MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ NESTANDARDNÍ APLIKAČNÍ ÚLOHY A PROBLÉMY K VÝUCE RVP PEDAGOGICKÁ FAKULTA. Diplomová práce. Katedra matematiky

MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky

NESTANDARDNÍ APLIKAČNÍ ÚLOHY A PROBLÉMY K VÝUCE RVP Diplomová práce

Brno 2007

Autor práce: Radmila Matušová

1

Vedoucí práce: RNDr.Růžena Blažková,CSc.

Prohlašuji, že jsem předloženou diplomovou práci zpracovala samostatně a použila jen prameny uvedené v seznamu literatury.

Souhlasím, aby práce byla uložena na Masarykově univerzitě v Brně v knihovně Pedagogické fakulty a zpřístupněna ke studijním účelům.

V Brně dne 25. března 2007

………………………… podpis

2

Poděkování

Na tomto místě bych ráda poděkovala RNDr. Růženě Blažkové, CSc. za odborné vedení a konzultace při zpracování mé diplomové práce.

3

OBSAH

Úvod ………………………………………………………………….. 1. DÍTĚ A MATEMATIKA………………………………………….. 1.1

6 8

Motivace ……………………………………………………… 12

1.1.2 Získávání informací …………………………………………..

13

1.1.3 Abstrakce …………………………………………………….. 15 1.1.4 Automatizace …………………………………………………

16

1.1.5 Chyba ve výuce ………………………………………………

18

1.1.6 Klima třídy …………………………………………………… 19 1.1.7 Aktivita ………………………………………………………. 20 2. RÁMCOVÝ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM ………………………… 22 2.1

Charakteristika vzdělávací oblasti ……………………………. 22

2.1.2 Cílové zaměření ………………………………………………. 23 2.1.3 Problémové úlohy …………………………………………….. 26 3. NESTANDARDNÍ APLIKAČNÍ ÚLOHY …………………………. 28 3.1

Magické čtverce ………………………………………………. 29

3.1.2 Číselné a obrázkové řady, algebrogramy….…………………... 39 3.1.3 Slovní úlohy …………………………………………………… 45 3.1.4 Úlohy z geometrie …………………………………………….. 57 4. REFLEXE PRÁCE …………………………………………………... 65 4. 1

Vyhodnocení dotazníku ……………………………………….. 65

4

5. ZÁVĚR ………………………………………………………………. 70 6. RESUMÉ ……………………………………………………………. 71 7. SUMMARY ………………………………………………………..

72

8. SEZNAM LITERATURY …………………………………………

74

9. SEZNAM PŘÍLOH …………………………………………………

75

9. 1. Přílohy …………………………………………………………. 76

5

ÚVOD

Téma diplomové práce jsem si vybrala na základě svého zamyšlení nad stylem vyučování a nad možnostmi, jak tuto výuku dětem zpestřit. Cílem mé práce bylo sestavit soubor námětů a příkladů, které povedou žáky k samostatnému hledání a řešení problémů, k nimž potřebují správnou myšlenku a dobrý nápad. Co všechno si lze představit pod pojmem matematika? Je to věda stará jako lidstvo samo. Všechny archeologické nálezy vydávají svědectví o tom, že matematika provází lidstvo celá tisíciletí. Jelikož nás matematika provází na každém kroku, dalo by se předpokládat, že je všem blízká a srozumitelná. Skutečnost je však poněkud jiná. Matematiku milují žáci v prvních ročnících školní docházky a s postupem času zájem o matematiku utichá. Proč tomu tak je? Možná by bylo dobré se zamyslet nad způsobem výuky na našich školách a směřovat vyučování od transmisivního k vyučování konstruktivnímu. Aby vyučování matematice na školách nebylo pouze formální, málo zajímavé a efektivní. Naši žáci se učí s cílem obstát ve školních prověrkách, učí se tomu, co se po nich požaduje, bez určitého smyslu. Nedokáži poznatky z matematiky aplikovat do praxe. Prioritou ve vzdělání by neměl být rozsah učiva, ale kvalita vzdělávacích postupů, které vedou k samostatnému hledání a řešení problémů, rozvíjení intelektu žáků, a tím i ke schopnosti matematiku aplikovat. Proto jsem se snažila o vytvoření řady příkladů, které mohou využít učitelé ve své práci s talentovanými žáky, ale i s těmi méně nadanými a zpestřit jim tak hodiny matematiky.

6

Práce je rozdělena do čtyř okruhů. V prvním jsem se zaměřila na vývoj dítěte, na utváření vztahů k učení a poznávání. Jaký význam má pro dítě rozvoj řeči, získávání informací. Druhá část pojednává o kurikulárním systému školství, který je v současné době zaváděn do praxe na základě Rámcového vzdělávacího programu. Ve své práci jsem se zaměřila na vzdělávací oblast Matematika a její aplikace. Třetí část má název Nestandardní aplikační úlohy a jsou zde uvedeny konkrétní úlohy pro práci s dětmi na 1. stupni ZŠ. Některé z úloh byly vyzkoušené v praxi. Snažila jsem se vytvořit materiál, který by učitelům pomohl v jejich práci. Závěr práce patří reflexi a vyhodnocení dotazníku, který byl součástí pracovních listů. Smyslem dotazníku bylo zjištění, jaký je zájem žáků o netradiční úlohy a matematiku.

7

1. DÍTĚ A MATEMATIKA

Problematikou vztahů dítěte a matematiky se zabývá mnoho autorů a jednou z podnětných publikací je kniha Dítě, škola a matematika. Autoři se zabývají tím, jaký vliv má vývoj mateřského jazyka a komunikace na rozvoj osobnosti dítěte. Sledují a popisují reakci učitelů na názory žáků. Tato publikace autorů Milana Hejného a Františka Kuřiny byla pro moji diplomovou práci podnětná. Od prvních týdnů svého života si dítě osvojuje mateřský jazyk. Tento proces probíhá při spontánní aktivitě dítěte, rodičů, širší rodiny a společnosti, která dítě obklopuje. Každé zdravé dítě nejen porozumí své mateřštině, ale naučí se jí i mluvit. Škola nejen ve výchově jazykové, ale i v matematice často žákům vnucuje hotové formy, přesně dané pracovní postupy, žáci mají málo prostoru a možnosti vyjádřit a zdůvodnit své myšlenky. Americký psycholog W. Hull se vyjádřil: ,,Kdybychom děti učili mluvit ve škole, nikdy by se to nenaučily.“ (podle Holta, 1994, s.4). Učit se jazyku je možné jenom v průběhu komunikace, která probíhá po celý život. Pod jejím vlivem se jazyk mění, ale zároveň je zdrojem poznávání. Komunikace není jen slovní, ale dětem je také blízký výtvarný projev. A jak souvisí komunikace s matematikou? Dobré zvládnutí jazyka je důležité pro společenskou komunikaci a zároveň pro porozumění všem předmětům. Mnohé potíže žáků s řešením úloh tkví svou podstatou v nízké úrovni porozumění jazyku. O rozvíjení řeči, kreslení a o škole píše německý filozof Hans Georg Gadamer ( 1999, s. 35 ):

8

Život řeči, plný napětí, se vždycky odehrává v antagonismu mezi konvenčností a revolučním vykročením. Všichni jsme zakusili první řečovou drezuru, když jsme přišli do školy. Co všechno tam najednou nebylo dovoleno, co se naší zdravé fantazii, která dosud ovládala naši řeč, zdálo správné! Nejinak je tomu třeba i při výuce kreslení, která přece často vede k tomu, že děti se ve škole odnaučí mít z kreslení radost, a tak se odnaučí kreslit. Vskutku je právě škola institucí společenského konformismu ve velkém. Školní konformismus vzniká právě proto, že děti jsou vedeny k osvojování ,,hotových formulací“, aniž jsou brány v úvahu jejich spontánní komunikační a poznávací procesy a přirozené motivace k nim. Ve škole existují mnohá tabu, která jsou sice z hlediska průběhu výuky pochopitelná, která však mohou být překážkou v rozvíjení aktivity a tvořivosti žáků. Téměř v každé hodině je zakázané bavit se se sousedem při řešení úloh. Úlohy vyžadujeme řešit podle předem stanoveného postupu, psát jednotné odpovědi apod. Samozřejmě musíme vést žáky i k přijetí určitých pravidel, měli bychom jim však vysvětlit jejich smysl, ukázat jim, že jsou i v jejich zájmu, jinak by se nemohli domluvit, a tedy ani uplatnit. Měli bychom však respektovat duševní postupy žáků, které mohou být i nestandardní a zvláštní. Každé dítě aktivně reaguje na všechny podněty, které dostává od počátku svého života i prostřednictvím vytvářejícího se jazyka, vnímá jazyk okolí, i když mu zpočátku plně nerozumí, cítí vyjadřování jako něco nezbytného pro zapojení sebe samého do světa ostatních. Každý svůj objev dítě komentuje, sděluje své dojmy okolí, a to i tehdy, když se jeho jazyk teprve postupně utváří. Stejně tak na mnohé podněty reaguje vědecký pracovník. Vytváří hypotézy a připravuje systém experimentů pro jejich ověření

nebo zamítnutí. Součástí jeho práce je

komunikace s ostatními odborníky oboru. Tyto činnosti jsou činnostmi konstruktivními,

9

vytvářejí nové. Dítě vytváří nová slova, nové věty, novou gramatiku, vědec nové výsledky, nové poznatky, nové teorie. Hlavní a prvotní zdroj poznatků, který vzniká během praktické činnosti člověka, jsou zkušenosti. (Hartl, Hartlová, 2000, s. 703). Zkušenosti hrají významnou roli v každém poznávacím procesu. Nelze pochopit to, co neznáme ze zkušenosti (Selye, 1975, s.347). V dobrém vyučování vede učitel žáky k samostatnému odhalování nových myšlenek. Napomáhá svou trpělivostí, povzbuzujícím dialogem a vhodnou motivací. Objevování je náročný intelektuální proces, který vyžaduje dostatek času. Zeptáme-li se prvňáčka, který předmět má nejraději, přihlásí se v matematice téměř celá třída, zvláště když je v hodinách využíváno hojně názoru a žáci jsou vedeni k poznání, že to všechno, co se učíme,

už známe z vlastní zkušenosti, jen jsme to neuměli

pojmenovat matematicky a využít všude, kde se taková dovednost využít dá. Znalost, kterou neumíme formulovat slovy, dokážeme někdy projevit činností. Žák umí např. sčítat nebo řešit rovnici, ale neumí tuto činnost popsat. Proč tedy v následujících ročnících nastává úbytek těch, u nichž je předmětem oblíbeným? Příčin je velmi mnoho. Výzkumy v oblasti psychologie prokázaly, že každý člověk je bytost neopakovatelná a přichází na svět s vybavením, které není shodné s žádným jiným jedincem. Každý člověk má jinou kapacitu paměti, schopnost rychle vnímat, reagovat, kombinovat a logicky uvažovat Škola by především měla být Komenského dílnou lidskosti, místem vzájemného ovlivňování žáků a učitelů.

Hlavním cílem je kultivovat a pěstovat ty přirozené schopnosti, s nimiž se děti na svět rodí – elán, zvídavost, hravost, chuť experimentovat a zkoušet, konečně i jistou

10

důvěřivost a odvahu – tak, aby se z nich co nejméně zničilo a ztratilo, a přitom aby samu společnost neohrožovaly. Jde o to, aby se osobní náboj životní energie dítěte podpořil a zároveň usměrnil pro lidsky a společensky cenné cíle, aby se vlil do kulturních a civilizačních forem a tím je oživoval, tj. také měnil, a přitom je neroztrhal a nezbořil. (Sokol, 1996, s. 40).

Měli bychom se snažit budovat školu tvořivou, školu, která nejen dává všem žákům příležitost k aktivnímu rozvoji, ale která je vedena tak, že školní práce a diskusí se na různých úrovních účastní všichni žáci. Mělo by to být prostředí podnětné pro všechny zúčastněné, pro žáky i pro učitele. O takovém ideálu školy píše Popper (1997, s. 49):

Pedagogika obvykle vypadá tak, že se dávají odpovědi, aniž se položily otázky, ale na otázky se neodpovídá… Učíme se z informací, které do nás proudí skrze naše smysly, opakováním se pak učíme zákonitostem. Já se naopak domnívám, že se učíme pouze činností, aktivitou, a nikdy pasivitou.

Ve škole je důležitá komunikace mezi učitelem a žáky a mezi žáky samotnými. Je podstatná pro zrod nových poznatků, pro konstrukci poznání. Aby vzdělávací proces byl účinný, je nutné znát dobře nejen didaktickou strukturu učiva, problematiku komunikace s žáky nebo zákonitosti práce se skupinou dětí, ale i žákův duševní svět. Jednou z možností, které k takovému poznání vedou, je rozbor dětského výtvarného projevu nebo vhodně řízený dialog s žáky. Učitel tak lépe porozumí žákům a dokáže s nimi komunikovat při řešení úloh. Otázka porozumění je v matematice velmi důležitá. Rozumět znamená chápat souvislosti, umět formulovat otázky a problémy a řešit je,

11

umět aplikovat teorii. Žáci by měli být vedeni ke spolupráci, vzájemné komunikaci o problému.

