Západočeská univerzita v Plzni Fakulta pedagogická Katedra matematiky

Z´apadoˇcesk´a univerzita v Plzni Fakulta pedagogick´a Katedra matematiky

´ RSK ˇ A ´ PRACE ´ BAKALA Geometrick´ e konstrukce ˇ reˇ sen´ e operac´ı pˇ rekl´ ad´ an´ı pap´ıru

duben 2010

Vypracovala: Lenka Pt´ aˇ ckov´ a Vedouc´ı pr´ ace: RNDr. Miroslav L´ aviˇ cka, Ph.D.

Origin´ al zad´ an´ı M´ısto tohoto listu bude origin´al zad´an´ı.

i

c Lenka Pt´aˇckov´a, 2010

ii

ˇ Cestn´ e prohl´ aˇsen´ı Prohlaˇsuji, ˇze jsem tuto bakal´aˇrskou pr´aci vypracovala samostatnˇe, s pouˇzit´ım odborn´e literatury a pramen˚ u uveden´ych v pˇriloˇzen´em seznamu. V Plzni dne . . . . . . . . . . .

........................ Podpis autora

iii

Podˇ ekov´ an´ı Chci velmi podˇekovat sv´emu vedouc´ımu pr´ace RNDr. Miroslavu L´aviˇckovi, Ph.D., ˇze mi toto t´ema nab´ıdl. Dˇekuji za trpˇeliv´e a d˚ usledn´e veden´ı a pomoc pˇri ˇreˇsen´ı probl´em˚ u. D´ıky sv´emu vedouc´ımu pr´ace jsem se sezn´amila nejen s novou metodou geometrick´ych konstrukc´ı, ale i s tvorbou matematick´eho textu. Dˇekuji tak´e sv´e rodinˇe za absolutn´ı podporu.

iv

Anotace N´azev pr´ace: Geometrick´ e konstrukce ˇ reˇ sen´ e oprerac´ı pˇ rekl´ ad´ an´ı pap´ıru Autor: Lenka Pt´aˇckov´a Vedouc´ı pr´ace:

RNDr. Miroslav L´aviˇcka, Ph.D. Katedra matematiky FAV

Abstrakt: Bakal´aˇrsk´a pr´ace se zab´yv´a geometrick´ymi konstrukcemi, jeˇz jsou ˇreˇseny operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru. Je zde uvedeno srovn´an´ı eukleidovsk´ych metod a metody pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru. Velk´a ˇc´ast pr´ace je vˇenov´ana konstrukc´ım geometrick´ych u ´ tvar˚ u jako jsou mnoho´ uheln´ıky, kuˇzeloseˇcky a dalˇs´ı kˇrivky. Pr´ace je zakonˇcena pˇrehledem literatury souvisej´ıc´ı s t´ımto t´ematem a uveden´ım praktick´eho vyuˇzit´ı. Kl´ıˇcov´a slova: Geometrick´e konstrukce, mnoho´ uheln´ıky, kuˇzeloseˇcky, kˇrivky, origami.

pˇrekl´ad´an´ı

pap´ıru,

pravideln´e

Annotation Title: Geometric constructions by paper folding Author: Lenka Pt´aˇckov´a Supervisor:

RNDr. Miroslav L´aviˇcka, Ph.D. Department of Mathematics FAV

Abstract: This bachelor thesis deals with the geometric constructions by paper folding and with the operation of folding paper. There is a comparison between Euclidean constructions and the method of folding paper. A major part is devoted to constructions of geometric objects as polygons, conic sections and other curves. The thesis ends with a survey of related literature and some examples of practical use. Key words: Geometric constructions, paperfolding, polygons, conic sections, curves, origami.

v

Obsah ´ 1 Uvod

1

2 Z´ akladn´ı definice a pojmy

3

3 Porovn´ an´ı eukleidovsk´ ych metod a operace pˇ rekl´ ad´ an´ı pap´ıru

17

4 Konstrukce ˇ reˇ sen´ e operac´ı pˇ rekl´ ad´ an´ı pap´ıru

21

4.1

Z´akladn´ı konstrukce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2

Mnoho´ uheln´ıky a zlat´y ˇrez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.3

Kuˇzeloseˇcky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.4

Dalˇs´ı kˇrivky v rovinˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5 Souvisej´ıc´ı probl´ emy a aplikace

39

6 Z´ avˇ er

44

Seznam obr´ azk˚ u

46

Literatura

47

vi

Seznam znaˇ cen´ı

E2

eukleidovsk´a rovina

↔ AB → AB AB

pˇr´ımka proch´azej´ıc´ı body A a B polopˇr´ımka s poˇc´ateˇcn´ım bodem A a vnitˇrn´ım bodem B u ´ seˇcka s koncov´ymi body A a B

|AB| d´elka u ´ seˇcky AB neboli vzd´alenost bodu A a B S(A, |AB|) kruˇznice se stˇredem A proch´azej´ıc´ı bodem B S(A, r) ∠ABC |∠ABC|

kruˇznice se stˇredem A a polomˇerem r u ´ hel ABC velikost u ´ hlu ABC

△ABC ABCD

troj´ uheln´ık s vrcholy A, B, C ˇctverec s vrcholy A, B, C, D

P=Q P∼ =Q P∼Q

P a Q jsou dva totoˇzn´e objekty P a Q jsou dva shodn´e objekty P a Q jsou dva podobn´e objekty

Pt

obraz bodu P v osov´e soumˇernosti podle pˇr´ımky t

vii

Kapitola 1 ´ Uvod C´ılem t´eto pr´ace je sezn´amit ˇcten´aˇre s jednou speci´aln´ı metodou konstrukc´ı geometrick´ych objekt˚ u. M´ym pˇr´an´ım je, aby kaˇzd´y po pˇreˇcten´ı tohoto textu nabyl pozn´an´ı, ˇze kontrukce operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru jsou plnohodn´e a sv´ym rozsahem pˇresahuj´ı konstrukce eukleidovsk´e, ˇze se jedn´a o exaktn´ı a zaj´ımavou metodu, kter´a m˚ uˇze nal´ezt ˇsirok´e uplatnˇen´ı pˇri v´yuce geometrie, ale i v jin´ych oblastech. Vˇeˇr´ım, ˇze ˇcten´ı to bude poutav´e, nebot’ pr´ace na tomto textu byla zaj´ımav´a a pln´a objevov´an´ı nov´ych moˇznost´ı. Pˇri rozhovorech s uˇciteli matematiky a po pˇreˇcten´ı nˇekolika text˚ u zab´yvaj´ıc´ıch se v´yukou geometrie jsem nabyla dojmu, ˇze znalost t´eto metody je velmi mal´a a konstrukce operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru nejsou ˇz´ak˚ um pˇredstavov´any. D˚ uvodem m˚ uˇze b´yt nedostatek informac´ı, nebot’ ani j´a jsem nenalezla ˇcesky psanou literaturu zab´yvaj´ıc´ı se t´ematem a veˇsker´e informace jsem ˇcerpala z anglicky psan´e literatury. Vytvoˇren´ı ucelen´eho textu o konstrukc´ıch operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru bylo pro mne v´yzvou a motivac´ı, nebot’ si jsem jista, ˇze tato metoda stoj´ı za podrobn´e studium a jej´ı znalost otev´ır´a nov´e moˇznosti. V n´azvu m´e pr´ace jsem pouˇzila souslov´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru jako voln´y pˇreklad anglick´eho slova paperfolding nebo tak´e paper folding, coˇz je bˇeˇzn´y term´ın pouˇz´ıvan´y v zahraniˇcn´ı literatuˇre k oznaˇcen´ı metody, kterou v t´eto pr´aci pˇredstavuji. M˚ uˇzeme se setkat i s oznaˇcen´ım origami, coˇz je slovo japonsk´eho p˚ uvodu znamenaj´ıc´ı skl´adat pap´ır. Origami je tedy umˇen´ı skl´ad´an´ı pap´ıru do rozliˇcn´ych, esteticky p˚ usobiv´ych forem, prostorov´ych model˚ u, jako jsou pap´ırov´ı dr´aˇcci, zv´ıˇrata, hmyz a jin´e. Origami je opravdu skl´ad´an´ı, tedy vrstven´ı pap´ıru, opakovan´e pˇrekl´ad´an´ı bez rozloˇzen´ı. Paperfolding, tedy pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru naopak pouˇz´ıv´a jen doˇcasn´eho pˇreloˇzen´ı, tedy pˇreloˇzen´ı a n´asledn´e rozloˇzen´ı pap´ıru, s c´ılem sestrojit rovinn´e geometrick´e entity, jako jsou napˇr´ıklad trisekce u ´ hlu, pravideln´e mnoho´ uheln´ıky, kuˇzeloseˇcky atd. I kdyˇz 1

vˇetˇsina autor˚ u, stejnˇe tak i j´a, rozliˇsuje tyto dva obory, nen´ı odliˇsen´ı platn´e vˇseobecnˇe a m˚ uˇzeme nal´ezt literaturu pouˇz´ıvaj´ıc´ı n´azev origami pro konstrukce rovinn´ych objetk˚ u operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru. O historii metody pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru nebylo naps´ano mnoho, nebot’ jak tvrd´ı G. Martin v [25], operaci pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru jako prostˇredek geometrick´ych konstukc´ı pˇredstavil aˇz v roce 1893 Ind Tandalam Sundara Row. Sundara Row je autorem [32], tedy rozs´ahl´eho d´ıla obsahuj´ıc´ıho velk´e mnoˇzstv´ı konstrukc´ı rozebran´ych na v´ıce neˇz 140 stran´ach textu. Sundara Row se vˇsak dopustil nepˇresnosti, kdyˇz pˇredpokl´adal, ˇze je moˇzn´a jen urˇcit´a aproximace trisekce u ´ hlu, nalezen´ı tˇret´ı odmocniny nen´ı obecnˇe moˇzn´e a ˇze duplikace krychle nen´ı provediteln´a operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru. G. Martin d´ale uv´ad´ı, ˇze prvn´ı rigor´ozn´ı pojedn´an´ı o operaci pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru pˇredsavil aˇz Robert Carl Yates v knize Geometric Tools v roce 1949. Podle m´ych zkuˇsenost´ı, tedy na z´akladˇe ˇreˇserˇse literatury, mohu potvrdit, ˇze o tomto t´ematu bylo dosud naps´ano jen velmi m´alo a veˇsker´a dostupn´a literatura je v angliˇctinˇe. J´a jsem pˇri tvorbˇe t´eto pr´ace vych´azela hlavnˇe z [25], [32], [27] a [12]. Knihu Geometrical tools, a mathematical sketch and model book, kterou napsal R. C. Yates, se mi z´ıskat bohuˇzel nepodaˇrilo. V kapitole Z´akladn´ı definice a pojmy je zavedena z´akladn´ı operace pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru, definov´an pojem u ´ tvar konstruovateln´y operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru, tedy je zde vybudov´an veˇsker´y apar´at nutn´y ke konstrukci geometrick´ych objet˚ u touto metodou. Kapitola Porovn´an´ı eukleidovsk´ych metod a operace pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru poskytuje zaj´ımav´e srovn´an´ı tˇechto dvou metod, v jehoˇz z´avˇeru dojdeme k pozn´an´ı, ˇze operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru jsme schopni vyˇreˇsit nejen vˇsechny eukleidovsk´e u ´ lohy, ale i nˇekter´e u ´ lohy eukledovsk´ymi metodami neˇreˇsiteln´e. Za hlavn´ı ˇc´ast t´eto pr´ace pokl´ad´am kapitolu Konstrukce ˇreˇsen´e operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru, kde pˇredstavuji nˇekter´e u ´ lohy ˇreˇsiteln´e touto metodou, jako je konstrukce pravideln´ych n-´ uheln´ık˚ u, kuˇzeloseˇcek a jin´ych kˇrivek. V t´eto kapitole je vˇzdy uveden postup konstrukce a proveden d˚ ukaz korektnosti dan´eho ˇreˇsen´ı. Posledn´ı kapitola Souvisej´ıc´ı probl´emy a aplikace d´av´a pˇrehled dalˇs´ı dostupn´e literatury a ˇcten´aˇr si m˚ uˇze vytvoˇrit obraz o souˇcasn´em dˇen´ı v t´eto oblasti. Vˇsechny obr´azky kromˇe jedin´eho jsou d´ılem autorky. Vektorov´e obr´azky byly vytvoˇreny v programu GeoGebra, coˇz je software dynamick´e geometrie volnˇe dostupn´y na adrese http://www.geogebra.org/. Praktick´e uk´azky konstrukc´ı jsou vlastn´ı fotografie model˚ u, kter´e sestrojila autorka.

2

Kapitola 2 Z´ akladn´ı definice a pojmy Tato kapitola byla zpracov´ana podle knihy [25, str. 145–159]. Abychom mohli prov´adˇet konstrukce pomoc´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru, pˇredpokl´ad´ame, ˇze pouˇz´ıvan´y pap´ır je pr˚ uhledn´y, m˚ uˇzeme pouˇz´ıt napˇr. pap´ır na peˇcen´ı ˇci pauzovac´ı pap´ır, nebo pouˇz´ıv´ame norm´aln´ı pap´ır na podsvˇetlen´e ploˇse (napˇr. pˇriloˇzen´y na oknˇe). Konstrukce jsou totiˇz ˇcasto zaloˇzeny na symetrii. Protoˇze osov´a soumˇernost je z´akladn´ım pojmem, uvedeme nejdˇr´ıve jej´ı definici. Definice 2.1. Necht’ t je dan´a pˇr´ımka. Osov´ a soumˇ ernost (reflexe1 ) rt , je zobrazen´ı bod˚ u v rovinˇe takov´e, ˇze pro bod P plat´ı rt (P ) =

(

P , kdyˇz P ∈ t, Q , kdyˇz P ∈ / t a t je osou u ´ seˇcky P Q.

Obraz bodu P a pˇr´ımky l v osov´e soumˇernosti podle pˇr´ımky t oznaˇcujeme tak´e P t a lt (toto znaˇcen´ı budeme pouˇz´ıvat z d˚ uvod˚ u pˇrehlednosti a struˇcnosti z´apisu). Tedy P t = rt (P ) a lt = rt (l) = {rt (P )|P ∈ l}. Plat´ı, ˇze P t = Q pr´avˇe tehdy, kdyˇz Qt = P . Pokud P 6= Q, pak tato zˇrejm´a

ekvivalence vypl´yv´a z faktu, ˇze osa u ´ seˇcky P Q je z´aroveˇ n osou u ´ seˇcky QP . Nyn´ı uvedeme vztahy mezi souˇradnicemi bodu a jeho obrazu v osov´e soumˇernosti podle zvolen´e pˇr´ımky. Vˇ eta 2.1. Obrazem bodu A = [x, y] ∈ E2 v osov´e soumˇernosti podle pˇr´ımky t, jej´ıˇz 1

z lat. zrcadlen´ı

3

obecn´a rovnice je aX + bY + c = 0, je bod A′ se souˇradnicemi [x′ , y ′ ], kde x′ = x −

2a(ax + by + c) a2 + b2

(2.1)

y′ = y −

2b(ax + by + c) a2 + b2

(2.2)

D˚ ukaz: Rovnice plat´ı, kdyˇz [x, y] leˇz´ı na pˇr´ımce t a tedy [x, y] = [x′ , y ′], nebot’ [x, y] leˇz´ı na pˇr´ımce s rovnic´ı aX + bY + c = 0 pr´avˇe tehdy, kdyˇz ax + by + c = 0. Pˇredpokl´adejme nyn´ı, ˇze [x, y] neleˇz´ı na t. Pak, podle definice osov´e soumˇernosti, je pˇr´ımka t osou u ´ seˇcky AA′ . Odtud: (i) stˇred u ´ seˇcky AA′ leˇz´ı na t, jeˇz m´a rovnici aX + bY + c = 0; (ii) pˇr´ımka proch´azej´ıc´ı body A, A′ je kolm´a na t. Tyto dvˇe geometrick´e vlastnosti vyj´adˇr´ıme jako dvˇe algebraick´e rovnice x + x′ y + y′ +b = 0, 2 2

(2.3)

a(y ′ − y) = b(x′ − x).

