Matematika Lanjut 1. Onggo Wiryawan

Matematika Lanjut 1 Onggo Wiryawan

 Setiap

matriks persegi atau bujur sangkar memiliki nilai determinan  Nilai determinan  skalar  Matriks Singular= Matriks yang determinannya bernilai 0

Determinan & Invers - Onggo Wr

2

 Misalkan 

Determinan dari A dinotasikan  

det(A) |A|

 Untuk  

A suatu matriks bujursangkar

matriks ordo 2×2

𝑎11 Misal 𝐴 = 𝑎 21 Maka

𝑎12 𝑎22

𝑎11 det A = 𝐴 = 𝑎 21

𝑎12 𝑎22 = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎21 𝑎12


3

 Contoh 

Misal 𝐴 =



Maka

2 −5 −3 9

det A = 𝐴 =

2 −5 = 2 ⋅ 8 − −3 ⋅ −5 = 1 −3 8


4

 Untuk

matriks ordo 3×3 (Metode Sarrus)

 a11 a12  A   a21 a22 a  31 a32

a13   a23  a33 

det( A) a11a22a33  a12a23a31  a13a21a32  a31a22a13  a32a23a11  a33a21a12


5

 Contoh

  2 2  3   A   1 1 3   2 0 1    det(A)

= |A| = = [(-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0)] – (-3 ·1 ·2) –(-2 ·3 ·0)-(2 ·-1 ·-1) = 2 +12+0+6-0-2 = 18


6

 Definisi 

 

1: Minor

Misal An×n MINOR unsur aij adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j. Dinotasikan dengan Mij Contoh Minor dari elemen a11  a11 a12  A   a21 a22 a  31 a32

M 11 

a22

a23

a32

a33

a13   a23  a33 


 a11 a12  a22 a A   21 a a32  31 a  41 a42

a22 M 11  a32 a42

a23 a33 a43

a13 a23 a33 a43

a24 a34 a44 7

a14   a24  a34   a44 

 Minor-minor

dari Matrik A3×3


8

 Definisi  

2: Kofaktor

Misal An×n KOFAKTOR dari baris ke-i dan kolom kej dituliskan dengan Dinotasikan dengan cij

Contoh

 

Kofaktor dari elemen a23

c23  (1) 23 M 23  M 23


9

 Determinan

dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya


10

 a11 a12  A   a21 a22 a  31 a32

 Contoh:

a13   a23  a33 

 Determinan

Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama

 |A|  a11c11  a12c12  a13c13

 a11 M 11  a12 M 12  a13 M 13  a11

a22 a32

a23 a a23 a a22  a12 21  a13 21 a33 a31 a33 a31 a32


11

 a11 a12  A   a21 a22 a  31 a32

 Contoh:

a13   a23  a33 

 Determinan

Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris kedua

 |A|  a 21c 21  a 22c 22  a 23c 23

 a 21 M 21  a 22 M 22  a 23 M 23  a 21

a12 a32

a13 a  a 22 11 a33 a31


a13 a  a 23 11 a33 a31

a12 a32

12

 a11 a12  A   a21 a22 a  31 a32

 Contoh:

a13   a23  a33 

 Determinan

Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama

 |A| a11c11  a 21c 21  a31c31

 a11 M 11  a 21 M 21  a31 M 31  a11

a 22 a32

a 23 a  a 21 12 a33 a32

a13 a  a31 12 a33 a 22


a13 a 23

13

Teorema Misalkan A adalah matriks bujursangkar Jika A memiliki satu baris nol atau kolom nol,maka det(A) = 0  det(A) = det (AT) 

Teorema Jika A adalah matriks segitiga nn (segitiga atas, segitiga bawah atau diagonal), maka det(A) adalah perkalian entri-entri pada diagonal utamanya det(A) = a11a22...ann


14

Teorema Misalkan A adalah matriks bujursangkar  Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari perkalian suatu baris atau kolom dengan skalar k ≠ 0 maka det(B) = k det(A)  Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari pertukaran dua baris atau kolom dari A maka det(B) = –det(A)  Jika B adalah matriks yang dihasilkan ketika suatu baris ditambahkan dengan kelipatan baris lain atau suatu kolom ditambahkan dengan kelipatan kolom lain dari A, maka det(B) = det(A)


