Matematika Matematika adalah seni memahami, bahkan yang tidak terlihat
Wono Setya Budhi FMIPA ITB
Apa itu Matematika? • Matematika berkembang karena kebutuhan untuk menyelesaikan suatu masalah.
• Misalkan saja kalkulus untuk menyelesaikan masalah gerak dan memahami masalah gerak. Slide 22
Apa itu Matematika? • Pada mulanya, bilangan kompleks diciptakan karena kita menghadapi masalah dalam menyelesaikan suatu persamaan.
Slide 33
Apa itu Matematika? • Kita mempelajari aljabar untuk menyelesaikan persamaan dengan berbagai bentuk. – Polinomial
– Sistem persamaan linear – Persamaan diferensial linear
Slide 44
Penyelidikan lapisan bumi
Slide 55
Penyelidikan lapisan bumi
Slide 66
Memahami Benda Terbang
Slide 77
Memperbaiki Kesalahan • Hemming.xls
Slide 88
Sudoku 4 3
8
3
7
6
9 8
5
9
4 5
4
7
9
3
2
8 3
8
7
6
2
9
2
3
9
4
6
8
2 5 Slide 99
Pandangan Tentang Matematika
Math is the language of economics. If you are an NYU undergraduate, studying math will open doors to you in terms of interesting economics courses at NYU and job opportunities afterwards. Start with the basics: take three calculus courses (up to and including multivariable calculus), linear algebra, and a good course in probability and statistics. These basic courses will empower you. After you have these under your belt, you have many interesting options all of which will further empower you to learn and practice economics. I especially recommend courses in (1) Markov chains and stochastic processes, and (2) differential equations.
Slide 10 10
Kegiatan di Matematika • Mencari jawab persamaan
• Memperumum • Melihat kasus khusus yang menarik • Melihat struktur yang sama dari dua hal yang berbeda • Menganalisa pembuktian, termasuk memberikan bukti yang lain.
Slide 11 11
Mencari Jawab Persamaan • Kita mengetahui bahwa persamaan 𝑥 2 + 1 = 0, di bilangan real, tidak mempunyai jawab. • Bagaimana dengan persamaan serupa di matriks 2 × 2. • Di matriks 2 × 2 persamaan tersebut mempunyai bentuk 𝑋 2 + 𝐼 = 0. • Ada berapa banyak?
• Misalkan kita menuliskan 𝑋 = 𝑎 𝑏 maka 𝑐
•
𝑋2
2 + 𝑏𝑐 𝑎 +𝐼 = 𝑎𝑐 + 𝑐𝑑
𝑑
𝑎𝑏 + 𝑏𝑑 = 0 0 0 0 𝑑2 + 𝑏𝑐
• Apakah ini tidak mempunyai jawab juga? Slide 12 12
Mencari Jawab Persamaan • Bagaimana dengan matriks 2 × 2 yang mempunyai bentuk khusus? • Misalkan matriks tersebut simetri 𝑋 =
𝑎 𝑏
• Misalkan matriks tersebut anti simetri 𝑋 =
𝑏 𝑑 𝑎 𝑏
−𝑏 𝑑
• Bagaimana dengan matriks berukuran 3 × 3? Apakah ada hasil yang diperoleh?
Slide 13 13
Memperumum • Kita sudah mengetahui tentang dua garis di 𝑅 3 .
• Sekarang misalkan kita mempunyai dua bidang di 𝑅 𝑛 . • Jika garis 𝑅 𝑛 dapat dituliskan sebagai 𝑥 = 𝑥0 + 𝜆𝑎 dengan 𝑥, 𝑥0 , 𝑎 vektor di 𝑅 𝑛 , dan 𝜆 merupakan bilangan real, maka bidang dimensi dua dapat ditulis sebagai 𝑥 = 𝑥0 + 𝜆𝑎 + 𝜇𝑏 dengan 𝑥, 𝑥0 , 𝑎, 𝑏 vektor di 𝑅 𝑛 dan 𝜆, 𝜇 merupakan bilangan real. • Perhatikan bahwa 𝑎, 𝑏 harus bebas linear, dalam hal lain bidang tersebut akan menjadi garis • Bagaimana dengan dua bidang di 𝑅 3 ?
