci t = ln(x). (h) Zavedeme substituci t = x2 + 1. 191

ˇ s´ıme metodou per partes, pˇriˇcemˇz funkce, kterou budeme cht´ıt derivovat, bude (i) Reˇ R funkce x. Maple pˇri pouˇzit´ı pˇr´ıkazu Parts vyuˇzije znalosti cos2 (x) dx = 21 · cos(x) · sin(x) + 12 · x, k ˇcemuˇz dospˇejeme uˇzit´ım vztahu cos2 (x) = 1+cos(2·x) . Integrál z´ıskan´ y 2 metodou per partes je tˇreba rozloˇzit a na jeden z nich pouˇz´ıt substituˇcn´ı metodu. ˇ s´ıme metodou per partes. Funkc´ı, kterou budeme derivovat, je funkce ln(x). (j) Reˇ ˇ s´ıme opˇet metodou per partes. Funkci arctan(x) si zap´ıˇseme jako arctan(x)·1 a právˇe (k) Reˇ samotná funkce arctan(x) bude ta, kterou budeme derivovat. ˇ s´ıme nejprve substituˇcn´ı metodou poloˇzen´ım t = x2 . Následnˇe pouˇzijeme metodu (l) Reˇ per partes, pˇriˇcemˇz funkce, kterou budeme derivovat, bude funkce x. Pˇr´ıklad 2.55: Ve vˇsech pˇr´ıpadech vyuˇz´ıváme Newton-Leibnizovy formule. ˇ s´ıme metodou per partes. (a) Reˇ (b) Zavedeme substituci x = t2 . (c) Zavedeme substituci cos(x) = t. (d) Zavedeme substituci ex = t. ˇ s´ıme metodou per partes. (e) Reˇ (f) Zavedeme nejprve substituci t = ex a následnˇe u2 = t − 1. Pˇr´ıklad 2.58: ˇ s´ıme naprosto analogicky s pˇr´ıkladem 2.56. V´ (a) Reˇ ysledek je: S =

√ 16· 2 . 3

Obr´ azek 6.1: Zobrazen´ı plochy z pˇr´ıkladu 2.58.(a) vlevo, zobrazen´ı plochy z pˇr´ıkladu 2.58.(b) vpravo.

192

(b) Obsah zadané plochy je tˇreba poˇc´ıtat na dvakrát“. Nejprve se spoˇc´ıtá obsah plochy ” mezi kˇrivkami y = −x a y = 1 na intervalu [−1, 0], následnˇe obsah plochy mezi kˇrivkami y = x3 a y = 1 na intervalu [−1, 0]. V´ ysledek je: S = 45 . (c) Staˇc´ı si uvˇedomit, mezi kter´ ymi ˇcástmi kˇrivek leˇz´ı zadaná plocha. V´ ysledek je: S = 13 .

Obr´ azek 6.2: Zobrazen´ı plochy z pˇr´ıkladu 2.58.(c) vlevo, zobrazen´ı plochy z pˇr´ıkladu 2.58.(d) vpravo.

Obr´ azek 6.3: Zobrazen´ı plochy z pˇr´ıkladu 2.58.(e).

ˇ s´ıme rovnou podle poznamky 2.23. V´ (d) Reˇ ysledek je: S = 193

ln(2) . 2

ˇ s´ıme opˇet rozdˇelen´ım na dva urˇcité integrály. V´ (e) Reˇ ysledek je: S = 4 · ln(2) − 2. Pˇr´ıklad 2.59: (a) Pomoc´ı derivace mus´ıme urˇcit rovnici teˇcny. Dále uˇz ˇreˇs´ıme analogicky k pˇredchoz´ım pˇr´ıklad˚ um. V´ ysledek je: S = 23 . 8


(b) Opˇet mus´ıme urˇcit rovnici teˇcny a také jej´ı pr˚ useˇc´ık s funkc´ı y = x3 . V´ ysledek je: 27 S= 4. (c) Nyn´ı je tˇreba urˇcit rovnice dvou teˇcen a jejich pr˚ useˇc´ık. V´ ysledek je: S = 94 . Pˇr´ıklad 2.60: Ve vˇsech pˇr´ıpadech vyuˇzijeme poznámky 2.24: (a) V´ ysledek je: S =

√ 72· 3 . 5

(b) V´ ysledek je: S = 12 · π. (c) V´ ysledek je: S =

27·π . 16

Pˇr´ıklad 2.61: Je tˇreba odvodit√rovnici kruˇznice. Máme dvˇe moˇznosti – bud’ popsat horn´ ı“ po”√ 2 2 2 lovinu kruˇznice vztahem y = r − x a spodn´ı“ polovinu kruˇznice vztahem y = − r − x2 , ” nebo kruˇznici popsat parametricky pˇredpisem x = r·sin(t), y = r·cos(t), t ∈ [0, 2·π]. Následnˇe vyuˇzijeme odpov´ıdaj´ıc´ıho urˇcitého integrálu. Pˇri pouˇzit´ı prvn´ıho postupu je v Maple nutné pˇridat pˇri v´ ypoˇctu integrálu pˇredpoklad, ˇze r je nezáporné (reálné) ˇc´ıslo, abychom dospˇeli k poˇzadovanému v´ ysledku.

194

Obr´ azek 6.5: Zobrazen´ı plochy z pˇr´ıkladu 2.59.(c).


195

Obr´ azek 6.7: Zobrazen´ı plochy z pˇr´ıkladu 2.60.(c).

Pˇr´ıklad 2.64: Ve vˇsech pˇr´ıpadech vyuˇzijeme poznámky 2.25. (a) l =

√ 26· 13 27

(b) l =

√ e−1 · 2·e2 +e4 +1·(e2 −1) e2 +1

−

16 27

. = 2.35

(c) Systém Maple vyjádˇr´ı ˇreˇsen´ı za pomoci eliptického integrálu. Informace k tomuto v´ ysledku m˚ uˇzeme nalézt v nápovˇedˇe. Pˇr´ıkazem evalf z´ıskáme pˇribliˇzné numerické ˇreˇsen´ı. q √ √ R1 1− x22 √ . 2 l = 2 · 2 · EllipticE( 2 ) = 2 · 2 · √1−x2 dx = 3.82 0

(d) l = 2 ·

√

√

2 · EllipticE(

2 ) 2

=2·

√

2·

R1 0

q

2

1− x2 √ 1−x2

. dx = 3.82

Pˇr´ıklad 2.65: Ve vˇsech pˇr´ıpadech vyuˇzijeme poznámky 2.26. √ (a) l = 2 · 3 (b) l = 2 · π 2 (c) l = 2 · π ·

√

1 + 16 · π 2 − 12 · ln −4 · π +

√

1 + 16 · π 2

ˇ s´ıme analogicky jako v pˇr´ıkladu 2.61, jen m´ısto obsahu kruhu poˇc´ıtáme Pˇr´ıklad 2.66: Reˇ obvod kruˇznice. Pˇr´ıklad 2.69: Ve vˇsech pˇr´ıpadech vyuˇzijeme poznámky 2.27: (a) V´ ysledek: V =

3·π . 10

(b) V´ ysledek: V =

π2 . 2

(c) V´ ysledek: V =

8·π . 3

(d) V´ ysledek: V =

8·π . 3

196

Obr´ azek 6.8: Zobrazen´ı zadané plochy a z´ıskaného rotaˇcn´ıho tˇelesa z pˇr´ıkladu 2.69.(a).

Obr´ azek 6.9: Zobrazen´ı zadané plochy a z´ıskaného rotaˇcn´ıho tˇelesa z pˇr´ıkladu 2.69.(b).

197

Obr´ azek 6.10: Zobrazen´ı zadané plochy a z´ıskaného rotaˇcn´ıho tˇelesa z pˇr´ıkladu 2.69.(c).

Obr´ azek 6.11: Zobrazen´ı zadané plochy a z´ıskaného rotaˇcn´ıho tˇelesa z pˇr´ıkladu 2.69.(d).

198

Pˇr´ıklad 2.70: Ve vˇsech pˇr´ıpadech vyuˇzijeme poznámky 2.28: (a) V´ ysledek: V =

3·π . 4

Obr´ azek 6.12: Zobrazen´ı zadané plochy a z´ıskaného rotaˇcn´ıho tˇelesa z pˇr´ıkladu 2.70.(a).

(b) V´ ysledek: V =

288·π . 35

Obr´ azek 6.13: Zobrazen´ı zadané plochy a z´ıskaného rotaˇcn´ıho tˇelesa z pˇr´ıkladu 2.70.(b).

(c) V´ ysledek: V = 3 · π. (d) V´ ysledek: V = 4 · π 2 . 199

Obr´ azek 6.14: Zobrazen´ı zadané plochy a z´ıskaného rotaˇcn´ıho tˇelesa z pˇr´ıkladu 2.70.(c).

Obr´ azek 6.15: Zobrazen´ı zadané plochy a z´ıskaného rotaˇcn´ıho tˇelesa z pˇr´ıkladu 2.70.(d).

Pˇr´ıklad 2.71: Koule vznikne napˇr´ıklad rotac´ı horn´ı“ poloviny kruhu kolem osy x. Je tedy ” potˇreba odvodit rovnici kruˇznice o polomˇeru r a jej´ı horn´ı“ polovinu pouˇz´ıt pro dosazen´ı ” do vztahu pro v´ ypoˇcet objemu. Pˇr´ıklad 2.72: Válec o polomˇeru podstavy r a v´ yˇsce válce v vznikne rotac´ı (kolem osy x) obdéln´ıka tvoˇreného stranou o délce v na ose x, kolmicemi v krajn´ıch bodech o délkách r a zbylou stranou o délce v (spojuj´ıc´ı kolmice na druhé stranˇe“). ” Pˇr´ıklad 2.73: Kuˇzel vznikne rotac´ı troj´ uheln´ıka kolem osy x. Troj´ uheln´ık je tvoˇren u ´seˇckou na ose x odpov´ıdaj´ıc´ı v´ yˇsce kuˇzele a kolmic´ı na jednom konci u ´seˇcky o délce rovné polomˇeru kuˇzele. Lineárn´ı funkce pak spoj´ı zb´ yvaj´ıc´ı konce“ u ´seˇcky a kolmice (pˇri vhodném ” 200

rozm´ıstˇen´ı“ m˚ uˇze b´ yt lineárn´ı funkc´ı funkce y = ”

r v

· x).

