INTEGRAL, Vol. 10 No. 1, Maret 2005
FUNGSI DELTA DIRAC Marwan Wirianto1) dan Wono Setya Budhi2) 1)
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Katolik Parahyangan, Bandung 40141 – Indonesia E-mail :
[email protected] 2) Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Bandung, Bandung 40132 - Indonesia E-mail :
[email protected]
Intisari "Fungsi" Delta Dirac seringkali ditemukan pada fenomena - fenomena fisika tetapi maknanya tidak seperti fungsi yang dikenal dalam matematika. Pada tulisan ini, akan dibahas beberapa fungsi sederhana yang digunakan untuk menghampiri "Fungsi" Delta Dirac dan untuk memperlihatakan sifat unik dari "fungsi" ini. Kata kunci : hampiran kontinu.
Abstract We often find Dirac Delta "function" in physics for describing instantaneous event, but it has different meaning with math function. In this paper, we will study some functions that can be used for approximating Dirac Delta "function" and for showing unique characteristic this "function". Keywords : continuum approximation. Diterima : 29 Oktober 2004 Disetujui untuk dipublikasikan : 5 Maret 2005
t = t 0 , maka akan diperoleh nilai δ (t ) = 0 untuk t < t 0 maupun t > t 0 .
1. Pendahuluan Dalam beberapa fenomena fisika, kita akan berhubungan dengan kejadian yang sifatnya impulsif (hal yang terjadi pada selang waktu yang singkat). Sebagai contoh, saat bola golf dipukul dengan stik, kejutan listrik, tumbukan massa, transfer panas, dan sebagainya. Pada kasus bola golf yang dipukul dengan stik, bola yang dipukul tentunya tidak akan menempel pada alat pemukul untuk jangka waktu yang lama.
Sedangkan reaksi dari gaya ini dapat dituliskan [1], setelah dinormalisasi, sebagai:
∫
∞
−∞
δ (t )dt = 1
….(1)
Nilai pada ruas kanan persamaan (1) di atas tidak boleh sama dengan nol karena reaksi ini ada yaitu ditunjukan dengan bola yang melesat. Dalam matematika, tidak ada fungsi kontinu yang bersifat demikian, sebab jika ada fungsi yang nilainya tidak nol hanya pada suatu titik maka integral Riemann fungsi tersebut
Misalkan fungsi δ (t ) menyatakan besarnya gaya yang diberikan stik terhadap bola dan bekerja pada saat
1
INTEGRAL, Vol. 10 No. 1, Maret 2005
sepanjang domainnya akan menghasilkan nilai sama dengan nol.
ruas kanan pada persamaan (3) selalu bernilai nol [2]. Seperti yang telah digambarkan pada bagian pendahuluan, kita tidak akan dapat menemukan fungsi – fungsi yang telah kita pelajari yang memiliki sifat seperti pada persamaan (2) dan (3) secara bersamaan. Yang akan dilakukan di sini, untuk menggambarkan "fungsi" Dirac Delta adalah dengan metoda penghampiran.
Fungsi – fungsi yang memiliki sifat seperti di atas dikenal sebagai "fungsi" Delta Dirac. Pada [1] digunakan fungsi yang diskontinu untuk mendekati "fungsi" Delta Dirac. Namun seringkali, fungsi yang diskontinu sulit digunakan untuk menggambarkan keadaan fenomena alam yang bersifat kontinu. Oleh karena itu, maka pada makalah ini akan dibahas penghampiran "fungsi" Delta Dirac di atas dengan menggunakan fungsi yang kontinu namun sangat sederhana yaitu kombinasi dari fungsi linear. Dengan pendekatan ini, kita dapat mencari jawab untuk Persamaan Differensial yang berkaitan dengan “fungsi” Delta Dirac.
