Matematika I Diferenciální a integrální počet jedné proměnné se zaměřením na ekonomii Josef Zedník
Zlín
březen 2008
verze 2
Obsah 1 Úvod 1.1 Reálná čísla a reálná osa . . . . . . . . 1.1.1 Intervaly . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Nerovnice . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Absolutní hodnota . . . . . . . 1.1.4 Okolí bodu . . . . . . . . . . . 1.2 Kartézská soustava souřadnic v rovině 1.2.1 Přírustky a vzdálenosti . . . . . 1.2.2 Grafy . . . . . . . . . . . . . . 2 Funkce 2.1 Definice funkce . . . . . . . . . . . . 2.2 Rozdělení funkcí . . . . . . . . . . . . 2.3 Rovnost a početní výkony s funkcemi 2.4 Některé vlastnosti funkcí . . . . . . . 2.5 Limity a spojitost funkce . . . . . . . 2.6 Elementární funkce . . . . . . . . . . 3 Derivace 3.1 Derivace funkce v bodě . . . . . . . 3.2 Derivace funkce . . . . . . . . . . . 3.2.1 Ukázky odvození derivačních 3.2.2 Tabulka derivací a integrálů 3.2.3 Další pravidla derivování . . 3.3 Derivace v ekonomii . . . . . . . . 4 Užití derivací 4.1 Extrémy funkcí . . . . . . . . . . . 4.2 Věta o střední hodnotě . . . . . . . 4.3 Hledání lokálních extrémů pomocí první derivace . . . . . . . 4.4 Kreslení grafů pomocí y’ a y” . . . 4.5 Optimalizace zejména v ekonomii 3
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
5 5 7 8 9 10 11 11 12
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
15 15 17 18 20 26 33
. . . . . . . . . . vzorců . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
41 41 45 46 48 49 51
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55 55 57
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62 64 67
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
4 4.6 4.7 4.8 4.9
Tržba a náklady v ekonomii Tečna a diferenciál . . . . . . Diferenciál v ekonomii . . . . Taylorovy polynomy . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
69 72 74 75
5 Integrace 5.1 Neurčité integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Určité integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Základní integrační metody . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Úprava integrandu . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Integrace per partes . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Integrace substitucí . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Kombinace metod per partes a substituce 5.3.5 Parciální zlomky . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Numerická integrace . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Lichoběžníkové pravidlo . . . . . . . . . . 5.4.2 Simpsonovo pravidlo . . . . . . . . . . . . 5.5 Požadavky ke zkoušce a rady ke studiu . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
79 . 79 . 82 . 84 . 85 . 86 . 88 . 92 . 93 . 98 . 98 . 99 . 102
Kapitola 1 Úvod Obsah Uvedeme přehled základních pojmů potřebných k tomu, abychom mohli studovat diferenciální počet. Zmíníme se zejména o reálných číslech a kartézské soustavě souřadnic.
1.1
Reálná čísla a reálná osa
V tomto článku pojednáme o reálných číslech, nerovnostech, intervalech a absolutních hodnotách. Průběh zavádění číselných oborů v podstatě odpovídá historii jejich vzniku. Začneme s množinou všech čísel přirozených N = {1, 2, 3, 4, . . .}. Přirozená čísla lze bez omezení sčítat a násobit. Výsledkem obou operací budou zase přirozená čísla. Jejich odčítání je však omezeno podmínkou, že menšenec musí být větší než menšitel, aby rozdíl byl zase přirozené číslo, například 4 − 3 = 1 nebo 5 − 2 = 3. Cheme-li toto omezení odstranit, pak je potřeba zavést nová čísla, například 2 − 2 = 0 nebo 3 − 5 = 4 − 6 = . . . = −(5 − 3) = −2, tj. nulu a opačná čísla k číslům přirozeným. Tak dostáváme nový – širší obor Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . .} čísel celých. Na Z lze bez omezení sčítat, odčítat a násobit. Omezeno je však dělení, a to podmínkou, že dělenec musí být násobkem dělitele, například 4 : 2 = 8 : 4 = . . . = 2 nebo 12 : (−3) = −24 : 6 = . . . = −4. Chceme-li toto omezení odstranit, pak je třeba Z rozšířit o nová čísla, například 1 : 2 = 21 = 42 = 63 = . . . 10 nebo −5 : 2 = −5 = (−4) = . . .. Nový číselný obor je obor čísel racionálních Q. 2 Ve školské matematice se racionální číslo charakterizuje jako takové číslo, které lze napsat jako podíl dvou čísel celých. Podobně bychom mohli říkat, že číslo je celé, dá-li se napsat jako rozdíl dvou čísel přirozených. Na Q lze bez omezení sčítat, odčítat, násobit i dělit (mimo dělení nulou). Proto tyto operace nazýváme souhrně racionálními operacemi. Z hlediska operací už tedy není nutno Q rozšiřovat o nová čísla. Potřeba nového rozřížení však vznikne, když si místo operací všimneme jedné vlastnosti přirozeního uspořádání v Q. Pro každá dvě racionální čísla a < b zřejmě existuje 5
6 . Lze tedy mezi každá racionální číslo c tak, že a < c < b. Například c = a+b 2 dvě racionální čísla vložit další racionální číslo. Říkáme, že přirozené uspořádání racionálních čísel je husté. Avšak již staří řekové věděli, že existují ještě √ tzv. nesouměřitelná čísla, tedy čísla √ neracionální - iracionální, jako je například 2. Důkaz iracionality čísla 2 pochází od ARISTOTELA (384 – 322 před n.l.) a uvádí se dodnes √ na střední škole také jako příklad důkazu takto: √ nepřímého p Předpkládejme, že 2 je číslo racionální, položme 2 = q pro vhodná celá nesoudělná p, q. Odtud 2q 2 = p2 , což dává, že p2 , a tedy také p je sudé. Položme p = 2k, k ∈ Z. Dosadíme 2q 2 = (2k)2 = 4k 2 . Odtud q 2 = 2k 2 , což dává, √ že i q je sudé. Máme spor s nesoudělností p, q. Tím je nepřímo dokázáno,√že 2 je iracionální číslo. Na druhé straně lze snadno sestrojit úsečku o délce 2, stačí vzít uhlopříčku ve čtverci o straně 1. Úsečka – úhlopříčka čtverce, není podle starých řeků souměřitelná s jeho stranou. DEDEKIND (1831-1916) , pomocí tzv. teorie řezů v přirozeně uspořádané množině Q, rozděloval Q na dvě neprázdné podmnožiny. Například A = {x ∈ Q; x2 < 2},
B = {x ∈ Q; x2 > 2}
Dvojice množin (A, B) tvoří tzv. řez v Q , s dolní√skupinou A a horní skupinou B. Vzhledem k předchozímu důkazu iracionality 2 nemá žádná z obou skupin hraniční prvek. Je to příklad √ druhu řezu zvaného mezera neboli iracionální řez v Q, představujícího číslo 2. Příkladem jiného druhu řezu v Q je řez (C, D), kde C = {x ∈ Q; x ≤ −1},
D =Q−C
Jeho dolní skupina má největší prvek, a to číslo −1. Je to příklad tzv. racionálního řezu v Q, představujícího číslo −1. Pomocí teorie řezů v Q Dedekind rozšířil Q na obor čísel reálných R a ukázal, že v R už mezery nejsou (tzv. Dedekindova věta). Přirozené uspořádání v R je tedy husté (už v Q bylo husté) a bez mezer. Takovému uspořádání říkáme spojité. A právě tato vlastnost je pro studium diferenciálního počtu důležitá. Jiná teorie reálných čísel pochází od CANTORA (1829-1920). Připomeňme si, že ve škole racionální čísla definujeme také tak, že mají buď ukončené nebo neukončené, ale periodické desetinné rozvoje, například 1 = 0, 25000 . . . = 0, 25 4 1 = 0, 666 . . . = 0, ¯6 6 23 = 2, 090909 . . . = 2, 09 11 Pruhem značíme skupinu opakujících se cifer nazývanou perioda. Čísla iracionální mají desetinné rozvoje neukončené a neperiodické, například √ 2 = 1, 41142 . . .
7 Reálná čísla zobrazujeme jako body na přímce zvané reálná číselná osa, obraz nuly nazýváme počátek. Symbol R značí jednak obor čísel reálných a jednak reálnou číselnou osu. Podobně prvky z R jsou jednak reálná čísla a jednak body na reálné číselné ose.
1.1.1
Intervaly
Intervalem nazýváme podmnožinu v R, která obsahuje aspoň dvě reálná čísla a obsahuje všechna reálná čísla ležící mezi libovolnými dvěma jejími prvky. Například množiny {x ∈ R; x > 2}, {x ∈ R; −1 ≤ x ≤ 4} jsou intervaly. Avšak například množina všech nenulových reálných čísel není intervalem, neboť neobsahuje všechna čísla ležící například mezi −1 a 1 (chybí tam číslo 0).
Obrazem intervalů na reálné číselné ose jsou buď polopřímky nebo celá osa R, tzv. neomezené intervaly nebo úsečky, tzv. omezené intervaly. Říkáme, že omezený interval je
• uzavřený, obsahuje-li oba koncové body
• otevřený, neobsahuje-li žádný koncový bod
• polootevřený nebo polouzavřený, obsahuje-li právě jeden koncový bod
Koncové body intervalu se také nazývají hraniční, ostatní jeho body jsou vnitřními a tvoří vnitřek intervalu. Symboly ±∞ nazýváme plus nekonečno, resp. minus nekonečno a nazýváme je nevlastními body na číselní ose. Nemají číselného významu, nejsou to čísla, nýbrž symboly vyjadřující, že neomezené intervaly na příslušné straně nemají koncového bodu. Uzavřené intervaly mají dva hraniční body, polootevřené jeden a neomezené nejvýše jeden. Tabulka ze str. 4 SLIDE 1–5 Poznamenejme, že v anglické literatuře se pro označení uzavřených intervalů užívají závorky hranaté [a,b].
8
1.1.2
Nerovnice
VĚTA 1.1.1
Pravidla pro nerovnosti Pro libovolná reálná čísla a, b, c platí: 1. a < b ⇒ a + c < b + c 2. a < b ⇒ a − c < b − c 3. a < b, c > 0 ⇒ ac < bc 4. a < b, c < 0 ⇒ ac > bc, speciálně pro c = −1: a < b ⇒ −a > −b 5. a > 0 ⇒
1 a
>0
6. Jsou-li a, b obě kladná nebo obě záporná, pak a < b ⇒
1 b
<
1 a
Příklad 1.1.1: Řešte nerovnice s neznámou x: (1) a − x ≤ b − 3x. Zřejmě je x ≤ b−a . Řešením je tedy střed úsečky s koncovými body a, b a 2 i. všechny body reálné číselné osy ležící vlevo od něho, tedy interval (−∞, b−a 2 (2) 2x2 − 3x − 1 < 0. Kořeny rovnice 2x2 −3x−1 = 0 jsou x1,2 = 2(x − x1 )(x − x2 ), nabývá nerovnost tvaru
√ 3± 17 . 4
Protože je 2x2 −3x−1 =
(x − x1 )(x − x2 ) < 0 Nerovnost může být splněna dvěma způsoby: x − x1 < 0 x − x1 > 0 nebo x − x2 > 0 x − x2 < 0 tedy x > x1 x < x2
nebo
x < x1 x > x2
U první možnosti jsou intervaly disjunktní, druhá možnost dává řešení jako průnik intervalů (−∞, x1 ) ∩ (x2 , +∞) = (x2 , x1 ). Koncová čísla intervalu (x2 , x1 ) jsou iracionální:
√ 1 1 x2 = (3 − 17) = (3 − 4, 123 . . .) = −0, 280 . . . 4 4
9 √ 1 1 x1 = (3 + 17) = (3 + 4, 123 . . .) = 1, 780 . . . 4 4 Chceme-li je nahradit racionálními čísly x′2 , x′1 , pak je musíme volit z intervalu (x2 , x1 ), například x′2 = −0, 280, x′1 = 1, 780. (3)
1−x ≥ 1. 2x + 1 Zlomek na levé straně je definován pro všechna x 6= − 12 . Po úpravách 1−x −1≥0 2x + 1 1−x 1 − x − 2x − 1 −3x −1= = ≥0 2x + 1 2x + 1 2x + 1 Poslední nerovnost může být splněna dvěma způsoby: −3x ≤ 0 −3x ≥ 0 nebo 2x + 1 < 0 2x + 1 > 0 neboli
x≤0 x > − 12
nebo
x≥0 x < − 21
Druhá možnost nevede k žádnému řešení, neboť má disjunktní intervaly. Průnik intervalů z první možnosti (−∞, 0i ∩ (− 21 , +∞) = − 21 , 0 je tedy řešením dané nerovnice. √ √ (4) 2 3 x ≥ − 5. Zřejmě všechna x ≥ 0 jsou řešení. Hledejme záporná řešení, za předpokladu, že připustíme odmocninu se záporným při√lichém odmocni√ odmocněncem √ √ √ 3 3 5 ≥ −2 3 x > 0. teli. Pro x < 0 je 2 x < 0. Tedy − 5 ≤ 2 x < 0 neboli √ √ Po umocnění na třetí je 125 ≥ −8x > 0 neboli − 125 ≤ x < 0, tedy 8 √ 5 5 x≥− 8 .
1.1.3
Absolutní hodnota
DEFINICE 1.1.1
Absolutní hodnotu reálného čísla x značíme |x| a definujeme ji takto: x, pro x ≥ 0 |x| = −x, pro x < 0
10 Například |2| = 2, | − 5| = −(−5) = 5, |0| = 0, | − a| = a. Poznamenejme, že |x| ≥ 0 pro každé reálné číslo x. Jinou možností jak definovat absolutní hodnotu reálného čísla je položit √ |x| = x2 Geometricky (SLIDE 1–7)
|x − y| = vzdálenost bodů x, y Speciálně |x − 0| = |x| znamená vzdálenost bodu x od počátku na číselné ose. VĚTA 1.1.2
Vlastnosti absolutní hodnoty (1) | − a| = |a| (2) |ab| = |a||b| (3)
a |a| = , pro b 6= 0 b |b|
(4) |a + b| ≤ |a| + |b| Opačná reálná čísla mají tedy stejné absolutní hodnoty, absolutní hodnota součinu, resp. podílu je součinem, resp. podílem absolutních hodnot a pro absolutní hodnotu součtu platí tzv. trojúhelníková nerovnost. Mají-li a, b různá znaménka, pak je |a + b| menší než |a| + |b|, jinak je vždy |a + b| rovno |a| + |b|. Můžeme také říci, že absolutní hodnota je ve shodě neboli kompatibilní s násobením a dělením a se sčítáním je ve shodě právě tehdy, nemají-li sčítanci různá znaménka.
1.1.4
Okolí bodu
Jestliže je ǫ kladné reálné číslo, obvykle si je představujeme velmi malé, pak pro dané a ∈ R je nerovnice |x − a| < ǫ ekvivalentní s nerovnicemi −ǫ < x − a < ǫ, odtud a − ǫ < x < a + ǫ a řešením je tedy interval (a − ǫ, a + ǫ), který nazýváme epsilonovým okolím bodu a. Jeho obrazem na číselné ose je otevřená úsečka o středu a délky 2ǫ. Když z okolí bodu a vyjmeme bod a, pak dostaneme tzv. prstencové nebo také neúplné epsilonové okolí bodu a. Poznamenejme, že prstencové okolí je dáno nerovnicemi 0 < |x − a| < ǫ a není intervalem, ale sjednocením dvou otevřených intervalů (a − ǫ, a) ∪ (a, a + ǫ). Pomocí pojmů okolí bodu bude definována celá řada lokálních (místních) vlastností funkcí. OBR.
11
1.2
Kartézská soustava souřadnic v rovině
Pro studenty méně zkušené v matematice popíšeme nyní podrobněji kartézskou soustavu souřadnic. Polohu každého bodu v rovině můžeme popsat pomocí dvou kolmých reálných číselných os, se stejně zvolenou jednotkou, které se vzájemně protínají v bodě 0. Na vodorovné x -ové ose čísla značíme x a rostou doprava, na svislé y-ové ose čísla značíme y a rostou nahoru. Průsečík os se nazývá počátek, ten dělí každou osu na dvě poloosy, kladnou a zápornou. Říkáme, že jsme tak zvolili katézskou soustavu souřadnic v rovině. Jestliže P je libovolný bod v rovině, vedeme jím kolmice k osám, tzv. ordinály, protne-li svislá ordinála osu x v bodě a, resp. vodorovná osu y v bodě b, pak řekneme, že a je x-ová souřadnice, resp. b je y-ová souřadnice bodu P a že uspořádaná dvojice [a, b] je dvojice souřadnic bodu P . Body na ose x, resp. y mají dvojice souřadnic tvaru [x, 0], resp. [0, y], počátek tedy [0, 0]. Osy dělí rovinu na čtyři kvadranty, číslovány jsou v kladném smyslu, tedy proti směru otáčení hodinových ručiček; první kvadrant je ohraničen kladnými souřadnicovými poloosami. OBR. str. 9. SLIDE 1–12, 13.
1.2.1
Přírustky a vzdálenosti
DEFINICE 1.2.1
Pohybuje-li se bod v rovině, pak změny jeho souřadnic nazýváme přírustky neboli diference, značíme je ∆x, resp. ∆y. Například (SLIDE 1–13), přejde-li bod A[4, −3] do bodu B[2, 5], pak přírustky jsou ∆x = 2 − 4 = −2, ∆y = 5 − (−3) = 8 Pomocí Pythagorovy věty lze snadno odvodit vzorec pro výpočet vzdáleností dvou bodů P [x1 , y1 ], Q[x2 , y2 ] v rovině d=
p p (∆x)2 + (∆y)2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
Například vzdálenost bodů P [−1, 2], Q[3, 4] je p √ √ √ √ (3 − (−1))2 + (4 − 2)2 = 42 + 22 = 20 = 4.5 = 2 5
12
1.2.2
Grafy
DEFINICE 1.2.2
Grafem rovnice nebo nerovnice s proměnnými x,y je množina všech bodů P [x, y], jejichž souřadnice vyhovují dané rovnici nebo nerovnici. Příklad 1.2.1: Kružnice o středu v počátku 2 1. Pro a > 0 je grafem rovnice xp + y 2 = a2 množina všech p bodů P [x,√y], které 2 2 mají od počátku vzdálenost (0 − x) + (0 − y) = x2 + y 2 = a2 = a. Takové body leží na kružnici o poloměru a se středem v počátku. Kružnici o poloměru 1 se středem v počátku nazýváme jednotková kružnice.
2. Body, jejichž souřadnice splňují nerovnici x2 + z 2 ≤ a2 mají všechny od počátku vzdálenost ≤ a. Proto je grafem dané nerovnice kruh o poloměru a se středem v počátku. Příklad 1.2.2: Každá přímka p, která není svislá, má vlastnost: Zvolíme-li na p body P1 [x1 , y1 ], P2 [x2 , y2 ] libovolně, pak je poměr k=
∆y y2 − y1 = ∆x x2 − x1
vždycky stejný. Číslo k nazýváme směrnice přímky p. Podle směrnice poznáme zda přímka doprava roste k > 0 nebo klesá k < 0 a podle velikosti absolutní hodnoty směrnice poznáme i strmost těchto změn. Vodorovná přímka má směrnici 0 a svislá přímka směrnici nemá, neboť ∆x = 0. OBR. str.10 a 11 SLIDES 1–16 až 20 Směr a strmost přímky lze také posuzovat pomocí úhlu. Směrový úhel přímky je úhel ϕ, kde 0 ≤ ϕ < 180◦ , tg ϕ = k, kde k je směrnice přímky. Svislá přímka, jak už bylo řečeno, nemá směrnici (někdy říkáme, že má směrnici nekonečno) a má směrový úhel 90◦ . Přímky mají jednoduché rovnice. Vertikální přímky mají rovnice x = a, horizontální y = b. Mějme přímku která není svislá, má směrnici k a prochází bodem P [x1 , x2 ]. Označíme-li její libovolný bod P [x, y], pak
odtud
y − y1 =k x − x1 y − y1 = k(x − x1 ) nebo y = y1 + k(x − x1 )
Leží-li zvolený bod P [x1 , y1 ] na ose y, pak je x1 = 0 a máme y = kx + y1 . Bývá zvykem značit úsek na ose y písmenem q = y1 a máme y = kx + q a mluvíme o směrnicovém tvaru rovnice přímky. (SLIDE 1–22)
13 Příklad 1.2.3: Grafy přímých úměrností jsou přímky procházející počátkem OBR: 1.34, str.28 SLIDE 1–50.
14
Kapitola 2 Funkce Obsah V následující kapitole zavedeme pojem reálných funkcí jedné reálné proměnné, popíšeme jejich rozdělení a početní výkony s nimi. Uvedeme přehled definic některých jejich vlastností a zvláště se budeme zabývat limitou a spojitostí. V závěru se podíváme na nejužívanější elementární funkce.
