EMLÉKEZTETŐ
Sávszerkezet
εk
Tiltott sávok a gerjesztési spektrumban:
negatív effektív tömeg: lyuk
4t p
3-dimenzió: effektív tömeg tenzor
4t s − megengedett energiaállapotok
π
π
m* =
a
a elektron
ε
2 1 ⎛⎜ ∂ ε kr r 2⎜ h ⎝ ∂ k2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
−1
ε Cu
Si
k
k
Hol van a kémiai potenciál?
Teljesen betöltött sáv: félvezető diszperziós reláció
állapotsűrűség
ε
ε
Fermi-Dirac statisztika
ε
exponenciális lecsengés
εc
Eg
εc
Eg
εv
εv
εv
εc
μ
D(ε )
Elektronok a vezetési sávban:
∞
⎧ ε −μ⎫ f (ε ) ≈ exp⎨− ⎬ ⎩ kBT ⎭
εC
Lyukak a vegyérték sávban:
n = ∫ D c (ε ) f (ε )dε
Elektronok a vegyérték sávban:
nv =
εV
∫ D v (ε ) f (ε )dε
−∞
p=
εV
∫ D v (ε )[1 − f (ε )]dε
-∞
1
Félvezető állapotsűrűség
ε
εc
ε
Eg
εv
Fermi-Dirac statisztika
∞ ⎛ m* k T ⎞ n = ∫ D c (ε ) f (ε )dε = 2⎜ n B2 ⎟ ⎜ 2π h ⎟ ⎠ ⎝ εC
3/ 2
⎧ ε −μ⎫ exp⎨− c ⎬ ⎩ kBT ⎭
εV
⎛ m*p k BT ⎞ ⎟ p = ∫ D v (ε )[1 − f (ε )]dε = 2⎜ ⎜ 2π h 2 ⎟ -∞ ⎝ ⎠
μ
3/ 2
⎧ μ −εv ⎫ exp⎨− ⎬ ⎩ k BT ⎭
Az elektronok és a lyukak száma megegyezik
⎛ m* ⎞ 1 (ε c + ε v ) + 3 kBT ln⎜⎜ *p ⎟⎟ 2 4 ⎝ mn ⎠ Eg tiltott sáv közepe μ ≈ εv + 2
μ=
n = p = np
D(ε )
⎧ ε −μ⎫ f (ε ) ≈ exp⎨− ⎬ ⎩ kBT ⎭ Töltéshordozó koncentráció (RT) Si: 1.02 1010cm-3 Ge: 2.33 1013cm-3
3
(
⎛k T ⎞ np = 2⎜ B 2 ⎟ mn* m*p ⎝ 2πh ⎠ ⎛k T ⎞ n = p = 2⎜ B 2 ⎟ ⎝ 2πh ⎠
3/ 2
)
3/ 2
(m m ) * n
⎧ ε −ε ⎫ exp⎨− c v ⎬ ⎩ kBT ⎭
⎧ * 3/ 4 exp⎨− p
Eg ⎫ ⎬ ⎩ 2kBT ⎭
2
GaAs sávszerkezete Elektron típusú Bloch-állapotok a Γ minimumhelyen
εF
εk = ε0 +
∂ 2ε k ∂k 2
(k − k 0 )2 = ε 0 +
h2 (k − k 0 )2 2m *
Lyuk típusú Bloch-állapotok a Γ maximumhelyen
εk
a foton által átadott energia
EG
hν ≈ E gap
Direkt tiltott sávú félvezető
Az optikai rgerjesztés nem jár impulzusáltozással, mert h Δk elektron ≈ 0 (a fény hullámszáma sokkal kisebb, mint a Brillouin-zóna méretskálája)
Szilícium sávszerkezete εF
Elektron típusú Bloch-állapotok az X minimumhelyen Lyuk típusú Bloch-állapotok a Γ maximumhelyen
Indirekt tiltott sávú félvezető a vezetési sáv teteje és a vegyérték sáv alja eltérő hullámszám-értéknél van
hν ≈ E gap
Az optikai gerjesztés impulzusáltozással jár, azaz egy fonon elnyelése/kibocsátása is kell: r r hq ≈ h Δk (míg h ω << E gap ).
