Algebry rotací a jejich aplikace

ha ha

Algebry rotac´ı a jejich aplikace Jaroslav Hrdina ´ Ustav matematiky, Fakulta strojn´ıho inˇzenýrstv´ı, Vysoké uˇcen´ı technické v Brnˇe, Technická 2896/2 616 69 Brno E-mail: [email protected] Abstrakt: Následuj´ıc´ı text pokrývá jeden s cykl˚ u pˇrednáˇsek pˇredmˇetu Aplikovaná algebra pro inˇzenýry (0AA) na FSI VUT. Text vznikl pˇri druhém bˇehu tohoto pˇredmˇetu ve ˇskoln´ım roce 2013/2014. Jeho c´ılem je motivace pro studium pokroˇcilých metod lineárn´ı algebry. U ˇctenáˇre se pˇredpokládá znalost na u ´ rovni základn´ıho kurzu matematiky obvyklého na technických fakultách. Konkrétnˇe se pˇredpokládá znalost maticového poˇctu, definice a vlastnost´ı determinant˚ u a základy geometrie vektorového prostoru R3 . Základ textu tvoˇr´ı kapitoly 1, 2, 5, kapitola 4 je doplˇ nková a kapitola 3 slouˇz´ı jako u ´ vod ke kapitolám 4, 5.

Contents 1. Grupa SO(3) 2. Metoda pohyblivého reperu 3. Projektivn´ı prostor P1 C 4. Topologické vlastnosti SO(3) a popis SU(2) 5. Kvaterniony References

1 6 9 12 15 16

1. Grupa SO(3) Motivováni inˇzenýrskými aplikacemi pracujeme s vektorovým prostorem R3 . Prvky vektorového prostoru R3 budeme zapisovat jako trojice reálných ˇc´ısel (x, y, z). Operace sˇc´ıtán´ı na R3 je pak definována po sloˇzkách (x1 , y1 , z1 ) + (x2 , y2 , z2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ) a operace násoben´ı ˇc´ıslem k ∈ R pˇredpisem: k · (x, y, z) = (kx, ky, kz).

V dalˇs´ı kapitole uvid´ıme, ˇze takto zadefinované operace na R3 splˇ nuj´ı podm´ınky obecné definice vektorového prostoru nad polem skalár˚ u R, ale obecnˇejˇs´ı u ´ vahy o vektorových prostorech zat´ım nepotˇrebujeme. Pro danou koneˇcnou mnoˇzinu M = {v1 , . . . , vn } ⊂ R3 definujeme lineárn´ı kombinace jako koneˇcné kombinace sˇc´ıtán´ı vektor˚ u z M vynásobených reálnými ˇc´ısly, tj. a1 v1 + · · · + an vn , ai ∈ R. 1

Vid´ıme, ˇze kaˇzdý prvek (x, y, z) ∈ R3 je moˇzné jednoznaˇcnˇe vyjádˇrit jako lineárn´ı kombinaci prvk˚ u (1, 0, 0), (0, 1, 0) a (0, 0, 1) takto: (x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1). Pokud má být toto vyjádˇren´ı jednoznaˇcnˇe mus´ı platit: a1 v1 + · · · + an vn = b1 v1 + · · · + bn vn ⇒ ai = bi a tato podm´ınka jde pˇrepsat na struˇcnˇejˇs´ı podm´ınku: c1 v1 + · · · + cn vn = 0 ⇒ ci = 0 (kde ci = bi − ai ), která v naˇsem pˇr´ıkladˇe triviálnˇe plat´ı: (x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1) = 0 ⇒ x = y = z = 0. Mnoˇzinˇe prvk˚ u pro které plat´ı, ˇze jejich lineárn´ı kombinac´ı lze jednoznaˇcnˇe vyjádˇrit kaˇzdý prvek vektorového prostoru se ˇr´ıká báze a pˇr´ısluˇsným koeficient˚ um lineárn´ı kombinace pak souˇradnice vektoru v dané bázi. Tento pojem bude hrát zásadn´ı roli v naˇsich dalˇs´ıch u ´ vahách. Prvky námi nalezené báze oznaˇc´ıme e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) a bázi {e1 , e2 , e3 } ˇr´ıkáme kanonická. Standardn´ı notace ˇr´ıká, ˇze vektory R3 zapisujeme ˇrádkovˇe a jeho souˇradnice v pˇr´ısluˇsné bázi sloupcovˇe. Vektor (x, y, z) má tedy v kanonické bázi souˇradnice (x, y, z)T . Jinou báz´ı prostoru R3 je tˇreba mnoˇzina {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} kde kaˇzdý prvek (x, y, z) lze vyjádˇrit jako lineárn´ı kombinaci (x, y, z) = (x − y)(1, 0, 0) + (y − z)(1, 1, 0) + z(1, 1, 1) a vektor (x, y, z) má tedy v bázi {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} souˇradnice (x − y, y − z, z) a podm´ınka nezávislosti c1 (1, 0, 0) + c2 (1, 1, 0) + c3 (1, 1, 1) = 0 vede na soustavu c1 + c2 + c3 = 0 c2 + c3 = 0 c3 = 0 která má jen triviáln´ı ˇreˇsen´ı c1 = c2 = c3 = 0. Poznamenejme, ˇze operace sˇc´ıtán´ı vektor˚ u indukuje operaci sˇc´ıtán´ı po sloˇzkách na souˇradnic´ıch v libovolné bázi, stejnˇe tak operace násoben´ı skalárem. Definice. 1.1. Lineárn´ı transformac´ı na R3 rozum´ıme zobrazen´ı T : R3 → R3 splˇ nuj´ıc´ı n´ asleduj´ıc´ı vlastnosti: T (v + w) = T (v) + T (w), pro vˇsechna v, w ∈ R3 , T (αw) = αT (w), pro vˇsechna w ∈ R3 , α ∈ R.

Pˇr´ımoˇcarým pouˇzit´ım vlastnost´ı lineárn´ı transformace vid´ıme, ˇze lineárn´ı transformace závis´ı jen na obrazech prvk˚ u báze jak ukazuje následuj´ıc´ı výpoˇcet: (1)

T (xe1 + ye2 + ye3 ) = xT (e1 ) + yT (e2 ) + zT (e3 ).

