MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. október 18. KÖZÉPSZINT I. 1) Írja fel prímszámok szorzataként a 420-at!
(2 pont)
Megoldás:
420 2 2 3 5 7 22 3 5 7
(2 pont)
2) Bontsa fel a 36000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5:4 legyen! (2 pont) Megoldás: 20 000 és 16000.
(2 pont)
3) Egy sejttenyészetben 2 naponta kétszereződik meg a sejtek száma. Az első nap kezdetén 5000 sejtből állt a tenyészet. Hány sejt lesz a tenyészetben 8 nap elteltével? Számításait részletezze! (3 pont) Megoldás: A 8 nap alatt 4-szer kétszereződött meg a sejtek száma (s), s 5000 24 s 80000
(1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 3 pont
4) Jelölje a természetes számok halmazát, az egész számok halmazát és az üres halmazt! Adja meg az alábbi halmazműveletek eredményét! a) b) \ c) (3 pont) Megoldás: a) b) c)
(1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 3 pont
5) Az ábrán a valós számok halmazán f x x a b értelmezett függvény grafikonjának egy részlete látható. Adja meg a és b értékét!
(2 pont)
Megoldás:
a 2 b 3
(1 pont) (1 pont) Összesen: 2 pont
6) Adja meg a 2; 11; 7; 3; 17; 5; 13 számok mediánját!
(2 pont)
Megoldás: A medián: 7.
(2 pont)
7) Rajzoljon le egy 4 pontú egyszerű gráfot, amelyben a pontok fokszáma rendre 3, 2, 2, 1! (2 pont) Megoldás:
(2 pont) 8) Egy számtani sorozat ötvenedik tagja 29, az ötvenegyedik tagja 26. Számítsa ki a sorozat első tagját! (3 pont) Megoldás: d 3 a50 a1 49d
a1 176
(1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 3 pont
9) Ha a 1 , akkor az alábbi egyenletek közül melyik azonosság? a2 a a 1 a) a 1 a2 a a b) a 1 a2 a a 1 c) a 1 a2 a 0 d) a 1
(2 pont)
Megoldás: b).
(2 pont)
10) István az x
log 1 x x 0 függvény grafikonját akarta 2
felvázolni, de ez nem sikerült neki, több hibát is elkövetett (a hibás vázlat látható a mellékelt ábrán). Döntse el, hogy melyik igaz az alábbi állítások közül! a) István rajzában hiba az, hogy a vázolt függvény szigorúan monoton csökkenő. b) István rajzában hiba az, hogy a vázolt függvény 2höz –2-t rendel. c) István rajzában hiba az, hogy a vázolt függvény zérushelye 1. (2 pont) Megoldás: b).
(2 pont)
11) A 2000 eurós tőke évi 6 %-os kamatos kamat mellett hány teljes év elteltével nőne 4024 euróra? Megoldását részletezze! (4 pont) Megoldás: 2000 1,06x 4024 . x kiszámítása. lg 2000 x lg1,06 lg 4024 lg 4024 lg 2000 x 11,998 . lg1,06 12 teljes év alatt.
