Matematika Eropa A. Matematika Eropa Masa Lampau Dengan timbulnya perhatian pada pendidikan yang mengikuti reinaissance dan dengan peningkatan yang hebat dari kegiatan perdagangan pada masa itu, sejumlah buku-buku pelajaran populer tentang aritmatika mulai muncul. Tigaratus buku semacam itu dicetak di Eropasebelum abad ke tujuhbelas. Buku aritmatika pertama yang dicetak adalah Trefise Aritmatika, sebuah kerja anonim dan kini sangat jarang terdapat, yang diterbitkan dalam tahun 1476 di kota Trevise. Buku ini sebagian besar bersifat aritmatika dagang ditunjukkan untuk menjelaskan penulisan bilangan, menghitung dengan bilangan, dan penerapannya seperti “algorisme”. Di Italia buku yang pengaruhnya jauh lebih besar daripada Trefise aritmatika adalah buku aritmatika perdagangan yang ditulis oleh Piero Borghi. Karya ini diterbitkan di Vanesia tahun 1484 dan mengalami cetakan ssebanyak 17 kali yang terakhir pada tahun 1557. Yang sangat berpengaruh di Jerman adalah buku aritmatika karangan Widman, yang terbit pada tahun 1489 di Leipzig. Buku aritmatika lainnya yang penting ialah karangan Jacob Kabel (1470-15330) buku ini mengalami cetakan ulang sebanyak 22 kali. Tapi mungkin buku aritmatika dagang yang paling berpengaruh di Jerman adalah karya Adam Raise (sekitar 1489-1559) yang terbit pada tahun 1522. Begitu harum nama itu sehingga sekarangpun di Jerman pernyataan singkat “nach Adam Raise” digunakan untuk menandain perhitunagan yang tepat. Juga Inggris menghasilakn karya aritmatika kuno yanng penting. Penerbitan pertama di Inggris yang dikususkan untuk matematika ialah buku matematika yang di tulis oleh Cuthert Thonstall(1474-1559). Buku ini didasarkan pada suma karangan Pacioli, dicetak tahun 1522 dan ditulis dengan bahasa Latin. Tpi penulis buku pelajaran Inggris yang paling berpengaruh dalam abad ke-16 ialah Robert Recorde (sekitar 1510-1558). Dia menulis dalam bahasa Inggris yang terbit sekitar tahun 1542. Krya ini sekurang – kurangnya tercetak 29 kali.
B. Abad Pertengahan Masa ini di mulai sejak jatuhnya bangsa Romawi pada pertengahan abad ke-5 sampai abad ke-11. Pada masa ini kebudayaan di Eropa Barat menurun, sampai rendah. Sekolahsekolah hampir tidak ada kebudayaan dan kesenian warisan Yunani pun dilupakan. Hanya biarawan dan biara katolik dan beberapa orang Yunani yang masih memelihara ilmu pengetahuan Latin dan Yunani. Masa ini ditandai dengan banyaknya tindakan kekerasan dan masyarakat berubah menjadi feodal dan bersifat kegerejaan. Orang Romawi tidak pernah belajar matematika abstrak mereka sudah puas dengan ilmu yang berhubungan dengan dagang dan tehnik sipil. Jatuhnya Romawi dan disusul tertundanya lalu lintas perdagangan timur barat dan pembatalan proyek-proyek pembangunan Negara. Maka perhatian inipun menjadi pudar dan selama seluruh abad pertengahan yang lima ratus tahun itu sedikit sekali yang dicapai dalam bidang matematika, selain peninggalan Kristen yang diselesaikan di West selama setengah abad covered oleh Abad Pertengahan. Ahli –ahli matematika abad pertengahan: 1. Boethius (475-524) Dalam sejarah matematika terletak pada kenyataanya bahwa tulisan-tulisan mengenai geomteri dan aritmetika merupakan buku pelajaran pokok untuk sekolah biara. Karianya yang kecil itu dianggap sebagai puncak matematika. Dan demikian menggambarkan kemiskinan bidang matematika diEropa. Geometri karya Boethius tidak memuat apa-apa selain pernyataan dan dalil-dalil Buku 1 dan sedikit dailil buku III dan IV dari karya Eucld, ditambah dengan penerapan pengukuran dan Aritmatika, karya Nicomachus dari empat abad yang lalu. Dari karyanya ini dan tulisan filsafat, Boethius menjadi pendiri ajaran senolastik abad pertengahan. 2. Bede (673-735) Bede lahir di Northumberland, Inggris dan menjadi salah satu cendikiawan Gereja terbesar abad pertengahan. Tulisan-tulisannya sangat bayak mengenai matematika yang terpenting adalah perhitungan menggunakan jari dan urain mengenai penanggalan.
