Matematika Lanjut 2
SISTIM INFORMASI FENI ANDRIANI
1. SOLUSI PERSAMAAN NON LINIER
2
Metode Biseksi • Fungsi kontinu pada [a,b] • Akarnya x = p & p [a,b] • Untuk setiap iterasi akan membagi 2 interval yang memuat x = p dan berhenti bila mencapai suatu bilangan yang berada dalam toleransi (ditetapkan) • Hanya ada 1 akar dalam [X0,X1] maka f(X0)*f(X1) 0 • Titik tengah interval X2=½(X0 + X1)
3
Metode Biseksi
(lanjutan)
• Bila f(X0)*f(X2) 0 maka akar p [X0,X2] • Ulangi iterasi pada interval [X0,X1] yang baru (dalam hal ini [X0,X2]) • Pada kasus lainnya, yakni bila f(X0)*f(X2) > 0, maka akar p [X2,X1] • Ulangi iterasi pada interval [X0,X1] yang baru (dalam hal ini [X2,X1])
4
Metode Biseksi
(lanjutan)
• Setelah dilakukan n kali iterasi biseksi, akan diperoleh interval yang lebarnya (½)n(X1 – X0) • Bila (½)n(X1 – X0)
5
Metode Biseksi
(lanjutan)
• Bila diinginkan toleransi kesalahan lebih kecil dari t, maka diperlukan paling sedikit 2log(X1 – X0) iterasi biseksi, kecuali bila akarnya tepat pada ujung interval.
6
Algoritma Biseksi
(1)
INPUT X0 ,X1 ,F(X),T WHILE [(X1 – X0) T OR F(X0)*F(X1) 0] DO X2 = (X0 + X1)/2 IF F(X0)*F(X2) >0 THEN X0 = X2 ELSE X1 = X 2 ENDIF ENDWHILE
7
Algoritma Biseksi
(2)
IF F(X0)=0 THEN OUTPUT (X0) ELSE IF F(X1) = 0 THEN OUTPUT (X1) ELSE OUTPUT (X2) ENDIF
8
KEUNTUNGAN BISEKSI • Selalu berhasil menemukan akar (solusi) yang dicari, atau dengan kata lain selalu konvergen.
9
KELEMAHAN BISEKSI • Bekerja sangat lambat. Tidak memandang bahwa sebenarnya akar atau solusi yang dicari telah berada dekat sekali dengan X0 ataupun X1. 10
METODE REGULA FALSI • Salah satu alternatif untuk mempercepat perhitungan akar (solusi). • Tetapkan interval awal [X0 ,X1] yang memuat akar (solusi). • Hitung X2 (yang merupakan titik ujung interval baru) : titik potong garis lurus dari titik [X0,f(X0)] ke titik [X1,f(X1)] dengan sumbu X.
11
METODE REGULA FALSI • Persamaan garis lurus melalui titik [X0,f(X0)] dan [X1,f(X1)], yaitu :
x x0 y f ( x0 ) x1 x0 f ( x1 ) f ( x0 )
12
METODE REGULA FALSI • Garis tersebut berpotongan dengan sumbu X Y = 0 dengan titik absisnya yaitu X2, sehingga diperoleh :
( x1 x0 ) x2 x0 f ( x1 ) f ( x1) f ( x0 ) 13
METODE REGULA FALSI • Penetapan interval baru: bila F(X0)*F(X2) <0 maka intervalnya menjadi [X0 , X2] bila F(X0)*F(X2) >0 maka intervalnya menjadi [X2 , X1]
14
Metode Regula Falsi • Pengulangan/iterasi mencari X2 dan interval baru dilakukan berdasarkan nilai toleransi atau bila akarnya belum ditemukan • Sebaiknya nilai toleransi secara relatif mengacu pada : error aproksimasi
15
ALGORITMA REGULA FALSI INPUT X0,X1,T,F(X), MAX I=0; FOUND = false REPEAT I=I+1 X2 = X1 -(X1 - X0)*F(X1)/(F(X1)-F(X0)) IF F(X0)*F(X2)<0 THEN X1 = X 2
16
ALGORITMA REGULA FALSI ELSE
X0 = X2 ENDIF IF (|(X2 - X1)/ X1|T OR I=MAX) THEN FOUND=true ENDIF UNTIL (FOUND=true) OUTPUT (X2)
17
KELEMAHAN REGULA FALSI • Hanya salah satu titik ujung interval (X0 atau X1) yang bergerak menuju akar dan yang lainnya selalu tetap untuk setiap iterasi. • Sehingga mungkin [X0, X1] masih cukup besar jaraknya bila menggunakan batas | X1 - X0| T padahal X0 X2 atau X1 X2
18
KELEMAHAN Regula falsi hal tersebut dikenal dengan pendekatan error mutlak. diperbaiki dengan pendekatan Error relatif :
x1 x2 T x1
atau
x0 x2 T x0
19
Metode Sekan • Disebut juga Metode Interpolasi Linear • Dalam prosesnya tidak dilakukan penjepitan akar atau dpl. [X0, X1] tidak harus mengandung akar yang akan dicari. • Sehingga f(x0) dan f(x1) bisa bertanda sama • Untuk mencari X2 , sama dengan metode REGULA FALSI 20
Metode Sekan
(lanjutan)
• Untuk iterasi berikutnya akan diperoleh interval baru [X0, X1] dengan cara pergeseran: X0 X1 , X1 X2 • Iterasi berlangsung sampai batas maksimum (Max.) atau sampai dipenuhinya batas Toleransi (T): | (X1 - X2 )/ X1 |≤ T -------------------------| \/ Nilai kesalahan relatif
21
Metode Sekan
(lanjutan)
• Proses Pencapaian Akar (Mtd. SEKAN) • Tambah gambar ! (halaman akhir)
22
Algoritma Sekan • INPUT X0, X1, T, Max, F(x) • i=0 • Found = false • REPEAT
i=i+1 X2 = X1 – (X1 – X0)*F(X1)/(F(X1) – F(X0)) X0 = X1 X1 = X2 23
Algoritma Sekan
(lanjutan)
IF | (X0- X1)/ X0|≤ T OR i = Max THEN Found = true ENDIF • UNTIL (Found = true) • OUTPUT (X2)
24
25
METODE ITERASI TITIK TETAP • Syaratnya: • f(x) = 0 dapat diubah menjadi bentuk: x = g(x) (yang tidak unik) • Cari akar dgn pertidaksamaan rekurens: Xk+1 = g(Xk); untuk k = 0, 1, 2, 3, … dgn X0 asumsi awalnya, sehingga diperoleh barisan X0, X1, X2, X3, … yang diharapkan konvergen ke akarnya. • Jika g’(x) ε *a, b+ dan g’(x) ≤ k dgn k< 1 Utk setiap x ε [a, b] , maka titik tetap tersebut tunggal dan iterasinya akan konvergen menuju akar
26
METODE ITERASI TITIK TETAP (cont’d) • Dari bentuk x = g(x), berarti akar dari f(x) tak lain adalah perpotongan antara garis lurus y = x dan kurva y = g(x).