1.1 Motivace Významnou etapou v matematice je etapa motivace. Jde o probuzení snahy člověka o vytvoření příslušného pojmu. Motivace vede k intenzivnímu zaměření a obvykle i citovému upnutí ke studovanému problému. Je začátkem poznávacího procesu a je předpokladem zahájení procesu učení, představuje jeho úspěšný start. Je to souhrn podnětů k určitému jednání. Žák, který se nebude chtít učit, nebude mít o učení zájem, nebude k učení motivován, nevybuduje si poznatkovou strukturu, neboť k tomu je potřeba aktivita žáka. Motivovaný žák se snaží hledat nové cesty k cíli. Význam motivace zdůrazňuje i J. A. Komenský ( 1946, s. 31):

Přistupuj k učení jen tehdy, byla-li u žáka silně podnícena chuť k učení.

O tom, jak je motivace v procesu učení důležitá píše řada autorů. Zmíním slova V. Jamka (1998, s. 184):

Škola není místo, kde by dítě mělo získat co nejvíce vědomostí a přitom se vůbec nenamáhat. Koncept ,,školy hrou“ spíše žádá, aby škola využívala spontánní objevování schopností dítěte, a tak je k námaze motivovala, ne však, aby je námahy ušetřila. Škola bez námahy a píle není žádoucí: především ve škole si dítě může vštípit základní kulturu úsilí, která je v naší civilizaci potřebná. Požadovat výkon – a to výkon smysluplný – je jednou ze základních funkcí školy.

12

Dítě je zvídavé, chce poznávat věci, které ho obklopují. Motivace dítěte k poznávání světa se liší od motivace dospělého. Je těkavá, nevyhraněná a má silnou potřebu nápodoby. Nedokážeme-li uspokojit zájmy dítěte ihned, obrátí svou pozornost jinam. Jeho motivační pole je obvykle široké. Žáků, kteří jsou k učení matematice motivování potřebou poznávat je málo. Nejčastěji bývá hlavním motivem snaha získat dobrou známku, zalíbit se učiteli, udělat dobrou známkou radost rodičům.

1. 1. 2 Získávání informací Dobrá motivace vede žáky k zájmu o danou problematiku. Žák chce vědět víc, získávat informace, má zájem hledat řešení. Autoři Hejný, Kuřina ve své publikaci Dítě, škola a matematika uvádějí jako zdroje získávání informací především smysly, řeč a komunikaci. Čísla, podobně jako jiné abstraktní pojmy, nemůžeme bezprostředně vnímat smysly. Smysly můžeme vnímat pouze jejich reprezentanty. S předměty, pomocí nichž reprezentujeme přirozená čísla, můžeme manipulovat, můžeme je vidět, můžeme o nich mluvit. Řadu úloh řešíme nejdříve pomocí jejich modelování. Zvláště na prvním stupni ZŠ je názor velice důležitý. Čím více smyslů dítě zapojí, tím si více zapamatuje. Při tradičním vyučování učitel vysvětluje, tj. vysílá informace, a žáci informace přijímají. Ti žáci, kteří výklad učitele nesledují, nedávají pozor, informaci nepřijímají. Jiní přijmou pouze část informace a tu si uloží do paměti jako izolovaný poznatek, bez propojení na jiné poznatky. Skupina žáků informace nejen přijmou, ale i zpracují, vytvoří si jistou představu, kterou ve svém vědomí propojí s jinými poznatky. Pomocí artikulace se z myšlenky stává informace. Jakmile je nová informace přijata, dochází k zařazení nové představy.

13

Člověk informace vysílá písmem, obrázkem, tabulkou, řečí, různými zvuky nebo gesty. Představa nebo pojem se tak mění na artikulovanou informaci. K typicky školní artikulaci poznatků a představ dochází při zkoušení žáka. Nejčastěji jde o žákovo písemné řešení úlohy v testu nebo odpověď u tabule. Učitel předloží žákovi úlohu nebo mu položí otázku. Žák věci promýšlí, aktualizuje některé své znalosti, vytváří si příslušnou představu a artikuluje ji. Dělá dvě činnosti – matematickou a komunikační. Při matematické řeší úlohu a při komunikační artikuluje myšlenky, které probíhají nebo proběhly v jeho hlavě. Někdy žák věci nepromýšlí, ale odpovídá okamžitě na základě asociace. Má příslušný poznatek uložený v dlouhodobé paměti jako okamžitě dostupný. Například na otázku Kolik je pět krát čtyři? odpoví okamžitě dvacet, protože tento spoj má již zautomatizovaný, je uložen v jeho dlouhodobé paměti a je lehce dostupný. Žák odpoví rychle a nepotřebuje skoro žádnou intelektuální energii. Automatizované spoje nám ulehčují práci, protože uvolňují intelektuální energii na náročnější mentální operace. Kvalita artikulované znalosti však může být silně formální. Z toho, že žák odpoví hbitě, správně a jistě, neplyne, že jeho odpověď je podložena příslušnou představou. Žák například ví, že 5 x 4 = 20, ale nedovede odpovědět, kolik musí zaplatit za 5 lízátek po 4 Kč. Jeho poznatek je zatížen formalismem. Naproti tomu jiný žák, který třeba nedovede odpovědět tak hbitě, vyřeší slovní úlohu bez problémů. Informace, které nevycházejí z představy, ale pouze z paměťového záznamu, je reprodukcí toho, co žák slyšel, viděl, četl a bez hlubšího zpracování uložil do paměti. Ve školní komunikaci založené na výkladu učitele dochází k přenosu myšlenek. Kvalita této komunikace závisí především na dvou faktorech: 1. Na míře srozumitelnosti jazyka, který učitel používá. 2. Na míře motivace žáka jako adresáta myšlenky.

14

(Hejný, Kuřina, 2001, s. 103)

1. 1. 3 Abstrakce Pro matematiku je důležitý proces abstrakce. Řada představ o matematických pojmech se rodí v kontaktu dítěte s realitou jeho světa ještě v předškolním věku. To se týká například prvních přirozených čísel a operací s nimi a některých geometrických pojmů. Dítě poznává svět v procesu řešení problémů, které jsou pro ně aktuální, jimiž žije. Sbírá zkušenosti, vytváří si postoje, poznává všemi smysly, především prostřednictvím komunikace. Jakmile získá určité množství zkušeností, vytváří nový pojem a tento proces nazýváme abstrakční zdvih. Abstrakčním zdvihem je ukončena etapa pokusů a omylů. Školní matematika by měla být spjata s duševními výkony žáků, stejně tak jako je věda v procesu svého vzniku spjata s duševními výkony svých tvůrců. Proces abstrakce je jeho součástí. Je přítomna v každé intelektuální činnosti člověka. Schopnost abstrakce nám u dětí pomáhají rozvíjet různé hádanky, úlohy, hry, rozhovory. Stačí jim nabídnout přiměřené podněty. V poznávacím procesu člověk obvykle nejdříve porozumí několika konkrétním příkladům, všímá si, co mají společného, a dochází tak k obecnějším a abstraktnějším poznatkům. Soustředíme-li své úsilí při studiu problému na určitou jeho stránku, organizujeme své zkušenosti tak, abychom ji co nejlépe poznali, vytváříme oddělené pohledy na problém, které vedou k separovaným modelům studovaných jevů. Separovanými modely čísla pět je 5 prstů, 5 hrušek … Separované modely reprezentují obecné pojmy.

15

Znalost, která není opřena o žádnou konkrétní představu, je obvykle silně formální. Někteří učitelé brání vytváření představ, např. nedovolí dítěti použít

prsty jako

aritmetický model. Separované modely tvoří etapu hledání, mají charakter ukázky. Obecnější charakter má model univerzální, je to etapa nalézání výsledků, představuje obecný návod, algoritmus, vzorec, graf…

J.A.Komenský (1946, s. 35): Ukázky nechť kráčí vpředu, poučka ať vždy následuje, napodobení nechť je vždy důrazně požadováno. Pro první početní poznatky slouží jako univerzální model prsty. Dítě, které sleduje otce, jak pomocí prstů počítá, kolik je v bytě oken, nejprve neví, proč se počítají prsty, když se mluví o oknech. Po jisté době to pochopí a myšlenku prstů jako vzoru pro počítání věcí si osvojí. Tak se s prsty jako vzorem počítání seznamuje většina dětí. Vzor, který se do vědomí žáků dostal sdělením, nemá sílu univerzálního modelu. Je použitelný na modelování standardních situací. Základním rysem matematiky je hledání struktury. Cesta k matematice nevede shora, od hotové struktury. Je to cesta postupného konstruování matematického světa. Pro žáky 1. třídy je abstraktním poznatkem rovnost 2 + 3 = 5, pro žáka základní školy je abstraktním poznatkem Pythagorova věta. Abstraktní poznatek, který je konstruován jako výsledek určitého poznávacího procesu, se může později stát univerzálním nebo separovaným modelem jiného poznávacího procesu. Poznatek 2 + 3 = 5, který byl konstruován jako abstraktní poznatek, bude separovaným modelem při řešení této úlohy: Kolika různými způsoby můžeme zapsat číslo 5 jako součet několika přirozených čísel? Zda daný poznatek je separovaným modelem, univerzálním modelem nebo abstraktním poznatkem, závisí na jeho roli v poznávacím procesu a v poznatkové struktuře člověka.

16

(Hejný, Kuřina, 2001, s. 111)

1. 1. 4 Automatizace Získané poznatky je třeba neustále opakovat, procvičovat, zapojovat do zkušeností. Mnohé činnosti všedního dne děláme víceméně automaticky. Například řidič auta má činnosti s řadící pákou, plynem, spojkou a brzdou zcela zautomatizovány. To mu dává možnost lépe vnímat aktuální dopravní situaci, vést rozhovor se spolucestujícím apod. Automatizace uvolňuje intelektuální energii člověka pro jinou, náročnější činnost. Stejně je tomu i v matematice. Při řešení složité úlohy je naše pozornost zaměřena především na strategii řešení. Kalkulativní kroky děláme s nepatrným výdajem intelektuální energie, protože úpravy číselných i algebraických výrazů máme automatizovány. Schopnost dětí naučit se něco zpaměti se výrazně liší. Jedno dítě na to potřebuje den, jiné celé měsíce. Čekají-li ve výuce rychlejší na pomalejší, dochází k výraznému zpomalení výuky a silné demotivaci. Rychlejší žáci jsou otráveni zbytečným opakováním, pomalejší jsou pod tlakem pocitu viny i vůči kamarádům. Neschopnost naučit se sčítací spoje je vede k mylnému sebepoznání, že jsou v matematice slabí. Veškeré učivo by mělo být založeno na pochopení a porozumění, nikoliv na paměťovém učení. Jakékoliv memorování má v matematice negativní vliv a může odrazovat žáky od jejich zájmu o matematiku. Ve své monografii Styly učení žáků a studentů popisuje J. Mareš dva přístupy žáků k učení: povrchový – ten se opírá o pamětní učení, memorování. Poznatky jsou často formální, žáci nerozlišují podstatné od nepodstatného, učivo brzy zapomínají. hloubkový – vychází ze snahy postihnout smysl učiva, porozumět mu.

17

Mnozí učitelé vyžadují především povrchový styl učení a paměťové učení. Žáci se často učí odříkávat zpaměti definice a věty a přitom ani pořádně nerozumí jejich obsahu. Připomeňme si dílo Velká didaktika, kde J. A. Komenský napsal ( Komenský, 1905, s. 222):

Ať tedy platí pravidlo: Kolik kdo rozumí, tolik ať zvyká vysloviti, a naopak, co pronáší, tomu ať se učí rozuměti. Neboť kdo nedovede vyjádřit, co myslí, je jako socha; kdo tlachá, čemu nerozuměl, je jako papoušek.