Obraz kaˇzdého prvku báze je opˇet prvek vektorového prostoru R3 a m˚ uˇzeme ho vyjádˇrit jako lineárn´ı kombinaci prvk˚ u báze. T (e1 ) = m11 e1 + m12 e2 + m13 e3 T (e2 ) = m21 e1 + m22 e2 + m23 e3 T (e3 ) = m31 e1 + m32 e2 + m33 e3 Pokud toto vyjádˇren´ı dosad´ıme do výrazu (1) dostáváme následuj´ıc´ı výpoˇcet T (xe1 + ye2 + ze3 ) = m11 xe1 + m12 xe2 + m13 xe3 + m21 ye1 + m22 ye2 + m23 ye3 + m31 ze1 + m32 ze2 + m33 ze3 = (m11 x + m21 y + m31 z)e1 + (m12 x + m22 y + m32 z)e2 + (m13 x + m23 y + m33 z)e3 Nahrad´ıme–li vektor xe1 + ye2 + ze3 sloupcem jeho souˇradnic (x, y, z)T pak posledn´ı výraz nen´ı nic jiného neˇz pˇrepsané násoben´ı matic´ı:   m11 m21 m31 T ((x, y, z)T ) = m12 m22 m32  (x, y, z)T m13 m23 m33

Tahle u ´ vaha ukazuje, ˇze kaˇzdé lineárn´ı transformaci v R3 odpov´ıdá ve zvolené bázi matice 3×3 která vznikne tak, ˇze ve sloupc´ıch jsou souˇradnice obraz˚ u bázových prvk˚ u. Nen´ı tˇeˇzké ovˇeˇrit, ˇze naopak násoben´ı libovolnou matic´ı 3 × 3 funguje na souˇradnic´ıch vektor˚ u R3 jako lineárn´ı transformace. Matice dané lineárn´ı transformace je dána jednoznaˇcnˇe a kaˇzdé odpov´ıdá právˇe jedna (jednoznaˇcnost je dána volbou báze). Lineárn´ı transformace na R3 jsou tedy v jedno jednoznaˇcné korespondenci s maticemi 3 × 3 pˇriˇcemˇz tato korespondence je dána volbou báze. Jako dalˇs´ı krok definujeme na vektorovém prostoru R3 skalárn´ı souˇcin jako zobrazen´ı h , i : R3 × R3 → R následuj´ıc´ım pˇredpisem h(x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 )i = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 . Na vektorových prostorech se skalárn´ım souˇcinem jsou pojmy jako velikost vektoru (norma) a u ´ hel mezi vektory zavedeny právˇe pomoc´ı skalárn´ıho souˇcinu následovnˇe: p hu, vi |u| = hu, ui, cos ϕ = . |u||v|

Nás zaj´ımaj´ı lineárn´ı transformace, které zachovávaj´ı délky a u ´ hly, takovým transformac´ım se ˇr´ıká transformace pevného tˇelesa a jsou to právˇe ty transformace, které zachovávaj´ı skalárn´ı souˇcin. Vˇsimnˇeme si, ˇze maticovˇe m˚ uˇzeme skalárn´ı souˇcin zapsat jako hu, vi = uv T jak vid´ıme s následuj´ıc´ıho výpoˇctu.   x2 h(x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 )i := (x1 , y1 , z1 )(x2 , y2 , z2 )T = (x1 , y1 , z1 ) y2  = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 z2

Nás zaj´ımaj´ı transformace reprezentované matic´ı A zachovávaj´ıc´ı skalárn´ı souˇcin, který je na souˇradnic´ıch kanonické báze indukovaný pˇredpisem hu, vi = uT v

a m˚ uˇzeme z následuj´ıc´ıho výpoˇctu odvodit podm´ınku na matici A. Z výrazu (Au)T (Av) = uT AT Av = uT v dostáváme AT A = E, protoˇze pˇredpokládáme (Au)T (Av) = uT v a (uT v) je reálné ˇc´ıslo. Dostáváme tak mnoˇzinu matic zachovávaj´ıch skalárn´ı souˇcin O(3) = {A ∈ Mat(3 × 3)| AT A = E}.

Na mnoˇzinˇe O(3) m˚ uˇzeme nadefinovat operaci násoben´ı jako násoben´ı dvou matic A, B ∈ O(n), protoˇze výsledná matice po vynásoben´ı nevypadne z O(3): (AB)T (AB) = B T (AT A)B = B T B = E. Ukáˇzeme, ˇze prvky mnoˇziny O(3) maj´ı inverzi, která leˇz´ı v O(3), protoˇze prvky A a AT komutuj´ı plat´ı

(AAT − AT A)A = (AAT − E)A = (A − A) = 0 ⇒ AAT − AT A = 0

(AT )T AT = AT (AT )T = AT A = E a tedy AT ∈ O(3), kde jedniˇcka je jednotková matice   1 0 0 E = 0 1 0 0 0 1

pro kterou identita E T E = E plat´ı triviálnˇe. Mnoˇzina s jednou binárn´ı operac´ı (M, ·) která je asociativn´ı, tj. a · (b · c) = (a · b) · c ∀a, b, c ∈ M (matice jsou obecnˇe asociativn´ı a tedy kaˇzdá jej´ı podmnoˇzina mus´ı být asociativn´ı také), obsahuje jedniˇcku a kaˇzdý prvek má inverzi ˇr´ıkáme grupa. Mnoˇzina (O(3), ·) tedy tvoˇr´ı grupu, kterou nazýváme ortogonáln´ı grupa. Dalˇs´ı zaj´ımavou vlastnost´ı je, ˇze prvky mnoˇziny O(3) maj´ı determinant ±1, protoˇze determinant souˇcinu je souˇcin determinant˚ u a determinant transponované matice AT je stejný jako determinant matice A dostaneme 1 = det(E) = det(AT A) = det(AT )det(A) = (det(A))2 a tedy det(A) = ±1. Protoˇze det(A) = ±1 grupa O(3) se rozpadá na dvˇe podmnoˇziny, mnoˇzinu SO(3) matic s determinantem jedna a mnoˇzinu O− (3) matic s determinantem m´ınus jedna. Souˇcin dvou matic s determinantem jedna je opˇet matice s determinantem jedna, mnoˇzina SO(3) je tedy uzavˇrena na násoben´ı. Protoˇze transpozice determinant nemˇen´ı a jednotková matice má determinant jedna tvoˇr´ı mnoˇzina SO(3) opˇet grupu (asociativitu dokazovat nemus´ıme protoˇze se jedná opˇet o násoben´ı matic). Mnoˇzina O− (3) neobsahuje jedniˇcku a nen´ı uzavˇrena na násoben´ı. Plat´ı, ˇze násoben´ı libovolným prvkem z O− (3) urˇcuje jedno jednoznaˇcnou korespondenci mezi O− (3) a SO(3), zvol´ıme-li za takový prvek tˇreba matici   0 0 1 I = 0 1 0 1 0 0

m˚ uˇzeme kaˇzdý prvek z O− (3) chápat jako kompozici prvku z SO(3) a lineárn´ı transformace I. Geometrický význam transformace I je zrcadlen´ı kolem roviny y = 0. V dalˇs´ım uvid´ıme, ˇze prvky SO(3) odpov´ıdaj´ı rotac´ım kolem zvolené osy v kladném smˇeru. Pokud tedy nav´ıc poˇzadujeme zachován´ı orientace (coˇz je pˇrirozený poˇzadavek pˇri transformaci pevného tˇelesa) dostáváme jako grupu transformaci grupu SO(3), které ˇr´ıkáme speciáln´ı ortogonáln´ı grupa Dalˇs´ım pojmem který zavedeme je pojem vlastn´ıho ˇc´ısla a vlastn´ıho vektoru.

