Mate atická gramotnost - metodika

Interedu – Vzdělávací progra

a podporu čte ářské a u erické gra ot osti

CZ.1.07/3.1.00/50.0064

Mate atická gramotnost metodika Mgr. Ire a Budí ová, Ph.D.

Brno 2015

Matematická gramotnost Irena Budínová

Obsah Úvod ........................................................................................................................................... 3 Početní dovednosti ..................................................................................................................... 4 Desetinná čísla........................................................................................................................ 4 Rychlé počítání účt ............................................................................................................... 6 Zlomky ................................................................................................................................... 8 Procenta .................................................................................................................................. 9 P evádění jednotek ............................................................................................................... 10 Práce s kalkulačkou .............................................................................................................. 12 Číselné ady .............................................................................................................................. 14 Principy číselných ad .......................................................................................................... 14 P íklady k procvičení ........................................................................................................... 16 Cestování .................................................................................................................................. 17 Výměna peněz ...................................................................................................................... 17 Jízda autem ........................................................................................................................... 20 Ubytování ............................................................................................................................. 22 Finance ..................................................................................................................................... 24 Druhy úvěr .......................................................................................................................... 24 Nebankovní úvěr .................................................................................................................. 25 Bankovní úvěr ...................................................................................................................... 27 Výpočet RPSN ..................................................................................................................... 28 Hypotéky .............................................................................................................................. 30 Leasing ................................................................................................................................. 32 Spo ení ................................................................................................................................. 32 Životní styl ............................................................................................................................... 34 BMI ...................................................................................................................................... 34 Tepová frekvence ................................................................................................................. 35 Jídlo a kalorie ....................................................................................................................... 37

1

Irena Budínová: Matematická gramotnost

Recepty ................................................................................................................................. 41 Čtení z grafu a funkční myšlení ............................................................................................... 43 Kartézská soustava sou adnic............................................................................................... 43 Nezávisle a závisle proměnná .............................................................................................. 44 Sou adnice bodu ................................................................................................................... 46 P ímá úměrnost a lineární funkce ......................................................................................... 50 Čtení z grafu ......................................................................................................................... 51 P íklady ze života ................................................................................................................. 53 Statistika ................................................................................................................................... 57 Statistický soubor, statistické jednotky, znaky, rozdělení četností ...................................... 57 St ední hodnoty kvantitativních znak ................................................................................. 58 Grafické znázornění ............................................................................................................. 59 Interpretace dat I................................................................................................................... 65 Interpretace dat II ................................................................................................................. 68 Literatura .................................................................................................................................. 73

2


Úvod Mnoho běžných situací, se kterými se setká každý člověk, vyžaduje jistou úroveň matematických znalostí. P ítomnost nebo nep ítomnost těchto znalostí u daného jedince ovlivňuje d ležitá životní rozhodnutí. Lidé, kte í se nedokážou efektivně rozhodovat, jsou snadno zneužitelní a dostávají se velmi často do obtížných životních situací. PISů 2012 chápe matematickou gramotnost jako „schopnost jednotlivce formulovat, používat a interpretovat matematiku v různých kontextech, nikoli jako synonymum minimálních znalostí a dovedností. Měla by popisovat schopnost jednotlivce matematicky myslet a používat matematické pojmy, postupy, fakta a nástroje k tomu, aby popisoval, vysvětloval a předpovídal různé jevy.“ Velký význam je p ikládán schopnosti využívat matematické znalosti v kontextu. Jedinec se tak musí naučit používat r zné matematické postupy v konkrétních situacích, což neobnáší jen dobrou znalost čisté matematiky, ale také porozumění tomu, co je pro něj v dané situaci za daných okolností nejvýhodnější. Jedná se též o porozumění zadání / nabídce. Za základní okruhy početních dovedností, které se často objevují ve výběrových testech, jsou obvykle považovány:         

míry a váhy; časové jednotky; sčítání, odčítání, násobení a dělení zlomk ; sčítání, odčítání, násobení a dělení desetinných čísel; výpočty obsahu a obvodu obrazc , nap íklad obdélníku; výpočty pr měru, nap íklad pr měrné rychlosti; počítání s procenty; jednoduché funkční závislosti, trojčlenka; zjišťování informací z čárových, sloupcových či koláčových graf tabulek.

a statistických

V běžném životě se s matematikou setkáváme v mnoha oblastech. Zejména neschopnost ově it si výhodnost finančních produkt m že mnoho osob dostat do velmi nevýhodných situací. Pro každého je užitečné umět používat matematiku ve svém životě. Materiál obsahuje 74 ešených p íklad matematiku nejčastěji pot ebujeme.

3

a ř7 ne ešených cvičení z oblastí, v nichž


Početní dovednosti Desetinná čísla Cílem této lekce je zopakovat základní aritmetické operace s desetinnými čísly: sčítání, násobení, odčítání a dělení. Početní úkony se používají v souvislosti s penězi, cestováním, určováním rychlosti, času a plochy. Nepoužívejte kalkulačku. Výpočty m žete zapisovat na papír. P íklad 1. ůuto má spot ebu 4,9 l na 100 km p i jízdě po dálnici. Jaká bude cena benzínu p i 235 km dlouhé cestě po dálnici? ůktuální cena benzínu byla 36,50 Kč za litr. ešení: P íklad m žeme ešit r znými zp soby, ukážeme dva: a) Spot ebu p epočítáme na 1 km. Na 1 km má auto spot ebu 0,049 litru benzínu. Za 235 km tedy 11,5 litru. P i aktuální ceně benzínu bude benzín stát 420 Kč. b) Nejd íve pomocí trojčlenky vypočítáme projetý benzín: km … … … , l km … … … l Jedná se o p ímou úměrnost (kolikrát dále jedu, tolikrát více benzínu projedu), tedy ,

=

≐ , ůuto na 235 km spot ebuje 11,5 litru benzínu. Celková cena je tedy 420 Kč. P íklad 2. Jestliže jedním litrem barvy nat eme plochu 60 m  10 m, kolik litr barvy je pot eba k nat ení zdi o rozměrech a) 3m krát 5 m, b) 30 m krát 30 m? ešení: Litrem barvy nat eme plochu o velikosti 600 m2. a)

m∙ m=

barvy. b)

m∙

m=

1,5 litru barvy.

m ,

m ,

= ,

. Na zeď o rozměrech 3m  5 m pot ebujeme 25 ml

= , . Na zeď o rozměrech 30 m  30 m pot ebujeme

P íklad 3. V krabici o hmotnosti 2,25 kg je 150 šroub . Jaká je hmotnost jednoho šroubu, když hmotnost prázdné krabice je 300 g?

4


ešení: Hmotnost všech šroub bez krabice je hmotnost g: = g.

g−

g=

g. Jeden šroub má

P íklad 4. Karáskovi se rozhodli pro koupi sušičky prádla. Vybírají mezi sušičkou t ídy ů+ v ceně 13 řř0 Kč se spot ebou 2,17 kWh (udávaná spot eba za hodin provozu), nebo sušičkou t ídy B v ceně 11 4ř0 Kč se spot ebou 4,4Ř kWh. ůktuální cena elekt iny byla 4,75 Kč za kWh. Za jak dlouho se Karáskovým vrátí investice do dražší sušičky oproti levnější, budou-li sušit t ikrát týdně 1,5 hodiny? ešení: Spočítáme roční spot ebu obou sušiček. ů+: ∙ ∙ , ∙ , = , dražší sušička bude mít roční spot ebu 50Ř kWh a p i dané ceně elekt ině to činí 2 412 Kč. B: ∙ ∙ , ∙

, = , , levnější sušička má roční spot ebu 1 111,5 kWh a tomu odpovídá cena 4 980 Kč. Rozdíl v ceně za elekt inu je za jeden rok 2 56Ř Kč a tedy za 1 rok se investice vrátí. Cvičení 1. Kolik zaplatíte za 15 rohlík , stojí-li jeden rohlík 1,ř0 Kč? Cvičení 2. Zaplatila jsem 472,60 Kč v supermarketu a 6ř1,70 Kč v lékárně. Kolik peněz jsem celkem utratila? Cvičení 3. Kolik utratíte celkem, zaplatíte-li 75 cent za autobus, 3,35 eur za lístek na vlak a 9,83 eur za jízdné v taxi? Cvičení 4. Pět kilogram pomeranč stálo 147,50 Kč. Kolik stojí kilogram pomeranč ? Cvičení 5. Dvě a p l kilogram jablek stálo 63,50 Kč. Kolik stojí kilogram jablek? Cvičení 6. Kolik hodin mi bude trvat cesta dlouhá 190 km, pokud prvních 30 km pojedu rychlostí 50 km/h, 140 km pojedu rychlostí Ř0 km/h a posledních 20 km opět rychlostí 50 km/h? Cvičení 7. Pan Je ábek najezdil po městě za den 35 kilometr . Kolik zaplatil za benzín, má-li jeho auto spot ebu ve městě 7,2 l na 100 km? ůktuální cena benzínu byla 37,20 Kč za litr. Cvičení Ř. Karlova pracovní doba je osm a p l hodiny. Začal pracovat v 7 hodin dopoledne. V kolik hodin končila jeho pracovní doba? Cvičení ř. Jana odešla z domu v ř:30 dopoledne, vrátila se v 3:15 odpoledne. Kolik hodin nebyla doma? Cvičení 10. Byt má následující rozměry: kuchyně 2,2 m  3,5 m, pokoj 3,2 m  4 m, obývák 4,5 m  5,3 m, WC 1 m  1,2 m, koupelna 1,8 m  2,5 m, chodba 1,5 m  3 m. Jaká je celková výměra bytu? Výsledky cvičení: 1. 2Ř,50 Kč, 2. 1164,30 Kč, 3. 13,93 eur, 4. 2ř,50 Kč, 5. 25,40 Kč, 6. dvě a t i čtvrtě hodiny, 7. ř3,70 Kč, 8. v p l čtvrté odpoledne, 9. pět a t i čtvrtě hodiny, 10. 54,55 m2

5


Rychlé počítání účtů Cílem této lekce je pomocí zaokrouhlování desetinných čísel a komutativního zákona pro sčítání rychle vypočítat hodnotu účtu. Občas pot ebujeme v obchodě nebo restauraci rychle p ekontrolovat účet, který máme platit. Obvykle s sebou nenosíme kalkulačku, nebo je nám trapné ji použít, takže musíme počítat z hlavy. V takovém p ípadě je účelnější spíše než počítat položky odshora, začít položky seskupovat tak, aby se nám výpočet co nejlépe prováděl. Pokud nepot ebujeme znát p esnou hodnotu účtu, ale pouze orientační a p ibližnou, je vhodné také zaokrouhlovat. P íklad 5.

Vypočtěte co nejefektivněji následující účet: 12,50 17,30 22,50 9,70 13

ešení: Seskupíme desetinná čísla tak, aby výsledkem bylo číslo celé. M žeme počítat nap . takto: , + , = + = ; , + , = + = ; + = , + + = Hodnota účtu je tedy 92 Kč. P íklad 6.

Vypočtěte co nejrychleji následující účet: 25 19 12 2 . 37 5 . 26 13

ešení: Účet budeme pro co nejrychlejší výpočet počítat p ibližně. Začneme tím, co se musí násobit.

+

6

∙

∙

+

≐

≐

∙

∙

=

≐

=

=

+

=


+

Celkem

+

+

=

+

. Hodnota účtu je tedy p ibližně 265 Kč.

=

Podívejme se, jaký výsledek bychom dostali, kdybychom počítali zcela p esně. Je to 273. Dopustili jsme se chyby p ibližně 3 %. P íklad 7. V restauraci jste obdrželi následující účet. Spočítejte, kolik celkem zaplatíte, chcete-li dát spropitné 10 %. 4 . 198 4 . 27 3 . 19 35 2 . 75 42

Nejd íve p ibližně spočítáme účet: ;

+

+

+

+

+

∙

=

=

+

;

+

∙

+

=

=

; ∙

=

+

;

+

∙

=

=

. Hodnota účtu je tedy 1 1Ř7 Kč, 10 % z této částky je p ibližně 120 Kč, takové zhruba bude spropitné a celková částka bude kolem 1 300 Kč. Bude-li servírka počítat p esně, naúčtuje vám 1 1Ř4 Kč. Cvičení 11. Vypočtěte p ibližně a co nejrychleji následující účet: 9,30 18,50 42,50 31,90 11,70 17,90

Cvičení 12. Vypočtěte p ibližně a co nejrychleji následující účet z restaurace a p ipočítejte 10 % na spropitné: 2 . 146 2 . 31 2 . 36 48 3 . 33 39 25

Výsledky cvičení: 11. p ibližně 132 Kč, 12. p ibližně 710 Kč

7


Zlomky Cílem této lekce je zopakovat základní aritmetické operace se zlomky: sčítání, násobení, odčítání a dělení. Nepoužívejte kalkulačku. Výpočty m žete zapisovat na papír. P íklad Ř.

Odešel jsem z domova v 6:00 a byl jsem pryč

hodiny. V kolik hodin jsem

se vrátil? ešení:

+

, vrátil jsem se ve čtvrt na t i odpoledne.

=

P íklad ř. Ve t ídě je 27 dětí, t etina z toho jsou chlapci. Polovina dívek má doma nějaké zví e. Kolik dívek má zví e? ešení:

∙

= ,

doma nějaké zví e.

−

=

,

= . Ve t ídě je ř chlapc , 1Ř dívek, ř dívek má

∙

P íklad 10. Z 60 lidí má t etina psa, pětina kočku, dvacetina rybičky a patnáctina k ečka. Kolik lidí má nějaké zví e? ešení: M žeme postupovat tak, že sečteme všechny zlomky a výsledek potom vynásobíme číslem 60: části celku:

∙

+ +

zví e má 3ř osob.

=

+

, ∙

∙

=

=

,

∙

∙

=

= ,

∙

∙

=

. Jinou možnosti je určit všechny = ,

+

+

+

=

. Nějaké

Cvičení 13. Vypočtěte + + .

Cvičení 14. Vypočtěte ∙

.

Cvičení 15. Vypočtěte : .

Cvičení 16. Výuka začínala v p l deváté a končila ve čtvrt na t i odpoledne. Jak dlouho trvala výuka? Cvičení 17. Ji ina koupila t i a t i čtvrtě kila brambor. T etinu z toho použila na uva ení oběda. Kolik kilogram brambor Ji ina použila?

Výsledky cvičení: 13.

, 14. , 15. 6, 16. pět a t i čtvrtě hodiny, 17. použila kilo a čtvrt

brambor.

8


Procenta Cílem této lekce je ukázat základní úlohy s procenty. P íklad 11.

Svetr stál Ř50 Kč, nyní stojí 5ř0 Kč. O kolik procent byl zlevněn?

ešení: P íklad m žeme počítat trojčlenkou: …

%

… % =

≐

5ř0 Kč je p ibližně 6ř % z Ř50 Kč. Svetr byl tedy zlevněn o 31 %. P íklad 12. ešení: Kč.

,

Petrova mzda byla 17 532 Kč a byla zvýšena o 7 %. Jaká je jeho mzda nyní? ∙

P íklad 13.

≐

;

+

=

. Petrova mzda nyní je 1Ř 759

Kniha byla zlevněna o 40 % a nyní stojí 4Ř0 Kč. Kolik stála p ed slevou?

ešení: P vodní cena knihy je 100 %. Nová cena knihy, 4Ř0 Kč, je 60 %. P íklad budeme ešit pomocí trojčlenky. Kč …

Kč … =

%

%

=

Kniha stála p vodně Ř00 Kč. Prově íme, zda 320 Kč činí 40 % z 800 Kč: je tedy správný. P íklad 14.

Kolik procent z 320 korun je 80 korun?

ešení: P íklad vy ešíme jednoduše jako P íklad 15.

9

= , , výsledek

= ,

. Ř0 Kč je tedy 25 % z 320 Kč.

