MEMAHAMI MATEMATIKA MELALUI RESOLUSI PARADOKS

MEMAHAMI MATEMATIKA MELALUI RESOLUSI PARADOKS 1)

Kadek Adi Wibawa, 2)Herna Universitas Mahasaraswati Denpasar, 2)Universitas Sulawesi Barat [email protected], [email protected]

1)

Abstrak: Teka-teki otak telah menarik banyak orang untuk menghabiskan waktu agar bisa memecahkannya. Paradoks merupakan tipe khusus teka-teki yang bertujuan untuk mengungkapkan dan menekankan inkonsistensi atau kontradiksi yang dihasilkan dari beberapa eksperimen mental dalam matematika. Resolusi paradoks mengajarkan kita untuk tetap waspada dan sadar akan kekurangan yang mungkin terjadi dari berbagai macam kejadian. Banyak paradoks, seperti dari Zeno dan Borasi yang telah banyak mempengaruhi perkembangan ilmu matematika. Dimana, matematika bukan lagi dipandang sebagai sesuatu yang diam atau memiliki aturan-aturan yang tidak dinamis. Justru dalam paradoks ini, aturan-aturan dalam matematika akan menjawab bagaimana mereka berperan, dan bagaimana mereka menunjukkan keindahannya. Kata Kunci: hakekat pemahaman matematika

matematika,

paradoks

matematika,

resolusi,

Abstract: Puzzle brain has attracted many people to spend time in order to solve it. Paradox is a special type of puzzle that aims to reveal and emphasize inconsistencies or contradictions resulting from several mental experiments in mathematics. Resolution paradox teaches us to remain alert and aware of the shortcomings that may occur from a variety of events. Many paradoxes, such as from Zeno and Borasi that have influenced the development of the mathematical sciences. Where, mathematics is no longer seen as something that is silent or have rules that are not dynamic. It is precisely within this paradox, the rules of mathematics will answer how they act, and how they show their beauty. Key Words: the nature of mathematics, mathematical paradox, resolution, understanding of mathematics Pencarian tentang hakekat matematika menjadi satu kajian yang menantang para filsuf dan matematikawan untuk menyumbangkan pemikirannya membangun suatu pemahaman. Melalui pencarian ini muncul paham absolutis yang mengungkapkan bahwa hakekat matematika adalah sesuatu yang absolut atau memiliki nilai kebenaran yang pasti. Beberapa tokoh yang memegang teguh paham ini adalah Hempel, Feigl, Selllars, dan A.J. Ayer seperti yang dipaparkan 1

oleh Ernest (2004) dalam bukunya “The Philosophy of Mathematics Education”. Pandangan ini didasarkan pada: pertama, pernyataan dasar yang digunakan pada pembuktian adalah benar. Aksioma matematika diasumsikan benar, untuk tujuan pengembangan sistem yang sedang dipertimbangkan, definisi matematika adalah benar sesuai dengan keputusan (true by fiat). Kedua, aturan logis penarikan kesimpulan mempertahankan kebenaran, kebenaran disimpulkan dari kebenaran. Berdasarkan kedua fakta tersebut, semua pernyataan pada pembuktian deduktif, termasuk kesimpulannya adalah benar. Jadi karena semua teorema matematika diperoleh dari bukti deduktif, maka semuanya adalah benar. Ini merupakan dasar dari banyak filsuf yang mengkliam bahwa kebenaran matematika adalah kebenaran yang pasti. Pandangan absolutisme terhadap pengetahuan matematika menemui masalah dimulai sejak abad ke-20, ketika sejumlah proposisi mengarah pada suatu kesimpulan yang tidak logis (antinomies) dan kontradiksi diturunkan dari matematika. Salah satunya adalah kemunculan Paradoks Russel yang begitu terkenal dan menyebabkan munculnya paham-paham baru seperti logisisme, formalisme, dan konstruktivisme (intuisionisme). Paham-paham tersebut muncul untuk melindungi sifat pengetahuan matematika dan untuk tetap mempertahankan kepastiannya. Akan tetapi lagi-lagi paradoks merupakan penyebab munculnya fakta bahwa pengetahuan matematika tidak mutlak benar dan tidak memiliki validitas mutlak (Ernest, 2004). Pengetahuan matematika dapat diperbaiki dan selalu terbuka untuk direvisi. Setidaknya itulah gambaran besar dari kemunculan pandangan Fallibilist yang menentang bahwa kebenaran matematika adalah mutlak. Menurut Carson (dalam Kondratieva, 2008) sebuah paradoks dalam arti luas adalah sebuah kemunculan tiba-tiba yang tidak diharapkan, pernyataan atau situasi yang tampak luar biasa, salah, atau bertentangan. Kehadirannya memfasilitasi proses memahami hal-hal dalam upaya untuk memperbaiki kesalahan dan masuk akal. Sumardyono (2011) menambahkan bahwa paradoks merupakan pertentangan antara apa yang dipikirkan kebanyakan orang (commond sense) dengan apa yang sebenarnya terjadi (the truth). Fakta ataupun kebenaran