Pˇr´ıklad 2.76: Ve vˇsech pˇr´ıpadech vyuˇzijeme poznámky 2.30. Obsah pláˇstˇe zpravidla poˇc´ıtáme rozdˇelen´ım na ˇca´sti pláˇstˇe z´ıskané rotacemi jednotliv´ ych funkc´ı na odpov´ıdaj´ıc´ıch intervalech. √ √ . 1 · π · 134 · 5 − 3 · ln 5 + 2 − 16 = 9.14 . (a) S = 96 √ . √ 2 + ln 1 + 2 = 14.42. (b) S = 2 · π · √ √ √ √ . (c) S = π · 17 + 2 · ln (2) − ln 1 + 17 + 2 · 2 + ln 1 + 2 + 6 = 42.68. √ . (d) S = 4 · π · 2 + 2 = 42.90. Pˇr´ıklad 2.77: Ve vˇsech pˇr´ıpadech vyuˇzijeme poznámky 2.31: (a) S = 3 · π. (b) S =

108·π . 5

(c) S = π · 2 ·

√ √ . 5 + ln 5 + 2 = 18.58.

(d) S = 8 · π 2 . ˇ s´ıme zcela analogicky k pˇr´ıkladu 2.71. Pˇr´ıklad 2.78: Reˇ ˇ s´ıme analogicky k pˇr´ıkladu 2.72. Pozor na to, ˇze v zadán´ı se poˇzaduje povrch Pˇr´ıklad 2.79: Reˇ celého válce, tj. mus´ıme urˇcit povrch pláˇstˇe i podstavy válce. Pˇr´ıklad 2.81: Postupujeme stejn´ ym zp˚ usobem jako v pˇr´ıkladu 2.80. Tentokrát je funkce R1 nespojitá v bodˇe 0, a mus´ıme tak urˇcit lim+ x · ln(x) dx. t→0

t

Pˇr´ıklad 2.83: (a) Integrál diverguje: lim (2 · x→∞

(b)

R∞ −∞

1 1+x2

√

x) = ∞.

dx = lim arctan(x) + lim arctan(x). x→−∞

x→∞

(c) Maple ve v´ yledku zobraz´ı Fresnel˚ uv integrál definovan´ y jako Zx F resnelS (x) =

sin

1 · π · t2 2

dt,

0

nebot’ neum´ı zapsat ˇreˇsen´ı analyticky pomoc´ı standardn´ıch funkc´ı. Pˇr´ıkazem evalf zjist´ıme, ˇze pˇr´ısluˇsn´ y integrál konverguje. (d) Integrál diverguje: lim ln(x) = ∞. x→∞

201

6.3

Matematick´ a anal´ yza s Maple v Rn

Pˇr´ıklad 3.4: Nakreslené oblasti jsou zobrazeny na obrázc´ıch 6.16 – 6.18 (a),(b)

Obr´ azek 6.16: Zobrazen´ı zadané oblasti z pˇr´ıkladu 3.4.(a) vlevo, zobrazen´ı zadané oblasti z pˇr´ıkladu 3.4.(b) vpravo.

(c), (d)

Obr´ azek 6.17: Zobrazen´ı zadané oblasti z pˇr´ıkladu 3.4.(c) vlevo, zobrazen´ı zadané oblasti z pˇr´ıkladu 3.4.(d) vpravo.

202

(e)

Obr´ azek 6.18: Zobrazen´ı zadané oblasti z pˇr´ıkladu 3.4.(e).

Pˇr´ıklad 3.6: Pˇr´ısluˇsné definiˇcn´ı obory jsou zobrazeny na obrázc´ıch 6.19 – 6.21 (a), (b) V´ yraz pod odmocninou mus´ı b´ yt nezáporn´ y.

Obr´ azek 6.19: Zobrazen´ı definiˇcn´ıho oboru funkce z pˇr´ıkladu 3.6.(a) vlevo, zobrazen´ı definiˇcn´ıho oboru funkce z pˇr´ıkladu 3.6.(b) vpravo.

(c), (d) Argument funkce ln mus´ı b´ yt kladn´ y. Argument funkce arccos mus´ı nab´ yvat hodnot z intervalu [−1, 1]. Systém Maple má s vykreslen´ım pˇr´ısluˇsné mnoˇziny pˇr´ıpadu (d) problémy“. Pˇri vyˇsˇs´ıch hodnotách parametr˚ u gridrefine a crossingrefine je ” v´ ysledek akceptovateln´ y. (e), (f) V´ yrazy pod odmocninami mus´ı b´ yt nezáporné. D´ıky jejich tvaru je pro nˇe moˇzné vytvoˇrit jedinou nerovnost a zb´ yvaj´ıc´ı ˇca´st podm´ınky schovat“ do rozsahu promˇenn´ ych, ” abychom mohli pouˇz´ıt pˇr´ıkaz implicitplot. Argument funkce ln mus´ı b´ yt kladn´ y, tzn. x > 0 ∧ y − x > 0 pro pˇr´ıpad (f). 203

Obr´ azek 6.20: Zobrazen´ı definiˇcn´ıho oboru funkce z pˇr´ıkladu 3.6.(c) vlevo, zobrazen´ı definiˇcn´ıho oboru funkce z pˇr´ıkladu 3.6.(d) vpravo.

Obr´ azek 6.21: Zobrazen´ı definiˇcn´ıho oboru funkce z pˇr´ıkladu 3.6.(e).

Pˇr´ıklad 3.7: (a) Pro nˇekteré hodnoty parametru contours Maple nezobraz´ı vrstevnice y = −x a y = x. (b) Pro rovnomˇerné rozloˇzen´ı vrstevnic na zadané oblasti je vhodné specifikovat parametr contours seznamem funkˇcn´ıch hodnot. (c) Zadaná funkce je nespojitá pro y = 0, s ˇc´ımˇz si Maple neum´ı poradit“ a vykresluje ” v tomto m´ıstˇe svislou plochu. Pˇr´ıkaz plot3d nemá k dispozici parametr discont, coˇz se obcház´ı vytvoˇren´ım dvou graf˚ u tak, abychom se nespojitosti vyhnuli“ – vykresl´ıme ” funkci nalevo od m´ısta nespojitosti a napravo, grafy pak spoj´ıme v jeden pˇr´ıkazem display.

204

Obr´ azek 6.22: Zobrazen´ı vrstevnic funkce z pˇr´ıkladu 3.7.(a).

Obr´ azek 6.23: Zobrazen´ı vrstevnic funkce z pˇr´ıkladu 3.7.(b).

205

Obr´ azek 6.24: Zobrazen´ı vrstevnic funkce z pˇr´ıkladu 3.7.(c).

(d)

Obr´ azek 6.25: Zobrazen´ı vrstevnic funkce z pˇr´ıkladu 3.7.(d).

Pˇr´ıklad 3.10: Poloˇz´ıme δ = min{ε, 1}. Následnˇe mus´ıme ukázat, ˇze pro libovolná x, y splˇ nuj´ıc´ı |x| < δ, |y| < δ, [x, y] 6= [0, 0] plat´ı: x2 · y 2 < ε. x2 + y 2 Jelikoˇz x, y splˇ nuje [x, y] 6= [0, 0], je aspoˇ n jedno z nich nenulové. Bez u ´jmy na obecnosti 2 pˇredpokládejme, ˇze napˇr´ıklad y 6= 0. Pak pro jinak libovolná x, y plat´ı: x < x2 + y 2 . Z toho máme: x2 · y 2 < y2. x2 + y 2 206

Pro ε > 1 máme |x| < 1, |y| < 1 a tedy x2 · y 2 < y 2 < 1 < ε. x2 + y 2 Pro ε ≤ 1 máme |x| < ε, |y| < ε a tedy x2 · y 2 < y 2 < ε2 ≤ ε. x2 + y 2 Pˇr´ıklad 3.11: (a) Maple urˇc´ı správnˇe, ˇze limita neexistuje. Sami to m˚ uˇzeme ovˇeˇrit napˇr´ıklad pˇribliˇzován´ım se po pˇr´ımkách y = k · x. V´ ysledek je závisl´ y na k, tj. na pˇr´ımce, po n´ıˇz se k limitn´ımu bodu bl´ıˇz´ıme. (b) Maple limitu neum´ı spoˇc´ıtat. Limita v tomto pˇr´ıpadˇe opˇet neexistuje, coˇz m˚ uˇzeme stejnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe ovˇeˇrit pˇribliˇzován´ım se k limitn´ımu bodu po pˇr´ımkách. (c) Maple limitu nespoˇc´ıtá. Limita neexistuje, coˇz m˚ uˇzeme zjistit pomoc´ı transformace do polárn´ıch souˇradnic. Z´ıskan´ y v´ ysledek závis´ı na u ´hlu ϕ. (d) Maple limitu nespoˇc´ıtá ani v tomto pˇr´ıpadˇe, i kdyˇz staˇc´ı pouze dosadit. (e) Maple limitu nespoˇc´ıtá. Limita existuje a je rovná 0. Ovˇeˇrit to m˚ uˇzeme transformac´ı do polárn´ıch souˇradnic a aplikac´ı poznámky 3.4. (f) Maple limitu nespoˇc´ıtá. Promˇenná y tu pˇritom nen´ı zdrojem nespojitosti, a tak za ni m˚ uˇzeme dosadit a poˇc´ıtat zadanou limitu pouze jako limitu v promˇenné x. ysledek z´ıskáme (g) Maple limitu nespoˇc´ıtá ani tentokrát. Limita existuje a je rovná 21 . V´ po rozˇs´ıˇren´ı zadaného v´ yrazu doplnˇen´ım ˇcitatele na rozd´ıl ˇctverc˚ u, následné u ´pravˇe a dosazen´ı. Pˇr´ıklad 3.13: V pˇr´ıpadech a) – d) jsou body nespojitosti tvoˇreny vˇzdy body, které nejsou v definiˇcn´ım oboru funkce f (x, y). Ve vˇsech bodech definiˇcn´ıho oboru jsou funkce totiˇz spojité. (a) Jmenovatel rovn´ y nule, takˇze jedin´ ym bodem nespojitosti funkce f (x, y) je bod [0, 0]. (b) Jmenovatel rovn´ y nule, tj. body [x, y] takové, ˇze x = 0 nebo y = 0. (c) Jmenovatel rovn´ y nule, tj. body [x, y] takové, ˇze y = 0. (d) Argument funkce ln(x) nekladn´ y, tj. body [x, y] takové, ˇze x2 + y 2 = 1. (e) Funkce f (x, y) nemá body nespojitosti. Jedin´ y podezˇrel´ y“ bod z nespojitosti je bod ” [0, 0], v nˇemˇz je vˇsak limita rovna funkˇcn´ı hodnotˇe (viz pˇr´ıklad 3.9). Pˇr´ıklad 3.14: (a) Podle pˇr´ıkladu 3.11.(g): C = 21 . 207