Měsíční hrubá mzda je 15 000 Kč. Jaká je čistá mzda?


ešení: Zdravotní pojištění činí 13,5 % z hrubé mzdy, zaměstnanec platí t etinu, tj. 4,5 %, zbytek zaměstnavatel. Sociální pojištění, které platí zaměstnanec, činí 6,5 % z hrubé mzdy. Daň 15 % ze superhrubé mzdy, tj. hrubá mzda + pojistné placené zaměstnavatelem (9 % zdravotní pojištění, 25 % sociální pojištění, dohromady 34 %). 20 100 je superhrubá mzda, daň 3 015, 1 650 je pojištění, mzda 10 335. Sleva na daňového poplatníka 24 840 za rok, tj. 2 070 měsíčně. Čistá mzda 12 405 Kč. P íklad 16. Měsíční hrubá mzda je 17 250 Kč, jaká je čistá mzda, má-li dotyčný má a) 1 dítě, b) 2 děti, c) 3 děti? ešení: Sleva na jedno dítě 13 404 Kč za rok. Odečteme-li všechny srážky, bude 15 060 Kč čistá mzda. Sleva na druhé dítě 15 804 Kč za rok, 16 177 Kč čistá mzda, sleva na 3. dítě 17 004 Kč, 17 2ř4 Kč měsíčně čistá mzda. Cvičení 1Ř. Balíček kapesníčk stojí 3,50. Kolik procent ušet ím, když se rozhodnu koupit naráz dvě balení kapesníčk , oproti tomu, kdybych je kupovala nadvakrát? Cvičení 1ř. V obchodě byla akce na džusy 1+1 zdarma. Jaká je procentuální sleva na džus? Cvičení 20. V obchodě byla akce 2+1 zdarma na oplatky. Jaká je procentuální sleva oplatek? Cvičení 21. Cena trička je 175 Kč, bylo zlevněno o 30 %. Jaká byla p vodní cena trička? Cvičení 22. P vodní cena kabátu byla 2 500 Kč. Byl nejd íve zdražen o 25 procent a potom zlevněn o 20 %. Jaká je konečná cena kabátu? Cvičení 23. Hrubá mzda je 12 3Ř5 Kč. Vypočtěte čistou mzdu. Cvičení 24. Hrubá mzda je 27 715 Kč. Vypočtěte čistou mzdu, má-li dotyčný jedno dítě. Výsledky cvičení: 18. 12,5 %, 19. p i koupi dvou džus ušet íme 50 %, 20. P i koupi t í balení oplatek ušet íme 33,3 %, 21. 250 Kč, 22. 2 500 Kč, 23. superhrubá mzda 16 5ř6 Kč, čistá mzda 10 603 Kč, 24. superhrubá mzda 37 13Ř Kč, čistá mzda 22 274 Kč

P evádění jednotek Cílem této lekce je procvičit p evádění jednotek. P íklad 17. Kolik je 17,5 metru a) kilometr , b) centimetr ?

10


ešení: a) Do jednoho kilometru se vejde 1000 metr , , m= , ∙ , , km. b) Do jednoho metru se vejde 100 centimetr , , m= , ∙ cm.

P íklad 1Ř.

Kolik decilitr je 2,5 litru?

ešení: Do jednoho litru se vejde 10 decilitr , , l = , ∙

P íklad 1ř.

km = cm =

dl =

dl.

Kolik sekund se vejde do jednoho dne?

ešení: Do 1 minuty se vejde 60 sekund, do 1 hodiny se vejde 60 minut, do jednoho dne se vejde 24 hodin. V jednom dni je tedy P íklad 20. , h = , ∙

P íklad 21.

ešení: Platí P íklad 22.

∙

∙

P eveďte 7,2 hodiny na minuty. min =

s=

s.

min.

Kolik litr má 1 metr krychlový?

l=

dm , do 1 m3 se vejde 1000 dm3, tj. 1000 litr .

ůuto jede rychlostí 50 km/h. Kolik ujede metr za sekundu?

ešení: Platí m/s = , km/h, tedy sekundu ujede 13,9 metru.

km/h =

: , m/s ≐

, m/s. Auto za

Cvičení 25. Byt má následující rozměry: Chodba 2,5 m  1,5 m, kuchyň 3 m  2,5 m, obývák 5 m  4 m, pokoj 3 m  4,2 m, záchod ř0 cm  135 cm, koupelna 2,5 m  2 m, balkon 80 cm  200 cm. Určete celkovou výměru bytu v metrech čtverečních. Cvičení 26. Máte k dispozici nádoby o následujících objemech: 1,5 l, 2 l, 1 dm3, 500 ml, 4 dl, dvě nádoby 300 ml. Vejde se vám do nich 6 litr vody? Cvičení 27. Film Pán prsten : Společenstvo Prstenu má 172 minut. Kolik je to hodin? Výsledky cvičení: 25. byt má výměru 51,7 m2, 26. celkový objem je p esně 6 litr , 27. 2 hodiny a 52 minut, tj. témě 3 hodiny

11


Práce s kalkulačkou Cílem této lekce je procvičit základní operace na kalkulačce.

Starší typ kalkulačky. Zdroj: http://www.nasepenize.cz/danova-kalkulacka-pro-vypocet-daneza-rok-2010-8297

Školní kalkulačka

Vědecká kalkulačka

12


Každá kalkulačka pracuje jinak. Jednodušší nebo starší kalkulačky nepracují se závorkami a proto je t eba dodržovat hierarchii operací: násobení a dělení má p ednost p ed sčítáním a odčítáním. Proto nap . p íklad ∙ + je t eba počítat jako ∙ + ∙ . Počítáme-li √ , obvykle je na starších kalkulačkách pot eba zmáčknout 2 a potom odmocninu, zatímco na novějších kalkulačkách je to naopak.

Školní kalkulačky mají velkou škálu funkcí, avšak je t eba se s nimi seznámit v návodu na použití pro kalkulačku. Umožňují pracovat s exponentem, logaritmem, goniometrickými funkcemi, zlomky i odmocninami, mají několik pamětí. Vědecké kalkulačky mají nejvíce funkcí, ale je také nejtěžší naučit se s nimi správně pracovat. Vypisují na displej zlomky i odmocniny, některé umí vykreslovat grafy funkcí, derivovat či integrovat funkce, pracovat s funkcemi více proměnných aj. Seznamte se se svojí kalkulačkou a počítejte následující p íklady. Pokud je pot eba, výsledky zaokrouhlujte na dvě desetinná místa. Cvičení 2Ř. Cvičení 2ř. Cvičení 30. Cvičení 31. √ Cvičení 32.

+

: + − +

3 8

− (√

+ − , + 3

Cvičení 33. , ∙

Výsledky cvičení:

3

,

∙

∙ ,

, −

+ , ∙√

)

+ , ∙

28. 39 317,01, 29. 70,94, 30. 1 283,88, 31. -0,11, 32. 0,69, 33. 2,47∙ píšeme do kalkulačky jako 1,5 EXP 1Ř

13

, číslo , ∙


Číselné ady Testy číselných ad jsou běžně používány pro personální výběr. K úspěšnému ešení p íklad s číselnými adami je t eba mít rozvinuté numerické uvažování a znát principy, na kterých jsou číselné ady založeny. Principy demonstrujeme v této kapitole, numerické uvažování je t eba rozvinout tréninkem a procvičováním.

Principy číselných ad Cílem lekce je ukázat různé principy číselných ad. P ičítání či odčítání konstantního čísla P íklad 23.

5 12 __ 26 33

ešení: Každé další číslo ady je zvětšeno vždy o 7. Na prázdné pozici je tedy 12+7=1ř. P íklad 24.

72 61 50 __ 28

ešení: Každé další číslo ady je zmenšeno o 11. Na prázdném místě je 50-11=39. P ičítání či odčítání nekonstantního čísla P íklad 25.

35 33 __ 26 21 15

ešení: Postupně se odčítají čísla 2, 3, 4, 5, 6, … Na prázdném místě je 33-3=30. P íklad 26.

3 5 9 __ 23 33

ešení: Postupně se p ičítají násobky dvou: 2, 4, 6, Ř, 10, … Na prázdném místě je ř+6=15. Uspo ádání členů ady do trojic čísel P íklad 27.

25 15 10 42 __ 26 27 7 20

ešení: Zde se používá vzorec − = . V každé trojici čísel je první číslo menšenec, duhé menšitel a t etí rozdíl. Hledané číslo je proto 16, neboť 42-16=26.

14


P íklad 2Ř.

__ 5 17 9 13 22 21 8 29

ešení: Čísla jsou opět uspo ádána do trojic podle vzorce Násobky a jiné zákonitosti P íklad 2ř.

= , tj. hledané číslo je 12.

+

1 2 6 __ 120 720

ešení: Každý člen ady je násoben konstantně se zvyšujícím násobitelem: , ∙ = , ∙ = , ∙ = . Hledané číslo je tedy 24.

P íklad 30.

= , ∙

=

3 7 15 __ 63

ešení: Každý člen ady je vynásoben dvěma a výsledek poté zvětšen o 1. + = , ∙ + = , ∙ + = . Hledané číslo je tedy 31.

P íklad 31.

∙

∙ +

= , ∙

3 15 5 6 __ 12 4 20

ešení: Zde si musíme všímat prvního a posledního čísla, druhého a p edposledního, atd. Jejich součin totiž vždy dává 60: ∙ = ∙ = ∙ = . Hledané číslo je tedy 10. Dvě do sebe vno ené ady P íklad 32.

18 5 17 8 15 11 12 __ 8 17 __

ešení: Zde máme dvě ady. Čísla obou ad se st ídají a pravidla se liší pro obě ady. −

=

+

,

−

=

= , +

=

,

První hledané číslo je proto 14 a druhé je 3.

,

−

=

+

=

,

,

−

= , −

+

=

=

Jistě by se dalo vymyslet nespočetné množství dalších pravidel pro ady, některá snadnější a některá velmi náročná. Základní a často užívané principy však byly popsány.

15


P íklady k procvičení Cílem této lekce je procvičit poznávání principů v číselných adách. V následujících p íkladech určete chybějící číslo nebo čísla v číselných adách. Cvičení 34. 4 17 30 __ 56 69 Cvičení 35. 5 10 4 11 3 __ 2 13 __ Cvičení 36. 1 5 14 30 __ Cvičení 37. 6 8 12 20 36 __ Cvičení 3Ř. __ 5 2 15 7 8 37 12 __ Cvičení 3ř. 12 3 24 __ 1 2 16 4 Cvičení 40. 7 13 25 49 __ Cvičení 41. 49 36 25 __ 9 Cvičení 42. 616 56 743 33 216 __ 414 34 Cvičení 43. 193 22 318 39 327 __ 506 56 Cvičení 44. 792 324 713 __ 589 121 Cvičení 45. 290 12 287 16 282 23 275 __ 262 46 __ Výsledky cvičení: 34. 43, 35. 12, 1, 36. 55 ( + = , + = , atd.), 37. 68, 38. 7, 25, 39. 48 (součin prvního a posledního čísla je 4Ř, atd.), 40. 97, 41. 16 (klesající druhé mocniny), 42. 16 (u každého čísla na liché pozici odečteme druhou cifru od první, poslední cifra se opíše, nap . pro číslo 616 platí 6-1=5, následující číslo je 56), 43. 39 (193: 9+3=12, 10+12=22, atd.), 44. 200 (součet prvního a posledního čísla je ř13, atd.), 45. 33, 251 (dvě ady, v první odčítáme (2n+1), v druhé p ičítáme (3n+1), n=1, 2, 3, …)

16


Cestování Výměna peněz Cílem této lekce je:  

orientovat se v kurzovním lístku, počítat v cizí měně.

Česká spo itelna měla dne 20. 12. 2014 na svých webových stránkách následující kurzovní lístek: Ze ě

Jednotka

Mě a

Z ě a [%]

Devizy

Nákup

Valuty

Prodej

Střed

Nákup Prodej Střed

Austrálie

1 AUD

1,41 +

17,983 18,792

18,388

Bulharsko

1 BGN

0,02 +

13,809

14,43

14,119 -

Kanada

1 CAD

1,6 +

18,919

19,77

19,344

18,76

19,92 19,344

Švýcarsko

1 CHF

-0,33 -

22,413 23,421

22,917

22,3

23,54 22,917

Dá sko

1 DKK

0 =

3,793

3,711

3,6

3,82

3,711

EU

1 EUR

0 =

27,003 28,217

27,61

26,92

28,3

27,61

Velká Britá ie

1 GBP

1,01 +

34,392 35,939

35,165

34,22

Chorvatsko

1 HRK

0 =

3,521

3,679

3,6

3,51

3,71

3,6

Maďarsko

100 HUF

-0,16 -

8,569

8,955

8,762

8,54

9,02

8,762

Japonsko

100 JPY

-0,34 -

18,45

19,28

18,865

18,3

Litva

1 LTL

0 =

7,82

8,172

Norsko

1 NOK

2,21 +

2,985

3,12

3,052

2,96

3,14

3,052

Polsko

1 PLN

-0,43 -

6,355

6,641

6,498

6,32

6,67

6,498

Rumunsko

1 RON

0,11 +

6,039

6,311

6,175 -

-

-

100 RUB

6,18 +

36,435 38,074

37,254 -

-

-

Švédsko

1 SEK

0,41 +

Tunisko

1 TND

0,52 +

Turecko

1 TRY

2,36 +

USA

1 USD

1,45 +

Rusko

3,63

2,855

2,984

11,797 12,328 9,472

9,898

21,985 22,974

17,84 -

7,996 -

2,92

18,94 18,388 -

36,11 35,165

19,43 18,865 -

2,83

-

3,01

2,92

12,063 -

-

-

9,685 -

-

-

22,479

21,87

23,09 22,479

Devizami rozumíme peněžní prost edky v cizí měně v bezhotovostní podobě. Valutami se rozumí cizí měna v hotovosti, tedy bankovky a mince.

17


P íklad 33. Z kurzovního lístku zjistěte následující informace: a) Pot ebujete nakoupit 300 EUR. Kolik korun to bude stát? b) Pot ebujete 300 EUR vyměnit za koruny. Kolik korun dostanete? c) Koupili jste v polském internetovém obchodě elektroniku za 750 zlotých. Kolik musíte poslat korun (internetovým bankovnictvím nebo bankovním p evodem)? d) Kolik dnes zaplatíte za 200 dolar ? Kolik byste zaplatili o den d íve? e) Pot ebujete koupit 6 000 forint . Kolik za to zaplatíte korun? Kolik byste zaplatili o den d íve? ešení: a) Euro v hotovosti se prodává za 2Ř,3 Kč. 300 EUR bude stát Ř 4ř0 Kč. b) Euro v hotovosti se nakupuje za 26,ř2 Kč. Za 300 EUR dostanete 8 076 Kč. c) Na bezhotovostní platební styk se použije devizový kurz. Kurz prodeje zlotých v devizách je 6,641. Do internetového obchodu musíte poslat 4 řŘ0,75 Kč. d) Kurz prodeje v hotovosti je 23,0ř, za 200 dolar tedy zaplatíte 4 61Ř Kč. Od p edešlého dne kurz vzrostl o 1,45 %. , ……… , % ………… % Jedná se o p ímou úměrnost, proto

=

,

,

=

∙

,

,

≐ , O den d íve byste tedy zaplatili , ∙ Kč, tedy 4 552 Kč. e) Podle kurzovního lístku 100 forint stojí ř,02 korun. Za 6 000 forint zaplatíme = ,

∙

=

541 Kč. Forint oslabil o 0,16 %. Vypočítáme, kolik by stálo 6 000 forint o den d íve: , ……… , % ………… % = ,

O den d íve byste tedy zaplatili 542 Kč.

