MASARYKOVA UNIVERZITA. Martina JAROŠOVÁ FIBONACCIHO ČÍSLA A JEJICH APLIKACE

MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta

Martina JAROŠOVÁ FIBONACCIHO ČÍSLA A JEJICH APLIKACE

Disertační práce

Školitel: Prof. RNDr. Ladislav SKULA, DrSc.

Brno 2010

Bibliografická identifikace Jméno a příjmení autora: Martina Jarošová Název disertační práce: Fibonacciho čísla a jejich aplikace Název disertační práce anglicky: Fibonacci Numbers and Their Applications Studijní program: Matematika Studijní obor: Obecné otázky matematiky Školitel: Prof. RNDr. Ladislav Skula, DrSc. Rok obhajoby: 2010 Klíčová slova v češtině: Fibonacciho čísla, Lucasova čísla, Zobecněná Fibonacciho čísla, Leonardo Pisánský – Fibonacci, Liber Abaci, Édouard Lucas, Zlatý řez, Řetězové zlomky, Fibonacciho čtyřúhelníky, Fibonacciho čísla a příroda, Fibonacciho a Lucasovy polynomy, Fibonacciho a Lucasovy identity. Klíčová slova v angličtině: Fibonacci Numbers, Lucas Numbers, Generalized Fibonacci Numbers, Leonardo Pisano Fibonacci, Liber Abaci, Édouard Lucas, Golden Section, Continued Fractions, Fibonacci Rectangles, Fibonacci Numbers and Nature, Fibonacci and Lucas Polynomials, Fibonacci and Lucas Identities.

c Martina Jarošová, Masarykova univerzita, 2010

Poděkování Z celého srdce děkuji svým rodičům, bratrovi, Mgr. Heleně Durnové, Ph.D., Mgr. Lence Lomtatidze, Ph.D., RNDr. Janu Vondrovi a všem přátelům za poskytovanou podporu i cenné rady. Velký dík patří také doc. RNDr. Eduardu Fuchsovi, CSc., za provedené korektury. Dále děkuji prof. RNDr. Ladislavu Skulovi, DrSc., za cenné rady a připomínky k tématu disertační práce.

Abstrakt Fibonacciho a Lucasova čísla, zlatý řez a řetězové zlomky patří k pojmům, které poutají pozornost matematiků i filozofů již několik staletí. Postupně byly vyšetřovány vlastnosti těchto objektů a zajímavé, někdy až fascinující souvislosti mezi nimi. Předložená práce si v první řadě klade za cíl nashromáždit poznatky o uvedených pojmech, srozumitelně je vyložit a poukázat na pozoruhodné souvislosti mezi nimi v ucelené podobě. Mapuje dosud vyšlé publikace a celou tematiku předkládá ve formě učebního textu, který může stejně dobře posloužit kantorům jako i zvídavým studentům, jež zaujala látka týkající se Fibonacciho a Lucasových čísel. V práci nalezneme mnoho zajímavých matematických vztahů a skutečností o Fibonacciho a Lucasových číslech, o zlatém řezu a řetězových zlomcích, navíc je práce rozšířena o historické poznámky. Text je rozdělen do šesti kapitol a je koncipován především jako pomocný materiál pro učitele. Kromě zajímavých řešených úloh zde čtenář najde celou řadu matematických, matematicko-biologických, matematicko-historických a dalších poznatků a zajímavostí, které by sám těžko vyhledával roztroušené v literatuře. V češtině vůbec poprvé se zde může seznámit s šestadvaceti původními úlohami z Liber abaci (o některých se stručně zmiňuje J. Bečvář), jejich rozborem a přepisem do dnešní matematické symboliky. Kapitoly obsahující řešené příklady jsou koncipovány tak, aby bylo možno je ihned využít ve výuce.

Abstract For centuries, Fibonacci and Lucas numbers, golden section, and continued fractions have attracted the attention of mathematicians and philosophers. Step by step, the properties of such objects have been investigated and interesting, sometimes even intriguing, relationships between them discovered. The present thesis aims to collect the known facts on these notions in the first place, expounding them in a clearly structured and comprehensive manner and pointing out remarkable relationships. It brings an overview of the books published to date presenting the whole subject as a textbook that can be used by teachers as well as by students eager to learn something more about Fibonacci and Lucas numbers. In the thesis, a number of interesting mathematical facts and relationships can be found concerning Fibonacci and Lucas numbers, golden section, and continued fractions with additional historical notes. The text is divided onto six chapters being conceived mostly as an auxiliary teaching material. In addition to interesting examples, the reader can also find many mathematical facts and peculiarities related to biology and history, which would otherwise be difficult to find in the scattered literature. The twenty-six original problems of the Liber abaci (some of them being mentioned by J. Bečvář) are published here for the first time in Czech, analyzed and transcribed using the modern mathematical symbolism. The structure of the chapters with examples makes it possible to use them directly for teaching.

Fibonacciho čísla a jejich aplikace

7

Obsah Úvod

10

1 Historické pozadí Fibonacciho a Lucasových čísel 1.1 Leonardo Pisánský – Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Édouard Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Liber abaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 13 16 17

2 Rozbor úloh z XII. kapitoly Liber abaci 2.1 Stručný úvodní přehled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Úloha o králících . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Úlohy řešené metodou chybného předpokladu, dnes pomocí lineární rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Úlohy dnes řešené s využitím lineární rovnice . . . . . . . . . 2.5 Úlohy dnes řešené pomocí aritmetické posloupnosti . . . . . 2.6 Úlohy dnes řešené s využitím geometrické posloupnosti . . . 2.7 Úlohy dnes řešené pomocí Gaussovy eliminace . . . . . . . . 2.8 Úlohy dnes řešené s využitím diofantické rovnice . . . . . . . 2.9 Úlohy důkazového typu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

34 41 45 49 53 82 85

. . . . . .

91 91 92 94 94 95 98

. . . .

99 100 104 104

3 Fibonacciho a Lucasova posloupnost v aplikacích 3.1 Definice Fibonacciho a Lucasovy posloupnosti . . . . . . . . 3.1.1 Řešení rekurentních formulí . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Fibonacciho čísla a příroda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Fibonacciho králíci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Fibonacciho čísla a včela medonosná . . . . . . . . . 3.2.3 Okvětní lístky a Fibonacciho čísla . . . . . . . . . . . 3.2.4 Fibonacciho čísla a uspořádání semen v terčích kvetoucích rostlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Fylotaxe a Fibonacciho čísla . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Abstraktní modely pro biologickou interpretaci Fib. čísel . . 3.3.1 Abstraktní modely a Fibonacciho čísla . . . . . . . .

26 . 26 . 31


3.4

3.5

3.3.2 Speciální abstraktní populační model . . . Zlatý řez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Vlastnosti zlatého řezu . . . . . . . . . . . 3.4.2 Fibonacciho čtyřúhelníky a zlatý řez . . . 3.4.3 Zlatý řez a pravidelný pětiúhelník . . . . . Zobecněná Fibonacciho čísla . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Posloupnost zobecněných Fibonacciho čísel 3.5.2 Zobecněná Fibonacciho čísla v geometrii .

8

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

4 Další aplikace Fibonacciho čísel 4.1 Řetězové zlomky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Konečné řetězové zlomky . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Nekonečné řetězové zlomky . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Model popisující spirálovité uspořádání semen, šupin a listů rostlin s využitím řetězových zlomků . . . . . . 4.2 Fibonacciho a Lucasovy polynomy . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Fibonacciho polynomy popsané Catalanem . . . . . . 4.2.2 Fibonacciho polynomy popsané Jacobsthalem . . . . 4.2.3 Lucasovy polynomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Fibonacciho čísla a teoretická informatika . . . . . . . . . . 5 Sbírka řešených příkladů 5.1 Fibonacciho a Lucasovy identity . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Fibonacciho identita v biologii . . . . . . . . . . . 5.1.2 Důkazy s využitím rekurentní formule . . . . . . . 5.1.3 Důkazy matematickou indukcí . . . . . . . . . . . 5.1.4 Důkazy s využitím Fibonacciho a Lucas. identit . 5.1.5 Aplikace Fibonacciho a Lucasových identit . . . . 5.2 Dělitelnost Fibonacciho a Lucas. čísel . . . . . . . . . . . 5.2.1 Důkazy sporem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Důkazy matematickou indukcí . . . . . . . . . . . 5.2.3 Využití Eukleidova algoritmu . . . . . . . . . . . 5.2.4 Aplikace dělitelnosti Fibonacciho a Lucas. čísel . 5.3 Základní vlastnosti čísel Φ, Φ0 , Fibonacciho a Lucasových 5.3.1 Důkazy matematickou indukcí . . . . . . . . . . . 5.3.2 Důkazy s využitím rekurentní či Binetovy formule 5.3.3 Aplikace čísel Φ, Φ0 , Fibonacciho a Lucasových . 5.4 Geometrické aplikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Řetězové zlomky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Výpočet hodnoty konečného řetězového zlomku . 5.5.2 Vyjádření racionálního čísla řetězovým zlomkem .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

110 112 112 119 128 132 132 135

143 . 143 . 143 . 149 . . . . . .

151 156 156 160 162 165

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

168 168 168 169 170 173 179 182 182 183 185 186 188 188 189 191 196 200 200 201


5.6

5.5.3 Výpočet sblížených zlomků koneč. řetěz. zlomku . 5.5.4 Sblížené zlomky nekonečného řetězového zlomku . Zobecněné Fibonacciho identity . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Důkazy matematickou indukcí . . . . . . . . . . . 5.6.2 Důkazy s využitím rekurentní či Binetovy formule 5.6.3 Některé další příklady se zobecněnými Fib. čísly .

9

. . . . . .

. . . . . .

6 Některé nerozřešené problémy z oblasti Fibonacciho čísel 6.1 Fibonacci–Wieferichova prvočísla . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Kdy je Fibonacciho číslo čtvercem? . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Stručná poznámka o prvočíselných Fibonacciho číslech . . .

. . . . . .

202 209 212 212 214 216

219 . 219 . 226 . 229

Historický přehled

230

Seznam některých užitých symbolů

233

Závěr

234

Rejstřík

235

Literatura

238

Úvod Fibonacciho čísla,I Lucasova čísla, zlatý řez a řetězové zlomky patří k pojmům, které poutají pozornost matematiků i filozofů již několik staletí. Postupně byly vyšetřovány vlastnosti těchto objektů a zajímavé, někdy až fascinující souvislosti mezi nimi. Lze o nich nalézt roztroušené informace ve vědeckých článcích (nejen matematických) i ve zcela neformálních zábavných publikacích. Tomu, že je o toto téma stále zájem, nasvědčuje i fakt, že dodnes vychází mezinárodní časopis Fibonacci Quarterly, který se zabývá právě problematikou Fibonacciho čísel, a dokonce existuje i mezinárodní organizace Fibonacci Association. Práce Fibonacciho čísla a jejich aplikace si v první řadě klade za cíl nashromáždit poznatky o uvedených pojmech, srozumitelně je vyložit a poukázat na pozoruhodné souvislosti mezi nimi v ucelené podobě. Mapuje dosud vyšlé publikace a celou tematiku předkládá ve formě učebního textu, který může stejně dobře posloužit jak kantorům, tak i zvídavým studentům, jež zaujala látka týkající se Fibonacciho a Lucasových čísel. V práci nalezneme mnoho zajímavých matematických vztahů a skutečností o Fibonacciho a Lucasových číslech, o zlatém řezu a řetězových zlomcích, a navíc je práce rozšířena o historické poznámky. Text je koncipován především jako pomocný materiál pro učitele. Může posloužit nejen jako literatura vhodná do seminářů matematiky, ale lze jej využít také jako studijní text pro vysokoškoláky, které zaujala tato problematika. Míra náročnosti je nastavena tak, aby bylo možné práci využít na středních školách s rozšířenou výukou matematiky, v seminářích matematiky, případně na školách vysokých. I

Posloupnost zadanou lineární rekurentní formulí 2. řádu: Fn+2 = Fn+1 +Fn , pro n ∈ N, přičemž F1 = 1 a F2 = 1, nazýváme posloupností Fibonacciho čísel (resp. Fibonacciho posloupností). Členy této posloupnosti se nazývají Fibonacciho čísla. Několik prvních členů Fibonacciho posloupnosti: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, . . . Přesnou definici Fibonacciho čísel naleznete na straně 92, v podkapitole Definice Fibonacciho a Lucasovy posloupnosti.


11

Práce je rozdělena do šesti kapitol. Do první kapitoly jsou zařazeny základní informace o Leonardu Pisánském a jeho nejznámějším díle Liber abaci. Dále je zde uveden stručný životopis Édouarda Lucase. Druhá kapitola obsahuje rozbory 26 úloh z Liber abaci. Úlohy jsou vybrány z nejrozsáhlejší 12. kapitoly. Rozebrané úlohy jsou pro lepší přehlednost tematicky rozčleněny do sedmi podkapitol. Zcela samostatně je zpracována proslulá úloha o králících. Následující podkapitoly podrobně rozebírají jednotlivé úlohy dnes řešené např. užitím lineární rovnice, pomocí aritmetické či geometrické posloupnosti, s využitím soustavy linerárních rovnic atd. Nejprve je uvedeno přesné znění úlohy a poté doslovné Fibonacciho řešení. Fibonacci řeší úlohy pouze úsudkem, proto bylo u složitějších úloh třeba toto řešení rozebrat matematickým jazykem dnešní doby a na závěr je úloha vždy vyřešena tak, jak bychom ji řešili dnes. Některé úlohy nepřesahují svojí náročností látku střední školy a lze je přímo využít ve výuce, jiné vyžadují např. znalost Gaussovy eliminační metody, což je vhodnější spíše do výběrového semináře či pro studenty vysoké školy. Třetí kapitola pojednává o aplikacích Fibonacciho čísel. V dnešní době je čím dál náročnější motivovat středoškolské studenty. Tato kapitola je zpracována tak, aby se snadno dalo studentům ukázat, že matematika je skutečně všude kolem nás. Proto, aby studenti nechápali vyučované předměty separovaně, je zde poukázáno na zajímavé souvislosti matematiky a biologie, architektury, umění a dalších oblastí. V této kapitole tedy ukazujeme souvislosti Fibonacciho a Lucasových čísel s jinými matematickými i nematematickými pojmy. Nejprve zde najdeme podkapitolu s definicemi Fibonacciho a Lucasových čísel. Následuje část studující souvislosti Fibonacciho čísel s přírodou. Tyto souvislosti jsou zde podrobně popsány a současně je uvedeno několik abstraktních modelů, jež popisují v přírodě nalezené skutečnosti pomocí matematického aparátu. V textu je poté uvedena podkapitola se základními vlastnostmi zlatého řezu. Následně je poukázáno na aplikace zlatého řezu v geometrii či architektuře. Uvedeny jsou zajímavé informace o zlaté spirále, zlatém obdélníku nebo o Fibonacciho čtyřúhelnících. Závěrem je zpracována podkapitola o zobecněných Fibonacciho číslech a je ukázána jejich aplikovatelnost v geometrii. Ve čtvrté kapitole věnujeme pozornost některým dalším aplikacím Fibonacciho čísel. Tato část textu je již náročnější, lze ji doporučit do výběrových seminářů nebo do škol s rozšířenou výukou matematiky. Nalezneme zde základní charakteristiky řetězových zlomků, a to jak konečných, tak nekonečných. Poté následuje podkapitola, která se zabývá Fibonacciho a Lucasovými polynomy. Dočteme se zde, jak Fibonacciho polynomy definovali matematici E. Ch. Catalan a E. Jasobsthal a mnoho zajímavých vlastností těchto polynomů. Závěrečná sekce se věnuje teoretické informatice a poukazuje, že i zde


12

lze najít Fibonacciho čísla. Pátá kapitola obsahuje sbírku řešených příkladů. Obtížnost těchto příkladů je přiměřená středoškolským znalostem a lze je tedy přímo využít ve výuce. Příklady jsou tematicky rozčleněny do šesti podkapitol. Většina těchto podkapitol je dále rozdělena z důvodu lepší přehlednosti. Podrobně je zde vypracováno 27 důkazů identit Fibonacciho a Lucasových čísel pomocí matematické indukce, přímého důkazu či důkazu sporem. Pak následuje 68 příkladů na dělitelnost Fibonacciho a Lucasových čísel, na základní vlastnosti čísel Φ a Φ0 , na zobecněné Fibonacciho identity, příklady vztahující se k tématice řetězových zlomků atd. Závěrečná šestá kapitola je již nad rámec středoškolského studia, dozvíme se zde např. o Legendreově symbolu. Nicméně jsem převědčena, že je na tomto místě vhodné poukázat, že teorie Fibonacciho čísel je mnohem složitější. V oblasti Fibonacciho čísel se vyskytovalo a stále vyskytuje mnoho obtížných problémů. Jedním z nejznámějších již vyřešených problémů byla otázka, které Fibonacciho číslo je čtvercem přirozeného čísla. Podrobné řešení např. viz [8], [9]. Dále je do kapitoly zařazena problematika Fibonacci– Wieferichových prvočísel a další poznámky o prvočíselných Fibonacciho číslech. Na konci práce je uveden stručný historický přehled nejvýznamnějších výsledků týkajících se Fibonacciho a Lucasových čísel, zlatého řezu, řetězových zlomků i výsledky související s Fibonacciho čísly a přírodou, jež jsou rozvedeny v jednotlivých kapitolách. Současně na straně 233 nalezneme seznam některých užitých symbolů.

Kapitola 1 Historické pozadí Fibonacciho a Lucasových čísel Do této kapitoly jsou zařazeny základní informace o Leonardu Pisánském (Fibonaccim) a současně je zde uveden stručný životopis Édouarda Lucase. Následně je rozebráno Fibonacciho nejznámější dílo – spis Liber abaci.

1.1

Leonardo Pisánský – Fibonacci

Leonardo Pisánský je historiky považován za nejvýznamnějšího matematika středověké Evropy. Dnes je znám matematikům a vědcům po celém světě spíše pod svojí přezdívkou Fibonacci, též Leonardo z Pisy (také Filius Bonacci, tj. syn Bonacciův). Přesné časové vymezení jeho života neznáme. Narodil se v přímořském městském státě Pisa kolem roku 1170 a zemřel tamtéž, zřejmě roku 1250.

Obr. 1.1: Leonardo Pisánský – Fibonacci


14

Jeho život spadá do doby křížových výprav, silných politických konfliktů mezi císařem Svaté říše římské Fridrichem II. I a papeži. Leonardův otec Guiliemo Bonacci byl městským úředníkem, písařem a notářem. Pracoval v Bougii, kde se Leonardo v mládí naučil matematice. Bougie byla jen malá obchodní kolonie, založená městem Pisa a umístěná na severním pobřeží Afriky, která dnes leží v Alžíru. Leonardo získal další znalosti matematiky při obchodních cestách do Egypta, Sýrie, Provence a Byzance. Utvořil si kontakty s vědci po celém středomoří. Stal se odborníkem na Eukleidovy Základy a řecké matematické metody definic, vzorců a důkazů. Naučil se od arabských vědců indické číslice, systém jejich umisťování a algoritmy pro aritmetické operace. Také si osvojil metody algebry pocházející z díla alChwárizmího.II Díky cestování a debatám s vědci se stále více zdokonaloval v matematice. Dokonce pracoval u akademického dvora Fridricha II., který vyhledával schopné vědce a učence 13. století. Leonardo se svými vědeckými znalostmi jasně viděl přednosti efektivní matematiky muslimských vědců, zejména jejich indický systém číslovek a desítkový poziční systém, jejich početní algoritmy a jejich algebru. S indickými číslovkami, které přinesli Arabové do Španělska, se Evropané začali seznamovat v 2. pol. 10. století. V Leonardově době však jejich používání stále ještě nebylo běžné. Leonardo se rozhodl napsat svoji encyklopedickou práci Liber abaci, aby přinesl Italům nejlepší matematiku tehdejšího světa v přijatelné podobě. Kolem roku 1200 se Fibonacci vrátil ze svých cest zpět do Pisy a sepsal zde několik významných matematických spisů. Leonardo žil v době před objevením knihtisku, kdy jedinou možností šíření knih bylo jejich přepisování, bohužel se tedy nedochovaly všechny jeho spisy. Fibonacci je autorem následujících matematických spisů: 1. Liber abaci (Kniha o abaku) z roku 1202, přepracována roku 1228. Z latiny do angličtiny přeložena roku 2002 L. E. Siglerem – Fibonacci’s Liber Abaci, viz [52]. 2. Practica geometriae (Praxe geometrie) vydána v roce 1221. Jedná se o příručku aplikací geometrie v zeměměřičství, ale zejména o teoretické dílo o geometrii a trigonometrii. 3. Flos (Květ) z roku 1225. Hlavním tématem práce je diskuse o kořenu jedné kubické rovnice s celočíselnými koeficienty. I

Fridrich II. Štaufský (1194–1250), římský císař, král německý, sicilský a titulární jeruzalémský. Císařem Svaté říše římské v letech 1220–1250. II Abu Abdalah Muhammad Ibn Músa Al-Chvárizmí; arabský matematik a astronom, žil zřejmě v letech 780–850.


15

4. Epistola suprascripti Leonardi ad Magistrum Theodorum phylosophum domini Imperatoris (Dopis podepsaného Leonarda Mistru Theodorovi, císařskému filozofovi), nedatováno. Dopis je věnován soustavám lineárních rovnic. 5. Liber quadratorum (Kniha čtverců) vydána v roce 1225. Obsahuje úlohy na neurčité kvadratické rovniceIII a jejich soustavy, které jsou řešeny v oboru racionálních čísel. V této knize Fibonacci nejvíce prokázal své matematické umění. Práce se může směle zařadit mezi díla Diofanta a spisy Pierra Fermata o teorii čísel. Představuje Leonardovu schopnost tvůrčího matematika. Nezachovala se bohužel Fibonacciho kniha o obchodní aritmetice a jeho traktát o iracionalitách. Fibonacci zprostředkoval přenos arabské vědy, shromáždil a uspořádal obrovské množství poznatků, postupů i úloh, čímž přispěl k rozvoji matematického myšlení v Evropě. Jeho přístup k matematice byl originální a tvůrčí.

Obr. 1.2: Fibonacciho socha (od italského umělce Giovanniho Paganucciho) III

Obr. 1.3: Socha Leonarda Pisánského, která je umístěna v Pise, v Itálii

Neurčitá kvadratická rovnice je rovnice tvaru Ax2 +Bx+C = y 2 , kde x, y jsou neznámé a A, B, C jsou daná celá čísla.


1.2

16

Édouard Lucas

Francouzský matematik Francois Édouard Anatole Lucas se narodil roku 1842 v Amiensu a zemřel roku 1891 v Paříži. Je znám především svými výsledky z teorie čísel.

Obr. 1.4: Édouard Lucas Vystudoval École Normale v Amiensu a pracoval na pařížské observatoři. Během prusko-francouzské války (1870–71) sloužil jako důstojník u dělostřelectva. Po válce se stal profesorem matematiky na lyceu v Paříži. Lucas je dále znám pro své studium Fibonacciho posloupnosti. Je po něm pojmenována Lucasova posloupnost. Odvodil známou formuli pro n-té Fibonacciho číslo (viz str. 116). Je rovněž autorem dodnes používané metody, jak otestovat, zda dané přirozené číslo je prvočíslem. V roce 1876 pomocí této metody dokázal, že Mersennovo číslo M127 = 2127 − 1 je prvočíslo.IV Lucasův test pak ještě vylepšil v roce 1930 americký matematik D. H. Lehmer. Zabýval se i rekreační matematikou. V letech 1882–84 pod pseudonymem M. ClausV sepsal známou čtyřdílnou knihu matematických a logických her Récréations mathématiques, z nichž nejznámější je problém Hanojských věží.VI IV

Mersennovo prvočíslo Mp je takové prvočíslo, které je o jedničku menší než celočíselná mocnina dvojky, tzn. tvaru Mp = 2p − 1, kde p je prvočíslo. Pojmenováno po francouzském fyzikovi a matematikovi Marinu Mersennovi (1588–1648). V Až v roce 1894 publikoval H. de Parville článek v časopise La Natur, v němž uvedl, že „Clausÿ je anagram, který užil právě Édouard „Lucasÿ. VI Hlavolam tvoří tři vertikální tyčky, na nichž je navlečeno n kruhových disků s otvory uprostřed. Tyto disky mají navzájem různé poloměry a jsou poskládány do věže tak, že


17

Lucas zemřel následkem podivné nehody na jednom banketu. Střep z rozbitého talíře mu zde pořezal tvář. O několik dní později, ve věku pouhých 49 let, umírá na otravu krve.

1.3

Liber abaci

Spis Liber abaci (Kniha o abaku) může mít pro někoho poněkud matoucí název, poněvadž nepopisuje počítání na abaku, nýbrž uvádí velké množství početních metod aritmetiky, algebry a teorie čísel a řadu demonstrujících příkladů. Obsahuje 15 kapitol na 459 stranách. Liber abaci se poprvé objevila v roce 1202 a poté její druhá verze v roce 1228. Leonardovým záměrem bylo představit indický početní systém italskému lidu. Nicméně Liber abaci je mnohem víc než jenom úvod do indického početního systému a algoritmů s ním pracujících. Liber abaci je encyklopedická práce obsahující většinu matematiky počátku 13. století. Toto dílo však neobsahuje jen teoretické poznatky, ale především zpracovává řadu praktických úloh. Metodami použitými v Liber abaci se Leonardo pevně sžívá s důkazy pomocí eukleidovské geometrie. Spis se čte obtížně, protože obsahuje málo moderního matematického značení, to však nijak nesnižuje kvalitu práce. Liber abaci byla výborným matematickým dílem v době sepsání a je jím i dnes. Liber abaci je opravdová matematická práce zabývající se aritmetikou a aplikovanou matematikou. Ve druhém rozšířeném vydání této knihy se ve dvanácté kapitole poprvé objevila zajímavá úloha o králících, jejímž řešením je posloupnost, kterou Édouard Lucas ve 2. pol. 19. století poprvé nazval Fibonacciho posloupností. Liber abaci ve své době inspirovala mnoho matematiků a svou rozmanitostí a úplností překonala úroveň ostatních matematických spisů 12.−14. století. Liber abaci je tedy jednou z nejdůležitějších knih o matematice ve středověku. Měla obrovský vliv na rozšíření indického početního systému a metod algebry v celé Evropě. Kniha Fibonacci’s Liber abaci [52] je první překlad latinského rukopisu Liber abaci do moderního jazyka. Předpokládá se, že tento překlad zpřístupní Fibonacciho spis historikům, matematikům a široké veřejnosti a přispěje k jejich znalostem této části kulturního dědictví. Anglický překlad [52] byl proveden z latinského přepisu Baldasarra BoncompagnihoVII z roku 1857. Latinské vydání obsahuje mnoho tiskových chyb (zejména v cifrách) a samo poznamenává několik chyb, aniž by byly (očipoloměr každého disku je větší než poloměr kteréhokoliv disku nad ním. Hlavolam spočívá v tom, přenést věž na jinou tyčku tak, že v každém kroku lze přenést pouze jeden disk z jedné tyčky na druhou a nikdy přitom nesmí být položen větší disk na menší. VII Baldasarre Boncompagni (1821–1894), italský matematik a historik matematiky.


18

vidně) opraveny. Naštěstí se z kontextu dají vždy odvodit správné hodnoty. Při překladu této knihy byl kladen důraz na dodržení latinského textu s použitím maxima doslovných překladů. V Evropě existuje mnoho přepisů Liber abaci, jež zkoumal Boncompagnis při přípravě jeho konečné verze. Boncompagniho text je tedy kompletní a jednoznačný. Výpočty se lidstvo zabývalo již od antických časů. Postupně byly usnadňovány mnoha různými mechanismy, ze kterých byla za řeckých a římských časů vyvinuta počítadla. Nejznámější podoba se skládá z dřevěného rámu vypleteného dráty, na kterých jsou namontovány korálky na počítání. Efektivita tohoto počítadla je prokázána jeho přežitím až do současnosti, kdy je stále používáno v některých částech světa. Dřívější formy počítadla se skládaly z dřevěných nebo mramorových desek, do kterých byly vyrývány čáry. Na těchto čarách bylo pohybováno malými počítadly z kamene. Jiná podoba využívala prášek nasypaný na desce, do kterého se dělaly značky pomocí prstu. Během 17. století Blaise Pascal a Gottfried Leibniz navrhli mechanické počítací stroje. Dnes nám se složitými výpočty pomáhají elektronické kalkulátory a počítače, které zastupují funkci počítadla. Římské číslovky a ostatní podobné systémy psaní čísel neusnadňovaly výpočty. Výpočty se prováděly pomocí počítadla a výsledky byly zapsány v římských číslovkách. Indové a Arabové používali psané číslovky a systém jejich řazení tak, že pro základní operace nebylo potřeba používat počítadlo. Indické číslovky s jejich pravidly řazení jsou používány jak pro výpočet, tak pro zapsání výsledku. Těmito postupy se studenti učí ve škole sčítat, násobit, odečítat a dělit pomocí tužky a papíru. Ve středověké Evropě se tyto nové psané procedury označovaly jako algoritmy pro odlišení od počítání s počítadlem. Leonardo vysvětluje tyto postupy právě v knize Liber abaci. Tyto psané postupy výpočtů, algebry a užité matematiky byly označovány ve středověku v Itálii jako abaco. Na tomto místě je důležité podotknout, že ačkoli slovo abaci je odvozeno od slova abacus (počítadlo), paradoxem zůstává, že se ve 13. století počítalo bez počítadla. Tudíž Liber abaci by se nemělo předkládat jako Kniha o počítadle, nýbrž jako Kniha o počítání. Maestro d’abbaco byla osoba, která počítala přímo s indickými číslovkami bez použití počítadla a abaco je název disciplíny, která se tímto zabývala. Název knihy pochází tedy zřejmě z tohoto termínu, viz [52]. Leonardův záměr byl nahradit římské číslovky číslovkami indickými nejen mezi vědci, ale i v obchodování a mezi všemi lidmi. Tento cíl splnil víc, než se mu kdy snilo. Italští obchodníci rozšířili metody této nové matematiky po celém středomoří. Přibližně po tři staletí se učivo, založené na Leonardově Liber abaci, vyučovalo na toskánských školách, které navštěvovali chlapci, jenž se chtěli stát obchodníky, i všichni ostatní, kteří se chtěli naučit matematiku. Ostatní uči-


19

telé a někteří velmi dobří matematikové také psali učebnice o počítání. Byly to primitivní příručky, ale i velmi kvalitní učebnice. Avšak žádná z nich nebyla tak komplexní jako Liber abaci od Leonarda Pisanského. Liber abaci je působivé dílo, zahrnující aritmetiku, algebru a aplikovanou matematiku, založenou na teoretických základech eukleidovské matematiky. Základní metody jsou založeny na použití geometrické algebry z druhé knihy Základů. V knize Liber abaci jsou obsaženy nejen metody získané z arabského světa, ale i Leonardovy vlastní nápady. Leonardo také zahrnuje zcela běžné středověké nealgebraické metody pro řešení problému a zároveň jim dává matematickou správnost pomocí svých důkazů. Kromě vysvětlení všech nezbytných aritmetických a algebraických metod Leonardo zmiňuje v Liber abaci i mnoho situací z každodenního života, ve kterých lze aplikovat matematiku, např. obchodování, přepočet měn, vah a obsahů, obchodní transakce a výpočet zisků, investic či úroků. Tyto obchodní problémy nám podávájí cenný vhled do středověkého světa. Také uvádí mnoho příkladů, které ukazují krásu jeho matematiky a tyto příklady poté dokládá důvtipným řešením. Předmluva k Liber abaci V předmluvě k Liber abaci Leonardo uvádí, jak se zdokonaloval v matematice indického početního systému během svých cest a studií a též zmiňuje své přání vnést svým dílem tento matematický systém mezi italský lid. Zdůrazňuje, že předložené důkazy těchto metod jsou založeny na eukleidovských principech. Připomíná čtenáři nutnost studování a procvičování jeho metod pro osvojení si těchto znalostí. Na začátku Leonardovy knihy najdeme přehled kapitol, ten je poté připomenut vždy na začátku každé kapitoly, kde je též uveden další detailní popis.VIII 1. kapitola Liber abaci V první kapitole seznamuje čtenáře s deseti číslovkami indického početního systému včetně nuly, kterou nazývá zephir (z arabštiny, čti [zefir]). Systém řazení číslovek je popsán tak, že jakékoliv číslo lze zapsat pouze těmito deseti číslovkami. V tomto systému, dnes známém jako desítková poziční soustava, číslice úplně vpravo udává počet jednotek, číslice druhá zprava udává počet desítek, třetí číslice reprezentuje počet stovek atd. Zephir, nula, nevyjadřuje žádný počet a slouží jako zástupný symbol. Velká čísla jsou organizována do VIII

Další zajímavé informace např. viz [2].


20

Obr. 1.5: Úryvek z Liber abaci trojic pro usnadnění jejich čtení. Z dnešního pohledu, kdy jsme zvyklí na desítkový systém a algoritmy pro sčítání a další operace, je snadné přehlédnout, že pro Evropu 13. století byla tato kniha naprosto revoluční. Leonardo nahradil psané číslice systémem snadno zapamatovatelných čísel představovaných různými pozicemi prstů na rukách. Když Leonardo řekl, že číslo se drží v ruce, myslel to doslova. Tento středověký systém uchování číslic v rukách byl velmi rozšířen, ale dnes se již téměř upustilo od jeho používání. Toto „držení číslic v rukáchÿ umožnilo člověku provádět výpočty efektivněji a zároveň se ušetřilo psaní. 2. kapitola Liber abaci Ve druhé kapitole je představen algoritmus pro násobení dvoumístných čísel dvoumístnými čísly a jednomístných čísel čísly vícemístnými. Algoritmus násobení, sčítání, odečítání a dělení se liší od těch, které používáme dnes, protože je zcela zbytečné dbát na umístění čísel přesně za sebou, nad sebou nebo vedle sebe tak, jak jsme se to učili na základní škole. Leonardo postupně představuje náročné výpočetní situace, jako např. násobení třímístných čísel třímístnými čísly a dvoumístných čísel čísly třímístnými. To je následováno násobením čtyřmístných čísel dvou-, tří- i čtyřmístnými čísly. Následně uvádí násobení pětimístných čísel. Mocniny desítek jsou


21

zde využívány k popisu systému řazení číslic. Dále uvádí, jak použít „ruční paměťÿ pro usnadnění násobení dvoumístných čísel. Závěrem je v této kapitole zmíněno násobení jakkoli velkých čísel mezi sebou. 3. kapitola Liber abaci Ve třetí kapitole Leonardo předkládá algoritmus pro sčítání celých čísel s libovolně velkými čísly. Vysvětluje středověký systém nazývaný šachovnicové násobení. Vysvětluje princip sčítání po sloupcích a také postup vedení výdajů pomocí tabulky se sloupci pro libryIX , solidyX či denáry.XI 4. kapitola Liber abaci Ve čtvrté kapitole je vysvětleno odečítání celých čísel. 5. kapitola Liber abaci V páté kapitole je popisováno dělení malých čísel a jednoduché zlomky. Kromě obecných zlomků, jak je známe dnes, Leonardo vymyslel speciální tvar, tzv. složené zlomky. Jsou to součty zlomků zapsané v kompaktní formě, ve které po sobě jdoucí zlomky mají jmenovatele, jež jsou násobky předchozích jmenovatelů. Např. složený zlomek 1 2 4 2 3 5

znamená

1 2 4 + + , 2·3·5 3·5 5

což se rovná 29 . Dále je uveden dělicí algoritmus. Následuje dělení dvoumíst30 nými prvočísly. Také je zmiňováno rozkládání složených čísel. Používá také tzv. skládací pravidlo pro dělení čísel. Rozkladu čísla dělením může být dosaženo postupným rozložením na dělitele. Představení složených zlomků je úzce spojeno se základní větou aritmetiky, což je jednoznačné (ovšem až na pořadí) rozložení jakéhokoli celého čísla na prvočinitele. Takovéto rozložení Leonardo označuje jako skládací pravidlo. Také uvádí skládací pravidlo pro dělitele, jako jsou 10, 20, 12 a další čísla, pro využití v běžných situacích, jež jsou založeny na měřeních. Takováto rozložení ovšem samozřejmě nejsou typickým rozkladem na prvočísla, ale jsou od nich odvozena. IX

Libra – jednotka hmotnosti (0,3–0,6 kg) i peněžní jednotka, užívaná od starověku. Solidus – zlatá mince, zavedená císařem Konstantinem okolo r. 312. Z římské libry bylo raženo 72 solidů, solidus měl tedy váhu 4,55 g. Udržel se až do konce trvání byzantské říše. XI Denár (denarius) – stříbrná římská mince. Nepočítaly se, ale vážily se na římskou libru (327,4 g). Později byly měděné, jen postříbřené. X


22

Složené zlomky, jež Leonardo používá, zahrnují i tzv. desítkové zlomky.XII Např. desetinné číslo 28, 242 953 648 1, zmíněné v kapitole 12, je vyjádřeno Leonardem jako složený zlomek 1 8 4 6 3 5 9 2 4 2 28. XIII 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 6. kapitola Liber abaci V šesté kapitole se zabývá Leonardo složenými čísly, nebo-li celými čísly s jednoduchými zlomky. Tyto procesy zahrnují převod složených čísel na nepravé zlomky, provádění výpočtů a následné převádění výsledků zpět do tvaru složeného čísla. Výsledky jsou obvykle vyjadřovány jako složené zlomky. Dále Leonardo představuje početní operace se zlomky. 7. kapitola Liber abaci V sedmé kapitole jsou procvičovány operace se sčítáním, odečítáním a dělením celých čísel se zlomky. Fibonacci také převáděl zlomky na společného jmenovatele. Následuje sčítání, odečítání a dělení jednoho zlomku druhým. Dále je zmiňováno dělení celých čísel složenými čísly a obráceně. Sčítání, odečítání a dělení zlomků složenými čísly je zmíněno také. Leonardo poté uvádí rozklad zlomků do součtů jednotlivých zlomků, tzn. že jakýkoliv zlomek může být zapsán jako součet zlomků s jednotkovými čitateli. Toto téma je popsáno podle egyptských zvyků, a proto se nazývájí egyptské zlomky. Jsou to tedy zlomky typu n1 , které dnes nazýváme kmenové zlomky. 8. kapitola Liber abaci V osmé kapitole můžeme najít příklady o obchodování založené na metodě „trojčlenkyÿ. Zde Leonardo uvádí mnoho jednoduchých obchodních transakcí řešených pomocí „trojčlenkyÿ. Jsou zde uvedeny příklady typu: Pokud 2 libry ječmene stojí 5 solidů, kolik bude stát 7 liber ječmene? Leonardo uspořádává tyto příklady do jednoduchých diagramů. Z těchto příkladů se dozvídáme cenné informace o váhovém a peněžním systému, používaném ve 13. století, stejně tak jako o zboží, které se tehdy prodávalo či nakupovalo. Příklady Leonardo čerpá z celého středozemí. XII

V podstatě odpovídají desetinným číslům s ukončeným rozvojem. Uvědomme si, že Fibonacciho zápis se čte zprava doleva. Možná inspirace arabským světem? XIII


23

9. kapitola Liber abaci Devátá kapitola se zaměřuje na znalosti obchodního vyjednávání, jež byly nastíněny v předchozí kapitole. Toto zahrnuje i výměnný obchod, kdy je zboží přiřazena určitá peněžní hodnota. Pro řešení se užívají metody diagramů a „trojčlenekÿ, zmíněné dříve. 10. kapitola Liber abaci Investice a zisky jsou tématem desáté kapitoly. K řešení se používá opět „trojčlenkaÿ. Leonardo uvádí základní princip, podle kterého se dělí zisky mezi držitele podílů (dnešních akcií) na základě velikosti jejich investic. Z uvedených příkladů lze získat cenné informace o obchodování ve 13. století. 11. kapitola Liber abaci V jedenácté kapitole Leonardo uvádí postup slévání mincí obsahujících stříbro a měď v přesně daném poměru. Řešení je opět za pomoci „trojčlenkyÿ. Neurčité lineární rovnice mají většinou více než jedno řešení. Leonardo uvádí příklady s jednou, dvěma i více mincemi a následně další příklady řešené stejným postupem, např. míchání zlata, masa, obilí . . . 12. kapitola Liber abaci Dvanáctá kapitola se zabývá metodou chybného předpokladu. Pro řešení se užívá jedné nebo více lineárních rovnic s jednou nebo více neznámými. Metoda chybného předpokladu pracuje s vytvářením odhadů. Tyto jsou dále zpřesňovány a opravovány tak, abychom získali pravdivá řešení. Metoda jednoduchého chybného předpokladu řeší příklady podobné lineárním rovnicím typu Ax = B, kde A, B jsou konstanty. Metoda dvojitého chybného předpokladu řeší rovnice typu Ax + B = C, kde A, B, C jsou konstanty. Mimo těchto metod používá Leonardo k řešení také přímou metodu, při níž se hledané číslo označuje jako „věcÿ a vytváří se rovnice obsahující tuto „věcÿ. Rovnice se nezapisuje symboly, jako to děláme dnes, ale slovně ve větách. Rovnice je nakonec vyřešena krok po kroku. Samozřejmě to není algebra, jak ji známe dnes. Současně však byla popsána al-Chwárizmím v jeho knize algebry. Dále ve dvanácté kapitole nalézáme různé úlohy na stanovení součtu prvních n členů aritmetické nebo geometrické posloupnosti. Dále problémy o cestovatelích, které nejsou příliš realistické. Potom mnoho příkladů, při jejichž řešení využíváme zejména „trojčlenkuÿ či metodu jednoduchého chybného


24

předpokladu nebo další postupy. Nápaditá povaha těchto příkladů jistě zaujme čtenáře a podpoří jeho zájem o matematiku. Mimo jiné je zde uveden příklad o mužích majících denáry. Jeden dá určitý počet denárů druhému, či druhým a ze zadaného počtu nebo poměru můžeme vypočítat, kolik měli muži před obdarováním na začátku. Jiným typem jsou příkady typu „nález peněženkyÿ. Muži mající denáry našli peněženku nebo peněženky s určitým počtem denárů. Jsou zadány nějaké další podmínky a máme zjistit, kolik denárů má ten který muž či kolik denárů bylo v nalezené peněžence. Podobným prezentovaným problémem je ten, ve kterém jistí muži mající denáry přemýšlí o koupi koně za jistých podmínek. Z těchto popsaných podmínek musíme určit, kolik denárů vlastní jednotliví muži a jaká je cena koně. U většiny uvedených příkladů je výsledkem kladné celé číslo, avšak jsou zde i příklady, jejichž výsledek je záporný, Leonardem označovaný jako dluh. Takovéto rovnice se v dnešní době nazývají diofantické, ačkoliv ve skutečnosti Diofantos používal i zlomky, zatímco Leonardo hledal celá čísla pro řešení těchto příkladů. Leonardo poměrně často používá záporná čísla v Liber abaci. Je důležité zdůraznit, že Leonardo byl velmi talentovaný v počítání se zápornými čísly, stejně tak jako s racionálními čísly. Navíc Leonardo uvádí pravidla a důkazy pro sčítání a násobení kladných a záporných čísel. Dále jsou uvedeny zajímavé příklady o obchodnících a o jejich periodických ziscích a výdajích, výpočty zisků z investic, pracovní zisky a výdaje atd. Všechny tyto příklady dokládají důmyslnost autora a patří mezi „tradičníÿ v matematice. Nejznámější je snad úloha o králících, která je zadána rekurentně a tvoří Fibonacciho posloupnost. Dále je zde uvedeno několik „příkladů na odhadÿ, jak je Leonardo nazývá. Zahrnují zejména odhalení neznámého čísla – jistá osoba nám řekne, ať si myslíme číslo. Přikáže nám s ním provést několik početních operací, a pak se nás zeptá na výsledek. Poté tato osoba odhalí ono neznámé námi myšlené číslo. 13. kapitola Liber abaci Ve třinácté kapitole používá Leonardo „elchataymÿ (metodu dvojitého chybného předpokladu), jež neřeší pouze rovnice typu Ax = B, ale i mnohem složitější příklady a rovnice typu Ax + B = C, kde A, B, C jsou konstanty. Leonardo používá v této kapitole k řešení více složitých lineárních rovnic několik „elchataymÿ. Získává tím více neznámých, v dnešní době by se jednalo o řešení soustavy lineárních rovnic. Leonardo většinou předkládá nejjednodušší řešení úlohy. Je si dobře vědom, že některé příklady mají více řešení. Některé příklady s penězi, pracovníky, obchodníky se zisky a výdaji či nákupem koní dokonce nemají celočíselné řešení.


25

14. kapitola Liber abaci Ve čtrnácté kapitole předkládá Leonardo postupy pro výpočty s odmocninami. Používá přitom poznatky z desáté knihy Eukleidových Základů pro sčítání, odečítání rozdílných odmocnin, zejména druhých odmocnin. Předkládá výsledky operací s druhými odmocninami a zjednodušení těchto výrazů. Ačkoliv pracuje i s vyššími odmocninami než druhou odmocninou, neuvádí oproti poznatkům ze Základů nic nového. 15. kapitola Liber abaci Patnáctá kapitola obsahuje zopakování metody „trojčlenkyÿ a sbírku základních geometrických příkladů. Uvádí Pythagorovu větu a jednoduché výpočty ploch a objemů. Znovu připomíná algebru, nyní však nikoliv pro lineární, ale pro kvadratické rovnice. Podání této látky se opravdu jen mírně liší od podání al-Chwárizmího, toto však není plagiátorství, nýbrž snaha ukázat a zachovat respekt k dřívějším dílům. Pro řešení kvadratických rovnic používá Leonardo techniku doplňování na čtverec. Většinou je uvedeno pouze kladné řešení, avšak Leonardo si je dobře vědom, že existují dvě řešení, viz [52].

Kapitola 2 Rozbor úloh z XII. kapitoly Liber abaci V této kapitole rozebereme několik úloh z Fibonacciho spisu Liber abaci. Úlohy jsou vybírány z dvanácté nejrozsáhlejší a vzhledem k tematice Fibonacciho čísel nejvýznačnější kapitoly Liber abaci. Vyskytuje se v ní proslulá úloha o králících. Úlohy jsou přeloženy z anglického překladu L. E. Siglera – Fibonacci’s Liber Abaci, viz [52]. Ukážeme zde, jak Fibonacci řešil úlohy pomocí matematických prostředků své doby. Jeho řešení jsou pouze úsudková, téměř bez využití jakéhokoliv matematického značení. Rozebrané úlohy jsou pro lepší přehlednost tematicky rozčleněny do sedmi podkapitol. Zcela samostatně je zpracována úloha o králících, jejímž řešením je posloupnost, kterou dnes nazýváme Fibonacciho posloupností. Další podkapitoly podrobně rozebírají jednotlivé úlohy dnes řešené např. užitím lineární rovnice, pomocí aritmetické či geometrické posloupnosti, s využitím soustavy lineárních rovnic atd. Nejprve je uvedeno přesné znění úlohy a poté doslovné Fibonacciho úsudkové řešení úlohy. Poté většinou následuje rozbor tohoto úsudkového řešení pomocí matematických prostředků dnešní doby a závěrem je vždy úloha vyřešena současným matematickým aparátem. Úlohy většinou nepřesahují svojí náročností středoškolskou látku a lze je přímo využít ve výuce.