2

matematis yang melatarbelakangi sebuah masalah paradoks, tidak mudah dipahami oleh semua karena terjadi kontradiktif. Untuk dapat memahami sebuah paradoks matematika, dibutuhkan kecermatan dan ketaatan azas pada matematika. Dengan belajar dari sebuah paradoks matematika, seseorang akan belajar untuk berpikir secara cermat dan taat azas. Selain itu, dengan memahami sebuah paradoks matematika, orang akan lebih menghargai kegunaan matematika. Hal senada juga disampaikan oleh Kondratieva (2008) bahwa dalam resolusi paradoks, siswa tidak diminta untuk menemukan seluruh teori dari awal, melainkan penemuan kembali makna dari teori yang sudah ada. Dengan kata lain, resolusi paradoks

akan terlihat berupa tanggapan yang menjelaskan adanya

kesalahan atau pelanggaran yang telah dibuat dan resolusi ini nantinya akan berguna atau bermanfaat bagi pemahaman siswa mengenai aturan-aturan atau konsep-konsep yang ada pada matematika. Walle (2006) mengartikan pemahaman sebagai ukuran kualitas dan kuantitas hubungan suatu ide dengan ide yang ada. Melalui resolusi paradoks yang dilakukan akan menantang seseorang untuk menggunakan seluruh pengetahuan yang telah dimilikinya untuk bisa menemukan kesalahan yang ada dan melakukan perbaikan. Pemahaman seperti itu disebutkan oleh Skemp (dalam Walle, 2006) sebagai pemahaman relasional, bukan lagi pemahaman instrumental yang hanya merupakan hubungan ide-ide yang terpisah tanpa makna. Dalam makalah ini akan disajikan beberapa paradoks yang sangat berguna untuk memahami aturan-aturan pada matematika, diantaranya: 1) Paradoks kaki sapi, 2) Paradoks Borasi, 3) Paradoks Aljabar sederhana, 4) Paradoks Zeno tentang deret geometri tak hingga, 5) Paradoks 1 dolar ($1), dan 6) Paradoks geometri.

A. Paradoks, Resolusi dan Pemahaman matematika 1. Paradoks kaki sapi Paradoks ini berasal dari guyonan sehari-hari yang dilakukan banyak kalangan di negeri ini.

3

Paradoksnya adalah “banyak kaki sapi adalah 8” Pernyataan tersebut tentu menimbulkan reaksi yang kontra dari semua pembaca. Karena itulah pernyataan di atas disebut paradoks, yang dimana memiliki sifat yang masih bisa dipertentangkan. Saya membuat paradoks bahwa kaki sapi berjumlah 8, karena saya menghitung kaki sapi tersebut dari sudut pandang posisi atau letak kaki sapi di atas tanah. Jumlah kaki sapi yang terletak di kiri ada “2”, di kanan “2”, di depan “2, dan di belakang “2”, jadi jika dijumlahkan (