∙

,

= ,

Následující p íklady počítejte bez kalkulačky, výpočty m žete zapisovat na papír. Cvičení 46. Kolik zaplatím celkem za osm bochník chleba, stojí-li jeden bochník 54 eurocent ?

18


Cvičení 47. Karton mléka obsahuje osm lahví a stojí čty i eura. Kolik stojí pět lahví mléka? Cvičení 4Ř. Moje sestra vydělává na Slovensku 1Ř0 eur týdně. Bude jí zvýšen plat o 5 %. Jaká bude její nová týdenní mzda? Cvičení 4ř. Zjistili jste, že noc v norském kempu stojí 120 až 1Ř0 norských korun. V Norsku budete pod stanem nocovat 7 nocí. Kolik si musíte vyměnit českých korun, abyste pokryli ubytování v Norsku? Cvičení 50. Cestovní kancelá uvádí srovnávací tabulku cen pro zimní dovolenou v ůlpách. Ceny jsou za osobu p i obsazení čty l žkového pokoje čty mi osobami na 7 nocí s polopenzí, šestidenní skipas. KM Z PRAHY KM SJEZDOVEK

STŘEDISKO 20.12. 27.12. 03.01. 10.01. 17.01. 24.01. 31.01. 07.02. 27.12. 03.01. 10.01. 17.01. 24.01. 31.01. 07.02. 14.02.

1170

250

ALPE D´HUEZ 10890 13590 7490 7290 7090 7090 7490 12290

1170

250

ALPE D´HUEZ - OZ 9890 11690 7390 7390 7390 7690 8090 11590

1170

250 ALPE D´HUEZ - AURIS 9590 11690 7290 7290 7290 7690 7990 11690

1120

200/425

LES ARCS 9690 10690 7790 7790 7790 8390 8390 10590

980

650

AVORIAZ 11390 12790 9590 9590 9590 9990 9990 11690

Vybrali jste si st edisko ůvoriaz, máte možnost jet v termínech 3. 1. – 10. 1. nebo 7. 2. – 14. 2. Týkají se vás následující slevy: 1) Sleva za včasné objednání 15 %. 2) Sleva na 1. dítě 50 %, sleva na 2. dítě 20 %. 3) 350 Kč na osobu p i celkové ceně zájezdu nad 15 000, 300 Kč na osobu p i celkové ceně zájezdu 10 000 – 14 řřř Kč, 200 Kč/os p i celkové ceně zájezdu 5000 – 9 999 Kč (platí pro osoby, které s cestovní kancelá í jedou alespoň t etí sezónu) Jaká bude cena každého z těchto dvou zájezd ? Na obědy počítáte 20 EUR na den. Kolik korun musíte vyměnit na obědy? Výsledky cvičení: 46. 4 EUR a 32 cent , 47. 2 EUR 50 cent , 48. 189 EUR, 49. ∙ , ∙ = korun (liší se podle aktuálního kurzu), 50. První termín: cena p ed slevami 27 332 Kč, po slevách 21 Ř32 Kč. Druhý termín: cena p ed slevami 3Ř 577 Kč, po slevách 31 3ř1 Kč. Ne obědy bude pot eba vyměnit 3 3ř6 Kč (podle kurzu v tabulce).

19


Jízda autem Cílem této lekce je procvičit výpočty, které provádíme p i cestování autem. P íklad 34. Auto má spot ebu 5,3 l na 100 km p i jízdě po dálnici. Jaká bude cena benzínu na 317 km dlouhé cestě po dálnici? ůktuální cena benzínu byla 31,20 Kč za 1 litr. ešení: Ukážeme dva možné zp soby ešení: c) Spot ebu p epočítáme na 1 km. Na 1 km má auto spot ebu 0,053 litru benzínu. Za 317 km tedy 16,Ř litru. P i aktuální ceně benzínu bude cesta stát 524 Kč. d) Nejd íve pomocí trojčlenky vypočítáme spot ebu benzínu: km … … … , l km … … … l Jedná se o p ímou úměrnost (kolikrát více km ujedu, tolikrát více benzínu spot ebuji), tedy ,

=

≐ , ůuto na 317 km spot ebuje 16,Ř litru benzínu. Celková cena je tedy 524 Kč. P íklad 35. Jízdenka na autobus z Brna do Prahy stojí 210 Kč. Za jízdenky v Brně a Praze zaplatíte dalších asi 50 Kč. Cesta autem by byla 204 km dlouhá, z toho 25 km po městě a 17ř km po dálnici. ůuto má spot ebu 4,5 l/100 km po dálnici a 5,Ř l/ 100 km ve městě. ůktuální cena benzínu byla 36,50 Kč. Vypočítejte cenu za cestu autobusem a za cestu autem p i počtu osob 1 – 4. Kdy se vyplatí jet autobusem a kdy autem? ešení: Pro cestu autobusem vytvo íme následující tabulku: Počet osob

Cena za autobus / Kč

Cena za MHD / Kč

Celkem / Kč

1

210

50

260

2

420

100

520

3

630

150

780

4

840

200

1 040

Cesta autem: Po dálnici je cena za benzín , ∙ , ∙ , Kč, tedy 2ř4 Kč. Ve městě je to , ∙ , ∙ , Kč = ř2 Kč. Celkově je cena za benzín 3Ř6 Kč.

Pokud chceme zjistit, kdy se vyplatí cesta autem, musíme uvažovat ještě další výdaje: dálniční známka, opot ebení vozidla, atd. Náklady na kilometr jízdy osobním vozidlem se aktuálně počítají na 3,70 Kč (náklady na konkrétní auto lze určit pomocí internetových kalkulaček). Potom vyjde cesta z Brna do Prahy autem na 754,Ř0 Kč. V tom p ípadě se

20


vyplatí jet autem až od 3 osob. Z ejmě ale bude pot eba ešit také parkování v Praze a tím se m že částka ještě navýšit. P íklad 36. Rodina jela autem lyžovat do italských Dolomit. P i p ejezdu mezi Rakouskem a Itálií měli možnost jet po Brennerském mostě. Zjistili si následující údaje. Mýtné na Brennerském mostě činilo ř EUR, zatímco mýtné na okresních silnicích 3 EUR. Dále věděli, že benzinky na vesnici jsou podstatně levnější než na dálnici – aktuální cena na vesnické bezince byla 1,10ř EUR a na dálnici 1,46ř EUR. Kolik korun celkově ušet ili, natankovali-li ve vesnici 35 litr benzínu? ůktuální kurz byl 2Ř,10 Kč za EUR. ešení: Za benzín zaplatili ∙ , ∙ , Kč = ,

∙ , ∙ , Kč = , Kč, na dálnici by platili Kč. Na mýtném ušet ili 16Ř,60 Kč, celkově tedy 522,70 Kč.

Cvičení 51. Nádrž auta byla z jedné t etiny plná. ůby byla nádrž plná, bylo pot eba natankovat 30 litr benzínu. Jaký byl objem nádrže? Cvičení 52. Pan Ková jel 25 kilometr po městě a 210 kilometr po dálnici. Spot eba jeho auta je 5,2 l na 100 km po dálnici a 6,5 l na 100 km ve městě. Kolik zaplatil za benzín, když litr benzínu stál 32,Ř0 Kč? Cvičení 53. Cena benzínu na dálnici v Rakousku byla 1,435 EUR za 1 litr. Kolik korun ušet il idič, který sjel z dálnici na okresní silnici a natankoval 40 litr benzínu za 1,106 EUR za litr? (Počítejte s kurzem 27,70 Kč za EUR.)

Výsledky cvičení: 51. 45 litr , 52. 411 Kč, 53. 364,50 Kč

21


Ubytování Cílem této lekce je orientovat se v nabídce ubytování. P íklad 37.

Kemp U ztroskotané loďky měl následující ceník: Hlavní sezona

Mimo sezonu

1. 7. – 31. 8.

1. 5. – 30. 6., 1. 9. – 30. 9.

Osoba starší 15 let

75 Kč

55 Kč

Osoba mladší 15 let

50 Kč

35 Kč

Stan do 4 m2

Ř0 Kč

60 Kč

Stan nad 4 m

ř5 Kč

75 Kč

Auto

45 Kč

35 Kč

Karavan

105 Kč

Ř5 Kč

2

Jakou cenu zaplatí rodina se dvěma dospělými osobami, t emi dětmi 7, ř a 15 let, autem a stanem 6 m2 p i týdenním pobytu (7 nocí) první týden v srpnu? ešení: Dospělé osoby: dítě 15 let: ∙ Kč = 3 255 Kč.

∙ ∙ Kč = Kč, stan: ∙

Kč, dvě děti do 15 let: ∙ ∙ Kč = Kč, auto: ∙ Kč =

Kč = Kč, Kč, celkem

P íklad 3Ř. Wellness hotel měl následující ceník za noc s bohatou snídaní, vstupem do fitness a do wellness: Jednol žkový pokoj

1 4ř0 Kč

Dvoul žkový pokoj

1 Řř0 Kč

ůpartmá pro 2 osoby

2 250 Kč

Rodinný apartmán pro 4 osoby

2 ř30 Kč

P istýlka

430 Kč

S klubovou kartou 10 % sleva. Kolik korun zaplatí dvě rodiny, jedna t íčlenná a druhá pětičlenná, za 3 noci v hotelu, jestliže pětičlenná rodina má klubovou kartu?

22


ešení: (

T íčlenná

+

)=

rodina:

∙(

+

, celkem 16 032 Kč.

,

)=

pětičlenná

rodina:

∙ , ∙

Cvičení 54. Na slevovém portálu byla nabídka ubytování v hotelu se 40% slevou na ubytování. Plná cena čty l žkového pokoje je 1 Ř70 Kč. Snídaně stojí 120 Kč, dětská porce činí 60 % ceny. Kolik korun zaplatí rodina se dvěma dětmi za 4 noci se snídaní? Cvičení 55. Hotel v Bratislavě měl následující ceník: Pokoj

Cena

Pokoj obsazený 2 osobami

Pokoj obsazený 1 osobou

Jednol žkový

21 €

-

21 €

Dvojl žkový

34 €

34 €

25 €

T íl žkový

42 €

37 €

2ř €

ůpartmán 1-l žkový

40 €

-

40 €

ůpartmán 2-l žkový

51 €

51 €

51 €

Ceny jsou uvedené za noc, bez DPH 20 %, bez snídaně a neobsahují městský poplatek 1,65 €/osoba/noc. Jaká je nejlevnější varianta pro 4 osoby? Kolik euro zaplatí za 2 noci? Výsledky cvičení: 54. 4 Ř72 Kč, 55. t íl žkový a jednol žkový pokoj, cena 157,Ř0 € s DPH a poplatkem

23


Finance Druhy úvěrů Cílem této lekce je zorientovat se v základní klasifikaci úvěrů. Úvěry m žeme dělit podle r zných kritérií. Kategorizace budeme brát z pohledu klienta. Prvním kritériem je, od koho si peníze p jčíme. Podle toho dělíme úvěry na   

bankovní, nebankovní, nebankovní neznačkové.

V p ípadě bankovních úvěr se zpravidla setkáváme s náročnějšími podmínkami pro jejich získání, na druhou stranu zpravidla dostaneme výhodnější a také serióznější podmínky pro splácení úvěru. Oproti tomu nebankovní úvěry bývá snazší získat a jejich úročení bývá v pr měru vyšší než úrok bankovní. U nebankovních neznačkových úvěr se m žeme setkat s neseriózním jednáním, vysokými vstupními poplatky, vysokým úročením, vysokými sankcemi za nesplácení. Velice často se m že jednat až o lichvu. Jedná se často o nabídky vylepené na sloupech, reklamních plochách, inzertních novinách, apod. Podle účelovosti dělíme dále úvěry na  

účelové, neúčelové.

Účelové úvěry mívají nižší úrok, ale instituce vyžadují od klient doklad, prokazující použití peněz. M že se jednat o úvěry na koupi automobilu nebo na investici do bydlení. Peníze z neúčelových úvěr m že klient využít libovolně, ale mívají vyšší úrok. Pat í sem kreditní karty, kontokorent, spot ebitelské úvěry. Podle délky splatnosti dělíme úvěry na   

krátkodobé, st ednědobé, dlouhodobé.

Krátkodobé jsou úvěry se splatností do 1 roku, st ednědobé od 1 zhruba do 4 let, dlouhodobé od 5 let déle. Čím delší je splatnost úvěru, tím je nižší úrok, nicméně celková cena p jčky je vyšší, což je dáno delší dobou splácení. Podle zajištění dělíme úvěry na  

nezajištěné, zajištěné.

Čím vyšší je p jčená částka, tím vyšší míru zajištění obvykle instituce vyžadují. Jako zajištění m že sloužit nemovitost (byt, d m, pozemek), automobil, nebo jakákoli jiná věc. U

24


nezajištěných úvěr není t eba ničím ručit, poskytují se však na nižší částky, p ípadně klient m s dobrou schopností splácet. Úroková sazba se vždy vztahuje k určitému období. Nejčastěji se jedná o roční úrokovou sazbu, která je vyjád ená zkratkou p. a. (z latinského per anum). Je však možné se setkat i s jiným označením úrokových sazeb, nap . p. s. (per semestrum, pololetně), p. m. (per mensem, měsíčně) nebo p. d. (per dies, denně). S měsíčním nebo kratším vyjád ením úrokové sazby se m žeme setkat zejména u nebankovních společností. Klient musí věnovat pozornost tomuto označení, úvěr by se mu totiž mohl po ádně prodražit.

Nebankovní úvěr Cílem této lekce je ukázat, jak se lze orientovat v nebankovních úvěrech. Nebankovní p jčky bývají velkým lákadlem pro osoby s nižšími p íjmy či ve finanční tísni. Obvykle totiž nevyžadují potvrzení p íjm ani finanční situaci jedince (zadlužení). Cenou za tuto „výhodu“ je vysoká úroková sazba těchto p jček, nez ídka vysoké poplatky za p jčku, nevýhodně časté splácení (týdenní), tvrdé sankce za nezaplacení splátky a penalizace za p edčasné splacení. Tyto podmínky velmi komplikují situaci člověka, který si pot ebuje peníze p jčit. Měl by proto velmi dob e zvážit, zda je jeho finanční situace skutečně vhodná pro nebankovní úvěr. Jako mě ítko výhodnosti p jčky bývá uváděno RPSN. To v sobě obsahuje všechny parametry úvěru. Bohužel však jeho výpočet je natolik složitý, že laik jej prakticky není schopen provést. Musí se rozhodovat podle jiných informací, které je schopen posoudit. P íklad 3ř.

V obchodním domě byla reklama na p jčku: Půjčete si u nás 60 000,- Kč! Zaplatíte pouze 1 600,- Kč za měsíc, doba splatnosti 48 měsíců.

Odpovězte na následující otázky: a) Kolik let budete splácet? b) Kolik peněz p eplatíte? ešení: a) Rok má 12 měsíc , b) Celkem zaplatíte Kč=16 Ř00 Kč.

25

: ∙

= , splácet budete 4 roky. Kč, což je 76 Ř00 Kč. P eplatíte (76 800 – 60 000)


P íklad 40. Rozhodněte, ve kterých p ípadech je p edcházející p jčka vhodná a ve kterých nevhodná: a) Je p ed Vánocemi. Část p jčky využijete na dárky a část na zimní dovolenou. b) Máte minimální mzdu, další p jčky a žádná banka vám nep jčí. c) Máte mzdu 15 000 Kč hrubého, žádné další p jčky a polámala se vám pračka, děti pot ebují počítač a telefon. d) Máte mzdu 25 000 Kč a chtěli byste si koupit kuchyňskou linku, kterou mají právě v obchodním domě ve slevě. ešení: a) Za rok budou znovu Vánoce a pravděpodobně budete také chtít jet na dovolenou. P jčku však budete splácet 4 roky. V tomto p ípadě je p jčka velmi nevhodná. b) To, že vám nechce p jčit žádná banka, je velké výstražné znamení. Pokud se nechcete dostat do dluhové pasti, žádné peníze si nep jčujte. Pokud jste v tíživé situaci, zkuste požádat o pomoc někoho z rodiny. Jestliže ani tato možnost neexistuje, obraťte se na nezávislého finančního poradce, který vám pom že situaci vy ešit. c) P jčku byste z ejmě zvládali splácet a máte vážný d vod si p jčit. I v tomto p ípadě by však bylo vhodné zjistit, zda by vám někde neposkytli výhodnější p jčku. d) Pokud nemáte další dluhy, jistě vám p jčí i banka. Nenechte se zlákat slevou linky a nabídkou p jčky. P íklad 41.