27
28
CONTOH KASUS •
CONTOH: f(x) = x – e1/x ; bentuk x = g(x), yaitu: f(x) = x – e1/x dapat ditulis: f(x) = 0 x – e1/x = 0 shg didapat x = g(x), antara lain: a. b. c.
x = e1/x x = e1/x ln x = 1/x (ln e) x = 1/ln x x = e1/x 2x = x + e1/x x = 1/2(x + e1/x)
29
CONTOH KASUS
(lanjutan)
ambil x0 = 1.5 periksa kekonvergenan iterasi: a.
g’(x) = - (1/x2 ) e1/x g’(x) = - (1/(1.5)2 ) e1/1.5 = …. ?
30
METODE NEWTON-RAPHSON • Waktu pencarian akarnya relatif lebih cepat dibandingkan metode lainnya. • Memanfaatkan turunan fungsi f(x) pada suatu titik P [x1, f(x1)] • Membuat garis singgung pada titik P tsb yg memotong sumbu x didapat xi+1 • Sampai ditemukan akarnya (sesuai batas toleransi/error yg diberikan) 31
Gambar Grafik
32
METODE NEWTON-RAPHSON (lanjutan) • Persamaan garis singgung melalui P [X1, f(X1)] adalah: y – f(X1) = f ’(X1) . (X – X1) dgn f ’(X1) : gradien garis singgung • Persamaan tsb memotong sumbun x di titik (X2, 0) maka akan diperoleh: 0 - f(X1) = f’(X1). (X2– X1) X2 .f’(X1) - X1.f’(X1) = - f’(X1) X2 = X1 - f(X1)/ f’(X1) 33
METODE NEWTON-RAPHSON (lanjutan) • Secara Rekurens, persamaan tsb dinyatakan menjadi: Xi+1= Xi - f(X1)/ f’(X1) Utk i = 1, 2, 3, … f’(Xi): turunan pertama f(X) pada x = xi.
34
2. SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)
SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL) Bentuk umum :
dimana x1, x2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi, i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui. Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel. TUNGGAL
SPL
Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN
Tidak mempunyai penyelesaian disebut TIDAK KONSISTEN
BANYAK
ILUSTRASI GRAFIK • SPL 2 persamaan 2 variabel: • Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis ini.
kedua garis sejajar
kedua garis berpotongan
kedua garis berhimpitan
PENYAJIAN SPL DALAM MATRIKS SPL
BENTUK MATRIKS
STRATEGI MENYELESAIKAN SPL: mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyai penyelesaian sama (ekuivalen) tetapi dalam bentuk yang lebih sederhana.
TIGA OPERASI YANG MEMPERTAHANKAN PENYELESAIAN SPL 1.
SPL Mengalikan suatu persamaan dengan konstanta tak nol.
2. Menukar posisi dua persamaan sebarang. 3. Menambahkan kelipatan suatu persamaan ke persamaan lainnya.
1.
MATRIKS Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol.
2. Menukar posisi dua baris sebarang. 3. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.
Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk sederhana sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu baris
CONTOH DIKETAHUI
…………(i) …………(ii) …………(iii)
kalikan pers (i) dengan (-2), kemudian tambahkan ke pers (ii).
kalikan baris (i) dengan (-2), lalu tambahkan ke baris (ii).
kalikan pers (i) dengan (-3), kemudian tambahkan ke pers (iii).
kalikan baris (i) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii).
kalikan pers (ii) dengan (1/2).
kalikan baris (ii) dengan (1/2).
LANJUTAN CONTOH kalikan pers (ii) dengan (1/2).
kalikan baris (ii) dengan (1/2).
kalikan pers (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke pers (iii).
kalikan brs (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke brs (iii).
kalikan pers (iii) dengan (-2).
kalikan brs (iii) dengan (-2).
kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i).
kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i).
Lanjutan CONTOH kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i).
kalikan pers (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke pers (i) dan kalikan pers (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke pers (ii)
kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i). kalikan brs (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke brs (i) dan kalikan brs (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke brs (ii)
Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat kaitan menarik antara bentuk SPL dan representasi matriksnya. Metoda ini berikutnya disebut dengan METODA ELIMINASI GAUSS. KERJAKAN EXERCISE SET 1.1
BENTUK ECHELON-BARIS Misalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut:
maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Matriks ini disebut bentuk echelon-baris tereduksi. Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb: 1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading 1. 2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian bawah. 3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada leading 1 baris berikut. 4. Setiap kolom yang memuat leading 1, elemen lain semuanya 0.
Bentuk echelon-baris dan echelon-baris tereduksi Matriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3) disebut bentuk echelon-baris. CONTOH bentuk echelon-baris tereduksi:
CONTOH bentuk echelon-baris:
Bentuk umum echelon-baris
dimana lambang ∗ dapat diisi bilananga real sebarang.
Bentuk umum echelon-baris tereduksi
dimana lambang ∗ dapat diisi bilananga real sebarang.
Penyelesaian SPL melalui bentuk echelon-baris Misal diberikan bentuk matriks SPL sbb:
Tentukan penyelesaian masing-masing SPL di atas.
METODA GAUSS-JORDAN Ide pada metoda eliminasi Gauss adalah mengubah matriks ke dalam bentuk echelon-baris tereduksi. CONTOH: Diberikan SPL berikut.
Bentuk matriks SPL ini adalah:
-2B1 + B2B2
5B2+B3 B3
B4 B4+4B2
B3 ⇄ B4
B3 B3/3
-3B3+B2B2
2B2+B1B1
1 0 0 0
3 - 2 0 2 0 0 0 - 1 - 2 0 - 3 - 1 0 0 0 0 0 0 0 4 8 0 18 6
Akhirnya diperoleh: Akhirnya, dengan mengambil x2:= r, x4:= s dan x5:= t maka diperoleh penyelesaian: dimana r, s dan t bilangan real sebarang. Jadi SPL ini mempunyai tak berhingga banyak penyelesaian.
