MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. október 16. KÖZÉPSZINT I. 1) Az
an
számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a
sorozat 26. tagját!
(2 pont)
Megoldás:
a26 104
(2 pont)
2) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A B 1; 2; 3; 4; 5; 6 , A \ B 1; 4 és A B 2; 5 . Sorolja fel az A és a B halmaz elemeit! Megoldás:
(2 pont)
A 1; 2; 4; 5
(1 pont)
B 2; 3; 5; 6
(1 pont) Összesen: 2 pont
3) Adja meg azt az x valós számot, melyre a következő egyenlőség teljesül! 1 (2 pont) x 2 2 Megoldás: x 16
4) Egy középiskolának 480 tanulója van. A diákok egy része kollégiumban lakik, a többiek bejárók. A bejárók és a kollégisták nemek szerinti eloszlását mutatja a kördiagram. Adja meg a kollégista fiúk számát! Válaszát indokolja!
(2 pont)
(3 pont)
Megoldás: A kollégista fiúk számát ábrázoló körcikkhez tartozó középponti szög 45°. (1 pont)
1 Ez a 360°-nak része. 8 A kollégista fiúk száma: 60.
(1 pont) (1 pont) Összesen: 3 pont
5) Egy érettségiző osztály félévi matematika osztályzatai között elégtelen nem volt, de az összes többi jegy előfordult. Legkevesebb hány tanulót kell kiválasztani közülük, hogy a kiválasztottak között biztosan legyen legalább kettő, akinek azonos volt félévkor a matematika osztályzata? (2 pont) Megoldás: A kiválasztandó tanulók száma: 5. 6) Egy szám
(2 pont)
5 részének a 20%-a 31. Melyik ez a szám? Válaszát indokolja! 6 (3 pont)
Megoldás: A keresett számot x-szel jelölve, a szám 5 x 0,2 31 6 x 186
5 5 része: x . 6 6
(1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 3 pont
7) Döntse el, melyik állítás igaz, melyik hamis! a) A valós számok halmazán értelmezett f x 4 hozzárendelési szabállyal megadott függvény grafikonja az x tengellyel párhuzamos egyenes. (1 pont) b) Nincs két olyan prímszám, amelyek különbsége prímszám. (1 pont) c) Az 1 cm sugarú kör kerületének cm-ben mért számértéke kétszer akkora, mint területének cm2-ben mért számértéke. (1 pont) d) Ha egy adathalmaz átlaga 0, akkor a szórása is 0. (1 pont) Megoldás: a)
igaz
(1 pont)
b) hamis
(1 pont)
c)
(1 pont)
igaz
d) hamis
(1 pont) Összesen: 4 pont
8) Rajzoljon egy gráfot, melynek 5 csúcsa és 5 éle van, továbbá legalább az egyik csúcsának a fokszáma 3. (2 pont) Megoldás: A feltételeknek megfelelő gráf.
(2 pont)
9) Adja meg az alábbi hozzárendelési szabályokkal megadott, a valós számok halmazán értelmezett függvények értékkészletét! f x 2 sin x (2 pont) g(x ) cos 2x Megoldás: f értékkészlete: 2; 2
(1 pont)
g értékkészlete: 1;1
(1 pont) Összesen: 2 pont
10) Az a és b vektorok 120°-os szöget zárnak be egymással, mindkét vektor hossza 4 cm. Határozza meg az a b vektor hosszát! (2 pont) Megoldás: Az a b vektor hossza 4 cm.
(2 pont)
11) Számítsa ki a szabályos tizenkétszög egy belső szögének nagyságát! Válaszát indokolja! (3 pont) Megoldás: A (szabályos) tizenkétszög belső szögeinek összege: 12 2 180 1800 , így egy belső szöge 150 .
12) A
bn
(2 pont) (1 pont) Összesen: 3 pont
mértani sorozat hányadosa 2, első hat tagjának összege 94,5.