ˇ ıslu λ ∈ C ˇr´ıkáme vlastn´ı ˇc´ıslo Definice. 1.2. Nechˇt T : R3 → R3 je lineárn´ı transformace. C´ 3 transformace T pokud existuje v 6= 0, v ∈ R takové, ˇze T (v) = λv. Pokud máme lineárn´ı transformaci zadanou matic´ı A m˚ uˇzeme vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory vypoˇc´ıtat jako koˇreny polynomu det(A − λE), kterému ˇr´ıkáme charakteristický polynom matice A. To plyne z následuj´ıc´ı u ´ vahy:

Av = λv Av − λv = 0 Av − λEv = 0

(A − λE)v = 0

pˇriˇcemˇz posledn´ı výraz nám ˇr´ıká, ˇze v je v jádru zobrazen´ı (A − λE) a protoˇze v je nenulové, mus´ı platit, ˇze det(A − λE) = 0. Prvnˇe podrobnˇeji prodiskutujeme pˇr´ıpad SO(2). Pokud má matice a b A= c d leˇzet v SO(2) mus´ı splˇ novat AT A = E a souˇcasnˇe det(A) = 1. Z prvn´ı podm´ınky dostaneme: 2 1 0 a c a b a + c2 ab + cd = . = 0 1 b d c d ab + cd b2 + d2

Protoˇze a2 + c2 = 1 m˚ uˇzeme v polárn´ıch souˇradnic´ıch vyjádˇrit a = cos ϕ, c = sin ϕ a dosazen´ım do rovnice ab + cd = 0 dostaneme d = C cos ϕ, b = −C sin ϕ. Koneˇcnˇe z rovnice b2 + d2 = 1 máme C = ±1 a determinant det(A) = C = 1. Celkem dostáváme vyjádˇren´ı obecné matice A ∈ SO(2) jako matici rotace kolem stˇredu o u ´ hel ϕ: cos ϕ − sin ϕ . sin ϕ cos ϕ

V následuj´ıc´ım odstavci podrobnˇeji rozebereme pˇr´ıpad A ∈ SO(3). Reálné vlastn´ı ˇc´ıslo matice z O(3) m˚ uˇze být pouze ±1, protoˇze λ2 hv, vi = hλv, λvi = hAv, Avi = hv, vi.

Souˇcasnˇe si vˇsimneme, ˇze charakteristický polynom pro libovolnou matici z grupy O(3) je ˇ tˇri reálné, nebo jeden reálný a dva komplexnˇe stupnˇe 3 a jeho koˇreny mohou tedy být bud sdruˇzené. V obou pˇr´ıpadˇe, ale plat´ı, ˇze matice z O(3) má vˇzdy alespoˇ n jedno reálné vlastn´ı ˇc´ıslo. Determinant matice se rovná souˇcinu vlastn´ıch ˇc´ısel vˇcetnˇe násobnosti a pokud je matice A ∈ SO(3) jsou dvˇe moˇznosti (±1)(±1)(±1) = 1, nebo (±1)(a + bi)(a − bi). V prvn´ım pˇr´ıpadˇe ˇ jedno, nebo vˇsechna tˇri ˇc´ısla rovna jedné, v druhém pˇr´ıpadˇe dostaneme ±1(a2 + b2 ) = 1 je bud a protoˇze (a2 + b2 ) > 0 mus´ı být prvn´ı vlastn´ı ˇc´ıslo 1. Plat´ı tedy, ˇze pro matice z SO(3) existuje alespoˇ n jeden vlastn´ı vektor s vlastn´ım ˇc´ıslem 1. Pˇredpokládejme, ˇze v je vlastn´ı vektor s vlastn´ım ˇc´ıslem 1 pak m˚ uˇzeme zvolit podprostor E = {w ∈ R3 |hv, wi = 0}

Pro zobrazen´ı A pak plat´ı A(v) = v a ukáˇzeme, ˇze zobrazen´ı A zachovává E. Nechˇt w ∈ E pak 0 = hw, vi = hA(w), A(v)i = hA(w), vi M˚ uˇzeme tedy z´ uˇzit A na podprostor E a protoˇze A ∈ SO(3), z´ uˇzen´ı A|E mus´ı být v SO(2). Kaˇzdá matice z SO(3) je tedy rotac´ı kolem osy v o zvolený u ´ hel. V kanonické bázi pak rotace

kolem os x, y a z o u ´ hel θ odpov´ıdaj´ı matic´ım       1 0 0 cos(θ) 0 − sin(θ) cos(θ) − sin(θ) 0 0 cos(θ) − sin(θ) ,  0 1 0  a  sin(θ) cos(θ) 0 . 0 sin(θ) cos(θ) sin(θ) 0 cos(θ) 0 0 1 Poznamenejme bez d˚ ukazu, ˇze pˇr´ısluˇsný uhel vypoˇcteme podle vzorce:

Tr(A) − 1 , 2 kde Tr je souˇcet prvk˚ u na hlavn´ı diagonále, tzv. stopa matice. Pokud bychom tedy analyzovali matici A ∈ MatR (3 × 3) postupujeme podle následuj´ıc´ıho algoritmu: (1) Pokud AT A = E jedná se o matici rotace. (2) Pokud det(A) = 1 jedná se o rotaci v kladném smˇeru. (3) Nalezneme osu rotace jako ˇreˇsen´ı systému (A − E|0). (4) Urˇc´ıme u ´ hel rotace podle vzorce cos ϕ = Tr(A)−1 . 2 cos ϕ =

2. Metoda pohybliv´ eho reperu V pˇredeˇslé kapitole jsme pouˇz´ıvali intuitivnˇe pojem báze, ale pro naˇse dalˇs´ı u ´ vahy je potˇreba postupovat formálnˇeji. Poznamenejm, ˇze o mnoˇzinˇe s jednou binárn´ı operac´ı (M, ·) ˇr´ıkáme, ˇze je komutativn´ı pokud plat´ı a · b = b · a ∀a, b, ∈ M. Definice. 2.1. Vektorový prostor (nad reálnými ˇc´ısly R) je mnoˇzina V na které je definována operace +, taková, ˇze dvojice (V, +) tvoˇr´ı komutativn´ı grupu a operace násoben´ı skalárem R × V → V taková, ˇze plat´ı a(u + v) = au + av, (a + b)u = au + bu, 1u = u, kde a, b ∈ R a u, v ∈ V. Báze vektorového prostoru je pak nejmenˇs´ı moˇzná mnoˇzina generátor˚ u jej´ıˇz lineárn´ı kombinace generuj´ı celý vektorový prostor. Pˇ r´ıklad. 2.2. Jako netriviáln´ı pˇr´ıklad si uvedeme mnoˇzinu R2 [x], mnoˇzinu polynom˚ u maxim´ alnˇe druhého stupnˇe, spolu s operac´ı sˇc´ıtán´ı polynom˚ u a násoben´ı reálnými ˇc´ısly. Tedy napˇr´ıklad (x2 + 2x − 3) + 2(x + 12) = (x2 + 4x + 21)

B´ aze prostoru R2 [x] m˚ uˇze být napˇr´ıklad mnoˇzina α = {1, x, x2 }, nebo mnoˇzina β = {1, 1 + x, x + x2 }. Protoˇze jedna z vlastnost´ı báze je, ˇze kaˇzdý vektor z vektorového prostoru je pak moˇzné jednoznaˇcnˇe vyjádˇrit jako jej´ı lineárn´ı kombinace, pro vektorový prostor R2 [x] a báze α a β z pˇr´ıkladu dostáváme (x2 + 4x + 21) = 21(1) + 4(x) + 1(x2 ) (x2 + 4x + 21) = 18(1) + 3(1 + x) + 1(x + x2 ) Pevnˇe zvolená báze kaˇzdému vektoru jednoznaˇcnˇe pˇriˇrazuje n–tici reálných ˇc´ısel, kterým ˇr´ıkáme souˇradnice vektoru v dané bázi. Volba báze tedy urˇcuje izomorfismus mezi vektorovým prostorem a Rn (v naˇsem pˇr´ıpadˇe R3 ). Souˇradnice vektoru v v bázi γ se pak oznaˇcuje [v]γ a pro vektorový prostor R2 [x] a báze α a β z pˇr´ıkladu dostáváme