(b) Podle pˇr´ıkladu 3.11.(c) limita v bodˇe [0, 0] neexistuje, tj. nen´ı moˇzné dodefinovat“ C ” tak, aby zadaná funkce byla v bodˇe [0, 0] spojitá. Pˇr´ıklad 3.15: (a) fx0 (x, y) = 2 · x · y + x1 , fy0 (x, y) = x2 − y1 , 00 fxx (x, y) = 2 · y − x12 , 00 fxy (x, y) = 2 · x, 00 fyx (x, y) = 2 · x, 00 (x, y) = y12 , fyy (b) fx0 (x, y) = 8 · (x2 · y + y)3 · x · y, 3 fy0 (x, y) = 4 · (x2 · y + y) · (x2 + 1), 00 fxx (x, y) = 56 · x6 · y 4 + 120 · x4 · y 4 + 72 · x2 · y 4 + 8 · y 4 , 00 (x, y) = 32 · x7 · y 3 + 96 · x5 · y 3 + 96 · x3 · y 3 + 32 · x · y 3 , fxy 00 fyx (x, y) = 32 · x7 · y 3 + 96 · x5 · y 3 + 96 · x3 · y 3 + 32 · x · y 3 , 4 00 fyy (x, y) = 12 · y 2 · (x2 + 1) , y

(c) fx0 (x, y) = x x·y , fy0 (x, y) = xy · ln(x), 00 (x, y) = xy−2 · y · (y − 1), fxx 00 (x, y) = xy−1 · (y · ln(x) + 1), fxy 00 fyx (x, y) = xy−1 · (y · ln(x) + 1), 00 fyy (x, y) = xy · ln(x)2 , x·y (d) fx0 (x, y) = y · ln(x + y) + x+y , x·y 0 fy (x, y) = x · ln(x + y) + x+y , x+2∗y 00 fxx (x, y) = y · (x+y) 2, y x 00 fxy (x, y) = ln(x + y) + x+y + x+y − y x 00 fyx (x, y) = ln(x + y) + x+y + x+y − 2·x+y 00 (x, y) = x · (x+y) fyy 2.

x·y , (x+y)2 x·y , (x+y)2

Pˇr´ıklad 3.16: (a)

fx0 (1, 2)

√ 1+ 51 · 5 √ , f 0 (1, 2) y 1+ 5

=

(b) fx0 (e, e) =

12 , fy0 (e, e) e

=

2 5

·

√ 5 √ , 1+ 5

= − 12 , e

(c) fx0 (1, 2) = 0, fy0 (1, 2) = 41 . Pˇr´ıklad 3.18: (a) fu0 (A) =

√

2 , 2

(b) Pˇr´ıkaz DirectionalDerivative neum´ı pracovat s obecn´ ymi smˇery. Je proto potˇreba vypoˇc´ıtat ˇreˇsen´ı jinak. fu0 (A) = 21 · (cos(α) + sin(α)). Pˇr´ıklad 3.20: 208

(a) f (x, y) = xy , [x0 , y0 ] = [3, 1], [x, y] = [3.05, 0.99], (b) Nejprve pˇrevedeme stupnˇe na radiány. f (x, y) = [3.05, 31·π ], 90

√

x · cos(y), [x0 , y0 ] = [3, π3 ], [x, y] =

(c) f (x, y) = arctan( xy ), [x0 , y0 ] = [1, 1], [x, y] = [1.02, 0.95], (d) f (x, y) = log4 (x · y 2 ), [x0 , y0 ] = [4, 1], [x, y] = [4.01, 0.97]. Pˇr´ıklad 3.22: (a) t(x, y) = 4 · x − 2 · y − 5, (b) t(x, y) = 5 · x + y − 3, (c) t(x, y) =

4 5

· x + 25 · y + ln(5) − 2,

(d) t(x, y) = 1. Pˇr´ıklad 3.23: Ve vˇsech pˇr´ıkladech pouˇzijeme pˇr´ıkaz mtaylor. (a) mus´ıme specifikovat bod [x = 1, y = 1], (b) mus´ıme specifikovat bod [x = 0, y = π2 ], (c) mus´ıme zmˇenit promˇennou Order nebo pˇridat tˇret´ı parametr pˇr´ıkazu mtaylor, (d) mus´ıme specifikovat vˇsechny tˇri promˇenné. Pˇr´ıklad 3.24: p x3 + y 3 , [x0 , y0 ] = [1, 2], [x, y] = [1.02, 1.97], √ (b) Nejprve pˇrevedeme stupnˇe na radiány. f (x, y) = x · cos(y), [x0 , y0 ] = [3, π3 ], [x, y] = ], [3.05, 31·π 90 (a) f (x, y) =

(c) f (x, y) = arctan( xy ), [x0 , y0 ] = [1, 1], [x, y] = [1.02, 0.95], (d) f (x, y) = log4 (x · y 2 ), [x0 , y0 ] = [4, 1], [x, y] = [4.01, 0.97]. Pˇr´ıklad 3.25: Definice lokáln´ıho minima je naprosto stejná s definic´ı 3.9, jen nyn´ı poˇzadujeme, aby pro vˇsechna X z nˇejakého okol´ı bodu X ∗ platilo: f (X) ≥ f (X ∗ ). Pˇr´ıklad 3.30: (a) Funkce má 2 stacionárn´ı body, z nichˇz jeden (bod [1, 1]) je lokáln´ım minimem. (b) Funkce má 4 stacionárn´ı body. Dva z nich jsou lokáln´ımi extrémy. Bod [0, −1] je lokáln´ım minimem, bod [0, 1] je lokáln´ım maximem. √

√

ˇ ri z nich jsou lokáln´ı extrémy. Body [− 2·e , − 2·e ] (c) Funkce má 8 stacionárn´ıch bod˚ u. Ctyˇ 2·e 2·e √ √ √ √ √ √ 2·e 2·e 2·e 2·e 2·e 2·e a [ 2·e , 2·e ] jsou lokáln´ı minima, body [− 2·e , 2·e ] a [ 2·e , − 2·e ] jsou lokáln´ı maxima zadané funkce. 209

(d) Funkce má nekoneˇcnˇe mnoho stacionárn´ıch bod˚ u, které jsou téˇz jej´ımi lokáln´ımi extrémy. V bodˇe [0, 0] se nacház´ı lokáln´ı minimum. Ostatn´ı stacionárn´ı body, které jsou vˇsechny lokáln´ımi maximy, leˇz´ı na kruˇznici x2 + y 2 = 1. Klasick´ ym zp˚ usobem neum´ıme o tˇechto bodech rozhodnout. Pro ovˇeˇren´ı, ˇze se jedná o lokáln´ı maxima, m˚ uˇzeme zavést substituci t = x2 + y 2 a vyˇsetˇrit lokáln´ı extrémy funkce, jako by se jednalo o funkci jedné promˇenné. (e) Funkce má jedin´ y stacionárn´ı bod ([2, 4]), kter´ y je jej´ım lokáln´ım minimem. Pro y = 0 neexistuje parciáln´ı derivace podle promˇenné y. Podle toho, jak chápeme pojem okol´ı bodu (funkce nen´ı definovaná pro y < 0), bychom mˇeli vyˇsetˇrit jeˇstˇe body, pro nˇeˇz y = 0. Nicménˇe pro y = 0 funkce lokáln´ıho extrému nenab´ yvá, o ˇcemˇz je potˇreba se pˇresvˇedˇcit vyˇsetˇren´ım okol´ı potenciáln´ıho“ lokáln´ıho minima v bodˇe [ 43 , 0]. ” (f) Funkce má jeden stacionárn´ı bod, kter´ y nen´ı jej´ım lokáln´ım extrémem. Pro x = −1 nebo y = −1 neexistuj´ı parciáln´ı derivace zadané funkce. Opˇet je na uváˇzen´ı, jak chápat pojem okol´ı bodu a pˇr´ıpadnˇe vyˇsetˇrit i lokáln´ı chován´ı funkce v pˇr´ıpadech x = −1 nebo y = −1. Jiˇz z grafu je vidˇet, ˇze funkce tu dosahuje lokálnˇe své nejvyˇsˇs´ı hodnoty v bodˇe [−1, −1], takˇze je moˇzné mluvit o lokáln´ım maximu funkce v tomto bodˇe. (g) Funkce má nekoneˇcnˇe mnoho stacionárn´ıch bod˚ u, ˇza´dn´ y z nich vˇsak nen´ı jej´ım lokáln´ım extrémem. Funkce má dále dva body, v nichˇz neexistuj´ı parciáln´ı derivace. Bod [0, 0] nen´ı lokáln´ım extrémem funkce, bod [2, 3] je lokáln´ım minimem.