2.1
Definice funkce
Funkce slouží jako významné nástroje k tomu, abychom mohli popsat reálný svět pomocí matematických prostředků. Všimněme si jednoho velmi názorného příkladu jakým je denní předpověď počasí v televizi. Pomocí radiolokátorů a jiných čidel jsou snímány údaje o teplotách, směrech proudění, tlaku a podobných jevech v atmosféře. Tyto údaje jsou během několika okamžiků zpracovány v počítačích, za pomoci připravených matematických programů. Televizní divák pak při výkladu reportéra vidí na obrazovce výsledek celého výpočtu. Názorné modely, které jsou prezentovány na obrazovce, jsou řešeními diferenciálních rovnic jistých matematických funkcí. Poznamenejme, že podstatnou vymožeností v celém procesu jsou počítače a předem připravené výpočetní programy. Ještě nedávno bývaly naměřené hodnoty počítány ručně týmem matematiků. Celý proces přípravy předpovědi počasí pak trval hodiny či lépe celé dny. Tím předpověď ztrácela na aktuálnosti a značně se tak znehodnocovala. DEFINICE 2.1.1
Reálná funkce jedné reálné proměnné je pravidlo, které každému x ∈ D ⊆ R přiřadí jediné y ∈ R, píšeme f : D 7−→ R : x −→ y Písmeno f nazýváme symbol funkce, množinu D nazýváme definiční obor, písmeno x se nazývá nezávisle proměnná neboli vzor či argument, písmeno y se 15
16 nazývá závisle proměnná nebo hodnota přiřazená funkcí f k číslu x nebo také obraz funkce f v bodě x; píšeme y=f(x). Množinu všech obrazů funkce f nazýváme oborem hodnot a značíme ji H. Máme-li dáno současně více funkcí a mohlo by dojít k nedorozumění, pak pro obory funkce f volíme označení D(f ), H(f ). POZNÁMKA 2.1.1
Definiční vlastnost funkce můžeme interpretovat tak, že svislá přímka protne graf funkce právě v jednom bodě, a to právě když prochází bodem definičního oboru funkce. Poznamenejme ještě, že jiné funkce než reálné s jednou reálnou proměnnou v tomto textu v podstatě nebudou a budeme tedy o nich stručně mluvit pouze jako o funkcích. K zadání funkce patří uvedení jejího definičního oboru. Pokud není uveden, pak platí domluva, že tímto oborem je tzv. přirozený definiční obor, tj. obor co možná nejširší. Příklad 2.1.1: Uveďme několik funkcí spolu s jejich přirozenými definičními obory a obory hodnot √ • y = 1 − x2 , D = h−1, 1i , H = h0, 1i • y = x1 , D = H = R − 0 √ • y = x, D = H = h0, +∞) √ • y = 5 − x, D = (−∞, 5i , H = h0, +∞) √ Funkce y = 1 − x2 dává reálnou hodnotu y pro každé x z uzavřeného intervalu od −1 do 1 Mimo tento definiční obor je výraz 1 − x2 záporný a jeho druhá odmocnina není reálné číslo. Hodnoty výrazu 1 − x2 se mění od 0 do 1 v tomto oboru a totéž√platí o druhých odmocninách těchto hodnot. Proto je oborem hodnot funkce y = 1 − x2 interval h0, 1i Funkce z = x1 dává reálnou hodnotu y pro každé nenulové reálné x. Nulou děliti nelze. Definičním oborem funkce y = x1 je tedy množina všech nenulových reálných čísel. Množinou hodnot je množina všech převrácených nenulových reálných čísel a tou √je opět tato množina. Funkce y√= x dává reálnou hodnotu y pouze pro x ≥ 0. Oborem hodnot funkce y = x je také interval H = h0, +∞), neboť právě každé nezáporné číslo je druhou odmocninou nějakého reálného čísla, například své druhé mocniny. √ U funkce y = 5 − x nesmí √ být odmocněnec 5 − x záporný, tedy 5 − x ≥ 0 neboli x ≤ 5. Funkce y = 5 − x dává reálnou hodnotu y pro všechna x ≤ 5. Jejím oborem hodnot je množina všech druhých odmocnin z nezáporných čísel, tedy interval h0, +∞).
17 Příklad 2.1.2: Jak jsme již uvedli, grafem rovnice x2 + y 2 = 1 je jednotková kružnice. Ta však není funkcí, neboť každá svislá ordinála vedená v intervalu (−1, 1) protne její graf ve dvou bodech a není tedy splněna podmínka jednoznačnosti z definice funkce. OBRAZEK 1.28 str.24, SLIDE 1–23. Přidáme-li k rovnici podmínku y > 0, resp. y < 0, pak dostaneme dvě funce. Jejich grafem je horní, resp. dolní půlkružnice a řekneme, že tyto funkce jsou zadány analyticky, a to implicitně. Upravíme-li danou rovnici na tvar √ y = ± 1 − x2 dostáváme explicitní analytické vyjádření obou půlkružnic. Položíme-li dále x = sin t,
y = cos t,
t∈R
dostáváme parametrické analytické vyjádření s parametrem t. V příkladě jsme ilustrovali, že funkci můžeme vyjadřovat grafem nebo analyticky (implicitně, explicitně nebo parametricky). Grafické zadání má výhodu v tom, že je názorné. Fukce lze ještě zadat tabulkou, tj. vypsáním seznamu dvojic vzor, obraz.
2.2
Rozdělení funkcí
Zdůrazněme, že jde o rozdělení funkcí daných explicitně rovnicí y = f (x). Funkci y = f (x) nazýváme algebraickou, jestliže při výpočtu její hodnoty konáme s argumenty algebraické operace v konečném počtu. Algebraickými operacemi přitom rozumíme všechny, již dříve vyjmenované, racionální operace a ještě umocňování racionálním exponentem. Funkce nealgebraické nazýváme transcendentní. Tak √ 3x 2 například y = 2x − x + 4 nebo y = x+2 jsou funkce algebraické a například √
x y = sin x nebo y = x−cos jsou funkce transcendentní. log x Funkce algebraické dále dělíme na racionální nebo iracionální, dle toho zda se s argumenty konají pouze racinální operace nebo také iracionální. K tomu poznamenejme, že umocňování celým číslem je racionální operace, neboť se dá vyjádřit pomocí násobení a dělení. Funkce racionální dělíme na celé neboli polynomy, česky mnohočleny a lomené, u nich se argument vyskytuje ve jmenovateli. Tak například racionální 2 +1 celá je funkce y = 3x2 − 1, racionální lomené jsou například y = xx+2 nebo √ x 2 √ y = 2+x2 , iracionální je například funkce y = 1 − x .
18 Funkce transcendentní dělíme na nižší a vyšší. K nižším patří funkce goniometrické, cyklometrické, exponenciální, logaritmické a další. S vyššími funkcemi transcendentními se nesetkáme. Patří k nim tzv. eliptické funkce, funkce gamma a beta, Besselovy funkce a pod. Funkce algebraické a nižší transcendentní nazýváme souhrně elementární funkce; jsou to tedy takové funkce, které se dají vyjádřit pomocí algebraických a nižších transcendentních, tzv. základních elementárních funkcí, s použitím konečného počtu algebraických operací. Vyšší funkce se takto vyjádřit nedají. Tím jsme dospěli k jinému rozdělení funkcí, a to na elementární a vyšší.
2.3
Rovnost a početní výkony s funkcemi
DEFINICE 2.3.1
Dvě funkce f a g jsou si rovny, mají-li stejný definiční obor D a platí-li f (x) = g(x) pro každé x ∈ D neboli rovnají-li se v každém bodě definičního oboru. Stručně říkáme, rovnají-li se identicky. Podobně jako čísla, můžeme funkce sčítat, odčítat, násobit a dělit (je-li dělitel nenulový) a vytvářet tak nové funkce. DEFINICE 2.3.2
Jsou-li f, g funkce, pak pro každé x patřící do definičních oborů obou funkcí definujeme funkce f + g, f − g, f g a je-li g(x) 6= 0, pak ještě f /g takto (f + g)(x) (f − g)(x) (f g)(x) (f /g)(x)
= = = =
f (x) + g(x) f (x) − g(x) f (x)g(x) f (x)/g(x), kde g(x) 6= 0
Novou funkci můžeme také získat násobením reálným číslem. DEFINICE 2.3.3
Pro každé reálné číslo c a funkci f definuje funkci cf tak, že pro každé x z definičního oboru funkce f položíme (cf )(x) = cf (x)
19 Příklad 2.3.1: Například pro konkrétní funkce f, g:
funkce f g 3g f +g f −g fg f /g g/f
vzorec √ f (x) = √ x g(x) = 1 − √x (3g)(x) = 3 1 − x √ √ (f + g)(x) = x + √1 − x √ (f − g)(x) p = x− 1−x (f g)(x) = px(1 − x) x (f /g)(x) = 1−x q (g/f )(x) = 1−x x
definiční obor h0, +∞) = D(f ) (−∞, 1i = D(g) (−∞, 1i h0, 1i = D(f ) ∩ D(g) h0, 1i = D(f ) ∩ D(g) h0, 1i = D(f ) ∩ D(g) h0, 1) (0, 1i
DEFINICE 2.3.4
Pro funkce f, g definujeme složenou funkci f ◦ g (”f kolečko g”) takto (f ◦ g)(x) = f (g(x)) definičním oborem funkce f ◦ g jsou ta čísla x z definičního oboru funkce g, pro něž hodnota g(x) leží v definičním oboru funkce f . Podle definice lze dvě funkce složit, když obor hodnot první funkce leží v definičním oboru druhé funkce. Hodnotu složené funkce (f ◦ g)(x) najdeme, když nejprve najdeme g(x) a pak najdeme f (g(x)), symbolicky: f ◦ g : D(f ◦ g) 7−→ R : x −→ g(x) −→ f (g(x)) kde D(f ◦ g) = {x ∈ D(g); g(x) ∈ D(f )}. OBRAZEK Thomas, str. 40. (str 23). SLIDES 1–74 až 76. Hodnotu složené funkce g◦f (je-li definována) najdeme, když obráceně nejprve najdeme f (x) a potom g(f (x)). Definičním oborem funkce g ◦ f je množina čísel x z definičního oboru funkce f , pro která f (x) leží definičním oboru funkce g. Funkce f ◦ g a g ◦ f jsou obecně různé. Příklad 2.3.2: Skládání budeme ilustrovat pomocí funkcí √ f (x) = x a g(x) = x + 1 p √ • (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = g(x) = x + 1, D = h−1, +∞) √ • (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = f (x) + 1 = x + 1, D = h0, +∞)
20 • (f ◦ f )(x) = f (f (x)) =
p√ p 1 f (x) = x = x4 ,
D = h0, +∞)
• (g ◦ g)(x) = g(g(x)) = g(x) + 1 = (x + 1) + 1 = x + 2,
D=R
Proč je například definiční obor funkce f ◦ g roven h−1, +∞)? Protože funkce g(x) = x + 1 je definována pro všechna x, ale do definičního oboru funkce f patří pouze ta x, pro která je x + 1 ≥ 0, tedy když x ≥ −1. DEFINICE 2.3.5
Absolutní hodnotou funkce f nazýváme funkci |f | takovou, že pro všechna x z definičního oboru funkce f položíme: |f |(x) = |f (x)| Například pro funkci f (x) = x3 je |f |(x) = |x3 | = |x|3 . OBRAZEK-vedle sebe obě funkce
2.4
Některé vlastnosti funkcí
DEFINICE 2.4.1
Fukce y = f (x) je sudá, resp. lichá, jestliže f (−x) = f (x), resp. f (−x) = −f (x) pro každé x z definičního oboru funkce f .
Poznamenejme, že obě hodnoty x a −x musí být v definičním oboru funkce f . Pro sudou funkci je f (−x) = f (x), bod [x, y] leží na grafu, právě když tam leží i bod [−x, y]. Graf je tedy symetrický podle osy y. Například funkce y = x2 je sudá, neboť f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x). Pro lichou funkci y = f (x) je f (−x) = −f (x), každé x z definičního oboru funkce f , bod [x, y] leží na grafu, právě když tam leží i bod [−x, −y]. Graf funkce je tedy středově souměrný podle počátku. Například funkce y = x3 je lichá, neboť f (−x) = (−x)3 = −x3 = −f (x). Obou symetrií využíváme při kreslení grafu. Samozřejmě, že daná funkce nemusí být ani sudá ani lichá. OBR. str. 34 (23). SLIDE 1–64.
21 DEFINICE 2.4.2
Nechť f je funkce definovaná na množině M a nechť x1 , x2 jsou libovolné dva body z M. Pak řekneme, že je f na M 1. rostoucí, jestliže x1 < x2 =⇒ f (x1 ) < f (x2 ) 2. klesající, jestliže x1 < x2 =⇒ f (x1 ) > f (x2 ) 3. nerostoucí, jestliže x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ) 4. neklesající, jestliže x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) 5. konstantní, jestliže f (x1 ) = f (x2 ) DEFINICE 2.4.3
Řekneme, že funkce f je v bodě c svého definičního oboru rostoucí klesající nerostoucí neklesající
jestliže je definovaná v určitém (dostatečně malém) okolí bodu c a platí-li tam pro všechna x 6= c f (x) < f (c) f (x) > f (c) x < c =⇒ f (x) ≥ f (c) f (x) ≤ f (c)
a zároveň
f (c) < f (x) f (c) > f (x) x < c =⇒ f (c) ≥ f (x) f (c) ≤ f (x)
DEFINICE 2.4.4
Pro funkce nerostoucí nebo neklesající užíváme společný název monotonní. Pro funkce rostoucí nebo klesající užíváme společný název ryze monotonní. Týká se to obou posledních definic. DEFINICE 2.4.5
Má-li graf funkce f v bodě [c, f (c)], kde bod c patří do definičního oboru funkce f , vodorovnou tečnu, pak řekneme, že c je stacionární bod funkce f .
22 DEFINICE 2.4.6
Funkce f se nazývá ryze konvexní, česky ryze vypuklá, resp. ryze konkávní, česky ryze vydutá, v bodě c, jestliže je definovaná v určitém (dostatečně malém ) okolí bodu c, má tečnu v bodě [c, f (c)] a její graf v tom okolí pro x 6= c je nad, resp. pod touto tečnou. Jediný bod dotyku [c, f (c)] leží na tečně. DEFINICE 2.4.7
Inflexní bod funkce se nazývá bod, ve kterém graf funkce má tečnu a změní tam své „prohnutíÿ, vlevo od inflexního bodu je tedy graf nad a vpravo pod tečnou nebo naopak. V inflexním bodě graf protne tečnu. POZNÁMKA 2.4.1
Poslední tři definice jsou geometrické. Pojmy budeme později definovat ještě jednou, a to, jak je to obvyklejší, pomocí derivace. DEFINICE 2.4.8
Řekneme, že funkce f má v bodě c ostré lokální(=”místní”) maximum f (c), resp. ostré lokální minimum f (c), jestliže je definovaná v určitém (dostatečně malém) okolí bodu c a platí tam x 6= c =⇒ f (x) < f (c) resp.
x 6= c =⇒ f (x) > f (c) POZNÁMKA 2.4.2
Vlevo od ostrého lokálního maxima, resp. minima funkce roste, resp. klesá a vpravo od něho klesá, resp. roste. DEFINICE 2.4.9
Řekneme, že funkce f má v bodě c globální maximum f (c), resp. globální minimum f (c) na intervalu I , jestliže je definovaná v I, bod c ∈ I a pro každé x ∈ I platí f (x) ≤ f (c)
resp.
f (x) ≥ f (c). Příkl. REKTORYS str. 31, Thomas SLIDES 4–3,. . .,14, zejména č. 12 a 4 –39 Funkce z obr. má ostré lokální maximum v bodech x2 a x5 , ostré lokální minimum v bodě x4 . Globální maximum na intervalu ha, bi má v bodě x5 , globální minimum v bodě a.
23 Všimněme si, že termín ostré neznamená, že graf funkce musí mít v takovém bodě „hrotÿ. V bodě x2 tomu tak je, v bodě x5 nikoliv. Totéž platí o pojmu ostré lokální minimum. Tato terminologie je v literatůře zavedena proto, abychom rozlišili ostré nerovnosti, od případu, kdy připouštíme i neostré nerovnosti ≥, resp. ≤ (což nastane například tehdy, je-li f v určitém okolí bodu c konstantní). Pak mluvíme o lokálním maximu, resp. o lokálním minimu v bodě c. V podobném smyslu mluvíme o funkcích konvexních a konkávních v bodě c. Pro lokální maximum a minimum užíváme společného názvu lokální extrémy. Podobně užíváme společný název globální extrémy pro globální maxima a globální minima. Místo globální extrém se také mluví o absolutním extrému. DEFINICE 2.4.10
Funkce f je shora ohraničená na množině M , jestliže existuje číslo h takové, že f (x) ≤ h pro všechna x ∈ M . Číslo h nazýváme, existuje-li, horní hranice pro f na M a říkáme, že f je shora ohraničená číslem h. Nejmenší horní hranici nazýváme, existuje-li, supremum pro f na M a značíme supM f . Podobně říkáme, že f je ohraničená zdola na M , jestliže existuje číslo d tak, že f (x) ≥ d pro všechna x ∈ M . Číslo d nazýváme, jestliže existuje, dolní hranice pro f na M a říkáme, že f je zdola ohraničená číslem d. Největší dolní hranici nazýváme, existuje-li, infimum pro f na M a značíme inf M f . Konečně řekneme, že f je ohraničená na M , jestliže je ohraničená shora i zdola na M . DEFINICE 2.4.11
Funkce f se nazývá prostá na množině M , která je částí jejího definičního oboru, jestliže pro všechna x1 , x2 ∈ M platí x1 6= x2 =⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ) POZNÁMKA 2.4.3
Graf prosté funkce protne tedy každá vodorovná přímka, která prochází bodem oboru hodnot, právě v jednom bodě. Máme-li tedy funkci y = f (x) prostou v celém svém definičním oboru D(f ), pak zřejmě vzájemnou záměnou proměnných x za y, resp. překlopením grafu kolem osy I. a III. kvadrantu dostaneme novou funkci s implicitním vyjádřením x = f (y), explicitně ji bývá zvykem označovat y = f −1 (x). Se záměnou os se zřejmě navzájem zaměnily i obory obou funkcí, tedy D(f −1 ) = H(f ),
H(f −1 ) = D(f )
Říkáme, že funkce f −1 je inverezní k funkci f .
24 Jako příklad uvedeme přehled o parabolách: 1. Funkce y = ax2 ,
a 6= 0
s přirozeným definičním oborem R a oborem hodnot h0, +∞) je parabola s vrcholem v počátku a s osou v číselné ose y. Je to sudá funkce, její graf je tedy osově souměrný podle osy y. V počátku souřadnic, jakožto bodě, funkce neroste ani neklesá, je to její stacionární bod a má v něm globální extrém. Není to prostá funkce. • Pro a > 0 je to funkce klesající v intervalu (−∞, 0i, rostoucí v intervalu h0, +∞). Je ryze konvexní, nemá inflexní bod, v počátku je (ostré) lokální i globální minimum rovné číslu 0, ostatními dolními hranicemi jsou všechna záporná čísla. Není shora ohraničená. Číslo 0 je také infimem funkce v R. OBRAZEK při různých kladných hodnotách a. (SLIDES 1–29 až 32) Zúžíme-li její definiční obor na množinu h0, +∞), pak dostaneme pouze pravou polovinu paraboly, a ta je prostá funkce. Můžeme ji tedy qinver√ 2 tovat a dostaneme implicitně ay = x neboli explicitně y = a1 x. Poznamenejme ještě, že levou polovinu paraboly invertovat nelze, i když je to také funkce prostá. Avšak v jejím definičním oboru jsou záporná q √čísla, a ta by měla být funkčními hodnotami inverzní funkce y = a1 x, což nemůže nastat. OBRAZEK při a = 21 , viz MAPLE. Thomas SLIDE 7 – 10. • Pro a < 0 je to funkce rostoucí v intervalu (−∞, 0i, klesající v intervalu h0, +∞). Je ryze konkávní, nemá inflexní bod, v počátku je (ostré) lokální i globální maximum rovné číslu 0, ostatními horními hranicemi jsou všechna kladná čísla. Není zdola ohraničená. Číslo 0 je také supremem funkce v R. OBRAZEK při různých záporných hodnotách a. Podobně jako nahoře, lze i v tomto případě invertovat pouze pravou polovinu paraboly. OBRAZEK při a=-1/2. Stejné vlastnosti mají funkce y = ax4 , ax6 , . . . , ax2n . Grafy těchto funkcí se podobají parabole, ale mají s osou x užší styk v okolí počátku, tzv. plochý bod. Říkáme jim vyšší paraboly. 2. Funkce y = ax3 ,
a 6= 0
25 s přirozeným definičním oborem R a se stejným oborem hodnot je kubická parabola. Je to lichá funkce, její graf je tedy středově souměrný podle počátku. V počátku souřadnic je ryze monotonní, má tam stacionární bod a ten je bodem inflexním, inflexní tečnou je osa x. Funkce je neohraničená v R a spojitá. Je to prostá funkce a lze ji tedy invertovat v celém jejím přirozeném definičním oboru, připustíme-li i záporné odmocněnce pro lichého odmocnitele. q √ 3 Implicitní vyjádření inverzní funkce je x = ay , explicitně tedy y = 3 a1 3 x. OBRAZKY pro a=1/2, -1/2.
• Pro a > 0 je rostoucí v celém svém definičním oboru, jakožto intervalu. Je ryze konkávní v intervalu (−∞, 0) a ryze konvexní v intervalu (0, +∞). • Pro a < 0 je klesající v celém svém definičním oboru, jakožto intervalu. Je ryze konvexní v intervalu (−∞, 0) a ryze konkávní v intervalu (0, +∞). OBRAZEK pro různá záporná a. Stejné vlastnosti mají funkce y = ax3 , ax5 , . . . , ax2n−1 . Grafy těchto funkcí se podobají kubické parabole, ale mají s osou x užší styk v okolí počátku, tedy plochý bod. Říkáme jim vyšší kubické paraboly. DEFINICE 2.4.12
Funkce f se nazývá periodická, existuje-li kladné číslo p takové, že pro každé x z definičního oboru funkce f platí f (x + p) = f (x) Nejmenší takové číslo p nazýváme perioda funkce f . Příklad 2.4.1: Typickými periodickými funkcemi jsou funkce gonometrické. Periodou funkcí sinus i kosinus je číslo 2π; tangenta, resp. kotangenta mají periodu π. POZNÁMKA 2.4.4
Některé vlastnosti funkce (sudost, lichost, periodicitu) jsme definovali na celém jejím definičním oboru. Jiné vlastnosti (například prostotu, monotonnost, ohraničenost) jsme definovali na množině která je částí definičního oboru funkce. Pokud je tato množina rovna celému definičnímu oboru funkce, pak ji neuvádíme.