3. Alucin (735-804) Alucin lahir di Inggris dan ia sarjana di Inggris. Ia dipanggil di Inggris untuk membantu Charlemargedalam dalam pendidikan. Ia menulis sejumlah persoalan matematika yang dipandang sebagai kumpulan teka-teki.
4. Gerbret Gebret lahir di Auvergne, Prancis sejak muda ia menunjukkan kemampuan yang luar biasa. Ia adalah orang pertama yang belajar di Perguruan Tinggi Islam di Spanyol. Kemungkinan ia membawa angka-angka Hindu-Arab, tanpa angka nol, ke kristen Eropa. Dia dinyatakan telah membuat Abaci, globe bumi dan jam. Hal tersebut membuat orang sejamanya berfikir bahwa ia menjual jiwanya pada iblis. Walaupun demikian kedudukanya di Gereja terus meningkat.
C. Masa Transmisi Sekitar masa Gerbret karya-karya klasik Yunani tentang ilmu pengetahuan mulai menembus Eropa. Hal ini dikuti oleh masa transmisi. Ilmu pengetahuan yang dipelajari Islam kuno diterjemahkan oleh pengunjung pusat-pusat ilmu pengetahuan Islam. Dengan perantara hubungan antara kerajaan Norida Di Sicilia dan dunia Timur dan melalui hubungan dagang Eropa dengan daerah Levant dan dunia Arab. Jatuhnya Tolendo dari orang-orang Moor ke tangan orang kristen pada tahun 1085 diikuti masuknya
cendikiawan-cendikiawan Kristen ke kota untuk mendapatkan ilmu
pengetahuan Islam. Beberapa pusat Moor di Spanyol masuk dan abad keduabelas dalam sejarah matematika menjadi abad terjemahan. Letak dan sejarah Sicilia adalah tempat pertemuan alami barat dan timur. Sicilia awalnya adalah kolonial Yunani, menjadi bagian kerajaan Romawi menjalin ikatan dengan Konstantinopel setelah jatuhnya Roma, kemudian dikuasi Arab dan direbut kembali oleh Yunani yang diambil alih oleh Normandia. Pada masa pemerintahan Normandia masyarakat hidup berdampingan. Banyak manuskrip-manuskrip Yunani dan Arab yang menterjemahkan ilmu pengetahuan dan matematiaka ke dalam bahasa Latin.pekerjaan ini mendapat dorongan besar dari dua penguasa pemerintah dan pelindung ilmu pengetahuan, Frederek II (1194-1250) dan puteranya Manfred (12311266)
Diantara kota-kota yang pertama kali mengadakan hubungan perdagangan dengan dunia Arab ialah pusat perdagangan italia di Guenia, Pisa, Venesia, Milan, dan Florence. Ahli-ahli matematika masa transmisi. 1. Adelard Of Bath (sekitar 1120) Adelard yang belajar di Spanyol melakukan perjalanan melalui Yunani, Syira, dan Mesir. Ia dapat menterjemahkan karya-karya Ecuid dan tabel astronomi dari AlKhwarizmi ke dalam bahasa latihan.
2. Plato dan Tiveli ( 1120) Mereka berdua menterjemahkan astronomi dari al-Battani, Spherics karya Theodosiuss 3. Gherardo dan Cremona(1114-1184) Mereka menterjemahkan lebih dari sembilan puluh karya Arab diantaranya adalah Almagest karya Ptolemy, karya Ecuclid, aljabar, dan Al Khawarizmi. Mereka juga peranan dalam pengembangan kata sine(sinus).