(2.4)

a

Rozeps´an´ım a u ´ pravou rovnic (2.3), (2.4) dost´av´ame ax′ + by ′ = −2c − ax − by, bx′ − ay ′ = bx − ay. ˇ sen´ım t´eto soustavy rovnic M´ame dvˇe line´arn´ı rovnice o dvou nezn´am´ych x′ , y ′. Reˇ z´ısk´ame rovnice (2.1), (2.2).  L´epe porozum´ıme dalˇs´ımu v´ykladu, pokud si zodpov´ıme n´asleduj´ıc´ı ot´azku: Jakou vlastnost splˇ nuj´ı pˇr´ımky t, jeˇz jsou osami soumˇernosti, v nichˇz se dan´y bod P zobrazuje na danou pˇr´ımku p? Odpovˇed’ na tuto ot´azku n´am d´av´a n´asleduj´ıc´ı vˇeta. Nejprve vˇsak uved’me definici paraboly. Definice 2.2. Mnoˇzinu vˇsech bod˚ u X v rovinˇe E2 , kter´e maj´ı od pevn´eho bodu P a pevn´e pˇr´ımky p, jenˇz t´ımto bodem neproch´az´ı, stejn´e vzd´alenosti, naz´yv´ame parabola. Tedy je to takov´a mnoˇzina Kp , kde Kp = {X ∈ E2 ; |XP | = |X, p|, P ∈ / p}. Tedy |XP | : |X, p| = ε = 1. Pevn´y bod P naz´yv´ame ohnisko, pˇr´ımku p ˇ r´ıd´ıc´ı

(direkˇ cn´ı) pˇ r´ımka a ε je ˇ c´ıseln´ a excentricita. Pˇr´ımku proch´azej´ıc´ı bodem P a kolmou na p naz´yv´ame osa paraboly.

4

Obr´azek 2.1: Parabola s direkˇcn´ı pˇr´ımkou p a ohniskem P

Vˇ eta 2.2. Necht’ bod P leˇz´ı na pˇr´ımce p, potom P t leˇz´ı na p pr´ avˇe tehdy, kdyˇz pˇr´ımka t proch´az´ı bodem P nebo t je kolm´ a na p. t Pokud bod P neleˇz´ı na p, potom P leˇz´ı na p pr´ avˇe tehdy, kdyˇz t je teˇcnou paraboly s ohniskem P a direkˇcn´ı pˇr´ımkou p. D˚ ukaz: Prvn´ı ˇc´ast vypl´yv´a pˇr´ımo z definice osov´e soumˇernosti. D˚ ukaz druh´e ˇc´asti je proveden ve dvou kroc´ıch a ilustruje jej obr´azek 2.1. ⇒ Pro d˚ ukaz druh´e ˇc´asti nejdˇr´ıve pˇredpokl´adejme, ˇze P neleˇz´ı na p a P t = Q, kde Q leˇz´ı na p. Z definice osov´e soumˇernosti podle pˇr´ımky t vypl´yv´a, ˇze t je osa u ´ seˇcky P Q. Protoˇze P neleˇz´ı na p, pˇr´ımky t a p nejsou kolm´e. Kolmice na pˇr´ımku p proch´azej´ıc´ı bodem Q prot´ın´a t v nˇejak´em bodˇe T a |T P | = |T Q|. Takˇze bod T je stejnˇe vzd´alen´y od bodu P a pˇr´ımky p, jinak ˇreˇceno, T je

bodem paraboly s ohniskem P a direkˇcn´ı pˇr´ımkou p. Pˇredpokl´adejme, ˇze S je druh´y bod na pˇr´ımce t, kter´y je tak´e bodem paraboly, oznaˇcme F patu kolmice k pˇr´ımce p proch´azej´ıc´ı bodem S. Pak F = 6 Q. Plat´ı, ˇze |SQ| = |SP |, nebot’ S leˇz´ı na pˇr´ımce t, kter´a je mnoˇzinou vˇsech bod˚ u stejnˇe vzd´alen´ych od P a Q. D´ale |SP | = |SF | nebot’ S je bodem paraboly. Odtud |SQ| = |SF | a dost´av´ame nemoˇzn´y pˇr´ıpad, kdy △F SQ je rovnoramenn´y troj´ uheln´ık s prav´ym u ´ hlem pˇri z´akladnˇe. Pˇredpoklad existence S n´as dovedl ke sporu. Takˇze na pˇr´ımce t leˇz´ı pr´avˇe jeden bod paraboly a t je teˇcnou paraboly.

⇐ D˚ ukaz t´eto implikace provedeme opˇet sporem, budeme pˇredpokl´adat, ˇze existuj´ı dvˇe r˚ uzn´e pˇr´ımky t, n, kter´e jsou teˇcnami paraboly v bodˇe T . Necht’ t je teˇcnou paraboly s ohniskem P a direkˇcn´ı pˇr´ımkou p, oznaˇcme T bod dotyku pˇr´ımky t s parabolou a oznaˇcme Q patu kolmice veden´e z bodu T na pˇr´ımku p. Necht’ d´ale n je osou u ´ seˇcky P Q. Protoˇze |T P | = |T Q|, bod T leˇz´ı na n. Bod T je

bodem paraboly, takˇze n je teˇcnou paraboly. Protoˇze na pˇr´ımce t leˇz´ı pr´avˇe jeden bod 5

paraboly a P t = Q, tak nutnˇe n = t. T´ım jsme se dostali do sporu s pˇredpokladem existence dvou r˚ uzn´ych pˇr´ımek t, n splˇ nuj´ıc´ıch v´yˇse uveden´e vlastnosti. Existuje tedy pr´avˇe jedna teˇcna paraboly v dan´em bodˇe.  Vˇ eta 2.3. Vˇsechny paraboly jsou podobn´e. D˚ ukaz: Intuitivn´ı d˚ ukaz m˚ uˇzeme prov´est n´asleduj´ıc´ı u ´ vahou. Parabola je mnoˇzina vˇsech bod˚ u v rovinˇe stejnˇe vzd´alen´ych od dan´eho bodu a dan´e pˇr´ımky neproch´azej´ıc´ı t´ımto bodem (jinak ˇreˇceno ˇc´ıseln´a excentricita paraboly je rovna 1), tedy tvar paraboly z´avis´ı na vd´alenosti ohniska od direkˇcn´ı pˇr´ımky, kter´a je nekoneˇcnˇe dlouh´a, takˇze paraboly se od sebe liˇs´ı pouze svou ”velikost´ı”. V´ıce v [28].  Vytvoˇrili jsme teoretick´y z´aklad, kter´y vyuˇzijeme v n´asleduj´ıc´ım v´ykladu. Pˇrejdeme k vlastn´ı operaci pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru a vymez´ıme povolen´e operace pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru. Je tˇreba zm´ınit, ˇze pˇri konstruov´an´ı pouˇz´ıv´ame jen samotn´y pap´ır, na kter´em po pˇreloˇzen´ı z˚ ust´av´a z´aznam pˇrehybu ve formˇe r´yhy, jin´e pom˚ ucky jsou zapovˇezen´e. Z d˚ uvodu lepˇs´ı pˇrehlednosti budeme pouˇz´ıvat tuˇzku k vyznaˇcen´ı bod˚ u. Budeme pouˇz´ıvat jen jednoduch´e pˇreloˇzen´ı, tedy pap´ır m˚ uˇzeme pˇreloˇzit aˇz po rozloˇzen´ı pˇredchoz´ıho pˇrehybu. Pˇredpokl´adejme tedy, ˇze kaˇzd´a operace je jednoduch´ a. K vytvoˇren´ı veˇsker´eho potˇrebn´eho apar´atu bude staˇcit jedna z´akladn´ı operace: Kdyˇz pro dan´e body P, Q a dan´e pˇr´ımky p, q existuje koneˇcn´y poˇcet pˇr´ımek t tak, ˇze P t leˇz´ı na p a Qt na q, potom m˚ uˇzeme v´est pˇrehyb kaˇzdou takovou pˇr´ımkou t. V takov´em pˇrehybu se bod P zobraz´ı na pˇr´ımku p a bod Q se zobraz´ı na pˇr´ımku q. Vynech´ame problematick´y pˇr´ıpad, kdy P = Q, a rozebereme si moˇzn´e pˇr´ıpady incidence P, p, Q, q, kdy P 6= Q: (i) Pˇredpokl´adejme, ˇze P ∈ p, Q ∈ q a p k q. Potom P t leˇz´ı na p a Qt na q, kdyˇz t je libovoln´a kolmice na p. Protoˇze je nekoneˇcnˇe mnoho pˇr´ımek t takov´ych, ˇze P t ∈ p, Qt ∈ q, tento pˇr´ıpad vylouˇc´ıme na z´akladˇe poˇzadavku koneˇcnosti naˇs´ı fundament´aln´ı operace.

(ii) Pˇredpokl´adejme P ∈ p, Q ∈ q a p ∦ q. Tento pˇr´ıpad m´a tˇri ˇreˇsen´ı: kolmice z bodu P na pˇr´ımku q, kolmice z bodu Q na pˇr´ımku p, pˇr´ımka proch´azej´ıc´ı body P a Q, viz obr´azek 2.2. (iii) Pˇredpokl´adejme P ∈ / p a p ∦ q. Protoˇze vˇsechny paraboly jsou podobn´e, m˚ uˇzeme bez ztr´aty na obecnosti pˇredpokl´adat, ˇze P = [0, 0] a p m´a rovnici Y = 2. Pˇr´ımka q m´a rovnici v obecn´em tvaru X + rY + s = 0 nebot’ q ∦ p. Necht’ Q = [u, v]. Protoˇze t nem˚ uˇze b´yt kolm´a na p, pokud m´a P t leˇzet na p, mus´ı m´ıt t rovnici v obecn´em 6

Obr´azek 2.2: Pro P ∈ p, Q ∈ q, p ∦ q existuj´ı nejv´yˇse tˇri pˇr´ımky t takov´e, ˇze P t ∈ p, Qt ∈ q tvaru mX − Y + b = 0. P t = [x′ , y ′] leˇz´ıc´ı na p podle rovnice (2.2) Vˇety 2.1 implikuje y′ = y −

2(−1)(mx − y + b) , m2 + (−1)2

(2.5)

kde y ′ = 2 a x = y = 0, odtud b = m2 + 1. Necht’ Qt = [u′ , v ′]. Protoˇze Qt ∈ q, mus´ı platit u′ + rv ′ + s = 0. Na z´akladˇe Vˇety 2.1 dost´av´ame:     mu − v + (m2 + 1) mu − v + (m2 + 1) u − 2m +r v+2 + s = 0, (2.6) m2 + 1 m2 + 1 coˇz vede na kubickou rovnici s promˇennou m a racion´aln´ımi koeficienty r, s, u, v. Pro kubickou rovnici plat´ı, ˇze m´a vˇzdy pˇresnˇe 1, 2 nebo 3 re´aln´a ˇreˇsen´ı pro m. ˇ sen´ı pro m jednoznaˇcnˇe urˇcuje b a tak jednoznaˇcnˇe urˇcuje pˇr´ımku t. V tomto Reˇ pˇr´ıpadˇe je t teˇcnou paraboly s ohniskem P a direkˇcn´ı pˇr´ımkou p. Pokud Q ∈ / q,

potom je t souˇcasnˇe teˇcnou paraboly s ohniskem Q a direkˇcn´ı pˇr´ımkou q. Pˇr´ıpad Q∈ / q a p ∦ q je obdobn´y. Obr´azek 2.3 ukazuje pˇr´ıpad, kdy P ∈ / p, Q ∈ / q a p ∦ q, pro kter´y existuj´ı pr´avˇe tˇri

pˇr´ımky t takov´e, ˇze P t ∈ p a Qt ∈ q.

(iv) Pˇredpokl´adejme P ∈ / p a p k q. Jako v pˇredeˇsl´em pˇr´ıpadˇe vol´ıme P = (0, 0) a pˇr´ımka p m´a rovnici Y = 2, pˇr´ımka t m´a pak rovnici v obecn´em tvaru mX −Y +b = 0. Protoˇze P t = (x′ , y ′ ) leˇz´ı na p, mus´ı opˇet platit vztah (2.5) a tedy b = m2 + 1. Pˇr´ımka q m´a rovnici ve tvaru Y = w. Necht’ Q = (u, v). Qt ∈ q implikuje Qt =

7

Obr´azek 2.3: Pro P ∈ / p, Q ∈ / q, p ∦ q existuj´ı pr´avˇe tˇri pˇr´ımky t takov´e, ˇze P t ∈ p, Qt ∈ q (u′ , w). Potom na z´akladˇe rovnosti (2.2) plat´ı w=v−

2(−1)[mu − v + (m2 + 1)] , m2 + 1

(2.7)

coˇz vede na polynom (2 + v − w)m2 + (2u)m + (2 − v − w) = 0.

(2.8)

Protoˇze mus´ı existovat alespoˇ n jeden nenulov´y koeficient, je v tomto pˇr´ıpadˇe t urˇcena kvadratickou ˇci line´arn´ı rovnic´ı a rovnice (2.8) m´a jedno nebo dvˇe re´aln´a ˇreˇsen´ı, existuj´ı tedy nejv´yˇse dvˇe takov´e pˇr´ımky t, pro kter´e P t ∈ p a Qt ∈ q. Stejn´y v´ysledek dost´av´ame pro Q ∈ / q a p k q. Obr´azek 2.4 ukazuje jeden z moˇzn´ych pˇr´ıpad˚ u.

Obr´azek 2.4: Pro P ∈ / p, Q ∈ / q, p k q existuj´ı nejv´yˇse dvˇe pˇr´ımky t takov´e, ˇze P t ∈ p, Qt ∈ q 8

Shrneme vˇsechny pˇr´ıpady, kdy P 6= Q. Kromˇe pˇr´ıpadu P ∈ p, Q ∈ q, p k q existuj´ı

nejv´yˇse tˇri pˇr´ımky t takov´e, ˇze P t ∈ p, Qt ∈ q. Kaˇzd´a z tˇechto pˇr´ımek t je v eukleidovsk´e rovinˇe urˇcena algebraickou rovnic´ı nejv´yˇse tˇret´ıho stupnˇe, kter´a obsahuje souˇradnice bod˚ u P, Q a koeficienty obecn´ych rovnic pˇr´ımek p, q.

Pro zaveden´ı pojmu bod˚ u a pˇr´ımek, kter´e jsou konstruovateln´e z´akladn´ımi operacemi pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru, tedy v Definici 2.4, mus´ıme na z´akladˇe poˇzadavku koneˇcnosti z´akladn´ı operace vylouˇcit pˇr´ıpad P ∈ p, Q ∈ q, p k q. Nav´ıc se v t´eto definici omez´ıme pouze na dva speci´aln´ı pˇr´ıpady, kdy q =↔ P Q nebo p⊥q.

Vstupem mus´ı b´yt alespoˇ n dva body a dvˇe pˇr´ımky, aby bylo moˇzn´e prov´est z´akladn´ı operaci alespoˇ n jednou. K urˇcen´ı dvou pˇr´ımek potˇrebujeme tˇri nekoline´arn´ı body. Vol´ıme tˇri body [0, 0], [1, 0], [0, 1], kter´e urˇcuj´ı tˇri pˇr´ımky s rovnicemi Y = 0, X = 0, X + Y = 1, souˇcasnˇe vˇsak tyto pˇr´ımky urˇcuj´ı tyto tˇri body. Bez u ´ jmy na obecnosti m˚ uˇzeme pˇredpokl´adat, ˇze se bude v´ychoz´ı mnoˇzina sest´avat z pˇr´ımek. Pak s vyuˇzit´ım konstruovateln´ych pˇr´ımek budeme definovat konstruovateln´e body. Tento postup m´a sv˚ uj praktick´y v´yznam: pomoc´ı operace pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru se vytv´aˇrej´ı nejprve pˇr´ımky a z nich se odvozuj´ı body. Definice 2.3. Z´ akladn´ı mnoˇ zina pˇ r´ımek je mnoˇzina tˇrech pˇr´ımek, jejichˇz rovnice jsou: Y = 0, X = 0, X + Y = 1. Definice 2.4. Pˇ r´ımka je konstruovateln´ a z´ akladn´ımi operacemi pˇ rekl´ ad´ an´ı pap´ıru (zkr. P-pˇr´ımka), pokud je posledn´ı pˇr´ımkou z koneˇcn´e posloupnosti pˇr´ımek t1 , t2 , . . . , tn takov´e, ˇze kaˇzd´a pˇr´ımka ti je bud’to prvkem z´akladn´ı mnoˇziny pˇr´ımek, nebo je to takov´a pˇr´ımka t, pro kterou P t leˇz´ı na p, Qt leˇz´ı na q, kde: (i) p, q jsou nerovnobˇeˇzn´e pˇr´ımky, kter´e se objevily v dan´e posloupnosti jiˇz dˇr´ıve; (ii) P, Q jsou dva r˚ uzn´e body, kde kaˇzd´y z nich je pr˚ useˇc´ıkem dvou pˇr´ımek, kter´e se objevily v dan´e posloupnosti jiˇz dˇr´ıve; (iii) bud’ q =↔ P Q nebo p⊥q. Bod je konstruovateln´ y z´ akladn´ımi operacemi pˇ rekl´ ad´ an´ı pap´ıru (zkr. P-bod), pokud je pr˚ useˇc´ıkem dvou P-pˇr´ımek. Kruˇ znice konstruovateln´ a z´ akladn´ımi operacemi pˇ rekl´ ad´ an´ı pap´ıru (zkr. P-kruˇznice) je kruˇznice ˇ ıslo x nazveme ˇ proch´azej´ıc´ı P-bodem, jej´ımˇz stˇredem je P-bod. C´ c´ıslem konstruovateln´ ym z´ akladn´ımi operacemi pˇ rekl´ ad´ an´ı pap´ıru (zkr. P-ˇc´ıslem), kdyˇz [x, 0] je P-bod. Libovoln´y geometrick´y u ´ tvar je konstruovateln´ y z´ akladn´ımi operacemi pˇ rekl´ ad´ an´ı pap´ıru (zkr. P-konstruovateln´y nebo tak´e P-´ utvar), pokud je vymezen P-pˇr´ımkami, popˇr. lze sestrojit libovolnˇe mnoho P-bod˚ u, kter´e mu n´aleˇz´ı. Vˇ eta 2.4. Necht’ P, Q jsou dva r˚ uzn´e P-body a p, q jsou nerovnobˇeˇzn´e P-pˇr´ımky 9

