Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a řady Ing. Leopold Vrána

Obsah Předmluva

5

Část 1. Mocninné řady

7

Kapitola 1.

Konvergence mocninné řady

9

Kapitola 2.

Součtová funkce mocninné řady

17

Část 2. Funkční posloupnosti

31

Kapitola 3.

Konvergence funkční posloupnosti

33

Kapitola 4.

Věty o limitní funkci

41

Část 3. Funkční řady

55

Kapitola 5.

Stejnoměrná konvergence

57

Kapitola 6.

Věty o záměně

69

Kapitola 7.

Trigonometrické řady

83

Literatura

107

Rejstřík

109

3

Předmluva Skriptum je určeno pro posluchače II. ročníku FJFI ČVUT jako učební pomůcka k přednášce Matematická analýza III, kterou také z jedné třetiny pokrývá. První kapitola pojednává o mocninných řadách většinou v komplexním oboru. Po zavedení pojmu konvergence mocninné řady se vyšetřují základní vlastnosti oboru konvergence. Dále následují věty o spojitosti, diferencovatelnosti a integrovatelnosti součtové funkce mocninné řady, a zkoumají se možnosti rozvoje funkce v mocninnou řadu. Druhá kapitola je věnována funkčním posloupnostem. Zavádějí se různé typy konvergence posloupnosti funkcí s cílem nalézt takový druh konvergence, který nejlépe vystihuje přenos spojitosti z členů funkční posloupnosti na limitní funkci. dále jsou vysloveny a dokázány věty o derivaci, integraci a zobecněné integraci limitní funkce. Ve třetí kapitole jsou aplikovány výsledky předcházející kapitoly na funkční řady. Studují se zde také nekonečné funkční součiny, které jsou potom bezprostředně užity při vyšetřování funkce Γ. Závěrečný odstavec patří trigonometrickým řadám a studiu jejich bodové konvergence. V trigonometrickou řadu jsou rozvíjeny funkce mající absolutně konvergentní zobecněný Riemannův integrál. Většina vět a definic je doplněna řadou poznámek, které vysvětlují, doplňují nebo zobecňují předcházející tvrzení a pojmy. Mnohé poznámky, které konstatují určité skutečnosti, aniž je dokazují, resp. jejich důkaz pouze naznačují mohou sloužit jako užitečná cvičení a to zejména pro posluchače oboru MI.

5

Část 1

Mocninné řady

KAPITOLA 1

Konvergence mocninné řady Definice 1.1: +∞ Buďte (an )n=1 posloupnost komplexních čísel, z0 , z ∈ C. Potom řadu +∞ X

n=0

n

(1.1)

an (z − z0 )

nazýváme mocninnou řadou.1 Poznámka 1.1.1. Je-li z = z0 , potom mocninná řada (1.1) konverguje pro +∞ libovolnou posloupnost (an )n=0 . Je-li z 6= z0 , potom konvergence, resp. divergence +∞ mocninné řady (1.1) závisí na volbě posloupnosti (an )n=0 . Poznámka 1.1.2. Řada +∞ X n n! (z − z0 ) n=0

2

konverguje pouze pro z = z0 . Poznámka 1.1.3. Řada

+∞ n X (z − z0 ) n! n=0

konverguje pro všechna komplexní z. Poznámka 1.1.4. Vyšetřeme nyní konvergenci řady +∞ n X (z − 1 − i) n+1 n=0

v závislosti na z ∈ C. (a) Řada diverguje pro všechna z ∈ {z ∈ C | |z − 1 − i| > 1 }. Pro taková z totiž n neplatí nutná podmínka lim (z−1−i) = 0. n+1 n→+∞

(b) Podle Cauchyova odmocninového kritéria naše řada absolutně konverguje pro všechna z ∈ {z ∈ C | |z − 1 − i| < 1 }. (c) Je-li |z − 1 − i| = 1, můžeme číslo z − i − 1 jednoznačně vyjádřit ve tvaru eiϕ , kde ϕ ∈ (−π, πi. +∞ P einϕ Číselná řada n+1 pro ϕ = 0 podstatně diverguje a pro ϕ ∈ (−π, 0) ∪ (0, πi n=0

podle Dirichletova kritéria3 konverguje. Odtud vyplývá, že řada

+∞ P

n=0

(z−1−i)n n+1

na

1Čísla a v (1.1) se nazývají koeficienty mocninné řady. n 2Pro ostatní z = 6 z0 totiž neplatí nutná podmínka konvergence limn→+∞ n! (z − z0 )n = 0. 3Nechť je dána číselná řada ve tvaru P+∞ a b a nechť platí:

n=0 n n P (i) (∃c > 0)(∀n ∈ N)( n k=0 bk ≤ c); (ii) posloupnost (an )0+∞ je reálná, monotónní a platí limn→+∞ an = 0. P+∞ Potom n=0 an bn konverguje. 1 1 , bn = einϕ a např. c = (viz pozn. 5.6.1 (str. 62)). Zde konkrétně: an = n+1 |sin ϕ2 |

9

10

1. KONVERGENCE MOCNINNÉ ŘADY

kružnici {z ∈ C| |z − 1 − i| = 1} konverguje (neabsolutně) s výjimkou jediného bodu z = 2 + i, kde podstatně diverguje (do +∞). Definice 1.2: Označme B (z0 , (an )) množinu všech z ∈ C, pro která mocninná řada (1.1) konverguje. Množinu B (z0 , (an )) nazveme obor konvergence mocninné řady (1.1). Poznámka 1.2.1. Z poznámky 1.1.1 vyplývá, že obor konvergence B (z0 , (an )) je neprázdná množina a z0 ∈ B (z0 , (an )). Poznámka 1.2.2. Pro řady z poznámek 1.1.2, 1.1.3, 1.1.4 po řadě dostáváme, že: • B (z 0 , (n!)) 1 = {z0 }, • B z0 , n! Ca = 1 • B 1 + i, n+1 = {z ∈ C| |z − 1 − i| ≤ 1} r {2 + i}.

Poznámka 1.2.3. Řady

+∞ P

n=0

n

an (z − z0 ) a

zené číslo, mají stejný obor konvergence.

+∞ P

n=0

an (z − z0 )

n+p

, kde p je přiro-

Věta 1.3: Buď z1 ∈ B (z0 , (an )). Potom {z ∈ C | |z − z0 | < |z1 − z0 | } ⊂ B (z0 , (an )) . Důkaz. (a) Je-li z1 = z0 , je tvrzení pravdivé — ∅ ⊂ B (z0 , (an )). (b) Buď z0 6= z1 ∈ B (z0 , (an )), z ∈ C. Potom platí z − z0 n n n . |an (z − z0 ) | = |an (z1 − z0 ) | · z1 − z0 Nechť dále z splňuje nerovnost

|z − z0 | < |z1 − z0 | .

(1.2)

n +∞

Protože číselná posloupnost (an (z1 − z0 ) )n=0 je konvergentní (→ 0) a tedy omezená, existuje číslo K ∈ R+ tak, že pro všechna n ∈ N0 je z − z 0 n n . |an (z − z0 ) | ≤ K · z1 − z0 A jelikož na pravé straně nerovnosti je člen geometrické posloupnosti s kvocien +∞ P n 0 tem zz−z mocninná řada < 1 (viz (1.2)), an (z − z0 ) konverguje (podle −z 1 0 n=0

srovnávacího kritéria) a tedy z ∈ B (z0 , (an )).

Poznámka 1.3.1. Z důkazu věty 1.3 vyplývá, že je-li z1 ∈ B (z0 , (an )), potom pro všechna {z ∈ C | |z − z0 | < |z1 − z0 | } mocninná řada (1.1) konverguje absolutně. Poznámka 1.3.2. Z předchozí poznámky plyne, že mocninná řada konverguje absolutně na vnitřku svého oboru konvergence. Poznámka 1.3.3. Snadno se přesvědčíme, že z poznámky 1.3.1 rovněž plyne, že obor konvergence mocninné řady je množina konvexní. Věta 1.4: Nechť z2 ∈ / B (z0 , (an )). Potom {z ∈ C | |z − z0 | > |z2 − z0 | } ⊂ C r B (z0 , (an )) .


11

Důkaz. Sporem. Nechť tedy ∃z1 ∈ B (z0 , (an )) ∩ {z ∈ C | |z − z0 | > |z2 − z0 | }. Potom podle věty 1.3 by muselo být z2 ∈ B (z0 , (an )). To je ovšem ve sporu s předpokladem věty. Poznámka 1.4.1. Předpoklad věty 1.4 lze pomocí poznámky 1.3.1 ještě zeslabit: Nechť číselná řada

+∞ P

n=0

n

an (z2 − z0 ) konverguje neabsolutně nebo diverguje. Potom

pro všechna z ∈ C, pro která platí

|z − z0 | > |z2 − z0 |

mocninná řada (1.1) diverguje. Skutečně. Kdyby totiž bylo z1 ∈ B (z0 , (an )) ∩ {z ∈ C | |z − z0 | > |z2 − z0 | }, po+∞ P n an (z2 − z0 ) konvergovat tom by podle poznámky 1.3.1 musela číselná řada n=0

absolutně. Poznámka 1.4.2. Z věty 1.4 plyne, že pokud mocninná řada v nějakém bodě z ∈ C diverguje nebo neabsolutně konverguje, je její obor konvergence omezená množina.

Definice 1.5: Buď r ∈ R+ . Označme

B (z0 , r) = {z ∈ C | |z − z0 | < r } ¯ (z0 , r) = {z ∈ C | |z − z0 | ≤ r } B

Věta 1.6 ( A. L. Cauchy [13]): +∞ Buďte (an )n=0 posloupnost komplexních čísel, z0 ∈ C. Potom platí právě jeden z následujících výroků: (i)B (z0 , (an )) = {z0 } (mocninná řada (1.1) konverguje pouze pro z = z0 ). (ii)B (z0 , (an )) = C (mocninná řada (1.1) konverguje pro každé z ∈ C). (iii)Existuje číslo R ∈ R+ tak, že ¯ (z0 , R) B (z0 , R) ⊂ B (z0 , (an )) ⊂ B

(pro každé z ∈ C, |z − z0 | < R mocninná řada (1.1) konverguje a pro každé z ∈ C, |z − z0 | > R mocninná řada (1.1) diverguje). Důkaz. Označme M = {r ∈ R+ | B (z0 , r) ⊂ B (z0 , (an )) }. Potom nastane právě jedna z následujících možností: (i) M = ∅, tj. B (z0 , (an )) = {z0 } (viz pozn. 1.1.2 (str. 9)). (ii) M = R+ , tj. B (z0 , (an )) = C (viz pozn. 1.1.3 (str. 9)). (iii) ∅ 6= M R+ . Protože M je v tomto případě neprázdnou shora omezenou číselnou množinou, existuje sup M ∈ R+ . Položme R = sup M . (a) Buď nyní z1 ∈ B (z0 , R) (tj. číslo |z1 − z0 | < R). Potom existuje r ∈ M tak, že |z1 − z0 | < r ≤ R 4, tj. z1 ∈ B (z0 , r) ⊂ B (z0 , (an )) .

a tudíž (neboť z1 bylo zcela libovolné) (a R = max M ). (b) Nechť

B (z0 , R) ⊂ B (z0 , (an ))

¯ (z0 , R) . z3 ∈ C r B 4Plyne z druhé vlastnosti supréma.

12


Potom |z3 − z0 | > R (tj. |z3 − z0 | je také horní závora M ) a tedy |z3 − z0 | ∈ / M . Existuje proto z2 ∈ B (z0 , |z3 − z0 |)

takové, že z2 ∈ / B (z0 , (an )) a proto dle věty 1.4 (str. 10) je {z ∈ C | |z − z0 | > |z2 − z0 | } ⊂ C r B (z0 , (an )) .

Protože |z3 − z0 | > |z2 − z0 |, je z3 ∈ C r B (z0 , (an )), a tedy a

¯ (z0 , R) ⊂ C r B (z0 , (an )) CrB ¯ (z0 , R) . B (z0 , (an )) ⊂ B

Poznámka 1.6.1. Bod (iii) věty 1.6 lze topologicky formulovat tak, že existuje R ∈ R+ takové, že platí B ◦ (z0 , (an )) = B (z0 , R)

¯ (z0 , (an )) = B ¯ (z0 , R) . B

a

Přitom symboly A◦ , resp. A¯ rozumíme vnitřek, resp. uzávěr množiny A. Poznámka 1.6.2. Z předcházející poznámky vyplývá, že pro obor konvergence B, který není jednobodový, platí: ¯ (z0 , (an )) . B ◦ (z0 , (an )) = B Poznámka 1.6.3. Přímo z věty 1.6 vidíme, že číslo R s vlastností (iii) existuje pro danou mocninnou řadu nejvýše jedno (je to suprémum množiny). Proto následně definujeme: Definice 1.7: Číslo R ve větě 1.6 nazýváme poloměr konvergence mocninné řady (1.1), bod z0 jejím středem konvergence. Přitom klademe ( 0, je-li B (z0 , (an )) = {z0 } R= +∞, je-li B (z0 , (an )) = C. Poznámka 1.7.1. Připustíme-li v definici 1.5 i r = 0 a r = +∞, můžeme větu 1.6 i s poznámkou 1.6.3 vyslovit nyní takto: K mocninné řadě (1.1) existuje právě jedno číslo R ∈ h0, +∞i tak, že platí ¯ (z0 , R). B (z0 , R) ⊂ B (z0 , (an )) ⊂ B Věta 1.8 (J. Hadamard [26]): Buď R poloměr konvergence mocninné řady (1.1). Potom platí: R=

1 lim sup n→+∞

(Přitom zde klademe +∞ =

1 0

a0=

1 +∞ ).

p n

|an |

.

Důkaz. Z poznámek 1.3.2 (str. 10) a 1.6.1 vyplývá, že hledáme-li poloměr konvergence R mocninné řady (1.1), pak vlastně vyšetřujeme její absolutní konvergenci (čili konvergenci reálné řady s nezápornými členy). K tomu užijeme zobecněného Cauchyova odmocninového kritéria5. 5Nechť je dána reálná řada s nezápornými členy P+∞ a , potom platí: n=1 n √ √ n n

Jestliže lim sup n→+∞

řada diverguje.

an < 1 pak daná řada konverguje, jestliže naopak lim sup n→+∞

an > 1, pak daná


(a) Nechť lim sup n→+∞

13

p n |an | = 0. Potom pro libovolné z ∈ C platí:

lim sup n→+∞

q n

n

|an (z − z0 ) | = |z − z0 | · lim sup n→+∞

tj. B (z0 , (an )) = Cpa R = +∞. (b) Nechť 0 < lim sup n |an | < +∞. Označme R∗ = n→+∞

p n

|an | = 0,

1√ . lim sup n |an | n→+∞

1. Zvolme z1 ∈ B (z0 , R∗ ), potom q p |z1 − z0 | n <1 lim sup n |an (z1 − z0 ) | = |z1 − z0 | · lim sup n |an | = R∗ n→+∞ n→+∞

a tedy B (z0 , R∗ ) ⊂ B (z0 , (an )). ¯ (z0 , R∗ ), potom 2. Je-li z2 ∈ C r B q p |z2 − z0 | n >1 lim sup n |an (z2 − z0 ) | = |z2 − z0 | · lim sup n |an | = R∗ n→+∞ n→+∞ ¯ (z0 , R∗ ) ⊂ C r B (z0 , (an )), tj. B (z0 , (an )) ⊂ B ¯ (z0 , R∗ ). a proto C r B Dokázali jsme tak inkluzi ¯ (z0 , R∗ ) , B (z0 , R∗ ) ⊂ B (z0 , (an )) ⊂ B

což vzhledem kpjednoznačnosti (pozn. 1.6.3) je možné pouze tak, že R = R∗ . (c) Nechť lim sup n |an | = +∞. Potom pro všechna z ∈ C r {z0 } platí: n→+∞

lim sup n→+∞

q p n n |an (z − z0 ) | = |z − z0 | · lim sup n |an | = +∞. n→+∞

Odtud B (z0 , (an )) = {z0 } a R = 0.

Poznámka 1.8.1. Pokud ve větě 1.8 existuje lim

n→+∞

R=

lim

1 p n

n→+∞

|an |

Poznámka 1.8.2. Jestliže dokonce existuje konvergence vzorec

.

p n

|an |, je

n lim aan+1 , platí pro poloměr

n→+∞

an . R = lim n→+∞ an+1

Poznámka 1.8.3. Pomocí věty 1.6, 1.8 a poznámky 1.3.2 (str. 10) se nám značně zjednoduší vyšetřování konvergence mocninných řad. Vyšetřujeme-li charakter mocninné řady (1.1), potom nejdříve nalezneme pomocí věty 1.8 (resp. pozn. 1.8.1 a 1.8.2) poloměr konvergence R. Z věty 1.6, pozn. 1.6.1 a 1.3.2 vyplývá, že ¯ (z0 , R). Zbývá řada konverguje absolutně na B (z0 , R) a diverguje na množině C r B tedy vyšetřit charakter řady na kružnici B˙ (z0 , R) = {z ∈ C | |z − z0 | = R } = B˙ (z0 , (an )) ,

tj. na hranici oboru konvergence. Poznámka 1.8.4. Z příkladu v poznámce 1.1.4 vyplývá, že kružnice B˙ (z0 , (an )) může obsahovat jak body, ve kterých mocninná řada konverguje, tak body, v nichž řada diverguje. To znamená, že charakter řady na B˙ (z0 , R) budeme muset vyšetřit v každém případě zvlášť. Poznámka 1.8.5. Jestliže mocninná řada konverguje absolutně alespoň v jednom bodě hranice B˙ (z0 , (an )), potom absolutně konverguje i na množině ¯ (z0 , (an )) = B ¯ (z0 , R). B

14


Poznámka 1.8.6. Poněkud jednodušší je vyšetřování konvergence mocninných řad na množině reálných čísel. +∞ Buď v následujících poznámkách (an )n=0 posloupnost reálných čísel, x0 ∈ R a +∞ P n vyšetřujme charakter mocninné řady an (x − x0 ) pro x ∈ R. Označíme-li R n=0

opět poloměr konvergence této řady, bude obor konvergence jedním z následujících intervalů: (x0 − R, x0 + R) ,

(x0 − R, x0 + Ri ,

hx0 − R, x0 + R) ,

hx0 − R, x0 + Ri .

Přitom víme, že na intervalu (x0 − R, x0 + R) řada konverguje absolutně, na množině (−∞, x0 − R) ∪ (x0 + R, +∞) diverguje. Zůstává tedy nutnost vyšetřit charakter řady pouze v bodech x0 − R, x0 + R. V následujících příkladech je dokumentována rozmanitost, která v těchto bodech může vzniknout. Poznámka 1.8.7. Řada +∞ X

n=0

2n

n

(−1) (x − x0 )

má poloměr konvergence R = 1, obor konvergence (x0 − 1, x0 + 1) a v bodech x0 −1 i x0 + 1 osciluje. Poznámka 1.8.8. Řada +∞ X

n

(x − x0 ) , resp.

n=0

+∞ X

n=0

n

(−1) (x − x0 )

n

má poloměr konvergence R = 1, obor konvergence (x0 − 1, x0 + 1), v bodě x0 − 1 osciluje, resp. podstatně diverguje a v bodě x0 +1 podstatně diverguje, resp. osciluje. Poznámka 1.8.9. Řada +∞ X

n=0

2n

(x − x0 )

má poloměr konvergence R = 1, obor konvergence (x0 − 1, x0 + 1) a v bodech x0 −1 i x0 + 1 podstatně diverguje. Poznámka 1.8.10. Řada +∞ +∞ n n X X (x − x0 ) n (x − x0 ) , resp. (−1) n+1 n+1 n=0 n=0

má poloměr konvergence R = 1, obor konvergence hx0 − 1, x0 + 1), resp. (x0 − 1, x0 + 1i, v bodě x0 − 1 neabsolutně konverguje6, resp. podstatně diverguje a v bodě x0 + 1 podstatně diverguje, resp. neabsolutně konverguje. Poznámka 1.8.11. Řada +∞ +∞ n+[log2 n] [log n] X X (−1) (−1) 2 n n (x − x0 ) , resp. (x − x0 ) + 1 + 1 n] n] [log [log 2 2 n=0 n=0

má poloměr konvergence R = 1, obor konvergence hx0 − 1, x0 + 1), resp. (x0 − 1, x0 + 1i, v bodě x0 − 1 neabsolutně konverguje, resp. osciluje a v bodě x0 +1 osciluje, resp. neabsolutně konverguje. 6Podle Leibnitzova kritéria pro alternující reálné řady:

Nechť je dána číselná řada

+∞ P

(−1)n bn+1 a nechť platí bn ≥ bn+1 > 0 pro ∀n ∈ N. Pak řada

n=0 +∞ P

n=0

(−1)n bn+1 konverguje ⇔

lim bn = 0.

n→+∞


15

Poznámka 1.8.12. Řada +∞ n X (−1) 2n (x − x0 ) n + 1 n=0

má poloměr konvergence R = 1, obor konvergence hx0 − 1, x0 + 1i a v bodech x0 −1 i x0 + 1 neabsolutně konverguje. Poznámka 1.8.13. Řada +∞ X

1

n=0 (n + 1)

2

(x − x0 )

n

má poloměr konvergence R = 1, obor konvergence hx0 − 1, x0 + 1i a v bodech x0 −1 i x0 + 1 absolutně konverguje. Věta 1.9: Buďte Ra , resp. Rb poloměry konvergence mocninných řad +∞ P

n=0

+∞ P

n=0 n

n

an (z − z0 ) , resp.

bn (z − z0 ) a c ∈ C nenulové komplexní číslo. Potom platí:

(i)Poloměr konvergence řady

(ii)Součet obou řad

+∞ P

n=0

+∞ P

n=0

n

c · an (z − z0 ) je Ra . n

(an + bn ) (z − z0 ) je mocninná řada, jejíž poloměr kon-

vergence je větší nebo roven min {Ra , Rb }. +∞ n P P n (iii)Součinová řada obou řad aj bn−j (z − z0 ) je mocninná řada, jejíž n=0

j=0

poloměr konvergence je větší nebo roven min {Ra , Rb }.

Důkaz. (a) Tvrzení bodu (i) je důsledkem rovnosti p p lim sup n |can | = lim sup n |an | n→+∞

n→+∞

a věty 1.8. (b) Vzhledem k tomu, že pro všechna z ∈ C a n ∈ N0 platí nerovnosti n

n

n

|(an + bn ) (z − z0 ) | ≤ |an | · |z − z0 | + |bn | · |z − z0 | , n n X X n j n−j aj bn−j (z − z0 ) ≤ |aj | · |z − z0 | |bn−j | · |z − z0 | , j=0

j=0

a že součinová řada dvou absolutně konvergentních řad je absolutně konvergentní, jsou pravé strany obou nerovností pro z ∈ B (z0 , min {Ra , Rb }) členy konvergentních řad. Odtud plyne, že mocninné řady (ii) a (iii) pro všechna z, pro která je |z − z0 | < min {Ra , Rb }, konvergují absolutně, a tedy jejich poloměr konvergence nemůže být menší než min {Ra , Rb }. Poznámka 1.9.1. Věta 1.9 říká málo o vlastním oboru konvergence. Snadno nahlédneme, že platí: (a) Pro všechna c ∈ C r {0} je B (z0 , (an )) = B (z0 , (can )). (b) B (z0 , (an + bn )) ⊃ B (z0 , (an )) ∩ B (z0 , (bn )).

Poznámka 1.9.2. Položíme-li v předchozí poznámce pro všechna n ∈ N0 bn = −an , vidíme, že je dokonce možné, aby poloměr konvergence součtu dvou mocninných řad byl +∞ i když např. pro an = n! měly sčítané řady poloměr konvergence roven nule.

16


Poznámka 1.9.3. Z Mertensovy věty7 plyne, že pro součinovou řadu mocnin+∞ +∞ P P n n ných řad an (z − z0 ) a bn (z − z0 ) platí n=0

n=0

B z0 ,

n X

aj bn−j

j=0

⊃ B (z0 , (an )) ∩ B (z0 , (bn ))

ovšem za předpokladu, že průnik B (z0 , (an ))∩B (z0 , (bn )) neobsahuje body, v nichž obě násobené řady konvergují neabsolutně. Nutnost tohoto předpokladu dokazuje následující příklad: (−1)n Poznámka 1.9.4. Položme pro všechna n ∈ N0 an = bn = √ . Potom n+1 P n aj bn−j . Pro koeficienty platí R = 1 ∈ B (0, (an )) ∩ B (0, (bn )), ale 1 ∈ / B 0, j=0

součinové řady

cn =

n X

aj bn−j =

j=0

j=0

totiž platí

n X

n

√

(−1) √ j+1 n−j+1

n n X (−1) = 1. q |cn | ≥ 2 j=0 (n + 1)

Poznámka 1.9.5. V teorii číselných řad se zdálo být studium konvergence součinové řady jakousi matematickou specialitou. Nyní však vidíme, že součinová řada dvou mocninných řad představuje jedinou možnost, jak ze (speciálního) součinu dvou mocninných řad (uzávorkováním) vytvořit znovu mocninnou řadu. Proto také v teorii mocninných řad se pod pojmem součin dvou mocninných řad rozumí jejich součinová řada. Poznámka 1.9.6. Buď f racionální funkce definovaná na intervalu h0, +∞)8. +∞ +∞ P P n n an (z − z0 ) a f (n)an (z − z0 ) mají tentýž poloměr Potom mocninné řady n=0

n=0

konvergence, neboť: p p p p lim sup n |f (n)an | = lim n |f (n)| · lim sup n |an | = lim sup n |an |. n→+∞

n→+∞

n→+∞

n→+∞

Poznámka 1.9.7. Speciálně (viz též pozn. 1.2.3 (str. 10)) mají ten+∞ +∞ P P an n n+1 a týž poloměr konvergence mocninné řady an (z − z0 ) , n+1 (z − z0 ) +∞ P

n=1

n=1

nan (z − z0 )

n−1

n=0

; přitom platí (např. z Abelova kritéria):

an B z0 , ⊃ B (z0 , (an )) ⊃ B (z0 , (nan )) . n+1 Poznámka 1.9.8. Poslední inkluzi si můžeme pamatovat pod heslem: Derivováním mocninné řady člen po členu se obor konvergence nezvětší a integrací člen po členu se obor konvergence nezmenší. Poznámka 1.9.9. Mocninné řady lze také dělit. K výkladu této problematiky je však zapotřebí znát některé vlastnosti součtové funkce. Viz pozn. 2.7.7 (str. 27).

7viz pozn. 6.3.4 (str. 71) p−1 p +···+c1 z+c0 8tj. f (z) = cp z +cp−1 z , kde p, q ∈ N0 , ck , dl ∈ R, k ∈ pˆ, l ∈ qˆ, cp 6= 0, dq = 6 0. d z q +d z q−1 +···+d z+d q

q−1

1

0

KAPITOLA 2

Součtová funkce mocninné řady Definice 2.1: Funkci s : z →

+∞ P

n=0

n

an (z − z0 ) , definovanou na množině B (z0 , (an )), nazýváme

součtovou funkcí mocninné řady (1.1) (str. 9). Poznámka 2.1.1. Pro větší přehlednost budeme v tomto odstavci předpokládat z0 = 0. Obecné závěry pro libovolný střed konvergence z0 potom dostaneme po provedení transformace z 7→ z − z0 .

Věta 2.2 (o spojitosti):

Buď z0 vnitřním bodem oboru konvergence mocninné řady

+∞ P

an z n . Potom její

n=0

součtová funkce je spojitá v bodě z0 . Důkaz. Označme R poloměr konvergence řady

+∞ P

an z n a buď

n=0

z0 ∈ B ◦ (0, (an )) .

Zvolme číslo r tak, aby platilo |z0 | < r < R. Potom pro všechna z ∈ B (0, r) platí: s(z) − s (z0 ) =

+∞ X

n=0

n

an z −

= (z − z0 )

+∞ X

an z0n

n=0 n−1 X

=

+∞ X

n=0

an (z n − z0n ) =

+∞ X

an

n−1 X

|z| |z0 |

+∞ P

n |an | z n−1 v bodě z = r konverguje, tj.

n=0

z j z0n−1−j .

j=0

Odtud již dostáváme nerovnost |s(z) − s (z0 )| ≤ |z − z0 |

+∞ X

n=0

|an |

Protože podle poznámky 1.9.7 řada

j=0

n=0

(∃c ∈ R+ )(

+∞ X

n=0

j

n−1−j

≤ |z − z0 |

+∞ X

n=0

n |an | rn−1 .

n |an | rn−1 = c) ⇒ |s(z) − s(z0 )| ≤ c · |z − z0 | ⇒ lim s(z) = s(z0 ), z→z0

je věta dokázána.

Poznámka 2.2.1. Z věty 2.2 vyplývá1, že součtová funkce mocninné řady je spojitá na vnitřku svého definičního oboru B ◦ (0, (an )). Na tomto místě zůstává nevyřešena otázka spojitosti v těch bodech definičního oboru součtové funkce, které leží na kružnici B˙ (0, (an )). V oboru komplexních čísel to není jednoduchá záležitost, v oboru reálných čísel tuto otázku vyřešíme až po zavedení pojmu stejnoměrná konvergence (viz pozn. 6.3.1 (str. 71)). 1V důkazu jsme z volili zcela libovolně. 0 17

18

2. SOUČTOVÁ FUNKCE MOCNINNÉ ŘADY

Věta 2.3 (o derivaci): Buď z0 vnitřním bodem oboru konvergence mocninné řady součtová funkce s je diferencovatelná v bodě z0 a platí: s0 (z0 ) =

+∞ X

+∞ P

an z n . Potom její

n=0

nan z0n−1 .

n=1

Důkaz. Označme R poloměr konvergence mocninné řady

+∞ P

an z n a buď

n=0

z0 ∈ B ◦ (0, (an )). Zvolme číslo r tak, aby platilo |z0 | < r < R. Potom pro všechna z ∈ B (0, r) r {z0 } platí: +∞ +∞ s(z) − s (z ) X X z n − z0n 0 n−1 n−1 − − nz0 nan z0 = an ≤ z − z0 z − z0 n=1 n=1 +∞ +∞ n−1 X n−1−j X X z n − z0n − nz0n−1 = z j z0 − nz0n−1 = ≤ |an | |an | z − z0 j=0 n=1 n=1 +∞ n−1 +∞ X X X n−1−j X n−1 n−1−j j j = |an | z j z0 |an | |z0 | − z0n−1 ≤ z − z0 = j=0 n=1 n=1 j=0 ! j−1 +∞ n−1 X X X n−1−j j−1−i i = |an | |z0 | |z − z0 | z0 ≤ z ≤

n=1 +∞ X

n=1

j=0

i=0

n−1 X

|an | |z − z0 |

kde jsme označili c =

1 2

j=1

+∞ P

n=2

jrn−2 = c |z − z0 | ,

|an | n (n − 1) rn−2 , což lze, neboť jde dle 1.9.8 (str. 16)

o (konečný) součet konvergentní řady. Odtud již limitním přechodem z → z0 získáváme obě tvrzení věty. Poznámka 2.3.1. Z věty 2.3 vzhledem k poznámce 1.9.8 (str. 16) vyplývá, že +∞ P součtová funkce s mocninné řady an z n s nenulovým poloměrem konvergence má n=0

v každém vnitřním bodě oboru konvergence derivace všech řádů a tyto derivace se +∞ P dají nalézt derivováním řady an z n člen po členu, tj. n=0

s

(m)

(z) =

+∞ X

n=m

m−1 Y j=0

+∞ X n n−m (n − j) an z = (m!) an z n−m m n=m

(2.1)

pro všechna z ∈ B ◦ (0, (an )) a všechna m ∈ N0 . Poznámka 2.3.2. Speciálně v předchozí poznámce pro m-tou derivaci s ve (m) středu konvergence dostáváme s(m) (0) = m! am , tj. am = s m!(0) , pro všechna +∞ P m ∈ N. Pro součtovou funkci s mocninné řady an z n tedy platí: n=0

s(z) =

+∞ (n) X s (0) n z , n! n=0

pro všechna z ∈ B (0, (an )).