26
2.5
Limity a spojitost funkce
Pro matematika definovat přesně a názorně pojem limity funkce pro nematematiky, například pro studenty ekonomie, je úkol poměrně nesnadný. Uvedeme proto raději hned definice dvě. Nejprve jednu názornější, avšak méně přesnou, ale docela běžně užívanou i matematickými odborníky.
DEFINICE 2.5.1
Neformální definice limity: Mějme funkci f (x) definovanou na nějakém otevřeném intervalu obsahujícím bod x0 ; nemusí, ale může, být definována v samotném bodě x0 . Jestliže se f (x) libovolně blíží k L, pro všechna x dostatečně blízká k x0 , pak řekneme, že f se blíží k limitě L, jestliže se x blíží k bodu x0 . Píšeme lim f (x) = L
x→x0
Tato definice je „neformálníÿ, protože fráze jako „libovolně blížíÿ a „dostatečně blízkáÿ nejsou matematicky korektní, jejich smysl závisí na kontextu. Například pro automechanika seřizujícího písty motoru dostatečně blízko znamená několik tisícin centimetru, kdežto pro astronoma měřícího vzdálenosti hvězd to znamená několik tisíců hvězdných roků.
POZNÁMKA 2.5.1
Slovo limita pochází z latiny, jeho český význam je hranice nebo mez.
27 DEFINICE 2.5.2
Formální definice limity (Cauchy, čti kóši, Augustin, Louis, 1789 - 1857) Mějme funkci f (x) definovanou na nějakém otevřeném intervalu obsahujícím bod x0 ; nemusí, ale může, být definována v samotném bodě x0 . Řekneme, že f (x) se blíží nebo konverguje k limitě L ∈ R, když x se blíží k x0 neboli funkce f má limitu číslo L v bodě x0 a píšeme lim f (x) = L
x→x0
jestliže pro každé číslo ǫ > 0 existuje odpovídající číslo δ > 0 takové, že pro všechna x 0 < |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − L| < ǫ Vezme-li místo předpokladu v poslední podmínce pouze levou část x0 − δ < x < x0 resp. pravou část x0 < x < x0 + δ prstencového okolí bodu x0 , pak řekneme, že L je limita zleva, resp. limita zprava funkce f v bodě x0 a píšeme lim f (x) = L resp. lim+ f (x) = L
x→x− 0
x→x0
SLIDES 2–30 až 33 a 2–47, 48.
POZNÁMKA 2.5.2
O levé nebo pravé limitě se někdy mluví jako o jednostranné limitě, kdežto o limitě někdy říkáme, že je oboustranná. Zřejmě limx→x0 f (x) = L, právě když existují obě jednostranné limity a rovnají se obě číslu L.
Definice limity neslouží k výpočtům limit funkcí, lze však pomocí ní odvodit pravidla, známá již ze střední školy, pomocí nichž se limity počítají. Jejich přehled uvádíme bez důkazu.
28 VĚTA 2.5.1
Pravidla pro limity Nechť limx→c f (x) = L a limx→c g(x) = M (L a M jsou čísla, tedy tzv. vlastní limity daných funkcí f a g). Pak platí pravidla pro 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Součet: Rozdíl Součin: Podíl: Násobení konstantou: Mocninu:
limx→c [f (x) + g(x)] = L + M limx→c [f (x) − g(x)] = L − M limx→c [f (x) · g(x)] = L · M (x) L limx→c fg(x) =M , M 6= 0 limx→c kf (x) = kL Jsou-li m, n celá čísla, pak limx→c [f (x)]m/n = Lm/n pokud Lm/n je reálné číslo.
Definici limity lze rozšířit i pro nevlastní body ±∞.
DEFINICE 2.5.3
Funkce f má v nevlastním bodě +∞, resp. v nevlastním bodě −∞ limitu číslo L, jestliže pro každé kladné číslo ǫ existuje číslo c tak, že pro všechna čísla x > c, resp x < c je |f (x) − L| < ǫ.
Můžeme také pojem limity funkce rozšířit tak, aby limitou byly též symboly ±∞.
29 DEFINICE 2.5.4
Funkce f má v bodě x0 nevlastní limitu +∞, resp. −∞, jestliže pro každé číslo c existuje odpovídající číslo δ tak, že pro všechna x 0 < |x − x0 | < δ =⇒ f (x) > c resp. 0 < |x − x0 | < δ =⇒ f (x) < c
Píšeme
lim f (x) = +∞, resp. − ∞
x→x0
Vezme-li místo poslední podmínky pouze levé x0 − δ < x < x0 resp. pravé x0 < x < x0 + δ prstencové okolí bodu x0 , pak řekneme, že ±∞ je nevlastní limita zleva, resp. zprava v bodě x0 a píšeme lim f (x) = ±∞, resp. lim+ f (x) = ±∞
x→x− 0
x→x0
Z posledních dvou definic je vidět, že lze ještě definovat pojem nevlastní limity funkce v jejím nevlastním bodě. Formulaci této definice ponecháme čtenáři jako cvičení. Dále si všimněme funkcí jejichž graf se dá nakreslit jedním tahem. DEFINICE 2.5.5
Funkce f je spojitá v bodě c, jestliže jsou splněny tři následující podmínky (i) funkční hodnota f (c) je definovaná (ii) limx→c f (x) je definovaná (iii) limx→c f (x) = f (c) Jinak řekneme, že f je nespojitá v bodě c. POZNÁMKA 2.5.3
V bodech nespojitosti není tedy splněna aspoň jedna z podmínek i-iii. Z uvedených podmínek také plyne, že limita o níž se mluví v definici musí být vlastní.
30 V bodech spojitosti funkce se velmi snadno určí limita funkce, a to, stručně řečeno, dosazením. Nácvik výpočtu limit v bodech nespojitosti je někdy dosti pracný a nebudeme se mu v tomto textu věnovat. Pojem limity využijeme zejména při definici derivace funkce, kde se bez něho obejít nelze. Příklad 2.5.1: 1 je nespojitá v bodě 2, protože není definovaná ani funkční x−2 hodnota f (2), ani neexistuje limita limx→2 f (x).
(a) f (x) =
x2 − 4 je nespojitá v bodě 2, protože hodnota f (2) není definovaná. (b) f (x) = x−2 Avšak limita limx→2 f (x) = limx→2 (x+2)(x−2) = limx→2 (x + 2) = 4 a tedy x−2 podmínka (ii) platí. Nespojitost v příkladě 2.5.1.(b) je tzv. odstranitelná v tomto smyslu: Když rozšíříme funkci f na funkci g takto: f (x) pro x 6= 2 g(x) = 4 pro x = 2 pak g bude spojitá v bodě 2. Poznamenejme, že g(x) = x + 2 pro všechna x. Grafy funkcí f, g jsou tedy identické až na bod 2, kde funkce f má mezeru. (VIZ OBRAZEK Ayers str. 72 obr. 8.2). Podobný př. SLIDE 2–97. Příklad 2.5.2: Funkce f (x) =
x2 0
pro x 6= 2 pro x = 2
má limx→2 f (x) = 4, ale f (2) = 0. Není tedy splněna podmínka (iii) a f je nespojitá v bodě 2. Avšak, když zaměníme hodnotu funkce f v bodě 2 za 4, dostaneme novou funkci h takovou, že h(x) = x2 pro všechna x a h je spojitá v 2. Tedy nespojitost f v bodě 2 byla zase odstranitelná. |x| pro všechna x 6= 0. Její graf je na x obrázku. Funkce f je nespojitá v bodě 0 protože hodnota f (0) není definována. Dále −x x = −1 lim+ f (x) = lim+ = 1 a lim− f (x) = lim− x→0 x→0 x→0 x→0 x x
Příklad 2.5.3: Vezměme funkci f (x) =
Tedy limx→0+ f (x) 6= limx→0− f (x). Takovou nespojitost nazýváme skok nespojitosti. Tento druh nespojitosti je neodstranitelný.
31 1 je nespojitá v bodě 0, neboť limx→0 = +∞ a x2 nemá tam tedy vlastní limitu. Říkáme, že je to bod nespojitosti II. druhu. Takové body nespojitosti mají například také funkce tangens a kotangens v bodech kde nejsou definované. Příklad 2.5.4: Funkce f (x) =
SLIDE 1–102. Pravidlům pro limity odpovídají podobná pravidla pro spojitost. VĚTA 2.5.2
Pro funkce f, g spojité v bodě c platí: 1. Konstantní funkce h(x) = k pro všechna x je spojitá v každém bodě. 2. kf , pro každou konstantu k je spojitá v bodě c. 3. f + g je spojitá v c. 4. f − g je spojitá v c. 5. f · g je spojitá v c. 6. f /g (pokud g(c) 6= 0) je spojitá v c. p √ 7. n f je spojitá v c, jestliže n f (c) je definováno. DEFINICE 2.5.6
Řekneme, že funkce f je spojitá na množině M, jestliže je spojitá v každém bodě množiny M . Dále, řekneme-li pouze, že f je spojitá, pak tím míníme, že je spojitá v každém reálném čísle. Pojem spojitosti funkce původně vznikl z toho důvodu, že matematikové chtěli popsat funkce jejichž grafy lze nakreslit jedním tahem, aniž by se tužka přestala dotýkat papíru. Takové grafy zřejmě nemohou obsahovat mezery nebo skoky. Ovšem neustálým zdokonolaváním a rozšiřováním studia spojitosti víme nyní, že existuji i takové spojité funkce, mimochodem dosti složité, že je nelze nakreslit jedním tahem. Většinu známých spojitých funkcí ovšem jedním tahem nakreslit lze. Z nejznámnějších funkcí jsou spojité • polynomy • lomené racionální funkce ve všech bodech svého definičního oboru, tedy tam, kde nemají jmenovatele rovného nule.
32 Na závěr se věnujme speciálně spojitosti na uzavřeném intervalu ha, bi. Nejprve zobecníme pojem spojitosti v bodě. DEFINICE 2.5.7
Funkce f je spojitá zprava v bodě c, jestliže je definováno f (c), existuje limx→c+ f (x) a limx→c+ f (x) = f (c). Funkce f je spojitá zleva v bodě c, jestliže je definováno f (c), existuje limx→c− f (x) a limx→c− f (x) = f (c). DEFINICE 2.5.8
Funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu ha, bi, jestliže je spojitá na otevřeném intervalu (a, b) a je spojitá zprava v bodě a a zleva v bodě b. Poznamenejme, že spojitost na intervalu ha, bi nesouvisí s žádnými funkčními hodnotami ležícími mimo tento interval, pokud nějaké takové existují. Dále poznamenejme, že spojité funkce, tj. spojité v každém reálném čísle, jsou spojité v každém uzavřeném intervalu. Takovými funkcemi jsou kupříkladu polynomy. Bez důkazů nyní uvedeme několik nejznámnějších vět o funkcích spojitých na uzavřeném intervalu. VĚTA 2.5.3
(Věta o mezihodnotě) Jestliže je funkce f spojitá na intervalu ha, bi a f (a) 6= f (b), pak pro každé číslo k ležící mezi f (a) a f (b) existuje aspoň jedno x0 ležící v otevřeném intervalu (a, b) pro které f (x0 ) = k. OBR¿ SLIDE 2–98 (str.74, Ayers) DŮSLEDEK 2.5.1
(Bolzano) Jestliže je funkce f spojitá na intervalu ha, bi a čísla f (a) a f (b) mají opačná znaménka, pak rovnice f (x) = 0 má aspoň jeden kořen v intervalu (a, b) , a tedy graf funkce f protne osu x aspoň jednou mezi body a, b. OBR. VĚTA 2.5.4
(Věta o extrémních hodnotách, Weierstrass) Jestliže je funkce f spojitá na intervalu ha, bi, pak f má oba globální extrémy na tomto intervalu. OBR DŮSLEDEK 2.5.2
(Weierstrass) Funkce spojitá na uzavřeném intervalu je na něm ohraničená.
33
2.6
Elementární funkce
Nyní uvedeme přehled některých elementárních funkcí se kterými budeme v tomto textu pracovat. Pro absolventy gymnázií to bude, až na cyklometrické funce, opakování ze střední školy. Pro ostatní možná látka zcela nová. Pro všechny však jistě bude následující text užitečný. (1) Polynom je funkce daná předpisem y = an xn + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0 , ai ∈ Ri , i = 0, 1, · · · , n kde každý sčítanec ai xi se nazývá i-tý člen stupně i s koeficientem ai . Je-li an 6= 0, pak n je stupeň polynomu a an xn je vedoucí člen, an je vedoucí koeficient polynomu. Přirozeným definičním oborem i oborem hodnot je R. Je to funkce spojitá a neohraničená. Je užitečné si pamatovat (bez důkazu), že pro čísla x0 dostatečně vzdálená od počátku (na obě strany) platí nerovnost |an x0 n | > |an−1 x0 n−1 + · · · a1 x0 + a0 | tzn., že dostatečně daleko od počátku má vedoucí člen rozhodující hodnotu, kterou již ostatní členy polynomu neovlivní, a tedy jeho znaménko je rozhodující pro určení znamének nevlastních limit v nevlastních bodech polynomu, přesněji (zkratka sgn je pro latinské signum, česky znaménko) lim y(x) = (sgn an x0 n )∞
x→±∞
Početní výkony s mnohočleny se berou již na základní a střední škole. Pár poznámek věnujme rovnosti polynomů. Ta může být chápána funkčně, tj. dva polynomy se rovnají, rovnají-li se jako dvě funkce. Mají tedy pro každé reálné číslo tutéž funkční hodnotu. Jiná definice je algebraická, tj. dva polynomy se sobě rovnají, mají-li stejný stupeň a rovnají-li se všechny dvojice koeficientů členů téhož stupně. V našem textu jsou obě rovnosti polynomů ekvivalentní a vybereme si podle situace vždy tu, která bude výhodnější. Pro zvídavé čtanáře poznamenejme, že v algebře se ukazuje, že existují (nečíselné) polynomy, kde je mezi oběma možnostmi chápání rovnosti jistý rozdíl. Dále se věnujme dělení polynomů, zejména je-li dělitel tvaru x − c. Pro takové dělení se užívá algoritmus nazývaný Hornerovo schema. Odvodíme si je například pro dělení mnohočlenu F (x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 dvojčlenem x − c. Je-li podílem mnohočlen Q(x) = b2 x2 + b1 x + b0 a zbytkem číslo q, pak platí, jako při každém dělení dělenec = dělitel × podíl + zbytek
34 tedy F (x) = (x − c)Q(x) + q Pro x = c odtud plyne F (c) = q. Dosadíme-li za F , Q a q dostaneme a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = (x − c)(b2 x2 + b1 x + b0 ) + F (c) odtud a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = b2 x3 + (b1 − cb2 )x2 + (b0 − cb1 )x + (F (c) − cb0 ) Z rovnosti polynomů plyne rovnost stejnolehlých koeficientů a3 = b 2 ,
a2 = b1 − cb2 ,
a1 = b0 − cb1 ,
a0 = F (c) − cb0
b 2 = a3 ,
b1 = cb2 + a2 ,
b0 = cb1 + a1 ,
F (c) = cb0 + a0
odtud
Tyto rovnosti již vedou k Hornerovu schematu, podle něhož koeficienty podílu b1 , b0 a zbytek F (c) určíme jen užitím násobení a sčítání a0 F (x) a3 a2 a1 c b2 b1 b0 F (c) Při hledání algoritmu nebyl stupeň polynomu F podstatný. Dále jsme při tom odvodili VĚTA 2.6.1
Bezoutova, (čti bezůtova) Mnohočlen s proměnnou x má kořen c, právě když je dělitelný dvojčlenem x − c. Schema se užívá u polynomů pro výpočet hodnoty, ověřování kořene a při rozkladu.
Příklad 2.6.1: Určete hodnotu polynomu F (x) = 2x4 − 5x3 + x − 7 pro x = 3. -7 F(x) 2 -5 0 1 c=3 2 1 3 10 F(3)=23
35 Příklad 2.6.2: Ověřte, že čísla 1, −2, 4 jsou kořeny polynomu F (x) = x3 − 3x2 − 6x + 8. Napíšeme si Hornerovo schema F(x) c= 1 c=-2 c= 4
1 -3 -6 8 1 -2 -8 F(1)=0 1 -4 0 1 0
Je tedy F (x) = (x − 1)(x2 − 2x − 8) = (x − 1)(x + 2)(x − 4). Poznamenejme ještě, že ve psaní Hornerova schematu bylo možno pokračovat, neboť čísla −2, 4 byla také kořeny podílů získaných v daném kroce.
Polynomy jsou typické algebraické funkce. Jsou také spíše předmětem studia algebry než matematické analýzy. V dalším přehledu uvedeme některé nižší transcendentní funkce. (2) Exponenciální funkce je dána předpisem (SLIDES 7–26 až 41.) y = ax ,
kde konstanta a > 0, a 6= 1
Funkce je definována pro každé reálné číslo, funkčními hodnotami jsou všechna nezáporná reálná čísla. Je zdola ohraničená číslem 0, je ryze monotonní, není shora ohraničená, nemá lokální ani globální extrémy. Je spojitá a její graf prochází vždy bodem [0, 1]. Dále rozlišíme dva případy: a > 1, například a = 2. Některé hodnoty funkce můžeme zadat tabulkou x y = 2x
... −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 . . . . . . 1/16 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 . . .
V tomto případě je rostoucí, limx→−∞ ax = 0, limx→+∞ ax = +∞. 0 < a < 1, například a = 1/2. Zase některé hodnoty zadáme tabulkou x y = 1/2x
. . . −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 ... . . . 16 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 1/16 . . .
V tomto případě je klesající, limx→−∞ ax = +∞, limx→+∞ ax = 0. Na závěr obě funkce znázorníme grafem, aby si čtenář mohl názorně prohlédnout výše uvedené vlastnosti. OBRAZEK Všimněte si ještě, že exponenciální funkce je prostá (plyne to z toho, že je ryze monotonní a spojitá) v celém svém definičním oboru, a lze ji tedy invertovat.
36 (3) Logaritmická funkce je inverzní k funkci exponenciální. Je-li dána exponenciální funkce y = ax , a > 0, a 6= 1, pak inverzní funkce - logaritmická má implicitní vyjádření x = ay neboli explicitně y = loga x. Logaritmická funkce je definována pro všechna nezáporná reálná čísla a jejím oborem hodnot je R. Je neohraničená, spojitá, ryze monotonní a její graf, zvaný exponenciála prochází vždy bodem [1, 0]. Dále rozlišíme dva případy: a > 1 , například a = 2. Zase některé hodnoty zadáme tabulkou x y = log2 x
. . . 1/16 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 . . . ... −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 . . .
V tomto případě je rostoucí, limx→0+ loga x = −∞, limx→+∞ loga x = +∞. Obě navzájem inverzní funkce y = 2x , y = log2 x ještě znázorníme grafem. 0 < a < 1, například a = 1/2. Zase některé hodnoty zadáme tabulkou x y = log1/2 x
. . . 1/16 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 . . . ... 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 . . .