2.1

Stručný úvodní přehled

Jak již bylo předesláno, tato kapitola se zabývá rozbory úloh z Fibonacciho spisu Liber abaci. Úlohy jsou vybírány z 12. kapitoly, která se dále dělí na devět tematických částí. Nyní stručně popíšeme tyto části a u každé uvedeme několik typických úloh.


27

První část XII. kapitoly Liber abaci V první části dvanácté kapitoly se nacházejí mimo jiné různé úlohy na stanovení součtu prvních n členů aritmetické posloupnosti. Nalézáme zde problémy o cestovatelích, které ovšem nejsou příliš realistické. • Úloha o dvou cestovatelích, přičemž jeden následuje druhého se zvyšující se rychlostí. (str. 45) • Úloha o dvou cestovatelích, přičemž jeden následuje druhého po lichém počtu mil. (str. 47) • Úloha o dvou cestovatelích, přičemž jeden následuje druhého po sudém počtu mil. (str. 48) Druhá část XII. kapitoly Liber abaci V druhé části dvanácté kapitoly věnoval Fibonacci pozornost práci se zlomky a smíšenými čísly. • Úloha o nalezení dvou čísel, přičemž hého čísla. (str. 82)

2 7

• Úloha o třech číslech, pro která platí, že čísla a 49 třetího čísla. (str. 54)

jednoho čísla se rovnají 2 5

prvního čísla jsou

• Úloha na stejné téma, o třech číslech. (str. 55) (Hledáme opět tři čísla, přičemž 13 prvního čísla se rovná čísla a 15 druhého čísla se rovná 16 třetího čísla.)

3 8

dru-

3 7

druhého

1 4

druhého

Třetí část XII. kapitoly Liber abaci Třetí část této kapitoly se zabývá problematikou lineárních rovnic. Nalezneme zde úlohy zjišťující celkovou délku stromu za jistých podmínek a další podobné problémy, které Fibonacci většinou řeší tzv. metodou chybného předpokladu. • Úloha o stromu, pro který platí, že pokud odečteme 21. (str. 34) • Úloha o stromu nebo čísle, pro které platí, že 33 plus výšce tohoto stromu. (str. 36) I II

Fibonacci takto označoval součet zlomků, tedy 41 13 = Označení součtu zlomků, tedy 45 43 = 45 + 34 = 31 20 .

1 4

4 3 II 54

+

1 3

=

11 I , 43

zůstane nám

z něj odpovídá číslu 7 12 .


28

• Úloha o hledání délky života mladého muže. (str. 37) • Úloha o lvu v jámě. (str. 39) • Úloha o lvu, leopardovi a medvědovi. (str. 41) Čtvrtá část XII. kapitoly Liber abaci Čtvrtá část je věnována výpočtu majetku jistých osob a současně hledání obnosu denárů v nalezených peněženkách. Nalezneme zde většinou úlohy typu „nález peněženkyÿ. • Úloha o třech mužích a nalezené peněžence. (str. 66) • Úloha o peněžence nalezené čtyřmi muži. (str. 70) Pátá část XII. kapitoly Liber abaci Pátá část dvanácté kapitoly se zabývá úlohami na téma – „nákup koníÿ. Řešení úloh vede na lineární rovnici nebo na soustavu lineárních rovnic. Prezentovaným problémem je, že jistí muži mající denáry přemýšlí o koupi koně za jistých podmínek. Z těchto popsaných podmínek musíme určit, kolik denárů vlastní jedonotliví muži a jaká je cena koně. • Úloha o dvou mužích a dvou koních. (str. 83) • Úloha o třech mužích a stejném počtu koní. (str. 76) Šestá část XII. kapitoly Liber abaci V této části nalezneme mimo jiné úlohy o cestovatelích, kteří podnikají obchodní cesty, na nichž znásobují své jmění a současně utrácejí nějaké denáry. Úlohy většinou směřují k řešení lineární rovnice. • Úloha o cestovateli. (str. 42) • Úloha o cestovateli a čtyřech obchodních cestách. (str. 44) Sedmá část XII. kapitoly Liber abaci V této části nalezneme snad nejznámější úlohu o králících, která je zadána rekurentně a tvoří Fibonacciho posloupnost. Dále je zde uvedeno několik úloh o mužích majících denáry směřujících na soustavu lineárních rovnic. • Kolik párů králíků zplodí jeden pár za jeden rok? (str. 31)


29

• Úloha o čtyřech mužích s denáry. (str. 57) • Úloha o pěti mužích s denáry. (str. 59) • Úloha o muži vlastnícím tři vázy. (str. 63) Osmá část XII. kapitoly Liber abaci V osmé části dvanácté kapitoly nalezneme úlohy zabývající se především problémy odhadu, jak je Leonardo nazývá. Zahrnují zejména odhalení neznámého čísla, tzn. když si někdo myslí číslo, provede s ním několik zadaných početních operací, sdělí nám výsledek a závěrem máme určit původní myšlené číslo. • Úloha o uhádnutí myšleného čísla. (str. 85) • Úloha o dělení jakéhokoliv čísla na dvě libovolné části. (str. 88) Devátá část XII. kapitoly Liber abaci V této části nalezneme mimo jiné úlohy na stanovení součtu prvních n členů geometrické posloupnosti. • Sedm starých mužů jede do Říma. (str. 49) • Úloha o stromu se 100 větvemi. (str. 51) • Úloha o osmnáctileté investici. (str. 52) Jednotlivé úlohy Fibonacci řadí od jednodušších, po složitější. Úlohy řeší úsudkově, téměř bez využití moderního matematického značení, podrobněji viz řešené úlohy v následujícím textu. Poznamenejme, že o některých Fibonacciho výsledcích z Liber abaci, Liber quadratorum, ze spisu Flos a Practica geometriae se lze dočíst v [2]. Rozdělení úloh pro tuto práci Pro naše potřeby jsou úlohy uspořádány do těchto tematických celků, aby se snadněji daly využít přímo ve výuce: • Úloha o králících. • Úlohy řešené metodou chybného předpokladu, dnes pomocí lineární rovnice.


30

• Úlohy dnes řešené s využitím lineární rovnice. • Úlohy dnes řešené pomocí aritmetické posloupnosti. • Úlohy dnes řešené s využitím geometrické posloupnosti. • Úlohy dnes řešené pomocí Gaussovy eliminace. • Úlohy dnes řešené s využitím diofantické rovnice. • Úlohy důkazového typu. Úlohy jsou samozřejmě uspořádány od jednodušších po složitější. Většina uvedených úloh je vhodná pro středoškolské studenty. Obtížnější úlohy, které lze využít pro nadanější studenty, případně pro vysokoškoláky, jsou označeny hvězdičkou (F). Zcela samostaně je zpracována úloha o králících, pro svoji výjimečnost. Text je tedy věnován rozvoji matematického myšlení a vzdělávání. Je určen středoškolským i vysokoškolským učitelům a studentům a všem zájemcům o matematiku.


2.2

31

Úloha o králících

Úloha 1. Kolik párů králíků zplodí jeden pár za jeden rok? Jistý muž vlastnil jeden pár králíků. Tyto králíky umístil do uzavřené ohrady. Jeho přáním bylo zjistit, kolik párů králíků zplodí tento jeden pár za jeden rok. Přičemž králíci jsou schopni pářit se ve věku jednoho měsíce a na konci druhého měsíce může samice porodit nový pár králíků. Fibonacciho řešení úsudkem Protože původní pár králíků je právě jeden měsíc na světě, na konci prvního měsíce samice porodí nový pár králíků, tedy zdvojnásobí počet králíků v ohradě. Na konci prvního měsíce máme v ohradě dva páry králíků. Z nich jeden pár, a to ten první (původní) zplodí další pár králíků, tedy na konci druhého měsíce máme v ohradě 3 páry králíků. Z těchto tří párů jsou dva páry schopny se dále pářit. Tedy na konci třetího měsíce se narodí další dva páry králíků. V ohradě je na konci třetího měsíce 5 párů. Z těchto pěti párů králíků jsou tři páry schopny reprodukce. Pak na konci čtvrtého měsíce máme v ohradě 8 párů králíků. Z nich je 5 párů schopno reprodukce, a proto na konci pátého měsíce k osmi původním párům přičteme těchto 5 nově narozených, což činí 13 párů králíků na konci pátého měsíce. Těchto nových 5 párů v dalším měsíci ještě nemůže mít potomky, ale oněch 8 původních párů ano. Tedy na konci šestého měsíce v ohradě nalézáme 21 párů králíků. K nim poté přičteme 13 párů králíků, kteří se narodí v dalším měsíci. Pak na konci sedmého měsíce je v ohradě 34 párů králíků. K těmto 34 párům přičteme 21 párů, které se narodí v osmém měsíci. Pak bude na konci osmého měsíce v ohradě 55 párů králíků. Poté k nim přičteme 34 párů, které se narodí v devátém měsíci a celkem tedy na konci devátého měsíce máme v ohradě 89 párů králíků. Opět přičteme králíky, jež se narodí v dalším měsíci, tentokráte 55 párů a poté v ohradě na konci desátého měsíce napočítáme 144 párů králíků. A opět k nim přičteme králíky, kteří se narodí v jedenáctém měsíci, tedy 89 párů králíků. Pak je v ohradě na konci jedenáctého měsíce 233 párů králíků. K těmto králíkům pak přičteme králíky, kteří se narodí ve dvanáctém měsíci, a to 144 párů. Potom na konci dvanáctého měsíce bude v ohradě 377 párů králíků. To je hledaný počet králíků, kteří jsou stvořeni jedním párem v uzavřené ohradě za jeden rok. Vskutku lze na tomto místě vidět, jak jsme postupovali. Nejprve jsme přičetli první číslo k druhému, totiž 1 k 2, pak jsme sčítali druhé číslo se třetím, a pak třetí číslo se čtvrtým, a pak čtvrté číslo s pátým a tak dále, až


32

jsme přičetli desáté číslo k jedenáctému, tedy 144 k 233, čímž jsme získali celkový počet králíků v ohradě po jednom roce, tedy 377 párů králíků. V tomto postupu je možné pokračovat a sčítat až do nekonečného počtu měsíců.

Obr. 2.1: Úloha o králících v Liber Abaci


33

Shrnutí Fibonacciho postupu matematickým jazykem dnešní doby Fibonacci postupoval následovně: na začátku: první měsíc: druhý měsíc: třetí měsíc: čtvrtý měsíc: pátý měsíc: šestý měsíc: sedmý měsíc: osmý měsíc: devátý měsíc: desátý měsíc: jedenáctý měsíc: dvanáctý měsíc:

1 původní pár králíků 1 + 1 = 2 páry králíků 1 + 2 = 3 páry králíků 2 + 3 = 5 párů králíků 3 + 5 = 8 párů králíků 5 + 8 = 13 párů králíků 8 + 13 = 21 párů králíků 13 + 21 = 34 párů králíků 21 + 34 = 55 párů králíků 34 + 55 = 89 párů králíků 55 + 89 = 144 párů králíků 89 + 144 = 233 párů králíků 144 + 233 = 377 párů králíků

Řešení úlohy současnými matematickými prostředky Vývoj populace králíků můžeme sledovat v následující tabulce: n Xn Yn Zn

0 1 0 1

1 1 1 2

2 2 1 3

3 3 2 5

4 5 6 7 8 9 5 8 13 21 34 55 3 5 8 13 21 34 8 13 21 34 55 89

10 11 12 89 144 233 55 89 144 144 233 377

Označení: n Xn Yn Zn

... ... ... ...

počet měsíců; počet párů králíků, kteří jsou v n-tém měsíci schopni reprodukce; počet párů králíků, kteří nejsou v n-tém měsíci schopni reprodukce; celkový počet párů králíků na konci n-tého měsíce.

Úloha je zadána tak, že každé číslo na spodním řádku tabulky získáme jako součet dvou čísel nad ním, tedy Xn + Yn = Zn .


34

Počty párů králíků můžeme tedy zavést rekurentně: Zn = Zn−1 + Zn−2 ,

pro n ≥ 2, n ∈ N,

přičemž Z0 = 1 a Z1 = 2. Členy této posloupnosti se nazývají Fibonacciho čísla:III 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, . . . Počet párů králíků v n-tém měsíci je součtem párů králíků v předchozích dvou měsících.

2.3

Úlohy řešené metodou chybného předpokladu, dnes pomocí lineární rovnice

Poznámka 2.1. Fibonacci při zápisu smíšených čísel zapisoval nejprve zlomek a následně celé číslo, např. 21 3 odpovídá v dnešní symbolice smíšenému zlomku 3 21 . Úloha 2. O stromu, pro který platí, že pokud odečteme zůstane nám 21.

1 1 IV , 43

Máme strom, jehož 14 13 leží pod zemí a zbytek, což je 21 pídí, je nad zemí. Určete celkovou výšku stromu. Fibonacciho řešení úsudkem Rozdělíme si strom na dvanáctiny, tedy budeme mít dvanáct stejných částí, ze kterých odebereme 14 13 , tedy 7 částí. Do celkové výšky stromu bude pak zbývat 5 částí, které tvoří 21 pídí. 5 částí k délce 21 pídí je ve stejném poměru jako 12 těchto částí k celkové výšce stromu. Proto vydělíme hledanou výšku stromu číslem 12 a číslo 21 pětkou. Výsledek pak bude 52 50 pídě. Nebo zvolíme jiný postup, kdy položíme celkovou výšku stromu rovnu 12 pídím, od nich odečteme 14 31 , tedy 7, a zůstane nám 5 pídí na výšku stromu nad zemí. Potom si musíme říct, že pokud jsme určili celkovou výšku stromu 12, vyšlo nám na nadzemní část 5 pídí. Jakou tedy musíme určit celkovou výšku stromu, aby nad zemí bylo 21 pídí? Proto roznásobíme obě krajní III

Přesná definice tzv. Fibonacciho posloupnosti viz definice 3.1 strana 91. Takto definovaná posloupnost odpovídá zadání Fibonacciho úlohy, uvažujeme-li, že první pár králíků je vložen do ohrady ihned po narození. Narozdíl od Fibonacciho předpokladu, že králíkům je při vložení do ohrady právě jeden měsíc. 7 IV Fibonacci takto označoval součet zlomků, tedy 41 13 = 41 + 13 = 12 .


35

hodnoty, tedy 12 a 21 a výsledek vydělíme 5, čímž získáváme stejný závěr jako prvním způsobem, tedy 25 50 pídě. 7 Pokud bychom chtěli provést kontrolu, tak pokud z celku odečteme 12 , 5 5 zbyde nám 12 . Vezmeme tedy 12 z 25 50, což lze poměrně obtížně, tak místo 1 5 ze 48. Pak 12 ze 48 je rovna 4, tedy po vynásobení pěti toho vezmeme 12 získáváme 20. Poté odečteme 48 od 52 50, a zůstane nám 52 2, které převedeme 5 na pětiny. Dostaneme tedy 12 , ze kterých chceme opět 12 , a výsledek je 55 , 5 tedy 1. Tuto 1 přičteme k již nalezené 20 a získáme hledaný výsledek 21. Pokud tedy odečteme 41 31 z 25 50, zbyde nám 21 pídí pro část stromu nad zemí. Další způsob kontroly spočívá ve vynásobení 25 50 číslem 5, získáme číslo 252, které vydělíme 12 a výsledek je 21. , od kterých Nebo ještě takto, pokud 52 50 převedeme na pětiny, získáme 252 5 63 105 odečteme 14 31 , tedy 84 plus , zůstane nám , jež jsou nad zemí, tedy 21. 5 5 5 Rozbor Fibonacciho řešení matematickým jazykem dnešní doby Označme hledanou výšku stromu x. Provedeme rozbor pouze druhého způsobu Fibonacciho řešení. Ve Fibonacciho úvaze vidíme sestavení následující lineární rovnice: 7 x = 21. x− 12 Fibonacci pak použil tzv. metodu chybného předpokladu a zvolil celkovou výšku stromu x1 = 12. Dosadil tuto výšku do levé strany rovnice a získal: 12 −

7 · 12 = 5. 12

Výsledek je 5 pídí pro výšku stromu nad zemí. Požadovaný výsledek je ale 21 pídí. Místo čísla 12 je tedy třeba vzít jiné, větší číslo, aby výsledná výška stromu nad zemí byla 21 pídí. V dnešní matematické symbolice můžeme Fibonacciho úvahy zapsat takto 7 x = 21 | · 12 12 12x − 7x = 252 5x = 252 | : 5 2 x = 50, 5 x−

což je hledaná celková výška stromu.


36

Řešení úlohy současnými matematickými prostředky Označme neznámou výšku stromu x a dle zadání sestavme a vyřešme lineární rovnici: x−

7 x = 21 12 5 x = 21 12 252 x= 5 2 x = 50 5

Tedy hledaná výška stomu je 50 52 pídě. Úloha 3. O stromu nebo čísle, pro které platí, že povídá číslu 33 plus výšce tohoto stromu.

43 V 54

z něj od-

Máme opět strom, jehož 54 34 jsou rovny číslu 33 plus výšce tohoto stromu. Úkolem je zjistit celkovou výšku stromu. Fibonacciho řešení úsudkem Opět máme strom, pokud z něj vezmeme 45 34 a poté od této hodnoty odečteme celkovou výšku stromu, zůstane nám číslo 33. Zase hledáme celkovou výšku stromu. Položíme tedy celkovou výšku stromu rovnu číslu 20, protože 45 34 z 20 je celé číslo, tedy 31. Od tohoto čísla odečteme číslo, které jsme si zvolili jako celkovou výšku stromu, tedy 20. Zůstane nám 11, avšak dle zadání mělo zbýt 33. Musíme si tedy říct, že pokud jsme zvolili výšku stromu 20, výsledek byl 11. Jakou si tedy musíme zvolit výšku stromu, aby byl výsledek 33? Pokud vynásobíme 20 číslem 33 a poté vydělíme 11, zjednodušeně můžeme 33 vydělit 11, výsledek je 3, a tím vynásobit 20. Celková výška stromu tedy bude 60 pídí. Pro kontrolu 34 z 60 je 45 a 54 z 60 je 48, což v součtu činí 93. Od tohoto čísla odečteme celkovou výšku stromu, tedy 60, a výsledek je 33, přesně podle zadání. Což je totožné, jako když si řekneme, že hledáme číslo, od něhož když vezmeme 54 34 a odečteme číslo 33, zůstane nám 60. V

Fibonacci takto označoval součet zlomků, tedy

43 54

=

4 5

+

3 4

=

31 20 .


37

Rozbor Fibonacciho řešení matematickým jazykem dnešní doby Označme hledanou výšku stromu x. Ve Fibonacciho úvaze vidíme sestavení následující lineární rovnice: 31 x − x = 33. 20 Fibonacci pak použil tzv. metodu chybného předpokladu a zvolil celkovou výšku stromu x1 = 20. Dosadil tuto výšku do levé strany rovnice a získal: 31 · 20 − 20 = 31 − 20 = 11 20 Výsledek je 11 pídí. Požadovaný výsledek je ale 33 pídí, což je třikrát více, než jsme obdrželi. Místo čísla 20 je tedy třeba vzít číslo třikrát větší. V dnešní matematické symbolice můžeme Fibonacciho úvahy zapsat takto 31 x − x = 33 20 11 x = 33 | · 20 20 11x = 660 | : 11 x = 60, což je hledaná celková výška stromu. Řešení úlohy současnými matematickými prostředky Označme neznámou výšku stromu x a dle zadání sestavme a vyřešme lineární rovnici: 31 x = 33 + x 20 11 x = 33 20 x = 60 Tedy hledaná výška stromu je 60 pídí. Úloha 4. O hledání délky života mladého muže. Jistý mladý muž žil několik let. Pokud by žil dále, stejně dlouho jako dosud a ještě dvojnásobek tohoto počtu let, jak dosud, a ještě 14 31 VI tohoto počtu VI

Fibonacci takto označoval součet zlomků, tedy

11 43

=

1 4

+

1 3

=

7 12 .


38

let a ještě jeden rok navíc, pak by žil dohromady přesně sto let. Úkolem je zjistit, kolik je nyní muži let. Fibonacciho řešení úsudkem K výpočtu užijeme „pravidlo větveníÿ. Pokud sečteme jeho věk a dvakrát délku jeho života a přidáme 14 13 jeho života a ještě 1, získáme přesně 100. Řešení je potom následující: odečteme 1 od 100 a získáme 99. Následně si zvolíme, že muž žil například 12 let, a protože pokud žil takto dlouho, a ještě dvakrát tak déle, a ještě 14 13 této doby, pak získáme výsledek 43 let. Takže uvážíme, že pokud jsme délku jeho života zvolili 12, výsledná délka života mladého muže by byla 43. Tedy kolik let musíme zvolit, aby se výsledek rovnal 99 letům? Vynásobíme 12 a 99, čímž získáme 1 188, toto číslo vydělíme 43 a 27, což je věk mladého muže, který jsme hledali. Stejný výsledek pak bude 27 43 výsledek obdržíme, pokud budeme číslo 99 dělit 14 13 3. Rozbor Fibonacciho řešení matematickým jazykem dnešní doby Označme hledaný věk mladého muže x. Ve Fibonacciho úvaze vidíme sestavení následující lineární rovnice: x + 2x +

7 x + 1 = 100, 12

poté odečtení jedničky 7 x = 99. 12 Fibonacci pak použil tzv. metodu chybného předpokladu a chybně zvolil věk muže x1 = 12. Dosadil tento věk do levé strany rovnice a získal: x + 2x +

12 + 2 · 12 +

7 · 12 = 43. 12

Výsledek je 43 let. Požadovaný výsledek je ale 99 let. Místo čísla 12 je tedy třeba vzít jiné, větší číslo, aby se výsledek rovnal 99 letům. V dnešní matematické symbolice můžeme Fibonacciho úvahy zapsat takto 7 x = 99 | · 12 12 12x + 24x + 7x = 99 43x = 1 188 | : 43 27 x= 27, 43 x + 2x +


39

což je věk mladého muže, který jsme hledali. Řešení úlohy současnými matematickými prostředky Označme neznámý věk mladého muže opět x a dle zadání sestavme a vyřešme lineární rovnici: x + 2x +

7 x + 1 = 100 12 43 x = 99 12 43x = 1 188 27 x = 27 43

roku. Tedy hledaný věk muže je 27 27 43 Úloha 5. O lvu v jámě. Jistý lev je v jámě, jež je hluboká 50 pídí. Každý den lev vyleze o 17 pídě vzhůru a sestoupí o 19 pídě dolů. Úkolem je zjistit, za jak dlouho lev vyleze z jámy.VII Fibonacciho řešení úsudkem Předpokládejme, že lev opustí jámu za 63 dní, protože číslo 63 je nejmenší společný násobek čísel 7 a 9. Nyní zjistíme, kolik pídí lev za těchto 63 dní vystoupal a kolik pídí klesl. Vystoupal vzhůru 63 , což je 9 pídí a klesl o 63 , 7 9 což je 7 pídí. Odečteme-li 7 od 9 zjistíme, že lev za 63 dní vystoupal o 2 pídě. Dále uvažme, že pokud jsme zvolili 63 dní, lev vystoupal o 2 pídě. Za kolik dní lev vystoupá 50 pídí? Vynásobíme-li 63 číslem 50 a poté vydělíme dvěma, získáme výsledek 1 575 dní, což je doba, za kterou se lvovi podaří vylézt z jámy. Rozbor Fibonacciho řešení matematickým jazykem dnešní doby Označme hledaný počet dní, za které se lvovi podaří vylézt z jámy, x. Ve Zadání je myšleno tak, že lev vyleze denně o 17 − že každý den vyleze o 17 pídě a pak sestoupí o 19 pídě. VII

1 9

, což je o

2 63

pídě. Tedy nikoliv,


40

Fibonacciho úvaze vidíme sestavení následující lineární rovnice: 1 1 x − x = 50 7 9 2 x = 50. 63 Tzv. metodou chybného předpokladu určil, že lev opustí jámu za x1 = 63 dní. Dosadil tento počet dní do levé strany rovnice a získal: 2 · 63 = 2. 63 Výsledek je 2 pídě. Požadovaný výsledek je ale 50 pídí. Místo počtu dní 63 je tedy třeba vzít jiný počet, větší, aby výsledný počet pídí byl 50. V dnešní matematické symbolice můžeme Fibonacciho úvahy zapsat takto 2 x = 50 | · 63 63 2x = 3 150 | : 2 x = 1 575, což je hledaný počet dní, za které se podaří lvu vylézt z jámy. Řešení úlohy současnými matematickými prostředky Označme hledaný počet dnů opět x a dle zadání sestavme a vyřešme lineární rovnici: 1 1 x − x = 50 7 9 2 x = 50 63 x = 1 575 Tedy hledaný počet dnů, za které lev vyleze z jámy, je 1 575.


2.4

41

Úlohy dnes řešené s využitím lineární rovnice

Úloha 6. O lvu, leopardovi a medvědovi. Jistý lev sežere 1 ovci za 4 hodiny. Leopard sežere tuto ovci za 5 hodin a medvěd sežere tuto ovci za 6 hodin. Zjišťujeme, jak dlouho jim bude trvat spořádání 1 ovce, pokud jim předhodíme ovci všem naráz, v jeden okamžik. Fibonacciho řešení úsudkem Postupujeme následovně: Protože sežrání ovce trvá lvovi 4 hodiny, vezmeme 1 a protože toto trvá leopardovi 5 hodin, vezmeme 51 a medvědovi toto trvá 4 6 hodin, takže vezmeme 16 . Zvážíme, kolik ovcí sežere lev za 60 hodin – tedy pokud sežere lev jednu ovci za 4 hodiny, je zřejmé, že za 60 hodin spořádá 15 ovcí. Leopard obdobně za 60 hodin spořádá 15 , tedy 12 ovcí. Též medvěd obdobně spořádá za 60 hodin 10 ovcí, protože 10 je 61 z 60. Tedy za 60 hodin sežerou 15, 12 a 10 ovcí, což celkem činí 37 ovcí. Nyní si uvědomme, že jsme zvolili 60 hodin a oni sežrali dohromady 37 ovcí. Kolik tedy musíme zvolit, aby společně sežrali jen 1 ovci? Vynásobíme tedy jeden krát 60 a výsledek 1, což je čas, za který sežerou společně 1 ovci. vydělíme 37. Řešením je 23 37 Rozbor Fibonacciho řešení matematickým jazykem dnešní doby Fibonacci postupuje následovně: Zvíře Lev

Samotné 4h

Leopard

5h

Medvěd

6h

Za 1 h

Podíl na společné „práciÿ, tzn. za x h

1 4 1 5 1 6

x 4 x 5 x 6

přičemž x označuje hledaný čas. Pak můžeme psát x x x + + = 1. 4 5 6


42

Potom Fibonacci roznásobí rovnici společným jmenovatelem 60: x x x + + = 1 | · 60 4 5 6 15x + 12x + 10x = 60 37x = 60 | : 37 23 1, x= 37 což je čas, za který sežerou ovci společně. Řešení úlohy současnými matematickými prostředky Označme x hledaný čas, za který sežerou 1 ovci společně. Obdobně jako Fibonacci sestavíme a vyřešíme lineární rovnici: 1 1 1 x+ x+ x=1 4 5 6 37 x=1 60 x=1

23 37

Tedy výsledný čas, za který sežerou jednu ovci společně, je 1 23 hodiny. 37 Úloha 7. O cestovateli. Jistý muž přicestoval do Luccy za obchodem a podařilo se mu tam zdvojnásobit své jmění. Současně zde utratil 12 denárů. Poté odjel do Florencie, kde se mu též podařilo zdvojnásobit své jmění a opět zde utratil 12 denárů. Poté se vrálil do Pisy, kde opět zdvojnásobil své jmění a utratil 12 denárů a v tomto okamžiku mu již nic nezbylo. Máme zjistit, kolik denárů měl muž na začátku. Fibonacciho řešení úsudkem Poněvadž je známo, že při každé své cestě muž zdojnásobil své peníze, je jasné, že z jedničky udělal dvojku, tedy máme zlomek 12 , který napíšeme třikrát za sebe, jelikož obchodní cesty byly tři: 12 12 12 . První dvojku, jež je pod zlomkovou čarou, roznásobíme druhou a třetí dvojkou a dostaneme číslo 8, od kterého odečteme 12 , tedy 4, od níž odečteme 12 , tedy 2, od níž odečteme 12 a zůstane nám 1. Poté přičteme 4 ke 2 a 1 a získáme číslo 7, které vynásobíme 12 denáry, jež muž utratil. Obdržíme 84 a vydělíme jej číslem 8. Výsledek pak


43

bude 12 10 denárů, což je právě množství denárů, které měl muž na začátku svých obchodních cest. Počítejme, pokud zdvojnásobil 12 10 denárů, obdržel 21 denárů, z nichž utratil 12, tedy mu zůstalo 9 denárů. Poté podnikl druhou cestu a opět zdvojnásobil své jmění, tedy měl 18 denárů, z nichž utratil 12 a zůstalo mu 6 denárů. Při poslední třetí cestě opět zdvojnásobil své jmění, měl tedy 12 denárů, od nichž odečteme výdaje, tedy 12 denárů a zjistíme, že mu skutečně nic nezbylo, přesně dle zadání. Rozbor Fibonacciho řešení matematickým jazykem dnešní doby Označme hledané množství denárů x. Úlohu zapišme zcela současně: 2 · [2 · (2x − 12) − 12] − 12 = 0 a proveďme následující úpravy: 2 · [4x − 24 − 12] − 12 = 0 8x − 48 − 24 − 12 = 0 8x − 12 · (4 + 2 + 1) = 0 Nyní sledujme Fibonacciho řešení: Fibonacci nejprve roznásobil 2·2·2, protože cestovatel podnikl tři cesty a na každé z nich zdvojnásobil své jmění. Máme tedy osmkrát hledané množství denárů. Poté Fibonacci odečítá denáry, jež cestovatel na svých cestách utratil. Nejprve dvanáct denárů, pak dvojnásobek dvanácti denárů a poté čtyřnásobek dvanácti denárů. Celkem tedy sedm krát dvanáct denárů, což je 84 denárů, které pak Fibonacci dělí osmi. Výsledek je 1 x = 10, 2 což je hledané počáteční množství denárů. Řešení úlohy současnými matematickými prostředky Označme hledané množství denárů x. Potom dle zadání sestavíme a vyřešíme lineární rovnici: 2 · [2 · (2x − 12) − 12] − 12 = 0 2 · [(4x − 24) − 12] − 12 = 0 8x − 72 − 12 = 0 8x = 84 1 x = 10 , 2


44

tedy hledané počáteční množství denárů je 10 21 . Úloha 8. O cestovateli a čtyřech obchodních cestách. Předpokládejme, že jistý muž podnikl IIII obchodní cesty, při nichž pokaždé ztrojnásobil své jmění a na každé z nich utratil 18 denárů. Na konci jeho cest mu opět nezůstalo vůbec nic. Máme zjistit, kolik denárů muž měl na začátku. Fibonacciho řešení úsudkem Opět tedy zapíšeme čtyřikrát za sebe zlomek 13 , protože obchodní cesty byly IIII a jelikož víme, že z 1 udělal 3, tedy: 13 31 13 13 . A poněvadž jeho zisk (při první cestě) je 13 z počátečního množství denárů atd. Poté vynásobíme čísla pod zlomkovou čarou, tedy 3 · 3 · 3 · 3, a obdržíme číslo 81, které máme pod zlomkovou čarou, tedy na místě výnosů. Z tohoto čísla vezmeme 13 , tedy 27, což je jeho jmění před prvním výdajem (trojnásobek je 81). Z těchto 27 vezmeme znovu 13 , což je 9, tedy kapitál před druhou cestou (jelikož jeho trojnásobek je 27 – ztrojnásobený při druhé obchodní cestě na 81 denárů). Potom z 9 vezmeme 31 a dostaneme 3, jakožto kapitál před třetím výdajem. A z tohoto čísla opět odebereme 13 a dostaneme 1. Pak sečteme 27, 9, 3 a 1 a obdržíme číslo 40, což je hodnota výdajů, pokud každý výnos kapitálu bude 81. Proto 40 denárů může být kapitálem, a jelikož výdaje jsou 18 denárů, plyne z toho, že poměr 81 ku 40 je stejný jako poměr 18 ke zjišťované částce. Proto vynásobíme 18 číslem 40 a vydělíme výsledek 81, celkový výsledek pak bude 98 8 denárů, což je hledané počáteční jmění. Rozbor Fibonacciho řešení matematickým jazykem dnešní doby Označme hledané množství denárů x. Úlohu zapišme zcela současně: 3 · {3 · [3 · (3x − 18) − 18] − 18} − 18 = 0 a proveďme následující úpravy: 3 · [3 · (9x − 54 − 18) − 18] − 18 = 0 3 · (27x − 162 − 54 − 18) − 18 = 0 81x − 486 − 162 − 54 − 18 = 0 81x − 18 · (27 + 9 + 3 + 1) = 0 Nyní sledujme Fibonacciho řešení: Fibonacci nejprve roznásobil 3·3·3·3, protože cestovatel podnikl čtyři cesty a na každé z nich ztrojnásobil své jmění.


45

Máme tedy osmdesátjedna krát hledané množství denárů. Poté Fibonacci odečítá denáry, jež cestovatel na svých cestách utratil. Nejprve osmnáct denárů, pak trojnásobek osmnácti denárů, pak devítinásobek osmnácti denárů a poté sedmadvacetinásobek osmnácti denárů. Celkem tedy čtyřicet krát osmnáct denárů, což je 720 denárů, které pak Fibonacci dělí 81. Výsledek je 8 x = 8, 9 což je hledané počáteční množství denárů. Řešení úlohy současnými matematickými prostředky Označme hledané množství denárů x. Potom dle zadání sestavíme a vyřešíme lineární rovnici: 3 · {3 · [3 · (3x − 18) − 18] − 18} − 18 = 0 3 · [3 · (9x − 72) − 18] − 18 = 0 3 · (27x − 234) − 18 = 0 81x = 720 8 x=8 , 9 tedy hledané počáteční množství denárů je 8 89 .

2.5

Úlohy dnes řešené pomocí aritmetické posloupnosti

Úloha 9. O dvou cestovatelích, přičemž jeden následuje druhého se zvyšující se rychlostí. Předpokládejme, že máme dva muže, kteří navrhují, jak zdolat dlouhou cestu. První muž navrhuje urazit 20 mil denně. Druhý muž navrhuje urazit první den 1 míli, druhý den dvě míle, třetí den tři míle a tak dále, tedy každý den vždy o jednu míli více, dokud se nepotkají s prvním mužem. Zjistěte, kolik dnů bude první muž následován druhým. Fibonacciho řešení úsudkem Pokud zdvojnásobíme číslo 20, získáme číslo 40, od kterého odečteme 1 a dostaneme výsledek 39, což je počet dnů, po které je první muž následován


46

druhým. Totiž první muž, který urazí denně 20 mil, ujde každý z těchto 39 dní 20 mil, což činí celkem 780 mil. Druhý muž ve stejných 39 dnech urazí tolik mil, kolik je součet čísel jdoucích od jedničky do 39, jejichž součet je stejný jako součin čísel 20 a 39. Řešení úlohy současnými matematickými prostředky Jedná se o dvě aritmetické posloupnosti: (an )∞ n=1 : (bn )∞ n=1 :

20, 20, 20, 20, . . . 1, 2, 3, 4, 5, . . .

an = 20, bn = n,

(2.1) (2.2)

kde n ∈ N. Zjišťujeme, pro jaké n se rovnají součty prvních n členů těchto dvou aritmetických posloupností. Využijeme tedy vztah pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti: sn =

n · (a1 + an ). 2

(2.3)

Potom n n · (a1 + an ) = · (b1 + bn ) 2 2 n n · (20 + 20) = · (1 + n) 2 2 n · 40 = n · (1 + n) n = 39. Posloupnost (2.2) má tedy 39 členů. Pro kontrolu určíme součet prvních 39 členů obou posloupností. Nejprve posloupnosti (an )∞ n=1 : s39 =

39 · (20 + 20) = 39 · 20 = 780 2

Pak posloupnosti (bn )∞ n=1 : s39 =

39 · (1 + 39) = 39 · 20 = 780 2

Cestovatelé se tedy potkají po 39 dnech, poté co urazí 780 mil.


47

Úloha 10. O dvou cestovatelích, přičemž jeden následuje druhého po lichém počtu mil. Předpokládejme nyní, že první muž urazí za den 21 mil a druhý muž urazí denně vždy lichý počet mil, které rostou od jedničky. Máme opět určit, kdy se muži potkají. Fibonacciho řešení úsudkem Je zřejmé, že druhý muž bude následovat prvního 21 dní. Pokud totiž vezmeme 21 lichých čísel po řadě od jedničky směrem výše, získáme řadu čísel od 1 do 41. Součet lichých čísel rostoucích od 1 do 41 je stejný jako výsledek násobení čísla 21 sebou samým. Tedy proto se oba muži potkají za 21 dní. Řešení úlohy současnými matematickými prostředky Jedná se opět o dvě aritmetické posloupnosti: (an )∞ n=1 : ∞ (bn )n=1 :

21, 21, 21, 21, 21, . . . 1, 3, 5, 7, 9, 11, . . .

an = 21, bn = 2n − 1,

(2.4) (2.5)

kde n ∈ N. Zjišťujeme opět, pro jaké n se rovnají součty prvních n členů těchto dvou aritmetických posloupností. Využijeme tedy vztah pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti (2.3). Potom platí n n · (a1 + an ) = · (b1 + bn ) 2 2 n n · (21 + 21) = · [1 + (2n − 1)] 2 2 n · 42 = n · (2n) n = 21. Pro kontrolu určíme součet prvních 21 členů obou posloupností. Nejprve posloupnosti (2.4): s21 =

21 · (21 + 21) = 21 · 21 = 441 2

Pak posloupnosti (2.5): s21 =

21 · (1 + 41) = 21 · 21 = 441 2

Cestovatelé se tedy potkají po 21 dnech, poté co urazí 441 mil.


48

Úloha 11. O dvou cestovatelích, přičemž jeden následuje druhého po sudém počtu mil. Předpokládejme, že první muž urazí za den 30 mil. Druhý muž pak urazí denně vždy sudý počet mil od čísla 2. Určete opět, kdy se oba muži potkají. Fibonacciho řešení úsudkem V případě, že odečteme jedničku od 30, získáme 29, což je počet dní, po kterých se oba muži setkají. Totiž, 29 je počet sudých čísel vzrůstajících od dvou do 58. Součet sudých čísel do 58 je roven výsledku násobení 29 a 30, není tedy pochyb, že muži se setkají po 870 mílích. Řešení úlohy současnými matematickými prostředky Jedná se opět o dvě aritmetické posloupnosti: (an )∞ n=1 : (bn )∞ n=1 :

30, 30, 30, 30, 30, . . . 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . .

an = 30, bn = 2n,

(2.6) (2.7)

kde n ∈ N. Zjišťujeme opět, pro jaké n se rovnají součty prvních n členů těchto dvou aritmetických posloupností. Využijeme tedy vztah pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti (2.3). Potom platí n n · (a1 + an ) = · (b1 + bn ) 2 2 n n · (30 + 30) = · (2 + 2n) 2 2 n · 60 = n · (2 + 2n) 60 = 2 + 2n n = 29. Pro kontrolu určíme součet prvních 29 členů obou posloupností. Nejprve posloupnosti (2.6): s29 =

29 · (30 + 30) = 29 · 30 = 870 2

Pak posloupnosti (2.7): s29 =

29 · (2 + 58) = 29 · 30 = 870 2

Cestovatelé se tedy setkají po 29 dnech, poté co urazí 870 mil.


2.6

49

Úlohy dnes řešené s využitím geometrické posloupnosti

Úloha 12. Sedm starých mužů jede do Říma.VIII Sedm starých mužů jede do Říma. Každý z nich má sedm mul a na každé mule je 7 pytlů. V každém z pytlů je 7 bochníků chleba a na každý z těchto 49 bochníků chleba je zde 7 nožů a každý nůž je v 7 pochvách. Úkolem je zjistit celkový počet výše uvedených věcí. Fibonacciho řešení úsudkem Nejprve vynásobíme počet starců, tedy 7, počtem mul, tedy 7, získáme 49, což je celkový počet mul. Tento výsledek vynásobíme počtem pytlů, tedy 7, a dostaneme 343, což je celkový počet pytlů. Ty vynásobíme počtem chlebů v každém pytli, tedy 7, a získáme 2 401 bochníků chleba. Ty vynásobíme počtem nožů na každý bochník, kterých je 7, a obdržíme tedy 16 807 nožů. Ty vynásobíme počtem pouzder na tyto nože, tedy 7, a získáme 117 649 pouzder. K tomuto výsledku přičteme 16 807 nožů, pak 2 401 bochníků chleba, poté 343 pytlů, pak 49 mul a poté 7 starců a získáme celkový součet všech uvedených věcí, tedy 137 256. Na otázku, kolik věcí nesou jednotliví starci, odpovíme následovně. Všechny zmíněné sedmičky dáme do zlomku, jelikož počet věcí, jež nese každý ze starců, se roznásobuje sedmi. Před zlomek pak zapíšeme 1 (za jednoho starého muže) a za zlomek 7 (počet starců). Tedy 7

1 1 1 1 1 1 7 7 7 7 7

IX

Potom 1 vynásobíme první 7 a přidáme 1, jež je nad zlomkovou čarou. Dostaneme 8 a „vynásobíme ji další 17 ÿ.X Získáme číslo 57 a vynásobíme jej třetí 71 a zbývajícími sedminami a získáme počet věcí, které nesou jednotliví starci, a to 19 608. Toto číslo poté ještě vynásobíme 7, které je za zlomkem, a dostaneme 137 256, tedy celkový počet věcí, k němuž jsme došli i předchozí metodou.

VIII

Obdobnou úlohu řešili stejným způsobem již ve starém Egyptě v 18. stol. př.n.l. Tento zlomek čteme opět odzadu. X „Vynásobíme ji další 17 ÿ znamená, že vynásobíme 7 a přičteme 1 jako v prvním kroku.

IX


50

Rozbor Fibonacciho řešení matematickým jazykem dnešní doby Fibonacci řeší úlohu nejprve následovně: 7 · 7 = 49 49 · 7 = 343 343 · 7 = 2 401 2 401 · 7 = 16 807 16 807 · 7 = 117 649 Poté sečte všechny tyto mezivýsledky: 7 + 49 + 343 + 2 401 + 16 807 + 117 649 = 137 256, čímž získá hledaný součet všech věcí starých mužů. Fibonacci pak uvádí ještě jeden způsob výpočtu, který v dnešní terminologii odpovídá rovnosti 1 + 7 · (1 + 7 · (1 + 7 · (1 + 7 · (1 + 7)))) = 19 608, čímž získáme počet věcí, které nesou jednotliví starci. Poté stačí vynásobit počtem starců, tedy 7 a obdržíme opět 137 256, tedy celkový počet věcí starých mužů. Řešení úlohy současnými matematickými prostředky Jedná se o geometrickou posloupnost, jejíž kvocient je roven sedmi, tedy q = 7, a jejíž první člen je roven též sedmi, tedy a1 = 7. Potom využijeme vzorec pro výpočet součtu prvních n členů geometrické posloupnosti: s n = a1

qn − 1 q−1

(2.8)

a pro n = 6 (muži, muly, pytle, bochníky chleba, nože, pochvy) dostáváme s6 = 7

76 − 1 = 137 256, 7−1

což je hledaný součet všech věcí starých mužů.


51

Úloha 13. O stromu se 100 větvemi. Máme strom, který má 100 větví, na každé větvi je 100 hnízd, v každém hnízdě je 100 vajec a v každém vejci je 100 ptáků. Zajímá nás celkový počet věcí. Fibonacciho řešení úsudkem Celkový počet věcí můžeme zjistit metodou použitou u úlohy o sedmi starcích, ale ukažme si ještě jiný způsob výpočtu. Nejdříve napíšeme číslo 100, myšleno větví, k tomuto číslu připíšeme dvě nuly, jelikož na každé větvi se nachází 100 hnízd. Dostaneme 10 000. K tomuto číslu opět připíšeme dvě nuly, protože v každém hnízdě se nachází 100 vajec. Získáváme 1 000 000. K tomuto číslu opět připíšeme dvě nuly, poněvadž v každém vejci máme 100 ptáků. Dostaneme 100 000 000. Potom vymažeme nuly v tomto čísle, které se nacházejí na prvním, třetím, pátém a sedmém místě a nahradíme je číslem 1, a takto obdržíme číslo 101 010 100, což je celkový počet věcí, který jsme hledali. Podobný výpočet lze použít, jestliže věci na větvích, totiž hnízda, vejce a ptáci, rostou po tisících. K číslu 1 000 pak přidáme tři nuly za hnízda, dále pak tři nuly za vejce a nakonec tři nuly za ptáky a získáváme číslo 1 000 000 000 000. Z tohoto čísla pak vymažeme první, čtvrtou, sedmou a desátou nulu a nahradíme je číslem 1, poté odbržíme číslo 1 001 001 001 000. Stačí nám tedy podívat se na poslední jedničku a nuly za ní, abychom zjistili, jak rostou počty jednotlivých věcí. Rozbor Fibonacciho řešení matematickým jazykem dnešní doby Fibonacci postupoval následovně: 100 · 100 = 10 000 10 000 · 100 = 1 000 000 1 000 000 · 100 = 100 000 000 Poté sečte všechny tyto mezivýsledky: 100 + 10 000 + 1 000 000 + 100 000 000 = 101 010 100, což je hledaný počet věcí.


52

Řešení úlohy současnými matematickými prostředky Jedná se o geometrickou posloupnost, jejíž kvocient je roven stu, tedy q = 100, a jejíž první člen je roven též stu, tedy a1 = 100. Potom využijeme vzorec pro výpočet součtu prvních n členů geometrické posloupnosti, viz (2.8). A pro n = 4 (větve, hnízda, vejce, ptáci) dostáváme s4 = 100

1004 − 1 = 101 010 100, 100 − 1

což je hledaný součet všech věcí na stromě. Úloha 14. O osmnáctileté investici. Jistý muž vlastnil 100 liber a každý rok vydělal z každých 4 liber 5. Kolik liber bude mít za 18 let? Fibonacciho řešení úsudkem Poněvadž hledáme, kolik liber bude mít za 18 let, zapíšeme osmnáctkrát pod zlomkovou čaru číslo 4 a nad každou tuto čtyřku napíšeme číslo 5 takto: 100

555555555555555555 444444444444444444

Toto jsme udělali proto, že muž první rok vydělá 45 ze 100 a druhý rok pak vydělá 45 z 54 ze 100 a potom třetí rok 45 45 45 ze 100 a tak dále. Pak vynásobíme všechna čísla nad zlomkovou čarou navzájem, výsledek vynásobíme 100 a vydělíme všemi 4, jež jsou pod zlomkovou čarou. První pětku vynásobíme tou následující, získáme číslo 25, které vynásobíme opět 25 a obdržíme 625, což je výsledkem roznásobení IIII pětek. Tento výsledek vynásobíme 625 a získáme číslo 390 625, což je součin osmi pětek. Tento výsledek roznásobíme 5 a dostaneme číslo 1 953 125. Toto číslo vynásobíme sebou samým a dostaneme 3 814 697 265 625, což je výsledek vynásobení všech pětek. Potom tento výsledek vynásobíme 100 a následně tento součin vydělíme všemi 4, jež jsou pod zlomkovou čarou. Výsledek potom bude 403456247270 5551, 888888888888 což je hledané množství liber.