takov´e, ˇze q =↔ P Q nebo p⊥q, a t je takov´ a pˇr´ımka, ˇze P t leˇz´ı na p, Qt na q, potom t je P-pˇr´ımka. D˚ ukaz: Protoˇze p, q jsou P-pˇr´ımky, existuj´ı dvˇe posloupnosti pˇr´ımek p1 , p2 , . . . , p a q1 , q2 , . . . q takov´ych, ˇze kaˇzd´a posloupnost splˇ nuje podm´ınky Definice 2.4. Protoˇze P je P-bod, existuj´ı dvˇe posloupnosti pˇr´ımek r1 , r2 , . . . rn a s1 , s2 , . . . sn takov´e, ˇze kaˇzd´a posloupnost splˇ nuje podm´ınky Definice 2.4, a P je pr˚ useˇc´ıkem r a s. Podobnˇe, protoˇze Q je P-bod, existuj´ı dvˇe posloupnosti pˇr´ımek u1 , u2, . . . un a v1 , v2 , . . . vn takov´e, ˇze kaˇzd´a posloupnost splˇ nuje podm´ınky Definice 2.4 a Q je pr˚ useˇc´ıkem u a v. Spojen´ım dost´av´ame posloupnost p1 , p2 , . . . , p, q1 , q2 , . . . , q, r1, r2 , . . . , r, s1 , s2 , . . . , s, u1, u2 , . . . , u, v1 , v2 , . . . , v splˇ nuj´ıc´ı podm´ınky Definice 2.4. Proto tak´e posloupnost p1 , p2 , . . . , p, q1 , q2 , . . . , q, r1 , r2 , . . . , r, s1 , s2 , . . . , s, u1 , u2, . . . , u, v1 , v2 , . . . , v, t splˇ nuje podm´ınky Definice 2.4, takˇze t je P-pˇr´ımka. 

Lemma 2.1. Body [1, 0], [0, 1], [2, 0] a [0, 2] jsou P-body. D˚ ukaz: Body [0, 0], [0, 1] a [1, 0] jsou P-body, nebot’ kaˇzd´y z nich leˇz´ı na dvou Ppˇr´ımk´ach ze z´akladn´ı mnoˇziny pˇr´ımek. Protoˇze jak´ykoliv dalˇs´ı P-bod mus´ı tak´e leˇzet na dvou P-pˇr´ımk´ach podle Definice 2.4, dok´aˇzeme, ˇze i body [0, 2], [2, 0] leˇz´ı na dvou P-pˇr´ımk´ach. Necht’ P = [1, 0], Q = [0, 0], p m´a rovnici X + Y = 1 a q =↔P Q, tedy q m´a rovnici Y = 0. Potom P t ∈ p, Qt ∈ q, kdyˇz t m´a rovnici Y = X nebo X = 1. Podle Vˇety 2.4 jsou tyto rovnice rovnicemi P-pˇr´ımek, takˇze i bod [1, 1] je P-bod. Na obr´azku 2.5 je tento nov´y P-bod oznaˇcen A. Necht’ nyn´ı P = [1, 1], Q = [0, 0], p m´a rovnici X = 1 a q =↔ P Q, tedy q m´a rovnici Y = X, potom P t ∈ p, Qt ∈ q, kdyˇz t m´a rovnici X + Y = 2. Protoˇze podle Vˇety 2.4 pˇr´ımka s rovnic´ı X + Y = 2 je P-pˇr´ımkou, tak i body [0, 2], [2, 0] jsou P-body. Viz obr´azek 2.6.  Lemma 2.2. Kaˇzd´y P-bod leˇz´ı na dvou P-pˇr´ımk´ ach. Kaˇzd´ a P-pˇr´ımka proch´az´ı dvˇema P-body. D˚ ukaz: Prvn´ı ˇc´ast vypl´yv´a pˇr´ımo z Definice 2.4. V pˇredeˇsl´em lemmatu jsme dok´azali, ˇze pˇr´ımky s rovnicemi X = 0, X = 1, X + Y = 1, X + Y = 2 jsou P-pˇr´ımky. Protoˇze kaˇzd´a P-pˇr´ımka prot´ın´a bud’ rovnobˇeˇzn´e 10

Obr´azek 2.5: Bod A = [1, 1] je P-bod

Obr´azek 2.6: Body A = [O, 2], B = [2, 0] jsou P-body

pˇr´ımky s rovnicemi X = 0, X = 1 ve dvou P-bodech, nebo prot´ın´a rovnobˇeˇzn´e pˇr´ımky s rovnicemi X + Y = 1, X + Y = 2 ve dvou P-bodech, tak kaˇzd´a P-pˇr´ımka proch´az´ı dvˇema P-body.  Lemma 2.3. Pˇr´ımka kolm´a k dan´e P-pˇr´ımce a proch´ azej´ıc´ı dan´ym P-bodem je Ppˇr´ımka. D˚ ukaz: Pˇredpokl´adejme, ˇze P je P-bod leˇz´ıc´ı na P-pˇr´ımce q, necht’ d´ale pˇr´ımka t proch´azej´ıc´ı bodem P je kolm´a na q. Podle Lemmatu 2.2 existuje P-pˇr´ımka p, kde P ∈ p, p 6= q a existuje P-bod Q takov´y, ˇze Q ∈ q, Q 6= P . Potom q =↔ P Q, P t ∈

p, Qt ∈ q. Takˇze podle Vˇety 2.4 je t P-pˇr´ımka. Viz obr´azek 2.7.

Pˇredpokl´adejme nyn´ı, ˇze Q je P-bod, kter´y neleˇz´ı na p, a t je pˇr´ımka proch´azej´ıc´ı bodem Q a kolm´a na p (tento pˇr´ıpad ilustruje obr´azek 2.8). Protoˇze podle Lemmatu 2.2 existuj´ı dvˇe P-pˇr´ımky proch´azej´ıc´ı bodem Q a nejv´yˇse jedna m˚ uˇze b´yt 11

Obr´azek 2.7: Kolmice na P-pˇr´ımku q v P-bodˇe P je P-pˇr´ımka

rovnobˇeˇzn´a s pˇr´ımkou p, tak existuje pˇr´ımka q proch´azej´ıc´ı bodem Q, kter´a prot´ın´a p v P-bodˇe P a q =↔ P Q. Protoˇze P t ∈ p, Qt ∈ q, tak t je podle Vˇety 2.4 P-pˇr´ımka. 

Obr´azek 2.8: Pˇr´ımka kolm´a na P-pˇr´ımku p a proch´azej´ıc´ı P-bodem Q je P-pˇr´ımka

Pomoc´ı d˚ ukazu Lemmatu 2.3 nemus´ıme konstruovat pomocnou pˇr´ımku p a bod Q, abychom sestrojili P-pˇr´ımku t proch´azej´ıc´ı P-bodem P a kolmou na P-pˇr´ımku q, ale m˚ uˇzeme konstruovat tuto P-pˇr´ımku t tak, ˇze vedeme pˇrehyb bodem P a v tomto pˇrehybu se pˇr´ımka q zobraz´ı sama na sebe. Lemma 2.4. Jak´ymikoliv dvˇema r˚ uzn´ymi P-body proch´ az´ı P-pˇr´ımka. D˚ ukaz: Pˇredpokl´adejme, ˇze P, Q jsou P-body. Podle Lemmatu 2.2 existuje P-pˇr´ımka p proch´azej´ıc´ı bodem P . Existuje d´ale, podle Lemmatu 2.3, pˇr´ımka q proch´azej´ıc´ı bodem Q a kolm´a na p. Protoˇze p⊥q a pro t =↔ P Q leˇz´ı bod P t na p a bod Qt na q, tak podle Vˇety 2.4 je t P-pˇr´ımka. Ilustraci n´am poskytuje obr´azek 2.9.  Lemma 2.5. Necht’ P a Q jsou P-body a P-pˇr´ımka p proch´ az´ı bodem Q, potom pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky p a kruˇznice k(Q, |QP |) jsou P-body. D˚ ukaz: Oznaˇcme si q =↔ P Q. Pˇr´ımka p proch´az´ı bodem Q, p 6= q. Podle Vˇety 2.4 m˚ uˇzeme sestrojit dvˇe P-pˇr´ımky t takov´e, ˇze pro kaˇzdou z nich P t ∈ p, Qt ∈ q, tyto 12

Obr´azek 2.9: Jak´ymikoliv dvˇema r˚ uzn´ymi P-body proch´az´ı P-pˇr´ımka

pˇr´ımky t jsou osami u ´ hl˚ u tvoˇren´ych pˇr´ımkami p a q. Kolmice z bodu P na tyto osy prot´ınaj´ı pˇr´ımku p v P-bodech vzd´alen´ych od Q o d´elku |P Q|, ˇc´ımˇz jsme dok´azali platnost lemmatu. Tento pˇr´ıpad ukazuje obr´azek 2.10. 

Obr´azek 2.10: Pr˚ useˇc´ıky P-kruˇznice k(Q, |QP |) a P-pˇr´ımky p proch´azej´ıc´ı stˇredem t´eto kruˇznice jsou P-body

D˚ ukaz Lemmatu 2.5 n´am poskytl moˇznost konstrukce os u ´ hl˚ u tvoˇren´ych dvˇema Ppˇr´ımkami a osy u ´ seˇcky P Q, kde P a Q jsou P-body, jednoduˇse tak z´ısk´ame i stˇred u ´ seˇcky P Q. V´ıce v kapitole 4. Lemma 2.6. Necht’ P, Q jsou P-body a p je P-pˇr´ımka, potom jak´ykoliv pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky p s kruˇznic´ı k(Q, |P Q|) je P-bod. D˚ ukaz: Pro Q leˇz´ıc´ı na p jsme platnost jiˇz dok´azali v pˇredeˇsl´em lemmatu. Pˇredpokl´adejme Q ∈ / p a p prot´ın´a k(Q, |P Q|) v bodˇe R, viz obr´azek 2.11. Chceme uk´azat, ˇze R je P-bod. Oznaˇcme q =↔ P Q. Bez ztr´aty na obecnosti pˇredpokl´adejme, ˇze p ∦ q. Potom podle Vˇety 2.4 osa u ´ seˇcky P R je P-pˇr´ımkou, oznaˇcme ji t. Protoˇze kolmice z bodu P na t je podle Lemmatu 2.3 P-pˇr´ımka a prot´ın´a p v bodˇe R, tak i bod R je P-bod. 

13

Obr´azek 2.11: Pr˚ useˇc´ıky P-pˇr´ımky p s P-kruˇznic´ı k(Q, |P Q|) jsou P-body Lemma 2.7. Pˇr´ımky tvoˇr´ıc´ı trisekci u ´hlu, kter´y sv´ıraj´ı dvˇe P-pˇr´ımky, jsou P-pˇr´ımkami.

Obr´azek 2.12: Pˇr´ımky tvoˇr´ıc´ı trisekci u ´ hlu jsou P-pˇr´ımkami

D˚ ukaz: Pˇredpokl´adejme, ˇze P, Q, R jsou P-body a ∠P QR je ostr´y u ´ hel. Necht’ M je stˇred u ´ seˇcky P Q a p je kolmice z bodu M na pˇr´ımku ↔ QR. Necht’ d´ale pˇr´ımka q je kolmic´ı k pˇr´ımce p v bodˇe M. Ze tˇr´ı pˇr´ımek t, kde P t ∈ p, Qt ∈ q, oznaˇcme t tu, kter´a prot´ın´a u ´ seˇcku P M. Jako na obr´azku 2.12, oznaˇcme S = Qt a T = P t . Oznaˇcme U pr˚ useˇc´ık → QS a p. Potom △P MT ∼ = △QMU podle vˇety usu (dva

u ´ hly a jejich spoleˇcn´a u ´ seˇcka jednoznaˇcnˇe urˇcuje troj´ uheln´ık). Takˇze |T M| = |MU| a △T MS ∼ ´ hel mezi nimi jednoznaˇcnˇe = △UMS podle vˇety sus (dvˇe strany a u urˇcuje troj´ uheln´ık). Odtud ∠T SM je shodn´y s ∠MSQ, kter´y je shodn´y s ∠SQR. Protoˇze ∠T SQ ∼ uhly pˇri z´akladnˇe rovnoramenn´eho troj´ uheln´ıku jsou = ∠P QS (´

shodn´e), tak |∠RQS| = 13 |∠P QR|, jak jsme poˇzadovali. Oznaˇcme V pr˚ useˇc´ık t a q, 14

potom → QV je druh´y trisektor u ´ hlu P QR. D˚ ukaz pro tup´y u ´ hel je obdobn´y, avˇsak

v tomto pˇr´ıpadˇe pˇr´ımka t neprot´ın´a u ´ seˇcku P M. 

Lemma 2.8. Necht’ O a S jsou P-body takov´e, ˇze |OS| = k, potom existuje P-bod √ 3 R leˇz´ıc´ı na u ´seˇcce OS takov´y, ˇze |OR| = k.

Obr´azek 2.13: Bod R ∈ OS, pro kter´y |OR| =

p 3

|OS|, je P-bod

D˚ ukaz: Ilustraci tohoto pˇr´ıpadu poskytuje obr´azek 2.13. Bez ztr´aty na obecnosti pˇredpokl´adejme, ˇze O = [0, 0], S = [0, k]. Oznaˇcme P = [−1, 0], Q = [0, −k]; P a Q jsou P-body. Oznaˇcme p pˇr´ımku s rovnic´ı X = 1, q pˇr´ımku s rovnic´ı Y = k; p, q jsou P-pˇr´ımky. Protoˇze dvˇe paraboly, kter´e maj´ı spoleˇcn´y bod a jejichˇz osy jsou na sebe kolm´e, maj´ı spoleˇcnou jedinou teˇcnu, tak existuje jedin´a pˇr´ımka t takov´a, ˇze P t ∈ p, Qt ∈ q. Pˇr´ımka t je podle Definice 2.4 P-pˇr´ımkou a prot´ın´a osu y v P-bodˇe R. √ 3 Zb´yv´a n´am dok´azat, ˇze R = [0, k]. Pˇredpokl´adejme, ˇze t m´a rovnici mX−Y +b = 0. Bod P = [−1, 0], jeho obraz P t ∈ p, takˇze bod P t m´a x-ovou souˇradnici 1. Podle rovnice (2.1) Vˇety 2.1 mus´ı platit 1 = −1 −

2m[m(−1) − 0 + b] , m2 + 1

(2.9)

po u ´ pravˇe v´yrazu (3.1) dost´av´ame mb = −1. Bod Q m´a souˇradnice Q = [0, −k] a jeho obraz Qt m´a y-ovou souˇradnici k, nebot’ 15

Qt ∈ q a q m´a rovnici Y = k. Proto podle rovnice (2.2) Vˇety 2.1 plat´ı k = −k −

2(−1)[m(0) − (−k) + b] , m2 + 1

(2.10)

coˇz po u ´ pravˇe vede na km2 = b. Takˇze m a b mus´ı vyhovovat rovnosti km3 = mb = √ √ −1. Proto m = −1/ 3 k a b = 3 k. Pˇr´ımka t existuje a m´a rovnici √ −1 3 Y = √ x + k. 3 k Bod R, kter´y je pr˚ useˇc´ıkem pˇr´ımky t s osou y m´a souˇradnice [0, √ √ 3 3 takov´y, ˇze |OR| = k, takˇze k je P-ˇc´ıslo. 