1. 1. 5 Chyba ve výuce V současném systému vzdělávání se na chybu díváme z jiné stránky než tomu bylo dříve. Pro řadu učitelů byla chyba známkou toho, že žák neumí, neučí se. Mnozí učitelé se snažili chyby nalézat v žácích a poukazovat na ně bez jakéhokoliv vysvětlení a objasnění. Tento přístup má na žáky negativní dopad. Měli bychom vést žáky k tomu, aby si chybu sami našli a společně hledáme řešení k nápravě. O tom, jak se dívat na chybu v procesu učení pojednává spousta autorů. Jedním z nich je i Milan Hejný. Příčinou formálního vyučování mohou být v současném školství cíle, které jsou stanoveny pro dané předměty, a to naučit žáky učivu a splnit náročné osnovy. Někde se však vytratil individuální přístup k žákům, probouzet u nich radost z vědění a touhu po poznání. Pokud žák něčemu nerozumí, málokdy se zeptá učitele a požádá o vysvětlení. Má strach z chyby, z přiznání, že něčemu nerozumí. Jestliže učitel nepovažuje chybu za důvod ke kárání, ale příležitost k poučení, pak žáci nemají obavu požádat učitele o radu. Učitel, který se na chybu dívá jako na jev nežádoucí, vyvolává ve vědomí žáků strach z chyby a orientuje žáky k tomu, aby se snažili vyhnout odhalení své chyby. Žákova chyba může učiteli poodhalit způsob žákova myšlení i kvalitu jeho představ. Při

18

zkoumání příčiny chyby používá učitel často strategii podsouvání: pod žákovo matematické jednání podsouvá vlastní matematické zkušenosti. O pomoc učitele požádá jen ten žák, který: - nemá strach z přiznání vlastních nedostatků - cítí, že něčemu nerozumí, a má potřebu tento stav změnit - věří, že dokáže věcem porozumět - věří, že učitel mu dokáže pomoci Tyto podmínky se týkají nejen žáka samotného, jeho zvídavosti, ale také rodinného prostředí. Pokud dítě žije v rodinném prostředí, kde má právo podílet se na rozhodování, má dostatek vstřícné komunikace, podnětů k poznávání, rozvíjí se jeho kritické myšlení, má potřebu a zájem věcem rozumět. Naopak žák, který byl, např. v důsledku autoritativní výchovy, veden k poslušnému vykonávání toho, co řekne otec nebo matka, nemívá potřebu věci analyzovat, rozumět jim. Naše pedagogické povědomí tradičně vnímá chybu žáka, ale i učitele, jako jev nežádoucí, špatný, kterého je třeba se vystříhat. Má-li vzdělávací proces charakter předávání informací, je každá školní chyba zprávou o závadě v systému. Chybující žák signalizuje, že informaci dobře nepochopil nebo si ji nepřesně zapamatoval. Má-li vzdělávací proces charakter procesu poznávacího, je chyba jeho přirozeným prvkem. Poznání nespočívá jen na pravdě, nýbrž i na omylu (Jung, 1995, s. 141). Každá chyba má své příčiny. Poučit se z chyby znamená hledat její příčiny. Podstatné pro vzdělávací proces je učit žáky soustředit se, umět si chybu najít, hledat jiné řešení, které vede ke správnosti. K tomu je však důležité dobré vedení učitele. Právě matematika má dostatek příležitostí pro pěstování této vlastnosti – řešení úloh, poznávání a užití algoritmů a kalkulů.

19

1. 1. 6 Klima třídy Úkolem školy je formovat osobnost člověka, utvářet jeho hodnotový systém, jeho mravní zásady, vztah ke společnosti, přispívat k jeho občanskému zrání. K tomu je zapotřebí vzájemné důvěry mezi učitelem a žáky. Aby panovala klidná atmosféra ve výuce, záleží také na klimatu třídy. Autoritativní klima neumožňuje konstruktivní přístup. Klima třídy je utvářeno i tím, jaké cíle si škola klade a jaké metody k jejich naplnění volí. Abstraktní a příliš vysoké cíle, které jsou nedostupné pro řadu žáků, vedou k formálním přístupům k učivu a nemotivují ani učitele, ani žáky k tvořivé aktivitě. Neměli bychom zdůrazňovat, co mají žáci zvládnout, ale spíše cesty, jak toho dosáhnout. Měli bychom rozvíjet zejména umění vidět, umění počítat, umění abstrahovat, umění konstruovat, umění argumentovat, dokazovat. Formálně osvojená matematika nerozvíjí žádné hlubší kognitivní schopnosti žáků. Rozvíjí jen mechanickou paměť žáků, nekultivuje však dostatečně myšlení a dává minimální podněty k rozvíjení tvořivosti. Dobře koncipované a v praxi dobře realizované vyučování má značný význam pro kognitivní a osobnostní rozvoj žáků.

1. 1. 7 Aktivita Základním úkolem učitele je motivovat žáky k aktivitě. V matematice je důležité volit vhodné otázky, problémy, výsledky. Učitel podněcuje žáky, aby formulovali vlastní nápady, názory, námitky. Podaří-li se mu to, je tím nastartován konstruktivní poznávací proces. V duševním světě žáků se odehrávají procesy porozumění, vznikají představy, krystalizují pojmy. Na dobře volených příkladech učitel shrnuje podstatné rysy učiva. Matematické vzdělání by mělo mít smysl a být užitečné. Mělo by žákům přinášet uspokojení a radost, pěstovat u žáků zvídavost, pracovní návyky. Matematika by měla

20

být hrou a ne drezúrou, pomáhá řešit problémy každodenních situací, je součástí lidské kultury. Učit matematiku neznamená zápolit s definicemi, větami, vzorci a důkazy, ale i jejich smyslem. Vyučovací předmět matematika na 1. stupni se orientuje na rozvíjení matematických schopností žáků, na dovednosti provádět matematické operace předloženým postupem a propojit je s reálnými situacemi. Žáci se učí získávat číselné údaje měřením, odhadováním, výpočtem a zaokrouhlováním. Práce v oblasti matematiky by měla být založena především na aktivních činnostech, vyučující využívají praktických znalostí a při budování žákovských kompetencí vycházejí z činnostního pojetí výuky. Žáci si postupně osvojují některé pojmy, matematické postupy, základy jazyka matematiky a způsoby jejich užití. Je tak kladen důraz na porozumění základním myšlenkám a pojmům matematiky a jejich vzájemným vztahům. V současném kurikulárním pojetí vzdělávání na základních školách jsou vytvářeny dokumenty na úrovni státní a školní. Státní úroveň představuje Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání, školní úroveň školní vzdělávací programy, které si podle zásad stanovených v RVP vytváří každá škola sama. Učivo je rozděleno do vzdělávacích oblastí a cílem je utvářet a postupně rozvíjet klíčové kompetence. Vzdělávací obsah je tvořen očekávanými výstupy a učivem. Učivo je strukturované do tematických okruhů a je doporučené školám k dalšímu rozpracování do jednotlivých ročníků. Jednou z oblastí RVP ZV je oblast Matematika a její aplikace, kterou se ve své práci budu zabývat v další kapitole.

21

2. RÁMCOVÝ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM

2. 1 Charakteristika vzdělávací oblasti Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace je v základním vzdělávání založena především na aktivních činnostech, které jsou typické pro práci s matematickými objekty a pro užití matematiky v reálných situacích. Poskytuje vědomosti a dovednosti potřebné v praktickém životě a umožňuje tak získávat matematickou gramotnost. Pro tuto svoji nezastupitelnou roli prolíná celým základním vzděláváním a vytváří předpoklady pro další úspěšné studium. Žáci si postupně osvojují některé pojmy, algoritmy, terminologii, symboliku a způsoby jejich užití. Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace je rozdělena na čtyři tematické okruhy. V tematickém okruhu Čísla a početní operace na prvním stupni, na který navazuje a dále ho prohlubuje na druhém stupni tematický okruh Číslo a proměnná, si žáci osvojují aritmetické operace v jejich třech složkách: dovednost provádět operaci, algoritmické porozumění (proč je operace prováděna předloženým postupem) a významové porozumění (umět operaci propojit s reálnou situací). Učí se získávat číselné údaje měřením, odhadováním, výpočtem a zaokrouhlováním. Seznamují se s pojmem proměnná a s její rolí při matematizaci reálných situací. V tematickém okruhu Závislosti, vztahy a práce s daty žáci rozpoznávají určité typy změn a závislostí, které jsou projevem běžných jevů reálného světa. Uvědomují si změny a závislosti známých jevů, docházejí k pochopení, že změnou může být růst i pokles a že změna může mít také nulovou hodnotu. Tyto změny a závislosti žáci analyzují z tabulek, diagramů a grafů, v jednoduchých případech je konstruují. Zkoumání těchto závislostí směřuje k pochopení pojmu funkce.

22

V tematickém okruhu Geometrie v rovině a v prostoru žáci určují a znázorňují geometrické útvary a geometricky modelují reálné situace, hledají podobnosti a odlišnosti útvarů, které se vyskytují všude kolem nás, uvědomují si vzájemné polohy objektů v rovině, učí se porovnávat, odhadovat, měřit délku, velikost úhlu, obvod a obsah. Zkoumání tvaru a prostoru vede žáky k řešení polohových a metrických úloh a problémů, které vycházejí z běžných životních situací. Důležitou součástí matematického vzdělávání jsou Nestandardní aplikační úlohy a problémy, jejichž řešení může být do značné míry nezávislé na znalostech a dovednostech školské matematiky, ale při němž je nutné uplatnit logické myšlení. Tyto úlohy by měly prolínat všemi tematickými okruhy v průběhu celého základního vzdělávání. Žáci se učí řešit problémové situace a úlohy z běžného života, pochopit a analyzovat problém, utřídit údaje a podmínky, provádět situační náčrty, řešit optimalizační úlohy. Řešení logických úloh posiluje vědomí žáka ve vlastní schopnosti logického uvažování a může podchytit i ty žáky, kteří jsou v matematice méně úspěšní. Žáci se učí využívat prostředky výpočetní techniky (především kalkulátory, vhodný počítačový software, určité typy výukových programů) a používat některé další pomůcky, což umožňuje přístup k matematice i žákům, kteří mají nedostatky v numerickém počítání a v rýsovacích technikách. Zdokonalují se rovněž v samostatné a kritické práci se zdroji informací.

2. 1. 2 Cílové zaměření vzdělávací oblasti Vzdělávání v dané oblasti směřuje k utváření a rozvíjení klíčových kompetencí. Klíčové kompetence představují souhrn vědomostí, dovedností, schopností, postojů a hodnot důležitých pro osobní rozvoj a uplatnění každého člena společnosti. K jejich utváření a rozvíjení by měl směřovat a přispívat veškerý vzdělávací obsah a aktivity, které ve škole

23

probíhají. Osvojování klíčových kompetencí je proces dlouhodobý a složitý. Jednotlivé klíčové kompetence vedle sebe nestojí izolovaně a různými způsoby se prolínají. V matematice uplatňujeme kompetence: 1. k učení 2. k řešení problémů 3. komunikativní 4. sociální a personální 5. občanské 6. pracovní Oblast matematiky přispívá k utváření a rozvíjení klíčových kompetencí tím, že vede žáka k: 1. využívání matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech jako jsou odhady, měření a porovnávání velikostí a vzdáleností, problémy orientace, rozvíjení paměti žáků prostřednictvím numerických

výpočtů a osvojování si nezbytných

matematických vzorců a algoritmů

2. rozvíjení kombinatorického a logického myšlení, ke kritickému usuzování a srozumitelné a věcné argumentaci prostřednictvím řešení matematických problémů

3. rozvíjení abstraktního a exaktního myšlení osvojováním si a využíváním základních matematických pojmů a vztahů, k poznávání jejich charakteristických vlastností a na základě těchto vlastností k určování a zařazování pojmů

4. vytváření zásoby matematických nástrojů (početních operací, algoritmů, metod řešení úloh) a k efektivnímu využívání osvojeného matematického aparátu

24

5. vnímání složitosti reálného světa a jeho porozumění; k rozvíjení zkušeností s matematickým modelováním (matematizací reálných situací), k vyhodnocování matematického modelu a hranic jeho použití; k poznání, že realita je složitější než její matematický model, že daný model může být vhodný pro různorodé situace a jedna situace může být vyjádřena různými modely

6. provádění rozboru a plánu řešení, odhadování výsledků, volbě správného postupu k vyřešení problému a vyhodnocování správnosti výsledku vzhledem k podmínkám úlohy nebo problému

7. přesnému a stručnému vyjadřování užíváním matematického jazyka včetně symboliky, prováděním rozborů a zápisů při řešení úloh a ke zdokonalování grafického projevu

8. rozvíjení spolupráce při řešení problémových a aplikovaných úloh vyjadřujících situace z běžného života a následně k využití získaného řešení v praxi; k poznávání možností matematiky a skutečnosti, že k výsledku lze dospět různými způsoby

9. rozvíjení důvěry ve vlastní schopnosti a možnosti při řešení úloh, k soustavné sebekontrole při každém kroku postupu řešení, k rozvíjení systematičnosti, vytrvalosti a přesnosti, k vytváření dovedností vyslovovat hypotézy na základě zkušenosti nebo pokusu a k jejich ověřování nebo vyvracení pomocí proti příkladů