Pˇr´ıklad 3.31: Definice absolutn´ıho minima je naprosto stejná s definic´ı 3.11, jen nyn´ı poˇzadujeme, aby pro vˇsechna X z mnoˇziny M platilo: f (X) ≥ f (X ∗ ). Pˇr´ıklad 3.35: (a) V tomto pˇr´ıpadˇe ani nen´ı potˇreba nic poˇc´ıtat. Jen si pozornˇe pˇreˇc´ıst zadán´ı a zamyslet se nad n´ım. Nejvˇetˇs´ı hodnota (absolutn´ı maximum) zadané funkce je dána pˇr´ımo“ ” mnoˇzinou M a jsou to tedy vˇsechny body na jej´ı hranici. Absolutn´ı minimum z´ıskáme tak, kdyˇz si uvˇedom´ıme, ˇze druhá mocnina reálného ˇc´ısla je vˇzdy ˇc´ıslo nezáporné (tj. vˇetˇs´ı nebo rovno nule). (b) Opˇet nen´ı tˇreba nic poˇc´ıtat, staˇc´ı pouˇz´ıt selsk´ y rozum“. Mnoˇzinu M m˚ uˇzeme pˇrepsat ” do interval˚ u: x ∈ [−1, 1], y ∈ [−1, 1] a odtud uˇz je na prvn´ı pohled vidˇet, ˇze absolutn´ı minimum se nacház´ı v bodˇe [−1, −1] a absolutn´ı maximum v bodˇe [1, 1]. (c) Absolutn´ı minimum funkce urˇc´ıme jiˇz ze zadán´ı, nebot’ absolutn´ı hodnota nab´ yvá své nejmenˇs´ı hodnoty pro nulov´ y argument a ten je uvnitˇr mnoˇziny M . Absolutn´ı maximum m˚ uˇzeme hledat klasickou cestou. Zadaná funkce nemá stacionárn´ı body, má ovˇsem nekoneˇcnˇe mnoho bod˚ u, kde nen´ı diferencovatelná. Z grafu funkce (pˇr´ıpadnˇe rovnou ze zadán´ı) zjist´ıme, ˇze absolutn´ı maximum leˇz´ı na hranici mnoˇziny M . Napˇ r´ıklad √pˇr´ıkazem √ √ √ 2 2 2 2 , ], [ , − ], extrema m˚ u ˇ z eme extr´ e m naj´ ıt, a to hned ve ˇ c tyˇ r ech bodech: [ 2 2 2 2 √ √ √ √ 2 2 2 2 [− 2 , 2 ] a [− 2 , − 2 ]. (d) Postupujeme klasick´ ym“ zp˚ usobem. Urˇc´ıme lokáln´ı extrémy (lok. max. v bodˇe [1, 1]) ” a následnˇe extrémy na hranici mnoˇziny M . Celkem dostaneme, ˇze absolutn´ı maximum je v bodˇe [1, 1], absolutn´ı minima jsou dvˇe, a to v bodech [0, 4] a [4, 0]. 210

(e) Zadan´ y troj´ uheln´ık M je moˇzné vykreslit následuj´ıc´ı posloupnost´ı pˇr´ıkaz˚ u: p1 := plots[pointplot]([[0, 2], [3, 0], [0, -1]], color = red, symbolsize = 20, symbol = solidcircle): p2 := plots[polygonplot]([[0, 2], [3, 0], [0, -1]], color = red, style = line, thickness = 2): plots[display](p1, p2) Základn´ım krokem je zápis jednotliv´ ych u ´seˇcek troj´ uheln´ıku v promˇenn´ ych x a y. Pak pokraˇcujeme klasick´ ym“ zp˚ usobem. Urˇc´ıme lokáln´ı extrémy (lok. min. v bodˇe [ 12 , 1]) ” a následnˇe extrémy na hranici mnoˇziny M . Celkem dostaneme, ˇze absolutn´ı maximum je v bodˇe [0, −1], absolutn´ı minimum v bodˇe [ 12 , 1]. (f) Postupujeme opˇet klasick´ ym“ zp˚ usobem. Nejprve hledáme lokáln´ı extrémy. Dostáváme ” tˇri“ stacionárn´ı body, pˇriˇcemˇz jeden z nich pokr´ yvá vˇsechny body takové, ˇze y = 0. ” Tento stacionárn´ı bod (body) vˇsak nen´ı extrémem jiˇz na prvn´ı pohled, protoˇze funkˇcn´ı hodnota je pro nˇej rovna nule. Zbylé dva stacionárn´ı body [ π3 , π3 ], [− π3 , − π3 ] jsou lokáln´ı minimum a maximum zadané funkce. Nyn´ı je potˇreba si uvˇedomit, ˇze funkce sinus je periodická s periodou 2π, takˇze tˇechto lokáln´ıch extrém˚ u je vlastnˇe nekoneˇcnˇe mnoho a vˇsechny jsou souˇcasnˇe i extrémy globáln´ımi na celém definiˇcn´ım oboru. V zadán´ı byla specifikována mnoˇzina M , a tak je potˇreba omezit mnoˇzinu tˇechto extrém˚ u tak, aby vyhovovala zadán´ı, tj. absolutn´ı maxima jsou body [ π3 + 2 · k · π, π3 − 2 · l · π] pro + 2 · k · π, − π3 − 2 · l · π] pro k, l ∈ N0 . k, l ∈ N0 , absolutn´ı minima jsou body [ 5·π 3 ˇ s´ıme naprosto stejn´ Pˇr´ıklad 3.37: Reˇ ym postupem jako v pˇr´ıkladu 3.36. Hledaná kladná ˇc´ısla jsou: x = y = z = 4. Pˇr´ıklad 3.38: Opˇet postupujeme stejnˇe jako v pˇr´ıkladu 3.36. Minimalizujeme funkci f (x, y) = x + y + √50 pro x > 0, y > 0. Nejmenˇs´ı moˇzn´ y souˇcet takov´ ych ˇc´ısel je 20 pro x = 5, y = x·y 5, z = 10. Pˇ pr´ıklad 3.39: Vzdálenost bodu o souˇradnic´ıch [x, y, z] od poˇcátku souˇradného systému je: x2 + y 2 + z 2 . Tento souˇcet mus´ıme minimalizovat pro z = x · y − 1. Pˇrepisem analogick´ ym k pˇredchoz´ım pˇr´ıklad˚ um dostáváme u ´lohu minimalizovat funkci p f (x, y) = x2 + y 2 + (x · y − 1)2 na celém jej´ım definiˇcn´ım oboru. K tomu m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt pˇr´ıkaz minimize. Nejbl´ıˇze poˇca´tku je bod [0, 0, −1]. Pˇr´ıklad 3.40: Hledáme rovnici pˇr´ımky y = k · x + q, tj. reálná ˇc´ısla k a q, pro nˇeˇz plat´ı, ˇze S = (q − 2)2 + (k + q − 3)2 + (2 · k + q − 5)2 je minimáln´ı. M˚ uˇzeme opˇet vyuˇz´ıt pˇr´ıkazu 3 11 minimize a dostáváme: k = 2 , q = 6 . Pˇr´ıklad 3.42: U kaˇzdého pˇr´ıpadu vykresl´ıme mnoˇzinu Ω a z obrázku urˇc´ıme meze dvojnásobného integrálu. (a) M˚ uˇzeme volit následuj´ıc´ı: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x,

nebo

0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y. 211

Obr´ azek 6.26: Zobrazen´ı mnoˇziny Ω z pˇr´ıkladu 3.42.(a) vlevo, zobrazen´ı mnoˇziny Ω z pˇr´ıkladu 3.42.(b) vpravo.

Celkem tak z´ıskáme:

I=

Z1 Zy

Z1 Zx

ZZ f (x, y) dx dy =

f (x, y) dy dx = 0

Ω

0

f (x, y) dx dy. 0

0

(b) M˚ uˇzeme volit následuj´ıc´ı: √ √ 0 ≤ x ≤ 1, − 1 − x2 ≤ y ≤ 1 − x2 . Celkem tak z´ıskáme: Z1

ZZ I=

√

Z1−x2

f (x, y) dx dy =

f (x, y) dy dx. √

0 − 1−x2

Ω

(c) M˚ uˇzeme volit následuj´ıc´ı: −3 < x ≤ 0, −x − 3 < y < x + 3,

0 ≤ x < 3, x − 3 < y < −x + 3.

Celkem tak z´ıskáme: Z0 Zx+3

ZZ I=


Z3 −x+3 Z f (x, y) dy dx + f (x, y) dy dx.

−3 −x−3

0

(d) M˚ uˇzeme volit následuj´ıc´ı: −2 ≤ x ≤ 0, − x2 ≤ y ≤ 1,

0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 1.

212

x−3

Obr´ azek 6.27: Zobrazen´ı mnoˇziny Ω z pˇr´ıkladu 3.42.(c) vlevo, zobrazen´ı mnoˇziny Ω z pˇr´ıkladu 3.42.(d) vpravo.

Celkem tak z´ıskáme: Z0 Z1

ZZ I=

f (x, y) dx dy =

Z2 Z1 f (x, y) dy dx +

−2 − x2

Ω

f (x, y) dy dx. 0

x 2

Pˇr´ıklad 3.43: Podobnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu si nejprve zobraz´ıme mmoˇzinu ohraniˇcenou integraˇcn´ımi mezemi a následnˇe mnoˇzinu vyjádˇr´ıme v obráceném poˇrad´ı mez´ı. (a) Pˇrepis mnoˇziny v obráceném poˇrad´ı promˇenn´ ych: 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 2 · y. Celkem tak z´ıskáme: Z2 Z2·y

Z4 Z2 f (x, y) dy dx = 0

x 2

f (x, y) dx dy. 0

0

(b) Pˇrepis mnoˇziny v obráceném poˇrad´ı promˇenn´ ych: 0 ≤ y ≤ 2, y2 ≤ x ≤ y, 2 ≤ y ≤ 4, y2 ≤ x ≤ 2. Celkem tak z´ıskáme: 213

Obr´ azek 6.28: Zobrazen´ı mnoˇziny ohraniˇcené integraˇcn´ımi mezemi z pˇr´ıkladu 3.43.(a) vlevo, zobrazen´ı mnoˇziny ohraniˇcené integraˇcn´ımi mezemi z pˇr´ıkladu 3.43.(b) vpravo.

