Z´apadoˇcesk´a univerzita v Plzni Fakulta aplikovan´ych vˇed Katedra matematiky
´ ´I PRACE ´ SEMESTRALN z pˇredmˇetu
Matematick´ e modelov´ an´ı
Matematick´ e modely v ekonomii Kateˇ rina Chmel´ıˇ ckov´ a
Obsah 1 Propojen´ı matematiky a ekonomie
4
2 Prostˇ redky matematick´ eho modelov´ an´ı v ekonomii 2.1 Historicky sformovan´e discipl´ıny . . . . . . . . . . . . 2.2 Deterministick´e a stochastick´e modely . . . . . . . . 2.3 Statick´e a dynamick´e modely . . . . . . . . . . . . . 2.4 Modely pro mikrosf´eru, mezosf´eru a makrosf´eru . . . 2.5 Deskriptivn´ı a optimalizaˇcn´ı modely . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
6 6 7 7 8 9
3 Matematick´ y apar´ at pouˇ z´ıvan´ y pˇ ri modelov´ an´ı v ekonomii
10
4 Matematick´ e modelov´ an´ı a v´ ypoˇ cetn´ı technika
12
5 Matematick´ e programov´ an´ı 5.1 Model matematick´eho programov´an´ı 5.2 Line´arn´ı programov´an´ı . . . . . . . . 5.2.1 Matematick´ y model u ´lohy LP 5.2.2 Z´akladn´ı typy u ´loh LP . . . .
14 14 16 17 18
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
6 Z´ avˇ er
21
Literatura
22
2
´ Uvod Matematick´e modelov´an´ı ekonomick´ ych proces˚ u lze v dneˇsn´ı dobˇe povaˇzovat za bˇeˇznˇe pouˇz´ıvan´ y n´astroj pˇri ˇreˇsen´ı rozhodovac´ıch u ´loh z oblasti ˇr´ızen´ı a pl´anov´an´ı na r˚ uzn´ ych u ´rovn´ıch n´arodn´ı ekonomiky. Proˇc? Tato skuteˇcnost je u ´zce spojena s modern´ı v´ ypoˇcetn´ı technikou; matematick´e modely a metody spolu se st´ale se vyv´ıjej´ıc´ı a zdokonaluj´ıc´ı se technickou podporou jsou kl´ıˇcov´ ymi faktory u ´spˇechu v intenzifikaci rozvoje ekonomiky. Tato pr´ace se tedy bude zab´ yvat nejen matematick´ ym apar´atem uˇz´ıvan´ ym v matematick´ ych modelech v ekonomii, ale rovnˇeˇz spojen´ım tˇechto model˚ u s v´ ypoˇcetn´ı technikou. V souvislosti s t´ımto bude rovnˇeˇz zm´ınˇena d˚ uleˇzit´a problematika matematick´eho programov´ani se zvl´aˇstn´ım zamˇeˇren´ım na programov´an´ı line´arn´ı.
3
Kapitola 1 Propojen´ı matematiky a ekonomie Jak bylo jiˇz v u ´vodu zm´ınˇeno, v souˇcasnosti je propojen´ı matematiky a ekonomie v podobˇe nejr˚ uznˇejˇs´ıch model˚ u br´ano v podstatˇe za samozˇrejmost. Nicm´enˇe je urˇcitˇe zaj´ımav´e se na toto pod´ıvat i z historick´eho hlediska. Pokud by n´as zaj´ımaly v˚ ubec nejstarˇs´ı n´aznaky zm´ınˇen´eho propojen´ı, pak bychom mohli zap´atrat aˇz v d´avn´e minulosti. Konkr´etnˇe v obdob´ı kolem roku 1650 pˇr. n. l., kam se ˇrad´ı Rhind˚ uv-Ahmes˚ uv papyrus, u n´ehoˇz lze mluvit o ekonomick´e interpretaci. Samozˇrejmˇe mnohem bohatˇs´ı a pro n´as zaj´ımavˇejˇs´ı bude novovˇek´a historie matematick´eho modelov´an´ı v ekonomii. Pokud bychom se vr´atili do 17. stolet´ı, pak je potˇreba zcela jistˇe zm´ınit jm´eno anglick´eho vˇedce W. Pettyho (1623 - 1687), kter´ y napsal v roce 1676 studii Political Arithmerick,jej´ıˇz myˇslenky se pod´ılely na formov´ani ekonometrie jako samostatn´e vˇedeck´e discipl´ıny. Dalˇs´ım d˚ uleˇzit´ ym jm´enem v t´eto oblasti je A. A. Cournot (1801 - 1877). Tento francouzsk´ y matematik se zaˇcal zab´ yvat ekonomi´ı a je spojov´an pˇredevˇs´ım s popt´avkov´ ymi funkcemi, kdy tento pojem zavedl a t´ım definoval popt´avku po zboˇz´ı jako funkci jeho ceny. Rovnˇeˇz pˇredv´ıdal teorii elasticity a dot´ ykal se i teorie oligopolu. K. Marx (1818 - 1883)pouˇz´ıval ve sv´ ych d´ılech jednoduch´a matematick´a sch´emata, zcela bˇeˇznˇe op´ıral sv˚ uj v´ yklad o ˇc´ıseln´e ilustrace a statistick´e u ´daje. Oproti Cournotovi byl ve sv´e dobˇe d´ıky jednoduchosti uˇz´ıvan´ ych matematick´ ych n´astroj˚ u ”´ uspˇeˇsnˇejˇs´ı”. Francouzsko-ˇsv´ ycarsk´ y ekonom L. Walras (1834 - 1910) prvn´ı pouˇz´ıval matematick´ y apar´at jako naprosto podstatnou souˇca´st sv´ ych ekonomick´ ych u ´vah o margin´aln´ı teorii uˇzitku a pˇri odvozen´ı obecn´e teorie ekonomick´e 4