) kaki sapi tersebut

akan berjumlah “8”. Bagaimana menurut Anda? Setujukah Anda dengan cara perhitungan yang saya lakukan?” menurut saya jawaban itu logis, bagaimana menurut jawaban Anda? Resolusinya tentu sangat mudah ditemukan karena paradoks ini berhubungan dengan benda yang nyata (konkret) yaitu sapi. Kesalahan yang dilakukan adalah perhitungan jumlah benda yang berulang, dimana pada paradoks ini yang dimaksud adalah kaki sapi itu sendiri. Seharusnya perhitungannya cukup dari dua sisi saja yaitu dari sisi kanan dan kiri atau dari depan dan belakang. Kesalahan ini tentu membawa sebuah paradoks yang mengakibatkan adanya pertentangan dengan kehidupan sehari-hari. Pemahaman matematika yang dapat diperoleh dari paradoks ini adalah sudut pandang. Dalam menyelesaikan masalah matematika sudut pandang yang kita gunakan harus tepat sehingga memperoleh jawaban yang tepat pula. Seperti misalnya soal aritmatika

Doni yang bernampilan rapi dan

menggunakan kacamata menjawabnya 10 (dibaca satu nol) dan sebagian orang akan menyalahkan jawaban yang diberikan Doni. Orang yang memahami bahwa ini tergantung sudut pandang, akan berpikir bahwa mungkin saja jawaban yang diberikan oleh Doni benar. Dan tentu saja, Doni adalah orang yang suka mengotak-atik komputer sehingga dia mengenal yang namanya bilangan biner (bilangan basis dua) dan Doni menggunakan sudut pandang bilangan biner untuk menjawabnya. Hal ini menunjukkan bahwa “sudut pandang” yang kita gunakan sangat penting dalam menentukan proses dan pengambilan keputusan. WW Sawyer (2007) mengungkapkan bahwa ketika sebuah fakta alam terlihat aneh bagi

4

kita, hal itu berarti kita melihatnya dari sudut pandang yang keliru. Sama halnya dengan yang dilakukan oleh sebagian orang apabila melihat Doni menuliskan bahwa 1+1=10.

2. Paradoks Borasi Paradoks ini cukup sederhana. Berawal dari hal yang biasa kita lakukan ketika menyelesaikan perhitungan pecahan ataupun memanipulasi aljabar menjadi bentuk yang lebih sederhana. Yaitu sistem “mencoret” atau membagi kedua ruas atau sisi (pembilang dan penyebut) dengan bilangan yang sama.

Paradoksnya adalah “

“

Pertentangan pada paradoks di atas bukan berasal dari jawaban yang dihasilkan akan tetapi proses “mencoret” yang dilakukan sehingga menemukan jawaban yang “benar”. Proses ini jika dilakukan dengan menggunakan konsep yang benar yaitu membagi kedua sisi (pembilang dan penyebut) dengan bilangan yang sama, dimana pada hal ini membagi dengan bilangan 16, maka diperoleh . Jawaban yang sama dan sungguh “suatu kebetulan” yang mempesona. Dimana tidak, kejadian yang sama juga dihasilkan dari paradoks ini yaitu

Bagaimana pendapat Anda? Masihkah menganggap ini “suatu kebetulan”? atau sebuah fenomena yang sangat menakjubkan karena bisa di terapkan di sekolah? Hal diluar dugaan, bertentangan, dan tentu proses yang digunakan “salah” yaitu tidak menggunakan aturan-aturan matematika yang diaksiomakan. Resolusi dari paradoks ini adalah ketidak konsistenannya cara yang digunakan untuk menyederhanakan suatu pecahan (kata kunci: konsisten), dimana jika kita ambil sebarang bilangan bulat yang lain misalnya

.

5

Pemahaman matematika yang dapat kita peroleh adalah 1) karateristik matematika, yaitu “konsisten pada semestanya” , matematika adalah salah satu cabang ilmu pengetahuan yang sangat mengedepankan kekonsistenan, 2) cara mencoret yang digunakan bukan sekedar mencoret, paradoks ini memberikan pemahaman bahwa “mencoret” dua atau lebih bilangan pun ada aturan yang harus digunakan, jadi bukan asal mencoret. Penelitian yang dilakukan Wibawa, Subanji, & Chandra (2013) mengenai proses berpikir pseudo menunjukkan satu kesalahan siswa dalam memberikan justifikasi ketika melakukan perhitungan (

)( (

)

). Siswa memberikan penjelasan bahwa “karena

(

)

angka yang sama (yang dimaksud

) antara pembilang dan penyebut sehingga

bisa dicoret/disederhanakan”. Siswa tidak memahami dengan baik proses “mencoret” yang dilakukan, yang penting bentuknya bisa sederhana sehingga memudahkan untuk melakukan perhitungan selanjutnya.