  21 [x2 + 4x + 21]α =  4  1   18 [x2 + 4x + 21]β =  3  1

V pˇredeˇslé kapitole jsme pracovali s vektorovým prostorem R3 a takzvanou kanonickou báz´ı α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Pˇr´ısluˇsná matice transformace T pak byla matic´ı transformace v bázi α a p´ıˇseme [T ]α . Série u ´ vah provedená v minulé kapitole, ale na této volbˇe nezávis´ı. Volba báze jednoznaˇcnˇe pˇriˇrazuje kaˇzdé lineárn´ı transformaci T : R3 → R3 matici 3 × 3, která pak funguje jako stejná lineárn´ı transformace na souˇradnic´ıch v této bázi. Definice. 2.3. Nechˇt V je vektorový prostor nad R, a nechˇt T : V → V je lineárn´ı transformace. Pro pevnˇe zvolenou bázi β vektorového prostoru R je matice [T ]β matic´ı lineárn´ı transformace v bázi β právˇe tehdy kdyˇz [T (v)]β = [T ]β [v]β . Nalezen´ı matice [T ]β se pak provede tak, ˇze se obrazy bázových prvk˚ u báze β vyjádˇr´ı v souˇradnic´ıch báze β a tvoˇr´ı pak sloupce matice [T ]β . Definici m˚ uˇzeme jeˇstˇe zobecnit tak, ˇze na vektorovém prostoru V zvol´ıme dvˇe báze α, β a uvaˇzujeme matici [T ]α→β jako matici splˇ nuj´ıc´ı [T (v)]β = [T ]α→β [v]α . Na vstupu tedy máme souˇradnice vektoru v v bázi α a na výstupu obrazy vektor˚ u v souˇradnic´ıch báze β. Vlastn´ı výpoˇcet se pak provede analogicky tak, ˇze se obrazy bázových vektor˚ u báze α vyjádˇr´ı v souˇradnic´ıch báze β a tyto souˇradnice pak tvoˇr´ı sloupce matice [T ]α→β . Pˇ r´ıklad. 2.4. Pokraˇcujeme v Pˇr´ıkladu 2 a na vektorovém prostoru R2 [x] zavedeme operaci derivace standardnˇe takto ∂(ax2 + bx + c) = 2ax + b. Na R2 [x] zavedeme dvˇe báze α = {1, x, x2 }, β = {1, 1 + x, x + x2 } a vypoˇcteme matici [∂]α→β . Vezmeme tedy vektory báze α a zderivujeme je ∂1 = 0 ∂x = 1 ∂x2 = 2x a souˇradnice výsledných vektor˚ u v bázi β jsou pak [0]β = 0(1) + 0(1 + x) + 0(x + x2 ) [1]β = 1(1) + 0(1 + x) + 0(x + x2 ) [2x]β = −2(1) + 2(1 + x) + 0(x + x2 ) a tedy matice [∂]α→β je v následuj´ıc´ım tvaru   0 1 −2 0 0 2  0 0 0

Pokud vezmeme jako lineárn´ı transformaci identitu bude pˇr´ısluˇsná matice transformace [id]α→β pˇrepoˇc´ıtávat souˇradnice vektor˚ u báze α do souˇradnic vektor˚ u báze β.

l2 l1

l0

Figure 1. Robot se dvˇemi kinematickými dvojicemi z2

z2

x2 y2

x2 z1

y2

P2

x1 y1

x0

x0 P0 y0

z1

z1

P1 z0

z0

y2

x2

P2

y1

P1

P0

x1

z0

x1

x0 y0

P2 z2

y1

P1

P0

y0

Figure 2. Metoda pohyblivého reperu Definice. 2.5. Nechˇt α a β jsou dvˇe báze vektorového prostoru V a matice [P ]α→β splˇ nuje [v]β = [P ]α→β [v]α , kde P = id. Pak matici [P ]α→β [v]α ˇr´ıkáme matice pˇrechodu od báze α k bázi β. Metoda pohyblivého reperu (báze) je zp˚ usob jak sestavit kinematický ˇretˇezec. Jako pˇr´ıklad vol´ıme robota (Obrázek 1.) se dvˇema kinematickými dvojicemi, prvn´ı sférickou a druhou cylindrickou. Celou kinematickou soustavu ˇreˇs´ıme metodu pohyblivé báze. Zavedeme si tˇri bázové systémy. Prvn´ı je spojený s patou systému a dalˇs´ı dva odpov´ıdaj´ı pˇr´ısluˇsným kinematickým dvojic´ım. C´ılem je vyjádˇren´ı koncového bodu v souˇradnic´ıch prvn´ıho bázového systému v závislosti na parametrech kinematických dvojic. Oznaˇc´ıme si pˇr´ısluˇsné bázové systémy jako B0 = (P0 , x0 , y0, z0 ), B1 = (P1 , x1 , y1, z1 ), B2 = (P2 , x2 , y2, z2 ),

kde Pi jsou bodu poˇcátku souˇradného systému a mnoˇziny {xi , yi , zi } báze R3 . Pˇr´ısluˇsné délky ramen jsou pak obecnˇe l0 , l1 a l2 . Sférickou kinematickou dvojici pop´ıˇseme jako sloˇzen´ı dvou cylindrických a to prvnˇe v ose z1 a pak v ose y1 tedy    cos θ2 0 − sin θ2 cos θ1 − sin θ1 0 1 0   sin θ1 cos θ1 0 . A1 =  0 sin θ2 0 cos θ2 0 0 1 Cylindrickou dvojici pak realizujeme jako rotaci v ose z2 , tedy   cos θ3 − sin θ3 0 A2 =  sin θ3 cos θ3 0 . 0 0 1

Matice pˇrechodu z báze B1 k bázi B0 je A1 , matice pˇrechodu z báze B2 k bázi B1 je A2 a matice pˇrechodu z báze B2 k bázi B0 je pak A1 A2 . Nechˇt Q je koncový bod systému (chapadlo), jeho

poloha v souˇradném systému Bi je urˇcená vektorem (Pi Q)Bi . Konkrétnˇe v souˇradném systému B2 je poloha urˇcena vektorem (P2 Q)B2 = [l2 , 0, 0]T . Dalˇs´ım krokem je urˇcen´ı polohy P1 Q v souˇradném systému B1 tedy (P1 Q)B1 = (P1 P2 )B1 + (P2 Q)B1 = [0, 0, l1]T + A2 [l2 , 0, 0]T

a koneˇcnˇe P1 Q v souˇradném systému B0

(P0 Q)B0 = (P0 P1 )B0 + (P1 Q)B0 = [0, 0, l0 ]T + A1 [0, 0, l1 ]T + A1 A2 [l2 , 0, 0]T .

