FIBONACCIHO ČÍSLA A JEJICH SOUVISLOST S JINÝMI MATEMATICKÝMI POJMY

PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MASARYKOVY UNIVERZITY ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY

FIBONACCIHO ČÍSLA A JEJICH SOUVISLOST S JINÝMI MATEMATICKÝMI POJMY

RIGORÓZNÍ PRÁCE

září 2007

Martina Jarošová

Prohlašuji, že jsem rigorózní práci vypracovala samostatně s použitím uvedené literatury. V Brně 7. září 2007

Z celého srdce děkuji svým rodičům, bratrovi, Mgr. Lence Lomtatidze, Ph.D., Mgr. Janu Vondrovi a všem přátelům za poskytovanou podporu i cenné rady.

Velký dík patří také doc. RNDr. Eduardu Fuchsovi, CSs. za provedené korektury. Dále děkuji prof. RNDr. Ladislavu Skulovi, DrSc. za cenné rady a připomínky k tématu rigorózní práce.

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy

4

Obsah 1 Historické pozadí Fibonacciho a Lucasových čísel 8 1.1 Leonardo Pisánský – Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Édouard Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Historický přehled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Základní vlastnosti Fibonacciho a Lucasových čísel 2.1 Fibonacciho a Lucasova posloupnost . . . . . . . . . . 2.2 Fibonacciho a Lucasovy identity . . . . . . . . . . . . . 2.3 Dělitelnost Fibonacciho a Lucasových čísel . . . . . . . 2.4 Některé další vlastnosti Fibonacciho a Lucasových čísel 2.5 Řešené úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

14 14 16 19 21 24

. . . . .

37 37 43 46 49 52

4 Fibonacciho čísla a řetězové zlomky 4.1 Konečné řetězové zlomky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Nekonečné řetězové zlomky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Řešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64 64 69 73

5 Fibonacciho čísla a Pascalův trojúhelník

85

3 Fibonacciho čísla v geometrii 3.1 Zlatý řez . . . . . . . . . . . . . 3.2 Pravidelný pětiúhelník . . . . . 3.3 Fibonacciho čtyřúhelníky . . . . 3.4 Geometrický paradox 64 = 65? 3.5 Řešené úlohy . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

6 Fibonacciho čísla a příroda 6.1 Fibonacciho čísla a králíci . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Fibonacciho čísla a včela medonosná . . . . . . . . 6.3 Okvětní lístky a Fibonacciho čísla . . . . . . . . . . 6.4 Uspořádání semen v terči rostlin a Fibonacciho čísla

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

89 89 92 95 96


5

6.5 Fibonacciho čísla a fylotaxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.6 Model popisující spirálovité uspořádání semen, šupin i listů rostlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Literatura

104


6

Úvod Fibonacciho a Lucasova čísla, zlatý řez a řetězové zlomky jsou pojmy, které poutají pozornost matematiků i filozofů již několik staletí. Postupně byly vyšetřovány vlastnosti těchto objektů a zajímavé, někdy až fascinující, souvislosti mezi nimi. Lze o nich naleznout roztroušené informace ve vědeckých článcích (nejen matematických) i ve zcela neformálních zábavných publikacích. Tato práce si v prvé řadě klade za cíl shromáždit poznatky o uvedených pojmech, srozumitelně je vyložit a poukázat na pozoruhodné souvislosti mezi nimi v ucelené podobě. Mapuje dosud vyšlé publikace a celou tématiku předkládá ve formě učebnice. Je určena zvídavým studentům, ale stejně dobře může posloužit i kantorům, které zaujala problematika týkající se Fibonacciho a Lucasových čísel. Je zde uvedeno mnoho zajímavých vztahů a skutečností o Fibonacciho a Lucasových číslech, o zlatém řezu a řetězových zlomcích. Text je rozšířen o historické poznámky, a dále je zde vyřešeno 70 úloh vztahujících se k tématice Fibonacciho a Lucasových čísel, zlatého řezu a řetězových zlomků. Text je rozdělen do šesti kapitol. Do první kapitoly jsou zařazeny stručné informace o Leonardu Pisánském a Édouardu Lucasovi. Dále je zde uveden stručný historický přehled výsledků týkajících se Fibonacciho a Lucasových čísel, jež jsou rozvedeny dále v textu. Druhá kapitola pojednává o základních vlastnostech Fibonacciho a Lucasových čísel. Jsou zde uvedeny definice Fibonacciho a Lucasových čísel, také Fibonacciho a Lucasovy identity, jejichž důkazy jsou k nalezení v závěru kapitoly v řešených úlohách. Dále jsou do této kapitoly zařazeny informace o dělitelnosti Fibonacciho a Lucasových čísel, a některé další vlastnosti. V závěru kapitoly je vyřešeno 25 úloh vztahující se k této tématice. Ve třetí kapitole je věnována pozornost souvislostem Fibonacciho čísel s geometrií. Nalezneme zde informace popisující souvislost Fibonacciho čísel se zlatým řezem. Jsou zde uvedeny zajímavosti o pravidelném pětiúhelníku a Fibonacciho čtyřúhelnících. Dále je do kapitoly zařazen důkaz jednoho geometrického paradoxu. V závěru kapitoly je opět uvedeno 25 řešených úloh