25

2. 1. 3 Problémové úlohy Jednou z možností rozvíjení kompetencí k učení a řešení problémů

je řešení

problémových úloh. Problémové úlohy musí vycházet z reálné životní situace nebo na ně navazovat. Problémová úloha by měla žáka podněcovat k uvažování, hledání, zkoumání. Matematickým problémem rozumíme matematickou úlohu, kterou žáci nemohou řešit pouze pomocí mechanismů a stereotypů, které si osvojili, ale k jejímuž vyřešení potřebují matematickou tvořivost. Je chápána jako schopnost všímat si zákonitostí, schopnost porovnávat, účelně experimentovat, vytvářet správné analogie, zobecňovat, vyslovovat hypotézy a ověřovat je. Vyučování matematice na 1. stupni ZŠ poskytuje mnoho možností k rozvoji myšlení žáků tak, aby byli schopni tvořivě uplatňovat nabyté vědomosti. Jednou z možností je zařazování vhodných netypových úloh a postupné vedení žáků k jejich samostatnému řešení. Problémové úlohy představují praktickou nebo teoretickou obtíž, kterou žáci samostatně překonávají svým vlastním aktivním přístupem a tím získávají nové zkušenosti a nové poznatky. Problémem se stává úloha, které žák porozuměl a která ho upoutala natolik, že ji chce řešit. Žáci musí zhodnotit své dosavadní vědomosti, ujasnit si dosavadní poznatky z dané tématiky, musí začít experimentovat, využívat analogie, kombinovat známé postupy, ověřovat a zobecňovat získané zkušenosti. Radost z úspěchu a uspokojení ze samostatné tvůrčí práce formují u žáků kladný emocionální vztah k matematice. Při zavádění problémové metody zvyšujeme náročnost na samostatnost žáků. Při řešení zpravidla učitel formuluje problém, hledá se žáky cesty k řešení a žáci problém řeší

26

nebo učitel formuluje problém, žáci hledají cesty k řešení a problém řeší nebo žáci sami vyhledávají problémy, hledají cesty k řešení a problémy řeší. Každou problémovou situaci je nutno analyzovat, zdůvodnit jednotlivé postupy řešení problémů. Žáci by měli umět formulovat problém matematicky, umět matematizovat reálnou situaci. Aby problémové úlohy plnily svou vzdělávací a rozvíjející funkci, musí být přiměřeně náročné, musí využívat důvtipu žáků, musí je učit taktice a rozvaze. Při postupném zařazování problémové metody do vyučování je zpočátku vhodné, když učitel formuluje problémovou úlohu a seznámí žáky s údaji potřebnými k jejímu řešení. Nato žáci buď sami nebo na podnětné otázky učitele navrhují vlastní postupy řešení. Vybírají z nich ty, které se zdají nejvhodnější, úlohu vyřeší a ověří si správnost zvolených postupů. Problémové úlohy jsou velmi náročné na čas. Proto je vhodné střídání standardních úloh s problémovými. Jejich řešení zvyšuje pracovní aktivitu žáků a učí je racionálnímu přístupu k řešení matematických úloh. V RVP ZV o problémových úlohách pojednává okruh Nestandardní aplikační úlohy. Řešení těchto úloh prostupuje celým vzdělávacím procesem. Mělo by žáky podnítit k aktivitě, myšlení. Příklady takových úloh uvádím v následující kapitole. Úlohy se dají využít pro práci nejen s talentovanými žáky.

27

3. NESTANDARDNÍ APLIKAČNÍ ÚLOHY

Záměrem těchto úloh je ukázat žákům zajímavost a využitelnost matematiky, aktivizovat jejich logické myšlení, posílit zábavné formy řešení problémů. Řešení těchto úloh nemusí bezprostředně souviset s úrovni osvojení matematických dovedností, což poskytuje příležitost k uplatnění a podchycení i prospěchově slabších žáků. Důležitým příspěvkem k naplňování klíčových kompetencí je práce s textem, přesné pochopení zadání slovní úlohy, které je nutnou podmínkou správného řešení. Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace má výrazně dovednostní a činnostní charakter. Role učitele spočívá především v efektivním zaměstnání žáků v době vyučování, kdy žáci řeší samostatně nebo skupinově úlohy a problémy, vyhledávají a vyvozují na základě vlastní činnosti nové poznatky a zdůvodňují je. Žáci se učí efektivně pracovat s kalkulátorem při numerických výpočtech (vyučující rozhoduje, v kterých situacích je jeho využití ve třídě vhodné) a poznávají výhody moderních technologií při grafickém projevu nebo při zpracování dat. Zpestření výuky a její propojení s jinými obory lze docílit zadáváním školních projektů, kde se žákům matematika ukáže jako důležitý nástroj pro uplatnění v různých oborech, informacemi o současném využití a významu matematiky a poznámkami z dějin matematiky, do jejichž vyhledávání a zpracování mají být žáci aktivně zapojeni. Učivo, řazené do oblasti Nestandardní aplikační úlohy a problémy: •

slovní úlohy

•

číselné a obrázkové řady

•

magické čtverce

•

prostorová představivost

28

3. 1 Magické čtverce Magickými čtverci rozumíme čtverce o n x n polích, do nichž jsou vepsána právě všechna čísla 1, 2, 3, …., n2 tak, že součty ve všech řádcích a sloupcích, včetně hlavní a vedlejší diagonály jsou tytéž. Tento součet je ½ . (1 + n2) . n a nazývá se konstantou daného čtverce . Původ magických čtverců je zahalen rouškou tajemství. První magické čtverce sestavili Číňané, neboť nejstarší zmínku o nich najdeme v čínské knize napsané 4 000 až 5 000 let před naším letopočtem. Do Evropy se magické čtverce dostaly na počátku 15. století a byla jim připisována kouzelná a léčivá moc.

Příklady:

1. Doplňte číslice 1 až 9 tak, aby ve všech směrech – svisle, vodorovně i na hlavních úhlopříčkách vycházel stejný součet. Každé číslo se smí vyskytovat pouze jednou.

29

Tento typ magického čtverce je určen především pro žáky 3., 4. a 5. ročníku. Řeší ho metodou experimentu, což vede k jejich myšlení, zapojují se všechny myšlenkové operace. Příklad nevypočítal samostatně ani jeden žák správně, většina se nesnažila příklad ani počítat. Většinou doplnili do všech polí číslo 5. Nepřečetli si správně zadání, kde je uvedeno, že čísla 1 – 9 se smí vyskytovat pouze jednou. Ti, kteří do čtverce doplnili do všech polí číslo 5, uváděli v dotazníku, že se jim zdál nejjednodušší. Žáci byli upozorněni, aby si všechny chybné pokusy nechali na papíře, aby viděli, jaké varianty si už vyzkoušeli a zbytečně neopakovali nesprávné pokusy. Návrh ke strategii řešení: 1. Zvolíme si prostřední číslo z číselné řady 1 až 9 a umístíme ho do středu magického čtverce. Daným číslem je číslo 5. 2. 5 + ? = 15 5 +10 = 15 Číslo 10 nelze použít, rozložíme si ho na 1 a 9 5 + 1 + 9 = 15 Číslo 1 a 9 umístíme do sloupce s číslem 5 3. V prvním řádku máme číslo 9 9 + ? = 15

9 + 6 = 15

Číslo 6 si rozložíme na 2 a 4 ( na 1 a 5 nelze, protože tato čísla jsme již použili ) Čísla 2, 4 doplníme do prvního řádku s číslem 9 2 + 9 + 4 = 15 4. Ve třetím řádku máme číslo 1 1 + ? = 15 1 +14 = 15

30

Číslo 14 nelze použít, rozložíme si ho na dvě jednociferná čísla z číselné řady 1 až 9, která ještě v magickém čtverci nemáme. Jsou to čísla 6 a 8. 6 + 1 + 8 = 15 Čísla 6, 8 doplníme do třetího řádku. 5. Zbývá nám doplnit druhý řádek 6 + 2 + ? = 15 6 + 2 + 7 = 15 8 + 4 + ? = 15 8 + 4 + 3 = 15 6. Z číselné řady 1 – 9 jsme ještě nepoužili čísla 3, 7. Tyto čísla doplníme do druhého řádku. Žáci si zkontrolují zda mají ve čtverci všechna čísla z číselné řady 1 až 9 a překontrolují součty v řádcích, sloupcích i úhlopříčkách.

2

9

4

7

5

3

6

1

8

2. Doplňte čísla 1 až 9 ve čtverci tak, aby součet ve všech směrech – řádcích, sloupcích, úhlopříčkách se rovnal 15. Každé číslo můžete zapsat pouze jednou.

31

4

3

5

Návrh ke strategii řešení: Úloha je vhodná pro žáky druhého ročníku, sami si zvolí postup řešení. Zda začnou doplňovat čísla na řádku nebo ve sloupci nebo v úhlopříčce. Jelikož žáci neznají pojem úhlopříčka, je nutné jim tento pojem vysvětlit a ukázat. 1. 3 + 5 + ? = 15

2. 4 + 5 + ? = 15

3 + 5 + 7 = 15

4 + 5 + 6 = 15

3. 6 + 7 + ? = 15

4. 4 + 2 + ? = 15

6 + 7 + 2 = 15

4 + 2 + 9 = 15

5. 9 + 5 + ? = 15

6. 4 + 3 + ? = 15

9 + 5 + 1 = 15

4 + 3 + 8 = 15

Do čtverce jsme postupně doplnili čísla z číselné řady 1 až 9, součet v řádcích, sloupcích i úhlopříčkách se rovná 15. Žádné číslo se nevyskytuje dvakrát. Zkouška: 4 + 9 + 2 = 15

4 + 3 + 8 = 15

4 + 5 + 6 = 15

3 + 5 + 7 = 15

9 + 5 + 1 = 15

2 + 5 + 8 = 15

32

8 + 1 + 6 = 15

2 + 7 + 6 = 15

4

9

2

3

5

7

8

1

6

3. Doplňte vynechaná čísla ve čtvercích tak, aby součet ve všech směrech – v řádcích, sloupcích i úhlopříčkách se rovnal 18. Každé číslo smíš použít pouze jednou.

5

10

4

Úloha je vhodná pro žáky druhého a třetího ročníku. Při jejím řešení si zvolí, zda doplní jako první řádek, sloupec nebo úhlopříčku. Jelikož není předem stanovena číselná řada, doplňujeme čísla do daného součtu. Žákům musíme předem vysvětlit a ukázat pojem

33

úhlopříčka, poté je necháme samostatně pracovat. Magický čtverec doplnilo samostatně správně pět žáků. Většina žáků vypočítala příklad po nápovědě a ukázce možného postupu. Nejčastější chyba: součet se rovnal 18 pouze v řadách a ve sloupcích. Zapomněli si všímat úhlopříčky, neprovedli si zkoušku správnosti. Návrh ke strategii řešení: Do tohoto čtverce jsme doplnili čísla z číselné řady 3 až 11.

5

10

3

4

6

8

9

2

7

Zkouška: 6 + 5 +10 = 21

6 + 11 + 4 = 21

6 + 7 + 8 = 21

11 + 7 + 3 = 21

5 + 7 + 9 = 21

10 + 7 + 4 = 21

4 + 9 + 8 = 21

10 + 3 + 8 = 21

(Příklady 2., 3. jsou převzaty ze Sbírky úloh z matematiky pro 2. a 3. ročník, SPN, 1993)

4. Vypočítej magický čtverec – součty se ve všech směrech, tj. ve sloupcích, řádcích i úhlopříčkách sobě musí rovnat.

34

195

245

185

205

215

I tento druh magického čtverce dělal žákům problémy. Někteří nepochopili, že by si měli vypočítat součet v úhlopříčce a poté postupně dosazovat do součtu 615. Nejčastější chyba: při sčítání čísel. Žákům je nutno předem vysvětlit pojem úhlopříčka a poradit jim, aby využili písemného sčítání. Návrh ke strategii řešení: Výpočtem úhlopříčky dostanu součet, který mi musí vyjít ve všech řadách a sloupcích. 195 205 215 615 Součet v tomto magickém čtverci je 615. 1. 195 + 185 + ? = 615 195 + 185 + 235 = 615 Do prvního sloupečku doplníme číslo 235.

2. 245 + 205 +

? = 615

35

245 + 205 + 165 = 615 Do druhého sloupečku doplníme číslo 165.

3. 195 + 245 + ? = 615 195 + 245 + 175 = 615 Do prvního řádku k číslům 195 a 245 doplníme číslo 175.

4. 185 + 205 + ?

= 615

185 + 205 + 225 = 615 Do druhého řádku doplníme číslo 225.

195

245

175

185

205

225

235

165

215

Zkouška: 1.

195

2.

185

3.

235

4.

195

245

205

165

185

175

225

215

235

615

615

615

615

36

5.

245

6.

175

7.

195

8.

175

205

225

205

205

165

215

215

235

615

615

615

615

Ve všech směrech nám součet vyšel 615, příklad jsme řešili správně.

5. V magickém čtverci jsou doplněna pouze čtyři čísla. Doplň zbývající čísla tak, aby součet ve všech směrech, tj. v řádcích, sloupcích i úhlopříčkách byl sobě rovný.