53

Rozbor Fibonacciho řešení matematickým jazykem dnešní doby Fibonacci postupuje následovně: 1. rok

=⇒

2. rok

=⇒

3. rok

=⇒

5 4 5 100 · 4 5 100 · 4 100 ·

= 125; 5 4 5 · 4 ·

= 156, 25; ·

5 = 195, 3125; 4

.. . Pak pro 18. rok získáváme: 18 5 100 · = 5 551, 115 123 126 . . . , 4 což je hledaný obnos liber, jež bude muž vlastnit za 18 let. Řešení úlohy současnými matematickými prostředky Jedná se o geometrickou posloupnost, jejíž kvocient je roven pěti čtvrtinám, tedy q = 54 , a jejíž nultý člen je roven a0 = 100. Potom využijeme vzorec pro výpočet an členu geometrické posloupnosti: an = a0 · q n . A protože n = 18 (počet let), dostáváme 18 5 a18 = 100 · = 5 551, 115 123 126 . . . , 4 což je hledaný obnos liber, jež bude muž vlastnit za 18 let.

2.7

Úlohy dnes řešené pomocí Gaussovy eliminace

V této části nalezneme úlohy, které v dnešní době řešíme s využitím Gaussovy eliminace. Nejprve jsou uvedeny úlohy jednodušší, které se hodí pro střední školu. Poté následují příklady obtížnější (jsou označeny hvězdičkou), jež lze využít pro nadané studenty, případně pro vysokoškoláky.


Úloha 15. O třech číslech, pro která platí, že 3 druhého čísla a 94 třetího čísla. 7

54 2 5

prvního čísla jsou

Hledáme tedy tři čísla, přičemž 25 prvního čísla se rovnají 4 třetího čísla. Úkolem je určit tato tři čísla. 9

3 7

druhého čísla a

Fibonacciho řešení úsudkem Napišme si zmíněné zlomky za sebou, tedy: 49 37 25 .XI Nyní, vynásobíme-li každé číslo, které je pod zlomkovou čarou, číslem, jež je v čitateli dalšího zlomku, a tento výsledek pak ještě vynásobíme čitatelem posledního zlomku, tak tímto postupem získáme hledaná čísla. Například tedy číslo 5 ve jmenovateli prvního zlomku vynásobíme číslem 3, což je čitatel druhého zlomku, a výsledek pak ještě vynásobíme číslem 4, tedy čitatelem posledního zlomku. Výsledkem je číslo 60, což je první hledané číslo. Obdobně pak vynásobíme 7 · 4 · 2, což se rovná 56, čímž jsme získali druhé číslo. Nakonec vynásobíme čísla 9 · 3 · 2, výsledek je 54, což je hledané třetí číslo. Pokud by vás zajímalo, jak toto pravido funguje, musíme si uvědomit, že 2 z 37 ze 49 z jakéhokoliv čísla se rovnají 73 ze 49 z 52 stejného čísla i 49 z 37 z 25 5 téhož čísla. Nyní, pokud vezmeme 94 z 37 čísla, jež bylo výsledkem násobení čísel 9 · 7 · 5, tedy 315, výsledkem je číslo 60, které obdržíme i při vynásobení čísel 5 · 3 · 4. Obdobně dostaneme i druhé hledané číslo 56, jestliže vezmeme 49 z 25 z čísla 315. A stejným způsobem získáme i třetí hledané číslo 54, jestliže vezmeme 37 z 52 z čísla 315. Tedy 25 z čísla 60, což jsou 37 ze 49 čísla 315, se rovnají 37 z čísla 56, což jsou 49 z 52 z čísla 315, a ty se rovnají 49 z čísla 54, což jsou 37 z 25 čísla 315. Hledaná čísla mohou být nalezena i v menších číslech, a to pokud vydělíme právě nalezená čísla 60, 56 a 54 jejich společným dělitelem, číslem 2. Pak získáme druhé řešení, a to číslo 30 pro první hledané číslo, 28 pro druhé hledané číslo a 27 pro třetí hledané číslo. Řešení úlohy současnými matematickými prostředky Označme první hledané číslo x, druhé y a třetí z. Úlohu zapíšeme do rovnic a upravíme 2 3 2 4 x= y ∧ x = z. 5 7 5 9 Uvědomme si, že Fibonacciho zápis 94 37 25 se čte zprava doleva. Jedná se zřejmě o inspiraci arabským světem. Uvidíme ještě i u zápisu smíšených čísel. XI


55

Po úpravě získáváme soustavu dvou lineárních rovnic: 14x − 15y =0 18x − 20z = 0. K výpočtu soustavy lineárních rovnic využijeme Gaussovu eliminační metodu. Koeficienty u proměnných x, y, z a absolutní členy z pravých stran rovnic zapíšeme pomocí rozšířené matice soustavy a matici převedeme do schodovitého tvaru: 14 −15 0 0 14 −15 0 0 ∼ 18 0 −20 0 0 27 −28 0 Po konečném počtu ekvivalentních řádkových úprav jsme získali matici ve schodovitém tvaru. Je evidentní, že soustava lineárních rovnic bude mít nekonečně mnoho řešení v reálném oboru R: z=t 28 t y= 27 30 t, x= 27 kde t ∈ R. Obecné řešení uvedené soustavy v celých číslech je pak z = 27k y = 28k x = 30k, kde k ∈ Z. Jedním z celočíselných řešení je (60, 56, 54), pro k = 2, což je jedno z Fibonacciho řešení úlohy a pro k = 1 získáváme druhé Fibonacciho řešení úlohy, a to (30, 28, 27). Úloha 16. Na stejné téma, o třech číslech. Opět hledáme tři čísla, přičemž 13 prvního čísla se rovná 14 druhého čísla a druhého čísla se rovná 61 třetího čísla. Úkolem je určit tato tři čísla.

1 5

Fibonacciho řešení úsudkem Nejprve nalezněme první dvě čísla, pro která platí, že 31 prvního čísla se rovná 1 druhého čísla. Budou to určitě čísla 3 a 4. Nyní nalezněme dvě jiná čísla, 4 pro která platí, že 15 jednoho čísla se rovná 16 jiného čísla. To budou určitě


56

čísla 5 a 6. Tedy první hledané číslo je k druhému v poměru 3 : 4 a druhé hledané číslo je k třetímu v poměru 5 : 6. Proto zapíšeme číslo 3 a 4 do jednoho řádku a číslo 5 a 6 do jiného řádku tak, že číslo 5 je umístěno nad číslem 4, jak je zde znázorněno: 15 20 24 5 6 3 4 Jestliže budeme násobit čísla 5 a 3 a pak 5 a 4 a nakonec čísla 4 a 6, získáme číslo 15 pro první hledané číslo, číslo 20 pro druhé hledané číslo a číslo 24 pro třetí hledané číslo. Například potom bude ve stejném poměru, v jakém je 3 : 4 jakýkoliv násobek čísla 3 ku stejnému násobku čísla 4. Tedy pokud poměr 3 : 4 roznásobíme pěti, (3 · 5 : 4 · 5), získáme čísla 15 a 20, jež jsou v poměru 3 : 4. Obdobně budou ve stejném poměru, v jakém je 5 : 6 jakýkoliv násobek čísla 5 ku stejnému násobku čísla 6. Proto tedy, pokud poměr 5 : 6 roznásobíme čtyřmi, (5 · 4 : 6 · 4), získáme čísla 20 a 24, jež jsou v poměru 5 : 6. Potom prvním hledaným číslem je právě číslo 15, druhým hledaným číslem je číslo 20 a třetím hledaným číslem je číslo 24, protože první nalezené číslo 15 je k druhému nalezenému číslu 20 v poměru 3 : 4 a druhé nalezené číslo 20 je ku třetímu nalezenému číslu 24 v poměru 5 : 6, přesně tak, jak jsme hledali. Řešení úlohy současnými matematickými prostředky První hledané číslo označíme x, druhé y a třetí z. Úlohu zapíšeme do rovnic a upravíme: 1 1 1 1 x= y ∧ y = z. 3 4 5 6 Po úpravě získáváme soustavu dvou lineárních rovnic: 4x − 3y =0 6y − 5z = 0. K výpočtu soustavy lineárních rovnic využijeme Gaussovu eliminační metodu. Koeficienty u proměnných x, y, z a absolutní členy z pravých stran rovnic zapíšeme pomocí rozšířené matice soustavy a matici převedeme do schodovitého tvaru: 4 −3 0 0 0 6 −5 0


57

Matice je přímo ve schodovitém tvaru. Je evidentní, že soustava lineárních rovnic bude mít nekonečně mnoho řešení v reálném oboru R: z=t 5 y= t 6 15 x= t, 24 kde t ∈ R. Obecné řešení uvedené soustavy v celých číslech je pak z = 24k y = 20k x = 15k, kde k ∈ Z. Jedním z celočíselných řešení je (15, 20, 24) pro k = 1, což je Fibonacciho řešení úlohy. Úloha 17. O čtyřech mužích s denáry. Máme čtyři muže, přičemž první, druhý a třetí dohromady vlastní 27 denárů. Druhý, třetí a čtvrtý muž mají dohromady 31 denárů. Potom třetí, čtvrtý a první muž vlastní dohromady 34 denárů. Pak ještě čtvrtý, první a druhý muž mají v součtu 37 denárů. Vypočtěte, kolik denárů vlastní jednotliví muži. Fibonacciho řešení úsudkem Když sečteme všechna tato čtyři čísla dohromady, získáme číslo 129, které je trojnásobkem celkového součtu denárů všech 4 mužů. V tomto součtu je tedy obnos denárů každého muže započítán třikrát. Proto obnos vydělíme třemi a získáme číslo 43, což je počet všech denárů. Z tohoto součtu budeme odečítat nejprve denáry prvního, druhého a třetího muže, tedy 27, čímž nám zůstane 16 denárů pro muže čtvrtého. Obdobně, jestliže od 43 denárů odečteme 31 denárů druhého, třetího a čtvrtého muže, získáme 12 denárů pro muže prvního. Opět, pokud odečteme ze 43 denárů 34, tedy denáry třetího, čtvrtého a prvního muže, pak zůstane 9 denárů pro muže druhého. A konečně, jestliže odečteme od 43 denárů 37 denárů čtvrtého, prvního a druhého muže, zůstane nám 6 denárů pro muže třetího. Tedy 12 denárů prvního muže přičtených k 9 denárům druhého muže a k 6 třetího a k 16 denárům čtvrtého muže bezpochyby přináší již zmíněných 43 denárů v součtu.


58

Rozbor Fibonacciho řešení matematickým jazykem dnešní doby Počty denárů jednotlivých mužů označme písmeny a, b, c, d. Úlohu pak můžeme přepsat do soustavy lineárních rovnic: a+b+c = 27 b + c + d = 31 a+ c + d = 34 a+b+ d = 37 Koeficienty u proměnných a, b, c, d a absolutní členy z pravých stran rovnic zapíšeme pomocí rozšířené matice soustavy. Přidáme součet všech řádků, jež nemění množinu řešení:     1 1 1 0 27 1 1 1 0 27 0 1 1 1 31 0 1 1 1 31      1 0 1 1 34  ∼ 1 0 1 1 34     1 1 0 1 37 1 1 0 1 37  3 3 3 3 129 1 1 1 1 43 Následnými elementárními řádkovými úpravami získáme:



1 1 0 1 0

1 1 1 0 0

0 1 1 1 0

 27 31  34 ⇒ 37 12

a = 12

1 0  ∼ 1 1 0

1 1 0 1 1

1 1 1 0 0

0 1 1 1 0

 27 31  34 ⇒ 37 9

b=9



1 1 0 1 0

1 1 1 0 1

0 1 1 1 0

 27 31  34 ⇒ 37 6

c=6

1 0  ∼ 1 1 1 

1 0  ∼ 1 1 0




1 0  ∼ 1 1 0

1 1 0 1 0

1 1 1 0 0

0 1 1 1 1

 27 31  34 ⇒ 37 16

59

d = 16

Řešení úlohy současnými matematickými prostředky Počty denárů jednotlivých mužů označíme písmeny a, b, c, d a opět vycházíme ze soustavy lineárních rovnic: a+b+c = 27 b + c + d = 31 a+ c + d = 34 a+b+ d = 37 K výpočtu soustavy lineárních rovnic využijeme Gaussovu eliminační metodu. Koeficienty u proměnných a, b, c, d a absolutní členy z pravých stran rovnic opět zapíšeme pomocí rozšířené matice soustavy a matici převedeme do schodovitého tvaru:     1 1 1 0 27 1 1 1 0 27  0 1 1 1 31 1 1 1 31  ∼ 0  ∼  0 −1 1 0 1 1 34 0 1 7 1 1 0 1 37 0 0 −1 1 10     1 1 1 0 27 1 1 1 0 27 0 1   1 1 31  ∼ 0 1 1 1 31 ∼  0 0 0 0 1 2 38 1 2 38 0 0 −1 1 10 0 0 0 1 16 Po konečném počtu ekvivaletních řádkových úprav jsme získali matici ve schodovitém tvaru. Soustava lineárních rovnic má tedy jedno řešení: d = 16,

c = 6,

b = 9,

a = 12.

Úloha 18. O pěti mužích s denáry. Máme pět mužů, přičemž čtyři z nich, bez pátého, mají dohromady 27 denárů. Čtyři z nich bez prvního mají dohromady 31 denárů, bez druhého


60

mají ostatní dohromady 34 denárů, bez třetího mají ostatní dohromady 37 denárů a bez čtvrtého mají ostatní dohromady 39 denárů. Zjistěte, kolik denárů vlastní jednotliví muži. Fibonacciho řešení úsudkem V případě, že sečteme všech těchto pět čísel dohromady, získáme číslo 168, které je čtyřnásobkem celkového součtu denárů všech pěti mužů. V tomto součtu je tedy obnos denárů každého muže započítán čtyřikrát. Z tohoto důvodu obnos vydělíme čtyřmi a získáme číslo 42, což je počet všech denárů. Jestliže odečteme z tohoto součtu 27 denárů, což je součet denárů prvních čtyř mužů, zůstane nám 15 denárů pro muže pátého. Ze stejného důvodu budeme nyní odečítat 31, 34, 37 a 39 denárů opět od celkového součtu 42 denárů, čímž získáme 11 denárů pro muže prvního, 8 denárů pro muže druhého, 5 denárů pro třetího a 3 denáry pro muže čtvrtého. Rozbor Fibonacciho řešení matematickým jazykem dnešní doby Označme písmeny a, b, c, d, e počty denárů jednotlivých mužů. Úlohu pak můžeme přepsat do soustavy lineárních rovnic: a+b+c+d = 27 b + c + d + e = 31 a+ c + d + e = 34 a+b+ d + e = 37 a+b+c+ e = 39 Koeficienty u proměnných a, b, c, d, e a absolutní rovnic zapíšeme pomocí rozšířené matice soustavy. řádků, jež nemění množinu řešení:    1 1 1 1 1 1 1 0 27 0 1 1 0 1 1 1 1 31     1 0 1 1 0 1 1 1 34     1 1 0 1 1 37  ∼ 1 1 0    1 1 1 1 1 1 0 1 39  4 4 4 4 4 168 1 1 1

členy z pravých stran Přidáme součet všech 1 1 1 1 0 1

0 1 1 1 1 1

Následnými elementárními řádkovými úpravami získáme:

 27 31  34  37  39 42




61

1 0  1 ∼ 1  1 0

1 1 0 1 1 0

1 1 1 0 1 0

1 1 1 1 0 0

0 1 1 1 1 1

 27 31  34 ⇒ 37  39 15

e = 15



1 1 0 1 1 0

1 1 1 0 1 0

1 1 1 1 0 0

0 1 1 1 1 0

 27 31  34 ⇒ 37  39 11

a = 11

1 0  1 ∼ 1  1 0

1 1 0 1 1 1

1 1 1 0 1 0

1 1 1 1 0 0

0 1 1 1 1 0

 27 31  34 ⇒ 37  39 8

b=8

 1 0  1 ∼ 1  1 0

1 1 0 1 1 0

1 1 1 0 1 1

1 1 1 1 0 0

0 1 1 1 1 0

 27 31  34 ⇒ 37  39 5

c=5



1 1 0 1 1 0

1 1 1 0 1 0

1 1 1 1 0 1

0 1 1 1 1 0

 27 31  34 ⇒ 37  39 3

d=3

1 0  1 ∼ 1  1 1 

1 0  1 ∼ 1  1 0


62

Řešení úlohy současnými matematickými prostředky Počty denárů jednotlivých mužů označíme písmeny a, b, c, d, e a opět vycházíme ze soustavy lineárních rovnic: a+b+c+d = 27 b + c + d + e = 31 a+ c + d + e = 34 a+b+ d + e = 37 a+b+c+ e = 39 K výpočtu soustavy lineárních rovnic využijeme Gaussovu eliminační metodu. Koeficienty u proměnných a, b, c, d, e a absolutní členy z pravých stran rovnic opět zapíšeme pomocí rozšířené matice soustavy a matici převedeme do schodovitého tvaru:     1 1 1 1 0 27 1 1 1 1 0 27 0 1 1 1 1 31 0 1 1 1 1 31      ∼ 1 0 1 1 1 34 ∼ 0 −1 0 0 1 7     1 1 0 1 1 37 0 0 −1 0 1 10 1 1 1 0 1 39 0 0 0 −1 1 12  ∼

1 0  0  0 0

1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 −1 0 0 0 −1

0 1 2 1 1

∼

 27 31  38  10 12  1 1 0 1  0 0  0 0 0 0

 1 0  0  0 0

∼

1 1 1 0 0

1 1 1 1 0

0 1 2 3 1

1 1 0 0 0

1 1 1 1 1 1 0 1 0 −1  27 31  38  48 15

0 1 2 3 1

 27 31  38  48 12

∼

Po konečném počtu ekvivaletních řádkových úprav jsme získali matici ve schodovitém tvaru. Soustava lineárních rovnic má tedy jedno řešení: e = 15,

d = 3,

c = 5,

b = 8,

a = 11.


63

Úloha 19. O muži vlastnícím tři vázy. Jistý muž měl tři vázy. První váza obsahuje osmnáctinu druhé a třetinu třetí vázy.XII Druhá váza obsahuje tolik, kolik třetí váza minus pětina první. A také třetí váza obsahuje tolik, kolik druhá váza a pětina první vázy. Zjistěte, kolik která váza obsahuje. Fibonacciho řešení úsudkem Protože druhá váza obsahuje tolik, kolik třetí váza minus pětina první vázy a 1 druhé a 13 třetí vázy, pak pětina první vázy obsahuje první váza obsahuje 18 1 0 XIII 1 1 z vázy druhé, tedy 90 , a jednu pětinu ze třetiny třetí vázy, tedy 15 . 5 18 1 Proto druhá váza obsahuje objem třetí vázy minus 90 druhé vázy a mínus 1 1 třetí vázy. Tedy druhá váza obsahuje 14 třetí vázy mínus 90 sama sebe. 15 15 14 1 Potom 15 třetí vázy obsahuje tolik, kolik druhá váza a její 90 , tedy 91 vázy 90 druhé. Obdobně třetí váza obsahuje tolik, kolik váza druhá a pětina první 1 1 vázy druhé a 15 vázy třetí. vázy. 51 první vázy, jak jsme již ukázali, obsahuje 90 1 1 Proto třetí váza obsahuje tolik, kolik druhá váza a 90 druhé a 15 třetí vázy. Jednu patnáctinu třetí vázy je nutné odečíst a tedy 14 třetí vázy obsahuje 15 91 vázy druhé, jak jsme již zjistili vyšetřováním druhé vázy. Tudíž tolik, kolik 90 známe řešení problému a je vyřešen takto. Je nutné nalézt dvě čísla tak, 91 jednoho čísla odpovídalo 90 druhého čísla. Proto budeme násobit aby 14 15 91, které je nad 90, a číslem 15, které je pod 14, čímž získáme číslo 1 365, které je hledaným větším číslem. Také budeme násobit číslo 14 číslem 90, čímž získáme 1 260, které je druhým hledaným číslem. Tato dvě čísla již mají společný jmenovatel a můžeme je zmenšit tím, že je vydělíme číslem 35. Získáváme potom 36 pro objem druhé vázy a 39 pro objem třetí vázy. Poté 1 z 36, tedy 2, a pak 13 z 39, tedy 13. Pak získáváme objem 15 nalezneme 18 pro první vázu. Rozbor Fibonacciho řešení matematickým jazykem dnešní doby Označme písmeny a, b, c objemy jednotlivých váz. Úlohu pak můžeme přepsat XII

Fibonacci v tomto kontextu míní: Objem první vázy je roven součtu jedné osmnáctiny objemu druhé vázy a jedné třetiny objemu třetí vázy. 0 1 1 XIII + 5·18 = 90 . Fibonacii zapisuje některé zlomky v tomto tvaru, myšleno 18


64

do soustavy lineárních rovnic: 1 1 b+ c 18 3 1 b= c− a 5 1 c= b+ a 5 Fibonacci se nejprve zaměřil na první dvě rovnice a řešil soustavu dvou lineárních rovnic dosazovací metodou: 1 1 a= b+ c 18 3 1 b= c− a 5 a=

První rovnici vynásobil 15 , čímž získal 1 1 1 a= b+ c 5 90 15 a dosadil (2.9) do rovnice druhé 1 1 b=c− b+ c . 90 15 Po úpravě získal 14 1 c− b 15 90 14 1 b= c, b+ 90 15 b=

tedy 14 91 b= c. 90 15 Obdobně se Fibonacci zaměřil na první a třetí rovnici: 1 1 b+ c 18 3 1 c= b+ a 5 Dosadil (2.9) do třetí rovnice, čímž získal a=

c=b+ c−

1 1 b+ c 90 15

1 91 c= b, 5 90

(2.9)


65

tedy opět získal rovnost 14 91 c= b. 15 90 Poté, co rovnost vynásobil jmenovately zlomků 15 a 90, obdržel 1 260 c = 1 365 b. Rovnost pak dělil společným dělitelem 35 a dostal 36 c = 39 b. Odtud c = 39 b = 36 Poté, co Fibonacci dosadil b a c do první rovnice, obdržel objem první vázy, tedy a = 15. Řešení úlohy současnými matematickými prostředky Objemy jednotlivých váz označíme písmeny a, b, c a opět vycházíme ze soustavy lineárních rovnic: 1 1 b+ c 18 3 1 b= c− a 5 1 c= b+ a 5

a=

Tedy a− 1 a+ 5 1 − a− 5

1 1 b− c=0 18 3 b−

c=0

b+

c = 0.

K výpočtu soustavy lineárních rovnic využijeme Gaussovu eliminační metodu. Koeficienty u proměnných a, b, c a absolutní členy z pravých stran rovnic opět zapíšeme pomocí rozšířené matice soustavy a matici převedeme do schodovitého tvaru:


66

 1 1 − 18 − 13 0 18 −1 −6 0  1  1 −1 0 ∼ ∼ 5 1 5 −5 0 − 15 −1 1 0 1 5 −5 0 1 5 −5 0 ∼ ∼ 18 −1 −6 0 0 −91 84 0 

Po konečném počtu ekvivalentních řádkových úprav jsme získali matici ve schodovitém tvaru. Je evidentní, že soustava lineárních rovnic bude mít nekonečně mnoho řešení v reálném oboru R: c=t 84 b= t 91 35 a= t, 91 kde t ∈ R. Obecné řešení uvedené soustavy v celých číslech je pak z = 39k y = 36k x = 15k, kde k ∈ Z. Jedním z celočíselných řešení je např. (15, 36, 39) pro k = 1, což je Fibonacciho řešení úlohy. Úloha 20. O třech mužích a nalezené peněžence. (F) Tři muži mající denáry nalezli peněženku s denáry. První muž řekl: „Pokud si vezmu denáry z peněženky a přičtu je k denárům, co již mám, tak budu mít přesně dvakrát tolik denárů, než máte vy.ÿ Druhý muž řekl: „Když si vezmu obsah peněženky já, tak budu mít celkem třikrát tolik denárů než vy ostatní.ÿ A třetí muž řekl: „Pokud si vezmu denáry z peněženky já, tak budu mít celkem čtyřikrát tolik denárů než vy ostatní.ÿ Úkolem je zjistit, kolik denárů vlastní jednotliví muži a kolik denárů bylo v nalezené peněžence. Fibonacciho řešení úsudkem Pokud by peněženku získal první muž, tak by měl dvakrát tolik denárů než ostatní muži. Tedy, pokud by měl s denáry z peněženky celkem 2 denáry, ostatní muži by měli 1 denár. Celkem by tedy všichni muži i s peněženkou


67

měli dohromady 3 denáry. Pokud by první muž získal peněženku, tak by vlastnil 23 z celkového součtu denárů všech tří mužů i z peněženky dohromady. Ze stejného důvodu by druhý muž měl 43 celkového součtu denárů a obdobně třetí muž by vlastnil 45 z tohoto celku. To znamená, že musíme najít nejmenší společný jmenovatel zlomků 45 34 23 ,XIV což je 60. Pokud vezmeme 23 z 60, dostaneme 40. Pak 43 z 60 jsou rovny 45 a 45 z 60 jsou rovny 48. Když sečteme tato čísla, součet je roven 133. Toto číslo je však větší než vypočtený jmenovatel 60, což je způsobeno tím, že denáry v peněžence jsme v předchozím součtu počítali třikrát, tedy pro každého muže jednou. Tyto denáry by se však měly počítat pouze jednou, je tedy zřejmé, že jsme je počítali dvakrát navíc, než jsme měli. Rozdíl mezi čísly 133 a 60 je 73, což je onen hledaný dvojnásobek počtu denárů z peněženky. Proto tedy 73 musíme vydělit dvěma, nebo číslo 60 vynásobit dvěma. Je mnohem výhodnější násobit 60 dvěma než dělit 73 dvěma, protože 73 nemůže být děleno 2 bez použití zlomků. Zvýšíme tedy celkový součet denárů všech tří mužů a peněženky na 120 tím, že 60 vynásobíme 2. Obsah peněženky tedy bude 73 denárů. Pokud získá peněženku první muž, bude mít 23 z celkového součtu denárů, tedy 23 ze 120, což je 80. Od tohoto čísla odečteme počet denárů v peněžence, tedy 73 denárů a získáme 7 denárů, jež vlastní první muž. Obdobně 34 ze 120 jsou rovny 90, od nichž odečteme 73 denárů z peněženky a obdržíme 17 denárů, jež vlastní druhý muž. Nakonec vezmeme 45 ze 120, tedy 96 denárů a i od nich odečteme 73 denárů a obdržíme 23 denárů, které vlastní třetí muž. Jinými slovy, protože první muž vlastní dohromady s obsahem peněženky 2 celkového součtu denárů, je naprosto zřejmé, že oba zbývající muži mají 13 3 tohoto součtu. Obdobně, pokud by peněženku vlastnil druhý muž, měl by 34 této celkové sumy a na oba zbývající muže by zbyla 14 tohoto součtu. A dále, pokud peněženku bude vlastnit třetí muž, bude mít 54 celkového součtu a ostatní tedy budou mít 15 . Nejmenší společný jmenovatel zlomků 54 34 23 je 60. Řekneme si tedy, že celkový součet denárů všech tří mužů i denárů z peněženky je 60, ze kterých 13 je 20 denárů, což mají druhý a třetí muž dohromady. Obdobně 14 , tedy 15 denárů, mají dohromady první a třetí muž. A nakonec 1 stejného součtu, tedy 12 denárů, mají dohromady první a druhý muž. Pro5 tože jsme každého muže počítali dvakrát, mají muži celkem dohromady 47 denárů. Proto vynásobíme celkový součet denárů všech mužů i denárů z peněženky, tedy 60 denárů, dvěma. Pak budou mít všichni muži dohromady 47 denárů. Druhý a třetí muž budou mít poté 13 ze 120, tedy 40 denárů, a protože všichni celkem mají 47 denárů, rozdíl je 7, což je počet denárů prvního muže. Obdobně, pokud 14 (a 15 ) ze 120 je 30 (a 24), potom na druhého muže zbývá 17 denárů (47 − 30) a na třetího muže 23 denárů (47 − 24). Pokud XIV

Fibonacci v tomto kontextu míní výčet těchto zlomků, tedy 45 , 34 , 32 .


68

sečteme 7, 17 a 23, dostaneme 47 přesně tak, jak jsme hledali. Rozbor Fibonacciho řešení matematickým jazykem dnešní doby Označíme písmeny a, b, c počty denárů, jež vlastní jednotliví muži a x hledaný obsah peněženky. Fibonacci tedy vycházel z těchto rovnic, kde a, b, c, x ∈ N: a + x = 2 · (b + c) b + x = 3 · (a + c) c + x = 4 · (a + b), Poté Fibonacci zvažuje, že pokud by peněženku získal první muž, tak by vlastnil 32 z celkového součtu denárů všech tří mužů i z peněženky dohromady. Označme tedy a + x = N , potom N = 2 · (b + c) N b+c= , 2 pak N 3 = N. 2 2 Pro zjednodušení označme a + b + c + x = α, kde α ∈ N, tedy a+b+c+x=N +

3 N 2 2 N = α. 3 α=

Podobně zjistíme, že platí 2 α 3 3 b+x= α 4 4 c+x= α 5 pak musí platit 60 | α, tedy α = 60 β, a+x=

=⇒

3|α

=⇒

4|α

=⇒

5 | α,

(2.10)

kde β ∈ N. Dosadíme do (2.10):

a + x = 40 β b + x = 45 β c + x = 48 β,

(2.11)


69

když tyto rovnice sečteme, získáme α + 2x = 133 β. Poté dosadíme α = 60 β: 60 β + 2x = 133 β 2x = 73 β =⇒

2 | 73 β.

Protože 73 je liché číslo, proto musí platit 2 | β, tedy β = 2 γ, kde γ ∈ N. Dosadíme za β do rovnice a obdržíme 2x = 146 γ x = 73 γ. Vypočítané x nyní dosadíme do (2.11): a + 73 γ = 80 γ b + 73 γ = 90 γ c + 73 γ = 96 γ

=⇒ =⇒ =⇒

a = 7γ b = 17 γ c = 23 γ

Pro γ = 1 obdržíme Fibonacciho řešení (7, 17, 23, 73). Řešení úlohy současnými matematickými prostředky Písmeny a, b, c označíme počty denárů, jež vlastní jednotliví muži a x hledaný obsah peněženky. Vycházíme tedy ze soustavy lineárních rovnic: a + x = 2 · (b + c) b + x = 3 · (a + c) c + x = 4 · (a + b) tedy a − 2b − 2c + x = 0 −3a + b − 3c + x = 0 −4a − 4b + c + x = 0 K výpočtu soustavy lineárních rovnic využijeme Gaussovu eliminační metodu. Koeficienty u proměnných a, b, c, x a absolutní členy z pravých stran


70

rovnic opět zapíšeme pomocí rozšířené matice soustavy a matici převedeme do schodovitého tvaru:     1 −2 −2 1 0 1 −2 −2 1 0 −3 1 −3 1 0 ∼ 0 5 9 −4 0 ∼ −4 −4 1 1 0 0 −12 −7 5 0   1 −2 −2 1 0 5 9 −4 0 ∼ 0 0 0 73 −23 0 Po konečném počtu ekvivaletních řádkových úprav jsme získali matici ve schodovitém tvaru. Je evidentní, že soustava lineárních rovnic bude mít nekonečně mnoho řešení v reálném oboru R: x=t 23 t c= 73 17 t b= 73 7 a= t, 73 kde t ∈ R. Obecné řešení uvedené soustavy v celých číslech je pak x = 73k c = 23k b = 17k a = 7k, kde k ∈ Z. Jedním z celočíselných řešení je např. (7, 17, 23, 73), pro k = 1, což je Fibonacciho řešení úlohy. Úloha 21. O peněžence nalezené čtyřmi muži. (F) Máme čtyři muže. První muž předpokládá, že pokud si nechá peněženku, bude mít třikrát více než ostatní muži. Druhý muž, pokud si nechá peněženku, bude mít čtyřikrát tolik než ostatní muži a třetí muž s obsahem peněženky bude mít pětkrát tolik než ostatní muži. A čtvrtý muž bude mít šestkrát tolik. Určete, kolik denárů vlastní jednotliví muži a současně zjistěte, jaký je obsah nalezené peněženky.


71

Fibonacciho řešení úsudkem Budeme postupovat následovně: Nejprve zjistíme, že první muž vlastní s denáry z peněženky 34 celkového součtu denárů všech čtyř mužů i z peněženky dohromady. Na ostatní muže by poté zůstala 14 z tohoto obnosu. Pokud by peněženku vlastnil druhý muž, pak by měl 45 celkového součtu denárů a na ostatní by zůstala 15 . V případě, že by peněženku vlastnil třetí muž, měl by 56 celkového součtu denárů a na ostatní by zůstala 61 . Obdobně čtvrtý muž by měl 67 z tohoto celku a na ostatní by zůstala 17 . Potom, podobně jako v předcházející úloze, nalezneme nejmenší společný jmenovatel zlomků: 71 16 15 14 ,XV tím je číslo 420. Potom vezmeme 34 ze 420, dostaneme 315. Pak 45 ze 420 jsou rovny 336, poté 56 ze 420 je rovno 350 a pak 67 ze 420 je 360. Když sečteme tato čísla, získáme číslo 1 361. Poté od něj odečteme 420 a zůstane nám číslo 941. Protože muži jsou čtyři a každý muž započítává peněženku, pak jsme denáry, jež jsou v peněžence, počítali čtyřikrát. Započítány ale mají být jen jednou, tedy jsme peněženku počítali třikrát navíc. Tudíž 420 vynásobíme třemi a obdržíme 1 260, což je součet denárů všech mužů a denárů z peněženky, a pak 941 denárů bude obnos, který je v peněžence. Proto vezmeme 3 z 1 260 a obdržíme obnos 945, z něhož zjistíme, kolik vlastní první muž. 4 Vezmeme tyto 34 z 1 260, tedy 945, a odečteme od nich 941. Zůstanou nám 4 denáry, což je obnos, který vlastní první muž. Pak také vezmeme 45 z 1 260, což je 1 008 a odečteme od nich 941 a zůstane nám 67 denárů jakožto obnos, který vlastní druhý muž. Pak opět vezmeme 56 z 1 260, tedy 1 050, a odečteme od nich 941 a zůstane nám 109 denárů jakožto obnos, který vlastní třetí muž. A konečně také vezmeme 76 z 1 260, tedy 1 080 a opět odečteme 941 a zůstane nám 139 denárů, což je obnos čtvrtého muže. Ke stejnému výsledku dospějeme i následujícím způsobem: Tedy vezmeme zlomky 17 61 15 41 , což jsou zbytky, jež vždy zbyly na ostatní tři muže. Potom vezmeme postupně 17 16 15 14 ze 420 (tedy 60, 70, 84 a 105), sečteme je a dostaneme 319, jakožto součet denárů všech čtyř mužů. Pak odečteme od 1 260, které jsme získali dříve, obnos 319 a zůstane nám obnos 941 denárů, což je obsah nalezené peněženky. Pak postupně bereme 14 z 1 260, což je 315 a odečteme tento obnos od 319 a obdržíme 4 denáry, což je jmění prvního muže. Dále vezmeme 51 z 1 260, což je 252 a odečteme tento obnos od 319 a získáme 67 denárů, které vlastní druhý muž. Pak vezmeme 16 z 1 260, což je 210 a opět ji odečteme od 319 a zůstane nám 109 denárů, jakožto jmění třetího muže. A konečně vezmeme 17 z 1 260, což je 180 a odečteme ji opět od 319 a dostaneme 139 denárů, což je obnos, který vlastní čtvrtý muž. Ke stejnému výsledku jsme dospěli i prvním způsobem. XV

Fibonacci v tomto kontextu míní výčet těchto zlomků, tedy 17 , 16 , 51 , 14 .


72

Rozbor Fibonacciho řešení matematickým jazykem dnešní doby Označíme písmeny a, b, c, d počty denárů, jež vlastní jednotliví muži a x hledaný obsah peněženky.XVI Fibonacci tedy vycházel z těchto rovnic: a + x = 3 · (b + c + d) b + x = 4 · (a + c + d) c + x = 5 · (a + b + d) d + x = 6 · (a + b + c), kde a, b, c, d, x ∈ N. Poté Fibonacci zvažuje, že pokud by peněženku získal první muž, tak by vlastnil 43 z celkového součtu denárů všech čtyř mužů i z peněženky dohromady. Označme tedy a + x = N , potom N = 3 · (b + c + d) N b+c+d= , 3 pak N 4 = N. 3 3 Pro zjednodušení označme a + b + c + d + x = α, kde α ∈ N, tedy a+b+c+d+x=N +

4 N 3 3 N = α. 4 α=

Podobně zjistíme, že platí 3 α 4 4 b+x= α 5 5 c+x= α 6 6 d+x= α 7 a+x=

XVI

=⇒

4|α

=⇒

5|α

=⇒

6|α

=⇒

7 | α,

V úloze se zřejmě předpokládá, že počty denárů jsou přirozená čísla.

(2.12)


73

pak musí platit 420 | α, tedy α = 420 β, kde β ∈ N. Dosadíme do (2.12): a + x = 315 β

(2.13)

b + x = 336 β c + x = 350 β d + x = 360 β, když tyto rovnice sečteme, získáme α + 3x = 1 361 β. Poté dosadíme α = 420 β: 420 β + 3x = 1 361 β 3x = 941 β =⇒

3 | 941 β.

Protože 3 - 941, musí platit 3 | β, tedy β = 3 γ, kde γ ∈ N. Dosadíme za β do rovnice a obdržíme 3x = 2 823 γ x = 941 γ. Vypočítané x nyní dosadíme do (2.13): a + 941 γ b + 941 γ c + 941 γ d + 941 γ

= 945 γ = 1 008 γ = 1 050 γ = 1 080 γ

=⇒ =⇒ =⇒ =⇒

a = 4γ b = 67 γ c = 109 γ d = 139 γ

Pro γ = 1 obdržíme Fibonacciho řešení (4, 67, 109, 139, 941). Ke stejnému výsledku Fibonacci dospěl i dalším způsobem. Ponechme výše uvedené označení. Opět tedy platí: 3 α 4 4 b+x= α 5 5 c+x= α 6 6 d + x = α, 7

a+x=


74

pak 1 α 4 1 a+c+d= α 5 1 a+b+d= α 6 1 a + b + c = α, 7 b+c+d=

součtem těchto čtyř rovnic získáváme 319 α 420 319 α. (a + b + c + d) = 1 260

3(a + b + c + d) =

Potom pro α = 1 260 je a + b + c + d = 319, tedy x = 1 260 − 319 = 941. Pak 1 4 1 b = 319 − 5 1 c = 319 − 6 1 d = 319 − 7

a = 319 −

· 1 260 = 319 − 315 = 4 · 1 260 = 319 − 252 = 67 · 1 260 = 319 − 210 = 109 · 1 260 = 319 − 180 = 139,

čímž jsme obdrželi Fibonacciho řešení úlohy. Řešení úlohy současnými matematickými prostředky Počty denárů, jež vlastní jednotliví muži označíme písmeny a, b, c, d a x hledaný obsah peněženky. Vycházíme tedy ze soustavy lineárních rovnic: a + x = 3 · (b + c + d) b + x = 4 · (a + c + d) c + x = 5 · (a + b + d) d + x = 6 · (a + b + c),


75

tedy a − 3b − 3c − 3d + x = 0 −4a + b − 4c − 4d + x = 0 −5a − 5b + c − 5d + x = 0 −6a − 6b − 6c + d + x = 0. K výpočtu soustavy lineárních rovnic využijeme Gaussovu eliminační metodu. Koeficienty u proměnných a, b, c, d, x a absolutní členy z pravých stran rovnic opět zapíšeme pomocí rozšířené matice soustavy a matici převedeme do schodovitého tvaru:     1 −3 −3 −3 1 0 1 −3 −3 −3 1 0 −4  1 −4 −4 1 0 11 16 16 −5 0   ∼ 0  ∼ −5 −5 0 −20 −14 −20 1 −5 1 0 6 0 −6 −6 −6 1 1 0 0 −24 −24 −17 7 0 

1 −3 −3 0 11 16 ∼  0 0 83 0 0 120  1 −3 −3 0 11 16 ∼  0 0 83 0 0 0

 −3 1 0 16 −5 0  50 −17 0 197 −43 0 −3 1 16 −5 50 −17 941 −139

∼

 0 0  0 0

Po konečném počtu ekvivaletních řádkových úprav jsme získali matici ve schodovitém tvaru. Je evidentní, že soustava lineárních rovnic bude mít nekonečně mnoho řešení v reálném oboru R: x=t 139 d= t 941 109 c= t 941 67 t b= 941 4 a= t, 941


76

kde t ∈ R. Obecné řešení uvedené soustavy v celých číslech je pak x = 941k d = 139k c = 109k b = 67k a = 4k, kde k ∈ Z. Jedním z celočíselných řešení je např. (4, 67, 109, 139, 941), pro k = 1, což je Fibonacciho řešení úlohy. Úloha 22. O třech mužích a stejném počtu koní. (F) Máme tři muže a současně 3 koně. Druhý kůň stojí o 2 bezantyXVII více než první kůň a třetí kůň stojí o 2 bezanty více než druhý kůň. Pokud si první muž vezme od ostatních mužů 31 jejich bezantů, pak má právě obnos, za který si koupí prvního koně. Druhému muži by stačila jen 41 bezantů ostatních mužů ke koupi druhého koně a třetí muž by si s 51 bezantů od ostatních mužů mohl koupit třetího koně. Máme zjistit cenu, za kterou se prodávají koně a též určit, kolik bezantů vlastní jednotliví muži. Fibonacciho řešení úsudkem Napíšeme tedy

111 543

na první řádek a na další řádek 1 5 1 4

1 4 1 3

111 432

následovně:

1 3 1 2

Potom nalezneme tři čísla, pro která platí, že druhé je o 2 menší než první a třetí je o 2 menší než druhé, jelikož existují rozdíly v ceně koní. Největší z nich by mělo být dělitelné 2 beze zbytku, druhé dělitelné 3 beze zbytku a třetí dělitelné 4 beze zbytku. Takovými čísly jsou například 20, 18 a 16. První z nich, tedy 20, bude zbytkem pro druhého a třetího muže. Druhé číslo, tedy 18, bude určitě zbytkem pro třetího a prvního muže. Poslední, tedy 16, bude tím, které zůstane pro prvního a druhého muže. Dále vynásobíme první zbytek pro druhého a třetího muže, tedy 20, třemi, jež jsou na konci prvního řádku, a vydělíme dvěma z konce druhého řádku. Výsledek je 30, což je součet bezantů druhého a třetího muže. Obdobně vynásobíme zbytek pro třetího a prvního muže, tedy 18, čtyřmi, jež jsou na prvním řádku, XVII

Bezanty (Byzantiny) = středověké pojmenování zlatých mincí.


77

a vydělíme třemi z druhého řádku. Výsledkem je 24 bezantů, což je součet bezantů třetího a prvního muže. Také vynásobíme 16, což je zbytek bezantů pro druhého a prvního muže, pěti z prvního řádku a vydělíme čtyřmi z druhého řádku. Výsledek, tedy 20, je součtem bezantů druhého a prvního muže. Tento výsledek sečteme s 24, jež tvoří součet bezantů třetího a prvního muže a dále s 30 bezanty, jež jsou součtem třetího a druhého muže. Výsledek je potom 74 bezantů, a protože jsou v tomto součtu započítány všechny bezanty dvakrát, musíme tento výsledek rozdělit na polovinu. Pak částka 37 bezantů je částka, kterou vlastní všichni muži dohromady. Protože součet bezantů druhého a třetího muže je 30, zbývá pro prvního muže 7 bezantů. Obdobně, odečteme-li 24 bezantů od celkového součtu bezantů, získáme 13 bezantů pro druhého muže. Nakonec odečtením 20 bezantů z celkového součtu získáme 17 bezantů, což je obnos bezantů, jež vlastní třetí muž. Poté přičteme k 7 bezantům prvního muže jednu třetinu bezantů ostatních dvou mužů, tedy 13 z 30, tak získáme 17 bezantů, což je cena prvního koně. Cena druhého koně bude pak 19 bezantů, což je o 2 bezanty více než cena prvního koně. Cena třetího koně potom bude 21 bezantů. Rozbor Fibonacciho řešení matematickým jazykem dnešní doby Označme opět množství bezantů, jež vlastní první muž x; množství bezantů, jež vlastní druhý muž y a množství bezantů, jež vlastní třetí muž z. Cenu prvního koně pak označme a. Získáváme tuto soustavu rovnic, kde zřejmě řešení x, y, z, a mají být přirozená čísla: 1 x + (y + z) = a 3 1 y + (x + z) = a + 2 4 1 z + (x + y) = a + 4 5 Fibonacci je řeší zajímavým způsobem. Zavedeme novou neznámou N = x + y + z. Nyní uvažme následující rozdíly: 1 x + y + z − [x + (y + z)] = 3 1 x + y + z − [y + (x + z)] = 4 1 x + y + z − [z + (x + y)] = 5

2 (y + z) = N − a 3 3 (x + z) = N − a − 2 4 4 (x + y) = N − a − 4 5

(2.14)


78

Z těchto rovnic pak plyne 2 | (N − a), 3 | (N − a − 2), 4 | (N − a − 4). Takové číslo N − a (uvádí Fibonacci) je číslo 20. Pak Fibonacci dostává: 2 (y + z) = 20 3 3 (x + z) = 18 4 4 (x + y) = 16. 5 Poté získal y + z = 30 x + z = 24 x + y = 20, po součtu těchto rovnic dostáváme 2(x + y + z) = 74 x + y + z = 37. Poněvadž (y + z) = 30, pak x = 37 − 30 = 7 (x + z) = 24, pak y = 37 − 24 = 13 (x + y) = 20, pak z = 37 − 20 = 17, tedy první muž vlastní 7 denárů, druhý 13 denárů a třetí 17 denárů. Potom 1 7 + (13 + 17) = 17 3 1 13 + (7 + 17) = 19 4 1 17 + (7 + 13) = 21, 5 tedy cena prvního koně je 17 denárů, cena druhého koně 19 denárů a cena třetího koně 21 denárů. Nyní provedeme přesný rozbor této metody. Položme A = N − a. Jelikož 2 | A, 3 | (A − 2), 4 | (A − 4), existují přirozená čísla u, v tak, že platí: A = 4u, A − 2 = 2(2u − 1), 2u − 1 = 3v,


79

tudíž A = 6v + 2 = 2(3v + 1) a číslo v musí být liché. Tedy existuje celé nezáporné číslo w tak, že v = 2w+1, odkud dostáváme A = 12w + 8. Pokračujeme pak v úvahách jako od začátku rovnic (2.14). Dostaneme rovnice 2 (y + z) = A = 12w + 8 3 3 (x + z) = A − 2 = 12w + 6 4 4 (x + y) = A − 4 = 12w + 4. 5 Tudíž y + z = 18w + 12 x + z = 16w + 8

(2.15)

x + y = 15w + 5 a po součtu těchto rovnic získáme 2N = 49w + 25. Z toho plyne, že w musí být liché číslo, tedy w = 2k + 1, kde k je celé nezáporné číslo. Pak A = 24k + 20, 2N = 98k + 74, tedy N = 49k + 37, a = 25k + 17. Z rovnic (2.15) pak získáme obecné řešení rovnic (2.14): x = 13k + 7 y = 17k + 13 z = 19k + 17, kde k je celé nezáporné číslo.