12) Az ábrán látható kockának berajzoltuk az egyik lapátlóját. Rajzoljon ebbe az ábrába egy olyan másik lapátlót, amelynek van közös végpontja a berajzolt lapátlóval! Hány fokos szöget zár be ez a két lapátló? Válaszát indokolja! (3 pont) Megoldás: Az egy csúcsból kiinduló (bármelyik) két lapátló a végpontjaik által meghatározott harmadik lapátlóval kiegészítve szabályos háromszöget határoz meg, (2 pont) a keresett szög ezért 60°-os. (1 pont) Összesen: 3 pont
(1 pont)
(2 pont) (1 pont) Összesen: 4 pont
II/A. 13) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) b)
5 x 2x 2 71 sin2x 1 2cosx
(6 pont) (6 pont)
Megoldás: a)
A négyzetgyök értéke csak nemnegatív lehet: x 5 és csak nemnegatív számnak van négyzetgyöke: x 35,5
(1 pont) (1 pont)
Négyzetre emelve: x 2 10x 25 2x 2 71 . (1 pont) 2 Rendezve: x 10x 96 0 (1 pont) amelynek valós gyökei a –16 és a 6. (1 pont) Az utóbbi nem felel meg az első feltételnek, ezért nem megoldása az egyenletnek Az egyenlet egyetlen megoldása a –16, hiszen ez mindkét feltételnek megfelel, s az adott feltételek mellett csak ekvivalens átalakításokat végeztünk. (1 pont) 2 2 b) A bal oldalon a sin x 1 cos x helyettesítést elvégezve kapjuk: 2 (1 pont) 1 cos x 1 2cos x 2 (1 pont) cos x 2cos x 0 cos x cos x 2 0 (1 pont)
k , ahol k . (2 pont) 2 A cos x 2 0 egyenletnek nincs megoldása (mert cos x 2 nem lehetséges). (1 pont) Összesen: 12 pont Ha cos x 0 , akkor x
14) Egy felmérés során két korcsoportban összesen 200 embert kérdeztek meg arról, hogy évente hány alkalommal járnak színházba. Közülük 120an 40 évesnél fiatalabbak, 80 válaszadó pedig 40 éves vagy annál idősebb volt. Az eredményeket (százalékos megoszlásban) az alábbi diagram szemlélteti.
a) Hány legalább 40 éves ember adta azt a választ, hogy 5-nél kevesebbszer volt színházban? (3 pont)
b) A megkérdezettek hány százaléka jár évente legalább 5, de legfeljebb 10 alkalommal színházba? (4 pont) c) A 200 ember közül véletlenszerűen kiválasztunk kettőt. Mekkora a valószínűsége annak, hogy közülük legfeljebb az egyik fiatalabb 40 évesnél? Válaszát három tizedesjegyre kerekítve adja meg! (5 pont) Megoldás: a)
A legalább 40 éveseknek a 18,75%-a adta az idézett választ. (1 pont) 80-nak a 18,75%-a: 80 0,1875 . (1 pont) Tehát 15 legalább 40 éves ember adta az „5-nél kevesebbszer” választ. (1 pont)
b) A 40 év alattiak közül 120 0,35 42 , (1 pont) a legalább 40 évesek közül 80 0,375 30 , (1 pont) azaz összesen 72 olyan ember van, aki évente 5−10 alkalommal jár színházba. (1 pont) Ez a szám a megkérdezettek 36%-a. (1 pont) 200 c) Az összes lehetséges kiválasztás: (1 pont) 19900 . 2 Ezek közül mindkét véletlenszerűen kiválasztott legalább 40 éves: 80 (1 pont) 3160 esetben, 2 különböző korosztályú: 80 120 9600 esetben.
(1 pont)
80 80 120 2 12760 A kérdezett esemény valószínűsége: (1 pont) . 200 19900 2 Tehát 0,641 a valószínűsége annak, hogy legfeljebb egy 40 évnél fiatalabb van a kiválasztottak között. (1 pont) A feladat megoldható a komplementer esemény valószínűségének kiszámításával is. Összesen: 12 pont 15) Adott két egyenes: e : 2x 5y 14, 5 , f : 2x 5y 14, 5 . a) Határozza meg a két egyenes P metszéspontjának koordinátáit!(4 pont) b) Igazolja, hogy az e és az f egyenesek egymásra merőlegesek! (4 pont) c) Számítsa ki az e egyenes x tengellyel bezárt szögét! (4 pont) Megoldás: a)
(A két egyenes egyenletéből alkotott egyenletrendszer megoldása adja a P koordinátáit.) Az első egyenletből: y 2,5x 7,25 . (1 pont) Ezt behelyettesítve a második egyenletbe és rendezve x 1,5 . (1 pont) (1 pont) y 3,5 Tehát P 1, 5; 3, 5 .