METODA SUBSTITUSI MUNDUR Misalkan kita mempunyai SPL dalam matriks berikut: Bentuk ini ekuivalen dengan:
LANGKAH 1: selesaikan variabel leading, yaitu x6. Diperoleh:
LANGKAH 2: mulai dari baris paling bawah subtitusi ke atas, diperoleh
LANJUTAN SUBSTITUSI MUNDUR LANGKAH 3: subtitusi baris 2 ke dalam baris 1, diperoleh:
LANGKAH 4: Karena semua persamaan sudah tersubstitusi maka peker-jaan substitusi selesai. Akhirnya dengan mengikuti langkah pada metoda Gauss-Jordan sebelumnya diperoleh:
Eliminasi Gaussian Mengubah menjadi bentuk echelon-baris (tidak perlu direduksi), kemudian menggunakan substitusi mundur. CONTOH: Selesaikan dengan metoda eliminasi Gaussian
PENYELESAIAN: Diperhatikan bentuk matriks SPL berikut:
Dengan menggunakan OBE diperoleh bentuk echelon-baris berikut:
SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL) • Bila diketahui SPL dengan n persamaan dan n variabel, sebagai berikut : a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = a1(n+1) .. (1) a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = a2(n+1) .. (2) : an1x1 + an2x2 + … + annxn = an(n+1) .. (n) • Maka solusinya dapat diperoleh dengan cara :
54
Algoritma (pseudo code) IGS - 1 • Langkah ke-1 : Tebak sebarang nilai awal untuk variabel x2 , x3 , ... , xn . Namakan nilai awal tersebut x20 , x30 , … , xn0 . • Langkah ke-2 : Substitusikan x20 , x30 , … , xn0 ke SPL (1) untuk memperoleh nilai x1 lalu namakan dengan x11 .
55
Algoritma (pseudo code) IGS - 2 • Langkah ke-3 : Substitusikan x11 , x30 , x40 , … , xn0 ke SPL (2) untuk memperoleh nilai x2 lalu namakan dengan x21 . • Langkah ke-4 : Substitusikan x11 , x21 , x40 , x50 , … , xn0 ke SPL (3) untuk memperoleh nilai x3 lalu namakan dengan x31 .
56
Algoritma (pseudo code) IGS - 3 • Langkah ke-5 : dan seterusnya, sampai diperoleh x11 , x21 , x31 , … , xn-11 , selanjutnya substitusika ke SPL (n) untuk memperoleh nilai xn lalu namakan dengan xn1 .
( Iterasi ke-1 selesai dengan diperolehnya nilai : x11 , x21 , x31 , … , xn1 1 1 , xn . )
57
Algoritma (pseudo code) IGS - 4 • Langkah ke-6 :
Ulangi langkah ke-2 s/d ke-5 (substitusikan x21 , x31 , … , xn1 ke SPL (1) untuk memperoleh nilai x1 lalu namakan dengan x12 ). Sampai nanti diperoleh nilai x12 , x22 , x32 , … , xn-12 , xn2 .
58
Algoritma (pseudo code) IGS - 5 • Langkah ke-7 : Iterasi berakhir pada iterasi ke-k, bila : | xjk – xjk+1 | < T dengan T nilai toleransi kesalahan yang sudah ditetapkan sebelumnya.
59
Tingkat Konvergensinya • Algoritma tersebut BELUM TENTU KONVERGEN !!! • Syarat Konvergensi : Matriks koefisiennya (A) harus bersifat DIAGONALLY DOMINANT
60
Matriks Diagonally Dominant
aii
n
j 1; j i
i
aij
dan
i dengan
aii
n
j 1; j i
aij
61
Contoh Soal 1: • Diketahui SPL sebagai berikut : 3x1 – 10x2 = 3 x1 + x2 = 2 • Carilah nilai x1 dan x2 dengan menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel dengan Toleransinya 0,005 !
62
Jawab Contoh Soal 1 :
(1)
• Periksa tingkat konvergensinya. Diperoleh bahwa : |a11|=3 ; |a12|=10 ; |a21|=1 ; |a22|= 1
a11 a22
2
j 1; j 1
a1 j
untuk i 1
3 10
a2 j
untuk i 2
11
2
j 1; j 2
63
Jawab Contoh Soal 1 :
(2)
• Jadi SPL tersebut TIDAK DIAGONALLY DOMINANT. Sehingga tidak akan konvergen bila dipecahkan dengan metode Iterasi GaussSeidel. • Untuk itu, ubah penyajian SPL nya menjadi : x1 + x2 = 2 3x1 – 10x2 = 3
Periksa tingkat konvergensinya !!
64
Jawab Contoh Soal 1 :
(3)
• Periksa tingkat konvergensinya. Diperoleh bahwa : |a11|= 1 ; |a12|= 1 ; |a21|= 3 ; |a22|= 10
a11 a22
2
j 1; j 1
a1 j
untuk i 1
a2 j
untuk i 2
10 3
2
j 1; j 2
11
65
Jawab Contoh Soal 1 :
(4)
• Jadi SPL hasil perubahannya bersifat DIAGONALLY DOMINANT konvergen • Selanjutnya jalankan algoritmanya terhadap SPL : ! x1 + x2 = 2 … (1) 3x1 – 10x2 = 3 … (2)
66
Jawab Contoh Soal 1 :
(5)
• Iterasi ke-1 : 1. Tebak nilai awal x20 = 0 2. Substitusikan x20 = 0 ke SPL (1) : x1 + x 2 = 2 x 1 + 0 = 2 x 1 = 2 didapat x11 = 2 3. Substitusikan x11 = 2 ke SPL (2) : 3x1 – 10x2 = 3 3.(2) – 10x2 = 3 6 – 10x2 = 3 x2 = 0,3 didapat x21 = 0,3
67
Jawab Contoh Soal 1 :
(6)
• Iterasi ke-2 : 2. Substitusikan x21 = 0,3 ke SPL (1) : x1 + x2 = 2 x1 + 0,3 = 2 x1 = 1,7 didapat x12 = 1,7 3. Substitusikan x12 = 1,7 ke SPL (2) : 3x1 – 10x2 = 3 3.(1,7) – 10x2 = 3 5,1 – 10x2 = 3 x2 = 0,21 didapat x22 = 0,21
68
Jawab Contoh Soal 1 :
(7)
• Iterasi ke-3 : 2. Substitusikan x22 = 0,21 ke SPL (1) : x1 + x2 = 2 x1 + 0,21 = 2 x1 = 1,79 didapat x13 = 1,79 3. Substitusikan x12 = 1,79 ke SPL (2) : 3x1 – 10x2 = 3 3.(1,79) – 10x2 = 3 5,37 – 10x2 = 3 x2 = 0,237 didapat x23 = 0,237
69
Dan seterusnya…..