D.Abad ke-14 Abad ke-14 adalah masa yang tandus bagi matematika. Ini adalah abad dari maut hitam yang menyapu lebih dari 1/3 penduduk Eropa, di dalam abad ini terjadi perang 100 tahun (Hundred Year’s War), dengan pergolakan politik ekonomi di Eropa utara yang sedang memuncak. Meskipun matematika pada abad pertengahan pada dasarnya bersifat praktis matematika spekulatif tidak sepenuhnya lenyap. Pemikiran-pemikiran filsuit-filsuit sholastic menyebabkan pemikiran teoritis yang halus tentang gerak, tak terhingga dan contiu yang semuanya merupakan pemikiran pokok matematika moderen. Ahli-ahli pada abad ke-14 1. Niccle Oresme Lahir di Normandia sekitar 1323 dan meninggal pada tahun 1382 setelah menempuh perjalanan dari menjadi guru kemudian menjadi seorang uskup. Ia menulis lima karya matematika yang juga menerjemahkan karya Aristoteles. Dalam salah satu tulisanya ringkansanya terdapat penggunan eksponen pecahan(tentu saja tidak
menggunakan notasi moderen) dan dalam tulisan lain ia menempatkan
titik-titik
dengan koordinat yang merupakan pedahuluan geometri moderen. 2. Thomas Bradwardin(1290-1349) Ia meninggal sebabai Uskup Besar Canterbury . di samping pemikiran pokok yang menyangkut sifat contiu dan diskret serta besar tak terhingga dan kecil tag terhingga. Ia juga menulis empat tulisan singkat matematika mengenai aritmetika dan geometri. E.Abad ke-15 Pada abad ke -15 merupakan permulaan Renaissance Eropa dibidang seni dan ilmu pengetahuan. Jatuhnya kerajaan Byzantium, yang memuncak dengan jatuhnya konstatinopel ditangan Turki dalam tahun 1453, dan perlahan-perlahan lari ke Italia yang membawa peradaban Yunani. Menjelang akhir abad ini Amerika ditemukan dan segera diikuti dengan pelayaran keliling bumi. Kegiatan matematika terpusat di kota-kota Italia dan di kota-kota Eropa tengah seperti Nurembreg, Wina, dan Praha dan diarahkan pada Aritmetika, Aljabar, dan Trigonometri. Bagian aritmetika dari suma dimulai dengan alogrisme bagi operasi-operasi yang pokok dan untuk mengambil kuadrat. Uraian cukup lengkap, juga mememuat misalnya saja tidak kurang dari delapan cara untuk melakukan perkalian.aturan ponasi/ pernisalan yang dibahas dan diterapkan pula. Meskipun banyak kesalahan dalam karyanya tapi dalam Aritmetika karyanya merupakan standar authority.Synkopat aljabarnya didapat dengan singkatan seperti p (dari piu ,”lebih”) untuk plus, m (dari mono, “kuarang”) untuk minus, co(dari cosa,”hal”)untuk hal yang tidak dikenal x, ce(dari cense) untuk cuba)untuk
, dan cece(dari censocense)untuk
, cu(dari
. Kesamaan terkadang ditandai dengan
ae(dari aequalis). Tanda-tanda + dan- . disini tanda-tanda tersebut tidak digunakan sebagai lambang operasi tapi semata-mata untuk menyatakan kelebihan dan kekurangan. Ahli-ahli matematika abad ke-15 1. Nacholas Cusa Ia lahir tahun 1401 di Gereja tingkatnya cepat naik. Pada tahun 1448 ia menjadi Gubernur kota Roma. Ia juga bekerja sebagai ahli matematika tulisan atau karyanya antara lain mengenai kwadratura lingkaran, dan triseksi sudut utama.
2. Georg Van Peurbach (1423-1461) Setelah memberi kuliah di Italia ia menetap di Wina dan menjadikanya sebagai universitas pusat matematika dari angaktanya. Dia menulis tentang Aritmetika, dan beberapa karya Astronomi, dan menyusun daftar Sinuis. 3. Johan Muller (1436-1476) Ia lahir di kangsbreg , ia belajar dalam usia muda di Wina. Johan banyak mengadakan perjalanan di Italia dan Jeraman akhirya ia menetap di Nurembreg dan mendirikan sebuah Observaterium, membangun percetakan, dan menulis beberapa karya pendek astronomi. De triangulis omnimodis karya Johan terdiri dari lima buku, empat buku yang pertama membahas tentang trigonometri bola. Disitu ia menunjukan banyak perhatian tentang penentuan segitiga yang memenuhi syarat yang ditentukan. Contoh khas yang ditemukanya Tentukan perbedaan dua segitiga jika diketahui perbedaan dari dua sisi, garis tinggi pada sisi yang ketiga, dan perbedaan potongan-potongan sdari sisi yang ketiga dibagi oleh garis tinggi itu. Tentukan sebuah segitiga, jika diketahui sebuah sisi, garis tinggi pada sisi lain, dan perbandingan dari dua sisi lainnya. Lukislah sebuah segiempat siklis jika empat sisinya diketahui. Fungsi trigonometri satu-satunya yang digunakan dalam De triangulis Omnimodis ialah Sinus dan Cosinus . Tapi kemudian ia menghitung pula sebuah daftar untuk tangen. 4. Nicolas Chuquet Ia dilahirkan di Paris tapi hidup dan melakukan praktek ketabiban di Lyons. Pada tahun 1484 ia menulis karya ilmu hitung yang berjudul Triparty en la science des numbers, yang pertama membahas hitungan dengan bilangan rasional, yang kedua membahas bilangan irasional, dan yang ketiga membahas teori persamaanpersamaan. Chuquet mengenal eksponen bulat positif dan negatif dan membuat synkopat beberapa bagian orang-orang sejamannya. 5. Biarawan Italia Luca Pacioli (sekitar 1445-1509) Pada tahun 1494 dibuat percetakaan yang pertama dari Summa de aritmetika, geometri, et propotinal. Karya ini di susun bebas dari banyak sumber, ditonjolkan sebagai ikhtisar aritmetika, aljabar, dan geometri dari masa itu.