rovnov´ahy. Zaj´ımavost´ı je, ˇze Walras neaplikoval na ekonomickou problematiku svoje matematick´e znalosti, ale sp´ıˇse dodateˇcnˇe hledal matematick´ y apar´at, pomoc´ı nˇehoˇz by mohl sv´e myˇslenky vyj´adˇrit. ˇ akem L. Walrase byl V. Pareto (1848 - 1923), kter´ Z´ y narozd´ıl od sv´eho uˇcitele dokonale ovl´adal matematickou teorii sv´e doby a pouˇz´ıval matematiku jako samozˇrejm´ y zp˚ usob vyjadˇrov´an´ı ekonomick´ ych z´avistlost´ı. S Paretovou anal´ yzou se setk´av´ame i v souˇcasnosti. Po prvn´ı svˇetov´e v´alce postup matematiky do ekonomie pokraˇcoval v mnoha smˇerech. V Rusku p˚ uspbil J. Sluckij (1880 - 1948), kter´ y se vedle probl´em˚ u sp´ıˇse statistick´ ych zab´ yval i teori´ı mezn´ıho uˇzitku, stochastick´ ymi procesy a teori´ı popt´avkouv´ ych funkc´ı. Od roku 1933 zaˇcal vych´azet ˇcasopis Econometrica, ve kter´em se formuje vˇedn´ı odvˇetv´ı ekonometrie, kter´a za svou hlavn´ı n´aplˇ n povaˇzuje matematick´ y popis a statistickou verifikaci ekonomick´ ych vztah˚ u a v ˇsirˇs´ım pojet´ı zav´adˇen´ı matematick´ ych metod do ekonomie. V roce 1944 vych´az´ı kniha J. von Neumanna a O. Morgensterna Theory of games and economic behavior (Teorie her a ekonomick´e chov´an´ı), kter´a je povaˇzov´ana za z´akladn´ı d´ılo teorie her. Po druh´e svˇetov´e v´alce se plnˇe rozv´ıjelo line´arn´ı programov´an´ı, hlavnˇe z´asluhou G. B. Dantziga a brzy pot´e se zaˇcaly uplatˇ novat i modely z oblasti neline´arn´ıho programov´an´ı; v roce 1957 byla vyd´ana kniha R. Bellmana Dynamic programming, kter´a upozornila na dalˇs´ı metody pouˇziteln´e v ekonomick´em modelov´an´ı. Na zaˇc´atku pades´at´ ych let se objevuje mezioborov´a discipl´ına operaˇcn´ı v´ yzkum, kter´a pˇren´aˇs´ı zkuˇsenosti z t´ ymov´e pr´ace pˇri v´ yzkumu a pl´anov´an´ı vojensk´ ych operac´ı na ˇr´ızen´ı ekonomick´ ych syst´em˚ u. Vznikaj´ı teorie hromadn´e obsluhy, teorie optimalizace z´asob, s´ıt’ov´a anal´ yza. Uplatˇ nov´an´ı matematiky v ekonomii tak´e p˚ usob´ı zpˇetnˇe jako mohutn´ y zdroj inspirace pro rozvoj ˇrady matematick´ ych odvˇetv´ı; nˇekdy je obt´ıˇzn´e urˇcit, kde konˇc´ı ˇcist´a matematika a kde zaˇc´ınaj´ı aplikace matematiky v ekonomii. Sbl´ıˇzen´ı matematiky a ekonomie je prospˇeˇsn´e jak pro ekonomii, tak i pro matematiku. Ekonomie je pˇriv´adˇena k exaktn´ım formulac´ı a ke kvantitativn´ımu vyjadˇrov´an´ı ekonomick´ ych z´avislost´ı. Matematika je obohacov´ana o zcela nov´e oblasti zkoum´an´ı.
5
Kapitola 2 Prostˇ redky matematick´ eho modelov´ an´ı v ekonomii Pro v´ ystavbu matematick´ ych model˚ u ekonomick´ ych syst´em˚ u m´ame k dispozici ˇradu matematick´ ych prostˇredk˚ u, kter´e jsou speci´alnˇe upraveny pro pouˇzit´ı na typick´e ekonomick´e u ´lohy. Dle [1] m˚ uˇzeme tyto prostˇredky klasifikovat podle n´asleduj´ıc´ıch tˇr´ıd´ıc´ıch krit´eri´ı: 1. podle historick´eho v´ yvoje a sformov´an´ı v jednotliv´e discipl´ıny, 2. zda berou v u ´vahu n´ahodn´e vlivy p˚ usob´ıc´ı v modelovan´ ych syst´emech, 3. zda berou v u ´vahu ˇcasov´ y v´ yvoj v modelovan´em syst´emu, 4. pro jak´e ekonomick´e syst´emy jsou pˇredevˇs´ım urˇceny, 5. zda hlavn´ım u ´ˇcelem modelu je popis syst´emu ˇci zda jde hlavnˇe o nalezen´ı optim´aln´ıho rozhodnut´ı v konkr´etnˇe zadan´e situaci.
2.1
Historicky sformovan´ e discipl´ıny
Nov´ y vˇsdn´ı obor zpravidla vznik´a postupnˇe hromadˇen´ım nov´ ych poznatk˚ u publikovan´ ych v odborn´e literatuˇre a hromadˇen´ım zkuˇsenost´ı s praktick´ ymi aplikacemi. Za rozhoduj´ıc´ı pro urˇcen´ı doby vzniku nov´e dicipl´ıny m˚ uˇzeme povaˇzovat vyd´an´ı pr´ace z´asadn´ıho v´ yznamu ˇci ustaven´ı odborn´e spoleˇcnosti. N´asleduj´ıc´ı pˇrehled uv´ad´ı jednotliv´e discipl´ıny vˇcetnˇe orientaˇcn´ıho data jejich vzniku: • ekonometrie (1930) • strukturn´ı anal´ yza (1939) 6
• teorie her (1944) • line´arn´ı programov´an´ı (1947) • operaˇcn´ı v´ yzkum (1950) • teorie hromadn´e obsluhy (1951) • neline´arn´ı programov´an´ı (1951) • optimalizace z´asob (1951) • dynamick´e programov´an´ı (1957) • s´ıt’ov´a anal´ yza (1958) • celoˇc´ıseln´e programov´an´ı (1958) • v´ıcekriteri´aln´ı optimalizace (1970) Discipl´ıny zab´ yvaj´ıc´ı se vyhled´an´ım extr´emu funkce pˇri vedlejˇs´ıch podm´ınk´ach, typicky v podobˇe nerovnost´ı, vyvinut´e pro aplikace v ekonomii, se souhrnnˇe naz´ yvaj´ı matematick´ e programov´ an´ı. Pr´avˇe matematick´e programov´an´ı hraje d˚ uleˇzitou roli a bude mu jeˇstˇe d´ale vˇenov´ana pozornost.