16

(2.11) √ 3

k]. Bod R je P-bod

Kapitola 3 Porovn´ an´ı eukleidovsk´ ych metod a operace pˇ rekl´ ad´ an´ı pap´ıru Tato kapitola byla zpracov´ana podle [12]. Pro porovn´an´ı operace pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru a eukleidovsk´ych metod je vhodn´e zav´est axiomatickou soustavu pro konstrukce operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru tak, jak ji zavedl Robert Geretschlager v [12], nebot’ jak se pozdˇeji pˇresvˇedˇc´ıme, je zde dobˇre patrn´y moment, kdy konstrukce pˇrekl´ad´an´ım pap´ıru pˇres´ahnou konstrukce eukleidovsk´e. Je zn´amo, ˇze nˇekter´e klasick´e probl´emy jako duplikace krychle, trisekce u ´ hlu atd. nejsou ˇreˇsiteln´e eukleidovsk´ymi metodami, ale metodou pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru ano, jak jsme jiˇz dok´azali v pˇredeˇsl´e kapitole. Lemma 2.7 poskytuje trisekci u ´ hlu a Lemma 2.8 duplikaci krychle. Probl´em duplikace krychle jeˇstˇe rozebereme podrobnˇeji v t´eto kapitole. Protoˇze budeme porovn´avat tyto dva zp˚ usoby konstrukc´ı, zavedeme nejdˇr´ıve pojem eukleidovsk´a konstrukce, tedy konstrukce ˇreˇsiteln´a eukleidovsk´ymi medodami. Definice 3.1. Geometrick´a konstrukce je eukleidovsk´ a, pokud ji lze za pomoci kruˇz´ıtka a prav´ıtka prov´est opakov´an´ım tˇechto pˇeti povolen´ych z´akladn´ıch konstrukc´ı: (E1) Necht’ P, Q jsou dva r˚ uzn´e body, potom tˇemito body m˚ uˇzeme pomoc´ı prav´ıtka v´est pˇr´ımku l =↔ P Q. (E2) Necht’ M je dan´y bod a r > 0 je d´elka dan´e u ´ seˇcky, potom m˚ uˇzeme pomoc´ı kruˇz´ıtka sestrojit kruˇznici k(M, r). (E3) Necht’ l1 , l2 jsou dvˇe dan´e nerovnobˇeˇzn´e pˇr´ımky, potom m˚ uˇzeme sestrojit bod P jako pr˚ useˇc´ık l1 ∩ l2 . (E4) Necht’ k(M, r) je dan´a kruˇznice a l je dan´a pˇr´ımka, pro kterou |M, l| ≤ r,

potom m˚ uˇzeme sestrojit jeden ˇci dva body jako pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky l s kruˇznic´ı k. 17

(E5) Necht’ k1 (M1 , r1 ) a k2 (M2 , r2 ) jsou dvˇe kruˇznice takov´e, ˇze bud’ i) ˇz´adn´a z kruˇznic neobsahuje stˇred kruˇznice druh´e a souˇcasnˇe vzd´alenost mezi stˇredy nen´ı vˇetˇs´ı neˇz souˇcet polomˇer˚ u kruˇznic; nebo ii) jedna kruˇznice obsahuje stˇred kruˇznice druh´e a souˇcasnˇe vzd´alenost mezi stˇredy nen´ı menˇs´ı neˇz rozd´ıl polomˇer˚ u tˇechto kruˇznic. Potom m˚ uˇzeme nal´ezt jeden bod ˇci dva body jako pr˚ useˇc´ıky k1 a k2 . Nyn´ı zavedeme pojem konstrukce ˇreˇsiteln´a operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru tak, jak jej zav´ad´ı Geretschlager. Z´akladn´ı prvek u tˇechto konstrukc´ı je pˇr´ımka, kdeˇzto u eukleidovsk´ych konstrukc´ı je z´akladn´ım prvkem bod. Pˇredpokl´ad´ame, ˇze pˇrehyb (pˇr´ımku) m˚ uˇzeme v´est kdekoliv n´ahodnˇe v rovinˇe, stejnˇe jako m˚ uˇzeme um´ıstit bod kdekoliv v rovinˇe. Definice 3.2. Konstrukce je ˇ reˇ siteln´ a operac´ı pˇ rekl´ ad´ an´ı pap´ıru, pokud je provediteln´a opakov´an´ım tˇechto sedmi z´akladn´ıch proces˚ u: (P1) Dan´e dvˇe nerovnobˇeˇzn´e pˇr´ımky l1 , l2 jednoznaˇcnˇe urˇcuj´ı bod P = l1 ∩ l2 . (P2) Necht’ l1 , l2 jsou dvˇe r˚ uzn´e rovnobˇeˇzn´e pˇr´ımky. Potom m˚ uˇzeme sestrojit pˇr´ımku m, kter´a je osou rovnobˇeˇzkov´eho p´asu vymezen´eho pˇr´ımkami l1 , l2 . (P3) Necht’ l1 , l2 jsou dvˇe prot´ınaj´ıc´ı se pˇr´ımky. Potom m˚ uˇzeme sestrojit jejich osy u ´ hl˚ u a a a′ tak, ˇze v pˇrehybu zobraz´ıme l1 a l2 na sebe. (P4) Dvˇema dan´ymi r˚ uzn´ymi body P, Q m˚ uˇzeme v´est pˇrehyb l =↔ P Q. (P5) Necht’ P, Q jsou dva r˚ uzn´e body, potom m˚ uˇzeme pˇrehybem b sestrojit osu u ´ seˇcky P Q. (P6) Necht’ P je dan´y bod a l dan´a pˇr´ımka. Potom m˚ uˇzeme sestrojit pˇr´ımku l′ proch´azej´ıc´ı bodem P a kolmou na pˇr´ımku l. (P7) Necht’ P je dan´y bod a l dan´a pˇr´ımka neproch´azej´ıc´ı bodem P . Potom m˚ uˇzeme sestrojit libovolnou teˇcnu paraboly s ohniskem P a direkˇcn´ı pˇr´ımkou l. Speci´alnˇe pro bod Q 6= P , m˚ uˇzeme sestrojit teˇcnu proch´azej´ıc´ı bodem Q. (P8) Necht’ P1 , P2 jsou dan´e body (m˚ uˇze b´yt P1 = P2 ) a l1 , l2 jsou dan´e pˇr´ımky (m˚ uˇze b´yt l1 = l2 ). Potom m˚ uˇzeme pˇrehybem sestrojit spoleˇcnou teˇcnu dvou parabol p1 a p2 s ohnisky P1 , P2 a direkˇcn´ımi pˇr´ımkami l1 , l2 . Pokud P1 = P2 a l1 ∦ l2 , potom jedinou spoleˇcnou teˇcnu nalezneme tak, ˇze v pˇrehybu zobraz´ıme bod P1 do pr˚ useˇc´ıku l1 a l2 . Pokud l1 = l2 , potom existuj´ı jen dvˇe re´aln´e spoleˇcn´e teˇcny, kter´e jsou osami u ´ hl˚ u sv´yran´ych pˇr´ımkou p1 a ↔ P1 P2 . V tomto speci´aln´ı pˇr´ıpadˇe m˚ uˇzou b´yt spoleˇcn´e teˇcny nalezeny i eukleidovsk´ymi metodami, nebot’ se probl´em redukuje na line´arn´ı ˇci kvadratick´y. Pr´avˇe posledn´ı konstrukce (P8) odliˇsuje konstrukce operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru od eu18

kleidovsk´ych. V dalˇs´ım textu uk´aˇzeme, ˇze eukleidovsk´e kostrukce jsou ekvivalentn´ı konstrukc´ım (P1)-(P7) a konstrukce (P8) dovoluje prov´est konstrukce eukleidovsk´ymi metodami neˇreˇsiteln´e, tedy d´ıky tomuto kroku pˇresahuje operace pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru moˇznosti eukleidovsk´ych metod. Vˇ eta 3.1. Konstrukce je eukleidovky ˇreˇsiteln´ a pr´ avˇe tehdy, pokud je ˇreˇsiteln´ a v´yhradnˇe kombinac´ı proces˚ u (P1)–(P7) operace pˇrekl´ ad´ an´ı pap´ıru. D˚ ukaz: Podbrobnˇe proveden´y d˚ ukaz nalezneme v [12] na stranˇe 362–364.  Vˇ eta 3.2. Mnoˇzina eukleidovsk´ych konstrukc´ı je podmnoˇzinou konstrukc´ı ˇreˇsiteln´ych procesy (P1)–(P8). D˚ ukaz: Vzhledem k pˇredeˇsl´e vˇetˇe staˇc´ı pro d˚ ukaz t´eto vˇety nal´ezt alespoˇ n jednu kontrukci, kter´a nen´ı eukleidovsky ˇreˇsiteln´a, ale operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru, tedy procesy (P1)–(P8), ˇreˇsiteln´a je. Uk´aˇzeme, ˇze zn´am´y probl´em duplikace krychle je ˇreˇsiteln´y operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru. Tedy sestroj´ıme hranu krychle, jej´ıˇz objem je roven dvojn´asobku objemu zadan´e krychle. Bez u ´ jmy na obecnosti m˚ uˇzeme pˇredpokl´adat, ˇze zadan´a kryhle je jednotkov´a. Oznaˇcme OM hranu zadan´e krychle, tedy |OM| = 1. Chceme nal´ezt bod R takov´y, √ ˇze |OR| = 3 2. Konstrukci ilustruje obr´azek 3.1. Bez ztr´aty na obecnosti tedy pˇred-

pokl´adejme, ˇze O = [0, 0], M = [0, 1]. Oznaˇcme S = [0, 2], P = [−1, 0], Q = [0, −2]. Oznaˇcme p pˇr´ımku s rovnic´ı X = 1, q pˇr´ımku s rovnic´ı Y = 2. Protoˇze dvˇe paraboly, kter´e maj´ı spoleˇcn´y bod a jejichˇz osy jsou na sebe kolm´e, maj´ı spoleˇcnou jedinou teˇcnu, tak existuje jedin´a pˇr´ımka t takov´a, ˇze P t ∈ p, Qt ∈ q. Pˇr´ımka t prot´ın´a osu y v bodˇe R. √ Zb´yv´a dok´azat, ˇze R = [0, 3 2]. Pˇredpokl´adejme, ˇze t m´a rovnici mX − Y + b = 0. Bod P = [−1, 0], jeho obraz P t ∈ p, takˇze bod P t m´a x-ovou souˇradnici 1. Podle rovnice (2.1) Vˇety 2.1 mus´ı platit 1 = −1 −

2m[m(−1) − 0 + b] , m2 + 1

(3.1)

po u ´ pravˇe v´yrazu (3.1) dost´av´ame mb = −1. Bod Q m´a souˇradnice Q = [0, −2] a jeho obraz Qt m´a y-ovou souˇradnici 2, nebot’ Qt ∈ q a q m´a rovnici Y = 2. Proto podle rovnice (2.2) Vˇety 2.1 plat´ı

2 = −2 −

2(−1)[m(0) − (−2) + b] , m2 + 1

(3.2)

coˇz po u ´ pravˇe vede na 2m2 = b. Takˇze m a b mus´ı vyhovovat rovnosti 2m3 = mb = 19

√ √ −1. Proto m = −1/ 3 2 a b = 3 2. Pˇr´ımka t existuje a m´a rovnici √ −1 3 Y = √ x + 2. 3 2

(3.3)

√ Bod R, kter´y je pr˚ useˇc´ıkem pˇr´ımky t s osou y m´a souˇradnice [0, 3 2]. Pro bod R √ tedy plat´ı, ˇze |OR| = 3 2, takˇze jsme sestrojili hranu krychle, jej´ıˇz objem se rovn´a dvojn´asobku objemu zadan´e krychle. Duplikace krychle je probl´em ˇreˇsiteln´y operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru, ˇc´ımˇz jsme dok´azali platnost vˇety. 

Obr´azek 3.1: Duplikace krychle

20

Kapitola 4 Konstrukce ˇ reˇ sen´ e operac´ı pˇ rekl´ ad´ an´ı pap´ıru 4.1

Z´ akladn´ı konstrukce

Definice pojm˚ u v tomto odd´ıle byly zpracov´any podle [23].

´ cka Useˇ Definice 4.1.1. Vnitˇrkem u ´ seˇcky AB rozum´ıme mnoˇzinu vˇsech bod˚ u X pˇr´ımky 1 ´ ↔ AB takov´ych, ˇze bod B leˇz´ı mezi body A a B. Useˇ ckou AB pak rozum´ıme vnitˇrek spolu s krajn´ımi body A, B; neboli AB = {X ∈↔ AB; X leˇz´ı mezi body A a B} ∪ {A, B}. Vˇ eta 4.1.1. Necht’ A, B jsou P-body. Potom u ´seˇcka AB je P-konstruovateln´ a. D˚ ukaz: Zˇrejm´y. 

Osa u ´ seˇ cky Definice 4.1.2. Osa u ´ seˇ cky AB je mnoˇzina vˇsech bod˚ u v rovinˇe, kter´e maj´ı od dvou r˚ uzn´ych bod˚ u A, B stejnou vzd´alenost. Je to tedy mnoˇzina M, kde M = {X ∈ E2 ; |AX| = |BX|}, tj. M = o, kde o ⊥ AB∧S ∈ o, S je stˇred u ´ seˇcky AB. 1

v´ıce v [23] na str. 18–20

21

Vˇ eta 4.1.2. Necht’ u ´seˇcka AB je P-konstruovateln´ a. Potom osa o u ´seˇcky AB je P-konstruovateln´a. D˚ ukaz: Osu u ´ seˇcky AB sestroj´ıme, pˇreloˇz´ıme-li pap´ır tak, ˇze se v tomto pˇrehybu body A, B zobraz´ı na sebe, oznaˇcme si tento pˇrehyb jako pˇr´ımku o. D˚ ukaz, ˇze o je P-pˇr´ımka, m˚ uˇzeme prov´est touto u ´ vahou: Necht’ A, B jsou P-body a P-pˇr´ımka q =↔ AB, na z´akladˇe Lemmatu 2.3 existuje P-pˇr´ımka p ⊥ q, kter´a proch´az´ı bodem B. Pˇr´ımka t, pro kterou At ∈ p a B t ∈ q, je podle Definice 2.4 P-pˇr´ımkou. Mezi tˇremi pˇr´ımkami t splˇ nuj´ıc´ımi tuto vlastnost je i naˇse pˇr´ımka o, o pro kterou A = B, neboli o je P-pˇr´ımka. 

Osa u ´ hlu Definice 4.1.3. Mnoˇzinu vˇsech bod˚ u konvexn´ıho u ´ hlu AV B, kter´e maj´ı stejnou vzd´alenost od obou ramen u ´ hlu AV B, naz´yv´ame osa u ´ hlu AV B. M = {X ∈ ∠AV B; |X, → V A| = |X, → V B|}, tj. M =→ V R, kde R ∈ ∠AV B ∧ ∠AV R ∼ = ∠BV R. Vˇ eta 4.1.3. Necht’ A, V, B jsou P-body. Potom osa u ´hlu AV B je P-konstruovateln´a. D˚ ukaz: Osu u ´ hlu ∠AV B sestroj´ıme tak, ˇze vedeme pˇrehyb o bodem V , ve kter´em se zobraz´ı → V A na → V B. D˚ ukaz korektnosti tohoto postupu n´am poskytuje Lemma 2.5. 

4.2

Mnoho´ uheln´ıky a zlat´ yˇ rez

Konstrukce v tomto odd´ıle byly zpracov´any podle [25] a [32], definice podle [33].

Rovnoramenn´ y troj´ uheln´ık Definice 4.2.1. Rovnoramenn´ y troj´ uheln´ık je troj´ uheln´ık, kter´y m´a pr´avˇe dvˇe strany shodn´e. Tyto dvˇe shodn´e strany naz´yv´ame ramena, tˇret´ı stranu pak z´ akladna. Vˇ eta 4.2.1. Necht’ AB je P-konstruovateln´ au ´seˇcka. Potom rovnoramenn´y troj´ uheln´ık ABC se z´akladnou AB je P-konstruovateln´y.

22

D˚ ukaz: Necht’ o je osa u ´ seˇcky AB. Protoˇze jak´ymkoliv P-bodem proch´az´ı alespoˇ n dvˇe r˚ uzn´e P-pˇr´ımky (Lemma 2.2), tak bodem A (resp. B) proch´az´ı P-pˇr´ımka a, kde a 6= o, kter´a prot´ın´a o v nˇejak´em P-bodˇe C. Takˇze jak´ykoliv bod na pˇr´ımce o, kter´y neleˇz´ı na AB, je P-bod C, pro kter´y plat´ı |AC| = |BC|. Rovnoramenn´y troj´ uheln´ık ABC je tedy P-konstruovateln´y. 