Rozep´ıˇseme si to maticovˇe        0 cos θ2 − sin θ2 0 cos θ1 − sin θ1 0 0 0 1  sin θ1 cos θ1 0 .  0  + Q = 0 +  0 l0 sin θ2 cos θ2 0 0 0 1 l1        cos θ2 − sin θ2 0 cos θ1 − sin θ1 0 cos θ3 − sin θ3 0 l2 0 1  sin θ1 cos θ1 0 .  sin θ3 cos θ3 0 .  0  + 0 sin θ2 cos θ2 0 0 0 1 0 0 1 0

a dostaneme systém závislý na tˇrech parametrech θ1 , θ2 , θ3 ∈ h0, 2πi, který odpov´ıdá kinematice zvoleného robota. Volbou parametr˚ u θi mˇen´ıme natoˇcen´ı v jednotlivých kloubech a Q pak urˇcuje souˇradnice vektoru mezi patou systému a chapadlem v bázi paty systému, kterou jsme zvolili jako referenˇcn´ı. 3. Projektivn´ı prostor P1 C Pro naˇse dalˇs´ı u ´ vahy budeme potˇrebovat definici komplexn´ıch ˇc´ısel a projektivn´ıho prostoru. Nejprve pˇripomeˇ nme, ˇze komplexn´ımi ˇc´ısly C rozum´ıme dvojice reálných ˇc´ısel (a, b) ∈ R2 spolu se dvˇema binárn´ımi operacemi (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) × (c, d) = (ac − bd, ad + bc).

Je lehké ovˇeˇrit, ˇze takto zadefinovaná komplexn´ı ˇc´ısla tvoˇr´ı komutativn´ı tˇeleso. Komutativn´ım tˇelesem pˇritom rozum´ıme mnoˇzinu vybavenou dvˇema binárn´ımi operacemi (M, +, ·), takovou, ˇze dvojice (M, +) tvoˇr´ı komutativn´ı grupu s nulovým prvkem 0, dvojice (M − {0}, ·) tvoˇr´ı také komutativn´ı grupu a operace + a · jsou navzájem distributivn´ı. Poznamenejme, ˇze pro prvek (a, b) ∈ C dostaneme inverzi ve tvaru 1 (a, −b), (a, b)−1 = 2 a + b2 souvislost s klasickým zápisem a + bi := (a, b) se lehce ovˇeˇr´ı výpoˇctem i2 = (0, 1) × (0, 1) = (−1, 0) = −1

a nen´ı tˇeˇzké následnˇe dokázat, ˇze definice komplexn´ıch ˇc´ısel jako rozˇs´ıˇren´ı tˇelesa reálných ˇc´ısel o prvek i, kde i2 = −1 (tj. C = R[i]) je naˇs´ı definici ekvivalentn´ı. Vˇsimnˇeme si, ˇze d´ıváme–li se na R2 jako na komplexn´ı ˇc´ısla C tak pokud zobraz´ıme vektor (x, y) = x + iy na vektor eiθ (x, y), kde eiθ = cos θ + i sin θ dostaneme vektor (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ) a matice pˇr´ısluˇsného lineárn´ıho zobrazen´ı na R2 ve standardn´ı bázi je tedy cos θ − sin θ Rθ = . sin θ cos θ

D´ıváme–li se tedy na R2 jako na komplexn´ı ˇc´ısla C pak rotace kolem poˇcátku o u ´ hel θ m˚ uˇzeme reprezentovat jako násoben´ı komplexn´ım ˇc´ıslem eiθ = cos θ + i sin θ a z goniometrických vzorc˚ u lehce dokáˇzeme, ˇze S1 = {eiθ |θ ∈ h0, 2π)}

tvoˇr´ı grupu (tj. zejména plat´ı eiθ eiϕ = eiθ+ϕ ). Mnoˇzina rotac´ı je izomorfn´ı právˇe jednotkovým komplexn´ım ˇc´ısl˚ um S1 = {z : |z| = 1}. Prvky grupy S1 m˚ uˇzeme reprezentovat maticovˇe 1 0 0 −1 Rθ = cos θ + sin θ . 0 1 1 0 1 0 0 −1 a oznaˇc´ıme–li 1 := , i := dostaneme opˇet pˇr´ısluˇsné identity 0 1 1 0 12 = 1, 1 · i = i · 1 = i, i2 = −1

a alternativn´ı popis S1 maticovˇe

a −b = a + bi. b a

Poznamenejme, ˇze v maticové reprezentaci je velikost komplexn´ıho ˇc´ısla |a + bi| = a2 + b2 rovna determinantu pˇr´ısluˇsné matice. Dále, z vlastnost´ı pro determinant |AB| = |A||B| dostaneme pro ˇctveˇrice reálných ˇc´ısel zaj´ımavý vztah (a21 + b21 )(a22 + b22 ) = (a1 a2 + b1 b2 )2 + (a1 b2 + a2 b1 )2 . Historicky se problém nalezen´ı ˇc´ısel x, y pro a1 , b1 , a2 , b2 takových, ˇze (a21 + b21 )(a22 + b22 ) = x2 + y 2 , který je ekvivalentn´ı nalezen´ı takového pravo´ uhlého troj´ uheln´ıku jehoˇz odvˇesna je souˇcin odvˇesen dvou zvolených pravo´ uhlých troj´ uheln´ık˚ u objevuje uˇz pˇred 2000 lety v d´ıle ˇreckého matematika Diophanta. Relac´ı na mnoˇzinˇe M rozum´ıme podmnoˇzinu uspoˇrádaných dvojic R ⊂ M ×M. Jako pˇr´ıklad m˚ uˇzeme na R definovat relaci R = {(a, b)|a, b ∈ R, a < b},

která je formáln´ım ekvivalentem klasické relace ostˇre menˇs´ı <. Relace m˚ uˇze být reflexivn´ı pokud ∀a ∈ M : (a, a) ∈ R symetrická pokud (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R a tranzitivn´ı pokud (a, b), (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R. Relace ostˇre menˇs´ı nen´ı reflexivn´ı ani symetrická a je pouze tranzitivn´ı. Relace, která je souˇcasnˇe reflexivn´ı, symetrická a tranzitivn´ı se nazývá relac´ı ekvivalence. Relac´ı ekvivalence je tˇreba relace rovnosti =. Pro dalˇs´ı u ´ vahy budeme realizovat relaci R graficky. Body M znázorn´ıme jako body v rovinˇe. Pokud pro a, b ∈ M plat´ı (a, b) ∈ R nakresl´ıme ˇsipku z bodu a do bodu b. Napˇr´ıklad na mnoˇzinˇe M = {a, b, c, d, e, f, g, h, l, m} definujeme relaci R = {(a, b), (a, c), (c, d), (f, g), (g, h), (m, e), (l, l)},