2.2
Deterministick´ e a stochastick´ e modely
Model oznaˇc´ıme za deterministick´ y, pokud nepouˇz´ıv´a prostˇredky poˇctu pravdˇepodobnosti a t´ım tak´e nepostihuje nekontrolovateln´e nebo n´ahodn´e vlivy p˚ usob´ıc´ı v modelovan´em syst´emu. Hranici mezi deterministick´ ymi a stochastick´ ymi modely nelze zcela pˇresnˇe vymezit. I modely klasifikovan´e jako deterministick´e pouˇz´ıvaj´ı ˇcasto pr˚ umˇern´e hodnoty n´ahodn´e veliˇciny jako v´ ychoz´ı u ´daje, zkoumaj´ı vliv n´ahodn´eho kol´ıs´an´ı vstupn´ıch u ´daj˚ u na ˇreˇsen´ı pomoc´ı rozboru stability ˇreˇsen´ı apod. O stochastick´ ych modelech mluv´ıme tedy hlavnˇe v pˇr´ıpadech, kdy pouˇzit´ı pravdˇepodobnostn´ıho apar´atu m´a natolik u ´stˇredn´ı roli, ˇze bez nˇeho model pˇrest´av´a b´ yt adekv´atn´ım zobrazen´ım reality.
2.3
Statick´ e a dynamick´ e modely
Jednou z typick´ ych vlastnost´ı ekonomick´ ych syst´em˚ u je jejich v´ yvoj v ˇcase. Pokud m´a tento v´ yvoj pro u ´ˇcel zkoum´an´ı ˇza´dn´ y ˇci zanedbateln´ y vliv, pouˇz´ıv´a se model, ve kter´em nevystupuje ˇcas jako parametr explicitnˇe ani implicitnˇe; 7
takov´ yto model naz´ yv´ame statick´ y. Model, v nˇemˇz ˇcas explicitnˇe vystupuje, se pak naz´ yv´a dynamick´ y. Dynamick´e modely lze jeˇstˇe d´ale rozdˇelit podle hodnot, jak´ ych ˇcas t nab´ yv´a. Prob´ıh´a-li ˇcas vˇsechny ˇc´ıseln´e hodnoty v nˇejak´em intervalu, pak se mluv´ı o modelu se spojit´ ym ˇcasem. Pokud model pracuje pouze s urˇcit´ ymi ˇcasov´ ymi okamˇziky (napˇr. stav na konci mˇes´ıce), tedy ˇcas nab´ yv´a koneˇcn´eho ˇci spoˇcetn´eho poˇctu hodnot; takov´e modely se naz´ yvaj´ı modely s diskr´etn´ım ˇcasem. V modelech se spojit´ ym ˇcasem se glob´aln´ı hodnoty ˇcasovˇe promˇenn´ ych veliˇcin pˇres urˇcit´e obdob´ı vyjadˇruj´ı jako ˇcasov´e integr´aly; napˇr. u ´hrnn´a hodnota ˇcasovˇe promˇenn´e veliˇciny x(t) se vypoˇcte jako ZT X=
x(t)dt. 0
Zmˇeny t´eto veliˇciny v ˇcase jsou potom charakterizov´any pomoc´ı ˇcasov´e derivace dx(t) x(t) ˙ = . dt V modelech s diskr´etn´ım ˇcasem se objevuje m´ısto integr´alu suma X=
T X
x(t)
t=1
a m´ısto derivace diference ∆x(t) = x(t + 1) − x(t).
2.4
Modely pro a makrosf´ eru
mikrosf´ eru,
mezosf´ eru
Modely urˇcen´e pˇredevˇs´ım pro pouˇzit´ı na podnikov´e u ´rovn´ı se naz´ yvaj´ı mikromodely, mluv´ı se o modelov´an´ı na mikro´ urovni ˇci o modelech mikrosf´ery. Modely urˇcen´e pro pouˇzit´ı na u ´rovni odvˇetv´ı n´arodn´ı ekonomiky se naz´ yvaj´ı mezomodely, mluv´ı se o modelov´an´ı na mezo´ urovni. Modely zahrnuj´ıc´ı problematiku cel´e ekonomiky se naz´ yvaj´ı makromodely, pr´ace s tˇemito modely se oznaˇcuje jako modelov´an´ı na makro´ urovni. Vzhledem k tomu, ˇze odvˇetv´ı b´ yv´a ˇcasto povaˇzov´ano sp´ıˇse za statistickou kategorii neˇz za re´alnˇe existuj´ıc´ı ˇca´st n´arodn´ıho hospod´aˇrstv´ı, vˇenuje se obvykle vˇetˇs´ı pozornost zbyl´ ym dvˇema kategori´ım, tedy mikrosf´eˇre a makrosf´eˇre. 8
2.5
Deskriptivn´ı a optimalizaˇ cn´ı modely
Nˇekter´e matematick´e modely si kladou za c´ıl popsat urˇcitou ˇca´st ekonomick´e reality na exaktn´ı u ´rovnia objasnit z´akonitosti jej´ıho fungov´an´ı ˇci alespoˇ n formulovat hypot´ezy o tˇechto z´akonitostech; takov´e modely se naz´ yvaj´ı deskriptivn´ı. Jin´ ym d˚ uleˇzit´ ym c´ılem matematick´eho modelov´ani je naj´ıt optim´aln´ı rozhodnut´ı v dan´e situaci ˇci navrhnout metodu, jak takov´a rozhodnut´ı generovat; tyto modely se naz´ yvaj´ı optimalizaˇcn´ı. Oba tyto typy model˚ u jsou sv´ ym zp˚ usobem vz´ajemnˇe propojeny. Optimalizaˇcni model m˚ uˇze obsahovat pˇredpoklady o fungov´an´ı zkouman´eho syst´emu, t´ım v sobˇe zahrnuje prvky modelu deskriptivn´ıho. A naopak, modely sestaven´e jako deskriptivn´ı poskytuj´ı vˇetˇsinou podklady pouˇziteln´e pro ˇr´ızen´ı modelovan´ ych syst´em˚ u a t´ım vytv´aˇrej´ı pˇrechod k aplikaci model˚ u optimalizaˇcnich.
9
Kapitola 3 Matematick´ y apar´ at pouˇ z´ıvan´ y pˇ ri modelov´ an´ı v ekonomii Matematika disponuje bohat´ ym apar´atem, kter´ y j´ı umoˇzn ˇuje pˇresn´ y popis vztah˚ u mezi jednotliv´ ymi veliˇcinami. Z´avislost veliˇciny y na veliˇcinˇe x, resp. na veliˇcin´ach x1 , x2 , . . . , xn , zap´ıˇseme dle obvykl´e konvence: y = f (x), resp. y = f (x1 , x2 , . . . , xn ). ˇ Casto se m˚ uˇzeme tak´e setkat s vektorovou funkc´ı f , y = f (x), kdy tento z´apis reprezentuje m funkc´ı o n promˇenn´ ych y1 = y2 = ... ... ym =
f1 (x1 , x2 , . . . , xn ) f2 (x1 , x2 , . . . , xn ) ............... fm (x1 , x2 , . . . , xn ).