Jawab Contoh Soal 1 :
(8)
• Iterasi ke-4, ke-5 dst • Lanjutkan sendiri, sebagai latihan !! • Ingat, proses iterasi akan berhenti bila kondisi
| xjk – xjk+1 | < 0,005 Terpenuhi !!
70
Jawab Contoh Soal 1 :
(9)
• Rangkuman Proses Iterasinya :
Iterasi ke-
x1
x2
1 2 3 4 5 6
2,000 1,700 1,790 1,763 1,771 1,769
0,300 0,210 0,237 0,229 0,231 0,231
71
ALGORITMA IGS INPUT A(n,n+1), e, maxit INPUT xi (nilai awal) k 1 ; big 1 WHILE (k ≤ maxit and big e) DO big 0 FOR i = 1 TO n sum 0 FOR j = 1 TO n IF j ≠ i THEN
sum sum + aij NEXT j temp (ai n+1 – sum) / aii relerror abs((xi – temp) / temp) IF relerror big THEN big relerror xi temp
NEXT I kk+1 ENDWHILE IF k > maxit THEN OUTPUT(“TDK KONVERGEN”) ELSE OUTPUT (“KONVERGEN”) ENDIF OUTPUT(xi)
72
3. INTERPOLASI
INTERPOLASI • Para rekayasawan dan ahli ilmu alam sering bekerja dengan sejumlah data diskrit (yang umumnya disajikan dalam bentuk tabel). Data didalam tabel mungkin diperoleh dari hasil pengamatan dilapangan, hasil pengukuran dilaboratorium, atau tabel yang diambil dari buku-buku acuan.
Contoh : Sebuah pengukuran fisika untuk menentukan hubungan antara tegangan yang diberikan kepada baja tahan karat dan waktu yang diperlukan hingga baja tsb patah. x
5
10
15
20
25
30
35
y
40
30
25
40
18
20
22
x = Tegangan yang diterapkan, kg/mm2 y = waktu patah , jam
• Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang nilai fungsi pada ke-2 titik tersebut sudah diketahui • dpl. : cara menentukan harga fungsi f dititik x* ε [x0,xn] dengan menggunakan informasi dari seluruh atau sebagian titik-titik yang diketahui ( x0, x1, …., xn) x
x0
x1
x2
…….
xn
f(x)
f(x0)
f(x1)
f(x2)
…….
f(xn)
76
Perbedaan Interpolasi dan Ekstrapolasi
Teknik Umum yang digunakan : (i)
Membentuk polinomial berderajat ≤ n yg mempunyai harga
fungsi di titik-titik yang diketahui
Polinomial
Interpolasi (ii)
Masukkan titik yang ingin dicari harga fungsinya ke dalam polinomial interpolasi
78
Jenis Interpolasi • • • •
Interpolasi Linier Interpolasi Kuadrat Interpolasi Lagrange Interpolasi Newton 79
Interpolasi Linier
f(x) L(x)
x0
x1
x
Interpolasi Kudrat
L(x)
f(x)
x0
h
x1
h
x2
x
Interpolasi Qubic
L(x)
x0
h
f(x)
x1
h
x2
h
x3
x
INTERPOLASI LINIER (1) • Misalkan ada m bilangan : x1, x2, …., xm dan bilangan lain yang berkaitan : y1, y2 , …., ym • maka masalahnya : berapa harga y* pada y x* ε [xk,xk+1] ? yk+1
?
y*
yk
83 xk
x*
xk+1
x
INTERPOLASI LINIER (2) • Ambil ruas garis yang menghubungkan titik (xk,yk) dan (xk+1,yk+1) • Diperoleh persamaan garisnya : y * yk yk 1 yk x * xk xk 1 xk x * xk y * yk ( yk 1 yk ) xk 1 xk
x * xk y* yk ( yk 1 yk ) xk 1 xk
84
INTERPOLASI LINIER (3) • Jadi persamaan garisnya adalah :
x * xk y* yk ( yk 1 yk ) xk 1 xk y yk+1
?
y*
yk
85 xk
x*
xk+1
x
Contoh – 1 :
(1)
Diketahui data sebagai berikut : x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
y
9
4
1
0
1
4
9
16
25
36
49
Tentukan harga y pada x = 6,5 ! Jawab : x = 6,5 terletak antara x=6 & x=7
x xk y yk ( yk 1 yk ) xk 1 xk (6,5 6) y 36 (49 36) 42,5 (7 6)
Hasilnya
86
Contoh – 1 :
(2)
Alternatif 2 : x = 6,5 terletak antara x=1 & x=7
x xk y yk ( yk 1 yk ) xk 1 xk (6,5 1) (5,5) y 1 (49 1) 1 (48) 45 (7 1) (6) 87 Hasilnya
Contoh – 1 :
(3)
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
y
9
4
1
0
1
4
9
16
25
36
49
•Bandingkan hasil kedua jawaban tersebut !! •Mana yang mendekati jawaban yang sesungguhnya ..??
•Karena hub. x & y adalah y = x2 maka untuk harga x = 6,5 didapat y = (6,5)2 = 42,25 => Kesalahan mutlak (E) : |42,5 – 42,25| = 0,25
88
Contoh – 1 :
(4)
Kesalahan mutlak (E), untuk : y = 42,5 |42,5 – 42,25| = 0,25 = 25 %
Sedangkan untuk y = 45 |45 – 42,25| = 3,25 = 325 %
89
Contoh-2 : Diketahui tabel akar bilangan sbb :
N
….
2,14
2,15
2,16
….
N1/2
….
1,46287
1,46629
1,46969
….
Tentukan akar dari 2,155 (2,155)1/2 = 1,46629 + (0,005/0,010) (1,46969 – 1,46629) = 1,46629 + 0,00170 (2,155)1/2 = 1,46799 Kesalahan mutlaknya |1,4679918 -1,46799| = 0,0000018 • Tentukan akar dari 2,153 dan Kesalahan mutlaknya !