3
A többlet elektron a szennyezési potenciál terében
n-típusú adalékolás
Kötött állapot – „H atom probléma”:
⎧⎪ h 2 2 e 2 ⎫⎪ ⎨− * ∇ − ⎬ψ = εψ ε r r ⎪⎭ ⎪⎩ 2m
ε r ≈ 10 − 20 m* ≈ 0.1 − 1
elektron
P
r0 =
m
h2
m
me 2
ε * r
ε0 =
m*
e4
0.53Å 30-100 Å 13.6 eV 10-80 meV
mε r2 2h 2
Donor
ε
Periódusos tábla V. oszlop elemei P, As, Sb A többlet-elektron gyengén kötődik a donor atomhoz
A donor nívó közvetlenül a vezetési sáv alatt helyezkedik el
εc εv
εd
Eg
D(ε )
A lyuk a szennyezési potenciál terében
p-típusú adalékolás
Kötött állapot – „H atom probléma”:
⎧⎪ h 2 2 e 2 ⎫⎪ ⎨− * ∇ − ⎬ψ = εψ ε r r ⎪⎭ ⎪⎩ 2m
ε r ≈ 10 − 20 m* ≈ 0.1 − 1
lyuk
B
r0 =
m m*
ε0 =
εr
m*
h2
0.53Å 30-100 Å
me 2
e4
13.6 eV
Akceptor Periódusos tábla III. oszlop elemei B, Ga, In A lyuk gyengén kötődik az akceptor atomhoz
5-100 meV
mε r2 2h 2
ε Az akceptor nívó közvetlenül a vegyérték sáv felett helyezkedik el
εc εv
εa
Eg
D(ε )
4
Vezetőképesség
σ = μ en + μ h p
ε
dominál a töltéshordozók számának exponenciális T-függése
Intrinsic (saját) félvezető
log σ
intrinsic
n= p
εc
Eg
εv
σ = (μ e + μ h ) n Eg ⎫ ⎬ 2 k BT ⎭ ⎩
nd
⎧
σ ∝ exp⎨−
D(ε )
ε
εc εv
extrinsic
n-típusú adalékolás járuléka σ =μen
εd
1/T
D(ε )
⎧ ε −ε ⎫ n ∝ exp⎨− c d ⎬ ⎩ 2k BT ⎭
n = nd telítési tartomány
alacsony hőmérséklet: aktívált viselkedés
5
Fémek elektromos vezetése
Boltzmann-egyenlet
Külső erők hatására megváltozik az elektronok állapota. Célkitűzés: a stacionárius eloszlásfüggvény meghatározása.
Külső hatás nélkül:
1
f 0 (k ) = e
kBT
1
f (k , t ) =
ε (k )− μ
+1
ε (k )− μ
+1
kBT
e
Legegyszerűbb eset: E homogén elektromos tér alkalmazása egyensúlyi eloszlás
ky
df 0 =0 dt
Az eloszlásfüggvény időbeli változása
df ∂f ∂f ∂k = + dt ∂t ∂k ∂t
Közelítés
()
() ()
r r r f k = f0 k +gk
Egyensúlyhoz közeli állapot: kx
r r r ∂f 0 ∂g ∂k ∂f 0 ∂g 1 r ∂f 0 ∂ε k ∂g g r = r = + − eE − eEv =− τ ∂t ∂t ∂k ∂t h ∂ε ∂k ∂t ∂ε
Fermi-energiáig betöltött állapotok –kx irányba terjedő hullám
kx irányba terjedő hullám
relaxációs idő közelítés
r r r ∂ p ∂hk = = eE ∂t ∂t
Nincs kitüntetett irány, az eloszlásfüggvény szimmetrikus, nem folyik áram!
Egyensúly elérése a tér kikapcsolása után
Newton- törvény
g (t ) = g (t = 0) e −t /τ
()
r r ∂f 0 1 r ∂f 0 ∂ε k g r = −eEv − eE =− ∂ε τ ∂ε ∂k h
Külső hatás nélkül:
1 f (k ) = ε (k )− μ +1
r eτ r ∂f ∂ε k r = g (k ) E h ∂ε ∂k
e egyensúlyi eloszlás
kBT
ky
ky
()
r eτ r ∂f 0 ∂ε k r gk = E h ∂ε ∂k
0
0
df 0 =0 dt
()
()
r r eτ r ∂f 0 ∂ε k r f k = f0k + E h ∂ε ∂k eltolódott eloszlás
kx
eτ ⎞ ⎛ f (ε ) = f 0 ⎜ k + E ⎟ h ⎠ ⎝
kx
kd = − szabad elektron
hk d
τ
Nincs kitüntetett irány, az eloszlásfüggvény szimmetrikus, nem folyik áram!
