Matematicky´ KLOKAN 2007 kategorie Junior
´ lohy za 3 body U
1. Lucka, Radek a David majı´ dohromady 30 mı´cˇu˚. Jestlizˇe Radek da´ 5 mı´cˇu˚ Davidovi, David da´ 4 mı´cˇe Lucce a Lucka da´ 2 mı´cˇe Radkovi, budou mı´t oba chlapci stejny´ pocˇet mı´cˇu˚ jako Lucka. Kolik mı´cˇu˚ meˇla Lucka na pocˇa´tku? (A) 8
(B) 9
(C) 11
(D) 13
(E) 15
2. Urcˇete soucˇet bodu˚ na steˇna´ch, ktere´ nevidı´me? (A) 11 (D) 27
(B) 12 (E) jina´ odpoveˇd
(C) 15
3. V troju´helnı´ku ABC je bod D strˇedem u´secˇky AB, bod E strˇedem u´secˇky DB a bod F strˇedem u´secˇky BC. Jestlizˇe je obsah troju´helnı´ku ABC roven 96 cm2 , jaky´ je obsah (v cm2 ) troju´helnı´ku AEF? (A) 16
(B) 24
(C) 32
(D) 36
(E) 48
4. Jana rozdeˇlila svy´ch 2007 kulicˇek do trˇech tasˇek A, B a C tak, aby v kazˇde´ byl stejny´ pocˇet kulicˇek. Jestlizˇe Jana prˇesune dveˇ trˇetiny kulicˇek z tasˇky A do tasˇky C, pak pomeˇr pocˇtu kulicˇek v tasˇka´ch A a C bude (A) 1 : 2
(B) 1 : 3
(C) 2 : 3
(D) 1 : 5
(E) 3 : 2
5. Mezina´rodnı´ organizace ma´ 32 cˇlenu˚. Kazˇdy´ rok se zvy´sˇ´ı pocˇet jejı´ch cˇlenu˚ o 50 %. Kolik bude mı´t cˇlenu˚ za trˇi roky? (A) 182
(B) 128
(C) 108
(D) 96
(E) 80
6. Kra´l se ma´ dostat z leve´ho hornı´ho rohu sˇachovnice (na obra´zku) do prave´ho dolnı´ho rohu, mu˚zˇe se pohybovat na jake´koliv sousedı´cı´ pole vcˇetneˇ diagona´lnı´ho smeˇru (1 tah = 1 pole). Kolik existuje cest s minima´lnı´m pocˇtem tahu˚? (A) 1
(B) 4
(C) 7
(D) 20
(E) 35
7. Ve vy´razu 2007 − KAN − GA − ROO nahrad’te pı´smena cˇ´ıslicemi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 tak, aby jeho hodnota byla co nejmensˇ´ı. Stejna´ pı´smena nahrad’te stejnou cˇ´ıslicı´, ru˚zna´ ru˚zny´mi. Nejmensˇ´ı hodnota je pak: (A) 100
(B) 110
(C) 113
36
(D) 119
(E) 129
Junior 2 8. V na´sledujı´cı´ tabulce musı´ by´t v kazˇde´m ˇra´dku a kazˇde´m sloupci dva cˇtverce cˇervene´ (Cˇ) a dva cˇtverce zelene´ (Z). Jak budou obarveny cˇtverce X a Y (v dane´m porˇadı´)? (A) CˇCˇ (D) ZZ
(B) CˇZ (E) nelze rozhodnout
Cˇ
Cˇ Cˇ X Y
(C) ZCˇ
Z
´ lohy za 4 body U
A
9. Je da´n troju´helnı´k ABC. Vrcholy A a B jsou s protilehly´mi stranami spojeny dveˇma u´secˇkami. Takto je troju´helnı´k rozdeˇlen na 9 neprˇekry´vajı´cı´ch se cˇa´stı´. Jestlizˇe bychom vyuzˇili 8 u´secˇek (4 z bodu A a 4 z bodu B), kolik bychom zı´skali neprˇekry´vajı´cı´ch se cˇa´stı´? (A) 16
(B) 25
(C) 36
(D) 42
(E) 49
C
B