15

Contoh

ka11 ka12 a21 a22

ka13 a11 a12 a23  k a21 a22

a13 a23

a31

a33

a33

a32

a32

a11 a31

a12 a32

a13 a11 a33   a21

a12 a22

a13 a23

a21

a22

a23

a32

a33

a11  ka31 a12  ka32 a21 a22 a31

a31

a32 Determinan & Invers - Onggo Wr

a31

a13  ka33 a11 a12 a23  a21 a22 a33

a31

a32

a13 a23 a33

16

Teorema Misal E adalah matriks elementer ordo n  n,  Jika E dihasilkan dari suatu baris In dikali k, maka det(E) = k  Jika

E dihasilkan dari pertukaran dua baris pada In, maka det(E) = 1

 Jika

E dihasilkan dari suatu baris ditambah kelipatan baris lain di In, maka det(E) = 1 Determinan & Invers - Onggo Wr

17

Contoh

1 0 0 0 1 0 2 0 0 2 1 0 0 0 0 1  1 0 1 0

1 2 0 0 1 0 1 0 0 1 Determinan & Invers - Onggo Wr

18

Teorema Jika A adalah matriks bujursangkar dimana terdapat dua baris atau dua kolom yang saling berkelipatan, maka det(A) = 0


19

Contoh

 1 3 0  A   2 4 1   5 2 2 

3 0 B  2 B 1 3 2 1 2 4 1  0 2 5 2 5 2 2 1 3 = 2 0 1 0 13 1

0 1 3 0 B3  5 B1 1 0 2 1  2 0 13 2

 17   (2)(1)(1)    17  2


3 0 1  12

0 1 B3 13B2  12  2 0 2 0

0

20

17 2

Contoh 1 2 A 0  7

3 6  6 3 0  3 1 5

0 0 7 0

1 0 0 0 0 C4  3C1 2 7 0  (1)(7)(3)(26)  546  0 6 3 0 0 6 3 0 7 3 1 26 7 3 1 5

1 0 0 2 7 0

3 6


21

Teorema Jika A dan B adalah matriks bujursangkar dengan ukuran sama, maka det(AB) = det(A).det(B) Teorema Jika A invertible, maka 1 det( A )  det( A) 1


22

Definisi Jika Ann, Cij kofaktor dari aij, maka  C11 C12 C  21 C22   Cn1 Cn 2

C1n      Cnn 

disebut matriks kofaktor dari A. Transposenya disebut matriks Adjoin dari A, ditulis Adj(A). Determinan & Invers - Onggo Wr

23

 3 2 1 A  1 6 3   2 4 0 

Contoh  Kofaktor

dari A C11 = 12, C21= 4, C31 = 12, C12 = 6, C22 = 2, C32 = 10, C13 = 16, C23 = 16, C33 = 16  Maka matriks kofaktor dari A adalah 12 6 16  4  2 16   12 10 16  Determinan & Invers - Onggo Wr

 12 4 12  Adj( A)   6 2 -10  -16 16 16  24

Teorema  Jika A adalah matriks invertible, maka

1 A  Adj( A) det( A) 1

Teorema (Aturan Cramer)  Jika Ax = b adalah spl dengan n peubah, det(A) ≠ 0 maka spl mempunyai solusi tunggal

det( Ai ) xi  det( A) 

dimana Ai adalah matriks A dengan kolom ke-i diganti dengan b Determinan & Invers - Onggo Wr

25

Contoh Tentukan solusi dari spl 2𝑥1 − 3𝑥2 = 6 4𝑥1 + 𝑥2 = 25 Jawab

2 4

𝐴𝒙 = 𝒃 6 −3 𝑥1 = 𝑥 25 1 2


26

1 −4 3 2 1 3 T Adjoin A adalah Kofaktor = −4 2 2 −3 Determinan A = 𝐴 = =2− 4 1 −12 = 14 Matriks Kofaktor dari A adalah =


27

Definisi Misal An×n, maka A-1 disebut invers matriks dari A jika 𝐴 ∙ 𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼 untuk I = matriks identitas ordo n×n. Teorema Misal matriks A dan B invertibel (punya invers). 𝐴𝐵 −1 = 𝐵−1 𝐴−1 Determinan & Invers - Onggo Wr

28

Teorema Misal matriks A invertibel 𝑑𝑒𝑡

𝐴−1


1 = 𝑑𝑒𝑡⁡(𝐴)

29


30

 Rahmi  UB

Rusin, Determinan.

Informatika, Matriks.


31

Matematika Lanjut 1. Onggo Wiryawan

Recommend Documents