MATEMATIKA INFORMATIKA 2
TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI
SAP (1) Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik •
Vektor – Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor – Susunan Koordinat Ruang Rn – Vektor di dalam Rn – Persamaan garis lurus dan bidang rata
•
Ruang Vektor – Field – Ruang Vektor di atas suatu Field – Ruang Vektor Bagian – Vektor Bebas Linier dan Bergantungan Linier – Kombinasi Linier dan Arti Kombinasi Linier secara ilmu ukur. – Teorema-teorema mengenai Kombinasi Linier. – Dimensi dan Basis.
SAP (2) •
Matriks – Definisi dan Notasi Matriks – Operasi pada Matriks – Transpose dari suatu matriks – Beberapa Jenis Matriks khusus – Transformasi Elementer pada Baris & Kolom – Matriks Ekivalen – Ruang Baris dan Ruang Kolom dari suatu matriks – Rank Matriks
•
Determinan – Pendahuluan (Permutasi) – Sifat-sifat Determinan – Minor dan Kofaktor – Ekspansi secara Baris dan Kolom – Menghitung nilai Determinan dgn sifat-sifat Determinan
SAP (3) •
Matriks Invers – Definisi matriks invers – Matriks Singular, Non-singular – Matriks Adjoint dan Invers – Mencari Matriks Invers dgn Transformasi Elementer dan Partisi – Invers pada matriks yang tidak bujur sangkar
•
Persamaan-persamaan Linier – Persamaan Linier dan Susunan Persamaan Linier. – Susunan Persamaan Linier Homogen dan Penyelesaiannya. – Susunan Persamaan Linier Non-homogen dan Penyelesaiannya
SAP (4) •
•
Transformasi Linier – Pengertian Transformasi – Pergantian Basis – Transformasi Vektor Linier – Ruang Peta dan Ruang Nol – Produk Transformasi – Transformasi Invers – Transformasi Similaritas – Eigenvalue dan Eigenvector – Diagonalisasi – Transformasi ortogonal – Rotasi – Transformasi Simetris
VEKTOR Vektor adalah Besaran yang memiliki besar dan arah, bila dijumlahkan akan menghasilkan :
(b) (b) 0
• Komponen vektor merupakan proyeksi vektor pada
Komponen vektor
• Komponen vektor merupakan proyeksi vektor pada sumbu sistem koordinat Komponen vektor :
a x a cos
dan a y a sin
Besar vektor a a a 2 x
2 y
ax dan tan ay
Vektor satuan: Vektor satuan pada arah positif sumbu x, y dan z diberi tanda : iˆ , ˆj d a n kˆ
Perkalian vektor : • Perkaliana vektor dengan skalar : Jika vektor a dikalikan dengan skalar s akan menghasilkan vektor baru dengan besar nilai absolute s dengan arah a jika s positif, dan berlawanan arah jika s negatif. Vektor dibagi dengan s berarti kita mengkalikan dengan 1/s.
• Perkalian vektor dengan vektor : Menghasilkan skalar : Scalar Product Dikenal sebagai : Dot product
Dot Product
a .b a b c o s
RUANG VEKTOR
RUANG VEKTOR
SUBRUANG
RUANG VEKTOR – KOMBINASI LINIER
RUANG VEKTOR – BEBAS LINIER
RUANG VEKTOR – BASIS & DIMENSI
MATRIKS Definisi: Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun dalam sebuah empat persegi panjang, secara teratur, di dalam baris-baris dan kolomkolom. a a ...... a 11 12 1n a ...... a a 21 22 2n ........................... a ...... a mn a m1 m2 Matriks di atas disebut matriks ukuran m x n
Operasi Matriks 1. Operasi Kesamaan Dua matriks A dan B disebut sama, jika: a)
A dan B sejenis
b) Setiap unsur yang seletak sama.
1 1 1 2 2 2 , B , C A 3 1 1 3 3 1
A = B, A ≠ C, B ≠ C
2. Penjumlahan dua matriks Definisi: Jumlah dua matriks A dan B yang sejenis adalah sebuah matriks C yang sejenis pula dengan unsur-unsur cij , dimana terdapat hubungan: c a b ij ij ij . A a ij , B b ij , C c ij
2 2 0 1 4 5 , B , C A 2 4 5 1 9 1
A A
0 B 2 0 C 2
1 2 4 1 1 2 4 1
4 - 2 5 5 1 9 5 - 2 6 9 3 13
Sifat-sifat penjumlahan: Komutatif : A + B = B + A Assosiatif : A + (B + C) = (A + B) + C 3. Perkalian dengan skalar ( ) Perkalian sebuah matriks dengan skalar () maka setiap unsur matriks tersebut terkalikan dengan skalar ( ).