10. Na ostroveˇ zˇijı´ pouze lha´ˇri a pravdomluvnı´ (lha´ˇri vzˇdy lzˇou a pravdomluvnı´ mluvı´ vzˇdy pravdu). U totemu se sesˇlo 12 ostrovanu˚ (lha´ˇru˚ i pravdomluvny´ch). Dva ˇrekli: „Pra´veˇ dva z na´s dvana´cti jsou lha´ˇri.“ Dalsˇ´ı cˇtyrˇi ˇrekli: „Pra´veˇ cˇtyrˇi z na´s dvana´cti jsou lha´ˇri.“ Zbyly´ch sˇest ˇreklo: „Pra´veˇ sˇest z na´s dvana´cti jsou lha´ˇri.“ Kolik lha´ˇru˚ se sesˇlo u totemu? (A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 8
(E) 10
11. Ktery´m cˇ´ıslem musı´me umocnit cˇ´ıslo 44 , abychom zı´skali 88 ? (A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 8
(E) 16
12. Studenti ˇresˇili zajı´mavy´ u´kol. Na za´veˇr se uka´zalo, zˇe pocˇet chlapcu˚, kterˇ´ı vyrˇesˇili u´kol, je stejny´ jako pocˇet dı´vek, ktere´ u´kol nevyrˇesˇily. Porovnejte pocˇet dı´vek a u´speˇsˇny´ch ˇresˇitelu˚: (A) dı´vek je vı´ce nezˇ u´speˇsˇny´ch ˇresˇitelu˚ (C) je jich stejneˇ (E) takova´ situace nemu˚zˇe nastat
(B) u´speˇsˇny´ch ˇresˇitelu˚ je vı´ce nezˇ dı´vek (D) nelze jednoznacˇneˇ rozhodnout
10 m 13. Koza je uva´za´na k rohu ku˚lny tvaru obde´lnı´ku o strana´ch 4 m a 6 m koza provazem dlouhy´m 10 m. Urcˇete obvod plochy, kde se mu˚zˇe koza pohybovat (velikost kozy zanedbejte). 4m (A) 20π (B) 22π (C) 40π (D) 88π (E) 100π
6m 14. Ve 21.00 hodin jsem jel automobilem rychlostı´ 100 km/h. Prˇi te´to rychlosti by mi vystacˇil benzı´n v na´drzˇi na 80 km. Nejblizˇsˇ´ı benzı´nova´ pumpa je vsˇak vzda´lena´ 100 km. Spotrˇeba benzı´nu je u me´ho auta prˇ´ımo u´meˇrna´ rychlosti. V kolik hodin mohu nejdrˇ´ıve dorazit k benzı´nove´ pumpeˇ? (A) 22.12
(B) 22.15
(C) 22.20
37
(D) 22.25
(E) 22.30
Junior 3 15. Lichobeˇzˇnı´k vznikl odstrˇizˇenı´m jednoho rohu rovnostranne´ho troju´helnı´ku. Prˇilozˇ´ıme-li dva takove´ lichobeˇzˇnı´ky k sobeˇ, dostaneme rovnobeˇzˇnı´k, jehozˇ obvod je o 10 cm veˇtsˇ´ı nezˇ obvod pu˚vodnı´ho troju´helnı´ku. Urcˇete obvod pu˚vodnı´ho rovnostranne´ho troju´helnı´ku. (A) 10 cm (D) 60 cm
(B) 30 cm (E) nenı´ dostatek informacı´
(C) 40 cm
16. Dveˇ sˇkoly se utkaly ve stolnı´m tenisu. Kazˇdou sˇkolu reprezentovalo 5 zˇa´ku˚. Hra´ly se pouze cˇtyrˇhry (2 zˇa´ci jedne´ sˇkoly proti 2 zˇa´ku˚m druhe´ sˇkoly). Byly odehra´ny vsˇechny mozˇne´ za´pasy, tj. utka´nı´ vsˇech mozˇny´ch dvojic zˇa´ku˚ jedne´ sˇkoly proti kazˇde´ dvojici zˇa´ku˚ druhe´ sˇkoly. Kolik za´pasu˚ odehra´l kazˇdy´ zˇa´k? (A) 10
(B) 20
(C) 30
(D) 40