(2.2)

Poznámka 2.3.3. Z poznámky 2.3.2 vyplývá již jednoznačnost vyjádření součtové funkce pomocí mocninné řady v tomto smyslu: +∞ +∞ P P Jsou-li an z n , bn z n dvě mocninné řady s nenulovými poloměry konvergence n=0

n=0


19

Ra , Rb a součtovými funkcemi sa , sb takové, že sa (z) = sb (z), pro všechna z ∈ B (0, min {Ra , Rb }), potom an = bn , pro všechna n ∈ N0 . Skutečně — označíme-li M = B (0, Ra ) ∩ B (0, Rb ), je sa |M = sb |M a proto: am =

1 (m) 1 1 1 (m) (m) (m) s (0) = (sa |M ) (sb |M ) s (0) = bm . (0) = (0) = m! a m! m! m! b

Poznámka 2.3.4. Buď s součtová funkce mocninné řady

+∞ P

an z n s nenulovým

n=0

poloměrem konvergence. Potom platí: Je-li funkce s lichá, resp. sudá, je a2n = 0 (s(2n) (0) = 0), resp. a2n+1 = 0 (s(2n+1) (0) = 0) pro všechna n ∈ N0 . Definice 2.4: Nechť funkce f má v bodě z0 derivace všech řádů. Potom mocninnou řadu +∞ (n) X f (z0 ) n (z − z0 ) n! n=0

nazveme Taylorovou [43] řadou funkce f se středem v bodě z0 . Poznámka 2.4.1. Taylorovu řadu funkce f se středem v bodě 0 nazýváme Maclaurinovou [35] řadou funkce f . Poznámka 2.4.2. Z poznámky 2.3.2 plyne, že každá mocninná řada s nenulovým poloměrem konvergence je Taylorovou řadou své součtové funkce (se stejným středem). Další zobecnění (na libovolný střed) představuje následující věta: Věta 2.5: Buďte R poloměr konvergence mocninné řady

+∞ P

an z n , s její součtová funkce a

n=0

z0 ∈ B (0, R). Potom pro všechna z ∈ B (z0 , R − |z0 |) platí: s(z) =

+∞ (m) X s (z0 ) m (z − z0 ) . m! m=0

Důkaz. Pro z0 = 0 je tvrzení věty přímo (2.2) z poznámky 2.3.2. Zvolme nyní z0 ∈ B (0, R) r {0}, potom s(z) =

+∞ X

an z n =

n=0 +∞ +∞ X X 2

+∞ X

n=0

n

n X n m (z − z0 ) z0n−m = m n=0 m=0 +∞ +∞ X X n m = an (z − z0 ) z0n−m = m m=0 n=0

an [(z − z0 ) + z0 ] =

n m (z − z0 ) z0n−m m n=0 m=0 +∞ ! +∞ X X n n−m m = an z0 (z − z0 ) m m=0 n=m =

an

+∞ X

an

(2.3)

pro všechna taková z ∈ B (0, R), pro která je možné v (2.3) provést záměnu pořadí sum. Tu je možno provést určitě tehdy, konverguje-li dvojná řada X n m an (z − z0 ) z0n−m (2.4) m (m,n)∈N0 ×N0

2 n = 0 pro m > n m

20


absolutně3. Protože však X

n |(z − z0 )|m |z0 |n−m = |an | m (m,n)∈N0 ×N0 +∞ X +∞ X n m n−m |an | = = |(z − z0 )| |z0 | m n=0 m=0 +∞ +∞ X X n |(z − z0 )|m |z0 |n−m = = |an | m n=0 m=0 =

+∞ X

n=0

n

|an | (|z − z0 | + |z0 |) < +∞

pro všechna z ∈ C taková, že |z − z0 | + |z0 | < R, dvojná řada (2.4) konverguje absolutně pro všechna z ∈ B (z0 , R − |z0 |). Dokázali jsme tedy, že pro všechna z ∈ B (z0 , R − |z0 |) platí: +∞ ! +∞ +∞ (m) X X X n n−m s (z0 ) m m (z − z0 ) . s(z) = an z0 (z − z0 ) = m! m m=0 n=m m=0 Poslední rovnost získáme dosazením z = z0 do (2.1) z poznámky 2.3.1.

Poznámka 2.5.1. Funkce s třídy C (∞) , pro kterou ke každému bodu z0 z jejího definičního oboru existuje okolí, v němž je funkce součtovou funkcí mocninné řady (1.1) se středem v bodě z0 , se nazývá analytická. Dokázaná věta tedy vlastně říká, že: Zúžení součtové funkce mocninné řady na vnitřek jejího oboru konvergence je analytická funkce. V množině komplexních čísel je to málo zajímavý výsledek, neboť zde je to jen důsledek věty 2.3 o derivaci (tj. skutečnosti, že součtová funkce mocninné řady je na vnitřku oboru konvergence holomorfní). Zásadní význam má však tento závěr v množině reálných čísel. Poznámka 2.5.2. Buď nyní f reálná funkce reálné proměnné třídy C (∞) a nechť x0 je bod z definičního oboru funkce f . Jediná mocninná řada se středem v bodě x0 , která může v jistém okolí bodu x0 k funkci f konvergovat, je podle poznámky 2.4.2 Taylorova řada +∞ (k) X f (x0 )

k=0

k!

k

(x − x0 ) .

Předpokládejme, že její poloměr konvergence R je nenulový a označme s její (skutečnou) součtovou funkci. Potom pro všechna x z intervalu (x0 − R, x0 + R) platí s(x) = Tn (x) + rn (x), kde Tn (x) je n-tý částečný součet Taylorovy řady (tj. Taylorův mnohočlen n-tého stupně) a rn (x) její zbytek po n-tém členu. Současně ale také platí podle Taylorovy věty z diferenciálního počtu f (x) = Tn (x) + Rn (x) pro všechna x z intervalu (x0 − R, x0 + R), kde Rn (x) je zbytek v Taylorově vzorci. Pro všechna x z intervalu (x0 − R, x0 + R) platí tedy f (x) = s(x) − rn (x) + Rn (x) a odtud pro x ∈ (x0 − R, x0 + R) vyplývá, že f (x) = s(x) právě tehdy, jestliže lim Rn (x) = 0. n→+∞

Funkce f je tedy součtovou funkcí své Taylorovy řady v bodě x z jejího oboru konvergence právě tehdy, jestliže posloupnost zbytků Rn (x) v příslušném Taylorově 3Pro absolutně konvergentní dvojné řady budeme užívat symbol

P

(m,n)∈N0 ×N0

. Ten bude

zdůrazňovat fakt, že členy absolutně konvergentních řad lze libovolně přerovnat (uzávorkovat), tj. sčítat v libovolném pořadí, aniž by to mělo vliv na konvergenci řady, popř. její součet. To, že řada (2.4) opravdu konverguje absolutně a my jsme oprávněni použít tohoto zápisu je ukázáno dále.


21

vzorci je v nekonečné limitě nulová. V následující poznámce ukážeme příklad funkce třídy C (∞) , která není součtovou funkcí své Taylorovy řady. Poznámka 2.5.3. Položme f (x) =

(

1

e − x2 0

pro x ∈ R r {0} . pro x = 0

Funkce f je zřejmě nekonečněkrát diferencovatelná na množině R r {0}. Indukcí přitom snadno dokážeme, že f

(n)

1 1 (x) = p3n e− x2 , x

kde pk je polynom stupně k. Protože f 0 (0) = lim

x→0

1 1 f (x) − f (0) = lim e− x2 = 0 x→0 x x

a lim f 0 (x) = lim p3

x→0

x→0

1 1 e− x2 = 0, x

je funkce f třídy C (1) na celém R. Předpokládejme, že f je třídy C (n) a f (n) (0) = 0. Potom 1 1 1 f (n) (x) − f (n) (0) = lim p3n e− x 2 = 0 f (n+1) (0) = lim x→0 x x→0 x x a lim f (n+1) (x) = lim p3(n+1)

x→0

x→0

1 1 e− x2 = 0. x

Dokázali jsme tak, že funkce f je třídy C (∞) na celém R. Přitom s(x) =

+∞ (n) X f (0) n x =0 n! n=0

pro všechna x ∈ R,

ale f (x) > 0 pro x ∈ R r {0}. Neexistuje tedy mocninná řada se středem v bodě 0, která by v nějakém okolí nuly konvergovala k funkci f . Poznámka 2.5.4. Dosadíme-li v poznámce 2.5.2 za f postupně některé elementární funkce, obdržíme následující identity: +∞ n X x , e = n! n=0 x

sin x = cos x =

+∞ n X (−1) x2n+1 , (2n + 1)! n=0 +∞ n X (−1) 2n x (2n)! n=0

22


pro všechna x ∈ R; α

(1 + x) =

+∞ X

n=0

ln(1 + x) =

α n x n

 h−1, 1i,  pro všechna x ∈ (−1, 1i,   (−1, 1),

+∞ X (−1)n n+1 x n+1 n=0

pokud α > 0 pokud α ∈ (−1, 0i ; pokud α ≤ −1

pro všechna x ∈ (−1, 1i;

+∞ n X (−1) 2n+1 pro všechna x ∈ h−1, 1i; x 2n + 1 n=0 +∞ +∞ n 1 X X 1 (2n − 1)!! 2n−1 − 2 2n+1 (−1) =x+ x x arcsin x = 2n + 1 n 2n + 1 (2n!) n=1 n=0

arctg x =

pro všechna x ∈ h−1, 1i. Viz také poznámky 2.7.2 (str. 23) až 2.7.9 (str. 28). Věta 2.6 (o jednoznačnosti):

Buď r > 0 a nechť mocninné řady

+∞ P

an z n ,

n=0

+∞ P

bn z n konvergují na množině B (0, r)

n=0

k součtovým funkcím sa , sb . Nechť konečně množina {z ∈ B (0, r) | sa (z) = sb (z) } má v B (0, r) hromadný bod. Potom an = bn pro všechna n ∈ N (a tedy sa = sb ). Důkaz. Označme M = {z ∈ B (0, r) | sa (z) = sb (z) } a f = sa − sb . Potom f (z) =

+∞ X

cn z n ,

n=0

kde cn = an − bn , pro všechna z ∈ B (0, r) a f (z) = 0 právě když z ∈ M . Buď A množina všech hromadných bodů množiny M v B (0, r). Z předpokladů věty vyplývá, že A je neprázdná a zřejmě i uzavřená v B (0, r). Ukážeme nyní, že A je také otevřená. Buď z0 ∈ A. Potom podle věty 2.5 lze funkci f na množině B (z0 , r − |z0 |) vyjádřit jako součtovou funkci mocninné řady se středem v bodě +∞ P n z0 . Buď tedy f (z) = dn (z − z0 ) pro všechna z ∈ B (z0 , r − |z0 |) a buď dále n=0

m

m nejmenší index, pro který platí dm = 6 0. Potom f (z) = (z − z0 ) g(z), kde +∞ P n g(z) = dm+n (z − z0 ) pro všechna z ∈ B (z0 , r − |z0 |) a g (z0 ) = dm 6= 0. Odtud n=0

vyplývá4, že existuje okolí U bodu z0 takové, že pro všechna z ∈ U je g(z) 6= 0 a tedy je i f (z) 6= 0 pro všechna z ∈ U r {z0 }. To je ovšem ve sporu s tím, že bod z0 je hromadným bodem množiny M . Je proto dn = 0 pro všechna n ∈ N0 , f (z) = 0 pro všechna z ∈ B (z0 , r − |z0 |) a tudíž B (z0 , r − |z0 |) ⊂ A. Sestrojili jsme tak v B (0, r) obojetnou neprázdnou podmnožinu A. Vzhledem k tomu, že množina B (0, r) je konvexní (a tudíž souvislá), musí platit A = B (0, r). Protože však funkce f je spojitá, musí být A ⊂ M , což při inkluzi M ⊂ B (0, r) znamená, že M = B (0, r) a sa (z) = sb (z) pro všechna z ∈ B (0, r). Odtud a z poznámky 2.3.3 (str. 18) plyne již tvrzení věty. Poznámka 2.6.1. Součtovou funkci mocninné řady můžeme považovat za jakési zobecnění polynomu. V tomto smyslu je přirozená otázka, které vlastnosti polynomu se na součtovou funkci přenášejí. Věta 2.2 (str. 17) a poznámka 2.3.1 (str. 18) ukazují, že součtová funkce mocninné řady přejímá od polynomu takové vlastnosti, jako je spojitost a diferencovatelnost. 4g(z) je jakožto součtová funkce spojitá.


23

Poznámka 2.6.2. Základní věta algebry říká, že každý polynom stupně alespoň prvního má v množině komplexních čísel alespoň jeden kořen. Tuto vlastnost nemusí +∞ P zn mít součtová funkce mocninné řady. Příkladem může být řada n! . n=0

Poznámka 2.6.3. Z druhé strany je každý polynom n-tého stupně jednoznačně určen svými hodnotami v n + 1 vzájemně různých bodech. Věta 2.6 je zobecněním této vlastnosti na součtovou funkci mocninné řady. Věta 2.7 (o integraci): Buďte R poloměr konvergence a s součtová funkce mocninné řady

+∞ P

an z n . Potom

n=0

platí Zb a

+∞ X an n+1 s(x) dx = b − an+1 n + 1 n=0

pro každý interval ha, bi ⊂ (−R, R). Důkaz. Podle poznámky 1.9.7 (str. 16) má řada

+∞ P

n=0

an n+1 n+1 z

poloměr kon-

vergence R. Označme F její součtovou funkci. Podle věty 2.3 (str. 18) je funkce F v každém bodě z ∈ B (0, r) diferencovatelná a platí F 0 (z) =

+∞ X

an z n = s(z).

n=0

Speciálně tedy pro libovolný interval ha, bi ⊂ (−R, R) platí: F 0 (x) = s(x) pro všechna x ∈ ha, bi a tudíž Zb a

s(x) dx = F (b) − F (a) =

+∞ +∞ X an n+1 X an n+1 b a − . n+1 n+1 n=0 n=0

Poznámka 2.7.1. Tvrzení věty 2.7 lze rozšířit na libovolný interval ha, bi ⊂ B (0, (an )) (viz větu 6.8 (str. 79)). Poznámka 2.7.2. V poznámce 2.5.4 (str. 21) jsme rozvedli některé elementární funkce v mocninnou řadu užitím Taylorovy věty z diferenciálního počtu. Je na místě zdůraznit, že tento postup je obecně velmi náročný a zdlouhavý. Problémem může být již formální sestrojení Taylorovy řady (tj. nalezení hodnot n-té derivace funkce v daném bodě). Nejobtížnější však bývá nalezení množiny, v níž posloupnost zbytků v Taylorově vzorci konverguje k nule. Uvážíme-li, že nahrazení funkce její mocninnou řadou je jeden z nejzákladnějších úkonů nejen v „čistéÿ matematice, ale i ve všech jejích aplikacích, vidíme nutnost nalezení efektivnějších metod rozvíjení funkcí v mocninnou řadu. Ty spočívají právě v užití teorie mocninných řad. Některé metody si ukážeme v následujících poznámkách: Poznámka 2.7.3. Pro všechna x ∈ (−1, 1) platí

Odtud plyne 1 2

(1 + x)

=

+∞ X 1 n (−1) xn . = 1 + x n=0

+∞ X n +∞ X X 1 1 n−k n−k k n · = (−1) xk (−1) x = (−1) (n + 1) xn 1 + x 1 + x n=0 n=0 k=0

24


pro všechna x ∈ (−1, 1). Podobně 1 3

(1 + x)

1

=

2

·

+∞ X n X 1 k n−k n−k = (−1) (k + 1) xk (−1) x = 1 + x n=0

(1 + x) k=0 +∞ n +∞ X X X n n (n + 1) (n + 2) n x (−1) xn (k + 1) = = (−1) 2 n=0 n=0 k=0

pro všechna x ∈ (−1, 1). Indukcí můžeme dokázat: p−1 +∞ +∞ +∞ Y n+k X X X 1 −p n n n n+p−1 n n x = (−1) = (−1) x = x p k p−1 n (1 + x) n=0 n=0 n=0 k=1

pro všechna p ∈ N a všechna x ∈ (−1, 1). K tomuto závěru můžeme však +∞ P n 1 daleko snadněji dojít derivováním rovnosti 1+x = (−1) xn při využití věty n=0

2.3 (str. 18). Platí:

p−1 (−1) dp−1 1 1 = · = p (p − 1)! dxp−1 1 + x (1 + x) ! p−1 +∞ p−1 X Y (−1) n (n − k + 1) xn−p+1 = (−1) = (p − 1)! n=p−1 k=1

+∞ X

p−1 Y

n − k + 1 n−p+1 n−p+1 = (−1) x = k n=p−1 k=1 p−1 +∞ +∞ Y m+p−k X X −p m m (−1) xm = = x k m m=0 n=0 k=1

pro všechna x ∈ (−1, 1). Užijeme-li nyní na rovnost

1 1+x

=

dostáváme:

ln (1 + x) =

Zx 0

Podobně z rovnosti

+∞ n X dt (−1) n+1 = x 1 + t n=0 n + 1

1 1+x2

=

+∞ P

n=0

arctg x =

+∞ P

n

(−1) xn větu 2.7

n=0

pro všechna x ∈ (−1, 1).

n

(−1) x2n obdržíme pro všechna x ∈ (−1, 1): Zx 0

+∞ n X (−1) 2n+1 dt = x . 2 1+t 2n + 1 n=0

Zdůrazněme, že poloměry konvergence všech mocninných řad v této poznámce byly 1 (plyne to nejjednodušeji z poznámky 1.9.8 (str. 16)), a že všechny řady jsou Maclaurinovy rozvoje svých součtových funkcí (viz 2.4.1 (str. 19)). K celému oboru konvergence se ještě vrátíme poznámkou 6.3.2 (str. 71). Poznámka 2.7.4. V předchozí poznámce jsme nalezli rozvoj funkce f : x 7→ (1 + x)

α

v počátku pro všechna α ∈ Z. Pokud však je α ∈ R r Z, nezískáváme ani integrací ani derivací funkci, jejíž rozvoj by nám byl znám (nepředpokládáme-li samozřejmě znalost binomického rozvoje). Využijeme tedy toho, že se derivováním funkce „příliš neměníÿ. Buď α ∈ R r {0}. Potom platí f 0 (x) = α (1 + x)

α−1

a

(1 + x) f 0 (x) = αf (x).


25

Funkce f je tedy řešením tzv. diferenciální rovnice (lineární I. řádu): (1 + x) y 0 = αy. Hledejme nyní řešení této rovnice ve formě součtové funkce mocninné řady

+∞ P

an xn ,

n=0

o níž budeme předpokládat, že má kladný poloměr konvergence R (uvedený postup představuje jednu z metod, jak se diferenciální rovnice skutečně řeší). Potom pro všechna x ∈ (−R, R) platí (1 + x)

+∞ X

nan xn−1 = α

nan xn−1 +

n=0

n=1 +∞ X

n=0

+∞ X

an xn ,

n=0

n=1 +∞ X

+∞ X

(n − α) an xn = 0,

[(n + 1) an+1 + (n − α) an ] xn = 0.

Z poznámky 2.3.3 (str. 18) odtud plyne an+1 = α−n n+1 an pro všechna n ∈ N0 . Indukcí α dostáváme an = n a0 . Snadno se přesvědčíme, že poloměr konvergence mocninné +∞ P α n řady a0 n x je jedna a tudíž její součtová funkce řeší diferenciální rovnici na n=0

intervalu (−1, 1). Protože f (0) = 1, hledejme nyní jen ta řešení naší diferenciální rovnice, pro která je splněna (tzv. počáteční) podmínka y(0) = 1. Diferenciální rovnici s touto počáteční podmínkou řeší na intervalu (−1, 1) kromě funkce f také +∞ P α n součtová funkce řady n x . n=0

Kolik takových řešení existuje? Předpokládejme, že funkce g je jedno takové řešení, tj. že platí (1 + x) g 0 (x) = αg(x) pro všechna x ∈ (−1, 1) a g(0) = 1. Položme ϕ = fg ; potom pro všechna x ∈ (−1, 1) platí: ϕ(x) = (1 + x)

−α

g(x)

a −α−1

−α

ϕ0 (x) = −α (1 + x) g(x) + (1 + x) g 0 (x) = −α−1 = (1 + x) [−αg(x) + (1 + x) g 0 (x)] = 0. Funkce ϕ je proto konstantní na intervalu (−1, 1) a přitom ϕ(0) = 1. Dokázali jsme, že ϕ(x) = 1 pro všechna x ∈ (−1, 1) a tudíž f = g. Rovnice (1 + x) y 0 − αy = 0 s počáteční podmínkou y(0) = 1 má tedy právě jedno řešení a tudíž je α

(1 + x) =

+∞ X α n x n n=0

pro všechna x ∈ (−1, 1) a α ∈ R.

Speciálně pro α = −1 dostáváme vzorec pro součet geometrické řady. Položíme-li α = − 21 , obdržíme další zajímavý rozvoj: 1 +∞ +∞ X X (2n − 1)!! n 1 −1/2 n −2 √ xn = 1 + = (1 − x) x , = (−1) (2n)!! n 1−x n=1 n=0

26


ze kterého užitím věty 2.7 plyne: Zx +∞ +∞ n 1 X X dt − 2 2n+1 (−1) 1 (2n − 1)!! 2n+1 √ arcsin x = = x x , =x+ 2n + 1 2n + 1 (2n)!! n 1 − t2 n=0 n=1 0

π arccos x = + 2

Zx 0

+∞ X dt 1 (2n − 1)!! 2n+1 π −√ x = −x− . 2 2 2n + 1 (2n)!! 1−t n=1

Poznámka 2.7.5. Podobně jako v předcházející poznámce můžeme nalézt rozvoj funkce x 7→ ex . Ta vyhovuje na celé množině reálných čísel diferenciální rovnici y 0 − y = 0 s počáteční podmínkou y(0) = 1. Řešení ve formě součtové funkce mocninné řady dává pro její koeficienty podmínku (n + 1) an+1 = an

pro všechna n ∈ N0 ,

a0 . n! Z podmínky y (0) = 1 vyplývá a0 = 1. Znovu se přesvědčíme, že rovnice y 0 − y = 0 s podmínkou y(0) = 1 má na R jediné řešení. Skutečně, je-li g jedno řešení, platí 0 −x e g(x) = −e−x g(x) + e−x g 0 (x) = e−x (g 0 (x) − g(x)) = 0, tj. an =

tudíž e−x g(x) = e0 g(0) = 1 pro všechna x ∈ R a g(x) = ex , tj. ex = všechna x ∈ R. Odtud také plyne: sinh x = cosh x =

+∞ X ex − e−x x2n+1 = 2 (2n + 1)! n=0 +∞ X x2n ex + e−x = 2 (2n)! n=0

+∞ P

n=0

xn n!

pro

pro všechna x ∈ R a pro všechna x ∈ R.

Poznámka 2.7.6. Výsledky, které jsme získali v poznámkách 2.7.3 – 2.7.5, lze jednoduše rozšířit z R na C. Využijeme zde jedné ze základních vlastností holomorfních funkcí: Buď A oblast v C, f a g holomorfní funkce na A. Potom, má-li množina B = {z ∈ A | f (z) = g(z) } v A alespoň jeden hromadný bod, je A = B. +∞ P Speciálně: Je-li R nenulový poloměr konvergence mocninné řady an z n , a s její n=0

součtová funkce na B (0, R) (potom dle věty 2.3 (str. 18) je s na B (0, R) holomorfní) +∞ P an xn pro všechna a f holomorfní funkce na B (0, R), pro kterou platí f (x) =

x ∈ (−R, R), je f (z) = s(z) =

Platí proto pro všechna z ∈ C ez =

+∞ n X z , n! n=0

n=0

n=0

sin z = −i sinh iz =

n

an z pro všechna z ∈ B (0, R).

sinh z =

Odtud dostáváme:

cos z = cosh iz =

+∞ P

+∞ X

z 2n+1 , (2n + 1)! n=0

+∞ n X (−1) z 2n+1 (2n + 1)! n=0

+∞ n X (−1) 2n z (2n)! n=0

cosh z =

+∞ X z 2n . (2n)! n=0

pro všechna z ∈ C, pro všechna z ∈ C.

Podobně lze všechny rozvoje, které jsme nalezli v poznámkách 2.7.3 a 2.7.4, rozšířit z intervalu (−1, 1) na množinu B (0, 1) ⊂ C.


27

Poznámka 2.7.7. Již v poznámce 1.9.9 (str. 16) jsme naznačili, že mocninné řady lze také dělit. V tomto případě však již nejsou vztahy mezi koeficienty tak jednoduché. Ukážeme si to na převrácené hodnotě součtové funkce mocninné řady. +∞ P Buď a0 6= 0, s součtová funkce mocninné řady an z n s nenulovým poloměrem n=0

1 konvergence. Potom s(0) = 6 0 a lze tedy předpisem z 7→ s(z) definovat v jistém okolí bodu 0 funkci t. Předpokládejme, že také funkce t je součtovou funkcí nějaké +∞ P bn z n . Existuje tedy kladné r tak, že pro všechna z ∈ B (0, r) mocninné řady n=0

platí:

+∞ X

an z

n

n=0

!−1

=

+∞ X

bn z n ,

n=0

tj.

+∞ X

n=0

an z n ·

+∞ X

bn z n = 1.

n=0

Odtud vzhledem k 2.3.3 (str. 18) plyne a0 b0 = 1, n X

aj bn−j = 0

j=0

pro n ∈ N.

Vzhledem k tomu, že a0 6= 0, lze z těchto rovnic vyjádřit bn pomocí b0 , b1 , . . . , bn−1 +∞ P pro všechna n ∈ N a tak postupně určit koeficienty mocninné řady bn z n pomocí koeficientů řady

+∞ P

n=0

an z n . Protože explicitní vyjádření koeficientů řady

n=0

+∞ P

bn z n je

n=0

zde obvykle těžko realizovatelné, nelze většinou nalézt poloměr konvergence řady +∞ P bn z n pomocí Hadamardovy věty 1.8 a vzniká tak otázka, zda-li je vůbec náš n=0

postup (založený na předpokladu, že poloměr konvergence

+∞ P

bn z n je větší než 0)

n=0

korektní. Připomeňme proto, že z teorie funkcí komplexní proměnné plyne, že je-li funkce f holomorfní na kruhu B (z0 , r), je na tomto kruhu součtovou funkcí své Taylorovy řady se středem v bodě z0 . Odtud tedy plyne, že je-li naše součtová funkce s nenulová na množině B (0, r), je funkce t = 1s holomorfní na B (0, r) a poloměr konvergence +∞ P řady bn z n je potom větší nebo roven r. n=0

Poznámka 2.7.8. Označme s součtovou funkci mocninné řady

pokusme se v duchu předchozí poznámky nalézt mocninnou řadu platilo

1 s(z)

=

+∞ P

n=0

+∞ P

+∞ P

n=0

zn (n+1)!

a

bn z n tak, aby

n=0

bn z n . Protože s (0) 6= 0 a s(z) =

ez −1 z

pro všechna z ∈ C r {0},

je s(z) = 6 0 pro všechna z ∈ B (0, 2π). Z předcházející poznámky plyne, že poloměr konvergence řady

+∞ P

n=0

bn z n je alespoň

2π (z toho, že s (2πi) = 0 a z věty 2.2 (str. 17) dokonce plyne, že poloměr konvergence je právě 2π). Označme Bn = bn n!, potom pro všechna z ∈ B (0, 2π) platí: +∞ X Bn n zn · z = 1. (n + 1)! n! n=0 n=0 +∞ X

28


Odtud B0 = 1 a

n P

j=0

1 (n+1−j)!

·

1 j! Bj

= 0, tj. n X n+1 j

j=0

Bj = 0

pro všechna n ∈ N.

Postupně můžeme nalézt 1 1 1 1 1 B1 = − , B2 = , B3 = 0, B4 = − , B5 = 0, B6 = , B7 = 0, B8 = − , 2 6 30 42 30 atd. Čísla Bn se nazývají Bernoulliova [7] a setkáme se s nimi v různých partiích matematiky (viz také pozn. 7.9.9 (str. 99)). Snadno se přesvědčíme, že pro všechna n ∈ N.

B2n+1 = 0

Pro všechna z ∈ B (0, 2π) r {0} totiž platí:

+∞ +∞ X X z ez + 1 z z z Bn n z Bn n z · coth = · z = z + = z + =1+ z . 2 2 2 e −1 e − 1 2 n=0 n! 2 n! n=2

Protože funkce z2 coth z2 je sudá, jsou podle poznámky 2.3.4 (str. 19) koeficienty u lichých mocnin z nulové. Zároveň jsme tak obdrželi zajímavý rozvoj z coth z = 1 +

+∞ +∞ n X 2 Bn n X 22n B2n 2n z = z n! (2n)! n=2 n=2

pro všechna z ∈ B (0, π) r {0}.

Protože coth iz = −i cotg z, platí také že z cotg z =

+∞ X

(−1)

n

n=0

22n B2n 2n z (2n)!

pro všechna z ∈ B (0, π) r {0}.

Přitom poloměr konvergence obou mocninných řad je π. Poznámka 2.7.9. Znajíce rozvoje funkcí sinus i kosinus v mocninnou řadu, můžeme se pomocí dělení mocninných řad pokusit o nalezení rozvoje funkce tangens. Nechť +∞ X Tn n tg z = z . n! n=0

Vzhledem k tomu, že funkce sinus i kosinus jsou holomorfní v C, cos z 6= 0 na +∞ P Tn n π B 0, π2 a cos π2 = 0, je poloměr konvergence řady n! z právě 2 . Jelikož funkce n=0 tangens je lichá, je T2n = 0 pro všechna n ∈ N0 . Dosadíme-li nyní pro z ∈ B 0, π2 do rovnosti sin z = tg z · cos z, dostáváme

tj.

+∞ +∞ +∞ n n X X T2n+1 2n+1 X (−1) 2n (−1) z 2n+1 = z · z (2n + 1)! (2n + 1)! (2n)! n=0 n=0 n=0 n

n−j

2n + 1 T2j+1 2j + 1

pro všechna n ∈ N0 .

n

X T2j+1 (−1) (−1) = · (2n + 1)! j=0 (2j + 1)! (2n − 2j)!

a tedy 1=

n X j=0

j

(−1)


29

Odtud nalezneme: T1 = 1, T3 = 2, T5 = 16, T7 = 272, T9 = 7936, atd. Obecně lze vyjádřit koeficienty T2n+1 pomocí Bernoulliových čísel: Protože tg z = cotg z − 2 cotg 2z pro všechna z ∈ B 0, π2 r {0}, je 2n +∞ 2n X 2 −1 n+1 2 z tg z = (−1) B2n z 2n a (2n)! n=1 2n +∞ 2n X 2 −1 n+1 2 tg z = (−1) B2n z 2n−1 (2n)! n=1 pro všechna z ∈ B 0, π2 . Platí proto: n+1 2n−1 2n 2 −1 2 (−1) B2n pro n ∈ N. T2n−1 = n

Část 2

Funkční posloupnosti

KAPITOLA 3

Konvergence funkční posloupnosti Definice 3.1: +∞ Buď (fn )1 posloupnost komplexních funkcí definovaných na množině A ⊂ C. +∞ Nechť dále pro každé z ∈ A posloupnost (fn (z))1 konverguje. Potom funkci f definovanou na množině A předpisem z → lim fn (z) nazýváme limitní funkcí +∞

posloupnosti (fn )1

n→+∞

. +∞

Poznámka 3.1.1. V obecném případě bude posloupnost (fn )1 definována na množině B a konvergovat bude na podmnožině A ⊂ B. V tomto skriptu nás však +∞ bude zajímat pouze ta množina A, na které posloupnost (fn )1 konverguje. V konkrétních případech budeme tedy za množinu A volit obor konvergence. Poznámka 3.1.2. V definici 3.1 hovoříme o posloupnosti funkcí z C do C. Stejně tak jsme však mohli zavést pojem limitního zobrazení ze zcela libovolné množiny A do topologického prostoru F . +∞

Poznámka 3.1.3. Skutečnost, že f je limitní funkcí posloupnosti (fn )1

(na

A

množině A) zapisujeme také takto: fn (z) −→ f (z). Např. platí:

B(0,1)

z n −−−−→ 0;

1+

z n C z − →e . n

Poznámka 3.1.4. V dalším odstavci se budeme zabývat otázkou, které vlastnosti členů funkční posloupnosti se přenášejí na limitní funkci. Při bodové konvergenci (tak se také nazývá konvergence zavedená def. 3.1) se přenášejí některé nelimitní vlastnosti, jako je periodičnost, monotonie nebo parita, ale nikoli již např. spojitost, diferencovatelnost a integrabilita. Proto přikročíme k definici takové konvergence, při které se již uvedené vlastnosti na limitní funkci přenesou. Definice 3.2 (Ph. L. v. Seidel [41], G. G. Stokes [42]): +∞ Buď f funkce a (fn )1 posloupnost funkcí definovaných na množině A. Řekneme, že +∞ posloupnost (fn (z))1 konverguje k f (z) stejnoměrně na množině A, jestliže ke každému kladnému číslu ε existuje n0 ∈ R tak, že pro všechna přirozená n > n0 a všechna z ∈ A platí |fn (z) − f (z)| < ε. +∞

Poznámka 3.2.1. Konverguje-li posloupnost (fn (z))1 k f (z) stejnoměrně na +∞ množině A, potom funkce f je limitní funkcí posloupnosti (fn )1 .

Poznámka 3.2.2. Stejnoměrnou konvergenci lze obecně zavést i pro zobrazení množiny A do metrického prostoru (F, σ): +∞ Buď f zobrazení a (fn )1 posloupnost zobrazení zcela libovolné množiny A do +∞ prostoru (F, σ). Řekneme, že posloupnost (fn (z))1 konverguje k f (z) stejnoměrně na množině A, jestliže ke každému kladnému číslu ε existuje n0 ∈ R tak, že pro všechna přirozená n > n0 a všechna z ∈ A platí σ (fn (z), f (z)) < ε. 33

34

3. KONVERGENCE FUNKČNÍ POSLOUPNOSTI

Poznámka 3.2.3. Pro stejnoměrnou konvergenci v def. 3.2, resp. v pozn. 3.2.2 A

užíváme následující zápis: fn (z) ⇒ f (z). Platí tedy: A

fn (z) −→ f (z) ⇔ (∀ε > 0) (∀z ∈ A) (∃n0 ) (∀n > n0 ) (|fn (z) − f (z)| < ε) A

fn (z) ⇒ f (z) ⇔ (∀ε > 0) (∃n0 ) (∀n > n0 ) (∀z ∈ A) (|fn (z) − f (z)| < ε) .