b) Az egyenesek meredeksége: me
(1 pont) 5 2
(1 pont)
2 (1 pont) 5 A meredekségek szorzata –1, (1 pont) tehát a két egyenes merőleges. (1 pont) A feladat megoldható a normálvektorok skaláris szorzatát megvizsgálva is. Az e egyenes meredeksége 2,5, tehát az egyenes x tengellyel bezárt α szögére igaz, hogy tg 2,5 . (3 pont) mf
c)
Ebből 68, 2 .
(1 pont) Összesen: 12 pont
II/B. 16) Újsághír: „Szeizmológusok számításai alapján a 2004. december 26-án Szumátra szigetének közelében kipattant földrengés a Richter-skála szerint 9,3-es erősségű volt; a rengést követő cunami (szökőár) halálos áldozatainak száma megközelítette a 300 ezret.” A földrengés Richter-skála szerinti „erőssége” és a rengés középpontjában felszabaduló energia között fennálló 2 összefüggés: M 4, 42 lg E . 3 Ebben a képletben E a földrengés középpontjában felszabaduló energia mérőszáma (joule-ban mérve), M pedig a földrengés erősségét megadó nem negatív szám a Richter-skálán. a) A Nagasakira 1945-ben ledobott atombomba felrobbanásakor felszabaduló energia 1, 344 1014 joule volt. A Richter-skála szerint mekkora erősségű az a földrengés, amelynek középpontjában ekkora energia szabadul fel? (3 pont) b) A 2004. december 26-i szumátrai földrengésben mekkora volt a felszabadult energia? (3 pont) c) A 2007-es chilei nagy földrengés erőssége a Richter-skála szerint 2vel nagyobb volt, mint annak a kanadai földrengésnek az erőssége, amely ugyanebben az évben következett be. Hányszor akkora energia szabadult fel a chilei földrengésben, mint a kanadaiban? (5 pont) d) Az óceánban fekvő egyik szigeten a földrengést követően kialakuló szökőár egy körszelet alakú részt tarolt le. A körszeletet határoló körív középpontja a rengés középpontja, sugara pedig 18 km. A rengés középpontja a sziget partjától 17 km távolságban volt (lásd a felülnézeti ábrán). Mekkora a szárazföldön elpusztult rész területe egész négyzetkilométerre kerekítve? (6 pont) Megoldás: a)
M 4,42
M 5 b)
2 lg 1,344 1014 3
9,3 4,42
(1 pont) (2 pont)
2 lg E 3
lg E 20,58 Tehát a felszabadult energia körülbelül E 3,8 1020 J
(1 pont) (1 pont) (1 pont)
c)
A chilei rengés erőssége 2-vel nagyobb volt, mint a kanadai: 2 2 4,42 lg Ec 4,42 lg Ek 2 3 3 Rendezve: lg Ec lg Ek 3 E (A logaritmus azonosságát alkalmazva) lg c 3 Ek E Ebből c 1000 Ek 1000-szer akkora volt a felszabadult energia. d) Az ábra jelöléseit használjuk. Az AKF derékszögű háromszögből: 17 (1 pont) cos 18 (1 pont) 19,2 2 38,4
TAKB
182
sin38,4 100,6 km 2
38,4 108,6 km2 360 108,6 100,6 8 km2
Tkörcikk 182 Tkörszelet
2
(1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont)
(1 pont)
Az elpusztult rész területe körülbelül 8 km2 .
