TEKNIK INFORMATIKA FENI ANDRIANI
Definisi: Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun dalam sebuah empat persegi panjang, secara teratur, di dalam baris-baris dan kolom-kolom. a a ...... a 11 12 1n a ...... a a 21 22 2n ........................... a ...... a mn a m1 m2 Matriks di atas disebut matriks ukuran m x n
Operasi Matriks
Operasi Kesamaan Dua matriks A dan B disebut sama, jika:
1.
a) b)
A dan B sejenis Setiap unsur yang seletak sama.
1 2 1 2 1 2 , B ,C A 3 1 3 1 3 1
A = B, A ≠ C, B ≠ C
2.
Penjumlahan dua matriks Definisi: Jumlah dua matriks A dan B yang sejenis adalah sebuah matriks C yang sejenis pula dengan unsur-unsurc , dimana terdapat hubungan: ij c a b A a ,B b ,C c ij ij ij . ij ij ij
2 4 2 5 0 1 , B ,C A 1 5 2 4 1 9
1 2 4 1 0 1 2 A C 1 2 4 0 A B 2
4 - 2 5 5 1 9 5 - 2 6 9 3 13
Sifat-sifat penjumlahan: Komutatif : A + B = B + A Assosiatif : A + (B + C) = (A + B) + C 3. Perkalian dengan skalar ( ) Perkalian sebuah matriks dengan skalar ( ) maka setiap unsur matriks tersebut terkalikan dengan skalar ( ).
A a , maka ij
A=
a . ij
Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar 1. 2.
3.
(A + B) = A +B ( + β ) A = A + β A
(β A) = β A
4. Perkalian dua matriks Definisi: Dua matriks A (m x n), dan B (p x q) didefinisikan hasil kalinya, jika n = p , maka hasilkali adalah matriks C (m x q) dengan unsur-unsur:
c a b a b a b ....... a b ij i1 1 j i 2 2 j i3 3 j in nj n c a b ij k1 ik kj
Catatan: Perkalian 2 matriks AB dapat didefinisikan, jika banyaknya kolom matriks A = banyaknya baris matriks B. Hasil kali dua matriks AB adalah suatu matriks dengan banyaknya baris = banyaknya baris matriks A dan banyaknya kolom = banyaknya kolom matriks B. Pada umumnya AB ≠ BA Contoh: 2 A 1 2 3, B 3 , C A x B 20 4 1x3
3x1
1x1
2 3 0 , B 10 4
3 2 A 0 5 5 2 2 3 0 C A x B 5 10 4 2x2
5 1 9 3 5 0 1 tdk terdefinis i 5 9
3x3
1.
Macam-macam matriks Matriks bujursangkar Definisi: matriks bujursangkar adalah matriks dimana banyaknya baris = banyaknya kolom 2 3 5 2 3 A , B 0 0 1 5 10 4 5 9
2. Matrik satuan/ matriks identitas Matriks bujur sangkar Setiap unsurnya nol, kecuali didiagonal utama = 1
Contoh :
1 0 0 1 0 I , I 0 1 0 2 0 1 3 0 0 1
A.I = I.A I.I = I
3. Matriks segitiga • Matriks bujursangkar • Unsur di atas/di bawah diagonal utama adalah nol
Contoh : 1 2 3 1 0 A 0 4 7 , B 7 8 0 0 9
4. Matriks Tranpose • Tidak perlu bujursangkar • Setiap baris ditukar tempat dengan kolom
Contoh :
1 ~ A 2 , A 1 2 3 3 4 2 ~ 4 5 0 B 5 7 , B 2 7 1 0 1
Sifat-sifat matriks transfose
1.(A B) A B 2.(A ) A 3.λ(A ) λA 4.(AB) B A T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
Contoh
1 2 1 2 A ,B 2 3 0 1 0 4 AB (AB) 4 3 3 2 3 A 1 0 ,B 1 2 0 2 1 T
T
T
B A 1 2 T
T
(AB) B A T
T
2 3 0 1 0 4 2 1 T
3
5. Matriks simetris
~ Matriks A disebut simetris apabila A A • Matriks Bujur sangkar Contoh
1 2 , 2 3
1 2 0 2 3 7 0 7 8
6. Matriks skew simetris ~ Matriks A disebut matriks skew simetri jika A A
• Bujur sangkar Contoh
0 2
0 2 , 2 0 0
2 0 7
0 7 0
~ , maka Matriks Skew simetrisA A
a ii ii
Untuk I = j maka a
a a ij ji
2a
ii
0
Jadi diagonal utama matriks skew simetris = 0
7.