Na zastávce MHD visel papírek s následující reklamou: Požádejte si o půjčku

do výše 80 000,- Kč Podmínky půjčky: Zaplatíte pouze 108,- Kč měsíčně za každých zapůjčených 1000,- Kč. Splatné ve 12 měsíčních splátkách o stejné výši.

Pot ebujete si p jčit 72 000,- Kč. Kolik korun p eplatíte? Určete úrokovou sazbu úvěru. ešení: Tato nebankovní p jčka má matoucí reklamu. Nejd íve je t eba si uvědomit, že každý měsíc zaplatíte ∙ Kč, tj. 7776 Kč každý měsíc. Za rok je to tedy ∙ Kč = 93 312 Kč. P eplatíte 21 312 Kč.

Z p eplatku vypočítáme také úrokovou sazbu. Výpočet m žeme provést pomocí trojčlenky: ………

……… %

26

%


= Úroková sazba je tedy 29,6 %. P íklad 42.

=

,

V jaké životní situaci by bylo vhodné si peníze takto p jčovat?

ešení: P eplatek této p jčky je relativně p ijatelný. Na trhu se m žeme setkat i s vyššími p eplatky. Měsíční splátka je však značně vysoká. Pokud by dlužník měl opravdu možnost splácet měsíčně témě Ř000 Kč, raději by měl využít bankovní instituci, kde by dostal lepší podmínky p jčky.

Bankovní úvěr Banka má vyšší nároky na klienta než nebankovní společnosti. Od klienta obvykle požaduje:  

doložení p íjm , doložení, zda je klient zaměstnán na dobu neurčitou, dobu určitou, či jinak.

Banka nep jčí klientovi, který je ve zkušební či výpovědní lh tě. Dále si prově í v registrech informace o dalších klientových p jčkách. Je z ejmé, že banka nep jčí každému, kdo si o p jčku požádá. Z tohoto d vodu má banka větší jistotu, že klient bude schopen úvěr splácet a poskytne klient m výhodnější podmínky pro splácení než nebankovní společnost. Podmínkou většiny bankovních úvěr je vedení běžného účtu u dané banky. Tím banky chtějí docílit toho, aby jejich klienti si p jčovali peníze u nich. Pokud klient u banky nemá z ízený účet, měl by si propočítat měsíční náklady za běžný účet, aby se mu p jčka vyplatila. Banky často nabízejí možnost z ídit si k úvěru pojištění. To v sobě nejčastěji zahrnuje pojištění pracovní neschopnosti (během ní platí pojišťovna bance celou měsíční splátku), invaliditu III. stupně (ta je definována poklesem pracovní schopnosti o více než 75 %), úmrtí (v tom p ípadě se splatí celý úvěr). V dražší variantě pojištění bývá i ztráta zaměstnání. V tom p ípadě si klient musí dob e prostudovat podmínky pojišťovny – pracovní neschopnost se často proplácí až od 60. dne, v p ípadě ztráty zaměstnání musí být klient určitou dobu evidován na ú adu práce, aby se splátky začaly proplácet, apod. Pojištění úvěru je však poměrně drahé, a pokud by si klient sjednal úrazové pojištění se stejnými podmínkami (nevázané na úvěr), zaplatil by asi méně. Pouze v p ípadě, že je klient nějak znevýhodněn (nemoc, rizikové povolání, aj.) a běžná pojišťovna jej nechce pojistit, je vhodné o pojištění úvěru uvažovat.

27


P íklad 43. Paní Slavíčková si chce u banky p jčit 60 000 Kč. Splácet m že maximálně 2000 Kč měsíčně. Dostala dvě nabídky od bank ů a B. Nabídka od banky ů je: měsíční splátka 1 76Ř Kč po dobu 40 měsíc , nutnou podmínkou je vedení běžného účtu za 130 Kč měsíčně a vy ízení úvěru stojí 1 500 Kč. Nabídka od banky B: měsíční splátka 1 ř33 Kč po dobu 3Ř měsíc , poplatek za sjednání řř0 Kč. Kterou banku by si měla paní Slavíčková vybrat, aby byly její celkové náklady nejnižší: ešení: Banka A: (

+

)∙

. Výhodnější je nabídka banky B.

+

=

, banka B:

∙

+

=

Cvičení 56. Pan Jaroš chce porovnat dvě nabídky u stejné banky. Chce si p jčit bezúčelový úvěr na vybavení svého bytu ve výši 100 000 Kč. Spočítal si, že m že splácet nejvýše 2 000 Kč měsíčně. V televizi byla reklama na bonus za ádné splácení úvěru. Úroková sazba s bonusem je ř,řř %. Měsíční splátka je 1 732 Kč. Na pobočce se dověděl, že pro získání těchto podmínek by úvěr musel splácet ř6 měsíc a bonus ve výši 20 % (z p jčené částky) by dostal po zaplacení poslední splátky. Na internetu si našel, že by mohl také splácet 2 002 po dobu 76 měsíc , ale bonus by měl pouze 10 % (z p jčené částky) a úrok 11,44 %. Která varianta je pro něj levnější? Cvičení 57. Banka nabízí akční úvěr ve výši 150 000 Kč s měsíční splátkou 2 ŘŘř Kč. Délka úvěru je 7 let. Jednorázový poplatek za zpracování úvěru je 1 500 Kč. K úvěru nabízí mimo ádnou nabídku, že za každou ádně uhrazenou splátku p ipíše 5 % z její výše na speciální spo icí účet. Kolik klient celkově zaplatí? (Neuvažujeme úrok na spo icím účtu.) Výsledek cvičení: 56. Varianta, která mu byla nabídnuta na pobočce, by stála 146 272 Kč, varianta, kterou našel na internetu, 142 152 Kč. 57. 232 042 Kč

Výpočet RPSN Cílem této lekce je ukázat, podle čeho je možno vypočítat RPSN p jčky. Roční procentní sazba náklad (RPSN) na spot ebitelský úvěr je jeden z ukazatel , který vypovídá o úrovni platebních podmínek úvěru. Prost ednictvím RPSN lze posoudit nákladovost spot ebitelského úvěru. Dva r zné úvěry mohou mít stejnou úrokovou sazbu, ale p itom nemusí mít stejné RPSN. Na hodnotu RPSN má vliv:   

výše úvěru a zp sob jeho čerpání, výše veškerých plateb (náklad ) spojených s poskytnutím spot ebitelského úvěru, okamžiky, kdy jsou tyto jednotlivé platby placeny.

Hodnotu RPSN je možno počítat pomocí vzorce

28


�

=∑ =

�

+�

�

,

kde je výše poskytnutého úvěru, � je pravidelná splátka, � je RPSN, splátek.

celkový počet

P íklad 44. Uvažujme p jčku ve výši 100 000 Kč na jeden rok, jestliže vě iteli zaplatíme a) za rok 110 000 Kč, b) vždy po p l roce 55 000 Kč, c) vždy po čtvrt roce 27 500 Kč a poplatek za p jčku činí 1000 Kč. ešení: a) V tomto p ípadě je částka splacena jednorázově pomocí jedné splátky. Výpočet RPSN je následující:

Odtud není obtížné vyjád it � =

−

b) V druhém p ípadě počítáme RPSN takto:

=

+�

= , . RPSN je tedy 10 % p. a.

=

+�

+

+�

Již v tomto p ípadě vidíme, že vyjád it neznámou � je prakticky nemožné a k výpočtu je nutné použít finanční kalkulačku, kterou lze snadno najít na internetu. Výpočet RPSN na www.penize.cz: Výše úvěru

100 000 Kč

Perioda splátek

pololetně

Počet splátek

2

Výše splátky

55 000 Kč

Poplatek za uzav ení smlouvy

0 Kč

Jiné pravidelné náklady spojené s čerpáním úvěru

0 Kč

RPSN

13,6 %

Celkem zaplatíte

110 000 Kč

Kalkulačka nám vypočítala, že RPSN nyní činí 13,6 % p. a. Sice jsme zaplatili stejnou částku jako v p edchozí variantě, a to 110 000 Kč, ale o výši RPSN rozhodl počet splátek. Tím, že je

29


splátek více a část p jčky tak splatíme d íve než na konci roku, je p jčka pro dlužníka méně výhodná. c) Pomocí finanční kalkulačky lze spočítat, že RPSN v tomto p ípadě činí 18,6 % Výše úvěru

100 000 Kč

Perioda splátek

čtvrtletně

Počet splátek

4

Výše splátky

27 500 Kč

Poplatek za uzav ení smlouvy

1000 Kč

Jiné pravidelné náklady spojené s čerpáním úvěru

0 Kč

RPSN

18,6 %

Celkem zaplatíte

111 000 Kč

P jčku znevýhodnily častější splátky a poplatek za uzav ení smlouvy. P íklad 45. Paní Ondrušková je matka samoživitelka. Jednoho dne p išel její dvacetiletý syn s velkou novinkou – musí se ženit. Paní Ondrušková s takovou situací v bec nepočítala a neměla na synovu svatbu nic našet eno. V televizi viděla lákavou reklamu na rychlou p jčku u nebankovní společnosti bez doložení p íjm . Paní Ondrušková si p jčila 40 000 Kč a p jčka měla následující parametry: délka splácení: 45 týdn , týdenní splátka: 1116 Kč, úrok: 20,11 % p. a., administrativní poplatky: 6400 Kč, úrok: 3Ř15 Kč, RPSN: 70,ř6 %, celkem: 50 215 Kč. Zodpovězte následující otázky: a) Kolik měsíc paní Ondrušková splácela úvěr? b) Kolik činila měsíční splátka? c) Co zp sobilo vysoké RPSN? ešení: a) Délka splácení byla 315 dn . Pokud budeme uvažovat, že měsíc má 30 dn , splácela 10,5 měsíce. b) Pokud uvažujeme, že měsíc má 30 dn , má měsíc potom činí p ibližně 4 7Ř2 Kč.

:

= ,

týdn a měsíční splátka

c) Vysoké RPSN bylo zp sobeno týdenními splátkami a vysokými administrativními poplatky.

Hypotéky P íklad 46. Hypoteční úvěr na 1 000 000 Kč s délkou splatnosti 30 let má úrokovou sazbu 1,7ř %. Měsíční splátka činí 3 5ř3 Kč. Podmínkou je jednorázové pojištění

30


schopnosti splácet za 30 000 Kč, pojistka trvá 5 let. Jestliže se rozhodneme dále pojištění neplatit, zvýší se měsíční splátka na 3 Ř04 Kč. Vypočítejte celkové náklady na úvěr. ešení: Jestliže se rozhodneme pojištění si prodloužit na celou dobu splácení, zaplatíme za 30 let letech

Kč ∙

dále

∙

+ ∙

neplatit,

Kč. Pokud se rozhodneme pojištění po 5

=

zaplatíme

∙

∙

Kč +

Kč +

∙

∙

Kč =

Kč. Musíme si ale uvědomit, že v p ípadě nap . invalidity, p i které dojde ke snížení p íjm dlužníka, musí klient nadále platit měsíční splátky. Pokud má však jiné pojištění na invaliditu, pojišťovna zbývající dlužnou částku vyplatí bance.

P íklad 47. Vypočítejte měsíční splátku u hypotečního úvěru ve výši 1 500 000 Kč, který má být splacen za 25 let p i úrokové sazbě 2,5 %. ešení: Výši měsíční splátky neboli anuity, m žeme vypočítat podle vzorce � �= ∙ �, − +� kde � je výše anuity, je výše úvěru, � je úroková sazba a je počet úrokových období. Protože budeme splácet měsíčně, úrokové období je 1 měsíc a = ∙ = . Rovněž úrokovou sazbu musíme p epočítat na měsíc, tj. � = , : ≐ , (procenta p evedeme na desetinné číslo, ve vzorci se úroková sazba nevyjad uje v procentech, ale jako relativní vyjád ení). Nyní m žeme dosadit: �=

Měsíční splátka bude 6 744 Kč.

∙

−

,

+ ,

≐

Na internetu lze najít velké množství hypotečních kalkulaček, které ze zadaných údaj vypočítají výšku měsíční splátky. Cvičení 5Ř. Mladý pár se rozhodl koupit d m v hodnotě 4 000 000 Kč. 450 000 Kč mají našet eno ze stavebního spo ení, zbytek si musí p jčit. Banka jim nabídla hypotéku s měsíční splátkou 13 661 Kč na dobu 30 let. Kolik bance zaplatí na úrocích? Cvičení 5ř. Sýkorovi se stěhují do většího bytu. Za p vodní byt získali 2 320 000 Kč, nový byt stojí 3 790 000 Kč. Chtějí si vzít hypotéku s úrokem 2,3 % na 20 let. Jaká bude jejich měsíční splátka? Výsledky cvičení: 58. 1 367 ř60 Kč, 59. 7 647 Kč

31


Leasing P íklad 4Ř. Chci si koupit auto v bazaru za 350 000 Kč. Pot ebuji využít úvěr. V bazaru dostanu nabídku na financování leasingem za těchto podmínek: akontace 10 % z ceny vozu, po dobu 50 měsíc budu platit 7 5Ř4 Kč. Chci se ujistit, zda by mi banka nenabídla levnější úvěr. V bance mi nabídli úvěr na 315 000 Kč s délkou splatnosti 50 měsíc a měsíční splátkou 7 715 Kč. Vypočtěte, která varianta je pro mě výhodnější. ešení: Leasing: + ∙ mě tedy leasing.

=

+

∙

, za leasing zaplatím 414 200 Kč. Banka:

=

. Za úvěr v bance zaplatím 420 750 Kč. Výhodnější je pro

Cvičení 60. Cena auta je 599 ř00 Kč. ůkontace činí 15 % z ceny vozu, doba splácení je 7 let. Měsíční splátka je 7 776 Kč. Kolik celkově za auto zaplatím a kolik korun p eplatím na úvěru? Výsledek cvičení: 60. výše úvěru: 50ř ř15 Kč, celková částka za úvěr: 653 1Ř4 Kč, celková cena za auto: 743 16ř Kč, p eplatek na úvěru: 143 26ř Kč

Spo ení P íklad 4ř. Vypočítejte, kolik peněz naspo íme jednoduchým úročením za dobu 5 let, je-li počáteční kapitál 30 000 Kč a roční úroková sazba 5 %.

ešení: U jednoduchého úročení se neúročí úroky. Stav kapitálu za dobu vzorce �� = �

+

�

počítáme podle

,

kde � je počáteční kapitál, �� je stav kapitálu za dobu , � je roční úroková sazba, splatnosti v letech.

je doba

V našem p ípadě

� =

∙( +

∙ )=

Po pěti letech naspo íme 37 500 Kč. Jednoduché úročení se používá u běžných účt . P íklad 50. Vypočítejte, kolik peněz naspo íme složeným úročením za dobu 5 let, je-li počáteční kapitál 30 000 Kč a roční úroková sazba je 5 %.

32


ešení: U složeného úročení se úročí i úroky již p ipsané v p edešlých obdobích. Pro složené úročení platí vzorec �� = �

V našem p ípadě � =

+

�

�

) ≐

( +

. .