Všimněme si, že z hlediska matematické logiky se definice bodové a stejnoměrné konvergence liší „ jenÿ záměnou pořadí kvantifikátorů (∃n0 ) a (∀z ∈ A). Poznámka 3.2.4. V nově zavedeném označení můžeme poznámku 3.2.1 zapsat následovně: A

A

fn (z) ⇒ f (z) ⇒ fn (z) −→ f (z);

+∞

+∞

tj. konverguje-li (fn (z))1 na množině A stejnoměrně k f (z), konverguje (fn (z))1 na množině A také bodově k f (z). Poznámka 3.2.5. Implikaci v předchozí poznámce nelze obrátit. Položme A fn (x) = xn pro x ∈ h0, 1). Potom fn (x) −→ f (x), kde f (x) = 0 pro všechna +∞ x ∈ h0, 1). Přitom (fn (x))1 nekonverguje na intervalu h0, 1) stejnoměrně f (x). 1 Položme např. ε = 2 . Potom pro všechna n0 existuje n > n0 a existuje x ∈ h0, 1) tak, že |xn − 0| ≥ 12 = ε. Poznámka 3.2.6. Pro porovnání bodové a stejnoměrné konvergence je značně S Aα , kde Aα ⊂ C charakteristická jejich závislost na množině. Buď např. A = α∈I

pro všechna α ∈ I. Potom platí: A

A

α (a) (fn (x) −−→ f (x) pro všechna α ∈ I) ⇒ fn (x) −→ f (x). Zřejmě rovněž platí:

Aα

A

(b) (fn (z) ⇒ f (z) pro všechna α ∈ I) ⇒ fn (z) ⇒ f (z) pokud I je konečná množina. Tvrzení (b) však již nemusí platit, zvolíme-li za I nekonečnou např. spočetnou množinu: 1 Poznámka 3.2.7. Pro všechna m ∈ N a všechna x ∈ 0, 1 − m je n 1 |xn − 0| = xn ≤ 1 − . m h0,1− m1 i Platí tedy x ⇒ 0 pro všechna m ∈ N; přitom ale podle poznámky 3.2.5 +∞ posloupnost (xn )1 nekonverguje stejnoměrně na intervalu h0, 1). n

A

Poznámka 3.2.8. Nechť fn (z) ⇒ f (z). Potom pro každou množinu B ⊂ A B

platí fn (z) ⇒ f (z). Viz také poznámku 3.4.3. Poznámka 3.2.9. Platí: A

A

(a) jsou-li fn (z) ⇒ f (z) a c ∈ C, potom cfn (z) ⇒ cf (z); A

A

A

(b) jsou-li fn (z) ⇒ f (z) a gn (z) ⇒ g(z), potom také (fn + gn ) (z) ⇒ (f + g) (z) . Tvrzení (b) však nelze obecně rozšířit na součin. Např.: 2 R 1 R 1 x + ⇒ x, ale 6⇒ x2 . x+ n n Viz též poznámku 3.8.2 (str. 37).

Věta 3.3: +∞ Posloupnost (fn (z))1 konverguje k f (z) stejnoměrně na množině A právě tehdy, když lim sup |fn (z) − f (z)| = 0. n→+∞

z∈A


35

Důkaz. Přímo z definice dostáváme: A

fn (z) ⇒ f (z) ⇔ (∀ε > 0) (∃n0 ) (∀n > n0 ) (∀z ∈ A) (|fn (z) − f (z)| < ε) ⇔ ⇔ (∀ε > 0) (∃n0 ) (∀n > n0 ) sup |fn (z) − f (z)| ≤ ε ⇔ z∈A ⇔ lim sup |fn (z) − f (z)| = 0. n→+∞

z∈A

Poznámka 3.3.1. Označme m(A) metrický prostor všech omezených komplexních funkcí definovaných na množině A s metrikou % definovanou následovně: Jsou-li f, g prvky množiny m(A), klademe % (f, g) = sup |f (z) − g(z)|. Potom po+∞

sloupnost (fn )1

z∈A

konverguje k f v prostoru m(A) dle definice právě tehdy, jestliže A

lim % (fn , f ) = 0; tj. dle věty 3.3 právě tehdy, jestliže fn (z) ⇒ f (z).

n→+∞

Poznámka 3.3.2. I v obecném případě, kdy studujeme zobrazení množiny A do metrického prostoru (F, σ), můžeme definovat prostor m(A) jako prostor všech omezených zobrazení množiny A do množiny F s metrikou % (f, g) = sup σ (f (z), g(z)). +∞

Potom posloupnost (fn )1

z∈A

konverguje k zobrazení f v prostoru m(A) opět právě

A

tehdy, platí-li fn (z) ⇒ f (z). Poznámka 3.3.3. Věta 3.3 však kromě toho, že dokazuje „metrizovatelnost stejnoměrné konvergenceÿ, je i výhodným kritériem pro ověřování stejnoměrné konvergence. Např. v poznámce 3.2.7 n h0,1− m1 i 1 n n 1− ⇒ 0, neboť lim sup = 0; x x = lim n→+∞ n→+∞ m 1 x∈h0,1− m i h0,1)

6 0, xn ⇒

neboť lim

sup xn = lim 1 = 1.

n→+∞ x∈h0,1)

n→+∞

Věta 3.4 (B. Bolzano [10], A. L. Cauchy [14] 1): +∞ Buď (fn )1 posloupnost komplexních funkcí definovaných na množině A. Potom +∞ posloupnost (fn (z))1 konverguje stejnoměrně na množině A (k nějaké limitní funkci) právě tehdy, když pro každé kladné číslo ε existuje n0 ∈ R takové, že pro všechna přirozená n > n0 , pro všechna přirozená p a pro všechna z ∈ A platí: |fn+p (z) − fn (z)| < ε. A

Důkaz. (a) (⇒) Nechť fn (z) ⇒ f (z) a zvolme ε > 0. Potom existuje n0 ∈ R tak, že pro všechna n > n0 a všechna z ∈ A platí: ε |fn (z) − f (z)| < . 2 Odtud dostáváme pro všechna n > n0 , pro všechna z ∈ A a pro všechna přirozená p |fn+p (z) − fn (z)| ≤ |fn+p (z) − f (z)| + |fn (z) − f (z)| < ε.

(b) (⇐) Předpokládejme, že pro libovolné ε > 0 existuje n0 tak, že pro všechna n > n0 , všechna p ∈ N a všechna z ∈ A platí: ε (3.1) |fn+p (z) − fn (z)| < . 2 1Vždy pouze pro bodovou konvergenci.

36

3. KONVERGENCE FUNKČNÍ POSLOUPNOSTI +∞

Pro libovolné pevné z ∈ A odtud plyne, že číselná posloupnost (fn (z))1 +∞ konverguje. Buď f limitní funkce posloupnosti (fn )1 na množině A. Přejdemeli nyní v nerovnosti (3.1) k limitě pro p → +∞, vidíme, že pro všechna ε > 0 existuje n0 tak, že pro všechna n > n0 a všechna z ∈ A platí: ε |f (z) − fn (z)| ≤ < ε. 2 Poznámka 3.4.1. Z věty 3.4 vyplývá, že jsme schopni v C charakterizovat +∞ skutečnost, že posloupnost (fn (z))1 stejnoměrně konverguje na množině A, bez A

pojmu limitní funkce a opodstatňuje se tak i užití zápisu fn (z) ⇒. Poznámka 3.4.2. Věta 3.4 platí (nahradíme-li samozřejmě |fn+p (z) − fn (z)| vzdáleností σ (fn+p (z), fn (z))) pro posloupnost zobrazení do metrického prostoru (F, σ) právě tehdy, je-li prostor (F, σ) úplný. Je-li prostor (F, σ) úplný, potom věta 3.4 vlastně říká, že prostor m(A) je také úplný (viz pozn. 3.3.2). +∞ Poznámka 3.4.3. Buď (fn )1 posloupnost funkcí spojitých na množině A. ¯ a že posloupnost (fn (z))+∞ Nechť dále existuje množina B taková, že B ⊂ A ⊂ B, 1 +∞ konverguje stejnoměrně na množině B. Potom posloupnost (fn (z))1 konverguje stejnoměrně na množině A. Definice 3.5: +∞ Buď (fn )1 posloupnost komplexních funkcí definovaných na množině A. Řekneme, +∞ konverguje na množině A lokálně stejnoměrně že posloupnost (fn (z))1 (k f (z)), jestliže ke každému bodu z ∈ A existuje okolí H bodu z takové, že +∞ posloupnost (fn (z))1 konverguje stejnoměrně (k f (z)) na množině A ∩ H. +∞

Poznámka 3.5.1. Konverguje-li posloupnost (fn (z))1 stejnoměrně na množině A (k f (z)) konverguje na množině A také lokálně stejnoměrně (k f (z)). Opačné +∞ tvrzení platiti nemusí. Posloupnost (xn )1 konverguje na intervalu (0, 1) lokálně stejnoměrně, ale nekonverguje stejnoměrně. Avšak: Poznámka 3.5.2. Z Heineovy–Borelovy věty plyne, že konverguje-li posloup+∞ nost (fn (z))1 lokálně stejnoměrně na kompaktní množině A, konverguje na množině A stejnoměrně. Na kompaktní množině jsou tedy pojmy lokálně stejnoměrná konvergence a stejnoměrná konvergence ekvivalentní. Poznámka 3.5.3. Podobně jako stejnoměrnou konvergenci (pozn. 3.2.2 (str. 33)), můžeme i lokálně stejnoměrnou konvergenci zavést pro posloupnost zobrazení. Tentokrát však z topologického prostoru E do metrického prostoru F . Poznámka 3.5.4. K dosavadním druhům konvergence připojme ještě jeden. Setkáme se s ním znovu v dalším odstavci a umožní nám lépe vystihnout přenos spojitosti v konvergentní posloupnosti. Definice 3.6 (C. Arzelà [5]): +∞ Buď f limitní funkcí posloupnosti (fn )1 na množině A. Řekneme, že posloupnost +∞ (fn (z))1 konverguje kvazistejnoměrně k f (z) na množině A, jestliže ke každému číslu ε a každému nezápornému celému číslu n existuje přirozené číslo p tak, že pro všechna z ∈ A platí: min |fn+k (z) − f (z)| < ε. k∈pˆ

Poznámka 3.6.1. Jak plyne přímo z definice — kvazistejnoměrná konvergence je, stejně jako stejnoměrná, resp. lokálně stejnoměrná, bodová konvergence. Poznámka 3.6.2. Podobně, jako tomu bylo u stejnoměrné, resp. lokálně stejnoměrné konvergence, lze také pojem kvazistejnoměrné konvergence rozšířit i na posloupnosti zobrazení do metrického prostoru.


37

Poznámka 3.6.3. Stejnoměrná konvergence je kvazistejnoměrná. Vzájemný vztah jednotlivých druhů konvergence na stejné množině lze graficky zachytit následovně: lokálně stejnoměrná XX

- kvazistejnoměrná stejnoměrná XX z ? 9 bodová

Poznámka 3.6.4. Lokálně stejnoměrná konvergence a kvazistejnoměrná konvergence vzájemně obecně nesouvisí. +∞ Např. posloupnost (xn )1 konverguje na intervalu (0, 1) lokálně stejnoměrně, ale nekonverguje kvazistejnoměrně (neexistuje totiž přirozené p tak, aby pro všechna x z intervalu (0, 1) platilo min xk = xp < 21 ). Z druhé strany posloupnost k∈pˆ n +∞ x − x2n 1 nekonverguje lokálně stejnoměrně na intervalu h0, 1i — nekonverguje totiž stejnoměrně na žádném okolí bodu 1, ale konverguje na intervalu h0, 1i kvazistejnoměrně k nule — nejjednodušeji to plyne z věty 4.5 (str. 44). Definice 3.7: Funkce fn , n ∈ N se nazývají stejně omezené na množině A, existuje-li kladné číslo K takové, že pro všechna přirozená n a všechna z ∈ A platí |fn (z)| < K.

Poznámka 3.7.1. Stejně omezené funkce na množině A jsou omezené na A. Opak platit nemusí. Např. funkce x → xn na intervalu (1, 2) jsou omezené, ale nejsou omezené stejně.

Věta 3.8: +∞ Nechť posloupnost (fn (z))1 konverguje stejnoměrně na množině A k f (z). Potom následující výroky jsou ekvivalentní: (i)Funkce fn , n ∈ N jsou až na konečně mnoho výjimek omezené na množině A. (ii)Limitní funkce f je omezená na množině A. (iii)Existuje přirozené číslo k tak, že funkce fk+n , kde n ∈ N, jsou stejně omezené na množině A. A

Důkaz. Protože fn (z) ⇒ f (z), existuje přirozené číslo k tak, že pro všechna přirozená čísla n a pro všechna z ∈ A platí: |fk+n (z) − f (z)| < 1.

(3.2)

(a) (i) ⇒ (ii): Existuje n ∈ N a K > 0 tak, že |fk+n (z)| < K pro všechna z ∈ A. Z (3.2) potom plyne, že |f (z)| < K + 1 pro všechna z ∈ A. (b) (ii) ⇒ (iii): Existuje M > 0 tak, že pro všechna z ∈ A platí: |f (z)| < M . Potom z (3.2) dostáváme, že pro všechna přirozená n a pro všechna z ∈ A je |fk+n (z)| < M + 1. (c) (iii) ⇒ (i): Viz pozn. 3.7.1. Poznámka 3.8.1. Jak plyne z podaného důkazu, můžeme větu 3.8 rozšířit ještě o jeden ekvivalentní výrok: (iv) Existuje spočetná množina M ⊂ N taková, že funkce fn pro n ∈ M jsou omezené na množině A. +∞ +∞ Poznámka 3.8.2. Jsou-li (fn )1 , (gn )1 dvě posloupnosti funkcí omezených A

A

A

na množině A takových, že fn (z) ⇒ f (z) a gn (z) ⇒ g(z), potom také fn (z)gn (z) ⇒ f (z)g(z) . Viz též pozn. 3.2.9 (str. 34). +∞ Poznámka 3.8.3. Buďte (fn )1 posloupnost funkcí definovaných na množině A, z0 hromadný bod množiny A (píšeme také z0 ∈ A0 ). Řekneme, že funkce fn ,

38


n ∈ N mají v bodě z0 stejně limitu vzhledem k množině A (rovnou an ), jestliže ke každému ε > 0 existuje okolí H bodu z0 tak, že pro všechna z ∈ (H ∩ A r {z0 }) a všechna n ∈ N platí |fn (z) − an | < ε. Poznámka 3.8.4. Nechť funkce fn , n ∈ N mají v bodě z0 stejně limitu rovnou +∞ an vzhledem k množině A. Nechť dále je posloupnost (an )n=1 omezená. Potom existuje okolí H bodu z0 takové, že funkce fn , n ∈ N jsou na množině A ∩ H stejně omezené. Poznámka 3.8.5. Nahradíme-li v poznámce 3.8.3 předpoklad z0 ∈ A0 předpokladem z0 ∈ A a klademe-li zde an = fn (z0 ), obdržíme definici stejné spojitosti funkcí fn , n ∈ N v bodě z0 vzhledem k množině A. +∞ Poznámka 3.8.6. Buďte (fn )1 posloupnost funkcí definovaných na množině A, z0 ∈ A. Potom funkce fn , n ∈ N jsou stejně spojité v bodě z0 vzhledem k množině A právě tehdy, je-li buď z0 izolovaný bod množiny A nebo funkce fn , n ∈ N mají v bodě z0 stejně limitu vzhledem k množině A rovnou funkční hodnotě v tomto bodě. Poznámka 3.8.7. Jsou-li funkce fn , n ∈ N stejně spojité v každém bodě množiny A vzhledem k A, říkáme, že funkce fn , n ∈ N jsou stejně spojité na množině A. V analýze se často užívá následující druh stejné spojitosti: Definice 3.9: +∞ Buď (fn )1 posloupnost funkcí definovaných na množině A. Řekneme, že funkce fn , n ∈ N jsou stejně stejnoměrně spojité na množině A, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každou dvojici bodů z a z 0 z množiny A, pro kterou je |z − z 0 | < δ a pro všechna n ∈ N platí: |fn (z) − fn (z 0 )| < ε. Poznámka 3.9.1. V literatuře (pokud se nezavádí jiný druh stejné spojitosti než je ten, který je uveden v definici 3.9) se často stejná stejnoměrná spojitost stručně nazývá stejná spojitost. V této terminologii bývá potom také vyslovena následující důležitá věta:

Věta 3.10 (G. Ascoli, C. Arzelà): +∞ Buďte J omezený interval v množině reálných čísel a (fn )1 posloupnost komplexních funkcí stejně omezených a stejně stejnoměrně spojitých na J. Potom posloup+∞ nost (fn (x))1 má na intervalu J stejnoměrně konvergentní podposloupnost. +∞

Důkaz. Uspořádejme množinu J ∩ Q do posloupnosti (rm )m=1 . Ze stejné omezenosti funkcí fn , n ∈ N a z Weierstrassovy věty plyne, že pro každé x ∈ J +∞ má číselná posloupnost (fn (x))1 konvergentní podposloupnost. Označme: +∞ +∞ • f(1,n) 1 podposloupnost posloupnosti (fn )1 , která konverguje v bodě r1 , +∞ +∞ • f(2,n) 1 podposloupnost posloupnosti f(1,n) 1 , která konverguje v bodě r2 , +∞ +∞ podposloupnost posloupnosti f(m−1,n) 1 , která • obecně f(m,n) 1 konverguje v bodě rm . +∞ Pro m ∈ N posloupnost f(m,n) 1 konverguje v bodech r1 , . . . , rm . Diagonalizací +∞ obdržíme posloupnost f(n,n) 1 , která konverguje na množině J ∩ Q. Zvolme nyní ε > 0. Ze stejné stejnoměrné spojitosti funkcí fn , n ∈ N plyne existence čísla δ > 0 takového, že pro všechna x, x0 ∈ J, pro která je |x − x0 | < δ a pro všechna n ∈ N platí ε |fn (x) − fn (x0 )| < . 3 Dále existuje číslo k ∈ N tak, že pro všechna x ∈ J je min |x − rj | < δ. ˆ j∈k


39

+∞ Konečně z konvergence posloupnosti f(n,n) 1 v bodech rj pro j ∈ kˆ vyplývá, že existuje n0 tak, že pro všechna přirozená m, n > n0 a všechna j ∈ kˆ platí f(m,m) (rj ) − f(n,n) (rj ) < ε . 3 ˆ Buďte nyní x libovolný bod z intervalu J a j ∈ k takové, že |x − rj | < δ. Potom pro všechna přirozená m, n > n0 platí f(m,m) (x) − f(n,n) (x) ≤ f(m,m) (x) − f(m,m) (rj ) + f(m,m) (rj ) − f(n,n) (rj ) + ε ε ε + f(n,n) (rj ) − f(n,n) (x) < + + = ε. 3 3 3 J

Odtud již plyne, že f(n,n) (x) ⇒ f (x).

Poznámka 3.10.1. Věta je formulována pro posloupnost komplexních funkcí reálné proměnné. Z podaného důkazu snadno nahlédneme, že věta 3.10 zůstane v platnosti, nahradíme-li interval J libovolným totálně omezeným metrickým pro+∞ storem a posloupnost (fn )1 bude posloupností zobrazení do konečně rozměrného prostoru. Poznámka 3.10.2. Zavedli jsme pro funkce fn , n ∈ N pojmy stejná omezenost, stejná limita v bodě, stejná spojitost. Podobně můžeme definovat pojem stejné diferencovatelnosti, dokonce i stejné integrability: Poznámka 3.10.3. Řekneme, že funkce fn , n ∈ N jsou stejně diferencova−1 telné v bodě z0 , jestliže funkce gn : z 7→ (z − z0 ) (fn (z) − fn (z0 )), n ∈ N mají stejně limitu v bodě z0 . Poznámka 3.10.4. Funkce stejně diferencovatelné v bodě z0 jsou v tomto bodě stejně spojité. Poznámka 3.10.5. Řekneme, že reálné funkce fn , n ∈ N jsou na intervalu ha, bi stejně integrabilní, jestliže ke každému ε > 0 existuje číslo δ > 0 tak, že pro každé δ-rozdělení σ intervalu ha, bi a pro každé n ∈ N platí: S (fn , σ) − s (fn , σ) < ε. Přitom symbolem S (fn , σ), resp. s (fn , σ) jsme označili horní, resp. dolní integrální součet funkce fn na intervalu ha, bi při rozdělení σ.

KAPITOLA 4

Věty o limitní funkci Věta 4.1 (o limitě): +∞ Buď (fn )1 posloupnost komplexních funkcí definovaných na množině A ⊂ C a nechť (I)z0 ∈ A0 ; lim fn (z) = an ; (II)Pro všechna přirozená n existuje z→z 0

z∈A

A

(III)fn (z) ⇒ f (z). Potom platí: +∞ (i)Posloupnost (an )n=1 konverguje; (ii)Existuje z→z lim f (z); 0

z∈A

(iii)Limity v bodech (i) a (ii) jsou si rovny. Důkaz. (a) Z (III) a z věty 3.4 (str. 35) plyne, že k libovolnému ε > 0 existuje n0 tak, že pro všechna přirozená n > n0 , všechna p ∈ N a všechna z ∈ A platí ε |fn+p (z) − fn (z)| < . 3 Zvolme nyní pevně n > n0 , a p ∈ N. Potom z (II) plyne existence okolí H bodu z0 tak, že pro všechna z ∈ A ∩ H r {z0 } bude platit ε ε i |fn+p (z) − an+p | < . |fn (z) − an | < 3 3 Tudíž |an+p − an | ≤ |fn+p (z) − an+p | + |fn+p (z) − fn (z)| + |fn (z) − an | < ε ε ε < + + = ε. 3 3 3 Dokázali jsme tak tvrzení (i). (b) Označme a = lim an a zvolme ε > 0. Potom z (III) a dokázaného tvrzení (i) n→+∞

plyne existence n0 takového, že pro všechna n > n0 platí: ε |fn (z) − f (z)| < pro všechna z ∈ A 3 a ε |an − a| < . 3 Zvolme pevně n > n0 . Potom existuje okolí H bodu z0 takové, že pro všechna z ∈ A ∩ H r {z0 } je ε |fn (z) − an | < 3 a tudíž |f (z) − a| < |f (z) − fn (z)| + |fn (z) − an | + |an − a| < ε.

Dokázali jsem tak, že z→z lim f (z) = a, tj. tvrzení (ii) i (iii). 0

z∈A

41

42

4. VĚTY O LIMITNÍ FUNKCI

Poznámka 4.1.1. Jsou-li splněny předpoklady věty 4.1 je tedy možná následující záměna limit: lim lim f (z) z→z0 n→+∞ n z∈A

= lim

lim fn (z).

n→+∞ z→z0 z∈A

Poznámka 4.1.2. Věta 4.1 platí v plném rozsahu i pro posloupnost zobrazení z topologického prostoru E do úplného metrického prostoru (F, σ). Poznámka 4.1.3. Tvrzení věty 4.1 obecně neplatí, vynecháme-li předpoklad o stejnoměrné konvergenci. Stačí položit n , x0 = 1 — potom neplatí (i); A = (0, 1) , fn (x) = (−x) n A = (0, 1) , fn (x) = 1 − x · sin2 x1 , x0 = 0 — potom neplatí (ii); A = (0, 1) , fn (x) = xn , x0 = 1 — potom neplatí (iii). +∞ Poznámka 4.1.4. Stejnoměrná konvergence posloupnosti (fn (z))1 však není podmínkou nutnou pro platnost tvrzení věty 4.1. Položme nx A = (0, 1) , fn (x) = , x0 = 0. 1 + n 2 x2 Potom (0,1) nx 6⇒ 0, 2 2 1+n x ale nx nx = 0 = lim lim . lim lim 2 2 + + n→+∞ x→0 1 + n2 x2 x→0 n→+∞ 1 + n x Poznámka 4.1.5. Na určitou symetrii pojmů stejnoměrná konvergence a stejná konvergence (viz pozn. 3.8.3 (str. 37)) ukazuje následující věta: Nechť funkce fn , n ∈ N mají v bodě z0 stejně limitu vzhledem k množině A rovnou +∞ an . Nechť dále f je limitní funkce posloupnosti (fn )1 na množině A. Potom platí: (i) Funkce f má limitu v bodě z0 vzhledem k množině A; +∞ (ii) Posloupnost (an )n=1 konverguje; (iii) z→z lim f (z) = lim an . 0

z∈A

n→+∞

Věta 4.2 (o spojitosti): +∞ Buď (fn )1 posloupnost komplexních funkcí definovaných na množině A ⊂ C +∞ a spojitých v bodě z0 ∈ A (vzhledem k A). Nechť dále posloupnost (fn (z))1 stejnoměrně konverguje na množině A k f (z). Potom funkce f je spojitá v bodě z0 vzhledem k A. Důkaz. V každém izolovaném bodě množiny A je (dle definice spojitosti) funkce f spojitá. Předpokládejme proto, že z0 je hromadný bod množiny A. Potom jsou splněny všechny předpoklady věty 4.1 a tudíž dle poznámky 4.1.1 platí: lim

lim lim fn (z) = z→z

n→+∞ z→z0 z∈A

0

z∈A

lim fn (z).

n→+∞

Ze spojitosti funkcí fn v bodě z0 vzhledem k množině A odtud plyne: lim fn (z0 ) = z→z lim

n→+∞

0

z∈A

lim fn (z), tj. f (z0 ) = z→z lim f (z).

n→+∞

0

z∈A

+∞

Poznámka 4.2.1. Buď f limitní funkce posloupnosti (fn )1 funkcí spojitých +∞ na množině A (vzhledem k A). Konverguje-li posloupnost (fn (z))1 stejnoměrně na množině A, je funkce f spojitá na množině A vzhledem k A. Poznámka 4.2.2. Věta 4.2 s předchozí poznámkou platí i pro posloupnost zobrazení z topologického prostoru do metrického prostoru.


43

Poznámka 4.2.3. Spojitost funkcí fn a stejnoměrná konvergence posloupnosti +∞ (fn (z))1 jsou dle poznámky 4.2.1 postačující pro spojitost limitní funkce f . Žádná z těchto podmínek však pro spojitost funkce f není nutná. Limitní funkce posloup+∞ +∞ neje na intervalu (0, 1) spojitá, i když posloupnost (xn )1 nosti (x 7→ xn )1 konverguje na (0, 1) stejnoměrně. Z druhé strany Dirichletova funkce χ, definovaná předpisem ( 1 pro x ∈ Q χ(x) = 0 pro x ∈ R r Q +∞ je nespojitá v každém bodě R, ale posloupnost n1 χ(x) 1 konverguje stejnoměrně na celém R k nule.

Věta 4.3: +∞ Buď f limitní funkcí posloupnosti (fn )1 funkcí spojitých na množině A (vzhledem +∞ k A). Potom konverguje-li posloupnost (fn (z))1 lokálně stejnoměrně na množině A, je funkce f spojitá na A vzhledem k A. Důkaz. Buď z0 ∈ A. Potom z definice 3.5 (str. 36) plyne, že existuje okolí H +∞ bodu z0 tak, že posloupnost (fn (z))1 konverguje stejnoměrně na množině A ∩ H. Nyní stačí na množinu A ∩ H a bod z0 užít větu 4.2. Poznámka 4.3.1. Dokázaná věta nás může vést k následujícímu zamyšlení. Pro přenos spojitosti z členů funkční posloupnosti na limitní funkci zřejmě nestačí bodová konvergence. Z druhé strany — stejnoměrná, resp. lokálně stejnoměrná konvergence je sice postačující, ale jak plyne z poznámky 4.1.4 (str. 42), resp. 3.6.4 (str. 37), není nutná. Jaká je to tedy konvergence, která přenáší spojitost? Touto otázkou se budeme zabývat v následujících dvou větách. Věta 4.4 (U. Dini [17]): +∞ Buď (fn )1 rostoucí posloupnost funkcí spojitých na intervalu ha, bi, jejíž limitní +∞ funkce je na intervalu ha, bi spojitá. Potom posloupnost (fn (x))1 konverguje na intervalu ha, bi stejnoměrně. +∞

Důkaz. Sporem. Nechť posloupnost (fn (x))1 nekonverguje stejnoměrně na +∞ intervalu ha, bi. Označíme-li f limitní funkci posloupnosti (fn )1 , musí existovat +∞ ε > 0 a posloupnost (xn )1 bodů z intervalu ha, bi tak, že pro všechna n ∈ N platí: fn (xn ) < f (xn ) − ε. +∞

+∞

Buď x0 hromadná hodnota posloupnosti (xn )1 a (xkn )1 podposloupnost po+∞ sloupnosti (xn )1 konvergující k bodu x0 . Potom ze spojitosti funkcí fm , m ∈ N a f plyne: lim fm (xkn ) = fm (x0 )

n→+∞

pro všechna m ∈ N

a lim f (xkn ) = f (x0 ) .

n→+∞

Přitom pro všechna m ∈ N je pro každé n > m splněna nerovnost: fm (xkn ) ≤ fkn (xkn ) < f (xkn ) − ε. Přejdeme-li v této nerovnosti k limitě pro n → +∞, dostáváme fm (x0 ) ≤ f (x0 ) − ε což je ve sporu s předpokladem, že

pro všechna m ∈ N,

lim fm (x0 ) = f (x0 ).

m→+∞

44


Poznámka 4.4.1. Analogická věta platí pro klesající posloupnost spojitých funkcí. Poznámku 4.3.1, resp. 4.1.4 (str. 42) můžeme tedy doplnit v tom smyslu, že za předpokladu monotónní konvergence spojitých funkcí na uzavřeném a omezeném intervalu je stejnoměrnost této konvergence nutná a postačující pro spojitost limitní funkce. Poznámka 4.4.2. Věta 4.4 i předchozí poznámky zůstávají v platnosti, nahradíme-li v nich uzavřený omezený interval obecně kompaktním prostorem. Poznámka 4.4.3. Uzavřenost a omezenost intervalu ha, bi (obecně kompaktnost) ve větě 4.4 je podstatná: (0,1)

xn −−−→ 0, 2 1 R+ x+ −−→ x2 , n

(0,1)

6 0; xn ⇒ 2 + R 1 ⇒ 6 x2 . ale x+ n

ale

(4.1) (4.2)

Věta 4.5 (C. Arzelà [6], viz též [45]): +∞ Buď f limitní funkcí posloupnosti (fn )1 funkcí spojitých na kompaktní množině A (vzhledem k A). Potom funkce f je spojitá na množině A vzhledem k A právě +∞ tehdy, jestliže posloupnost (fn (z))1 konverguje kvazistejnoměrně na množině A. Důkaz. (a) (⇒) Zvolme ε > 0 a buď n libovolné celé nezáporné číslo. Položme pro každé m ∈ N: Am = {z ∈ A| |fn+m (z) − f (z)| < ε} . Ze spojitosti funkcí fn i f plyne, že všechny množiny Am jsou otevřené a jelikož A fn (z) −→ f (z), pokrývá systém těchto množin množinu A. Protože množina A p S je kompaktní, existuje podle Borelovy věty číslo p ∈ N tak, že A ⊂ Am . m=1

To ovšem znamená, že pro každé z ∈ A je splněna alespoň jedna z nerovností |fn+m (z) − f (z)| < ε,

kde m ∈ pˆ.