80

Poznámka 2.2. Pro číslo A = N − a platí tyto podmínky: 2 | A, 3 | (A − 2), 4 | (A − 4) a číslo w je liché nezáporné číslo (4A = 12w + 8). Tyto podmínky jsou ekvivalentní s podmínkami: 4 | A, 3 | (A − 2), 8 | (A − 4). Podmínka 8 | (A − 4) u Fibonacciho podmínek schází. Zvolíme-li např. A = 8 nebo A = 32, pak sice 4 | A, 3 | (A − 2), ale 8 - (A − 4). Pro tato A nedostaneme řešení. Fibonacci zvolil A = 20, kde 4 | A, 3 | (A − 2), ale také 8 | (A − 4). Proto obdržel řešení. Řešení úlohy současnými matematickými prostředky Označme opět množství bezantů, jež vlastní první muž x, množství bezantů, jež vlastní druhý muž y a množství bezantů, jež vlastní třetí muž z. Cenu prvního koně pak označme a, cenu druhého koně b a cenu třetího koně c, přičemž dle zadání platí a = b − 2, c = b + 2. Vycházíme tedy z těchto rovnic: 1 x + (y + z) = a = b − 2 3 1 y + (x + z) = b 4 1 z + (x + y) = c = b + 2 5 Pak platí 1 x + (y + z) + 2 = y + 3 1 y + (x + z) = z + 4

1 (x + z) 4 1 (x + y) − 2 5

Tedy 9x − 8y + z = −24 x + 16y − 15z = −40 Získali jsme soustavu lineárních rovnic. K výpočtu využijeme Gaussovu eliminační metodu. Koeficienty u proměnných x, y, z a absolutní členy z pravých stran rovnic opět zapíšeme pomocí rozšířené matice soustavy a matici převedeme do schodovitého tvaru: 1 16 −15 −40 1 16 −15 −40 ∼ 9 −8 1 −24 0 −19 17 42


81

Po konečném počtu ekvivalentních řádkových úprav jsme získali matici ve schodovitém tvaru. Je evidentní, že soustava lineárních rovnic bude mít nekonečně mnoho řešení v reálném oboru R: z=t 42 17 + t 19 19 88 13 x=− + t, 19 19 kde t ∈ R. Pro t = 17 obdržíme Fibonacciho řešení y=−

z = 17 y = 13 x=7 tedy, že první muž vlastní 7 bezantů, druhý muž 13 bezantů a třetí muž 17 bezantů. Pak určíme cenu druhého koně 1 b = y + (x + z) 4 1 b = 13 + (7 + 17) = 19. 4 Potom a = 17, c = 21. Cena prvního koně je 17 bezantů, druhého koně 19 bezantů a třetího koně 21 bezantů. Řešení úlohy užitím lineární algebry Uvažme (2.14) jako systém lineárních rovnic nad tělesem reálných čísel o neznámých x, y, z s parametrem a. Determinant matice této soustavy je roven 5 , tedy nad tělesem reálných čísel pro každé reálné číslo a existuje právě 6 jedno řešení systému (2.14), které získáme např. Cramerovým pravidlem: 1 1 (26a − 92) = (13a − 46) 50 25 1 y = (17a + 36) 25 1 z = (19a + 102). 25 V úloze se požaduje, aby čísla x, y, z, a byla přirozená. Tudíž x=

13a ≡ 46 13a ≡ 221 a ≡ 17

(mod 25) (mod 25) (mod 25)


82

Existuje tedy celé nezáporné číslo k tak, že a = 17 + 25k. Pak 1 (175 + 13 · 25k) = 7 + 13k 25 1 y = (289 + 17 · 25k + 36) = 13 + 17k 25 1 z = (323 + 19 · 25k + 102) = 17 + 19k, 25

x=

což je v souladu s obecným řešením získaným Fibonacciho metodou.

2.8

Úlohy dnes řešené s využitím diofantické rovnice

Úloha 23. O nalezení dvou čísel, přičemž nají 83 druhého čísla. Hledáme tedy dvě čísla, přičemž je určit tato dvě čísla.

2 7

2 7

jednoho čísla se rov-

jednoho čísla se rovnají

3 8

druhého. Úkolem

Fibonacciho řešení úsudkem Jestliže hledáme dvě čísla, přičemž 27 jednoho se rovnají 38 druhého, potom křížem roznásobíme číslo 7 číslem 3 a číslo 8 číslem 2. Získáme 21 krát číslo první a 16 krát číslo druhé. Číslo 6 je 72 z 21 a 38 z 16, z využití tohoto pravidla plyne, že 72 ze 38 jakéhokoliv čísla jsou 83 ze 72 téhož čísla. Tudíž, když vynásobíme 7 číslem 3, pak obdržíme 38 z 56, přičemž 56 získáme vynásobením týž 7 a 8, která jsou ve jmenovatelích zlomků, protože poměr je tři ku osmi. Tedy stejný jako poměr sedminásobku čísla 3 ku sedminásobku čísla 8. A obdobně, když vynásobíme 8 číslem 2, pak získáme 72 ze stejného čísla 56. Tudíž 72 z 21, totiž 38 z 56, se rovnají 38 z 16, totiž 27 z 56. Řešení úlohy současnými matematickými prostředky Hledaná čísla jsou zřejmě čísla celá. Označme první hledané číslo x a druhé y. Úlohu zapíšeme do rovnice a upravíme: 2 3 x= y 7 8 16x = 21y.

(2.16)


83

Jedná se o diofantickou rovnici, kterou lze řešit pomocí kongruencí. Libovolné řešení této rovnice musí splňovat kongruenci 16x − 21y ≡ 0 11y ≡ 0

(mod 16) (mod 16),

tedy y≡0

(mod 16).

Odkud y = 16t,

pro t ∈ Z.

Dosazením do rovnice (2.16) dostaneme 16x = 21 · 16t. Odkud x = 21t,

pro t ∈ Z.

Řešením zadané rovnice je tedy x = 21t,

y = 16t,

kde t je libovolné celé číslo. Např. tedy x = 21 a y = 16, pro t = 1, což je Fibonacciho řešení úlohy, které lze získat snadno z (2.16). Z uvedeného řešení současnými matematickými prostředky získáme množinu všech řešení. Úloha 24. O dvou mužích a dvou koních. (F) Dva muži mající bezanty nalezli 2 koně, jež byli na prodej. Druhý kůň stojí o 2 bezanty více než první kůň. Pokud by si vzal první muž od druhého muže 31 jeho bezantů, mohl by koupit prvního koně. Druhý muž se čtvrtinou bezantů od prvního muže by mohl koupit druhého koně. Předpokládejme, že všechny hodnoty jsou celočíselné. Máme zjistit cenu, za kterou se prodávají koně a též určit, kolik bezantů vlastní jednotliví muži. Fibonacciho řešení úsudkem Protože první muž, s 13 bezantů od druhého muže, má celkem přesně tolik bezantů, za kolik se prodává první kůň a druhý muž, se čtvrtinou bezantů od prvního muže, má přesně hodnotu druhého koně. Pak první muž se třetinou bezantů druhého muže má o dva bezanty méně než druhý muž se čtvrtinou bezantů od prvního muže. Pokud odečteme 31 bezantů druhého muže od obou množství bezantů, tak první muž bude mít o 2 bezanty méně, než


84

je součet 23 bezantů druhého muže a 14 jeho vlastních bezantů. Proto také, pokud pak od obou množství bezantů odečteme 14 bezantů prvního muže, potom 43 bezantů prvního muže budou o 2 bezanty menší než 32 bezantů druhého muže. Hledáme tedy dvě čísla, pro která platí, že 34 prvního čísla jsou rovny o 2 menším 32 druhého čísla. Nyní popíšeme metodu, jak tato dvě čísla získat: vezmeme 34 nějakého čísla, které lze dělit číslem 4 beze zbytku a ke kterému pak přičteme 2, a které je současně celočíselně dělitelné dvěma třetinami, takové číslo je 8. Pak k 34 z tohoto čísla, tedy 6, přičteme 2, protože je to hodnota, o kterou přesahují 32 bezantů druhého muže hodnotu 34 bezantů prvního muže. Vezmeme tedy číslo 8, které bude představovat 23 jiného celého čísla, a to najdeme tak, že polovinu 8, tedy 4, vynásobíme třemi a dostaneme 12. Protože 34 z 8 jsou o 2 menší než 23 z 12, má první muž 8 bezantů a druhý 12 bezantů, ze kterých 31 , tedy 4, v součtu s 8 dává 12, což je cena prvního koně. Když ke 12 přičteme 2, získáme cenu druhého koně, tedy 14 bezantů. Nebo také 43 z 16, tedy 12, je o 2 menší než 32 z 21, může tedy první muž vlastnit 16 bezantů a druhý muž 21 bezantů. V tomto případě by první kůň měl hodnotu 23 a druhý 25 bezantů. Je zřejmé, že existuje více výsledků, tedy čísel, jež jsou vzájemně v uvedeném poměru, tedy 34 prvního čísla jsou rovny o 2 menším 23 druhého. Pokud by byla cena druhého koně o 3 denáry vyšší než cena prvního koně, potom bychom hledali dvě čísla, pro která platí, že 43 prvního čísla jsou rovny o 3 menším 23 druhého. I v tomto případě je více správných řešení, např. první muž má 20 bezantů, druhý 27 bezantů, cena prvního koně je 29 a druhého 32 bezantů. Řešení úlohy současnými matematickými prostředky Označme opět množství bezantů, jež vlastní první muž x a množství bezantů, jež vlastní druhý muž y. Cenu prvního koně pak označme a a cenu druhého koně b, přičemž dle zadání platí b = a + 2. Vycházíme tedy z těchto rovnic: 1 x+ y =a 3 1 y+ x=b=a+2 4 Pak 1 1 x+ y =y+ x−2 3 4 3 2 x− y+2=0 4 3


85

Tedy 9x − 8y + 24 = 0

(2.17)

Jedná se o diofantickou rovnici, kterou lze řešit pomocí kongruencí. Libovolné řešení této rovnice musí splňovat kongruenci 9x − 8y ≡ −24 (mod 9) y ≡ 3 (mod 9). Odkud y = 3 + 9t,

pro t ∈ Z.

Dosazením do rovnice (2.17) dostaneme 9x − 8(3 + 9t) + 24 = 0 9x = 72t. Odkud x = 8t,

pro t ∈ Z.

Řešením zadané rovnice je tedy x = 8t,

y = 3 + 9t,

kde t je libovolné celé číslo. Pro t = 1 obdržíme jedno z Fibonacciho řešení, a to x = 8, y = 12, a = 12, b = 14. První muž vlastní 8 bezantů, druhý muž 12 bezantů, cena prvního koně je 12 bezantů a druhého koně 14 bezantů. Pro t = 2 získáváme druhé Fibonacciho řešení x = 16, y = 21, a = 23, b = 25. První muž vlastní 16 bezantů, druhý muž 21 bezantů, cena prvního koně je 23 bezantů a druhého koně 25 bezantů. Z uvedeného řešení současnými matematickými prostředky získáváme množinu všech řešení.

2.9

Úlohy důkazového typu

Úloha 25. O uhádnutí myšleného čísla. Jistá osoba si myslí číslo a naším úkolem je nalézt toto neznámé číslo.XVIII XVIII

Fibonacci se snaží nalézt postup umožňující určit původní číslo, jak bude zřejmé z Fibonacciho řešení úsudkem.


86

Fibonacciho řešení úsudkem Této osobě řekneme, aby přičetla k tomuto myšlenému číslu polovinu tohoto myšleného čísla a pokud se v této polovině objeví zlomek, pak mu řekneme, aby zvolil nejbližší vyšší celé číslo. Dále mu řekneme, aby k součtu těchto dvou čísel opět přičetl polovinu tohoto součtu a pokud se objeví v této polovině zlomek pak, aby znovu zvolil nejbližší vyšší celé číslo. Pak se ho zeptáme, kolik devítek se nachází v součtu těchto tří čísel. Za každou 9 si budeme pamatovat 4 a pokud v prvním kroku, kdy tvořil polovinu myšleného čísla, se vyskytl zlomek, pak si budeme pamatovat 1. Pokud se ve druhém kroku, při přičítání poloviny součtu, vyskytl zlomek, budeme si pamatovat 2. Pokud byly zlomky na obou pozicích, budeme si pamatovat 3. K součtu všech 4 přičteme buď výše zmíněnou 1, 2, nebo 3, a dostaneme ono myšlené číslo. Například: Uvažme, že myšleným číslem bylo číslo 1. K této jedničce přičteme polovinu a dostaneme jedna a jedna polovina. Z poloviny uděláme 1, protože máme vzít nejbližší vyšší celé číslo, a po sečtení tedy získáme číslo 2. Poté opět sečteme tuto dvojku s polovinou tohoto součtu, tedy 1, a obdržíme číslo 3. Jelikož v druhém součtu nevznikl zlomek a jelikož v čísle 3 nejsou žádné 9, je zřejmé, že si osoba myslela číslo 1. Pokud by se při obou půleních vyskytl zlomek a ve výsledku sčítání by nebyly žadné 9, poznali bychom, že myšleným číslem je číslo 3. Další příklad: Uvažme, že myšleným číslem je číslo 10. K této 10 přičteme polovinu tohoto myšleného čísla, tedy 5, a obdržíme číslo 15. V tomto kroku se nevyskytuje žádný zlomek. Potom k této 15 přičteme její polovinu, tedy 21 7, a obdržíme číslo 21 22. V tomto čísle se ale objevuje zlomek 12 , a proto vezmeme nejbližší vyšší celé číslo, tedy 23. A protože se v tomto druhém kroku vyskytl zlomek, budeme si pamatovat 2, jak je uvedeno v zadání. Číslo 23 obsahuje pouze dvě devítky, budeme si tedy dále pamatovat dvě čtyřky. Po sečtení čísel, jež jsme si měli pamatovat, tedy 2 + 2 · 4, získáme hledané číslo, a to číslo 10. Příkladem, kdy se v obou krocích vyskytne zlomek, abychom si mohli pamatovat číslo 3, jak říká zadání, je případ, kdy myšleným číslem je číslo 19. Tedy: 1 1. krok: 19 + 9 = 2 1 2. krok: 29 + 14 = 2

1 28 → 29 2 1 43 → 44, 2

pak se zlomek vyskytuje v obou krocích, tedy si pamatujeme číslo 3 a číslo 44 obsahuje čtyři devítky, zapamatujeme si tedy také čtyři čtyřky. Po sečtení čísel, jež jsme si měli pamatovat, tedy 3 + 4 · 4, obdržíme číslo 19, jež je


87

skutečně myšleným číslem. Řešení úlohy současnými matematickými prostředky Ukažme důkaz tohoto tvrzení. Rozdělme celá čísla na čtyři skupiny podle zbytku, který dávají po dělení čtyřmi a sledujme Fibonacciho výpočet. 1. Čísla tvaru 4k, kde k ∈ Z. 1. krok: 2. krok: Kolik 9?

4k + 2k = 6k 6k + 3k = 9k 9k =k 9

V tomto případě nám osoba prozradí čtvrtinu myšleného čísla. 2. Čísla tvaru 4k + 1. 1. krok:

2. krok: Kolik 9?

3 1 4k + 1 + 2k + = 6k + 2 2 3 6k + = 6k + 2 2 6k + 2 + 3k + 1 = 9k + 3 9k + 3 =k 9

Podle Fibonacciho návodu si pamatujeme 1, neboť v 1. kroku se objevil zlomek. Máme tedy vzít 4k + 1. 3. Čísla tvaru 4k + 2. 1. krok: 2. krok:

Kolik 9?

4k + 2 + 2k + 1 = 6k + 3 3 9 6k + 3 + 3k + = 9k + 2 2 9 9k + = 9k + 5 2 9k + 5 =k 9

Podle Fibonacciho návodu si pamatujeme 2, neboť v 2. kroku se objevil zlomek. Máme tedy vzít 4k + 2.


88

4. Čísla tvaru 4k + 3. 1. krok:

2. krok:

Kolik 9?

3 4k + 3 + 2k + = 6k + 2 9 6k + = 6k + 5 2 5 6k + 5 + 3k + = 9k + 2 15 9k + = 9k + 8 2 9k + 8 =k 9

9 2

15 2

Podle Fibonacciho návodu si pamatujeme 3, neboť v obou krocích se objevil zlomek. Máme tedy vzít 4k + 3. Čímž jsme tvrzení dokázali. Úloha 26. O dělení jakéhokoliv čísla na dvě libovolné části. Kdosi rozdělí libovolné neznámé číslo na dvě libovolné části, naším úkolem je nalézt toto neznámé číslo. Fibonacciho řešení úsudkem Nařídíme mu tedy, aby zdvojnásobil jednu z částí a druhou vynásobil celým původním číslem, které si vymyslel. Poté, aby sečetl tyto dva mezivýsledky. Pak ho požádáme, aby nám sdělil výsledek, který vznikne tak, že číslo právě vypočítané odečteme od čísla, které získáme tak, že vynásobíme číslo původní s číslem o jedničku větším. Tento rozdíl vydělíme původním číslem, od kterého odečteme jedničku. Získaný výsledek bude tou částí původního čísla, kterou dotyčný zdvojnásobil. Zbytek po dělení bude tou druhou částí původního čísla. Například, mysleme si číslo 10 a rozdělme jej na 3 a 7. Zdvojnásobíme číslo 3 a přičteme k výsledku součin 7 a původního čísla 10. Výsledek je 76, který odečteme od čísla 110, jež vzniklo vynásobením 10 a čísla o jedničku větším, tedy 11. Zůstane nám 34. Pokud toto číslo vydělíme číslem 10 minus 1, tedy 9, získáváme výsledek 3 a zbytek 7. Tedy původním myšleným číslem byla skutečně 10.


89

Řešení úlohy současnými matematickými prostředky Uvedeme důkaz tohoto algoritmu, který formulujeme exaktním způsobem. Označme x myšlené číslo (x ∈ N, x 6= 1). Písmenem a označme první hledanou část a písmenem b druhou hledanou část (a, b ∈ N). Platí tedy a + b = x. Poté máme požádat člověka, jenž si myslí číslo, aby zdvojnásobil jednu z částí a druhou vynásobil celým původním číslem, které si vymyslel. Poté, aby sečetl tyto dva mezivýsledky. Označme tedy 2a + bx = c.

(2.18)

Pak ho máme požádat, aby nám sdělil výsledek, který vznikne tak, že číslo právě vypočítané odečteme od čísla, které získáme tak, že vynásobíme číslo původní s číslem o jedničku větším. Označme tedy x(x + 1) − c = z. Nyní máme ověřit, že pokud tento rozdíl vydělíme původním číslem, od kterého odečteme jedničku, pak získaný výsledek bude tou částí původního čísla, kterou dotyčný zdvojnásobil. Zbytek po dělení bude tou druhou částí původního čísla. Využijeme tedy větu o dělení dvou celých čísel se zbytkem. Víme, že platí z = (x − 1)q + r,

kde q ∈ Z, r ∈ Z, 0 ≤ r < (x − 1)

a máme dokázat, že a = q, b = r. Z věty o dělení se zbytkem plyne jednoznačnost zbytku r a jednoznačnost neúplného podílu q. Předpokládejme tedy, že platí z = x(x + 1) − c = (x − 1)q + r. Dosadíme-li za c výraz (2.18), získáváme z = x(x + 1) − c = x(x − 1 + 2) − 2a − bx = x(x − 1) + 2x − 2a − bx. Poté vytkneme (x − 1): z = x(x − 1) + 2(x − 1) + 2 − 2a − b(x − 1) − b = (x − 1)(x + 2 − b) + 2 − 2a − b.


90

Protože a + b = x, pak lze psát z = (x − 1)(x + 2 − b) + 2 − a − (a + b) = (x − 1)(x + 2 − b) + 2 − a − x. Opět vytkneme (x − 1): z = (x − 1)(x + 2 − b) + 2 − a − (x − 1) − 1 = (x − 1)(x + 1 − b) + 1 − a Dále platí z = (x − 1)[(x − 1) + 2 − b] + 1 − a, potom z = (x − 1)[(x − 1) + 1 − b] + 1 − a + (x − 1), po úpravě z = (x − 1)(x − b) + x − a. Jestliže 0 < x − a < x − 1, je x−a=r x − b = q. V případě a = 1 je x − a = x − 1, tedy x − a není zbytek po dělení čísla z číslem x − 1. Tento zbytek je rovnen nule, neboť pak z = (x − 1)(x − b) + x − 1 = (x − 1)(x − b + 1) + 0. Z našeho řešení tedy plyne, že tento Fibonacciho postup neplatí, jestliže část, která je zdojnásobována, je rovna 1.

Kapitola 3 Fibonacciho a Lucasova posloupnost v aplikacích Tato kapitola je zpracována tak, aby se dalo studentům snadno ukázat, že matematika je skutečně všude kolem nás. Studenti často chápou jednotlivé předměty separovaně, proto je zde poukazáno na zajímavé souvislosti matematiky a biologie, architektury, umění a dalších oblastí. Kapitola tedy pojednává o souvislostech Fibonacciho a Lucasových čísel s jinými matematickými i nematematickými pojmy. Nejprve zde nalezneme definice Fibonacciho a Lucasových čísel. Pak jsou uvedeny podkapitoly studující Fibonacciho čísla a přírodu, následně je popsáno několik abstraktních modelů, které vysvětlují pomocí matematiky zkoumané biologické skutečnosti. V textu je poté uvedena definice a vlastnosti zlatého řezu a jejich aplikace v geometrii či architektuře. Dozvíme se také informace o Fibonacciho čtyřúhelnících, zlatém obdélníku či zlaté spirále. Závěrem je zpracována podkapitola o zobecněných Fibonacciho číslech a je ukázána jejich aplikovatelnost v geometrii.

3.1

Definice Fibonacciho a Lucasovy posloupnosti

Definice 3.1. Rekurentní formule tvaru fn+k = a1 fn+k−1 + a2 fn+k−2 + · · · + ak fn ,

(3.1)

kde a1 , . . . , ak jsou reálná čísla, ak 6= 0, se nazývá lineární rekurentní formule k-tého řádu s konstantními koeficienty.


92

Definice 3.2. Posloupnost zadanou lineární rekurentní formulí 2. řádu Fn+2 = Fn+1 + Fn ,

pro n ∈ N,

(3.2)

přičemž F1 = 1 a F2 = 1, nazveme posloupnost Fibonacciho čísel (resp. Fibonacciho posloupnost). Členy této posloupnosti se nazývají Fibonacciho čísla. Obvykle klademe F0 = 0. Poznámka 3.1. Několik prvních členů Fibonacciho posloupnosti: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, . . . Definice 3.3. Posloupnost zadanou lineární rekurentní formulí 2. řádu Ln+2 = Ln+1 + Ln ,

pro n ∈ N,

(3.3)

přičemž L1 = 1 a L2 = 3, nazveme posloupnost Lucasových čísel (resp. Lucasova posloupnost). Členy této posloupnosti se nazývají Lucasova čísla. Obvykle klademe L0 = 2. Poznámka 3.2. Několik prvních členů Lucasovy posloupnosti: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 842, . . .

3.1.1

Řešení rekurentních formulí

Definice 3.4. Nechť je dána lineární rekurentní formule k-tého řádu s konstantními koeficienty. Řekneme, že posloupnost (an )∞ n=1 je řešením této rekurentní formule, jestliže pro každé i ∈ N dostaneme po dosazení čísel ai+j za fn+j pro j = 0, 1, . . . , k identitu. ∞ ∞ Věta 3.1. Jsou-li posloupnosti ((f1 )n )∞ n=1 , ((f2 )n )n=1 , . . . , ((fs )n )n=1 řešením formule (3.1), c1 , . . . , cs ∈ R, je také jejich libovolná lineární kombinace

(c1 (f1 )n + c2 (f2 )n + · · · + cs (fs )n )∞ n=1 řešením formule (3.1). Věta 3.2. Nechť je dána lineární rekurentní formule (3.1) k-tého řádu s konstantními koeficienty. Nechť ∞ ∞ ((f1 )n )∞ n=1 , ((f2 )n )n=1 , . . . , ((fk )n )n=1


93

jsou lineárně nezávislá řešení I dané formule. Pak je posloupnost (gn )∞ n=1 , kde pro každé n ∈ N platí gn = c1 (f1 )n + · · · + ck (fk )n , obecným řešením dané rekurentní formule, kde c1 , . . . , ck ∈ R. Věta 3.3. Je-li reálné číslo r řešením rovnice xk = a1 xk−1 + · · · + ak−1 x + ak , je posloupnost (rn )∞ n=1 řešením rekurentní formule (3.1). Poznámka 3.3. Rovnice xk = a1 xk−1 + · · · + ak−1 x + ak se nazývá charakteristická rovnice formule fn+k = a1 fn+k−1 + a2 fn+k−2 + · · · + ak fn . Poznatky z této části využijeme dále v textu, podrobněji viz [14].

∞ ∞ Řešení ((f1 )n )∞ n=1 , ((f2 )n )n=1 , . . . , ((fk )n )n=1 jsou lineárně nezávislá, jestliže žádné ∞ ((fi )n )n=1 nemá vlastnost I

(fi )n = c1 (f1 )n + · · · + ci−1 (fi−1 )n + ci+1 (fi+1 )n + · · · + ck (fk )n , pro všechna n ∈ N, kde c1 , . . . , ck ∈ R.


3.2

94

Fibonacciho čísla a příroda

V této části se budeme zabývat souvislostí Fibonacciho čísel s biologií. Nalezneme zde známou úlohu o králících. Dozvíme se, že Fibonacciho čísla lze najít např. i v uspořádání semen v terči kvetoucích rostlin či v rodokmenu včely medonosné.

3.2.1

Fibonacciho králíci

Pozorný čtenář si jistě všiml, že úloha o králících je i v podkapitole 2.2. Nyní se však při řešení zaměříme na biologické informace související s úlohou, abychom je mohli zobecnit v podkapitole 3.3. Ve 12. kapitole knihy Liber Abaci [52] je řešena úloha, jak rychle se mohou množit králíci za jistých, velice specifických a idealizovaných podmínek, přesný rozbor úlohy viz strana 31. Úkolem je zodpovědět otázku: „Kolik párů králíků zplodí jeden pár za jeden rok?ÿ Předpokládá se, že nově narozený pár (1 samec a 1 samice) je vložen do ohrady. Králíci jsou schopni pářit se (dospějí) ve věku jednoho měsíce a na konci druhého měsíce může samice porodit nový pár králíků. Doba březosti je tedy jeden měsíc.

Obr. 3.1: Fibonacciho králíci


95

Přitom se předpokládá, že tito králíci nikdy neumírají, nikdy nejsou nemocní a že dospělá samice porodí každý měsíc vždy jen jednoho samce a jednu samici. Postupně pak můžeme počítat jako Fibonacci, viz obr. 3.1: • na konci 1. měsíce se již mohou pářit, ale v ohradě je stále pouze 1 pár, • na konci 2. měsíce samice porodí nový pár, tedy v ohradě máme 2 páry králíků, • na konci 3. měsíce původní samice porodí druhý nový pár, v ohradě jsou nyní 3 páry králíků, • na konci 4. měsíce původní pár zplodí další nový pár, a také samice narozená druhý měsíc porodí svůj první pár potomků, tedy v ohradě je nyní 5 párů králíků. V rovnici (3.2) pak Fn+1 značí počet králičích párů v ohradě na konci n-tého měsíce. Počty párů králíků na začátku každého měsíce jsou 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . . Každý měsíc je tedy počet párů králíků roven součtu počtu párů v předminulém měsíci a počtu párů v minulém měsíci – čímž získáváme Fibonacciho posloupnost.

3.2.2

Fibonacciho čísla a včela medonosná

Včela medonosná a její rodokmen Známe asi 30 tisíc druhů včel, přičemž nejvýznamnější je pro nás včela medonosná. Ukažme si nyní souvislost Fibonacciho čísel s rodokmenem včely medonosné. Nejprve některá méně známá fakta o včele medonosné, např.: „Ne všechny z nich mají dva rodiče!ÿ V kolonii včely medonosné existuje jedna zvláštní samice, kterou nazýváme královna. Dále je zde velké množství včel dělnic, což jsou samice, které neprodukují vajíčka. Každý včelí roj má i několik včel samců, ty nazýváme trubci. Samci jsou vyprodukováni královnou z neoplozených vajíček. Tedy trubci (samci včel) mají jen matku, žádného otce. Samice (dělnice) jsou vyprodukovány královnou z oplozených vajíček. Tedy samice (dělnice) mají oba rodiče. Podívejme se nyní na rodokmen samce včely medonosné – trubce, obr. 3.2.


96

• Trubec má pouze jednoho rodiče, a to matku (samici). • Trubec má dva prarodiče, samici a samce. • Trubec má dále tři praprarodiče, jeho „babičkaÿ měla dva rodiče a „dědečekÿ jednoho, . . .

Obr. 3.2: Rodokmen včely medonosné – trubce Kolik předků trubec měl? Nalézáme Fibonacciho posloupnost, viz tabulka 3.1. Počet Trubci Včely

Rodiče 1 2

Prarodiče 2 3

Praprarodiče Další předci 3 5 5 8

... 8 13

... ...

Tabulka 3.1: Počty předků Fibonacciho čísla a cesty v buňkách plástve Uvažme nyní dvě přilehlé řady buněk v nekonečném úlu, jak zobrazuje obr. 3.3.

Obr. 3.3: Dvě přilehlé řady buněk


97

Pokusme se nalézt počet cest, kterými může včela lézt z jedné buňky do jiné buňky skrz ostatní buňky, jestliže může lézt jedině vpravo, nebo šikmo vpravo dolů, nebo šikmo vpravo nahoru. Nechť bn označuje počet cest k n-té buňce. Potom tedy existuje právě jedna cesta k buňce A, viz obr. 3.4, b1 = 1.

Obr. 3.4: Cesta do buňky A

Obr. 3.5: Cesty do buňky B

Do buňky B vedou dvě odlišné cesty, viz obr. 3.5. Tedy b2 = 2. K buňce C se včela může dostat třemi různými cestami, viz obr. 3.6, b3 = 3.

Obr. 3.6: Cesty do buňky C Dále existuje pět rozdílných cest, kterými se včela může uchýlit do buňky D, jak je patrné z obr. 3.7. Proto b4 = 5, podobně b5 = 8.

Obr. 3.7: Cesty do buňky D Model postupného vývoje je zřejmý z tabulky 3.2. Z toho induktivně vyplývá, že pro včelu lezoucí do buňky n existuje bn = Fn+1 odlišných cest, kde Fn+1 označuje (n + 1)-ní Fibonacciho číslo.

Fibonacciho čísla a jejich aplikace n bn

1 2 3 1 2 3

4 5 ... 5 8 ...

98 n ?

Tabulka 3.2: Model postupného vývoje

3.2.3

Okvětní lístky a Fibonacciho čísla

Pro mnoho rostlin platí, že počet okvětních lístků odpovídá právě Fibonacciho číslům. Např.: • 1 okvětní lístek: calla, . . . • 2 okvětní lístky: euforbia, . . . • 3 okvětní lístky: kosatce, lilie, trillium, . . . • 5 okvětních lístků: blatouchy, divoké růže, columbine, karafiáty, . . . • 8 okvětních lístků: celandine, Sanguinaria canadensis, stračky, . . . • 13 okvětních lístků: některé sedmikrásky, třapatky, starčeky, . . . • 21 okvětních lístků: astry, čekanky, sedmikrásky, . . . • 34 okvětních lístků: kopretiny, . . . • 55, 89 okvětních lístků: čeleď hvězdnicovitých, . . .

Obr. 3.8: Calla

Obr. 3.9: Euforbia

Obr. 3.10: Trillium

Samozřejmě existují i výjimky, kdy se počet okvětních lístků Fibonacciho číslům nerovná. Velice málo rostlin má např. 4 okvětní lístky. Čtyřka není Fibonacciho číslo, ale je to Lucasovo číslo. Takový počet okvětních lístků má např. fuchsie, obr. 3.15.


Obr. 3.11: Columbine

Obr. 3.12: Sanguinaria

Obr. 3.14: Sedmikráska

3.2.4

99

Obr. 3.13: Třapatka

Obr. 3.15: Fuchsie

Fibonacciho čísla a uspořádání semen v terčích kvetoucích rostlin

Fibonacciho čísla a kvetoucí rostliny Fibonacciho čísla můžeme také nalézt v uspořádání semen v terči. Řada rostlin, např. slunečnice, vytváří spirálovité uspořádání semen v terči. Část semen je ve spirálách ve směru hodinových ručiček a část jich je ve spirálách vinoucích se opačným směrem, viz obr. 3.16.

Obr. 3.16: Uložení semen v terči slunečnice Nikdy se nejedná o náhodný počet spirál, ale vždy o počet odpovídající sousedním Fibonacciho číslům. U slunečnice to bývá většinou 34 spirál


100

po směru hodinových ručiček a 21 spirál proti jejich směru (počet spirál může být i 55 a 34, či 55 a 89). Na otázku, proč tomu tak je, nabídli odpověď francouzští matematici Yves Couder II a Stéphane Douady.III Podle nich je to způsob, jak se do terče slunečnice vejde co největší množství semen. Podobně je tomu i u mnoha dalších rostlin. Fibonacciho čísla a šišky jehličnatých stromů Tyto spirály jsou poměrně zřetelně vidět i na šiškách jehličnatých stromů, např. borovice. Opět můžeme pozorovat spirály ve směru a proti směru hodinových ručiček. Po směru hodinových ručiček napočítáme 8 spirál a proti směru 13 spirál. Počty spirál tedy opět odpovídají Fibonacciho číslům. Toto tvrzení platí pro libovolnou šišku jehličnatých stromů.

Obr. 3.17: Spirály u šišky borovice Šišky jehličnatých stromů jsou v podstatě zdřevnatělé květy, tedy proto jsou jejich šupiny též uloženy ve spirále.

3.2.5

Fylotaxe a Fibonacciho čísla

Fibonacciho čísla můžeme také nalézt v uspořádání listů na stonku – pokud vyrůstají jednotlivě. Bude nás zajímat střídavé postavení listů, viz obr. 3.18. Podíváme-li se na rostlinu shora, zjistíme, že listy jsou uspořádány tak, aby nezakrývaly ty listy, co vyrůstají pod nimi. Díky tomu se každému listu dostane dostatečný díl slunečního světla, obr. 3.19. Listy, pokud vyrůstají jednotlivě, jsou na větvičkách rozloženy tak, že každý list vyrůstá nad předchozím listem posunut o určitý úhel, jak je znázorněno na obr. 3.20. II

Yves Couder; Département de Physique de l’Ecole Normale Supérieure, Paris, France; e-mail: [email protected]. III Stéphane Doudy, narozen r. 1965. Laboratoire Matiere et Systemes Complexes, Paris, France; e-mail: [email protected].


Obr. 3.18: Postavení listů u slunečnice

Obr. 3.19: Pohled shora na dosud nerozkvetlou slunečnici

Obr. 3.20: Spirálovité postavení listů

101


102

FylotaxeIV je botanický termín pro postavení listů na stoncích rostlin. V dolní části stonku jsou listy starší a větší, u vrcholu mladší a menší. Všechny listy jsou stejnoměrně osvětlovány, menší nestíní větším, které nad to mají ještě delší řapíky. Zákonitostmi uspořádání listů se ve 30.–40. letech předminulého století zabývali francouzští badatelé, bratři Louis a Antoine Bravais,V a němečtí morfologové Karl SchimperVI a Alexander Braun.VII Tito botanici vybudovali celou nauku o postavení listů, která k výkladům používá právě matematiku. Listy jsou na stoncích uspořádány tak, že spirálovitě stoupají (od kořene). Tuto myšlenou spirálu nazýváme genetická spirála. Počet listů mezi dvěma listy, které vyrůstají přesně nad sebou, je roven některému Fibonacciho číslu. Například u slunečnice na obr. 3.18, musíme udělat 3 otočky ve směru hodinových ručiček, než se setkáme s listem vyrůstajícím přímo nad listem výchozím. Po cestě potkáme 5 listů. Zapisujeme 3/5. Pokud půjdeme proti směru hodinových ručiček, stačí pouze 2 otočky. Všimněme si, že čísla 2, 3, 5 jsou po sobě jdoucí Fibonacciho čísla. U rostliny na obr. 3.19 uděláme 5 otoček ve směru hodinových ručiček, cestou potkáme 8 listů. Zapisujeme 5/8. V levotočivém směru uděláme právě 3 otočky. Čísla 3, 5 a 8 jsou opět po sobě jdoucí Fibonacciho čísla. Dva sousední listy jsou od sebe vzdáleny o určitou výškovou distanci d a odchýleny o úhel, který nazýváme divergence δ. Distance je proměnlivá veličina podle tlouštky osy (stonku) a příkrosti genetické spirály, kdežto divergence je vždy stálá a lze ji vyjádřit zlomkem. Samozřejmě existují výjimky (vzniklé působením vnějšího prostředí), ale přes 90% všech rostlin má toto uspořádání listů odpovídající právě Fibonacciho číslům. Některé běžné stromy, keře a jejich postavení listů: • 1/2 – jilm, lípa, vinná réva, . . . • 1/3 – buk, líska, . . . • 2/5 – dub, třešeň, jabloň, švestka, . . . • 3/8 – topol, hruška, vrba, . . . • 5/13 – mandlovník, . . . IV

Z řeckého phyllon (list), a taxis (uspořádání). Antoine Bravais (1811–1863), francouzský fyzik. Louis Bravais (1801–1843), francouzský botanik, lékař. VI Karl Schimper (1803–1867), německý morfolog a botanik. VII Alexander Braun (1805–1877), německý morfolog a botanik. V


103

V zápise t/n značí t počet otáček a n počet listů, které potkáme po cestě, než narazíme na list vyrůstající přesně nad listem výchozím. Tento zlomek bývá u celé rostliny stejný. Je dokázáno, že květy dnešních rostlin vznikly přeměnou listů. Tedy proto jsme mohli hovořit o spirále v květu slunečnice.


3.3

104

Abstraktní modely pro biologickou interpretaci Fibonacciho čísel

3.3.1

Abstraktní modely a Fibonacciho čísla

Existuje mnoho zajímavých souvislostí Fibonacciho čísel s biologií. Vzájemný vztah je patrný například z rozmnožovacích řetězců či z počtu paprsků v terčích květin, jak jsme si ukázali v předcházející podkapitole. Cílem této podkapitoly je poukázat na abstraktní schémata popisující tyto biologické skutečnosti s využitím matematiky. Následující modely jsou čistě hypotetické a ukazují, z jakých jednoduchých genetických podmínek mohou Fibonacciho čísla vyvstávat. I.

Uvažme nyní jakýsi ideální vzorek A0 s následujícími dvěma vlastnostmi: i) Ve stejných časových intervalech, tedy v čase t = t1 , t2 , . . ., kde ti+1 − ti = τ,

pro i ≥ 1,

vzorek A0 generuje nové vzorky A1 , A2 , . . . Vzorek A1 je tedy vygenerován vzorkem A0 v čase t1 , vzorek A2 v čase t2 , . . . ii) Každý vzorek A1 , A2 , . . . po svém vygenerování za čas τ dospěje do reprodukčního věku a za další čas τ začíná generovat nové vzorky, jak tomu bylo u vzorku A0 . 2τ je tedy interval mezi vygenerováním vzorku (např. A1 ) a okamžikem, kdy tento vzorek vygeneruje první nový vzorek 0 (např. A1 ). Označme nyní sn počet vzorků, které jsou vygenerovány ve stejný časový okamžik tn . Snadno je vidět, že sn = sn−2 + sn−1 ,

pro n ≥ 3, kde

sn−1 . . . je počet vzorků v generačním okamžiku tn−1 . sn−2 . . . je počet vzorků vygenerovaných v čase tn−2 = tn − 2τ . Ale s1 = s2 = 1, a proto čísla s1 , s2 , s3 , . . . jsou právě Fibonacciho čísla. Abstraktní model potomstva vzorku A0 je znázorněn na obr. 3.21 následujícím způsobem – vzorky vygenerované ve stejný časový okamžik tn jsou umístěny na stejné horizontále. Vzorek A0 je umístěn nad první řádek. Označme nyní n X σn = si + 1, pro n ≥ 1, i=1


105

Obr. 3.21: Abstraktní model I což je ekvivalentní s tím, že σn pro n ≥ 1 představuje celkový počet vzorků vygenerovaných vzorkem A0 (včetně vzorku A0 ), jestliže proces generování vzorků popsaný pomocí i) a ii) bude zastaven v okamžiku T splňujícím nerovnost tn < T < tn+1 . Čísla σ1 , σ2 , σ3 , . . . jsou také Fibonacciho čísly a pro n ≥ 1.

σn = sn+2 ,

Důkaz. Zřejmě platí si = Fi , pro i ≥ 1. Tedy σn =

n X

Fi + 1.

i=1

Je dobře známé, viz identita (5.1), strana 168, že n X

Fi = Fn+2 − 1.

i=1

Následkem toho získáváme σn = Fn+2 = sn+2 .


106

Obr. 3.22: Fibonacciho králíci Biologickou interpretací tohoto modelu jsou např. Fibonacciho králíci, viz obr. 3.22, kde uvedené počty párů králíků jsou hodnotami σn v zavedeném označení. II.

Nyní odůvodníme obecné schéma směřující k číslům typu 2k · sn ,

kde sn je Fibonacciho číslo a k je libovolné přirozené číslo. Tento nový model získáme přidáním třetího předpokladu k i) a ii): iii) Proces generování popsaný pomocí i) a ii) je zastaven v okamžiku umístěném mezi tN a tN +1 , kde N je dané přirozené číslo, a nahrazen procesem následným – jedná se o symetrické rozštěpení každého vzorku ve dva nové vzorky. 0

0

Označme t1 , t2 , . . . po sobě jdoucí časové okamžiky vztahující se k výskytu symetrického štěpení vzorků popsaného v iii).

0

Obr. 3.23: Abstraktní model II, v čase t1

Fibonacciho čísla a jejich aplikace 0

107 0

0

0

0

0

Počet všech vzorků v okamžiku T umístěném mezi tk a tk+1 (tk < T < tk+1 ) je zřejmě 2k · σn = 2k · sn+2 . Na obr. 3.23 máme například schéma druhu o 21 · σ4 = 2 · 8 = 16 vzorcích. 0 Výsledné vzorky vygenerované v časový okamžik t1 jsou označeny na obr. 3.23 černě. Biologickou interpretací jsou například počty paprsků u živočichů s radiální symetrií jako Coelenterata a Echinodermata. Dále počty okvětních lístků u kvetoucích rostlin. V těchto případech je k = 1. Jak je patrné z obrázků 3.24 – 3.27, nemusí se vždy jednat o vznik zcela nových vzorků, ale třeba jen jejich částí.

Obr. 3.24: Echinodermata

Obr. 3.25: Fuchsie

Obr. 3.26: Vanilka

Obr. 3.27: Coelenterata III. Představme si nyní další abstraktní model. Sledovat budeme tentokráte dva vzorky, a to vzorek typu a a vzorek typu b. Generování se řídí dle následujících pravidel:


108

• a je vygenerováno b, • b je vygenerováno a i b. Vzorky jsou opět generovány ve shodných časových intervalech τ = ti+1 − ti , pro i ≥ 1. Dále uvažme, že v tomto případě vzorky dospějí do reprodukčního věku a vygenerují první nový vzorek za časový interval τ .

Obr. 3.28: Abstraktní model III Označme α(i) počet vzorků typu a vygenerovaných v čase ti+2 , kde i ≥ 1. Pak je α(1) = 1; α(2) = 1; α(3) = 2; α(4) = 3; . . . Předpokládejme tedy, že α(i) = Fn , n ∈ N. Dále označme β(i) počet vzorků typu b vygenerovaných v čase ti+2 , kde i ≥ 0. Pak platí β(0) = 1; β(1) = 1; β(2) = 2; β(3) = 3; . . . Předpokládejme dále, že β(i) = Fn+1 , n ∈ N. Celkový počet vzorků v čase ti+2 je dle předpokladu roven α(i) + β(i) = Fn + Fn+1 = Fn+2 . Určeme nyní celkový počet vzorků v čase ti+3 : α(i + 1) = β(i) = Fn+1 , β(i + 1) = α(i) + β(i) = Fn + Fn+1 = Fn+2 . Biologickou interpretací modelu III je například rodokmen včely medonosné – trubce, viz obr. 3.29. Přičemž jako vzorek typu a si představme trubce – samce včely, který má jen matku, žádného otce (vygenerován z neoplozeného vajíčka). Za vzorek typu b pokládejme dělnice – samice včel, jež jsou generovány z oplozených vajíček, tedy mají oba rodiče.


109

Obr. 3.29: Rodokmen včely medonosné – trubce IV. V následujícím modelu předpokládáme, že vzorky dospějí do reprodukčního věku a vygenerují první nový vzorek za časový interval pouze přibližně roven 2τ . Vygenerované vzorky tedy nemusí vždy náležet některé z horizontál t1 , t2 , t3 , . . . Mohou být vygenerovány například v časovém okamžiku 9 τ . Přičemž postup generování odpovídá i) a ii). t3 + 10

Obr. 3.30: Abstraktní model IV Tímto zobecněním schémat I, II nelze již vyloučit čísla, která jsou různá od Fibonacciho čísel. Například, položme časový interval, za který vzorky 9 τ, dospějí do reprodukčního věku a vygenerují první nový vzorek roven 1 10 viz obr. 3.30. Zastaví-li se postup v momentě T splňujícím nerovnost 9 τ < T < t4 , 10 je počet vygenerovaných vzorků 7, což není Fibonacciho číslo. Příkladem biologické interpretace tohoto modelu může být opět množení králíků. Tentokráte ale nebudeme brát v úvahu ideální Fibonacciho králíky, t3 +


110

nýbrž povolíme nově narozeným samicím, aby zplodily své potomky „o něco 9 τ. dříveÿ – v našem případě po čase 1 10

3.3.2

Speciální abstraktní populační model

Počáteční ideální vzorek označme nyní, pro lepší přehlednost, v0 . Libovolný vzorek, vygenerovaný vzorkem v0 , označme v. Dále označme tn shodné časové okamžiky, přičemž platí tn+1 − tn = τ,

pro n ≥ 1.

Interval, za který vzorky dospějí do reprodukčního věku a vygenerují první nový vzorek, je opět roven 2τ . Každý vzorek v různý od v0 bude vygenerován jiným vzorkem v časový okamžik tn(v) , kde n(v) je přirozené číslo. Pro přirozené číslo n ≥ n(v) bude vzorek v generovat další vzorky v časovém okamžiku tn , jejichž počet budeme označovat f (v, n), kde f (v, n) je celé nezáporné číslo. Počáteční vzorek v0 bude v čase tn generovat f (v0 , n) vzorků. Nechť a, b jsou přirozená čísla. Předpokládejme, že počáteční vzorek v0 generuje v čase t1 a vzorků a pro přirozené číslo n ≥ 2 v čase tn b vzorků, tedy f (v0 , 1) = a, f (v0 , n) = b, pro n ≥ 2. Vzorek v 6= v0 vygenerovaný v čase tn(v) generuje v čase tn pro n ≥ n(v) + 2 jeden nový vzorek. Tedy ( 0, pro n ≤ n(v) + 1, f (v, n) = 1, pro n ≥ n(v) + 2. K výpočtu hodnot sn a σn použijeme následující lineární rekurentní posloupnost (Hn )∞ n=1 druhého řádu: H1 = a, H2 = b, Hn+2 = Hn + Hn+1 ,

pro n ≥ 1.