V tomto případě je klesající, limx→0+ loga x = +∞, limx→+∞ loga x = −∞. Na závěr zase obě navzájem inverzní funkce y = (1/2)x , y = log1/2 znázorníme grafem. OBRAZEK Často se budeme setkávat s tzv. přirozeným neboli naturálním logaritmem. Jeho základem je Eulerovo číslo e. Leonard Euler (1707 - 1783) se narodil před třista lety ve švýcarském Bolzanu (je tam podle něho pojmenován hotel), avšak většinu života prožil na dvoře Petra Velikého v právě budovaném Petrohradě. Byl jedním z největších matematiků své doby. Na jeho počest je základ přirozených logaritmů označen prvním písmenem jeho jména. Budeme si pamatovat, že přibližně je e=2, ˙ 7. Jinak je to však číslo iracioinální, které se přesně rovná společné limitě dvou funkcí y = (1 + 1/x)x , y = (1 + 1/x)x+1 v jejich nevlastním bodě +∞. První posloupnost je rostoucí, druhá klesající. Na více desetinných míst je e=2, ˙ 7182818284590 . . . OBRAZEK V MAPLE
37 Přirozený logaritmus značíme ln x a je tedy ln x = loge x. Také dekadický logaritmus, tj. log10 x píšeme bez uvedení základu, tedy takto log x. Ještě v nedávné době se technici při výpočtech neobešli bez logaritmického pravítka. Pomocí něho posouváním sčítali logaritmy čísel místo toho, aby čísla násobili. Byla tedy užita jedna s vlastností logaritmu log ab = log a + log b V době počítačů však logaritmická pravítka ztratila svůj význam. (4) Goniometrické a cyklometrické funkce. (SLIDES 7–42 až 56.) Nejprve si připomeňme, že orientovaný úhel je uspořádaná dvojice polopřímek o společném počátku, jedna polopřímka je počáteční a druhá koncové rameno. Každé reálné číslo x je velikostí právě jednoho orientovaného úhlu. Jeho počáteční rameno ztotožněme s kladnou vodorovnou poloosou kartézské soustavy souřadnic. Označme-li pořadě A[a1 , a2 ], B[1, b2 ], C[c1 , 1] průsečíky koncového ramene s jednotkovou kružnicí, resp. s tečnami k jednotkové kružnici v bodech [1, 0], resp. [0, 1], pak klademe: sin x = a2 ,
cos x = a1 ,
tg x = b2 ,
cotg x = c1
Funce sinus a kosinus jsou definovány pro každé reálné číslo, jsou periodické s periodou 2π, spojité, ohraničené, číslo 1 je jejich globálním maximem a zároveň supremem, číslo −1 je jejich globálním minimem a zároveň infimem. Sinus je lichá funkce, grafem je sinusoida. Kosinus je sudá funkce, grafem je kosinusoida. Grafy jsou navzájem posunuté ve směru osy x o π/2. Připomeňme si je na společném obrázku. OBRAZEK Funkce sinus a kosinus nejsou prosté v R. Funkce y = sin x je prostá například na intervalu h−π/2, π/2i, tam ji lze invertovat x = sin y a máme tak implicitně vyjádřenou novou funkci, zvanou arkussinus; explicitně ji značíme y = arcsin x. Je D(arcsin) = h−1, 1i, H(arcsin) = h−π/2, π/2i. Podobně funkci y = cos x lze invertovat například na intervalu h0, πi, dostaneme novou funkci x = cos y, zvanou arkuskosinus; explicitně ji značíme y = arccos x. Je D(arccos) = h−1, 1i, H(arccos) = h0, πi. OBRAZEK Poznemenejme, že latinské slovo „arcusÿ znamená česky „obloukÿ. Takže například sdělení: Určete arcsin 1/2 můžeme doslova číst: Určete „délku
38 oblouku v jednotkové kružnici, jehož sinus je 1/2ÿ. Odpověď je, že je to oblouk délky π/3, tedy středový úhel o velikosti 60◦ v míře stupňové. Dále například arcsin −1 = −π/2 nebo arccos −1 = π. Funkce tangens, resp. kotangens je definována pro všechna reálná čísla různá od lichých násobků π2 , tj. x 6= (2n − 1) π2 , resp. od přirozených násobků π, tj. x 6= nπ, kde n je přirozené číslo. Výjmuté body jsou body nespojitosti 2. druhu. Obě funkce jsou periodické s periodou π, nejsou prosté pokud je uvažujeme v celém definičním oboru. Tangens je lichá funkce, jejím grafem je tangentoida. Kotangenta je lichá funkce, jejím grafem je kotangentoida. Grafy jsou navzájem posunuté ve směru osy x o π/2. Připomeňme si je na společném obrázku. OBRAZEK Tangenta y = tg x je prostá například na intervalu h−π/2, π/2i, jestliže ji tam invertujeme, dostaneme funkci inverzní zvanou arkustanges, píšeme y = arctg x. OBRAZEK Podobně kotangenta y = cotg x je prostá na například na intervalu h0, πi, jestliže ji tam invertujeme, dostaneme inverzní funkci zvanou arkuskotangents, píšeme y = arccotg x. OBRAZEK
POZNÁMKA 2.6.1
Na závěr si zopakujme některé hodnoty goniometrických funkcí. funkce/x
0
cos x sin x tg x cotg x
1 0 0 -
π √6 3 2 1 √2 3 √3
3
π √4 2 √2 2 2
1 1
π 3 1 √2 3 √2
3
√
3 3
π 2
π
3 π 2
2π
0 -1 1 0 - 0 0 -
0 -1 0
1 0 0 -
39 VĚTA 2.6.2
Ze střední školy známe následující vzorce: • sin2 x + cos2 x = 1 •
sin x cos x
= tg x =
1 cotg x
• sin 2x = 2 sin x cos x • cos 2x = cos2 x − sin2 x q x x • | sin 2 | = 1−cos 2 • | cos
x | 2
=
q
1+cos x 2
• sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y • cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y • sin x + sin y = 2 sin x+y cos x−y 2 2 • sin x − sin y = 2 cos x+y sin x−y 2 2 cos x−y • cos x + cos y = 2 cos x+y 2 2 • cos x − cos y = −2 sin x+y sin x−y 2 2
40
Kapitola 3 Derivace Obsah Derivace je základním pojmem diferenciálního počtu. Potřeba jeho zavedení vznikla ve druhé polovině 17. století při řešení konkrétních problémů matematiky a fyziky. Obecnou metodu jejich řešení nalezli nezávisle na sobě Angličan Isaac Newton (1642-1727) a Němec Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716). Derivace našly širokého uplatnění zejména v matematice, mechanice, ekonomii, lékařství a výpočetní technice. Slouží k výpočtu rychlosti, zrychlení, mezních příjmů a vydání a k odhadu chyb které vznikají při měření.
3.1
Derivace funkce v bodě
K zavedení pojmu derivace funkce v bodě vedly především dvě úlohy • Úloha o tečně grafu funkce (Leibnitz). • Úloha o okamžité rychlosti (Newton). Začneme příkladem: Příklad 3.1.1: Najděte směrnici paraboly y = x2 v bodě T [2, 4]. Napište rovnici tečny k parabole v bodě T . Řešení Začneme sečnou jdoucí bodem T a jemu blízkým bodem Q[2+h, (2+h)2 ], tedy ležícím na parabole, a sledujme co se stane, když se bude po křivce bod Q blížit k bodu T . Směrnice sečny T Q je ∆y (2 + h)2 − 22 h2 + 4h + 4 − 4 h2 + 4h = = = =h+4 ∆x h h h Jestliže h > 0, pak bod Q leží vpravo nad bodem T , stejně jako na následujícím obrázku SLIDE 2–9 OBR.T. STR 99 41
42 Jestliže h < 0, pak bod Q leží vlevo od bodu T (není zobrazeno). V obou případech, když bod Q se blíží k bodu T , pak h se blíží k 0 a směrnice sečny se blíží k číslu 4, tedy lim (h + 4) = 4 h→0
Dostali jsme 4, jakožto směrnici paraboly v bodě T . Rovnice tečny paraboly v bodě T o směrnici 4 tedy je y = 4 + 4(x − 2) y = 4x − 4 Úloha o tečně grafu funkce (Leibnitz). Najděme tečnu k libovolné spojité křivce y = f (x) v bodě T [x0 , f (x0 )]. Nejprve najdeme směrnici sečny jdoucí bodem T a jemu blízkým bodem Q[x0 + h, f (x0 + h)] ležícím na křivce f (x0 + h) − f (x0 ) h Pak vyšetřeme její limitu pro h → 0. OBR. T. STR 99. Jestliže tato limita existuje, pak ji nazveme směrnicí křivky v bodě T . DEFINICE 3.1.1
Směrnicí křivky y = f (x) v bodě T [x0 , f (x0 )] je číslo f (x0 + h) − f (x0 ) h→0 h
k = lim
(pokud limita existuje).
Tečnou ke křivce v bodě T je přímka daná rovnicí y = f (x0 ) + k(x − x0 ) POZNÁMKA 3.1.1
Výraz
f (x0 + h) − f (x0 ) h se také nazývá diferenční podíl funkce f v bodě x0 .
Průměrná rychlost změny a sečna. Mějme libovolnou spojitou funkci y = f (x) a určíme průměrnou rychlost změny hodnoty y vzhledem k hodnotě x v itervalu hx0 , x1 i tím, že vydělíme přírustek hodnoty y, ∆y = f (x1 ) − f (x0 ), přírustkem argumentu ∆x = x1 − x0 = h, tedy délkou intervalu ve kterém změna probíhá.
43 DEFINICE 3.1.2
Průměrná rychlost změny hodnoty funkce y = f (x) vzhledmem k x v intervalu hx0 , x1 i , délky h je ∆y f (x1 ) − f (x0 ) f (x0 + h) − f (x0 ) = = ∆x x1 − x0 h SLIDE 2–6 OBR.T.STR.53 Je tedy průměrná rychlost změny hodnoty y z x0 do x1 rovna směrnici sečny procházející body P [x0 , f (x0 )], Q[x1 , f (x1 )] a také diferenčnímu podílu funkce f v bodě x0 . Vypočteme-li ještě limitu pro h → 0, pak dostaneme DEFINICE 3.1.3
Okamžitá rychlost změny hodnoty funkce y = f (x) v bodě x0 je f (x0 + h) − f (x0 ) h→0 h
v = lim
(pokud limita existuje).
Tuto obecnou úvahu můžeme interpretovat fyzikálně. Průměrná a okamžitá rychlost pohybu. Vezmeme-li za y dráhu s = f (t), kterou urazí hmotný bod po nějaké přímce při pohybu f v čase x = t, pak ∆s f (t1 ) − f (t0 ) f (t0 + h) − f (t0 ) = = ∆t t1 − t0 h je průměrná rychlost přímočarého pohybu f v časovém intervalu ht0 , t1 i a f (t0 + h) − f (t0 ) h→0 h
v = lim
(pokud limita existuje)
je okamžitá rychlost tohoto pohybu v čase t0 . Máme tak vyřešenou i druhou úlohu o okamžité rychlosti přímočarého pohybu hmotného bodu (Newton). POZNÁMKA 3.1.2
Při řešení obou úloh jsme se setkali s formálně stejnou limitou diferenčního podílu funkce v bodě. Podobně se s ní setkáváme při řešení mnoha problémů matematických, fyzikálních, ekonomických, chemických a dalších oblastí vědy a techniky. Neobejdeme se bez ní při výpočtu okamžité rychlosti změny objemu kapaliny přitékající do nádoby, teploty zahřívaného tělesa, chemické reakce či spotřeby paliva. Ve stavebnictví je například potřebná při výpočtu maximální nosnosti trámu nebo v ekonomii při minimalizaci výrobních nákladů a při maximalizaci zisků. Pro svou důležitost dostala tato limita zvláštní název, jmenuje se derivace.
44 DEFINICE 3.1.4
Derivace v bodě x0 funkce f se nazývá limita jejího diferenčního podílu v bodě x0 a značí se f ′ (x0 ). Je tedy f (x0 + h) − f (x0 ) h→0 h
f ′ (x0 ) = lim
Pokud je tato limita nevlastní, pak i derivace je nevlastní a informuje nás o tom, že funkce má v bodě x0 tečnu rovnoběžnou s osou y. POZNÁMKA 3.1.3
Je tedy derivace funkce y = f (x) v bodě x0 rovna směrnici tečny grafu, resp. křivky f , v bodě x0 . Nutnou podmínkou pro existenci derivace je spojitost. Důkaz tohoto tvrzení je jednoduchý. Proto je vyslovíme ještě jednou, poněkud v jiném tvaru a provedeme i jeho velmi jednoduchý důkaz. VĚTA 3.1.1
Má-li funkce v bodě derivaci, pak je v tomto bodě spojitá. Důkaz: Předpokládejme, že funkce f má v bodě x0 derivaci f ′ (x0 ) ∈ R. Pak (x0 ) limx→x0 f (x) = limx→x0 [f (x)−f (x0 )+f (x0 )] = limx→x0 f (x)−f (x−x0 )+f (x0 ) = x−x0 f ′ (x0 ) · 0 + f (x0 ) = f (x0 ). Proto je f spojitá v bodě x0 . POZNÁMKA 3.1.4
Obrácené tvrzení neplatí. Pomocí jednostranných limit, můžeme definovat i jednostranné derivace v bodě. Body spojitosti funkce s různými jednostrannými derivacemi (neexistuje v nich derivace) se nazývají úhlové body nebo neostré hroty. Body spojitosti ve kterých je derivace nevlastní se nazývají body vratu nebo ostré hroty. (SLIDES 3–9 až 11) Z věty 3.1.1 podle definic 3.1.1 a 3.1.4 plyne DŮSLEDEK 3.1.1
Křivka y = f (x) diferencovatelná v bodě T [x0 , f (x0 )] je v bodě T spojitá a má tam tečnu o rovnici y = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) Vraťme se na začátek tohoto odstavce o řešme znovu příklad 3.1.1: Parabola y = x2 má derivaci y ′ = 2x a má tedy ve svém bodě T [2, 4] tečnu o rovnici y = 4 + f ′ (2)(x − 2) = 4 + 2 · 2 · (x − 2) = 4 + 4(x − 2) = 4x − 4
45
3.2
Derivace funkce
V tomto odstavci budeme definovat derivaci jako novou funkci odvozenou z dané funkce f tak, že za její funkční hodnoty vezmeme limity diferenčních podílů všech x z definičního oboru funkce f . DEFINICE 3.2.1
Derivace funkce f podle proměnné x je funkce f ′ jejíž funkční hodnota v bodě x je f (x + h) − f (x) f ′ (x) = lim h→0 h pokud limita existuje. Definičním oborem funkce f ′ je podmnožina bodů z definičního oboru funkce f pro které limita existuje. Jestliže f ′ (x) existuje, pak řekneme, že f má derivaci nebo že je diferencovatelná podle x. Kromě čárky užíváme pro označení derivace například symboly dy df d , , f (x), Dx f, y˙ dx dx dx Označení derivace pomocí čárky pochází od Newtona a označení pomocí difereciálů zavedl Leibnitz. Derivace y ′ = dy/dx je první (prvního řádu) derivace y podle x.Tato derivace může být sama diferencovatelná podle x, jestliže ji znovu derivujeme podle x dy ′ d2 y d dy ′′ y = = 2 = dx dx dx dx říkáme jí druhá (druhého řádu) derivace y podle x. Jestliže je y ′′ diferencovatelná, pak její derivace, y ′′′ = dy ′′ /dx = d3 y/dx3 je třetí (třetího řádu) derivace vzhledem k x. V názvech pokračujeme tak jak jsme naznačili s tím, že d (n−1) y (n) = y dx značí n-tou (n-tého řádu) derivaci y vzhledem k x, pro libolné kladné celé číslo n. Lze definovat i derivaci řádu 0, tou je původní funkce, tedy f (0) (x) = f (x). Z věty 3.1.1 plyne VĚTA 3.2.1
Funkce diferencovatelná na množině je na této množině spojitá. Důležitý je případ, kdy má funkce spojitou derivaci na jisté množině.
46 DEFINICE 3.2.2
Má-li funkce spojitou derivaci na jisté množině, pak řekneme, že daná funkce je hladká na této množině. POZNÁMKA 3.2.1
Z předcházející věty plyne, že hladká funkce je spojitá, neboť je diferencovatelná a ze spojitosti její derivace se dá ukázat, že není „zubatáÿ, je tedy bez hrotů. Z toho je patrno, že termín hladká je volen názorně. Hladkost funkce bude důležitá vlastnost při integrování.
3.2.1
Ukázky odvození derivačních vzorců
Při výpočtu derivací (derivování) funkcí užíváme vzorce pro derivaci základních funkcí a další vzorce a pravidla, která lze odvodit z definice derivace a z vět o limitách a spojitosti funkce. Vzorců je mnoho a jejich odvozování je dosti pracné. Uvedeme pouze tři ukázky odvození. Příklad 3.2.1: Odvoďte • C ′ = 0 pro konstantu C. Odvození: C −C = 0. h→0 h
C ′ = lim • (xn )′ = nxn−1 pro n ∈ N, x ∈ R. Odvození:
(x + h)n − xn h→0 h n x + n1 xn−1 h + n2 xn−2 h2 + · · · + hn − xn lim h→0 h n n−1 n n−2 n−1 x + x h + ··· + h lim h→0 1 2 n n−1 x 1 nxn−1
(xn )′ = lim = = = = • (sin x)′ = cos x. Odvození:
47 Nejprve vypočteme limitu: limx→0 sinx x , kde hodnota úhlu x je vyjádřena v radiánech. Z jednotkové kružnice v Gaussově rovině pro určování hodnot goniometrických funkcí je vidět, že platí následující nerovnosti SLIDE 2–54
VIZ. OBR. T. 145
odtud, dělíme-li sinem x
sin x ≤ x ≤ tg x
1≤
x 1 ≤ . sin x cos x
Přejdeme k převráceným hodnotám a máme 1≥
sin x ≥ cos x x
Protože je limx→0 cos x = 1 z posledních nerovností plyne sin x = 1. x→0 x lim
Nyní provedeme výpočet derivace sin(x + h) − sin x h→0 h (sin x cos h + cos x sin h) − sin x lim h→0 h sin x(cos h − 1) + cos x sin h lim h→0 h sin h cos h − 1 + lim cos x · lim sin x · h→0 h→0 h h sin h cos h − 1 + cos x · lim sin x · lim h→0 h h→0 h sin x · 0 + cos x · 1 cos x
(sin x)′ = lim = = = = = =
Stručně, derivací sinu je kosinus.
48
3.2.2
Tabulka derivací a integrálů
VĚTA 3.2.2
Tabulka derivací a integrálů základních funkcí
1.
DERIVACE C′ = 0
2.
x′ = 1
3.
(xa+1 )′ = (a + 1)xa
5.
(ln x)′ =
6.
(cos x)′ = − sin x
7.
(sin x)′ = cos x
8.
(tg x)′ =
9.
(cotg x)′ = − sin12 x
INTEGRÁLY R 0dx = C R
1 x
1 cos2 x
10.
(ex )′ = ex
11.
(ax )′ = ax ln a
12.
(arctg x)′ =
13.
1 (arccotg x)′ = − 1+x 2
14.
(arcsin x)′ =
15.
1 (arccos x)′ = − √1−x 2
1 1+x2
√ 1 1−x2
dx = x
R
xa dx =
R
sin xdx = − cos x
R R
ex dx = ex
R
dx x
xa+1 dx a+1 xa
1 = − (a−1)x a−1
= ln |x|
R
cos x = sin x 1 cos2 x
= tg x
R
dx sin2 x
= − cotg x
R
ax dx =
R
dx 1+x2
R
√ dx 1−x2
ax ln a
= arctg x
= arcsin x
49
3.2.3
Další pravidla derivování
Dále uvedeme, pouze formálně, souhrn vzorců pro derivování operací s funkcemi a funkce složené. Jak to bývá zvykem: C je konstanta a funkce označíme pro větší přehlednost vzorců pouze písmeny u, v s tím, že obě mají argument x, je tedy u = u(x),
v = v(x)
VĚTA 3.2.3
Vzorce pro derivování operací s funkcemi (C · u)′ (u + v)′ (u − v)′ (u · v)′ u ′ v
= = = =
C · u′ u′ + v ′ u′ − v ′ u′ v + uv ′ u′ v − uv ′ = v2
POZNÁMKA 3.2.2
Z prvních dvou vzorců plyne, že derivace zachovává lineární kombinaci, například pro funkce u, v a reálná čísla C, D platí (C · u + D · v)′ = C · u′ + D · v ′ VĚTA 3.2.4
Derivace složené funkce. Má-li f (u) derivaci v bodě u = g(x) a má-li g(x) derivaci v bodě x, pak složená funkce (f ◦ g)(x) = f (g(x)) má derivaci v bodě x a platí (f ◦ g)′ (x) = f ′ (g(x)) · g ′ (x) Rychlosti (derivace) změny funkční hodnoty se násobí: derivace složené funkce f ◦ g v bodě x je derivace funkce f v bodě g(x) násobená derivací funkce g v bodě x. Mluví se také o řetězovém pravidlu (anglicky: chain rule). POZNÁMKA 3.2.3
Pamatujme si stručné slovní vyjádření pravidla pro derivování složené funkce: Derivujeme vnější funkci, její argument opíšeme, a násobíme derivací vnitřní funkce. Pro nezkušeného počtáře však bývá někdy nesnadné správně rozeznat obě funkce a ještě větší potíže nastanou, je-li složení vícenásobné. Nejprve uvedeme jednoduchý příklad.
50 √ Příklad 3.2.2: Derivujte y = x2 + 1. √ Řešení: Zde je y = f (g(x)), kde f (u) = u a u = g(x) = x2 + 1. Derivace funkcí f, g jsou 1 a g ′ (x) = 2x f ′ (u) = √ 2 u Pravidlo dává (f (g(x)))′ = f ′ (g(x)) · g ′ (x) 1 · g ′ (x) = p 2 g(x) 1 = p · (2x) 2 g(x) x = √ x2 + 1 Příklad 3.2.3: Názorně: derivace vnější vnější funkce z}|{ z}|{ 2 sin (x + x) = cos (x2 + x) · | {z } | {z } vnitřní vnitřní opsat
(2x + 1) | {z } derivace vnitřní funkce
Někdy je potřeba použít pravidlo o derivování složené funkce dvoj nebo i vícenásobně.
Příklad 3.2.4: Najděte derivaci funkce g(t) = tg(5 − sin 2t). Řešení: g ′ (t) = (tg(5 − sin 2t))′ 1 = · (5 − sin 2t)′ 2 cos (5 − sin 2t) 1 · (0 − (cos 2t)(2t)′ ) = 2 cos (5 − sin 2t) 1 · (− cos 2t) · 2 = 2 cos (5 − sin 2t) 1 = −2 cos 2t 2 cos (5 − sin 2t)
Nácvik derivování funkcí podle výše uvedených vzorců ponecháme do cvičení. Kromě složené funkce mohou nastat potíže také při derivování mocnin, kde proměnná se vyskytuje v základu i exponentu mocniny. V tomto případě totiž nelze použít vzorec 11 z věty 3.2.2, kde základ a je konstantní. Pak je možno postupovat dvojím způsobem.