7

vztahujících se k tématice Fibonacciho čísel v geometrii. Do čtvrté kapitoly jsou zařazeny základní charakteristiky řetězových zlomků, a to jak konečných, tak nekonečných. Vyšetřována je konvergence těchto zlomků a poté je popsána souvislost řetězových zlomků se zlatým řezem a Fibonacciho čísly. V závěru kapitoly je vyřešeno 20 úloh vztahujících se k této tématice. Pátá kapitola popisuje, kde se v Pascalově trojúhelníku „skrývajíÿ Fibonacciho čísla. V šesté kapitole poukážeme na souvislost Fibonacciho čísel s přírodou. Budeme se zabývat otázkami jak z oblasti zoologie, tak botaniky. Některé skutečnosti popíšeme pomocí jednoduchých matematických modelů. Závěrečná kapitola se poněkud vymyká tím, že neukazuje souvislost Fibonacciho čísel s jinými matematickými pojmy, ale souvislost Fibonacciho čísel s přírodou, tedy s pojmy z biologie.


8

Kapitola 1 Historické pozadí Fibonacciho a Lucasových čísel Do první kapitoly jsou zařazeny stručné informace o Leonardu Pisánském a Édouardu Lucasovi. Dále je zde uveden stručný historický přehled výsledků týkajících se Fibonacciho a Lucasových čísel, jež jsou rozváděny dále v textu.

1.1

Leonardo Pisánský – Fibonacci

Leonardo Pisánský – nejvýznamnější matematik středověké Evropy. Je znám spíše pod svojí přezdívkou Fibonacci, též Leonardo z Pisy (také Filius Bonacci, tj. syn Bonacciův). Přesné časové vymezení jeho života neznáme. Narodil se v Pise kolem roku 1170 a zemřel zřejmě roku 1240.

Obr. 1.1: Leonardo Pisánský – Fibonacci Leonardův otec Guiliemo Bonacci byl městským úředníkem, písařem a notářem. Pracoval v Bougii, jedné z obchodních kolonií Pisy v severní Africe,


9

která dnes leží v Alžíru. Tam Fibonacci studoval matematiku a své znalosti si později rozšiřoval při cestách za obchodem ve Středomoří a Orientu. Navštívil Egypt, Sýrii, Řecko, Byzanc, Sicílii, Provence, a patrně i další země a města. Seznámil a inspiroval se mnoha matematickými pracemi, se kterými se během svých cest setkal. Kolem roku 1200 se Fibonacci vrátil do Pisy a sepsal zde několik významných matematických spisů. Fibonacci žil v době před objevením knihtisku, kdy jedinou možností šíření knih bylo jejich přepisování, všechny jeho spisy se tedy bohužel nedochovaly. Fibonacci je autorem následujících matematických spisů: 1. Liber abaci (Kniha o abaku) z roku 1202, přepracována roku 1228. Kniha uvádí velké množství početních metod aritmetiky, algebry a teorie čísel a řadu demostrujících příkladů. Ve druhém rozšířeném vydání této knihy se poprvé objevila zajímavá úloha o králících (viz str. 89), jejímž řešením je posloupnost, kterou Édouard Lucas ve druhé polovině 19. století poprvé nazval Fibonacciho posloupností, viz (2.2). 2. Practica geometriae (Praxe geometrie), vydána v roce 1221. Jedná se o příručku aplikací geometrie v zeměměřičství, ale zejména o teoretické dílo o geometrii a trigonometrii. 3. Flos (Květ) z roku 1225. Hlavním tématem práce je diskuse o kořenu jedné kubické rovnice s celočíselnými koeficienty. 4. Epistola suprascripti Leonardi ad Magistrum Theodorum phylosophum domini Imperatoris (Dopis podepsaného Leonarda Mistru Theodorovi, císařskému filozofovi), nedatováno. Dopis je věnován soustavám lineárních rovnic. 5. Liber quadratorum (Kniha čtverců), vydána v roce 1225. Obsahuje úlohy na neurčité kvadratické rovnice1 a jejich soustavy, které jsou řešeny v oboru racionálních čísel. Nezachovala se bohužel Fibonacciho kniha o obchodní aritmetice a jeho traktát o iracionalitách. Fibonacci zprostředkoval přenos arabské vědy, shromáždil a uspořádal obrovské množství poznatků, postupů i úloh. Tím přispěl k rozvoji matematického myšlení v Evropě. Jeho přístup k matematice byl originální a tvůrčí. Neurčitá kvadratická rovnice je rovnice tvaru Ax2 +Bx+C = y 2 , kde x, y jsou neznámé a A, B, C jsou daná celá čísla. 1