Jen si připomeňme, že sn je počet vzorků vygenerovaných v čase tn a σn =

n X

si .

i=1

Pro tuto posloupnost se snadno dokáže: H1 + H2 + · · · + Hn−1 + b = Hn+1 ,

(n ≥ 2),

(3.4)


Hn = a Fn−2 + b Fn−1 ,

111

(n ≥ 3, Fi je Fibonacciho číslo).

Tvrzení 3.1. Pro posloupnost (3.4) platí sn = Hn , σn = Hn+2 − b,

pro n ≥ 1.

Důkaz. Zřejmě s1 = a = H1 , s2 = b = H2 . Předpokládejme, že je n ≥ 2 a pro každé přirozené číslo i ≤ n platí si = Hi . V čase tn+1 byly vzorky vygenerovány jak počátečním vzorkem v0 , tak i vzorky vygenerovanými v časových okamžicích t1 , . . . , tn−1 . Tudíž sn+1 = s1 + · · · + sn−1 + b = H1 + · · · + Hn−1 + b = Hn+1 . Využili jsme principu úplné indukce k důkazu první části tvrzení. Pak pro přirozené číslo n získáváme σn =

n X i=1

si =

n X

Hi = Hn+2 − b.

i=1

V tomto modelu je zahrnut jak případ a = b = 1, z čehož dostáváme Hn = Fn , tak případ a = 1, b = 3, kde získáváme Hn = Ln je n-té Lucasovo číslo. Tento případ budeme demonstrovat na obr. 3.31, znázorňujícím generování vzorků odpovídající Lucasovým číslům.

Obr. 3.31: Abstraktní model generování směřující k Lucasovým číslům


3.4

112

Zlatý řez

„Geometrie má dva velké poklady. Pythagorovu větu a rozdělení úsečky v krajním a středním poměru.VIII První lze přirovnat k žíle zlata, druhý lze označit za drahokam.ÿ Johannes KeplerIX Do této části práce jsou zařazeny informace o zlatém řezu a je upozorněno na jeho souvislost s geometrií, uměním či architekturou. Dozvíme se o Fibonacciho čtyřúhelnících, zlatém obdélníku, zlaté spirále nebo si ukážeme, kde lze nalézt zlatý řez v pravidelném pětiúhelníku.

3.4.1

Vlastnosti zlatého řezu

Uvažujme podíly dvou po sobě jdoucích čísel Fibonacciho posloupnosti, při, kde čemž vydělíme každé číslo číslem předcházejícím, tj. hledáme čísla FFn+1 n Fn = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . ; n ∈ N. Nalezneme následující posloupnost čísel: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fn+1 /Fn 1/1 = 1, 0000000000 2/1 = 2, 0000000000 3/2 = 1, 5000000000 . 5/3 = 1, 6666666667 8/5 = 1, 6000000000 13/8 = 1, 6250000000 . 21/13 = 1, 6153846154 . 34/21 = 1, 6190476191 . 55/34 = 1, 6176470588 . 89/55 = 1, 6181818182

Tabulka 3.3: Prvních deset členů posloupnosti

Fn+1 , Fn

pro n ∈ N

Posloupnost můžeme znázornit graficky, viz obr. 3.32. Limita této posloupnosti je rovna hodnotě, kterou nazýváme zlatým podílem nebo také zlatým číslem, nejčastěji však zlatým řezem. Má hodnotu přibližně 1,618034. Toto iracionální číslo je označováno řeckým písmenem Φ VIII IX

Autor míní rozdělení úsečky v poměru zlatého řezu. Johannes Kepler (1571–1630), významný německý matematik, astronom a astrolog.


Obr. 3.32: Grafické znázornění posloupnosti

113

Fn+1 Fn

a lze je vyjádřit ve tvaru: √ 1+ 5 . Φ= = 1, 61803398875 . . . 2

(3.5)

Označení zavedl americký matematik Mark BarrX začátkem 20. století. Malým písmenem φ označujeme desetinnou část tohoto čísla √ √ 1+ 5 5−1 . −1= = 0, 61803398875 . . . φ= 2 2 Připomeňme, že antický učenec Eukleides (asi 340 př.n.l. − asi 270 př.n.l.), obr. 3.36, str. 117, sepsal na tehdejší dobu velkolepé dílo Základy, knihu, podle které se studovala geometrie až do konce 19. století. Nalezneme v ní tuto zajímavou úlohu: „Jak rozdělit danou úsečku na dvě části tak, aby poměr celé úsečky k větší části byl stejný jako poměr větší části k menší?ÿ Označíme-li tedy délku dané úsečky a, délku její větší části x, pak podmínku z úlohy můžeme vyjádřit rovnicí a x = . x a−x Odtud po snadné úpravě dostaneme x2 + ax − a2 = 0.

(3.6)

Jelikož hledáme délku větší části úsečky, zajímá nás pouze kladný kořen rovnice (3.6), který je tvaru √ √ 5−1 1+ 5 x= a, odkud a= x. 2 2 X

Mark Barr (1871–1950), americký matematik.


114

Podíl délky celé úsečky k délce její větší části má tedy hodnotu √ a 1+ 5 = . x 2

(3.7)

Ukázali jsme, že poměr úseček (3.7), studovaný Eukleidem, je roven číslu XI

Φ.

Obr. 3.33: Zlatý řez úsečky AB Ve středověku a v období renesance, která se opírala o antickou kulturu, byli matematici tak okouzleni tímto poměrem, že byl nazýván „božským poměremÿ (latinsky divina proportio).XII Obdobně je tomu i pro Lucasova čísla, kdy dělíme dvě po sobě jdoucí je také rovna zlatému čísla Lucasovy posloupnosti. Limita posloupnosti LLn+1 n řezu, viz obr. 3.34. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ln+1 /Ln 3/1 = 3, 0000000000 . 4/3 = 1, 3333333333 7/4 = 1, 7500000000 . 11/7 = 1, 5714285714 . 18/11 = 1, 6363636364 . 29/18 = 1, 6111111111 . 47/29 = 1, 6206896551 . 76/47 = 1, 6170212766 . 123/76 = 1, 6184210526 . 199/123 = 1, 6178861788

Tabulka 3.4: Prvních deset členů posloupnosti XI

Ln+1 , Ln

pro n ∈ N

Někdy se v literatuře setkáme s opačným přístupem, tj. Φ je zavedeno jako poměr (3.7) a následně je dokázáno, že k němu konverguje limita posloupnosti FFn+1 . Takto poprvé n postupoval skotský matematik Robert Simson (1687–1768) v roce 1753. XII Názvů „zlatý řezÿ a „zlatý poměrÿ se začalo užívat až v 19. století.


Obr. 3.34: Grafické znázornění posloupnosti

115

Ln+1 Ln

Platí tedy i tento vztah Ln+1 . n→∞ Ln Poznámka 3.4. Připomeňme si nyní konstrukci zlatého řezu založenou na užití Pythagorovy věty, viz obr. 3.35: Φ = lim

|AB| : |AE| = |AE| : |EB|

Obr. 3.35: Konstrukce zlatého řezu Nad danou úsečkou AB délky a sestrojíme pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu B tak, aby druhá odvěsna BC měla délku a2 . Tuto délku naneseme od bodu C na stranu AC, a získáme tak bod D (obr. 3.35). Nyní do kružítka vezmeme délku AD a naneseme ji od bodu A na úsečku AB, tím získáme hledaný bod E. Zdůvodnění: Ověřme, že sestrojený bod E skutečně dělí výchozí úsečku AB v poměru zlatého řezu. Pro délku x = |AE| dle Pythagorovy věty pro trojú-


116

helník ABC platí: a2 +

a 2

a 2 = x+ 2

2 a2 5 2 a = x2 + ax + 4 4 a2 = x2 + ax a(a − x) = x2 a x = =Φ x a−x

Konstrukce celkové délky úsečky AB v případě, že známe délku většího, či menšího dílu úsečky AB rozdělené v poměru zlatého řezu, viz řešené příklady 5.34, 5.35. Konstanty Φ a Φ0 = − Φ1 hrají také důležitou úlohu při analýze Fibonacciho čísel. A to díky vztahu pro přímé určení n-tého Fibonacciho čísla. Věta 3.4. Pro všechna n ∈ N0 platí: Fn =

Φn − (Φ0 )n Φn − (Φ0 )n √ = . Φ − Φ0 5

(3.8)

Tento vztah nazýváme Binetova formule pro Fibonacciho čísla.XIII Důkaz. Viz řešení příkladu 5.17, str. 189. Pro přímé určení n-tého Lucasova čísla platí: Věta 3.5. Pro všechna n ∈ N0 platí: Ln = Φn + (Φ0 )n = Φn + (−1)n Φ−n .

(3.9)

Tento vzorec pro n-tý člen Lucasovy posloupnosti se nazývá Binetova formule pro Lucasova čísla. Důkaz. Viz řešení příkladu 5.18, str. 190. Binetovu formuli (3.8), (3.9) lze využít v mnoha dalších důkazech rovností s Fibonacciho a Lucasovými čísly, viz řešené identity a příklady na str. 168. XIII Tuto formuli publikoval již v roce 1765 Leonhard Euler (1707–1783), obr. 3.37, str. 118. V roce 1843 ji znovu objevil francouzský matematik a fyzik Jacques Philippe Marie Binet (1776–1856), obr. 3.38, str. 118.


117

Věta 3.6. Nechť Φ a Φ0 jsou řešeními kvadratické rovnice x2 − x − 1 = 0, tedy √ √ 1− 5 1+ 5 0 , Φ = . Φ= 2 2 Pak platí: 1. Φ + Φ0 = 1. √ 2. Φ − Φ0 = 5. 3. Φ · Φ0 = −1. 4. Φ2 + (Φ0 )2 = 3. √ 5. Φ2 − (Φ0 )2 = 5. 6. Φ2 = Φ + 1. 7. (Φ0 )2 = (Φ0 ) + 1. Důkaz. Všechna tvrzení lze snadno dokázat jednoduchým dosazením, viz řešení příkladu 5.23, str. 191. Věta 3.7. Pro ∀ n ∈ N, n ≥ 2 platí: 1. Φn = ΦFn + Fn−1 , 2. (Φ0 )n = Φ0 Fn + Fn−1 . Důkaz. Viz řešení příkladu 5.16, str. 188.

Obr. 3.36: Řecký filozof Eukleides (asi 340 př.n.l. − asi 270 př.n.l.)


118

Obr. 3.37: Švýcarský matematik a fyzik Leonhard Euler (1707–1783)

Obr. 3.38: Francouzský matematik Jacques Philippe Marie Binet (1776–1856)

Obr. 3.39: Italský malíř, sochař, architekt, přírodovědec, hudebník a spisovatel Leonardo da Vinci (1452–1519)


3.4.2

119

Fibonacciho čtyřúhelníky a zlatý řez

V práci německého filozofa Adolfa ZeisingaXIV o zlatém řezu z roku 1854 je uvedeno, že zlatý poměr je umělecky nejpříjemnější ze všech proporcí a je zároveň klíčem k porozumění veškeré morfologii (včetně lidské anatomie), umění, architektury, a dokonce i hudby. Němečtí psychologové G. T. FechnerXV a W. M. WundtXVI dokonce změřili tisíce oken, obrazových rámů, hracích karet, knih, zrcadel a jiných pravoúhlých předmětů. Došli k závěru, že většina lidí podvědomě vybírá pravoúhlé tvary ve zlatém poměru. Z historie víme, že stejné proporce se staly základem nejstaršího umění a architektury antického Řecka. Zlatý obdélník Obdélník zobrazený na obrázku 3.40, má tu vlastnost, že poměr délky a k délce b se rovná poměru součtu obou délek k délce delší z nich, tedy k a: a+b a = b a

Obr. 3.40: Zlatý obdélník Snadno se dá ukázat, že strany obdélníku jsou skutečně v poměru zlatého řezu. Po jednoduché úpravě totiž dostaneme a2 = ab + b2 , tedy a2 − ab − b2 = 0. XIV

Adolf Zeising (1810–1876), německý matematik a filozof. Gustav Theodor Fechner (1801–1887), německý psycholog. XVI Wilhelm Maximilian Wundt (1832–1920), německý lékař a psycholog. XV


120

Úpravou získáme a 2

a − 1 = 0. b b Jelikož uvažujeme délku, zajímá nás pouze kladný kořen rovnice √ a 1+ 5 = = Φ. b 2 −

(3.10)

Obdélník, který má zvoleny délky stran tak, že splňují vztah (3.10), nazýváme zlatým obdélníkem. Pro tento zlatý obdélník platí následující zajímavá vlastnost: Vepíšeme-li zlatý obdélník do čtverce, jako na obr. 3.41, vrcholy obdélníku pak dělí strany čtverce zlatým řezem.

Obr. 3.41: Zlatý obdélník vepsaný do čtverce Důkaz. Chceme tedy dokázat, že dc = Φ. Pro trojúhelník ALB (stejně jako pro trojúhelník DCN ) musí dle Pythago√ a 2 2 2 2 rovy věty platit c + c = a . Odkud c = 2 . Analogicky pro trojúhelník BM C (stejně jako pro trojúhelník KAD) √ b 2 2 2 2 musí dle Pythagorovy věty platit d + d = b . Odkud d = 2 . Tedy √ a 2 c a = √2 = = Φ. b 2 d b 2


121

Jelikož je zlatý obdélník nejpříjemnějším obdélníkem, nesčetně umělců použilo zlatý obdélník za základ svého díla – Michelangelo Buonarroti,XVII Sandro Botticelli,XVIII Salvator Dali,XIX Leonardo da Vinci,XX . . . Například obraz Svatý Jeroným Leonarda da Vinciho zapadá dokonale do zlatého obdélníku, viz obrázek 3.42, a umělečtí historikové věří, že da Vinci vědomě využil techniku malby proporcí, jak to dělali staří řečtí mistři.

Obr. 3.42: Svatý Jeroným od Leonarda da Vinciho Zlaté obdélníky jsou též viditelné v dílech Albrechta Dürera,XXI předního německého malíře, rytce a sochaře doby renesance. Zlaté obdélníky se objevují také v moderním abstraktním umění, jako např. v díle La Parade, viz obr. 3.43 a 3.44 francouzského impresionisty Georgese Seurata,XXII o němž se říká, že ke každému plátnu přistupoval s vizí tohoto magického poměru. Fibonacciho čtyřúhelníky a zlatá spirála Soubor čtverců, jejichž velikosti stran jsou právě Fibonacciho čísla, nazýváme Fibonacciho čtyřúhelníky, viz obr. 3.45. Každý nový čtverec má délku strany odpovídající součtu velikostí stran dvou posledních čtverců. XVII

Michelangelo Buonarroti (1475–1564), italský sochař, architekt a malíř. Sandro Botticelli (1445–1510), italský malíř. XIX Salvator Dali (1904–1989), katalánský malíř. XX Leonardo da Vinci (1452–1519), významný renesanční malíř, sochař, vynálezce, přírodovědec, obr. 3.39, str. 118. XXI Albrecht Dürer (1471–1528), německý malíř a grafik, jeden z nejvýznamnějších představitelů renesančního umění. XXII Georges Seurat (1859–1891), francouzský malíř.

XVIII


122

Obr. 3.43: La Parade od Georgese Seurata

Obr. 3.44: Zlatý řez a La Parade, G. Seurat

Obr. 3.45: Fibonacciho čtyřúhelníky Spirálu tvořenou čtvrtinami kružnic a zakreslenou do Fibonacciho čtyřúhelníků, způsobem znázorněným na obr. 3.46, nazýváme zlatá spirála. Zlatá spirála je tedy vepisována do obdélníků, jejichž poměry stran se blíží zlatému řezu.


123

Obr. 3.46: Zlatá spirála Můžeme ji nalézt na mnoha místech v přírodě – ve tvaru ulit měkkýšů, v uspořádání semen kvetoucích rostlin, ve tvaru galaxií, . . . , viz obr. 3.47, 3.48.

Obr. 3.47: Zlatá spirála ve tvaru ulit měkkýšů

Obr. 3.48: Zl. spirála v uspořádání semen kvetoucích rostlin ve tvaru galaxie Zlatý řez dále nalézá své uplatnění např. v architektuře, . . . Nejčastěji se připomíná členění Parthenonu na Akropoli v Aténách, obr. 3.49, které vytvořil známý sochař Feidiás (kolem roku 490–430 př.n.l.).XXIII Parthenon XXIII

Dalšími staviteli byli Iktin a Kallikrato.


124

je budova vystavěná na počest bohyně Athény, patronky města. Jedná se o památník antické úcty ke zlatému řezu.

Obr. 3.49: Fibonacciho čtyřúhelníky a Parthenon, Athény V Parthenonu dělí sloupy celkovou výšku stavby ve zlatém řezu, tedy poměr celé výšky k výšce sloupů se blíží Φ a stejný je i poměr šířky a výšky stavby. Jak celý tvar paláce zapadá do zlatého obdélníku lze sledovat na obrázku 3.49. Zlatý řez byl ale využíván již mnohem dříve. Například již starověcí Egypťané (před téměř pěti tisíci lety) využívali matematiku v architektuře a zlatému řezu připisovali téměř magické vlastnosti. Rhindův papyrus (asi 1788 – 1580 př.n.l.) říká: „V pyramidách je utajen tajemný kvocient nazvaný seqt.ÿ Někteří historikové se domnívají, že tento kvocient je právě zlaté číslo, měření ovšem tuto domněnku nepotvrdila, ani nevyvrátila. Na obrázku 3.50 jsou vidět nejznámější pyramidy v Gíze.

Obr. 3.50: Pyramidy, Gíza

Obr. 3.51: Cheopsova pyramida

Dokonce v Cheopsově pyramidě byl objeven poměr blízký zlatému číslu. Uvažujme pravoúhlý trojúhelník vyznačený na obrázku 3.51. Poměr přepony tohoto trojúhelníku ku výšce pyramidy je 1, 61804. . . , což se liší od Φ o méně


125

jak jednu statisícinu. Pokud si představíme základní rozměr roven 2 jednotkám, pak jsou strany pravoúhlého trojúhelníku v poměru √ 1: Φ:Φ √ a pyramida má tedy výšku rovnu Φ. Zlatý řez byl samozřejmě využit i při mnoha dalších stavbách, zmiňme např. Pařížský chrám Notre Dame, viz obr. 3.52. Hojně je rovněž využit na katedréle v Chartres ve Francii a při mnoha dalších stavbách.

Obr. 3.52: Notre Dame, Paříž V moderní architektuře užíval hojně zlatý řez Le Corbusier,XXIV obr. 3.53. Zabýval se geometrií, díky níž se snažil pochopit fungování vesmíru a organické přírody. Tvrdil, že příroda žije v harmonii, že člověk jako jedinec vyšel z přírody a že přírodní zákony utvářejí jeho život. Podle Le Corbusiera tedy musíme nejdříve poznat tyto zákony a pak žít v souladu s nimi, jenom tak si zajistíme pocit harmonie. Zároveň tvrdil, že je příroda substancí matematiky, která se na první pohled jeví jako hra propletených událostí. Proto, aby si člověk zajistil odpovídající prostředí, promítl Le Corbusier systém přírody do geometrie. Pomocí geometrie hledal dokonalou proporci, kterou pro něj představoval právě zlatý řez. S jeho pomocí se snažil vymyslet univerzální proporční jednotku, která by vycházela z lidské postavy, a která by pak při použití nejlépe vyjadřovala vlastní cíl, tedy sloužit díky účelnosti právě člověku . . . byl to modulor,XXV viz obr. 3.54. XXIV

Le Corbusier (1887–1965), vlastním jménem Charles Edouard Jeanneret-Gris, švýcarsko-francouzský architekt, designér a výtvarník. XXV Modulor = mod, modus – norma, ďor – zlato.


126

Obr. 3.53: Švýcarský architekt, urbanista, teoretik a malíř Le Corbusier „Matematika je velkolepá struktura vytvořená člověkem proto, aby mu poskytla pochopení vesmíru.ÿ Le Corbusier

Obr. 3.54: Modulor, Le Corbusier Tato jednotka (modulor) byla založena na lidském těle, jehož výška je oblastí pupku rozdělena zlatým řezem tak, jak je vidět na obr. 3.54. „Modulor je měřítkový nástroj, který vychází s lidské podoby a matematiky.ÿ Le Corbusier Le Corbusier byl doslova očarován zlatým řezem. Tento proporční systém používal nejen při rozvržení fasád domů s horizontálními okny, ale též v interiéru staveb, např. při umisťování uměleckých děl atd. Na obrázku 3.55 je


127

Obr. 3.55: Unité dHabitation, Le Corbusier jedna z Corbusierových nejznámějších staveb Unité dHabitation, jež je postavena v Marseille ve Francii, při této stavbě bylo využito právě univerzální proporční jednotky – moduloru.

Obr. 3.56: Zlatá spirála v architektuře – schodiště

Lidské tělo a zlatý obdélník Jak již věděli staří Řekové, příkladem zlaté proporce je i lidské tělo. Například lidská hlava krásně „zapadáÿ do zlatého obdélníku, současně také pokrčený lidský ukazováček, jak lze vidět na obr. 3.57. Ve zlatém poměru je také rozdělena i celá lidská ruka, viz obr. 3.58. Další obrázek 3.59 poukazuje na zlatou spirálu, kterou lze umístit do lidského ucha.


128

Obr. 3.57: Zlatý obdélník a pokrčený lidský ukazováček

Obr. 3.58: Zlatý řez a lidská ruka

Obr. 3.59: Zlatá spirála a lidské ucho Zlatý řez lze nalézt i v mnoha dalších oblastech. Zmiňme například hudbu, literaturu, chemii, . . .

3.4.3

Zlatý řez a pravidelný pětiúhelník

Pětiúhelník je jediný mnohoúhelník, který má stejný počet úhlopříček jako stran. Sestrojme pravidelný pětiúhelník, známe-li poloměr kružnice opsané, a ukažme, kde lze v pravidelném pětiúhelníku nalézt zlatý řez. Konstrukci provedeme tzv. eukleidovsky, tj. pouze s využitím kružítka a pravítka (bez


129

měřítka a úhloměru).

Obr. 3.60: Konstrukce stran a5 , a6 , a10 V kružnici se středem S sestrojíme průměr AC a průměr BD na něj kolmý. Bod O je středem úsečky AS. Z bodu O opíšeme část kružnice o poloměru OD, která nám protne úsečku AC v bodě E. Vzdálenost DE je hledaná velikost strany pravidelného pětiúhelníku. Úsečka SE je stranou pravidelného desetiúhelníku a úsečka SD je stranou pravidelného šestiúhelníku, viz obr. 3.60. Již Eudoxos (4. stol. př.n.l.) věděl, že platí rovnost: a25 = a26 + a210 , kde a5 , a6 , a10 značí strany pravidelného pětiúhelníku, šestiúhelníku a desetiúhelníku vepsaného stejnému kruhu. Snadno lze ověřit platnost následujících tvrzení: 1. Úhlopříčky v pravidelném pětiúhelníku se protínají v poměru zlatého řezu. M ABE ∼ M F AE |BE| : |AB| = |AE| : |F A| |AB| = |BF | = |AE| |AF | = |EF | |BE| : |BF | =|BF | : |EF | = Φ


130

Úsečka BF je větším dílem úhlopříčky BE dělené zlatým řezem, viz obr. 3.61.

Obr. 3.61: Úhlopříčky pravidelného pětiúhelníku protínající se v poměru zlatého řezu 2. Poměr úhlopříčky a strany pravidelného pětiúhelníku je zlatý. Tedy poměr |BE| : |AB| = Φ, jak plyne z odvozování prvního tvrzení. 3. Jestliže sestrojíme všechny úhlopříčky tohoto pravidelného pětiúhelníku, dostaneme pěticípou hvězdu, uvnitř které je opět pravidelný pětiúhelník. Platí, že průsečíky úhlopříček pravidelného pětiúhelníku ABCDE jsou vrcholy pravidelného pětiúhelníku KLM N O, viz obr. 3.62. Poměr stran pětiúhelníků je roven Φ2 . Úhlopříčky dělí každý vnitřní úhel pravidelného pětiúhelníku na tři shodné úhly, velikost každého z nich označme α = 36◦ . Z konstrukce, viz obr. 3.62, je patrno |ÂLK| = |ÂCD| = 2α = 72◦ |ÔKL| = |ÔEK| + |ÊOK| = 3α = 108◦ M EOK ∼ = M AKL ∼ = M BLM . . .


131

Obr. 3.62: Pravidelné pětiúhelníky ABCDE a KLM N O Pětiúhelník KLM N O je pravidelný. Označme délky jeho stran x. Je-li délka původního pětiúhelníku ABCDE rovna jedné, platí: |AE| = |AO| = 1, |AK| = |DO| = 1 − x, |AO| |AO| |AO| = = , Φ= |DO| |AK| |AO| − |KO| |KO| 1 =1− . Φ |AO| Úpravou a využitím rovnosti Φ − 1 =

1 Φ

získáváme

|AO| Φ = = Φ2 . |KO| Φ−1


3.5

132

Zobecněná Fibonacciho čísla

V této podkapitole nalezneme definici a základní vlastnosti zobecněných Fibonacciho čísel. Jednotlivé důkazy uvedených identit se zobecněnými Fibonacciho čísly jsou vyřešeny v páté kapitole (Sbírka řešených příkladů), viz str. 212–218. Následně je ukázána možnost jejich využití v geometrii.

3.5.1

Posloupnost zobecněných Fibonacciho čísel

Definice 3.5. Posloupnost zadanou lineární rekurentní formulí 2. řádu Tn+2 = Tn+1 + Tn ,

pro n ∈ N,

(3.11)

přičemž T1 = a a T2 = b, nazveme zobecněná Fibonacciho posloupnost. Členy této posloupnosti se nazývají zobecněná Fibonacciho čísla. Obvykle klademe T0 = b − a. Poznámka 3.5. Několik prvních členů zobecněné Fibonacciho posloupnosti: a, b, a + b, a + 2b, 2a + 3b, 3a + 5b, . . . Poznámka 3.6. Pro volbu a = b = 1 dostáváme právě Fibonacciho posloupnost. Věta 3.8. Nechť Tn označuje n-té zobecněné Fibonacciho číslo, pak pro všechna n ∈ N platí Tn = aFn−2 + bFn−1 . (3.12) Důkaz. Viz řešený příklad č. 5.58, strana 212. Věta 3.9. Pro součet prvních n zobecněných Fibonacciho čísel platí n X

Ti = T1 + T2 + T3 + · · · + Tn = Tn+2 − T2 = Tn+2 − b.

(3.13)

i=1

Důkaz. Viz řešený příklad č. 5.61, strana 214. Věta 3.10. Pro součet prvních n zobecněných Fibonacciho čísel s lichými indexy platí n X i=1

T2i−1 = T1 + T3 + T5 + · · · + T2i−1 = T2n − T0 = T2n + a − b.

(3.14)


133

Důkaz. Viz řešený příklad č. 5.62, strana 215. Věta 3.11. Pro součet prvních n zobecněných Fibonacciho čísel se sudými indexy platí n X

T2i = T2 + T4 + T6 + · · · + T2i = T2n+1 − T1 = T2n+1 − a.

(3.15)

i=1

Důkaz. Viz řešený příklad č. 5.66, strana 217. Věta 3.12. Pro součet druhých mocnin prvních n zobecněných Fibonacciho čísel platí n X

Ti2 = T12 + T22 + T32 + · · · + Tn2

i=1

= Tn Tn+1 − T1 T0 = Tn Tn+1 + a(a − b). Důkaz. Viz řešený příklad č. 5.59, strana 212. Věta 3.13. Nechť Tn označuje n-té zobecněné Fibonacciho číslo, pak pro všechna n ∈ N, k ∈ N0 platí n X

Tk+i = Tn+k+2 − Tk+2 .

(3.16)

i=1

Důkaz. Viz řešený příklad č. 5.67, strana 217. Věta 3.14. Nechť Tn označuje n-té zobecněné Fibonacciho číslo, c = a + (a − b)Φ0

a

d = a + (a − b)Φ.

Pak pro všechna n ∈ N0 platí Tn =

c(Φ)n − d(Φ0 )n . Φ − Φ0

(3.17)

Tento vztah nazýváme Binetova formule pro zobecněná Fibonacciho čísla. Důkaz. Viz řešený příklad č. 5.63, strana 215.


134

Věta 3.15. Nechť Tn označuje n-té zobecněné Fibonacciho číslo, pak pro všechna n ∈ N, m ∈ N0 platí Tn+m = Tn−1 Fm + Tn Fm+1 .

(3.18)

Důkaz. Viz řešený příklad č. 5.60, strana 213. Věta 3.16. Nechť Tn označuje n-té zobecněné Fibonacciho číslo a µ = a2 + ab − b2 = cd, kde c = a + (a − b)Φ0

a

d = a + (a − b)Φ.

Pak pro všechna n ∈ N platí Tn+1 Tn−1 − Tn2 = µ(−1)n .

(3.19)

Důkaz. Viz řešený příklad č. 5.64, strana 215. Věta 3.17. Nechť Tn označuje n-té zobecněné Fibonacciho číslo a µ = a2 + ab − b2 = cd, kde c = a + (a − b)Φ0

a

d = a + (a − b)Φ.

Pak pro všechna n ∈ N platí 2 Tn2 + Tn−1 = (3a − b)T2n−1 − µF2n−1 .

Důkaz. Viz řešený příklad č. 5.68, strana 218.

(3.20)


3.5.2

135

Zobecněná Fibonacciho čísla v geometrii

Mnohé důležité výsledky z různých oblastí elementární i vyšší matematiky (aritmetika, algebra, geometrie, infinitezimální počet) lze odůvodnit nápaditými vyobrazeními, které prakticky nepotřebují žádný doplňující výklad nebo vysvětlení. Pro takovýto druh argumentace pomocí geometrických obrázků, schémat nebo diagramů se v amerických časopisech pro popularizaci matematiky vžilo označení důkaz beze slov. Geometrii lze tedy využít například ke znázorňování algebraických vztahů. Algebraický vztah (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 je znázorněn na obrázku 3.63.

Obr. 3.63: Důkaz vztahu (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Nyní si předvedeme, jak lze využít geometrii k důkazům několika vybraných identit se zobecněnými Fibonacciho čísly Tn , Fibonacciho čísly Fn a Lucasovými čísly Ln . Cyklické obdélníky K odvození následujících identit využijeme obrazce, které můžeme nazývat cyklickými obdélníky. Sestrojme čtverec o straně délky Tn+1 . Do jednoho rohu tohoto čtverce umístíme obdélník o stranách délky Tn a Tn−1 , jak je tomu na obrázku 3.64. Proces opakujeme, dokud nebudeme mít ve čtverci čtyři takovéto obdélníky. Uprostřed pak vznikl čtverec o straně délky Tn − Tn−1 = Tn−2 . Z obrázku 3.64 je zřejmé, že platí identita: 2 2 Tn+1 = 4Tn Tn−1 + Tn−2


136

2 2 Obr. 3.64: Důkaz identity Tn+1 = 4Tn Tn−1 + Tn−2

2 Obr. 3.65: Důkaz identity L2n = 8Fn Fn−1 + Fn−3

Jako další příklad uveďme identitu znázorněnou na obr. 3.65. Sestrojíme tedy čtverec o straně délky Ln a do každého jeho rohu umístíme obdélník o stranách délky 2Fn−1 a Fn , jak je tomu na obrázku 3.65. Dle identity (5.11) na str. 174 platí Ln = Fn+1 + Fn−1 = 2Fn−1 + Fn . Uprostřed vznikl čtverec, který má stranu délky 2Fn−1 − Fn = Fn−1 − Fn−2 = Fn−3 . Z obrázku 3.65 je tedy zřejmé, že platí identita: 2 L2n = 8Fn Fn−1 + Fn−3


137

Překrývající se čtverce ve dvou opačných rozích Sestrojme nyní čtverec o straně délky Tn+1 , což dle vztahu (3.11) odpovídá Tn+1 = Tn + Tn−1 . Do dvou navzájem opačných rohů umístíme čtverce o stranách délky Tn , jak je tomu na obr. 3.66. Neboť zřejmě délka Tn je větší než polovina délky Tn+1 , tyto čtverce se musí překrývat. Jejich průnikem je čtverec se stranou délky Tn − Tn−1 = Tn−2 . Celý tento sestrojený čtverec, viz obr. 3.66, je tedy složen ze dvou čtverců o straně délky Tn a ze dvou čtverců o straně délky Tn−1 . Ale jelikož plocha středového čtverce o straně délky Tn−2 by byla započítána dvakrát, je nutné ji odečíst. Z obrázku 3.66 je tedy zřejmé, že platí identita: 2 2 2 Tn+1 = 2Tn2 + 2Tn−1 − Tn−2

2 2 2 − Tn−2 = 2Tn2 + 2Tn−1 Obr. 3.66: Důkaz identity Tn+1

Jako další příklad uveďme identitu znázorněnou na obr. 3.67. Sestrojme čtverec o straně délky Fn+1 , což užitím definice 3.2 odpovídá Fn+1 = 2Fn−1 + Fn−2 . Do dvou navzájem opačných rohů umístíme čtverce o stranách délky 2Fn−1 , jak je tomu na obr. 3.67. Pak průnikem těchto čtverců je čtverec o straně délky 2Fn−1 − Fn−2 = Fn−1 + Fn−3 = Ln−2 .XXVI Z obrázku 3.67 je tedy XXVI

Viz identita (5.11), str. 174.


138

2 2 2 Obr. 3.67: Důkaz identity Fn+1 = 8Fn−1 + 2Fn−2 − L2n−2

zřejmé, že platí identita: 2 2 2 Fn+1 = 8Fn−1 + 2Fn−2 − L2n−2

2 2 Obr. 3.68: Důkaz identity L2n = 8Fn−1 + 2Fn2 − Fn−3

Dále uveďme identitu znázorněnou na obr. 3.68. Sestrojme čtverec o straně délky Ln , což dle identity (5.11) na str. 174 odpovídá Ln = Fn+1 + Fn−1 = 2Fn−1 + Fn .


139

Do dvou navzájem opačných rohů umístíme čtverce o stranách délky 2Fn−1 , jak je tomu na obr. 3.68. Pak průnikem těchto čtverců je čtverec o straně délky 2Fn−1 − Fn = Fn−1 − Fn−2 = Fn−3 . Z obrázku 3.68 je tedy zřejmé, že platí identita: 2 2 L2n = 8Fn−1 + 2Fn2 − Fn−3

Nepřekrývající se čtverce ve čtyřech rozích Dle vztahu (3.11) platí Tn+1 = 2Tn−1 + Tn−2 . Sestrojme čtverec o straně délky Tn+1 . Každou stranu tohoto čtverce pak lze rozdělit na úseky Tn−1 , Tn−2 , Tn−1 v tomto pořadí, viz obr. 3.69. Z obrázku 3.69 je tedy zřejmé, že čtverec se stranou délky Tn+1 může být složen ze čtyř rohových čtverců o straně délky Tn−1 , čtverce se stranou délky Tn−2 a čtyř obdélníků o stranách délky Tn−1 a Tn−2 . Platí tedy identita: 2 2 2 Tn+1 = 4Tn−1 + 4Tn−1 Tn−2 + Tn−2

2 2 2 Obr. 3.69: Důkaz identity Tn+1 = 4Tn−1 + 4Tn−1 Tn−2 + Tn−2


140

Překrývající se čtverce ve čtyřech rozích Na problém lze nahlížet také takto, dle definice 3.2 platí Fn+1 = Fn + Fn−1 . Sestrojme opět čtverec o straně délky Fn+1 . Jak již víme, každou stranu tohoto čtverce lze rozdělit na úseky Fn−1 , Fn−2 , Fn−1 v tomto pořadí, viz obr. 3.70. Z obrázku 3.70 je tedy zřejmé, že obsah čtverce se stranou délky Fn+1 můžeme vyjádřit také jako součet obsahů čtyř rohových čtverců se stranou délky Fn , od nichž odečteme překrývající se plochy, tedy odečteme obsah čtyř obdélníků o stranách délky Fn−1 a Fn−2 a poté odečteme obsah tří čtverců se stranou délky Fn−2 . Platí tedy i tato identita, viz obr. 3.70: 2 2 Fn+1 = 4Fn2 − 4Fn−1 Fn−2 − 3Fn−2

2 2 Obr. 3.70: Důkaz identity Fn+1 = 4Fn2 − 4Fn−1 Fn−2 − 3Fn−2

Překrývající se čtverce sestrojené na hranách Dle identity (5.11) na str. 174 platí Ln = Fn + 2Fn−1 . Sestrojme čtverec o straně délky Ln . Každou stranu tohoto čtverce pak lze rozdělit na úseky Fn−1 , Fn , Fn−1 v tomto pořadí, viz obr. 3.71. Nad úseky o délce Fn sestrojme čtverce, jak je tomu na obrázku 3.71. Tyto čtverce se


141

evidentně překrývají a to ve čtvercích o straně délky Fn − Fn−1 = Fn−2 . Uprostřed pak vznikl čtverec o straně délky Ln − 2Fn = Fn+1 + Fn−1 − 2Fn = 2Fn−1 − Fn = Fn−1 − Fn−2 = Fn−3 . Z obrázku 3.71 je tedy zřejmé, že platí identita: 2 2 2 L2n = 4Fn2 + 4Fn−1 − 4Fn−2 + Fn−3

2 2 2 + Fn−3 − 4Fn−2 Obr. 3.71: Důkaz identity L2n = 4Fn2 + 4Fn−1

Čtyři rohové čtverce a jeden středový Dle definice 3.2 platí Fn+1 = 2Fn−1 + Fn−2 . Sestrojme čtverec o straně délky Fn+1 . Každou stranu tohoto čtverce pak lze rozdělit na úseky Fn−1 , Fn−2 , Fn−1 v tomto pořadí, viz obr. 3.72. Do každého rohu čtverce umístíme čtverec o straně délky Fn−1 . Doprostřed pak umístíme čtverec o straně délky Ln−2 , jak je tomu na obrázku 3.72. Průnikem tohoto středového čtverce s rohovými je čtverec o straně délky Fn−3 , viz obr. 3.72, protože platí Ln−2 = Fn−1 + Fn−3 = Fn−2 + 2Fn−3 . Z obrázku 3.72 je tedy zřejmé, že platí identita: 2 2 2 2 Fn+1 = 4Fn−1 + 4Fn−2 + L2n−2 − 4Fn−3


2 2 2 2 Obr. 3.72: Důkaz identity Fn+1 = 4Fn−1 + 4Fn−2 + L2n−2 − 4Fn−3

Další příklady tohoto typu lze nalézt např. v [6].

142

Kapitola 4 Další aplikace Fibonacciho čísel Tato kapitola pojednává o některých dalších aplikacích Fibonacciho čísel. Text již přesahuje rámec středoškolské matematiky, proto bych jej doporučila do výběrových seminářů nebo do škol s rozšířenou výukou matematiky. Dozvíme se zde poznatky o řetězových zlomcích a to jak konečných, tak nekonečných. Uvedena je i jejich aplikace v biologii. Dále je zpracována tematika Fibonacciho a Lucasových polynomů. Závěrem je ukázáno, že Fibonacciho čísla lze naleznout např. i v teoretické informatice, čímž je možné docílit uceleného chápání jednotlivých předmětů vyučovaných na střední škole.

4.1

Řetězové zlomky

„Řetězové zlomky jsou částí „ztracené matematikyÿ, té matematiky, která je nyní považována za příliš obtížnou pro střední školy a příliš jednoduchou pro školy vysoké.ÿ Petr Beckmann: I Historie čísla π V této části práce jsou uvedeny základní vlastnosti řetězových zloků a to jak konečných, tak nekonečných. Následně je zpracován model popisující spirálovité uspořádání semen, šupin a listů rostlin právě s využitím řetězových zlomků.

4.1.1

Konečné řetězové zlomky

Podíly po sobě jdoucích Fibonacciho čísel lze využít i při tvorbě iracionálních čísel a řetězových zlomků. Základ teorie řetězových zlomků byl vytvořen I

Petr Beckmann (1924–1993), český matematik a fyzik. Od roku 1963 působil v USA na University of Colorado.


144

italským matematikem Pietrem Antoniem Cataldim.II Definice 4.1. Konečným řetězovým zlomkem nazveme výraz tvaru 1

x = a1 +

,

1

a2 +

(4.1)

1 .. .

a3 + am−2 +

1 am−1 +

1 am

kde a1 ∈ N0 , ai ∈ N pro 2 ≤ i ≤ m. Tento zápis je trochu nešikovný, proto zlomek (4.1) často zapisujeme jako 1 1 1 . a2 + a3 + · · · + am Protože je čitatel každého zlomku roven 1, lze zápis redukovat na a1 +

[a1 ; a2 , a3 , . . . , am ], kde a1 ∈ N0 a středník odděluje celou část od části zlomkové. Příklad 4.1. [1; 2, 3, 4, 5, 6] = 1 +

1 1 1 1 1 =1+ 2+3+4+5+6

1 1

2+

1

3+ 4+

1 5+

1 6

Věta 4.1. Hodnota konečného řetězového zlomku je kladné racionální číslo. Příklad 4.2. Určete hodnotu konečného řetězového zlomku [1; 2, 3, 4, 5, 6]. Tuto hodnotu snadno vypočítáme postupnými úpravami složeného zlomku: 1 1 1 1+ =1+ =1+ = 1 1 1 2+ 2+ 2+ 31 3 + 130 1 1 3+ 3+ 6 4 + 31 1 4+ 5 + 16 1 421 1393 =1+ =1+ = . 972 972 130 2+ 421 II

Pietro Antonio Cataldi (1548–1626), italský matematik.


145

Je tedy pochopitelné, že hodnota konečného řetězového zlomku je kladné racionální číslo. K výsledku totiž dospějeme pouze sčítáním a dělením přirozených čísel. Opačný proces – hledání řetězového zlomku daného racionálního čísla – spočívá v aplikaci Eukleidova algoritmu: III 1393 = 1 · 972 + 421 972 = 2 · 421 + 130 421 = 3 · 130 + 31 130 = 4 · 31 + 6 31 = 5 · 6 + 1 Nyní dělme každý dělenec odpovídajícím dělitelem. Zapamatujme si dílčí zbytek a pak pro tento dílčí zbytek použijme substituci. 421 1 1 1393 =1+ = 1 + 972 = 1 + 130 = 1 + 972 972 2 + 421 421 1

=1+ 2+

1 3+

1

=1+ 2+

1 130 31

1

2+

421 130

1 31 3 + 130

1

=

1

2+

1 3+ 6 4 + 31

3+

1 4 + 311 6

= [1; 2, 3, 4, 5, 6].

1

2+

2+

1

=1+

=1+

1

1

=1+

1

1

3+ 4+

1 5+

1 6

Sblížené zlomky Rozštěpením konečného řetězového zlomku (4.1) následujícím způsobem a1 , a 1 +

1 1 , a1 + a2 a2 +

1 , a3

1

a1 + a2 +

a3 + III

, ...

1 1 a4

Eukleidův algoritmus spočívá v opakovaném použití Věty o dělení se zbytkem, podrobněji např. v [50].


146

získáváme konečnou posloupnost čísel Ck = [a1 ; a2 , a3 , . . . , ak ], kde 1 ≤ k ≤ m. Čísla Ck mají vlastnost |Ck+1 − x| ≤ |Ck − x|,

kde 1 ≤ k ≤ m − 1, Cm = x.

(4.2)

Ck nazýváme k-tý sblížený zlomek konečného řetězového zlomku. Příklad 4.3. Uvažme podíl dvou po sobě jdoucích Fibonacciho čísel Nalezněme konečný řetězový zlomek tohoto zlomku: 21 = [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 1 + 13

1

.

1

1+

21 . 13

1

1+

1

1+ 1+

1 1+

1 1

Snadno si můžeme ověřit, že jednotlivé sblížené zlomky jsou |Ck − x|

Ck = [a1 ; a2 , . . . , ak ] C1 = [1] = 1 C2 = [1; 1] = 1 +

1 1

C3 = [1; 1, 1] = 1 +

1 1+

C4 = [1; 1, 1, 1] = 1 +

1 1

1 1 1+ 1+

C5 = [1; 1, 1, 1, 1] = . . . C6 = [1; 1, 1, 1, 1, 1] = . . . 21 C7 = [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 13

=1

0, 6154

=2

0, 3846

= 1, 5

0, 1154

. = 1, 6666666667

0, 0513

1 1

= 1, 6 = 1, 625 . = 1, 6153846154

0, 0154 0, 0096 0, 0000

Z posledního sloupce je vidět, že čísla Ck splňují vlastnost (4.2). Ve skutečnosti se hodnoty s lichým indexem přibližují k této hodnotě zdola, zatímco hodnoty se sudými indexy se přibližují shora, viz obr. 4.1.


147

Obr. 4.1: Grafické znázornění hodnot Ck pro 1 ≤ k ≤ 7 Tyto sblížené zlomky mají zajímavou vlastnost: 2 3 5 8 13 21 1 C1 = , C 2 = , C 3 = , C 4 = , C 5 = , C 6 = , C 7 = . 1 1 2 3 5 8 13 Pokud si je blíže prohlédneme, zjistíme, že se vždy jedná o podíl dvou sousedních Fibonacciho čísel. Opravdu pro n ≥ 1 platí Fn+1 Cn = , Fn jak dokážeme později, viz důkaz věty 4.2.

Rekurzivní definice Cn Nechť Cn = pqnn označuje n-tý sblížený zlomek konečného řetězového zlomku (4.1). Pak pro n ≥ 3 platí rekurentní vztahy pn = an pn−1 + pn−2 , qn = an qn−1 + qn−2 ,

(4.3) (4.4)

přičemž C1 =

p1 p2 1 = a1 , C 2 = = a1 + . q1 q2 a2

Tedy užitím sblížených zlomků Cn−2 a Cn−1 můžeme snadno vypočítat n-tý sblížený zlomek Cn . Příklad 4.4. Uvažme opět konečný řetězový zlomek kde

21 13

= [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1],


148

ai = 1 pro všechna i. Dle očekávání získáváme C1 =

1 p2 1 1 2 p1 = a1 = , C 2 = = a1 + =1+ = , q1 1 q2 a2 1 1 p3 a3 · p 2 + p 1 1·2+1 3 C3 = = = = , q3 a3 · q 2 + q 1 1·1+1 2 a4 · p 3 + p 2 1·3+2 5 p4 = = = ,... C4 = q4 a4 · q 3 + q 2 1·2+1 3

Ve skutečnosti můžeme k výpočtu Cn použít následující tabulku. První dva sloupce tabulky (pod q1 a q2 ) vyplníme, jak je naznačeno, a pro ostatní používáme vzorců (4.3), (4.4). an pn qn

a1 a1 1

a2 a1 a2 + 1 a2

a3

...

an

Tabulka 4.1: Výpočet sblížených zlomků Příklad 4.5. Sestavte tabulku, kde budou uvedeni čitatelé i jmenovatelé všech sblížených zlomků konečného řetězového zlomku [3; 2, 1, 1, 2, 3]. Přímým výpočtem můžeme ověřit, že platí 149 = [3; 2, 1, 1, 2, 3] = 3 + 44

1 2+

1

1+ 1+ n an pn qn

1 3 3 1

.