Tudíž pro všechna z ∈ A platí: min |fn+k (z) − f (z)| < ε k∈pˆ

+∞

a tak posloupnost (fn (z))1 konverguje kvazistejnoměrně na množině A. (b) (⇐) Zvolme libovolně bod z0 ∈ A a ε > 0. Vzhledem k tomu, že lim fn (z0 ) = n→+∞

f (z0 ), existuje celé nezáporné číslo n tak, že pro všechna m > n je ε |fm (z0 ) − f (z0 )| < . 3 +∞

Z kvazistejnoměrné konvergence posloupnosti (fn (z))1 na množině A plyne existence p ∈ N takového, že pro všechna z ∈ A je splněna nerovnost ε min |fn+k (z) − f (z)| < . (4.3) k∈pˆ 3 Protože funkce fn+k , k ∈ pˆ, jsou spojité v bodě z0 , lze nalézt takové okolí H bodu z0 , že pro všechna z ∈ H ∩ A platí ε |fn+k (z) − fn+k (z0 )| < pro každé k ∈ pˆ. 3 Zvolme konečně libovolné z ∈ H ∩ A. Potom z nerovnosti (4.3) vyplývá, že existuje j ∈ pˆ, pro které je ε |fn+j (z) − f (z)| < 3


45

a tudíž |f (z) − f (z0 )| ≤ |f (z) − fn+j (z)| + |fn+j (z) − fn+j (z0 )| + |fn+j (z0 ) − f (z0 )| < ε ε ε < + + = ε. 3 3 3 Funkce f je tedy spojitá v bodě z0 vzhledem k množině A. Poznámka 4.5.1. Kompaktnost množiny A ve větě 4.5 je podstatná. Viz např. poznámku 3.6.4 (str. 37). Poznámka 4.5.2. Věta 4.5 zůstává v platnosti, nahradíme-li v ní funkce z C do C zobrazeními z topologického prostoru do metrického prostoru. +∞ Poznámka 4.5.3. Buď (fn )1 monotónní posloupnost funkcí definovaných na +∞ množině A. Potom posloupnost (fn (z))1 konverguje na množině A stejnoměrně právě tehdy, konverguje-li na této množině kvazistejnoměrně. Užijeme-li toto tvrzení na větu 4.5, obdržíme větu Diniovu (4.4) jako triviální důsledek věty Arzelovy. Poznámka 4.5.4. Z důkazu 4.5 (b) plyne, že konverguje-li posloupnost spojitých funkcí (zobrazení) na libovolné množině kvazistejnoměrně, je limitní funkce (zobrazení) na této množině spojitá(é). Opačné tvrzení podle poznámky 4.5.1 neplatí. Snadno však nahlédneme, že platí následující věta: Poznámka 4.5.5. Buďte E lokálně kompaktní topologický prostor (topologický prostor, ve kterém má každé okolí kompaktní podokolí — např. konečně rozměrný +∞ lineární prostor), A ⊂ E . Buďte dále f limitní zobrazení posloupnosti (fn )1 zobrazení do metrického prostoru spojitých na A. Potom zobrazení f je spojité +∞ na množině A vzhledem k A právě tehdy, je-li posloupnost (fn (z))1 lokálně kvazistejnoměrně konvergentní na množině A. Věta 4.6 (o derivaci): +∞ Buď (fn )1 posloupnost reálných diferencovatelných funkcí na omezeném a otevřeném intervalu J ⊂ R takových, že platí: +∞

(I)Existuje c ∈ J tak, že (číselná) posloupnost (fn (c))1 konverguje; +∞ (II)Posloupnost (fn0 (x))1 konverguje stejnoměrně na J. Potom platí: +∞

(i)Posloupnost (fn (x))1 konverguje stejnoměrně na J; +∞ (ii)Limitní funkce f posloupnosti (fn )1 je diferencovatelná na intervalu J; +∞ (iii)Derivace f 0 je limitní funkcí posloupnosti (fn0 )1 . Důkaz. (a) Zvolme ε > 0. Z bodů (I) a (II) plyne existence n0 takového, že pro všechna n > n0 a pro všechna p ∈ N 0 ε ε (y) − fn0 (y) < a fn+p |fn+p (c) − fn (c)| < 2 2 |J| pro všechna y ∈ J. Buď n > n0 a p ∈ N; potom pro všechna x ∈ J je

|fn+p (x) − fn (x)| ≤ |(fn+p (x) − fn (x)) − (fn+p (c) − fn (c))| + |fn+p (c) − fn (c)| = = |(fn+p − fn ) (x) − (fn+p − fn ) (c)| + |fn+p (c) − fn (c)| = 0 = |x − c| (fn+p − fn ) (y) + |fn+p (c) − fn (c)| < ε ε < |J| + = ε, 2 |J| 2

(4.4)

kde v (4.4) je y ∈ (x, c) podle věty o přírůstku funkce aplikované na funkci fn+p − fn vnitřní bod intervalu o krajních bodech x a c. Tím je dokázáno tvrzení (i).

46


(b) Tvrzení (ii) a (iii) dokážeme pomocí věty 4.1 (str. 41). Zvolme x0 ∈ J a položme A = J r {x0 }, fn (x) − fn (x0 ) pro všechna x ∈ A a n ∈ N. x − x0 Potom pro všechna x ∈ A a všechna n, p ∈ N existuje (podle věty o přírůstku funkce) v otevřeném intervalu o hraničních bodech x0 , x bod y tak, že platí 1 |(fn+p − fn ) (x) − (fn+p − fn ) (x0 )| = |gn+p (x) − gn (x)| = − |x x0 | 0 0 (y) − fn0 (y) . = (fn+p − fn ) (y) = fn+p gn (x) =

+∞

Protože posloupnost (fn0 (x))1 konverguje na intervalu J stejnoměrně, plyne +∞ odtud, že také posloupnost (gn (x))1 stejnoměrně konverguje na množině A. Přitom platí: x0 ∈ A0 ; lim gn (x) = fn0 (x0 ); pro všechna n ∈ N existuje x→x 0

x∈A

f (x) − f (x0 ) . x − x0 Můžeme tedy užít věty 4.1 o limitě. Podle ní existuje f (x) − f (x0 ) lim x→x0 x − x0 x∈A A

gn (x) ⇒

(tj. existuje derivace funkce f v bodě x0 ) a platí lim f 0 (x0 ) = x→x

0

x∈A

f (x) − f (x0 ) = lim fn0 (x0 ) . n→+∞ x − x0

Poznámka 4.6.1. Při splnění předpokladů věty 4.6 můžeme tedy psát 0 pro všechna x ∈ J. lim fn0 (x) = lim fn (x) n→+∞

n→+∞

Z důkazu přitom plyne, že tato rovnost platí i v krajních bodech intervalu J (pokud zrušíme předpoklad o otevřenosti J), jestliže v nich ovšem nahradíme derivaci derivací jednostrannou. Poznámka 4.6.2. Větu 4.6 lze zobecnit i na posloupnost zobrazení v lineárních normovaných prostorech — viz větu 8.8 v navazujícím skriptu Diferenciální počet. Poznámka 4.6.3. Vypustíme-li ve větě 4.6 tvrzení (ii) a (iii) obdržíme další kritérium pro stejnoměrnou konvergenci. Poznámka 4.6.4. Předpoklad (I) ve větě 4.6 je pro platnost tvrzení (i) – (iii) zřejmě nutný, naopak předpoklad (II) nutný není. Položme xn fn (x) = pro všechna x ∈ (0, 1) a n ∈ N. n (0,1)

+∞

Potom f 0 (x) = xn−1 6⇒ , i když posloupnost (fn )1 a její limitní funkce vyhovují bodům (i) – (iii). Tvrzení (ii) a (iii) mohou být dokonce splněna, i když neplatí ani (II), ani (i). Např. fn (x) = xn pro x ∈ (0, 1). Poznámka 4.6.5. Na druhé straně nesplnění předpokladu (II) může mít za následek neplatnost tvrzení (ii) a (iii): Položme π 1 pro všechna x ∈ R a n ∈ N. fn (x) = sin n x + n 2

4. VĚTY O LIMITNÍ FUNKCI R

47

+∞

Potom fn (x) ⇒, limitní funkce posloupnosti (fn )1 je dokonce diferencovatelná na R, ale lim fn0 (x) neexistuje v žádném bodě x ∈ R. Viz též pozn. 4.7.7 (str. 48). n→+∞

Věta 4.7: +∞ Buď (fn )1 posloupnost reálných diferencovatelných funkcí na otevřeném intervalu J ⊂ R takových, že platí: +∞

(I)Existuje c ∈ J tak, že (číselná) posloupnost (fn (c))1 konverguje; +∞ (II)Posloupnost (fn0 (x))1 konverguje lokálně stejnoměrně na J; Potom platí: +∞

(i)Posloupnost (fn (x))1 konverguje lokálně stejnoměrně na J; +∞ (ii)Limitní funkce f posloupnosti (fn )1 je diferencovatelná na intervalu J; +∞ (iii)Derivace funkce f je limitní funkcí posloupnosti (fn0 )1 . Důkaz. Buď x ∈ J. Potom existují čísla a, b ∈ J taková, že a < x < b i +∞ a < c < b. Podle poznámky 3.5.2 (str. 36) posloupnost (fn0 (x))1 konverguje na intervalu ha, bi stejnoměrně. Užijeme-li nyní větu 4.6 na interval (a, b) dostáváme, +∞ konverguje stejnoměrně na intervalu (a, b), že limitní že posloupnost (fn (x))1 funkce f je diferencovatelná na intervalu (a, b), a že její derivace je na intervalu +∞ (a, b) limitní funkcí posloupnosti (fn0 )1 . Tím je ovšem věta dokázána. Poznámka 4.7.1. Věta 4.7 platí pro libovolný interval J ⊂ R. Pokud však interval J obsahuje svůj hraniční bod, je nutné pod pojmem derivace v tomto bodě ve větě 4.7 rozumět příslušnou jednostrannou derivaci. Poznámka 4.7.2. Vypustíme-li ve větě 4.7 tvrzení (ii) a (iii) obdržíme kritérium pro lokálně stejnoměrnou konvergenci. Poznámka 4.7.3. Věta 4.7 má při stejných tvrzeních (ii) a (iii) proti větě 4.6 slabší předpoklad. Lze ji proto s výhodou užít pro vyšetřování diferencovatelnosti limitní funkce. Viz např. poznámku 4.6.4 (zde v obou případech posloupnost +∞ (fn0 (x))1 nekonverguje na intervalu (0, 1) stejnoměrně, ale konverguje lokálně stejnoměrně). Poznámka 4.7.4. Ani předpoklad 4.7.(II) o lokální stejnoměrné konvergenci +∞ posloupnosti (fn0 (x))1 na intervalu J není nutný pro platnost tvrzení (ii) a (iii). Položme 1 1 fn (x) = xn+1 − x2n+1 pro všechna x ∈ (0, 1i a n ∈ N. n+1 2n + 1 +∞

Potom posloupnost (fn0 (x))1 nekonverguje na intervalu (0, 1i lokálně stejnoměrně, +∞ i když posloupnost (fn )1 a její limitní funkce na intervalu (0, 1i vyhovují bodům (i) – (iii) věty 4.7 s pozn. 4.7.1. A

Poznámka 4.7.5. Buď z0 ∈ A◦ a nechť fn (x) −→ f (x). Nechť dále funkce fn , n ∈ N jsou stejně diferencovatelné v bodě z0 (pozn. 3.10.3 (str. 39)). Potom také funkce f je diferencovatelná v bodě z0 a platí: f 0 (z0 ) = lim fn0 (z0 ) . n→+∞

Toto tvrzení je důsledkem poznámky 4.1.5 (str. 42). Poznámka 4.7.6. Věta 4.7 zůstává v platnosti i pro posloupnost komplexních funkcí komplexní proměnné, nahradíme-li v ní interval J oblastí v C (viz také pozn. 4.6.2). V množině C však lze užitím Cauchyova integrálního teorému (1825) větu 4.7 částečně obrátit. Připomeňme nejdříve, že komplexní funkce f je holomorfní v bodě z0 , má-li derivaci v jistém okolí bodu z0 . Funkce se nazývá holomorfní na množině A, je-li holomorfní v každém bodě množiny A.

48

4. VĚTY O LIMITNÍ FUNKCI +∞

Poznámka 4.7.7. Buď (fn )1 posloupnost holomorfních funkcí na otevřené +∞ množině A ⊂ C a nechť posloupnost (fn (z))1 lokálně stejnoměrně konverguje na množině A. Potom platí: +∞ (m) konverguje lokálně stejnoměrně na množině A pro (i) Posloupnost fn (z) 1 všechna m ∈ N; +∞ (ii) Limitní funkce f posloupnosti (fn )1 je holomorfní na množině A; (m) (iii) f (m) (z) = lim fn (z) pro všechna z ∈ A a všechna m ∈ N. n→+∞

Věta 4.8 (o integraci): +∞ Buď (fn )1 posloupnost funkcí (riemannovsky) integrabilních na intervalu ha, bi. +∞ Nechť dále posloupnost (fn (x))1 stejnoměrně konverguje na intervalu ha, bi k f (x). Potom limitní funkce f je na intervalu ha, bi (riemannovsky) integrabilní a platí: Zb

f (x) dx = lim

n→+∞

Zb

fn (x) dx.

a

a

ha,bi

Důkaz. Buď ε ∈ R+ . Protože fn (x) ⇒ f (x), existuje n0 tak, že pro všechna n > n0 a všechna x ∈ ha, bi platí: ε (4.5) . |fn (x) − f (x)| < 4 (b − a)

Zvolme pevně n > n0 . Potom z existence Riemannova integrálu funkce fn na intervalu ha, bi plyne, že existuje δ > 0 tak, že pro všechna δ-rozdělení σ intervalu ha, bi je: ε Ω (fn , σ) < . (4.6) 2 Přitom klademe Ω (fn , σ) = Sn (σ) − sn (σ), kde Sn (σ), resp. sn (σ) je horní, resp. dolní Darbouxův integrální součet funkce fn na intervalu ha, bi při rozdělení σ. Značme dále Mni , resp. mni suprémum, resp. infimum funkce fn na i-tém částečném intervalu rozdělení σ. Analogické značení (ovšem bez indexu n) užijeme pro limitní funkci f . Potom podle (4.5) je pro všechna x z i-tého částečného intervalu rozdělení σ splněna nerovnost: ε ε < f (x) < fn (x) + fn (x) − 4 (b − a) 4 (b − a) a tudíž

mni −

ε ε ≤ mi ≤ M i ≤ Mni + . 4 (b − a) 4 (b − a)

Po vynásobení poslední nerovnosti délkou i-tého částečného intervalu a sečtení přes všechny částečné intervaly rozdělení σ obdržíme: ε ε sn (σ) − ≤ s (σ) ≤ S (σ) ≤ Sn (σ) + , 4 4 a tedy ε S (σ) − s (σ) ≤ Sn (σ) − sn (σ) + , 2 tj. ε Ω (f, σ) ≤ Ω (fn , σ) + . 2 K libovolnému ε > 0 proto existuje δ > 0 tak, že pro všechna δ-rozdělení σ intervalu ha, bi platí (dle (4.6)) Ω (f, σ) < ε.


49

Funkce f je tedy (riemannovsky) integrabilní na intervalu ha, bi; přitom platí pro n > n0 Zb Zb Zb Zb fn (x) dx − f (x) dx = (fn (x) − f (x)) dx ≤ |fn (x) − f (x)| dx ≤ a

a

≤

tj. lim

Rb

n→+∞ a

a

a

fn (x) dx =

Rb

Zb a

ε ε dx = < ε, 4 (b − a) 4

f (x) dx.

a

Poznámka 4.8.1. Jsou-li tedy splněny předpoklady věty 4.8, pak platí: Zb

lim

n→+∞

fn (x) dx =

a

Zb

lim fn (x) dx.

n→+∞

a

Poznámka 4.8.2. Věta 4.8 zůstává v platnosti i pro funkce z Rn do R, jestliže v ní nahradíme interval ha, bi libovolnou měřitelnou množinou konečné míry. +∞ Poznámka 4.8.3. Bez stejnoměrné konvergence posloupnosti (fn )1 věta 4.8 +∞ obecně neplatí. Např. pro posloupnost (fn )1 , kde fn (x) = 2n2 xe−n

2

x2

platí lim

n→+∞

Z1

pro x ∈ h0, 1i,

fn (x) dx = lim

n→+∞

0

2

1 − e−n

= 1,

+∞

ale limitní funkce posloupnosti (fn )1 je na intervalu h0, 1i identicky rovna nule. Na druhé straně stejnoměrná konvergence ve větě 4.8 není podmínkou nutnou. Např.: h0,1i nx 6 ⇒ 0, 2 2 1+n x

ale lim

n→+∞

Z1 0

tj. platí lim

Rb

n→+∞ a

ln 1 + n2 nx dx = lim = 0, n→+∞ 1 + n 2 x2 2n

fn (x) dx =

Rb

lim fn (x) dx.

a n→+∞

Poznámka 4.8.4. Větu 4.6 ve speciálním případě, kdy funkce fn jsou spojitě diferencovatelné, lze dokázat jako důsledek věty 4.8. +∞ Skutečně. Označíme-li g limitní funkci posloupnosti (fn0 )1 , je dle poznámky 4.2.1 (str. 42) funkce g spojitá na intervalu J a podle věty 4.8 platí pro všechna x ∈ J Zx Zx g(t) dt = lim fn0 (t) dt = lim (fn (x) − fn (c)) . n→+∞

c

Protože

n→+∞

c

lim fn (c) = f (c), musí existovat i

lim fn (x) n→+∞ +∞ (fn )1 , platí:

n→+∞

označíme-li f limitní funkci posloupnosti Zx g(t) dt = f (x) − f (c). c

pro všechna x ∈ J a

50


Protože funkce na levé straně této rovnosti je diferencovatelná, musí mít na intervalu J derivaci i funkce f a platí lim fn0 (x) = g(x) = f 0 (x) pro všechna x ∈ J.

n→+∞

Z rovnosti fn+p (x) − fn (x) = fn+p (c) − fn (c) +

Zx c

0 fn+p (t) − fn0 (t) dt +∞

potom plyne stejnoměrná konvergence posloupnosti (fn (x))1 na intervalu J. Poznámka 4.8.5. Velmi zajímavé a užitečné jsou věty o záměně limity a integrálu pro Lebesgueův [31] integrál. V následujících poznámkách uvedeme některé jejich důsledky pro Riemannův integrál. +∞ Poznámka 4.8.6 (B. Levi [33]). Buď (fn )1 monotónní posloupnost riemannovsky integrabilních funkcí na ha, bi, jejíž limitní funkce je rovněž riemannovsky integrabilní na intervalu ha, bi. Potom platí: lim

n→+∞

Zb

fn (x) dx =

a

Zb

f (x) dx.

a

Poznámka 4.8.7. Ve speciálním případě, kdy funkce fn pro n ∈ N a funkce f jsou spojité na intervalu ha, bi, je předchozí poznámka triviálním důsledkem Diniovy věty 4.4 (str. 43). Poznámka 4.8.8. Nechť riemannovsky integrabilní funkce f je na intervalu +∞ ha, bi limitní funkcí posloupnosti (fn )1 stejně omezených riemannovsky integrabilních funkcí. Potom platí Zb

f (x) dx = lim

n→+∞

a

Zb

fn (x) dx.

a

Poznámka 4.8.9. Leviova věta platí i za předpokladu, že funkce f a fn pro n ∈ N mají na intervalu ha, bi absolutně konvergentní zobecněný Riemannův integrál. Rovněž předchozí poznámka je důsledkem obecnější Lebesgueovy věty, platné i pro zobecněný integrál: +∞ Nechť f je limitní funkcí posloupnosti (fn )1 na intervalu ha, b). Nechť dále existuje funkce g tak, že pro všechna x ∈ ha, b) platí |fn (x)| ≤ g(x) a funkce f , g a fn pro n ∈ N mají na intervalu ha, b) absolutně konvergentní Riemannův integrál. Potom platí: Zb a

f (x) dx = lim

n→+∞

Zb

fn (x) dx.

a

Poznámka 4.8.10. Z Lebesgueovy teorie také plyne, že věta 4.8 zůstává v platnosti, nahradíme-li předpoklad integrability funkcí fn předpokladem absolutní konvergence zobecněného Riemannova integrálu funkcí f a fn pro n ∈ N. V předcházejících poznámkách jsme při záměně limity a zobecněného integrálu museli vždy předpokládat dokonce existenci absolutně konvergentního integrálu limitní funkce. Pro nalezení postačujících podmínek k existenci zobecněného integrálu limitní funkce je prospěšná následující definice. Definice 4.9: +∞ Buď (fn )1 posloupnost funkcí definovaných na intervalu ha, b) takových, že pro všechna n ∈ N a všechna y ∈ ha, b) je fn Riemannovsky integrabilní na intervalu


ha, yi. Položme Fn (y) =

Ry

51

fn (x) dx. Potom, mají-li funkce Fn stejně vlastní limitu

a

v bodě b zleva, řekneme, že zobecněné integrály

Rb

fn (x) dx konvergují stejně.

a

Poznámka 4.9.1. Zobecněné integrály

Rb

fn (x) dx konvergují stejně právě

a

tehdy, jestliže ke každému kladnému číslu ε existuje levé okolí Hb− takové, že pro Rb2 libovolná čísla b1 , b2 ∈ Hb− a všechna n ∈ N platí fn (x) dx < ε. b1

Poznámka 4.9.2. Nechť zobecněné integrály

Rb a

fn (x) dx pro n ∈ N a

Rb

g(x) dx

a

konvergují. Nechť dále pro všechna n ∈ N a pro všechna x ∈ ha, b) platí |fn (x)| ≤ Rb g(x). Potom zobecněné integrály fn (x) dx konvergují stejně. a +∞ (fn )1

+∞

posloupnost, (gn )1 monotónní posloupnost Poznámka 4.9.3. Buďte funkcí definovaných na intervalu ha, b). Nechť dále je splněno některé z následujících kritérií: Ry (i) Integrály fn (x) dx jsou stejně omezené funkce horní meze na intervalu ha, b) a

a funkce gn mají v bodě b stejně limitu zleva rovnou nule. Rb (ii) Zobecněné integrály fn (x) dx konvergují stejně a funkce gn jsou stejně a

omezené na intervalu ha, b). Rb Potom zobecněné integrály fn (x)gn (x) dx konvergují stejně. a

Toto tvrzení snadno dokážeme, užijeme-li poznámku 4.9.1 a na integrál Zb2

fn (x)gn (x) dx

b1

aplikujeme druhou větu o střední hodnotě1. Poznámka 4.9.4. Srovnejme předchozí poznámky po řadě s větami 5.3 (str. 58), 5.4 (str. 59), 5.6 (str. 61) pro funkční řady i metody jejich důkazů. Všimněme si také např. toho, že tam, kde se ve funkčních řadách užívá Abelovy parciální sumace, tam se v zobecněných integrálech užívá druhé věty o střední hodnotě a naopak. V této souvislosti se potom zamysleme i nad důkazem druhé věty o střední hodnotě. Věta 4.10 (o zobecněné integraci): +∞ Buď f limitní funkcí posloupnosti (fn )1 na intervalu ha, b). Nechť dále platí: +∞

(i)Pro všechna y ∈ ha, b) posloupnost (fn (x))1 intervalu ha, yi.

konverguje stejnoměrně na

1Nechť a, b ∈ R, a < b a nechť pro funkce f a g platí

(i) funkce f je integrabilní v intervalu ha, bi; (ii) funkce g je monotónní v intervalu ha, bi (tudíž je zde též integrabilní). Pak existuje bod ξ ∈ ha, bi tak, že platí: Zb a

f (x)g(x) dx = g(a)

Zξ a

f (x) dx + g(b)

Zb ξ

f (x) dx.

52


(ii)Zobecněné integrály

Rb

fn (x) dx konvergují stejně.

a

Potom konverguje i zobecněný integrál

Rb

f (x) dx a platí:

a

lim

n→+∞

Zb

fn (x) dx =

Zb

f (x) dx.

a

a

ha,yi

Důkaz. Protože pro všechna y ∈ ha, b) platí fn (x) ⇒ f (x), je podle věty 4.8 (str. 48) funkce f integrabilní na intervalu ha, yi pro všechna y ∈ ha, b). Položme F (y) =

Zy

f (x) dx,

Fn (y) =

a

Zy

pro všechna y ∈ ha, b) a n ∈ N.

fn (x) dx

a

Protože funkce Fn mají v bodě b stejně vlastní limitu zleva, má podle poznámky 4.1.5 (str. 42) v bodě b stejně vlastní limitu i funkce F a platí: lim F (y) = lim

lim Fn (y).

n→+∞ y→b−

y→b−

Poznámka 4.10.1. Pomocí dokázané věty můžeme přirozeným způsobem (užitím definice čísla e) nalézt hodnotu důležitého integrálu spojovaného se jmény L. Euler, S. D. Poisson, C. F. Gauss či P. S. Laplace — +∞ Z 2 e−x dx. 0

−n 2

−1 ≤ 1 + x2 totiž podle poznámky 4.9.2 plyne, že inte-

Z nerovnosti 1 + xn −n +∞ R 2 dx konvergují stejně. Protože (např. podle věty 4.4 (str. 43)) 1 + xn grály

0

1+

2

x n

−n

h0,yi

2

⇒ e−x pro všechna y ∈ h0, +∞), musí podle věty 4.10 platit:

+∞ +∞ +∞ −n ! −n Z Z Z x2 x2 −x2 dx = e lim dx = lim dx = 1+ 1+ n→+∞ n→+∞ n n 0

0

0

Zπ/2 √ (2n − 3)!! π √ 1√ sin2n−2 z dz = lim = lim n n = π. n→+∞ n→+∞ (2n − 2)!! 2 2 0

√ Přitom jsme užili substituce x = n cotg z a Wallisovy formule (pozn. 5.9.5 (str. 66)). Poznámka 4.10.2. Pomocí poznámky 4.9.3 a věty 4.10 můžeme také dokázat následující rovnost: lim

n→+∞

+∞ Z 0

sin nx dx = 1+x

+∞ Z 0

sin x π dx (= dle pozn. 7.9.6 (str. 98)). x 2

Poznámka 4.10.3. Větu 4.10 lze s výhodou užít i pro záměnu limity a vlastního Riemannova integrálu v případě, že funkční posloupnost nekonverguje stejnoměrně na celém oboru integrace. +∞ Např. posloupnost (xn )1 nekonverguje stejnoměrně na intervalu h0, 1i a nelze tak


na výpočet h0,yi

lim

R1

n→+∞ 0

53

xn dx bezprostředně použít větu 4.8 (str. 48). Protože však

xn ⇒ 0 pro všechna y ∈ h0, 1) a zobecněné integrály

R1 0

xn dx, n ∈ N konvergují

stejně (např. dle pozn. 4.9.2 (str. 51), kde klademe g(x) = 1), platí podle věty 4.10 Z1 Z1 lim xn dx = lim xn dx = 0. n→+∞

n→+∞

0

0

Část 3

Funkční řady

KAPITOLA 5

Stejnoměrná konvergence Definice 5.1: +∞ Buď (fn )0 posloupnost komplexních funkcí definovaných na množině A ⊂ C, n P fk (z) pro všechna z ∈ A a všechna n ∈ N0 . Potom uspořádanou dvojici Fn (z) = k=0

+∞ +∞ (fn )0 , (Fn )0

nazveme funkční řadou a značíme Pokud funkční

+∞ posloupnost (Fn )0 +∞ P

součtovou funkcí řady

n=0

+∞ P

(5.1)

fn .

n=0

má na množině A limitní funkci F , nazveme ji +∞ P fn = F . fn a píšeme n=0

Poznámka 5.1.1. Speciálním příkladem funkční řady je mocninná řada. n V tomto případě je fn (z) = an (z − z0 ) . Poznámka 5.1.2. Funkční řadu je možné definovat pro libovolnou posloupnost zobrazení do lineárního prostoru. Chceme-li pak definovat i pojem součtové funkce, musí to být zobrazení do topologického lineárního prostoru nebo speciálně, jak to bývá obvyklé, do normovaného lineárního prostoru. Poznámka 5.1.3. Mezi funkčními posloupnostmi a řadami (zobrazení do +∞ P fn normovaného lineárního prostoru) je jednoznačný vztah. Každé funkční řadě n=0 n +∞ P +∞ fk , jejíž limitní lze jednoznačně přiřadit funkční posloupnost (Fn )0 = k=0

0

+∞

funkce je součtovou funkcí této řady. Naopak — každé funkční posloupnosti (Fn )0 +∞ P je jednoznačně přiřazena řada fn předpisem: f0 = F0 , fn = Fn − Fn−1 pro n=0

+∞

všechna n ∈ N, jejíž součtová funkce je limitní funkcí posloupnosti (Fn )0 . Poznámka 5.1.4. Ve smyslu předchozí poznámky bychom již dále ve studiu funkčních řad nemuseli pokračovat s tím, že celou kapitolu o funkčních posloupnos+∞ tech aplikujeme na posloupnosti „částečných součtůÿ (Fn )0 . +∞ P Problém je v tom, že částečné součty Fn funkční řady fn jsou obvykle dosti n=0

složité výrazy, o kterých lze jen s obtížemi dokázat, že mají tu či onu v předcházející kapitole požadovanou vlastnost. Smyslem dalšího textu tedy bude nahradit vyšetřování limitní funkce F pomocí vlastností funkcí Fn studiem funkce F pomocí +∞ P fn . vlastností rozdílů Fn+1 − Fn , tj. vlastností členů řady n=0

Definice 5.2:

Řekneme, že řada

+∞ P

n=0

fn (z) =

+∞

(fn (z))0

+∞

, (Fn (z))0

stejnoměrně konver-

guje na množině A, jestliže na množině A stejnoměrně konverguje posloupnost +∞ (Fn (z))0 . 57

58

5. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE

Poznámka 5.2.1. Řada

+∞ P

fn (z) stejnoměrně konverguje na množině A k souč-

n=0

tové funkci F (z) právě tehdy, jestliže pro každé kladné číslo ε existuje n0 ∈ R tak, že pro všechna přirozená čísla n > n0 a všechna z ∈ A platí: n X fk (z) − F (z) < ε. k=0

Poznámka 5.2.2. Stejnoměrnou konvergenci můžeme zavést i pro řadu zobrazení do normovaného lineárního prostoru. V předchozí poznámce potom musíme nahradit absolutní hodnotu normou. +∞ P Poznámka 5.2.3. Řada fn (z) konverguje na množině A stejnoměrně právě n=0 +∞ +∞ P fk (z) jejích zbytků konverguje stejnoměrně tehdy, jestliže posloupnost 0

k=n+1

k nulové funkci na množině A.

Poznámka 5.2.4. Nechť číselná řada

+∞ P

an konverguje a nechť platí fn (z) = an

n=0

pro všechna z ∈ A a všechna n ∈ N0 . Potom řada

+∞ P

fn (z) konverguje stejnoměrně

n=0

na množině A. Poznámka 5.2.5. O závislosti stejnoměrné konvergence funkční řady na množině lze říci totéž, co bylo uvedeno v poznámce 3.2.6 (str. 34). Podobně platí, že ze +∞ +∞ P P fn (z) a gn (z) na množině A plyne stejnoměrná stejnoměrné konvergence řad konvergence řady

vergence řady

+∞ P

n=0 +∞ P

n=0

n=0

(cfn ) (z) na množině A pro libovolné c ∈ C i stejnoměrná kon-

(fn + gn ) (z) na množině A.

n=0

Poznámka 5.2.6. Podobně, jako tomu bylo v definici 3.5 (str. 36), můžeme i pro funkční řady zavést pojem lokálně stejnoměrné, resp. kvazistejnoměrné konvergence. +∞ P fn (z) konverguje lokálně stejnoměrně, resp. kvazistejnoměrně Řada n=0

+∞

na množině A právě tehdy, jestliže posloupnost (Fn (z))0 stejnoměrně, resp. kvazistejnoměrně na množině A.

konverguje lokálně

Věta 5.3 (B. Bolzano, A. L. Cauchy): +∞ P Řada fn (z) konverguje stejnoměrně na množině A právě tehdy, jestliže pro n=0

všechna kladná čísla ε existuje n0 ∈ R tak, že pro všechna přirozená čísla n > n0 , pro všechna přirozená čísla p a všechna z ∈ A platí: n+p X fk (z) < ε. k=n+1

Důkaz. Vzhledem k tomu, že

větu 3.4 (str. 35) na posloupnost Poznámka 5.3.1. Řada neboť pro ε =

1 2

+∞ P

k=1

n+p P

fk (z) = Fn+p (z) − Fn (z), stačí aplikovat

k=n+1 +∞ (Fn )0 .

sin kx k

nekonverguje stejnoměrně na intervalu h0, πi,

sin 12 · ln 2 a všechna čísla n0 existuje n > n0 , p = n a x =

1 2n

tak,


že

59

2n 2n 2n n+p 1 1 X X sin k 2n sin n 2n 1 X 1 X sin kx > = sin · > ε, = k k k 2 k k=n+1

k=n+1

protože lim

2n P

n→+∞ k=n+1

1 k

k=n+1

k=n+1 2n P

= ln 2, lze volit n > n0 tak, aby platilo

k=n+1

1 k

>

1 2

ln 2.

Poznámka 5.3.2. V důkazu věty 5.3 využíváme jednu z důležitých vlastností množiny C, totiž úplnost. Věta 5.3 platí proto i pro řadu zobrazení do Banachova prostoru pokud v ní ovšem nahradíme absolutní hodnotu normou. Poznámka 5.3.3. Z věty 5.3 vyplývá (položíme-li v ní p = 1) důležitý důsledek. +∞ P Konverguje-li řada fn (z) na množině A stejnoměrně, konverguje posloupnost +∞

n=0

(fn (z))0 stejnoměrně na množině A k nule. Poznámka 5.3.4. Tato v předchozí poznámce uvedená „stejnoměrnáÿ obdoba známé věty z číselných řad je pro funkční řady velmi důležitá. Nesplnění této podmínky v teorii číselných řad totiž znamenalo, že řada poměrně rychle diverguje. Jestliže tedy její platnost při vyšetřování konvergence číselné řady byla jaksi automatická, je její ověření při vyšetřování stejnoměrné konvergence již velmi účinnou metodou. +∞ P n Tak např. i řada s tak rychlou konvergencí, jako je geometrická řada x nesplňuje n=0

na intervalu h0, 1) podmínku x

n

h0,1)

⇒ 0, a proto také řada

nekonverguje stejnoměrně.

+∞ P

n=0

n

x na intervalu h0, 1)

Věta 5.4 (K. Weierstrass [47]1): +∞ +∞ Buďte (fn )0 a (gn )0 dvě posloupnosti funkcí definovaných na množině A. Nechť dále pro všechna z ∈ A a všechna n ∈ N0 platí: Potom, konverguje-li řada

+∞ P

|fn (z)| ≤ gn (z).

gn (z) stejnoměrně na množině A, konverguje stejno-

n=0

měrně na množině A také řada

+∞ P

fn (z).

n=0

n+p P Důkaz. Plyne z nerovnosti fk (z) ≤ k=n+1

Poznámka 5.4.1. Řada

+∞ P

n+p P

gk (z) a věty 5.3.

k=n+1

gn (z) ve větě 5.4 se také někdy nazývá stejno-

n=0

měrně konvergentní majoranta řady

+∞ P

fn (z) na množině A.

n=0

Poznámka 5.4.2. Větu 5.4 můžeme zobecnit tak, že budeme posloupnost +∞ (fn )0 považovat za posloupnost zobrazení do Banachova prostoru. +∞ +∞ Poznámka 5.4.3. Buďte (fn )0 , (gn )0 dvě posloupnosti funkcí definovaných na množině A a nechť funkce gn , n ∈ N0 , jsou stejně omezené na množině A. +∞ P fn (z) stejnoměrně na množině A, konverguje také Potom, konverguje-li řada

řada

+∞ P

n=0

fn (z)gn (z) stejnoměrně na množině A.

n=0 1Ve formě pozn. 5.4.4 ji v podstatě Weierstrass užívá již roku 1841 aniž by sám pojem stejnoměrné konvergence byl znám.