90
Contoh 3: • Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan. Data percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang dibutuhkan untuk menghentikan kendaraan.
• Perkirakan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kenderaan yang melaju dengan kecepatan 45 mil/jam.
Contoh 3: • maka untuk mencari nilai x=45 maka,
INTERPOLASI KUADRAT • Banyak kasus, penggunaan interpolasi linier tidak memuaskan karena fungsi yang diinterpolasi berbeda cukup besar dari fungsi linier • Untuk itu digunakan polinomial lain yg berderajat dua (interpolasi kuadrat) atau lebih mendekati fungsinya • Caranya : - Pilih 3 titik & buat polinomial berderajat dua melalui ke 3 titik tsb., shg dpt dicari harga fgs. pada x = x* - Pemilihan ke-3 ttk tsb., dapat : - xk-1 < xk < xk+1 atau - xk-1 < x* < xk < xk+1 93
Persamaan umum Polinomial kuadrat :
P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 …..(*) 3 titik (xk-1,yk-1), (xk,yk) & (xk+1,yk+1) dilalui fgs. P(x) berarti: yk-1 = a0 + a1 xk-1 + a2 xk-12 …………………………. (**) yk = a0 + a1 xk + a2 xk2 yk+1 = a0 + a1 xk+1+ a2 xk+12 => Akan diperoleh dari 3 pers. yaitu a0, a1 dan a2 kemudian subst. ke (*) & diperoleh pers. kuadrat, shg dapat dicari nilai fgs. untuk x = x* yaitu P(x*) = a0 + a1 x* + a2 x*2 => Sistim pers. non homogen (**) memp. solusi dan solusinya 94 unik (tunggal)
Contoh : • Diberikan titik ln(8) = 2.0794, ln(9) = 2.1972, ln(9.5) = 2.2513. Tentukan nilai ln(9.2) dengan interpolasi kuadrat • Sistem Pers Linier yang terbentuk. • 64 a + 8 b + c = 2.0794 • 81 a + 9 b + c = 2.1972 • 90.25 a + 9.5 b + c = 2.2513
• Penyelesaian a= -0.0064 b = 0.2266 c = 0.6762 • Sehingga p2(9.2) = 2.2192
INTERPOLASI LAGRANGE • Interpolasi Lagrange adalah salah satu formula untuk interpolasi berselang tidak sama selain formula interpolasi Newton umum & metoda Aitken. Walaupun demikian dapat digunakan pula untuk interpolasi berselang sama. • Misalkan fgs. y(x) kontinu & diferensiabel sampai turunan (n+1) dalam interval buka (a,b). Diberikan (n+1) titik (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn) dengan nilai x tidak perlu berjarak sama dengan yang lainnya, dan akan dicari suatu polinom berderajat n. Untuk pemakaian praktis, formula interpolasi Lagrange dapat dinyatakan sbb. :
96
Formula Interpolasi Lagrange Jika y(x) : nilai yang diinterpolasi; x : nilai yg berkorespondensi dg y(x)
x0, x1, …., xn : nilai x dan y0, y1, …., yn : nilai y
( x x1)( x x 2)...( x xn) y ( x) y0 ( x 0 x1)( x 0 x 2)...( x 0 xn) ( x x 0)( x x 2)...( x xn) y1 ( x1 x 0)( x1 x 2)...( x1 xn) . . ( x x 0)( x x1)...( x xn 1) yn ( xn x 0)( xn x1)...( xn xn 1)
97
Contoh 1:
Nilai yg. berkorespondensi dengan y = 10log x adalah : X 10log
x
300
304
305
307
2,4771
2,4829
2,4843
2,4871
Carilah 10log 301 ? Untuk menghitung y(x) = 10log 301 dimana x = 301, maka nilai diatas menjadi
x0 = 300
x1 = 304
y0 = 2,4771
y1 = 2,4829
x2 = 305
x3 = 307
y2 = 2,4843 y3 = 2,4871
98
Dengan menggunakan interpolasi lagrange
(301 304)(301 305)(301 307) y(x) 2,4771 (300 304)(300 305)(300 307) (301 300)(301 305)(301 307) 2,4829 (304 300)(304 305)(304 307) (301 300)(301 304)(301 307) 2,4843 (305 300)(305 304)(305 307) (301 300)(301 304)(301 305) 2,4871 (307 301)(307 304)(307 305) 1,2739 4,9658 4,4717 0,7106 y( x) 2,4786
99
Polinom Newton • Polinom Lagrange kurang disukai dalam praktek karena : • Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk satu kali interpolasi adalah besar. Interpolasi untuk nilai x yang lain memerlukan jumlah komputasi yang sama karena tidak ada bagian komputasi sebelumnya yang dapat digunakan. • Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan. Karena tidak ada hubungannya antara pn-1(x) dan pn(x) pada polinom Lagrange
• Polinom yang dibentuk sebelumnya dapat digunakan untuk membentuk polinom derajat yang lebih tinggi.