Z2 Z2·x Z2 Zy Z4 Z2 f (x, y) dy dx = f (x, y) dx dy + f (x, y) dx dy. 0

x

0

y 2

2

y 2

(c) Pˇrepis mnoˇziny v obráceném poˇrad´ı promˇenn´ ych: √ 0 ≤ y ≤ 4, y ≤ x ≤ 2. Celkem tak z´ıskáme: Z2 Zx2

Z4 Z2 f (x, y) dy dx =

0

0

f (x, y) dx dy. 0

√

y

(d) Pˇrepis mnoˇziny v obráceném poˇrad´ı promˇenn´ ych: √ √ 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 3 y. Celkem tak z´ıskáme: Z1 Zx2

√

Z1 Z3 y f (x, y) dy dx = f (x, y) dx dy.

0 x3

0

214

√

y

Obr´ azek 6.29: Zobrazen´ı mnoˇziny ohraniˇcené integraˇcn´ımi mezemi z pˇr´ıkladu 3.43.(c).

ˇ sen´ı je velice jednoduché. U pˇr´ıkladu 3.42 staˇc´ı dosadit f (x, y) = 1 do Pˇr´ıklad 3.45: Reˇ integrál˚ u, které jsme z´ıskali ˇreˇsen´ım pˇr´ıkladu. U pˇr´ıkladu 3.43 staˇc´ı dosadit f (x, y) = 1 jak do zadán´ı, tak do ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu. Pˇr´ıklad 3.46: Vyjdeme z rovnice kruˇznice o polomˇeru r: x2 +y 2 = r2 . Jestliˇze postupujeme od promˇenné x, meze prvn´ıho integrálu jsou zˇrejmé: x ∈ [−1, 1]. Následnˇe potˇ √ vyjádˇrit √ rebujeme 2 2 meze promˇenné y, coˇz provedeme právˇe z rovnice kruˇznice: y ∈ [− r − x , r2 − x2 ]. Podle vztahu v poznámce 3.20 jiˇz jednoduˇse pomoc´ı systému Maple urˇc´ıme poˇzadovan´ y obsah kruhu. Pˇr´ıklad 3.47: Postupujeme analogicky pˇredchoz´ımu pˇr´ıkladu. Tentokrát vyjdeme z rovnice 2 2 = 1. Promˇenná x nyn´ı nab´ elipsy: xa2 + y b2 yvá hodnot z intervalu [−a, a], pro meze promˇenné q q 2 2 y plat´ı: y ∈ −b · 1 − xa2 , b · 1 − xa2 . Pˇr´ıklad 3.49: Ve vˇsech pˇr´ıpadech je vhodné pro z´ıskán´ı pˇredstavy vykreslit alespoˇ n náznak tvaru z´ıskaného tˇelesa. Dále je vhodné si zobrazit podstavu tˇelesa, z n´ıˇz odvod´ıme integraˇcn´ı meze. Dvojn´ y integrál nám následnˇe spoˇc´ıtá systém Maple, jen v pˇr´ıpadˇe (c) nez´ıskáme pˇresnou (symbolickou) hodnotu a mus´ıme pouˇz´ıt pˇr´ıkaz evalf.

215

ˇ sen´ı pˇr´ıkladu 3.49.(a). Obr´ azek 6.30: Reˇ

216

ˇ sen´ı pˇr´ıkladu 3.49.(b). Obr´ azek 6.31: Reˇ

ˇ sen´ı pˇr´ıkladu 3.49.(c). Obr´ azek 6.32: Reˇ

217

ˇ sen´ı pˇr´ıkladu 3.49.(d). Obr´ azek 6.33: Reˇ

ˇ sen´ı pˇr´ıkladu 3.49.(e). Obr´ azek 6.34: Reˇ

218

Pˇr´ıklad 3.50: Kvádr je tˇreba vhodnˇe um´ıstit do souˇradné soustavy – napˇr´ıklad tak, ˇze spodn´ı roh podstavy dáme do bodu [0, 0, 0], zbylé rohy podstavy budou v bodech [a, 0, 0], [0, b, 0] a [a, b, 0]. V´ yˇska kvádru bude rovna c. Z toho vypl´ yvá, ˇze funkce ohraniˇcuj´ıc´ı kvádr je konstantn´ı funkce f (x, y) = c a podstavu kvádru m˚ uˇzeme pˇrepsat do mez´ı následovnˇe: x ∈ [0, a], y ∈ [0, b]. Pˇr´ıklad 3.51: Je potˇreba znát rovnici koule: x2 + y 2 + z 2 = r2 . Koule vyjádˇrená touto rovnic´ı má stˇred v poˇca´tku souˇradné soustavy. Jej´ı objem urˇc´ıme tak, ˇze spoˇc´ıtáme objem jej´ı horn´ı poloviny (která leˇz´ı nad rovinou zp= 0) a ten vynásob´ıme dvˇema. Pláˇst’ horn´ı poloviny r2 − x2 − y 2 , podstava je tvoˇrena kruhem popsan´ ym koule je popsán funkc´ı f (x, y) = 2 2 2 nerovnic´ ı x + y ≤ r . Integraˇ c n´ ı meze tak m˚ u ˇ z eme zapsat n´ a sledovnˇ e : x ∈ [−r, r], y ∈ √ √ 2 2 2 2 [− r − x , r − x ]. Pˇr´ıklad 3.52: Opˇet je potˇreba vhodnˇe um´ıstit válec do souˇradného systému. M˚ uˇzeme napˇr´ıklad podstavu válce um´ıstit do roviny z = 0 tak, ˇze jej´ı stˇred je v poˇcátku souˇradné soustavy. 2 2 Podstava je pak popsána nerovnic´ ≤ r2 a je moˇzné ji pˇrepsat do integraˇcn´ıch mez´ı √ı x + y √ následovnˇe: x ∈ [−r, r], y ∈ [− r2 − x2 , r2 − x2 ]. Válec je shora ohraniˇcen konstantn´ı funkc´ı f (x, y) = v. Pˇr´ıklad 3.54: Postupujeme stejn´ ym zp˚ usobem jako v pˇr´ıkladu 3.53. V´ ysledky: √ (a) S = 3 · 14, √ √ . (b) S = − 15 + 185 · ln (5) + 56 · 5 + 185 · arcsinh 25 · 5 = 5.58, 16 128 64 . (c) pˇr´ısluˇsn´ y integrál mus´ıme vyhodnotit numericky, S = 583.77, . (d) pˇr´ısluˇsn´ y integrál mus´ıme vyhodnotit numericky, S = 7.57, . (e) pˇr´ısluˇsn´ y integrál mus´ıme vyhodnotit numericky, S = 6.00. Pˇr´ıklad 3.55: Kouli um´ıst´ıme opˇet stˇredem do p poˇca´tku souˇradného systému. Povrch horn´ı 2 2 2 poloviny koule je pak popsán funkc´ ı f (x, y) = uˇzeme za√ √ r − x − y . Integraˇcn´ı meze m˚ 2 2 2 2 psat následovnˇe: x ∈ [−r, r], y ∈ [− r − x , r − x ]. Z´ıskan´ y v´ ysledek je tˇreba vynásobit dvˇema (nebot’ poˇc´ıtáme povrch pouze horn´ı poloviny koule). p Pˇr´ıklad 3.56: Povrch horn´ı poloviny koule je popsán funkc´ı f (x, y) = 25 − x2 − y 2 . Dále je tˇreba odvodit integraˇcn´ı meze. Rovina z = 2 protne kouli v bodech kruˇznice popsané rovnic´ı x2 + y 2 = 21 a rovina z = 4 protne kouli v bodech kruˇznice popsané rovnic´ı x√2 + y 2 = 9. Mnoˇzina Ω je tedy prstencového tvaru vymezená kruˇznicemi o polomˇerech 21 a 3. D´ıky symetrii celého tˇelesa je moˇzné zab´ yvat se pouze prvn´ım oktantem a v´ ysledek vynásobit ˇctyˇrmi. Integraˇ c n´ ı meze (meze ˇ c a ´ sti mnoˇ z iny Ω) bychom pak zapsali n´ a sledovnˇ e: √ √ √ √ 2 2 2 x ∈ [0, 3], y ∈ [ 9 − x , 21 − x ] ∪ x ∈ [3, 21], y ∈ [0, 21 − x ]. Pro z´ıskán´ı symbolického v´ ysledku je tˇreba pˇrevést integrál do polárn´ıch souˇradnic, napˇr. pˇr´ıkazem ChangeOfVariables z bal´ıku Student[MultivariateCalculus]. Maple to nezvládne dokonale, a tak je potˇreba následnˇe zapsat do polárn´ıch souˇradnic jeˇstˇe mnoˇzinu Ω (pro z´ıskán´ı integraˇcn´ıch mez´ı). V polárn´ıch souˇradnic´ıch je nav´ıc jednoduˇ √ sˇs´ı mnoˇzinu Ω zapsat, a tak ji pˇrep´ıˇseme rovnou celou. Pro polomˇer r plat´ı: 3 ≤ r ≤ 21, a pro u ´hel θ: 0 ≤ θ ≤ 2 · π. 219

ˇ sen´ı pˇr´ıkladu 3.56 Obr´ azek 6.35: Reˇ

Pˇr´ıklad 3.58: M˚ uˇzeme vyuˇz´ıt dvojn´ ych integrál˚ u jiˇz z´ıskan´ ych pˇri ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 3.48 a pouze funkci f (x, y) pˇrepsat“ do mez´ı pro promˇennou z v tˇret´ım integrálu. Zˇrejmˇe plat´ı: ” (a) z ∈ [0, x2 + y 2 ], (b) z ∈ [0, 64 − x2 ].