() ()
r r r f k = f0 k +gk
Stacionárius állapotban
=
mv d
τ
eτ E h mobilitás (μ)
= eE
j = nev d = neμ E
⇒
vd =
⇒
eτ E m
σ = neμ =
ne 2 τ m
Drude-formula
6
Fémek ellenállásának hőmérsékletfüggése R Matthiessen-szabály:
1 Ellenállás
τ
=
1
τ
+ imp
1
τ
+ e −e
1
τ
1
τ
e− f
∝ T, T > Θ D
elektron-fonon szórás (rugalmatlan)
e− f
1
τ
1
τ
∝ T2 e −e
e− f
∝ T5 , T < ΘD
elektron-elektron szórás (miért is van?) k BT ⋅ k BT
1
τ
= konstans imp
szennyezések, rácshibák szórása (rugalmas)
T
Hőmérséklet
eltolódott eloszlás
ky
Hall-effektus Az eltolódott eloszlásfüggvényhez tartozó
r
r
átlagos impulzus: p = h k d
hk d
τ
=
mv d
τ
= −eE kx
kd = − Edwin Hall elképzelése
B
Ey
mv d
eτ E h
= −e[E + v × B ]
j
a Fermi-gömb
(a Pauli-elv miatt)
Mi az összenyomhatatlan „elektromosság”?
τ m 1 j y = eE y + j x Bz neτ n
j = − nev d jy = 0 Prof. Rowland hipotézise
Ey = −
Bz jx ne
1 RH = − ne
7
A vezetőképesség frekvenciafüggése (Drude-modell)
eltolódott eloszlás
ky
Az eltolódott eloszlásfüggvényhez tartozó r r átlagos impulzus: p = h k d kx
Relaxációs időközelítés lineáris egyenlet: elegendő egy Fourier komponenst nézni: E(t ) = Eω e − iω t
dp p = − + F (t ) dt τ
p(t ) = pω e − iω t
próbafüggvény:
− iω pω = −
pω
τ
− eEω
m m jω iω jω = − eEω ne ne τ jω =
kd = −
m⎞ ⎛ ⎜p=−j ⎟ ne ⎠ ⎝
ne 2 1 ) Re σ (ω ) = σ (ω ) = τ m 1+ ω 2 τ 2
σ (ω) σo =
2
1 ne Eω τ m 1 − iω τ
eτ E h
ne2 τ m
komplex vezetőképesség
)
σ (ω ) =
ne2 1 τ m 1 − iω t
logω
1
τ
Optikai tartományban (Drude modell) )
σ (ω ) =
ne 2 1 τ m 1 − iω τ
)
ε (ω ) = ε o + i
ne 2 εom
a hullámszám komplex
ω <ωp Tipikus értékek:
Re ε << 0
σo ≈ 10 Ω cm ≈ 10 s −1
18
−1
τ −1 ≈ 1012 −1013 Hz
ω p ≈ 10 Hz (hω p ≈ 10 eV) 16
⎠
ω p2 =
ε (ω)
τ −1
−1
⎜ ⎝
ω 2pτ 2 ⎞⎟ ωτ (1 + iω τ ) ⎟
σo
nˆ = εˆ = n + iκ refrakciós index
6
⎛
)
ε (ω ) = ε o ⎜1 −
σ (ω)
Fémek optikai tulajdonságai
ω kˆ = εˆ c
)
σ (ω ) ω
ωp
logω
ω =ωp
ω >> ω p
Koherens oszcilláció plazma rezgés
nˆ tiszta imaginárius lecsengő behatolás 1/κ tartományban reflexiós tartomány
(ωτ >> 1)
ε = 1−
ω 2p ω
2
n = 1−
ω 2p ω2
ultraibolya átlátszóság
8