Složeným úročením našet íme za 5 let 3Ř 2ŘŘ Kč. Složené úročení se používá u většiny finančních produkt . V běžném životě musíme p i výpočtu uspo ené částky zohlednit ještě daň z výnos . Ta činí aktuálně 15 %. Ve vzorci se tato daň projeví následujícím zp sobem: �� = � ( +

Po zdanění získáme 36 ř40 Kč.

,

∙�

�

) =

.

Jestliže je uvedeno v reklamě „úrok 3 % p. a.“, musíme si uvědomit, že se jedná o hrubý úrok, nezohledňující zdanění. Cvičení 61. Na termínovaný vklad u banky jsme uložili 170 000 Kč s vázací dobou 5 let. Úroková sazba je 2 % p. a. Kolik našet íme za 6 let? (Vypočtěte pomocí složeného úročení. Počítejte i se zdaněním.) Cvičení 62. Stavební spo itelna nabízí stavební spo ení s následujícími parametry: měsíční vklad 1 500 Kč, roční úrok 1,5 %, roční poplatek za vedení účtu je 320 Kč, státní podpora je 10 % z roční vložené částky. Pomocí internetové kalkulačky určete naspo enou částku po 6 letech. Cvičení 63. Na spo icí účet do banky jsme vložili 40 000 Kč. Úroková sazba je 1,2 % p. a. Úročení je měsíční. Kolik naspo íme za 2 roky? (Vypočtěte pomocí složeného úročení. Počítejte i se zdaněním.) O kolik korun méně bychom uspo ili, kdyby úročení bylo roční místo měsíčního? Výsledky cvičení: 61. 188 0ř4 Kč, 62. 121 5Ř2 Kč, 63. 40 Ř24 Kč, o 4 Kč méně

33


Životní styl BMI BMI (body mass index) je považován za ukazatel tělesného zdraví člověka. Podle jednoduchého vzorce hmotnost (v kg) vydělená druhou mocninou výšky (v m) (výsledek zaokrouhlíme na jedno desetinné číslo) m žeme okamžitě zjistit sv j zdravotní stav. Málokdo si uvědomuje, že BMI nezohledňuje úroveň fyzické kondice, tj. svalovou hmotu, tělesný tuk, strukturu kostí, či obvod pasu, který je seriózním ukazatelem obezity. Proto dva jedinci, kte í mají stejnou váhu i výšku, z nichž jeden bude svalnatý a druhý obézní, budou mít stejné BMI. Je z ejmé, že ídit se podle BMI není nejlepší. P esto se podle něj ídí i někte í dietologové, dokto i, ale také pojišťovny. Pokud se klient nevejde do pr měru podle BMI, některé pojišťovny jej za adí jako rizikového pojištěnce do tarif s vyšší platbou pojistného. Naštěstí se proti tomuto za azení m že klient odvolat. Pro dospělého jedince platí následující tabulka: Kategorie

podváha

normální

nadváha

obezita

těžká obezita

BMI

pod 18,4

18,5 – 24,9

25 – 29,9

30 – 34,9

35 a více

P íklad 51. Hokejista Jaromír Jágr mě í 1Řř cm a jeho optimální váha je 105 kg. Vypočítejte jeho BMI. Do které kategorie spadá? ešení: BMI =

,

≐

,

Jarda se tedy pohybuje v kategorii nadváhy na hranici s obezitou. P íklad 52. Kolik by musel Jarda p ibrat kilogram , aby se dostal do kategorie „obezita“? Kolik kilo by musel zhubnout, aby se dostal do kategorie „normální“? ešení: Obezita začíná na BMI=30, tj. =

∙ ,

Pokud p ibere 2 kg, bude z hlediska BMI obézní.

≐

Kategorie „normální“ končí na hodnotě 24,ř, tj.

34

.


=

, ∙ ,

≐

.

Jarda by musel „zhubnout“ 16 kg, aby měl „normální“ BMI. Protože má ale velmi málo tuku a mnoho sval , musel by redukovat pouze svalovou hmotu. Výpočty BMI se velmi často vyskytují v testech matematické gramotnosti, proto je vhodné ukázat, s jakými typy p íklad se m žeme setkat. Cvičení 64. Vypočtěte BMI člověka, který mě í 1Ř2 cm a váží Ř5 kg. Do jaké kategorie spadá? Cvičení 65. Lenka mě í 167 cm a váží 45 kg. Kolik kilo by měla p ibrat, aby se dostala do kategorie „normální“? Cvičení 66. Jedno pravidlo íká, že správná váha dospělého by měla být v kilogramech tolik, o kolik centimetr p esahuje jeho výška 1 metr. Je toto pravidlo pravdivé? Dosazujte r zné hodnoty. Výsledky cvičení: 64. BMI=25,7, nadváha, 65. měla by vážit alespoň 51,6 kg, tj. měla by p ibrat 6,6 kg, 66. pravidlo platí pro člověka vyššího než 1,33 m a nižšího než 1,ř0 m

Tepová frekvence Poslední výzkumy ukazují, že 25 % našich spoluobčan nevykazuje žádnou pohybovou aktivitu a dalších 30 % sice malé množství pohybové aktivity absolvuje, ale pro pozitivní ovlivnění zdravotního stavu není toto množství dostatečné. (http://vsudenakole.webnode.cz/products/hfghh/) Dlouhodobá absence pohybu zp sobuje mnoho civilizačních chorob, jako je obezita, bolesti zad, bolest hlavy, a v konečném d sledku znamená, že každý druhý člověk umírá na cévní p íhody (infarkty a mrtvice). Pokud se někdo rozhodne začít s pohybovou aktivitou, je dobré, aby si uvědomil, že p i zatěžování organismu neplatí „čím více, tím lépe“. Zátěž nemá být ani p íliš nízká, ale také ani p íliš vysoká. Minimální zatížení lze definovat takto: Dospělý člověk by měl provozovat alespoň 30 minut pohybové aktivity v nízké intenzitě (stačí rychlá ch ze, p i níž se mírně zadýcháme), a to nejlépe každý den. Cvičení 67. Odpovězte na následující otázky týkající se p edchozího textu (text zatím znovu nečtěte): a) Kolik procent spoluobčan má malé nebo žádné množství pohybové aktivity? b) Kolik procent lidí v ČR umírá na cévní p íhody? c) Jaké by mělo být minimální zatížení každého člověka?

35


Výsledek cvičení: 67. a) 55 %, b) 50 %, c) p l hodiny denně aktivita v nízké intenzitě Optimální intenzitu cvičení lze dob e odhadnou z tepové frekvence (TF). Intenzitu aktivity určíme pomocí tzv. maximální tepové frekvence (TFmax), která p edstavuje 100 %. Maximální tepovou frekvenci lze vypočítat ze vzorce TFmax ženy =

TFmax muže =

− věk

− věk

Rozlišujeme pět pracovních pásem, která lze určit pomocí tepové frekvence, která se uvádí v procentech TFmax. Pracovní pásmo

% TFmax

Pohyb pro zdraví

50 – 60

Regulace hmotnosti

60 – 70

Zlepšení kondice

70 – 80

Zvýšení výkonnosti

80 – 90

Závodní

90 – 100

Pohyb pro zdraví: Toto pásmo je vhodné pro začátečníky, osoby dlouhodobě neaktivní, starší osoby a osoby s vysokou nadváhou. ůktivita zrychluje metabolismus spalování tuk a zvyšuje zdatnost. Intenzita cvičení odpovídá rychlejší ch zi (6 km/h) po dobu 1 hodiny i déle. P íklad aktivity: rychlá ch ze 10 km. Regulace hmotnosti: Vhodné pro osoby zvyklé na pohyb a bez nadváhy. Cvičení v tomto pásmu posiluje srdce. Dochází k aktivnímu spalování tuk . ůktivita by měla trvat 30 – 60 minut. P íklad aktivity: jogging 6 km. Zlepšení kondice: Cvičení v tomto pásmu je vhodné pro osoby, které si chtějí zvyšovat zdatnost a výkonnost. Organismus již méně spaluje tuky, více spaluje cukry a začíná se vytvá et svalová hmota. Cvičení pro zlepšení kondice p ináší také zlepšení činnosti srdce a zefektivnění práce plic – zlepšuje se jejich schopnost p enášet kyslík do krve a odstraňovat oxid uhličitý z krevního oběhu. Délka cvičení: 10 – 30 minut. P íklad aktivity: běh 5 km. Zvýšení výkonnosti: Toto pásmo je určeno jen zkušeným osobám, které již cvičí několik let. Cvičení v tomto pásmu lze vnímat jako sportovní trénink. Trvá jen několik minut. Pro osoby starší 35 let je vhodné trénink konzultovat s léka em. Závodní: Velmi intenzivní trénink pouze pro trénované sportovce. P íklad 53. Paní Ondráčkové je 55 let, má mírnou nadváhu a chtěla by začít sportovat. Vypočítejte, na jaké úrovni by se měla pohybovat její tepová frekvence a jak by mělo probíhat cvičení.

36


ešení: Nejd íve vypočítáme maximální tepovou frekvenci paní Ondráčkové: TFmax =

−

=

Protože je paní Ondráčková st edního až vyššího věku a navíc má mírnou nadváhu, je pro ni vhodné první pracovní pásmo. 50 % ze 170 je 85, 60 % ze 170 je , ∙ = . Tepová frekvence paní Ondráčkové by se měla pohybovat mezi Ř5 a 102 tep za minutu. Pokud by paní Ondráčková chtěla začít hubnout, měla by aktivitu nízké intenzity provádět zhruba hodinu denně. Cvičení 6Ř. Jindrovi je 24 let, dvakrát týdně chodí plavat a chtěl by si zlepšit kondici a nabrat svalovou hmotu. Doporučte mu cvičení. Cvičení 6ř. Jitce je 16 let a chtěla by pomocí cvičení redukovat hmotnost. Chodí s kamarádkou běhat a pomocí mě iče zjistila, že její tepová frekvence se pohybuje na 167 tep za minutu. Splní cvičení Jitčino očekávání? Výsledky cvičení: 68. Jindra by měl cvičit p i tepové frekvenci 137 až 156 tep za minutu p l hodiny denně. 69. Tepová frekvence je p íliš vysoká, Jitka nebude hubnout, pouze bude nabírat svalovou hmotu. P i tak vysoké tepové frekvenci se již nespalují tuky, ale cukry. Jitka by měla snížit svoji tepovou frekvenci na 125 až 146 tep za minutu.

Jídlo a kalorie Mnoho lidí, kte í se rozhodli zhubnout, se ídí následujícím pravidlem: „Abych zhubla, musím snížit denní energetickou spot ebu pod 1200 kcal (cca 5000 KJ)“. P i tak nízkém p ísunu energie však dochází u většiny lidí ke vzniku jojo efektu. Tyto hodnoty nerespektují klidovou spot ebu organismu, která se u jednotlivc velmi liší – od 1300 kcal po 2200 kcal. Pokud si chceme hlídat váhu, je to naprosto v po ádku. Nadváha (avšak i podváha) zp sobuje mnoho zdravotních problém . Vždy ale musíme myslet na to, aby nás organismus dostal tolik energie, kolik pot ebuje a p edevším vyvážený p ísun živin. Mnohdy obézní lidé trpí současně podvýživou, protože jim chybí celá škála živin. Nutriční hodnota v sobě skrývá dvě složky – energetickou hodnotu a obsah živin. Energetická hodnota je množství energie, které se vytvo í p i spálení látek obsažených v potravě. Bývá udávaná ve dvou jednotkách – kilokaloriích a kilojoulech. P epočítávání mezi kilokaloriemi a kilojouly:

P íklad 54.

37

kJ ≐ , kcal

P epočítejte energetickou hodnotu z kJ na kcal a naopak:


Energetická hodnota / Energetická hodnota / kcal kJ

Potravina Mléko plnotučné 1 ml

2,65

Kr tí maso 100 g

99

Rohlík bílý 42 g

141

100% pomerančová šťáva 250 ml

ešení: , kJ,

,

kJ =

kJ =

, ,

,

kcal = ,

kcal =

483

kcal,

kcal.

kcal =

∙ , kJ =

, kJ,

kcal =

http://www.bodyfit.cz/clanky/pyramida-zdrave-vyzivy.php Existují r zné názory na výživu. Některé odsuzují živočišné tuky a prosazují rostlinné, jiné zase íkají, že máslo je zdravější než umělé rostlinné margaríny. Některé íkají, že zeleniny m žeme sníst, kolik jen chceme a v jakémkoli stavu, jiné zase, že čerstvá zelenina je velmi špatně stravitelná a mělo by se jíst jen určité množství tepelně upravené zeleniny. Stejně je to i s pitím – každý z nás jistě slyšel názory o nutnosti vypít denně 1,5 litru až 3 litry vody, někdo do tohoto množství započítává pouze čistou vodu, jiný i polévky apod. Navíc každý z nás má jinak uzp sobené trávicí ústrojí a každému vyhovuje něco jiného. To už je zcela individuální otázka. Jedno je ale po staletí jisté – jsou potraviny, které by měly tvo it základ stravy (obvykle jsou za ně považovány obiloviny v r zných úpravách) a jsou jiné potraviny, které bychom měli chápat spíše jako drobné zpest ení jídelníčku (nap . sladkosti). Klasická výživová pyramida vypadá zhruba následovně:

38


http://www.bodyfit.cz/clanky/pyramida-zdrave-vyzivy.php P íklad 55. Z každé položky pyramidy vypočítejte doporučený denní pr měr a p epočítejte na procenta, jaký podíl ve výživě by měla zastupovat ta která kategorie. ešení: Obiloviny – Ř,5 porce pr měrně, zelenina – 4 porce, ovoce – 3 porce, maso, ryby, luštěniny, vejce – 2,5 porce, mléčné výrobky – 2,5 porce, sladkosti – ekněme 1 porce. , +

+ + , + , +

=

,

Celkem máme pr měrně 21 porcí denně. Nyní porce p epočítáme na procenta: ,

Obiloviny: Zelenina: Ovoce:

,

,

,

≐

≐

≐

%

%

%

Maso, ryby, luštěniny a vejce: Mléčné výrobky: Sladkosti:

,

,

≐

%

,

,

≐

%

% (dopočítáme do 100 %)

P íklad 56. Paní Nováčková si zapsala sv j jídelníček za 1 den a na www.kaloricketabulky.cz si spočítala sv j denní p íjem energie. Na snídani snědla celozrnný rohlík s almette, na dopolední svačinu jablko, na oběd měla kr tí ízek s bramborovou kaší, na odpolední svačinu kávu latté s čokoládovým dortíkem, na veče i rohlík s máslem a cherry rajčata. Na snídani pila vodu s mátou a po celý den pak pila litr vody se šťávou. Jaký měla paní Nováčková p íjem v kJ a v kcal? Je tento jídelníček vyvážený?

39


ešení: Snídaně: Celozrnný rohlík 60 g: ×

Almette porce: Dopolední svačina:

×

,

Oběd:

kJ =

kJ =

× , kJ =

Jablko 100 g:

,

Kr tí p írodní ízek 100 g: Bramborová kaše: Ř46 kJ Odpolední svačina:

kJ

kJ

kJ

× , kJ =

kJ

Káva latté: 30Ř kJ Čokoládový dort 50 g: Veče e: Rohlík bílý: Máslo porce:

×

×

Cherry rajče porce: Nápoje:

Voda s mátou: 0 kj

kJ =

×

, kJ = × ,

,

kJ

kJ = kJ

kJ =

kJ

kJ

Voda se šťávou 1 litr: 1670 kJ Celkem: 6659 kJ P evod na kilokalorie:

kJ =

,

kcal =

kcal.