3. “Fungsi” Delta Dirac sebagai hampiran fungsi kontinu Asumsikan bahwa fungsi dari gaya yang diberikan stik di atas tidak hanya bekerja di saat t = t 0 melainkan pada suatu
selang (t 0 − ε , t 0 + ε ) dengan ε > 0 adalah sebarang bilangan. Tanpa mengurangi keumuman kita misalkan t 0 = 0 , sehingga kita memperoleh selang waktu terjadinya tumbukan adalah (− ε , ε ) . Definisikan fungsi d ε (t ) sebagai berikut :
2. “Fungsi” Delta Dirac "Fungsi" Delta Dirac pertama kali diperkenalkan oleh fisikawan Inggris Paul. A. M. Dirac (1902-1982) [1] untuk mengambarkan suatu keadaan fenomena fisika yang memiliki nilai pada suatu titik (singular pada satu titik), namun nilai pada titik yang lain sama dengan nol. Di samping itu, integral "fungsi" tersebut sepanjang interval domainnya sama dengan satu. Dirac menggunakan symbol δ untuk menggambarkan "fungsi"nya tersebut.
1 ⎧ 1 ⎪ ε 2 t + ε , −ε < t < 0 ⎪⎪ 1 1 d ε (t ) = ⎨− 2 t + , 0 ≤ t < ε ε ε ⎪ 0, lainnya ⎪ ⎪⎩
Dengan pendefinisian di atas, dapat dibuktikan bahwa fungsi yang didefinisikan pada persamaan (4) di atas adalah fungsi kontinu.
Misalkan t = 0 adalah titik saat nilai "fungsi" Dirac Delta tidak sama dengan nol, maka "fungsi" Delta Dirac dalam notasi matematika dapat dituliskan sebagai berikut :
⎧∞, t = 0 ⎩ 0, t ≠ 0
δ (t ) = ⎨
……….(2)
dan
∫
∞
−∞
δ (t )dt = 1
….. (4)
……… (3)
Perhatikan bahwa nilai δ (t ) pada persamaan (2) di titik t = 0 harus tidak terdefinisi sebab jika nilainya terdefinisi maka kita dapat memastikan bahwa nilai
2
INTEGRAL, Vol. 10 No. 1, Maret 2005
Gambar 1. Fungsi
d ε (t ) untuk beberapa nilai ε .
Usaha yang kita lakukan dengan pendefinisian di atas adalah membuat segitiga sama kaki di sekitar t 0 = 0 dengan alas sebesar 2ε
sebesar
1
∫
−∞
. Sehingga dengan demikian,
ε jika nilai ε > 0 diambil membesar maka
nilai fungsinya akan mengecil, sebaliknya, jika nilai ε > 0 diambil mengecil maka nilai fungsinya akan membesar. Namun di samping itu, kita tetap memperoleh nilai
∫
−∞
∫
⎩ 0,
∞
−∞
= f ( 0) •
lainnya
Misalkan f (t ) adalah fungsi genap. Karena δ (t ) merupakan fungsi genap, maka:
∫
∞
−∞
∫
lim d ε (t )dt = 1
− ∞ ε →0
− ∞ ε →0
d ε (t )dt = 1
dan ∞
∞
δ (t ) f (t )dt = ∫ lim d ε (t ) f (t )dt =0
untuk berapapun nilai ε > 0 . Sehingga, dapat diterima bahwa : ⎧∞, t = 0 … (5) lim d ε (t ) = ⎨ ε →0
δ (t ) f (t )dt = f (0) …………….(8)
dengan f (t ) adalah sebarang fungsi kontinu. Bukti : • Misalkan f (t ) adalah fungsi yang ganjil. Karena δ (t ) didefinisikan pada persamaan (7) merupakan fungsi genap, maka:
dan tinggi
∞
∞
∞