Vektorov´e funkce v´ıce promˇenn´ ych jsou d˚ uleˇzit´ ym prostˇredkem pro popis ekonomick´ ych syst´em˚ u. Z´akladni funkc´ı ekonomick´eho syst´emu je transformace zdroj˚ u na v´ yrobky. Jestliˇze objemy zdroj˚ u za pevn´e ˇcasov´e obdob´ı pop´ıˇseme hodnotou promˇenn´ ych x1 , x2 , . . . , xn , pak v´ yrobky vystupuj´ıc´ı ze syst´emu v tomto obdob´ı mohou b´ yt pops´any hodnotami z´avisle promˇenn´ ych y1 , y2 , . . . , ym . Matematick´e modely v ekonomii si ˇcasto kladou za c´ıl nalezen´ı optim´aln´ıch rozhodnut´ı; matematicky tuto optimalitu m˚ uˇzeme ztˇelesnit pojmem extr´emu funkce. Extr´emem funkce budeme rozumˇet bud’ jej´ı maximum nebo jej´ı minimum.
10
Je-li funkce f definov´ana na mnoˇzinˇe X, znaˇc´ıme nejvˇetˇs´ı hodnotu, kter´e f na X nab´ yv´a, symbolem max f (x) . x∈X Nˇekdy n´as nezaj´ım´a pouze nejvˇetˇs´ı hodnota funkce f na mnoˇzinˇe X, ale sp´ıˇse ten prvek mnoˇziny X, v nˇemˇz je maxim´aln´ı hodnoty dosaˇzeno. Takov´ y prvek se znaˇc´ı symbolem arg max f (x) . x∈X Obdobnˇe m˚ uˇzeme definovat i symboly min f (x), argmin f (x). x∈X
x∈X
Dalˇs´ım ˇcasto uˇz´ıvan´ ym n´astrojem pro vyjadˇrov´an´ı ekonomick´ ych z´avislost´ı jsou matice. Jak je zn´amo, matici A o m ˇr´adc´ıch a n sloupc´ıch (tedy matici typu m, n) m˚ uˇzeme n´asobit matic´ı B zprava, pokud poˇcet ˇra´dk˚ u matice B je roven poˇctu sloupc˚ u matice A. V pˇr´ıpadˇe model˚ u ekonomick´ ych syst´em˚ u se ˇcasto pouˇz´ıv´a souˇcin matice A typu m, n a matice typu n, 1, tj. sloupcov´eho vektoru. Jako pˇr´ıklad m˚ uˇzou slouˇzit line´arn´ı funkce y1 = y2 = ... ... ym = .
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn ........................... am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn
Chceme-li tento dlouh´ y z´apis zkr´atit a zjednoduˇsit, pak ho zap´ıˇse pr´avˇe maticovˇe: y = Ax, pˇriˇcemˇz jak z´apis napov´ıd´a, velk´ ymi tuˇcn´ ymi p´ısmeny A jsou oznaˇceny obecn´e matice typu m, n, zat´ımco mal´a tuˇcn´a x, y jsou vyhrazena konkr´etnˇe pro jednosloupcov´e matice, tedy vektory.
11
Kapitola 4 Matematick´ e modelov´ an´ı a v´ ypoˇ cetn´ı technika V´ yznam v´ ypoˇcetn´ı techniky vˇseobecnˇe je ˇc´ım d´al vˇetˇs´ı. Toto plat´ı i ve spojitosti a nejr˚ uznˇejˇs´ımi vˇedn´ımi obory, tedy i pro matematiku a specielnˇe pro matematick´e modely pˇredstavuje v´ yznamn´ y n´astroj. Matematick´e modelov´an´ı bylo v ekonomii pouˇz´ıv´ano uˇz v dobˇe, kdy programovateln´e poˇc´ıtaˇce jeˇstˇe neexistovaly; k v´ yraznˇejˇs´ımu pouˇzit´ı poˇc´ıtaˇc˚ u pˇri ˇreˇsen´ı u ´loh z oblasti ekonomie doˇslo na konci pades´at´ ych let, kdy uˇz poˇc´ıtaˇce byly bˇeˇznˇe dostupn´e. N´astup poˇc´ıtaˇc˚ u pˇresto znamenal v matematick´em modelov´an´ı v´ yznamn´ y obrat. Bylo moˇzn´e ustoupit od vysok´eho stupnˇe agregace ekonomick´ ych veliˇcin, jinak nutn´e pˇri v´ ypoˇctech prostˇredky klasick´e matematick´e anal´ yzy a numerick´e matematiky 1 . Neagregovan´e modely maj´ı schopnost pˇresnˇeji vystihnout jevy v modelovan´e ekonomick´e realitˇe, takˇze v´ ysledky z nich z´ıskan´e je moˇzn´e bezprostˇrednˇe pouˇz´ıt pro rozhodov´an´ı a ˇr´ızen´ı. N´astupem poˇc´ıtaˇc˚ u se rovnˇeˇz pos´ılila u ´loha optimalizaˇcn´ıch model˚ u, kter´e bylo moˇzn´e konstruovat v´ıce s ohledem na podstatu probl´emu a m´enˇe s ohledem na v´ ypoˇcetn´ı n´aroˇcnost jejich ˇreˇsen´ı. D´ale poˇc´ıtaˇce umoˇznily shrom´aˇzdˇen´ı rozs´ahl´ ych statistick´ ych podklad˚ u o re´aln´ ych ekonomick´ ych syst´emech, na kter´ ych mohou b´ yt optimalizaˇcn´ı i deskriptivn´ı modely zaloˇzeny. Nov´ y rozvoj zaznamenalo po n´astupu poˇc´ıtaˇc˚ u line´arn´ı programov´an´ı. P˚ uvodn´ı metody navrˇzen´e pro ˇreˇsen´ı u ´loh line´arn´ıho programov´an´ı bylo nutn´e pro re´aln´e u ´lohy velk´ ych rozmˇer˚ u od z´akladu pˇrepracovat. D˚ uleˇzit´ ym bodem se stalo rovnˇeˇz u ´sporn´e zorganizov´an´ı manipulace se vstupn´ımi 1
Agregac´ı se rozum´ı spojen´ı nˇekolika pˇr´ıbuzn´ ych veliˇcin do jedin´e charakteristiky za u ´ˇcelem zmenˇsen´ı rozmˇer˚ u modelu.