313

293

321

301

Příklad počítali žáci v pátých ročnících a pouze jednomu se povedlo vypočítat magický čtverec správně. Většina z nich si sečetla poslední řádek, dostali součet 915, doplnili první sloupec a dále už si nevěděli rady. Pomohla jim nápověda, aby si všímali úhlopříčky. Pak už většina z nich věděla, jak příklad dokončit, ale chyby dělali při operaci sčítání. Většina žáků zřejmě počítala zpaměti, protože na pracovních listech neměli žádné pomocné výpočty, přestože byli upozorněni, aby vše počítali na pracovní list. U těch, kteří využili písemného sčítání se tato chyba objevila pouze u dvou žáků. Na těchto magických čtvercích lze procvičit algoritmy písemného sčítání. (Příklady jsou převzaty z pracovního sešitu Matematické …minutovky, Prodos, 1999)

37

Návrh ke strategii řešení: Vypočítáme si součet čísel v posledním řádku. 293 + 321 + 301 = 915 Součet čísel ve všech směrech bude 915. 1. 313 + 293 +

? = 915

2. 309 + 301 + ? = 915

313 + 293 + 309 = 915

309 + 301 + 305 = 915

3. 321 + 305 +

? = 915

4. 313+ 305+ ?

321 + 305 + 289 = 915

= 915

313 + 305 + 297 = 915

5. 301+ 297 + ? = 915 301 + 297 + 317= 915

309

289

317

313

305

297

293

321

301

Zkouška: Sloupce

Řádky

309

289

317

309

313

293

313

305

297

289

305

321

293

321

301

317

297

301

915

915

915

915

915

915

38

Úhlopříčky 309

317

305

305

301

293

915

915

Ve všech směrech vyšel součet 915, úloha byla vyřešena správně. Tento postup řešení je jen jeden z možných postupů, záleží na žácích, jak budou postupovat a hledat možné způsoby správného řešení.

Při řešení magických čtverců si procvičí operace sčítání a odčítání, rozvíjí logické myšlení. Při zadávání je nutné žákům vysvětlit a názorně ukázat pojem úhlopříčka. Neustále je vést k tomu, aby si kontrolovali součty ve všech směrech.

3. 1. 2 Číselné a obrázkové řady, algebrogramy Číselná řada je řada čísel, kterou mají žáci doplnit dalšími čísly podle logického klíče. Stejně jako magické čtverce podporují logické myšlení, samostatné uvažování a zábavnou formou si žáci doplňují a procvičují své znalosti. Každá řada je utvořena podle klíče a sleduje : -

funkční závislosti

-

operace

-

zákonitosti opakování

Při sestavování číselných řad jsem vycházela ze znalostí žáků. Úlohy 3, 4, 7, 9, 10 byly vybrány z knihy Petra Husara Matematika – příprava k přijímacím zkouškám pro víceletá gymnázia. S číselnou řadou 1, 2 si poradili i žáci druhého ročníku.

39

Doplňte číselné řady: 1)

1, 5, 9, 13, 17, ________________________

Řešení: K daným číslům postupně přičítáme 4. 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, ...

2)

2, 4, 6, 8, ____________________________

Řešení: K daným číslům postupně přičítáme 2. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …. Tuto číselnou řadu jsem zařadila do metodického listu pro 3. ročník a všichni ji vyřešili samostatně a správně. Poradili si s ní i žáci druhého ročníku.

3)

11, 12, 10, 13, 9, _________________________

Řešení: Postupně přičítáme a odčítáme čísla 1, 2, 3, 4, atd. Lichá čísla přičítáme, sudá odčítáme od daných čísel. 11, 12, 10, 13, 9, 14, 8, 15, 7, 16, … S touto číselnou řadou si nejlépe poradili žáci čtvrtého ročníku. vypočítali správně číselnou řadu tři žáci, ze třetího ročníku dva žáci.

4)

5, 8, 14, 26, 50, __________________________

Řešení: Přičítáme 3, 6, 12, … 2 . n

40

Z pátého ročníku

5, 8, 14, 26, 50, 98, 194, 386 U této číselné řady pouze několik žáků pátého ročníku přišlo na její podstatu a příklad vypočítali správně. Ve třetím a čtvrtém ročníku žáci nenalezli její řešení. Dva žáci měli zajímavé řešení: 55, 58, 64, 76, 100 – daná čísla zvýšili o padesát.

5)

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, _________________________

Řešení: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

6)

1, 2, 4, 8, ________________________________

Řešení: Poslední číslo vždy zvětšíme dvakrát. 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …

7)

28, 26, 31, 29, 34, 32,________________________

Řešení: Střídavě odečítáme 2 a přičítáme 5. 28, 26, 31, 29, 34, 32, 37, 35, 40, 38, …

8)

1, 10, 100, ________________________________

Řešení: Daná čísla násobíme 10. 1, 10, 100, 1000, 10 000, … Počítali ji žáci čtvrtého a pátého ročníku a téměř všichni ji vypočítali správně.

41

Podle odpovědí v dotazníku se tato řada jevila žákům jako nejlehčí a nečinila jim žádné problémy. 9)

72 159, 97 215, 59 721, 15 972, ?

Řešení: Opakovaně přesouváme poslední číslici na první místo. 72 159, 97 215, 59 721, 15 972, 21 597

10)

126, 261, 612, 162, 621, ?

Řešení: Všechna čísla jsou trojmístná, sestavená z číslic 1, 2 a 6. 126, 261, 612, 162, 621, 216

11)

1, 10, 3, 8, 5, 6, 7, 4, 9, 2

Řešení: vytvoříme dvě řady – řadu lichých čísel vzestupně a řadu sudých čísel sestupně 1

3 10 8

5

7 6

9 4

2

Číselná doplňovačka – algebrogramy Algebrogramy jsou úlohy s matematickými výrazy, kde místo číslic jsou písmena. Úkolem je nahradit písmena číslicemi tak, aby vyhovovala naznačeným početním výkonům.

1. Dosaďte za písmena číslice 1 až 7 tak, aby rovnost vzniklých čísel byla zachována: D + D + E = 8 A + A + D = 8

42

A + C + E = 8 B + B - D = 8 C + C + F = 8 A - D + G = 8

Řešení: A=3

B=5

C=1

D=2

E=4

2+2+4=8 3+3+2=8 3+1+4=8 5+5–2=8 1+1+6=8 3–2+7=8 ( převzato ze Sbírky úloh pro 4. ročník, SPN, 1990 )

2. Dosaďte za písmena číslice tak, aby součet byl 2 222: A B C D B C D C D D 2

2

2

2

Řešení: A=1

B=5

C=7

D=3

43

F=6

G=7

1 5

7

3

5

7

3

7

3 3

2

2

2 2

3. Dosaďte za písmena číslice: O K L A M

A L

V Á

Í

P E N

K O M I

Řešení:

N Í

K

K A

61 7 8 0 8 7 98 5 4 2 3 1 160 3 2 3 1 8

4. Dosaďte za písmena číslice: DO + RE = MI FA + SI = LA RE + SI

Řešení:

+ LA = SOL

34 + 56 = 90 72 + 10 = 82 56 + 10 + 82 = 148

( příklady byly převzaty z knihy Jiřího Loukoty Veselá matematika, Votobia, 1998)

44

3. 1. 3 Slovní úlohy Nejen magické čtverce a číselné řady, ale také slovní úlohy patří mezi nestandardní aplikační úlohy. Řešení slovních úloh patří ve školské matematice mezi základní učivo. Úlohy by měly být žákům blízké, vycházet z toho, co je obklopuje, s čím se setkávají v běžném životě. O tom jak postupovat a vést děti k řešení slovních úloh, pojednává publikace Kapitoly z didaktiky matematiky ( slovní úlohy a projekty). Slovními úlohami rozumíme takové úlohy, ve kterých je souvislost mezi danými a hledanými údaji vyjádřena slovní formulací. Mají nezastupitelné místo ve vyučování matematice. Jsou v nich modelovány reálné situace. Žáci se s nimi setkávají již v 1. ročníku ZŠ. Učí se řešit jednoduché slovní úlohy, při nichž využívají operace sčítání a odčítání, později ve vyšších ročnících řeší úlohy, ve kterých je nutno k vyřešení použít více než jedné početní operace. Žáci zjišťují, jaké početní operace je třeba provést, aby mohli odpovědět na otázku slovní úlohy. Přechod od reálné situace k příslušnému matematickému modelu se nazývá matematizace reálné situace. Řešení probíhá ve 3 fázích: 1. matematizace slovní úlohy 2. řešení matematické úlohy 3. konfrontace výsledku matematické úlohy se zadáním slovní úlohy Tyto základní fáze je vhodné rozpracovat podrobněji. Žáky tak vedeme k uplatňování metody práce, kterou mohou využít ve vyšších ročnících nejen při řešení složitějších slovních úloh, ale i nejrůznějších dalších praktických problémů. a) porozumění textu – žák musí pochopit, co je předmětem otázky a které údaje jsou zadány. Pro děti je náročné sledovat text slovní úlohy, pokud je příliš dlouhý nebo obsahuje pojmy, kterým nerozumí. Pro pochopení je důležitý

45

rovněž zápis číselných údajů. Pro dítě není totéž, zda jsou zapsány pomocí číslic nebo číslovkami ( např. 2 hrušky, dvě hrušky ). b) rozbor – sledujeme, které údaje jsou zadány a které máme vypočítat. Pomohou nám otázky typu: Je možné uplatnit požadavky úlohy? Stačí či nestačí zadané údaje k určení údajů neznámých?

Vyskytují se v zadání údaje nadbytečné?

Správné pochopení vztahu mezi podmínkou a otázkou vede i ke správné volbě početních operací potřebných k řešení úlohy. Pokud žák nezvládne provést rozbor, volí operace náhodně, hádá a tím pracuje beze smyslu. Při rozboru učitel může žákům pomoci tím, že je učí klást si vhodné otázky: Řešili jste již někdy takovou nebo obdobnou úlohu? Dovedeme vyřešit alespoň část úlohy? Můžeme jinak formulovat úlohu? Ke správnému pochopení úlohy přispívá i to, že žák umí vyjádřit úlohu svými slovy nebo jednodušším způsobem. K pochopení slovní úlohy napomáhá grafické znázornění, které by v této fázi nemělo chybět. Důležité je při řešení úloh složených. Grafické znázornění musí být funkční a rozmanité a mělo by vyhovovat mentalitě žáků a jejich vyspělosti. Žáci by měli poznat různé možnosti znázornění a vybrat si a používat ten způsob, který jim nejvíce vyhovuje. Je vhodné ukázat žákům různé druhy názoru na jedné úloze. c) matematizace reálné situace – na základě rozboru slovní úlohy zapíšeme vztahy mezi zadanými a hledanými údaji pomocí matematických výrazů. Neznámé údaje označíme otazníkem, písmenem apod. d) provedení odhadu výsledku – odhadnutí výsledku je důležité pro správné řešení úloh. Odhady provádíme většinou pomocí zaokrouhlených čísel. e) řešení matematické úlohy – matematickou úlohu žáci vyřeší pomocí pamětných nebo písemných algoritmů.

46

f) zkouška správnosti – ověřujeme správnost získaného řešení. Slovní úlohy by měly být pestré, dětem blízké, dobře a srozumitelně formulované. Pro žáky je prospěšné, podílejí-li se sami na formulaci slovních úloh. K úspěšnému zvládnutí řešení slovních úloh přispívají i cvičení, ve kterých žáci hledají popis reálné situace k dané početní problematice, k danému příkladu, obrázku a rovnici formulují slovní úlohu. Žáci rádi řeší slovní úlohy z reálného života, matematika tak prolíná ostatními předměty. Přesto si to žáci neuvědomují, vidí matematiku jako samostatný předmět. Znalosti z matematiky využívají např. ve vlastivědě. Vypočítávají délky řek, srovnávají je, porovnávají výšky hor a pohoří, počet obyvatel ve městech. Při učivu z historie zjišťují kolik uběhlo let od dané události, před kolika lety se narodily některé slavné osobnosti, apod. Snažila jsem se utvořit řadu příkladů, které lze využít nejen v hodinách matematiky, ale lze je řešit v hodinách vlastivědy, přírodovědy při probírání daného učiva, či jako zpestření výuky čtení, slohu, kdy žáci mají za úkol seznámit kamarády s nějakou zajímavostí. Úlohy z historie České republiky a zeměpisu jsem vybrala z pracovního sešitu

Dělání smutky zahání, Nová škola, 2000. Příklady týkající se

historie Frenštátu pod Radhoštěm jsme vytvořili společně s žáky 4. ročníku.

Příklady slovních úloh, které lze využít v přírodovědě a vlastivědě: Z historie 1. Jiří z Poděbrad, husitský král, se narodil roku 1420. Jan Ámos Komenský, učitel národů, se narodil za 172 let po Jiřím z Poděbrad. Před kolika lety se narodil? Řešení: Jan Ámos Komenský se narodil před 415 lety.

47

2. Jak dlouhá doba uplynula od vynalezení knihtisku do zhotovení prvního filmu v roce 1895? ( vynález knihtisku – 1426 ). Řešení: Od vynalezení knihtisku do zhotovení prvního filmu uplynulo 469 let.