Számítsa ki a sorozat első tagját! Válaszát indokolja! Megoldás:
(3 pont)
26 1 94,5 b1 2 1
(1 pont)
94,5 b1 63
(1 pont)
b1 1, 5
(1 pont) Összesen: 3 pont
II/A. 13) Egy háromszög csúcsainak koordinátái: A 2; 1 , B 9; 3 , és C 3; 6 . a) Írja fel a BC oldal egyenesének egyenletét! (3 pont) b) Számítsa ki a BC oldallal párhuzamos középvonal hosszát! (3 pont) c) Számítsa ki a háromszögben a C csúcsnál lévő belső szög nagyságát! (6 pont) Megoldás: a) A BC oldalegyenes egy irányvektora a BC 12;9 vektor. (1 pont) Ezzel az egyenes egyenlete: 9x 12y 9 9 12 3 ,
(1 pont)
azaz: 9x 12y 45 3x 4y 15 . (1 pont) b) A BC oldallal párhuzamos középvonal hossza fele a BC oldal hosszának. (1 pont) A BC oldal hossza:
122 9 15 2
A középvonal hossza: 7, 5 . c)
(1 pont) (1 pont)
Az ABC háromszög oldalainak hossza: AB 125 , BC 15 , AC 50 . (2 pont) A C csúcsnál lévő belső szöget jelölje . Alkalmazva a koszinusztételt: (1 pont)
125 225 50 2 15 50 cos 2 0,7071 2 (Mivel 0 180 , így) 45 cos
(1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 12 pont
14) Egy ajándéktárgyak készítésével foglalkozó kisiparos családi vállalkozása keretében zászlókat, kitűzőket is gyárt. Az ábrán az egyik általa készített kitűző stilizált képe látható. A kitűzőn lévő három mező kiszínezéséhez 5 szín (piros, kék, fehér, sárga, zöld) közül választhat. Egy mező kiszínezéséhez egy színt használ, és a különböző mezők lehetnek azonos színűek is. a) Hányféle háromszínű kitűzőt készíthet a kisiparos? (3 pont) b) Hányféle kétszínű kitűző készíthető? (5 pont) A kisiparos elkészíti az összes lehetséges különböző (egy-, két- és háromszínű) kitűzőt egy-egy példányban, és véletlenszerűen kiválaszt közülük egyet. c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy olyan kitűzőt választ, amelyen az egyik mező kék, egy másik sárga, a harmadik pedig zöld színű? (4 pont)
Megoldás: a)
Ha három színt akarunk felhasználni, akkor a kitűző mezői különböző színűek lesznek. (1 pont) Az egyik (például a legbelső) mezőt 5-féle, a mellette levőt 4-féle, a harmadikat 3-féle színnel színezhetjük ki. (1 pont) Így 5 4 3 60 -féle háromszínű kitűzőt készíthetünk. (1 pont) 5 b) Az ötből két színt 10 -féleképpen választhatunk ki. (2 pont) 2 A három mező közül a két egyszínűt háromféleképpen lehet kiválasztani, és mindegyik esethez kétféle színezés tartozik, ez összesen 6 lehetőség. (2 pont) A kétszínű kitűzők száma így 10 6 60 . (1 pont) c) A kitűző minden mezőjét ötféleképpen színezhetjük ki, így összesen (1 pont) 5 5 5 125 -féle színezés lehetséges. A megadott három szín 3 2 1 6 kitűzőn szerepel. (1 pont) 6 kedvező esetek száma A kérdéses valószínűség tehát p 0, 048 . 125 összes eset száma (2 pont) Összesen: 12 pont 15) Legyenek f és g a valós számok halmazán értelmezett függvények, továbbá: f x 5x 5, 25 és g x x 2 2x 3, 5 a) Számítsa ki az alábbi táblázatok hiányzó értékeit! (3 pont) x f(x)
3
x g(x)
2,5
b) Adja meg a g függvény értékkészletét! c) Oldja meg az 5x 5, 25 x 2 2x 3, 5 számok halmazán! Megoldás: a)
(3 pont) egyenlőtlenséget a valós (6 pont)
f 3 20, 25
(1 pont)
x 2 2x 3,5 2,5 x 1
(1 pont) (1 pont)
b) A függvény hozzárendelési utasítását átalakítva: x 2 2x 3,5 x 1 2,5 2
c)
A függvény minimuma a 2,5. Az értékkészlet: 2, 5;
(1 pont) (1 pont) (1 pont)
Rendezés után: x 2 3x 1,75 0 .