Pˇr´ıklad 3.59: Postupujeme analogicky k ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 3.50. Kvádr vhodnˇe um´ıst´ıme do souˇradné soustavy a jeho meze pak m˚ uˇzeme zapsat následovnˇe: x ∈ [0, a], y ∈ [0, b], z ∈ [0, c]. Pˇr´ıklad 3.60: Koule je speciáln´ım pˇr´ıpadem trojosého elipsoidu z pˇr´ıkladu 3.57 pro a = b = c = r. M˚ uˇzeme tedy pouze pozmˇenit tyto hodnoty v ˇreˇsen´ı v pˇr´ıkladu 3.57 a z´ıskáme vztah pro objem koule o polomˇeru r. Pˇr´ıklad 3.61: Postupujeme analogicky k ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 3.52. Válec vhodnˇe um´ıst´ıme do souˇradné soustavy√a jeho meze uˇzeme zapsat následovnˇe: √ pak m˚ x ∈ [−r, r], y ∈ [− r2 − x2 , r2 − x2 ], z ∈ [−v, v]. Pˇr´ıklad 3.63: Zadaná funkce pˇredstavuje pláˇst’ horn´ı poloviny koule o polomˇeru r = 1. V pˇr´ıkladu tak poˇc´ıtáme objem horn´ı poloviny koule o zm´ınˇeném polomˇeru a z pˇredeˇsl´ ych 2·π pˇr´ıklad˚ u v´ıme, ˇze by v´ ysledek mˇel vyj´ıt 3 . M˚ uˇzeme napˇr´ıklad zapsat dvojn´ y integrál v kartézsk´ ych souˇradnic´ıch a pouˇz´ıt pˇr´ıkaz ChangeOfVariables. Nové integraˇcn´ı meze odvod´ıme velmi snadno, nebot’ se jedná o kruh o polomˇeru r = 1. Dostáváme tedy: r ∈ [0, 1], θ ∈ [0, 2 · π].

220

Pˇr´ıklad 3.64: Ve vˇsech pˇr´ıkladech (3.46, 3.51, 3.52, 3.60 a 3.61) jsme v tomto textu vyuˇzili kartézsk´ ych souˇradnic. Nyn´ı tedy provedeme pˇr´ısluˇsné v´ ypoˇcty v souˇradnic´ıch polárn´ıch, sférick´ ych a cylindrick´ ych. V pˇr´ıkladu 3.46 poˇc´ıtáme obsah kruhu o polomˇeru r. V polárn´ıch souˇradnic´ıch m˚ uˇzeme kruh popsat následovnˇe: x = ρ · cos(θ), y = ρ · sin(θ), kde ρ ∈ [0, r], θ ∈ [0, 2 · π]. Podle poznámky 3.24 tak poˇc´ıtáme integrál Z2·πZr ρ dρ dθ. 0

0

Jak v pˇr´ıkladu 3.46, tak i nyn´ı bychom mˇeli obdrˇzet tabulkov´ y vzorec: S = π · r2 . V pˇr´ıkladu 3.51 poˇc´ıtáme objem koule o polomˇeru r. Vyuˇzijeme polárn´ıch souˇradnic, v nichˇz pop´ıˇseme podstavu horn´ı polokoule následovnˇe: x = ρ · cos(θ), y = ρ · sin(θ), kde ρ ∈ [0, r], θ ∈ [0, 2 · π]. Podle poznámky 3.24 tak poˇc´ıtáme integrál Z2·πZr 2·

ρ· 0

p r2 − ρ2 · cos(θ) − ρ2 · sin(θ) dρ dθ.

0

Jak v pˇr´ıkladu 3.51, tak i nyn´ı bychom mˇeli obdrˇzet tabulkov´ y vzorec: V =

4 3

· π · r3 .

V pˇr´ıkladu 3.52 poˇc´ıtáme objem válce o polomˇeru podstavy r a v´ yˇsce v. Vyuˇzijeme opˇet polárn´ıch souˇradnic, v nichˇz pop´ıˇseme podstavu válce: x = ρ · cos(θ), y = ρ · sin(θ), kde ρ ∈ [0, r], θ ∈ [0, 2 · π]. Podle poznámky 3.24 tak poˇc´ıtáme integrál Z2·πZr ρ · v dρ dθ. 0

0

Jak v pˇr´ıkladu 3.52, tak i nyn´ı bychom mˇeli obdrˇzet tabulkov´ y vzorec: V = π · r2 · v. V pˇr´ıkladu 3.60 poˇc´ıtáme objem koule o polomˇeru r. Ve sférick´ ych souˇradnic´ıch m˚ uˇzeme kouli popsat následovnˇe: x = ρ · cos(φ) · sin(θ), y = ρ · sin(φ) · sin(θ), z = ρ · cos(θ), kde ρ ∈ [−r, r], φ ∈ [0, 2 · π], θ ∈ [0, 2 · π]. Podle poznámky 3.25 tak poˇc´ıtáme integrál Z2·πZ2·πZr 0

sin(θ) · ρ2 dρ dφ dθ.

0 −r

Jak v pˇr´ıkladu 3.60, tak i nyn´ı bychom mˇeli obdrˇzet tabulkov´ y vzorec: V =

4 3

· π · r3 .

V pˇr´ıkladu 3.61 poˇc´ıtáme objem válce o polomˇeru podstavy r a v´ yˇsce v. V cylindrick´ ych souˇradnic´ıch m˚ uˇzeme válec popsat následovnˇe: x = ρ · cos(θ), y = ρ · sin(θ), z = z, kde ρ ∈ [0, r], θ ∈ [0, 2 · π], z ∈ [0, v]. Podle poznámky 3.26 tak poˇc´ıtáme integrál Z2·πZr Zv ρ dz dρ dθ. 0

0

0

Jak v pˇr´ıkladu 3.61, tak i nyn´ı bychom mˇeli obdrˇzet tabulkov´ y vzorec: V = π · r2 · v. 221

Pˇr´ıklad 3.65: Vˇsechny tˇri ˇrady um´ı Maple seˇc´ıst“. ” ∞ ∞ P P 2 1 1 (a) = 1, (b) = π6 , n·(n+1) n2 n=1

(c)

n=1

∞ P n=1

1 n

= ∞, ˇrada diverguje.

Pˇr´ıklad 3.68: √ (a) sn = n, s = lim sn = ∞ ⇒ ˇrada diverguje, n→∞

(b) an =

√

1 n2 +2·n

>

√

1 n2 +2·n+1

= √

1 (n+1)2

=

1 , n+1

ˇrada

∞ P n=1

1 n+1

diverguje ⇒ zadaná ˇrada

také diverguje, q ∞ q √ P n 1 1 √ (c) an = n4 +1 < n3 , ˇrada konverguje ⇒ konverguje i zadaná ˇrada, n3 n=1

(d) pouˇzijeme limitn´ı srovnávac´ı kritérium a budeme srovnávat s ˇradou

∞ P n=1

1 , n2

o n´ıˇz v´ıme,

ˇze konverguje, (e) pouˇzijeme limitn´ı verzi pod´ılového kritéria a zjist´ıme, ˇze ˇrada konverguje, (f) vyuˇzijeme opˇet limitn´ı verze pod´ılového kritéria a zjist´ıme, ˇze ˇrada diverguje, (g) vyuˇzijeme limitn´ı verze odmocninového kritéria a zjist´ıme, ˇze zadaná ˇrada konverguje, (h) vyuˇzijeme limitn´ı verze pod´ılového kritéria a zjist´ıme, ˇze zadaná ˇrada konverguje, (i) staˇc´ı zadat systému Maple a zjist´ıme, ˇze zadaná ˇrada konverguje; jinak je moˇzné pouˇz´ıt napˇr´ıklad integráln´ı kritérium. Pˇr´ıklad 3.71: (a) Jak souˇcet zadané ˇrady, tak souˇcet ˇrady absolutn´ıch hodnot um´ı urˇcit Maple pˇr´ımo. Zadaná ˇrada konverguje absolutnˇe. (b) Souˇcet zadané ˇrady i ˇrady absolutn´ıch hodnot opˇet urˇc´ı Maple pˇr´ımo (i kdyˇz je potˇreba se nevydˇesit“ vypsan´ ym tvarem v´ ysledku pro souˇcet zadané ˇrady). Zadaná ˇrada kon” verguje neabsolutnˇe. (c) Pomoc´ı Leibnizova kritéria zjist´ıme, ˇze zadaná ˇrada konverguje. Pomoc´ı integráln´ıho kritéria ovˇeˇr´ıme, ˇze ˇrada absolutn´ıch hodnot diverguje. Zadaná ˇrada proto konverguje neabsolutnˇe. (d) Pomoc´ı Leibnizova kritéria zjist´ıme, ˇze zadaná ˇrada konverguje. Srovnávac´ım kritériem ∞ P 1 ovˇeˇr´ıme, ˇze ˇrada absolutn´ıch hodnot diverguje. Zadaná ˇrada proto kons ˇradou n n=1

verguje neabsolutnˇe. (e) Pomoc´ı limitn´ı varianty odmocninového kritéria zjist´ıme, ˇze ˇrada absolutn´ıch hodnot konverguje. Zadaná ˇrada proto konverguje absolutnˇe. (f) V pˇr´ıkladu 3.67.(c) jsme zjistli, ˇze ˇrada absolutn´ıch hodnot zadané ˇrady konverguje, tedy zadaná ˇrada konverguje absolutnˇe. 222

6.4

Line´ arn´ı algebra s Maple v Cn

Pˇr´ıklad 4.2: Mus´ıme naj´ıt lineárn´ı kombinace vektor˚ u báze tak, abychom z´ıskali vektory báze standardn´ı. Tj. napˇr. pro e1 = (1, 0, 0) =