Pravo´ uhl´ y troj´ uheln´ık Definice 4.2.2. Pravo´ uhl´ y troj´ uheln´ık je takov´y troj´ uheln´ık, jehoˇz jeden vnitˇrn´ı u ´ hel je prav´y. Vˇ eta 4.2.2. Necht’ ↔ AB a e jsou dvˇe rovnobˇeˇzn´e P-pˇr´ımky, AB je pˇrepona pravo´ uhl´eho troj´ uheln´ıka ABC a |A, e| je velikost v´yˇsky nad touto stranou, tedy plat´ı: 1 |AB| ≥ 2 |A, e|. Potom pravo´ uhl´y troj´ uheln´ık ABC s prav´ym u ´hlem pˇri vrcholu C je P-konstruovateln´y.

D˚ ukaz: Konstrukci ukazuje obr´azek 4.1. Stˇred u ´ seˇcky AB oznaˇcme G. Pˇrehybem t proch´azej´ıc´ım bodem G zobraz´ıme bod B na e. D´ale bodem B vedeme kolmici na t, kter´a protne pˇr´ımku e v bodˇe C, jinak ˇreˇceno bod B t je tˇret´ım vrcholem C. Plat´ı |AG| = |GB| = |GC|. Bod C leˇz´ıc´ı na kruˇznici k(G, |GA|) je podle Lemmatu

2.6 P-bod. Z Thaletovy vˇety vypl´yv´a, ˇze △ABC je pravo´ uhl´y troj´ uheln´ık s prav´ym u ´ hlem pˇri vrcholu C. 

Obr´azek 4.1: Konstrukce pravo´ uhl´eho troj´ uheln´ıka operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru

Pravideln´ e mnoho´ uheln´ıky Definice 4.2.3. Pravideln´ y mnoho´ uheln´ık je takov´y mnoho´ uheln´ık, jehoˇz vˇsechny vnitˇrn´ı u ´ hly a strany jsou shodn´e. 23

Rovnostrann´ y troj´ uheln´ık Definice 4.2.4. Rovnostrann´ y troj´ uheln´ık je troj´ uheln´ık, jehoˇz tˇri strany jsou shodn´e. Vˇ eta 4.2.3. Necht’ AB je stranou troj´ uheln´ıka. Potom rovnostrann´y troj´ uheln´ık ABC je P-konstruovateln´y. D˚ ukaz: Pˇrehybem o sestroj´ıme osu u ´ seˇcky AB. Pˇrehybem t zobraz´ıme bod B na o, t oznaˇcme C = B . Podle Lemmatu 2.6 je C P-bod. Plat´ı |AB| = |AC| = |BC|, nebot’ |AB| = |BC| a osa o je osou soumˇernosti △ABC. Proto △ABC je Pkonstruovateln´y rovnostrann´y troj´ uheln´ık. Konstrukci ilustruje obr´azek 4.2. 

Obr´azek 4.2: Konstrukce rovnostrann´eho troj´ uheln´ıka operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru

ˇ Ctverec ˇ Definice 4.2.5. Ctverec je pravideln´y ˇctyˇru ´ heln´ık, tedy rovinn´y u ´ tvar ohraniˇcen´y ˇctyˇrmi u ´ seˇckami stejn´e d´elky, kdy sousedn´ı strany spolu sv´ıraj´ı prav´y u ´ hel. Vˇ eta 4.2.4. Necht’ P-´ useˇcka AB je stranou ˇctverce. Potom ˇctverec ABCD je Pkonstruovateln´y. D˚ ukaz: Necht’ AB je dan´a P-´ useˇcka. Pˇr´ımka b proch´az´ı bodem B a je kolm´a na AB, pˇr´ımka d proch´az´ı bodem A a je kolm´a na AB, b a d jsou podle Lemmatu 2.3 Ppˇr´ımky. Ved’me pˇrehyb e bodem B tak, ˇze Ae ∈ b, a oznaˇcme D = d ∩ e. Pˇrehyb 24

f proch´az´ı bodem A tak, ˇze B f ∈ d, oznaˇcme C = b ∩ f . Protoˇze e a f jsou

podle Vˇety 2.4 P-pˇr´ımky, tak body C a D jsou podle Definice 2.4 P-body. Plat´ı, ˇze |AD| = |AB| = |BC| a AD⊥AB, BC⊥AB, takˇze i DC⊥BC a |DC| = |AB|. ABCD je tedy P-konstruovateln´y ˇctverec. 

Zlat´ yˇ rez Definice 4.2.6. Rozdˇelen´ı u ´ seˇcky v pomˇeru zlat´ eho ˇ rezu je rozdˇelen´ı u ´ seˇcky na dvˇe ˇc´asti tak, ˇze pomˇer vˇetˇs´ı ˇc´asti k menˇs´ı je stejn´y jako pomˇer cel´e u ´ seˇcky k vˇetˇs´ı ˇc´asti. Hodnota tohoto pomˇeru je rovna iracion´aln´ımu ˇc´ıslu √ 1+ 5 . ϕ= = 1, 618. 2 Vˇ eta 4.2.5. Necht’ X je bod na P-´ useˇcce AB takov´y, ˇze |AB| : |AX| = |AX| :

|XB| = ϕ, tedy bod X dˇel´ı u ´seˇcku AB ve zlat´em ˇrezu. Potom tento bod X je Pkonstruovateln´y. D˚ ukaz: Konstrukci ukazuje obr´azek 4.3.

Nad u ´ seˇckou AB sestroj´ıme ˇctverec ABCD a stˇred u ´ seˇcky BC oznaˇc´ıme E. Ved’me pˇrehyb body A a E, d´ale pˇrehyb p bodem E tak, ˇze B p ∈ EA, oznaˇcme G = B p

a oznaˇcme F pr˚ useˇc´ık p ∩ AB, plat´ı |AG| = |AX|. Pˇrehybem t proch´azej´ıc´ım bodem A zobraz´ıme bod G na u ´ seˇcku AB, tento bod Gt ∈ AB je hledan´ym bodem X. Nyn´ı dok´aˇzeme, ˇze bod X splˇ nuje vlastnosti zlat´eho ˇrezu, tedy |AB|·|XB| = |AX|2. Doplˇ nme na obd´eln´ık BCHX. Necht’ u ´ seˇcka XH protne EA v bodˇe M a necht’ bod Y leˇz´ı na AB tak, ˇze |F Y | = |F B|. Potom |F B| = |F G| = |F Y | = |XM|.

Troj´ uheln´ıky BAE a XAM jsou podobn´e, takˇze |XM| = 21 |AX|. Protoˇze F je stˇred u ´ seˇcky BY , plat´ı:

|XM | |AX|

=

|BE| |AB|

=

1/2·|AB| , |AB|

|AB| · |AY |

= (|AF | + |F Y |)(|AF | − |F Y |) = |AF |2 − |F Y |2 ,

|AB| · |AY |

= |AX|2 .

odtud

|AB| · |AY | + |F Y |2 = |AF |2 , = |AG|2 + |F G|2 , podle Pythagorovy vˇety pro △AF G |AB| · |AY | = |AG|2 + |F G|2 − |F Y |2 = |AG|2 ,

Protoˇze |AX|2 = 4 · |XM|2 = |BY |2 , tak |AX| = |BY |, |AY | = |XB|.

Plat´ı tedy |AB| · |XB| = |AX|2 . Takˇze X dˇel´ı u ´ seˇcku AB v pomˇeru zlat´eho ˇrezu. Protoˇze |AB| · |AY | = |BY |2 , tak i Y dˇel´ı u ´ seˇcku AB v pomˇeru zlat´eho ˇrezu.  25

Obr´azek 4.3: Konstrukce zlat´eho ˇrezu operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru

Pravideln´ y pˇ eti´ uheln´ık Pro pravideln´y pˇeti´ uheln´ık plat´ı, ˇze pomˇer d´elek u ´ hlopˇr´ıˇcky a strany je roven pomˇeru zlat´eho ˇrezu. Vnitˇrn´ı u ´ hly pˇri vrcholech jsou rovny 108◦ , souˇcet vnitˇrn´ıch u ´ hl˚ u je tedy roven 540◦ . Vˇ eta 4.2.6. Necht’ AB je P-´ useˇcka, jej´ıˇz d´elka je rovna d´elce u ´hlopˇr´ıˇcky pravideln´eho pˇeti´ uheln´ıka konstruovateln´y.

MNP QR.

Potom

pˇeti´ uheln´ık

MNP QR

je

P-

D˚ ukaz: Konstrukci ilustruje obr´azek 4.4. Nad u ´ seˇckou AB sestrojme nejˇr´ıve ˇctverec ABCD. Sestrojme bod X na AB tak, ˇze rozdˇel´ı u ´ seˇcku AB v pomˇeru zlat´eho ˇrezu. Oznaˇcme M stˇred u ´ seˇckyAX . Potom |AB| · |AX| = |XB|2 a |AM| = |MX|. Sestrojme bod N ∈ AB tak, ˇze |BN| = |AM|, potom |MN| = |XB|.

Pˇrehybem n vedouc´ım bodem N zobrazme bod M na BC, oznaˇcme P = M n . Stejnˇe zobrazme pˇrehybem m vedouc´ım bodem M bod N na AD, oznaˇcme R = N m . Sestrojme osu o u ´ seˇcky AB a pˇrehybem p vedouc´ım bodem P zobrazme bod N na o tak, ˇze bod N p leˇz´ı vnˇe lichobˇeˇzn´ıku MNP R. Oznaˇcme Q = N p . MNP QR je pˇeti´ uheln´ık maj´ıc´ı vˇsechny strany stejnˇe dlouh´e. Nyn´ı jeˇstˇe dok´aˇzeme, ˇze vnitˇrn´ı u ´ hly jsou si rovny. Oznaˇcme y = |MR| = |MN| = |BX| a z = |AM| = (|AB| − y)/2, d´ale oznaˇcme h velikost u ´ hlu sv´ıran´eho osou o 26

au ´ seˇckou QP , k velikost u ´ hlu AMR. Potom plat´ı:

takˇze

! z |AB| − y 1 |AB| cos k = = = −1 y 2y 2 |BX| ! ! 1 |BX|2 1 |BX| 1 cos k = −1 = − 1 = (ϕ − 1), 2 |AX| · |BX| 2 |AX| 2 k = 72◦ .

Plat´ı |∠RMN | = 180◦ − k = 180◦ − 72◦ = 108◦ , stejnˇe i |∠MNP | = 108◦ . Velikost u ´ hlu P QR je rovna 2h. Pro u ´ hel h plat´ı:

|AB| |BX|2 1 |BX| ϕ sin h = 2 = = = , y 2|AX| · |BX| 2 |AX| 2 odtud h = 54◦ a |∠P QR| = 108◦ . Protoˇze je souˇcet vnitˇrn´ıch u ´ hl˚ u pˇeti´ uheln´ıku roven

540◦ , mus´ı platit |∠NP Q| + |∠QRM| = 540◦ − (|∠RMN| + |∠MNP | + |∠P QR|), ze symetrie podle osy o vypl´yv´a |∠NP Q| = |∠QRM|, takˇze 2|∠NP Q| = 540◦ − 324◦ = 216◦ , odtud |∠NP Q| = |∠QRM| = 108◦ . Pˇeti´ uheln´ık MNP QR je tedy pravideln´y. 

Obr´azek 4.4: Konstrukce pravideln´eho pˇeti´ uheln´ıka operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru

27

Pravideln´ yˇ sesti´ uheln´ık Vˇ eta 4.2.7. Souˇcet vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u pravideln´eho ˇsesti´ uheln´ıka je 720◦ . D˚ ukaz: Ponech´ame bez d˚ ukazu.  Vˇ eta 4.2.8. Pravideln´y ˇsesti´ uheln´ık s d´elkou strany a je P-konstruovateln´y. D˚ ukaz: Sestrojme u ´ seˇcku AD, |AD| = 2a, a jej´ı stˇred oznaˇcme S. Nad u ´ seˇckami

AS, DS sestrojme ˇctyˇri rovnostrann´e troj´ uheln´ıky a oznaˇcme je △AF S, △ABS, △SED, △SCD (viz obr´azek 4.5). ABCDEF je P-konstruovateln´y ˇsesti´ uheln´ık. Plat´ı BC k AD k EF , odtud |∠SEF | = |∠SF E| = |∠SBC| = |∠SCB| = 60◦ a tedy △SBC, △SEF jsou tak´e rovnostrann´e troj´ uheln´ıky. Protoˇze vnitˇrn´ı u ´ hly ◦ rovnostrann´ych troj´ uheln´ık˚ u jsou rovny 60 , tak vˇsechny vnitˇrn´ı u ´ hly ˇsesti´ uheln´ıka AEF BGH jsou rovny 120◦ . Jelikoˇz jsou shodn´e i d´elky jeho stran, je ˇsesti´ uheln´ık AEF BGH pravideln´y. 

Obr´azek 4.5: Konstrukce pravideln´eho ˇsesti´ uheln´ıka operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru

Pravideln´ y osmi´ uheln´ık Vˇ eta 4.2.9. Souˇcet vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u pravideln´eho osmi´ uheln´ıka je 1080◦. D˚ ukaz: Ponech´ame bez d˚ ukazu.  28

Vˇ eta 4.2.10. Pravideln´y osmi´ uheln´ık je P-konstruovateln´y. D˚ ukaz: Necht’ u ´ seˇcka KL m´a d´elku pr˚ umˇeru kruˇznice opsan´e pravideln´emu osmiu ´ heln´ıku. Sestrojme ˇctverec KLMN nad touto u ´ seˇckou a oznaˇcme A, B, C, D stˇredy jeho stran, jak ukazuje obr´azek 4.6, a sestrojme ˇctverec ABCD. Sestroj´ıme osy u ´ hl˚ u sv´ıran´ych vˇzdy stranou ˇctverce ABCD a ˇctverce KLMN. Pr˚ useˇc´ıky tˇechto os u ´ hl˚ u oznaˇcme E, F, G, H, potom AEBF CGDH je P-konstruovateln´y osmi´ uheln´ık. Troj´ uheln´ıky AEB, BF C, CGD a DHA jsou shodn´e rovnoramenn´e troj´ uheln´ıky, osmi´ uheln´ık AEBF CGDH je proto rovnostrann´y. Vnitˇrn´ı u ´ hly pˇri z´akladnˇe tˇechto ◦ troj´ uheln´ık˚ u jsou kaˇzd´y roven 22, 5 , proto vnitˇrn´ı u ´ hly osmi´ uheln´ıku pˇri vrcholech E, F, G, H jsou rovny 135◦ . Vnitˇrn´ı u ´ hel pˇri vrcholech A, B, C, D je roven souˇctu ◦ ◦ ◦ 90 + 2 · 22, 5 , tedy opˇet 135 . Osmi´ uheln´ık AEBF CGDH je i rovno´ uhl´y a tedy pravideln´y. 

Obr´azek 4.6: Konstrukce pravideln´eho osmi´ uheln´ıka operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru

Pravideln´ y dev´ıti´ uheln´ık Vˇ eta 4.2.11. Souˇcet vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u pravideln´eho osmi´ uheln´ıka je 1260◦. D˚ ukaz: Ponech´ame bez d˚ ukazu.  Konstrukce pravideln´eho dev´ıti´ uheln´ıka nen´ı ˇreˇsiteln´a eukleidosvk´ymi metodami. Vˇ eta 4.2.12. Pravideln´y dev´ıti´ uheln´ık je P-konstruovateln´y.

29

Obr´azek 4.7: Konstrukce pravideln´eho dev´ıti´ uheln´ıka operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru

D˚ ukaz: Nejdˇr´ıve rozdˇel´ıme 360◦ na 3 × 120◦ tak, ˇze sestroj´ıme rovnostrann´y troj´ uheln´ık △ADG, osy jeho stran se protnou v bodˇe S, kter´y je stˇredem

dev´ıti´ uheln´ıku. Takto n´am vznikly tˇri stejn´e u ´ hly takov´e, ˇze |∠ASD| = |∠DSG| = |∠GSA| = 120◦ . Nyn´ı provedeme trisekci tˇechto u ´ hl˚ u. Obr´azek 4.7 ukazuje jeden z moˇzn´ych postup˚ u konstrukce: Provedeme trisekci u ´ hlu DSG a na pˇr´ımk´ach dˇel´ıc´ıch

tento u ´ hel nalezneme body E, F takov´e, ˇze |SF | = |SE| = |SD|. Pot´e vedeme pˇrehyb p body S, G a oznaˇc´ıme I = E p , H = F p . D´ale vedeme pˇrehyb q body D, S a oznaˇc´ıme C = E q , B = F q . ABCDEF GHI je P-konstruovateln´y dev´ıti´ uheln´ık, nebot’ jeho vrcholy jsou bud’ vrcholy P-konstruovateln´eho troj´ uheln´ıka, nebo jsou to pr˚ useˇc´ıky P-kruˇznice k(S, |SA|) s pˇr´ımkami tvoˇr´ıc´ımi trisekci u ´ hlu sv´ıran´eho dvˇemi P-pˇr´ımkami. Troj´ uheln´ıky ASB, BSC, CSD, DSE, ESF, F SG, GSH, HSI, ISA jsou shodn´e rovnoramenn´e troj´ uheln´ıky, tˇechto devˇet troj´ uheln´ık˚ u m´a tedy shodnou z´akladnu a proto je dev´ıti´ uheln´ık rovnostrann´y. Vnitˇrn´ı u ´ hel pˇri vrcholu S kaˇzd´eho troj´ uheln´ıku je roven 40◦ , u ´ hel pˇri z´akladnˇe pak 140◦ /2. Vnitˇrn´ı u ´ hly dev´ıti´ uheln´ık˚ u jsou proto shodn´e a rovny 140◦ , dev´ıti´ uheln´ık ABCDEF GHI je i rovno´ uhl´y a tedy pravideln´y. 