12
daty. V oblasti neline´arn´ıho programov´an´ı se pro pouˇzit´ı na poˇc´ıtaˇc´ıch osvˇedˇcily metody, kter´e pouˇz´ıvaj´ı prvky z v´ ypoˇcetn´ıch postup˚ u line´arn´ıho programov´ani. Pˇri typick´ ych aplikac´ıch matematick´eho modelov´an´ı je nutn´e ˇcasto kombinovat v jednom modelu r˚ uzn´e matematick´e prostˇredky. Takov´eto kombinovan´e modely b´ yv´a velice obt´ıˇzn´e ˇreˇsit pˇresn´ ymi optimalizaˇcn´ımi algoritmy kv˚ uli jejich sloˇzitosti. Lze vˇsak navrhnout ˇr´ıd´ıc´ı algoritmus op´ıraj´ıc´ı se o odhada dosavadn´ı zkuˇsenosti s modelovan´ ym syst´emem (tzv. heuristick´ y algoritmus) a jeho ˇcinnost ovˇeˇrit pomoc´ı simulaˇcn´ıch postup˚ u. Pˇres neust´al´ y rozvoj poˇc´ıtaˇc˚ u a jejich v´ ypoˇcetn´ı s´ıly je tˇreba uv´aˇzit, ˇze jejich schopnosti pˇrece jen jsou limitov´any. Je tedy tˇreba m´ıt toto napamˇeti pˇri sestavov´an´ı modelu a starat se o objem v´ ypoˇct˚ u potˇrebn´ ych k jeho vyˇreˇsen´ı. Ekonomick´e syst´emy jaou pochopitelnˇe velice sloˇzit´e a pokud bychom se pokouˇseli vystihnout vˇsechny jeho podstatn´e rysy, z´ıskali bychom model, kter´ y by pravdˇepodobnˇe neˇsel vyˇreˇsit ani s pomoc´ı nejlepˇs´ı v´ ypoˇcetn´ı techniky. Problematika vyuˇzit´ı v´ ypoˇcetn´ı techniky je samozˇrejmˇe mnohem komplikovanˇejˇs´ı. Nicm´enˇe uveden´ y struˇcn´ y pˇrehled mˇel za u ´kol pouze naznaˇcit, ˇze poˇc´ıtaˇce a jejich neust´al´ y v´ yvoj u ´zce souvis´ı i s matematick´ ymi modely. V n´asleduj´ıc´ı ˇc´asti bude ˇreˇc tedy o modelech ve vztahu k matematick´emu programov´ani a k line´arn´ımu programov´an´ı pak obzvl´ast’.
13
Kapitola 5 Matematick´ e programov´ an´ı Matematick´e programov´an´ı se zab´ yv´a ˇreˇsen´ım optimalizaˇcn´ıch u ´loh, ve kter´ ych jde o nalezen´ı maxima, resp. minima pˇredem definovan´eho krit´eria (napˇr. zisk, n´aklady, objem v´ yroby,... atd.) na mnoˇzinˇe vˇsech moˇzn´ ych pˇr´ıpustn´ ych variant dan´e u ´lohy. Prakticky to znamen´a, ˇze hled´ame extr´em zm´ınˇen´eho krit´eria pˇri platnosti jist´ ych omezuj´ıc´ıch podm´ınek. Dan´e krit´erium je vyj´adˇren´e funkˇcn´ı z´avislost´ı (jde o funkci v´ıce promˇenn´ ych) ´ a omezuj´ıc´ı podm´ınky jsou vyj´adˇreny soustavou rovnic ˇci nerovnic. Ulohy matematick´eho programov´an´ı dˇel´ıme na line´ arn´ı a neline´ arn´ı.
5.1
Model matematick´ eho programov´ an´ı
Dosud jsme mluvili o modelov´an´ı a o modelech; nicm´enˇe pojem model a to, co si pod n´ım pˇredstavujeme, zat´ım nebylo vysvˇetleno. M˚ uˇzeme ˇr´ıci, ˇze pro kaˇzd´ y model (a to nejen pro ekonomick´ y) plat´ı dvˇe z´akladn´ı charakteristiky; model je • urˇcit´e zobrazen´ı (napodoben´ı) re´aln´eho syst´emu, • vˇzdy nedokonal´ y obraz skuteˇcnosti Spr´avnˇe zkonstruovan´ y model mus´ı vystihovat vlastnosti, kter´e jsou z hlediska ˇreˇsen´ı probl´emu povaˇzov´any za d˚ uleˇzit´e. D˚ uvody se v podstatˇe nab´ızej´ı: 1. Pokud by model do vˇsech zn´am´ ych detail˚ u vystihoval re´alnou skuteˇcnost, ˇslo by o kopii skuteˇcnosti a nelze tedy hovoˇrit o modelu; nav´ıc by se vytratily vˇsechny v´ yhody plynouc´ı z pouˇz´ıv´an´ı modelu; ˇ ım v´ıce vlastnost´ı re´aln´eho syst´emu model vystihuje, t´ım je sloˇzitˇejˇs´ı 2. C´ a obt´ıˇznˇej´ı ˇreˇsiteln´ y, aˇz neˇreˇsiteln´ y dostupn´ ymi prostˇredky; 14
3. Jestliˇze model neobsahuje z hlediska poˇzadovan´eho ˇreˇsen´ı d˚ uleˇzit´e vlastnosti re´aln´eho syst´emu (nezn´ame je nebo je opomeneme do modelu zaˇradit), mohou b´ yt z´ıskan´e v´ ysledky optim´aln´ı z hlediska modelu, nikoli pak z pohledu re´aln´e situace. Model matematick´eho programov´ani vyjadˇruje vztahy platn´e v re´aln´em syst´emu formou matematick´ ych a v´ yrazov´ ych prostˇredk˚ u, jako jsou: • funkce • soustavy rovnic a nerovnic Pokud by n´as zaj´ımal model u ´lohy matematick´eho programov´an´ı, tak ten se obvykle skl´ad´a ze dvou ˇc´ast´ı - z u ´ˇcelov´e funkce a z omezuj´ıc´ıch podm´ınek. 1. u ´ˇ celov´ a (kriteri´ aln´ı) funkce vyjadˇruje c´ıl, tedy co je mˇeˇr´ıtkem u ´spˇeˇsnosti ˇreˇsen´ı; c´ılem je nal´ezt takovou kombinaci rozhodovac´ıch promˇenn´ ych, aby hodnota t´eto funkce nab´ yvala poˇzadovan´eho extr´emu (tj. maxima ˇci minima). 