1 · (3, 0, 0) + 0 · (0, 2, 0) + 0 · (0, 0, 1). 3

Souˇradnice vektoru e1 v bázi α jsou proto ( 31 , 0, 0). Pˇr´ıklad 4.3: Nejsou. Je moˇzné se o tom pˇresvˇedˇcit napˇr. pouˇzit´ım pˇr´ıkazu Basis. Pˇr´ıklad 4.4: Negeneruj´ı. Opˇet je moˇzné se o tom pˇresvˇedˇcit napˇr. pouˇzit´ım pˇr´ıkazu Basis. Bázi tvoˇr´ı pouze 2 z vektor˚ u. Pˇr´ıklad 4.6: 

 −2 −6 0 1 1 , G2 − 3 · F =  2 2 −9 −14



A − F = nedefinováno,

 −4 −2 59  , A−G·F ·A= 5 −7 −13

B · A · C · H − B · F · B T = 113. Pˇr´ıklad 4.7: 1 0 −1 , A = − 12 14

B

−1

1 =

1 1 d −b · (1 − I) −1 3 · , C = , · (1 + I) − 31 · I −c a a·d−b·c   3 −1 0 F −1 =  1 −1 −1 . −3 2 1

6 1 3

Pˇr´ıklad 4.8: Ve vˇsech pˇr´ıpadech vyuˇz´ıváme vytvoˇren´ı matice pomoc´ı pˇr´ıkazu Matrix(4,f), kde funkce f specifikuje poˇzadovanou závislost. Pˇr´ıklad 4.9: a) Napˇr´ıklad A =

0 1 . 0 0

1 0 b) Napˇr´ıklad A = . 0 1

Pˇr´ıklad 4.10: Zvol´ıme nˇejak´ y vektor, napˇr. u = (1, 1)T . Vypoˇcteme v = A · u pro nˇejakou hodnotu α a pomoc´ı pˇr´ıkazu PlotVector vykresl´ıme u a v. Pˇr´ıklad 4.13: Postupujeme zcela analogicky pˇr´ıkladu 4.11. Souˇradnice vektoru v v bázi α jsou: (0, 1, 2)T . Pˇr´ıklad 4.14: M˚ uˇzeme pouˇz´ıt napˇr. pˇr´ıkazu Basis:

223

a) vektor u3 ,

b) ˇzádn´ y z uveden´ ych.

Pˇr´ıklad 4.15: Jestliˇze vhodnˇe zvol´ıme bázi, tj. napˇr. α = {1, x, x2 , x3 } pro R3 [x], vektor 1 − x má v této bázi souˇradnice (1, −1, 0, 0) atd. Posléze jiˇz m˚ uˇzeme pouˇz´ıt pˇr´ıkaz Basis jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu. a) vektory jsou lineárnˇe závislé, napˇr. x3 − 1 = −(1 − x) − (x − x2 ) − (x2 − x3 ), b) totéˇz co za (a), napˇr. x3 + 1 = (1 + x) − (x + x2 ) + (x2 + x3 ), c) vektory jsou lineárnˇe nezávislé, d) nen´ı nutné ani cokoli poˇc´ıtat, jedná se o 4 vektory v prostoru dimenze 3. Rn [x] se standardn´ım sˇc´ıtán´ım polynom˚ u a skalárn´ım násobkem polynomu je vektorov´ y prostor – je tˇreba ovˇeˇrit, ˇze plat´ı: 1. p(x) = 0 ∈ Rn [x] je nulov´ y prvek, tj. ∀q(x) ∈ Rn [x] : q(x) + p(x) = q(x), 2. ∀q(x) ∈ Rn [x] : ∃ − q(x) ∈ Rn [x] : q(x) + (−q(x)) = 0, 3. ∀p(x), q(x), r(x) ∈ Rn [x] : (p(x) + q(x)) + r(x) = p(x) + (q(x) + r(x)), 4. ∀p(x), q(x) ∈ Rn [x] : p(x) + q(x) = q(x) + p(x), 5. ∀a, b ∈ R, p(x) ∈ Rn [x] : a · (b · p(x)) = (a · b) · p(x), 6. p(x) = 1 ∈ Rn [x] je jednotkov´ y prvek, tj. ∀q(x) ∈ Rn [x] : q(x) · p(x) = q(x), 7. ∀a ∈ R, p(x), q(x) ∈ Rn [x] : a · (p(x) + q(x)) = a · p(x) + a · q(x), 8. ∀a, b ∈ R, p(x) ∈ Rn [x] : (a + b) · p(x) = a · p(x) + b · p(x). ˇ s´ıme analogicky pˇr´ıkladu 4.12: Pˇr´ıklad 4.16: Reˇ a) kritické“ hodnoty: a = −1, b = 1, ” b) kritické“ hodnoty: a = 0, b = −2. ” ˇ s´ıme opˇet analogicky pˇr´ıkladu 4.12: kritické“ hodnoty: a = 1, b = 2, c = 6. Pˇr´ıklad 4.17: Reˇ ” ˇ sen´ı prob´ıhá analogicky pˇr´ıkladu 4.18. Postup v pˇr´ıpadˇe (a) ilustruje obrázek Pˇr´ıklad 4.19: Reˇ 6.36. Pokud pouˇz´ıváme pˇr´ıkaz assign a ˇreˇs´ıme v´ıce pˇr´ıklad˚ u najednou, je tˇreba m´ıt na pamˇeti, ˇze vytváˇr´ıme promˇenné, do nichˇz pˇriˇrazujeme nˇejaké hodnoty – to m˚ uˇze v dalˇs´ıch pˇr´ıkladech vadit“ a je tˇreba bud’ zmˇenit názvy promˇenn´ ych nebo z pouˇz´ıvan´ ych jmen ” (x1 , x2 , ...) hodnoty odstranit. O správnosti ˇreˇsen´ı se m˚ uˇzeme téˇz pˇresvˇedˇcit dosazen´ım do p˚ uvodn´ı rovnice. ˇ s´ıme opˇet analogicky pˇr´ıkladu 4.18. Dostáváme nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı pro Pˇr´ıklad 4.20: Reˇ tˇri r˚ uzné reálné parametry.

224


Pˇr´ıklad 4.21: M˚ uˇzeme ˇreˇsit mnoha zp˚ usoby, které Maple nab´ız´ı. Vˇzdy bychom se mˇeli dopracovat k v´ ysledku, v nˇemˇz se ve jmenovatel´ıch objevuj´ı v souˇcinu v´ yrazy a2 + b2 a c, tj. zadaná soustava má právˇe jedno ˇreˇsen´ı, pokud jsou tyto r˚ uzné od nuly. Pˇr´ıklad 4.23: Postupujeme stejnˇe jako v pˇr´ıkladu 4.22. Pˇr´ıklad 4.24: Postupujeme stejnˇe jako v pˇr´ıkladu 4.22. Pˇr´ıklad 4.25: V zadán´ı nen´ı specifikován postup v´ ypoˇctu, takˇze staˇc´ı pouze pˇrepsat“ do ” systému Maple a vyhodnotit. Pˇr´ıklad 4.26: Totéˇz jako v pˇredeˇslém pˇr´ıkladu. Pouze je tˇreba dát si pozor na zápis symbolu pro násoben´ı matic. Pˇr´ıklad 4.28: K Laplaceovu rozvoji vyuˇzijeme zaveden´ y pˇr´ıkaz laplace. Matice lze jednoduˇse upravovat do tvar˚ u v´ yhodnˇejˇs´ıch“ pro v´ ypoˇcet, nicménˇe to nen´ı nutné. Pˇr´ım´ ym v´ ypoˇctem ” determinantu m˚ uˇzeme ovˇeˇrit správnost v´ ypoˇctu pomoc´ı Laplaceova rozvoje. Pˇr´ıklad 4.29: Pro reálné matice z pˇr´ıkladu 4.23 nen´ı tˇreba nic ovˇeˇrovat, nebot’ konjugovaná matice je shodná s p˚ uvodn´ı matic´ı (podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe reálného ˇc´ısla). U nereáln´ ych matic vyuˇzijeme napˇr. pˇr´ıkaz˚ u conjugate a map. Pˇr´ıklad 4.31: a) stejn´ ym postupem jako v pˇr´ıkladu 4.30 ovˇeˇr´ıme, ˇze zobrazen´ı je lineárn´ı, b) stejn´ ym postupem jako v pˇr´ıkladu 4.30 ovˇeˇr´ıme, ˇze zobrazen´ı nen´ı lineárn´ı, 225

c) stejn´ ym postupem jako v pˇr´ıkladu 4.30 ovˇeˇr´ıme, ˇze zobrazen´ı nen´ı lineárn´ı. Pˇr´ıklad 4.32: Oznaˇcme p(x) reáln´ y polynom tˇret´ıho stupnˇe. Pak p(x) = a·x3 +b·x2 +c·x+d, kde a, b, c, d jsou reálná ˇc´ısla. Oznaˇcme f : R3 [x] → R2 [x] zobrazen´ı pˇriˇrazuj´ıc´ı polynomu jeho derivaci. Pak: f (p(x)) = 3 · a · x2 + 2 · b · x + c. Nyn´ı je tˇreba ovˇeˇrit podm´ınku lineárn´ıho zobrazen´ı, tj. ˇze pro libovolná k, l ∈ R a p(x), q(x) ∈ R3 [x] plat´ı: f (k · p(x) + l · q(x)) = k · f (p(x)) + l · f (q(x)). Pˇr´ıklad 4.35: a) stejn´ ym postupem jako v pˇr´ıkladu 4.30 ovˇeˇr´ıme, ˇze zobrazen´ı nen´ı lineárn´ı, b) stejn´ ym postupem jako v pˇr´ıkladu 4.30 ovˇeˇr´ıme, ˇze zobrazen´ı je lineárn´ı, jádro a obraz zobrazen´ı najdeme tak jako v pˇr´ıkladu 4.34 a zjist´ıme, ˇze se jedná o isomorfismus, c) stejn´ ym postupem jako v pˇr´ıkladu 4.30 ovˇeˇr´ıme, ˇze zobrazen´ı nen´ı lineárn´ı, d) stejn´ ym postupem jako v pˇr´ıkladu 4.30 ovˇeˇr´ıme, ˇze zobrazen´ı je lineárn´ı, jádro a obraz zobrazen´ı najdeme tak jako v pˇr´ıkladu 4.34 a zjist´ıme, ˇze se nejedná o isomorfismus. Pˇr´ıklad 4.38: Vyuˇzijeme poznámky 4.15. Uvedená rovnost v tomto pˇr´ıpadˇe pˇrejde do tvaru: (f (u))β = (ϕ)β,ε3 · (u)ε3 = A · (u)ε3 . V´ ysledek tedy z´ıskáme pouh´ ym vynásoben´ım matice a zadan´ ych vektor˚ u. Vektory báze β k niˇcemu nepotˇrebujeme.