3. Paradoks Aljabar sederhana Paradoks ini sudah sangat terkenal di kalangan para penggemar matematika, dan sangat diyakini bahwa paradoks ini sangat berguna untuk pemahaman matematika terutama aturan-aturan yang sangat mendasar yang berlaku pada konsep-konsep matematika. Paradoksnya adalah “

”

Paradoks tersebut diperoleh melalui proses di bawah ini Misalkan Maka

(kedua ruas dikalikan ) (kedua ruas dikurangi

(

)(

)

(

(

Karena

maka

)

) )

(kedua ruas dibagi

)

dengan kata lain

Sehingga diperoleh

6

Coba perhatikan dengan seksama proses penyelesaian yang dilakukan. Logiskah? Apakah sudah menggunakan kaidah-kaidah atau aturan-aturan yang berlaku? Jika menurut Anda “sudah”, berarti Anda setuju dengan pernyataan bahwa

, sementara pernyataan ini bertentangan dengan kenyataan atau

pandangan umum yang berlaku bahwa

.

Resolusinya adalah pada proses penyelesaian yang dilakukan terdapat aturan yang dilarang dalam manipulasi aljabar, aturan tersebut adalah pembagian dengan 0, dimana dalam hal ini membagi sudah diketahui bahwa

maka

dengan

, karena sebelumnya

sehingga

. Jadi, jelas bahwa

ada aturan yang dilanggar dan tentu hal ini menghasilkan kesimpulan yang salah. Pemahaman matematika yang diperoleh adalah aturan atau pembagian dengan 0 “dilarang” (sebaiknya dihindari) karena hal ini berdampak pada pemahaman konsep-konsep yang lain seperti misalnya konsep limit, mengapa kita harus menghindari limit yang pembaginya 0, konsep pecahan, dan konsep-konsep yang lain. Mengapa

dihindari dalam dunia matematika? Dalam Wikipedia

dipaparkan bahwa hasil dari ekspresi mana

adalah tidak terdefinisi (undefined). Yang

bisa sama dengan 0, 1, 2, dst. hingga

. Apa yang terjadi apabila hal ini

kita terima sebagai suatu kebenaran? Hal yang terjadi adalah sistem yang sudah kita pahami sebelumnya akan menjadi kacau. Artinya kita “dipaksa” untuk memahami bawah

, atau

, dst. Sehingga kita menjadi tidak bisa

membedakan antara satu bilangan dengan bilangan yang lain secara analitis.

4. Paradoks Zeno tentang deret geometri tak hingga Paradoks yang dikembangkan oleh Zeno lahir di abad ke 5 SM, dimana paradoks ini sangat memberikan kontribusi bagi dunia matematika saat itu, terutama pada penemuan konsep-konsep kalkulus oleh Newton dan Leibnitz (Kondratieva, 2011). Paradoks yang di kembangkan adalah paradoks yang terkait dengan konsep jumlah tak terbatas (deret geometri tak terbatas).

7

Paradoksnya adalah “seorang pelari dalam suatu perlombaan tidak akan pernah sampai pada garis finish (tujuan). Atau dalam matematika Zeno berpendapat bahwa

tidak akan pernah sama dengan 1.”

Zeno menjelaskan bahwa seseorang yang berlari dalam suatu perlombaan dia terlebih dahulu harus melewati setengah dari perjalanannya, kemudian seperempat tambahan, kemudian tambahan seperdelapan, dan seterusnya. Hingga selalu tersisa jarak singkat dari tujuannya. Jika di tinjau dari pernyataan di berikan Zeno terlihat sangat logis namun hal itu tentu bertentangan dengan kenyataan yang terjadi. Resolusinya justru datang dari Aristoteles, ia mengungkapkan bahwa “pendapat Zeno membuat asumsi yang salah ketika menyatakan bahwa tidak mungkin untuk melintasi jumlah tak terbatas dari posisi semula dalam waktu yang terbatas”. Berdasarkan penuturan dari Aristoteles dapat diartikan bahwa Zeno hanya berpendapat Si pelari melakukan kompetisinya tanpa adanya batas waktu sehingga tidak akan mungkin sampai pada tujuan, seperti pada deret geometri yang diberikan yaitu

Jika deret tersebut tidak diberikan suatu

batasan kapan deret bilangan tersebut berhenti maka tidak akan pernah memiliki hasil, sekalipun hasilnya suatu pendekatan. Pemahaman matematika Konsep batas yang disampaikan Zeno dan perbaikan yang dilakukan Aristoteles telah berhasil digunakan oleh Archimedes untuk menghitung luas lingkaran melalui urutan poligon beraturan.