60


Poznámka 5.4.4. Větu 5.4 nejčastěji užíváme pro speciální případ, kdy funkce gn jsou konstantní na množině A, tj. platí-li gn (z) = an pro všechna z ∈ A a všechna n ∈ N0 . V tomto případě (viz pozn. 5.2.4) potom ke stejnoměrné konvergenci +∞ +∞ P P řady fn (z) na množině A stačí konvergence číselné řady an . Říkáme, že n=0

n=0

pro stejnoměrnou konvergenci funkční řady na množině stačí, aby měla na této množině konvergentní číselnou majorantu. Poznámka 5.4.5. Protože funkce t 7→ t2 e−t je na intervalu h0, +∞) omezená, je podle předchozí poznámky řada +∞ X

2

x4 e−nx =

n=1

+∞ X 1 2 2 −nx2 e nx n2 n=1

stejnoměrně konvergentní na R. +∞ Poznámka 5.4.6. Buď (fn )0 posloupnost nezáporných funkcí a nechť řada +∞ P fn (z) konverguje stejnoměrně na množině A. Potom dle poznámky 5.3.3 platí n=0

A

+∞

fn (z) ⇒ 0. Položme an = sup fn (z). Dle věty 3.3 (str. 34) je posloupnost (an )n=0 z∈A

v nekonečné limitě nulová a vzniká otázka, nekonverguje-li i řada

+∞ P

an . V kladném

n=0

případě by to znamenalo, že existence konvergentní číselné majoranty k řadě nezáporných funkcí na množině A je podmínkou nejen postačující, ale také nutnou pro stejnoměrnou konvergenci této řady na množině A. Že tomu tak není, ukážeme v následující poznámce. Poznámka 5.4.7. Položme pro všechna n ∈ N0   1 sin2 2n+1 πx pro x ∈ 1 , 1 2n+1 2n fn (x) = n + 1 1 0 pro x ∈ h0, 1i r 2n+1 , 21n . Potom

k+1 1  1 2 2 πx pro x ∈ 2k+1 , 21k ,  k+1 sin   k + 1 ∈ n[ +1 Fn (x) = fk (x) = n S   k=0 0 pro x ∈ h0, 1i r n X

(

k=0

pro x ∈ 2k+1 , , k ∈ N0 F (x) = fk (x) = 0 pro x = 0 k=0  1 1 2 , 21k , 2k+1 πx pro x ∈ 2k+1   k+1 sin    +∞ k ≥n+1  X F (x) − Fn (x) = fk (x) = 0 pro   +∞ k=n+1  S 1   x ∈ h0, 1i r , 1  2k+1 2k +∞ X

1 k+1

sin

2

1 , 1 2k+1 2k

k+1

2

πx

1

1 2k

k=n+1

a tudíž

0 ≤ F (x) − Fn (x) ≤

1 n+2

h0,1i

pro všechna x ∈ h0, 1i a n ∈ N0 .

Dokázali jsme tak, že Fn (x) ⇒ F (x), tj. řada

+∞ P

fn (x) konverguje stejnoměrně

n=0

na intervalu h0, 1i. Kdyby naše řada měla na intervalu h0, 1i číselnou konvergentní majorantu, musela +∞ by existovat číselná posloupnost (an )n=0 taková, že by platilo: fn (x) ≤ an

pro všechna x ∈ h0, 1i a všechna n ∈ N0 ,


přičemž řada

+∞ P

61

an by konvergovala.

n=0

To však není možné, neboť 1 1 3 2 n+1 3π fn = sin 2 = . n+2 n+2 2 n+1 2 n+1

Věta 5.5: +∞ P n Buď an (z − z0 ) mocninná řada s kladným poloměrem konvergence R. Potom n=0

mocninná řada

+∞ P

n=0

kde r < R.

n

an (z − z0 ) konverguje stejnoměrně na každém kruhu B (z0 , r),

Důkaz. Buď r ∈ (0, R), potom pro všechna z ∈ B (z0 , r) a všechna n ∈ N0 n platí |an (z − z0 ) | ≤ |an | rn . Odtud a z věty 5.4, resp. poznámky 5.4.4 vyplývá +∞ P n an (z − z0 ) na množině B (z0 , R). stejnoměrná konvergence řady n=0

Poznámka 5.5.1. Z věty 5.5 plyne, že mocninná řada konverguje lokálně stejnoměrně na vnitřku oboru konvergence. Poznámka 5.5.2. Větu 5.5 můžeme také zobecnit takto: Mocninná řada konverguje stejnoměrně na každé kompaktní podmnožině vnitřku oboru konvergence. Poznámka 5.5.3. Jak plyne přímo z předpokladu věty 5.4, lze Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence (které se zpravidla uvádí ve formě poznámky 5.4.4) použít pouze pro řady, které absolutně konvergují. Pro ostatní řady slouží následující kritéria:

Věta 5.6: +∞ +∞ Buď (fn )0 posloupnost komplexních funkcí definovaných na množině A, (gn )0 n P monotónní posloupnost reálných funkcí definovaných na A. Označme Fn = fk . k=0

Nechť dále je splněno některé z následujících kritérií:

(i)(G. L. Dirichlet [18]2) Funkce Fn , n ∈ N0 , jsou stejně omezené na množině A A

a gn (z) ⇒ 0.

A

(ii)(N. H. Abel [1]2) Fn (z) ⇒ a funkce gn , n ∈ N0 , jsou stejně omezené na množině A. +∞ P Potom řada fn (z)gn (z) konverguje stejnoměrně na množině A. n=0

Důkaz. Důkaz je založen na tzv. Abelově parciální sumaci: Pro libovolné n ∈ N0 a p ∈ N platí: n+p X

f k gk =

k=n+1

n+p X

k=n+1

=

n+p−1 X

k=n+1

kde Fn,k =

n+k P

j=n+1

(Fn,k−n − Fn,k−1−n ) gk = (5.2) Fn,k−n (gk − gk+1 ) + Fn,p gn+p − Fn,0 gn+1 , | {z }

fj = Fn+k − Fn .

2V obou případech je kritérium vysloveno pro bodovou konvergenci.

0

62


(a) Nechť je splněna podmínka (i); potom existuje kladné číslo K tak, že pro všechna n ∈ N0 a všechna z ∈ A je |Fn (z)| < K. Zvolme nyní ε > 0. Existuje n0 tak, že pro všechna z ∈ A a všechna n > n0 ε bude |gn (z)| < 6K . Podle (5.2) potom pro všechna n > n0 , všechna p ∈ N a všechna z ∈ A platí: n+p−1 n+p X X Fn,k−n (z) (gk (z) − gk+1 (z)) + Fn,p (z)gn+p (z) ≤ fk (z)gk (z) = k=n+1

≤

k=n+1 n+p−1 X

|Fn,k−n (z)| |gk (z) − gk+1 (z)| + |Fn,p (z)| |gn+p (z)| ≤

k=n+1 n+p−1 X

≤ 2K

k=n+1

!

|gk (z) − gk+1 (z)| + |gn+p (z)|

=3

= 2K (|gn+1 (z) − gn+p (z)| + |gn+p (z)|) ≤ ≤ 2K (|gn+1 (z)| + |gn+p (z)| + |gn+p (z)|) < ε

(b) Je-li splněna podmínka (ii), pak existuje kladné číslo M tak, že pro všechna n ∈ N0 a všechna z ∈ A je |gn (z)| < M . Zvolme opět ε > 0. Nyní existuje n0 ∈ R tak, že pro všechna přirozená n > n0 , ε . Potom ovšem podle (5.2) všechna p ∈ N a všechna z ∈ A bude |Fn,p (z)| < 3M pro všechna n > n0 , všechna p ∈ N a všechna z ∈ A platí: n+p n+p−1 X X fk (z)gk (z) ≤ |Fn,k−n (z)| |gk (z) − gk+1 (z)| + |Fn,p (z)| |gn+p (z)| ≤ k=n+1 k=n+1 n+p−1 ! X ε |gk (z) − gk+1 (z)| + |gn+p (z)| = 3 ≤ 3M k=n+1 ε (|gn+1 (z) − gn+p (z)| + |gn+p (z)|) < ε. = 3M Odtud potom jak v bodě (a), tak v bodě (b) dostáváme podle věty 5.3 (str. 58) +∞ P stejnoměrnou konvergenci řady fk (z)gk (z) na množině A. n=0

+∞ Poznámka 5.6.1. Buď (gn )0 monotónní posloupnost A vaných na množině A ⊂ R, gn (z) ⇒ 0. Potom řada +∞ X

reálných funkcí defino-

einx gn (x)

n=0

konverguje stejnoměrně na každé množině Ak = A ∩ h2kπ + ε, 2 (k + 1) π − εi, kde k ∈ Z a ε ∈ (0, π). Plyne to z věty 5.6.(i), neboť pro všechna x ∈ Ak a n ∈ N0 platí: n s 2 2 X 1 − ei(n+1)x ikx = = (1 − cos (n + 1) x) + sin (n + 1) x = e 2 1 − eix (1 − cos x) + sin2 x k=0 r sin n+1 x 2 − 2 cos (n + 1) x 1 2 ≤ = = . x 2 − 2 cos x sin ε sin 2

2

3Na tomto místě využíváme předpokladu monotónnosti funkční posloupnosti (g )+∞ . Ten n 0 nás opravňuje k následujícímu mezikroku „vytknutíÿ absolutní hodnoty před sumu ! n+p−1 X gk (z) − gk+1 (z) + |gn+p (z)| = · · · · · · = konst · k=n+1

Díky monotonii (gn )+∞ mají totiž všechny rozdíly gk (z) − gk+1 (z) stejné znaménko (nebo jsou 0 nulové) pro všechna k ∈ N0 a všechna z ∈ A, a proto v trojúhelníkové nerovnosti nastává rovnost.


63

Poznámka 5.6.2. Všimněme si také, že ačkoli (např. dle pozn. 5.3.1 (str. 58)) řada +∞ X sin nx n n=1

nekonverguje stejnoměrně na intervalu h0, πi, řada +∞ X sin x sin nx n n=1

konverguje stejnoměrně na celé množině reálných čísel. Nelze tedy vyšetřovat +∞ P sin x sin nx stejnoměrnou konvergenci řady např. tak, že „vytknemeÿ sin x! n n=1

Poznámka 5.6.3. Položíme-li ve větě 5.6 pro všechna z ∈ A a n ∈ N0 n

fn (z) = (−1) , dostáváme podle Dirichletova kritéria: +∞ Buď (gn (z))0 monotónní posloupnost pro všechna z ∈ A. Potom řada +∞ X

n

(−1) gn (z)

n=0 A

konverguje stejnoměrně na množině A právě tehdy, když gn (z) ⇒ 0 („stejnoměrnáÿ obdoba tvrzení, která pro číselné řady vyslovil G. W. Leibniz již v roce 1692 (viz poznámku pod čarou 6 (str. 14)). Věta 5.7: Nechť mocninná řada konverguje-li řada

+∞ P

n=0

+∞ P

n=0

n

an (x − x0 ) má kladný poloměr konvergence R. Potom n

an (x − x0 ) v bodě x0 + R, resp. x0 − R, konverguje stejno-

měrně na intervalu hx0 , x0 + Ri, resp. hx0 − R, x0 i. Důkaz. Nechť např. řada

+∞ P

n=0 +∞ X

n=0

n

an (x − x0 ) konverguje v bodě x0 + R. Potom n

an (x − x0 ) =

+∞ X

n=0

an R

n

x − x0 R

n

.

0 Protože pro všechna x ∈ hx0 , x0 + Ri a všechna n ∈ N0 je x−x ≤ 1 a R +∞ P řada an Rn stejnoměrně konverguje na intervalu hx0 , x0 + Ri, je tvrzení věty n=0

důsledkem Abelova kritéria 5.6.(ii).

Poznámka 5.7.1. Pomocí věty 5.5 (str. 61) a 5.7 lze poznámkou 5.5.2 zobecnit pro mocninné řady s reálným definičním oborem takto: Mocninná řada konverguje stejnoměrně na každé kompaktní množině, která je částí jejího oboru konvergence. +∞ Poznámka 5.7.2. Ve větě 5.6 byla (fn )0 posloupnost komplexních funkcí, +∞ ale (gn )0 (vzhledem k požadované monotonii) musela být posloupnost reálných funkcí. V následující definici nahradíme monotonii takovou vlastností, k jejímuž popisu nepotřebujeme uspořádání, což nám umožní větu 5.6 zobecnit.

64


Definice 5.8: +∞ Říkáme, že číselná posloupnost (an )n=0 má konečnou variaci, konverguje-li řada +∞ X

n=0 +∞

|an+1 − an |.

Posloupnost funkcí (fn )n=0 má na množině A omezenou variaci, existuje-li číslo K tak, že pro všechna z ∈ A platí +∞ X

n=0 +∞

|fn+1 (z) − fn (z)| < K.

Posloupnost funkcí (fn )n=0 má na množině A stejnoměrně konečnou variaci, jestliže řada +∞ X

n=0

|fn+1 (z) − fn (z)|

konverguje stejnoměrně na množině A. Poznámka 5.8.1. (a) Číselná posloupnost, která má konečnou variaci, je konvergentní. +∞ (b) Nechť posloupnost (fn )0 má na množině A omezenou variaci a buď f její limitní funkce. Potom funkce fn − f , n ∈ N0 jsou stejně omezené na množině A. +∞ (c) Má-li posloupnost (fn )0 na množině A stejnoměrně konečnou variaci, konver+∞ guje posloupnost (fn (z))0 stejnoměrně na množině A. Poznámka 5.8.2. Nahradíme-li v definici 5.8 absolutní hodnoty normou, můžeme jednotlivé pojmy přenést do normovaného lineárního prostoru. Poznámka 5.8.3. Body (a), (b), (c) v poznámce 5.8.1 se stávají ekvivalen+∞ +∞ cemi, pokud posloupnosti (an )n=0 , resp. (fn )0 jsou monotónní. Proto, opouštímeli obor reálných čísel, nahrazujeme monotónní posloupnosti jistých vlastností posloupnostmi s příslušnou variací. Jako příklad může sloužit následující věta: Věta 5.9: +∞ +∞ a (gn )0 dvě posloupnosti komplexních funkcí definovaných na Buďte (fn )0 n P množině A. Označme Fn = fk . Nechť dále je splněno některé z následujících k=0

kritérií:

(i)(R. Dedekind [16]4) Funkce Fn , n ∈ N0 jsou stejně omezené na množině A a +∞ posloupnost (gn )0 má stejnoměrně konečnou variaci na množině A, přičemž A

gn (z) ⇒ 0.

A

+∞

je posloupnost (ii)(P. du Bois–Reymond [8]4) Fn (z) ⇒ a posloupnost (gn )0 stejně omezených funkcí na množině A, která má omezenou variaci na A. +∞ P fn (z)gn (z) konverguje stejnoměrně na množině A. Potom řada n=0

Důkaz. (a) Nechť je splněna podmínka (i), potom existuje kladné číslo K tak, že pro všechna n ∈ N0 a všechna z ∈ A je |Fn (z)| < K. +∞ Zvolme ε > 0. Protože posloupnost (gn )0 má na množině A stejnoměrně konečnou variaci, existuje n1 tak, že pro všechna přirozená n > n1 ; p ∈ N a 4V obou případech je kritérium vysloveno pro bodovou konvergenci.


všechna z ∈ A je

n+p X

k=n+1

|gk+1 (z) − gk (z)| <

65

ε . 4K

A

Jelikož gn (z) ⇒ 0, existuje také n2 tak, že pro všechna přirozená n > n2 a ε . Potom pro všechna přirozená n > max {n1 , n2 }, všechna z ∈ A je |gn (z)| < 4K všechna p ∈ N a všechna z ∈ A podle důkazu 5.6.(5.2) (str. 61) platí: n+p−1 n+p X X |Fn,k−n (z)| |gk (z) − gk+1 (z)| + |Fn,p (z)| |gn+p (z)| ≤ fk (z)gk (z) ≤ k=n+1 k=n+1 ! n+p−1 ε X ε |gk (z) − gk+1 (z)| + |gn+p (z)| < 2K ≤ 2K = ε. + 4K 4K k=n+1

(b) Je-li splněna podmínka (ii), existuje kladné číslo M tak, že pro všechna z ∈ A platí: |gn (z)| < M pro všechna n ∈ N0 a n+p X

k=n+1

|gk+1 (z) − gk (z)| < M. +∞

Zvolme ε > 0. Protože posloupnost (Fn (z))0 na množině A stejnoměrně konverguje, existuje n0 tak, že pro všechna n > n0 , p ∈ N a všechna z ∈ A je ε . Potom podle důkazu 5.6.(5.2) (str. 61) pro všechna přirozená |Fn,p (z)| < 2M n > n0 , p ∈ N a všechna z ∈ A platí: n+p−1 n+p X X |Fn,k−n (z)| |gk (z) − gk+1 (z)| + |Fn,p (z)| |gn+p (z)| ≤ fk (z)gk (z) ≤ k=n+1 k=n+1 n+p−1 ! X ε ≤ |gk (z) − gk+1 (z)| + |gn+p (z)| < ε. 2M k=n+1

Odtud již v obou případech plyne podle věty 5.3 (str. 58) stejnoměrná konvergence řady +∞ X

fn (z)gn (z)

n=0

na množině A.

+∞

Poznámka 5.9.1. Je-li (gn )0 monotónní posloupnost (reálných) funkcí, splývá věta 5.9 s větou 5.6 (str. 61). Všimněme si také, že v 5.9.(ii) stačilo předpo+∞ kládat, že posloupnost (gn )0 má na množině A omezenou variaci a alespoň jedna z funkcí gn , n ∈ N0 je omezená na množině A. Poznámka 5.9.2. Věta 5.9 platí i pro posloupnosti zobrazení, jejichž společný obor hodnot je částí téže Banachovy algebry.

Poznámka 5.9.3. Podobně jako řady můžeme studovat nekonečné součiny. V následujících poznámkách připomeneme některé základní definice a věty. +∞ Poznámka 5.9.4. Je-li (an )n=1 posloupnost kladných čísel a položíme-li pn = n Q +∞ +∞ nazýváme ak , potom uspořádanou dvojici posloupností (an )n=1 , (pn )1 k=1

nekonečný součin a značíme

+∞ Q

n=1

an . Existuje-li

lim pn = p, nazýváme číslo

n→+∞

66

5. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE +∞ Q

p součinem nekonečného součinu

n=1 +∞ Q

Je-li p ∈ (0, +∞), říkáme, že součin nazýváme součin

+∞ Q

an a píšeme p =

+∞ Q

an .

n=1

an konverguje. V opačném případě

n=1

an divergentní.

n=1

Poznámka 5.9.5. Historicky prvními nekonečnými součiny byla následující vyjádření čísla π • (F. Vieta [44], 1646) 2 = π

r

1 · 2

s

1 1 + · 2 2

r

v s u r +∞ u Y 1 t1 1 1 1 1 π cos n+1 ; · + · + · · ··· = 2 2 2 2 2 2 2 n=1

• (J. Wallis [46], 1656)

2 +∞ Y 4n2 π 1 (2n)!! = lim . = 2 4n2 − 1 n→+∞ 2n + 1 (2n − 1)!! n=1

Poznámka 5.9.6. Nutnou podmínkou pro konvergenci součinu

+∞ Q

an je

n=1

lim an = 1. Proto se také často klade an = 1 + αn a nekonečné součiny se

n→+∞

píší ve tvaru

+∞ Q

(1 + αn ).

n=1 +∞ Q

Poznámka 5.9.7. Nekonečný součin

an konverguje právě tehdy, jestliže

n=1

ke každému kladnému číslu ε existuje n0 tak, že pro všechna přirozená n > n0 a všechna p ∈ N platí: Y n+p ak − 1 < ε. k=n+1


konverguje řada

+∞ P

+∞ Q

an konverguje právě tehdy, když

n=1

ln an .

n=1

Poznámka 5.9.9. Z předcházející poznámky plyne, že pokud posloupnost +∞ Q +∞ (an )n=1 je tvořena pouze čísly většími než jedna, je nekonečný součin an konvergentní právě tehdy, konverguje-li řada

+∞ P

n=1

n=1

(an − 1).

Poznámka 5.9.10. Z poznámky 5.9.8 také plyne, že pro konvergenci neko+∞ +∞ Q P nečného součinu an je postačující současná konvergence řad (an − 1) a +∞ P

n=1

n=1

n=1

2

(an − 1) .


gentní, konverguje-li absolutně řada

+∞ P

+∞ Q

an se nazývá absolutně konver-

n=1

ln an . Součin

n=1

právě tehdy, konverguje-li absolutně řada

+∞ P

n=1

+∞ Q

n=1

(an − 1).

an konverguje absolutně


67

+∞

Poznámka 5.9.12. Buď (an )n=0 posloupnost kladných čísel, sn = Potom +∞ X

an = a0

n=0

+∞ Y

n=1

sn

= a0

sn−1

+∞ Y

n=1

1+

an sn−1

n P

ak .

k=0

.

Odtud a z poznámky 5.9.9 plyne: +∞ P (N. H. Abel [2]) Řada an s kladnými členy konverguje právě tehdy, konverguje-li

řada

+∞ P

n=0

an

n=0

sn−1

.

Definice 5.10: +∞ Buď (fn )1 posloupnost kladných funkcí definovaných na množině A. Položme n Q fk (z). Potom uspořádanou dvojici posloupností ϕn (z) = k=1

+∞

(fn )1

+∞

, (ϕn )1

(5.3)

nazýváme nekonečný funkční součin a značíme +∞ (ϕn )1 +∞ Q

+∞ Q

fn . Má-li posloupnost

n=1

limitní funkci ϕ, nazýváme ji součinovou funkcí nekonečného součinu

fn a píšeme

n=1

ϕ=

+∞ Y

fn .

n=1 A

Je-li ϕ(z) > 0 pro všechna z ∈ A a platí-li dokonce ϕn (z) ⇒ ϕ(z), říkáme, že +∞ Q fn (z) konverguje na množině A stejnoměrně. nekonečný součin n=1

Poznámka 5.10.1. Nechť při označení použitém v definici 5.10 jsou částečné součiny ϕn a jejich převrácené hodnoty ϕ1n , n ∈ N stejně omezené na množině A. Potom platí: +∞ Q (a) Nekonečný součin fn (z) konverguje stejnoměrně na množině A právě tehdy, n=1

A

platí-li %n (z) ⇒ 1, kde %n (z) =

(b) Nekonečný součin

+∞ Q

+∞ Q

fk (z);

k=n+1

fn (z) konverguje stejnoměrně na množině A právě tehdy,

n=1

jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 tak, že pro všechna přirozená n > n0 , p ∈ N a všechna z ∈ A platí: n+p Y |ϕn,p (z) − 1| = fk (z) − 1 < ε. k=n+1

(c) Konverguje-li nekonečný součin

+∞ Q

fn (z) stejnoměrně na množině A, potom

n=1 A

fn (z) ⇒ 1. (d) Nekonečný součin

+∞ Q

fn (z) konverguje stejnoměrně na množině A právě tehdy,

n=1

konverguje-li stejnoměrně na množině A řada

+∞ P

n=1

ln fn (z).

68

5. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE +∞

Poznámka 5.10.2. Buď (cn )n=1 posloupnost čísel z intervalu (0, 1) taková, že pro všechna přirozená čísla n a všechna z ∈ A platí |fn (z) − 1| ≤ cn . +∞ +∞ P Q Potom konverguje-li řada cn , konverguje nekonečný součin fn (z) stejnon=1

n=1

měrně na množině A. Poznámka 5.10.3. Nekonečně součiny lze definovat i pro posloupnosti komplexních čísel, resp. komplexních funkcí. Aby však „ojediněláÿ nulovost některého činitele nenarušila podstatu konvergence, přijímá se následující úmluva: +∞ Q an s komplexními členy konverguje, existuje-li m ∈ N tak, Nekonečný součin že

+∞ Q

n=m

n=1

an ∈ C r {0}. V tomto smyslu potom nekonečný součin s konečně mnoha

nulovými členy může konvergovat, ale součin s nekonečně mnoha nulovými členy je vždy divergentní. Poznámka 5.10.4. Pokud již známe funkci ln i na množině komplexních čísel, můžeme se snadno přesvědčit, že poznámky 5.9.8 a 5.9.11 (str. 66) zůstávají v platnosti i pro nekonečné součiny s komplexními členy. Poznámku 5.9.10 je však zapotřebí modifikovat takto: +∞ +∞ +∞ Q P P 2 an . Konvergují-li řady |an − 1| , konverguje i součin (an − 1) a n=1

n=1 +∞

n=1

Poznámka 5.10.5. Buď (fn )1

posloupnost komplexních funkcí na množině +∞ Q A. Nechť dále existuje m ∈ N tak, že pro všechna z ∈ A platí fk (z) ∈ C r {0}.

Potom, je- li konvergence součinu že nekonečný součin

+∞ Q

n=1

+∞ Q

k=m

fk (z) na množině A stejnoměrná, říkáme,

k=m

fn (z) konverguje stejnoměrně na množině A. +∞

Rozmysleme si, že poznámka 5.10.2 zůstává v platnosti, i když posloupnost (fn )1 bude posloupnost komplexních funkcí. Poznámka 5.10.6. Vše, co jsme si řekli, počínaje poznámkou 5.10.3, platí, i když nahradíme komplexní čísla prvky Banachovy algebry, absolutní hodnotu normou a jedničku jejím jednotkovým prvkem.

KAPITOLA 6

Věty o záměně Věta 6.1 (o limitě): +∞ Buď (fn )0 posloupnost komplexních funkcí definovaných na množině A ⊂ C a nechť (I)z0 ∈ A0 ; (II)Pro všechna n ∈ N0 existuje z→z lim fn (z) = an ; 0

z∈A

(III)Funkční řada

+∞ P

fn (z) konverguje stejnoměrně na množině A k F (z).

n=0

Potom platí: (i)Číselná řada

+∞ P

an konverguje;

n=0

lim F (z); (ii)Existuje z→z 0

z∈A +∞ P

(iii)z→z lim F (z) = 0

z∈A

an .

n=0

Důkaz. Položme Fn (z) =

n P

fk (z), sn =

k=0

k=0 A

n P

ak pro n ∈ N0 . Potom

lim F (z) = sn , Fn (z) ⇒ F (z) a tvrzení věty je důsledkem 4.1 (str. 41).

z→z0 z∈A

Poznámka 6.1.1. Jsou-li tedy splněny předpoklady věty 6.1, můžeme psát: lim z→z

0

+∞ X

fn (z) =

z∈A n=0

+∞ X

lim fn (z).

z→z0 n=0 z∈A

Poznámka 6.1.2. Věta 6.1 platí i pro řady zobrazení z topologického prostoru do Banachova prostoru. Poznámka 6.1.3. Z číselných posloupností víme, že pro každé kladné číslo a platí √ lim m m a − 1 = ln a. m→+∞

Položme nyní a = x + 1 a předpokládejme, že |x| < 1. Potom +∞ ! n 1 +∞ Y X 1 X 1/m n m −j +1 m m (1 + x) −1 =m =m xn = x j n n=1 n=1 j=1 n−1 +∞ X 1 Y = n j=1 n=1

1 m

n−1 +∞ − j n X (−1)n−1 Y 1 1− x = xn . (6.1) j n mj n=1 j=1

Zvolíme-li nyní A = N, je Y (−1)n−1 n+1 |x|n 1 n 1 x − ≤ n n mj j=1 69

pro všechna m ∈ A,

70

6. VĚTY O ZÁMĚNĚ

tudíž dle poznámky 5.4.4 (str. 60) řada (6.1) konverguje stejnoměrně na množině A a podle věty 6.1 platí:   n+1 +∞ n−1 X Y (−1) 1 1/m   xn = ln (1 + x) = lim m (1 + x) −1 = lim 1− m→∞ m→+∞ n mj n=1 j=1 =

+∞ n−1 X (−1) xn . n n=1

Poznámka 6.1.4. Podobně jako v předchozí poznámce obdržíme: +∞ Y n +∞ n X X m − j + 1 xn x m m x ex = lim = lim = 1+ = lim m→+∞ m→+∞ m→+∞ m n mn j mn n=0 j=1 n=0   +∞ Y n +∞ n n−1 X Y X m − j + 1 xn j x = = lim = lim 1 + 1− m→+∞ m→+∞ m n! n! m n=0 j=2 n=1 j=1 X +∞ n +∞ n n−1 Y X x j x 1− = lim =1+ m→+∞ n! m n! n=1 n=0 j=1 pro všechna x ∈ R. Tento postup byl v podstatě užit při výpočtu

+∞ P

n=0

xn n!

již při

studiu číselných řad — pouze neznalost stejnoměrné konvergence a věty 6.1 jej učinila mnohem delším, náročnějším a tak vlastně bližším původní Eulerově [21] 1 metodě důkazu této rovnosti. Věta 6.2 (o spojitosti): +∞ Buď (fn )0 posloupnost funkcí definovaných na množině A a spojitých v bodě +∞ P z0 ∈ A (vzhledem k A). Potom, konverguje-li řada fn (z) stejnoměrně na n=0

množině A, je její součtová funkce spojitá v bodě z0 vzhledem k množině A.

Důkaz. Plyne z věty 6.1 a důkazu věty 4.2 (str. 42). Poznámka 6.2.1. Buď F součtová funkce řady

+∞ P

fn n=0 +∞ P

množině A (vzhledem k A). Potom, konverguje-li řada

funkcí spojitých na

fn (z) stejnoměrně na

n=0

množině A, je funkce F spojitá na množině A vzhledem k A. Poznámka 6.2.2. Věta 6.2 i předchozí poznámka zůstávají v platnosti i pro řady zobrazení z topologického prostoru do Banachova prostoru Poznámka 6.2.3. Užitím věty 5.5 (str. 61) a 6.2 dostáváme nový důkaz věty 2.2 (str. 17) z teorie mocninných řad. Jejím důležitým zobecněním je následující věta: Věta 6.3 (N. H. Abel [3]): Konverguje-li mocninná řada (1.1) (str. 9) s reálnými koeficienty, s kladným poloměrem konvergence R a se středem x0 v bodě x0 + R, resp. v bodě x0 − R je její součtová funkce spojitá v bodě x0 + R zleva, resp. v bodě x0 − R zprava. Důkaz. Nechť např. mocninná řada konverguje v bodě x0 + R. Potom podle věty 5.7 (str. 63) konverguje tato řada stejnoměrně na intervalu hx0 , x0 + Ri a tudíž dle věty 6.2 musí být její součtová funkce spojitá na intervalu hx0 , x0 + Ri vzhledem k intervalu hx0 , x0 + Ri. Speciálně musí být součtová funkce spojitá v bodě x0 + R zleva. 1Řadu a její součet však znal už I. Newton [38] (1669) i G. W. Leibniz (1676).


71

Poznámka 6.3.1. Užitím věty 6.3 můžeme zobecnit tvrzení poznámky 2.2.1 (str. 17) v tomto smyslu, že v R je součtová funkce mocninné řady spojitá na celém svém oboru konvergence vzhledem k tomuto oboru. Poznámka 6.3.2. V poznámkách 2.7.2 – 2.7.4 (str. 23) jsme ukázali, jak lze užitím teorie mocninných řad nacházet (aniž bychom studovali posloupnost +∞ P n Taylorových zbytků) rozvoje funkcí. Identity typu f (x) = an (x − x0 ) jsme n=0

však tam užívanými metodami byli schopni dokázat pouze na vnitřku oboru konvergence, tj. na intervalu (x0 − R, x0 + R). Z věty 6.3 nyní vyplývá, že je-li +∞ P n funkce f spojitá např. v bodě x0 + R a řada an (x − x0 ) konverguje v bodě n=0

x0 + R, platí:

f (x0 + R) =

tj. řada

+∞ P

n=0

lim

x→(x0 +R)−

f (x) =

lim

x→(x0 +R)−

+∞ X

n=0

n

an (x − x0 ) =

+∞ X

an R n ,

n=0

n

an (x − x0 ) konverguje i v bodě x0 + R k funkci f .

Poznámka 6.3.3. Metodou uvedenou v předchozí poznámce obdržíme známé součty: ln 2 =

+∞ n X (−1) , n+1 n=0

z rozvoje ln (1 + x);

+∞ n X (−1) π = , 4 2n + 1 n=0

z rozvoje arctg x;

+∞ X π (2n − 1)!! 1 =1+ , 2 (2n)!! 2n + 1 n=1

z rozvoje arcsin x.