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 10

1.2

Édouard Lucas

Francouzský matematik Francois Édouard Anatole Lucas se narodil roku 1842 v Amiensu a zemřel roku 1891 v Paříži. Je znám především svými výsledky z teorie čísel.

Obr. 1.2: Édouard Lucas Vystudoval École Normale v Amiensu a pracoval na pařížské observatoři. Během prusko-francouzské války (1870–71) sloužil jako důstojník u dělostřelectva. Po válce se stal profesorem matematiky na lyceu v Paříži. Lucas je dále znám pro své studium Fibonacciho posloupnosti a je po něm pojmenována Lucasova posloupnost. Odvodil známou formuli pro n-té Fibonacciho číslo (viz str. 41). Je rovněž autorem dodnes používané metody, jak otestovat, zda dané přirozené číslo je prvočíslem. V roce 1876 pomocí této metody dokázal, že Mersennovo číslo M127 = 2127 − 1 je prvočíslo2 . Lucasův test pak ještě vylepšil v roce 1930 americký matematik D. H. Lehmer. Zabýval se i rekreační matematikou. V letech 1882–84 pod pseudonymem M. Claus3 sepsal známou čtyřdílnou knihu matematických a logických her Récréations mathématiques, z nichž nejznámější je problém Hanojských věží. Hlavolam tvoří tři vertikální tyčky, na nichž je navlečeno n kruhových disků s otvory uprostřed. Tyto disky mají navzájem různé poloměry a jsou 2 Mersennovo prvočíslo Mp je takové prvočíslo, které je o jedničku menší než celočíselná mocnina dvojky, tzn. tvaru Mp = 2p − 1, kde p je prvočíslo. Pojmenováno po francouzském fyzikovi a matematikovi Marinu Mersennovi (1588–1648). 3 Až v roce 1894 publikoval H. de Parville článek v časopise La Natur, v němž uvedl, že „Clausÿ je anagram, který užil právě Édouard „Lucasÿ.

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 11 poskládány do věže tak, že poloměr každého disku je větší než poloměr kteréhokoliv disku nad ním. Hlavolam spočívá v tom, přenést věž na jinou tyčku tak, že v každém kroku lze přenést pouze jeden disk z jedné tyčky na druhou a nikdy přitom nesmí být položen větší disk na menší.

Obr. 1.3: Hlavolam Hanojská věž Lucas zemřel následkem podivné nehody na jednom banketu. Střep z rozbitého talíře mu zde pořezal tvář. O několik dní později ve věku pouhých 49 let umírá na infekci krve z této rány.


1.3

Historický přehled

V tabulce je uveden stručný historický přehled výsledků týkajících se Fibonacciho a Lucasových čísel, zlatého řezu, řetězových zlomků i výsledky související s teorií fylotaxe. Dále je uvedena i strana, na které se lze o dané události dozvědět více informací.