(1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 17 pont
17) a) Hány olyan négy különböző számjegyből álló négyjegyű számot tudunk készíteni, amelynek mindegyik számjegye eleme az (3 pont) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 halmaznak? b) Hány 4-gyel osztható hétjegyű szám alkotható az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből? (6 pont) c) Hány olyan hatjegyű, hárommal osztható szám írható fel, amely csak az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyeket tartalmazza, és e számjegyek mindegyike legalább egyszer előfordul benne? (8 pont) Megoldás: Összesen 7 6 5 4 , (2 pont) azaz 840 négyjegyű számot lehet készíteni. (1 pont) b) Az első öt számjegy mindegyike lehet az 1, 2, 3, 4, 5 számok közül bármelyik, ez összesen 55 3125 lehetőség. (2 pont) a)
c)
Az utolsó két számjegy a 4-gyel való oszthatóság miatt csak a következő öt eset valamelyike lehet: 12, 24, 32, 44, 52. (2 pont) 5 Összesen 5 5 (1 pont) azaz 15 625 hétjegyű szám alkotható. (1 pont) Az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek mindegyike szerepel a hatjegyű számban, közülük az egyik pontosan kétszer. (1 pont) Csak a 3-as számjegy lehet az, amelyik kétszer fordul elő, (1 pont) mert a számjegyek összegének 3-mal oszthatónak kell lennie, (1 pont) és 1+ 2+ 3+ 4 + 5 = 15 (ami osztható 3-mal). (1 pont) 6 A két 3-as számjegy helyét -féleképpen választhatjuk meg. (1 pont) 2 A megmaradó 4 helyre 4!-féleképpen helyezhető el a többi számjegy. (1 pont) 6 A megfelelő hatjegyű számokból összesen 4! , (1 pont) 2 azaz 360 darab van. (1 pont) Összesen: 17 pont
18) Egy csonkakúp alakú tejfölös doboz méretei a következők: az alaplap átmérője 6 cm, a fedőlap átmérője 11 cm és az alkotója 8,5 cm. a) Hány cm3 tejföl kerül a dobozba, ha a gyárban a kisebbik körlapján álló dobozt magasságának 86%-áig töltik meg? Válaszát tíz cm3-re kerekítve adja meg! (11 pont) b) A gyártás során a dobozok 3%-a megsérül, selejtes lesz. Az ellenőr a gyártott dobozok közül visszatevéssel 10 dobozt kiválaszt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a 10 doboz között lesz legalább egy selejtes? Válaszát két tizedesjegyre kerekítve adja meg! (6 pont) Megoldás: a)
Ábra. A csonkakúp m cm magas. (A szimmetria miatt) ED 2,5 cm . Az AED derékszögű háromszögből ( AD 8,5 cm , AE m ):
(1 pont) (1 pont)
m 2 8,52 2,52 (1 pont) m 8,1 Ennek 86%-a: 0,86m 7,0 . (1 pont) Az APQ és az AED derékszögű háromszögek hasonlók (mindkettő derékszögű és egyik hegyesszögük közös); a hasonlóságuk aránya (megfelelő oldalaik hosszának aránya) 0,86. Ezért PQ 0,86 DE , vagyis PQ 8,6 2,5 2,15. A síkmetszet sugara: GQ 3 2,15 5,15. 7,0 A tejföl térfogata V 5,152 32 5,15 3 3 3 V 372,9 cm
(1 (1 (1 (1
pont) pont) pont) pont)
(1 pont) (1 pont)
Tíz cm3-re kerekítve a tejföl térfogata 370 cm3 . (1 pont) b) Komplementer eseménnyel számolunk. (1 pont) Sérült doboz kiválasztásának a valószínűsége 0,03, ezért a jó doboz kiválasztásának a valószínűsége 0,97. (1 pont) Annak a valószínűsége, hogy az ellenőr nem talál selejtes terméket 0,9710 , (2 pont) 10 tehát annak a valószínűsége, hogy talál selejtest 1 0,97 0,2626 (1 pont) A keresett valószínűség két tizedesjegyre kerekítve 0,26. (1 pont) A feladat az eredeti esemény valószínűségét kiszámolva is megoldható. Összesen: 17 pont