1

2 3 4 5 6 2 1 1 2 3 7 10 17 44 149 2 3 5 13 44

Posloupnost sblížených zlomků je 3, 27 , 10 , 17 , 44 , 149 . 3 5 13 44

1 2+

1 3


4.1.2

149

Nekonečné řetězové zlomky

Uvažujme nekonečný řetězový zlomek tvaru 1

c1 +

1

c2 +

1 ...

c3 +

1

ci +

ci+1 +

1 ..

.

kde c1 ∈ N0 , ci ∈ N pro i ≥ 2. Každý takový zlomek lze jednoznačně určit posloupností c1 , c2 , c3 , . . . Naopak každá taková posloupnost c1 , c2 , c3 , . . . určuje nekonečný řetězový zlomek tohoto typu. Pak říkáme, že zlomek je touto posloupností určen. Definice 4.2. Nechť je dána nekonečná posloupnost a1 , a2 , a3 , a4 , . . ., kde a1 ∈ N0 , ai ∈ N pro i ≥ 2. Touto posloupností určený řetězový zlomek 1

[a1 ; a2 , a3 , a4 , . . .] = a1 +

1

a2 + a3 +

1 a4 + · · ·

nazýváme nekonečným řetězovým zlomkem. Uvažme nekonečný řetězový zlomek [1; 1, 1, 1, 1, . . .]. Z předchozí analýzy konečných řetězových zlomků lze usuzovat, že n-tý sblížený zlomek Cn nekonečného řetězového zlomku [1; 1, 1, 1, 1, . . .] je též roven podílu dvou soused. ních Fibonacciho čísel FFn+1 n Věta 4.2. Nechť Cn označuje n-tý sblížený zlomek nekonečného řetězového zlomku [1; 1, 1, 1, 1, . . .]. Pak platí Cn = Důkaz. Pro n = 1 je C1 = 1 =

Fn+1 , Fn F2 , F1

pro n ≥ 1.

pro n = 2 je C2 = 2 =

p1 = 1 = F 2 ; p2 = 2 = F 3 ;

q1 = 1 = F 1 , q2 = 1 = F 2 .

(4.5) F3 . F2

Položme


150

Předpokládejme nyní, že vzorec (4.5) platí pro všechna celá kladná čísla k ≤ (n − 1), kde n ≥ 3: pk Ck = . qk Potom pn = a1 · pn−1 + pn−2 = 1 · pn−1 + pn−2 = Fn + Fn−1 = Fn+1 . Podobně qn = a1 · qn−1 + qn−2 = 1 · qn−1 + qn−2 = Fn−1 + Fn−2 = Fn . Celkem

Fn+1 pn = . qn Fn Dle matematické indukce vztah platí pro všechna n ≥ 1. Cn =

Tento vztah byl poprvé publikován v roce 1753 anglickým matematikem Robertem Simsonem (1687–1768). Tímto Simson dokázal, že nekonečný řetězový zlomek [1; 1, 1, 1, 1, . . .] konverguje ke zlatému řezu Fn+1 = Φ. n→∞ Fn

lim Cn = lim

n→∞

Tvrzení přináší velmi pěknou rovnost Φ = [1; 1, 1, 1, 1, . . .] = 1 +

1 1 1 1 =1+ 1+1+1+1+···

1

.

1

1+

1

1+ 1+

1 1 + ···

To se shoduje se skutečností, že hodnota každého nekonečného řetězového zlomku je iracionální číslo, důkaz viz [61]. Platnost vztahu [1; 1, 1, 1, 1, . . .] = Φ je možné dokázat i bez použití sblížených zlomků. Označme x = [1; 1, 1, 1, 1, . . .]. Zřejmě platí [1; 1, 1, 1, 1, . . .] = [1; [1; 1, 1, 1, 1, . . .]]. Odtud x = [1; x] 1 x=1+ x 2 x − x − 1 = 0.


151

Tedy pro x ≥ 0 platí x = Φ, tj. Φ = [1; 1, 1, 1, 1, . . .]. blíží ke zlatému řezu Lze odvodit, že pro n sudá se hodnota Cn = FFn+1 n shora a pro n lichá se přibližuje zdola. Toto chování je ilustrováno na obr. 4.2 (pro 1 ≤ n ≤ 10).

Obr. 4.2: Konvergence sblížených zlomků Cn nekonečného řetězového zlomku [1; 1, 1, 1, 1, . . .] ke zlatému řezu Φ

4.1.3

Model popisující spirálovité uspořádání semen, šupin a listů rostlin s využitím řetězových zlomků

Historie zkoumání fylotaxeIV sahá hluboko do historie. Zmínky je možné najít již v pramenech pocházejících z doby krátce před naším letopočtem. Nicméně prvního výraznějšího pokroku bylo dosaženo až po roce 1830 díky pracím již zmíněných botaniků K. Schimpera a A. Brauna. Karl Schimper zkoumal uspořádání listů na stonku rostliny a jako první poukázal na souvislost s Fibonacciho čísly. Alexander Braun studoval uspořádání šupin na šiškách a popsal spirály jdoucí po i proti směru chodu hodinových ručiček a jejich počty. Vypozoroval, že nově vyrostlá šupina se vzdaluje rovně od středu šišky a další vyroste odkloněna vždy o stejný úhel, již zmíněnou divergenci δ. Měřením došel k√ závěru, že poměr plného úhlu (360◦ ) a divergence δ je zlatý řez r = Φ = 1+2 5 . Pro lepší pochopení celého problému si nyní uveďme jednoduchý model vysvětlující tyto skutečnosti. Vraťme se ke spirálovitému uspořádání semen v terči slunečnice, viz obr. 3.16. Představme si její kruhový květ. Semínka vyrůstají z prostředku v pravidelných časových intervalech. Každé semínko, po tom, co vyrostlo, se od IV

Z řeckého phyllon (list), a taxis (uspořádání).


152

středu začne vzdalovat rychlostí úměrnou druhé odmocnině z času, aby se zachovávala plošná hustota semínek. Následující semínko se tedy „vydáÿ ve směru odkloněném o úhel δ = r · 360◦ od předchozího. Proč by se příroda měla chovat právě podle tohoto modelu? A proč poměr r má být zlatý řez? Pokusíme se vysvětlit, že jen takto mezi semínky nebudou zbytečné mezery, a tím se tedy do terče rostliny vejde největší možný počet semen. Pokud bychom totiž zvolili odklon r jako racionální číslo s malým jmenovatelem r = pq , pozorovali bychom pak semínka rostoucí v q rovných větvích, viz obr. 4.3, a zde je mezer opravdu zbytečně mnoho.

Obr. 4.3: Chování modelu pro r =

3 5

Je-li r blízké nějakému racionálnímu číslu s malým jmenovatelem, potom pozorujeme q spirál, což je znázorněno na obr. 4.4. Směr spirály závisí na tom, zda je číslo větší či menší než zlomek jemu blízký.

Obr. 4.4: Vlevo r = 0, 605; vidíme 5 spirál po směru hodinových ručiček, neboť 0, 605 > 35 ; vpravo r = 0, 595; vidíme 5 spirál proti směru hodinových ručiček, neboť 0, 595 < 35 Pokud bychom v tomto případě nechali narůst tisíce semínek, na okraji pak opět pozorujeme rovné větve, protože semínka tvořící spirály by se od sebe dostala příliš daleko a spirála by nebyla oku patrná – zase příliš mnoho mezer.


153

Použijme tedy nějaké iracionální číslo r, například r = π. Uspořádání semínek pak závisí na tom, kolik jich necháme narůst, viz obr. 4.5.

Obr. 4.5: Simulace pro r = π pro a) 100 b) 1 000 c) 10 000 semínek Pro 100 semínek pozorujeme 7 spirál, pro 1 000 semínek již začne obrazec na koncích vypadat tak, jak chceme (tedy mezi semínky již nejsou zbytečné mezery), ale pro 10 000 semínek pozorujeme opět nechtěné mezery mezi semínky uprostřed i na okrajích květu. , 333 , 355 , . . ., Vysvětlení je jednoduché. Sblížené zlomky pro π jsou 3, 22 7 106 113 neboť řetězový zlomek π je 1

π =3+

. = 3, 141 592 653 . . . .

1

7+ 15 +

1 1+

1 292+···

. Porovnáme-li ale například třetí sblížený zlomek 333 (= 3, 141 509 434 . . .) 106 . a čtvrtý sblížený zlomek 335 (= 3, 141 592 920 . . .), zjistíme, že čtvrtý se k π 113 přibližuje mnohem více. Tedy vhodným kandidátem pro r bude takové iracionální číslo, jehož sblížené zlomky se přibližují k r poměrně pomalu a tedy jeho rozvoj do řetězového zlomku obsahuje samé jedničky: √ 1 1+ 5 = , r =Φ=1+ 2 1 1+ 1 1+ 1 1 + 1+··· tedy právě A. Baumanem naměřený zlatý řez – jehož sblížené zlomky jsou 2 3 5 8 13 21 34 1, , , , , , , , . . . 1 2 3 5 8 13 21


154

Protože počty spirál odpovídají jmenovatelům, vidíme opět souvislost s Fibonacciho čísly. Na obr. 4.6 jsou znázorněny výsledky simulace pro úhel odklonu odpovídající zlatému řezu pro různé počty vyrostlých semínek. Pro 30 semínek pozorujeme 8 a 13 spirál; pro 300 jich je 21 a 34; pro 3 000 semínek je spirál 89 a 144. Vidíme, že zde již nechtěné mezery skutečně nejsou.

Obr. 4.6: Simulace pro r = Φ =

√ 1+ 5 2

pro a) 30 b) 300 c) 3 000 semínek

Sblížené zlomky zlatého řezu navíc splňují nerovnosti: 1< 3 < 2 8 < 5 21 < 13

r < 2, 5 r< , 3 13 r< , 8 34 r< , 21 .. .

Proto se spirály, odpovídající dvěma po sobě jdoucím Fibonacciho číslům (jmenovatelům zlomků), točí v opačných směrech. Vzpomeňme na vysvětlení směru spirál u obr. 4.4. Zlatý řez samozřejmě není jediný přípustný kandidát pro úhel odklonu. V přírodě se ale vyskytuje naprosto nejčastěji. Celá teorie fylotaxe je samozřejmě mnohem složitější. Nicméně ještě poznamenejme, že z výsledků Stéphane Douadyho, Yves Coudera (r. 1992) a později i dalších vědců plyne, že spirálové vzory jsou výsledkem dynamického růstového procesu „odpuzujícíchÿ se semínek. Nejsou tedy zakódovány


155

v genech rostliny, ani nevznikly nějakou složitou evoluční cestou. Přičemž ono odpuzování semínek je realizováno např. pouhým dělením a růstem buněk.

Obr. 4.7: Spirálovité uspořádání semen a listů rostlin


4.2

156

Fibonacciho a Lucasovy polynomy

Rozsáhlou skupinu polynomů lze definovat pomocí formule podobné Fibonacciho rekurentní formuli (3.2). Z těchto polynomů můžeme vhodným dosazením získat Fibonacciho čísla. Studiem Fibonacciho polynomů se v roce 1883 zabýval belgický matematik Eugène Charles CatalanV a poté také německý matematik Ernst Jacobsthal.VI Polynomy popsané E. Ch. Catalanem: Definice 4.3. Polynomy fn (x) splňující následující rekurentní formuli fn (x) = xfn−1 (x) + fn−2 (x),

(4.6)

kde f1 (x) = 1, f2 (x) = x a n ≥ 3, n ∈ N nazýváme Fibonacciho polynomy. Později tyto „Catalanovyÿ Fibonacciho polynomy zkoumal kanadský matematik M. N. S. Swamy (kolem roku 1966). Polynomy popsané E. Jacobsthalem: Definice 4.4. Polynomy Jn (x) splňující následující rekurentní formuli Jn (x) = Jn−1 (x) + xJn−2 (x),

(4.7)

kde J1 (x) = 1 = J2 (x) a n ≥ 3, n ∈ N nazýváme „Jacobsthalovyÿ Fibonacciho polynomy.

4.2.1

Fibonacciho polynomy popsané Catalanem

Vraťme se ale zpět k Fibonacciho polynomům, které popsal E. Ch. Catalan a představme si alespoň prvních deset členů těchto Fibonacciho polynomů: f1 (x) = 1 f2 (x) = x f3 (x) = x2 + 1 f4 (x) = x3 + 2x f5 (x) = x4 + 3x2 + 1 f6 (x) = x5 + 4x3 + 3x .. . V VI

Eugène Charles Catalan (1814–1894), francouzsko-belgický matematik. Ernst Jacobsthal (1882–1965), německý matematik.


157

f7 (x) = x6 + 5x4 + 6x2 + 1 f8 (x) = x7 + 6x5 + 10x3 + 4x f9 (x) = x8 + 7x6 + 15x4 + 10x2 + 1 f10 (x) = x9 + 8x7 + 21x5 + 20x3 + 5x .. . Zde si povšimněme, že fi (1) = Fi pro 1 ≤ i ≤ 10, přičemž Fi označuje i-té Fibonacciho číslo. Poznámka 4.1. Z rekurentního vztahu (4.6) přímo plyne, že platí fn (1) = Fn ,

pro ∀n ∈ N,

kde Fn je n-té Fibonacciho číslo. Dále platí, že stupeň polynomu fn (x) je roven n − 1, pro n ≥ 1, n ∈ N. Poznámka 4.2. Definici Fibonacciho polynomů můžeme také rozšířít o vztah pro záporné indexy f−n (x) = (−1)n+1 fn (x),

pro n ∈ N,

přičemž f0 (x) = 0. Grafické znázornění některých z Fibonacciho polynomů popsaných E. Ch. Catalanem, viz obr. 4.8.

Obr. 4.8: Fibonacciho polynomy (popsané E. Ch. Catalanem) Tabulka na obrázku 4.9 uspořádává koeficienty prvních deseti Fibonacciho polynomů dle zvyšujících se exponentů.


158

Obr. 4.9: Tabulka – koeficienty Fibonacciho polynomů Z tabulky můžeme pozorovat, že: • Některé rostoucí diagonály odpovídají řadám Pascalova trojúhelníka. (n−1)

• Součet prvků n-té rostoucí diagonály je 2 2 pro n lichá. Např. součet čísel sedmé diagonály je 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23 . • Každá druhá rostoucí diagonála je složena ze samých nul. Poznámka 4.3. Fibonacciho polynomy můžeme také vyjádřit explicitní formulí b(n−1)/2c X n − j − 1 n−2j−1 fn (x) = x , n ≥ 0, n ∈ N, (4.8) j j=0 přičemž ( bn/2c =

n−1 , 2 n , 2

jestliže n je liché; jestliže n je sudé.

Např. 2 X 4 − j 4−2j f5 (x) = x j 0 4 4 3 2 2 0 = x + x + x 0 1 0 = x4 + 3x2 + 1, získáváme stejný polynom, jako podle definice 4.3.


159

Poznámka 4.4. Existuje ještě další explicitní rovnice pro fn (x), nazýváme ji Binetova rovnice pro Fibonacciho polynomy: fn (x) =

αn (x) − β n (x) , α(x) − β(x)

kde

(4.9)

√ √ x2 + 4 x − x2 + 4 α(x) = a β(x) = . 2 2 Určeme opět Fibonacciho polynom f5 (x), tentokráte podle vztahu (4.9). Snadno lze ověřit, že platí: !5 !5 √ √ √ x + x2 + 4 x − x2 + 4 − = (x4 + 3x2 + 1) x2 + 4, 2 2 x+

odkud plyne f5 (x) = x4 + 3x2 + 1. Věta 4.3. Fibonacciho polynomy splňují následující rovnost x

n X

fi (x) = fn+1 (x) + fn (x) − 1.

i=1

Důkaz. Užitím rekurentního vztahu (4.6) získáváme n X

fi+1 (x) = x

i=1

n X

fi (x) +

i=1

Pak fn (x) + fn+1 (x) = x

n X

n X

fi−1 (x).

i=1

fi (x) + f0 (x) + f1 (x).

i=1

Protože f0 (x) = 0, dostáváme x

n X i=1

fi (x) = fn+1 (x) + fn (x) − 1.


160

Např. x

4 X

fi (x) = x[1 + x + (x2 + 1) + (x3 + 2x)]

i=1

= x4 + x3 + 3x2 + x. f5 (x) + f4 (x) − 1 = (x4 + 3x2 + 1) + (x3 + 2x) − 1 = x4 + x3 + 3x2 + x. Potom x

4 X

fi (x) = f5 (x) + f4 (x) − 1.

i=1

4.2.2

Fibonacciho polynomy popsané Jacobsthalem

Představme si nyní Fibonacciho polynomy, které popsal E. Jacobsthal (viz definice 4.4). Pro lepší přehlednost je nazývejme zkráceně – Jacobsthalovy polynomy. Prvních deset Jacobsthalových polynomů: J1 (x) = 1 J2 (x) = 1 J3 (x) = x + 1 J4 (x) = 2x + 1 J5 (x) = x2 + 3x + 1 J6 (x) = 3x2 + 4x + 1 J7 (x) = x3 + 6x2 + 5x + 1 J8 (x) = 4x3 + 10x2 + 6x + 1 J9 (x) = x4 + 10x3 + 15x2 + 7x + 1 J10 (x) = 5x4 + 20x3 + 21x2 + 8x + 1 .. . Poznámka 4.5. Z rekurentního vztahu (4.7) přímo plyne platnost rovnosti Jn (1) = Fn , kde Fn je n-té Fibonacciho číslo.

pro ∀n ∈ N,


161

Dále platí: • Jacobsthalovy polynomy J2n−1 (x) a J2n (x) mají stejný stupeň. • Stupeň polynomu Jn (x) je roven b(n − 1)/2c. • Hlavní koeficient (tj. koeficient u nejvyšší mocniny) polynomů J2n−1 (x) je roven 1, zatímco u polynomů J2n (x) je hlavní koeficient roven n. • Koeficienty polynomů Jn (x) jsou stejné jako koeficienty u polynomů fn (x), ale jsou v opačném pořadí. (Např. J9 = x4 + 10x3 + 15x2 + 7x + 1; f9 = x8 + 7x6 + 15x4 + 10x2 + 1). • Koeficienty Jacobsthalových polynomů leží na rostoucí diagonále Pascalova trojúhelníku (uvažujeme-li levostranné uspořádání, jako v tabulce na obrázku 4.10) a to opět v opačném pořadí.

Obr. 4.10: Tabulka – koeficienty Jacobsthalových polynomů Poznámka 4.6. Jacobsthalovy polynomy můžeme také vyjádřit touto explicitní formulí b(n−1)/2c X bn/2c + j Jn (x) = xb(n−1)/2c−j , n ∈ N. b(n − 1)/2c − j j=0 Např. 3 X 3 + j 3−j J7 (x) = x 3−j 0 3 3 4 2 5 6 0 = x + x + x+ x 3 2 1 0 = x3 + 6x2 + 5x + 1.


162

Pokusme se nyní nalézt Binetovu rovnici pro Jacobsthalovy polynomy. Nechť r a s jsou kořeny kvadratické rovnice t2 − t − x = 0. Tedy √ √ 1 − 1 + 4x 1 + 1 + 4x , s = , r= 2 2 √ r + s = 1; rs = −x; r − s = 1 + 4x. Lze dokázat, že pro Jacobsthalovy polynomy platí následující Binetova rovnice r n − sn , pro n ≥ 1, n ∈ N. (4.10) Jn (x) = √ 1 + 4x Určeme, například, opět polynom J7 , tentokráte pomocí vztahu (4.10). Lze ověřit, že platí: √ √ 7 7 1 + 1 + 4x 1 − 1 + 4x − = 2 2 √ √ √ √ = 1 + 4x + 5x 1 + 4x + 6x2 1 + 4x + x3 1 + 4x, tedy po zkrácení získáváme J7 = x3 + 6x2 + 5x + 1.

4.2.3

Lucasovy polynomy

Definice 4.5. Polynomy ln (x) splňující následující rekurentní formuli ln (x) = x ln−1 (x) + ln−2 (x),

(4.11)

kde l0 (x) = 2, l1 (x) = x a n ≥ 2, n ∈ N nazýváme Lucasovy polynomy. Původně je studoval americký matematik Marjorie Bicknell (kolem roku 1970). Představme si alespoň prvních deset členů Lucasových polynomů: l1 (x) = x l2 (x) = x2 + 2 l3 (x) = x3 + 3x l4 (x) = x4 + 4x2 + 2 l5 (x) = x5 + 5x3 + 5x l6 (x) = x6 + 6x4 + 9x2 + 2 l7 (x) = x7 + 7x5 + 14x3 + 7x l8 (x) = x8 + 8x6 + 20x4 + 16x2 + 2 l9 (x) = x9 + 9x7 + 27x5 + 30x3 + 9x l10 (x) = x10 + 10x8 + 35x6 + 50x4 + 25x2 + 2 .. .


163

Poznámka 4.7. Z rekurentní definice přímo plyne, že platí ln (1) = Ln ,

pro ∀n ∈ N,

kde Ln je n-té Lucasovo číslo. Lucasovy polynomy dále splňují následující tři rovnosti (n ∈ N): • ln (x) = fn+1 (x) + fn−1 (x) = xfn (x) + 2fn−1 (x), • xln (x) = fn+2 (x) − fn−2 (x), • l−n (x) = (−1)n ln (x). Grafické znázornění některých Lucasových polynomů viz obr. 4.11.

Obr. 4.11: Lucasovy polynomy Poznámka 4.8. Nechť α(x) a β(x) jsou řešeními kvadratické rovnice t2 − xt − 1 = 0, tedy

√ √ x2 + 4 x − x2 + 4 α(x) = a β(x) = . 2 2 Potom pro ln (x) platí následující explicitní rovnice x+

ln (x) = αn (x) + β n (x),

n ∈ N.

Tuto rovnici nazýváme Binetova rovnice pro Lucasovy polynomy.


164

Obr. 4.12: Tabulka – koeficienty Lucasových polynomů Tabulka na obrázku 4.12 uspořádává koeficienty prvních deseti Lucasových polynomů dle vzestupného pořadí exponentů. Z tabulky je patrné: • Součet prvků n-té rostoucí diagonály je 3 · 2

(n−1) 2

pro n sudá a n ≥ 2.

• Každá lichá rostoucí diagonála je složena ze samých nul.


4.3

165

Fibonacciho čísla a teoretická informatika

V této podkapitole pouze lehce nastíníme, že Fibonacciho čísla lze nalézt např. i v teoretické informatice. Podrobněji je možné celou problematiku nastudovat např. z [10], [11]. Vymezení jazyka Základními pojmy pro definování jazyka jsou pojmy abeceda a řetězec. Definice 4.6. Abecedou rozumíme neprázdnou množinu prvků, které nazýváme symboly abecedy. Příklad 4.6. Jako příklady abeced můžeme uvést latinskou abecedu, řeckou abecedu, dvouprvkovou binární abecedu reprezentovanou množ. {0, 1}, . . . Definice 4.7. Řetězcem (také slovem nebo větou) nad danou abecedou rozumíme každou konečnou posloupnost symbolů abecedy. Prázdnou posloupnost symbolů, tj. posloupnost, která neobsahuje žádný symbol, nazýváme prázdný řetězec. Prázdný řetězec označujeme písmenem ε. Příklad 4.7. Je-li A = {a; b; +} abeceda, pak ε;

a;

b;

+;

aa;

a+b;

+ab;

jsou některé řetězce nad abecedou A. Pořadí symbolů v řetězci je významné; řetězce a+b, +ab jsou různé. Definice 4.8. Nechť Σ je abeceda. Označme symbolem Σ∗ množinu všech řetězců nad abecedou Σ včetně řetězce prázdného. Množinu L, pro níž platí L ⊆ Σ∗ , nazýváme jazykem L nad abecedou Σ. Jazykem tedy může být libovolná podmnožina řetězců nad danou abecedou. Vymezení gramatiky Pojem gramatika souvisí velmi úzce s problémem reprezentace jazyka. Triviální způsob reprezentace – výčet všech vět jazyka – je nepoužitelný nejen pro jazyky nekonečné, ale prakticky i pro rozsáhlé konečné jazyky. Také obvyklé matematické prostředky jsou použitelné pouze pro reprezentaci jazyků s velmi jednoduchou strukturou. Gramatika, jako nejznámější prostředek pro reprezentaci jazyků, splňuje základní požadavek kladený na reprezentaci konečných i nekonečných jazyků, požadavek konečnosti reprezentace. Používá dvou konečných disjunktních abeced:


166

• množiny N nonterminálních symbolů • množiny Σ terminálních symbolů Neterminální symboly (neterminály) mají roli pomocných proměnných označujících určité syntaktické celky – syntaktické kategorie. Množina terminálních symbolů (terminálů) je identická s abecedou, nad níž je definován jazyk. Sjednocení obou množin N ∪ Σ je nazýváno slovníkem gramatiky. Příklad 4.8. Slovník gramatiky pro definici jazyka identifikátorů může mít tvar: N = {< identifikátor >; < písmeno >; < číslice >} Σ = {A, B, . . . , Z;

a, b, . . . , z;

0, 1, . . . 9}.

Gramatika představuje generativní systém, ve kterém lze, z jistého vyznačeného neterminálního symbolu, generovat (aplikací tzv. přepisovacích pravidel) řetězce tvořené pouze terminálními symboly. Takové řetězce reprezentují právě věty gramatikou definovaného jazyka. Jádrem gramatiky je konečná množina P přepisovacích pravidel. Každé přepisovací pravidlo má tvar uspořádané dvojice (α; β) řetězců a stanovuje možnou substituci řetězce β namísto řetězce α, který se vyskytuje jako podřetězec generovaného řetězce (budeme zapisovat α → β). Řetězec α (na levé straně přepisovacího pravidla) musí obsahovat alespoň jeden neterminální symbol, řetězec β (na pravé straně přepisovacího pravidla) je prvkem množiny (N ∪ Σ)∗ . Množinu přepisovacích pravidel P lze formálně definovat jako podmnožinu kartézského součinu: (N ∪ Σ)∗ N (N ∪ Σ)∗ × (N ∪ Σ)∗ Příklad 4.9. Uvažme např., že dvojice (AB, CDE) je jedním z přepisovacích pravidel gramatiky, tedy AB → CDE. Mějme řetězec x = F ABGAB a aplikujme na něj pravidlo (AB, CDE). Obdržíme řetězec y = F CDEGCDE (nahradili jsme podřetězec AB řetězce x podřetězcem CDE). Říkáme, že jsme řetězec y odvodili z řetězce x podle přepisovacího pravidla (AB, CDE). A nyní exaktní definice gramatiky, viz [11]: Definice 4.9. Gramatika G je čtveřice G = (N, Σ, P, S), kde: • N je neprázdná konečná množina neterminálních symbolů; • Σ je konečná množina terminálních symbolů, N ∩ Σ = ∅;


167

• P je konečná podmnožina kartézského součinu (N ∪ Σ)∗ N (N ∪ Σ)∗ × (N ∪ Σ)∗ ; • S ∈ N je výchozí (také počáteční) symbol gramatiky. Ukažme nyní, jak lze definovat jednoduchou gramatiku se zajímavou schopností generovat řetězce, jejichž délky odpovídají právě Fibonacciho číslům. Příklad 4.10. Mějme gramatiku G = (N, Σ, P, S), kde N = {A, B} Σ=∅ P = {(A, B), (B, AB)} S = A. Přepisovací pravidla lze tedy zapsat také takto: A→B

B → AB

Jednotlivými iteracemi (současné použití obou pravidel znak po znaku) vznikají řetězce následující délky: 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. .. .

iterace: iterace: iterace: iterace: iterace: iterace: iterace: iterace:

A B AB BAB ABBAB BABABBAB ABBABBABABBAB BABABBABABBABBABABBAB

délka délka délka délka délka délka délka délka

řetězce řetězce řetězce řetězce řetězce řetězce řetězce řetězce

= = = = = = = =

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21;

Kapitola 5 Sbírka řešených příkladů V této kapitole je uvedeno mnoho řešených příkladů vztahujících se k problematice Fibonacciho a Lucasových čísel, zlatého řezu a řetězových zlomků. Obtížnost těchto příkladů je přiměřená středoškolským znalostem a lze je tedy přímo využít ve výuce. Příklady jsou tematicky rozčleněny do šesti podkapitol. Většina těchto podkapitol je pro lepší přehlednost dále tematicky rozdělena. Příklady jsou uspořádány od jednodušších po složitější. Nejprve je vypracováno 27 důkazů identit Fibonacciho a Lucasových čísel pomocí matematické indukce, přímého důkazu či důkazu sporem. Pak následuje 68 příkladů na dělitelnost Fibonacciho a Lucasových čísel, na základní vlastnosti čísel Φ a Φ0 , na zobecněné Fibonacciho identity, příklady vztahující se k tematice řetězových zlomků atd.

5.1 5.1.1

Fibonacciho a Lucasovy identity Fibonacciho identita v biologii

Identitu nejprve exaktně dokážeme a poté upozorníme na její využitelnost v praxi. Identita 1. Pro součet prvních n Fibonacciho čísel platí n X

Fi = F1 + F2 + F3 + · · · + Fn = Fn+2 − 1.

i=1

Poprvé uveřejněno Édouardem Lucasem v roce 1876.

(5.1)


169

Důkaz. Užitím rekurentní formule (3.2) získáváme F1 = F3 − F2 , F2 = F4 − F3 , F3 = F5 − F4 , .. . Fn−1 = Fn+1 − Fn , Fn = Fn+2 − Fn+1 . Součtem všech těchto rovnic dostáváme n X Fi = Fn+2 − F2 = Fn+2 − 1. i=1

Uvědomme si, že pomocí této identity lze např. snadno zodpovědět otázku z úlohy 1 o králících, str. 31: „Kolik párů králíků zplodí jeden pár za jeden rok?ÿ

5.1.2

Důkazy s využitím rekurentní formule

Identita 2. Pro součet prvních n Fibonacciho čísel s lichými indexy platí n X

F2i−1 = F1 + F3 + F5 + · · · + F2n−1 = F2n .

(5.2)

i=1

Identita poprvé publikována v roce 1876 Édouardem Lucasem. Důkaz. Opět využijeme rekurentní formuli (3.2). Platí F1 = F2 , F3 = F4 − F2 , .. . F2n−1 = F2n − F2n−2 . Požadovaný výsledek získáme opět součtem všech těchto rovností. Identita 3. Pro součet prvních n Lucasových čísel platí n X i=1

Li = L1 + L2 + L3 + · · · + Ln = Ln+2 − 3.

(5.3)


170

Důkaz. Užitím rekurentní formule (3.3) získáváme L1 = L3 − L2 , L2 = L4 − L3 , .. . Ln−1 = Ln+1 − Ln , Ln = Ln+2 − Ln+1 . Součtem všech těchto rovnic dostáváme n X

Li = Ln+2 − L2 = Ln+2 − 3.

i=1

Identita 4. Pro součet prvních n Lucasových čísel s lichými indexy platí n X

L2i−1 = L1 + L3 + L5 + · · · + L2n−1 = L2n − 2.

(5.4)

i=1

Důkaz. Opět využijeme rekurentní formuli (3.3). Platí L1 = L2 − L0 L3 = L4 − L2 , .. . L2n−1 = L2n − L2n−2 . Požadovaný výsledek získáme opět součtem všech těchto rovností. n X

L2i−1 = L2n − L0 = L2n − 2.

i=1

5.1.3

Důkazy matematickou indukcí

Identita 5. V roce 1876 Édouard Lucas objevil identitu n X i=1

Fi2 = F12 + F22 + F32 + · · · + Fn2 = Fn Fn+1 .

(5.5)


171

Důkaz. Tvrzení dokážeme matematickou indukcí vzhledem k n: 1. Pro n = 1 tvrzení platí, neboť F12 = 12 = 1 = 1 · 1 = F1 · F2 . 2. Předpokládejme, že tvrzení platí pro 1, 2, . . . , n − 1. Indukčním předpokladem je tedy rovnost 2 F12 + F22 + F32 + · · · + Fn−1 = Fn−1 Fn .

Nyní dokažme platnost tvrzení pro n. K oběma stranám indukčního předpokladu přičtěme Fn2 : 2 F12 + F22 + F32 + · · · + Fn−1 + Fn2 = Fn−1 Fn + Fn2 =

= Fn (Fn−1 + Fn ) = Fn Fn+1 . Užili jsme rekurentní formuli (3.2) a dokázali, že tvrzení (5.5) platí pro každé n ∈ N. Identita 6. Francouzský matematik a astronom italského původu Giovanni D. Cassini v roce 1680 objevil identitu, viz [38]: Fn−1 Fn+1 − Fn2 = (−1)n ,

pro n ≥ 1.

(5.6)

Důkaz. Tvrzení dokážeme matematickou indukcí vzhledem k n: 1. Pro n = 1 tvrzení platí, neboť

F0 F2 − F12 = −12 = −1 = (−1)1 .

2. Předpokládejme, že tvrzení platí pro 1, 2, . . . , n − 1. Indukčním předpokladem je tedy rovnost 2 Fn−1 = Fn−2 Fn − (−1)n−1 , 2 Fn−1 = Fn−2 Fn + (−1)n−2 .

Nyní dokažme platnost tvrzení pro n. K oběma stranám indukčního předpokladu přičtěme Fn−1 Fn : 2 Fn−1 + Fn−1 Fn = Fn−1 Fn + Fn−2 Fn + (−1)n−2 Fn−1 (Fn−1 + Fn ) = Fn (Fn−1 + Fn−2 ) + (−1)n−2 Fn−1 Fn+1 = Fn2 + (−1)n−2 Fn−1 Fn+1 − Fn2 = (−1)n−2 Fn−1 Fn+1 − Fn2 = (−1)n


172

V úpravách jsme opět použili rekurentní formuli (3.2), a tím dokázali, že tvrzení (5.6) platí pro každé přirozené číslo n. Identita 7. Pro m, n ∈ N, m ≥ 1, n ≥ 1 platí rovnost Fm+n = Fm−1 Fn + Fm Fn+1 .

(5.7)

Důkaz. Tvrzení dokážeme matematickou indukcí vzhledem k n: 1. Pro n = 1: pro n = 2:

Fm−1 F1 + Fm F2 = Fm−1 + Fm = Fm+1 , Fm−1 F2 + Fm F3 = Fm−1 + 2Fm = Fm+2 .

2. Předpokládejme, že tvrzení platí pro 1, 2, . . . , n − 1; dokážeme jej pro n. Dle indukčního předpokladu tedy platí Fm+n−2 = Fm−1 Fn−2 + Fm Fn−1 , Fm+n−1 = Fm−1 Fn−1 + Fm Fn . Sečtením těchto dvou rovnic získáváme Fm+n−2 + Fm+n−1 = Fm−1 Fn−2 + Fm−1 Fn−1 + Fm Fn−1 + Fm Fn Fm+n = Fm−1 (Fn−2 + Fn−1 ) + Fm (Fn−1 + Fn ) = Fm−1 Fn + Fm Fn+1 . Čímž jsme tvrzení (5.7) dokázali. Identita 8. Pro součet prvních n Lucasových čísel na druhou platí n X

L2i = L21 + L22 + L23 + · · · + L2n = Ln Ln+1 − 2.

(5.8)

i=1

Důkaz. Tvrzení dokážeme matematickou indukcí vzhledem k n: 1. Pro n = 1 tvrzení platí, neboť L21 = 12 = 1 = 1 · 3 − 2 = L1 · L2 − 2. 2. Předpokládejme, že tvrzení platí pro 1, 2, . . . , n − 1. Indukčním předpokladem je tedy rovnost L21 + L22 + L23 + · · · + L2n−1 = Ln−1 Ln − 2. Nyní dokažme platnost tvrzení pro n. K oběma stranám indukčního předpokladu přičtěme L2n : L21 + L22 + L23 + · · · + L2n−1 + L2n = Ln−1 Ln + L2n − 2 = = Ln (Ln−1 + Ln ) − 2 = Ln Ln+1 − 2.


173

Užili jsme rekurentní formuli (3.3) a dokázali, že tvrzení (5.8) platí pro každé n ∈ N. Identita 9. Pro m, n ∈ N, m ≥ 1, n ≥ 1 platí rovnost Lm+n = Fm−1 Ln + Fm Ln+1 .

(5.9)

Důkaz. Tvrzení dokážeme matematickou indukcí vzhledem k n: 1. Pro n = 1 využijeme vztah (5.11): Fm−1 L1 + Fm L2 = Fm−1 + 3Fm = Fm−1 + Fm + Fm + Fm = = Fm+1 + Fm + Fm = = Fm+2 + Fm = Lm+1 , pro n = 2: Fm−1 L2 + Fm L3 = 3Fm−1 + 4Fm = 3Fm+1 + Fm = = 2Fm+1 + Fm+2 = Fm+1 + Fm+3 = = Lm+2 . 2. Předpokládejme, že tvrzení platí pro 1, 2, . . . , n − 1; dokážeme jej pro n. Dle indukčního předpokladu tedy platí Lm+n−2 = Fm−1 Ln−2 + Fm Ln−1 , Lm+n−1 = Fm−1 Ln−1 + Fm Ln . Sečtením těchto dvou rovnic získáváme Lm+n−2 + Lm+n−1 = Fm−1 Ln−2 + Fm−1 Ln−1 + Fm Ln−1 + Fm Ln Lm+n = Fm−1 (Ln−2 + Ln−1 ) + Fm (Ln−1 + Ln ) = Fm−1 Ln + Fm Ln+1 . Čímž jsme tvrzení (5.9) dokázali.

5.1.4

Důkazy s využitím Fibonacciho a Lucasových identit

Identita 10. Pro součet prvních n Fibonacciho čísel se sudými indexy platí n X

F2i = F2 + F4 + F6 + · · · + F2n = F2n+1 − 1.

i=1

Poprvé uveřejněno Édouardem Lucasem v roce 1876.

(5.10)


174

Řešení. Důkaz vychází z následujícího: Z (5.1) a (5.2) plyne n X

F2i =

2n X

i=1

Fi −

n X

i=1

F2i−1

i=1

= (F2n+2 − 1) − F2n = (F2n+2 − F2n ) − 1 = F2n+1 − 1.

Identita 11. Pro součet prvních n Lucasových čísel se sudými indexy platí n X

L2i = L2 + L4 + L6 + · · · + L2n = L2n+1 − 1.

i=1

Důkaz. Důkaz vychází z následujícího: Z (5.3) a (5.4) plyne n X i=1

L2i =

2n X

Li −

i=1

n X

L2i−1

i=1

= (L2n+2 − 3) − (L2n − 2) = (L2n+2 − L2n ) − 1 = L2n+1 − 1.

Identita 12. Pro všechna n ∈ N0 platí Fn−1 + Fn+1 = Ln

(5.11)

Důkaz. Dle (3.9) a Věty 3.7 a 3.6 platí Ln = Φn + (Φ0 )n = ΦFn + Fn−1 + Φ0 Fn + Fn−1 = 2Fn−1 + Fn (Φ + Φ0 ) = = Fn−1 + Fn−1 + Fn = Fn−1 + Fn+1 .

Identita 13. Pro všechna n ∈ N0 platí 1 Fn = (Ln−1 + Ln+1 ). 5

(5.12)


175

Důkaz. Dle identity 12 platí Ln−1 = Fn−2 + Fn ,

Ln+1 = Fn + Fn+2 .

Tedy 1 1 (Ln−1 + Ln+1 ) = (Fn−2 + Fn + Fn + Fn+2 ) = 5 5 1 = (Fn − Fn−1 + Fn + Fn + Fn + Fn+1 ) = 5 1 1 = (4Fn + Fn+1 − Fn−1 ) = (4Fn + Fn ) = Fn . 5 5 Identita 14. Pro všechna n ∈ N0 platí 1 Fn2 = (L2n − 2(−1)n ). 5

(5.13)

Důkaz. Dle vztahu (3.8) a Věty 3.6 platí n 2 1 Φ − (Φ0 )n 1 2 √ Fn = = (Φn − (Φ0 )n )2 = (Φ2n − 2Φn (Φ0 )n + (Φ0 )2n ) = 5 5 5 1 1 = (L2n − 2(Φ · Φ0 )n ) = (L2n − 2(−1)n ). 5 5 Identita 15. Pro všechna n ∈ N0 platí L2n = L2n + 2(−1)n .

(5.14)

Důkaz. Dle vztahu (3.9) a Věty 3.6 platí L2n = (Φn +(Φ0 )n )2 = Φ2n +2Φn (Φ0 )n +(Φ0 )2n = L2n +2(Φ·Φ0 )n = L2n +2(−1)n .

Identita 16. Pro všechna n ∈ N0 platí F2n = Fn Ln .

(5.15)

Důkaz. K důkazu využijeme Binetovu formuli pro 2n-tý člen Fibonacciho posloupnosti a vztahy (3.8), (3.9): n Φ2n − (Φ0 )2n Φ − (Φ0 )n F2n = (Φn + (Φ0 )n ) = Fn Ln . = 0 0 Φ−Φ Φ−Φ


176

Identita 17. Nechť n ∈ N0 . Dokažte, že platí L4n − (−1)n L2n = 5F3n Fn . Řešení. Dle vztahu (3.8), (3.9) a rovnosti Φ · Φ0 = −1 z věty 3.6 platí Φ3n − (Φ0 )3n Φn − (Φ0 )n √ √ 5F3n Fn = 5 · · = 5 5 = Φ4n + (Φ0 )4n − (Φ · Φ0 )n (Φ2n + (Φ0 )2n ) = L4n − (−1)n L2n .

Identita 18. Nechť n ∈ N0 . Dokažte, že platí Fn+2 − Fn−2 = Ln . Řešení. Dle vztahu (3.2) a (5.11) platí Fn+2 − Fn−2 = (Fn + Fn+1 ) − (Fn − Fn−1 ) = Fn+1 + Fn−1 = Ln .

Identita 19. Pro všechna n ∈ N0 platí L2n + L2n+1 = 5F2n+1 .

(5.16)

Důkaz. Dle vztahu (3.8), (3.9) a věty 3.6 platí L2n + L2n+1 = (Φn + (Φ0 )n )2 + (Φn+1 + (Φ0 )n+1 )2 = = Φ2n + (Φ0 )2n + Φ2n+2 + (Φ0 )2n+2 = = Φ2n+1 (Φ + Φ−1 ) + (Φ0 )2n+1 Φ0 + (Φ0 )−1 = = (Φ − Φ0 )(Φ2n+1 − (Φ0 )2n+1 ) = = 5F2n+1 .

Identita 20. Pro všechna n ∈ N0 platí 5Fn2 = L2n − 4(−1)n. Důkaz. Dle vztahu (3.8), (3.9) a věty 3.6 platí L2n − 4(−1)n = (Φn + (Φ0 )n )2 − 4(Φ · Φ0 )n = = (Φn − (Φ0 )n )2 = = 5Fn2 .

(5.17)


177

Identita 21. Pro všechna n ∈ N0 platí L2n = L2n + 2(−1)n.

(5.18)

Důkaz. Dle vztahu (3.9) a věty 3.6 platí L2n + 2(−1)n = Φ2n + (Φ0 )2n + 2(Φ · Φ0 )n = = (Φn + (Φ0 )n )2 = = L2n .

Identita 22. Pro všechna n ∈ N0 platí Ln+2 − Ln−2 = 5Fn .

(5.19)

Důkaz. Dle vztahu (3.8), (3.9) a věty 3.6 platí Ln+2 − Ln−2 = (Φn+2 + (Φ0 )n+2 ) − (Φn−2 + (Φ0 )n−2 ) = = Φn (Φ2 − Φ−2 ) − (Φ0 )n ((Φ0 )−2 − (Φ0 )2 ) = = Φn (Φ2 − (Φ0 )2 ) − (Φ0 )n (Φ2 − (Φ0 )2 ) = = (Φn − (Φ0 )n )(Φ2 − (Φ0 )2 ) = = (Φn − (Φ0 )n )(Φ − Φ0 ) = = 5Fn .

Identita 23. Pro všechna n ∈ N0 platí 2 2 Fn+1 − Fn−1 = F2n .

(5.20)

Důkaz. Dle vztahu (3.2), (5.11) a (5.15) platí 2 2 − Fn−1 = (Fn+1 + Fn−1 )(Fn+1 − Fn−1 ) = Fn+1 = Ln F n = = F2n .

Identita 24. Pro všechna n ∈ N0 platí Fn+5 = 5Fn+1 + 3Fn .

(5.21)


178

Důkaz. Dle vztahu (3.2) platí Fn+5 = Fn+4 + Fn+3 = = 2Fn+3 + Fn+2 = = 3Fn+2 + 2Fn+1 = = 5Fn+1 + 3Fn .

Identita 25. Pro všechna n ∈ N0 platí 2 − Fn2 = Fn−1 Fn+2 . Fn+1

(5.22)

Důkaz. Dle vztahu (3.2) platí 2 Fn+1 − Fn2 = (Fn+1 − Fn )(Fn+1 + Fn ) = = Fn−1 Fn+2 .

Identita 26. Pro všechna n ∈ N0 platí L3n = Ln [L2n − (−1)n ].

(5.23)

Důkaz. Dle vztahu (3.8), (3.9) a věty 3.6 platí L3n = Φ3n + (Φ0 )3n = = (Φn + (Φ0 )n )(Φ2n − Φn (Φ0 )n + (Φ0 )2n ) = = Ln [L2n − (−1)n ].

Identita 27. Pro všechna m, n ∈ N0 platí L2m+n − (−1)m Ln = 5Fm Fm+n .

(5.24)

Důkaz. Dle vztahu (3.8), (3.9) a věty 3.6 platí L2m+n − (−1)m Ln = (Φ2m+n + (Φ0 )2m+n ) − (Φ(Φ0 ))m (Φn + (Φ0 )n ) = = Φm+n (Φm − (Φ0 )m ) − (Φ0 )m+n (Φm − (Φ0 )m ) = = (Φm − (Φ0 )m )(Φm+n − (Φ0 )m+n ) = = 5Fm Fm+n .


5.1.5

179

Aplikace Fibonacciho a Lucasových identit

V této části textu jsou zařazeny jednoduché úlohy, které lze snadno vyřešit dosazením. n P Příklad 5.1. Pomocí formule (5.1) vypočtěte součet Fi pro i=1

1. n = 5 2. n = 8 Řešení. Dle (5.1) platí

n P

Fi = F1 + F2 + F3 + · · · + Fn = Fn+2 − 1.

i=1

1.

5 P i=1 5 P

Fi = F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12, Fi = F7 − 1 = 13 − 1 = 12.

i=1

2.

8 P i=1 8 P

Fi = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 = 54, Fi = F10 − 1 = 55 − 1 = 54.

i=1

Příklad 5.2. Pomocí formule (5.3) vypočtěte součet

n P

Li pro

i=1


n P

Li = L1 + L2 + L3 + · · · + Ln = Ln+2 − 3.

i=1

1.

5 P i=1 5 P

Li = L1 + L2 + L3 + L4 + L5 = 1 + 3 + 4 + 7 + 11 = 26, Li = L7 − 3 = 29 − 3 = 26.

i=1

2.

7 P i=1 7 P i=1

Li = 1 + 3 + 4 + 7 + 11 + 18 + 29 = 73, Li = F9 − 3 = 76 − 3 = 73.



180 n P

Fi2 pro

i=1


n P

Fi2 = F12 + F22 + F32 + · · · + Fn2 = Fn Fn+1 .

i=1

1.