51 Příklad 3.2.5: Pro x > 0 derivujte funkci y = (cos x)sin x . • Logaritmováním obou stran se přesvědčíme, že platí (cos x)sin x = eln cos x
· sin x
pro
cos x > 0
y ′ = ((cos x)sin x )′ = (eln cos x·sin x )′ − sin x ln cos x·sin x · sin x + ln cos x · cos x = e cos x − sin2 x sin x = (cos x) + ln cos x · cos x x • Druhá možnost je, že nejprve obě strany rovnosti y = (cos x)sin x logaritmujeme (proto tento postup nazýváme „logaritmickou derivacíÿ) ln y = sin x · ln cos x
potom obě strany derivujeme, levou jako složenou funkci, neboť y je funkcí x 1 ′ − sin x ·y = · sin x + ln cos x · cos x y cos x odtud sin x
y = (cos x) ′
− sin2 x + ln cos x · cos x cos x
POZNÁMKA 3.2.4
Místo konkrétního příkladu jsme mohli vzít dvě obecné funkce u = u(x) > 0 a odvodit vzorec v ′
(u ) = u
3.3
v
v = v(x)
u′ v · + ln u · v ′ u
Derivace v ekonomii
Jak už bylo řečno, Newton při zkoumání přímočarého pohybu dospěl k tomu, že první derivace dráhy podle času je okamžitá rychlost v = ds/dt a že první derivace okamžité rychlosti, tedy druhá derivace dráhy podle času, je zrychlení (akcelerace) a = dv/dt = d2 s/dt2 . To jsou dvě nejznámější interpretace derivace ve fyzice. Podobně jako fyzikové, mají svůj slovník také ekonomové. Pro okamžité rychlosti změn a derivace užívají termín marginal, česky mezní, ve smyslu na hranici mezi rentabilitou a nerentabilitou. Při vyhodnocování rentability výroby se užívají funkce:
52 • r(x) revenue česky tržba z prodeje x ks výrobků • c(x) cost of production česky výrobní náklady na výrobu x ks výrobků • p(x) = r(x) − c(x) profit česky zisk z prodeje x ks výrobků
H odnota mezních výrobních nákladů je určena okamžitou rychlostí změny nákladů (c) vzhledem k počtu výrobků (x), je tedy rovna dc/dx = c′ (x). Například, nechť c(x) jsou náklady v Kč na výrobu x tun oceli za týden. Náklady vzrostou, zvýší-li se výroba na x+h jednotek a přírustek nákladů dělený přírustkem h dává průměrné zvýšení výrobních nákladů na tunu za týden: c(x + h) − c(x) průměrné zvýšení nákladů na tunu za týden = h při výrobě dalších h tun oceli Limita tohoto podílu pro h → 0 udává marginal cost česky mezní výrobní náklady při zvýšené výrobě o h tun než než byl původní počet x tun: c′ (x) =
c(x + h) − c(x) dc = lim = mezní výrobní náklady dx h→0 h
Podobně r′ (x) vyjadřuje mezní tržbu. SLIDE 3–37 OBR. T. str. 138 Někdy se mezní výrobní náklady, podobně i mezní tržba, volněji nahrazují pomocí nákladů za výrobní jednotku: ∆c c(x + 1) − c(x) = ∆x 1 ′ což je rovno přibližně hodnotě c v bodě x. SLIDE 3–38 Viz. OBR.2.28. T. STR. 138 Uvědomme si, že při velkovýrobě je přírustek ∆x = 1 zanedbatelný proti velkým hodnotám x, a tedy aproximace ∆c = c(x + 1) − c(x) ≈ c′ (x) je velmi dobrá. Příklad 3.3.1: Mezní výrobní náklady Předpokládejme, že c(x) = x3 − 6x2 + 15x
korun stojí výroba x kusů určitého výrobku, vyrábíme-li denně od 8 do 30 ks. Současně vyrábíme 10 ks za den. O kolik se asi zvýší náklady vyrobíme-li denně o jeden kus navíc? Řešení Cena jednoho kusu vyráběného denně navíc, při běžné výrobě deseti kusů, je asi c′ (10): c′ (10) = (x3 − 6x2 + 15x)′ = 3x2 − 12x + 15 c′ (10) = 3(100) − 12(10) + 15 = 195 Náklady se zvýší asi o 195 Kč.
53 Příklad 3.3.2: Mezní tržba Jestliže r(x) = x3 − 3x2 + 12x
dává tržbu v dolarech za prodej x tisíců bonbonů, 5 ≤ x ≤ 20, pak mezní tržba při prodeji x tisíců je r′ (x) = (x3 − 3x2 + 12x)′ = 3x2 − 6x + 12 Podobně jako mezní náklady, také funkce mezní tržby udává zvýšení tržby, zvednemeli prodej o další jednotku. Jestliže nyní prodáváme 10 tisíc bonbonů týdně, pak můžeme očekávat zvýšení tržby asi o r′ (10) = 3(100) − 6(10) + 12 = $252 zvýšíme-li prodej na 11 tisíc bonbonů za týden.
54
Kapitola 4 Užití derivací Obsah V této kapitole ukážeme jak derivace slouží k načrtnutí grafů funkcí. Derivací užijeme k vyšetření extrémních hodnot funkcí, ke stanovení tvarů grafů a k rozboru jejich průběhu. Teoretickým základem bude tzv. věta o střední hodnotě. Její důsledky budou důležité také pro integrální počet.
4.1
Extrémy funkcí
Extrémy funkcí jsme definovali již v odstavci 2.4 nyní si všimneme jakou souvislost mají s první derivací. VĚTA 4.1.1
Věta o první derivaci pro lokální extrémy Má-li funkce f lokální extrém (maximum nebo minimum) ve vnitřním bodě c svého definičního oboru a je-li definována hodnota f ′ (c), pak f ′ (c) = 0 POZNÁMKA 4.1.1
Takové body c jsme v definici 2.4.5 nazvali stacionární. Důkaz Ukážeme, že f ′ (c) v lokálním extrému není ani kladné, ani záporné. Jediné takové číslo je 0. Předpokládejme nejprve, že f má v bodě c lokální maximum, proto f (x) − f (c) ≤ 0 pro všechna x z nějakého okolí bodu c. Protože c je vnitřní bod definičního oboru derivace f ′ , je hodnota f ′ (c) definována pomocí oboustranné limity f (x) − f (c) x→c x−c lim
55
56 Proto existují obě jednostranné limity a jsou rovny f ′ (c). Vyšetřijume-li obě tyto limity samostatně, zjistíme, že f ′ (c) = lim+ x→c
f (x) − f (c) ≤0 x−c
neboť jmenovatel je kladný a čitatel je nekladný. Podobně f (x) − f (c) f ′ (c) = lim− ≥0 x→c x−c neboť jmenovatel je záporný a čitetel nekladný. Tím je dokázáno, že f ′ (c) = 0. Podobně se dokáže tvrzení pro lokální minimum. Je zřejmé, že funkce může mít extrém pouze v bodech • vnitřních kde f ′ = 0, tedy staticionárních • vniřtních kde f ′ není definováno • na hranici definičního oboru DEFINICE 4.1.1
První dva druhy bodů funkce z výše uvedeného výčtu nazýváme podezřelými z extrému. V praktických úlohách často hledáme globální extrémy spojitých funkcí na uzavřeném intervalu. Z názoru je zřejmé, že pak oba ( maximum i minimum) existují. Poznamenejme, že toto tvrzení se dá formálně matematicky dokázat, jsou však k tomu potřeba poměrně hluboké znalosti z teorie reálných čísel (zejména v úvodu tohoto textu zmíněná spojitost uspořádání v R). Věta 4.1.1 říká, že je máme hledat v bodech podezřelých z extrému nebo v bodech hraničních. Takové body snadno najdeme a vybereme z nich ty dva, kde je funkční hodnota největší a nejmenší. Příklad 4.1.1: Najděte globální maximum a minimum funkce f (x) = x2 na intervalu h−2, 1i . Řešení Funkce je diferencovatelná v celém svém definičním oboru. Jediný bod podezřelý z extrému je pro f ′ (x) = 2x = 0, tedy bod x = 0. Funkční hodnoty v tomto bodě a v bodech koncových jsou f (0) = 0, f (−2) = 4, f (1) = 1. Funkce má tedy globální maximum 4 v x = −2 a globální minimum 0 v x = 0.
57 Příklad 4.1.2: Najděte globální extrémy funkce g(t) = 8t − t4 na h−2, 1i. Řešení Funkce je diferencovatelná v celém svém definičním oboru, tedy body podezřelé z extrému jsou jen tam kde g ′ (t) = 0. Řešením rovnice 8 − 4t3 = 0 t3 = 2 1 t = 23 je bod ležící mimo náš interval. Lokální extrémy jsou tedy v koncových bodech. Najdeme g(−2) = −32 globální minimum g(1) = 7 globální maximum SLIDE 4–17
OBR. 3.8 T. STR. 194
Příklad 4.1.3: Najděte absolutní extrémy funkce h(x) = x2/3 na h−2, 3i. Řešení První derivace 2 2 h′ (x) = x−1/3 = 1/3 3 3x se nerovná nule, není však definovaná v počátku. Hodnota v tomto bodě pozřelém z extrému a hodnoty v koncových bodech jsou h(0) = 0, h(−2) = (−2)2/3 = 41/3 , h(3) = 32/3 = 91/3 . Globální maximum je 91/3 v bodě x = 3 a globální minimum 0 je v počátku. SLIDE 4–18 OBR. 3.9 T. STR. 194 V bodech podezřelých z extrému však extrém být nemusí. Například funkce y = x3 má v počátku derivaci rovnou 0 nebo k ní inverzní funkce y = x1/3 nemá v počátku derivaci. Počátek je u obou funkcí podezřelý z extrému, avšak ani v jednom případě tam extrém není. SLIDE 4–51 OBR.3.11 a 3.10 T. STR. 194
4.2
Věta o střední hodnotě
Padá-li těleso z klidové polohy volným pádem na zem, urazí za t sekund dráhu s = 4, 9t2 m. Odtud vypočteme, že jeho okamžitá rychlost je v = ds/dt = 9, 8t m/sec a jeho zrychlení je a = dv/dt = d2 s/dt2 = 9, 8 m/sec2 . Co kdybychom chtěli obráceně ze znalosti zrychlení stanovit rychlost nebo dráhu tělesa? Co kdybychom si položili otázku: Jak vypadá funkce, známe-li její derivaci? Poněkud konkrétněji, jak vypadá funkce jejíž derivace je například kladná, záporná nebo rovna nule? Odpověď najdeme pomocí důsledků věty o střední hodnotě. Již před 300 lety popsal pomocí derivace Michael Rolle (1652-1719) geometricky zcela názornou skutečnost, že mezi dvěma body kde graf diferencovatelné
58 křivky protne osu x existuje aspoň jeden bod, ve kterém má křivka vodorovnou tečnu. VĚTA 4.2.1
Rolleova věta Nechť y = f (x) je spojitá funkce v každém bodě uzavřeného intervalu ha, bi a diferencovatelná v každém bodě jeho vnitřku (a, b). Jestliže f (a) = f (b) = 0 pak existuje aspoň jeden bod c v (a, b), ve kterém je f ′ (c) = 0
SLIDES 4–20 a 21, OBR. 3.12 T. STR. 197 Důkaz Ze spojitosti plyne existence, že f má globální extrémy na ha, bi. Ty mohou být pouze v bodech podezřelých z extrému nebo v koncových bodech. Z předpokladu spojitosti plyne, že funkce má derivaci v každém vnitřním bodě a podle věty 4.1.1 jsou body podezřelé z extrému pouze vnitřní body, kde f ′ = 0 a extrém může být ještě v krajních bodech a, b. Je-li tedy extrém ve vnitřním bodě c, pak f (c) = 0 a našli jsme tak bod c z tvrzení Rolleovy věty. Jsou-li oba extrémy (maximum i minimum) v krajních bodech, pak je f konstantní, f ′ = 0 a bod c můžeme zvolit v intervalu kdekoliv. Tím je věta dokázána. Žádný z předpokladů poslední Rolleovy věty nelze vynechat. Je to vidět z názorných příkladů na následujících obrázcích: SLIDE 4–22 OBR. T. 3.13 STR. 197 Příklad 4.2.1: Mnohočlen f (x) =
x3 − 3x 3
znázorněný na obrázku OBR. 43.14 T. STR.198 je spojitá funkce v každém bodě intervalu h−3, 3i a je diferencovatelná v každém bodě intervalu (−3, 3). Protože f (−3) = f (3) = 0, říká Rolleova věta, že f ′ má aspoň jeden kořen v otevřeném intervalu od a = √ −3 do b =√ 3. Opravdu, f ′ (x) = x2 −3 má v tomto intervalu dva kořeny, a to x = − 3 a x = 3. Větu o střední hodnotě dostaneme zobecněním věty Rolleovy tak, že tečna nebude vodorovná, ale šikmá a bude rovnoběžná s tětivou křivky.
59 VĚTA 4.2.2
O střední hodnotě Nechť y = f (x) je spojitá funkce v každém bodě uzavřeného intervalu ha, bi a diferencovatelná v každém bodě jeho vnitřku (a, b). Pak existuje aspoň jeden bod c v (a, b), ve kterém je f (b) − f (a) = f ′ (c) b−a Důkaz Nakresleme graf f jako křivku v rovině jdoucí body A[a, f (a)], B[b, f (b)]. SLIDE 4–24 OBR. 3.17 T. STR. 199 Přímka AB má rovnici g(x) = f (a) +
f (b) − f (a) (b − a) b−a
Označíme h(x) = f (x) − g(x) = f (x) − f (a) −
f (b) − f (a) (b − a) b−a
výškový rozdíl mezi grafy f a g v bodě x. SLIDE 4–25, 26, 27 až 28 OBR. 3.18 T. STR. 199 Funkce h splňujem předpoklady Rolleovy věty na ha, bi. Je spojitá na ha, bi a diferencovatelná na (a, b), neboť obě funkce f, g jsou takové. Také h(a) = h(b) = 0, neboť oba grafy procházejí body A, B. Proto je h′ = 0, pro některé c z (a, b). Tento bod splňuje tvrzení naší věty. Opravdu f (b) − f (a) b−a f (b) − f (a) h′ (c) = f ′ (c) − b−a f (b) − f (a) 0 = f ′ (c) − b−a f (b) − f (a) f ′ (c) = b−a
h′ (x) = f ′ (x) −
což jsme měli dokázat. Příklad 4.2.2: Funkce f (x) = x2 je spojitá pro 0 ≤ x ≤ 2 a diferencovatelná pro 0 < x < 2. Protože f (0) = 0 a f (2) = 4, věta o střední hodnotě říká, že v aspoň jednom bodě derivace f ′ (x) = 2x musí mít hodnotu (4 − 0) : (2 − 0) = 2. Odtud 2c = 2, a tedy c = 1. SLIDE 4–29 OBR. 3.19 T. STR. 199.
60 Na závěr uvedeme důsledky věty o střední hodnotě, které dají odpověď na otázku položenou na začátku této části: Mohou nám derivace něco říci o původních funkcích? Víme, že konstanta je diferencovatelná funkce a má derivaci rovnou nule. Následující tvrzení tvrdí opak. DŮSLEDEK 4.2.1
Funkce s nulovou derivací je konstantní Jestliže f ′ (x) = 0 v každém bodě intervalu I, pak f (x) = C pro každé x z I, kde C je konstanta. Důkaz Chceme dokázat, že f je konstantní na intervalu I. Vezmeme proto dva libovolné body x1 < x2 z I a ukážeme, že f (x1 ) = f (x2 ). Funkce f splňuje předpoklady z věty o střední hodnotě na hx1 , x2 i: Je diferencovatelná v každém bodě hx1 , x2 i a tedy spojitá v tomto intervalu, jak víme. Proto f (x2 ) − f (x1 ) = f ′ (c) x2 − x1 v některém bodě c mezi body x1 a x2 . Protože f ′ = 0 v I, dostáváme postupně f (x2 ) − f (x1 ) = 0 x2 − x1 f (x2 ) − f (x1 ) = 0 f (x2 ) = f (x1 ) Na počátku tohoto odstavce jsme si položili otázku, zda-li můžeme zpětně ze znalosti zrychlení tělesa padajícího volným pádem z klidové polohy určit jeho okamžitou rychlost a uraženou dráhu. Na to nám pomůže odpovědět následující důsledek. DŮSLEDEK 4.2.2
Funkce se stejnými derivacemi se liší o konstantu Jestliže f ′ (x) = g ′ (x) v každém bodě intervalu I, pak existuje konstanta C taková, že f (x) = g(x) + C pro všechna x z I. Důkaz V každém bodě x z I derivace rozdílové funkce h = f − g je h′ (x) = f ′ (x) − g ′ (x) = 0 Odtud h(x) = C na I (podle důsledku 4.2.1). Tedy f (x) − g(x) = C na I a odtud f (x) = g(x) + C. Z geometrického hlediska tento důsledek říká, že grafy funkcí o stejné derivaci se liší navzájem jen posunutím ve svislém směru o konstantu C. Například grafy
61 funkcí jejichž derivace je 2x jsou paraboly y = x2 +C. Na obrázku jsou znázorněné pro vybraná C. SLIDE 4–32 OBR. 3.21 T. STR.201 Hledejme nyní okamžitou rychlost a dráhu tělesa, které padá z klidové polohy volným pádem na zem a má tedy zrychlení 9, 8 m za sec2 . Víme, že funkce v(t) má derivaci 9, 8. Dále víme, že například funkce f (t) = 9, 8t má derivaci 9, 8. Podle důsledku 4.2.2 je v(t) = 9, 8t + C pro nějakou konstantu C. Protože počáteční poloha tělesa je klidová, je v(0) = 0. Tedy 9, 8 · 0 + C = 0 a tedy C = 0
Rovnice rychlosti tedy je v(t) = 9, 8t. Najděme ještě rovnici dráhy s(t). Víme, že s(t) je nějaká funkce s derivací 9, 8t. Dále víme, že například funkce f (t) = 4, 9t2 má derivaci 9, 8t. Podle důsledku 4.2.2 je s(t) = 4, 9t2 + C pro nějakou konstantu C. Protože s(0) = 0 máme 4, 9 · 02 + C
a tedy
C=0
Rovnice dráhy tedy je s(t) = 4, 9t2 . DŮSLEDEK 4.2.3
Test pomocí první derivace pro růst a klesání Nechť f je spojitá na ha, bi a diferencovatelná na (a, b). • Jestliže f ′ > 0 v každém bodě (a, b), pak f roste na ha, bi • Jestliže f ′ < 0 v každém bodě (a, b), pak f klesá na ha, bi Důkaz Nechť x1 a x2 jsou dva body v ha, bi takové, že x1 < x2 . Pak věta o střední hodnotě pro f na ha, bi říká, že f (x2 ) − f (x1 ) = f ′ (c)(x2 − x1 ) pro vhodné c ležící mezi x1 a x2 . Znaménko na pravé straně poslední rovnice je totéž jako znaménko f ′ (c), neboť rozdíl x2 − x1 je kladný. Proto je f (x2 ) > f (x1 ), jestliže je f ′ kladné na (a, b) a f (x2 ) < f (x1 ), jestliže je f ′ záporné na (a, b). Příklad 4.2.3: Funkce f (x) = x2 klesá na (−∞, 0i, neboť je tam f ′ (x) = 2x < 0 a roste na h0, +∞), neboť je tam derivace kladná. SLIDE 4–35 OBR. 3.22 T. STR. 202
62
4.3
Hledání lokálních extrémů pomocí první derivace
Naše dosavadní znalosti si nejprve utřídíme a prohlédneme si je názorně pomocí následujícího obrázku: SLIDE 4–39 OBR. 3.24. T. STR. 205 Je na něm znázorněn graf pomyslné spojité funkce f na intervalu ha, bi. V některých bodech pozřelých z extrému skutečně extrémy jsou a v některých nejsou. Je třeba prohlížet vždy pouze nejbližší okolí bodů. Všimněte si: Pohybuje-li se proměnný bod x po ose x zleva doprava, pak hodnoty f rostou tam kde je f ′ > 0 a klesají tam kde je f ′ < 0. V bodech kde má funkce f minimum, vidíme, že f ′ < 0 v levém a f ′ > 0 v pravém sousedním intervalu. (Jedná-li se o krajní bod, pak uvažuje pouze jednu stranu.) To znamená, že křivka zleva klesá do minima a vpravo od něho roste. Podobně je tomu v bodech kde má funkce maximum. Tam je f ′ > 0 v levém a f ′ < 0 v pravém sousedním intervalu. To znamená, že křivka vlevo od maxima roste a vpravo od něho klesá. Názornou prohlídku můžeme uzavřít větou: VĚTA 4.3.1
Test pomocí první derivace pro lokální extrémy Pro funkci f (x) spojitou na intervalu ha, bi platí: V bodě c podezřelém z extrému: 1. Jestliže f ′ mění znaménko z kladného na záporné v c (f ′ > 0 pro x < c a f ′ < 0 pro x > c), pak f má (ostré) lokální maximum v c. 2. Jestliže f ′ mění znaménko ze záporného na kladné v c (f ′ < 0 pro x < c a f ′ > 0 pro x > c) , pak f má (ostré) lokální minimum v c. 3. Jestliže f ′ nemění znaménko v c, pak v c není extrém. • V levém kraji a: Jestliže f ′ < 0 (f ′ > 0) pro x > a, pak f má (ostré) lokální maximum (minimum) v a. • V pravém kraji b: Jestliže f ′ < 0 (f ′ > 0) pro x < b, pak f má (ostré) lokální minimum (maximum) v b. OBR. T. STR.206
63 Příklad 4.3.1: Najděte body podezřelé z extrému funkce √ f (x) = 3 x(x − 4) Najděte intervaly kde funkce roste nebo klesá a určete extrémy. Řešení: Funkce je definovaná pro všechna reálná čísla a je spojitá. Před derivováním upravíme f (x) = x4/3 − 4x1/3 První derivace
4 4 4(x − 1) 4 f ′ (x) = x1/3 − x−2/3 = x−2/3 (x − 1) = 3 3 3 3x2/3 je rovna nule pro x = 1 a není definována pro x = 0. Definiční obor nemá krajní body, takže pouze v těchto dvou bodech může být extrém. Tyto body podezřelé z extrému dělí osu x na intervaly, ve kterých má f ′ stálé znaménko. Pomocí následujícího schematu rozhodneme o jaká znaménka v jednotlivých intervalech jde. SLIDE 4–42 OBR.T.STR.207 Podle důsledku 4.2.3 věty o střední hodnotě vidíme, že f klesá na intervalu (−∞, 0), klesá na (0, 1) a roste na (1, +∞). Věta 4.3.1 říká, že f nemá extrém v bodě x = 0 (f ′ nemění znaménko) a f má minimum v bodě x = 1 (f ′ mění znaménko ze záporného na kladné). Hodnota (ostrého) lokálního minima je f (1) = 11/3 (1 − 4) = −3. Toto lokální minimum je zároveň globálním minimem. Jiné extrémy funkce nemá. SLIDE 4–41 OBR. 3.25 T. STR.207 Příklad 4.3.2: Najděte intervaly na kterých funkce g(x) = −x3 + 12x + 5,
−3≤x≤3
roste nebo klesá. Najděte extrémy. Řešení: Funkce je spojitá na svém definičním oboru h−3, 3i. První derivace g ′ (x) = −3x2 + 12 = −3(x2 − 4) = −3(x + 2)(x − 2) je definována ve všech bodech intervalu h−3, 3i a je rovna nule v bodech x = −2 a x = 2. Tyto body podezřelé z extrému dělí definiční obor na intervaly, ve kterých f ′ má stálé znaménko. OBR. T. STR. 208 SLIDE 4–37, ale je tam −f místo f . Funkce g má (ostrá) lokální maximuma v bodech x = −3 a x − 2 a (ostrá) lokální minima v bodech x = −2 a x = 3. Jim odpovídající hodnoty funkce g(x) = −x3 + 12x + 5 jsou lokální minima: g(−3) = −4, g(2) = 21 lokální maxima: g(−2) = −11, g(3) = 14
64 V krajních bodech definičního intervalu je g(−3) = −4 a g(3) = 14. Jsou tedy g(−2) = −11 a g(2) = 21 globální extrémy. OBR. 3.26T.STR. 205 SLIDE 4–38, ale je tam −f místo f .