A a
ij
, maka A =
a ij
.
Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar 1. (A + B) = A + B 2. ( + β ) A = A + β A 3. (β A) = β A
4. Perkalian dua matriks Definisi: Dua matriks A (m x n), dan B (p x q) didefinisikan hasil kalinya, jika n = p , maka hasilkali adalah matriks C (m x q) dengan unsur-unsur:
c a b a b a b ....... a b ij i1 1 j i2 2 j i3 3 j in nj n c a b ij k 1 ik kj
Catatan: • Perkalian 2 matriks AB dapat didefinisikan, jika banyaknya kolom matriks A = banyaknya baris matriks B. • Hasil kali dua matriks AB adalah suatu matriks dengan banyaknya baris = banyaknya baris matriks A dan banyaknya kolom = banyaknya kolom matriks B. • Pada umumnya AB ≠ BA Contoh: 2 A 1 2 3 , B 3 , C A x B 20 4 1x3
3x1
1x1
2 3 , B 0 10 4
3 2 A 0 5 5 2 2 3 0 C A xB 5 10 4 2x2
5 1 9 3 5 0 1 tdk terdefinisi 5 9
3x3
Macam-macam matriks 1. Matriks bujursangkar Definisi: matriks bujursangkar adalah matriks dimana banyaknya baris = banyaknya kolom 2 A 5
2 3 , B 0 10 4
3 0 5
5 1 9
2. Matrik satuan/ matriks identitas • Matriks bujur sangkar • Setiap unsurnya nol, kecuali didiagonal utama = 1
Contoh : 1 I 2 0
1 0 , I 0 1 3 0
0 1 0
0 0 1
A.I = I.A I.I = I 3. Matriks segitiga • Matriks bujursangkar • Unsur di atas/di bawah diagonal utama adalah nol
Contoh : 1 A 0 0
2 4 0
3 1 7 , B 7 9
0 8
4. Matriks Tranpose • Tidak perlu bujursangkar • Setiap baris ditukar tempat dengan kolom
Contoh :
1 A 2 3 4 B 5 0
~ 2 , A 1 2 ~ 4 7 , B 2 1
3
5 7
0 1
Sifat-sifat matriks transfose
1.(A B) A B 2.(A ) A 3. λ (A ) λ A 4.(AB) B A T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
Contoh 2 A 3
1 0
1 2 , B 2 1 0
4 AB (AB) 3 3 2 A 1 0 , B 2 1 T
B A T
4
3
1
2
0
2 0 1 2
3 0 1
T
T
(AB)
1 T
2 B A T
T
T
4
3
5. Matriks simetris
~ Matriks A disebut simetris apabila A A • Matriks Bujur sangkar Contoh
1 2
2 , 3
1 2 0
2 3 7
0 7 8
6. Matriks skew simetris ~ Matriks A disebut matriks skew simetri jika A A
• Bujur sangkar Contoh
0 2
0 2 , 2 0 0
2 0 7
0 7 0
~ , maka a Matriks Skew simetris A A Untuk I = j maka a
ii
a
ii
ij
2a
a
ii
Jadi diagonal utama matriks skew simetris = 0
0
ji
7. Matriks Diagonal • Matriks bujursangkar • Semua unsur nol, kecuali didiagonal utama
1 0 0
0 3 0
0 0 5
9. Matriks Nol • Tidak perlu matriks bujur sangkar • Semua unsurnya nol
0 0 A.0
0 0
0 0
=0
A+0=A A.B = 0, apakah A = 0 ?atau B = 0? atau keduaduanya nol
Transformasi (operasi) Elementer pada Baris dan Kolom Matriks Transformasi Elamenter pada matriks adalah: Penukaran tempat baris ke i dan ke j (baris ke i dijadikan baris ke j dan baris ke j dijadikan baris ke i), ditulis Hij (A) Penukaran tempat kolom ke i dan kolom ke j (kolom ke i dijadikan kolom ke j atau sebaliknya), ditulis Kij (A) Memperkalikan baris ke i dengan skalar ≠ 0, ditulis ( ) H i (A) ( ) Memperkalikan kolom ke i dengan ≠ 0, ditulis K i (A) Menambah baris ke i dengan kali baris ke j, ditulis H ()(A) ij
Menambah
kolom ke i dengan kali kolom ke j,ditulis