5. Paradoks 1 dolar ($1) Paradoks ini sebenarnya telah dikembangkan oleh beberapa penggemar matematika dari dalam negeri yang tentunya menggunakan nominal rupiah. Akan tetapi saya akan menjelaskan bahwa asal dari semua paradoks yang dibuat adalah berasal dari paradoks 1 dolar.

8

Paradoksnya adalah “Tiga pedagang keliling terjatuh dan terpaksa bermalam di sebuah penginapan kota kecil. Mereka masuk dan pemilik penginapan mengatakan kepada mereka, "sewa kamar $30". Setiap orang membayar $10 dan mereka pergi ke ruangan. Istri dari pemilik penginapan berkata kepadanya, "Apa bapak meminta mereka membayar penuh? Mengapa tidak memberi mereka lima dolar kembali karena mobil mereka rusak dan mereka tidak merencanakan untuk tinggal di sini" Dia kemudian memberikan $5 pada tiga orang yang menginap dan setiap orang mengambil $1 sedangkan sisanya $2 diletakkan di atas meja. Awalnya setiap orang membayar sepuluh dolar (10 * 3 = 30), sekarang setiap orang telah membayar sembilan dolar (9 * 3 = 27) dan ada $2 berada di atas meja (27 +2 = 29). Dolar terakhir telah menghilang.

Apakah dolar terakhir benar-benar telah menghilang? Coba perhatikan setiap detail cerita yang disajikan, apakah ada yang kurang logis, sehingga menimbulkan perhitungan yang salah? Atau justru sudah sangat logis, sehingga dolar terakhir benar-benar telah menghilang? Resolusi dari paradoks di atas sangat sederhana yaitu: jumlah dolar yang dikeluarkan oleh ketiga orang yang menginap adalah ( jumlah dolar yang diterima pemilik penginapan adalah (

) )

dan dengan

demikian tidak ada dolar yang hilang. Pemahaman matematika yang diperoleh adalah Dalam memecahkan suatu masalah dibutuhkan kejelian dalam melihat situasi dan menterjemahkannya menggunakan bahasa matematika. Kejelian yang dimaksud adalah operasi apa yang harus digunakan untuk menyelesaikan suatu masalah dan bagaimana cara menyelesaikannya. Paradoks ini tentu memberikan gambaran bahwa penggunaan bahasa matematika kadang membuat masalah menjadi lain dari masalah yang disajikan (sebenarnya).

9

6. Paradoks geometri Paradoks ini dikembangkan oleh Sumardoyo (2011). Konsep luas dan beberapa unsur geometri yang tersajikan dalam paradoks ini sangat menarik dan memerlukan penalaran yang sangat tinggi. Paradoksnya adalah

Gambar 1

Terdapat empat buah bangun geometri: dua segitiga dan dua segienam, seperti tampak pada gambar di atas. Pada bagian atas, terbentuk sebuah segitiga siku-siku yang utuh dengan ukuran sisi-sisi penyiku: 5 dan 13 (sehingga luasnya 32,5 satuan luas). Namun jika disusun ulang seperti bagian bawah gambar, tampak bahwa tetap dapat membentuk sebuah “segitiga” siku-siku dengan sisi-sisi penyiku: 5 dan 13, namun tidak utuh karena terdapat sebuah luabng berukuran 1 satuan luas. Mengapa demikian? dengan bentuk yang sama (segitiga) tetapi luas berbeda (ada yang utuh dan ada yang bolong). Resolusi dari paradoks ini akan dapat dipecahkan bila kita mencermati bentuk segitiga yang terjadi. Terlihat bahwa sisi-sisi penyiku kedua segitiga sama persis, namun bagaimana dengan sisi miringnya? Dengan mencermati secara seksama, hipotenusa pada kedua segitiga pada gambar di atas tampak “tidak