Paní Nováčková se do jídelníčku snaží za adit obiloviny (celozrnný rohlík a rohlík), ovoce, maso, snaží se dodržovat pitný režim, nepije p eslazené nápoje. V jídelníčku však chybí více zeleniny. P íklad 57. Paní Nováčková si uvědomila, že p es den asi 30 minut chodila. Zajímalo ji, jakou část energie vynaložila na ch zi. Na www.kaloricketabulky.cz si našla vzorec pro ch zi rychlostí 4 km/h: ,

kJ/ kg/ min

ešení: Paní Nováčková váží 65 kg a chodila asi 30 minut, spálila tedy 42ř kJ, tj. asi 102 kcal. ,

40

kJ/ kg/ min ∙

kg ∙

min =

kJ


Cvičení 70. Katka na snídani měla Bebe dobré ráno mazané s jogurtem, jablečný džus (0,3 l). Svačit ve škole nestihla. Na oběd šla do fast foodu, dala si chickenburger, st ední hranolky a st ední colu. Odpoledne s kamarády snědla p l tabulky Milky Alpenmilch (50 g). Po zbytek dne pila 0,4 l pomerančového džusu. Na veče i měla dva bílé rohlíky s máslem. Na www.kaloricketabulky.cz zjistěte, jakou energetickou hodnotu Katka v jídle obdržela. Je jídelníček vyvážený? Výsledek cvičení: 70. Energetická hodnota cca 8 600 kJ. Jídelníček není vyvážený – p evažují cukry, chybí zelenina, není dodržován pitný režim.

Recepty P íklad 5Ř. Maminka va ila krupicovou kaši pro rodinu podle následujícího receptu: 90 g krupičky jemné, ř00 ml polotučného mléka. Dcera snědla 1 díl, syn 2 díly, maminka 2 díly a tatínek snědl 3 díly. Maminka si kaši posypala 20 gramy granka a polila Ř g másla. Jaký měla energetický p íjem? Potravina

Energetická hodnota v kcal na 100 g

Krupička jemná

338

Polotučné mléko

45 (na 100 ml)

Granko

380

Máslo Ř2 % tuku

761

ešení: Nejd íve vypočítáme, jaký díl kaše maminka snědla. Jsou to 2 díly z 8, tedy . Tomu odpovídá 22,5 g krupičky a 225 ml mléka. Nyní vypočítáme energetickou hodnotu jednotlivých položek. Krupička 76 kcal, mléko 101 kcal, granko 76 kcal, máslo 61 kcal. Celkem 314 kcal. P íklad 5ř. Na 10 ks palačinek pot ebujeme následující suroviny: 500 ml mléka, 1Ř0 g hladké mouky (nebo 150 g celozrnné), 1 vajíčko, 40 g cukru moučka. a) Jaké množství surovin pot ebujeme na 15 ks palačinek p ipravovaných z hladké mouky? b) Jaké množství surovin pot ebujeme na ř ks palačinek p ipravovaných z celozrnné mouky? ešení: a) Mléko: g∙

41

=

g.

∙

=

ml, hladká mouka:

g∙

=

g, 2 vajíčka, cukr:


b) Mléko:

∙

=

ml, celozrnná mouka:

g∙

=

g, 1 vajíčko, cukr:

g∙

=

g.

Cvičení 71. Recept na tvarohové knedlíky s jahodami pro 6 osob je následující: 500 g měkkého polotučného tvarohu, 1 hrnek polohrubé mouky, 1 špetka soli, 2 ks žloutku, moučkový cukr (na posypání), 150 g tvrdého tvarohu (na posypání), 100 g másla (na polití), 500 g jahod. Z jakého množství surovin je pot eba p ipravit recept pro 4 osoby? Cvičení 72. Na rajskou omáčku pro 4 dospělé osoby je pot eba 500 ml protlaku a 400 ml vývaru. Dítě sní pr měrně 60 % porce dospělého. Jaké množství protlaku a vývaru je pot eba pro ř dětí? Výsledky cvičení: 71. 330 g tvarohu, 2/3 hrnku mouky, špetka soli, 1 žloutek, moučkový cukr, 100 g tvrdého tvarohu, 66 g másla, 330 g jahod, 72. 675 ml protlaku, 540 ml vývaru

42


Čtení z grafu a funkční myšlení P íklad 60. 2004.

Na následujícím grafu vidíme návštěvnost na Eiffelově věži v letech 1889 –

Obrázek 1: Obrázek převzat z http://cs.wikipedia.org/wiki/Eiffelova_v%C4%9B%C5%BE

ůbychom na základě takového grafu mohli odpovídat na otázky typu „Jaká byla návštěvnost v roce 1řŘ2?“, „O kolik více návštěvník bylo na Eiffelově věži v roce 2004 než v roce 1řř4?“ nebo „Kolikrát více bylo návštěvník na Eiffelově věži v roce 2000 než v roce 1ř50?“, pot ebujeme mít následující znalosti a dovednosti:     

Znát kartézskou soustavu sou adnic. Rozlišovat závisle a nezávisle proměnnou. Umět v kartézských sou adnicích zakreslovat pomocí sou adnic. Umět zakreslovat jednoduché závislosti. Umět číst z grafu.

Kartézská soustava sou adnic Cílem této lekce se seznámit se s kartézskou soustavou sou adnic. Kartézská soustava sou adnic je taková soustava sou adnicových os, u které jsou sou adnicové osy navzájem kolmé a protínají se v jednom bodě – počátku soustavy sou adnic. Jednotka se obvykle volí na všech osách stejně velká. Soustava je pojmenována podle francouzského filozofa, matematika a fyzika René Descarta (René Descartes, latinsky Renatus Cartesius, 1596 – 1650). Descartes údajně v pokročilém věku, ležíc na posteli, pozoroval mouchu poletující po místnosti a napadlo jej, jak by bylo možno zapsat polohu mouchy v prostoru pomocí sou adnic. Budeme používat buď dvojrozměrné sou adnice (rovinné) nebo trojrozměrné sou adnice (prostorové).

43


Poloha každého bodu je zapsána dvěma sou adnicemi v p ípadě dvojrozměrných sou adnic a t emi sou adnicemi v p ípadě trojrozměrných sou adnic. Matematicky je zvykem označovat osy písmeny , , respektive , , . Bod má potom sou adnice [ , ], respektive [ , , ].

y

y

z

x

x

Cvičení 73. Zapište polohu bod ů, B, C, D pomocí sou adnic.

B

A 1 1

C

D

Cvičení 74. Zakreslete do sou adnicových os body [ ; ], [− ; ], [ ; − ].

Výsledky cvičení: 73. [ ; ], [− ; ], [− ; − ], [ ; − ] 74.

E

F 1

1 G

Nezávisle a závisle proměnná Cílem této lekce je naučit se rozlišovat nezávisle a závisle proměnnou. Již bylo ečeno, že matematicky označujeme osy písmeny , , respektive , , . My se nyní omezíme na dvojrozměrné osy, neboť s dvojrozměrnými grafy se obvykle setkáváme v novinách nebo jiném tisku.

44


Spíše než matematické označení pot ebujeme osy označit něčím, co vystihuje nějakou závislost. Nap . nakupujeme jablka na uskladnění a víme, že jeden kilogram stojí 13 korun. Je tedy jasné, že celková cena, kterou za jablka zaplatíme, bude záviset na počtu kil, která koupíme. Co je zde tedy nezávisle a závisle proměnná? Nezávisle proměnná je množství, tj. počet koupených kil. Závisle proměnná je cena jablek, protože závisí právě na počtu zakoupených kilogram , tj. na hmotnosti. Nezávisle proměnnou zapisujeme na osu a závisle proměnnou na osu . Vždy k veličině (tj. množství, cena, aj.) píšeme též jednotku (tj. kg, Kč, aj.). Pokud bychom napsali pouze „cena“ a neuvedli jednotku, nemohl by si potom čtená být jist, zda je cena v korunách nebo t eba eurech. Nyní zakreslíme sou adnicové osy pro náš p íklad: Cena (Kč)

Hmotnost (kg) Jak jsou popsány osy na úvodním p íkladu s Eiffelovou věží? Nezávisle proměnná je čas v letech. Čas je témě výlučně jako nezávisle proměnná – těžko bychom hledali něco, na čem je plynutí času závislé. Závisle proměnná je počet návštěvník za rok. Cvičení 75. Vybírejte nezávisle a závisle proměnnou pro následující p ípady a zapisujte do os s jednotkami. a) hmotnost miminka, stá í miminka

b) objem benzínu, cena za benzín

45


c) počet obyvatel planety Země, čas

d) nadmo ská výška, teplota

Výsledek cvičení: 75. a) nezávisle proměnná: stá í miminka (měsíce), závisle proměnná: hmotnost miminka (kg); b) nezávisle proměnná: objem benzínu (litry), závisle proměnná: cena benzínu (Kč); c) nezávisle proměnná: čas (roky), závisle proměnná: počet obyvatel (ks), d) nezávisle proměnná: nadmo ská výška (m), závisle proměnná: teplota (°C)

Sou adnice bodu Cílem této lekce je naučit se zakreslovat do sou adnicových os pomocí sou adnic. Polohu každého bodu roviny je možné vyjád it pomocí sou adnic. Bod na následujícím obrázku má sou adnice = , = a jeho polohu zapíšeme jako = [ ; ]

A 1 1

46


Nyní budeme zakreslovat obrázky pomocí sou adnic. Každý bod bude zapsán ve tvaru [ , ], body budeme spojovat úsečkami, pokud nebude napsáno STOP. Body, mezi kterými je STOP, úsečkou nespojíme. Cvičení 76. [ ; ], [ ; ], [ ; ], [ ; ], [ ; ], STOP, [ ; ], [ , ; ], [ ; ]

Cvičení 77. Zakreslete obrázek podle sou adnic: [ ; ], [ ; ], [ ; ], [ ; ], [ ; ], [ ; ], [ ; ], [ ; ].

Výsledky cvičení: 76.

47


77.

Sou adnicové osy rozdělují rovinu na čty i kvadranty. Doposud jsme se pohybovali v 1. kvadrantu. V tom má -ová i -ová sou adnice kladné hodnoty. Ve 2. kvadrantu je -ová sou adnice záporná a -ová sou adnice kladná, ve 3. kvadrantu je to naopak a ve 4. kvadrantu jsou obě záporné. y

II.

I.

x III.

IV.

Cvičení 7Ř. Obrázek z Cvičení 77 nakreslete osově souměrně podle osy zbývající sou adnice.

48

. Zapište


Cvičení 7ř. Pomocí sou adnic zakreslete obrázek: [ ; − ], [ ; ], [− ; ], [− ; − ], [ ; − ], [ ; ], [ ; ], [ ; ], [− , ], STOP, [ ; ], [ ; ]

Výsledky cvičení: 78:

Odshora: [ ; ], [− ; ], [− ; ], [− ; ], [− ; ], [− ; ], [− ; ], [− ; ] 79.

49


P ímá úměrnost a lineární funkce Cílem této lekce je pomocí jednoduchých úloh zavést funkci p ímá úměrnost a lineární funkce. P íklad 61. ůlena si našla brigádu. Za hodinu dostala 50 Kč, pracovala 5 hodin denně. Zakreslete graf závislosti vydělaných peněz na počtu odpracovaných dní. Celkově ůlena pracovala 10 dní, v sobotu a neděli nepracovala. ešení: Po prvním dnu vydělala 250 Kč, po druhém dnu ∙ ∙ Kč. Závislost = se nazývá lineární funkce.

Kč, atd., obecně -tý den

Nyní zakreslíme graf závislosti pro náš p ípad, kdy ůlena pracovala jen v pracovní dny. výdělek / Kč

2500

1250

250 1

5

7

12

14

počet dnů

V sobotu a neděli ůlena nevydělávala, proto neroste počet vydělaných peněz a jedná se o konstantní funkci. Z grafu nyní m žeme vyčíst r zné údaje: Po týdnu ůlena vydělala 1250 Kč, po dvou týdnech 2500 Kč. Naopak m žeme také vyčíst, že nap . 2000 Kč ůlena vydělala po 10 dnech (nebo po Ř dnech práce, když nepočítáme víkend). P íklad 62. ůlenin bratr ůleš si našel brigádu o t i dny později než ůlena. Za hodinu vydělal 60 Kč, také pracoval 5 hodin denně. Pracoval i v sobotu, ale v neděli ne. Zakreslete graf závislosti vydělaných peněz ůleše na počtu odpracovaných dní do stejného grafu jako pro ůlenu a odpovězte na otázku, po kolika dnech vydělal alespoň tolik peněz, jako ůlena za celou dobu své brigády. ešení: Když necháme čas plynout od doby, kdy pracovala ůlena, vydělal ůleš 1. – 3. den 0 Kč, 4. den 300 Kč, 5. den ∙ Kč = − ∙ Kč, obecně -tý den − ∙ Kč = − Kč. Zakreslíme-li nyní graf, m žeme odpovědět na otázku.

50


výdělek / Kč

2500

1250

250 1

5

7

12

14

počet dnů

13. den ůleš vydělal více peněz než ůlena. Cvičení Ř0. Z následujícího grafu zjistěte, jakou má pan Novák hodinovou mzdu. Zapište funkční p edpis této závislosti. Kolik peněz vydělá za osmihodinovou pracovní dobu?

výdělek / Kč

1000

1

počet odpracovaných hodin

Výsledek cvičení: 80. vydělá 200 Kč za hodinu,

=

, za Ř hodin vydělá 1600 Kč

Čtení z grafu Cílem této lekce je naučit se z grafu lineární funkce číst různé údaje. Vraťme se nyní k p íkladu s ůlenou a ůlešem, který budeme mírně modifikovat. ekněme, že ůlena za den vydělá 225 Kč, ůleš pracuje o t i dny později a vydělá denně 300 Kč. Oba dva budou pracovat od pondělí do pátku a budou nás zajímat jen dny, kdy pracují. Zakreslíme opět grafy závislostí jejich výdělku na odpracovaných dnech. ůleninu závislost popisuje funkce = , ůlešovu = − . Nezávislou proměnnou je pro nás nyní počet odpracovaných dn .