4.4
Kreslení grafů pomocí y’ a y”
V předešlém odstavci jsme pomocí první derivace funkce získali informace o růstu či poklesu dané funkce. V této části k první derivaci přidáme ještě derivaci druhou a využijeme poznatků z minulého odstavce tak, že je budeme aplikovat na první derivaci, jakožto funkci. Snadno tak nahlédneme, že graf dané funkce při pohledu zdola je ohnutý tím způsobem, že při růstu první derivace (y ′′ > 0) je vypuklý, tedy leží nad tečnou a při poklesu první derivace (y ′′ < 0) je vydutý, tedy leží pod tečnou. Pozorujeme-li například známou kubickou parabolu y = x3 , viz SLIDE 4–44 (OBR. 3.27 T. STR. 210), pak vidíme, že funkce roste všude s výjimkou jediného bodu - počátku, neboť y ′ (x) = 3x2 > 0 pro x 6= 0 a y ′ = 0 pro x = 0. Počátek je tedy jejím stacionárním bodem nebo-li bodem podezřelým z extrému, ovšem podle věty 4.3.1 v něm extrém není. Tento bod je však zajímavý tím, že druhá derivace y ′′ (x) = 6x je v něm y ′′ (0) = 6 · 0 = 0, tedy nulová, a první derivace před ním klesá, neboť y ′′ < 0, (růst funkce se zpomaluje) a za ním roste, neboť y ′′ < 0, (růst funkce se zrychluje). Všiměte si ještě, že před počátkem je graf funkce pod tečnami, za ním je nad tečnami a v počátku samotném leží na obou stranách tečny. Pro takovou situaci jsme již zavedli pojmy v definicích 2.4.6 a 2.4.7. Obvykle se však tyto pojmy definují tak, jak jsme naznačili nyní na kubické parabole. DEFINICE 4.4.1
Funkce je (ryze) konvexní, resp. (ryze) konkávní v bodě, jestliže má v tomto bodě rostoucí, resp. klesající první derivaci. Má-li funkce v bodě ještě druhou derivaci, pak z důsledku 4.2.3 věty o střední hodnotě plyne, že její první derivace roste, resp. klesá, když je její druhá derivace kladná, resp. záporná. Platí tedy: VĚTA 4.4.1
Má-li y = f (x) druhou derivaci v bodě c, pak • f ′′ (c) > 0
=⇒
f je konvexní v bodě c.
• f ′′ (c) < 0
=⇒
f je konkávní v bodě c.
65 DEFINICE 4.4.2
Bod kde má graf funkce tečnu a konvexnost se mění v konkávnost nebo naopak nazýváme inflexní bod. V inflexním bodě křivky tedy druhá derivace mění znaménko a je z jedné strany kladná a z druhé záporná. Proto je v inflexním bodě druhá derivace rovna nule nebo tam není definovaná. Má-li funkce f v inflexním bodě c druhou derivaci, pak nutně f ′′ (c) = 0. Tato podmínka sama o sobě však nemusí stačit pro inflexi v bodě c. Je-li však ještě f ′′′ (c) 6= 0, pak to stačí a je to zároveň nutné pro inflexi v bodě c. Příklad 4.4.1: Inflexní body mají užití také v ekonomii. Předpokládejme, že funkce y = c(x) určuje celkovou cenu výrobních nákladů na x kusů nějakého výrobku. Jejím inflexním bodem P je takový bod, ve kterém mezní výrobní náklady c′ (x) přestanou klesat a začnou růst. Inflexní bod zde tedy odděluje interval poklesu mezních výrobních nákladů od intervalu jejich růstu. Je to bod, kde jsou mezní výrobní náklady nejmenší. OBR. 3.30 T. STR. 211 Příklad 4.4.2: Inflexní bod kde y” neexistuje √ Křivka y = 3 x má inflexní bod v počátku, avšak y ′′ (0) neexistuje. d2 y y = 2 = dx ′′
SLIDE 4–51
1 −2/3 x 3
2 = − x−5/3 9
(OBR. 3.31 T. STR.212)
Příklad 4.4.3: y”=0 a není inflexe Křivka y = x4 nemá inflexní bod v počátku i když je tam hodnota y ′′ (x) = 12x2 rovna nule, neboť znaménko y ′′ se tam nemění. OBR. 3.32 T. STR. 212 VĚTA 4.4.2
Test pro lokální etrémy pomocí y” • Jestliže f ′ (x) = 0 a f ′′ (x) < 0, pak f má lokální maximum v bodě x = c. • Jestliže f ′ (x) = 0 a f ′′ (x) > 0, pak f má lokální minimum v bodě x = c.
66 Příklad 4.4.4: Vyšetřete průběh funkce y = x4 − 4x3 + 10 Řešení
1. Najdeme y ′ a y ′′ :
y = x4 − 4x3 + 10 y ′ = 4x3 − 12x2 = 4x2 (x − 3) y ′′ = 12x2 − 24x = 12x(x − 2) Kořeny funkce (zde neurčíme) dávají půsečíky s osou x. Kořeny první derivace x = 0, x = 3 dávají body podezřelé z extrému. Kořeny druhé derivace dávají body kde může být inflexe. V bodě x = 0 je tedy inflexe s vodorovnou tečnou a v bodě x = 2 je inflexe se šikmou tečnou. V bodě x = 3 je lokální minimum, neboť y ′′ (3) > 0. 2. Růst a klesání: V intervalu (−∞, 3) funkce klesá, neboť je tam y ′ < 0 a v (3, +∞) roste, neboť je tam y ′ > 0. 3. Zakřivení: V intervalech (−∞, 0) a (2, +∞) je funkce konvexní, neboť je tam y ′′ > 0 a v (0, 2) je konkávní, neboť je tam y ′′ < 0. 4. Souhrný přehled : SLIDE 4–56
(T.STR.214)
5. Graf : Určíme druhé souřadnice vyjmenovaných bodů [0, 10], [2, −6], [3, −17], eventuálně i směrnici inflexní tečny y ′′ (2) = 4 · 22 (2 − 3) = −16 a načrtneme graf. OBR. T. STR.214 V následující poznámce shrneme stručně a přehledně dosavadní poznatky, které nám poskytují derivace o svých původních funkcích y = f (x).
67 POZNÁMKA 4.4.1
(a) diferencovatelnost =⇒ spojitost, hladkost; může klesat i růst (b) y ′ > 0 =⇒ roste zleva doprava; může se vlnit (c) y ′ < 0 =⇒ klesá zleva doprava; může se vlnit (d) y ′′ > 0 =⇒ konvexní všude; nevlní se; může růst i klesat (e) y ′′ < 0 =⇒ konkávní všude; nevlní se; může růst i klesat (f ) y ′′ mění znaménko =⇒ inflexní bod (když je f dvakrát diferencovatelná) (g) y ′ mění znaménko =⇒ lokální maximum nebo lokální minimum (h) y ′ = 0 a y ′′ < 0 =⇒ lokální maximum (i) y ′ = 0 a y ′′ > 0 =⇒ lokální minimum SLIDE 4–59
4.5
(OBR. ? T.STR. 216)
Optimalizace zejména v ekonomii
Mluvíme-li o optimalizaci něčeho, míníme tím maximalizaci nebo minimalizaci nějakého procesu; podle toho co je pro nás výhodnější. Například ve výrobě chceme minimalizovat náklady a maximalizovat zisky. Nebo ještě konkrétněji, při výrobě plechové krabičky chceme, aby odpad plechu byl co možná nemenší. Příklad 4.5.1: Bydžovský SLIDE 4–61 Příklad 4.5.2: Jaké rozměry musí mít plechovka ve tvaru rotačního válce na litr oleje, aby spotřeba materiálu byla minimální? (SLIDES 4–63, 64) Řešení Označíme v výšku válce a 2r průměr jeho podstavy v centimetrech. Pak jeho objem je πr2 v = 1000 Povrch válce je S = 2πr2 + 2πrv Z první rovnice vypočteme v=
1000 πr2
a dosadíme do druhé S = 2πr2 + 2πrv = 2πr2 + 2πr
1000 2000 = 2πr2 + 2 πr r
68 Derivujeme 200 dS = 4πr − 2 dr r položíme rovno nule 4πr − Odtud r=
200 =0 r2 r 3
500 π
Vypočteme druhou derivaci 4000 d2 s = 4π + 3 2 dr r Druhá p derivace je kladná v definičním oboru funkce S. Proto je hodnota S v bodě r = 3 500/π globální minimum, neboť graf S je konvexní. Tedy p 3 500/π 1000 = 2r v = πr2 r =
po úpravě
Pro výrobu plechovky rozměry zaokrouhlíme r ≈ 5, 42 cm,
v ≈ 10, 84 cm
Příklad 4.5.3: Najděte dvě kladná čísla mající součet 20 a maximální součin. Řešení Je-li jedno x, pak druhé je 20 − x. Jejich součin je f (x) = x(20 − x) = 20x − x2 Definiční obor f je 0 < x < 20 a hledejme maximum. Vypočteme f ′ (x) = 20 − 2x f ′ je definováno v každém bodě definičního oboru f , má jediný kořen x = 10. Bod podezřelý z extrému: f (10) = 20 · 10 − 102 = 100 Koncové body: f (0) = 0, f (20) = 0 Maximum je f (10) = 100 a hledaná čísla jsou x = 10 a (20 − 10) = 10.
69 Příklad 4.5.4: Vepište obdélník do půlkružnice o poloměru 2 tak, aby měl největší obsah. Určete jeho rozměry. Řešení Střed kružnice umístíme do počátku soustavy souřadnic a obdélník vepíšeme do horní půlkružnice. viz. SLIDE 4–65 (OBR. 3.53 T. STR.236.) √ 2 Označíme-li 2x jeden √ rozměr obdélníka, pak bude 4 − x jeho druhý rozměr a obsah má P = 2x · 4 − x2 . Definičním oborem P je 0 ≤ x ≤ 2. Derivace √ dP −2x2 + 2 4 − x2 =√ dx 4 − x2
není definovaná pro x = 2 a rovná se nule když
√ −2x2 √ + 2 4 − x2 = 0 4 − x2 √ −2x2 + 2 4 − x2 = 0 8 − 4x = 0 x2 = 2 √ x = ± 2 √ √ √ Ze dvou nulových bodů x = 2 a x = − 2 pouze jeden, a to x = 2 leží v definičním oboru a ten je bodem podezřelým z extrému. Určíme funkční hodnoty √ √ √ Bod podezřelý z extrému : P ( 2) = 2 2 4 − 2 = 4 Koncové body: P (0) = 0 P (2) = 0 √ √ Obdélník má největší obsah roven 4 a při rozměrech 4 − x2 = 2 a 2x = 2 2. VIZ VISUAL CALCULUS
4.6
Tržba a náklady v ekonomii
V odstavci 3.3 jsme se zmínili o vyžití derivací v ekonomii. Zopakujeme si, že při vyhodnocování rentability výroby se užívají funkce: • r(x) = tržba z prodeje x ks výrobků • c(x) = výrobní náklady na výrobu x ks výrobků • p(x) = r(x) − c(x) = zisk z prodeje x ks výrobků • r′ (x)= mezní tržba • c′ (x)= mezní náklady První tvrzení se bude týkat zisku p, pokud nějaký je, a obou derivací r′ , c′ .
70 VĚTA 4.6.1
Maximum zisku, pokud nějaký je, nastane při takové hodnotě výroby, pro kterou je mezní tržba rovna mezním nákladům. Důkaz Předpokládejme, že funkce r(x) a c(x) jsou diferencovatelné pro x > 0. Má-li tedy funkce p(x) = r(x) − c(x) maximum, pak je má při výrobě x, kde p′ (x) = 0. Protože p′ (x) = r′ (x) − c′ (x), je tedy r′ (x) − c′ (x) = 0
neboli
r′ (x) = c′ (x)
což bylo dokázat. T. Snímek 68. SLIDE 4–68 (OBR. 3.57 T. STR. 239) Rovnost p′ (x) = 0 je nutnou podmínkou pro maximální zisk, nikoliv však podmínkou postačující. Dává i například minimální hodnoty pro p. Při každém konkrétním projektu je třeba proto prohlédnout všechny body kde r′ (x) = c′ (x) a vybrat z nich ten bod, kde je zisk největší. Příklad 4.6.1: Nechť jsou v továrně na výrobu přístrojů dány funkce r(x) = 9x c(x) = x3 − 6x2 + 15x kde x značí tisíce přístrojů. Existuje taková hodnota výroby, aby dávala maximální zisk? Jestli ano, určete ji. Řešení r′ (x) = 9,
c′ (x) = 3x2 − 12x + 15
3x2 − 12x + 15 = 9 3x2 − 12x + 6 = 0 x2 − 4x + 2 = 0 √ 4 ± 16 − 4 · 2 x = √2 4±2 2 = 2√ = 2± 2 Prohlédneme graf nebo aspoň porovnáme funkční a √ hodnoty pro obě možnosti √ zjistíme, že maximální zisk bude pro x = 2 + 2, kdežto pro x = 2 − 2 bude maximální ztráta. SLIDE 4–69 (OBR. 3.58 T. STR. 240) VĚTA 4.6.2
Průměrné náklady na x kusů výrobků jsou nejmenší, rovnají-li se mezním výrobním nákladům.
71 Důkaz Hledáme minimum funkce c(x) x Platí c(x) ′ ) = 0 x xc′ (x) − c(x) = 0 x2 xc′ (x) − c(x) = 0 c(x) . c′ (x) = x Zase musíme být opatrní, platí zde tatáž poznámka jako u předchozí věty. (
Příklad 4.6.2: V továrně na výrobu přístrojů je c(x) = x3 − 6x2 + 15x
(x v tisících ks). Existuje výroba s minimálními průměrnými výrobními náklady? Jestli ano, určete její hodnotu. Řešení: Mezní výrobní náklady Průměrné výrobní náklady
c′ (x) = 3x2 − 12x + 15 c(x) = x2 − 6x + 15 x
Tedy c(x) x 2 2 3x − 12x + 15 = x − 6x + 15 2x2 − 6x = 0 2x(x − 3) = 0 c′ (x) =
x = 0 nebo x = 3 Protože x > 0, jediné minimum je v x = 3 tisíce kusů. Vypočteme-li derivace ′ c(x) = 2x − 6 x ′′ c(x) = 2 > 0. x Druhá derivace je kladná, proto x = 3 dává absolutní minimum.
72
4.7
Tečna a diferenciál
Některé složitější funkce někdy nahrazujeme jednoduššími, aby se s nimi lépe pracovalo. Je ovšem třeba vybrat vhodné aproximace tak, aby se oba výsledky lišily velmi málo nebo o předem stanovenou toleranci. Nejjednodušším nahrazením je aproximace křivky pomocí její tečny v blízském okolí bodu dotyku. Takovému nahrazení říkáme linerizace křivky. Zavedeme nové proměnné dx a dy a získáme tak nový pohled na Leibnitzovo označení derivace dy/dx. Diferenciál dy užijeme k nahrazení skutečného přírustku ∆y fukce y = f (x). Jako ilustrační příklad, vezměme nejprve parabolu s rovnicí y = x2 a zobrazme ji pomcí MAPLU spolu s její tečnou v bodě [1, 1], a to čtyřikrát, nejprve ve větším a pak v menších, těsnějších okolích bodu dotyku. SLIDE 3–66 (OBR.T.STR.248) V posledním případě obě křivky na obrázku téměř splývají. Podle důsledku 3.1.1 má křivka y = f (x) diferencovatelná ve svém bodě [x0 , f (x0 )] tečnu o rovnici y = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) Pomocí této tečny budeme danou křivku v bodě [x0 , f (x0 )] aproximovat. DEFINICE 4.7.1
Nechť je funkce f diferencovatelná v bodě x = x0 , pak její tečnu v bodě x0 L(x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) nazýváme linearizací funkce f v bodě x0 . Aproximaci f (x) ≈ f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) funkce f pomocí L nazveme standardní lineární aproximací funkce f v x0 . Bod x = x0 se nazývá střed aproximace. √ Příklad 4.7.1: Najděte linearizaci f (x) = 1 + x v bodě x = 0. Řešení Je 1 f ′ (x) = (1 + x)−1/2 2 ′ máme f (0) = 1, f (0) = 1/2. Takže lineární aproximace o středu 0 je √
1 x 1 + x ≈ 1 + (x − 0) = 1 + 2 2
a dává například p
1, 2 ≈ 1 +
0, 2 = 1, 10 2
73 p 0, 05 = 1, 025 1, 05 ≈ 1 + 2 p 0, 005 1, 005 ≈ 1 + = 1, 00250 2 Velmi dobrá aproximace v našem příkladě je závislá na vhodné volbě středu linearizace. SLIDE 3–69 (VIZ. OBR. 3.62 T. STR 249) Zvolíme-li jiný střed, například v bodě x = 3, pak f (3) = 2 a f ′ (3) = 1/4 a máme jinou linerizaci dané funkce √ 1 5 x 1 + x ≈ 2 + (x − 3) = + 4 4 4 Tato linearizace například v bodě x = 3, 2 dává hodnotu √
5 3, 2 + = 1, 250 + 0, 800 = 2, 050 4 4 √ která se liší od skutečné hodnoty v tomto bodě: 4, 2 ≈ 2, 049339 o více než jednu tisícinu. Předcházející linearizace o středu 0 dává v tomto bodě dokonce 1+x=
p
1 + 3, 2 ≈
√
1+x=
p
1 + 3, 2 ≈
3, 2 = 2, 6 2
Výsledek se liší o více než 25%. DEFINICE 4.7.2
Nechť funkce y = f (x) má derivaci a dechť diferenciál dx je nezávisle proměnná. Pak řekneme, že funkce dy = f ′ (x)dx je diferenciál dy. Jestliže dx 6= 0, pak můžeme obě strany rovnosti dy = f ′ (x)dx vydělit dx a dostaneme známou rovnost dy = f ′ (x) dx Tato rovnost říká, že když je dx 6= 0, pak lze derivaci dx/dy napsat jako podíl diferenciálů. Někdy píšeme df = f ′ (x)dx místo dy = f ′ (x)dx a říkáme, že df je diferenciál funkce f . Například funkce 3x2 − 6 má diferenciál df = d(3x2 − 6) = 6xdx
74 Každý vzorec pro derivování, jako například (u + v) = u′ + v ′ nebolli
du dv d(u + v) = + dx dx dx má odpovídající tvar napsaný pomocí diferenciálů d(u + v) = du + dv
který dostaneme z předcházejícího vzorce vynásobením diferenciálem dx. Předpokládejme nyní, že máme hodnotu f (x0 ) i derivaci f ′ (x0 ) funkce f (x) v nějakém bodě x0 a chceme předem určit jak se její hodnota změní, přejdeme-li do bodu x0 + dx. Je-li dx malé, pak f a její linearizace v x0 se od sebe liší zanedbatelně. Protože se hodnota na tečně počítá lépe, můžeme skutečný přírustek ∆f funkce f odhadnout pomocí přírustku na tečně, a ten je df = f ′ (x)dx. SLIDE 3–74 (OBR. 3.65 T. STR. 252) POZNÁMKA 4.7.1
Říkáme stručně: „Diferenciál funkce je přírustek měřený na tečně.ÿ
4.8
Diferenciál v ekonomii
Příklad 4.8.1: Poloměr r kruhu vzrostl z r0 = 10 m na 10, 1 m (SLIDE 3– 75, OBR. T. 3.66 STR. 253.). Odhadněte, pomocí dS, o kolik vzrostl obsah kruhu. Výsledek porovnejte se skutečnou změnou. Řešení Je S = πr2 odhad přírustku je dS = S ′ (r0 )dr = 2π · r0 dr = 2π · 10 · 0, 1 = 2π m2
Skutečný přírustek je
∆S = π · 10, 12 − π · 102 = (102, 01 − 100)π = |{z} 2π + 0, 01π | {z } dS chyba
Máme trojí možnost jak změnu vyjádřit: Skutečnost
Odhad
Absolutní změna
∆f = f (x0 + dx) − f (x0 ) df = f ′ (x0 )dx
Relativní změna
∆f f (x0 )
Percentuální změna
∆f f (x0 )
df f (x0 )
× 100
df f (x0 )
× 100
75 Příklad 4.8.2: Odhad změny obsahu kruhu v procentech u předcházejícího příkladu je 2·π dS = 2% × 100 = Sr0 100 · π Doplnit příklad s odmocninou z 145. VISUAL CALCULUS.