• Bagaimana dengan dua bidang di 𝑅 4 , 𝑅 5 , …? • Jika tidak berpotongan, apakah dapat disebutkan jarak dua buah bidang? Slide 14 14
Melihat Kasus Khusus • Di kuliah kita sudah melihat bahwa deret harmonik ∞ 1 𝑘=1 𝑘 divergen. • Biasanya setelah mengetahui bahwa deret divergen, analisis selesai. Tetapi Euler mencoba menganalisa bagaimana dengan rate membesarnya.
• Saat ini kita akan mencoba melihat lagi tetapi dengan menggunakan komputer. • Kita akan menggunakan MATLAB Slide 15 15
Program MATLAB • % melihat ke divergenan deret harmonik
• N=30; • H(1)=1; • for i=2:N •
H(i)=H(i-1)+1/i;
• end
• stem(H) • Jadi
𝑛
𝐻 𝑛 = 𝑘=1
1 𝑘 Slide 16 16
Grafik Deret Harmonik
Slide 17 17
Grafik Deret Harmonik
Slide 18 18
Grafik Deret Harmonik
Slide 19 19
Grafik Deret Harmonik
Slide 20 20
Slide 21 21
Slide 22 22
• Perhatikan nilai 𝐶 𝑛 = 𝐻 𝑛 − log 𝑛
• Perhatikan nilai c 𝑛 = 𝐻 𝑛 − log 𝑛 + 1 • Berdasarkan garam, dugaan kita 𝑐 𝑛 < 𝐶(𝑛) • Nilai 𝐶(𝑛), mula-mula besar kemudian mengecil • Nilai 𝑐(𝑛), mula-mula kecil dan akan membesar. • Semua ini hanya dugaan.
• Pertama, kita akan menguji melalui komputer.
Slide 23 23
Slide 24 24
Pembuktian Analitik • Walau dugaan kita telah terbukti melalui komputer, tetapi ini bukan merupakan pembuktian. • Di matematika, kita harus dapat membuktikan hal tersebut dengan menggunakan pensil dan kertas. • Dalam hal ini, kita harus membuktikan bahwa 𝐶 𝑛+1 −𝐶 𝑛 <0 • Dalam hal ini 𝑛+1 1 𝑘=1 𝑘 𝑛+1
1 𝑛 𝑘=1 𝑘
• 𝐶 𝑛+1 −𝐶 𝑛 = − log(𝑛 + 1) − 𝑛 1 1 1 = − 𝑑𝑡 + 𝑑𝑡 𝑛+1 𝑡 0 0 𝑡 𝑛+1 1 1 1 1 = − 𝑑𝑡 < − <0 𝑛+1 𝑡 𝑛+1 𝑛 𝑛
+ log 𝑛
Slide 25 25
• Hal yang serupa untuk 𝑐(𝑛).
• Buktikan pula bahwa 𝐶 𝑛 > 𝑐(𝑛) untuk setiap 𝑛. • Selanjutnya 𝐶 𝑛 − 𝑐 𝑛 = 𝐻 𝑛 − log 𝑛 − 𝐻 𝑛 + log 𝑛 + 1 = log 𝑛 + 1 − log 𝑛 • Sedangkan lim 𝐶 𝑛 − 𝑐(𝑛) = 0 𝑛→∞
• Jadi, lim C n = 𝛾 ada dan n→∞ 1 1 lim (1 + + + ⋯ − log 𝑛 = 𝛾 𝑛→∞ 2 3
•
Dengan 𝛾 = 0.5777 … sudah diketemukan oleh Euler(1707-1783) Slide 26 26
Lanjut • Kita masih bisa berlanjut
• Selidiki nilai 𝐻 2𝑛 − 𝐻(𝑛) untuk 𝑛 → ∞. Apakah dia konvergen? Jika konvergen, apakah kita mengenali nilainya? • Selidiki nilai 𝐻 3𝑛 − 𝐻(𝑛) untuk 𝑛 → ∞. Apakah dia konvergen? Jika konvergen, apakah kita mengenali nilainya
• Bagaimana dengan 𝐻 2𝑘 𝑛 − 𝐻(𝑛)? • Untuk 𝑛 tetap, dan 𝑘 bergerak , nilai 𝐻(2𝑘 𝑛) tentu akan membesar juga. Apakah ini akan membesar dengan ukuran yang sama?