2. omezuj´ıc´ı podm´ınky vyjadˇruj´ı omezen´ı a z´avazky, kter´e jsme pˇri ˇreˇsen´ı nuceni splnit; obvykle jde o soustavu rovnic ˇci nerovnic, kde kaˇzd´a vyjadˇruje jedno konkr´etn´ı omezen´ı jako napˇr.: • nepˇrekroˇcen´ı kapacity vybran´eho skladu, • nutnost vyrobit alespoˇ n poˇzadovan´e mnoˇzstv´ı q urˇcit´eho v´ yrobku, • potˇrebu dos´ahnout ˇcist´eho zisku alespoˇ n v nˇejak´e minim´aln´ı nezbytn´e v´ yˇsi zmin , atd. Speci´aln´ım druhem omezuj´ıc´ıch podm´ınek jsou tzv. podm´ınky oblig´ atn´ı. Jde o omezen´ı, kter´a povaˇzujeme za samozˇrejm´a, ale je tˇreba je uv´est, aby v´ ysledn´e ˇreˇsen´ı mˇelo v˚ ubec smysl. Tyto podm´ınky vymezuj´ı definiˇcn´ı obor promˇenn´ ych, obvykle jde o podm´ınky nez´apornosti, kter´e zajiˇst’uj´ı, abychom nevyr´abˇeli z´aporn´e mnoˇzstv´ı ˇci neujeli z´aporn´ y poˇcet kilometr˚ u. Matematick´ y model u ´lohy matematick´eho programov´an´ı m˚ uˇzeme obecnˇe zapsat n´asledovnˇe: minimalizuj (maximalizuj) z = F (x1 , x2 , . . . , xn )
(5.1)
f1 (x1 , x2 , . . . , xn ) ≥ 0
(5.2)
za podm´ınek
15
f2 (x1 , x2 , . . . , xn ) ≥ 0
(5.3)
......... fm (x1 , x2 , . . . , xn ) ≥ 0
(5.4)
xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n
(5.5)
kde n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . poˇcet rozhodovac´ıch promˇenn´ ych, m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . poˇcet omezuj´ıc´ıch podm´ınek, xj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . rozhodovac´ı promˇenn´e, F (x) a fi (x) . . . . . . . . . . . . . funkce n rozhodovac´ıch promˇenn´ ych. Rovnice 5.1 ve v´ yˇse uveden´em z´apisu pˇredstavuje u ´ˇcelovou funkci, rovnice 5.2 - 5.4 omezuj´ıc´ı podm´ınky a vztah 5.5 podm´ınky oblig´atn´ı. Mnoˇz´ınu vˇsech x, kter´a splˇ nuj´ı podm´ınky 5.2 - 5.5 se naz´ yv´a mnoˇ zina pˇ r´ıpustn´ ych ˇ reˇ sen´ı. Dosud byla ˇreˇc o matematick´em programov´an´ı jako celku, nyn´ı se zamˇeˇr´ıme na jednu jeho v´ yznamnou ˇc´ast, a to na line´arn´ı programov´ani.
5.2
Line´ arn´ı programov´ an´ı
Danou u ´lohu oznaˇc´ıme za u ´lohu line´arn´ıho programov´an´ı - LP, jsou-li kriteri´aln´ı funkce i vˇsechny rovnice a nerovnice podm´ınek tvoˇreny line´arn´ımi v´yrazy. Line´arn´ı programov´an´ı lze povaˇzovat za z´aklad kvantitativn´ıch rozhodovac´ıch proces˚ u, a to z n´asleduj´ıc´ıch d˚ uvod˚ u: • velk´e mnoˇzstv´ı typ˚ u a variant d˚ uleˇzit´ ych probl´em˚ u (napˇr. manaˇzersk´ ych) je moˇzn´e formulovat pomoc´ı model˚ u LP; • pokud dok´aˇzeme probl´em formulovat jako u ´lohu LP, m´ame k dispozici dobr´e programov´e prostˇredky na jeho rychl´e ˇreˇsen´ı na poˇc´ıtaˇc´ıch, a to i pro pomˇernˇe rozs´ahl´e u ´lohy; • algoritmy pro ˇreˇsen´ı u ´loh LP d´avaj´ı jako vedlejˇs´ı produkt vlastn´ıho ˇreˇsen´ı ˇradu dalˇs´ıch informac´ı velmi d˚ uleˇzit´ ych pro ˇr´ıd´ıc´ı management; • aplikov´an´ı zp˚ usobu myˇslen´ı, kter´ y pouˇz´ıv´ame pˇri konstrukci model˚ u matematick´eho programov´an´ı (tj. optimalizace zvolen´eho krit´eria pˇri splnˇen´ı jist´ ych omezuj´ıc´ıch podm´ınek) je velmi uˇziteˇcn´e
16
pˇri pˇrem´ yˇslen´ı o vznikl´ ych probl´emech i v pˇr´ıpadˇe, ˇze nehodl´ame konstruovat a ˇreˇsit model. Praxe s pouˇz´ıv´an´ım LP model˚ u rozv´ıj´ı schopnosti vyuˇz´ıvat koncept hled´an´ı optima pˇri splnˇen´ı jist´ ych podm´ınek i pˇri intuitivn´ım rozhodov´an´ı. Pˇri aplikaci line´arn´ıho programov´an´ı pro ˇreˇsen´ı re´aln´eho rozhodovac´ıho probl´emu lze rozliˇsit nˇekolik z´akladn´ıch na sebe navazuj´ıc´ıch f´az´ı: 1. Rozpozn´ an´ı probl´emu v r´amci re´aln´eho syst´emu a jeho definice 2. Formulace ekonomick´eho modelu dan´eho probl´emu, kter´ y zjednoduˇsenˇe pop´ıˇse re´aln´ y syst´em, bude obsahovat pouze nejpodstatnˇejˇs´ı prvky a vazby mezi nimi s ohledem na analyzovan´ y probl´em 3. Formulace matematick´eho modelu dan´eho probl´emu, kter´ y n´as bude zaj´ımat nejv´ıce a budeme se j´ım tedy v dalˇs´ı ˇc´asti zab´ yvat 4. Vlastn´ı ˇreˇsen´ı matematick´eho modelu u ´lohy LP 5. Interpretace z´ıskan´ych v´ysledk˚ u a jejich verifikace, kter´a n´am souˇcasnˇe ovˇeˇr´ı, zda byly spr´avnˇe sestaveny oba modely, ekonomick´ y a matematick´ y 6. V pˇr´ıpadˇe u ´spˇeˇsn´e verifikace v´ ysledk˚ u lze pˇristoupit k jejich implementaci v r´amci analyzovan´eho re´aln´eho syst´emu; ta by mˇela pˇrispˇet ke zlepˇsen´ı fungov´an´ı dan´eho syst´emu s ohledem na sledovan´ y a v modelu definovan´ y c´ıl