Poznámka 6.3.4. Pěknou aplikaci má věta 6.3 pro součin řad. Jsou-li číselné +∞ +∞ P P řady an a bn absolutně konvergentní, konverguje absolutně i dvojná řada n=0 n=0 P an bm a její součet je součinem součtů obou řad (A. L. Cauchy [15]). (n,m)∈N0 ×N0

Jsou li řady

+∞ P

an ,

n=0

+∞ P

bn konvergentní a alespoň jedna z nich konverguje absolutně,

n=0

potom F. Mertens [36] dokázal, že jejich součinová řada konverguje a opět je její (−1)n součet součinem součtů obou řad. Položíme-li an = bn = √ pro n ∈ N0 , snadno n+1 se přesvědčíme, že součinová řada dvou neabsolutně konvergentních řad nemusí konvergovat. Otázkou nyní je, jaký je součet takovéto součinové řady v případě, že konverguje. Odpovíme v následující poznámce: +∞ +∞ P P Poznámka 6.3.5 (N. H. Abel [4]). Nechť řady an a bn konvergují, s a t n=0

n=0

jsou po řadě jejich součty. Potom konverguje-li jejich součinová řada, je její součet s · t. +∞ +∞ P P Skutečně. Mocninné řady an xn a bn xn mají totiž poloměr konvergence n=0

n=0

alespoň jedna. Pro všechna x ∈ (−1, 1) tedy podle předchozí poznámky platí: +∞ X

n=0

an xn ·

+∞ X

n=0

bn xn =

+∞ X

n=0

cn xn ,

kde cn =

n X

k=0

ak bn−k .

72


Protože řada

+∞ P

n=0

n=0

cn = lim

x→1−

+∞ X

cn xn spojitá

n=0

v bodě 1 zleva. Platí proto: +∞ X

+∞ P

cn konverguje, je určitě součtová funkce řady

n

cn x = lim

x→1−

n=0

+∞ X

n=0

n

an x ·

+∞ X

n=0

n

bn x

!

=

+∞ X

n=0

an ·

+∞ X

bn .

n=0

Věta 6.4: +∞ Buď (fn )0 posloupnost funkcí spojitých a nezáporných na intervalu ha, bi. Potom +∞ P fn (x) konverguje stejnoměrně na intervalu ha, bi právě tehdy, je-li její řada n=0

součtová funkce na intervalu ha, bi spojitá. Důkaz. Položme Fn =

n P

k=0

+∞

fk . Potom posloupnost (Fn )0

vyhovuje předpo-

kladům Diniovy věty 4.4 (str. 43) a naše tvrzení je důsledkem poznámky 4.4.1 (str. 44 ). +∞

Poznámka 6.4.1. Buď (fn )0 posloupnost funkcí spojitých na množině A. +∞ P fn (z) lokálně stejnoměrně na množině A, je podle Potom konverguje-li řada n=0

věty 4.3 (str. 43) její součtová funkce spojitá na množině A vzhledem k A. Poznámka 6.4.2. Mocninná řada v R je podle vět 5.5 (str. 61) a 5.7 (str. 63) lokálně stejnoměrně konvergentní na svém oboru konvergence. Z tohoto tvrzení (snad nejjednodušeji) vyplývá spojitost její součtové funkce na oboru konvergence. +∞ posloupnost funkcí spojitých na kompaktní Poznámka 6.4.3. Buď (fn )0 +∞ P množině A. Potom řada fn (z) konverguje kvazistejnoměrně na množině A n=0

právě tehdy, konverguje-li bodově a je-li její součtová funkce na množině A spojitá vzhledem k A.

Věta 6.5: +∞ Buď (fn )1 posloupnost funkcí definovaných na množině A a spojitých v bodě +∞ Q fn (z) stejnoměrně na z0 ∈ A (vzhledem k A). Konverguje-li nekonečný součin n=1

množině A, je jeho součinová funkce spojitá v bodě z0 vzhledem k A.

Důkaz. Stačí aplikovat větu 4.3 (str. 43) na posloupnost částečných součinů. Poznámka 6.5.1. Zavedeme-li i pro nekonečné součiny lokální stejnoměrnou konvergenci pomocí lokální stejnoměrné konvergence posloupností částečných součinů platí: +∞ Poznámka 6.5.2. Buď (fn )1 posloupnost funkcí spojitých na množině A +∞ +∞ Q Q (vzhledem k A), ϕ = fn . Potom konverguje-li nekonečný součin fn (z) lokálně n=1

n=1

stejnoměrně na množině A, je součinová funkce ϕ spojitá na množině A vzhledem k A. Poznámka 6.5.3. Položme pro všechna x > 0: x +∞ 1 Y 1 + n1 Γ(x) = . x n=1 1 + nx Protože

x 1 + n1 x (x − 1) ϑn (x) + , =1+ 1 + nx 2n2 n2


73

kde funkce ϑn , n ∈ N jsou stejně omezené na každé kompaktní podmnožině R+ , je +∞ Q (1+ n1 )x podle 5.10.2 (str. 68) nekonečný součin lokálně stejnoměrně konvergentní 1+ x n

n=1

na R a funkce „gammaÿ je dle poznámky 6.5.1 spojitá na R+ . Poznámka 6.5.4. Nalezněme ještě jiné vyjádření funkce Γ. Platí: x n x 1 Y 1 + k1 (n + 1) = lim Γ(x) = lim x n = Q n→+∞ x n→+∞ 1+ k k=1 1 + xk x k=1 x 1 n! nx n! nx = lim . = lim 1+ n n Q n→+∞ Q n→+∞ n (x + k) (x + k) +

k=0

k=0

Poznámka 6.5.5. Z předchozí poznámky plyne: n! nx+1

Γ (x + 1) = lim

n n→+∞ Q

(x + 1 + k)

k=0

pro všechna x ∈ R+ . Protože Γ(1) = lim

n! n n→+∞ (n+1)!

x·n n! nx · Q = x · Γ(x), n n→+∞ x + n + 1 (x + k)

= lim

k=0

= 1, vyplývá odtud, že

Γ (n + 1) = n!

pro všechna n ∈ N0 .

Funkce Γ tedy představuje „spojité prodlouženíÿ funkce n 7→ n! z N na R+ . Poznámka 6.5.6. Ze vztahů v poznámce 6.5.3 a 6.5.4 vidíme, že funkci Γ lze pomocí nich definovat dokonce na celé množině komplexních čísel kromě nekladných celých čísel. Užitím poznámek 5.10.3 – 5.10.5 (str. 68) potom již snadno dokážeme, že funkce Γ takto definovaná je spojitá na množině C s výjimkou celých nekladných čísel. Věta 6.6 (o derivaci): +∞ Buď (fn )0 posloupnost reálných diferencovatelných funkcí na omezeném a otevřeném intervalu J ⊂ R takových, že platí: +∞ P (I)Existuje c ∈ J tak, že řada fn (c) konverguje; (II)Řada

+∞ P

n=0

n=0

fn0 (x) konverguje stejnoměrně na intervalu J.

Potom platí: +∞ P fn (x) konverguje stejnoměrně na intervalu J; (i)Řada n=0

(ii)Součtová funkce F řady

+∞ P

fn je diferencovatelná na intervalu J;

n=0

(iii)Derivace F 0 je součtovou funkcí řady

+∞ P

n=0

fn0 .

Důkaz. Stačí užít větu 4.6 (str. 45) na posloupnost částečných součtů. Poznámka 6.6.1. Jsou-li splněny předpoklady věty 6.6, můžeme tedy psát: X 0 X +∞ +∞ fn (x) = fn0 (x) pro všechna x ∈ J. n=0

n=0

Poznámka 6.6.2. Zobecnění věty 6.6 pro zobrazení v Banachových prostorech je provedeno ve větě 8.9 v navazujícím skriptu Diferenciální počet. Poznámka 6.6.3. Z věty 4.7 (str. 47) plyne, že věta 6.6 zůstává v platnosti i pro libovolný interval J, nahradíme-li v ní všude stejnoměrnou konvergenci lokálně stejnoměrnou konvergencí.

74

6. VĚTY O ZÁMĚNĚ +∞

posloupnost holomorfních funkcí (viz pozn. +∞ P 4.7.6 (str. 47)) na otevřené množině A ⊂ C. Potom, konverguje-li řada fn (z) Poznámka 6.6.4. Buď (fn )0

n=0

lokálně stejnoměrně na množině A, platí: +∞ P (m) (i) Řada fn (z) konverguje lokálně stejnoměrně na množině A pro všechna n=0

m ∈ N0 ;

+∞ P

(ii) Součtová funkce F řady (iii) F (m) (z) =

+∞ P

n=0

fn je holomorfní na množině A;

n=0 (m)

fn (z) pro všechna z ∈ A a všechna m ∈ N0 .

Poznámka 6.6.5. Z poznámek 6.6.3, 5.5.1 (str. 61) a 1.9.7 (str. 16) znovu dostáváme, že mocninnou řadu je možné uvnitř oboru konvergence derivovat člen po členu (věta 2.3 (str. 18)). +∞ P Poznámka 6.6.6. Podobně jako mocninné řady an z n můžeme studovat n=0

také tzv. Dirichletovy řady

+∞ X an . nz n=1

Věnujme jim několik následujících poznámek: +∞ P Poznámka 6.6.7. Konverguje-li řada

potom Dirichletova řada

n=1

+∞ P

n=1

an nz

an nz1

, resp. diverguje-li řada

+∞ P

n=1

an nz2

,

konverguje pro všechna z ∈ C, pro která platí

<(z) > <(z1 ), resp. diverguje pro všechna z ∈ C, pro která platí <(z) < <(z2 ). Je to důsledek kritéria P. du Bois–Reymondova a skutečnosti, že X z−z1 +∞ X 1 +∞ 1 1 1 = − 1 + · − 1 = z−z1 nz−z1 <(z−z1 ) n (n + 1) n=1 n=1 (n + 1) +∞ X ϑn 1 · , = <(z−z1 ) n n=1 (n + 1) +∞

kde (při pevném z) je (ϑn )n=1 omezená posloupnost. Odtud hned plyne: Poznámka 6.6.8 (J. L. Jensen [28]). Ke každé Dirichletově řadě existuje číslo λ ∈ R∗ takové, že Dirichletova řada konverguje pro všechna z ∈ C, pro která je <(z) > λ a diverguje pro všechna z ∈ C, pro která je <(z) < λ. Volíme-li an = e−n , resp. an = en , vidíme, že existují Dirichletovy řady, pro které je číslo λ = −∞, resp. λ = +∞, tj. které konvergují na celém C, resp. divergují n v každém bodě z ∈ C. Z volby an = (−1) je zase vidět, že konvergence Dirichletovy řady pro z, jejichž reálné části jsou větší než λ, nemusí být absolutní. Poznámka 6.6.9. Je-li λ rozhraní konvergence (dle předchozí poznámky) +∞ P an Dirichletovy řady nz , označme λa rozhraní konvergence Dirichletovy řady n=1

Potom platí λ ≤ λa ≤ λ + 1.

+∞ +∞ X an X |an | . z = n n<(z) n=1 n=1

Skutečně. Konverguje-li totiž řada

+∞ P

n=1

an nz0

a je-li <(z) > <(z0 ) + 1, je

1 an an z = z0 · <(z−z0 ) n n n


a tudíž řada

+∞ P

n=1

an nz

K Dirichletově řadě pro která je

75

konverguje absolutně. +∞ P

n=1

an nz

existují tedy prvky λ, λa ∈ R∗ tak, že pro všechna z ∈ C,

• <(z) < λ, Dirichletova řada diverguje; • λ < <(z) < λa , Dirichletova řada konverguje neabsolutně; • λa < <(z), Dirichletova řada konverguje absolutně.

Poznámka 6.6.10 (G. H. Hardy [27], M. Riesz). Při označení použitém v předchozí poznámce platí: X px px X 1 1 λa = lim sup ln aj a λ = lim sup ln |aj |, x→+∞ x x→+∞ x j=m +1 j=m +1 x

x

kde mx = e[x] a px = [ex ]. Poznámka 6.6.11 (E. Cahen [11]). Rozumíme-li oborem konvergence Dirichle+∞ P an tovy řady nz množinu všech z ∈ C, pro která tato řada konverguje, platí: n=1

Dirichletova řada konverguje lokálně stejnoměrně na vnitřku svého oboru konvergence (plyne z věty 5.9.(ii) (str. 64)). Dále odtud (např. dle pozn. 6.6.4) vyplývá, +∞ P an že součtová funkce F Dirichletovy řady nz je holomorfní na vnitřku oboru konn=1

vergence a pro všechna z z této množiny je F (m) (z) =

+∞ X

(−1)

n=1

m

an lnm n . nz

Poznámka 6.6.12. Všimněme si formálních analogií mezi mocninnými a Dirichletovými řadami v poznámkách 6.6.7, 6.6.8, 6.6.10 a 6.6.11, dále i v tom, že derivací, resp. integrací Dirichletovy řady člen po členu získáme opět Dirichletovu řadu, že obě rozhraní se derivováním ani integrací nemění, a že v reálném oboru je opět součtová funkce Dirichletovy řady spojitá na svém oboru konvergence vzhledem k tomuto oboru. Poznámka 6.6.13 (E. Landau [30]). Buď z ∈ C, které není nekladné celé číslo. Potom Dirichletova řada +∞ X an nz n=1

konverguje právě tehdy, konverguje-li řada +∞ X

n=1

n! an n Q

.

(z + k)

k=0

K důkazu můžeme s výhodou užít poznámek 6.5.3 a 6.5.4 i kritéria P. du Bois– Reymonda. +∞ P 1 Poznámka 6.6.14. Speciálním případem Dirichletovy řady je řada nz , se n=1

kterou se setkáváme nejčastěji v teorii čísel. Součtová funkce této řady se nazývá Riemannova funkce a označuje se zpravidla písmenem ζ. Podle předchozích poznámek je Riemannova funkce ζ holomorfní na množině {z ∈ C | <(z) > 1 }. Poznámka 6.6.15 (G. L. Dirichlet [19]). Na intervalu (1, +∞) je Riemannova funkce ζ ostře klesající a konvexní, přitom lim ζ(x) = +∞ a lim ζ(x) = 1. x→1+

x→+∞

76


Z nerovností +∞ +∞ Z Z n n X X 1 1 1 1 + dy ≤ ζ(x) ≤ + dy kx yx kx yx

k=1

k=1

n+1

n

platných pro všechna x ∈ (1, +∞) a n ∈ N si můžeme udělat představu o chování funkce ζ v okolí bodu 1. Plyne odtud: lim (x − 1) ζ(x) = 1, resp. podrobněji x→1+ 1 lim ζ(x) − x−1 = C, kde C je Eulerova konstanta. x→1+

Poznámka 6.6.16 (L. Euler [23]). Označíme-li P množinu všech prvočísel, potom pro všechna z ∈ C, pro která je <(z) > 1, platí: ζ(z) =

+∞ +∞ X Y 1 1 = . z n 1 − p−z p=1 n=1 p∈P

Důkaz tohoto tvrzení plyne z nerovností: n n n X n +∞ +∞ X Y X X Y 1 1 1 1 1 < = < + . z −z kz z k 1−p p k kz p=1 p=1

k=1

p∈P

p∈P

k=0

k=n+1

k=1

Poznámka 6.6.17 (L. Euler). První z nerovností v předcházející poznámce platí i pro z = 1. Odtud potom plyne n +∞ X Y 1 1 , = k p=1 1 − p1

k=1

tj.

p=1 p∈P

p∈P

a dle poznámky 5.9.9 (str. 66) je

n P

p=1 p∈P

+∞ Y

1 p

1−

1 p

=0

= +∞. Divergence řady

n P

p=1 p∈P

1 p

je nejen

zajímavý výsledek, ale i jiný důkaz tvrzení, že prvočísel je nekonečně mnoho. Poznámka 6.6.18. Pro každé n ∈ N označme písmenem τn počet dělitelů čísla +∞ P τn n. Potom na množině {z ∈ C | <(z) > 1 } platí: ζ 2 (z) = nz . n=1

Poznámka 6.6.19. Pro každé n ∈ N položme µn = 0, je-li číslo n dělitelné druhou mocninou některého prvočísla. V opačném případě položme µn = 1, resp. −1 podle toho, jestli rozklad čísla n na prvočinitele obsahuje sudý, resp. lichý počet prvočísel (čísla µn se nazývají Möbiovy [37] koeficienty). Potom na množině {z ∈ C | <(z) > 1 } platí: X +∞ +∞ Y 1 1 µn = = . 1− z ζ(z) p=1 p nz n=1 p∈P

Poznámka 6.6.20. Obraťme svou pozornost opět k větám o záměně. Větu o spojitosti jsme byli schopni přenést i na nekonečný součin. Je možné něco takového i pro derivaci? Vědomi si formálních komplikací vznikajících při derivování součinu, odpovíme — asi ne. Přitom, nahradíme-li derivaci tzv. logaritmickou derivací, je možné velmi jednoduše derivovat i nekonečný součin. f 0 (x0 ) Je-li funkce f nenulová v bodě x0 a má-li v bodě x0 derivaci, potom podíl f (x0 ) nazýváme logaritmickou derivací funkce f v bodě x0 .

6. VĚTY O ZÁMĚNĚ n Q

Pro součin ϕ =

77

fk funkcí diferencovatelných a nenulových v bodě x0 platí:

k=1 n

ϕ0 (x0 ) X fk0 (x0 ) = . ϕ (x0 ) fk (x0 ) k=1

Věta 6.7: +∞ Buď (fn )1 posloupnost kladných a diferencovatelných funkcí na intervalu J. Nechť dále platí: +∞ Q fn (c) konverguje; (I)Existuje c ∈ J tak, že nekonečný součin (II)Řada

+∞ P

n=1

n=1

0 (x) fn fn (x)

konverguje lokálně stejnoměrně na intervalu J.

Potom platí:

(i)Nekonečný součin

+∞ Q

fn (x) konverguje lokálně stejnoměrně na intervalu J;

n=1

(ii)Součinová funkce ϕ nekonečného součinu

+∞ Q

fn je diferencovatelná na inter-

n=1

valu J; (iii)Pro všechna x ∈ J platí: +∞

ϕ0 (x) X fn0 (x) = . ϕ(x) fn (x) k=1

Důkaz. Uvažujme řadu

+∞ P

ln fn (x). Tato řada konverguje podle poznámky

n=1

5.9.8 (str. 66) alespoň v bodě c, řada

+∞ P

0

(ln fn ) (x) konverguje lokálně stejnoměrně

n=1

na intervalu J. Podle poznámky 6.6.3 (str. 73) potom řada

+∞ P

ln fn (x) lokálně

n=1

stejnoměrně konverguje na intervalu J a označíme-li g její součtovou funkci, je g +∞ P 0 (ln fn ) (x) pro všechna x ∈ J. diferencovatelná na intervalu J a platí g 0 (x) = n=1

Položme ϕ = eg . Potom funkce ϕ je rovněž diferencovatelná na intervalu J, přičemž +∞ Q platí ϕ(x) = fn (x). Tím je dokázán bod (ii). Ze spojitosti funkce ϕ a poznámky n=1

5.10.1 (d) (str. 67) plyne (i). Konečné tvrzení (iii) dostáváme z rovnosti

ϕ0 ϕ

= g0 .

Poznámka 6.7.1. Větu 6.7 můžeme také vyslovit s těmito silnějšími (ale snadněji ověřitelnými předpoklady): +∞ P (I) Existuje c ∈ J tak, že řada |fn (c) − 1| konverguje; (II) Řada

+∞ P

n=1

n=1

|fn0 (x)|

konverguje lokálně stejnoměrně na intervalu J.

Konverguje-li totiž řada

+∞ P

n=1

fn0 (x) lokálně stejnoměrně na intervalu J, potom

podle poznámky 6.6.3 (str. 73) konverguje řada

+∞ P

n=1

(fn (x) − 1) lokálně stejnoměrně

na J. Zvolme ε ∈ (0, 1). Ke každému bodu x0 ∈ J existuje podle poznámky 5.5.3 (str. 61) okolí H bodu x0 a n0 tak, že pro všechna x ∈ H a všechna n > n0 platí |fn (x) − 1| < ε.

78


Potom ale pro všechna x ∈ H a n > n0 je fn0 (x) ≤ 1 |fn0 (x)| fn (x) 1 − ε a tudíž řada

+∞ P

n=1

0 fn (x) fn (x)

konverguje lokálně stejnoměrně na intervalu J. Přitom z (I)

plyne dle pozn. 5.9.11 (str. 66), že nekonečný součin

+∞ Q

fn (c) konverguje. Jsou tedy

n=1

splněny předpoklady 6.7.(I) a 6.7.(II). Poznámka 6.7.2. V poznámkách 6.5.3 – 6.5.5 (str. 72) jsme zavedli funkci Γ a ukázali některé její vlastnosti. Nyní se pokusíme užitím věty 6.7 nalézt její derivaci. K tomuto účelu ještě upravíme vyjádření funkce Γ. Poznámka 6.7.3 (K. Weierstrass). Pro x > 0 platí: x +∞ x 1 Y 1 + n1 1 (n + 1) 1 ex ln(n+1) Γ(x) = = lim = lim x n n = Q n→+∞ x n→+∞ x Q x n=1 1 + n 1 + xk 1 + xk n P x

1 k −Cn

k=1

ex/k 1 −Cx 1 e k=1 , e = n n→+∞ x Q x 1 + xk x k=1 1+ k

= lim

k=1

kde Cn =

k=1

+∞ Y

n P

k=1

1 k

− ln (n + 1) a C = lim Cn je tzv. Eulerova konstanta. Tento n→+∞

výsledek je více znám ve tvaru Γ (x + 1) = e

−Cx

+∞ Y

x

en 1 + nx n=1

pro všechna x > 0.

Poznámka 6.7.4. Z předchozí poznámky a ze spojitosti funkce ln plyne: +∞ X x x pro všechna x > 0. ln Γ(x) = − ln x − Cx + − ln 1 + n n n=1

Odtud podle poznámky 6.6.3 (str. 73) dostáváme: +∞ +∞ X X 1 Γ0 (x) 1 1 1 1 =− −C + − = −C + − . Γ(x) x n x+n n+1 x+n n=1 n=0 Funkce Γ je tedy spojitě diferencovatelná na R+ . Z rovnosti ! +∞ X 1 1 0 Γ (x) = −C + − · Γ(x) n+1 x+n n=0

a věty 6.6 (str. 73) dostáváme indukcí, že funkce Γ je nekonečněkrát diferencovatelná na množině R+ . Poznámka 6.7.5. Pro druhou derivaci funkce Γ dostáváme z předcházející poznámky

tj.

+∞ Γ00 (x)Γ(x) − Γ0 (x)Γ0 (x) X 1 = 2, 2 Γ (x) n=0 (x + n)

0 2 +∞ Γ (x) Γ00 (x) X 1 + = . 2 Γ(x) Γ(x) n=0 (x + n)

Funkce Γ je proto ostře konvexní na R+ . Protože Γ (1) = Γ(2), má dle Rolleovy věty derivace Γ0 v intervalu (1, 2) nulový bod x0 . Protože funkce Γ0 je ostře rostoucí, je


79

bod x0 jediným stacionárním bodem funkce Γ na intervalu (0, +∞) a funkce Γ má v něm absolutní minimum. Numerické metody dávají následující přibližné hodnoty: . . x0 = 1, 4616 a Γ (x0 ) = 0, 8856. Protože funkce Γ je v intervalu (x0 , +∞) rostoucí a Γ (n + 1) = n! je lim Γ(x) = x→+∞

+∞. Ze vztahu Γ(x) =

Γ(x+1) x

plyne, že také lim Γ(x) = +∞. x→0+

Věta 6.8 (o integraci): +∞ Buď (fn )0 posloupnost riemannovsky integrabilních funkcí na intervalu ha, bi. +∞ P Nechť dále řada fn (x) stejnoměrně konverguje na intervalu ha, bi a F buď její n=0

součtová funkce. Potom i funkce F je integrabilní na intervalu ha, bi a platí: Zb

+∞ Z X

b

F (x) dx =

fn (x) dx.

n=0 a

a

Důkaz. Plyne z věty 4.8 (str. 48). Poznámka 6.8.1. Jsou-li tedy splněny předpoklady věty 6.8, platí: Zb X +∞

+∞ Z X

b

fn (x) dx =

a n=0

fn (x) dx.

n=0 a

Poznámka 6.8.2. Věta zůstává v platnosti i pro funkce z Rn do R, jestliže v ní nahradíme interval ha, bi libovolnou měřitelnou množinou konečné míry. Poznámka 6.8.3. Poznámku 4.8.3 (str. 49) můžeme pro funkční řady doplnit příkladem řady, která dokonce v jednom bodě osciluje, ale přesto je možné „zaměnit pořadí sumy a integráluÿ. Platí: Z1 0

1

+∞ +∞ Z n X X (−1) dx n = ln 2 = = (−x) dx. 1+x n + 1 n=0 n=0 0

Poznámka 6.8.4. Rovněž poznámky 4.8.6 – 4.8.10 (str. 50), které využívají teorie Lebesgueova integrálu, lze prostřednictvím posloupnosti částečných součtů přenést na funkční řady. Uveďme alespoň následující důležité tvrzení: +∞ posloupnost nezáporných funkcí, Poznámka 6.8.5 (B. Levi). Buď (fn )0 +∞ P F = fn . Nechť dále všechny funkce fn i součtová funkce F mají zobecněný n=0

Riemannův integrál od a do b. Potom platí Zb a

+∞ Z X

b

F (x) dx =

fn (x) dx.

n=0 a

Poznámka 6.8.6. Pro zobecněnou integraci v řadách nám může posloužit i věta 4.10 (str. 51) — pokud ji ovšem můžeme aplikovat na posloupnost částečných Rb součtů. Evidentně nemusí ze stejné konvergence zobecněných integrálů fn (x) dx a n Rb P plynout také stejná konvergence zobecněných integrálů fk (x) dx. Pro zoa

k=0

becněnou integraci ve funkčních řadách nám však většinou lépe pomůže následující věta:

Věta 6.9: +∞ Buď (fn )0 posloupnost riemannovsky integrabilních funkcí na intervalu ha, bi.

80


Nechť dále řada

+∞ P

n=0

fn (x) stejnoměrně konverguje na intervalu ha, bi a označme F

její součtovou funkci. Potom pro každou funkci g, která má absolutně konvergentní zobecněný integrál na intervalu ha, bi, platí: Zb

+∞ Z X

b

F (x)g(x) dx =

fn (x)g(x) dx.

n=0 a

a

Důkaz. Podle věty 6.8 je funkce F riemannovsky integrabilní na intervalu Rb Rb ha, bi a tudíž všechny zobecněné integrály fn (x)g(x) dx a F (x)g(x) dx absolutně a

a

konvergují. Zbývá tedy dokázat výše uvedenou rovnost. Ze stejnoměrné konvergence +∞ P řady fn (x) na intervalu ha, bi plyne, že ke zvolenému kladnému číslu ε existuje n=0

n0 ∈ R tak, že pro všechna přirozená čísla n > n0 a pro všechna x ∈ ha, bi je ε , |Fn (x) − F (x)| < Rb 1 + |g(x)| dx a

kde Fn =

n P

fk (x). Potom pro n > n0 platí:

k=0

b n Zb Z Zb Zb X fk (x)g(x) dx − F (x)g(x) dx = Fn (x)g(x) dx − F (x)g(x) dx ≤ k=0 a a a a b Z ≤ |Fn (x) − F (x)| |g(x)| dx < a

<

Zb a

ε |g(x)| dx <ε Rb 1 + |g(x)| dx a

a tudíž n Z X

b

lim

n→+∞

fk (x)g(x) dx =

k=0 a

Zb

F (x)g(x) dx.

a

Poznámka 6.9.1. Aplikujeme-li větu 6.9 v intervalu h0, 1i na řadu +∞ n 1 X x2n+1 (−1) −2 · ·√ , 2n + 1 n 1 − x2 n=0

dostáváme

π2 = 8

Z1 0

1 +∞ n 1 Z X (−1) arcsin x −2 x2n+1 √ √ dx = dx = · · 2n + 1 n 1 − x2 1 − x2 n=0 0

π/2 +∞ n 1 Z X −2 (−1) 1 · = · sin2n+1 t dt = 2. 2n n + 1 n=0 n=0 (2n + 1) +∞ X

Přitom jsme využili vyjádření

0

− 1 2

n

=

(−1)n (2n−1)!! (2n)!!

a

π/2 R 0

sin2n+1 x dx =

(2n)!! (2n+1)!! .


81

Poznámka 6.9.2. Z předchozí poznámky můžeme nalézt součet řady

+∞ P

n=1

1 n2 ,

tj. hodnotu ζ(2) (viz pozn. 6.6.14 (str. 75), ale také pozn. 7.9.9 (str. 99)). Platí: s=

+∞ +∞ +∞ X X X 1 π2 1 1 1 + = = s + . n2 4n2 n=1 (2n − 1)2 4 8 n=1 n=1

Odtud s=

+∞ X π2 1 = . n2 6 n=1

Podobně +∞ +∞ +∞ n+1 X X X π2 (−1) 1 1 = = . − 2 2 2 n 4n 12 n=1 n=1 (2n − 1) n=1

Poznámka 6.9.3. Pomocí věty 6.8 můžeme někdy vyčíslit i určité integrály, jejichž integrandy nemají elementární primitivní funkci. Např. Z1 0

ln (1 + x) dx = x

Z1 X +∞ 0

+∞ n n X π2 (−1) n (−1) x dx = . = 2 n+1 12 n=0 n=0 (n + 1)

Zde jsme užili předchozí poznámku a větu 5.7 (str. 63). Poznámka 6.9.4. Větu 6.9 můžeme použít pro nevlastní integraci řady pouze na omezeném intervalu. Na neomezeném intervalu musíme postupně užít větu 6.8 a větu 6.1 (str. 69). Ukážeme si to na následujícím příkladě. +∞ P Poznámka 6.9.5. Nechť číselná řada an konverguje a má součet s. Položme n=0

F (x) =

+∞ X

an

n=0

xn , n!

potom platí: +∞ +∞ +∞ Z Z Z +∞ +∞ +∞ X X X an xn an = s. e−x xn dx = e−x F (x) dx = e−x an dx = n! n! n=0 n=0 n=0 0

0

0

Přitom oprávněnost záměny nevlastní integrace a nekonečné sumace dokážeme následovně: Podle věty 6.8 platí pro každé kladné číslo β: Zβ

e

−x

0

kde klademe gn (β) = 1 gn (β) = n!

Zβ 0

0

1 n!

Rβ

e−x xn dx. Protože

0

1 1 x dx = − e−β β n + n! (n − 1)!

−x n

e

β

Z +∞ +∞ X X xn 1 an dx = an gn (β), an e−x xn dx = n! n! n=0 n=0 n=0 +∞ X

Zβ 0

e−x xn−1 dx < gn−1 (β) < 1,

82

6. VĚTY O ZÁMĚNĚ +∞

monotónní, funkce gn , n ∈ N0 jsou na intervalu h0, +∞) +∞ P stejně omezené a podle Abelova kritéria tedy řada an gn (β) konverguje stejnoje posloupnost (gn )0

n=0

měrně na intervalu h0, +∞). Odtud již podle věty 6.1 (str. 69) dostáváme:

+∞ Z Zβ +∞ +∞ X X xn −x an gn (β) = e F (x) dx = lim dx = lim e−x an β→+∞ β→+∞ n! n=0 n=0 0

=

+∞ X

n=0

0

an lim gn (β) = β→+∞

+∞ X

an .

n=0

Poznámka 6.9.6. Nechť funkce F je na celém R součtovou funkcí své Maclau+∞ P (n) F (0), podle předcházející poznámky rinovy řady. Potom konverguje-li řada n=0

platí:

+∞ Z +∞ X F (n) (0). e−x F (x) dx = 0

n=0

KAPITOLA 7

Trigonometrické řady Definice 7.1: +∞ +∞ Buďte (an )n=0 a (bn )n=1 dvě posloupnosti reálných čísel. Potom řadu +∞

a0 X + (an cos nx + bn sin nx) 2 n=1

(7.1)

nazýváme trigonometrickou řadou. +∞

Poznámka 7.1.1. Někdy je výhodné připustit v posloupnosti (bn )n=1 nultý člen a položit potom b0 = 0. Proč pro nultý člen řady (7.1) užíváme tvar a20 vyplyne z věty 7.2. Poznámka 7.1.2. Existuje-li a ∈ R tak, že trigonometrická řada konverguje na intervalu ha, a + 2π), resp. (a, a + 2πi, konverguje na celé množině reálných čísel a její součtová funkce je periodická s periodou 2π. Poznámka 7.1.3. Z předchozí poznámky plyne, že při studiu trigonometrické řady se můžeme omezit pouze na jeden interval délky 2π. Za tento interval budeme v dalším textu obvykle volit interval h−π, πi. Poznámka 7.1.4. Členy trigonometrické řady jsou funkce s periodou 2π. Snadno (lineární transformací x 7→ πλ x) však můžeme docílit libovolné periody. Např. řada +∞ πn a0 X πn + x + bn sin x , an cos 2 λ λ n=1

kde λ > 0, má za členy funkce periodické s periodou 2λ. Při jejím studiu se tedy můžeme omezit pouze na interval h−λ, λi. Takovou řadu budeme někdy stručně označovat jako trigonometrickou řadu s periodou 2λ. Věta 7.2: Nechť trigonometrická řada (7.1) konverguje stejnoměrně na R a buď F její součtová funkce. Potom pro všechna n ∈ N0 platí: 1 an = π

Důkaz. Řada

Zπ

F (x) cos nx dx

a

−π

a0 2

+

+∞ P

1 bn = π

Zπ

F (x) sin nx dx.