kterou m˚ uˇzeme graficky znázornit jako orientovaný graf: a /

c /

b

f

d

h

/g ✁ ✁✁ ✁✁ ✁ ✁✁

l

eO m

Tato relace nen´ı relac´ı ekvivalence, protoˇze nen´ı reflexivn´ı. Jediný prvek který je v relaci sám se sebou je prvek l. Nen´ı ani symetrická, protoˇze obsahuje jednostranné ˇsipky a nen´ı ani tranzitivn´ı. Aby byla relace reflexivn´ı mus´ı být smyˇcka na kaˇzdém prvku. Pro dalˇs´ı u ´ vahy budeme pˇredpokládat, ˇze je relace reflexivn´ı a tedy v kaˇzdém prvku vede smyˇcka a tyto smyˇcky nebudeme graficky znázorˇ novat. Aby byla relace symetrická mus´ı platit, ˇze pokud vede ˇsipka jedn´ım smˇerem mus´ı vést i opaˇcnˇe. Symetrická relace odpov´ıdá napˇr´ıklad obrázku: aO o /

b

f o

/g ✁@ ✁ ✁✁ ✁✁ ✁ ✁

eO

/d l m co h Tato relace nen´ı tranzitivn´ı, protoˇze napˇr´ıklad (a, c), (c, d) ∈ R ale (a, d) ∈ / R. Relace ekvivalence odpov´ıdá napˇr´ıklad následuj´ıc´ımu obrázku (pokud pˇredpokládáme smyˇcky na vˇsech uzlech)

aO ^❁o

/b ❁❁ ✂✂@ O ❁✂ ✂❁✂❁❁ ✂ ❁ ✂✂ o /d c

fO o

/g ✁@ ✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁ ✁

eO

h l m Z obrázk˚ u je vidˇet, ˇze relace ekvivalence urˇcuje na mnoˇzinˇe M rozklad na podmnoˇziny, kterým ˇr´ıkáme tˇr´ıdy relace a které maj´ı tu vlastnost, ˇze prvky tˇr´ıdy jsou v relaci kaˇzdý s kaˇzdým. Souˇcasnˇe nejsou v relaci ˇzádné dva prvky z r˚ uzné tˇr´ıdy. Pomoc´ı relace ekvivalence m˚ uˇzeme definovat napˇr´ıklad prostor vˇsech pˇr´ımek v rovinˇe takto. Vezmeme mnoˇzinu R2 na které definujeme relaci ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) ∈ R ⊂ R2 × R2 ⇔ ∃λ ∈ R, λ 6= 0 : (x1 , y1 ) = (λx2 , λy2).

Tˇr´ıdy rozkladu jsou pak pˇr´ımky v R2 . Pokud pˇredpokládáme, ˇze y 6= 0, m˚ uˇzeme naj´ıt v kaˇzdé tˇr´ıdˇe prvek ( xy , 1) a existuje tedy jedno jednoznaˇcná korespondence mezi tˇr´ıdami pro které plat´ı y 6= 0 a R. Zbývá jedna tˇr´ıda (x, 0), kterou oznaˇcujeme jako nekoneˇcno ∞. Na obrázku 3. vid´ıme geometrický význam projektivn´ıho prostoru, kaˇzdá pˇr´ımka s nenulovou smˇernic´ı procházej´ıc´ı poˇcátkem má pr˚ unik s pˇr´ımkou y = 1 právˇe v jednom bodˇe a pˇr´ımka y = 0 hraje roli bodu v nekoneˇcnu. Projektivn´ı geometrii PC1 definujeme stejným zp˚ usobem jen pro komplexn´ı ˇc´ısla. Definice. 3.1. Mˇejme na C2 definovanou relaci ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) ∈ R ⊂ C2 × C2 ⇔ ∃λ ∈ C, (x1 , y1) = λ(x2 , y2 ),

kde λ ∈ C. Pak tˇr´ıdy relace

1

tvoˇr´ı projektivn´ı prostor PC .

[(x, y)]∼ = {λ(x, y)|λ ∈ C}

Prvky projektivn´ıho prostor PC1 , takové, ˇze y 6= 0 jsou izomorfn´ı komplexn´ım ˇc´ısl˚ um C: {(x, y)|z 6= 0} ∼ = C.

a tˇr´ıdu pro y = 0 pak oznaˇcujeme jako nekoneˇcno:

∞ := {(x, y)|y = 0}.

y

y=1 x (y=0)

Figure 3. Projektivn´ı prostor R1 Geometricky m˚ uˇzeme C2 realizovat jako R4 a prvky PC1 jsou pak roviny R2 procházej´ıc´ı poˇcátkem zachovávaj´ıc´ı lineárn´ı transformace indukované komplexn´ı strukturou. 4. Topologick´ e vlastnosti SO(3) a popis SU(2) Topologický prostor je souvislý pokud um´ıme libovolné dva body spojit cestou. Topologický prostor nazveme jednoduˇse souvislý pokud libovolná cesta zaˇc´ınaj´ıc´ı i konˇc´ıc´ı ve stejném bodˇe jde souvislé transformovat do tohoto bodu. Na Obrázku 4. vid´ıme, ˇze koule je jednoduˇse souvislá kdeˇzto torus nen´ı.

X

X

Figure 4. Jednoduchá souvislost na pˇr´ıkladech Grupa SO(3) je grupou ortogonáln´ıch matic s jednotkovým determinantem, kaˇzdá taková matice je rotac´ı kolem osy n ∈ R3 o u ´ hel ψ ∈ h0, π) a tato identifikace urˇcuje izomorfismus mezi dvojicemi (n, ψ), kde |n| = 1 a prvky SO(3). Dvojice (n, ψ) m˚ uˇzeme pak realizovat jako prvky koule o polomˇeru π. Opaˇcné body na povrchu koule, tj. body (n, π) a (−n, π) urˇcuj´ı ale stejnou rotaci a mus´ıme je tedy povaˇzovat za totoˇzné. Na Obrázku 5 vid´ıme ˇrez touto koul´ı (m˚ uˇzeme tˇreba pˇredpokládat, ˇze jde o ˇrez rovinou z = 0 i kdyˇz to nen´ı podstatné). Na prvn´ım obrázku Obrázku 5 vid´ıme, ˇze protilehlé body ztotoˇzn ˇ ujeme, to dˇeláme proto, ˇze rotace odpov´ıdaj´ıc´ı protilehlým bod˚ um jsou stejné. Na druhém obrázku Obrázku 5 vid´ıme, ˇze kˇrivka nedotýkaj´ıc´ı se okraje je staˇzitelná. Na tˇret´ım obrázku Obrázku 5 vid´ıme, ˇze cesta jde z bodu X nahoru k bodu Q a pak protoˇze horn´ı bod Q spodn´ı bod Q jsou totoˇzné cesta pokraˇcuje od spodn´ıho bodu Q k bodu X. Pokud se budeme snaˇzit tuto cestu transformovat neopust´ıme hranici, protoˇze pohyb z horn´ı reprezentace bodu Q do vnitˇrku kruhu vynut´ı pohyb spodn´ı reprezentace a pˇr´ıpadná transformace by pak nebyla dána jednoznaˇcnˇe.