Slide 27 27
Lanjut • Misalkan 𝐽(𝑛) adalah bilangan bulat yang tidak lebih kecil dari 𝐻(𝑛). • Hitung 𝐽 2𝑛 − 𝐽(𝑛) dengan 𝑛 = 1,2,3, … , 𝑁 dan 𝑁 cukup besar. • Tentukan kemungkinan nilai 𝐽 (𝑚) = 𝐽 (𝑛) + 1?
𝑚 𝑛
jika
• Misalkan n bilangan terbesar sehingga 𝐽 (𝑛) = 𝑚, untuk m = 1, 2, . . . , 30. Tuliskan ini sebagai L (m). Hitung Carilah suatu kesimpulan mengenai hasil ini?
𝐿 𝑚+1 𝐿 𝑚
.
• Tentukan order dari 𝐿(𝑚) jika m membesar tanpa batas. Sekali lagi, tentukan order membesarnya 𝐻(𝑛).
Slide 28 28
1
𝑘+1 apakah dia • Bagaimana dengan deret ∞ 𝑘=1 −1 𝑘 konvergen? Apakah anda mengenali nilainya?
• Bagaimana dengan 1 1 1 1 1 1 1 1+ − + + − + + +⋯ 2 3 4 5 6 7 8 1
1
1
1
1
1
1
1
1
• Bagaimana dengan 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + ⋯ 1
• Bagaimana dengan 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + ⋯ jumlah dari 1 𝑝𝑖
dengan 𝑝𝑖 bilangan prima?
• Bagaimana dengan
1 1 1 + 2+ 3+⋯ 1 Slide 29 29
Sistematika Suatu Penulisan • Pendahuluan
• Beberapa hal yang diperlukan • Hasil: Pembuktian atau analisisnya
Slide 30 30
Pendahuluan • Berisi tentang hasil yang sudah ada! Jangan lupa daftar pustaka yang berkaitan. • Berisi tentang apa yang akan dikerjakan! – Melengkapi – Mengembangkan
– Menyelesaikan – Memperumum – Mengekplorasi
• Berisi tentang mengapa ini menarik untuk dikerjakan!
Slide 31 31
Beberapa hal yang diperlukan • Mungkin pada pembicaraan yang dibahas, kita memerlukan beberapa definisi atau hal lain dari pembahasan di makalah lain.
• Karena sangat diperlukan, maka hal di atas dibahas secukupnya. • Katakanlah proposisinya agar memudahkan orang yang akan membaca makalah. • Jika pembahasan yang diperlukan melebihi tulisan kita sendiri, lebih baik cukup diacu agar pembaca membaca langsung dari makalah aslinya.
Slide 32 32
Pembuktian dan Analisis • Uraikanlah hasil pekerjaan dengan jujur.
• Sebutkan pekerjaan orang dan perlihatkan hasil pekerjaan kita. • Pekerjaan kita termasuk membuat program, menggunakan program, selanjutnya menginterpretasikan diceritakan disini. • Misalkan bukti yang berbeda dapat saja dianggapa berbeda. Tetapi beda dalam arti matematika. • Bahasa tentu harus berbeda, tetapi ini tidak cukup.
• Pada akhir bab, bisa saja kita mengucapkan terima kasih. Slide 33 33
Daftar Pustaka • Jangan lupa untuk menuliskan semua Daftar Pustaka yang sudah dipakai. • Alangkah baiknya jika semua yang ada di Daftar Pustaka, disebutkan dimana dalam artikel dipakai.
Slide 34 34
Slide 35 35