30

4.3

Kuˇ zeloseˇ cky

Definice pojm˚ u v tomto odd´ıle byly zpracov´any podle [24]. D˚ ukazy vˇet a konstrukce pak byly zpracov´any s vyuˇzit´ım [27] a [32].

Kruˇ znice Definice 4.3.1. Kruˇ znice je mnoˇzina vˇsech bod˚ u X v rovinˇe takov´ych, ˇze jejich vzd´alenost od pevnˇe zvolen´eho bodu S je konstatn´ı. Plat´ı |SX| = r > 0, kde S naz´yv´ame stˇ red kruˇ znice a r polomˇ er kruˇ znice.

Vˇ eta 4.3.1. Necht’ A, S jsou P-body. Potom na kruˇznici k(S, |AS|) je nekoneˇcnˇe mnoho P-bod˚ u.

D˚ ukaz: Oznaˇcme t1 P-pˇr´ımku ↔AS a t2 kolmici na t1 proch´azej´ıc´ı bodem S. Pˇr´ımka

t3 proch´azej´ıc´ı bodem S, pro kterou At3 ∈ t2 a S t3 ∈ t1 je podle Vˇety 2.4 Ppˇr´ımka. M˚ uˇzeme tedy sestrojit nekoneˇcnˇe mnoho P-pˇr´ımek ti proch´azej´ıc´ıch bodem S takov´ych, ˇze Ati ∈ ti−1 , i ∈ N, i ≥ 3, d´ale m˚ uˇzeme sestrojit nekoneˇcnˇe mnoho os

u ´ hl˚ u sv´yran´ych P-pˇr´ımkami ti a tj , i 6= j, tyto osy u ´ hl˚ u jsou podle Lemmatu 2.5 opˇet P-pˇr´ımkami. useˇc´ıky pˇr´ımek ti s kruˇznic´ı k(S, |AS|) jsou P-body, Protoˇze podle Lemmatu 2.5 pr˚ tak existuje nekoneˇcnˇe mnoho P-bod˚ u kruˇznice k(S, |AS|). 

Elipsa Definice 4.3.2. Mnoˇzinu vˇsech bod˚ u v rovinˇe, kter´e maj´ı od dvou r˚ uzn´ych pevnˇe zvolen´ych bod˚ u F1 , F2 konstantn´ı souˇcet vzd´alenost´ı 2a, naz´yv´ame elipsa. Tedy je to mnoˇzina Ke = {X ∈ E2 ; |XF1| + |XF2 | = 2a = konst., 0 < |F1 F2 | < 2a}. Body F1 , F2 jsou ohniska, a je d´elka hlavn´ı poloosy elipsy. Plat´ı |F1 F2 | = 2e, konstantu e naz´yv´ame line´ arn´ı v´ ystˇ rednost (excentricita) elipsy.

Vˇ eta 4.3.2. Necht’ k(F1 , |F1 Q|) je P-kruˇznice a F2 je P-bod, pro kter´y plat´ı |F1 F2 | <

|F1 Q| = 2a. Potom elipsa s ohnisky F1 , F2 a d´elkou hlavn´ı poloosy a je P-konstruovateln´a. D˚ ukaz: Obr´azek 4.8 n´am ukazuje postup konstrukce.

M´ame kruˇznici k(F1 , |F1 Q|) a bod F2 uvnitˇr t´eto kruˇznice, zvolme libovoln´y P31

bod P na t´eto kruˇznici. Pˇrehybem p1 sestrojme osu u ´ seˇcky P F2 . Pˇrehyb p2 vedouc´ı body F1 , P protne p1 v P-bodˇe X, kter´y je bodem elipsy. Protoˇze existuje nekoneˇcnˇe mnoho P-bod˚ u kruˇznice k(F1 , |F1 Q|), volbou jin´eho P-bodu P na kruˇznici k a opakov´an´ım konstrukce dost´av´ame nekoneˇcnˇe mnoho P-bod˚ u elipsy. Pˇr´ımka p1 je teˇcnou elipsy v bodˇe X. P-bod X leˇz´ı na ose u ´ seˇcky P F2 , proto |XF2 | = |XP | a m˚ uˇzeme ps´at: 2a = |F1 P | = |F1 X| + |XP | = |F1 X| + |XF2 |, takˇze bod X je podle definice bodem elipsy. 

Obr´azek 4.8: Konstrukce elipsy

Hyperbola Definice 4.3.3. Mnoˇzinu vˇsech bod˚ u v rovinˇe, kter´e maj´ı od dvou r˚ uzn´ych pevnˇe zvolen´ych bod˚ u F1 , F2 konstantn´ı absolutn´ı hodnotu rozd´ılu vzd´alenost´ı 2a, naz´yv´ame hyperbola. Tedy je to mnoˇzina Kh = {X ∈ E2 ; ||XF1 | − |XF2 || = 2a = konst., 0 < 2a < |F1 F2 |}. Body F1 , F2 naz´yv´ame stejnˇe jako u elipsy ohniska, a je d´elka hlavn´ı poloosy hyperboly. Plat´ı |F1 F2 | = 2e > 2a, konstanta e je excentricita hyperboly. Vˇ eta 4.3.3. Necht’ k(F1 , |F1 Q|) je P-kruˇznice a F2 je P-bod, pro kter´y plat´ı |F1 F2 | >

|F1 Q| = 2a. Potom hyperbola s ohnisky F1 , F2 a d´elkou hlavn´ı poloosy a je P32

konstruovateln´a. D˚ ukaz: Postup konstrukce je podobn´y konstrukci elipsy a naznaˇcuje jej obr´azek 4.9. M´ame kruˇznici k(F1 , |F1 Q|), bod F2 leˇz´ı vˇsak vnˇe t´eto kruˇznice. Zvolme libovoln´y P-

bod P na t´eto kruˇznici. Pˇrehybem p1 sestrojme osu u ´ seˇcky P F2 . Pˇrehyb p2 vedouc´ı body F1 , P protne p1 v P-bodˇe X, kter´y je bodem hyperboly. Volbou jin´eho P-

bodu P na kruˇznici k a opakov´an´ım konstrukce dost´av´ame dalˇs´ı P-body hyperboly. Pˇr´ımka p1 je teˇcnou hyperboly v bodˇe X. P-bod X leˇz´ı na ose u ´ seˇcky P F2 , proto |F2 X| = |P X| a m˚ uˇzeme ps´at: 2a = |F1 P | = ||F1X| − |P X|| = ||F1 X| − |F2 X||, takˇze bod X je podle definice bodem hyperboly. Pozn.: Pol´ara kruˇznice k vzhledem k p´olu F2 protne kruˇznici k v bodech R1 , R2 . V momentˇe, kdy bod P splyne s bodem R1 ˇci R2 , bude p1 k p2 a pˇr´ımky ↔ R1 F1 , ↔ R1 F1 jsou asymptotami hyperboly. 

Obr´azek 4.9: Konstrukce hyperboly

Parabola I kdyˇz jsme s pojmem parabola pracovali jiˇz v pˇredchoz´ı kapitole, pro u ´ plnost zpracov´an´ı t´ematu zde uvedeme jej´ı definici a postup konstrukce. Definice 4.3.4. Mnoˇzinu vˇsech bod˚ u X v rovinˇe, kter´e maj´ı od pevn´eho bodu F a pevn´e pˇr´ımky d, jenˇz t´ımto bodem neproch´az´ı, stejn´e vzd´alenosti, naz´yv´ame parabola. Tedy je to takov´a mnoˇzina Kp , kde: Kp = {X ∈ E2 ; |XF | = |X, d|, F ∈ / d}. 33

Pevn´y bod F naz´yv´ame ohnisko a pˇr´ımku d direkˇ cn´ı pˇ r´ımka. Pˇr´ımku proch´azej´ıc´ı bodem F a kolmou na d naz´yv´ame osa paraboly. Vˇ eta 4.3.4. Necht’ d je P-pˇr´ımka a F je P-bod, F ∈ / d. Potom parabola s direkˇcn´ı pˇr´ımkou d a ohniskem F je P-konstruovateln´ a. D˚ ukaz: Obr´azek 4.10 ilustruje postup konstrukce. M´ame zadanou P-pˇr´ımku d a Pbod F . Pˇrehybem t zobraz´ıme bod F na pˇr´ımku d a oznaˇc´ıme P = F t . Kolmice na d v bodˇe P protne pˇr´ımku t v P-bodˇe X, kter´y je bodem paraboly, v´ıce viz Vˇeta 2.2. 

Obr´azek 4.10: Konstrukce paraboly

34

4.4

Dalˇs´ı kˇ rivky v rovinˇ e

Definice pojm˚ u v tomto odd´ıle byly zpracov´any podle [7], [17], [19] a [22]. D˚ ukazy vˇet a konstrukce pak byly zpracov´any s vyuˇzit´ım [32].

Dioklova kisoida Definice 4.4.1. Necht’ k je kruˇznice nad pr˚ umˇerem o d´elce |P Q|. Ved’me bodem Q teˇcnu q ke kruˇznici k. Z bodu P ved’me libovolnou pˇr´ımku p prot´ınaj´ıc´ı kruˇznici k a pˇr´ımku q. Oznaˇcme M pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky p s kruˇznic´ı k, N pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky p s teˇcnou q. Kisoidou potom naz´yv´ame mnoˇzinu vˇsech bod˚ u X pˇr´ımky p, jejichˇz vzd´alenost od P je rovna |MN|. Tedy je to takov´a mnoˇzina K, kde: K = {X ∈ E2 ; X ∈ p, |P X| = |MN|, M ∈ k ∩ p, N ∈ q ∩ p}.

Obr´azek 4.11: Dioklova kisoida

Vˇ eta 4.4.1. Necht’ P Q je P-´ useˇcka a S je stˇred t´eto u ´seˇcky, oznaˇcme k(S, |SP |) P-kruˇznici nad pr˚ umˇerem |P Q|. Potom Dioklova kisoida urˇcen´ a kruˇznic´ı k je Pkonstruovateln´a. D˚ ukaz: Konstrukci ilustruje obr´azek 4.11. Sestrojme kolmici q v bodˇe Q na u ´ seˇcku P Q, q je teˇcnou kruˇznice k v bodˇe Q. Oznaˇcme M libovoln´y P-bod na kruˇznici k(S, |SP |). Pˇr´ımka p proch´azej´ıc´ı body

P, M je P-pˇr´ımkou, kter´a prot´ın´a pˇr´ımku q v bodˇe N. Protoˇze p, q jsou P-pˇr´ımky, tak N je P-bod. Oznaˇcme t osu u ´ seˇcky P N a O stˇred t´eto u ´ seˇcky. Oznaˇcme X = M t , potom X je bodem kisoidy, nebot’ na z´akladˇe osov´e soumˇernosti podle pˇr´ımky t plat´ı |XP | = |MN|. Bod X je P-bodem, nebot’ je pr˚ useˇc´ıkem pˇr´ımky 35

p s P-kruˇznic´ı l(O, |OM|). Volbou jin´eho P-bodu M na kruˇznici k a opakov´an´ım konstrukce dost´av´ame dalˇs´ı P-body kisoidy. 

Nikom´ edova konchoida Nikom´edovu konchoidu tak´e naz´yv´ame pˇr´ımou konchoidou pˇr´ımky. Definice 4.4.2. Necht’ P je pevn´y bod a p je dan´a pˇr´ımka takov´a, ˇze |P, p| = v > 0. Necht’ t je pˇr´ımka proch´azej´ıc´ı bodem P , kter´a prot´ın´a pˇr´ımku p v bodˇe R. Nikom´ edova konchoida je potom mnoˇzina vˇsech bod˚ u X pˇr´ımky t, jejichˇz vzd´alenost od R je rovna konstantˇe d > 0. Tedy je to takov´a mnoˇzina K, kde: K = {X ∈ E2 ; X ∈ t, |RX| = d, R ∈ t ∩ p}. Bod P naz´yv´ame p´ ol a p je ˇ r´ıd´ıc´ı pˇ r´ımka. Nikom´edova konchoida m´a dvˇe vˇetve, ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımka p je jejich asymptotou. Na obr´azku 4.12 jsou zn´azornˇeny konchoidy pro v < d, v = d, v > d.

Obr´azek 4.12: Nikom´edova konchoida

Vˇ eta 4.4.2. Necht’ P K je P-´ useˇcka a p je P-pˇr´ımka kolm´ a na u ´seˇcku P K takov´a, ˇze P ∈ / p, K ∈ / p. Oznaˇcme L pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky p s u ´seˇckou P K. Potom Nikom´edova konchoida s ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımkou p a p´olem P , pro kterou d = |KL|, je P-konstruovateln´a. D˚ ukaz: M´ame zadanou u ´ seˇcku P K, pˇr´ımku p a bod L ∈ p ∩ P K. Oznaˇcme M bod p na ↔ P K, M = K , takˇze |ML| = |KL| a tedy P-body M, K jsou body konchoidy. Obr´azek 4.13 n´am tuto konstrukci ilustruje. Protoˇze existuje nekoneˇcnˇe mnoho Pbod˚ u P ′ kruˇznice k(P, |P K|), tak bodem P proch´az´ı nekoneˇcnˇe mnoho P-pˇr´ımek 36

t =↔ P P ′. Ved’me tedy pˇr´ımku t bodem P , kter´a protne p v P-bodˇe R. Pˇrehybem q zobrazme body K, L, M na t a oznaˇcme S = M q , T = Lq , U = K q . Pˇrehybem o zobrazme bod R na T (tedy sestrojme osu u ´ seˇcky RT ) a oznaˇcme B = S o , A = U o . A, B jsou P-body, pro nˇeˇz plat´ı, ˇze |AR| = |BR| = |KL|, takˇze A, B jsou body konchoidy. Volbou jin´e P-pˇr´ımky t a opakov´an´ım konstrukce dost´av´ame dalˇs´ı Pbody konchoidy. 

Obr´azek 4.13: Konstrukce Nikom´edovy konchoidy operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru

Pascalova z´ avitnice (lima¸ con) Pascalova z´avitnice je konchoida kruˇznice. Definice 4.4.3. Necht’ k(S, r) je dan´a kruˇznice a P je pevn´y bod na t´eto kruˇznici. Necht’ t je pˇr´ımka proch´azej´ıc´ı bodem P , kter´a prot´ın´a kruˇznici k v bodˇe R. Pascalova z´ avitnice je potom mnoˇzina vˇsech bod˚ u X pˇr´ımky t, jejichˇz vzd´alenost od R je rovna konstantˇe d > 0. Tedy je to takov´a mnoˇzina K, kde: K = {X; X ∈ t, |RX| = d, R ∈ t ∩ k}. Bod P naz´yv´ame p´ ol a k je ˇ r´ıd´ıc´ı kˇ rivkou. Na obr´azku 4.14 jsou zn´azornˇeny konchoidy pro d < 2r, d = 2r, d > 2r. Pro d = 2r naz´yv´ame tuto kˇrivku kardioida (srdcovka). Vˇ eta 4.4.3. Necht’ P Q je P-´ useˇcka, S je stˇred t´eto u ´seˇcky a k(S, |SP |) je Pkruˇznice. Necht’ d´ale A 6= Q je P-bod na pˇr´ımce ↔P Q. Potom Pascalova z´ avitnice s r = |SP | a d = |AQ| je P-konstruovateln´ a. D˚ ukaz: Konstrukci ilustruje obr´azek 4.15. Sestrojme kolmici q v bodˇe Q na u ´ seˇcku P Q, q je teˇcnou kruˇznice k v bodˇe Q, 37

Obr´azek 4.14: Pascalova z´avitnice

oznaˇcme B = Aq . A, B jsou P-body Pascalovy z´avitnice. Oznaˇcme M 6= P, M 6= Q libovoln´y P-bod na kruˇznici k(S, |SP |) a ved’me P-pˇr´ımku t body M, P . Pˇrehybem p

vedouc´ım bodem P zobrazme bod Q na pˇr´ımku t a oznaˇcme E = Ap , F = Qp , G = B p , body E, F, G jsou P-body. Oznaˇcme o osu u ´ seˇcky F M, ved’me pˇrehyb touto osou o a oznaˇcme X = E o , Y = Go . Body X, Y jsou P-konstruovateln´e body Pascalovy z´avitnice. Volbou jin´eho P-bodu M na kruˇznici k a opakov´an´ım konstrukce dost´av´ame dalˇs´ı P-body Pascalovy z´avitnice. 