Figure 5. Jednoduchá souvislost grupy SO(3) V dalˇs´ım si zkonstruujeme takzvané univerzáln´ı nakryt´ı grupy SO(3), tedy takovou grupu která je jednoduˇse souvislá a souˇcasnˇe je lokálnˇe izomorfn´ı grupˇe SO(3). Budeme postupovat tak, ˇze si zadefinujeme kruhovou inverzi jako speciáln´ı zobrazen´ı ze sféry S2 do C. Prvek z SO(3) reprezentuje rotaci v R3 , zachovává tedy skalárn´ı souˇcin a tedy i normu. Mus´ı tedy zachovávat i sféru S2 . Rotace kolem jednotlivých os pak po kruhové inverzi indukuj´ı nˇejaké zobrazen´ı v C. Toto zobrazen´ı nebude lineárn´ı ale mi si ho budeme reprezentovat lineárn´ım zobrazen´ım PC1 → PC1 na projektivn´ım rozˇs´ıˇren´ı. Vˇsechny pojmy postupnˇe vysvˇetl´ıme. Kruhová inverze je zobrazen´ı znázornˇené na Obrázku 6. Bod [x, y, z] ze sféry S3 se zobraz´ı na bod a + bi z C tak, ˇze a + bi je pr˚ unikem pˇr´ımky urˇcené severn´ım pólem S a bodem [x, y, z] z rovinou z = 0. Vid´ıme, ˇze takové zobrazen´ı je dáno jednoznaˇcnˇe a je definováno na vˇsech bodech kromˇe z

S

[x,y,z]

0

Im

Re

a+ bi

Figure 6. Kruhová inverze ˇ postupnˇe rotace. Nejjednoduˇsˇs´ı pˇr´ıpad je rotace kolem osy z, severn´ıho pólu S. Rozep´ıˇseme ted v tomto pˇr´ıpadˇe je indukovaná rotace na C stˇredovou rotac´ı a taková je realizována násoben´ım jednotkovým komplexn´ım ˇc´ıslem, tj    cos ϕ − sin ϕ 0 x  sin ϕ cos ϕ 0 y  ↔ (cos ϕ + i sin ϕ)(a + bi) = eiϕ (a + bi) 0 0 1 z

Body C odpov´ıdaj´ı bod˚ um v projektivn´ım prostoru P1 C, tak, ˇze bodu z ∈ C odpov´ıdá tˇr´ıda ekvivalence [(z1 , z2 )] ∈ C2 / ∼, kde relace ekvivalence ∼ je definována takto (z1 , z2 ) ∼ (z3 , z4 ) ⇔ ∃k ∈ C, k 6= 0 : (z1 , z2 ) = k(z3 , z4 ).

Hledaná matice s jednotkovým determinantem je pak následuj´ıc´ı iϕ iϕ ϕ ϕ 0 0 e2 e2 ϕ , det = ei 2 e−i 2 = 1, −i ϕ −i 0 e 2 0 e 2 ! ϕ iϕ iϕ ei 2 eiϕ zz21 e2 z1 e 2 z1 0 z z ϕ 1 iϕ −i 2 ∼ = −i ϕ ∼ e z2 ∼e · 1 −i ϕ z2 z2 1 0 e 2 e 2 z2 1 Rotaci kolem osy y o u ´ hel β m˚ uˇzeme realizovat pomoc´ı tˇr´ı rotac´ı. Rotac´ı kolem osy x o u ´ hel π π rotac´ ı kolem osy z o u ´ hel beta a nakonec rotac´ ı kolem osy x o u ´ hel . Potˇ r ebujeme tedy 2 2 nalézt matici transformace kolem osy x o u ´ hel ± π2 . Taková rotace zobrazuje v R3 následuj´ıc´ı prvky: (0, 0, −1) 7→ (0, −1, 0) 7→ (0, 0, 1) 7→ (1, 0, 0) 7→ (0, 0, −1) coˇz po stereografické projekci indukuje zobrazeni na C 0 7→ i 7→ ∞ 7→ −i 7→ 0

které m˚ uˇzeme realizovat pomoci Möbiova transformace z+i w(z) = −i z−i která nen´ı lineárn´ı, ale Möbiovu transformaci m˚ uˇzeme v P1 C realizovat matic´ı 1 1 i √ . 2 i 1 Celkovˇe tedy dostaneme iϕ 1 1 i 1 1 −i e2 0 cos β2 − sin β2 ϕ √ √ = 0 e−i 2 sin β2 cos β2 2 −i 1 2 i 1 Rotace kolem osy y o u ´ hel π2 indukuje na C transformaci ∞ 7→ 1 7→ 0 7→ −1 7→ ∞,

kterou m˚ uˇzeme na P1 C realizovat matic´ı

1 2

1 −1 1 1

a výsledná matice rotace o u ´ hel α kolem osy x je pak iα 1 1 1 −1 0 1 e2 α √ √ −i 0 e 2 2 −1 1 2 −1

dána kompozic´ı 1 cos α2 −i sin α2 = cos α2 1 i sin α2

Dostáváme tedy matice jejiˇz sloˇzen´ım dostaneme transformace P1 C odpov´ıdaj´ıc´ı rotac´ım R3 patˇr´ıc´ım do SO(3) iα 0 cos β2 − sin β2 cos α2 −i sin α2 e2 α , , cos α2 i sin α2 0 e−i 2 cos β2 sin β2 leˇz´ıc´ı v SL(2, C) maj´ıc´ı tvar a b −¯b a ¯ a protoˇze det(A) = 1 mus´ı tedy a = a1 + ia2 , b = b1 + ib2 leˇzet na 3–dimenzionáln´ı sféˇre |a|2 + |b|2 = a21 + a22 + b21 + b22 = 1.

Tyto matice opˇet tvoˇr´ı grupu, která se oznaˇcuje SU(2) a nazývá speciáln´ı unitárn´ı. Rotace U a −U indukuj´ı stejnou rotaci v SO(3). 5. Kvaterniony V této kapitole prodiskutujeme geometrické vlastnosti kvaternion˚ u a jejich vyuˇzit´ı pro popis sférického pohybu. Budeme se pˇreváˇznˇe op´ırat o knihy [4, 6] a ˇcásteˇcnˇe i o knihu [3]. Kniha [6] je matematickým u ´ vodem do Lieovy teorie, kniha [4] je monografie o sférickém pohybu motivovaná technickou prax´ı. Koneˇcnˇe kniha [3] je dnes jiˇz klasickou literaturou dávaj´ıc´ı do souvislosti kinematiku a Lieovy grupy. Nejprve pˇripomeˇ nme, ˇze kvaterniony H rozum´ıme ˇctveˇrice reálných 4 ˇc´ısel (a, b, c, d) ∈ R spolu se dvˇema binárn´ımi operacemi (a1 , b1 , c1 , d1 ) + (a2 , b2 , c2 , d2 ) =(a1 + a2 , b1 + b2 , c1 + c2 , d1 + d2 ), (a1 , b1 , c1 , d1) × (a2 , b2 , c2 , d2 ) =(a1 a2 − b1 b2 − c1 c2 − d1 d2 , a1 b2 + b1 a2 + c1 d2 − d2 c2 , a1 c2 + c1 a2 − b1 d2 + d1 b2 , a1 d2 + d1 a2 + b1 c2 − c1 b2 )