3. Český rozhlas začal poprvé vysílat 18.května 1923. Kolik let český rozhlas vysílá? Řešení: Český rozhlas vysílá 84 let.

4. První vlak tažený lokomotivou spatřili Pražané v roce 1845, první elektrickou tramvaj o 46 let později. V kterém roce vyjela první elektrická tramvaj v Praze a jak je to dlouho? Řešení: První elektrická tramvaj vyjela v roce 1891. Od té doby uplynulo 116 let.

5. Kolik let uplynulo od založení města Frenštátu pod Radhoštěm? Řešení: Město bylo založeno v roce 1382, uplynulo 625 let.

6. V roce 1870 žilo ve Frenštátě pod Radhoštěm 6 563 obyvatel. Zjisti, kolik obyvatel žije ve Frenštátě nyní a vypočítej, o kolik se počet obyvatel zvýšil. Řešení: V současné době žije ve Frenštátě pod Radhoštěm 11 921, což je o 5 358 obyvatel více.

7. Před 134 lety byla v Horní ulici postavena tzv. Chlapecká škola. O kolik let je naše škola mladší? Řešení: ZŠ Záhuní byla postavena v roce 1980. Chlapecká škola byla postavena v roce 1873. ZŠ Záhuní je o 107 let mladší než Chlapecká škola.

48

Ze zeměpisu 1. Vyhledej a zapiš délku toku nejdelší řeky v Evropě. Druhá nejdelší řeka v Evropě je Dunaj. Vyhledej její délku toku. O kolik je délka toku nejdelší řeky v Evropě větší než délka toku Dunaje? (nejdelší řeka v Evropě: Volha, délka toku 3 690 km; délka toku Dunaje: 2 850 km) Řešení: Délka toku Volhy je o 840 km delší než délka toku Dunaje.

2. V tabulce jsou uvedeny počty obyvatel některých měst ČR (zaokrouhleno na tisíce)

Rok 1930 Rok 1965 Rok 1991 Praha

849 000

1 005 000 1 212 000

Brno

264 000

314 000

388 000

Ostrava

125 000

235 000

326 000

Plzeň

114 000

138 000

173 000

76 000

106 000

Olomouc 66 000

Města nad 100 000 jsou velkoměsta. a) Kolik jsme měli podle tabulky v roce 1991 velkoměst? b) U měst, která měla v roce 1965 méně než 1 000 000 obyvatel vypočítej, kolik chybělo obyvatel do počtu 1 000 000. Řešení: a) V roce 1991 jsme měli 5 velkoměst. b) V Brně chybělo do 1 000 000 786 000, v Ostravě 765 000, v Plzni 886 000 a v Olomouci 934 000 obyvatel.

3. Země na své dráze kolem Slunce urazí 30 km za 1 sekundu.

49

Kolik kilometrů urazila za vaši vyučovací hodinu? Řešení: Za 45 minut urazila 81 000 km.

4. Tok Vltavy je 410 km dlouhý, tok Labe až k hranicím ČR je jen o 5 km delší. Labe však teče od hranic k moři ještě dalších 750 km. Jak dlouhý je celý tok řeky Labe? Řešení: Celý tok řeky Labe je dlouhý 1 165 km.

Hodiny matematiky lze zpestřit i zajímavými slovními úlohami, jejichž řešení může být nezávislé na znalostech a dovednostech školské matematiky. Žáci při jejich řešení uplatňují své logické myšlení a mohou podchytit i ty žáky, kteří jsou v matematice méně úspěšní. U těchto úloh je důležitá správná myšlenka a nápad.

Příklady zajímavých úloh, které lze využít na 1. stupni ZŠ: Následující úlohy jsou vybrány ze Sbírky úloh pro 4. ročník ZŠ, J. Melichar, V. Kalná, M. Koman, SPN, 1990; z matematické soutěže Klokan, z testů pro přijímací zkoušky na víceletá gymnázia. Při řešení těchto úloh můžeme žáky vybídnout, aby obdobné úlohy sestavili pro své spolužáky.

1. Na parkovišti je 5 osobních automobilů značky Škoda, 4 značky Fiat. Eva řekla Jitce: ,,Čtyři automobily z tohoto počtu jsou zelené, 5 je jich bílých. Vypočítej, kolik je zelených škodovek a kolik je bílých fiatů.“ Jitka chvíli úlohu řešila a pak řekla: ,,Úloha má pět řešení.“ Najděte je.

Řešení: b bílé auto z zelené auto

50

Škoda

Fiat

bzzzz

bbbb

bbzzz

zbbb

bbbzz

zzbb

bbbbz

zzzb

bbbbb

zzzz

2. Věk babičky a vnučky jsou dvojciferná čísla, v kterých je pořadí číslic vyměněno takto: AB a BA. Ciferný součet součtu obou věků je 18, součin obou věků je 1 944. Určete, o kolik let je babička starší než vnučka. Návrh ke strategii řešení: a) vypočítáme věk babičky a vnučky: 18 : 2 = 9 b) číslo devět rozdělíme na dvě cifry: 9=1+8

9=2+7

9=3+6

9=4+5

c) hledáme, která dvojice dává součin 1 944: 18 . 81 = 1 458

1 458 je menší než 1 944

27 . 72 = 1 944

1 944 = 1944

36 . 63 45 . 54 Hledanou dvojicí je 27 a 72. d) Babička má 72 let, vnučka má 27 let. e)

72 – 27 = 45

Babička je o 45 let starší než vnučka.

51

•

Tato slovní úloha byla řešena žáky 4. a 5. ročníku. Správně ji vypočítali dva žáci. Většina žáků se ani nesnažila příklad vypočítat, uváděli, že je to těžké.

3. Na volejbal nastoupili hráči dvou družstev. Před zápasem si každý hráč s každým hráčem soupeřovým podali ruce. Kolik stisků rukou to bylo, když víme, že v každém družstvu je šest hráčů? Řešení: Jestliže si první hráč podal ruce se šesti soupeři = 6 stisků, potom 6 hráčů si podalo ruce se šesti soupeři a to je 36 stisků.

4. Čtyři bratři – Vít, Standa, David, Vašek – bydlí v jednom domě, ale každý na jiném poschodí. David bydlí níž než Vít a Vašek, který bydlí mezi Standou a Vítem, zatím co Vít bydlí mezi Davidem a Vaškem. Ve kterém poschodí kdo bydlí, když dům, ve kterém bratři žijí, má přízemí a tři poschodí? Řešení: Kluci bydlí v tomto pořadí: Standa, Vašek, Vít, David.

5. Určete příjmení čtyř spolužáků Martina, Jirky, Stanislava, Tomáše. Jestliže Jiří není Černý, pak Martin je Hanák. Jestliže Martin je Kolíbal nebo Hanák, pak Stanislav je Procházka. Jestliže Tomáš je Kolíbal, pak Martin není Procházka. Jestliže Tomáš není Procházka, pak Martin je Procházka. Řešení: Spolužáci se jmenují: Jiří Černý, Martin Procházka, Standa Hanák, Tomáš Kolíbal.

6. Petr je dvakrát starší než Marie. Za dva roky bude Marii 18 let. Kolik bude Petrovi?

52

Návrh ke strategii řešení: 18 – 2 = 16 16 . 2 = 32 32 + 2 = 34 Petrovi bude 34 let.

7. Na telefonním drátě seděly vlaštovky. V jednom okamžiku 5 z nich odlétlo a po chvíli se 3 vrátily zpět. Na drátě pak sedělo 12 vlaštovek. Kolik vlaštovek sedělo na drátě původně? Návrh ke strategii řešení: x - 5 + 3 = 12 x = 14 Zkouška:

14 – 5 + 3 = 12

Na drátě původně sedělo 14 vlaštovek. •

Příklad byl vybrán ze Sbírky úloh pro 3. ročník. Zdál se mi poněkud jednoduchý, přesto si s příkladem věděli rady pouze 4 žáci. Většina z nich si špatně přečetla zadání a vypočítali: 12 – 5 = 7 - na drátě sedělo 7 vlaštovek.

8. Ve třídě je 29 dětí. 12 dětí nemá sestru a 18 dětí má bratra. Alena, Boris a Tomáš nemají žádné sourozence. Kolik dětí ve třídě má bratra i sestru? Návrh ke strategii řešení: 29 – 3 = 26

12 + 18 = 30

30 – 26 = 4

Zkouška: (18 – 4) + 12 + 3 = 29 Bratra i sestru mají 4 žáci.

53

•

Příklad vypočítal správně jeden žák. Ani po nápovědě učitelky, aby si příklad graficky znázornili, si nevěděli rady. Nejčastější chyba: špatně si přečetli otázku a odpovídali ,, ve třídě je 59 žáků“ nebo ,,sourozence má 26 žáků“.

9. Tři kamarádi uspořádali turnaj v šachu. Každý s každým sehrál partii. Kolik partií bylo celkem sehráno? Řešení: Označíme si žáky A, B, C. Potom A hrál s B B hrál s C A hrál s C Celkem sehráli tři partie.

•

Nejčastěji řešili příklad pomocí grafického znázornění. Přesto se vypočítat správně podařilo pouze pěti žákům.

Nejčastější chyba: při grafickém znázornění –

A B

C

Jestliže hrál A s B, tak hrál B s A, A s C, C s A, B s C, C s B - sehráli 6 partií. Ti, kteří si příklad neznázornili, zaznamenali 4 partie.

10. Maminka přinesla jablka. Polovinu z nich snědl Petr. Pak přišel domů Pavel a snědl polovinu ze zbylých jablek. Po něm přišel Karel, na kterého zbyla dvě jablka. Kolik jablek maminka přinesla? Návrh ke strategii řešení: Maminka přinesla 8 jablek. Zkouška: Petr: 8 : 2 = 4

54

Pavel: 4 : 2 = 2 Karel: 8 – 4 – 2 = 2 •

Příklad byl zařazen do metodického

listu pro 4. ročník. Úlohu vypočítali

správně 4 žáci.

11. Tři blechy skákaly kolem číselné osy. Když byla blecha Alenka unavená, sedla si na číslo 24, blecha Bětka si sedla na číslo 66. Blecha Cilka si sedla doprostřed mezi ně. Na které číslo si blecha Cilka sedla? Řešení: Blecha Cilka si sedla na číslo 45. •

Úloha byla zadaná žákům 5. ročníku. Využili grafické znázornění pomocí číselné osy, ale neověřili si správnost výpočtu, protože nejčastější postup výpočtu byl 66 – 24 = 42. Správnou odpověď uvedli pouze dva žáci.

12. Ježek Marek si stěžoval kamarádům: ,,Kdybych nasbíral dvakrát více jablek než jsem opravdu nasbíral, měl bych o 24 jablek více.“ Kolik jablek ježek nasbíral? Řešení: Ježek nasbíral 24 jablek. Zkouška: •

2 . 24 = 48

48 – 24 = 24

Slovní úloha byla určena žákům 5. ročníku. Správně ji vyřešili čtyři žáci.

(Úlohy 11, 12 jsem převzala z matematické soutěže Klokan 2004)

Vycházela jsem z úloh, které jsou ve sbírkách pro ZŠ, v soutěži Klokan a v testech pro víceletá gymnázia. Přesto se jevily tyto úlohy pro žáky náročné a bez vedení učitele nedokázali řešit větší počet úloh samostatně. Žáci jsou zvyklí počítat klasické slovní úlohy, ve kterých je dán přesný postup řešení. Nedokáži sami uvažovat, logicky

55

přemýšlet a hledat řešení. Úlohy vypracovali žáci třetího, čtvrtého a pátého ročníku. Při zadávání úloh dostali pouze od učitele instrukci o tom, aby si příklad dobře přečetli. Zadání úloh nedostali jen žáci, kteří dosahují v matematice výborné výsledky, ale i žáci průměrní. Velké problémy jim dělaly slovní úlohy. Jako zajímavé úlohy, které je nejvíce zaujaly, uváděli magické čtverce a číselné řady.

13. Sourozenci Mirek a Karel měli dohromady 26 třešní. Mirek měl o 10 třešní více než Karel. Kolik třešní měl Mirek? Návrh ke strategii řešení: 26 – 10 = 16

16 : 2 = 8

Karel:

8 třešní

Mirek: o 10 více než Karel

8 + 10 = 18

Zkouška:

8 + 18 = 26 8 je větší než 18 o 10

Mirek měl 18 třešní, Karel měl 8 třešní.

14. 48 stromků je vysazeno rovnoměrně ve dvou řadách ve vzdálenosti 6,5 m od sebe. Studna je umístěna před oběma řadami tak, že je od ní 6,5 m daleko k prvním stromkům v obou řadách. Jakou cestu vykoná zahradník při zalévání stromků, když chodí se dvěma konvemi a voda z jedné konve stačí k zalití tří stromků? Zahradník končí svou cestu znovu u studně.