5.2.1
Matematick´ y model u ´ lohy LP
V pˇredchoz´ı ˇc´asti jsme uvedli zp˚ usob, jak´ ym postupovat pˇri hled´an´ı ˇreˇsen´ı v r´amci line´arn´ıho programov´an´ı. Byly zm´ınˇeny dva modely, a to ekonomick´ y a matematick´ y. Ekonomick´ y model je v podstatˇe slovn´ım a numerick´ ym popisem probl´emu, podobnˇe jako zad´an´ı slovn´ı u ´lohy v matematice. Aby bylo moˇzn´e dan´ y probl´em ˇreˇsit, je tˇreba jej nˇejak´ ym zp˚ usobem formalizovat - pˇrev´est tedy ekonomick´ y model na model matematick´ y, kter´ y je potom ˇreˇsiteln´ y standardn´ımi postupy. Oba modely obsahuj´ı stejn´e prvky ale v odliˇsn´em vyj´adˇren´ı. Jiˇz dˇr´ıve jsme uvedli model matematick´eho modelov´ani. Nicm´enˇe d˚ uleˇzit´e je rovnˇeˇz zm´ınit, ˇze pˇri formulaci matematick´eho modelu nˇejak´e re´alnˇe ekonomick´e situace je v´ yhodn´e zachov´avat urˇcit´ y postup; ten by mohl vypadat zhruba n´asledovnˇe:
17
1. Rozebrat ekonomick´ y model, uvˇedomit si, co jsou ˇcinnosti (procesy) modelu, co jsou zdroje - ˇcinitele vstupuj´ıc´ı do ˇcinnost´ı, co v´ ysledky - ˇcinitele vystupuj´ıc´ı z ˇcinnosti a koneˇcnˇe, co je krit´eriem optimality v modelu. 2. Stanovit promˇenn´e, jejich pˇresn´ y vˇecn´ y v´ yznam, dimenzi a mˇernou jednotku. Obecnˇe ˇreˇceno, promˇenn´e vyjadˇruj´ı nezn´am´e a hledan´e u ´rovnˇe, na nichˇz jsou prov´adˇeny ˇc´ınnosti (uskuteˇcn ˇov´any procesy). 3. Vyj´adˇrit line´ arn´ımi rovnicemi nebo nerovnostmi omezen´ı u ´lohy v ˇcinitel´ıch. Na prav´e stranˇe rovnice nebo nerovnosti stoj´ı omezen´e disponibiln´ı mnoˇzstv´ı vstupuj´ıc´ıho ˇcinitele nebo poˇzadovan´e mnoˇzstv´ı vystupuj´ıc´ıho ˇcinitele. Na lev´e stranˇe je pak bud’ potˇrebn´e mnoˇzstv´ı vstupuj´ıc´ıho nebo produkovan´e mnoˇzstv´ı vystupuj´ıc´ıho ˇcinitele, v obou pˇr´ıpadech vyj´adˇreno jako line´arn´ı funkce promˇenn´ ych u ´lohy. 4. Vyj´adˇrit zvolen´e krit´erium optimality jako line´ arn´ı formu promˇenn´ ych u ´lohy. Jak je z postupu patrn´e, prvn´ı dva body jsou obecnˇe platn´e pro jakoukoliv u ´lohu matematick´eho programov´an´ı, jej´ıˇz model jiˇz byl pops´an. Zbyl´e dva body uˇz plat´ı oˇcividnˇe speci´alnˇe pro programov´an´ı line´arn´ı.
5.2.2
Z´ akladn´ı typy u ´ loh LP
´ Ulohy line´arn´ıho programov´an´ı maj´ı ˇsirok´e pouˇzit´ı v r˚ uzn´ ych oblastech ekonomick´e sf´ery. Pro pˇredstavu o nˇekter´ ych z´akladn´ıch typech bude uveden jejich pˇrehled vˇcetnˇe struˇcn´e charakteristika probl´emu. ´ Ulohy v´ yrobn´ıho pl´ anov´ an´ı V u ´loh´ach v´ yrobn´ıho pl´anov´an´ı se jedn´a o stanoven´ı v´ yrobn´ıho programu pˇri respektov´an´ı omezen´ ych v´ yrobn´ıch ˇcinitel˚ u a dalˇs´ıch podm´ınek tak, aby bylo optimalizov´ano zvolen´e krit´erium jako je napˇr. maximalizace zisku ˇci minimalizace n´aklad˚ u. Promˇenn´e v modelu u ´lohy v´ yrobn´ıho pl´anov´an´ı pˇredstavuj´ı ˇcasto objem produkce urˇcit´eho druhu v´ yrobku a omezuj´ıc´ı podm´ınky jsou odrazem omezen´ ych v´ yrobn´ıch kapacit, technologick´ ych podm´ınek nebo poˇzadavk˚ u odbˇeratel˚ u. Smˇ eˇ sovac´ı probl´ em Ve smˇeˇsovac´ıch u ´loh´ach jde o to navrhnout smˇes poˇzadovan´ ych vlastnost´ı tak, aby bylo optimalizov´ano zvolen´e krit´erium, napˇr. co nejlevnˇejˇs´ı smˇes. Slovo 18
smˇes je tu vn´ım´ano v ˇsirˇs´ım slova smyslu. M˚ uˇze j´ıt o smˇes v klasick´em smyslu slova - tedy denn´ı d´avku v´ yˇzivy osob (nutriˇcn´ı probl´em) ˇci pˇrenesenˇe, napˇr. finanˇcn´ı smˇes (tj. u ´lohy pl´anov´an´ı portfolia). Jednotliv´e promˇenn´e ud´avaj´ı zpravidla pod´ıl sloˇzek na v´ ysledn´e smˇesi. Omezuj´ıc´ı podm´ınky jsou velice r˚ uznorod´e a vych´az´ı z charakteru u ´lohy. ˇ Rezn´ y probl´ em Vu ´loh´ach tohoto typu se jedn´a o optimalizaci dˇelen´ı vˇetˇs´ıch celk˚ u na menˇs´ı ˇc´asti tak, aby byl minimalizov´an odpad a aby byly splnˇeny omezuj´ıc´ı podm´ınky; ty mohou tˇreba vyjadˇrovat poˇzadavky, v jak´em pomˇeru maj´ı b´ yt ˇc´asti z´ıskan´e dˇelˇen´ım. Pˇr´ıkladem m˚ uˇze b´ yt ˇrez´an´ı tyˇc´ı ˇc´ı trubek, jednoduˇse jde o pˇr´ıpady, kdy pro dˇelen´ı je urˇcuj´ıc´ı pouze jeden rozmˇer. Dopravn´ı