δ (t ) f (t )dt = ∫ lim d ε (t ) f (t )dt −∞ ε →0
ε
= lim ∫ d ε (t ) f (t )dt
…….(6)
ε → 0 −ε
ε
Oleh karena itu, kita dapat mengambil hampiran “fungsi” Delta Dirac sebagai berikut : δ (t ) = lim d ε (t ) .....(7)
= 2 lim ∫ d ε (t ) f (t ) dt ε →0 0
Dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus dan Teorema d’Hopital, diperoleh:
ε →0
∫
4. Sifat “fungsi” Delta Dirac
∞
−∞
•
Pada bagian ini kita akan membuktikan bahwa "fungsi" Delta Dirac di atas memiliki sifat yang telah dikenal, yaitu :
3
δ (t ) f (t )dt = f (0) Untuk f (t ) yang bukan fungsi genap maupun fungsi ganjil, kita
INTEGRAL, Vol. 10 No. 1, Maret 2005
kontinu namun tidak terdiferensialkan. Pada [3], untuk menghampiri “fungsi” Delta Dirac digunakan fungsi yang terdiferensialkan, tetapi tidak dibuktikan memenuhi sifat yang telah dikenal (8). Pada subbab ini, kita akan membuktikan bahwa fungsi hampiran yang digunakan pada [3] memenuhi persamaan (8). Misalkan t 0 = 0 dan ε > 0 , definiskan
dapat menuliskannya sebagai kombinasi dari fungsi ganjil dan fungsi genap sebagai berikut: f (t ) − f (−t ) f (t ) + f (−t ) f (t ) = + 2 2 Sehingga diperoleh:
∫
∞
−∞
dengan
demikian
δ (t ) f (t )dt = f (0)
fungsi wε (t ) sebagai berikut :
5. “Fungsi” Delta Dirac sebagai hampiran fungsi terdifferensialkan
wε (t ) =
⎛ t2 ⎞ exp⎜⎜ − 2 ⎟⎟, − ∞ < t < ∞ ε 2π ⎝ 2ε ⎠ 1
……..(9)
Pada 2 subbab sebelumnya, kita mengkonstruksi hampiran "fungsi" Delta Dirac dengan menggunakan fungsi yang
Gambar 2.
wε (t ) untuk beberapa nilai ε .
Dari pendefinisian pada persamaan (9) di atas, dapat dibuktikan bahwa fungsi wε (t ) merupakan fungsi yang kontinu dan terdiferensialkan. Jika kita perhatikan lebih jauh, maka pendefinisian persamaan (9) merupakan fungsi kerapatan peluang (pdf) distribusi normal dengan µ = 0 dan σ 2 = ε 2 . Sehingga mudah diterima bahwa: ⎧∞, t = 0 …….(10) lim wε (t ) = ⎨ ε →0
⎩ 0,
∫
∞
lim wε (t )dt = 1
−∞ ε →0
…………(11)
untuk berapapun nilai ε > 0 . Oleh karena itu, kita dapat mendefinisikan "fungsi" Dirac Delta dengan menggunakan hampiran sebagai berikut : δ (t ) = lim wε (t ) …………..(12) ε →0
Pada bagian ini, kita akan membuktikan bahwa "fungsi" Dirac Delta yang didefinisikan pada persamaan (12) di atas, juga memiliki sifat :
lainnya
∫
dan
∞
−∞
4
δ (t ) f (t )dt = f (0) …….(13)
INTEGRAL, Vol. 10 No. 1, Maret 2005
kemudian pada saat t = 2 pegas tersebut diberikan hentakan yang terjadi pada waktu singkat. Dengan menggunakan hampiran “fungsi” Delta Dirac seperti yang dikonstruksi pada persamaan (4), kita akan mensimulasikan pergerakan pegas tersebut.