6. Pacioli Ia banyak mengadakan perjalanan diberbagai tempat dan menulis karya-karya yang tidak diterbitkan semua. Dalam tahun 1509 ia menerbitkan bukunya De diuina proportione. 7. Johan Widman Ia lahir sekitar tahun 1460 di Bohenia. Ia mengemukakan tentang tanda-tanda + dan - .
Leonardo Fibonancci Leonardo fibonacci atau yang lebih dikenal sebagai Leonardo de pisa adalah mathematician yang paling berbakat pada abad pertengahan. Dia adalah anak seorang pedagang yang mengikuti ayahnya berdagang ke Mesir, Sicilia,Yunani dan Syria. Karyanya yang terbesar adalah subuah buku yang berjudul “Liber Abaci” (buku Abacus) Yang diterbitkan pada tahun 1202. Buku ini berisi tentang problem-problem dengan menggunakan lambang Hindu-Arab yang memperlihatkan bahwa dia dipengeruhi oleh aljabarnya Alkhawarizmi dan Abu Kamil. Liber abaci ini lebih memfokuskan pada aritmatika dibandingkan geometri, buku ini dimulai dengan penjelasan ‘sembilan lambang bilangan India’ dengan menambahkan bilangan nol. Fibonacci pun secara tetap menggunakan garis datar ( – ) sebagai lambang untuk menyatakan pembagian, dalam buku ini Fibonacci menggunakan 3 jenis pecahan yaitu; pecahan biasa, pecahan sexagesimal, dan pecahan unit. Yang unik dari buku ini adalah cara penulisan pecahan campuran. Misalnya penulisan 5/12 28 biasa kita kenal sebagai 28 5/12. Dia juga menempatkan bilangan pecahan berupa komponen-kompenen yang belum dijumlah. Penulisan 11 5/6, sebagai contoh, ditulis dengan 1/3 ½ 11. Tidak puas dengan kebingungan ini pecahan satuan ternyata lebih membingungkan. Pecahan 98/100, sebagai contoh, dipecah menjadi 1/100 1/50 1/5 ¼ ½, dan 99/100 ditulis dengan 1/25 1/5 ¼ ½. Salah satu problem yang terdapat pada Liber Abaci ini adalah “ berapa pasang kelinci yang akan dilahikan dalam satu tahun, yang dimulai dengan sepasang kelinci, apabila setiap bulan masing-masing pasangan menghasilkan satu pasang kelinci baru, dimana pasangan kelinci baru akan menghasilkan setelah bulan ke-2. Problem ini dikenal sebagai barisan Fibonacci; 1,1,2,3,5,8,13,21 . . . . Un dengan Un=Un-1+Un-2 Pola deret di atas terbentuk dari susunan bilangan berurutan (dari kecil makin besar) yaitu merupakan penjumlahan dua bilangan sebelumnya. Angka 3, urutan keempat, adalah hasil penjumlahan 1 (urutan 2) + 2 (urutan 3); angka 5 urutan kelima, adalah hasil
penjumlahan 2 (urutan 3) + 3 (urutan 4); angka 8 urutan keenam, adalah hasil penjumlahan 3 (urutan 4) + 5 (urutan 5) dan seterusnya. Bakat yang luar biasa dari Fibonacci ini menyababkan dia dipanggil oleh raja Federick III untuk ikut dalam suatu perlombaan yang soalnya sudah disiapkan oleh Jhon dari Pelermo, yaitu x2+5 adalah suatu kuadrat bilangan dan x2-5 juga merupakan suatu kuadrat dari sebuah bilangan, dan Fibonacci menjawab dengan tepat bahwa x bernilai 41/12, ini adalah benar karena (41/12)2 +5 =(49/12)2 dan (41/12)2 – 5 = (31/12)2 problem ini terdapat dalam buku Liber Quadrtorum, selain itu Fibonacci juga menuliskan identitas-identitas dalam buku Liber Quadrtorum seperti: (a2+b2)(c2+d2) =(ac+bd)2+(bc–ad)2 =(ad+bc)2+(ac–bd)2 Problem ke-2 adalah menyelesaikan