(E) 50
´ lohy za 5 bodu˚ U
17. Posloupnost pı´smen KANGAROOKANGAROO. . . KANGAROO je tvorˇena dvaceti slovy KANGAROO napsany´mi za sebou. Kazˇde´ pı´smeno na liche´ pozici odstranı´me. Tote´zˇ provedeme s posloupnostı´ vytvorˇenou ze zbyly´ch pı´smen, opeˇt odstranı´me vsˇechna pı´smena na lichy´ch pozicı´ch. Tento postup opakujeme tak dlouho, dokud nezu˚stane jedine´ pı´smeno. Ktere´ to je? (A) K
(B) A
(C) N
(D) G
(E) O
A 18. Kolika zpu˚soby se mu˚zˇeme dostat z bodu A do bodu B, jestlizˇe se smı´me pohybovat pouze ve smeˇru sˇipek? (A) 16
(B) 27
(C) 64
(D) 90
(E) 111
B 19. Ve vesnici ma´ kazˇdy´ obyvatel jiny´ pocˇet vlasu˚, prˇicˇemzˇ nikdo nema´ pra´veˇ 2007 vlasu˚. Nejveˇtsˇ´ı pocˇet vlasu˚ ma´ Pepa. Pocˇet vesnicˇanu˚ je veˇtsˇ´ı nezˇ pocˇet Pepovy´ch vlasu˚. Urcˇete nejveˇtsˇ´ı mozˇny´ pocˇet vesnicˇanu˚. (A) 2 (D) 2008
(B) 2006 (C) 2007 (E) pocˇet vesnicˇanu˚ nenı´ omezen
20. Kruh o pru˚meˇru 1 dm se valı´ po obvodu pravidelne´ho sˇestiu´helnı´ku o straneˇ 1 dm. Jakou dra´hu (v dm) urazı´ strˇed kruhu prˇi jednom obeˇhu kolem sˇestiu´helnı´ku? (A) 6 +
π 2
(B) 6 + π
(D) 12 + π
(C) 6 + 2π
38
(E) 12 + 2π
Junior 4 21. Rovnostranne´mu troju´helnı´ku je vepsa´na kruzˇnice a do nı´ je vepsa´n rovnostranny´ troju´helnı´k a pravidelny´ sˇestiu´helnı´k (viz obra´zek). Oznacˇme S 1 obsah velke´ho troju´helnı´ku, S2 je obsah male´ho troju´helnı´ku a S3 je obsah sˇestiu´helnı´ku. Ktere´ z na´sledujı´cı´ch tvrzenı´ platı´? √ S2 + S3 (A) S3 = S1 ⋅ S2 (B) S1 = S2 + S3 (C) S1 = 2 p (D) S3 = S21 + S22 (E) S1 = S3 + 3S2
22. Necht’ x je nejmensˇ´ı prˇirozene´ cˇ´ıslo, pro ktere´ platı´, zˇe 10x je druhou mocninou a 6x je trˇetı´ mocninou neˇjaky´ch prˇirozeny´ch cˇ´ısel. Urcˇete pocˇet kladny´ch deˇlitelu˚ cˇ´ısla x. (A) 30
(B) 40
(C) 54
(D) 72
(E) 96
23. Do cˇtverce o straneˇ 1 cm jsou vepsa´ny dveˇ vza´jemneˇ se doty´kajı´cı´ kruzˇnice (obeˇ se doty´kajı´ dvou stran cˇtverce), viz obra´zek. Urcˇete vzda´lenost strˇedu˚ obou kruzˇnic (v cm). √ √ 1 2 (A) (B) (C) 2 − 1 2 √ 2 (D) 2 − 2 (E) za´lezˇ´ı to na poloze obou kruzˇnic
24. Oznacˇme u, v rea´lne´ korˇeny rovnice x 2 − 3x + 1 = 0. Urcˇete u3 + v3 . (A) 12
(B) 14
(C) 16
(D) 18
39
(E) 24
Matematický KLOKAN 2007 výsledky jednotlivých kategorií
Junior 1 A, 2 D, 3 D, 4 D, 5 C, 6 B, 7 B, 8 A, 9 B, 10 C, 11 B, 12 C, 13 A, 14 B, 15 B, 16 D, 17 E, 18 D, 19 C, 20 B, 21 A, 22 D, 23 D, 24 D.
40