Obr´azek 4.15: Konstrukce Pascalovy z´avitnice operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru

38

Kapitola 5 Souvisej´ıc´ı probl´ emy a aplikace Tato kapitola je do jist´e m´ıry zpracov´ana jako pˇrehled dostupn´e literatury spojen´e s t´ematem bakal´aˇrsk´e pr´ace, nebot’ existuje mnoho kratˇs´ıch ˇcl´ank˚ u a pojedn´an´ı, kter´e jsou velmi rozmanit´e a liˇs´ı se sv´ym konkr´etn´ım objektem z´ajmu. Naopak je jen velmi m´alo monografi´ı o tomto t´ematu, nebot’ literatura o origami se zab´yv´a sp´ıˇse prostorov´ymi konstrukcemi, esteticky p˚ usobiv´ymi, m´enˇe jiˇz rovinn´ymi geometrick´ymi konstrukcemi a d˚ ukazy korektnosti postup˚ u. Vˇsechna literatura zde uveden´a je naps´ana v anglick´em jazyce. Pomoc´ı eukleidovsk´ych metod jsme schopni geometricky vyˇreˇsit u ´ lohy vedouc´ı na line´arn´ı a kvadratick´e rovnice, nikoliv vˇsak obecnˇe rovnice kubick´e. Pˇr´ıkladem takov´eho neˇreˇsiteln´eho probl´emu je trisekce u ´ hlu. Uk´azalo se vˇsak, ˇze moˇznosti jin´ych geometrick´ych syst´em˚ u a pom˚ ucek, jako je origami (operace pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru) a Mira1 , pˇresahuj´ı moˇznosti eukleidovsk´ych metod a je moˇzn´e tˇemito metodami kubick´e rovnice ˇreˇsit. Kl´ıˇcem k ˇreˇsen´ı je nalezen´ı spoleˇcn´e teˇcny dvou parabol. Operace pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru umoˇzn ˇ uj´ı nalezen´ı spoleˇcn´e teˇcny (spoleˇcn´ych teˇcen) dvou parabol s dan´ymi ohnisky a direkˇcn´ımi pˇr´ımkami bez konstrukce samotn´ych parabol. Tato metoda pouˇz´ıv´a jen body a pˇr´ımky. Je dokonce moˇzn´e zkonstruovat re´aln´e ˇreˇsen´ı urˇcit´ych kvartick´ych rovnic – tedy nal´ezt spoleˇcnou teˇcnu kruˇznice a paraboly. V´ıce v [9]. V [10] autoˇri ˇcl´anku pojedn´avaj´ı o nˇekter´ych ot´azk´ach teorie ˇc´ısel, kter´e se objevuj´ı pˇri konstrukci pravideln´ych mnoho´ uheln´ık˚ u operacemi pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru. Konstrukce pravideln´ych mnoho´ uheln´ık˚ uu ´ zce souvis´ı s konstrukcemi a aproximac´ı u ´ hl˚ u. Autoˇri tak´e d´avaj´ı tyto konstrukce do souvislosti s teori´ı graf˚ u a grup. 1 Mira je registrovan´a ochrann´a zn´amka spoleˇcnosti Mira-Math Company, Willowdala, Ontario, Canada. Jedn´a se o pr˚ uhledn´ y a zrcadl´ıc´ı (reflexivn´ı) kus plastu, kter´ y umoˇzn ˇuje konstrukce zaloˇzen´e na moˇznosti vidˇet v jednom okamˇziku vzor i obraz v osov´e soumˇernosti podle hrany tohoto n´astroje

39

Souvislostmi mezi bin´arn´ımi vzory a operacemi pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru se zab´yv´a napˇr´ıklad [26] a [21]. V´ıce o aproximaci a konstrukci pravideln´ych mnoho´ uheln´ık˚ u metodou pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru nalezneme tak´e v [13]. Konstrukcemi optim´aln´ıch mnoho´ uheln´ık˚ u, tedy pravideln´ych n-´ uheln´ık˚ u maj´ıc´ıch co nejvˇetˇs´ı obsah, z dan´eho ˇctvercov´eho archu pap´ıru se zab´yv´a [8]. V´ıce o racion´aln´ım dˇelen´ım libovoln´eho u ´ hlu, s ˇc´ımˇz u ´ zce souvis´ı aproximace urˇcit´eho racion´aln´ıho u ´ hlu, konstrukce pravideln´ych mnoho´ uheln´ık˚ u a pravideln´ych hvˇezd najdeme v [29]. V pˇredeˇsl´ych kapitol´ach jsme se zab´yvali konstrukcemi zaloˇzen´ymi na operaci pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru, kter´a vytv´aˇrela rovn´e pˇrehyby – pˇr´ımky, tedy kˇrivky s nulovou kˇrivost´ı. Pˇrehyby s nenulovou kˇrivost´ı jsou hlavn´ım t´ematem autor˚ u v [11]. Rozvinuteln´a plocha je plocha pˇr´ımkov´a, autoˇri se v ˇcl´anku zab´yvaj´ı jejich konstrukcemi operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru. Je zde tak´e n´avod na konstrukci pap´ırov´ych model˚ u rozvinuteln´ych ploch s pˇredepsanou hranou vratu. Konstrukci pˇrehybu s nenulovou kˇrivost´ı m˚ uˇzeme prov´est n´asleduj´ıc´ım zp˚ usobem: na pap´ır nar´ysujeme libovolnou hladkou kˇrivku a lehce pˇreh´yb´ame pap´ır pod´el t´eto kˇrivky, je dobr´e silnˇe pˇritlaˇcit pˇri kreslen´ı dan´e kˇrivky, v´ysledek jedn´e takov´e konstrukce ukazuje obr´azek 5.1.

Obr´azek 5.1: Pˇrehyb s nenulovou kˇrivost´ı

Pomoc´ı operace pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru m˚ uˇzeme prov´est nˇekter´e geometrick´e transformace, mezi kter´e patˇr´ı napˇr´ıklad stejnolehlost s koeficientem stejnolehlosti jedna polovina, sestrojen´ı negativn´ı u ´ patnice aj. V´ıce viz [31]. 40

Transformacemi a pˇrechodem z pravo´ uhl´ych na pol´arn´ı souˇradnicemi se zab´yv´a mimo jin´e i [30]. Studenti l´epe pochop´ı souvislosti mezi formou (tvarem) dan´e kˇrivky v pravo´ uhl´ych a v pol´arn´ıch souˇradnic´ıch, pokud je jim poskytnuta n´azorn´a uk´azka takov´eho pˇrechodu. Autor k tomuto u ´ˇcelu pouˇz´ıv´a skl´ad´an´ı vˇej´ıˇr˚ u. Sestroj´ıme kˇrivku pro 0 ≤ x ≤ 2π, f (x) ≥ 0 na rovn´em pap´ıru a pot´e jej sloˇz´ıme do vˇej´ıˇre. Tato praktick´a a interaktivn´ı uk´azka podporuje geometrickou pˇredstavivost ˇz´ak˚ u. V odborn´e literatuˇre nalezneme i pojedn´an´ı o s´ıle a enerigii nutn´e k vratn´e ˇci nevratn´e deformaci pap´ıru. V [2] autor uvaˇzuje napˇr´ıklad stlaˇcen´y elastick´y arch a diskutuje m´ıru elastick´e energie vzhledem k tlouˇst’ce archu, deformace je determinov´ana p˚ usob´ıc´ı silou a elastickou energi´ı. V´ypoˇcetn´ı origami2 je souˇcasn´ym odvˇetv´ım vˇedy o poˇc´ıtaˇc´ıch studuj´ıc´ı efektivn´ı algoritmy pro ˇreˇsen´ı probl´em˚ u nejen pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru. V´ysledky v tomto odvˇetv´ı spadaj´ı pˇribliˇznˇe do tˇrech kategori´ı: vˇseobecn´e v´ysledky (tzv. univerz´alnosti), algoritmy rozhoduj´ıc´ı o efektivnosti a nakonec algoritmy rozhoduj´ıc´ı o ˇreˇsitelnosti ˇci sp´ıˇse neˇreˇsitelnosti probl´emu. Vˇseobecn´e v´ysledky ukazuj´ı, ˇze vzhledem k urˇcit´e tˇr´ıdˇe model˚ u je vˇse moˇzn´e, napˇr´ıklad jak´ykoliv mnoho´ uheln´ık a mnohostˇen je konstruovateln´y z dostateˇcnˇe velk´eho kusu pap´ıru. Pokud rozhodnut´ı o univerz´alnosti konstrukce selh´av´a, tedy tˇr´ıda objekt˚ u nen´ı obecnˇe konstruovateln´a, je tˇreba rozhodnout o efektivnosti konstrukce, zda je moˇzn´e objekt konstruovat v rozumn´em ˇcase, pˇr´ıpadnˇe rozhodnout o neˇreˇsitelnosti. V´ysledky tohoto v´yzkumu pak nach´azej´ı uplatnˇen´ı v designu origami, tedy navrhov´an´ı vhodn´eho u ´ kolu, c´ıle, objektu, kter´y m˚ uˇze b´yt konstruov´an z pap´ıru ˇci jin´eho vhodn´eho materi´alu. V´ypoˇcetn´ı origami se vˇsak zab´yv´a i jinou ot´azkou: zkoum´an´ı moˇznost´ı dan´ych operac´ı bez zjevn´eho c´ılov´eho objektu, tedy jak´esi studium procesu skl´ad´an´ı, pozorov´an´ı, co lze vytvoˇrit danou operac´ı. V´ıce viz [6]. V´ypoˇcetn´ı origami diskutuje tak´e vztahy mezi stˇenami, jako je pˇrekryt´ı ˇci pˇrilehlost. Pokud m´ame danou konstrukci origami a pˇreloˇz´ıme pod´el urˇcit´e pˇr´ımky, struktura tohoto modelu je zmˇenˇena, nˇekter´e stˇeny byly rozdˇeleny a vznikly nov´e, takˇze i vztahy mezi stˇenami se mˇen´ı. V´ıce nalezneme v [16]. O ot´azce skl´ad´an´ı a rozkl´ad´an´ı, rozvinutelnosti pojedn´aval jiˇz Albrecht D¨ urer na poˇc´atku 16. stolet´ı, ale tato ot´azka zaˇcala b´yt systematicky studov´ana teprve ned´avno. V souˇcasnosti se t´ımto t´ematem zab´yv´a diskr´etn´ı a v´ypoˇcetn´ı geometrie3 . Autor ˇcl´anku [4] poskytuje struˇcn´y pˇrehled prac´ı v t´eto oblasti. Napˇr´ıklad je diskutov´ano, jak objekty (spoje ˇci klouby mechanick´ych zaˇr´ızen´ı, pap´ır, mnohostˇeny) mohou b´yt pˇresunuty, pˇreskupeny, pˇrekl´ad´any ˇci oh´yb´any za urˇcit´ych omezen´ı z´avisej´ıc´ıch 2 3

computational origami - pˇrekl. autora discrete and computational geometry - pˇrekl. autora

41

na typu objetku a probl´emu. Proces rozkl´ad´an´ı objekty zjednoduˇsuje, zat´ımco skl´ad´an´ı komplikuje dan´y tvar, formu. Studium skl´ad´an´ı, oh´yb´an´ı spoj˚ u a kloub˚ u, kostry mechanick´eho zaˇr´ızen´ı, m´a sv˚ uj v´yznam v aplikac´ıch jako je oh´yb´an´ı hydraulick´ych potrub´ı, d´av´an´ı pokyn˚ u ruk´am robota. Nach´az´ıme tak´e spojitost se skl´ad´an´ım protein˚ u v molekul´arn´ı biologii. V´ypoˇcetn´ı geometrie4 se v posledn´ıch letech obohatila o v´ypoˇcetn´ı origami a implementace tohoto odvˇetv´ı st´ale prob´ıh´a. Dalˇs´ı z mnoha ot´azek studovan´ych v t´eto oblasti je probl´em sloˇzen´ı a stˇrihu5 , kdy dan´y arch pap´ıru sloˇz´ıme do ploch´eho u ´ tvaru, provedeme jeden pˇr´ım´y rovn´y stˇrich a pot´e arch rozloˇz´ıme. Jak´e modely, tvary mohou b´yt t´ımto zp˚ usobem konstruov´any? Pˇrekvapivˇe m˚ uˇze b´yt sestrojen jak´ykoliv rovinn´y obrazec tvoˇren rovn´ymi hranami. Pokud m´ame pap´ır, jehoˇz obˇe strany maj´ı r˚ uznou barvu, m˚ uˇzeme pap´ır sloˇzit tak, aby se urˇcit´e barvy objevily v urˇcit´ych oblastech? Vˇedci dok´azali, ˇze odpovˇed’ na tyto ot´azky je pozitivn´ı, a snaˇz´ı se nal´ezt efektivn´ı algoritmy pro ˇreˇsen´ı tˇechto u ´ loh. Tato oblast geometrie a v´ypoˇcetn´ı techniky vˇsak nebyla dosud studov´ana vyˇcerp´avaj´ıc´ım zp˚ usobem a poskytuje tak mnoho pˇr´ıleˇzitost´ı k dalˇs´ımu b´ad´an´ı.

Obr´azek 5.2: Sloˇzen´ı pap´ıru a jeden rovn´y stˇrich umoˇzn ˇ uje konstruovat napˇr´ıklad pˇetic´ıpou hvˇezdu

V´ıce o probl´emu skl´ad´an´ı a stˇr´ıh´an´ı pap´ıru6 nalezneme v [5]. Autoˇri se v ˇcl´anku zmiˇ nuj´ı o kouzelnick´ych tric´ıch, kter´e tohoto umˇen´ı vyuˇz´ıvaj´ı. Je zde dok´az´ano, ˇze jak´ykoliv soubor pˇr´ım´ych rovn´ych hran m˚ uˇze b´yt vystˇriˇzen jedn´ım rovn´ym stˇrihem, pokud pap´ır vhodnˇe sloˇz´ıme. Z´aroveˇ n pˇredstavuj´ı algoritmus pro v´ypoˇcet pˇrehyb˚ uau ´ˇcinn´eho sloˇzen´ı. Tento algoritmus pˇresnˇe sestav´ı rovinn´e sch´ema pˇrehyb˚ u a stˇr´ıhan´e hrany, po sloˇzen´ı pap´ıru dle dan´eho sch´ematu a stˇrihu pod´el dan´e hrany dos´ahneme poˇzadovan´eho v´ysledku. Jeden takov´y proces ilustruje obr´azek 5.2, obr´azek je pˇrevzat z [5], str. 104. Konstrukce operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru jsou uˇziteˇcn´e pˇri v´yuce geometrie, v [20] 4

computational geometry - pˇrekl. autora fold-and-cut - pˇrekl. autora 6 folding and cutting paper - pˇrekl. autora 5

42

nalezneme napˇr´ıklad d˚ ukazy nˇekter´ych z´akladn´ıch geometrick´ych vˇet pomoc´ı operace pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru. Zaˇrazen´ı t´eto metody konstruov´an´ı do bˇeˇzn´e v´yuky geometrie je bezesporu pˇr´ınosn´e, nebot’ zpestˇruje v´yuku a v jist´ych ohledech m˚ uˇze b´yt tato metoda n´azornˇejˇs´ı. Autoˇri v [14] se zab´yvaj´ı pˇr´ınosem t´eto metody pˇri v´yuce slep´ych ˇci slabozrak´ych dˇet´ı. Poukazuj´ı d´ale na fakt, ˇze mnoho uˇcitel˚ u nem´a o t´eto metodˇe dostateˇcn´e povˇedom´ı a pokl´ad´a ji za nedostateˇcnˇe exaktn´ı. Konstrukce operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru jsou vhodn´e i pro studenty neslyˇs´ıc´ı a nedosl´ychav´e, nebot’ jejich v´yuka si vyˇzaduje vˇetˇs´ı vizu´aln´ı n´azornost. Praktick´a a z´abavn´a zkuˇsenost pˇri konstruov´an´ı geometrick´ych objekt˚ u a tedy aktivn´ı pod´ılen´ı se na v´yuce jim pom´ah´a l´epe pochopit a zapamatovat si prob´ıranou l´atku. Autor v [15] pˇredkl´ad´a n´avrhy, jak tyto konstrukce zaˇradit do v´yuky. Vyuˇzit´ım metody pˇri v´yuce geometrie se zab´yv´a t´eˇz [3]. Konstrukce pˇrekl´ad´an´ım pap´ıru jsou pˇr´ıstupn´e vˇsem student˚ u a nejsou jen trivi´aln´ı z´abavou, podporuj´ı geometrickou pˇredstavivost a v jist´ych ohledech jsou n´azornˇejˇs´ı neˇz eukleidovsk´e metody. Jin´y pˇr´ıstup ke konstrukci pravideln´ych mnoho´ uheln´ık˚ u ukazuje [18]. Autor poskytuje n´avod konstrukce pravideln´ych mnoho´ uheln´ık˚ u v´az´an´ım (uzlen´ım) pap´ırov´ych prouˇzk˚ u. T´ımto zp˚ usobem je moˇzn´e sestrojit napˇr´ıklad pravideln´y pˇeti´ uheln´ık, ˇsestiu ´ heln´ık, sedmi´ uheln´ık a osmi´ uheln´ık. Generov´an´ı s´ıt´ı, skl´ad´an´ı rozstˇr´ıhan´eho pap´ıru, z virtu´aln´ıch do fyzick´ych model˚ u pomoc´ı pˇrekl´ad´an´ı, skl´ad´an´ı a slepov´an´ı jednoho kusu rozstˇr´ıhan´eho pap´ıru jsou t´emata, o nichˇz pojedn´av´a [1]. I kdyˇz pˇrehled literatury o tomto t´ematu nen´ı vyˇcerp´avaj´ıc´ı, je zˇrejm´e, ˇze v´yzkum v t´eto oblasti prob´ıh´a a znalost operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru nach´az´ı uplatnˇen´ı i v jin´ych oborech a oblastech, neˇz je matematika a v´yuka geometrie. Uvˇedomme si, ˇze i pap´ırov´e kapesn´ıky jsou sloˇzeny tak, aby je bylo moˇzn´e rozloˇzit jen jednou rukou. Dopisn´ı ob´alky jsou naopak navrˇzeny tak, aby doch´azelo k jejich samovoln´emu otev´ır´an´ı vlivem mechanick´eho poˇskozen´ı co nejm´enˇe. Pˇr´ıklady uˇzit´ı nal´ez´ame d´ale u r˚ uzn´ych propagaˇcn´ıch materi´al˚ u, dˇetsk´ych skl´adaˇcek, dekoraˇcn´ıch pˇredmˇet˚ u, obal˚ u a jinde.