(1 pont)
7 1 és x 2 . 2 2 Mivel a másodfokú kifejezés főegyütthatója pozitív, 1 7 ezért az egyenlőtlenség megoldása: x . 2 2
Az x 2 3x 1,75 0 egyenlet gyökei: x1
(2 pont) (1 pont) (2 pont) Összesen: 12 pont
II/B. 16) Stefi mobiltelefon-költségeinek fedezésére feltöltőkártyát szokott vásárolni. A mobiltársaság ebben az esetben sem előfizetési díjat, sem hívásonkénti kapcsolási díjat nem számol fel. Csúcsidőben a percdíj 25 forinttal drágább, mint csúcsidőn kívül. Stefi az elmúlt négy hétben összesen 2 órát telefonált és 4000 Ft-ot használt fel kártyája egyenlegéből úgy, hogy ugyanannyi pénzt költött csúcsidőn belüli, mint csúcsidőn kívüli beszélgetésekre. a) Hány percet beszélt Stefi mobiltelefonján csúcsidőben az elmúlt négy hétben? A mobiltársaság Telint néven új mobilinternet csomagot vezet be a piacra január elsején. Januárban 10 000 új előfizetőt várnak, majd ezután minden hónapban az előző havinál 7,5%-kal több új előfizetőre számítanak. Abban a hónapban, amikor az adott havi új előfizetők száma eléri a 20 000-et, a társaság változtatni szeretne a Telint csomag árán. (11 pont) b) Számítsa ki, hogy a tervek alapján melyik hónapban éri el a Telint csomag egyhavi új előfizetőinek a száma a 20 000-et! (6 pont) Megoldás: a)
Az Jelöljük x-szel azt, hogy Stefi hány percet beszélt csúcsidőben 0 x 120 és y-nal azt, hogy hány forintot kell fizetni a telefonálásért percenként csúcsidőben 25 y . (1 pont) A feladat szövege alapján felírható egyenletrendszer: xy 2000
120 x y 25 2000
(2 pont)
A zárójeleket felbontva: 120y xy 25 120 25x 2000 (1 pont) 2000 Az egyik ismeretlent kifejezve: y (1 pont) x 2000 Behelyettesítés után: 120 (1 pont) 25x 7000 x Rendezve: 25x 2 7000x 240000 0 (1 pont) A másodfokú egyenlet két gyöke: x1 40 és x2 240 . (1 pont) A 240 nem megoldása a feladatnak, mivel összesen 120 percet beszélt. (1 pont) Stefi 40 percet beszélt csúcsidőben mobiltelefonján a kérdéses időszakban. (1 pont) Ellenőrzés a szöveg alapján. (1 pont) b) Ha az első hónap után n hónappal az új előfizetők száma már elérte a 20 000et, akkor 10000 1,075n 20000 . (1 pont) (Mivel a tízes alapú logaritmus függvény szigorúan monoton növekvő, ezért) (1 pont) (1 pont) n lg1,075 lg 2 (1 pont) n 9,58 A bevezetés hónapja utáni 10. hónapban, tehát novemberben várható, hogy az új előfizetők száma eléri a 20 000-et. (2 pont) Összesen: 17 pont
17) Egy szabályos négyoldalú (négyzet alapú) gúla alapéle 12 cm, oldallapjai 60°-os szöget zárnak be az alaplap síkjával. a) Számítsa ki a gúla felszínét (cm2-ben) és térfogatát (cm3-ben)! Válaszait egészre kerekítve adja meg! (7 pont) A gúlát két részre osztjuk egy az alaplappal párhuzamos síkkal, amely a gúla magasságát a csúcstól távolabbi harmadoló pontban metszi. b) Mekkora a keletkező gúla és csonkagúla térfogatának aránya? Válaszát egész számok hányadosaként adja meg! (5 pont) 2 c) Számítsa ki a keletkező csonkagúla felszínét cm -ben! (5 pont) Megoldás: a)