−π

(an cos nx + bn sin nx) konverguje stejnoměrně na inter-

n=1

valu h−π, πi a tudíž podle věty 6.8 (str. 79) je Zπ

−π

a0 F (x) dx = 2

Zπ

−π

Zπ Zπ +∞ X dx + an cos nx dx + bn sin nx dx = a0 π. n=1

−π

83

−π

84

7. TRIGONOMETRICKÉ ŘADY

Podobně pro n ∈ N podle věty 6.9 (str. 79) dostáváme Zπ Zπ Zπ +∞ X a0 cos nx dx + cos kx cos nx dx + ak F (x) cos nx dx = 2 k=1

−π

−π

+ bk

Zπ

sin kx cos nx dx

−π

a Zπ

a0 F (x) sin nx dx = 2

−π

Zπ

−π

+ bk

−π

= an π

Z +∞ X ak sin nx dx + cos kx sin nx dx +

Zπ

π

k=1

sin kx sin nx dx

−π

−π

= bn π,

6 n je neboť pro k = Zπ Zπ Zπ 1 sin kx cos nx dx = sin kx sin nx dx = 0 cos kx cos nx dx = a

−π

−π

−π

Zπ

2

cos nx dx =

−π

pro všechna k, n ∈ N.

Zπ

sin2 nx dx = π

−π

Poznámka 7.2.1. Analogicky potom ze stejnoměrné konvergence řady +∞ πn a0 X πn + x + bn sin x an cos 2 λ λ n=1

na R k součtové funkci F plyne pro všechna n ∈ N0 : 1 an = λ

Zλ

πn x dx a F (x) cos λ

1 bn = λ

−λ

Zλ

F (x) sin

πn x dx. λ

−λ

Poznámka 7.2.2. Výše uvedená vyjádření koeficientů trigonometrické řady pomocí její součtové funkce bývají označována jako Eulerovy [22] vzorce. Definice 7.3: Nechť funkce f má absolutně konvergentní zobecněný integrál na intervalu (a, b), kde b − a = 2π. Položme pro všechna n ∈ N0 1 an = π

Zb

f (x) cos nx dx,

a

1 bn = π

Zb

f (x) sin nx dx.

a

Potom trigonometrickou řadu +∞

a0 X + (an cos nx + bn sin nx) 2 n=1 nazýváme Fourierovou [25] řadou funkce f na intervalu (a, b). π 1platí i pro k = n, tj. R sin nx cos nx dx = 0 −π

(7.2)


85

Poznámka 7.3.1. Obecně — pro případ pouze omezeného intervalu (a, b) — klademe 1 an = λ

Zb

πn x dx, f (x) cos λ

1 bn = λ

a

Zb

f (x) sin

πn x dx, λ

a

kde b − a = 2λ. Fourierovou řadou funkce f na intervalu (a, b) potom rozumíme trigonometrickou řadu +∞ a0 X πn πn + x + bn sin x . an cos 2 λ λ n=1

Poznámka 7.3.2. Má-li periodická funkce s periodou ω absolutně konvergentní zobecněný integrál na některém intervalu délky ω, má absolutně konvergentní integrál na každém omezeném intervalu. Poznámka 7.3.3. Buď g periodická funkce s periodou ω a nechť existuje a ∈ R a+ω R g(x) dx absolutně konverguje. Potom pro libovolné b ∈ R je tak, že integrál a

b+ω Z

g(x) dx =

b

Zω

g(x) dx.

0

Poznámka 7.3.4. Z předchozích poznámek plyne, že Eulerovy vzorce v definici 7.3 lze pro funkci s periodou 2π psát také ve tvaru 1 an = π

Zπ

f (x) cos nx dx a

−π

1 bn = π

Zπ

f (x) sin nx dx,

−π

n ∈ N0 .

Poznámka 7.3.5. Větu 7.2 lze nyní vyslovit také takto: Stejnoměrně konvergentní (na množině R) trigonometrická řada je Fourierovou řadou své součtové funkce. Poznámka 7.3.6. Předchozí poznámka přímo provokuje otázky: Jaké to jsou vlastně funkce, jež se dají vyjádřit ve formě součtové funkce své stejnoměrně konvergentní Fourierovy řady? Kdy je konvergentní trigonometrická řada Fourierovou řadou své součtové funkce? Kdy vůbec Fourierova řada nějaké funkce konverguje a jaká je její součtová funkce? Na tyto otázky se pokusíme alespoň částečně odpovědět v dalším textu. Věta 7.4 (G. L. Dirichlet [20]): Buď f funkce periodická s periodou 2π mající absolutně konvergentní integrál na intervalu délky 2π. Potom pro n-tý částečný součet její Fourierovy řady platí: n

a0 X 1 Fn (x) = + (ak cos kx + bk sin kx) = 2 π k=1

pro všechna x ∈ R.

Zπ

−π

sin n + 12 t dt f (x + t) 2 sin 2t

86


Důkaz. Buď x ∈ R a n ∈ N. Potom podle poznámek 7.3.4 a 7.3.3 je:

Zπ n X 1 f (t) (cos kt cos kx + sin kt sin kx) dt = f (t) dt + π k=1 −π −π ! Zπ Zπ n sin n + 12 (x − t) 1 1 X 1 = f (t) + cos k (x − t) dt = f (t) dt = π 2 π 2 sin x−t 2 k=1

1 Fn (x) = 2π

=

1 π

Zπ

−π π−x Z −π−x

−π

Zπ sin n + 21 τ sin n + 21 t 1 f (x + τ ) dτ = dt. f (x + t) 2 sin τ2 π 2 sin 2t −π

Přitom jsme využili vyjádření2 n X

cos kx =

k=1

sin n + 12 x − sin x2 sin n + 12 x 1 sin n2 x · cos n+1 2 x = = − sin x2 2 sin x2 2 sin x2 2

platné pro všechna x ∈ R, x = 6 2πm, kde m ∈ Z.

Poznámka 7.4.1. Integrál ve větě 7.4 se nazývá Dirichletův. Obecně se Dirichletovými integrály rozumí integrály typu Za 0

sin kt g(t) dt, sin t

resp.

Za 0

g(t)

sin kt dt. t

Poznámka 7.4.2. Užijeme-li aditivity integrálu, můžeme nalézt ještě následující integrální vyjádření n-tého částečného součtu Fourierovy řady: Zπ sin n + 21 t 1 Fn (x) = (f (x + t) + f (x − t)) dt. π 2 sin 2t 0

Poznámka 7.4.3. Volíme-li v předcházející poznámce f (x) = 1 pro všechna x ∈ R, je a0 = 2, ak = bk = 0 pro všechna k ∈ N a tudíž pro všechna n ∈ N platí: Zπ sin n + 12 t 1 dt. 1= π sin 2t 0

Věta 7.5 (G. L. Dirichlet): Buď f funkce periodická s periodou 2π mající absolutně konvergentní integrál na intervalu délky 2π. Potom její Fourierova řada (s periodou 2π) konverguje v bodě x právě tehdy, existuje-li číslo s tak, že platí: Zπ sin n + 12 t f (x + t) + f (x − t) −s lim dt = 0. n→+∞ 2 sin 2t 0

2Vyjádření lze odvodit např. takto: n X

k=1

n n 1 X 1 X1 x x x − sin kx − )= (sin kx + cos kx sin = x x sin 2 k=1 2 sin 2 k=1 2 2 2 X n−1 n sin n + 12 x − sin x X 1 x sin (2k + 1) = sin (2k + 1) − = x 2 sin 2 k=1 2 2 2 sin x2 k=0 sin n + 21 x 1 = − . 2 sin x2 2

cos kx =

x 2

=


87

Důkaz. Z poznámek 7.4.2 a 7.4.3 plyne, že pro všechna x, s ∈ R a všechna n ∈ N platí: Zπ sin n + 12 t f (x + t) + f (x − t) 1 Fn (x) − s = −s dt. π 2 sin 2t 0

Odtud již plyne tvrzení věty.

Poznámka 7.5.1. Z důkazu věty 7.5 vyplývá, že číslo s je právě součtem Fourierovy řady funkce f v bodě x. Poznámka 7.5.2. Tvrzení věty 7.5 můžeme rozšířit ještě o jednu ekvivalenci: Fourierova řada funkce f konverguje stejnoměrně na intervalu ha, bi právě tehdy, existuje-li funkce s, jejíž definiční obor je interval ha, bi, taková, že platí: Zπ sin n + 21 t ha,bi f (x + t) + f (x − t) − s(x) dt ⇒ 0. 2 sin 2t 0

Funkce s je potom součtovou funkcí Fourierovy řady funkce f na intervalu ha, bi. Poznámka 7.5.3. Vyšetřování konvergence Fourierovy řady jsme pomocí věty 7.5 převedli na studium limity (Dirichletova) integrálu. Než k němu přikročíme, dokážeme jednu velmi užitečnou nerovnost. Věta 7.6 (F. W. Bessel, 1828): Buď f funkce zobecněně integrabilní na intervalu (−π, π) taková, že zobecněný Rπ 2 integrál f (x) dx konverguje. Potom koeficienty její Fourierovy řady vyhovují −π

nerovnosti

+∞

a20 X 2 1 + an + bn2 ≤ 2 π n=1

Zπ

f 2 (x) dx.

−π

Důkaz. Označíme-li opět Fn n-tý částečný součet Fourierovy řady funkce f na intervalu (−π, π), platí: Zπ Zπ Zπ Zπ 2 2 (f (x) − Fn (x)) dx = 0≤ f (x) dx − 2 f (x)Fn (x) dx + Fn2 (x) dx = =

−π Zπ

−π

+

f 2 (x) dx − 2

Zπ

a0 −2 2

a2 + 0 4

a0 + 2 Zπ

−π

|

Zπ X n

−π

f (x)

n X

−π

a0 + 2

n X

f (x) dx + a0 π

!2

(ak cos kx + bk sin kx)

k=1

{z


k=1

}

n X

ak

k=1

Zπ

dx =

Zπ

−π

f (x) cos kx dx +bk

−π

|

{z

ak π

k=1

0


−π

dx +

f 2 (x) dx − Zπ

−π

|

}

!

f (x) sin kx dx {z

bk π

Zπ Zπ n a0 X ak cos kx dx +bk dx +2 sin kx dx + 2 k=1 −π −π −π {z } {z } | {z } | | Zπ

2π

+

−π

−π

−π

"

Zπ

0

2

dx =

Zπ

−π

f 2 (x) dx − a20 π −

}

#

+

88


− 2π +2

n X

a2k

+

k=1

n X n Zπ X j=1 k=1−π k<j

=

Zπ

−π

b2k

Zπ

n

X a2 + 0π + 2

(ak cos kx + bk sin kx)2 dx +

k=1−π

(ak cos kx + bk sin kx) (aj cos jx + bj sin jx) dx =

Zπ n n X 2 X a20 2 2 ak + bk + ak cos2 kx dx + f (x) dx − π − 2π 2 k=1 k=1 −π | {z } 2

π

+ 2ak bk

Zπ

cos kx sin kx dx +bk2

−π

|

{z

}

0

Zπ

−π

|

sin2 kx dx + {z

}

π

Zπ Zπ j−1 n X X cos kx sin jx dx + +2 a k aj cos kx cos jx dx +ak bj j=2 k=1

+ bk aj

Zπ

=

Zπ

−π

2

|

{z

k<j =⇒ 0

sin kx cos jx dx +bk bj

−π

|

−π

f (x) dx −

{z

|

|

{z

}

k<j =⇒ 0

n a20 X 2 2 + ak + bk π. 2

{z 0

sin kx sin jx dx

−π

}

0

Zπ

−π

}

=

}

k=1

Pro všechna n ∈ N je tedy n

a20 X 2 1 + ak + b2k ≤ 2 π k=1

Zπ

f 2 (x) dx.

−π

Poznámka 7.6.1. Z věty 7.6, resp. jejího důkazu vyplývá několik velice důležitých poznatků. Předně: Řada +∞

a20 X 2 an + b2n + 2 n=1 konverguje, pokud konverguje integrál Zπ

f 2 (x) dx.

−π

Poznámka 7.6.2. Z věty 7.6 a poznámky 7.3.1 (str. 85) dostáváme zajímavou integrální nerovnost:


89

Pro libovolná dvě různá reálná čísla a, b platí: 1 2

Zb a

  2 X 2 Zb 2 +∞ Zb 2πn 2πn  f (x) dx + f (x) cos x dx + x dx  ≤ f (x) sin − a − a b b n=1 a

≤

a

Zb

b−a 2

f 2 (x) dx,

a

Rb

konvergují-li zobecněné integrály

f (x) dx a

a

n

Poznámka 7.6.3. Buďte (ck )k=0 , n ∈ N. Položme

Rb

f 2 (x) dx.

a n (dk )k=1

dvě posloupnosti reálných čísel,

n

Tn (x) =

c0 X + (ck cos kx + dk sin kx) pro všechna x ∈ R. 2 k=1

Potom funkci Tn nazýváme trigonometrický polynom stupně nejvýše n-tého, resp. trigonometrický polynom stupně n-tého, je-li alespoň jedno z čísel cn , dn nenulové. Poznámka 7.6.4. Zopakujme si nyní důkaz věty 7.6 s tím rozdílem, že nahradíme součet Fn trigonometrickým polynomem Tn . Obdržíme: Zπ

−π

2

(f (x) − Tn (x)) dx =

Zπ

−π

+

2

f (x) dx − 2

n X

k=1

Zπ

! n c2 c 0 a0 X + (ck ak + dk bk ) π + 0 π + 2 2 k=1

c2k + d2k π =

n X 1 2 2 (ak − ck ) + (a0 − c0 ) + 2 k=1 −π ! n n 2 X X 2 a0 2 2 (bk − dk ) π − + + ak + bk π ≥ 2 k=1 k=1 Zπ 2 (f (x) − Fn (x)) dx, ≥

=

f 2 (x) dx +

−π

přičemž rovnost platí právě tehdy, je-li ak = ck pro všechna k ∈ n ˆ ∪ {0} a bk = dk ˆ. pro všechna k ∈ n Poznámka 7.6.5. Číslo

Zb a

2

(f (x) − g(x)) dx

se někdy nazývá střední kvadratická odchylka funkcí f a g na intervalu (a, b). V této terminologii lze potom výsledek předchozí poznámky vyslovit takto: Ze všech trigonometrických polynomů stupně nejvýše n má střední kvadratickou odchylku od funkce f na intervalu (−π, π) nejmenší právě n-tý částečný součet její Fourierovy řady.

90


Poznámka 7.6.6. V lineárním prostoru R2 (a, b) všech funkcí, pro které zobecRb Rb něné integrály f (x) dx a f 2 (x) dx konvergují, je zobrazení a

a

v u b uZ u f 7→ t f 2 (x) dx a

seminorma (seminorma k k splňuje všechny vlastnosti normy až na to, že rovnost kf k = 0 platí i pro nějaký nenulový prvek f 3). Konvergence posloupnosti funkcí definovaných na intervalu (a, b), které odpovídá konvergence v prostoru R2 (a, b) s výše definovanou seminormou, se nazývá konvergence podle středu. Platí tedy: +∞ Jsou-li fn ∈ R2 (a, b) pro n ∈ N a f ∈ R2 (a, b), potom posloupnost (fn )1 konverguje podle středu k funkci f na intervalu (a, b) právě tehdy, platí-li: lim

n→+∞

Zb a

Řada

+∞ P

2

(fn (x) − f (x)) dx = 0.

fn konverguje na intervalu (a, b) podle středu k funkci F , jestliže

n=0

posloupnost částečných součtů této řady konverguje na intervalu (a, b) podle středu k funkci F . Poznámka 7.6.7 (o jednoznačnosti). Jediná trigonometrická řada, která může na intervalu (−π, π) konvergovat podle středu k funkci f ∈ R2 (−π, π), je právě Fourierova řada funkce f . Označme totiž n

Fn (x) =

c0 X + (ck cos kx + dk sin kx) 2 k=1

+∞ (Fn )1

a nechť posloupnost f . Potom např. platí: 1 π

Zπ

1 f (x) sin mx dx = π

−π

=

1 π

Zπ

−π Zπ −π

konverguje podle středu na intervalu (−π, π) k funkci 1 (f (x) − Fn (x)) sin mx dx + π

Zπ

Fn (x) sin mx dx =

−π

(f (x) − Fn (x)) sin mx dx + dm

pro všechna n, m ∈ N, n ≥ m. Nyní stačí užít nerovnosti Zπ Zπ √ (f (x) − Fn (x)) sin mx dx ≤ π (f (x) − Fn (x))2 dx −π

−π

a provést limitní přechod pro n → +∞. Poznámka 7.6.8 (M. A. Parseval, 1799). Buď f ∈ R2 (−π, π). Potom Fourierova řada funkce f konverguje na intervalu (−π, π) podle středu k funkci f právě 3Jinak řečeno: Seminorma není, narozdíl od normy, pozitivně definitní, nýbrž pozitivně semidefinitní, a proto v podmínce kf k = 0 ⇐⇒ f (x) ≡ 0 porušují implikaci (⇒) některé nenulové prvky z R2 (a, b) (např. všechny funkce identicky nulové na (a, b), až na spočetný počet bodů).


91

tehdy, platí-li +∞

a20 X 2 1 + an + bn2 = 2 π n=1

Zπ

f 2 (x) dx.

−π

Toto tvrzení vyplývá přímo z důkazu věty 7.6 (str. 87) a je možné je ve stylu poznámky 7.6.2 rozšířit na libovolný omezený interval. Poznámka 7.6.9. Stejnoměrná konvergence je zřejmě postačující pro konvergenci podle středu. Odtud plyne, že tvrzení věty 7.2 (str. 83) (která jsou nyní také důsledkem poznámky 7.6.7) lze rozšířit o Parsevalovu rovnost z předchozí poznámky. Poznámka 7.6.10. Z předchozích poznámek vidíme, že funkcionální přístup k trigonometrickým řadám (který spočívá ve studiu funkcí jako prvků jistého lineárního prostoru s vhodnou topologií) této problematice „sedíÿ. My se s tímto přístupem, který přivedl téměř k dokonalosti H. Lebesgue [32], seznámíme mnohem později. Pro studium bodové konvergence nám však teorie užívající seminormy příliš nepomůže. Pochopíme to z následujících dvou poznámek. Poznámka 7.6.11. Položme fn (x) = n3/2 x1/2 e−nx , pro všechna n ∈ N a x ∈ h0, 1i. h0,1i

Potom fn (x) −−−→ f (x), ale +∞

lim

R1

n→+∞ 0

f (x) = 0 2

(fn (x) − f (x)) dx = +∞. Posloupnost

(fn )1 tedy nekonverguje podle středu na intervalu h0, 1i ke své limitní funkci f . Snadno se přesvědčíme, že nekonverguje podle středu vůbec. Poznámka 7.6.12. Pro každé n ∈ N položme +∞

Buď nyní (fn )1

pn = n − 2[log2 n] .

posloupnost funkcí definovaných na intervalu h0, 1i takto:  E D pn +1 pn 1 pro x ∈ n−pn , n−p D n E fn (x) = pn pn +1 0 pro x ∈ h0, 1i r , n−pn n−pn . +∞

Potom posloupnost (fn (x))1 nemá limitu pro žádné x ∈ h0, 1i, i když posloupnost +∞ (fn )1 konverguje podle středu na intervalu h0, 1i k nulové funkci. Snadnou úpravou definice funkcí fn dosáhneme toho, že sestrojíme dokonce posloupnost funkcí spojitých na intervalu h0, 1i, která nebude mít limitu v žádném bodě intervalu h0, 1i, ale která bude konvergovat podle středu na intervalu h0, 1i ke spojité (nulové) funkci. Poznámka 7.6.13. V předchozích poznámkách jsme viděli, že bodová konvergence a konvergence podle středu spolu nijak nesouvisí. Vraťme svou pozornost zpět k větě 7.6 (str. 87). Z Besselovy nerovnosti vyplývá, že pro každou funkci f ∈ R2 (a, b), kde b − a = 2π, platí: lim an = lim

n→+∞

n→+∞

Zb

f (x) cos nx dx = lim bn = lim n→+∞

n→+∞

a

Zb

f (x) sin nx dx = 0.

a

Věta 7.7 (B. Riemann [40]): Nechť existují a, b ∈ R∗ tak, že zobecněný integrál Potom platí: lim

n→+∞

Zb a

f (x) cos nx dx = lim

n→+∞

Zb a

Rb

f (x) dx absolutně konverguje.

a


92


Důkaz. (a) Nechť je nejdříve funkce f na intervalu ha, bi riemannovsky integrabilní. Položme b−a m= 2π a ( f (x) pro x ∈ ha, bi f ∗ (x) = . 0 pro x ∈ (b, a + 2 (m + 1) πi Funkce f ∗ je riemannovsky integrabilní na intervalu ha, a + 2 (m + 1) πi a platí: Zb

f (x) cos nx dx =

a+2(m+1)π Z

∗

f (x) cos nx dx =

a+2kπ Z

f ∗ (x) cos nx dx.

k=1 a+2(k−1)π

a

a

m+1 X

Nyní již stačí provést limitní přechod pro n → +∞ a užít poznámku 7.6.13. Rb (b) Nechť f (x) dx absolutně konverguje jako nevlastní Riemannův integrál a nechť a

např. b je jediný kritický bod tohoto integrálu. Zvolme ε > 0. Potom existuje c ∈ (a, b) tak, že Zb c

Protože podle bodu (a) je pro všechna n > n0 platí

|f (x)| dx <

lim

Rc

n→+∞ a

ε . 2

f (x) cos nx dx = 0, existuje n0 ∈ R tak, že

c Z ε f (x) cos nx dx < . 2 a

Odtud již dostáváme, že pro všechna n > n0 je: b c b Z Z Z f (x) cos nx dx ≤ f (x) cos nx dx + f (x) cos nx dx < ε. c

a

a

Analogicky dokážeme, že také lim

Rb

n→+∞ a


Poznámka 7.7.1. Aplikujme nyní větu 7.7 na limitu ve větě 7.5 (str. 86). Předpokládejme proto v následujících pěti poznámkách, že funkce f je periodická s periodou 2π, a že má absolutně konvergentní zobecněný integrál na intervalu délky 2π. Protože podle věty 7.7 pro libovolné s ∈ R je Zπ f (x + t) + f (x − t) − s cos nt dt = 0, lim n→+∞ 2 0

dostáváme: Poznámka 7.7.2. Fourierova řada funkce f konverguje v bodě x k číslu s právě tehdy, platí-li Zπ f (x + t) + f (x − t) t lim − s cotg sin nt dt = 0. n→+∞ 2 2 0


93

Poznámka 7.7.3. Buď c ∈ (0, π). Potom pro libovolné s ∈ R je podle věty 7.7 Zπ f (x + t) + f (x − t) t lim − s cotg sin nt dt = 0 n→+∞ 2 2 c

a tudíž Fourierova řada funkce f konverguje v bodě x k číslu s právě tehdy, platí-li Zc f (x + t) + f (x − t) t lim − s cotg sin nt dt = 0. n→+∞ 2 2 0

Poznámka 7.7.4. Z předchozí poznámky plyne tzv. Riemannova věta o lokalizaci. Konvergence Fourierovy řady funkce f i hodnota jejího součtu v bodě x závisí pouze na průběhu funkce f v bezprostředním okolí tohoto bodu. Poznámka 7.7.5 (U. Dini, 1880). Pro konvergenci Fourierovy řady funkce f v bodě x k číslu s stačí konvergence integrálu Zc |f (x + t) + f (x − t) − 2s| dt t 0

pro některé c ∈ (0, π). Skutečně — z konvergence výše uvedeného integrálu plyne konvergence integrálu Zc t |f (x + t) + f (x − t) − 2s| t cotg dt t 2 0

a ostatní je již důsledek věty 7.7 a poznámky 7.7.3. Poznámka 7.7.6 (R. O. Lipschitz [34]). Fourierova řada funkce f konverguje v bodě x k číslu s, existují-li kladná čísla L, α ∈ (0, 1i a pravé okolí H bodu 0 tak, že pro všechna t ∈ H platí: |f (x + t) + f (x − t) − 2s| ≤ Ltα .

Věta 7.8: Buď f periodická funkce s periodou 2π, která má absolutně konvergentní zobecněný integrál na intervalu délky 2π. Buď dále x0 ∈ R a nechť platí jeden z následujících výroků: (I)Funkce f má v bodě x0 obě konečné jednostranné derivace. (II)Funkce f je v prstencovém okolí bodu x0 diferencovatelná a její derivace má v bodě x0 obě konečné jednostranné limity. Potom Fourierova řada (s periodou 2π) funkce f konverguje v bodě x0 a její součet je: f (x0 ), nastane-li případ (I); 1 lim f (x) + lim f (x) , nastane-li případ (II). x→x0− 2 x→x0+ Důkaz. (a) Nechť platí (I). Položme 0 0 (x0 ) + 1. L = 2 max f+ (x0 ) , f−

Potom existuje pravé okolí H bodu 0 tak, že pro všechna t ∈ H platí: 1 1 |f (x0 + t) − f (x0 )| ≤ Lt, |f (x0 − t) − f (x0 )| ≤ Lt, 2 2 a tedy |f (x0 + t) + f (x0 − t) − 2f (x0 )| ≤ Lt.

To je ovšem Lipschitzova podmínka pro konvergenci (poznámka 7.7.6) Fourierovy řady funkce f v bodě x0 k součtu f (x0 ).

94


(b) Nechť platí (II). Označme f 0 (x0+ ) = lim f 0 (x), x→x0+

f 0 (x0− ) = lim f 0 (x) x→x0−

a položme L = 2 max {|f 0 (x0+ )| , |f 0 (x0− )|} + 1.

Potom existuje δ > 0 tak, že pro všechna x ∈ (x0 , x0 + δ) je

1 L. 2 Zvolíme-li nyní libovolně dva body x1 , x2 ∈ (x0 , x0 + δ), existuje podle věty o přírůstku funkce ξ ∈ (x1 , x2 ) takové, že platí: |f 0 (x)| ≤

1 L |x2 − x1 | . 2 Odtud dle Bolzanova–Cauchyova kritéria plyne existence vlastní limity funkce f v bodě x0 zprava. Položme opět f (x0+ ) = lim f (x) a definujme funkci g takto: |f (x1 ) − f (x2 )| = |f 0 (ξ)| |x2 − x1 | ≤

x→x0+

( f (x0 + t) pro t ∈ (0, δ) g(t) = f (x0+ ) pro t = 0 Funkce g je spojitá zprava v bodě 0, diferencovatelná na intervalu (0, δ) a platí lim g 0 (t) = lim f 0 (x0 + t) = f 0 (x0+ ) .

t→0+

t→0+

0 Potom funkce g má v bodě 0 derivaci zprava a platí g+ (0) = f 0 (x0+ ), tj.

f (x0 + t) − f (x0+ ) = f 0 (x0+ ) . t→0+ t Podobně dokážeme, že lim

f (x0 + t) − f (x0− ) = f 0 (x0− ) . t Odtud již plyne, že existuje takové pravé okolí H bodu 0 tak, že pro všechna t ∈ H platí: lim

t→0−

|f (x0 + t) − f (x0+ )| ≤

1 Lt, 2

|f (x0 − t) − f (x0− )| ≤

1 Lt, 2

a tedy |f (x0 + t) + f (x0 − t) − (f (x0+ ) + f (x0− ))| ≤ Lt.

Podle poznámky 7.7.6 odtud plyne, že Fourierova řada funkce f konverguje v bodě x0 k číslu 12 (f (x0+ ) + f (x0− )). Poznámka 7.8.1. Předpoklady (I) a (II) ve větě 7.8 jsou vzájemně nezávislé. Z (I) evidentně neplyne (II) a na druhé straně z platnosti (II) neplyne (právě když funkce f není spojitá v bodě x0 ) platnost předpokladu (I). Pro funkci spojitě diferencovatelnou v bodě x0 jsou ovšem předpoklady (I) a (II) ekvivalentní. Poznámka 7.8.2. Poznámkami 7.7.2 – 7.7.6 a větou 7.8 je v podstatě vyřešena otázka bodové konvergence Fourierovy řady funkce f . Poněkud omezující (i když pro rozvoj v trigonometrickou řadu zcela logickou) se již vzhledem k definici 7.3 (str. 84) zdá skutečnost, že všechna tato tvrzení byla vyslovena pro periodickou funkci. Abychom všechna tato tvrzení mohli užít i pro funkci definovanou na omezeném intervalu, pomáháme si periodickým prodloužením:


95

Poznámka 7.8.3. Buďte a, b ∈ R a nechť f je funkce definovaná na intervalu ha, b). Potom periodickým prodloužením funkce f (na intervalu ha, b)) rozumíme funkci f ∗ definovanou na množině R následovně: x−a f ∗ (x) = f x − (b − a) pro všechna x ∈ R. b−a

Poznámka 7.8.4. Periodickým prodloužením funkce x 7→ sin x na intervalu délky 2π je funkce sinus. Periodickým prodloužením funkce x 7→ sin x na intervalu h0, π) je absolutní hodnota funkce sinus. Periodickým prodloužením funkce x 7→ x na intervalu h0, 1) je funkce x 7→ x − [x]. Poznámka 7.8.5. Buď nyní f funkce definovaná na intervalu ha, b), b − a = 2π Rb a nechť zobecněný integrál f (x) dx absolutně konverguje. Potom, užijeme-li větu a

7.8 na periodické prodloužení f ∗ funkce f na intervalu ha, b), dostáváme: Buď x0 ∈ (a, b) a nechť je splněn alespoň jeden z předpokladů (I) a (II) věty 7.8. Potom platí: +∞

kde

a0 X 1 + (an cos nx0 + bn sin nx0 ) = (f (x0+ ) + f (x0− )) , 2 2 n=1 1 an = π

Zb

f (x) cos nx dx,

1 bn = π

a

Zb

f (x) sin nx dx

a

pro všechna n ∈ N0 a symboly f (x0+ ), resp. f (x0− ) chápeme ve smyslu užitém v důkazu věty 7.8. Poznámka 7.8.6. Buďte a, b libovolná různá reálná čísla, x0 vnitřní bod Rb intervalu o krajních bodech a, b. Nechť dále zobecněný integrál f (x) dx absolutně a

konverguje. Potom, je-li splněn alespoň jeden z předpokladů (I), (II) věty 7.8, platí: +∞ a0 X 2πn 1 2πn + x0 + bn sin x0 = (f (x0+ ) + f (x0− )) , an cos 2 b−a b−a 2 n=1

kde

2 an = b−a

Zb a

2πn f (x) cos x dx, b−a

2 bn = b−a

Zb

f (x) sin

a

2πn x dx, b−a

pro všechna n ∈ N0 . Poznámka 7.8.7. Nevyřešena v předchozích dvou poznámkách ještě zůstává otázka konvergence Fourierovy řady funkce f v krajních bodech intervalu (a, b). Rb Předpokládejme opět, že zobecněný integrál f (x) dx absolutně konverguje a nechť je splněn jeden z následujících předpokladů:

a

0 0 (I*) f (a) = f (b) a existují jednostranné derivace f+ (a) a f− (b). (II*) Funkce f je diferencovatelná v jistém pravém okolí bodu a a levém okolí bodu b, přičemž existují vlastní limity lim f 0 (x) a lim f 0 (x). x→a+

x→b−

Potom, aplikujeme-li větu 7.8 na periodické prodloužení funkce f na intervalu ha, b), dostáváme: Fourierova řada funkce f z poznámky 7.8.5, resp. 7.8.6 konverguje v bodě a (a tím i v bodě b) a její součet je 21 (f (a+ ) + f (b− )).

96


Poznámka 7.8.8. Z našich úvah zatím vyplývá, že Fourierova řada funkce f konverguje v bodech spojitosti, má-li v nich funkce f obě jednostranné konečné derivace. Na druhé straně jsme také ukázali, že Fourierova řada funkce f konverguje i v bodech nespojitosti prvního druhu funkce f (je-li ovšem splněna podmínka (II)). Napadne nás možná, že by již spojitost funkce f mohla být pro konvergenci Fourierovy řady funkce f postačující. Že tomu tak není, dokázal již Du Bois– Reymond [9]. Relativně jednoduchý příklad spojité funkce, jejíž Fourierova řada v jednom bodě diverguje, pocházející od L. Fejéra [24], uvádí V. Jarník ve své knize Integrální počet II (kap. XIII, §9). Dodnes však není vyřešena otázka, jestli existuje spojitá funkce, jejíž Fourierova řada by divergovala v každém bodě. Poznámka 7.8.9. Naopak — diferencovatelnost spojité funkce f není nutná k tomu, aby její Fourierova řada konvergovala. Např. trigonometrická řada +∞ X

q n cos (pn πx),

n=0

kde q ∈ (0, 1) a p ∈ N

konverguje stejnoměrně na množině R, a tedy podle věty 7.2 (str. 83) je Fourierovou řadou své spojité součtové funkce f . K. Weierstrass [49] dokázal (a není to triviální), že pro p · q > 1 + 23 π nemá funkce f derivaci v žádném bodě množiny R. Poznámka 7.8.10. Před nadcházející větou připomeňme, že funkce je po částech spojitá na uzavřeném a omezeném intervalu, má-li v tomto intervalu nejvýše konečně mnoho bodů nespojitosti a ani v jednom z nich nemá nespojitost druhého druhu. Funkce je po částech spojitá na neomezeném intervalu, je-li po částech spojitá na každém jeho omezeném a uzavřeném podintervalu. Věta 7.9: Nechť funkce f je po částech spojitá a má po částech spojitou derivaci na intervalu ha, bi. Potom Fourierova řada funkce f na intervalu (a, b) konverguje na celé množině R a označíme-li F její součtovou funkcí, platí: (i)Funkce F je periodická s periodou b − a. (ii)F (x) = 12 (f (x+ ) + f (x− )) pro všechna x ∈ (a, b). (iii)F (a) = F (b) = 12 (f (a+ ) + f (b− )). Důkaz. Plyne z předchozích poznámek, nebo přímo z věty 7.8, jestliže ji aplikujeme na periodické prodloužení funkce f . Poznámka 7.9.1. Tvrzení (ii) věty 7.9 můžeme vyslovit také v následující podrobnější formě: (ii) Pro všechna x ∈ (a, b) platí:  je-li funkce f v bodě x spojitá f (x),    lim f (y), má-li funkce f v bodě x odstranitelnou nespojitost F (x) = y→x 1   (f (x ) + f (x )), má-li funkce f v bodě x nespojitost I. druhu + − 2 Rπ f (x) dx absolutně konverguje a buď Poznámka 7.9.2. Nechť integrál ∞ X

−π

a0 + (an cos nx + bn sin nx) 2 n=1

Fourierova řada funkce f na intervalu (−π, π). Potom platí: • Je-li funkce f lichá, jsou Zπ 2 f (x) sin nx dx an = 0, bn = pro n ∈ N0 ; π 0


• je-li funkce f sudá, jsou bn = 0,

an =

2 π

Zπ

f (x) cos nx dx

0

97

pro n ∈ N0 .