51


výdělek / Kč

150 1

počet odpracovaných dn ů

P íklad 63. Z grafu vyčteme následující informace: a) Kolik peněz ůlena vydělala po t ech dnech? b) Kolik peněz vydělal ůleš po 8 dnech? c) Který den měl ůleš vyděláno 1200 Kč? d) Který den měla ůlena vyděláno p esně t ikrát více peněz než ůleš? e) Kolik dní trvalo, než oba vydělali stejně peněz? ešení: a) Po t ech dnech vydělala ůlena 675 Kč. M žeme vyčíst z grafu nebo vypočítat jako ∙ Kč. b) Musíme si uvědomit, že ůleš pracuje až od t etího dne. Po Ř dnech tedy ůleš pracuje − dní, tj. 5 dní. Po Ř dnech ůleš má vyděláno 1500 Kč. M žeme vyčíst z grafu nebo vypočítat jako − ∙ Kč. c) Z grafu vidíme, že ůleš vydělal 1200 Kč po 4 dnech práce, tj. 7. den. d) Z grafu lze vyčíst, že 4. den měla ůlena vyděláno ř00 Kč a ůleš 300 Kč. Ke stejnému závěru lze dospět i ešením rovnice: = ∙ − = − − =− = = e) Z grafu vidíme, že stejně peněz vydělali po 12 dnech, a to 2700 Kč. Opět m žeme ešit také jako rovnici: = − = −

52


−

=− = =

Cvičení Ř1. Na následujícím grafu je graf funkce = . Vyčtěte z grafu následující informace: a) Najděte takové , v němž je funkční hodnota dvojnásobná než v bodě 4. b) Najděte takové , v němž je funkční hodnota poloviční než v bodě 3. c) Najděte takové , v němž je funkční hodnota o ř větší než v bodě 2. d) Najděte takové , v němž je funkční hodnota o 4,5 menší než v bodě 6. Výsledek cvičení: 81. a) � = ,� = , = ; b) � c) � = ,� = , = ; d) � = ,� , = , ,

= ,� = ,

,

= , ,

= , ;

P íklady ze života Cílem této lekce je procvičit na úlohách z praktického života osvojené poznatky. Cvičení Ř2. Jeden kilogram jablek stojí 25 Kč. a) Zakreslete graf závislosti celkové ceny jablek na zakoupeném množství jablek. b) Určete funkční p edpis p íslušné funkce. c) Z grafu vyčtěte, kolik kilogram jablek m žete koupit, když máte 150 Kč. Cvičení Ř3. Jarošovi chtějí koupit jablka na zimu na uskladnění. V supermarketu, který je v blízkosti jejich bydliště, stojí jeden kilogram jablek 25 Kč. V sadě, který je vzdálen 25 km od jejich domova, stojí kilogram jablek 13 Kč. ůuto Jarošových má spot ebu 6 litr na 100 km. ůktuální cena benzínu byla 36 Kč. a) Zakreslete graf závislosti pro obě možnosti koupě jablek. b) Kolik peněz zaplatí Jarošovi za 10 kg jablek v sadě? Kolik zaplatí za stejné množství v supermarketu? c) Z grafu určete a poté vypočtěte, od kolika kilogram je pro Jarošovy výhodnější jet pro jablka do sadu. Cvičení Ř4. Jakub vyšel v 7:30 z domova do školy, šel rychlostí 3 km/h. Jeho starší sestra Jana zjistila, že zapomněl svačinu a rozhodla se ho dohnat. Vyšla z domova v 7:40 rychlostí 6 km/h. Zakreslete graf závislostí ujitých kilometr na čase. Z grafu vyčtěte, za jak dlouho Jana dožene Jakuba a jak daleko od domova. Cvičení Ř5. Podívejte se na graf z úvodu kapitoly a odpovězte na následující otázky:

53


a) b) c) d)

V kterém roce navštívilo Eiffelovu věž p ibližně 1 000 000 návštěvník ? V kterém roce navštívilo Eiffelovu věž dvakrát tolik návštěvník než v roce 1963? P ibližně o kolik více návštěvník bylo na Eiffelově věži v roce 1998 než v roce 1984? Jaká byla návštěvnost Eiffelovy věže v letech 1914 – 1918 a 1940 – 1ř45? Proč?

nadmořská výška / m

Cvičení Ř6. Lyža jezdil v lyža ském areálu a zaznamenával si údaje o nadmo ské výšce. Z nich pak zakreslil graf. V něm je zanesen čas a nadmo ská výška v okamžiku, kdy vyjel nahoru lanovkou, sjel dol k lanovce nebo odpočíval.

1200 1100 1000 900 800 700 9:00

9:30

10:00

10:30

11:00

11:30

12:00

12:30

čas / h:min

Z grafu odpovězte na následující otázky: a) b) c) d) e) f) g) h)

Kolikrát jel lyža lanovkou? Do jaké nejvyšší nadmo ské výšky jel lyža lanovkou? Kolikrát během dopoledne sjel zpět do výchozí nadmo ské výšky? Kolik r zných lanovek využil? Kdy si udělal krátkou p estávku na čaj? Jak dlouho tato p estávka trvala? V kolik hodin šel na oběd a jak dlouho obědval? Mohl pít čaj ve stejné horské chatě, jako obědval? Jakou rychlostí stoupala lanovka ve vyšší nadmo ské výšce?

Cvičení Ř7. Dvě kamarádky ze sousedních vesnic se rozhodly, že si dají sraz uprost ed mezi jejich vesnicemi a pak se rozhodnou, jak stráví zbytek dopoledne. Domluvily se, že si vyrazí naproti v 9 hodin. Barča je z vesnice B a vyrazila p esně na čas. Šla pěšky. ůndrea je z vesnice B a vyrazila o několik minut později, proto jela na koloběžce. Chvíli ještě na Barču čekala. Pak se chvíli domlouvaly, co budou dělat a pak šly společně dál.

54


vzdálenost / km

B 4 2

A 9:00

10:30 čas / h:min

10:00

9:30

Z grafu vyčtěte následující informace: a) b) c) d) e) f) g)

Jak daleko od sebe jsou vesnice? O kolik minut vyrazila ůndrea později, než měla? Jakou rychlostí šla Bára? Jakou rychlostí jela ůndrea? Jak dlouho čekala na Barču? Jak dlouho se děvčata domlouvala, co budou dělat? Kam se potom vydaly a jakou rychlostí?

Výsledky cvičení: =

, c) M žete koupit 6 kg jablek. cena / Kč

82. b)

240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 1

2

3

4

5

6

7

8 9 10 hmotnost jablk / kg

83. b) V sadě: musíme uvažovat i cestu autem. Na 25 km má auto spot ebu 1,5 litru, to odpovídá ceně za benzín 54 Kč. Celkem Jarošovi zaplatí Kč + ∙ Kč = Kč. V supermarketu zaplatí 250 Kč. c) ešení rovnicí: + = , = , , tj. již od 5 kg se vyplatí jet do sadu.

55


cena / Kč

240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20

supermarket sad

1

2

3

4

5

6

7

8 9 10 hmotnost jablk / kg

dráha / km

84. Jana dožene Jakuba v 7:50. 3

2

1

7:30

7:40

7:50

8:00

8:10 čas / h:min

85. a) Poprvé hned v roce otev ení 1Řř4, podruhé v roce 1ř00 (možná probíhaly oslavy nového století a proto se zvýšila návštěvnost), pot etí v roce 1946. b) V roce 1963 navštívilo Eiffelovu věž p ibližně 2 000 000 návštěvník . Dvojnásobek nastal v roce 1984. c) V roce 1řŘ4 měla Eiffelova věž p ibližně 4 000 000 návštěvník , zatímco v roce 1998 okolo 6 000 000. Rozdíl je tedy 2 000 000 návštěvník . d) Nulová. V době světových válek byla Eiffelova věž uzav ena. 86. a) 6 krát, b) 1250 m.n.m., c) do 12 hodin 3 krát, d) 2, e) P estávku na čaj si udělal v 11 hodin a trvala čtvrt hodiny. f) Na oběd šel ve 12:15 a obědval p l hodiny. g) Pil čaj a obědval ve stejné nadmo ské výšce, proto je pravděpodobné, že se jednalo o stejnou chatu. h) Za čtvrt hodiny vystoupala z výšky ř75 m.n.m. do výšky 1250 m.n.m., tj. 275 m. Rychlost stoupání lanovky tedy byla 1100 m/h neboli 1,1 km/h. Jedná se o rychlost stoupání, nikoli rychlost lanovky. 87. a) Vesnice jsou vzdáleny 6 km. b) ůndrea vyrazila o 10 minut později. c) Barča ušla za p l hodiny 2 km, tedy šla rychlostí 4 km/h. d) ůndrea ujela za p l hodiny 3 km a jela tedy rychlostí 6 km/h. e) ůndrea čekala na Barču 5 minut. f) Děvčata se domlouvala 5 minut. g) V ř:50 se vydaly do vesnice ů, rychlostí 4 km/h.

56


Statistika Statistický soubor, statistické jednotky, znaky, rozdělení četností Statistický soubor je konečná množina prvk , na které se provádí statistické zkoumání. Prvky statistického souboru se nazývají statistické jednotky. Jejich zkoumané vlastnosti nazýváme statistické znaky. Ty jsou buď kvantitativní, pokud je m žeme vyjád it číselně (věk, tělesná výška, hmotnost, měsíční p íjem pracovník podniku, aj.), nebo kvalitativní (barva očí, barva vlas , pohlaví, rodinný stav, aj.). Jestliže máme statistický soubor o statistických jednotkách a zkoumáme znak , označíme hodnoty pro jednotlivé prvky souboru , , … , � . Jestliže se některé hodnoty rovnají, určíme jejich počet, který nazýváme absolutní četnost hodnoty a označujeme .

Poměr četnosti

�

nazýváme relativní četnost � , � = � .

dané hodnoty a rozsahu souboru

�

Relativní četnost vyjad ujeme buď pomocí desetinného čísla nebo v procentech; v tom p ípadě je součet relativních četností 100 %. P íklad 64.

Ve t ídě s 20 žáky byly namě eny následné tělesné výšky žák :

Výška / cm

132

133

135

136

137

139

140

141

142

Četnost

2

1

2

4

3

4

2

1

1

Určete, co je statistický soubor, statistické jednotky, statistický znak a vytvo te tabulku relativních četností. ešení: Statistický soubor je množina všech žák t ídy, statistické jednotky jsou žáci, statistický znak je výška žáka. Relativní četnost budeme počítat tak, že vydělíme absolutní četnost dané hodnoty znaku rozsahem souboru. Získáme desetinné číslo a to p evedeme na procenta. Nap . pro výšku 132 cm je relativní četnost � =

=

=

%.

Výška / cm

132

133

135

136

137

139

140

141

142

Relativní četnost / %

10

5

10

20

15

20

10

5

5

Cvičení ŘŘ. Linda házela dvacetkrát kostkou a zapisovala si počet ok, která padla.

57

Počet ok

1

2

3

4

5

6

Četnost

3

2

4

3

4

4


Určete, co je statistický soubor, statistické jednotky, statistický znak a vytvo te tabulku relativních četností. Výsledek cvičení: 88. Statistický soubor: množina všech hozených možností; statistické jednotky: hodnoty jednotlivých hod ; statistický znak: počet ok na kostce. Počet ok

1

2

3

4

5

6

Relativní četnost / %

15

10

20

15

20

20

St ední hodnoty kvantitativních znaků Všechny hodnoty kvantitativního znaku je často pot eba nahradit jednou průměrnou (st ední) hodnotou. Pr měrné hodnoty kvantitativních znak se zavádějí pro r zné účely více zp soby: Nejobvyklejší je aritmetický průměr ̅ hodnot kde

∗

jsou hodnoty znaku

̅=

�

∑ =

o četnostech

č� ̅ =

�

,

∑ =

.

,…, ∗

,

�

znaku

definovaný vzorci

V některých p ípadech jsou vhodné doplňkové st ední hodnoty:

Modus znaku

je jeho hodnota, která má největší četnost. Značí se Mod

.

Medián znaku , jehož hodnoty , , … , � jsou uspo ádány podle velikosti ( ≤ ≤ … ≤ � ), je prost ední hodnota znaku (či pr měr dvou prost edních hodnot v p ípadě sudého ). Značí se Med .

P íklad 65.

V jedné firmě měli zaměstnanci následující platy: Počet zaměstnanc

Mzda / Kč

3

8 200

5

12 500

12

24 800

1

135 000

1

215 000

Určete pr měr, modus a medián plat ve firmě. ešení: ̅ =

58

∙

+

∙

+

∙

+

+

≐

.


Vidíme, že aritmetický pr měr v tomto p ípadě není p íliš vypovídající, protože více než ř0 % firmy na pr měrnou mzdu nedosáhne. Mod

=

, modus nám ekne nejčastější mzdu firmy.

Ve firmě je 22 zaměstnanc , prost ední hodnoty jsou proto 11. a 12., oběma odpovídá mzda 24 Ř00 Kč. Med

=

.

Cvičení Řř. ůndrea má za pololetí následující známky z matematiky: 1, 1, 2, 1, 2-, 1, 1, 1- (nap . 2- počítejte jako 2,5). Jaká jí vychází pr měrná známka? Cvičení ř0. Pro data z p íkladu 64 určete pr měr, modus a medián. Výška / cm

132

133

135

136

137

139

140

141

142

Četnost

2

1

2

4

3

4

2

1

1

Výsledky cvičení: 89. Pr měr známek je 1,375, ůndrei tedy vychází celkově jednička. 90. Pr měr 137,05, modus 136 a 13ř, medián 137.

Grafické znázornění Grafické znázornění používáme buď pro rozdělení četností (či relativních četností) nebo pro vývoj nějakých událostí. Vývoj obvykle znázorňujeme spojnicovým diagramem nebo histogramem, rozdělení četností m žeme navíc znázornit i kruhovým diagramem. Spojnicový diagram Spojnicovým diagramem je vhodné zaznamenávat spojitě se měnící veličiny, u diskrétních hodnot je t eba zvýraznit jednotlivé hodnoty nap . puntíky. P íklad 66.

Pro data z p íkladu 64 zakreslete spojnicový diagram.

ešení: Výšku vynášíme na vodorovnou osu a četnosti na svislou. Ze spojnicového diagramu m žeme zpětně vyčíst všechna pot ebná data – kolik je žák ve t ídě a jaké byly namě eny jejich tělesné výšky.

59


4,5

4

4

4 3,5

3

Čet ost

3 2,5

2

2

2

2 1,5

1

1

1

141

142

1 0,5 0 132

133

135

136

137

139

140

Výška / c

P íklad 67. Na následujícím spojnicovém diagramu vidíme vývoj nezaměstnanosti v ČR od ledna 214 do ledna 2015. Nezaměstnanost je uvedena v procentech. M žeme zjistit, jaká byla nezaměstnanost v daném měsíci. Nap . nejvyšší byla nezaměstnanost Ř,6 % v lednu a únoru 2014. Nejnižší naopak v íjnu a listopadu 2014. M žeme také sledovat, jak nezaměstnanost v pr běhu roku klesala a opět rostla.

Zdroj: novinky.cz

60


Cvičení ř1. Následující spojnicový diagram ukazuje vývoj pr měrné úrokové sazby hypoték v určitém období. Z diagramu vyčtěte následující informace:

Zdroj: novinky.cz a) b) c) d)

Jaké období mapuje diagram? Jaká byla úroková sazba u hypoték v květnu 2011? Ve kterém měsíci byla nejvyšší a ve kterém nejnižší úroková sazba? Kolikanásobně vyšší byla úroková sazba v srpnu 200ř než v prosinci 2014?

Výsledek cvičení: 91. a) leden 200ř až prosinec 2014 (pouze některé měsíce), b) 4,24 %, c) nejvyšší – 5,74 % v lednu 200ř, nejnižší – 2,7 % v prosinci 2014, d) 2,1 krát Histogram Pomocí histogramu m žeme zaznamenávat rozdělení četností (či relativních četností), vývoj událostí, nebo také mezinárodní srovnání určitých údaj . P íklad 6Ř. V p íkladu 66 jsme data o výškách žáku ve t ídě zaznamenali pomocí spojnicového diagramu. Diskrétní hodnoty, což jsou právě nap . výšky zaokrouhlené na celé centimetry, je vhodnější zaznamenávat do histogramu.

61


4 3,5

Čet ost

3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 132

133

135

136

137

139

140

141

142

Výška / c

P íklad 6ř. Následující graf je histogram relativních četností. Je uspo ádán sestupně a to umožňuje porovnávat data. Ihned vidíme, že situace v České republice je srovnatelná s Nizozemím a Maltou. Procentuální zastoupení senior je zde 15,5 %. Jestliže bylo v roce 2011 v ČR p ibližně 10 milion obyvatel, senior bylo 1 550 000.

http://www.czso.cz/csu/redakce.nsf/i/seniori

62


Cvičení ř2. Následující histogram ukazuje procentuální změny spot ebitelských cen v ČR za posledních 15 let. Vyčtěte z diagramu následující informace:

Zdroj: novinky.cz a) b) c) d)

Které z uvedených položek zlevnily? U které z položek došlo k nejvyššímu zdražení? Které položky zdražily p ibližně o 10 %? Kolikanásobně se za posledních 15 let zdražilo bydlení?

Výsledky cvičení: 92. a) zlevnilo odívání, obuv, bytové vybavení, za ízení bytu, pošty, telekomunikace, b) nejvíce zdražilo bydlení, voda, energie a paliva, c) rekreace a kultura zdražily o Ř,ř %, doprava zdražila o 11,Ř %, d) bydlení zdražilo více než dvojnásobně (o 103 %) Kruhový diagram Kruhový (též koláčový) diagram umožňuje znázornit rozdělení relativních četností. Je vhodný proto, že je na něm dob e vidět zastoupení jednotlivých položek. P íklad 70. Podle společnosti INCOMů GfK bylo v roce 2013 v provozu 6 100 nezávislých prodejen potravin a tabáku. Rozdělení prodejen podle hlavní specializace bylo následující:

63


Z koláčového diagramu je dob e patrné, že p evažovaly smíšené prodejny, témě čtvrtinu tvo ily prodejny tabáku, a jiné. M žeme dopočítat počty jednotlivých obchod , nap . obchod s tabákem bylo celkem 1 2Ř1, obchod s ovocem a zeleninou 183, apod. P íklad 71. jablko.