Návrh ke strategii řešení: 1. cesta k

6.stromku:

6 . 6,5 = 39 m

56

a zpět

2 . 39 = 78 m

2. cesta ke

12.stromku:

12 . 6,5 = 78 m

a zpět

2 . 78 = 156 m

3. cesta k

18.stromku:

18 . 6,5 = 117 m

a zpět

2 . 117 = 234 m

4. cesta k

24. stromku: 24 . 6,5 = 156 m

a zpět

2 . 156 = 312 m

5. cesta k

6. stromku:

6 . 6,5 = 39 m

a zpět

2 . 39 = 78 m

6. cesta ke

12. stromku: 12 . 6,5 = 78 m

a zpět

2 . 78 = 156 m

7. cesta k

18. stromku: 18 . 6,5 = 117 m

a zpět

2 . 117 = 234 m

8. cesta k

24. stromku: 24 . 6,5 = 156 m

a zpět

2 . 156 = 312 m

(78 m + 156 m +234 m + 312 m) . 2 = 1 560 m Zahradník při zalévání ušel 1 560 metrů.

15. Jitka, Eliška, Karla a Lada si porovnaly peníze, které mají s sebou na školním výletě. Jejich čtyři finanční částky byly 150 Kč, 159 Kč, 141 Kč a 147 Kč. Kolik peněz má každá z nich, jestliže Jitka má více než Karla a méně než Eliška a Lada má méně než Karla? Řešení: Děvčata mají: Lada 141 Kč, Karla 147 Kč, Jitka 150 Kč, Eliška 159 Kč.

(Úlohy 13 – 15 jsem čerpala z literatury: Husar, P.; Matematika, Fragment, 2004; Novoveský, Š.; Križalkovič, K.; Lečko, I.; 777 matematických zábav a her, SPN, 1971)

3. 1. 4 Úlohy z geometrie Na 1. stupni ZŠ získávají žáci během řešení geometrických úloh představu o tom, co geometrické výrazy znamenají. Učivo a práce učitele by neměly být zaměřeny jen na rýsování. Využíváme i činnosti pracovní a výtvarné (stříhání, překládání, modelování, vybarvování). Při práci se stavebnicí si rozvíjí prostorovou představivost. Úlohy, které

57

jsou uvedeny v této části lze využít ve 4. a 5. ročníku. Jsou to úlohy, které jsou zaměřeny na kombinační myšlení a představivost.

1. Krtek bydlí v pšeničném poli poblíž křižovatky dvou silnic. a) Vyznačte silnice pomocí různoběžných přímek a zakreslete, kde bydlí krtek. b) Krtek má několik bratrů. Když se chtějí někteří dva bratři sejít, musí přejít nebo podhrabat silnici. Kdyby měl krtek o jednoho bratra více, pak by se mohli k sobě dostat někteří dva bratři bez překročení nebo podhrabání silnice. Kolik má krtek bratrů? Načrtněte obrázek.

2. Kolik trojúhelníku je na obrázku?

3. Je dána následující řada obrázků:

58

Na prvním obrázku vidíš jeden malý trojúhelník, na druhém čtyři malé trojúhelníky, na třetím devět malých trojúhelníků. Kolik malých trojúhelníků bude na pátém obrázku?

Úlohy zaměřené na procvičení pojmů přímka, úsečka. 4. Je dáno v rovině pět různých bodů. a) všechny body leží na téže přímce:

.x

A

B x

C

D

x

x

Zapiš: 1. Kolik je těmito body určeno úseček.

b) Čtyři body leží v jedné přímce, jeden bod leží mimo ni:

x

x A

x B

x C

D

x E

Zapiš: 1. Kolik je těmito body určeno úseček. 2. Kolik je těmito body vedeno přímek.

c) Tři body leží v jedné přímce, dva body leží mimo ni:

A

B

x

x D x

C x

x

E

Zapiš: 1. Kolik je těmito body určeno úseček. 2. Kolik je těmito body vedeno přímek. 59

E x

d) Dva body leží v jedné přímce, tři body leží mimo ni.

A

B

x

x

C

x

x

E D x

Zapiš: 1. Kolik je těmito body určeno úseček. 2. Kolik je těmito body vedeno přímek.

e) Žádné tři body neleží na jedné přímce: A

E

x

x

B x

C D

x

x

Zapiš: 1. Kolik je těmito body určeno úseček. 2. Kolik je těmito body vedeno přímek.

5. Sestroj šest přímek, které se protínají: a) v žádném bodě b) v jednom bodě c) ve dvou bodech d) v pěti bodech

60

Řešení: a) _____________________ a _____________________ b ______________________ c _______________ d ______________________ e _____________________ f b)

c) nelze sestrojit

d) ______________________ a _______________________ b ______________________ c _________________________ d ___________________________ e f

6. Sestroj čtyři přímky, které se protínají v šesti bodech. Řešení:

61

Geometrické početní úlohy – na prvním stupni ZŠ nevyžadujeme od žáků znalost vzorečků, důležité je vyvodit daný pojem, vycházíme z reality (oplocení zahrady, orámování obrazů, pokrytí podlahy kobercem, apod.). Příklady 9, 10 jsou vybrány z řady úloh k přijímacím řízením pro víceletá gymnázia, které jsem čerpala z literatury Testy z víceletých gymnázií 2003.

7. Obsah obdélníku je 24 cm2. Vypočítej: 1. strany a, b 2. obvod obdélníku

Řešení:

a

b

a

b

obvod

4 cm 6 cm

4 cm 6 cm

20 cm

3 cm 8 cm

3 cm 8 cm

22 cm

2 cm 12 cm

2 cm 12 cm 28 cm

1 cm 24 cm

1 cm 24 cm 50 cm

8. Obvod obdélníku je 36 cm. Vypočítej: 1. strany obdélníku 2. obsah obdélníku

62

Řešení:

a

b

obsah

1 cm 17 cm 17 cm2 2 cm 16 cm 32 cm2 3 cm 15 cm 45 cm2 4 cm 14 cm 56 cm2 5 cm 13 cm 65 cm2 6 cm 12 cm 72 cm2 7 cm 11cm

77 cm2

8 cm 10 cm 80 cm2

9. Obdélníková zahrádka má plochu 72 m2.

a) Do tabulky zapiš všechny možné rozměry zahrádky v celých metrech. První rozměr x Druhý rozměr y

b) Jaké rozměry bude mít zahrádka s nejdelším plotem?

63

Řešení: a) První rozměr x

1

2

3

4

6

8

72

36

24

18

12

9

Druhý rozměr y

b) nejdelší plot bude mít zahrada s rozměry 1 x 72 m.

10. Urči velikosti stran trojúhelníku ABC, je-li jeho strana 4 krát delší než strana druhá, třetí strana je dlouhá 9 cm a obvod trojúhelníku je 19 cm. Řešení: Velikosti stran trojúhelníku jsou 8 cm, 2 cm, 9 cm. Zkouška: 2 je čtyřikrát větší než 8; 8 + 2 + 9 = 19 cm

Nestandardní úlohy mohou být na prvním stupni ZŠ zařazeny do hodin matematiky, dají se využít i v jiných předmětech. Žáci rádi řeší neobvyklé příklady, které vedou k novým poznáním. Některé z úloh, které jsem uvedla v této práci jsem použila v pracovních listech, které řešili žáci naší školy. Součástí pracovních listů byl dotazník složený z otevřených otázek. Chtěla jsem zjistit, jaký zájem mají děti o matematiku, které učivo jim činí problémy, zda chápou propojenost matematiky s ostatními předměty. Cílem nebyl žádný výzkum, ale chtěla jsem si jen udělat představu o tom, jaký vztah k matematice mají žáci naší školy na prvním stupni. Vyhodnocení dotazníku je uvedeno v další kapitole.

64

4. REFLEXE PRÁCE Součástí pracovních listů, které žáci dostali k vypracováni, byl dotazník. Pracovala jsem s malým počtem žáků. Pracovní listy a dotazník dostalo 70 žáků 3., 4. a 5. ročníku. Odpovídali všichni žáci, dostala jsem nazpět 70 vyplněných dotazníků. Chtěla jsem si udělat představu, jak se na úkoly uvedené v pracovních listech dívají žáci, jak se jim počítají a jaký je zájem o matematiku a netradiční úlohy v hodinách. V dotazníku jsem použila otázky otevřené. Protože pracovní listy byly pro jednotlivé ročníky odlišné, vyhodnocení dotazníku uvedu po ročnících.

4. 1 Vyhodnocení dotazníku 3. ročník Dotazník obdrželo 22 žáků 3. ročníku. Na otázky uvedené v dotazníku odpovědělo 22 žáků. Otázka

Vyhodnocení odpovědí

Který příklad tě zaujal?

1. příklad: 9 žáků 2. příklad: 2 žáci 3. příklad: 1 žák 4. příklad: 2 žáci žádný: 5 žáků 3 žáci uvedli konkrétní početní příklad: ( 86 – 68, 8 . 8 ) 1. příklad: 11 žáků 2. příklad: 3 žáci 5. příklad: 1 žák 7 žáků uvedlo konkrétní početní příklad: ( např. 10 . 10, 9 . 9, 1 . 1, …) 1. příklad: 3 žáci 2. příklad: 5 žáků 3. příklad: 4 žáci 4. příklad: 3 žáci žádný: 7 žáků ANO NE 12 žáků 10 žáků

Který příklad se ti počítal dobře?

Který příklad ti dělal potíže?

Využíváš znalosti z matematiky i v jiných předmětech?

65

Kde doma konkrétně využiješ matematiku?

Co se ti letos v matematice daří?

Co se ti letos v matematice nedaří?

Počítání peněz: 1 žák Při hře: 1 žák Na počítači: 2 žáci V kuchyni: 3 žáci V pokoji: 10 žáků Nikde: 5 žáků Písemné sčítání: 12 žáků Násobení, dělení: 4 žáci Slovní úlohy: 1 žák Zaokrouhlování: 1 žák Písemné práce: 3 žáci Všechno: 1 žák Písemné odčítání: 11 žáků Slovní úlohy: 6 žáků Násobení: 1 žák Tento pracovní list: 1 žák Nic: 3 žáci Písemné sčítání: 6 žáků Pyramidy, hry: 7 žáků Slovní úlohy: 2 žáci Násobení: 2 žáci Geometrie: 2 žáci Všechno: 2 žáci Nic: 1 žák

Co tě v matematice baví?

Žáky třetího ročníku zajímají magické čtverce, číselné řady, matematické hry a doplňovačky. Neuvědomují si však důležitost matematiky a její propojení s ostatními předměty. Problémovým učivem podle odpovědí je písemné odčítání. Žákům dělalo problém pochopení otázky.

4. ročník Na dotazník odpovídalo 20 žáků Otázka

Vyhodnocení odpovědí

Který příklad tě zaujal?

1. příklad: 2. příklad: 3. příklad: 4. příklad: žádný:

66

8 žáků 1 žák 1 žák 4 žáci 6 žáků

Který příklad se ti počítal dobře?

1. příklad: 2. příklad: 4. příklad: 5. příklad: Žádný:

Který příklad ti dělal potíže?

Využíváš znalosti z matematiky i v jiných předmětech? Kde doma konkrétně využiješ matematiku?

Co se ti letos v matematice daří?

Co se ti letos v matematice nedaří?

Co tě v matematice baví?

1 žák 9 žáků 4 žáci 1 žák 4 žáci

1. příklad: 8 žáků 2. příklad: 1 žák 3. příklad: 4 žáci 5. příklad: 1 žák žádný: 1 žák všechny: 5 žáků ANO NE 7 žáků 13 žáků V obchodě: 3 žáci Při domácí úloze: 1 žák Na počítači: 3 žáci V kuchyni: 5 žáků Nikde: 7 žáků Násobení: 8 žáků Písemné sčítání, odčítání: 6 žáků Písemné dělení: 3 žáci Nic: 3 žáci Slovní úlohy: 9 žáků Dělení: 4 žáci Neví: 7 žáků Písemné sčítání, odčítání: 3 žáci Písemné dělení, násobení: 10 žáků Písemné práce: 1 žák Všechno: 1 žák Nic: 4 žáci

Žáky čtvrtých tříd nejvíce zaujaly magické čtverce, dobře se jim počítaly číselné řady. Na otázku Co se ti letos v matematice nedaří? odpovědělo hodně žáků slovní úlohy a jako příčiny uváděli, že neumí slovní úlohu zapsat. Pro zajímavost cituji některé odpovědi. Slovní úlohy protože mi nejdou. Slovní úlohy, protože někdy moc neuvažuju. Slovní úlohy protože nechápu jak se to má zapisovat.

67

5. ročník Dotazník dostalo 28 žáků a 28 žáků dotazník vypracovalo.

Otázka

Vyhodnocení odpovědí

Který příklad tě zaujal?

1. příklad: 2. příklad: 3. příklad: žádný:

13 žáků 5 žáků 7 žáků 3 žáci

Který příklad se ti počítal dobře?