10

benar-benar” lurus. Jadi, secara visual masalah paradoks di atas dapat menimbulkan kecurigaan pada asumsi bahwa keduanya merupakan segitiga. Berangkat dari kecurigaan ini, kita dapat menghitung kemiringan kedua “potonga” yang membentuk sisi miring. Secara matematis, kemiringan kedua potongan segitiga berbeda, yaitu

dan

. Ternyata dapat dipastikan

bahwa kedua bentuk “segitiga” pada gamabar tidak benar-benar sebuah segitiga. Tampak seperti bangun segitiga, namun sesungguhnya merupakan segiempat. Pemahaman matematika yang dapat kita peroleh adalah 1) kecermatan dalam melihat bangun geometri, bangun yang terlihat seperti “segitiga” mungkin saja “bukan bangun segitiga” sungguhan, seperti pada paradoks ini 2) konsep kemiringan (gradien) sangat penting untuk melihat apakah bangun itu berada pada satu garis lurus atau tidak. Dan 3) luas daerah suatu bangun datar merupakan banyaknya satuan luas yang mengisi penuh suatu bangun datar tersebut.

B. Eksistensi Paradoks dalam Pengetahuan Matematika Paradoks Russel telah mengubah cara pandang banyak filsuf dan matematikawan dalam memahami hakekat matematika. Dalam Wikipedia dipaparkan paradoks Russel terkait dengan Teori Logika dan Himpunan. Paradoksnya dapat dianalogikan seperti cerita tukang cukur di suatu desa. Suatu hari, hiduplah tukang cukur yang berjanji bahwa “saya akan mencukur semua orang di desa ini yang tidak mencukur rambutnya sendiri”. Pertanyaannya adalah apakah dia akan mencukur rambutnya sendiri? Jika “iya”bahwa Si tukang cukur mencukur rambutnya sendiri maka dia telah melanggar janjinya yang mengatakan bahwa dia hanya mencukur orang yang tidak mencukur rambutnya sendiri. Jika “tidak” berarti dia harus pergi ke tukang cukur, padahal tukang cukurnya adalah dirinya sendiri. Pertanyaan tersebut merupakan pertanyaan tertutup yang hanya memiliki dua jawaban yaitu “iya” dan “tidak”. Tetapi apaun jawaban yang ditentukan akan menimbulkan kontradiksi atau terjadi inkonsistensi. Hal inilah yang mendasari bahwa suatu pernyataan “logis” atau tampak masuk akal dengan memilki dua nilai kebenaran.

11

Selanjutnya, definisikan R sebagai kumpulan semua himpunan yang tidak memuat dirinya sebagai anggota atau

{

}. Nah, kontradiksi akan

muncul di sini terkait dengan keanggotaan R dalam himpunan R. Jika R tidak memuat R sebagai anggota, maka R adalah anggota dari R, tetapi jika R anggota dari R, maka R harus dikeluarkan dari R berdasarkan syarat keanggotaan R. Ini berarti

jika dan hanya jika

. Kita akan salalu mendapatkan

kontradiksi pada setiap jawabannya. Itu berarti Himpunan R Inkonsistensi. Sejarah popularitas paradoks matematika muncul pada abad ke-20 ketika paradoks Russel muncul menyanggah paham absolutis yang waktu itu mempengaruhi banyak filsuf dan ilmuan matematika. Akan tetapi, pada abad ke-5 SM paradoks sudah dikenalkan oleh Zeno. Banyak sudut pandang yang muncul dari paradoks Zeno, salah satunya yang sudah penulis paparkan di atas. Paradoks bukan hanya untuk menyanggah suatu paham dan mengedepankan “pencarian kesalahan” dari pada jawaban benar. Kini, paradoks sudah dimasukkan dalam pembelajaran matematika. Hal ini dilakukan oleh Kontradieva (2008) yang meminta respon siswa terhadap paradoks yang diberikan. Tentu ini masih memungkinkan untuk diterapkan di sekolah sebagai awal pertemuan untuk membangkitkan semangat belajar siswa atau mengawali membelajarkan konsep ataupun memperjelas konsep yang telah dipelajari (seperti paradoks aljabar sederhana dapat diterapkan di awal membelajarkan konsep aljabar atau setelah belajar aljabar). Secara teoritis paradoks tampak begitu menarik dan membingungkan, karena kita diminta untuk menemukan kontradiksi apa yang terjadi. Hal ini lah yang membuat keberadaan paradoks akan selalu menjadi kajian yang kritis untuk melihat suatu pernyataan atau proposisi dari sudut pandang yang berbeda.