Polinom Newton • Persamaan Polinom Linier
( y1 y 0 ) p1 ( x) y 0 ( x x0 ) ( x1 x0 )
• Bentuk pers ini dapat ditulis : p1 ( x) a0 a1 ( x x0 ) • Yang dalam hal ini (1) a0 y 0 f ( x0 ) ( y1 y 0 ) f ( x1 ) f ( x0 ) • Dan (2) a1 ( x1 x0 ) ( x1 x0 ) • Pers ini mrpk bentuk selish terbagi (divided-difference)
a1 f [ x1 , x0 ]
Polinom Newton • Polinom kuadratik • Atau
p2 ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 )
p2 ( x) p1 ( x) a2 ( x x0 )( x x1 )
• Dari pers ini menunjukkan bahwa p2(x) dapat dibentuk dari pers sebelumnya p1(x). Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2 untuk mendapatkan (3)
f ( x2 ) a0 a1 ( x2 x0 ) a2 ( x2 x0 )( x2 x1 )
• Nilai a0 dan a1 pada pers 1 dan 2 dimasukkan pada pers 3
f ( x 2 ) f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x0 ) x 2 x0 x1 x0 a2 x 2 x1
Polinom Newton • Dengan melakukan utak-atik aljabar, pers ini lebih disukai f ( x 2 ) f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x0 ) x 2 x1 x1 x0 f [ x 2 , x1 ] f [ x1 , x0 ] a2 x 2 x0 x 2 x0
Polinom Newton • Jadi tahapan pembentukan polinom Newton : p1 ( x) p0 ( x) a1 ( x x0 )
p1 ( x) a0 a1 ( x x0 )
p2 ( x) p1 ( x) a2 ( x x0 )( x x1 ) p2 ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 )
p3 ( x) p 2 ( x) a3 ( x x0 )( x x1 )( x x2 )
p3 ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) a3 ( x x0 )( x x1 )( x x2 )
Polinom Newton • Nilai konstanta a0, a1, a2,…, an, merupakan nilai selisih terbagi , dg nilai
a0 f ( x0 ) a1 f [ x1 , x0 ] a 2 f [ x 2 , x1 , x0 ]
• Yang dalam hal ini
f [ xi , x j ]
a n f [ x n , x n 1 ,..., x1 , x0 ] f ( xi ) f ( x j )
f [ xi , x j , x k ]
xi x j f [ xi , x j ] f [ x j , x k ]
f [ x n , x n 1 ,..., x1 , x0 ]
xi x k f [ x n , x n 1 ,..., x1 ] f [ x n 1 , x n 2 ,..., x1 , x0 ) x n x0
Karena a0, a1,a2, …an, merupakan nilai selisih terbagi, maka polinom Newton dinamakan polinom interpolasi selisih terbagi Newton. Nilai selisih terbagi dapat dihitung dengan menggunakan tabel yng disebut tabel selisih terbagi.
106
Polinom Newton • Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai : • Rekurens
pn ( x) pn1 ( x) ( x x0 )( x x1 )...( x xn1 ) f [ xn , xn1 ,..., x1 , x0 ] • basis
p 0 ( x) f ( x0 )
• Atau dalam bentuk polinom yang lengkap sbb : p n ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x1 , x0 ] ( x x0 )( x x1 ) f [ x2 , x1 , x0 ] ( x x0 )( x x1 )...( x xn1 ) f [ xn , xn1 ,..., x1 , x0 ]
Contoh Soal : • Bentuklah polinom Newton derajat satu, dua, tiga dan empat yang menghampiri f(x)=cos(x) dalam range[0.0, 4] dan jarak antar titik adalah 1.0. Lalu taksirlah f(x) dengan x=2.5 dengan Polinom Newton derajat 3.
xi
yi
ST-1
ST-2
ST-3
ST-4
0.0
1
-0.4597
-0.2484
0.1466
-0.0147
1.0
0.5403
-0.9564
0.1913
0.0880
2.0
-0.4161
-0.5739
0.4551
3.0
-0.99
0.3363
4.0
-0.6536
Contoh Soal : • Contoh cara menghitung nilai selisih terbagi pada tabel : f ( x1 ) f ( x0 ) 0.5403 1 f [ x1 , x0 ] 0.4597 ( x1 x0 ) 1 0 f [ x 2 , x1 ]
f ( x 2 ) f ( x1 ) 0.4161 0.5403 0.9564 ( x 2 x1 ) 2 1
f [ x 2 , x1 ] f [ x1 , x0 ] 0.9564 0.4597 f [ x 2 , x1 , x0 ] 0.2484 ( x 2 x0 ) 20
Contoh Soal : • Maka polinom Newton derajat 1,2 dan 3 dengan x0 = 0 sebagai titik pertama : cos( x) p1 ( x) 1.0 0.4597( x 0.0) cos( x) p 2 ( x) 1.0 0.4597 ( x 0.0) 0.2484( x 0.0)( x 1.0) cos( x) p3 ( x) 1.0 0.4597 ( x 0.0) 0.2484( x 0.0)( x 1.0) 0.1466( x 0.0)( x 1.0)( x 2.0) cos( x) p 4 ( x) 1.0 0.4597 ( x 0.0) 0.2484( x 0.0)( x 1.0) 0.1466( x 0.0)( x 1.0)( x 2.0) 0.0147( x 0.0)( x 1.0)( x 2.0)( x 3.0)
• Nilai sejati f(2.5) adalah • F(2.5) = cos(2.5)=-0.8011
4. INTEGRASI NUMERIK
Pengantar • Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. • Misalnya dalam termodinamik, model Debye untuk menghitung kapasitas panas dari benda padat.
INTEGRASI NUMERIK • Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan. • digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x. • Penerapan integral : menghitung luas dan volume-volume benda putar
Dasar Pengintegralan Numerik • Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian. • Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati jawaban eksak. 12
10
8
6
4
2
0 3
5
7
9
11
13
15
Dasar Pengintegralan Numerik Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi
b
a
f(x)
x0
n
f ( x)dx ci f ( xi ) i 0
c0 f ( x0 ) c1 f ( x1 ) ... cn f ( xn )
x1
xn-1
xn
x
Dasar Pengintegralan Numerik Formula Newton-Cotes - Berdasarkan pada b
b
a
a
I f ( x )dx fn ( x )dx Nilai hampiran f(x) dengan polinomial
fn ( x ) a0 a1 x an1 x n1 an x n
fn (x) bisa fungsi linear fn (x) bisa fungsi kuadrat
fn (x) bisa juga fungsi kubik atau polinomial yang lebih tinggi
Polinomial dapat didasarkan pada data
INTEGRASI NUMERIK • Luas daerah yang diarsir L dapat dihitung dengan : •L= b
f x dx a
Metode Integral Reimann 0.5 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35 0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Metode Integral Reimann • Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x • Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x = [a,b] • Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi panjang dimana Li=f(xi).