43

Kapitola 6 Z´ avˇ er C´ılem t´eto pr´ace bylo pˇredstavit jinou metodu geometrick´ych konstrukc´ı, neˇz jsou klasick´e metody vyuˇz´ıvaj´ıc´ı prav´ıtko, kruˇz´ıtko a u ´ hlomˇer. Douf´am, ˇze se mi d´ıky t´eto pr´aci podaˇr´ı pˇredat m´e nadˇsen´ı pro tento netradiˇcn´ı a zaj´ımav´y zp˚ usob konstrukc´ı geometrick´ych objetk˚ u dalˇs´ım potenci´aln´ım z´ajemc˚ um. Jsem si jista, ˇze zahrnut´ı operace pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru do bˇeˇzn´e v´yuky geometrie je uˇziteˇcn´e a vhodn´e, nebot’ poskytuje nejen moˇznost ˇreˇsit u ´ lohy eukleidovsk´ymi metodami neˇreˇsiteln´e, ale hlavnˇe zpestˇruje v´yuku, ˇcin´ı geometrii barvitˇejˇs´ı a z´abavnˇejˇs´ı, v mnoha pˇr´ıpadech tak´e n´azornˇejˇs´ı. Vˇeˇr´ım, ˇze tato pr´ace m˚ uˇze b´yt pˇr´ınosn´a pro vˇsechny uˇcitele geometrie, kteˇr´ı se snaˇz´ı modernizovat v´yuku a hledaj´ı nov´e nekonvenˇcn´ı cesty. Snaˇzila jsem se, aby m´a pr´ace byla srozumiteln´a a ˇctiv´a, tedy pˇr´ıstupn´a i neodborn´e veˇrejnosti. Z´aroveˇ n jsem chtˇela dok´azat, ˇze tato metoda je naprosto korektn´ı a tedy stoj´ı za pozornost i u odborn´e veˇrejnosti. Z´avˇerem bych chtˇela doporuˇcit vˇsem zaujat´ym, aby t´eto netradiˇcn´ı metodˇe vˇenovali pozornost a nal´ezali sami dalˇs´ı moˇznosti konstrukc´ı a aplikac´ı, kter´e jsem zde kv˚ uli omezen´emu rozsahu t´eto pr´ace neuvedla. Zvl´aˇstˇe pak uˇcitel˚ um a student˚ um geometrie pˇreji, aby nach´azeli v jin´em pˇr´ıstupu ke geometrii z´abavu a radost z objevov´an´ı nov´ych moˇznost´ı, nebot’ j´a osobnˇe se na implementaci t´eto metody do v´yuky geometrie tˇeˇs´ım.

44

Seznam obr´ azk˚ u 2.1

Parabola s direkˇcn´ı pˇr´ımkou p a ohniskem P . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2

Pro P ∈ p, Q ∈ q, p ∦ q existuj´ı nejv´yˇse tˇri pˇr´ımky t takov´e, ˇze P t ∈ p, Qt ∈ q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.3 2.4

Pro P ∈ / p, Q ∈ / q, p ∦ q existuj´ı pr´avˇe tˇri pˇr´ımky t takov´e, ˇze

P t ∈ p, Qt ∈ q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Pro P ∈ / p, Q ∈ / q, p k q existuj´ı nejv´yˇse dvˇe pˇr´ımky t takov´e, ˇze P t ∈ p, Qt ∈ q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.5

Bod A = [1, 1] je P-bod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.6

Body A = [O, 2], B = [2, 0] jsou P-body . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.7

Kolmice na P-pˇr´ımku q v P-bodˇe P je P-pˇr´ımka . . . . . . . . . . . . 12

2.8

Pˇr´ımka kolm´a na P-pˇr´ımku p a proch´azej´ıc´ı P-bodem Q je P-pˇr´ımka . 12

2.9

Jak´ymikoliv dvˇema r˚ uzn´ymi P-body proch´az´ı P-pˇr´ımka . . . . . . . . 13

2.10 Pr˚ useˇc´ıky P-kruˇznice k(Q, |QP |) a P-pˇr´ımky p proch´azej´ıc´ı stˇredem

t´eto kruˇznice jsou P-body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.11 Pr˚ useˇc´ıky P-pˇr´ımky p s P-kruˇznic´ı k(Q, |P Q|) jsou P-body . . . . . . 14 2.12 Pˇr´ımky tvoˇr´ıc´ı trisekci u ´ hlu jsou P-pˇr´ımkami . . . . . . . . . . . . . . 14 p 2.13 Bod R ∈ OS, pro kter´y |OR| = 3 |OS|, je P-bod . . . . . . . . . . . 15 3.1

Duplikace krychle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1

Konstrukce pravo´ uhl´eho troj´ uheln´ıka operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru

4.2

Konstrukce rovnostrann´eho troj´ uheln´ıka operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru . . 24

4.3

Konstrukce zlat´eho ˇrezu operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru . . . . . . . . . . . 26

4.4

Konstrukce pravideln´eho pˇeti´ uheln´ıka operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru . . . 27

45

. . . 23

4.5

Konstrukce pravideln´eho ˇsesti´ uheln´ıka operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru . . . 28

4.6

Konstrukce pravideln´eho osmi´ uheln´ıka operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru . . . 29

4.7

Konstrukce pravideln´eho dev´ıti´ uheln´ıka operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru . . 30

4.8

Konstrukce elipsy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.9

Konstrukce hyperboly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.10 Konstrukce paraboly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.11 Dioklova kisoida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.12 Nikom´edova konchoida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.13 Konstrukce Nikom´edovy konchoidy operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru

. . . . 37

4.14 Pascalova z´avitnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.15 Konstrukce Pascalovy z´avitnice operac´ı pˇrekl´ad´an´ı pap´ıru . . . . . . . 38 5.1

Pˇrehyb s nenulovou kˇrivost´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2

Sloˇzen´ı pap´ıru a jeden rovn´y stˇrich umoˇzn ˇ uje konstruovat napˇr´ıklad pˇetic´ıpou hvˇezdu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

46

Literatura [1] BANGAY, S. From virtual to physical reality with paper folding [online]. In: Computational Geometry, No. 15, s. 161-174. Elsevier, 2000 [citov´ano 26.2.2009]. Dostupn´e z WWW: http://www.elsevier.nl/locate/comgeo [2] CONTI, S., MAGGI, F. Confining Thin Elastic Sheets and Folding Paper [online]. Springer-Verlag, 2007 [citov´ano 26.2.2009]. Dostupn´e z WWW: http://www.springerlink.com [3] COAD, L. Paper folding in the middle school classroom [online]. ERIC, 2006 [citov´ano 16.3.2009]. Dostupn´e z WWW: http://www.eric.ed.gov/ [4] DEMAINE, E. D. Folding and Unfolding Linkages, Paper, and Polyhedra [online]. Springer-Verlag [citov´ano 26.2.2009]. Dostupn´e z WWW: http://www.springerlink.com [5] DEMAINE, E. D., DEMAINE, M. L., LUBIW, A. Folding and Cutting Paper [online]. Springer-Verlag [citov´ano 5.3.2009]. Dostupn´e z WWW: http://www.springerlink.com [6] DEMAINE, E. D., DEMAINE, M. L. Recent Results in Computational Origami [online]. Springer-Verlag [citov´ano 5.3.2009]. Dostupn´e z WWW: http://www.springerlink.com ´ ´ A. Kˇrivky tˇret´ıho stupnˇe v rovinˇe [online]. Brno: [7] DOSTALOV A, Masarykova univerzita, 2007 [citov´ano 24.3.2010]. Dostupn´e z WWW: http://is.muni.cz/th/77653/ [8] DUREISSEIX, D. Folding Optimal Polygons from Squares [online]. In: Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 4, s. 272-280. Mathematical Association of America. [citov´ano 13.3.2009] Dostupn´e z WWW: http://proquest.umi.com/login [9] EDWARDS, B.C., SHURMAN, J. Folding Quartic Roots [online]. In: Mathematics Magazine, Vol. 74, No. 1, s. 19-25. Mathematical Association of America. [citov´ano 13.3.2009] Dostupn´e z WWW: http://www.jstor.org/stable/2691149 47

[10] FROEMKE, J., GROSSMAN, J. W. An Algebraic Approach to Some NumberTheoretic Problems Arising from Paper-Folding Regular Polygons [online]. In: The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 4, s. 289-307. Mathematical Association of America. [citov´ano 13.3.2009] Dostupn´e z WWW: http://www.jstor.org/stable/2323561 [11] FUCHS, D., TABACHNIKOV, S. More on Paperfolding [online]. In: The American Mathematical Monthly, Vol. 106, No. 1, s. 27-35. Mathematical Association of America. [citov´ano 13.3.2009] Dostupn´e z WWW: http://www.jstor.org/stable/2589583 [12] GERETSCHLAGER, R. Euclidean constructions and the Geometry of Origami [online]. In: Mathematics Magazine, Vol. 68, No. 5, s. 357-371. Mathematical Association of America. [citov´ano 20.3.2009] Dostupn´e z WWW: http://www.jstor.org/stable/2690924 [13] HILTON, P., PEDERSEN, J. Approximating Any Regular Polygon by Folding Paper [online]. In: Mathematics Magazine, Vol. 56, No. 3, s. 141-155. Mathematical Association of America. [citov´ano 13.3.2009] Dostupn´e z WWW: http://www.jstor.org/stable/2689575 [14] HOSPESOVA, A., TICHA, M. Qualified Pedagogical Reflection as a Way to Improve Mathematics Education [online]. Springer-Verlag, 2006 [citov´ano 14.3.2009]. Dostupn´e z WWW: http://www.springerlink.com [15] CHEN, K. Math in Motion: Origami Math for Students Who Are Deaf and Hard of Hearing [online]. In: Journal of Deaf Studies and Deaf Education, Vol. 11, No. 2, s. 262-266. Oxford University Press, 2005 [citov´ano 13.3.2009] Dostupn´e z WWW: http://proquest.umi.com/login [16] IDA, T., TAKAHASHI, H., MARIN, M., GHOURABI, F. Modeling Origami for Computational Construction and Beyond [online]. Springer-Verlag [citov´ano 26.2.2009]. Dostupn´e z WWW: http://www.springerlink.com ˇ A, ´ M., VOLF, I. Matematika kˇrivek [online]. [citov´ano 24.3.2010]. [17] JARESOV Dostupn´e z WWW: http://fo.cuni.cz/texty/matematika/mkrivek.pdf [18] JOHNSON, D. A. Paper Folding for the Mathematics Class [online]. National Council of Teachers of Mathematics, 1957 [citov´ano 16.3.2009]. Dostupn´e z WWW: http://www.eric.ed.gov/ ´ L. Kinematick´a geometrie [online]. [citov´ano 5.3.2010]. Dostupn´e z [19] JUKLOVA, WWW: http://kag.upol.cz/juklova/ 48

[20] JUSTIN, J. On Some Geometrical Problems of Paperfolding [online]. SpringerVerlag [citov´ano 14.3.2009]. Dostupn´e z WWW: http://www.springerlink.com [21] KOSKAS, M. About the p-paperfolding words [online]. In: Theoretical Computer Science, No. 158, s. 35-51. Universite Bordeax, 1996 [citov´ano 16.3.2009]. Dostupn´e z WWW: http://www.ams.org/mathscinet [22] LOMTATIDZE, L. Kˇrivky v antick´e geometrii [online]. [citov´ano 4.3.2010]. Dostupn´e z WWW: http://svp.muni.cz/ ´ CKA, ˇ [23] LAVI M. Syntetick´a geometrie: Pomocn´y uˇcebn´ı text k pˇredmˇetu KMA/SG. Plzeˇ n, leden 2007. ´ CKA, ˇ [24] LAVI M. KMA/G1 Geometrie 1: Pomocn´y uˇcebn´ı text. Plzeˇ n, z´aˇr´ı 2008. [25] MARTIN, G. E. Geometric Constructions. Springer - Verlag New York, Inc., 1998. ISBN 0-387-98276-0. [26] MORTON, P. Connections between binary patterns and paperfolding [online]. In: Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux, Vol. 2, No. 1. Universite Bordeax, 1990 [citov´ano 16.3.2009]. Dostupn´e z WWW: http://www.ams.org/mathscinet [27] OLSON, A. T. Mathematics Through Paper Folding. National Council of Teachers of Mathematics, Inc., Washington, D.C., 1975. Dostupn´e z WWW: http://www.eric.ed.gov/ [28] PICCIOTTO, H. Geometry of the Parabola (2D) [online]. [citov´ano 19.3.2010]. Dostupn´e z WWW: http://www.mathedpage.org/parabolas/geometry/ [29] POLSTER, B. Variations on a Theme in Paper Folding [online]. In: The American Mathematical Monthly, Vol. 111, No. 1, s. 39-47. Mathematical Association of America. [citov´ano 13.3.2009] Dostupn´e z WWW: http://www.jstor.org/stable/4145014 [30] PRITIKIN, D. Rectangular-to-Polar Folding Fans [online]. In: The College Mathematics Journal, Vol. 26, No. 4, s. 305-308. Mathematical Association of America. [citov´ano 13.3.2009] Dostupn´e z WWW: http://www.jstor.org/stable/2687033 [31] RUPP, C. A. On a Transformation by Paper Folding [online]. In: The American Mathematical Monthly, Vol. 31, No. 9, s. 432-435. Mathematical Association of America. [citov´ano 13.3.2009] Dostupn´e z WWW: http://www.jstor.org/stable/2298143 49

[32] SUNDARA ROW, T. Geometric Excercises in Paper Folding. Chicago Open Court Pub. Co, 1901. [33] Wikipedie. Otevˇren´a encyklopedie http://cs.wikipedia.org/wiki/

50

[online].

Dostupn´e

z

WWW:

Evidenˇcn´ı list Souhlas´ım s t´ım, aby moje bakal´aˇrsk´a pr´ace byla p˚ ujˇcov´ana k prezenˇcn´ımu studiu ˇ v Univerzitn´ı knihovnˇe ZCU v Plzni.

Datum:

Podpis:

Uˇzivatel stvrzuje sv´ym ˇciteln´ym podpisem, ˇze tuto bakal´aˇrskou pr´aci pouˇzil ke studijn´ım u ´ˇcel˚ um a prohlaˇsuje, ˇze ji uvede mezi pouˇzit´ymi prameny.

Jm´eno

Fakulta/katedra

Datum

Podpis