1. příklad: 2. příklad: 3. příklad: 4. příklad: Žádný:

10 žáků 4 žáci 8 žáků 4 žáci 2 žáci

Který příklad ti dělal potíže?

Využíváš znalosti z matematiky i v jiných předmětech? Kde doma konkrétně využiješ matematiku?

Co se ti letos v matematice daří?

Co se ti letos v matematice nedaří?

68

1. příklad: 8 žáků 2. příklad: 6 žáků 3. příklad: 1 žák 4. příklad: 3 žáci 5. příklad: 5 žáků všechny: 5 žáků ANO NE 10 žáků 18 žáků Nákupy, vaření: 7 žáků Při domácí úloze: 7 žáků Na počítači: 5 žáků V dílně: 3 žáci Nikde: 6 žáků Násobení: 8 žáků Písemné sčítání: 5 žáků Písemné dělení jednocif. dělitelem: 7 žáků Písemné dělení dvojcif. dělitelem: 3 žáci Slovní úlohy: 3 žáci Zlomky: 1 žák Geometrie: 2 žáci Písemné násobení: 1 žák Nic: 3 žáci Slovní úlohy: 5 žáků Písemné dělení dvojciferným dělitelem:: 15 žáků Písemné násobení: 2 žáci Geometrie: 1 žák Nic: 5 žáků

Co tě v matematice baví?

Písemné dělení a násobení: 9 žáků Slovní úlohy: 2 žáci Písemné sčítání a odčítání: 2 žáci Geometrie: 4 žáci Číselné řady, pyramidy: 4 žáci Všechno: 1 žák Nic: 4 žáci

Dotazník vyplnili žáci pátého ročníku bez potíží. Odpovědi jsou promyšlenější než u žáků třetího ročníku. Cituji některé odpovědi na otázku, co se žákům v matematice letos daří: Dělení jednociferným dělitelem. Protože je to lechké. Dělení protože se učim. Slovní úlohy, protože neděláme zápis. Sčítání a odčítání. Protože se to bere v druhé třídě, tak asi proto. Vše, protože se soustředím. A co se jim nedaří? Písemné dělení dvojciferným číslem protože se blbě odhadují čísla. Násobení, je to trochu těšké. Trošku jsem se přestala učit. Ale nevim proč sem se přestala učit. Trochu dělení dvojciferným číslem. Nedokážu se soustředit při rušení souseda.

Z vyhodnocení dotazníků je zřejmé, že žáky baví netradiční příklady jako jsou magické čtverce, číselné řady, matematické hry a doplňovačky. Neuvědomují si však propojení matematiky s jinými předměty a činnostmi v běžném každodenním životě. Čím jsou žáci starší, jejich zájem o matematiku upadá. Učivo přibývá a je náročnější. Měli bychom jim výuku zpestřit neobvyklými úlohami, nechat je řešit samostatně problémy, posilovat tak jejich sebevědomí a rozvíjet zájem o poznávání nového.

69

5. ZÁVĚR

Diplomová práce je zaměřená na využití netradičních úloh v hodinách matematiky, na sestavení vhodných příkladů, které lze využít při výuce. Smyslem těchto úloh je podnítit žáky k samostatnému uvažování, zapojit do jejich řešení i méně nadané žáky na matematiku. Učí se žáci v našich školách jen pro efekt, výsledky, rodiče nebo také pro sebe, ze zájmu? Umí, co se naučí, použít v životě? Z odpovědí na otázku - Kde doma konkrétně využiješ matematiku? - odpovídali žáci většinou: ,, u počítače, při psaní domácího úkolu“.

Přitom poznatky z matematiky

uplatňují téměř na každém kroku. Vždyť

matematika je oborem, který je svým teoretickým základem pro reálný svět zdrojem mnoha aplikací. Proto jedním z cílů vyučování matematice je naučit žáky využívat teoretických poznatků v praktickém životě. Již od prvního ročníku je třeba vytvářet modelové situace, které vycházejí z reálných situací, a které se řeší matematickými prostředky. Soubor úloh, které jsou uvedeny v diplomové práci lze využít na 1. stupni ZŠ. Je na učitelích, jak tyto úlohy v hodinách využijí.

Nemusí tvořit pouze náplň hodin

matematiky, mohou být využívány systematicky v průběhu výuky s ohledem na individuální přístup k žákům. Především mají přispět k obohacení hodin matematiky a vést žáky k hledání různých způsobů řešení, tedy ke konstruktivnímu způsobu vyučování.

70

RESUMÉ

Diplomová práce je zaměřena na využití nestandardních a aplikačních úloh ve vyučování, zejména v hodinách matematiky. Tyto úlohy mají podnítit žáky k zájmu o matematiku, hledat nové a různé způsoby řešení a tím rozvíjet jejich logické myšlení, samostatné řešení problémů. Využíváme je v průběhu výuky s ohledem na individuální přístup k žákům a tím překonáváme formalismus ve vyučování. Samostatným hledáním a řešením problémů si dítě konstruuje svůj obraz světa.

71

SUMMARY

This presenting dissertation is focused on using non-standard and application tasks in teaching, especially in mathematics lessons. These tasks are supposed to arouse pupils’ interest in math, in searching for new and different ways of problem solving, and by that develop their logical thinking. The tasks introduced in this dissertation can be used on the first level of elementary school, in mathematics clubs. Some of these tasks were being solved in 3rd, 4th and 5th grade. They seemed very difficult to pupils, yet they were still trying to resolve them.

72

Anotace Kutikulární pojetí ve výuce matematiky na 1. stupni ZŠ, náměty pro práci v hodinách matematiky, které vedou k samostatnému řešení problémů a logickému myšlení.

Curicular educational conception of first level primary schoul, themes of tasks in maths lessons that create solf – sustaining solving problems and logic thinking.

Klíčová slova Motivace, komunikace, Rámcový vzdělávací program, kurikulum, nestandardní aplikační úlohy, magické čtverce, slovní úlohy, řešení problému, konstruktivní vyučování, rozvoj logického myšlení

Bibliografická citace MATUŠOVÁ,

Radmila. Nestandardní aplikační úlohy a problémy k výuce RVP:

diplomová práce: Masarykova univerzita, Fakulta pedagogická, 2007. 82 l. Vedoucí diplomové práce Růžena Blažková.

73

POUŽITÁ LITERATURA

1. BLAŽKOVÁ, R.; MATOUŠKOVÁ, K.; VAŇUROVÁ, M.: Kapitoly z didaktiky matematiky: slovní úlohy, projekty. Brno, Masarykova univerzita, 2002. 84 s. ISBN 80-210-3022-4 2. DIVÍŠEK, J.; BÁLINT, Ľ.; JAROŠOVÁ, M.: Sbírka úloh z matematiky pro 2. a 3. ročník. Praha: Galaxie, 1993. 143 s. ISBN 80-85204-18-5 3. HEJNÝ, M. Dítě, škola a matematika: konstruktivistické přístupy k vyučování. Praha: Portál, 2001. 192 s. ISBN 80–7178-581–4. 4. HUSAR, P. Matematika: Příprava k přijímacím zkouškám na osmiletá gymnázia. Havlíčkův Brod: Fragment, 2004. 152 s. ISBN 80-7200-731-9 5. LOUKOTA, J. Veselá matematika. Olomouc: Votobia, 1998. 155 s. ISBN 80-7198318-7 6. MELICHAR, Jan; KALNÁ, Valéria; KOMAN, Milan. Sbírka úloh z matematiky pro 4. ročník ZŠ. Praha: SPN, 1990. 128 s. ISBN 80-04-23855-6. 7. NOVOVESKÝ, Š.; KRIŽALKOVIČ, K.; LEČKO, I.: 777 matematických zábav a her. Praha: SPN, 1971. 384 s. ISBN 14-382-71 8. ROSECKÁ, Z.; KOSTEČKOVÁ, M.:Dělání smutky zahání: slovní úlohy pro 4. ročník. Brno: Nová škola, 2000. 40 s. ISBN 80-85607-32-8

www.matematickyklokan.cz www.rvp.cz www.skolaonline.cz

74

SEZNAM PŘÍLOH

Pracovní list pro 3. ročník Pracovní list pro 4. ročník Pracovní list pro 5. ročník Dotazník pro žáky

75

Příloha 1 Pracovní list pro 3. ročník 1a) Doplňte prázdná políčka tak, aby součet ve všech směrech (řádcích, sloupcích a úhlopříčkách) se rovnal 18. Žádné číslo se nesmí opakovat.

5

10

4

b) Doplňte prázdná políčka čísly 1 až 9 tak, aby součet ve všech směrech ( řádcích, sloupcích a úhlopříčkách) se rovnal 15. Žádné z čísel se nesmí opakovat.

76

2. Pokračuj v řadách čísel a) 2, 4, 6, 8, __, __, __, __, __, _ b)

11, 12, 10, 13, 9, __, __, __

c)

5, 8, 14, 26, 50, __, __, __

d)

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, __, __, __

3. Na telefonním drátě seděly vlaštovky. V jednom okamžiku 5 z nich odlétlo a po chvíli se 3 vrátily zpět. Na drátě pak sedělo 12 vlaštovek. Kolik vlaštovek sedělo na drátě původně?

4. Ve třídě je 29 dětí. 12 dětí má sestru a 18 dětí má bratra. Alena, Boris a Tomáš nemají žádné sourozence. Kolik dětí ve třídě má bratra i sestru?

77

Příloha 2 Pracovní list pro 4. ročník 1a) Vypočítej magický čtverec. Součty se ve všech směrech (sloupcích, řádcích a úhlopříčkách ) musí sobě rovnat.

195

245

185

205

215

b) Doplňte prázdná políčka čísly 1 až 9 tak, aby součet ve všech směrech (řádcích, sloupcích a úhlopříčkách) se rovnal 15. Žádné z čísel se nesmí opakovat.

78

2. Pokračuj v řadách čísel a) 1, 10, 100, ____, _____, ______ b) 11, 12, 10, 13, 9, __, __, __, c) 28, 26, 31, 29, 34, 32, __, __, __, d) 5, 8, 14, 26, 50, __, __, __, e) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, __, __, __,

3. Věk babičky a vnučky jsou dvojciferná čísla, v kterých je pořadí číslic vyměněno takto: AB a BA. Ciferný součet součtu obou věků je 18, součin obou věků je 1 944. Určete, o kolik let je babička starší než vnučka?

4. Tři kamarádi uspřádali turnaj v šachu. Každý s každým sehrál partii. Kolik partií bylo celkem sehráno?

5. Maminka přinesla jablka. Polovinu z nich snědl Petr. Pak přišel domů Pavel a snědl polovinu ze zbylých jablek. Po něm přišel Karel, na kterého zbyla dvě jablka. Kolik jablek maminka přinesla?

79

Příloha 3 Pracovní list pro 5. ročník 1a) Vypočítejte magický čtverec. Součty se ve všech směrech (sloupcích, řádcích a úhlopříčkách) musí sobě rovnat.

313

293

321

301

b) Doplňte prázdná políčka čísly 1 až 9 tak, aby součet ve všech směrech ( řádcích, sloupcích a úhlopříčkách) se rovnal 15. Žádné z čísel se nesmí opakovat.

80

2. Pokračuj v řadách čísel a) 1, 10, 100, ____, _____, ______ b) 11, 12, 10, 13, 9, __, __, __, c) 28, 26, 31, 29, 34, 32, __, __, __, d) 5, 8, 14, 26, 50, __, __, __, e) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, __, __, __,

3. Tři blechy skákaly kolem číselné osy. Když byla blecha Alenka unavená, sedla si na číslo 24, blecha Bětka si sedla na číslo 66. Blecha Cilka si sedla doprostřed mezi ně. Na které číslo si blecha Cilka sedla?

4. Ježek Marek si stěžoval svým kamarádům: ,,Kdybych nasbíral dvakrát více jablek než jsem opravdu nasbíral, měl bych o 24 jablek více.“ Kolik jablek ježek nasbíral?

5. Věk babičky a vnučky jsou dvojciferná čísla, v kterých je pořadí číslic vyměněno takto: AB a BA. Ciferný součet součtu obou věků je 18, součin obou věků je 1 944. Určete, o kolik let je babička starší než vnučka?

81

Příloha 4 Dotazník 1. Který příklad tě zaujal? (napiš číslo příkladu) ______________________________

2. Který příklad se ti počítal dobře? (napiš číslo příkladu)________________________

3. Který příklad ti dělal potíže? (napiš číslo příkladu)____________________________

4. Využíváš znalosti z matematiky i v jiných předmětech?

ANO

NE

Pokud ANO, napiš v kterých: ______________________________________________

5. Kde doma konkrétně využiješ matematiku? ______________________________________________________________________

6. Co se ti letos v matematice daří a proč? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

7. Co se ti letos v matematice nedaří a proč? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

8. Co tě v matematice baví? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

82

83