dengan f (t ) adalah sebarang fungsi yang kontinu. Bukti :
∫
∞
−∞
∞
δ (t ) f (t )dt = ∫ lim wε (t ) f (t )dt − ∞ ε →0 ∞
= ∫ lim − ∞ ε →0
⎛ t2 exp⎜⎜ − 2 ε 2π ⎝ 2ε 1
⎞ ⎟⎟ f (t ) dt ⎠
dengan menggunakan substitusi u =
Untuk menyelesaikan persamaan diferensial tak homogen pada persamaan (14) di atas, akan dihampiri menggunakan
t
ε
akan diperoleh : ∞
= ∫ lim − ∞ ε →0
= f (0 )∫
∞
−∞
⎛ u2 ⎞ exp⎜⎜ − ⎟⎟ f (εu )du 2π ⎝ 2 ⎠ ⎛ u2 ⎞ 1 exp⎜⎜ − ⎟⎟du 2π ⎝ 2 ⎠
y '' + y = f ε (t )
1
dengan
1 ⎧ 1 ⎪ ε 2 (t − 2) + ε , 2 − ε < t < 2 ⎪⎪ 1 1 f ε (t ) = ⎨− 2 (t − 2) + , 2 ≤ t < 2 + ε ε ⎪ ε 0 , lainnya ⎪ ⎩⎪
= f (0) 6. Aplikasi “Fungsi” Delta Dirac
Pada Sistem Pegas Pada bagian ini, kita akan menerapkan “fungsi” Delta Dirac yang telah dikonstruksi pada persamaan (4) di atas untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial. Misal akan dicari solusi dari persamaan diferensial dari : y '' + y = δ (t − 2) …………..(14) dengan nilai awal y (0) = 1 dan
Solusi dari persamaan diferensial ini adalah
y (t ) = g (t ) sin(t ) + (1 + h(t )) cos(t ) ………….(15) t
dengan
g (t ) = ∫ cos( x) f ε ( x)dx 0
dan
t
h(t ) = − ∫ sin( x) f ε ( x)dx . Misalkan kita 0
menggunakan nilai ε = 1 , maka akan diperoleh grafik untuk persamaan (15)
y ' (0) = 0 .
Secara fisis persamaan diferensial ini dapat diartikan sebagai persamaan pegas yang diberi simpangan awal sebesar 1 dan tanpa kecepatan awal,
5
INTEGRAL, Vol. 10 No. 1, Maret 2005
Gambar 3. Grafik solusi persamaan (14) dengan
ε =1
Kita dapat memperoleh grafik yang lebih baik jika menggunakan nilai ε yang jauh lebih kecil.
Gambar 4. Grafik solusi persamaan (14) dengan
Dari gambar (3) dan gambar (4), kita dapat mengintepretasikanmya bahwa sesaat sebelum t = 2 , pegas dalam pergerakan ke arah sumbu y negatif, kemudian dengan adanya hentakan yang terjadi pada t = 2 , pegas mengalami
ε = 0.0001
peredaman, hal ini dapat diamati dari amplitudo pegas yang mengecil. Jika diamati lebih jauh pada gambar (3), sesaat setelah hetakan, pegas tetap mengalami pergerakan ke bawah. Hal ini disebabkan karena waktu hentak yang
6
INTEGRAL, Vol. 10 No. 1, Maret 2005
“fungsi” ini menjadi lebih mudah dan dapat diperkenalkan untuk mahasiswa tingkat 2.
terjadi cukup lama, akibatnya gaya yang dihasilkan cukup kecil sehingga tidak mampu membalikkan arah pegas, berbeda dengan yang terjadi gambar (4), dengan waktu hentak yang sangat singkat, maka sistem pegas akan berbalik arah.
8. Daftar Pustaka [1.] Penney, David E. dan C.H.Edward, Jr. “Elementary Differential Equations” Prentice Hall, USA, 1993. [2.] Bartle, Robert G dan Donald R Sherbert, “Introduction to Real Analysis”, John Wiley & Sons, Inc., 2000 [3.] Kevorkian, J. “Partial Differential Equations: Analytical Solution Techniques”. pp 9, Wadsworth & Brooks/Cole, Inc., 1989
7. Kesimpulan “Fungsi” Delta Dirac merupakan suatu fungsi yang sangat unik. Fungsi ini menjadi unik karena banyak digunakan untuk menjelaskan fenomena fisis namun bentuknya tidak seperti fungsi yang dikenal dalam matematika. Dengan menggunakan pendekatan seperti yang telah dikonstruksi di atas, konsep
7