Datace r. 500 př.n.l. r. 300 př.n.l. 1170–1240 1202 1228

1548–1626 1680 1753 1753 1765

19.stol. 1830–1840 1832–1898 1842–1891 1843

Událost Sochař Feidiás – Parthenon na Akropoli v Aténách – zlatý řez. Eukleides – kniha Základy – dělení úsečky v poměru zlatého řezu. Italský matematik Leonardo Pisánský – Fibonacci. První vydání knihy Liber Abaci. Poprvé se objevují Fibonacciho čísla v přepracované verzi knihy Liber Abaci – Úloha o králících. Vytvořen základ teorie řetězových zlomků italským matematikem P. A. Cataldim. Objevena rovnost (2.10) francouzským matematikem a astronomem G. D. Cassinim. . Dokázána rovnost Φ = lim FFn+1 n n→∞

Anglický matematik R. Simson poprvé publikoval vztah Cn = FFn+1 . n Švýcarský matematik L. Euler poprvé publikoval formuli pro určení n-tého Fibonacciho čísla (3.4). Začalo se užívat názvů „zlatý poměrÿ a „zlatý řezÿ. Nauka o fylotaxi – výraznější pokrok – němečtí botanici K. Schimper a A. Braun. Anglický matematik Ch. L. Dodgson – geometrický paradox 64 = 65? Francouzský matematik Édouard Lucas. Znovu objevena Binetova formule (3.4) francouzským matematikem J. P. M. Binetem.

Odkaz str. 48 str. 39 str. 8 str. 9 str. 9 str. 89 str. 64 str. 17 str. 39 str. 70

str. 41 str. 39 str. 99 str. 49 str. 10 str. 41

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 13 Datace 2.pol. 19.stol. 1876 1876 zač. 20.stol. 1951

1964 1964 1964

1969 1969 1992

Událost Odkaz É. Lucas poprvé nazval posloupnost (2.2) posloupností Fibonacciho čísel. str. 9 É. Lucas poprvé publikoval identity (2.4), (2.5) a (2.6). str. 16 É. Lucas objevil identitu (2.9). str. 17 Americký matematik M. Barr zavedl √ 1+ 5 označení: Φ = 2 . str. 39 Americký matematik F. C. Ogg – zajímavý způsob převodu (−Φ′ ) na nekonečný řetězový zlomek. str. 72 Dokázáno, že jediná Fibonacciho čísla tvaru Fn = x2 , (n ∈ N) jsou F1 = F2 = 1 a F12 = 144. str. 21 Dokázáno, že jediné Lucasovo číslo tvaru Ln = x2 , (n ∈ N) je L3 = 4. str. 21 Dokázáno, že jediná Fibonacciho čísla tvaru Fn = 2x2 , (n ∈ N) jsou F3 = 2 a F6 = 8, a jediná Lucasova čísla s touto vlastností jsou L0 = 2 a L6 = 18. str. 21 Dokázáno, že jediná Fibonacciho čísla tvaru Fn = x3 , (n ∈ N) jsou F1 = F2 = 1 a F6 = 8. str. 21 Dokázáno, že jediné Lucasovo číslo tvaru Ln = x3 , (n ∈ N) je L1 = 1. str. 21 Další zásadní výsledky v teorii fylotaxe – francouzští fyzici S. Douaday a Y. Couder. str. 103


Kapitola 2 Základní vlastnosti Fibonacciho a Lucasových čísel Tato kapitola pojednává o základních vlastnostech Fibonacciho a Lucasových čísel. Jsou zde uvedeny definice Fibonacciho a Lucasových čísel, také Fibonacciho a Lucasovy identity, jejichž důkazy jsou k nalezení v závěru kapitoly v řešených úlohách. Dále jsou do této kapitoly zařazeny informace o dělitelnosti Fibonacciho a Lucasových čísel, a některých dalších vlastnostech. V závěru kapitoly je vyřešeno 25 úloh vztahujících se k této tématice.

2.1

Fibonacciho a Lucasova posloupnost

Definice 2.1. Rekurentní formule tvaru f (n + k) = a1 f (n + k − 1) + a2 f (n + k − 2) + · · · + ak f (n),

(2.1)

kde a1 , . . . , ak jsou reálná čísla, ak 6= 0, se nazývá lineární rekurentní formule k-tého řádu s konstantními koeficienty. Definice 2.2. Lineární rekurentní posloupnost 2. řádu zadanou formulí Fn = Fn−1 + Fn−2 ,

pro n ≥ 3, n ∈ N,

(2.2)

přičemž F1 = 1 a F2 = 1, nazveme posloupnost Fibonacciho čísel (resp. Fibonacciho posloupnost). Členy této posloupnosti se nazývají Fibonacciho čísla. Obvykle klademe F0 = 0. Poznámka 2.1. Několik prvních členů Fibonacciho posloupnosti: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, . . .