4.9
Taylorovy polynomy
SLIDE 9–83 Tečna je speciálním případem tzv. Taylorových polynomů, kterými lze nahradit danou funkci v okolí jistého bodu. DEFINICE 4.9.1
Nechť n je nezáporné celé číslo a f je funkce, která má v jistém okolí bodu x = x0 všechny derivace až do řádu n. Pak klademe Pn (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) +
f ′′ (x0 ) f (n) (x0 ) (x − x0 )2 + · · · (x − x0 )n 2! n!
a řekneme, že je to Taylorův polynom řádu n funkce f v bodě x = x0 . Taylorův polynom v bodě x = 0, tedy polynom Pn (x) = f (0) + f ′ (0)x +
f ′′ (x) 2 f (n) (0) n x + ··· x 2! n!
nazýváme Maclaurinův polynom funkce f (SLIDES 9–80 až 82). POZNÁMKA 4.9.1
Tečna je Taylorovým polynomem řádu 1 P1 (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) Příklad 4.9.1: Napište Taylorovy polynomy až do třetího řádu pro funkci y = ln x v bodě x = 1. Řešení Je f (x) = ln x,
f ′ (x) =
1 , x
f ′′ (x) = −
1 , x2
f ′′′ (x) =
máme f (1) = 0,
f ′′ (1) = 1,
f ′′ (1) = −1,
f ′′′ (1) = 1
1 x3
76 Taylorovy polynomy tedy jsou P0 (x) = 0 P1 (x) = x − 1
1 P2 (x) = (x − 1) − (x − 1)2 2 1 1 P3 (x) = (x − 1) − (x − 1)2 + (x − 1)3 2 3
OBR. MAPLE Příklad 4.9.2: Napište Maclaurinův polynom pro funkci f (x) = ex . Řešení Protože je f (x) = f ′ (x) = · · · = f (n) (x)
máme
f (0) = f ′ (0) = · · · = f (n) (0) = e0 = 1
Maclaurinův polynom
Pn (x) = f (0) + f ′ (0)(x) +
f ′′ (x) 2 f (n) (0) n (x) + · · · (x) 2! n!
pro naši funkci f (x) = ex tedy je +∞ k X x k=0
k!
=1+x+
x2 xn + ··· + ··· 2 n!
SLIDE 9–82 Příklad 4.9.3: Napište Maclaurinův polynom pro funkci f (x) = cos x. Řešení Derivace kosinu jsou f (x) = f ′′ (x) = .. .
cos x − cos x
f ′ (x) = f ′′′ (x) = .. .
f (2n) (x) = (−1)n cos x
− sin x sin x
f (2n+1) (x) = (−1)(n+1) sin x
V bodě x = 0 hodnoty kosinu jsou 1 a hodnoty sinu jsou 0, tedy f (2n) (0) = (−1)n ,
f (2n+1) (0) = 0
proto jsou Maclaurinovy polynomy řádů 2n a 2n + 1 stejné, tedy P2n (x) = P2n+1 (x) = 1 −
x2x x2 x4 + − · · · + (−1)n 2! 4! (2n)!
77 Z obrázku je názorně vidět, s jakou přesností Maclaurinovy polynomy nahrazují funkci f (x) = cos x v blízkém okolí počátku. Na obrázku je vidět jen pravé okolí, situace v levém je symetrická podle osy y. SLIDE 9–84 (OBR. T. 8.18 STR. 676) Na závěr uvedeme bez důkazu Taylorovu větu, která je zobecněním věty o střední hodnotě. VĚTA 4.9.1
Taylorova věta Jestliže funkce f i její derivace až do řádu n f ′ , f ′′ , . . . f (n) jsou spojité v intervalu ha, bi nebo hb, ai, a f (n) má derivaci v (a, b) nebo (b, a), pak existuje číslo c mezi čísly a a b, takové, že platí f (b) = f (a)+f ′ (a)(b−a)+
f (n) (a) f (n+1) (c) f ′′ (a) (b−a)2 +· · · (b−a)n + (b−a)n+1 2! n! (n + 1)!
DŮSLEDEK 4.9.1
Taylorův vzorec Má-li funkce f derivace všech řádů v otevřeném intervalu I obsahujícím a, pak pro každé kladné celé n a pro každé x z I platí f (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) +
f (n) (a) f ′′ (a) (x − a)2 + · · · (x − a)n + Rn (x) 2! n!
kde Rn (x) =
f (n+1) (c) (x − a)n (n + 1)!
pro vhodné c ležící mezi body a a x. Funkce Rn (x) se nazývá Lagrangeovým zbytkem neboli chybou po aproximaci funkce f Taylorovým polynomem Pn (x) v I.
78
Kapitola 5 Integrace Obsah V této kapitole budeme zkoumat dva postupy a jejich vzájemný vztah. V jednom budeme hladat funkce ze znalosti jejich derivací. Ve druhém uvedeme vzorce pomocí nichž lze počítat objemy těles, obsahy ploch a další geometrické a fyzikální veličiny. Oba postupy nazýváme integrací. Integrování a derivování jsou dvě operace, které spolu velmi úzce souvisí. Jednak jsou to k sobě navzájem inverzní operace a jednak se v obou případech pracuje s nekonečně malými veličinami, proto je společně nazýváme infinitezimálními operacemi nebo mluvíme o infiniteziálním počtu. Tento počet byl nezávisle na sobě objeven Leibnitzem a Newtonem asi před 300 lety a patří dosud k jedné z největších technických vymožeností naší moderní doby.
5.1
Neurčité integrály
Základní úlohou diferenciálního počtu je vypočítat k dané funkci f její derivaci f ′ . Obrácená úloha je základní pro počet integrální. K dané funkci f máme určit funkce F tak, aby platilo F ′ = f . 79
80 DEFINICE 5.1.1
Funkci F (x) nazýváme primitivní k funkci f (x), jestliže F ′ (x) = f (x) pro všechna x z definičního oboru funkce f . Množina všech primitivních funkcí k funkci f se nazývá neurčitý integrál funkce f a značí se Z f (x)dx Názvy: Z f x dx f (x)dx
integrační znaménko integrand integrační proměnná diferenciál integrační proměnné integrovaný diferenciální výraz
Podle důsledku 4.2.2 věty o střední hodnotě stačí když nejprve najdeme jednu primitivní funkci F k funkci f , další primitivní funkce k f se liší od F o aditivní konstantu. Můžeme tedy psát Z f (x)dx = F (x) + C kde konstanta C se nazývá integrační konstanta a rovnici čteme takto: „Neurčitý integrál k funkci f proměnné x je F (x) + Cÿ. Najdeme-li F (x) + C, pak řekneme, že jsme vypočetli integrál k f nebo, že jsme funkci f integrovali. R Příklad 5.1.1: Vypočtěte 2xdx. SLIDE 4–32 Řešení Z 2xdx = x2 |{z} primitivní k
2x
libovolná konstanta z}|{ C +
2 Výraz x√ + C dává všechny primitivní funkce k 2x, například x2 + 1, x2 − 4, x2 + π, x2 + 2, . . . . Správnost výpočtu integrálu můžeme ověřit pomocí derivování výsledku, (x2 + C)′ = 2x. Rovnice tvaru dy po úpravě dy = f (x)dx dx
81 obsahuje derivace nebo diferenciály a je nejjednodušším příkladem tzv. diferenciálních rovnic. Řešit takovou rovnici znamená řešit následující úlohu, zvanou počáteční úloha, složenou ze dvou kroků: • Nejprve najděte všechny funkce y proměnné x tak, aby funkce fR (x) byla jejich derivací. Víme, že hledané funkce tvoří neurčitý integrál y = f (x)dx, který v této souvislosti nazýváme obecným řešením diferenciální rovnice. • Pak z těch řešení vyberte takovou funkci, nazývá se partikulární neboli částečné řešení tak, aby byla splňovalo tzv. počáteční podmínku y(x0 ) = y0 (y má hodnotu y0 v bodě x = x0 ). Příklad 5.1.2: Najděte křivku, která má derivaci dy/dx = 3x2 a prochází bodem [1, −1]. SLIDE 4–83 Řešení Jinak řečeno, máme řešit počáteční úlohu, která se skládá z diferenciální rovnice dy = 3x2 dx a počáteční podmínky y(1) = −1 Nejprve najděme obecné řešení diferenciální rovnice dy = 3x2 dx Z Z dy dx = 3x2 dx dx y = x3 + C Pak najdeme hodnotu C tak, aby částečné řešení splňovalo počáteční podmínku y(1) = −1 y = x3 + C −1 = 13 + C C = −2 Hledaná křivka má rovnici y = x3 − 2. Každá křivka, která je grafem řešení direnciální rovnice, se nazývá křivka řešení neboli integrální křivka. Náš výsledek je znázorněn na obrázku spolu s některými dalšími integrálními křivkami rovnice dy/dx = 3x2 . Všimněte si, že se neprotínají a jsou tedy „rovnoběžnéÿ. Integrální křivky, které by znázorňovaly obecné řešení, by pokryly celou souřadnou rovinu. VIZ. OBR.4.1 T. STR. 283
82 POZNÁMKA 5.1.1
Na závěr poznamenejme, že neurčitý integrál je spojitou funkcí integrační proměnné a že integrování je operace lineární, neboť zachovává lineární kombinaci, podobně jako derivování.
5.2
Určité integrály
DEFINICE 5.2.1
Newtonův určitý integrál Je-li f (x) spojitá funkce v intervalu ha, bi a má-li na tomto intervalu spojitou primitivní funkci F (x), pak klademe Z
b
a
f (x)dx = F (b) − F (a)
a řekneme, že toto reálné číslo je Newtonův určitý integrál. Nové názvy: a, b a b ha, bi
meze integrálu dolní mez horní mez integrační interval
Newtonova definice integrálu je nejstarší, používá se pouze pro nejjednodušší druhy integrálů. Později byla nahrazena pokročilejšími definicemi, například Riemannovou nebo Lebesgueovou. V Newtonově definici se požaduje existence spojité primitivní funkce na daném uzavřeném integračním intervalu. Vzorec bývá často nazýván jako Newton-Leibnitzova formule nebo také jako základní věta integrálního počtu. Pro rozdíl F (b) − F (a) zavádíme symbol [F (x)]ba , který je velmi užitečný při výpočtu určitého integrálu. Definiční rovnici si tak můžeme rozšířit o jeden člen Z
b
a
f (x)dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a)
Příklad 5.2.1: Z
0
π 3
π
sin xdx = [− cos x]03 = − cos
π π 1 1 − (− cos 0) = cos 0 − cos = 1 − = 3 3 2 2
83 POZNÁMKA 5.2.1
Geometrický význam určitého integrálu V integrálním počtu poznáme celou řadu aplikací tohoto pojmu, a to geometrických i fyzikálních. Dá se ukázat, že určitý integrál Z b f (x)dx = F (b) − F (a) a
je roven obsahu P plochy omezené čarami y = 0, y = f (x), x = a, x = b při f (x) ≥ 0 pro x v ha, bi a při f (x) ≤ 0 pro x v ha, bi dává číslo opačné k obsahu Rb P té plochy, je tedy a f (x)dx = −P . Případně můžeme počítat i obsah plochy, která leží mezi dvěma čarami. Příklad 5.2.2: Vypočtěte obsah plochy ohraničené čarami y = x2 , y = x3 . Řešení Nejprve najdeme integrační meze. Rovnice x2 = x3 , tedy x2 (x − 1) = 0 má za kořeny čísla x = 0 a x = 1, ta jsou integračními mezemi. 3 1 4 1 Z 1 Z 1 1 x 1 x 1 2 3 P = x dx − x dx = −0 − −0 = − = 3 0 4 0 3 4 12 0 0 1 Uvažovaná plocha tvoří 12 čtverce o straně 1. Z definice Newtonova integrálu snadno plyne, že platí následující věta.
VĚTA 5.2.1
Základní vlastnosti určitého integrálu (1)
Ra a
f (x)dx = 0
Ra f (x)dx = − b f (x)dx Rc Rc Rb (3) a f (x)dx + b f (x)dx = a f (x)dx (2)
Rb a
Příklad 5.2.3: Určete obsah plochy omezené osou x a křivkou y = x3 − x2 − 2x, − 1 ≤ x ≤ 2 SLIDE 5–47 Řešení Nejprve nejdeme kořeny polynomu y = x3 − x2 − 2x = x(x2 − x − 2) = x(x + 1)(x − 2) Jsou jimi čísla 0, − 1, 2. Kořeny rozdělí interval h−1, 2i na dva intervaly h−1, 0i, kde je y ≥ 0 a h0, 2i, kde je y ≤ 0.
84 Integrace v h−1, 0i: Z
0
0
5 1 1 + −1 = =0− 4 3 12
2
8 8 = 4− −4 −0=− 3 3
x4 x3 (x − x − 2x)dx = − − x2 4 3 −1 3
2
−1
Integrace v h0, 2i: Z
2
x4 x3 − − x2 (x − x − 2x)dx = 4 3 3
0
2
Celá plocha:
OBR. 4.24 T. STR.337
5.3
0
8 37 5 + − = 12 3 12
Základní integrační metody
Integrování je operace méně snadná než je derivování. Obecné vzorce z vět 3.2.2 až 3.2.4 nám umožňují vypočítat derivaci každé funkce. Naproti tomu při výpočtu integrálu jsme někdy nuceni použít pouze přibližných metod. Některé integrační metody nepovedou přímo k výpočtu hledaného integrálu, nýbrž převedou jej pouze na jiný integrál. Setkáme se s případy, že nový integrál nebude snadnější. Častěji však dospějeme k integrálu, který již dovedeme stanovit pomocí základních integračních vzorců. Někdy k takovému integrálu dospějeme až po použití vhodné kombinace několika integračních metod. Při této práci se uplatní důvtip a počtářská zkušenost získaná trpělivým a vytrvalým nácvikem. K takovéto spolupráci jste nyní upřímně zváni. Probereme a nacvičíme si spolu následující integrační metody: • Úprava integrandu • Integrace per partes • Substituční metoda • Parciální zlomky U každé metody uvedeme několik spočítaných příkladů. Jejich řešení si promyslete a pak nacvičte, abyste je je mohli absolvovat samostatně bez nahlížení do textu. Po této přípravě byste měli být dostatečně připraveveni k tomu, abyste bez větších obtíží vyřešili všechny integrály uvedené ve cvičeních učebnice VŠE Praha.
85
5.3.1
Úprava integrandu
Jak již název napovídá, tato metoda spočívá v tom, že se snažíme upravit integrand na takový tvar, abychom mohli integraci provést pomocí lineárnosti integrálu a základních vzorců pro integrování uvedených již ve větě 3.2.2, spolu se vzorci pro derivování. Nyní si ukážeme na jednotlivých příkladech několik možností úpravy. S každým příkladem získáte nějakou novou zkušenost, tu si pamatujte a snažte se jí využít při řešení dalších příkladů. Pamatujte si i výsledky vypočtených integrálů nebo aspoň si pamatujte, že jste předložený integrál již někdy vypočetli a jeho výsledek si následně najděte. Za integračním znaménkem budou funkce algebraické (racionální nebo iracionální) i transcendentní. Racionální lomené funkce budou zatím zcela jednoduché, abychom nepotřebovali tzv. rozklad na parciální zlomky, ten probereme až u čtvrté metody. Připomínáme ještě, že u goniometrických funkcí se uplatní dobrá znalost četných vzorců z věty 2.6.2, a to v jejich různých možných tvarech. Například vzorec: • sin√2 x + cos2 x = 1 si pamatujme ve tvarech sin2 x = 1 − cos2 x nebo sin x = ± 1 − cos2 x a pod. q x x • Vzorec pro poloviční úhel, například pro sinus, | sin 2 | = 1−sin si pama2 tujme také ve tvarech sin2 x =
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
R√ 3
xdx =
R
R
1 dx x2
R
sin2 xdx =
1
x 3 dx =
R
4
x3 4/3
1−sin 2x 2
nebo 2 sin2 x = 1 − sin 2x a pod.
4
+ C = 34 x 3 + C.
x−2 dx = x−1 + C = − x1 + C. R 3 R 4 7x dx = 7 x3 dx = 7 x4 + C = 47 x4 + C. R 2 R R (x + 4)dx = x2 dx + 4dx = 13 x3 + 4x + C. R R R R R (3x6 −4x)dx = 3x6 dx− 4xdx = 3 x6 dx−4 xdx = 3( 71 x7 )−4( 21 x2 )+ C = 37 x7 − 2x2 + C. R 2x2 −x+4 R dx = |provedeme dělení naznačené zlomkem| = (2x − 7)dx + x+3 R 25 dx = x2 − 7x + 25 ln |x + 3|. x+3 R x2 2 dx = |dělení provedeme pomocí přidání a ubrání jedničky v čitateli| = R R 1+x 1 1+x2 −1 dx = (1 − 1+x 2 )dx = x − arctg x. 1+x2 R R (sin x2 cos x2 −cos2 x+sin2 x)dx = |vzorce pro dvojnásobné úhly| = ( 21 sin x− cos 2x)dx = − 21 cos x − 12 sin 2x. R 1 R sin2 x+cos2 x R 1 R 1 dx + dx = dx = dx = tg x − cotg x. 2 2 2 2 2 cos x sin x cos x sin x cos x sin2 x =
−1
R
1−cos 2x dx 2
=
x− sin22x 2
=
x−sin x cos x 2
86
5.3.2
Integrace per partes
Pro funkce u = u(x), v = v(x), ze vzorce pro derivování součinu [uv]′ = u′ v + uv ′ plyne VĚTA 5.3.1
Vzorec pro integraci per partes Z Z ′ u v = uv − uv ′ nebo
Z
uv = uv − ′
Z
u′ v
Pro určitý integrál má vzorec tvar Z b Z b ′ b u v = [uv]a − uv ′ a
a
POZNÁMKA 5.3.1
Pro (Riemannův) Newtonův určitý integrál musí být funkce u, v (po částech) hladké. 1. Z 2.
u = x, v ′ = sin x x sin xdx = ′ u = 1, v = − cos x Z
Z = x(− cos x)− 1·(−cosx)dx = −x cos x+sin x.
′ Z x u = e , v = sin x x x e sin xdx = = e sin x − ex cos xdx = u = ex , v ′ = cos x Z u′ = ex , v = cos x x x = e sin x − (e cos x + ex sin xdx) = u = ex , u′ = −sinx Z x x = e sin x − e cos x − ex sin xdx.
Porovnáním obou konců úpravy dostáváme rovnici pro hledaný integrál Z 1 ex sin xdx = (ex sin x − ex cos x). 2 3. Typ - rekurentní formule: Z u = xn , v ′ = ex n x In = x e dx = ′ u = nxn−1 , v = ex Odtud
Z = xn ex − n xn−1 ex dx.
In = xn ex−n − nIn−1 .
87 4. I4 = x4 ex − 4I3 = x4 ex − 4(x3 ex − 3I2 ) = x4 ex − 4x3 ex + 12(x2 ex − 2I1 ) = x4 ex − 4x3 ex + 12x2 ex − 24(xex − I0 ) = x4 ex − 4x3 ex + 12x2 ex − 24xex + 24ex . 5. Podobně se odvodí rekurentní formule: Z Z n n x sin xdx = −x cos x + n xn−1 cos xdx Z 6.
Z
7. Z 8.
n
n
x cos xdx = x sin x − n
′ u = 1, v = ln x ln xdx = u = x, v ′ = x1
u = ln x, v ′ = x2 x ln xdx = ′ 1 v = 13 x3 u = x, 2
Z Odtud
xn−1 sin xdx
Z = x ln x − x 1 dx = x ln x − x. x Z 1 3 1 x3 x3 2 = x ln x − ln x − . x dx = 3 3 3 9
u = ln x, v ′ = 1 ln x x dx = ′ 1 u = x, v = ln x x Z
Z
Z = ln2 x − ln x dx. x
ln2 x ln x dx = . x 2
9. Z
u = ln2 x, v ′ = 1 ln xdx = ′ u = 2 lnxx , v = x 2
Z Z = x ln2 x−2 x ln x dx = x ln2 x−2 ln xdx. x
Odtud podle příkladu 6 Z ln2 xdx = x ln2 x − 2x(ln x − 1) = x(ln x − 1)2 + x. 10. Typ - rekurentní formule: Z
sinn xdx
Pro n ≥ 2 položíme u = sinn−1 x, v ′ = sin x, In = ′ n−2 u = (n − 1) sin x cos x, v = − cos x
88 R = − cos x sinn−1 x + (n − 1) R sinn−2 x cos2 xdx = − cos x sinn−1 x + (n − 1) sinn−2 x(1 − sin2 x)dx = − cos x sinn−1 x + (n − 1)In−2 − (n − 1)In . Odtud In + (n − 1)In = − cos x sinn−1 x + (n − 1)In−2 In = n1 (− cos x sinn−1 x + (n − 1)In−2 ). Přitom je I0 = x a I1 = − cos x. 11. 12.
R
sin2 xdx = 12 (− cos x sin x + x) =
x−cos x sin x . 2
Už podruhé.
R sin3 xdx = − 31 (sin2 x cos x + 2 sin xdx) = − 31 (sin2 x cos x + 2 cos x) = − cos3 x (2 + sin2 x)
R
13. Z
1 sin xdx = (− cos x sin3 x+3 4 4
Z
1 3 3 sin2 xdx) = (− cos x sin3 x− cos x sin x+ x). 4 2 2
Daný integrál lze také řešit pomocí vzorců pro poloviční úhly obou funkcí, viz níže.
5.3.3
Integrace substitucí
Pomocí substituce x = g(t), odtud dx = g ′ (t)dt si vyjádříme integrál dvěma způsoby VĚTA 5.3.2
Vzorec pro integraci substitucí Z Z f (x)dx = f (g(t))g ′ (t)dt. Počítaný integrál si pak převedeme na tu stranu, kde umíme integrovat. Pro lepší přehled zachováme u prvních čtyřech příkladů stejné označení proměnných x, t tak, jak je užito ve vzorci. Podle označení proměnných tak snadno poznáme, zda je vzorce použito zprava doleva nebo opačně, zleva doprava. Poznamenejme, že zachování označení proměnných má nyní pouze důvod didaktický a nikoliv matematický. Při počítání určitého integrálu se obvykle nevracíme k původní proměnné, ale současně s integrandem transformujeme i meze.
89 VĚTA 5.3.3
Vzorce pro integraci substitucí určitého integrálu Za určitých podmínek platí Z
x2
f (x)dx =
φ−1 (x2 )
Z
φ(t2 )
f [φ(t)]φ′ (t)dt
φ−1 (x
x1
Z
Z
t2
f [φ(t)]φ′ (t)dt =
1)
f (x)dx
φ(t1 )
t1
POZNÁMKA 5.3.2
Pro (Riemannův) Newtonův určitý integrál musí být f (po částech) spojitá v intervalu hx1 , x2 i a funkce φ musí být (po částech) hladká v intervalu ht1 = φ−1 (x1 ), t2 = φ−1 (x2 )i. 1.