persamaan akar pangkat tiga dari x 3+2x2+10x=20 Fibonacci menyelesaikannya dengan pecahan sexadesimal yaitu 1;22,7,42,33,4,40 yang dalam pecahan decimal sama dengan 1,3688081075. Penyelesaian problem ini terdapat dalam bukunya yang berjudul Flos (bunga) Kemudian buku terakhirnya berjudul “Patricia Geometrica” buku ini berisi kumpulan dari karya-karya geometri dan trigonometri. Setelah Fibonancci menyusul Jordanus, ia adalah penulis dari karya-karya matematika seperti aritmatika, geometri, astronomi, aljabar dan kemungkinan juga ststistika disampimg mekanika.dia adalah mathematician yang pertamakali menggunakan huruf sebagai lambang dari sebuah bilangan. Bukunya “Aritmatica” adalah buku yang merupakan basis bagi komentator-komentator pada universitas Paris dalam abad ke XVI, buku ini hampir menyerupai filsafah. Karya Jhordanus yang lainnya adalah “De numeris datis”, buku ini berisikan kumpulan dair hukumhukum aljabar. “algorismus demonstratus” adalah sebuah karya Jhon nemorarius yang berisikan tentang penjelasan tentang hukum-hukum aritmatika.
Persamaan Kubik , Kuartik, dan Sektik A. Persamaan Kubik Persamaan kubik adalah persamaan pangkat tiga. Dalam matematika, sebuah fungsi kubik atau lebih dikenal sebagai fungsi pangkat tiga adalah suatu fungsi yang memiliki bentuk
dengan a bernilai tidak nol; atau dengan kata lain merupakan suatu polinomial orde tiga. Turunan dari suatu fungsi kubik adalah suatu fungsi kuadrat. Integral dari suatu fungsi kubik adalah fungsi pangkat empat (kuartik). Menetapkan ƒ(x) = 0 menghasilkan persamaan kubik dengan bentuk:
Biasanya, koefisien a, b, c, dan d merupakan bilangan riil. Untuk menyelesaikan persamaan kubik, caranya dengan mencari akar (nilai nol) dari fungsi kubik. Sudah banyak upaya untuk menyelesaikan permasalahan ini di masa Eropa . Salah satu yang terkenal adalah apa yang di lakukan oleh Girolamo cardona, walaupun menurut beberapa sumber ia mendapatkannya dari Tartaglia. Girolamo Carcadona menuliskan penemuannya dalam Ars Magna. Model persamaan kubik yang di selesaikan adalah bentuk x3 + mx = n. Dia menyamakan bentuk persamaan di atas dengan bentuk : (a - b)3 + 3ab(a – b) = a3 – b3. Jika kita pilih a dan b sehingga 3ab = m dan a3 – b3 = n,maka kita dapat menyatakan bahwa akar – akar /penyelesaian dari persamaan itu adalah x = a – b,dengan a=
3
(n / 2) (n / 2) 2 (m / 3) 3
b=
3
(n / 2) (n / 2) 2 (m / 3) 3
Contoh : carilah penyelesaian persamaan x 3 + 6x = 20. Kita bisa menuliskan bahwa m = 6, n = 20.Langkah pertama adalah kita mencari nilai a dan b . a 3 10 108 dan b 3 10 108 .Sehingga kita mendapatkan bahwa x a b 3 10 108 3 10 108
Dari sini sudah ditemukan akar dari persamaan polinomial persamaan.. Ada satu hal yang tersisa untuk dipertimbangkan. Kita mengetahui bahwa persamaan kubik akan mempunyai tiga faktor linier. Jadi kita berharap akan ada tiga akar. Tapi kita hanya menemukan satu akar. Di mana dua lainnya bersembunyi? Ternyata bahwa dua lainnya akar x 3 + 6x = 20 sangat kompleks. Jadi dalam kondisi ini kita harus puas dengan persamaan Cardano yang hanya mendapatkan satu akar untuk persamaan