probl´ em Dopravn´ım probl´emem naz´ yv´ame u ´lohu, ve kter´e jde o rozvoz nˇejak´eho zboˇz´ı ˇci materi´alu z dodavatelsk´ ych m´ıst (zdroj˚ u) odbˇeratel˚ um (do c´ılov´ ych m´ıst) tak, aby byly minimalizov´any celkov´e n´aklady spojen´e s t´ımto rozvozem. M´ame definov´ano m zdroj˚ u (dodavatel˚ u) D1 , D2 , . . . , Dm s omezen´ ymi kapacitami a1 , a2 , . . . , am (mnoˇzstv´ı, kter´e je dodavatel schopen v uvaˇzovan´em obdob´ı dodat) a n c´ılov´ ych m´ıst (odbˇeratel˚ u) O1 , O2 , . . . , On se stanovan´ ymi poˇzadavky b1 , b2 , . . . , bn (mnoˇzstv´ı, kter´e odbˇeratel v uvaˇzovan´em obdob´ı poˇzaduje). Vztah kaˇzd´e dvojice zdroj-c´ılov´e m´ıstoje ocenˇen, toto ocenˇen´ı m˚ uzeme oznaˇcit cij , kde i = 1, 2, . . . , m a j = 1, 2, . . . , n; pod ocenˇen´ım si m˚ uˇzeme pˇredstavit tˇreba n´aklady na pˇrepravu jednotky zboˇz´ı mezi zdrojem a c´ılov´ ym m´ıstem. C´ılem ˇreˇsen´ı dopravn´ıho probl´emu je napl´anovat pˇrepravu mezi zdroji a c´ılov´ ymi m´ısty tak, aby nebyly pˇrekroˇceny kapacity zdroj˚ u a aby byly uspokojeny poˇzadavky c´ılov´ ych m´ıst. Pˇ riˇ razovac´ı probl´ em Vu ´loh´ach tohoto typu jde o nalezen´ı vz´ajemnˇe jednoznaˇcn´eho pˇriˇrazen´ı dvojice jednotek ze dvou skupin tak, aby toto pˇriˇrazen´ı pˇrineslo co nejvyˇsˇs´ı efekt. V pˇriˇrazovac´ım probl´emu jsou definov´any dvˇe skupiny jednotek se stejn´ ym poˇctem prvk˚ u (pokdu by tomu tak nebylo, je tˇreba jednu ze skupin doplnit fiktivn´ımi jednotkami); jednotky tˇechto skupin m˚ uˇzeme oznaˇcit A1 , A2 , . . . , Am a B1 , B2 , . . . , Bm . D´ale zde zav´ad´ıme cenov´ y koeficient cij , i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , m, kter´ y slouˇz´ı jako ohodnocen´ı pˇriˇrazen´ı kaˇzd´e dvojice.
19
C´ılem je urˇcit, zda i-t´a jednotka z prvn´ı skupiny bude nebo nebude pˇriˇrazena j-t´e jednotce ze skupiny druh´e. V souvislosti s t´ım jsou zavedeny promˇenn´e xij , i = 1, 2, . . . , m a j = 1, 2, . . . , m, kter´e nab´ yvaj´ı pouze dvou hodnot: • xij = 1, pokud jednotka Ai bude pˇriˇrazena jednotce Bj , • xij = 0, v opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe. Pˇriˇrazovac´ı u ´loha je ve sv´e podstatˇe speci´aln´ım pˇr´ıpadem dopravn´ı u ´lohy, kdy m´ame stejn´ y poˇcet zdroj˚ u i c´ılov´ ych m´ıst a poˇzadavky vˇsech c´ılov´ ych m´ıst i kapacity vˇsech zdroj˚ u jsou rovny jedn´e; z´aroveˇ n v tomto pˇr´ıpadˇe m˚ uˇzeme mluvit o nedˇelitelnosti poˇzadavk˚ u.
20
Kapitola 6 Z´ avˇ er Problematika matematick´ ych model˚ u v ekonomii je velice rozs´ahl´ ych t´ematem a v t´eto pr´aci byla proto vybr´ana pouze mal´a ˇc´ast, kterou lze povaˇzovat za z´akladn´ı. Samozˇrejmˇe by bylo na m´ıstˇe alespoˇ n zm´ınit nˇekter´e dalˇs´ı zaj´ımav´e oblasti spojen´e s matematick´ ymi modely. Budeme-li uvaˇzovat modely konfliktn´ıch situac´ı, potom je tˇreba zm´ınit teorii her. Tento vˇedn´ı obor vznikl z pˇredstavy, ˇze situace, kter´e vznikaj´ı pˇri hran´ı her (jako jsou karetn´ı hry ˇci ˇsachy) jsou ve sv´e struktuˇre shodn´e se situacemi, kter´e se ˇreˇs´ı pˇri rozhodov´an´ı v ekonomick´ ych syst´emech. V matematick´ ych modelech nach´az´ı sv´e uplatnˇen´ı i teorie graf˚ u, zvl´aˇstˇe ’ pak s´ıt ov´ a anal´ yza. Existuje ˇrada typ˚ u optimalizaˇcn´ıch u ´loh, kter´e je moˇzn´e ˇreˇsit pomoc´ı jejich grafick´e reprezentace. V´ yhodou je velmi pˇrehledn´a struktura cel´e u ´lohy, kter´a b´ yv´a ˇcasto srozumitelnˇejˇs´ı neˇz tˇreba formulace v podobˇe matematick´eho modelu v jejich klasick´e podobˇe. Svoje uplatnˇen´ı maj´ı samozˇrejmˇe i teorie hromadn´ e obsluhy ˇci teorie z´ asob. Vˇsechny tyto v´ yˇse zm´ınˇen´e oblasti hraj´ı samozˇrejmˇe tak´e d˚ uleˇzitou roli, nicm´enˇe rozebr´an´ı jejich charakteristik by dos´ahlo rozsahu sp´ıˇse knihy neˇz semestr´aln´ı pr´ace.
21
Literatura [1] Huˇsek R., Maˇ nas M.: Matematick´ e modely v ekonomii, SNTL, Praha 1989 ˇ Praha 1999 [2] Lagov´a M., Jablonsk´ y J.: Line´ arn´ı modely, VSE, ˇ zka M.: Modelov´ [3] Plevn´ y M., Ziˇ an´ı a optimalizace v manaˇ zersk´ em ˇ rozhodov´ an´ı, ZCU, Plzeˇ n 2007 [4] Rzchetn´ık L., Zelinka J., Pelzbauerov´a V.: Sb´ırka pˇ r´ıklad˚ u z line´ arn´ıho programov´ an´ı, SNTL, Praha 1968
22