2.
3.
Z 1 1 3x 1 3t2 3x = 2 e dx = 6 e = 6 e .
Z
2 t = x te dt = 2tdt = dx
Z
sin t = x sin t cos tdt = cos tdt = dx
3t2
4
Z = x4 dx = 1 sin5 t. 5
x = sin t Z p 2 = arcsin x = 1 − x dx = t 1 − sin2 t cos tdt = dx = cos tdt Z Z √ 1 1 1 1 2 (1 + cos 2t)dt = (t + sin 2t) = (arcsin x + x 1 − x2 ). cos tdt = 2 2 2 2 Z √
4.
Z
Π 2
sin t
e
sin 2tdt = 2
0
Z
Π 2
esin t sin t cos tdt =
0
x1 = sin 0 = 0 sin t = x cos tdt = dx x2 = sin Π = 1 2 Z 1 Z 1 x x 1 =2 e xdx = 2[xe ]0 − 2 ex dx = 2e − [ex ]10 = 2e − 2e + 2e0 = 2. 0
0
Dále upustíme od shora zavedené domluvy týkající se označení proměnných. Tak jak to bývá zvykem, proměnnou integrandu označíme x a proměnnou substituční t.
90 5.
Z t = cos x − sin x sin x dx = − dx = tg xdx = dt = − sin xdx cos x cos x Z 1 =− dt = − ln | cos x| = − ln | cos x|. t
Z
6.
Z
Z
7.
t = x+a 1 dx = dt = 1dx x+a Z
8.
Z
9.
t = sin x sin x cos xdx = dt = cos xdx 5
R
1 dz z
t = ln x ln x dx = dt = x1 dx x
Z 6 6 = t5 dt = t = sin x . 6 6
Z 2 2 = tdt = t = ln x . 2 2
t 1 dx = dt sin x2 cos x2 Z Z z 1 1 1 dt = dt = = dz sin t cos t tg t cos2 t Z
=
Z 1 = dt = ln |t| = ln |x + a|. t
2 t Z = x 1 1 1 2 x2 et dt = et = ex . xe dx = dt = 2xdx = 2 2 1 dt = xdx 2 2
Z
10.
1 1 dx = sin x 2
Z
= ln |z| = ln | tg x2 |.
11. Typ
Z
= =
x 2 1 dx 2
= tg t = cosdt2 t
sinn x cosm xdx
• Pro n = 2k + 1 liché Z Z Z 2k+1 m 2k m sin x cos xdx = sin x cos x sin xdx = (1−cos2 x)k cosm x sin xdx = t = cos x dt = − sin xdx Z = − (1 − t2 )k tm dt a to je triviální.
91 • Pro m = 2k + 1 liché Z Z n 2k sin x cos x cos xdx = sinn x(1 − sin2 x)k cos xdx.
a to je triviální.
t = sin x dt = cos xdx
Z = tn (1 − t2 )k dt
• Pro n = 2r, m = 2s sudá: Z Z 2r 2s sin x cos xdx = sin2r x(1 − sin2 x)s dx. Mocniny funkce sinus integrovat umíme. 12. Z
3
2
sin x cos xdx = Z
2
Z
2
t = cos x, (1 − cos x) cos x sin xdx = dt = −sinx
=
t = sin x, sin x(1 − sin x) cos xdx = dt = cos x
=
2
(1 − t )t (−dt) =
Z
2
cos5 x cos3 x t5 t3 − = − . 5 3 5 3
(t4 − t2 )dt =
13. Z =
Z
2
5
sin x cos xdx = 2
2 2
t (1−t ) dt =
Z
Z 2
2
2
2
4
t (1−2t +t )dt =
2
Z
(t2 −2t4 +t6 )dt =
t5 t7 t3 −2 + = 3 5 7
sin3 x sin5 x sin7 x −2 + . 3 5 7 14. Z
2
2
sin x cos xdx =
Z
2
sin x(1 − sin 2x)dx =
Z
2
sin xdx −
Z
sin4 dx =
1 1 3 3 1 1 1 1 − cos x sin x+ x+ cos x sin3 x+ cos x sin x− x = − cos x sin x+ sin3 x cos x− x 2 2 4 8 8 8 4 8 Podle rekurentní formule pro mocniny funkce sinus Z 1 sinn xdx = In = (− cos x sinn−1 x + (n − 1)In−2 ) n a na ni navazujících příkladů 11 a 13 v části integrace per partes.
92 Daný integrál lze také řešit pomocí vzorců pro poloviční úhly obou funkcí: Z Z Z 1 1 2 2 (1 − cos 2x)(1 + cos 2x)dx = (1 − cos2 2x)dx sin x cos xdx = 4 4 1 = 4
Z
1 1 (1 − (1 + cos 4x))dx = 2 8
Z
(1 + cos 4x)dx =
sin 4x x sin 4x 1 (x − )= − . 8 4 8 32 Oba výsledky jsou jen zdánlivě různé.
5.3.4
Kombinace metod per partes a substituce
1. Z
u = arctg x v ′ = 1 arctg xdx = ′ 1 u = 1+x v=x 2
Z x = x arctg x − dx = 1 + x2
Z t = 1 + x2 1 2x x arctg x − dx = dt = 2xdx 2 1 + x2 Z 1 dt 1 1 = ln |t| = ln |1 + x2 | 2 t 2 2
=
2. Z
u = arcsin x v ′ = 1 arcsin xdx = ′ √ 1 v=x u = 1−x2 √ t = 1 − x2 dt = − √ 1 2 dx 1−x
Z = x arcsin x − √ x = 1 − x2
Z = x arcsin x + dt = √ x arcsin x + 1 − x2 .
3.
u = arctg x v = x 2 x arctg xdx = ′ 1 v = x2 u = 1+x 2 Z Z x2 1 x2 1 x2 arctg x − dx = arctg x − 2 2 1 + x2 2 2 Z
1 x2 arctg x − (x − arctg x). 2 2
=
1 + x2 − 1 1 + x2
93
5.3.5
Parciální zlomky
Zachvíli uvedeme větu, která umožní každou racionální lomenou funkci vyjádřit pomocí součtu jednoduchých zlomků, zvaných parciální zlomky, které pak dovedeme integrovat. Například x2
2 3 5x − 3 = + − 2x − 3 x+1 x−3
Metodu, která využívá takovéto transformace integrandu nazýváme metoda parciálních zlomků, neboť jmenovatelé na pravé straně jsou pouze části (činitelé) jmenovatele na levé straně. V příkladě je třeba najít, zapomeňme na chvíli že jsme je již uvedli, tzv. neurčité konstanty A a B tak, aby platilo x2
5x − 3 A B = + − 2x − 3 x+1 x−3
Po sečtení zlomků na pravé straně dostaneme rovnost (mezi čitateli) 5x − 3 = A(x − 3) + B(x + 1) Oba polynomy jsou si rovny, právě když jsou si rovny koeficienty u stejných mocnin na obou stranách. Dostáváme tak soustavu lineárních rovnic A + B = 5,
− 3A + B = −3
ktará má řešení A = 2 a B = 3. Příklad 5.3.1: Různí lineární činitelé ve jmenovateli Z 5x − 3 dx 2 x − 2x − 3
Řešení Využijeme-li předcházející úpravu, dostaneme Z Z 2 3 5x − 3 = dx + dx 2 x − 2x − 3 x+1 x−3 = 2 ln |x + 1| + 3 ln |x − 3| + C Příklad 5.3.2: Násobný lineární činitel ve jmenovateli Napište 6x + 7 (x + 2)2 jako součet parciálních zlomků. Řešení Protože má jmenovatel násobného činitele, musíme zlomek vyjádřit ve tvaru 6x + 7 B A + = (x + 2)2 x + 2 (x + 2)2
94 Odtud 6x + 7 = A(x + 2) + B = Ax + (2A + B) Porovnáme-li koeaficienty u stejných mocnin, máme A = 6 a 7 = 2A + B = 12 + B, Tedy
neboli B = −5
6 −5 6x + 7 = + (x + 2)2 x + 2 (x + 2)2
Příklad 5.3.3: Nepravý zlomek Napište 2x3 − 4x2 − x − 3 x2 − 2x − 3 jako součet parciálních zlomků. Řešení Nejprve dělíme čitatele jmenovatelem (2x3 − 4x2 − x − 3) : (x2 − 2x − 3) = 2x −(2x3 − 4x2 − 6x) 5x − 3 Odtud 2x3 − 4x2 − x − 3 5x − 3 = 2x + 2 2 x − 2x − 3 x − 2x − 3 3 2 + = 2x + x+1 x−3 Příklad 5.3.4: Nerozložitelný kvadratický trojčlen ve jmenovateli Napište −2x + 4 (x2 + 1)(x − 1)2
jako součet parciálních zlomků. Řešení Ve jmenovateli je nerozložitelný kvadratický činitel a také násobný lineální činitel, proto píšeme −2x + 4 Ax + B C D = + + (x2 + 1)(x − 1)2 x2 + 1 x − 1 (x − 1)2
Odtud −2x + 4 = (Ax + B)(x − 1)2 + C(x − 1)(x2 + 1) + D(x2 + 1) = (A + C)x3 + (−2A + B − C + D)x2 + (A − 2B + C)x + (B − C + D)
95 Porovnáme koeficienty u členů téhož stupně
koefikcienty koefikcienty koefikcienty koefikcienty
u u u u
x3 x2 x1 x0
: 0 =A+C : 0 = −2A + B − C + D : −2 = A − 2B + C : 4 =B−C +D
Řešení soustavy A = 2, B = 1, C = −2, D = 1 dosadíme a máme
(x2
2x + 1 −2 1 −2x + 4 = 2 + + 2 + 1)(x − 1) x + 1 x − 1 (x − 1)2
Z
−2x + 4 dx (x2 + 1)(x − 1)2 Řešení Vyjádříme integrand pomocí parciálních zlomků jako v předchozím příkladě a integrujeme
Příklad 5.3.5: Vypočtěte
Z
Z
2x + 1 −2 1 dx + + x2 + 1 x − 1 (x − 1)2 Z 2x 1 −2 1 = dx + + + x2 + 1 x2 + 1 x − 1 (x − 1)2 1 = ln(x2 + 1) + arctg x − 2 ln |x − 1| − +C x−1
−2x + 4 dx = (x2 + 1)(x − 1)2
96 VĚTA 5.3.4
Metoda parciálních zlomků (P (x)/Q(x) pravý zlomek) Krok 1 Nechť x − c je lineární činitel v rozkladu jmenovatele Q(x) a nechť je (x − c)m nejvyšší mocnina vyskytující se v tomto rozkladu. Pak k tomuto činiteli přísluší součet m parciálních zlomků A1 A2 Am + + · · · + x − c (x − c)2 (x − c)m Tak to uděláme pro každý lineární činitel z rozkladu jmenovatele Q(x). Krok 2 Nechť x2 + px + q je nerozložitelný kvadratický činitel v rozkladu jmenovatele Q(x) a nechť je (x2 + px + q)n nejvyšší mocnina tohoto činitele v tomto rozkladu. Pak k tomuto činiteli přísluší součet n parciálních zlomků B1 + C1 B2 + C2 Bn + Cn + + · · · + x2 + px + q (x2 + px + q)2 (x2 + px + q)n Tak to uděláme pro každý takový kvadratický činitel z rozkladu Q(x), který je nerozložitelný na lineární činitele s reálnými koeficienty. Krok 3 Položme původní zlomek F (x)/Q(x) roven součtu všech takových parciálních zlomků. Po úpravě této rovnosti porovnejte koeficienty u členů stejného stupně. Krok 4 Řešením takto získané soustavy lineárních rovnic určete neurčité konstanty.
97 POZNÁMKA 5.3.3
Prohlédneme-li si znovu první dva kroky v poslední větě, vidíme, že metoda vede na integraci čtyř druhů parciálních zlomků. Snadno se vypočtou integrály z prvního kroku. Jsou dvojího druhu • Pro jednoduché kořeny jmenovatele zlomku je Z A dx = A ln |x − c| x−c • Pro vícenásobné je Z
A A dx = − m (x − c) (m − 1)(x − c)m−1
Také integrály ze druhého kroku jsou dvojího druhu podle toho, je-li nerozložitelný kvadratický tročlen v mocnině • první
Z
• vyšší
Z
Ax + B dx + px + c
x2
Ax + B dx (x2 + px + c)n
Výpočet obou integrálů je složitější a při řešení našich příkladů se jim vyhneme. Příklad 5.3.6: Vypočtěte Z
2x3 − 8x2 + 9x + 1 dx x2 − 4x + 4
Řešení Integrandem je nepravý zlomek, proto nejprve provedeme dělení (2x3 − 8x2 + 9x + 1) : (x2 − 4x + 4) = 2x + Platí
Z
2x3 − 8x2 + 9x + 1 dx = x2 − 4x + 4
Z
2xdx +
Z
x2
x+1 − 4x + 4
x+1 dx (x − 2)2
Po substituci x − 2 = y, dx = dy dostaneme Z Z Z Z x+1 1 y+3 1 3 1 dy+3 = ln |x−2|− dx = dy = dy = ln |y|−3 (x − 2)2 y2 y y2 y x−2
98 Je tedy
Z
2x3 − 8x2 + 9x + 1 3 2 dx = x + ln |x − 2| − +C x2 − 4x + 4 x−2
Další příklady k procvičení jsou na VISUAL CALCOLU.
5.4
Numerická integrace
Již od Rdob Newtonových víme, že nejjednodušší způsob jak vypočítat určitý inb tegrál a f (x)dx je najít nějakou primitivní funkci F (x) k f (x) a vypočítat číslo F (b) − F (a). Avšak některé primitivní funkce se hledají velmi obtížně √ a k některým, i tak jednoduchým funkcím jako například (sin x)/x nebo 1 + x2 , ani primitivní funkce neexistují. Tedy, ne že bychom je zatím neuměli najít, ale je dokázáno, že prostě neexistují. Pak je potřeba vypočítat takový určitý integrál přibližně neboli numerickou kvadraturou, stručně numericky. Mezi nejznámější takové metody patří dvě, tzv. pravidla, jedno se nazývá lichoběžníkové (plošné elementy užité při aproximaci jsou lichoběžníky) a druhé podle svého autora Simpsonovo (křivkové aproximační elementy jsou části parabol).
5.4.1
Lichoběžníkové pravidlo
Nemůžeme-li najít vhodnou primitivní funkci k funkci f , kterou chceme integrovat, rozdělíme si integrační interval na podintervaly, v každém si nahradíme funkci polynomem, ty pak integrujeme a součet těchto integrálů pak dává přibližně hledaný integrál funkce f . Polynomy vyšších stupňů dávají, při daném dělení intervalu, přesnější aproximaci. Podobě, při daném stupni polynomů, má jemnější dělení integračního intervalu vliv na přesnější aproximaci. Stupeň polynomů není třeba volit nějak vysoký, ba naopak při jemném dělení stačí vzít úsečky, tedy polynomy stupně 1. Předpokládejme, že integrační interval ha, bi funkce f rozdělíme na n podintervalů délky ∆x = h = (b − a)/n a spojíme odpovídající body na křivce úsečkami, VIZ. OBR. 4.27, T. STR.347. Svislé přímky spojující konce úseček s dělícími body tvoří množinu lichoběžníků, které aproximují plochu mezi křivkou a osou x. Sečteme obsahy lichoběžníků tak, že obsahy lichoběžníků ležících nad osou bereme se znaménkem kladným a obsahy lichoběžníků ležících pod osou bereme se znaménkem záporným 1 1 1 1 (y0 + y1 )h + (y1 + y2 )h + · · · + (yn−2 + yn−1 )h + (yn−1 + yn )h 2 2 2 2 1 1 = h( y0 + y1 + y2 + · · · + yn1 + yn ) 2 2 h = (y0 + 2y1 + 2y2 + · · · + 2yn−1 + yn ) 2
T =
99 kde y0 = f (a),
y1 = f (x1 ),
··· ,
yn−1 = f (xn−1 ),
yn = f (b)
VĚTA 5.4.1
Lichoběžníkové pravidlo Z b h f (x)dx ≈ (y0 + 2y1 + 2y2 + · · · + 2yn−1 + yn ) 2 a pro n podintervalů délky h = (b − a)/n a yk = f (xk ). Příklad 5.4.1: Lichoběžníkovou metodou pro n = 4 přibližně vypočtěte Z
2
x2 dx
1
a výsledek porovnejte se skutečnou hodnotou. Řešení Integrační interval rozdělíme na čtyři stejné podintervaly, tedy o délce h = 1/4 a vypočteme hodnoty funkkce y = x2 v koncových bodech h (y0 + 2y2 + 2y3 + y4 ) 2 1 36 49 25 = 1+2 +2 +2 +4 8 16 16 16 75 = 32 = 2, 34375
T =
Přesná hodnota integrálu je Z
1
2
2 x3 1 x dx = − = 2, 3 = 2, ¯3 3 3 1 2
Aproximace je o něco málo větší. Každý lichoběžník je o trochu větší než plochy proužek pod křivkou.
5.4.2
Simpsonovo pravidlo
Rb Pomocí Simpsonova pravidla je aproximace integrálu a f (x)dx založena na nahrazení funkce f pomocí kvadratických polynomů. Graf tedy nahrazujeme parabolami místo úsečkami. OBR.T. 4.30. STR 350. Integrál kvadratického polynomu
100 y = Ax2 + Bx + C od x = −h do x = h je Z h (Ax2 + Bx + C)dx P = =
−h
h Ax3 Bx2 + + Cx 3 2 −h
2Ah3 + 2Ch 3 h = (2Ah2 + 6C) 3
=
Protože křivka prochází body [−h, y0 ], [0, y1 ] a [h, y2 ], plyne odtud y0 = Ah2 − Bh + C,
y1 = C,
y2 = Ah2 + Bh + C
Odtud dostáváme rovnice C Ah − Bh Ah2 + Bh 2Ah2 2
= = = =
y1 y0 − y1 y2 − y1 y0 + y2 − 2y1
Odtud substitucí C a 2Ah2 dostáváme P =
h h h (2h2 + 6C) = ((y0 + y2 − 2y1 ) + 6y1 ) = (y0 + 4y1 + y2 ) 3 3 3
Simpsonovo pravidlo je založeno na tom, že integrační interval ha, bi rozdělíme na sudý počet podintervalů délky h, určíme obsah P pro vhodné dvojice intervalů a výsledky sečteme. VĚTA 5.4.2
Z
a
b
f (x)dx ≈
h (y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + · · · + 2yn−2 4yn−1 + yn ) 3
Kde y-ny jsou jsou hodnoty f v dělících bodech x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, . . . , xn−h = a + (n − 1)h, xn = b Číslo n je sudé a h = (b − a)/n. Příklad 5.4.2: Užijte Simpsonova pravidla s n = 4 k aproximaci Z 1 5x4 dx = 0
101 a výsledek porovnejte se skutečnou hodnotou. Řešení Snadno můžeme vypočítat skutečnou hodnotu Z 1 1 5x4 dx = x5 0 = 1 0
Dále vypočteme týž integrál podle Simpsonova pravidla. Rozdělíme interval na čtyři podintervaly, vypočteme hodnoty integrandu pro dělící body a dosadíme do Sipsonova vzorce h (y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + y4 ) 3 1 5 80 405 = 0+4 +2 +4 + 5 ≈ 1, 00260 12 256 256 256
S =
Aproximace se liší od skutečné hodnoty až v tisícinách.
102
5.5
Požadavky ke zkoušce a rady ke studiu
• Požadavky ke zkoušce jsou dány obsahem tohoto textu. Bude kladen důraz na řešení příkladů, zejména pak na zvládnutí techniky derivování a integrování funkcí na úrovni cvičení z učebnice [3] (uloženy na webu spolu s [1]). • Požadavkem k udělení zápočtu v prezenčním studiu je kromě pravidelné povinné aktivní účasti na cvičeních prokázat při semestrálních písemkách schopnost řešit, aspoň s padesátiprocentní úspěšností, příklady z [3]. • Požadavkem k udělení zápočtu v kombinovaném studiu je samostané vyřešení stanovené sady příkladů a její odevzdání u zkoušky. V případě nutnosti musí student prokázat u zkoušky schopnost suverenního řešení těchto příkladů, aby výsledek jeho zkoušky mohl být ohodnocenou aspoň stupněm dostatečně. • Rady ke studiu: – Výklad učební látky v [1] se dosti drží knihy [2]. V textu jsou uvedeny odkazy na obrázky ze [7]. – Techniku derivování a integrování doporučuji nacvičit pomocí interaktivních příkladů z [6]. – Nácvik techniky integrování z učebnice [3] je uveden přímo v mém textu [1] v části 5.3. – Projde-li si student tuto část velmi pozorně (s tužkou v ruce), pak bude dostatečně připraven na řešení příkladů z [3] uvedených v požadavcích na zkoušku i k udělení zápočtu.
Literatura [1] Zedník, J.: e-skriptum: Matematika I (Diferenciální a integrální počet jedné proměnné) (Na webu na adrese: ) [2] Thomas, Jr., G.B.: Calculus and Analytic Geometry, 9. vydání, 2003 Pearson Education, Inc. [3] Kaňka, J., Hencler, J.: Matematika 2,učebnice VŠE Praha, 2003. [4] Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika, Praha 2001. [5] Hrubý, D., Kubát, J.: Diferenciální a integrální počet pro gymnázia. Prometheus Praha 1997. [6] Visual Calculus, (na webu). [7] Thomas Calculus Series, (SLIDES na webu). [8] Tomica, R.: Cvičení z matematiky, SNTL Praha 1969. [9] Ostravský, J., Křenek, J.: Diferenciální a integrální počet jedné proměnné, skriptum UTB Zlín 2004.
103