Poznámka 7.9.3. Buď α ∈ R a položme f (x) = cos αx pro všechna x ∈ h−π, πi. Je-li α ∈ Z, je triviálně funkce f součtovou funkcí své Fourierovy řady na intervalu h−π, πi. Buď dále α ∈ R r Z; potom podle předchozí poznámky platí: Zπ 1 sin (α + n) π sin (α − n) π 2 cos αx cos nx dx = + = an = π π α+n α−n 0

n

1 2α (−1) = sin απ π α2 − n2 a bn = 0 pro všechna n ∈ N0 . Z věty 7.9 potom plyne: +∞

cos αx = pro všechna x ∈ (−π, π)4. Analogicky obdržíme:

sin απ X n 2α sin απ + cos nx (−1) απ π (α2 − n2 ) n=1

sin αx =

+∞ X

n

(−1)

n=1

2α sin απ sin nx π (α2 − n2 )

pro všechna x ∈ (−π, π). Poznámka 7.9.4. Položme ve vyjádření pro cos αx v předchozí poznámce x = 0 a απ = z, resp. x = π (krajní bod) a απ = z. Potom dostáváme: +∞ +∞ n 1 1 X 2 (−1) z 1 1 1 X n = + (−1) + , = + sin z z n=1 z 2 − (πn)2 z n=1 z + nπ z − nπ resp.

+∞

+∞

1 X 2z 1 X cotg z = + = + z n=1 z 2 − (πn)2 z n=1

1 1 + z + nπ z − nπ

pro všechna z ∈ R r πZ (tj. všechna reálná z, která nejsou celým násobkem čísla π). Užijeme-li věty z poznámky 2.7.6 (str. 26), snadno dokážeme, že výše uvedené rovnosti, které se často píší ve tvaru +∞ n X (−1) 1 = , sin z n=−∞ z + nπ

resp.

cotg z =

+∞ X

1 , z + nπ n=−∞

platí pro všechna z ∈ C r πZ. Našli jsme tak vlastně rozklad dvou neracionálních funkcí na parciální zlomky5. Položíme-li v těchto rozkladech z = π2 − y, obdržíme také rozklad funkcí cos1 z a tg z na parciální zlomky. Poznámka 7.9.5. Buď x ∈ (0, π). Potom podle předcházející poznámky pro všechna y ∈ (0, xi je cotg y −

+∞ 1 X 2y = . 2 y n=1 y − (nπ)2

4A neboť funkce cos αx je na intervalu (−π, π) spojitá a aritmetický průměr limit v bodech −π+ , π− je roven funkčním hodnotám, platí rozvoj pro všechna x ∈ h−π, πi. 5Jmenovatel má nekonečně mnoho nulových bodů: z = nπ, n ∈ N.

98


Protože řada na pravé straně rovnosti podle poznámky 5.4.4 (str. 60) konverguje stejnoměrně na intervalu h0, xi6, platí podle věty 6.8 (str. 79) Zx ∞ Zx X 1 2y dy 7 cotg y − , dy = 2 − (nπ)2 y y n=1 0

0

tj.

ln

sin y y

a ln

x

=

0

∞ X x 2 ln y − (nπ)2 0

n=1

∞ x2 sin x X ln 1 − = . x (nπ)2 n=1

Ze spojitosti funkce ln potom plyne

sin x = x

+∞ Y

n=1

1−

x2 (nπ)2

.

Poslední rovnost platí evidentně na intervalu h−π, πi a užijeme-li periodičnost obou stran, dokážeme její platnost na celé množině R. Nyní můžeme ještě užít věty z poznámky 2.7.6 (str. 26) a dostaneme, že ! +∞ Y z2 1− sin z = z 2 (nπ) n=1 pro všechna z ∈ C (L. Euler, 1742). Speciálně pro z = π2 obdržíme 1=

+∞ π Y (2n + 1) (2n − 1) , 2 2 n=1 (2n)

tj. Wallisovu formuli (viz také pozn. 5.9.5 (str. 66)). 2z Ze vztahu sin 2z = 2 sin z cos z (čili cos z = 2sin sin z ) ještě plyne, že +∞ Y 4z 2 cos z = 1− (2n − 1)2 π 2 n=1

pro všechna z ∈ C. Poznámka 7.9.6. Pomocí poznámky 7.9.4 a věty 6.8 (str. 79) můžeme poměrně snadno nalézt hodnotu Dirichletova integrálu +∞ Z 0

sin x dx. x

2y 6Funkce f : y 7→ jsou na intervalu (0, xi, x ∈ (0, π) spojité a ostře klesající. Neboť n y 2 −(nπ)2

dále fn (y) < 0 pro všechna y ∈ (0, xi a všechna n ∈ N, je pro pevně dané x ∈ (0, π) 2y 2x = . sup 2 2 y − (nπ) (nπ)2 − x2 y∈(0,xi

Číselná majoranta funkční řady

+∞ P

fn (y) tvořená těmito suprémy je podle limitního srovnávacího

n=1

kritéria pro číselné řady konvergentní (— srov. s řadou

+∞ P

n=1

1 ). n2

7Funkce cotg y a 1 nejsou sice na okolí bodu 0 sami o sobě integrabilní, věta 6.8 o záměně y

sumy a integrálu však říká, že jejich rozdíl ano.


99

Platí: +∞ Z 0

sin x dx = x

Zπ/2

=

Zπ/2

0

0

+∞ X sin x dx + x n=1

Znπ

sin x dx + x

nπ

nπ−π/2

Zπ/2 +∞ X sin (t − nπ)

sin x dx + x n=1

t − nπ

0

nπ+π/2 Z

dt +

Zπ/2 0

! sin x dx = x

sin (t + nπ) dt t + nπ

!

=

! Zπ/2 +∞ 1 1 1 X n = (−1) + + dt = sin t · t n=1 t − nπ t + nπ 0

=

Zπ/2

dt =

0

π . 2

Poznámka 7.9.7. Buď f funkce definovaná na symetrickém intervalu (−λ, λ). Potom existuje právě jedna dvojice funkcí f1 , f2 z nichž první je sudá a druhá lichá tak, že pro všechna x ∈ (−λ, λ) platí: f (x) = f1 (x) + f2 (x). Funkci f1 , resp. f2 nazýváme sudou, resp. lichou částí funkce f . Pro všechna x ∈ (−λ, λ) platí 1 (f (x) + f (−x)) 2 1 f2 (x) = (f (x) − f (−x)) . 2

(7.3)

f1 (x) =

(7.4)

Poznámka 7.9.8. Buď α ∈ R. Uvažujeme Fourierovu řadu funkce f : x 7→ eαx na intervalu (−π, π). Podle věty 7.9 platí: +∞

eαx =

n

sinh απ X 2 (−1) sinh απ (α cos nx − n sin nx) + απ π (α2 + n2 ) n=1

pro všechna x ∈ (−π, π). Protože při označení z předchozí poznámky je f1 (x) = cosh αx

a

f2 (x) = sinh αx

platí: +∞

cosh αx =

sinh απ X n 2α sinh απ + (−1) cos nx απ π (α2 + n2 ) n=1

pro všechna x ∈ h−π, πi

+∞ X

pro všechna x ∈ (−π, π).

a sinh αx =

(−1)

n=1

n

2n sinh απ sin nx π (α2 + n2 )

(srovnejme s výsledky poznámky 7.9.3). Poznámka 7.9.9. Z předchozí poznámky podobně jako v poznámce 7.9.4 obdržíme +∞

coth z =

1 X 2z + z n=1 z 2 + (πn)2

pro všechna z ∈ C r iπZ.

100


Pro z ∈ C, pro která je 0 < |z| < 1, potom platí

+∞ 2 X z2 1 z = 1 + 2 = 2 2 z +n n 1+ z 2 n=1 n=1 n +∞ +∞ X +∞ z 2m X X m−1 m−1 2m =1+2 (−1) z ζ (2m), =1+2 (−1) n m=1 n=1 m=1

πz coth πz = 1 + 2

+∞ X

kde ζ je Riemannova funkce definovaná v poznámce 6.6.14 (str. 75). Z poznámky 2.7.8 (str. 27) ale plyne, že pro všechna z taková, že 0 < |z| < π, platí: z coth z = 1 +

+∞ 2n X 2 B2n 2n z . (2n)! n=1

Odtud již užitím poznámky 2.3.3 (str. 18) dostáváme, že pro všechna m ∈ N je ζ (2m) = (−1)

m−1

2m

(2π) B2m . 2 (2m)!

Tuto rovnost dokázal již v roce 1740 L. Euler. Pro m = 1, 2, 3, . . . z ní plyne +∞ +∞ +∞ X π2 X 1 π4 X 1 π6 1 = , = , = , ... . 2 4 6 n 6 n=1 n 90 n=1 n 945 n=1

Pomocí Eulerova vyjádření Riemannovy funkce na množině 2N můžeme také rozšířit poznámku 2.7.8 (str. 27) o další vlastnost Bernoulliových čísel. Protože podle poznámky 6.6.15 (str. 75) je lim ζ(x) = 1, platí: x→+∞

lim |B2n | = +∞.

n→+∞

Poznámka 7.9.10. Ukažme ještě, jak lze sčítat trigonometrické řady pomocí teorie funkcí komplexní proměnné. Nalezněme součet řad

pro x ∈ (0, 2π). Platí, označíme-li z = eix :

+∞ X cos nx n n=1

a

+∞ X sin nx n n=1

+∞ +∞ +∞ X X sin nx X z n cos nx +i = = − ln (1 − z) = − ln |1 − z| − i ampl (1 − z) = n n n n=1 q n=1 n=1 2 = − ln (1 − cos x) + sin2 x − i ampl (1 − cos x − i sin x) = x π−x = − ln 2 sin +i . 2 2 Odtud dostáváme: +∞ X cos nx x = − ln 2 sin n 2 n=1

a

+∞ X π−x sin nx = n 2 n=1

pro všechna x ∈ (0, 2π). Provedeme-li v poslední rovnosti transformaci x 7→ 2πx, obdržíme +∞

x=

1 X sin 2πnx − 2 n=1 πn

pro všechna x ∈ (0, 1),


101

a tedy +∞

x − [x] =

1 X sin 2πnx − 2 n=1 πn

pro všechna x ∈ R r Z.

Poznámka 7.9.11. Všimněme si na poslední rovnosti v předchozí poznámce, že součtová funkce této trigonometrické řady (tj. řady, jejíž členy jsou funkce spojité na celé množině R) má body nespojitosti prvního druhu. Právě poznání této, pro trigonometrické řady typické, skutečnosti vytvořilo historický mezník v chápání funkce. Ukázalo na neudržitelnost pojetí funkce jako „ jediného analytického výrazuÿ (tedy něčeho, co lze graficky znázornit jediným tahem ruky) dominantní v 18. století, jehož posledním velkým představitelem byl L. Euler. Poznámka 7.9.12. V poznámkách 7.9.8 a 7.9.10 jsme vyjádřili některé funkce jakou součtové funkce trigonometrické řady na intervalech délky 2π. Jsou to jejich Fourierovy řady? Tedy obecně: Podaří-li se nám vyjádřit funkci na intervalu délky 2π jako součtovou funkci trigonometrické řady, bude to její Fourierova řada na tomto intervalu? Z věty 7.2 (str. 83) víme, že to určitě platí, pokud trigonometrická řada na tomto intervalu konverguje stejnoměrně. To je ovšem ve výše uvedených dvou poznámkách splněno pouze v případě rozvoje cosh αx. Matematikové se tímto problémem zabývali téměř jedno století. Zásadními příspěvky k řešení tohoto problému byly práce G. Cantora [12], Du Bois–Reymonda, H. Lebesgua, W. H. Younga [50] a V. Poussina [39]. V následující poznámce uvedeme větu, která pro nás v přijatelné formě odpoví na naši otázku. Poznámka 7.9.13. Nechť funkce f má na intervalu (a, b) délky 2π absolutně konvergentní zobecněný integrál a nechť trigonometrická řada +∞

a0 X (an cos nx + bn sin nx) + 2 n=1

konverguje k f (x) pro všechna x ∈ (a, b) s výjimkou nejvýše spočetné množiny +∞ P (an cos nx + bn sin nx) Fourierovou řadou funkce f na bodů. Potom je řada a20 + n=1

intervalu (a, b).

Věta 7.10 (C. Jordan [29]): Buď f funkce definovaná na intervalu ha, bi s následujícími vlastnostmi: (i)f (a) = f (b). (ii)f je spojitá na intervalu ha, bi. (iii)Funkce f má po částech spojitou derivaci na intervalu ha, bi. Potom Fourierova řada funkce f na intervalu ha, bi konverguje stejnoměrně na množině R. Důkaz. Větu stačí zřejmě dokázat pouze pro případ b − a = 2π. Buďte c1 < c2 < · · · < cm−1 všechny body nespojitosti derivace funkce f . Označímeli c0 = a, cm = b, platí pro všechna n ∈ N: 1 an = π

Zb a

=

1 nπ

m Zci 1X f (x) cos nx dx = f (x) cos nx dx = π i=1

m X i=1

[f (x) sin nx]ccii−1 −

ci−1 Zci

f 0 (x) sin nx dx

ci−1

1 1 (f (b) sin nb − f (a) sin na) − = nπ nπ

Zb a

=

1 f 0 (x) sin nx dx = − b0n , n

102


kde jsme písmenem b0n označili příslušný Fourierův koeficient funkce f 0 . Analogicky dokážeme, že pro všechna n ∈ N platí 1 bn = a0n . n Pro všechna n ∈ N a pro všechna x ∈ R tedy platí: |a0 | |b0 | |an | + |bn | = n + n ≤ | {z } n n číselná majoranta 1 1 1 2 2 ≤8 |a0n | + 2 + |b0n | + 2 . 2 n n

|an cos nx + bn sin nx| ≤

Z Besselovy nerovnosti (věta 7.6 (str. 87)) vyplývá, že výraz na pravé straně dokázané nerovnosti je n-tý člen konvergentní číselné řady. Tvrzení věty 7.10 nyní plyne z Weierstrassova kritéria (pozn. 5.4.4 (str. 60)). Poznámka 7.10.1. Tvrzení věty 7.10 lze ještě doplnit tak, že podle věty 7.9 (str. 96) je funkce f součtovou funkcí své Fourierovy řady na intervalu ha, bi. Poznámka 7.10.2. Zamysleme se nad tím, že např. z poznámky 6.2.1 (str. 70) plyne, že předpoklady (i) a (ii) jsou také nutnou podmínkou pro stejnoměrnou konvergenci. Poznámka 7.10.3. Při studiu stejnoměrné konvergence Fourierovy řady jsme mohli postupovat podobně jako při studiu bodové konvergence, tj. vyjít z poznámky 7.5.2 (str. 87) (místo věty 7.5 (str. 86)) a podobnými (jenže tentokrát mnohem jemnějšími) úvahami, jako byly poznámky za větou 7.7 (str. 91), dojít k následujícímu (např. V. Jarník: Integrální počet II, věta 185): Poznámka 7.10.4. Vypustíme-li ve větě 7.10 předpoklad (i), potom podle poznámky 7.10.2 ztrácí platnost. Platí však, že Fourierova řada funkce f na intervalu (a, b) konverguje lokálně stejnoměrně na intervalu (a, b). Jsou-li dokonce splněny předpoklady (ii) a (iii) pouze na intervalu hc, di ⊂ ha, bi, konverguje Fourierova řada funkce f na intervalu (a, b) lokálně stejnoměrně na intervalu (c, d). Poznámka 7.10.5. Je-li f spojitá funkce na intervalu ha, bi, potom pro každé ε > 0 existuje funkce g spojitá a mající po částech spojitou derivaci na intervalu ha, bi taková, že pro všechna x ∈ ha, bi platí: |f (x) − g(x)| < ε.

Pro důkaz tohoto tvrzení stačí k danému ε > 0 sestrojit takové rozdělení {x0 , x1 , . . . , xn } intervalu ha, bi, v jehož každém částečném intervalu je oscilace funkce f menší než 2ε a položit: g(x) = f (xi−1 ) +

f (xi ) − f (xi−1 ) (x − xi−1 ) xi − xi−1

pro x ∈ hxi−1 , xi i a i ∈ n ˆ.

Poznámka 7.10.6 (K. Weierstrass [48]). Nechť funkce f je spojitá na intervalu ha, bi. Potom ke každému číslu ε > 0 existuje polynom p tak, že pro všechna x ∈ ha, bi je ∗

|f (x) − p(x)| < ε.

Označíme-li totiž f funkci spojitou na intervalu hc, di, pro kterou je f ∗ (c) = f ∗ (d) a f ∗ |ha,bi = f , lze podle předchozí poznámky funkci f ∗ na intervalu hc, di „stejnoměrně aproximovatÿ funkcí g spojitou s po částech spojitou derivací, přičemž g(c) = g(d). Funkci g však lze na intervalu hc, di podle poznámky 7.10.1 „stejnoměrně aproximovatÿ trigonometrickým mnohočlenem. Nyní si již stačí uvědomit, že trigonometrický mnohočlen (jakožto lineární kombinaci trigonometrických funkcí) 8Nerovnost vyplývá z 2ab ≤ a2 + b2 , užité na oba sčítance zvlášť.


103

lze na intervalu hc, di a tím spíše i na intervalu ha, bi „stejnoměrně aproximovatÿ jeho Maclaurinovým polynomem. Poznámka 7.10.7. Jsou-li splněny předpoklady věty 7.10, konverguje podle poznámky 7.6.9 (str. 91) Fourierova řada funkce f na intervalu (a, b) podle středu a tedy dle poznámky 7.6.8 (str. 90) je pro funkci f splněna Parsevalova rovnost. Poznámka 7.10.8. Buď nyní funkce f riemannovsky integrabilní na intervalu ha, bi, f (a) = f (b). Zvolme ε > 0 a rozdělení σ intervalu ha, bi tak, aby platilo ε2 , 8K kde K je omezující konstanta funkce f na intervalu ha, bi. Sestrojme nyní funkci g podobně jako tomu bylo v poznámce 7.10.5. Potom, užijeme-li nyní symboliky poznámky 7.6.6 (str. 89), platí: Ω (f, σ) = S (σ) − s (σ) <

2

kf − gk ≤ 2K

Zb a

|f (x) − g(x)| dx ≤ 2KΩ (f, σ) .

Protože funkce g splňuje předpoklady věty 7.10, existuje podle předchozí poznámky n0 tak, že pro všechna n > n0 je ε kg − Fn(g) k < , 2 (g)

kde symbolem Fn značíme n-tý částečný součet Fourierovy řady funkce g na intervalu (a, b). Z poznámky 7.6.4 (str. 89) potom plyne, že pro všechna n > n0 platí: kf − Fn(f ) k ≤ kf − Fn(g) k ≤ kf − gk + kg − Fn(g) k < ε.

Uvědomíme-li si ještě, že hodnota integrálu se nezmění, změníme-li hodnotu integrandu v jednom bodě, vidíme, že Fourierova řada riemannovsky integrabilní funkce na intervalu ha, bi k ní konverguje na intervalu (a, b) podle středu. Riemannovsky integrabilní funkce na intervalu ha, bi splňuje tedy na tomto intervalu Parsevalovu rovnost. Poznámka 7.10.9. Tak např. z vyjádření +∞ X π−x sin nx = n 2 n=1

pro x ∈ (0, 2π)

(poznámka 7.9.10 (str. 100)) plyne podle předchozí poznámky již známá rovnost +∞ X 1 π2 . = 2 n 6 n=1

Poznámka 7.10.10. Buď f ∈ R2 (a, b), potom Fourierova řada funkce f na intervalu (a, b) konverguje v (a, b) podle středu k f . Rb Skutečně, předpokládáme-li, že bod b je jediný kritický bod integrálu f 2 (x) dx a definujeme-li funkci g předpisem

g(x) =

a

(

f (x) pro x ∈ ha, ci , 0 pro x ∈ (c, b)

kde c volíme tak, aby číslo kf − gk bylo dostatečně malé, vyplývá naše tvrzení z předcházející poznámky a nerovnosti kf − Fn(f ) k ≤ kf − gk + kg − Fn(g) k.

Dokázali jsme tak, že pro každou funkci f ∈ R2 (a, b) je splněna Parsevalova rovnost.

104


Poznámka 7.10.11. Aplikujeme-li předchozí tvrzení na rovnost +∞ X cos nx x = − ln 2 sin n 2 n=1

platnou dle 7.9.10 (str. 100)) pro všechna x ∈ (0, 2π), potom s pomocí poznámky 7.9.13 (str. 101)) dostáváme: 1 π

Z2π 0

+∞ X x 1 π2 dx = = . ln2 2 sin 2 2 n 6 n=1

Věta 7.11 (o integraci Fourierovy řady): Buďte f funkce po částech spojitá na intervalu ha, bi; b − a = 2π. Nechť dále +∞ P a0 (an cos nx + bn sin nx) je Fourierova řada funkce f na intervalu (a, b). 2 + n=1

Potom pro každou dvojici čísel α, β ∈ ha, bi platí: Zβ

f (x) dx =

α

Zβ α

β

+∞ Z X a0 dx + (an cos nx + bn sin nx) dx. 2 n=1 α

Důkaz. Označme c = 2π g(x) =

Zx c

b 2π

f (t) −

a položme a0 dt 2

pro všechna x ∈ ha, bi.

Protože g(b) − g(a) =

Zb a

f (t) dt −

a0 (b − a) = 0, 2

je podle věty 7.9 (str. 96) funkce g součtovou funkcí své Fourierovy řady na intervalu ha, bi, tj. platí: g(x) = kde 1 An = π

Zb a

+∞ X 1 A0 + (An cos nx + Bn sin nx) 2 n=1

pro všechna x ∈ ha, bi,

1 1 b g(x) cos nx dx = [g(x) sin nx]a − πn πn

a podobně Bn =

an n

pro všechna n ∈ N. Jelikož 0 = g(c) = je

+∞ X 1 An , A0 + 2 n=1

+∞ X 1 bn A0 = 2 n n=1

Zb a

f (x) sin nx dx = −

bn n


105

a tedy g(x) =

+∞ X an sin nx + bn (1 − cos nx) n n=1

pro x ∈ ha, bi.

Dokázali jsme tak, že pro všechna x ∈ ha, bi platí: Zx Zx +∞ Zx X a0 (an cos nt + bn sin nt) dt. dt + f (t) dt = 2 n=1 c

c

c

Poznámka 7.11.1. Ve větě 7.11 jsme předpokládali, že b − a = 2π. Analogická věta však platí pro libovolný omezený interval. Věta dokonce platí pro každou funkci Rb f , pro kterou zobecněný integrál f (x) dx absolutně konverguje. a

Poznámka 7.11.2. Uvědomme si, že derivováním nebo integrováním trigonometrické řady člen po členu obdržíme vždy opět trigonometrickou řadu. Z důkazu věty 7.11 a předchozí poznámky však plyne, že integrací Fourierovy řady člen po členu získáme znovu Fourierovu řadu, která dokonce stejnoměrně konverguje na celé množině R. Poznámka 7.11.3. Věta 7.11 není důsledkem věty 6.9 (str. 79), Fourierova řada funkce f totiž nemusí ani konvergovat (viz též pozn. 7.8.8 (str. 96)). Poznámka 7.11.4. Z důkazu věty 7.11 (ten lze totiž pomocí obecnější metody per partes užít i pro funkci f mající pouze absolutně konvergentní zobecněný integrál na intervalu (a, b)) plyne, že pro každou funkci f , která má absolutně konvergentní +∞ P bn zobecněný integrál na intervalu (a, b), řada n konverguje. n=1

+∞ P

n=1

Poznámka 7.11.5. Z předchozí poznámky např. plyne, že trigonometrická řada

sin nx ln n

nemůže být (ve smyslu definice 7.3 (str. 84)) Fourierovou řadou žádné

funkce na intervalu délky 2π, resp. užijeme-li poznámky 7.9.13 (str. 101), že souč+∞ P sin nx tová funkce řady ln n nemůže mít absolutně konvergentní zobecněný integrál n=1

na intervalu délky 2π. Pro zajímavost přitom uveďme, že součtová funkce řady +∞ P cos nx ln n má absolutně konvergentní zobecněný integrál na libovolném omezeném

n=1

intervalu. +∞ Poznámka 7.11.6. W. H. Young dokázal, že pokud je (bn )n=1 klesající po+∞ P bn sloupnost kladných čísel a lim bn = 0, potom konvergence řady n je nejen n→+∞

n=1 +∞ P

nutnou, ale i postačující podmínkou pro to, aby součtová funkce řady

n=1

bn sin nx

měla absolutně konvergentní zobecněný integrál na intervalu délky 2π. Poznámka 7.11.7 (W. Wirtinger). Buď f funkce spojitá na intervalu ha, bi a až na konečně mnoho výjimek diferencovatelná na intervalu (a, b). Nechť dále platí f (a) = f (b)

a

Zb

f (x) dx = 0.

a

Potom funkce f vyhovuje následující integrální nerovnosti: Zb a

0

2

(f (x)) dx ≥

Zb a

2

(f (x)) dx,

106


přičemž rovnost nastává pouze pro funkce typu 2πx 2πx x 7→ c cos + d sin , b−a b−a kde c, d jsou libovolná reálná čísla. Tvrzení lehce dokážeme z Parsevalovy rovnosti pro funkce f a f 0 , jestliže využijeme vztahů mezi Fourierovými koeficienty funkcí f a f 0 získaných v důkaze věty 7.11.

Literatura [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46]

Niels Henrik Abel: J. f. d. reine u. angew. Math., sv. 1., str. 314, 1826. 61 Niels Henrik Abel: J. f. d. reine u. angew. Math., sv. 3., str. 81, 1828. 67 Niels Henrik Abel: J. f. d. reine u. angew. Math., sv. 1., str. 311, 1826. 70 Niels Henrik Abel: J. f. d. reine u. angew. Math., sv. 1., str. 318, 1826. 71 Cesare Arzelà: Rendic. Accad. Bologna, č. 19, str. 85, 1883. 36 Cesare Arzelà: Rendic. Accad. Bologna, č. 19, str. 86, 1883. 44 Jacob Bernoulli: Ars conjectandi. Basileae, str. 96, 1713. 28 P. du Bois–Reymond: Antrittsprogramm d. Univ. Freiburg, 1871. 64 P. du Bois–Reymond. Gött. Nachr. str. 571, 1873. 96 Bernard Bolzano: Rein analytischer Beweis . . . a Die drei Probleme . . . , Prag, 1817. 35 E. Cahen: Ann. Éc. Norm. sup. sv. 11., str. 85, 1894. 75 George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor: Math. Ann., sv 4, str. 139 – 143, 1871. 101 Augustin Louis Cauchy: Analyse algébrique. Paris, str. 151, 1821. 11 Augustin Louis Cauchy: Analyse algébrique, Paris, 1821. 35 Augustin Louis Cauchy: Analyse algébrique, Paris, str. 147, 1821. 71 Richard Dedekind: Stetigkeit und irrotionale Zahlen, Braunschweig 1872. 64 Ulisse Dini: Sulle serie a termini positivi, Ann. Univ. Toscana, č.9, 1867. 43 Pierre Gustave Lejeune Dirichlet: Vorlesungen über Zahlentheorie §101, Braunschweig, 1863. 61 Pierre Gustave Lejeune Dirichlet: Vorlesungen über Zahlentheorie, Braunschweig, 1863. 75 Pierre Gustave Lejeune Dirichlet: Sur la convergence des séries trigonométriques, J. reine u angew. Math. sv. 4., str.157, 1829. 85 Leonard Euler: Introductio in analysin infinitorum, str. 86, Lausanne,1748 70 Leonhard Euler: Introductioin analysin, str. 225, 1737. 84 Leonhard Euler: Institutiones calculi integralis, Petrohrad, 1768. 76 L. Fejér: J. reine u angew. Math., sv. 137, str. 1, 1909. 96 Joseph Fourrier: Théorie analytique de la chaleur, Paris, 1822. 84 Jacques Hadamard: J. de math. pures et appl. č. 8. 1892, str. +107. 12 G. H. Hardy, M. Riesz: The general Theory of Dirichlet’s Series, Cambridge 1915. 75 J. L. W. V. Jensen: Tidskrift for Mathematik, sv. 2, str. 63, 1884. 74 Camille Jordan: C. r. Acad. sci., sv. 92, str. 228 – 230, 1881. 101 E. Landau: Über die Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen, Münch. Ber., sv. 36, str. 151 – 218, 1906. 75 Henri Lebesgue: Ann. Fac. sci. Univ. Toulouse sci. math. et sei. phys., 1909, sv. 1, str. 25 – 117. 50 Henri Lebesgue: Le¸cons sur les séries trigonométriques, Paris, 1906. 91 Beppo Levi: Rend. Ist. Lombardo sue lett, 1906, sv. 39, str. 775 - 780. 50 R. O. Lipschitz: De explicatione per serias trigonometricas instituenda functionum unius variabllis arbitrarum, J. Crelle, 1864 93 Colin Maclaurin: Treatise of fluxions, díl 2., Edinburgh, 1742 19 F. Mertens: J. reine u. angew. Math., sv. 79, 1875, str. 182 71 A. F. Möbius: J. reine und. Angew. Math., sv. 9, 1832, str. 105 - 123 76 Isaac Newton: De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, London 1669 70 La Vallé Poussin: Le¸cons sur l’approximation des fonctions d’une variable réele, Paris 1919 101 Georg Friedrich Bernhard Riemann: Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe, Hab. — Schrift, Göttingen, 1854 91 Ph. L. v. Seidel: Abh. d. Münch. Akad., str. 383, 1848 33 Gerge Gabriel Stokes: Transactions of Cambridge Philos. Soc. č. 8, str. 533, 1848 33 Brook Taylor: Methodus incrementorum directa et inversa. London, 1715 19 Francois Vieta: Opera, str. 400, Leyden 1646 66 G. Vivanti: Rendiconti del circ. matem. di Palermo, č. 30, str. 83, 1910 44 John Wallis: Opera I, str. 468, Oxford 1695 66 107

108

LITERATURA

[47] Karl Theodor Wilhelm Weierstrass: Werke, sv. II., str. 67, 1894. 59 [48] Karl Theodor Wilhelm Weierstrass: Sitzungsber. Acad. Berlin, str. 633 – 639, 1885 102 [49] Karl Theodor Wilhelm Weierstrass: Abhandlungen zur Funktionenlehre, Werke, sv. 2, str. 223, 1875 96 [50] W. H. Young: Proc. Roy. Soc., sv 87, str. 331 – 339, 1912 101

Rejstřík Bernoulliova čísla, 28

Fourierova, 84 Riemannova věta o lokalizaci, 93

Dirichletův integrál, 86

součin nekonečného součinu, 66 stejnoměrná konvergence funkční posloupnosti, 33 lokální, 36 funkční řady, 57 lokální, 58 nekonečného součinu, 67 stejnoměrně konvergentní majoranta, 59 stejná konvergence zobecněných integrálů, 51 stejná limita vzhledem k množině, 38 střed konvergence mocninné řady, 12 střední kvadratická odchylka funkcí na intervalu, 89 sudá část funkce, 99

Eulerova konstanta, 78 Eulerovy vzorce koeficientů trig. řady, 84 funkce analytická, 20 Dirichletova, 43 limitní, funkční posloupnosti, 33 Riemannova, 75 součinová, nekonečného součinu, 67 součtová funkční řady, 57 mocninné řady, 17 stejně diferencovatelné, 39 stejně integrabilní, 39 stejně omezená, 37 stejně spojité, 38 stejně spojité na množině, 38 stejně stejnoměrně spojitá, 38

trigonometrický polynom stupně nejvýše ntého, 89 variace konečná číselné posloupnosti, 64 stejnoměrná, funkční posloupnosti, 64 omezená funkční posloupnosti, 64

koeficienty Möbiovy, 76 koeficienty mocninné řady, 9 konvergence bodová, 33 podle středu, 90 kvazistejnoměrná konvergence funkční posloupnosti, 36 funkční řady, 58 lichá část funkce, 99 logaritmická derivace, 76 nekonečný funkční součin, 67 stejnoměrně konvergentní, 68 nekonečný součin, 65 divergentní, 66 konvergentní, 66 absolutně, 66 obor konvergence mocninné řady, 10 periodické prodloužení funkce, 95 poloměr konvergence mocninné řady, 12 řada Dirichletova, 74 funkční, 57 Maclaurinova, 19 mocninná, 9 Taylorova, 19 trigonometrická, 83 109

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána

Recommend Documents