Je lehké ovˇeˇrit, ˇze takto zadefinované kvaterniony tvoˇr´ı opˇet komutativn´ı tˇeleso. Poznamenejme jen, ˇze pro prvek (a, b, c, d) ∈ H dostaneme inverzi ve tvaru (a, b, c, d)−1 =

a2

+

b2

1 (a, −b, −c, −d), + c2 + d 2

souvislost s klasickým zápisem a + bi + cj + dk := (a, b, c, d) se lehce ovˇeˇr´ı výpoˇctem i2 = (0, 1, 0, 0) × (0, 1, 0, 0) = (−1, 0, 0, 0) = −1

j 2 = (0, 0, 1, 0) × (0, 0, 1, 0) = (−1, 0, 0, 0) = −1

k 2 = (0, 0, 0, 1) × (0, 0, 0, 1) = (−1, 0, 0, 0) = −1 ij = (0, 1, 0, 0) × (0, 0, 1, 0) = (0, 0, 0, 1) = k

ji = (0, 0, 1, 0) × (0, 1, 0, 0) = (0, 0, 0, −1) = −k a nen´ı tˇeˇzké následnˇe dokázat, ˇze definice kvaternion˚ u jako rozˇs´ıˇren´ı tˇelesa reálných ˇc´ısel o prvky i, j, k, kde i2 = j = k = −1 a ij = −ji = k (tj. H = R[i, j, k]) je s naˇs´ı definici ekvivalentn´ı. Stejnˇe jako komplexn´ı ˇc´ısla m˚ uˇzeme analogicky reprezentovat kvaterniony H komplexn´ımi maticemi α −β a + id −b − ic , q= = ¯ b − ic a − id β α ¯

kde α = a + di a β = b + ic. Pˇri tomto popisu je determinant pˇr´ısluˇsné matice opˇet roven velikosti kvaternionu, tj ˇc´ıslu a2 +b2 +c2 +d2 . Ve vhodné bázi m˚ uˇzeme opˇet libovolný kvaternion vyjádˇrit jako q = a1 + bi + cj + dk 1 0 0 −1 0 −i i 0 1= ,i = ,j = ,k = , 0 1 1 0 −i 0 0 −i a dostat klasické vztahy i2 = j 2 = k 2 = −1, ij = k.

Pokud do komplexn´ıch matic pro 1 a i dosad´ıme jejich reprezentaci kvaternion˚ u pomoc´ı reálných matic 4 × 4:      0 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 1 0 0 ,j =    1= 0 1 0 0 1 0 , i = 1 0 0 0 −1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

maticové reprezentace dostaneme 0 −1 0 0

  0 −1 0 1 1 0 0 0 ,k =    0 0 0 0 0 0 −1 0

 0 0  1 0

a opˇet z vlastnost´ı determinant˚ u plyne vztah (a21 + b21 + c21 + d21 )(a22 + b22 + c22 + d22 ) = (a1 a2 − b1 b2 − c1 c2 − d1 d2 )2 + + (a1 b2 + b1 a2 + c1 d2 − d1 c2 )2 +

+ (a1 c2 − b1 d2 + c1 a2 + d1 b2 )2 +

+ (a1 d2 − b1 c2 − c1 b2 + d1 a2 )2 .

Poznamenejme, ˇze ˇcistˇe imaginárn´ı kvaterniony Ri + Rj + Rk tvoˇr´ı ortogonáln´ı komplement k R1, ˇze souˇcet dvou ryze imaginárn´ıch kvaternion˚ u je opˇet ryze imaginárn´ı kvaternion, ale ˇze souˇcin dvou ˇcistˇe imaginárn´ıch kvaternion˚ u nemus´ı být vˇzdy imaginárn´ı. Pˇr´ı rozepsán´ı souˇcinu pro libovolné dva imaginárn´ı kvaterniony uv = (u2 v2 + u3 v3 + u4 v4 ) + (u2 v3 − u3 v2 )i + (u1 v3 − u3 v1 )j + (u1 v2 − u2 v1 )k = −u · v + u × v

je zˇrejmé, ˇze souˇcin uv je ryze imaginárn´ı kvaternion pokud u a v jsou ortogonáln´ı a ryze reálný pokud jsou rovnobˇeˇzné. Stejnˇe jako u komplexn´ıch ˇc´ısel sféra jednotkových kvaternion˚ u S3 = {z ∈ H : |z| = 1}

reprezentuje rotace R4 jak ukazuje následuj´ıc´ı postup. Reprezentujeme R3 jako ryze imaginárn´ı kvaterniony Ri + Rj + Rk. Abychom mohli pouˇz´ıt kvaterniony pro popis rotace v R3 mus´ıme zavést operaci konjugace q −1 tq. Pokud kvaternion t absolutn´ı hodnoty 1 nap´ıˇseme ve tvaru t = cos θ + u sin θ, kde u je jednotkový ryze imaginárn´ı kvaternion tvaru Ri + Rj + Rk pak konjugován´ı pomoc´ı t reprezentuje rotaci kolem osy u o u ´ hel 2θ. Na závˇer poznamenejme, ˇze sloˇzen´ı dvou takových rotac´ı je opˇet rotace a ˇze, celkovˇe tyto rotace tvoˇr´ı grupu. Konkrétnˇe poznamenejme, ˇze sférický pohyb odpov´ıdá vˇzdy konjugován´ı prvkem t = cos θ + u sin θ, kde θ ∈ h0, 2πi a u ∈ Ri + Rj + Rk. Grupa takto zadefinovaných zobrazen´ı je stejnˇe jako SU(2) univerzáln´ım nakryt´ım grupy SO(3). Cylindrický pohyb, tedy pohyb podle uˇz pevnˇe zvolené osy u, m˚ uˇzeme realizovat konjugován´ım prvky t = cos θ + u sin θ, kde θ ∈ h0, 2πi a klasické posunut´ı realizujeme jednoduˇse jako pˇriˇcten´ı prvku z Ri + Rj + Rk. References [1] P. Horn´ık. Teorie Lieových grup v robotice, Brno, 2012. Bakaláˇrská práce. Vysoké uˇcen´ı technické v Brnˇe, ´ Fakulta strojn´ıho inˇzen´ yrstv´ı, Ustav matematiky. [2] J. Hrdina, Nˇekteré kinematické dvojice, Kvaternion, Vol 1., No1., VUT v Brnˇe (2012) [3] A. Karger, J. Novák, Prostorová kinematika a Lieovy grupy, Státn´ı nakladatelstv´ı technické literatury, (1978) [4] J. B. Kuipers, Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace and Virtual, Princeton University Press, pp. 400 (2002) [5] J.M. Selig, Geometric Fundamentals of Robotics, Monographs in Computer Science, Springer, (2004) [6] John Stillwell, Naive Lie Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, pp. 218 (2008) [7] B. Petroviˇc. Matematické principy navigace, Brno, 2011. Bakaláˇrská práce. Vysoké uˇcen´ı technické v Brnˇe, ´ Fakulta strojn´ıho inˇzen´ yrstv´ı, Ustav matematiky. [8] M. Pivovarn´ık. Matematické principy robotiky, Brno, 2012. Diplomová práce. Vysoké uˇcen´ı technické v Brnˇe, ´ Fakulta strojn´ıho inˇzen´ yrstv´ı, Ustav matematiky. [9] M. Pivovarn´ık. Geometrické algoritmy v robotice, Brno, 2010. Bakaláˇrská práce. Vysoké uˇcen´ı technické v ´ Brnˇe, Fakulta strojn´ıho inˇzen´ yrstv´ı, Ustav matematiky.

Algebry rotací a jejich aplikace

Recommend Documents