226

Rejstˇ r´ık ∼, 171 ?, 15 %, 19 abs, 12 absolutn´ı konvergence ˇrady, 146 add, 168 All values, 24 AllSolutions, 23 allvalues, 24 alternuj´ıc´ı ˇrada, 145 animate, 45, 83 apply, 34 Approximate Integration, 78, 133 ApproximateInt, 133 ArcLength, 81, 82 assign, 19 Assistants, 15 assume, 27, 89 assuming, 28 Asymptotes, 68 axes, 42 Basis, 152 bod uzávˇeru, 117 Change, 72 changecoords, 123, 137 ChangeOfVariables, 123, 137 Classic Worksheet, 7 Clickable Math, 5 coeff, 28 collect, 28 color, 42 ColumnSpace, 174 combine, 27, 156 conjugate, 170 contourplot, 98 contours, 98, 204 convert, 28, 59, 73 copy, 170 CriticalPoints, 69

D, 54, 104 definiˇcn´ı obor, 35 DeleteColumn, 168 DeleteRow, 168 Determinant, 113, 166 diff, 53, 104 Digits, 16, 19 DirectionalDerivative, 107 discont, 51, 63, 66, 103 display, 44, 105 divergence ˇrady, 138 Document Mode, 9 doln´ı integrál, 75 doln´ı integráln´ı souˇcet, 75 Drawing, 42 dsolve, 23 Error, (in plot) ..., 182 Error, (in rtable/Power) singular matrix, 156 Error, illegal use of an object as a name, 180 Error, invalid assignment, 179 Error, invalid input, 167, 177 Error, invalid operator parameter name, 180 Error, invalid power, 180 Error, numeric exception: division by zero, 180 Error, recursive assignment, 149 Error, unable to match delimiters, 179 eval, 32, 33, 54, 113, 168 evalb, 37 evalf, 16, 17, 24 expand, 28, 32 extrema, 64, 113, 117 ExtremePoints, 69 factor, 28, 156 fsolve, 23 FunctionChart, 69 GaussianElimination, 162, 163, 165 GaussianEliminationTutor, 162 grid, 93 gridrefine, 93, 95, 98 227

HermitianTranspose, 170 hessián, 113 Hessian, 113 Hessova matice, 113 hlavn´ı menu, 7 horn´ı integrál, 75 horn´ı integráln´ı souˇcet, 75 implicitplot, 79, 93, 95, 98, 123 implicitplot3d, 104 inequal, 95, 123 InflectionPoints, 69 Int, 71, 122 int, 70, 75, 122 integráln´ı kritérium, 143 integraˇcn´ı konstanta, 70 IntegrationTools, 71, 73 integrovatelná funkce, 75 intsolve, 23 InversePlot, 38 InverseTutor, 5, 38, 163 invfunc, 38 iscont, 51 isolve, 23 kernelopts(maxdigits), 16 kontextová liˇsta, 7 konvergence ˇrady, 138 labels, 42 Lagrangeova vˇeta o stˇredn´ı hodnotˇe, 69 laplace, 167, 168 lcm, 17 legend, 42 Leibnizovo kritérium, 145 limit, 48, 100 limitn´ı Raabeovo kritérium, 143 limitn´ı srovnávac´ı kritérium, 142 LinearAlgebra, 21, 113, 158, 166 LinearSolve, 23, 158 LinearSolveTutor, 162 LinearSystemPlotTutor, 158 Maclaurin˚ uv vzorec, 59 Maclaurin˚ uv zbytek, 59 map, 156, 170 Maple Help, 13 Math Apps, 5, 15 Math Mode, 9 Matrix, 153, 156 MatrixInverse, 156

Maximize, 115, 117 maximize, 36, 115, 117, 119 MeanValueTheorem, 69 metoda per partes, 71 Minimize, 115, 117 minimize, 36, 115, 117, 119 msolve, 23 mtaylor, 111 MultiInt, 122, 123 nástrojová liˇsta, 7 neabsolutn´ı konvergence ˇrady, 146 nekoneˇcná ˇrada, 138 neurˇcit´ y integrál, 70 normal, 27 NullSpace, 174 numer, 160 numpoints, 93 obor hodnot, 35 odmocninové kritérium, 142 ohraniˇcená funkce, 35 op, 160, 170 Optimization, 115, 117 Order, 59, 111 oscilace ˇrady, 138 palety, 7, 11 parfrac, 73 Parts, 71 pdsolve, 23 Pi, 12 piecewise, 34 Plot, 42 plot, 42, 66, 138 Plot Builder, 42 plot3d, 83, 92, 93, 98, 104, 105, 110 PlotBuilder, 92 plots, 45, 79, 95, 105, 110, 123, 125 plottools, 123 PlotVector, 149 pod´ılové kritérium, 143 pointplot3d, 105, 110 polygonplot, 211 posloupnost, 137 posloupnost ˇca´steˇcn´ ych souˇct˚ u, 138 primitivn´ı funkce, 70 printf, 168 RealDomain, 21, 36 ReducedRowEchelonForm, 165 228

restart, 19 Riemann˚ uv integrál, 75 RiemannSum, 76, 133 Rolleova vˇeta, 69 RollesTheorem, 69 Roots, 69 RowDimension, 167 rsolve, 23

VectorCalculus, 113 verify, 37 VolumeOfRevolution, 83 Warning, solutions may have been lost, 183 Warning, unable to determine if ..., 183 What Assumptions, 24 with, 20, 113 Worksheet Mode, 9

seq, 138 simplify, 21, 27, 28, 32 singular, 103 solve, 22, 63, 79 sort, 28 spacecurve, 104, 117 sqrt, 12 srovnávac´ı kritérium, 141 stacionárn´ı body, 62 Standard Worksheet, 6 stavová liˇsta, 7 Student[Calculus1], 38, 68, 76 Student[LinearAlgebra], 162, 163 Student[MultivariateCalculus], 107, 122, 133 subs, 72, 168 substituˇcn´ı metoda, 71 Sum, 139 sum, 139 SurfaceOfRevolution, 86 Tasks, 15 taylor, 59, 111 Taylor˚ uv polynom, 58, 111 Taylor˚ uv vzorec, 58, 111 Taylor˚ uv zbytek, 58, 111 Text Mode, 9 thickness, 42 transform, 123 Transpose, 156 Tutors, 15 type, 179 unapply, 33, 54, 76 unassign, 19 Units, 21 Units Calculator, 21 unwith, 21 uzávˇer mnoˇziny, 117 uzavˇrená mnoˇzina, 117 value, 71, 73 Vector, 148 229

Literatura [1] Ash, C., Ash, R. B.: The Calculus Tutoring Book. Wiley-IEEE Press (1993) [2] Doˇslá, Z., Doˇsl´ y, O.: Diferenciáln´ı poˇcet funkc´ı v´ıce promˇenných. Masarykova Univerzita, Brno (1999) [3] Doˇslá, Z., Plch, R., Sojka, P.: Nekoneˇcné ˇrady s programem Maple. Masarykova Univerzita, Brno (2002) ˇ [4] Hamhalter, J., Tiˇser, J.: Integráln´ı poˇcet funkc´ı v´ıce promˇenných. CVUT, Praha (2005) [online]. [cit 2010-12-27]. Dostupn´ y z WWW: ´ [5] Hˇreb´ıˇcek, J., Posp´ıˇsil, Z., Urbánek, J.: Uvod do matematického modelován´ı s vyuˇzit´ım Maple. CERM, Brno (2010) [6] Hummelová, I., Hamˇr´ıková, R., Jank˚ u, V., Tannenbergová, M., Dostálová, M., Dud´ ková, K., Dudek, J.: ZAKLADY MATEMATIKY pro kombinované a distanˇcn´ı studium. ˇ -– Technická univerzita Ostrava, 2003. [onFakulta elektrotechniky a informatiky, VSB line]. [cit 2010-08-28]. Dostupn´ y z WWW: [7] Kalus, R., Hrivˇ na´k, D.: Breviáˇr vyˇsˇs´ı matematiky. Ostravská univerzita, Ostrava 2001. [online]. [cit 2010-12-31]. Dostupn´ y z WWW: ˇ [8] Kouˇrilová-Snyrychov´ a, P.: Dvojný Riemann˚ uv integrál. [online]. [cit 2010-12-27]. Dostupn´ y z WWW: [9] Maplesoft: Maple User Manual. [online]. [cit 2010-08-17] Dostupn´ y z WWW: ´ [10] Ustav Matematiky FSI VUT Brno: MATEMATIKA online. [online]. [cit 2010-08-17] Dostupn´ y z WWW: [11] Mendelson, E.: 3000 Solved Problems in Calculus. McGraw-Hill (1988) [12] Novák, V.: Diferenciáln´ı poˇcet v R. Masarykova univerzita, Brno (1997) [13] Plch, R., Doˇslá, Z., Sojka, P.: Matematická analýza s programem Maple. D´ıl 1, Diferenciáln´ı poˇcet funkc´ı v´ıce promˇenných. Masarykova Univerzita, Brno (1999) [14] Slovák, J.: Lineárn´ı algebra 1997/1998. Masarykova Univerzita, Brno. [online]. [cit 2012-10-16]. Dostupn´ y z WWW: 230

[15] Zlatoˇs, P.: Lineárna algebra a geometria. Bratislava (2006). [online]. [cit 2012-10-16]. Dostupn´ y z WWW:

231

Matematika s programem Maple. Jaroslav Urbánek

Recommend Documents