5 P i=1 5 P

Fi2 = F12 + F22 + F32 + F42 + F52 = 1 + 1 + 4 + 9 + 25 = 40, Fi2 = F5 F6 = 5 · 8 = 40.

i=1

2.

7 P i=1 7 P

Fi2 = 1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 + 169 = 273, Fi2 = F7 F8 = 13 · 21 = 273.

i=1


n P

L2i pro

i=1


n P

L2i = L21 + L22 + L23 + · · · + L2n = Ln Ln+1 − 2.

i=1

1.

3 P i=1 3 P

L2i = L21 + L22 + L23 = 1 + 9 + 16 = 26, L2i = L3 L4 − 2 = 4 · 7 − 2 = 26.

i=1

2.

5 P i=1 5 P i=1

L2i = 1 + 9 + 16 + 49 + 121 = 196, L2i = L5 L6 − 2 = 11 · 18 − 2 = 196.


Příklad 5.5. Ověřte, že platí: 1. F10 = F5 L5 2. F6 + F4 = L5 3. L7 + L9 = 5F8 4. F72 − F52 = F12 5. F62 + F52 = F11 Řešení. Ověříme dosazením: 1. Rovnost splňuje identitu F2n = Fn Ln . F10 = 55 = 5 · 11 = F5 L5 . 2. Rovnost splňuje identitu Fn+1 + Fn−1 = Ln . F6 + F4 = 8 + 3 = 11 = L5 . 3. Rovnost splňuje identitu Ln+1 + Ln−1 = 5Fn . L7 + L9 = 29 + 76 = 105 = 5 · 21 = 5F8 . 2 2 4. Rovnost splňuje identitu Fn+1 − Fn−1 = F2n . 2 2 2 2 F7 − F5 = 13 − 5 = 169 − 25 = 144 = F12 . 2 5. Rovnost splňuje identitu Fn+1 + Fn2 = F2n+1 . 2 2 2 2 F6 + F5 = 8 + 5 = 64 + 25 = 89 = F11 .

Příklad 5.6. Ověřte, že platí: F12 = F3 (L9 − L3 ) = F3 L3 L6 = F4 (L8 + 1) = F6 L6 . Řešení. Platí: F3 = 2, F4 = 3, F6 = 8, F12 = 144, L3 = 4, L6 = 18, L8 = 47, L9 = 76. 144 = 2 · (76 − 4) = 2 · 4 · 18 = 3 · (47 + 1) = 8 · 18.

181


5.2

182

Dělitelnost Fibonacciho a Lucasových čísel

5.2.1

Důkazy sporem

Příklad 5.7. Dokažte, že každá dvě po sobě jdoucí Fibonacciho čísla jsou nesoudělná. Řešení. Dokazujeme tedy rovnost (Fn , Fn+1 ) = 1.

(5.25)

A) Tvrzení dokážeme sporem. Nechť (Fn , Fn+1 ) = d, d > 1. Pak platí Fn = k · d,

Fn+1 = l · d,

(k, l) = 1.

Potom Fn−1 = Fn+1 − Fn ⇒ Fn−1 = l · d − k · d ⇒ ⇒ (Fn−1 , Fn ) = d ⇒ · · · ⇒ (F1 , F2 ) = d,

d > 1.

To je ovšem spor s tím, že (F1 , F2 ) = (1, 1) = 1 (neboť dle předpokladu d > 1). Odtud tedy plyne tvrzení (Fn , Fn+1 ) = 1. B) Toto tvrzení lze dokázat také následovně: Nechť platí (Fn , Fn+1 ) = d, d > 1. Pro n = 1 dostaneme d | F1 = 1, což je spor. Pro n > 1: Fn+1 − Fn = Fn−1 . Dle předpokladu d | Fn , d | Fn+1 , tedy d | Fn−1 . Odtud obdobně získáme d | Fn−2 , . . . , d | F1 , což je spor.

Příklad 5.8. Dokažte, že každá dvě sousední Lucasova čísla jsou nesoudělná. Řešení. Dokazujeme tedy, že pro každé n ∈ N0 platí (Ln , Ln+1 ) = 1. Tvrzení dokážeme sporem. Nechť (Ln , Ln+1 ) = d, d > 1.


183

Pak platí Ln = k · d,

Ln+1 = l · d,

(k, l) = 1.

Potom Ln−1 = Ln+1 − Ln ⇒ Ln−1 = l · d − k · d ⇒ ⇒ (Ln−1 , Ln ) = d ⇒ · · · ⇒ (L0 , L1 ) = d,

d > 1.

To je ovšem spor s tím, že (L0 , L1 ) = (2, 1) = 1 (neboť dle předpokladu d > 1). Odtud tedy plyne tvrzení (Ln , Ln+1 ) = 1.

5.2.2


Příklad 5.9. Dokažte, že pro každé m, n ∈ N platí Fm | Fmn .

(5.26)

Řešení. Důkaz provedeme matematickou indukcí vzhledem k n. • Pro n = 1 tvrzení platí, neboť m = m · 1 ⇒ Fm | Fm . • Předpokládejme platnost tvrzení pro 1, 2, . . . , n; dokážeme jej pro n+1. Indukčním předpokladem je tedy tvrzení Fm | Fmn . K důkazu Fm | Fm(n+1) využijeme vztah (5.7): Fm(n+1) = Fmn+m = Fmn−1 Fm + Fmn Fm+1 . Z indukčního předpokladu potom plyne platnost tvrzení Fm | Fm(n+1) . Dokázali jsme tedy, že tvrzení (5.26) platí pro každé m, n ∈ N. Příklad 5.10. Dokažte, že pro každé m, n ∈ N platí Ln | Fm , jestliže existuje k ∈ N tak, že m = 2kn. Řešení. Důkaz provedeme matematickou indukcí vzhledem ke k.

(5.27)


184

• Pro k = 1 tvrzení platí, neboť m = 2n a podle vztahu (5.15) platí Ln | Fm . • Předpokládejme platnost tvrzení pro 1, 2, . . . , k − 1; dokážeme jej pro k. Tedy F2kn = F2(k−1)n+2n , což je podle vztahu (5.7) rovno F2kn = F2(k−1)n−1 F2n + F2(k−1)n F2n+1 . Protože Ln | F2n = Fn Ln a podle indukčního předpokladu Ln | F2(k−1)n platí Ln | (F2(k−1)n−1 F2n + F2(k−1)n F2n+1 ) ⇒ Ln | F2kn .

Příklad 5.11. Dokažte, že pro každé m, n ∈ N platí Ln | Lm ,

(5.28)

jestliže existuje k ∈ N tak, že m = (2k − 1)n. Řešení. Důkaz provedeme matematickou indukcí vzhledem ke k. • Pro k = 1 tvrzení platí, neboť m = n,

tedy Ln | Lm .

• Předpokládejme platnost tvrzení pro 1, 2, . . . , k; dokážeme jej pro k +1. Tedy L(2(k+1)−1)n = L2kn+n , což je podle vztahu (5.9) rovno L2kn+n = F2kn−1 Ln + F2kn Ln+1 . Protože Ln | F2kn také Ln | (F2kn−1 Ln + F2kn Ln+1 ) ⇒ Ln | L(2(k+1)−1)n .


5.2.3

185

Využití Eukleidova algoritmu

Příklad 5.12. Dokažte, že pro každé m, n ∈ N platí (Fm , Fn ) = F(m,n) , kde (m, n) označuje největšího společného dělitele daných čísel. Řešení. Pro m = n je tvrzení zřejmé. Položme tedy např. m > n. Další postup umožní Eukleidův algoritmusI m = nq0 + r1 , n = r1 q1 + r2 , r1 = r2 q 2 + r3 , .. . rt−2 = rt−1 qt−1 + rt , rt−1 = rt qt .

kde 0 ≤ r1 < n, kde 0 ≤ r2 < r1 , kde 0 ≤ r3 < r2 , kde 0 ≤ rt < rt−1 ,

Položme m = nq0 + r1 a pak dle vztahu (5.7) můžeme psát (Fm , Fn ) = (Fnq0 +r1 , Fn ) = (Fnq0 −1 Fr1 + Fnq0 Fr1 +1 , Fn ). Dále podle vztahu (5.26) a základních vlastností dělitelnostiII platí (Fm , Fn ) = (Fnq0 −1 Fr1 , Fn ) a pak vzhledem ke vztahu (5.25) a základním vlastnostem dělitelnosti lze psát (Fm , Fn ) = (Fr1 , Fn ). Analogicky lze ukázat, že platí (Fr1 , Fn ) = (Fr2 , Fr1 ) (Fr2 , Fr1 ) = (Fr3 , Fr2 ) .. . (Frt−1 , Frt−2 ) = (Frt , Frt−1 ) I II

Podrobně popsaný např. v [50]. Ze základních vlastností dělitelnosti uveďme alespoň tyto – pro všechna a, b ∈ N platí:

a) a | b ⇔ (a, b) = a; b) (a, b) = 1 ⇒ (a, bc) = (a, c) pro všechna c ∈ N; c) b | c ⇒ (a, b) = (a + c, b) pro všechna c ∈ N.


186

Porovnáním těchto rovností získáváme (Fm , Fn ) = (Frt , Frt−1 ). Podle vztahu (5.26) platí (Frt , Frt−1 ) = Frt . A protože rt = (m, n), dostáváme (Fm , Fn ) = F(m,n) .

5.2.4

Aplikace dělitelnosti Fibonacciho a Lucasových čísel

V této části textu jsou opět zařazeny jednoduché úlohy, které lze snadno vyřešit dosazením. Příklad 5.13. Ověřte, že platí: 1. F7 | F21 2. (F12 , F18 ) = F(12,18) 3. L5 | F10 Řešení. Ověříme dosazením: 1. Splňuje vztah Fm | Fmn , kde m, n ∈ N. F7 = 13, F21 = 10 946 a tedy 13 | 10 946. 2. Splňuje vztah (Fm , Fn ) = F(m,n) , kde m, n ∈ N. (F12 , F18 ) = (144, 2 584) = 8 = F6 = F(12,18) . 3. Splňuje vztah Lm | Fn ⇐⇒ 2m | n, kde m ≥ 2, m, n ∈ N. L5 = 11, F10 = 55, tedy 11 | 55; přičemž (2 · 5 | 10).

Příklad 5.14. Vypočtěte: 1. F(F5 ,F10 ) 2. L(F5 ,F15 )


3. L(F6 ,L6 ) 4. F(F5 ,F10 ,F15 ) 5. L(F6 ,L6 ,L9 ) Řešení. Přímým dosazením získáváme: 1. F(F5 ,F10 ) = F(5,55) = F5 = 5. 2. L(F5 ,F15 ) = L(5,610) = L5 = 11. 3. L(F6 ,L6 ) = L(8,18) = L2 = 3. 4. F(F5 ,F10 ,F15 ) = F(5,55,610) = F5 = 5. 5. L(F6 ,L6 ,L9 ) = L(8,18,76) = L2 = 3.

Příklad 5.15. Ověřte, že platí: 1. L4 dělí F8 a F16 2. F7 dělí F14 a F21 3. F24 je dělitelné F3 , F4 , F6 , F8 a F12 Řešení. Ověříme dosazením: 1. L4 = 7, F8 = 21, F16 = 987, 7 | 21, 7 | 987. 2. F7 = 13, F14 = 377, F21 = 10 946, 13 | 377, 13 | 10 946. 3. Snadno lze ověřit, že F24 = 46 368 je dělitelné F3 = 2, F4 = 3, F6 = 8, F8 = 21, F12 = 144.

187


188

Základní vlastnosti čísel Φ, Φ0, Fibonacciho a Lucasových

5.3

Připomeňme, že

5.3.1

√ 1+ 5 Φ= , 2

√ 1− 5 Φ = . 2 0


Příklad 5.16. Dokažte, že pro každé n ∈ N platí: 1. Φn = ΦFn + Fn−1 , 2. (Φ0 )n = Φ0 Fn + Fn−1 , viz věta 3.7 ze str. 117. Řešení 1. Nejprve dokažme první tvrzení: Φn = ΦFn + Fn−1 . Tvrzení dokážeme matematickou indukcí: 1. Pro n = 1 tvrzení platí, neboť Φ1 = Φ · F1 + F0 = Φ · 1 + 0 = Φ. Pro n = 2 tvrzení platí, neboť √ √ √ !2 1 + 2 3 + 5 5 + 5 5 1 + = = ; Φ2 = 2 4 2 √ √ 1+ 5 3+ 5 ΦF2 + F1 = Φ + 1 = +1= . 2 2 2. Předpokládejme nyní, že tvrzení platí pro 1, 2, . . . , n − 1; n ≥ 2 a dokažme jej pro n: Φn = Φ2 Φn−2 = Φn−1 + Φn−2 = ΦFn−1 + Fn−2 + ΦFn−2 + Fn−3 = = Φ(Fn−1 + Fn−2 ) + (Fn−2 + Fn−3 ) = ΦFn + Fn−1 .

Řešení 2. Nyní dokažme druhé tvrzení: (Φ0 )n = Φ0 Fn + Fn−1 . Tvrzení opět dokážeme matematickou indukcí:


189

1. Pro n = 1 tvrzení platí, neboť (Φ0 )1 = Φ0 · F1 + F0 = Φ0 · 1 + 0 = Φ0 . Pro n = 2 tvrzení platí, neboť √ !2 √ √ 1 − 5 3− 5 1−2 5+5 0 2 (Φ ) = = ; = 2 4 2 √ √ 1− 5 3− 5 Φ F2 + F1 = Φ + 1 = +1= . 2 2 0

0

2. Předpokládejme nyní, že tvrzení platí pro 1, 2, . . . , n − 1; n ≥ 2 a dokažme jej pro n: (Φ0 )n = (Φ0 )2 (Φ0 )n−2 = (Φ0 )n−1 + (Φ0 )n−2 = = Φ0 Fn−1 + Fn−2 + Φ0 Fn−2 + Fn−3 = = Φ0 (Fn−1 + Fn−2 ) + (Fn−2 + Fn−3 ) = Φ0 Fn + Fn−1 .

5.3.2

Důkazy s využitím rekurentní či Binetovy formule

Příklad 5.17. Dokažte platnost Binetovy formule pro Fibonacciho čísla (3.8): Φn − (Φ0 )n Φn − (Φ0 )n √ Fn = = , pro ∀ n ∈ N0 . Φ − Φ0 5 III Řešení. Podle Věty 3.2 lze libovolné řešení (gn )∞ n=1 formule (3.2) zapsat jako √ !n √ !n !∞ 1 + 5 1 − 5 (gn )∞ c1 + c2 n=1 = 2 2 n=1

Hledejme tedy takové řešení (Fn )∞ n=1 formule (3.2), že F1 = 1 a F2 = 1. Musí platit: √ √ 1+ 5 1− 5 c1 + c2 = 1, 2 2 III

2 nezávislá Lineárně √ řešení formule (3.2) jsou řešení charakteristické rovnice x = x + 1, √ tj. 1+2 5 a 1−2 5 .


c1

√ !2 1+ 5 + c2 2

190

√ !2 1− 5 = 1. 2

Tato soustava rovnic má právě jedno řešení 1 c1 = √ , 5

1 c2 = − √ . 5

Odtud plyne 1 Fn = √ 5

"

√ !n 1+ 5 − 2

√ !n # Φn − (Φ0 )n 1− 5 √ = . 2 5

Příklad 5.18. Dokažte platnost Binetovy formule pro Lucasova čísla (3.9): Ln = Φn + (Φ0 )n = Φn + (−1)n Φ−n ,

pro ∀ n ∈ N0 .

Řešení. Hledejme tedy takové řešení (Ln )∞ n=1 formule (3.3), že L1 = 1 a L2 = 3. Musí platit: √ √ 1+ 5 1− 5 c1 + c2 = 1, 2 2 √ !2 √ !2 1− 5 1+ 5 c1 + c2 = 3. 2 2 Tato soustava rovnic má právě jedno řešení c1 = c2 = 1. Odtud plyne Ln =

√ !n 1+ 5 + 2

Příklad 5.19. Nechť an =

Fn+1 ,n Fn

√ !n 1− 5 = Φn + (Φ0 )n . 2

∈ N. Nalezněte rekurentní formuli pro an .

Řešení. Užitím rekurentní formule (3.2) získáváme an =

Fn+1 Fn−1 + Fn Fn−1 = = +1= Fn Fn Fn

tedy an = 1 +

1 . an−1

1 Fn Fn−1

+1=

1 an−1

+ 1,


Příklad 5.20. Nechť bn =

Fn+1 ,n Fn

191

∈ N. Nalezněte rekurentní formuli pro b2n .

Řešení. Opět užitím rekurentní formule (3.2) získáváme b2n =

2 2 Fn+1 + 2Fn−1 Fn + Fn2 Fn−1 (Fn−1 + Fn )2 = = = Fn2 Fn2 Fn2

2 Fn−1 Fn−1 +2 +1= 2 Fn Fn

= tedy b2n =

1 b2n−1

+

2 bn−1

1

+2

Fn2 2 Fn−1

1 Fn Fn−1

+1=

1 b2n−1

+

2 bn−1

+ 1,

+ 1.

Příklad 5.21. Nechť n ∈ N, n ≥ 1. Ukažte, že dvojnásobek zlomku lze vyjádřit jako podíl dvou Fibonacciho čísel.

1 1 + L1 Fn n

Řešení. Využijeme formuli (3.2) a identity (5.11), (5.15). 1 Fn

2 +

1 Ln

=

2 Ln +Fn Ln Fn

=

2Fn Ln 2F2n 2F2n F2n = = = . F n + Ln Fn + Fn−1 + Fn+1 Fn+1 + Fn+1 Fn+1

Příklad 5.22. Nechť je dán vztah pro určení n-tého Fibonacciho čísla (3.8), n > 0. Dokažte, že platí F−n = (−1)n+1 Fn . Řešení. Vztah pro Fibonacciho čísla se zápornými indexy odvodíme pomocí Binetovy formule (3.8) a věty 3.6. Platí tedy F−n

Φ−n − (Φ0 )−n = = Φ − Φ0 = (−1)n+1

5.3.3

1 Φn

1 (Φ0 )n − Φ0

−

Φ

=−

Φn − (Φ0 )n = (Φ · Φ0 )n (Φ − Φ0 )

Φn − (Φ0 )n = (−1)n+1 Fn . Φ − Φ0

Aplikace čísel Φ, Φ0 , Fibonacciho a Lucasových

V této části textu jsou opět zařazeny jednoduché úlohy, které lze snadno vyřešit dosazením. Příklad 5.23. Dokažte větu 3.6 ze str. 117. Řešení. Dokazujeme tedy platnost tvrzení:


192

1. Φ + Φ0 = 1 √ 2. Φ − Φ0 = 5 3. Φ · Φ0 = −1 4. Φ2 + (Φ0 )2 = 3 √ 5. Φ2 − (Φ0 )2 = 5 6. Φ2 = 1 + Φ 7. (Φ0 )2 = 1 + (Φ0 ) Tvrzení dokážeme jednoduchým dosazením Φ = 1. 2.

√ 1+ 5 2 √ 1+ 5 2

+

− √

√ 1− 5 2 √ 1− 5 2

3.

1+ 5 2

4.

√ 2 1+ 5 2

5.

6. 7.

·

√ √ 1+ 5+1− 5 = 22 = 1. 2 √ √ √ √ 5 2 5 = 1+ 5−1+ = = 5. 2 2 √ √ √ (1+ 5)(1− 5) 1− 5 = = 1−5 = 2 4 4

√ 1+ 5 , 2

Φ0 =

√ 1− 5 . 2

=

− 44 = −1.

+

√ 2 1− 5 2

=

√ 1+2 5+5 4

+

√ 1−2 5+5 4

=

1+5+1+5 4

√ 2 1+ 5 2

−

√ 2 1− 5 2

=

√ 1+2 5+5 4

−

√ 1−2 5+5 4

=

√ √ 1+2 5+5−1+2 5−5 4

√ 2 1+ 5 2

=

√ 1+2 5+5 4

=

√ 6+2 5 4

=

√ 3+ 5 2

=

2 2

+

√ 1+ 5 2

= 1 + Φ.

√ 2 1− 5 2

=

√ 1−2 5+5 4

=

√ 6−2 5 4

=

√ 3− 5 2

=

2 2

+

√ 1− 5 2

= 1 + (Φ0 ).

=

12 4

Příklad 5.24. Ověřte, že platí: Φ=1+

1 . Φ

Řešení. √ 2(1 − 5) √ = 1+ √ √ = 1+ 5 (1 + 5)(1 − 5) 2 √ √ (1 − 5) 1+ 5 =1− = = Φ. 2 2

1 1+ =1+ Φ

1

= 3. =

√

5.


193

Příklad 5.25. Ověřte, že platí: Φ−1 = −Φ0 .

(5.29)

Řešení. Φ−1

√ ! √ !−1 2 1− 5 1+ 5 √ √ = = = 2 1+ 5 1− 5 √ √ 2(1 − 5) 1− 5 = =− = −Φ0 . 1−5 2

Příklad 5.26. Ověřte, že platí: (Φ0 )−1 = −Φ.

(5.30)

Řešení. (Φ0 )−1

√ !−1 √ ! 1− 5 2 1+ 5 √ √ = = = 2 1− 5 1+ 5 √ √ 1+ 5 2(1 + 5) =− = −Φ. = 1−5 2

Příklad 5.27. Ověřte, že platí: 1 = (Φ0 )2 . Φ2

(5.31)

Řešení. Φ−2 =

√ !−2 2 1+ 5 2 √ = = 2 1+ 5

4 2 √ = √ = = 1+2 5+5 6+2 5 3+ 5 √ √ √ 2(3 − 5) 6−2 5 3− 5 = = = . 9−5 4 2 4 √

(Φ0 )2 =

√ ! 3− 5 √ = 3− 5

√ !2 √ √ √ 1− 5 1−2 5+5 6−2 5 3− 5 = = = . 2 4 4 2


194

Tedy skutečně platí 1 = (Φ0 )2 . Φ2 Příklad 5.28. Ověřte, že platí: 1 = Φ2 . (Φ0 )2

(5.32)

Řešení. √ !−2 2 1− 5 2 √ = = 2 1− 5

(Φ0 )−2 =

4 4 2 √ √ = √ = = 1−2 5+5 6−2 5 3− 5 √ √ √ 2(3 + 5) 6+2 5 3+ 5 = = = . 9−5 4 2

Φ2 =

√ ! 3+ 5 √ = 3+ 5

√ !2 √ √ √ 1+ 5 6+2 5 3+ 5 1+2 5+5 = = . = 2 4 4 2

Tedy skutečně platí 1 = Φ2 . (Φ0 )2

Příklad 5.29. Ověřte, že platí: Φ=

1 . Φ−1

Řešení. √ 2(−1 − 5) √ √ √ = = 1+ 5 (−1 + 5)(−1 − 5) − 1 2 √ √ −2(1 + 5) 1+ 5 = = = Φ. −4 2

1 = Φ−1

1


195

Příklad 5.30. Ověřte platnost rovností: 1. Φ3 = 2Φ + 1; 2. Φ4 = 3Φ + 2; Řešení. Rovnosti ověříme dosazením: 1. Φ3 = Φ(Φ2 ) = Φ(Φ + 1) = Φ2 + Φ = (Φ + 1) + Φ = 2Φ + 1. 2. Φ4 = Φ(Φ3 ) = Φ(2Φ + 1) = 2Φ2 + Φ = 2(Φ + 1) + Φ = 3Φ + 2.

Příklad 5.31. Ověřte, že platí: L3 = Φ3 −

1 . Φ3

Řešení. Využijeme platnost vztahu z příkladu 5.30: Φ3 = 2Φ + 1. Platí tedy Φ3 −

√

1 1 1 √ = 2Φ + 1 − =2+ 5− 3 Φ 2Φ + 1 2+ 5 √ √ = 2 + 5 + 2 − 5 = 4 = L3 .

√ ! 2− 5 √ = 2− 5

Příklad 5.32. Ověřte, že platí: F4 =

Φ4 − Φ−4 √ . 5

Řešení. Využijeme platnost rovnosti z příkladu 5.23: a platnost rovnosti z příkladu 5.25: Φ−1 = −Φ0 .

Φ − Φ0 =

√ 5

Φ4 − Φ−4 Φ4 − (Φ0 )4 √ = = F4 . Φ − Φ0 5

Příklad 5.33. Nechť je dán vztah pro určení n-tého Lucasova čísla (3.9), n > 0. Dokažte, že platí L−n = (−1)n Ln .


196

Řešení. Vztah pro Lucasova čísla se zápornými indexy odvodíme pomocí Binetovy formule pro Lucasova čísla (3.9). Platí tedy L−n = Φ−n + (Φ0 )−n =

1 1 Φn + (Φ0 )n + = = Φn (Φ0 )n (Φ · Φ0 )n

= (−1)n (Φn + (Φ0 )n ) = (−1)n Ln .

5.4

Geometrické aplikace

Příklad 5.34. Nechť je dána úsečka AE. Na polopřímce AE sestrojte bod B tak, aby bod E dělil úsečku AB v poměru zlatého řezu s větším dílem AE (a menším dílem BE). Řešení. Nad úsečkou AE sestrojíme čtverec AECD a určíme střed F strany AE (obr. 5.1). Opíšeme kružnici k se středem v bodě F o poloměru |F C|. Průsečík polopřímky AE a kružnice k je hledaný bod B.

Obr. 5.1: Konstrukce úsečky AB v případě, že známe délku úsečky AE – „větší dílÿ úsečky AB rozdělené v poměru zlatého řezu Zdůvodnění: Označme |AE| = x. Protože F je střed úsečky AE a ECF , je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnou EC délky x, platí:


|AF | = |F E| =

x 2 r

197

r

5x2 x√ = = 5 2 4 2 √ x x√ x |AB| = |AF | + |F B| = + 5 = (1 + 5). 2 2 2

|F B| = |F C| =

x2 +

x 2

Odtud dostáváme x (1 + |AB| = 2 |AE| x

√

5)

√ 1+ 5 = = Φ. 2

Příklad 5.35. Nechť je dána úsečka EB. Na polopřímce BE sestrojte bod A tak, aby bod E dělil úsečku AB v poměru zlatého řezu s větším dílem AE (a menším dílem BE). Řešení. Nad úsečkou EB sestrojíme čtverec EBCD a určíme střed F strany ED (obr. 5.2). Opíšeme kružnici k se středem v bodě F o poloměru |F C|. Průsečík polopřímky EF a kružnice k označíme G. Sestrojíme kružnici m se středem v bodě E a poloměrem |EG| a hledaný bod A nalezneme jakožto průsečík kružnice m s polopřímkou BE.

Obr. 5.2: Konstrukce úsečky AB v případě, že známe délku úsečky EB – „menší dílÿ úsečky AB rozdělené v poměru zlatého řezu


198

Zdůvodnění: Označme |EB| = z. Protože F je střed úsečky DE a DCF je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnou CD délky z, platí: |EF | = |F D| =

z 2 r

r

5z 2 z√ = 5 2 4 2 √ z z√ z |AE| = |EG| = |EF | + |F G| = + 5 = (1 + 5) 2 2 2 √ √ √ z z z |AB| = |AE| + |EB| = (1 + 5) + z = (1 + 5 + 2) = (3 + 5) 2 2 2 |F C| = |F G| =

z2 +

z 2

=

Odtud dostáváme √ √ z (3 + 5) |AB| 3+ 5 2 √ √ = = z |AE| 5) 1 + 5 (1 + 2 √ √ −2 − 2 5 1+ 5 = = −4 2

√ √ √ 1− 5 3−3 5+ 5−5 √ = · = 1−5 1− 5 = Φ.

Příklad 5.36. Metoda rozdělení úsečky zlatým řezem naznačuje eukleidovskou konstrukci úhlu 36◦ , viz obr. 5.3. Narýsujte tedy pomocí úsečky rozdělené v poměru zlatého řezu úhel 36◦ , 72◦ a 108◦ . Řešení. Narýsujeme oblouky se středy v bodech B a E s poloměrem AE, viz obr. 5.3. Jejich průnik označíme F a sestrojíme úsečky AF , EF a BF . Potom |^BAF | = 36◦ , |ÊBF | = 72◦ a |ÂEF | = 108◦ . Přímka EF je osou úhlu AF B. Příklad 5.37. Určete velikost strany a10 pravidelného desetiúhelníku vepsaného do kružnice o jednotkovém poloměru. Řešení. Na obr. 5.4 vidíme rovnoramenný trojúhelník ABS. S takovýmto trojúhelníkem jsme se již setkali a víme, že platí |SA| = Φ, |AB| 1 a10 = . Φ


Obr. 5.3: Násobky úhlu 36◦

Obr. 5.4: Pravidelný desetiúhelník

199


5.5

200

Řetězové zlomky

5.5.1

Výpočet hodnoty konečného řetězového zlomku

Příklad 5.38. Určete hodnotu konečného řetězového zlomku [1; 4, 1, 3, 5]. Řešení. Hodnotu konečného řetězového zlomku snadno vypočítáme postupnými úpravami složeného zlomku: 1

1+

1

4+ 1+

1

=1+

1 3+

4+

1 5 1 + 16

=1+

1 4+

16 21

=1+

21 121 = . 100 100

1 5

Příklad 5.39. Určete hodnotu konečného řetězového zlomku [2; 3, 1, 5]. Řešení. Hodnotu konečného řetězového zlomku opět snadno vypočítáme postupnými úpravami složeného zlomku: 1

2+ 3+

1

=2+

1 1+

3+

1 5

5 6

=2+

6 52 = . 23 23

Příklad 5.40. Určete hodnotu konečného řetězového zlomku [0; 1, 1, 2, 3, 5]. Řešení. Hodnotu konečného řetězového zlomku opět snadno vypočítáme postupnými úpravami složeného zlomku: 1

0+

1

1+

2+

1 3+

1

1+

1

1+

1

=

1+ 1 5

1 5 2 + 16

1

= 1+

1 1 + 16 37

=

1 1+

37 53

=

53 . 90


5.5.2

201

Vyjádření racionálního čísla řetězovým zlomkem

Příklad 5.41. Vyjádřete racionální číslo

43 30

řetězovým zlomkem.

Řešení. Dle Eukleidova algoritmu platí: 43 = 1 · 30 + 13 30 = 2 · 13 + 4 13 = 3 · 4 + 1 4=4·1 Tedy 43 13 1 =1+ = 1 + 30 = 1 + 30 30 13 =1+

1 2+

1

4 2+ 13

1

=1+

3+


51 35

=

= [1; 2, 3, 4].

1

2+

13 4

1

1 4


Řešení. Dle Eukleidova algoritmu platí: 51 = 1 · 35 + 16 35 = 2 · 16 + 3 16 = 5 · 3 + 1 3=3·1 Tedy 16 1 51 =1+ = 1 + 35 = 1 + 35 35 16 =1+

1 2+

1 16 3

1 3 2+ 16

1

=1+ 2+

= [1; 2, 5, 3].

1 5+

=

1 3



202 137 37


Řešení. Dle Eukleidova algoritmu platí: 137 = 3 · 37 + 26 37 = 1 · 26 + 11 26 = 2 · 11 + 4 11 = 2 · 4 + 3 4=1·3+1 Tedy 137 26 1 =3+ = 1 + 37 = 3 + 37 37 26

1

=3+ 1+

1

1

=3+

2+ 1

3 4

2+

4 11

=

1

1+

1

=

1

1+

26 11

=3+

2+

1

1 2+

1 4 3

= [3; 1, 2, 2, 1, 3].

1 1

2+ 2+

1 1+

5.5.3

1+

1 2+

1

=3+

1 1+

1 2+ 11 4

1+

11 1+ 26

=3+

1

=3+

1

1 3

Výpočet sblížených zlomků konečného řetězového zlomku

Příklad 5.44. Vypočítejte všechny sblížené zlomky konečného řetězového zlom-ku [1; 3, 3, 3, 3] (bez využití vztahů (4.3), (4.4)).


203

Řešení. C1 = 1, 4 1 = , 3 3 1 3 13 C3 = 1 + =1+ = , 10 10 1 3+ 3 1 1 43 10 C4 = 1 + =1+ = , =1+ 33 33 1 3 3+ 3+ 10 1 3+ 3 1 1 142 1 33 C5 = 1 + =1+ = . =1+ =1+ 109 109 1 1 10 3+ 3+ 3+ 33 1 3 3+ 3+ 10 1 3+ 3 C2 = 1 +

Příklad 5.45. Vypočítejte všechny sblížené zlomky konečného řetězového zlom-ku [1; 1, 2, 3, 2]. Sestavte tabulku dle 4.1. Řešení. Přímým výpočtem můžeme ověřit, že platí 39 = [1; 1, 2, 3, 2]. 23 Využijeme vztahů (4.3), (4.4) a sestavíme tabulku: n an pn qn

1 1 1 1

2 1 2 1

3 2 5 3

4 5 3 2 17 39 10 23

Posloupnost sblížených zlomků je 5 17 39 1, 2, , , . 3 10 23

Příklad 5.46. Vypočítejte všechny sblížené zlomky konečného řetězového zlom-ku [0; 2, 1, 2, 1, 2]. Sestavte tabulku dle 4.1.


204

Řešení. Přímým výpočtem můžeme ověřit, že platí 11 = [0; 2, 1, 2, 1, 2]. 30 Využijeme vztahů (4.3), (4.4) a sestavíme tabulku: n an pn qn

1 0 0 1

2 2 1 2

3 1 1 3

4 2 3 8

5 6 1 2 4 11 11 30

Posloupnost sblížených zlomků je 1 1 3 4 11 0, , , , , . 2 3 8 11 30 Příklad 5.47. Vypočítejte všechny sblížené zlomky konečného řetězového zlom-ku [1; 2, 1, 4, 1, 2, 3]. Sestavte tabulku dle 4.1. Řešení. Přímým výpočtem můžeme ověřit, že platí 218 = [1; 2, 1, 4, 1, 2, 3]. 161 Využijeme vztahů (4.3), (4.4) a sestavíme tabulku: n an pn qn

1 1 1 1

2 2 3 2

3 4 5 6 7 1 4 1 2 3 4 19 23 65 218 3 14 17 48 161

Posloupnost sblížených zlomků je 3 4 19 23 65 218 1, , , , , , . 2 3 14 17 48 161 Příklad 5.48. Vypočítejte všechny sblížené zlomky konečného řetězového zlom-ku [2; 1, 3, 4, 2, 3, 5]. Sestavte tabulku dle 4.1. Řešení. Přímým výpočtem můžeme ověřit, že platí 1915 = [2; 1, 3, 4, 2, 3, 5]. 693 Využijeme vztahů (4.3), (4.4) a sestavíme tabulku:

Fibonacciho čísla a jejich aplikace n an pn qn

1 2 2 1

205

2 3 4 5 6 7 1 3 4 2 3 5 3 11 47 105 362 1915 1 4 17 38 131 693

Posloupnost sblížených zlomků je 2, 3,

11 47 105 362 1915 , , , , . 4 17 38 131 693

Příklad 5.49. Vypočítejte všechny sblížené zlomky konečného řetězového zlom-ku racionálního čísla 30 . Sestavte tabulku dle 4.1. 41 Řešení. Nejprve vyjádříme racionální číslo leidova algoritmu platí:

30 41

řetězovým zlomkem. Dle Euk-

30 = 0 · 41 + 30 41 = 1 · 30 + 11 30 = 2 · 11 + 8 11 = 1 · 8 + 3 8=2·3+2 3=1·2+1 Tedy 30 1 30 =0+ = 0 + 41 = 0 + 41 41 30

1

=0+ 1+

1 1 2+ 11 8

1 11 1+ 30

=0+

1+

1

=0+

2+

1

2+ 1

3 8

8 11

=

1 2+

=

1

1+

30 11

1+

1 1+

1

=0+

=0+

1

1+

1

1 1+

1 8 3


=0+

1+

2+

1

2+

1

=

1

1+

1

2+

1

=0+

1

1+

206

1

1+

2 3

2+

1 1+

1 2

= [0; 1, 2, 1, 2, 1, 2]. Pak platí 30 = [0; 1, 2, 1, 2, 1, 2]. 41 Využijeme vztahů (4.3), (4.4) a sestavíme tabulku: n an pn qn

1 0 0 1

2 1 1 1

3 2 2 3

4 5 6 7 1 2 1 2 3 8 11 30 4 11 15 41

Posloupnost sblížených zlomků je 2 3 8 11 30 0, 1, , , , , . 3 4 11 15 41

Příklad 5.50. Vypočítejte všechny sblížené zlomky konečného řetězového . Sestavte tabulku dle 4.1. zlom-ku racionálního čísla 2001 1760 Řešení. Nejprve vyjádříme racionální číslo kleidova algoritmu platí:

2001 1760

řetězovým zlomkem. Dle Eu-

2001 = 1 · 1760 + 241 1760 = 7 · 241 + 73 241 = 3 · 73 + 22 73 = 3 · 22 + 7 22 = 3 · 7 + 1 7=7·1


207

Tedy 2001 241 1 =1+ = 1 + 1760 = 1 + 1760 1760 241

1

=1+

1

= 73 1 7+ 7 + 241 241 73 1 1 1 =1+ =1+ =1+ = 1 1 1 7+ 7+ 7+ 22 1 1 3+ 3+ 3+ 73 73 7 3+ 22 22 1 1 =1+ =1+ = 1 1 7+ 7+ 1 1 3+ 3+ 1 1 3+ 3+ 22 1 3+ 7 7 = [1; 7, 3, 3, 3, 7].

Pak platí 2001 = [1; 7, 3, 3, 3, 7]. 1760 Využijeme vztahů (4.3), (4.4) a sestavíme tabulku: n an pn qn

1 1 1 1

2 3 4 5 6 7 3 3 3 7 8 25 83 274 2001 7 22 73 241 1760

Posloupnost sblížených zlomků je 8 25 83 274 2001 , . 1, , , , 7 22 73 241 1760 Příklad 5.51. Druhým a třetím sblíženým zlomkem konečného řetězového zlomku [1; 2, 3, 4, 5, 6] jsou zlomky 23 a 10 . Nalezněte čtvrtý a pátý sblížený 7 zlomek. Řešení. Využijeme vztahů (4.3), (4.4). Platí tedy 3 p2 10 p3 = , C3 = = , 2 q2 7 q3 a4 = 4, a5 = 5.

C2 =


208

Pak a4 · p 3 + p 2 4 · 10 + 3 43 p4 = = = , q4 a4 · q 3 + q 2 4·7+2 30 p5 a5 · p 4 + p 3 5 · 43 + 10 225 C5 = = = = . q5 a5 · q 4 + q 3 5 · 30 + 7 157

C4 =

Příklad 5.52. Třetím a čtvrtým sblíženým zlomkem konečného řetězového 3 10 zlomku [0; 3, 3, 3, 3, 3, 3] jsou zlomky 10 a 33 . Nalezněte pátý a šestý sblížený zlomek. Řešení. Využijeme vztahů (4.3), (4.4). Platí tedy p3 p4 3 10 = , C4 = = , 10 q3 33 q4 a5 = 3, a6 = 3.

C3 =

Pak 33 a5 · p 4 + p 3 3 · 10 + 3 p5 = , = = q5 a5 · q 4 + q 3 3 · 33 + 10 109 p6 a6 · p 5 + p 4 3 · 33 + 10 109 C6 = = = = . q6 a6 · q 5 + q 4 3 · 109 + 33 360 C5 =

Příklad 5.53. Osmým a devátým sblíženým zlomkem konečného řetězového 55 a 34 . Nalezněte desátý sblížený zlomku [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] jsou zlomky 34 21 zlomek. Řešení. Využijeme vztahů (4.3), (4.4). Platí tedy C8 = Pak C10 =

34 p8 55 p9 = , C9 = = , a10 = 1. 21 q8 34 q9

p10 a10 · p9 + p8 1 · 55 + 34 89 = = = . q10 a10 · q9 + q8 1 · 34 + 21 55


5.5.4

209

Sblížené zlomky nekonečného řetězového zlomku

Příklad 5.54. Nechť je dán nekonečný řetězový zlomek 1

1+

1

2+

1

2+ 2+

1 2 + ...

Nalezněte prvních pět sblížených zlomků tohoto nekonečného řetězového zlomku. Řešení. C1 = 1, 3 1 = , 2 2 1 7 2 C3 = 1 + =1+ = , 5 5 1 2+ 2 1 5 17 1 C4 = 1 + =1+ = , =1+ 12 12 1 2 2+ 2+ 5 1 2+ 2 1 12 41 1 1 =1+ = . C5 = 1 + =1+ =1+ 29 29 1 1 5 2+ 2+ 2+ 12 1 2 2+ 2+ 5 1 2+ 2 C2 = 1 +


2+

1

4+

1

4+ 4+

1 4 + ...

Nalezněte první čtyři sblížené zlomky tohoto nekonečného řetězového zlomku.


210

Řešení. C1 = 2, 1 9 = , 4 4 4 1 38 =2+ C3 = 2 + = , 17 17 1 4+ 4

C2 = 2 +

1

C4 = 2 + 4+

1 4+

1

=2+

4+

1 4

4 17

=2+

161 17 = . 72 72


0+

1

1+

1

1+ 1+

1 1 + ...

Nalezněte prvních šest sblížených zlomků tohoto nekonečného řetězového zlomku. Řešení. C1 = 0, 1 = 1, 1 1 1 C3 = 0 + = , 2 1 1+ 1 1 2 C4 = 0 + = , 3 1 1+ 1 1+ 1 C2 = 0 +


C5 = 0 +

=

1

1+

1

1+

1+

1 1 1

= 1+

1

1+ 1+

1 1+

=

1 1+

3 5

5 = . 8

2 3

1 1+

Fk−1 Fk

3 = , 5 2 1+ 3

1

1+

Tedy Ck =

1

1

C6 = 0 +

211

1 1

pro k = 1, 2, 3, 4, . . .

Příklad 5.57. Dokažte platnost rovnosti lim (Cn − Cn−1 ) = 0,

n→∞

kde Cn označuje n-tý sblížený zlomek nekonečného řetězového zlomku [1; 1, 1, 1, 1, 1, . . .]. Řešení. Lze řešit: A) Dle věty 4.2 platí Cn =

Fn+1 . Fn

V úpravách dále využijeme identitu (5.6): Cn − Cn−1 =

Fn+1 Fn Fn+1 Fn−1 − Fn2 (−1)n − = = . Fn Fn−1 Fn Fn−1 Fn Fn−1

Platí tedy (−1)n lim (Cn − Cn−1 ) = lim = 0. n→∞ n→∞ Fn Fn−1 B) Platí lim (Cn − Cn−1 ) = lim Cn − lim Cn−1 = Φ − Φ = 0.

n→∞

n→∞

n→∞


5.6

212

Zobecněné Fibonacciho identity

Připomeňme, že lineární rekurentní formuli 2. řádu Tn+2 = Tn+1 + Tn ,

pro n ≥ 1, n ∈ N,

(5.33)

přičemž T1 = a a T2 = b, nazýveme zobecněná Fibonacciho posloupnost.

5.6.1


Příklad 5.58. Dokažte větu 3.8, tedy platnost vztahu Tn = aFn−2 + bFn−1 , pro všechna n ∈ N. Řešení. Tvrzení dokážeme matematickou indukcí. 1. Dle definice T1 = a, T2 = b a pro n = 3 platí: T3 = a + b = aF1 + bF2 2. Předpokládejme nyní, že tvrzení platí pro 1, 2, . . . , n; a dokažme jej pro n + 1: Tn+1 = Tn + Tn−1 = (aFn−2 + bFn−1 ) + (aFn−3 + bFn−2 ) = a(Fn−2 + Fn−3 ) + b(Fn−1 + Fn−2 ) = aFn−1 + bFn

Příklad 5.59. Dokažte větu 3.12, tedy platnost vztahu n X

Ti2 = T12 + T22 + T32 + · · · + Tn2

i=1

= Tn Tn+1 − T1 T0 = Tn Tn+1 + a(a − b). Řešení. Tvrzení dokážeme matematickou indukcí vzhledem k n:


213

1. Pro n = 1 tvrzení platí, neboť T12 = a2 T1 T2 − T1 T0 = ab − a(b − a) = ab − ab + a2 = a2 , tedy T12 = T1 T2 − T1 T0 . 2. Předpokládejme, že tvrzení platí pro 1, 2, . . . , n. Indukčním předpokladem je tedy rovnost T12 + T22 + T32 + · · · + Tn2 = Tn Tn+1 − T1 T0 . Nyní dokažme platnost tvrzení pro n+1. K oběma stranám indukčního 2 : předpokladu přičteme Tn+1 2 2 T12 + T22 + T32 + · · · + Tn2 + Tn+1 = Tn Tn+1 − T1 T0 + Tn+1

Úpravou pravé strany rovnosti dostaneme Tn+1 (Tn + Tn+1 ) − T1 T0 = Tn+1 Tn+2 − T1 T0 . Užili jsme rekurentní formuli (5.33) a dokázali, že tvrzení věty 3.12 platí pro každé n ∈ N. Příklad 5.60. Dokažte větu 3.15, tedy platnost vztahu Tn+m = Tn−1 Fm + Tn Fm+1 . Řešení. Tvrzení dokážeme matematickou indukcí vzhledem k m: 1. Pro m = 0 tvrzení platí, neboť Tn = Tn−1 F0 + Tn F1 = Tn . Pro m = 1 tvrzení platí, neboť Tn+1 = Tn−1 F1 + Tn F2 = Tn−1 + Tn a pro m = 2 platí Tn+2 = Tn−1 F2 + Tn F3 = Tn−1 + 2Tn = = Tn−1 + Tn + Tn = Tn+1 + Tn .

(5.34)


214

2. Předpokládejme, že tvrzení platí pro 0, 1, 2, . . . , m. Nyní dokažme platnost tvrzení pro m + 1. Sečteme tedy rovnost (5.34) s rovností: Tn+m−1 = Tn−1 Fm−1 + Tn Fm a obdržíme Tn+m + Tn+m−1 = Tn−1 (Fm + Fm−1 ) + Tn (Fm+1 + Fm ), čímž získáváme Tn+m+1 = Tn−1 Fm+1 + Tn Fm+2 . Užili jsme rekurentní formuli (5.33) a dokázali, že tvrzení věty 3.15 platí pro každé n ∈ N, m ∈ N0 .

5.6.2

Důkazy s využitím rekurentní či Binetovy formule


Ti = T1 + T2 + T3 + · · · + Tn = Tn+2 − T2 = Tn+2 − b.

i=1

Řešení. Užitím rekurentní formule (5.33) získáváme T1 = T3 − T2 , T2 = T4 − T3 , T3 = T5 − T4 , .. . Tn−1 = Tn+1 − Tn , Tn = Tn+2 − Tn+1 . Součtem všech těchto rovnic dostáváme n X i=1

Ti = Tn+2 − T2 = Tn+2 − b.