Na následujícím obrázku je koláčový diagram složení nutričních hodnot pro

Graf složení nutričních hodnot potraviny – jablko. www.kaloricketabulky.cz Z diagramu vidíme, že jablko má největší zastoupení sacharid a vlákniny.

64


Interpretace dat I Cílem lekce je naučit se číst údaje z tabulek a textů. P íklad 72. V následující tabulce jsou počty obchod s potravinami a smíšeným zbožím v letech 2000 – 2014 v České republice. Zdroj: Nielsen Census 2000

2010

2011

2012

2013

2014

19 929

16 415

16 270

16 324

15 944

15 842

10 662

8 326

8 129

8 158

7 524

7 256

5 254

4 148

4 235

4 235

4 408

4 553

101 – 200 m

2 208

1 774

1 734

1 679

1 738

1 819

201 – 400 m2

837

628

608

635

613

553

900

1 278

1 291

1 330

1 362

1 352

68

262

273

287

299

309

Počet obchodů celkem 2

Do 50 m

51 – 100 m2 2

Supermarkety 400 – 2499 m2 2

Hypermarkety nad 2500 m

Z tabulky vyčtěte následující informace: a) Kolik celkem obchod bylo v roce 2014? b) Kterých obchod bylo nejvíce v roce 2014? Jaké procento všech obchod tvo ily? c) Je-li v České republice p ibližně 10 000 000 obyvatel, kolik obyvatel p ipadá na jeden obchod? d) Kolik ubylo malých obchod (do 50 m2) mezi lety 2010 a 2014? Kolik je to procentuálně? e) O kolik procent se zvýšil počet hypermarket mezi lety 2000 a 2010? f) Kterých obchod nejvíce p ibylo a kterých nejvíce ubylo za poslední rok? g) Kterých obchod nejvíce p ibylo mezi lety 2010 a 2014? ešení: 15 Ř42 obchod Nejvíce bylo malých obchod do 50 m2, a to 7 256. 7 256 z 15 842 je 45,8 %. Na jeden obchod p ipadá p ibližně 631 obyvatel České republiky. V roce 2010 bylo 8 326 malých obchod , v roce 2014 7 256. Ubylo jich 1 070. Procentuálně to je 12,ř % (1 070 z 8 326). e) V roce 2000 bylo 6Ř hypermarket , v roce 2010 262, p ibylo jich 1ř4, což je 2Ř5,3 %. f) Nejvíce p ibylo malých obchod 51 – 100 m2, a to o 145. Nejvíce ubylo malých obchod do 50 m2, a to 268. g) Nejvíce p ibylo obchod 51 – 100 m2, a to o 405.

a) b) c) d)

65


P íklad 73. V následujícím textu je tisková zpráva o obchodech s potravinami a smíšeným zbožím, podle zve ejněných výsledk společnosti Nielsen v roce 2014. Text jednou p ečtěte a pak odpovězte na otázky pod textem. Odpovědi si zapisujte. V České republice operuje 15 Ř42 obchod s potravinami a smíšeným zbožím, to je pouze o 0,6 % méně než p ed rokem. Tradiční obchody s prodejní plochou menší než 200 m2, které se obvykle nacházejí nejblíže domov m zákazník , p edstavují Ř6 % z celkového počtu obchod , a tento údaj se meziročně nezměnil. To je dáno p edevším r stem počtu obchod s prodejní plochou 51 – 100 m2 (+3,3 %) a obchod s prodejní plochou 101 – 200 m2 (+4,7 %). Nejpočetnější skupina tradičních obchod do 50 m2 naopak zaznamenala úbytek obchod o 3,6 %. Stejně tak díky blízké konkurenci supermarket ubyl počet obchod s plochou 200 – 400 m2 (-9,8 %). Podle odhad společnosti Nielsen na trhu v současnosti operuje 3 000 obchod vlastněných asijskými majiteli. Z toho dvě t etiny mají prodejní plochu do 50 m2 a jedna t etina mezi 50 a 100 m2. Z uvedeného vývoje je patrné, že tradiční trh si v České republice stále dokáže držet své postavení a úspěšně konkurovat moderním prodejním formát m. Z hlediska celkového obratu potravinového koše, sledovaného společností Nielsen, p edstavuje stabilně 1ř % tržeb. V rámci moderního trhu v loňském roce zaznamenaly r st počtu provozoven jen hypermarkety, kterých je nyní 30ř (v roce 2013 2řř). Počet supermarket včetně diskont se naopak o 10 snížil na celkový počet 1 352. Úbytek supermarket byl dán p edevším uzav ením lokálních supermarket . V rámci mezinárodních etězc se jejich počet naopak zvýšil z 1 085 na 1 096. V rámci st edoevropského regionu je síť obchod s potravinami a smíšeným zbožím nejméně rozt íštěná – na 10 tisíc obyvatel p ipadá 15 obchod , na Slovensku je to 17 obchod , v Maďarsku 1ř a v Polsku 22. Pro porovnání v Rakousku je to pouze 7 obchod a v Německu dokonce jen 4. a) Jak se změnil počet obchod mezi lety 2013 a 2014? O kolik procent? b) Jaký je podíl tradičních obchod ? c) Které skupiny tradičních obchod zaznamenaly nár st a které naopak pokles počtu obchod ? d) Kolik obchod je vlastněno asijskými majiteli? Kolik z nich jsou obchody mezi 50 a 100 m2? e) Jaké procento tržeb p ipadá na tradiční obchody? f) Čím byl zp soben úbytek supermarket ? g) Kolik v České republice p ipadá obchod na 10 000 obyvatel? h) Která z následujících zemí má nejvíce obchod na 10 000 obyvatel a která nejméně? ČR, Maďarsko, Slovensko, Polsko, Německo, Rakousko.

66


ešení: a) b) c) d) e) f) g) h)

Klesl o 0,6 %. 86 % Nár st zaznamenaly obchody od 50 do 200 m2, pokles nejmenší obchody. 3000, 1000 19 % Uzav ením lokálních supermarket . 15 Nejvíce Polsko, nejméně Německo.

Cvičení ř3. Procentní míry nezaměstnanosti v šesti zemích během pětiletého období byly následující: Země

2000

2001

2002

2003

2004

A

5,4

5,9

5,9

6,3

6,8

B

4,2

4,6

4,9

5,3

5,5

C

4,4

4,5

4,4

4,3

4,6

D

4,9

5,1

5,3

5,6

5,0

E

6,8

7,0

7,2

7,5

8,1

F

8,7

9,0

9,2

9,4

9,0

a) Jaká byla nezaměstnanost v zemi D v roce 2002? b) Ve kterých dvou zemích bylo stejné procentní zvýšení nezaměstnanosti v roce 2004 v porovnání s rokem 2000? c) Jaká byla pr měrná nezaměstnanost za dané období v zemi C? d) Jaká byla pr měrná nezaměstnanost v daných zemích za rok 2003? e) Jaká byla pr měrná procentní změna nezaměstnanosti pro všech šest zemí v roce 2004 v porovnání s rokem 2003? f) Jaký byl rozdíl v mí e nezaměstnanosti, zpr měrovaný za dané pětileté období, mezi zeměmi ů a F? Výsledky cvičení: 93. a) 5,3 %, b) B a E, c) 4,44 %, d) 6,4 %, e) + 0,1, f) + 3

67


Interpretace dat II Cílem této lekce je ešit úlohy týkající se čtení ze statistických grafů. P íklad 74. V následujícím grafu jsou uvedeny čisté p íjmy a hypoteční úvěry stavební společnosti za pětiměsíční období. Z grafu vyčtěte informace.

Čisté příj y a hypoteč í úvěry v iliardách koru

Čisté příj y a hypoteč í úvěry stave společ osti za září až lede 160 140 120 100 80 60 40 20 0 září

říje

e) f) g) h)

listopad

prosinec

leden

Měsíc Čisté příj y

a) b) c) d)

í

Hypoteč í úvěry

Ve kterém měsíci měla stavební společnost nejvyšší čisté p íjmy? Ve kterých dvou měsících měla stavební společnost stejné čisté p íjmy? Ve kterém měsíci poskytla stavební společnost nejnižší sumu na hypoteční úvěry? Ve kterém měsíci byl největší rozdíl mezi čistými p íjmy a poskytnutými hypotečními úvěry? Kolik činilo celkové množství poskytnutých hypotečních úvěr během daného pětiměsíčního období? Jaký byl poměr výše poskytnutých hypotečních úvěr k čistým p íjm m stavební společnosti v zá í? Ve kterém měsíci měla stavební společnost nejvyšší obrat a kolik to bylo korun? Obrat jsou veškeré provedené finanční transakce. P edpokládejme, že do konce února klesne výše čistých p íjm o 10 % a výše poskytnutých úvěr klesne o 25 %. Jaký bude v takovém p ípadě obrat společnosti? Obrat jsou veškeré provedené finanční transakce.

ešení: a) Nejvyšší čisté p íjmy měla společnost v íjnu. Rozlišení grafu nám neumožňuje p esně určit hodnotu, ale m žeme odhadnout, že je to 135 mld. korun. b) stejné p íjmy měla společnost v listopadu a lednu. Opět odhadneme hodnotu, 116 mld. korun. c) Nejnižší sumu na hypoteční úvěry poskytla společnost v listopadu, a to 25 mld. korun. d) V íjnu, rozdíl byl okolo 100 mld. korun.

68


e) Odhadneme výše poskytnutých úvěr množství činilo zhruba 140 mld. korun.

v jednotlivých měsících a sečteme. Celkové

f) Necelých 25 %. g) Největší obrat byl v íjnu. Sečteme čisté p íjmy a poskytnuté úvěry, celkem byl obrat 167 mld. korun. h) 127 mld. korun. Cvičení ř4. V následujícím spojnicovém diagramu jsou uvedeny pr měrné měsíční teploty pro pět meteorologických stanic na severní polokouli. Vyčtěte z diagramu následující informace.

Prů ěr á

ěsíč í teplota v °C

Prů ěr é

ěsíč í teploty

40 30 20 10 0 -10 -20 -30

Měsíc Stanice A

Stanice B

Stanice C

Stanice D

Stanice E

a) Která z uvedených pěti meteorologických stanic má nejmenší roční rozpětí teplot? b) Na které meteorologické stanici je největší rozdíl teplot mezi měsíci duben a červenec? c) P edpokládejme, že rostliny rostou, když je pr měrná měsíční teplota vyšší než 6 °C. Toto období nazýváme vegetační období. U které z uvedených pěti stanic je nejkratší vegetační období a kolik měsíc trvá? d) Jaký je poměr počtu měsíc s pr měrnou měsíční teplotou 0 °C nebo nižší k počtu měsíc s teplotou vyšší než 0 °C pro stanici B? e) Jakou pr měrnou měsíční teplotu má všech pět uvedených stanic v lednu a jakou v srpnu? Vyberte z možností: Leden: -1,3 0 5,4 -9 Srpen: 10,4 24,2 15,7 19,9

69


Cvičení ř5. Následující graf ukazuje vývoj produkce odpad desetileté období.

v České republice za

Vývoj produkce odpadů v ČR Trend in waste generation 350

30 000

330

310 290

20 000

270 250

15 000

230 10 000

210

kg/obyv. / kg per capita

tis. t / thousand tonnes

25 000

190

5 000

170 150

0 2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

2011

2012

Podnikový odpad / Waste generated by enterprises Komunální odpad / Municipal waste Komunální odpadv (kg/obyv.) / Municipal waste (kg per capita)

http://www.czso.cz/csu/redakce.nsf/i/grafy_zivotni_prostredi a) b) c) d)

Jaká byla produkce komunálního odpadu v roce 2005? V kterém roce byla nevyšší produkce podnikového odpadu a jaké množství to bylo? Jak se vyvíjela produkce komunálního odpadu na obyvatele v letech 2004 až 2011? O kolik více odpadu pr měrně vyprodukoval jeden obyvatel v roce 2011 oproti roku 2007?

Cvičení ř6. Následující obrázek ukazuje graf vývoje hlavního nákupního místa obyvatel České republiky (v procentech) v letech 1řřŘ až 2014.

70


Zdroj: INCOMA GfK a) Který druh obchodu zaznamenal za dané období největší úbytek stálých zákazník ? b) Který druh obchodu zaznamenal největší p ír stek stálých zákazník za dané období? c) Ve kterém roce bylo stejné procento lidí s hlavním nákupním místem hypermarket a supermarket? d) Ve kterém roce byl dvojnásobný počet zákazník s hlavním nákupním místem hypermarket než supermarket? e) Jaké bylo pr měrné procento zákazník s hlavním nákupním místě v menší prodejně za roky 2005 až 2014? Cvičení ř7. Na následujícím obrázku jsou počty nakupujících muž a žen (ve stovkách), kte í nakupovali 4. 2. 2015 v pěti obchodech. Zjistěte z grafu následující informace:

71


Počet akupujících užů a že , kteří akupovali . . v pěti o chodech

Obchod

Supermarket Dů

krásy

Salá ek Šrou ovák

)dravá výživa 0

10

20

Počet akupujících Že y

30

40

50

užů a že

ve stovkách

60

Muži

a) Který obchod měl nejvyšší počet zákazník ? Kolik zákazník to p ibližně bylo? b) Jaký byl celkový počet nakupujících žen ve všech uvedených obchodech? 90 870 3 500 8 600 c) Jaký byl podíl žen z celkového počtu nakupujících (vyjád eno v procentech), nakupujících v obchodě Šroubovák? 10 % 50 % 18,5 % 25 % d) V obchodě D m krásy se dne 14. 2. 2015 zvýšil počet nakupujících žen o 10 % a počet nakupujících muž se ztrojnásobil. Jaký byl celkový počet nakupujících v obchodě D m krásy dne 14. 2.? 24 2 140 220 5 180 Výsledky cvičení: 94: a) E, 5 stupň Celsia, b) B, graf nejrychleji roste, c) ů, 5 měsíc , červen až íjen, d)

= , t etina měsíc má teplotu rovnu nebo menší než 0°C, e) leden:

5,4°C, srpen: 24,2, 95. a) asi 2 500 000 tun odpadu, b) 2004, asi 27 milion tun odpadu, c) rostla z hodnoty p ibližně 2Ř0 kg/obyvatele na hodnotu 320 kg/obyvatele, d) p ibližně o 30 kg, 96. a) menší prodejny, b) hypermarkety, c) 2001, d) v roce 2003, e) 16,6 %, 97. a) supermarket, 5 200, b) 8 600, c) 18,5 %, d) 2 140

72


Literatura HEJNÝ, M., JIROTKOVÁ, D.: Úlohy pro rozvoj matematické gramotnosti. Utváření kompetencí žáků na základě zjištění šetření PISA 2009. ČSI, Praha 2012 HOŠPESOVÁ, A., KU INů, F. A KOL.: Matematická gramotnost a vyučování matematice. Jihočeská univerzita, České Budějovice 2011. KOLEKTIV ůUTOR : Pisa 2012. Matematický koncepční rámec. ČSI, Praha 2013 POLÁK, J.: Didaktika matematiky. Fraus, Plzeň 2014. ŠOBA, O., ŠIR

ČEK, M., PTÁČEK, R.: Finanční

matematika v praxi. Grada, Praha 2013

TOLLEY, H., THOMAS, K.: Numerické testy. Ikar, Praha 2002. ISBN 80-249-0107-2

73


Mate atická gramotnost - metodika

Recommend Documents