Kesimpulan dan saran Paradoks matematika memberikan satu pemahaman bahwa suatu pernyataan bisa bernilai benar dan salah sekaligus, tergantung kelogisannya dalam memberikan argumentasi. Kita disadarkan bahwa paradoks matematika telah

12

melahirkan sudut pandang yang baru dalam mempelajari dan memahami matematika, bukan melihat dari bagaimana kita mengerjakan akan tetapi bagaimana kita membuat solusi ulang atau resolusi dari sebuah kejadian, proses, atau pernyataan. Seidkitnya terdapat dua hal yang menjadi tantangan dalam setiap paradoks yang ada: 1) kita diminta untuk mencari letak kesalahannya, yang menandakan bahwa matematika bukan hanya tentang mencari kebenaran “jawaban yang benar” tetapi mencari kesalahannya juga. 2) kita diminta untuk mencari manfaat/pelajaran/hikmah dibalik paradoks yang ada. Ternyata melihat sesuatu yang “sempit” dari sudut pandang pengetahuan “luas” yang kita miliki lebih sulit dibandingkan melihat sesuatu yang “luas” dari pengetahuan yang “sempit” yang kita miliki. Hidup dibuat penuh tantangan dan kejutan oleh kehadiran paradoks, terutama paradoks matematika. Hasil penelitian yang mendukung pernyataan ini adalah Kontradieva (2008), hasil penelitiannya menyebutkan bahwa 30% siswa menyatakan tertantang dengan resolusi paradoks, 65% menyatakan tertarik, dan 30% menyatakan emosional ketika membuat resolusi paradoks. Arti dari semua ini adalah paradoks matematika memiliki posisi yang sangat bagus dalam memahamkan dan memotivasi siswa untuk dapat mempelajari matematika dengan menggunakan sudut pandang yang berbeda. Bagi pembaca yang tertarik untuk mencoba atau mempelajari atau bilamana perlu mengembangkan jenis-jenis paradoks yang lain akan sangat bagus dan pasti bermanfaat untuk pembaca sendiri dan orang lain yang akan kita belajarkan. Paradoks matematika juga menjadi satu bahan yang menarik untuk bisa diterapkan disekolah, baik untuk meningkatkan motivasi belajar maupun memahamkan konsep matematika yang sesuai dengan paradoks yang ada.

13

DAFTAR PUSTAKA

Brown, S. dan Walter, M.1993. Problem Posing; Reflection and Applications. Amerika: Lawrence Erlbaum Associates, Inc. Dharmawan, E. P. & Alisah, E. 2010. Filsafat Dunia Matematika: Pengantar untuk Memahami Konsep-konsep Matematika. Malang: Prestasi Pustaka Raya Ernest, P. 2004. The Philosophy of Mathematics Education. University of Exeter: Taylor & Francis e-Library Knott,Ron. 2010. Harder Fibonacci Puzzle. Dalam http://www.maths.surrey.ac.uk/hostedsites/R.Knott/Fibonacci/fibpuzzles2. html diakses 9 Maret 2013 Kondratieva, M. 2008. Understanding Mathematics through Resolution of Paradoxes. Kanada: University of New Found Land. Sumardyono. 2011. Sebuah Pengembangan Paradoks Luas Geometri. Walle. 2006. Pengembangan Pengajaran Matematika Sekolah Dasar dan Menengah: Jilid 1 Edisi ke-enam. Erlangga Wibawa, Subanji, & Chandra. 2013. Defragmenting Berpikir Pseudo dalam Memecahkan Masalah Limit Fungsi. Malang: Prosiding 2 TEQIP 2013 pp 721-729, ISBN:978-602-17187-2-8 Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Indeterminate_form#Indeterminate_form_0.2 F0. [diakses Minggu, 30 Agustus 2015 pukul 23.15] Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Russell%27s_paradox. [diakses Senin, 31 Agustus 2015 pukul 23.45]

14