( ) K ij (A) Kadang untuk operasi (1) dan (3) dapat dilakukan dalam satu langkah : Menambah 1 kali baris ke i dengan 2
( ) ( ) kali baris ke j, ditulis H i (A) j 1
2
Demikian pula untuk untuk operasi (2) dan (4) Bila menggunakan operasi baris maka disebut operasi baris elementer (OBE)
Contoh: 3 1 2 1 A 4 1 0 2 , carilah matrik B yang dihasilkan 1 3 0 1 (-1) (2) ,H ,H , 31 2 12
sederetan transformasi elementer H K
(1) (2) ,K . Carilah B tersebut. 41 3
3 1 2 1 H ( 1) 3 31 4 1 0 2 8 ( 2 ) 1 3 0 1 H2 - 2 K (1) 8 41 3 K (2) 3 - 2
0 12 1 4 4 2 - 4 - 2 2
1 H 8 12 2 0 4 3 2 - 2 0 - 2
1
2
0 4 1 2 1 2 - 2 0 2
Invers Suatu Transformasi Linier Jika suatu transformasi elementer adalah: • A = H -1(B) = H ij (B) ij • A = K ij -1(B) = K ij (B)
( )-1
1/ • A=H (B) = H i (B) i () -1 1/ • A=K i (B) = K i (B) • A =H
()-1
( )
ij
ij
(B) = H
(B)
()-1
A = K ij
( )
(B) = K ij
(B)
Contoh 2 2 1 2 B 6 0 4 2 , diperoleh dari A dengan sederetan 1 2 3 1 transformasi elementer berturut - turut : H ,H ,K ,K .Carilah A. (1)
12
31
(2)
13
2
2 2 1 2 K (1/2) 2 1 1 2 K 1 1 2 2 2 13 6 0 4 2 6 0 4 2 4 0 6 2 1 2 3 1 1 1 3 1 3 1 1 1 1 2 2 H 4 0 6 2 H ( 1)1 31 12 4 0 6 2 1 1 2 2 A 2 0 1 1 2 0 1 1
Penggunaan OBE • Mencari Rank Matriks Adalah jumlah maksimum baris/kolom yang bebas linier ( tidak semua unsur dalam suatu baris/kolom nol) • Mecari invers matriks OBE
( A:I )
-1
( I:A )
Contoh 2 3 1.Cari rank matriks dari A 2 1 4 4 3 1 (2) (1) 2 3 2 H3 2 0 - 2 2 0 - 2 0 1 3 0 0
3 2 0 - 2 0 0
1 ( 1) H21 2 ( 2) 3 H31
1 (1) (2) H 2 2 3 4
1 2 Maka rank matriks A = 2 0
DETERMINAN MATRIKS • Misalkan
det A = | A | := ad-bc
• Determinan hanya untuk matriks bujur sangkar • Untuk order lebih dari 2, digunakan pengertian minor dan kofaktor. • Ilustrasi: • Minor komponen • Kofaktor komponen
adalah adalah
Dengan cara yang sama diperoleh
Menentukan tanda + atau – pada kofaktor, diperhatikan skema berikut :
Diperoleh Definisi determinan matriks 3 x 3:
Coba terapkan untuk menghitung determinan matriks A.
• Secara umum untuk matriks n x n: • Atau dalam bentuk • Atau dalam bentuk
• Contoh :
• Cara cerdas: pilih kolom kedua • Pilih lagi kolom kedua
Adjoint matriks • Misalkan A matriks n x n dengan kofaktor aij adalah Cij maka matriks disebut matriks kofaktor dari A, dan transposenya disebut adjoint A, ditulis adj(A).
• Contoh: Kofaktor A :
Invers matriks • Invers matiks A adalah • Contoh: diperhatikan kembali matriks A sebelumnya, mudah diperoleh det(A) = 64, jadi
Metoda Cramer untuk SPL • Misalkan SPL Ax = b maka dimana Aj adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti kolom ke j matriks A dengan vektor b. • Contoh: • Diperoleh
Penyelesaiannya
REFERENSI
Anton, Howard, 2000, Elementary Linear Algebra: Eight Edition, John Willey and Sons, Inc., New York. Vanstone, Scott A. and van Oorschot, Paul C., 1989, An Introduction to Error Correcting Codes with Applications, Kluwer Academic Publishers, Massachusetts, USA.