215


T2i−1 = T1 + T3 + T5 + · · · + T2i−1 = T2n − T0 = T2n + a − b.

i=1

Řešení. Opět využijeme rekurentní formuli (5.33). Platí T1 = T2 − T0 T3 = T4 − T2 , .. . T2n−1 = T2n − T2n−2 . Požadovaný výsledek získáme opět součtem všech těchto rovností. Příklad 5.63. Dokažte Binetovu formuli (3.17) pro n-té zobecněné Fibonacciho číslo: c(Φ)n − d(Φ0 )n , Tn = Φ − Φ0 kde c = a + (a − b)Φ0 a d = a + (a − b)Φ, tedy větu 3.14, strana 133. Řešení. Dle věty 3.6 a vztahů (5.29), (5.30), (5.31), (5.32) platí Tn = aFn−2 + bFn−1 √ 5Tn = a(Φn−2 − (Φ0 )n−2 ) + b(Φn−1 − (Φ0 )n−1 ) a b a b n 0 n =Φ + − (Φ ) + Φ2 Φ (Φ0 )2 Φ0 = Φn [a(Φ0 )2 − bΦ0 ] − (Φ0 )n (aΦ2 − bΦ) = Φn [a(1 + Φ0 ) − bΦ0 ] − (Φ0 )n [a(1 + Φ) − bΦ] = Φn [a + (a − b)Φ0 ] − (Φ0 )n [a + (a − b)Φ]. Tedy Tn =

c(Φ)n − d(Φ0 )n , Φ − Φ0

což jsme chtěli dokázat. Příklad 5.64. Dokažte větu 3.16, tedy platnost vztahu Tn+1 Tn−1 − Tn2 = µ(−1)n .

(5.35)


216

Řešení. Nejprve ověříme platnost vztahu µ = a2 + ab − b2 = cd, kde c = a + (a − b)Φ0

a

d = a + (a − b)Φ.

Využijeme větu 3.6: cd = [a + (a − b)Φ0 ] · [a + (a − b)Φ] = a2 + (a − b)2 ΦΦ0 + a(a − b)(Φ + Φ0 ) = a2 − (a − b)2 + a(a − b) = a2 + ab − b2 K důkazu tvrzení (5.35) využime Binetovu formuli (3.17) pro n-té zobecněné Fibonacciho číslo a větu 3.6: 5(Tn+1 Tn−1 − Tn2 ) = = (c(Φ)n+1 − d(Φ0 )n+1 )(c(Φ)n−1 − d(Φ0 )n−1 ) − (c(Φ)n − d(Φ0 )n )2 = = −cd(Φn+1 (Φ0 )n−1 + Φn−1 (Φ0 )n+1 ) + 2cd(ΦΦ0 )n = = −µΦn−1 (Φ0 )n−1 (Φ2 + (Φ0 )2 ) + 2µ(ΦΦ0 )n = = −3µ(ΦΦ0 )n−1 + 2µ(ΦΦ0 )n = = 3µ(ΦΦ0 )n + 2µ(ΦΦ0 )n = = 3µ(−1)n + 2µ(−1)n = = 5µ(−1)n Tedy skutečně platí Tn+1 Tn−1 − Tn2 = µ(−1)n .

5.6.3

Některé další příklady se zobecněnými Fibonacciho čísly

Příklad 5.65. Využitím formule (3.12) určete: 1. T8 2. T13 Řešení. Dle (3.12) platí Tn = aFn−2 + bFn−1 , n ∈ N. 1. T8 = aF6 + bF7 = 8a + 13b.


217

2. T13 = aF11 + bF12 = 89a + 144b. Příklad 5.66. Dokažte větu 3.11, tedy platnost vztahu n X

T2i = T2 + T4 + T6 + · · · + T2i = T2n+1 − T1 = T2n+1 − a.

i=1

Řešení. Důkaz vychází z následujícího: Z (3.13) a (3.14) plyne n X

2n X

T2i =

i=1

Ti −

i=1

n X

T2i−1

i=1

= (T2n+2 − b) − (T2n + a − b) = (T2n+2 − T2n ) − a = T2n+1 − a = T2n+1 − T1 .


Tk+i = Tn+k+2 − Tk+2 .

i=1

Poznámka 5.1. Platí n X Fk+i−2 = Fk−1 + Fk + · · · + Fk+n−2 = i=1

=

k+n−2 X

Fj −

j=1

k−2 X

Fj =

j=1

= Fk+n − 1 − Fk + 1 = = Fk+n − Fk . Řešení. Dle věty 3.8 a poznámky 5.1 platí n X i=1

Tk+i = a

n X i=1

Fk+i−2 + b

n X

Fk+i−1 =

i=1

= a(Fn+k − Fk ) + b(Fn+k+1 − Fk+1 ) = = (aFn+k + bFn+k+1 ) − (aFk + bFk+1 ) = = Tn+k+2 − Tk+2 .


218

Příklad 5.68. Dokažte větu 3.17, tedy platnost vztahu 2 Tn2 + Tn−1 = (3a − b)T2n−1 − µF2n−1 .

(5.36)

Řešení. Dle vztahu (3.17) pro levou stranu (5.36) platí 2 5 Tn2 + Tn−1 = [c(Φ)n − d(Φ0 )n ]2 + [c(Φ)n−1 − d(Φ0 )n−1 ]2 = = c2 (Φ)2n−2 (1 + Φ2 ) + d2 (Φ0 )2n−2 (1 + (Φ0 )2 ) = √ = 5(c2 (Φ)2n−1 − d2 (Φ0 )2n−1 ). a pro pravou stranu √ 5[(3a − b)T2n−1 − µF2n−1 ] = = (3a − b)(c(Φ)2n−1 − d(Φ0 )2n−1 ) − µ((Φ)2n−1 − (Φ0 )2n−1 ) = = (c + d)(c(Φ)2n−1 − d(Φ0 )2n−1 ) − µ((Φ)2n−1 − (Φ0 )2n−1 ) = = (c2 (Φ)2n−1 − d2 (Φ0 )2n−1 ), čímž jsme tvrzení dokázali.

Kapitola 6 Některé nerozřešené problémy z oblasti Fibonacciho čísel V této části práce ukážeme, že problémy s tematikou Fibonacciho a Lucasových čísel zkoumají vědci dodnes, a že dokonce existuje několik neřešených problémů. V textu je uvedeno několik dosud nevyřešených problémů z oblasti Fibonacciho čísel a popis některých pokusů o jejich řešení. Text je určen pro zájemce o náročnější matematiku. Nalezneme zde např. problematiku Fibonacciho–Wieferichových prvočísel či poznámky o prvočíselných Fibonacciho číslech. Také se zamyslíme nad otázkou, které Fibonacciho číslo je čtvercem přirozeného čísla.

6.1

Fibonacci–Wieferichova prvočísla

Nejprve připomeňme Binetovu formuli vyjadřující Fibonacciho číslo pomocí √ 5. Pro všechna n ∈ N0 platí: " √ !n √ !n # Φn − (Φ0 )n 1 Φn − (Φ0 )n 1+ 5 1− 5 √ Fn = = =√ − . Φ − Φ0 2 2 5 5 Další pomocné tvrzení se bude týkat kombinačních čísel. Tvrzení 6.1. Nechť p je liché prvočíslo a k je celé číslo. Pak 1. pro 1 ≤ k ≤ p − 1 máme p ≡0 k

(mod p),


2. pro 1 ≤ k ≤ p − 2 máme

p+1 k+1

220

≡0

(mod p),

3. pro 0 ≤ k ≤ p − 1 máme p−1 ≡ (−1)k k Důkaz.

(mod p).

1. Platí p p! (p − 1)! = =p· ≡0 k k!(p − k)! k!(p − k)!

neboť

(mod p),

(p − 1)! k!(p − k)!

je celé číslo. 2. Z tvrzení 6.1.1. plyne p ≡0 k+1

(mod p),

pro 0 ≤ k ≤ p − 2,

pak pro 1 ≤ k ≤ p − 2 obdržíme p+1 p p = + ≡0 k+1 k k+1 3. Z tvrzení 6.1.1. dostáváme pro 1 ≤ k ≤ p − 1 p p−1 p−1 0≡ = + k k−1 k

(mod p).

(mod p),

odkud plyne p−1 p−1 ≡ (−1) k k−1

(mod p)


221

a z úplné indukce vzhledem ke k dostaneme p−1 p−1 ≡ (−1) (mod p) k k−1 p−2 ≡ (−1)(−1) (mod p) k−2 p−3 ≡ (−1)(−1)(−1) (mod p) k−3 ≡ ... p−1 ≡ (−1)k (mod p), 0 čímž jsme tvrzení dokázali. Z teorie kvadratických zbytků a z vlastností Legendreova symbolu dostáváme: Tvrzení 6.2. Pro liché prvočíslo p 6= 5 platí: 1. jestliže p ≡ 1 nebo − 1 (mod 5), pak

5

2. jestliže p ≡ 2 nebo − 2 (mod 5), pak

5

p−1 2

≡

1 (mod p),

p−1 2

≡ −1 (mod p). Jestliže pro stručnost označíme Legendreův symbol p5 symbolem ε(p), pak tvrzení 6.2 je pro prvočíslo p 6= 2, 5 ekvivalentní s formulí ( 1 pro p ≡ ±1 (mod 5), 5 ε(p) = = p −1 pro p ≡ ±2 (mod 5). Věta 6.1. Pro liché prvočíslo p 6= 5 platí: 1. p ≡ 1 nebo − 1 (mod 5) =⇒ p | Fp−1 , 2. p ≡ 2 nebo − 2 (mod 5) =⇒ p | Fp+1 , což je ekvivalentní se vztahem p | Fp−ε(p) . Důkaz.

1. Podle Binetovy formule získáváme   √ !p−1 √ !p−1 1+ 5 1− 5 1 = Fp−1 = √  − 2 2 5


222

p−1 X √ ki p−1 h √ k 1 √ ( 5) − (− 5) = = k 2p−1 5 k=0 p−1 X p−1 √ k 2 √ ( 5) = = k 2p−1 5 k=0 k liché

p−3 2

1 X p−1 l = p−2 5. 2 2l + 1 l=0 ), dostáváme z tvrzení Protože 1 ≤ 2l + 1 ≤ p − 2 (pro 0 ≤ l ≤ p−3 2 6.1.3. p−1 ≡ −1 (mod p), 2l + 1 tedy p−3

Fp−1 ≡ − Fp−1 ≡ −

1

2 X

2p−2 1 2p−2

5l

(mod p)

l=0

·

5

p−1 2

−1

4

(mod p).

Z tvrzení 6.2 pak pro p ≡ ±1 (mod 5) plyne Fp−1 ≡ 0

(mod p),

tedy p | Fp−1 pro p ≡ ±1 (mod 5). 2. Užitím Binetovy formule dostaneme obdobně Fp+1

p+1 1 X p+1 √ k = √ ( 5) = k 2p 5 k=0 k liché

p−1 2

1 X p+1 l = p 5. 2 l=0 2l + 1 Podle tvrzení 6.1.2. pak obdržíme 1 p+1 p + 1 p−1 2 Fp+1 ≡ p + 5 (mod p) 2 1 p p−1 1 2 Fp+1 ≡ p (p + 1) 1 + 5 (mod p). 2


223

Z tvrzení 6.2 pro p ≡ ±2 (mod 5) plyne Fp+1 ≡ 0

(mod p),

tedy p | Fp+1 pro p ≡ ±2 (mod 5). F

Překvapivý výsledek o číslech p−ε(p) , vyjádřený součtem tzv. reciprokálů p (reciprocals) modulo p, získal H. C. Williams,I viz [73]. Věta 6.2. Nechť p je prvočíslo, p 6= 2, 5, pak Fp−ε(p) 2 X 1 ≡ p 5p x 2p 5

<x<

(mod p).

5

Reciprokálem x1 modulo p pro celé číslo x nesoudělné s prvočíslem p se rozumí celé číslo y s vlastností x · y ≡ 1 (mod p). Tyto výrazy se objevují u Eisensteinovy formule pro Fermatův kvocient qp (a) =

ap−1 − 1 p

prvočísla p, kde a je celé číslo nesoudělné s p. Věta 6.3 (Eisensteinova formule). Pro liché prvočíslo p platí 2qp (2) ≡

X 1 x p 2

(mod p).

<x
Pro liché prvočíslo p a celá čísla N, k; 1 ≤ N , 0 ≤ k ≤ N − 1; p - N bude s(k, N ) značit celé číslo, 0 ≤ s(k, N ) ≤ p − 1, definované vztahem s(k, N ) ≡

X (k+1)p kp <x< N N

1 x

(mod p).

Pak můžeme Williamsovu a Eisensteinovu formuli vyjádřit kongruencemi: Fp−ε(p) 2 ≡ s(1, 5) (mod p), p 5 2qp (2) ≡ s(1, 2) (mod p). I

(W) (E)

Hugh Cowie Williams, narozen r. 1943. Department of Mathematics & Statistics, University of Calgary, Calgary, Alberta, Canada T2N 1N4; e-mail: [email protected].


224

H. S. VandiverII (viz [58]) publikoval následující kritérium týkající se tzv. prvního případu Fermatovy hypotézy. Věta 6.4. Nechť p je liché prvočíslo a x, y, z celá čísla nedělitelná prvočíslem p s vlastností xp + y p + z p = 0. Pak

X 1 ≡0 p x

(mod p).

0<x< 5

Tedy s(0, 5) ≡ 0

(mod p).

Protože s(0, 5) + s(1, 5) ≡ 0 (mod p), můžeme Vandiverův výsledek s využitím Williamsovy formule formulovat následovně. Věta 6.5. Jestliže první případ Fermatovy hypotézy pro liché prvočíslo p 6= 5 neplatí, pak Fp−ε(p) ≡ 0 (mod p2 ). (6.1) Tato věta byla jedním z motivů pro hledání lichých prvočísel p 6= 5 s vlastností (6.1). Prvočíslo p s vlastností (6.1) se nazývá Fibonacci–Wieferichovo prvočíslo. Snaha matematiků najít nějaké Fibonacci–Wieferichovo prvočíslo existuje již mnoho let, prakticky od Vandiverova výsledku z roku 1914. K výpočtu bylo využito velké množství metod, ale dosud nebylo žádné Fibonacci– Wieferichovo prvočíslo nalezeno. Poslední výsledek, využívající nejmodernějších počítačů a výpočetních metod, byl publikován v článku [42] matematiků R. J. McIntosheIII a E. L. Roettigera.IV Věta 6.6. Nechť p je prvočíslo p < 2 × 1014 . Pak p není Fibonacci–Wieferichovo prvočíslo, tedy p 6= 2, 5 a Fp−ε(p) 6≡ 0

(mod p2 ).

Poznámka 6.1. Hledání prvočísel s podobnou vlastností bylo fakticky zahájeno výsledkem Wiefericha, viz [66], který dokázal následující kritérium týkající se prvního případu Fermatovy hypotézy. II

Harry Shultz Vandiver (1882–1973), americký matematik. Vynikal především v teorii čísel. III Richard J. McIntosh; Department of Mathematics and Statistics, University of Regina, Regina, Saskatchewan, Canada S4S 0A2; e-mail: [email protected]. IV Eric L. Roettger; Department of Mathematics and Statistics, University of Calgary, Calgary, Alberta, Canada T2N 1N4; e-mail: [email protected].


225

Věta 6.7. Jestliže pro liché prvočíslo p existují celá čísla x, y, z nedělitelná prvočíslem p tak, že xp + y p + z p = 0, pak qp (2) ≡ 0

(mod p).

Podle Eisensteinovy formule je tato podmínka ekvivalentní s kongruencí X 1 ≡0 p x

(mod p).

(6.2)

0<x< 2

Liché prvočíslo p s vlastností (6.2) se nazývá Wieferichovo prvočíslo a dosud byla nalezena jen dvě Wieferichova prvočísla, a to 1093, viz [43], a 3511, viz [3]. Poslední výsledek, týkající se hledání Wieferichových prvočísel, je publikován v článku [32] J. KnaueraV a J. Richsteina.VI Věta 6.8. Jestliže liché prvočíslo p je Wieferichovo a p je různé od prvočísel 1093 a 3511, pak p > 1, 25 × 1015 .

V

Joshua Knauer; Department of Mathematics, Simon Fraser University, Burnaby, British Columbia, V5A 1S6 Canada; e-mail: [email protected]. VI Jörg Richstein; Institut für Informatik, Justus-Liebig-Universität, Gießen, Germany; e-mail: [email protected].


6.2

226

Kdy je Fibonacciho číslo čtvercem?

Velmi dlouho byla neřešena otázka, pro která Fibonacciho čísla Fn existuje přirozené číslo x tak, že Fn = x2 . Z hodnot čísel Fn pro 1 ≤ n ≤ 12 ihned plyne, že čtverci celých čísel jsou F1 = F2 = 1 a F12 = 144 (tedy indexy n = 1, 2, 12). Teprve v roce 1964 J. H. E. Cohnem,VII viz [9], bylo dokázáno, že pouze pro indexy n = 1, 2, 12 jsou Fibonacciho čísla čtverci celých čísel. V témže článku Cohn dokázal, že pro přirozená čísla x, n platí Fn = 2x2 právě tehdy, když n = 3 (x = 1) nebo n = 6 (x = 2). Cohn také vyřešil stejný problém pro Lucasova čísla Ln . Tvrzení 6.3. Platí: 1. pro přirozené číslo n existuje přirozené číslo x tak, že Ln = x2 právě tehdy když n = 1 nebo n = 3, 2. pro celé nezáporné číslo n existuje přirozené číslo x tak, že Ln = 2x2 právě tehdy, když n = 0 nebo n = 6. Pro další domněnky, týkající se Fibonacciho a Lucasových čísel, v tomto směru zavedeme pojem primitivní část Fibonacciho a Lucasova čísla. Definice 6.1. Prvočíslo p dělící Fibonacciho číslo Fn , resp. Lucasovo číslo Ln , (n ≥ 1), se nazývá primitivní faktor čísla Fn , resp. Ln , jestliže pro každé přirozené číslo m < n platí p - Fm ,

resp. p - Ln .

Poznámka 6.2. R. D. Carmichael,VIII viz [7], ukázal, že každé Fibonacciho číslo Fn , n 6= 1, 2, 6, 12 a každé Lucasovo číslo Ln , n 6= 1, 6 má primitivní faktor. Pro přirozené číslo n nechť Fn = pa11 . . . pakk q1b1 . . . qlbl je kanonický rozklad Fibonacciho čísla Fn , kde prvočísla p1 , . . . , pk jsou primitivní faktory Fn a prvočísla q1 , . . . , ql nejsou primitivní faktory čísla Fn . Položíme 0 Fn∗ = pa11 . . . pakk , Fn = q1b1 . . . qlbl (v případě neexistence primitivního faktoru klademe Fn∗ = 1 a podobně v případě neexistence prvočísla dělícího Fn , které není jeho primitivním faktorem, VII VIII

John H. E. Cohn; Bedford College, University of London, London, N.W.1. Robert Daniel Carmichael (1879–1967), americký matematik.


227

0

klademe Fn = 1). Pak Fn = Fn∗ · Fn a číslo Fn∗ se nazývá primitivní část Fibonacciho čísla Fn . Zcela analogicky se pro Lucasovo číslo Ln definuje primitivní část L∗n a 0 0 číslo Ln . Pak Ln = L∗n · Ln . V souvislosti s těmito definicemi lze vyslovit následující dvě hypotézy. Hypotéza 6.1. Primitivní části Fn∗ , L∗n Fibonacciho čísla Fn a Lucasova čísla Ln jsou nedělitelné čtvercem přirozeného čísla většího než 1. Hypotéza 6.2. Jestliže n je přirozené číslo n 6= 1, 2, 6, 12, pak primitivní část Fn∗ Fibonacciho čísla Fn není čtvercem celého čísla. Pro přirozené číslo n 6= 1, 3, 6 primitivní část L∗n Lucasova čísla Ln není čtvercem celého čísla. Z Carmichaelova tvrzení dostáváme, že pro každé přirozené číslo n, kde n 6= 1, 2, 6, 12 a každé přirozené číslo m, kde m 6= 1, 3, 6, existuje prvočíslo p a prvočíslo q s vlastností p | Fn∗ ,

q | L∗m .

Odtud plyne, že každé číslo Fn∗ (n 6= 1, 2, 6, 12) a každé číslo L∗m (m 6= 1, 3, 6), které je čtvercem celého čísla, musí být větší než 1. Tudíž hypotéza 6.1 implikuje hypotézu 6.2. Současné výpočty pomocí nejmodernější techniky platnost těchto tvrzení nevyvrací. Pro další úvahy budeme uvažovat relaci 2 na množině Z všech celých čísel definovanou následovně. Definice 6.2. Pro α, β ∈ Z položíme α2β, jestliže existují přirozená čísla x, y s vlastností α · x2 = β · y 2 . Zřejmě relace 2 je relace ekvivalence na Z. Třída příslušná ekvivalenci 2 se nazývá čtvercová třída (square-class). Množina {ξ 2 : ξ ∈ Z} je zřejmě čtvercová třída. Pro neprázdnou podmnožinu M ⊆ Z budeme zúženou relaci relace 2 na M také označovat symbolem 2 a neprázdnou množinu T ∩M , kde T je čtvercová třída, budeme nazývat čtvercová třída množiny M . Pro množinu všech Fibonacciho čísel a množinu všech Lucasových čísel, pak platí následující tvrzení. Tvrzení 6.4. Množiny {F1 , F2 , F12 } = {1, 144} a {F3 , F6 } = {2, 8} jsou čtvercové třídy množiny všech Fibonacciho čísel. Množina {L1 , L3 } = {1, 4} je čtvercová třída množiny všech Lucasových čísel.


228

Důkaz. Podle Cohnových tvrzení o čtvercích jsou množiny {F1 , F2 , F12 } a {L1 , L3 } čtvercové třídy množiny všech Fibonacciho, resp. Lucasových čísel. Např. ukážeme, že {F3 , F6 } je čtvercová třída množiny Fibonacciho čísel. Jelikož F3 = 2, F6 = 8, zřejmě F3 2F6 . Nechť n je přirozené číslo s vlastností F3 2Fn . Pak existují přirozená čísla x, y tak, že platí F3 x2 = Fn y 2 , tedy 2x2 = Fn y 2 . Jestliže p je prvočíslo, p | x, p | y, pak p2 | x2 , p2 | y 2 a platí 2 2 y x = Fn . 2 p p Můžeme tedy předpokládat, že čísla x, y jsou nesoudělná. Protože y 2 | 2x2 , pak y 2 | 2, tedy y = 1, a proto Fn = 2x2 . Z Cohnova tvrzení pak plyne, že n = 3 nebo n = 6. V článku P. Ribenboima,IX viz [49], je dokázána tato zajímavá věta. Věta 6.9. Platí: 1. mimo čtvercových tříd {F1 , F2 , F12 } a {F3 , F6 } množiny Fibonacciho čísel je každá čtvercová třída této množiny jednoprvková, tedy rovna množině {Fn }, n ∈ N − {1, 2, 3, 6, 12}, 2. mimo čtvercovou třídu {L1 , L3 } na množině Lucasových čísel je každá čtvercová třída této množiny jednoprvková, tedy rovna množině {Ln }, kde n ∈ N − {1, 3}. Ribenboimova věta je slabší verze dosud nedokázané hypotézy 6.2, neboli tato věta je důsledkem hypotézy 6.2, což ukážeme pro Fibonacciho čísla. Předpokládejme, že platí hypotéza 6.2 a nechť m, n jsou přirozená čísla n, m 6= 1, 2, 3, 6, 12 a nechť m < n. Chceme tedy dokázat Fm non2 Fn . Předpokládejme, že Fn x2 = Fm y 2 , kde x, y ∈ N. Podle hypotézy 6.2 primitivní část Fn∗ Fibonacciho čísla Fn není čtvercem celého čísla. Podle Carmichaelova tvrzení o existenci primitivního faktoru dostáváme, že existuje přirozené číslo p a liché kladné číslo a ≥ 1 tak, že pa | Fn∗

a pa+1 - Fn∗ .

Protože m < n, nedělí prvočíslo p Fibonacciho číslo Fm , tedy pa | y 2

a pa+1 - y 2 ,

což je spor s paritou čísla a. IX

Paulo Ribenboim, narozen r. 1928 v Brazílii. Dnes žije v Kanadě a specializuje se na teorii čísel.


6.3

229

Stručná poznámka o prvočíselných Fibonacciho číslech

V této poznámce se zamyslíme nad otázkou, zda existuje nekonečně mnoho Fibonacciho čísel, která jsou prvočísla. Tento problém je také dosud nevyřešen. Podle současných výpočtů je Fibonacciho číslo Fn prvočíslem pro přirozená čísla n, 3 ≤ n ≤ 1000 jen pro následující n: n = 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 43, 47, 83, 131, 137, 359, 431, 433, 449, 509, 569, 571. Dosud největší známé přirozené číslo n, pro které je Fibonacciho číslo Fn prvočíslo, je n = 2971, objeveno Williamsem. Pro Lucasova čísla je známo, že pro přirozené číslo n ≤ 500 je Lucasovo číslo Ln prvočíslem právě jen pro následující přirozená čísla n: n = 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353. Největší dosud známé prvočíselné Lucasovo číslo Ln , také objevené Williamsem, je n = 803. Údaje prezentované v této podkapitole byly čerpány z [48].

Historický přehled V tabulce je uveden stručný historický přehled nejvýznamnějších výsledků týkajících se Fibonacciho a Lucasových čísel, zlatého řezu, řetězových zlomků i výsledky související s Fibonacciho čísly a přírodou. Tabulka je sestavena chronologicky. Datum 2700–1700 př.n.l. 490–430 př.n.l. r. 300 př.n.l. 2. pol. 10. stol 1170–1240 1202 1228

1452–1519 1471–1528 1548–1626 1680

1707–1783 1753

Událost Egyptské pyramidy. Sochař Feidiás – Parthenon na Akropoli v Aténách – zlatý řez. Eukleides – kniha Základy – dělení úsečky v poměru zlatého řezu. Seznamování evropanů s indickými číslovkami. Italský matematik L. Pisánský – Fibonacci. První vydání knihy Liber Abaci. Poprvé se objevují Fibonacciho čísla v přepracované verzi knihy Liber Abaci – Úloha o králících. Zlatý řez v díle L. da Vinciho. Zlatý řez v díle A. Dürera. Vytvořen základ teorie řetězových zlomků italským matematikem P. A. Cataldim. Objevena rovnost (5.6) francouzským matematikem a astronomem G. D. Cassinim. L. Euler – švýcarský matematik a fyzik. Dokázána rovnost Φ = lim FFn+1 . n n→∞

Zmínka str. 124 str. 123 str. 113 str. 14 str. 13 str. 17 str. 17 str. 31 str. 94 str. 121 str. 121 str. 144

str. 171 str. 116 str. 114

Fibonacciho čísla a jejich aplikace Datum 1753 1765

19. stol. 1830–1840

1842–1891 1843

1857 1859–1891 2. pol. 19. stol. 1883 1882–1965 1887–1965 1876 1876 zač. 20. stol. 1914 1964

1964

Událost Anglický matematik R. Simson poprvé . publikoval vztah Cn = FFn+1 n Švýcarský matematik L. Euler poprvé publikoval formuli pro určení n-tého Fibonacciho čísla (3.8). Začalo se užívat názvů „zlatý poměrÿ a „zlatý řezÿ. Nauka o fylotaxi – výraznější pokrok – němečtí botanici K. Schimper a A. Braun. Francouzský matematik É. Lucas. Francouzský matematik J. P. M. Binet znovu objevil formuli (3.8) – dnes označujeme Binetova formule. Latinský přepis Liber Abaci od B. Boncompagniho. Zlatý řez v díle G. Seurata. É. Lucas poprvé nazval posloupnost (3.2) posloupností Fibonacciho čísel. Studium Fibonacciho polynomů – E. Ch. Catalan (1814–1894). E. Jacobsthal – studium Jacobsthalových Fibonacciho polynomů. Le Corbusier a zlatý řez v moderní architektuře. É. Lucas poprvé publikoval identity (5.1), (5.2) a (5.10). É. Lucas objevil identitu (5.5). Americký matematik M. Barr zavedl √ 1+ 5 označení: Φ = 2 . H. S. Vandiver – kritérium týkající se tzv. prvního případu Fermatovy hypotézy. Dokázáno, že jediná Fibonacciho čísla tvaru Fn = x2 , (n ∈ N) jsou F1 = F2 = 1 a F12 = 144. Dokázáno, že jediná Lucasova čísla tvaru Ln = x2 , (n ∈ N) jsou L1 = 1, L3 = 4.

231 Zmínka str. 149

str. 116 str. 114 str. 100 str. 102 str. 16, 170

str. 116 str. 18 str. 121 str. 17 str. 92 str. 156 str. 156 str. 160 str. 125 str. 168 str. 170 str. 113 str. 224

str. 226 str. 226

Fibonacciho čísla a jejich aplikace Datum 1964

1970 1982 1992 2002 2005

2007

Událost Dokázáno, že jediná Fibonacciho čísla tvaru Fn = 2x2 , (n ∈ N) jsou F3 = 2 a F6 = 8 a jediná Lucasova čísla s touto vlastností jsou L0 = 2 a L6 = 18. Studium Lucasových polynomů – M. Bicknell. C. H. Williams – překvapivý F výsledek o číslech p−ε(p) . p Další zásadní výsledky v teorii fylotaxe – francouzští fyzici S. Douaday a Y. Couder. Překlad Liber Abaci do angličtiny, L. E. Siegler, viz [52]. Poslední výsledek týkající se hledání Wieferichových prvočísel – J. Knauer a J. Richstein. R. J. McIntosh a E. L. Roettiger – poslední výsledky týkající se nalezení Fibonacci–Wieferichova prvočísla.

232 Zmínka

str. 226 str. 162 str. 223 str. 154 str. 14

str. 225

str. 224


233

Seznam některých užitých symbolů N N0 Z R C Fn Ln Tn Φ Φ0 Ck (an )∞ n=1 dxe byc a ≡ b (mod m) a|b (a, b) |ÂV B| |AB| p k a p

množina všech přirozených čísel; N = {1, 2, 3, 4, . . .} množina všech přirozených čísel s nulou, N0 = N ∪ {0}; množina všech celých čísel; množina všech reálných čísel; množina všech komplexních čísel; n-té Fibonacciho číslo; n-té Lucasovo číslo; n-té zobecněné Fibonacciho číslo; √ 1+ 5 . zlatý řez; Φ = = 1, 61803398875 . . . 2 √ 1− 5 1 0 konstanta; Φ = − = Φ 2 k-tý sblížený zlomek konečného řetězového zlomku; označení posloupnosti; horní celá část reálného čísla x; dolní celá část reálného čísla y; a je kongruentní s b modulo m; číslo a dělí číslo b; největší společný dělitel čísel a, b; velikost úhlu AV B; délka úsečky AB; p p! kombinační číslo, p nad k; = k k!(p − k)! Legendreův symbol, a vzhledem k p; p je liché prvočíslo;    1 a = −1 ⇐⇒  p  0

a

p−1 2

Podrobněji o Legendreově symbolu např. viz [60].

   1 ≡ −1   0

(mod p).

Závěr Předložená práce Fibonacciho čísla a jejich aplikace si klade za cíl poskytnout studentům středních škol a jejich učitelům (i zájemcům o matematiku z řad veřejnosti) text, který by poutavou formou mapoval tuto rozsáhlou problematiku s důrazem na využitelnost ve výuce. Ráda bych zdůraznila, že práce si nikterak neklade nárok na to, aby obsáhla veškerou problematiku týkající se Fibonacciho čísel. Rozsáhlost problematiky, ale i fakt, že v mnoha směrech toto téma zcela vybočuje nejen ze středoškolské matematiky, ale z matematiky vůbec, pochopitelně neumožňuje, aby si jedna disertační práce takový cíl vytyčila. Mým mottem při práci byl citát spisovatele Charlese F. Browneho:X „Průměrný učitel vypráví. Dobrý učitel vysvětluje. Výborný učitel ukazuje. Nejlepší učitel inspiruje.ÿ A mým cílem bylo především vytvořit inspirativní a motivující text jak pro učitele, tak jejich studenty. Tomu je přizpůsobena koncepce práce, která se většinou drží standardů učebnic. Kromě zajímavých řešených úloh zde najde čtenář celou řadu matematických, matematicko-biologických, matematicko-historických a dalších poznatků a zajímavostí, které by sám těžko vyhledával roztroušené v literatuře. V češtině vůbec poprvé se zde můžeme seznámit s 26 původními úlohami z Liber abaci, XI jejich rozborem a přepisem v dnešní matematické symbolice. Věřím, že čtenářům práce zprostředkuje podobně objevné a zajímavé chvíle s matematikou, jako přinesla její příprava mně.

X XI

Charles Farrar Browne (1834–1867), americký spisovatel. O některých se stručně zmiňuje J. Bečvář, viz [2].


235

Rejstřík Abstraktní model, 104, 106–111 Adolf Zeising, 119 Al-Chvárizmí, 14 Albrecht Dürer, 121, 230 Alexander Braun, 102, 151 Antoine Bravais, 102 Baldasarre Boncompagni, 17 Binetova formule pro Fibonacciho čísla, 116, 231 Binetova formule pro Lucasova čísla, 116 Binetova formule pro zobecněná Fibonacciho čísla, 133 Cyklické obdélníky, 135 Dělitelnost Fibonacciho a Lucasových čísel, 12, 168, 182, 186 Édouard Lucas, 16, 17, 168–170, 173 Eric L. Roettger, 224 Ernst Jacobsthal, 156, 160 Eugène Charles Catalan, 156 Eukleides, 113, 117, 185, 230 Feidiás, 123, 230 Fibonacci–Wieferichova prvočísla, 12, 219, 232 Fibonacciho čísla, 34, 92, 94–96, 98–100, 104, 116, 119, 121, 165, 182, 191, 226, 230 Fibonacciho čtyřúhelníky, 12, 91, 119, 121 Fibonacciho králíci, 31, 94, 106 Fibonacciho polynomy, 156 popsané E. Ch. Catalanem, 156 popsané E. Jacobsthalem, 156, 160 Fylotaxe, 100, 151, 231, 232 Georges Seurat, 121, 231


Gramatika, 165 Gustav Theodor Fechner, 119 Harry Shultz Vandiver, 224 Hugh Cowie Williams, 223 Jörg Richstein, 225 Jacques Philippe Marie Binet, 116, 117, 231 Johannes Kepler, 112 John H. E. Cohn, 226 Joshua Knauer, 225 Karl Schimper, 102, 151 Le Corbusier, 125, 126, 231 Leonardo da Vinci, 117, 121 Leonardo Pisánský, 13–15 Leonhard Euler, 117, 230, 231 Liber abaci, 14, 17, 19–29, 31, 34, 41, 45, 49, 53, 82, 85 Louis Bravais, 102 Lucasova čísla, 92, 114, 116, 182, 226, 231 Lucasovy polynomy, 162 Mark Barr, 113 Michelangelo Buonarroti, 121 Modulor, 125, 126 Okvětní lístky a Fibonacciho čísla, 98, 107 Parthenon, 123, 230 Paulo Ribenboim, 228 Petr Beckmann, 143 Posloupnost Fibonacciho čísel, 17, 24, 34, 91, 95, 96, 112, 231 Lucasových čísel, 92, 114 Zobecněných Fibonacciho čísel, 132, 135 Pravidelný pětiúhelník, 128 Primitivní část, 226, 227 Prvočíselná Fibonacciho čísla, 12, 219, 229 Rekurentní formule, 91, 92, 132, 162, 169, 189, 212, 214 Richard J. McIntosh, 224 Robert Daniel Carmichael, 226

236


Robert Simson, 114, 150, 231 Řetězové zlomky, 200, 230 Konečné, 143 Nekonečné, 149 Salvator Dali, 121 Sandro Botticelli, 121 Sblížené zlomky, 145 konečného řetězového zlomku, 146, 147 nekonečného řetězového zlomku, 149, 151 Stéphane Doudy, 100 Teoretická informatika, 165 Úloha o králících, 26, 28, 29, 32, 94 Včela medonosná a Fibonacciho čísla, 95 Wilhelm Maximilian Wundt, 119 Yves Couder, 100 Zlatý obdélník, 119, 127 Zlatý řez, 112, 119, 121, 124, 125, 127, 153, 191, 230 Zobecněná Fibonacciho čísla, 132, 133

237

Literatura [1] Adlofová, L.: Zobecněná Fibonacciho čísla. Diplomová práce, Hradec Králové, 2007. [2] Bečvář, J.: Leonardo Pisanský – Fibonacci. Matematika ve středověké Evropě, Dějiny matematiky, svazek 19, Praha, 2001, 264–339. [3] Beeger, N. G. W. H.: On a new case of the congruence 2p − 1 ≡ 1 (mod p2 ). Messenger of Math. vol. 51, 1922, 149–150. [4] Brezinsky, C.: History of Continued Fractions and Padé Approximants. Springer Verlag, Berlin, 1991. [5] Britton, J.: Fibonacci Numbers in Nature. [online]. poslední revize 20.12.2009 [cit. 2008-07-10]. . [6] Brousseau, A.: Fibonacci Numbers and Geometry. The Fibonacci Quarterly 10, No. 3, 1972. [7] Carmichael, R. D.: On the numerical factors of the arithmetic forms αn ± β n . Annals of Math. 15, 1913, 30–70. [8] Cohn, J. H. E.: On square Fibonacci numbers. J. London Math. Soc. 39, 1964, 537–540. [9] Cohn, J. H. E.: Square Fibonacci numbers etc. Fibonacci Quarterly 2, 1964, 109–113. [10] Černá, I. – Křetínský, M. – Kučera, A.: Automaty a formální jazyky I. Masarykova univerzita v Brně, Brno, 2002. [11] Češka, M. – Rábová, Z.: Gramatiky a jazyky. Vysoké učení technické v Brně, Brno, 1992.


239

[12] Došlá, Z. – Kuben, J.: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Masarykova univerzita v Brně, Brno, 2003. [13] Eisenstein, G.: Eine neue Gattung zahlentheoretischer Funktionen welche von zwei Elementen abhaengen und durch gewisse lineare Funktional–Gleichung definiert werden. In Bericht ueber die zur Bekanntmachung geeingneten Verhandlungen der Koenigl. Preuss, Akadenie der Wissenschaften zu Berlin, 1850, 36–42. [14] Fuchs, E.: Diskrétní matematika pro učitele. Masarykova univerzita v Brně, Brno, 2001. [15] Fuchs, E.: Diskrétní matematika a teorie množin pro učitele. CD-ROM, Brno, 2000. [16] GoldenNumber.net.: The Golden Section [online]. c1997–2010 [cit. 200806-30]. . [17] GoldenNumber.net.: Phi and the Golden Section in Architecture [online]. c1997–2010 [cit. 2008-02-12]. . [18] Golé Ch. – Atela P.: Phyllotaxis. An Interactive Site for the Mathematical Study of Plant Pattern Formation, [online], [cit. 2009-08-01]. . [19] Hejl, J.: Zlatý řez. Učitel matematiky 4, č. 1, 1995, 1–8. [20] Hejný, M. a kol.: Teória vyučovania matematiky 2. Bratislava, SPN, 1990. [21] Hoggatt, V. E. Jr.: Fibonacci and Lucas Numbers. Houghton Mifflin Company, Boston, 1969. [22] Chinčin, A. J.: Řetězové zlomky. Přírodovědecké vydavatelství, Praha, 1952. [23] Chmelikova, V.: Zlatý řez nejen v matematice. Dějiny matematiky, svazek 39, Praha, 2009. [24] Jarošová, M.: Abstraktní modely pro biologickou interpretaci Fibonacciho čísel. In XXIV. mezinárodní kolokvium o řízení osvojovacího procesu: Sborník abstraktů a elektronických verzí příspěvků na CD– ROMu. Brno: Univerzita obrany, 2006.


240

[25] Jarošová, M.: Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matematickými pojmy. Rigorózní práce, Brno, 2007. [26] Jarošová, M.: Fibonacciho čísla a příroda. In XXIII. mezinárodní kolokvium o řízení osvojovacího procesu: Sborník abstraktů a elektronických verzí příspěvků na CD–ROMu. Brno: Univerzita obrany, 2005. [27] Jarošová, M.: Fibonacciho a Lucasovy polynomy. In XXV. mezinárodní kolokvium o řízení osvojovacího procesu: Sborník abstraktů a elektronických verzí příspěvků na CD–ROMu. Brno: Univerzita obrany, 2007. [28] Jarošová, M.: Konstrukce zlatého řezu. Rozhledy matematicko-fyzikální 84, č. 2, 2009, 12–16. [29] Jarošová, M.: Řetězové zlomky. Diplomová práce, Brno, 2004. [30] Jarošová, M.: Souvislost Fibonacciho čísel s jinými matematickými pojmy. Matematika v proměnách věků IV., Dějiny matematiky, Brno, svazek 32, 2007, 181–196. [31] Jarošová, M.: Zajímavosti o Fibonacciových číslech. Rozhledy matematicko-fyzikální 82, č. 2, 2007, 7–15. [32] Knauer, J. – Richstein J.: The continuing search for Wieferich primes. Math. Comp 74, 2005, 1559–1563. [33] Knott, R.: A Continued Fraction Calculator. [online]. c2003–2009, poslední revize 2.1.2009 [cit. 2007-07-14]. . [34] Knott, R.: Fibonacci Numbers and Nature. [online]. c1996–2008, poslední revize 16.12.2008 [cit. 2007-07-18]. . [35] Knott, R.: Fibonacci Numbers and The Golden Section in Art, Architecture and Music [online]. c1996 – 2009, poslední revize 7.3.2009 [cit. 2009-07-07]. . [36] Knott, R.: Who was Fibonacci? [online]. c1996–2009, poslední revize 28.9.2007 [cit. 2008-06-09]. .


241

[37] Knott, R.: Why is the Golden section the „bestÿ arrangement? [online]. c1996–2009, poslední revize 12.2.2009 [cit. 2007-08-01]. . [38] Koshy, T.: Fibonacci and Lucas numbers with applications. John Wiley & Sons, Inc., New York, 2001. [39] Křížek, M. – Luca, F. – Somer L.: Aritmetické vlastnosti Fibonacciových čísel. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie 50, č. 2, 2005. [40] Livio, M.: Zlatý řez – Příběh fí, nejpodivuhodnějšího čísla na světě. Argo, Dokořán, Praha, 2006. [41] London, H. – Finhelstein, R.: On Fibonacci and Lucas numbers which are perfect powers. Fibonacci Quarterly 7, 1969, 476–481 a 487. [42] McIntosh, R. J. – Roettiger, E. L.: A search for Fibonacci–Wieferich and Wolsteinhopme primes. Mathematics of Computation 76, 2007, 2087– 2094. [43] Meissner, W.: Über die Teilbarkeit von 2p − 2 durch das Quadrat der Primzahl p = 1093. Sitzungsber. Akad. d. Wiss. zu Berlin, 1913, 663– 667. [44] Miqel: The Golden Ratio or Golden Section [online]. c2006– 2007 [cit. 2009-06-19]. . [45] Nagyova, I. Zlatý řez. [online]. poslední revize 19.3.2008 [cit. 2007-07-29]. . [46] Nicholson, W. K.: Elementary Linear Algebra with Applications. PWSKENT Publishing Company, Boston, Second Edition, 1990. [47] Pacioli, L.: Golden Section in Art and Architecture [online]. poslední revize 20.12.2009 [cit. 2009-06-01]. . [48] Ribenboim, P.: The Book of Prime Numbers Records. Springer Verlag, New York, 1988. [49] Ribenboim, P.: Square classes of Fibonacci and Lucas numbers. Portugaliae Mathematika vol. 46 , 1989, 159–175.


242

[50] Rosický, J.: Algebra. Masarykova univerzita v Brně, Brno, 2002. [51] Řezáč, D.: Le Corbusier - MODULOR [online]. c1997-2010 [cit. 19.7.2009]. . [52] Sigler, L. E.: Fibonacci’s Liber abaci. Springer Verlag, New York, 2002. [53] SpringerLink: Fibonacci polynomials [online]. c2001, [cit. 2007-02-08]. . [54] SpringerLink: Lucas polynomials [online]. c2001, [cit. 2007-02-10]. . [55] Stakhov, A.: Mathematical connections in nature, science, and art [cit. 2009-07-12]. . [56] Sun, Z. H.: Congruences for Fibonacci numbers. [online]. poslední revize 30.12.2003 [cit. 2007-07-29]. . [57] Šimša, Jaromír.: Důkazy beze slov. In Matematika, fyzika a vzdělávání. Brno: VUTIUM, 2004, 64-79. [58] Vandiver, H. S.: Extension of the criteria of Wieferich and Mirimanoff in connection with Fermat’s last theorem. J. Reine Angew. Math. 144, 1914, 314–318. [59] Veselý, J.: Zlatý řez a co vše s ním souvisí. Učitel matematiky 6, č. 3, 1998, 153–158. [60] Vinogradov I. M.: Základy theorie čísel. Nakladatelství Československé akademie věd, Praha, 1953. (V angličtině vyšel překlad z ruského originálu: Elements of Number Theory, New York, 1954.) [61] Vít, P.: Řetězové zlomky. Škola mladých matematiků, Mladá Fronta, Praha, 1982. [62] Vorobiev, N. N.: Fibonacci Numbers. Birkhäuser Verlag, Basel, 2002. (Doplněný překlad z ruštiny: Čisla Fibonačči, Moskva, 1969, 3. vydání.)


243

[63] Weisstein, E. W.: Fibonacci Polynomial (From MathWorld–A Wolfram Web Resource) [online]. c1999 – 2010, poslední revize 3.3.2010 [cit. 200702-07]. . [64] Weisstein, E. W.: Jacobsthal Polynomial (From MathWorld–A Wolfram Web Resource) [online]. c1999 – 2010, poslední revize 3.3.2010 [cit. 200702-12]. . [65] Weisstein, E. W.: Lucas Polynomial (From MathWorld–A Wolfram Web Resource) [online]. c1999 – 2010, poslední revize 3.3.2010 [cit. 2007-0207]. . [66] Wieferich, A.: Zum letzten Fermat’schen Theorem. Journal für reine und angewandte Mathematik 136, 1909, 293–302. [67] Wikipedia (The free encyclopedia): Edouard Lucas. [online]. poslední revize 8.2.2010 [cit. 2007-07-10]. . [68] Wikipedia (The free encyclopedia): Fibonacci numbers. [online]. poslední revize 11.3.2010 [cit. 2007-07-07]. . [69] Wikipedia (The free encyclopedia): Fibonacci polynomials [online]. poslední revize 27.9.2010 [cit. 2007-02-08]. . [70] Wikipedia (The free encyclopedia): Golden ratio. [online]. poslední revize 11.3.2010 [cit. 2009-06-19]. . [71] Wikipedia (The free encyclopedia): Liber Abaci. [online]. poslední revize 26.1.2010 [cit. 2008-06-09]. . [72] Wikipedia (The free encyclopedia): Mersenne prime. [online]. poslední revize 10.3.2010 [cit. 2008-07-12]. . [73] Williams, H. C.: A note on the Fibonacci quotient Fp−ε(p) /p. Canad. Math. Bull 25, 1982, 366–370.


244

[74] Wyler, O.: Squares in the Fibonacci series. Amer. Math. Monthly 7, 1964, 220–222. [75] Zdeborová, L.: Květ slunečnice a Fibonacciova čísla. Rozhledy matematicko-fyzikální 82, č. 1, 2007, 1–10. [76] Zimák, A.: Mezi třemi světadíly I. a II. díl. Libri, Praha, 2008. [77] Zylinski, E.: Numbers of Fibonacci in Biological Statistics. Atti del Congr. internaz. matematici 4, 1928, 153–156.

MASARYKOVA UNIVERZITA. Martina JAROŠOVÁ FIBONACCIHO ČÍSLA A JEJICH APLIKACE

Recommend Documents