Jó ábra az adatok feltüntetésével. (1 pont)
A gúla magassága: 3 (1 pont) M 12 6 3 10,39 (cm). 2 A gúla oldallapjának a 12 cm-es oldalhoz tartozó magassága szintén 12 cm. (1 pont) 2 12 A gúla felszíne: A 122 4 (2 pont) 432 cm2. 2 122 6 3 A gúla térfogata: V (2 pont) 499 cm3. 3 b) Az adott sík a gúlát egy csonkagúlára és egy az eredetihez hasonló gúlára 2 vágja szét, ahol a hasonlóság aránya . (2 pont) 3 Vlevágott gúla 2 3 8 A hasonló testek térfogatának aránya: , (1 pont) Veredeti gúla 3 27
c)
A hasonló testek térfogatának aránya: 19 : 27 , (1 pont) azaz a keletkező testek térfogatának aránya 8 : 19 . (1 pont) (A középpontos hasonlósági transzformáció tulajdonságai miatt) a csonkagúla 2 fedőéle 12 8 (cm), alapéle 12 cm. (1 pont) 3 1 Egy oldallapjának magassága 12 4 (cm). (1 pont) 3 12 8 4 40 (cm2) . 2 A csonkagúla felszíne: A 122 82 4 40 368 cm2.
Egy oldallapjának területe: T
(1 pont) (2 pont) Összesen: 17 pont
18) Az egyik világbajnokságon részt vevő magyar női vízilabdacsapat 13
tagjának életkor szerinti megoszlását mutatja az alábbi táblázat. a) Számítsa ki a csapat átlagéletkorát! (2 pont) Jelölje A azt az eseményt, hogy a csapatból 7 játékost véletlenszerűen kiválasztva, a kiválasztottak között legfeljebb egy olyan van, aki 20 évnél fiatalabb. b) Számítsa ki az A esemény valószínűségét! (8 pont) A világbajnokság egyik mérkőzésén a magyar kezdőcsapat 6 mezőnyjátékosáról a következőket tudjuk: a legidősebb és a legfiatalabb játékos életkorának különbsége 12 év, a játékosok életkorának egyetlen módusza 22 év, a hat játékos életkorának mediánja 23 év, a hat játékos életkorának átlaga 24 év. c) Adja meg a kezdőcsapat hat mezőnyjátékosának életkorát! (7 pont) Megoldás: 17 2 18 19 ... 25 26 31 289 22, 23 év 13 13 (2 pont) b) (A 13 játékosból 9 olyan van, aki 20 évnél idősebb, így) azoknak az eseteknek 9 a száma, amikor nincs a kiválasztott 7 játékos között 20 évnél fiatalabb: . 7 (1 pont) Azoknak az eseteknek a száma, amikor egy játékos 20 évnél fiatalabb (és 6 4 9 játékos 20 évnél idősebb): . (2 pont) 1 6 Az A esemény bekövetkezése szempontjából kedvező esetek számát a fenti két 9 9 szám összege adja: 4 36 336 372 . (2 pont) 7 6
a)
Az életkorok átlaga:
13 Az összes esetszám: . 7
(1 pont)
9 9 4 7 6 372 0, 2168 A kérdéses valószínűség: P (A ) 1716 13 7
(2 pont)
c)
(A legidősebb és legfiatalabb játékos életkorának különbsége csak egyféleképpen lehet 12 év, ha) a legidősebb játékos a 6 31 , (1 pont) a legfiatalabb pedig a1 19 éves.
(1 pont)
A móduszból következik, hogy a játékosok közül ketten a2 és a3 22 évesek. (1 pont) Mivel hat játékos van, ezért a medián a3 és a4 számtani közepe, azaz az egyik játékos a 4 24 éves (és ilyen korú játékos valóban van a csapatban).
(2 pont) 118 a5 Az átlagból következik, hogy (1 pont) 24 6 vagyis ez a játékos a 5 26 éves (és ilyen korú játékos valóban van a csapatban).
(1 pont) Összesen: 17 pont