xi
Metode Integral Reimann • Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan : L L0 L1 L2 .. Ln
f x0 x0 f x1 x1 f x 2 x2 ... f x n x3 n
f xi xi
• Dimanai 0 • Didapat
x0 x1 x2 ... xn h b
n
a
i 0
f x dx h f xi
Contoh
1
L = x 2 dx 0
• Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x untuk range x = [0,1] 1 x**2
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Contoh • Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :
10
L h. f ( xi ) i 0
0.10 0.01 0.04 0.09 0.16 0.25 0.36 0.49 0.64 0.81 1.00 0.13,85 0,385
1
• Secara kalkulus :
1 L x 2 dx x 3 |10 0,3333..... 3 0 • Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333 •
= 0,052
Algoritma Metode Integral Reimann: • • • • •
Definisikan fungsi f(x) Tentukan batas bawah dan batas ata integrasi Tentukan jumlah pembagi area N Hitung h=(b-a)/N Hitung
N
L h. f ( xi ) i 0
Metode Integrasi Trapezoida • Aproksimasi garis lurus (linier)
b
a
1
f ( x )dx c i f ( x i ) c0 f ( x0 ) c 1 f ( x1 ) i 0
h f ( x0 ) f ( x 1 ) 2 f(x) L(x)
x0
x1
x
Contoh: Aturan Trapesium • Hitung integral dari xe • Solusi eksak 4
0
4
0
x 2x 1 2x xe dx e e 4 0 2 2x
I
0
dx
4
• Aturan trapesium 1
4
2x
4
4
e 2 x (2 x 1) 5216.926477 0
4 0 f (0 ) f ( 4 ) 2(0 4 e 8 ) 23847.66 xe dx 2 5216.926 23847.66 357.12% 5216.926 2x
Aturan Komposisi Trapesium
b
a
x1
x2
xn
x0
x1
xn 1
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
f ( x )dx
h f ( x0 ) f ( x 1 ) h f ( x 1 ) f ( x 2 ) h f ( x n 1 ) f ( x n ) 2 2 2 h f ( x0 ) 2 f ( x1 ) 2f ( x i ) 2 f ( x n1 ) f ( x n ) 2
f(x)
ba h n x0
h
x1
h
x2
h
x3
h
x4
x
Metode Integrasi Trapezoida 1 Li f xi f xi 1 .xi 2 atau 1 Li f i f i 1 .xi 2
1
L Li
n 1
i 0
1 h L h f i f i 1 f 0 2 f1 2 f 2 ... 2 f n1 f n 2 i 0 2 n 1 h L f 0 2 f i f n 2 i 1
Algoritma Metode Integrasi Trapezoida • • • • •
Definisikan y=f(x) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b) Tentukan jumlah pembagi n Hitung h=(b-a)/n Hitung
n 1 h L f 0 2 f i f n 2 i 1
Aturan Komposisi Trapesium • Hitung integral dari I xe dx 4
2x
0
h f (0 ) f ( 4 ) 23847.66 2 h n 2, h 2 I f (0 ) 2 f ( 2 ) f ( 4 ) 12142.23 2 h n 4 , h 1 I f (0 ) 2 f ( 1) 2 f ( 2 ) 2 2 f ( 3 ) f ( 4 ) 7288.79 n 1, h 4 I
357.12% 132.75%
39.71%
h f (0 ) 2 f (0.5 ) 2 f ( 1) 2 2 f ( 1.5 ) 2 f ( 2 ) 2 f ( 2.5 ) 2 f ( 3 )
n 8, h 0.5 I
2 f ( 3.5 ) f ( 4 ) 5764.76
h f (0 ) 2 f (0.25 ) 2 f (0.5 ) 2 2 f ( 3.5 ) 2 f ( 3.75 ) f ( 4 ) 5355.95
10.50%
n 16 , h 0.25 I
2.66%
Aturan Simpson 1/3 • Aproksimasi dengan fungsi parabola
b
a
2
f ( x )dx c i f ( x i ) c0 f ( x0 ) c 1 f ( x1 ) c 2 f ( x 2 ) i 0
h f ( x0 ) 4 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 3
L(x)
f(x)
x0
h
x1
h
x2
x
Aturan Simpson 1/3 ( x x0 )( x x 2 ) ( x x1 )( x x 2 ) L( x ) f ( x0 ) f ( x1 ) ( x0 x1 )( x0 x 2 ) ( x1 x0 )( x 1 x 2 ) ( x x0 )( x x1 ) f ( x2 ) ( x 2 x0 )( x 2 x1 ) ab 2 x x1 ba dx h , , d 2 h h x x0 1 x x1 0 x x 1 2 let
x0 a, x 2 b, x 1
L( )
( 1) 2
f ( x0 ) ( 1 2 ) f ( x 1 )
( 1) 2
f ( x2 )
Aturan Simpson 1/3 L( )
b
a
( 1) 2
f ( x0 ) ( 1 ) f ( x 1 ) 2
( 1) 2
f ( x2 )
h 1 f ( x)dx h L( )dξ f ( x0 ) ξ (ξ 1)dξ 1 2 1 1 h 1 2 f ( x1 )h ( 1 ξ )dξ f ( x2 ) ξ (ξ 1)dξ 0 2 1 1
1
1
h ξ ξ ξ f ( x0 ) ( ) f ( x1 )h(ξ ) 2 3 2 1 3 1 3
2
3
1
h ξ ξ f ( x2 ) ( ) 2 3 2 1 3
b
a
2
h f ( x )dx f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x 2 ) 3
Aturan Komposisi Simpson ba h n f(x)
…... x0 h x1 h x2 h x3 h
x4
xn-2 xn-1
xn
x
Metode Integrasi Simpson • Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut: N=0–n L = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln
h h h h h h L f 0 2 f1 2 f1 f 2 f 2 2 f 3 2 f 3 f 4 ... f n2 2 f n1 2 f n1 f n 3 3 3 3 3 3
• atau dapat dituliskan dengan: h L f 0 4 f i 2 f i f n 3 i ganjil i genap
Cara II (Buku Rinaldi Munir)
• Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ketiga titik tsb p 2 x f ( x0 )
x x ( x h) 2 x x ( x h) 2 f ( x0 ) f ( x ) f f f0 0 0 0 2 2 h h 2!h 2!h
Cara II (Buku Rinaldi Munir) • Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h] 2h
L
2h
f ( x)dx p 0
2
xdx
0
x x ( x h) 2 L f 0 f 0 f 0 dx 2 h 2!h 0 2h
x3 x2 x2 L f0 x f 0 2 2 2h 4h 6h
2 f 0 | xx 02 h
8h 3 4 h 2 2 4h 2 f 0 L 2hf 0 x f 0 2 2h 4h 6h 4h L 2hf 0 x 2hf 0 h 2 f 0 3 h L 2hf 0 x 2hf 0 2 f 0 3
Cara II (Buku Rinaldi Munir) • Mengingat
f 0 f1 f 0
2 f 0 f1 f 0 ( f 2 f1 ) ( f1 f 0 ) f 2 2 f1 f 0 • Maka selanjutnya h L 2hf 0 x 2h( f1 f 0 ) ( f 2 2 f1 f 0 ) 3 h 2h h L 2hf 0 x 2hf1 2hf 0 f 2 f1 f 0 3 3 3 h 4h h L f0 f1 f 2 3 3 3 h L ( f 0 4 f1 f 2 ) 3
Aturan Simpson 3/8 Aproksimasi dengan fungsi kubik
b
a
3
f ( x )dx c i f ( x i ) c0 f ( x0 ) c 1 f ( x1 ) c 2 f ( x 2 ) c 3 f ( x 3 ) i 0
3h f ( x0 ) 3 f ( x 1 ) 3 f ( x 2 ) f ( x 3 ) 8
L(x)
x0
h
f(x)
x1
h
x2
h
x3
x
Aturan Simpson 3/8 L( x )
( x x1 )( x x 2 )( x x 3 ) ( x x0 )( x x 2 )( x x 3 ) f ( x0 ) f ( x1 ) ( x0 x1 )( x0 x 2 )( x0 x 3 ) ( x1 x0 )( x1 x 2 )( x1 x 3 ) ( x x0 )( x x1 )( x x 3 ) ( x x0 )( x x1 )( x x 2 ) f ( x2 ) f ( x3 ) ( x 2 x0 )( x 2 x1 )( x 2 x 3 ) ( x 3 x0 )( x 3 x1 )( x 3 x 2 )
b
a
f(x)dx
b
a
ba L(x)dx ; h 3
3h f ( x0 ) 3 f ( x 1 ) 3 f ( x 2 ) f ( x 3 ) 8 Error Pemenggalan
3 5 (4) ( b a) 5 ( 4 ) ba Et h f ( ) f ( ) ; h 80 6480 3
Metode Integrasi Gauss • Metode Newton Code (Trapezoida, Simpson) berdasarkan titik2 data diskrit. Dengan batasan : • H sama • Luas dihitung dari a sampai b
• Mengakibatkan error yang dihasilkan cukup besar.