polinomial derajat tiga. Tapi di masa berikutnya telah di temukan penyelesaian untuk permasalahan ini. B.Persamaan Kuartik( pangkat 4) Persamaan ini di temukan dalam jangka waktu yang tidak lama setelah di temukannya pemecahan persamaan kubik.Tahun 1540, ahli matematika Italia Zuanne de Tonini da Coi menyarankan sebuah soal kepada Cardano yang menghasilkan persamaan Kuartik. Tapi Cardano tidak dapat menyelesaikannya. Akhirnya persoalan ini bisa di selesaikan oleh muridnya, yaitu Ferrari. Hasil pemecahan ini juga di publikasikan dalam Ars Magna. x4 + px2 + qx + r = 0 x4 +2px2 + p2 = px2- qx - r + p2 ( x2 + p )2 = px2 - qx - r + p2 Sehingga untuk sembarang z kita mendapatkan: ( x2 + p+z )2
= px2 - qx - r + p2 + 2z(x2 + p) + z2 = (p + 2z) x2- qx +(p2 – r + 2pz + z2)
Sehingga jika kita pilih z (akar dari persamaan kubiknya), maka kita bisa menemukan bagian kubik dalam z dan dapat di pecahkan dengan cara sebelumnya (Cardano). Kemudian kita bisa menyelesaikan bentuk persamaan kuartik.
Contoh :
Terlebih dulu kita akan membuktikan bahwa
z = 3 is akar dari persamaan kubiknya,
kemudian kita akan mencari tahu semua akar- akar dari persamaan kuartiknya. Pertama,pindahkan semua suku x ke ruas kanan :
Kebetulan ruas kiri adalah bentuk kuadrat sempurna.Maka kita langsung bisa mendapatkan bentuk
Tambahkan suku
di kedua ruas :
(x2+1 )2 + 2 (x2+1 )z + z2 = -6
x + 2 (x2+1 )z + z2
Ruas kanan adalah bentuk polynomial kuadrat dalam x:
Kita ingin mendapatkan nilai z,maka
The cubic polynomial
Dengan penyelesaian bentuk kubik,kita bisa mendapatkan bahwa z = 3 adalah salah satu akar dari persamaan di atas. Menggunakn nilai z=3 di persamaan (1), kita mendapatkan :
Ruas kanan adalah benuk kuadrat sempurna
Kemudian kita cari akar kuadratnya.maka kita dapatkan : 1. Persamaan kuadrat ini memiliki akar – akar kompleks:
2. Persamaan kuadrat ini mempunyai akar – akar real
Jadi persamaan kuartik
Mempunyai 4 akar,yaitu :
C. Persamaan Sektik ( pangkat 6 ). Salah satu ilmuwan Eropa yang berhasil memecahkan permasalahan persamaan sektik adalah Francois Viete.Dalam De numerosa, Viete memberikan suatu cara sistematis yang dipakai secara umum hinggaa tahun 1600an yaitu dengan cara melakukan pendekatan secara berturut- turut kepdada suatu akar dari suatu persamaan.Tapi cara ini membutuhkan banyak tenaga .Bahkan salah seorang ahli matematika abad ke 17 menamakannya sebagai suatu “pekerjaan yang tidak sesuai bagi seorang kristen”. Pemecahannya adalah sebagai berikut: Dimulai dari persamaan kuadratik x2 + mx = n. Misal x1 merupakan nilai pendekatan yang diketahui untuk suatu akar dari persamaan itu,maka dapat di tulis x1+x2.Substitusikan ke dalam persamaan kuadrat,sehingga didapatkan (x1+x2)2 + m(x1+x2) = n, x12 + 2x1x2 + x22+m x1 + m x2 = n.
Jika x2 diambil sangat kecil,maka x22 dapat diabaikan sehingga kita dapati x2 =(n - x12 – mx1) / ( 2x1 + m). Dari pendekatan yang telah diperbaiki ini yaitu
x1+x2, maka kita dapat melakukan
pendekatan untuk pangkat yang lebih tinggi,yaitu x1+x2 +x3,dan seterusnya. Viete menggunakan cara ini untuk mendekati suatu akar dari persamaan Sektik.