Matriks Diagonal Matriks bujursangkar Semua unsur nol, kecuali didiagonal utama
1 0 0 0 3 0 0 0 5
9. Matriks Nol Tidak perlu matriks bujur sangkar Semua unsurnya nol 0 0
A.0
0 0
0 0
=0
A+0=A
A.B = 0, apakah A = 0 ?atau B = 0? atau keduaduanya nol
Transformasi Elamenter pada matriks adalah: Penukaran tempat baris ke i dan ke j (baris ke i dijadikan baris ke j dan baris ke j dijadikan baris ke i), ij ditulis H (A) Penukaran tempat kolom ke i dan kolom ke j (kolom ke ij K (A) i dijadikan kolom ke j atau sebaliknya), ditulis ≠ 0, ditulis Memperkalikan baris ke i dengan skalar () H (A) i () Memperkalikan kolom ke i dengan ≠ 0, ditulis iK (A) Menambah baris ke i dengan kali baris ke j, ditulis H() (A) ij
Menambah
kolom ke i dengan kali kolom ke j,ditulis
() K ij (A)
Kadang untuk operasi (1) dan (3) dapat dilakukan dalam : Menambah kali baris ke i dengan satu langkah 2 1
( ) ( ) kali baris ke j, ditulis H i (A) j 1
2
Demikian pula untuk untuk operasi (2) dan (4) Bila menggunakan operasi baris maka disebut operasi baris elementer (OBE)
Contoh: 3 1 2 1 A 4 1 0 2 , carilah matrik B yang dihasilkan 1 3 0 1 (-1) (2) ,H ,H , 31 2 12
sederetan transforma si elementer H K
(1) (2) ,K . Carilah B tersebut. 41 3
3 1 2 1 H ( 1 ) 3 31 4 1 0 2 8 ( 2 ) 1 3 0 1 H2 - 2 K (1) 8 41 3 K (2) 3 - 2
0 12 1 4 4 2 - 4 - 2 2
1 H 8 12 2 0 4 3 - 2 2 - 2 0
1
2
0 4 1 2 1 2 - 2 0 2
Jika suatu transformasi elementer adalah: -1 (B) = H (B) A=H ij ij
-1 (B) = K A=K ij ij
(B)
()-1
1/ (B) = H (B) i
() -1
1/ (B) = K (B) i
A=H i A = Ki
()-1
A =H ij
( )
(B) = H ij
(B)
()-1
A=K ij
( )
(B) = K ij
(B)
Contoh
2 2 1 2 B 6 0 4 2 , diperoleh dari A dengan sederetan 1 2 3 1 transforma si elementer berturut - turut : H ,H ,K ,K .Carilah A. (1)
12
31
(2)
13
2
2 2 1 2 K (1/2) 2 1 1 2 K 1 1 2 2 2 13 6 0 4 2 6 0 4 2 4 0 6 2 1 2 3 1 1 1 3 1 3 1 1 1 1 2 2 H 4 0 6 2 H ( 1)1 31 12 4 0 6 2 1 1 2 2 A 2 0 1 1 2 0 1 1
Penggunaan OBE • Mencari Rank Matriks
Adalah jumlah maksimum baris/kolom yang bebas linier ( tidak semua unsur dalam suatu baris/kolom nol) • Mecari invers matriks OBE
( A:I )
-1
( I:A )
Contoh 2 3 1.Cari rank matriks dari A 2 1 4 4 3 2 3 1 ( 2) (1) 2 H3 2 0 - 2 2 0 - 2 0 1 3 0 0
3 2 0 - 2 0 0
1 ( 1) H21 2 ( 2) 3 H31
1 (1) ( 2) H 2 2 3 4
1 2 Maka rank matriks A = 2 0
• Misalkan
det A = | A | := ad-bc
• Determinan hanya untuk matriks bujur sangkar • Untuk order lebih dari 2, digunakan pengertian minor dan kofaktor. • Ilustrasi: • Minor komponen • Kofaktor komponen
adalah adalah
Dengan cara yang sama diperoleh
Menentukan tanda + atau – pada kofaktor, diperhatikan skema berikut :
Diperoleh Definisi determinan matriks 3 x 3:
Coba terapkan untuk menghitung determinan matriks A.
Secara umum untuk matriks n x n:
Atau dalam bentuk
Atau dalam bentuk
Contoh :
Cara cerdas: pilih kolom kedua
Pilih lagi kolom kedua
Misalkan A matriks n x n dengan kofaktor aij adalah Cij maka matriks disebut matriks kofaktor dari A, dan transposenya disebut adjoint A, ditulis adj(A).
Contoh: Kofaktor A :
Invers matiks A adalah Contoh: diperhatikan kembali matriks A sebelumnya, mudah diperoleh det(A) = 64, jadi
Misalkan SPL Ax = b maka
dimana Aj adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti kolom ke j matriks A dengan vektor b. Contoh:
Diperoleh
Penyelesaiannya
REFERENSI
Anton, Howard, 2000, Elementary Linear Algebra: Eight Edition, John Willey and Sons, Inc., New York.
Vanstone, Scott A. and van Oorschot, Paul C., 1989, An Introduction to Error Correcting Codes with Applications, Kluwer Academic Publishers, Massachusetts, USA.