Metode Integrasi Gauss • Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-1,1] 1
h I f ( x)dx f (1) f (1) f (1) f (1) 2 1 h 2ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss) • Persamaan ini dapat 1
I
f ( x)dx c
1
1
f ( x1 ) c2 f ( x2 )
• Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=1 menjadi m. trapezoida • Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilai tersebut sehingga error integrasinya min
Metode Integrasi Gauss • Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah ini dianggap memenuhi secara tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1] • f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3 1
1
I
c1 c 2 1dx 2
f ( x)dx c
1
f ( x1 ) c2 f ( x2 )
1
1
1
c1 x1 c 2 x 2 xdx 0
Didapat
1
c1 c 2 1
1
c1 x12 c 2 x 22 x 2 dx 2 1 1
c x c 2 x x dx 0 3 1 1
3 2
3
1
3
x1
1 3
x2
1 3
Metode Integrasi Gauss • Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2 titik
1
f ( x)dx f (
1
1 3
) f(
1 3
)
Transformasi b
Li f ( x)dx a
• Range [a,b] [-1,1] • X u f(x) g(u) dx du
1
Li g (u )du 1
Transformasi x a u 1 ba 2 2 x 2a (u 1)(b a ) 2 x (u 1)(b a ) 2a a b bu au x 2 (a b) (b a )u x 2 ba dx du 2
a
x
b
-1
u
1
Transformasi 1
Li g (u )du 1
1 g (u ) (b a) f 12 (b a)u 12 (b a) 2 1 (a b) (b a)u g ( u ) du ( b a ) f du 1 2 2 1 1
1
Analisa • Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode GaussLegendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi. • Lebih teliti dibandingkan dengan metode NewtonCotes. • Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu menjadi 1
g (u)du
1
Algoritma Integrasi Kuadratur Gauss dengan Pendekatan 2 titik • • •
•
•
Definisikan fungsi f(x) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b) Hitung nilai konversi variabel :
Tentukan fungsi
Hitung
1 b a u 1 (b a) g(u)2 dengan:2
x
1 g (u ) (b a) f 12 (b a)u 12 (b a) 2 1 1 L g g 3 3
Contoh Soal
Metode Gauss Legendre 3 Titik 1
I
f ( x)dx c
1
f ( x1 ) c2 f ( x2 ) c3 f ( x3 )
1
• Parameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapat dicari dengan membuat penalaran bahwa kuadratur Gauss bernilai tepat untuk 6 buah fungsi berikut :
f ( x) 1; f ( x) x; f ( x) x 2 f ( x) x 3 ; f ( x) x 4 ; f ( x) x 5 • Dengan cara yang sama didapat 5 8 5 c1 ; c 2 ; c3 9 9 9 x1 3 5 ; x 2 0; x3 3 5
Metode Gauss Legendre 3 Titik
5 3 8 5 3 1 g (u)du 9 g 5 9 g 0 9 g 5 1
Algoritma Metode Integrasi Gauss Dengan Pendekatan 3 Titik
Metode Gauss n-Titik
Beberapa Penerapan Integrasi Numerik • Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar • Menghitung Luas dan Volume Benda Putar
Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar 9
6
3
Skala 1:100000 0
5
10
15
• Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100 m. • Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal ini n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:
Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar • Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung dengan menggunakan 3 macam metode: • Dengan menggunakan metode integrasi Reimann 16
i • Dengan menggunakan metode i 0 integrasi trapezoida Lh
•
y 73.5
15 h L y 0 y16 2 yi 73.5 Dengan menggunakan2 metode integrasi i 1 Simpson
h L y 0 y16 4 yi 2 yi 74 3 i ganjil i genap
Menghitung Luas dan Volume Benda Putar • Luas benda putar:
• Volume benda putar:
b
L p 2 f ( x)dx a
b
V p f ( x)2 dx a
Contoh :
5 cm 7 cm
I
II
III
6 cm
12 cm
4 cm
IV
7 cm
satuan dalam cm
• Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian • bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya, • bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.
• Bagian I: • Bagian III:
LI 2 (4)(7) 56 VI (4)(7) 2 196
LIII 2 12(12) 288 VIII 1212 1728 2
Contoh : • Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:
LII dan LIV VII VIV • Pada bagian II dan IV: • Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh: 4 h LII ( LIV ) 2 y 0 y5 2 yi 108 2 i 1 4 h 2 2 VII VIV y 0 y5 2 yi2 1187.5 2 i 1
Contoh : • Luas permukaan dari botol adalah:
L LI LII LIII LIV 56 108 288 108 • Luas = 1758.4 cm2 • Volume botol adalah:
560 1758.4 V VI VII VIII VIV
• Volume = 13498.86 cm3
196 1187.5 1728 1187.5 4299
