Fermi – Dirac statisztika elemei
A Fermi – Dirac statisztika alapjai • Nagy részecskeszámú rendszerek fizikai jellemzéséhez statisztikai leírást kell alkalmazni. (Pl. gázokra érvényes klasszikus statisztika esetén is) • Elektronok gázatomok • Enrico Fermi (1901 - 1954) 1920-ban Rómában dolgozta ki a statisztikai modelljét • Fermionokra érvényes (elektronok is ilyenek) Fermionok = feles spinű részecskék • A Fermi – Dirac statisztika feltétel-rendszere: – Részecskék megkülönböztethetetlenek – Érvényesek Bohr – posztulátumai, azaz a fermionok energiája csak kvantált értékeket vehet fel – Érvényes a Pauli-elv, azaz egy atomon vagy molekulán belül legfeljebb két részecske (elektron) lehet ugyanolyan energiájú állapotban – Érvényesek a Heisenberg-féle határozatlansági relációk, azaz a fáziscella vagy impulzuscella nem lehet tetszőlegesen kicsi Értelmezés (fáziscella): A ∆𝑝 ∙ ∆𝑥 „térfogatot”, ill. szorzatot fáziscellának nevezzük.
A Fermi –Dirac statisztika lényege az energiaeloszlási függvény vizsgálata: Kérdés: Hány valenciaelektron tartózkodik egységnyi térfogatban, T hőmérsékleten, W energiaállapotban, egy dW széles energiaintervallumon belül? A kérdés megválaszolásához vezessük be először a Fermi-függvényt: Értelmezés (Fermi-függvény): Azt a függvényt, amely megadja, hogy milyen mértékben van betöltve egy adott W energiaszint elektronokkal Fermi-függvénynek nevezzük. A Fermi-függvény matematikai alakja a következő: 𝟏 𝑷 𝑾 = 𝑾−𝑾 𝑭 𝒆 𝒌𝑻 + 𝟏 ahol: 𝑊𝐹 : a később definiálásra kerülő Fermi-energia 𝑘: a Boltzmann-állandó 𝑊: az adott energiaszint 𝑇: az abszolút hőmérséklet
𝑷 𝑾 =
𝟏 𝑾−𝑾𝑭 𝒆 𝒌𝑻
+𝟏
Elemezzük ezt a függvényt: • Ha 𝑻 = 𝟎 𝐊, és 𝑾 < 𝑾𝑭 , akkor 𝑷 𝑾 = 𝟏. • Ha 𝑾 > 𝑾𝑭 , akkor 𝑷 𝑾 = 𝟎. 𝟏 𝟐
• Ha 𝑻 > 𝟎 𝑲, és 𝑾 = 𝑾𝑭 , akkor 𝑷 𝑾 = . Ezek alapján a függvény ábrázolható:
Értelmezés (Fermi-energia, 𝑾𝑭𝟎 ): Abszolút nulla fokon a vezetésben résztvevő elektronok számára a legmagasabb betöltött energiaszint, míg magasabb hőmérsékleten a félig betöltött energiaszint a Fermi-energia. Megjegyzés: Fémek esetében a Fermi-energia megegyezik a kémiai potenciállal, ami az egy részecskére jutó szabad entalpia értelmezése alapján éppen a rendszer részecskeszámának eggyel történő növeléséhez szükséges energiával egyenlő.
Az energiaeloszlási sűrűségfüggvény: Értelmezés (energiaeloszlási sűrűségfüggvény): Az 𝑛 részecskeszám függvény energia szerinti differenciálhányados-függvényét 𝑑𝑛 energiaeloszlási sűrűségfüggvénynek nevezzük. Matematikailag . 𝑑𝑊
Az energiaeloszlási sűrűségfüggvény alakja esetünkben: 𝑑𝑛 = 𝑑𝑊 Ábrázolva:
3 4𝜋(2𝑚)2
ℎ3
∙
1 𝑊−𝑊𝐹 𝑒 𝑘𝑇
∙ 𝑊 +1
𝑑𝑛 = 𝑑𝑊
3 4𝜋(2𝑚)2
ℎ3
∙
1 𝑊−𝑊𝐹 𝑒 𝑘𝑇
∙ 𝑊 +1
Szétválasztva a változókat: 𝑑𝑛 =
3 4𝜋(2𝑚)2
ℎ3
∙
1 𝑊−𝑊𝐹 𝑒 𝑘𝑇
∙ 𝑊 ∙ 𝑑𝑊 +1
Integrálva mindkét oldalt: 𝑛
𝑑𝑛 =
3 4𝜋(2𝑚)2
0
ℎ3
∙
𝑊𝐹 0
1 𝑊−𝑊𝐹 𝑒 𝑘𝑇
∙ +1
𝑊 𝑑𝑊 0
P(W)
T=0 K-en P(W)=1, így: 𝑛
𝑑𝑛 = 0
3 4𝜋(2𝑚)2
ℎ3
𝑊𝐹0
∙
𝑊 𝑑𝑊 0
Elvégezve az integrálásokat: 𝟑𝒏 𝟐 𝒉𝟐 𝑾𝑭𝟎 = ( )𝟑 ∙ 𝟖𝝅 𝟐𝒎 Azaz a nullponti Fermi-energia csak a vezetésben résztvevő elektronok koncentrációjától (n) függ, azaz az adott fémre jellemző érték.
A kilépési munka
negatív
pozitív
Az atommag körül keringő elektron potenciális energiája negatív, illetve végtelen nagy sugarú elektronpálya esetén zérus. A fémen belül a szabad elektronok 𝑾𝟎 potenciális energiája negatív, és a fém felülete felé haladva növekszik, majd a fémen kívül pedig nulla értéket vesz fel.
A vezetési sávban lévő elektronoknak a potenciális energián kívül kinetikus energiájuk is van. A kinetikus energia az elektronok relatív számának a függvényében a következő módon alakul:
𝑊𝐹
Értelmezés (Fermi-nívó): A 𝑊𝐹 Fermi-energiával rendelkező elektronoknak megfelelő energianívót Fermi-nívónak nevezzük.
Mivel a Fermi szinten maximális kinetikus energiájú elektronok vannak, ezért a Fermi-nívó alatti, mélyebb energiaszinteket az elektronok teljesen betöltik. A Fermi-nívó feletti energiaszintek pedig 0 K hőmérsékleten teljesen üresek:
Értelmezés (Kilépési munka): Azt a 𝑊𝑘 energiát, amelyet a Fermi nívón lévő elektronnal közölni kell ahhoz, hogy az elektron a fémből kijusson, kilépési munkának nevezzük. Nagysága a 𝑊0 potenciális energia abszolút értékének és a 𝑊𝐹 Fermi-energiának a különbsége. Azaz: 𝑾𝒌 = 𝑾 𝟎 − 𝑾𝑭