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 15 Definice 2.3. Lineární rekurentní posloupnost 2. řádu zadanou formulí Ln = Ln−1 + Ln−2 ,

pro n ≥ 3, n ∈ N,

(2.3)

přičemž L1 = 1 a L2 = 3, nazveme posloupnost Lucasových čísel (resp. Lucasova posloupnost). Členy této posloupnosti se nazývají Lucasova čísla. Obvykle klademe L0 = 2. Poznámka 2.2. Několik prvních členů Lucasovy posloupnosti: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 842, . . .

Řešení rekurentních formulí Definice 2.4. Nechť je dána lineární rekurentní formule k-tého řádu s konstantními koeficienty. Řekneme, že posloupnost (a(n))∞ n=1 je řešením této rekurentní formule, jestliže pro každé i ∈ N dostaneme po dosazení čísel ai+j za fn+j pro j = 0, 1, . . . , k identitu. ∞ ∞ Věta 2.1. Jsou-li posloupnosti (f1 (n))∞ n=1 , (f2 (n))n=1 , . . . , (fs (n))n=1 řešením formule (2.1), je také jejich libovolná lineární kombinace

(c1 f1 (n) + c2 f2 (n) + · · · + cs fs (n))∞ n=1 řešením formule (2.1). Důkaz. Viz řešená úloha č. 4, str. 26. Věta 2.2. Nechť je dána lineární rekurentní formule (2.1) k-tého řádu s konstantními koeficienty. Nechť ∞ ∞ (f1 (n))∞ n=1 , (f2 (n))n=1 , . . . , (fk (n))n=1

jsou všechna lineárně nezávislá řešení1 dané formule. Pak je posloupnost (g(n))∞ n=1 , kde pro každé n ∈ N platí g(n) = c1 f1 (n) + · · · + ck fk (n), obecným řešením dané rekurentní formule. ∞ ∞ Řešení (f1 (n))∞ n=1 , (f2 (n))n=1 , . . . , (fk (n))n=1 jsou lineárně nezávislá, jestliže žádné ∞ (fi (n))n=1 nemá vlastnost 1

fi (n) = c1 f1 (n) + · · · + ci−1 fi−1 (n) + ci+1 fi+1 (n) + · · · + ck fk (n),

pro ∀ n ∈ N.

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 16 Věta 2.3. Je-li reálné číslo r řešením rovnice xk = a1 xk−1 + · · · + ak−1 x + ak , je posloupnost (r n )∞ n=1 řešením rekurentní formule (2.1). Poznámka 2.3. Rovnice xk = a1 xk−1 + · · · + ak−1 x + ak se nazývá charakteristická rovnice formule f (n + k) = a1 f (n + k − 1) + a2 f (n + k − 2) + · · · + ak f (n). Poznatky z této části využijeme dále v textu, podrobněji viz [7].

2.2

Fibonacciho a Lucasovy identity

Identita 1. Pro součet prvních n Fibonacciho čísel platí n X i=1

Fi = F1 + F2 + F3 + · · · + Fn = Fn+2 − 1.

(2.4)

Poprvé uveřejněno Édouardem Lucasem v roce 1876. Důkaz. Viz řešená úloha č. 5, str. 26. Identita 2. Pro součet prvních n Fibonacciho čísel s lichými indexy platí n X i=1

F2i−1 = F1 + F3 + F5 + · · · + F2n−1 = F2n .

(2.5)

Identita poprvé publikována v roce 1876 Édouardem Lucasem. Důkaz. Viz řešená úloha č. 6, str. 27. Identita 3. Pro součet prvních n Fibonacciho čísel se sudými indexy platí n X i=1

F2i = F2 + F4 + F6 + · · · + F2n = F2n+1 − 1.

Poprvé uveřejněno Édouardem Lucasem v roce 1876. Důkaz. Viz řešená úloha č. 7, str. 27.

(2.6)

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 17 Identita 4. Pro součet prvních n Lucasových čísel platí n X i=1

Li = L1 + L2 + L3 + · · · + Ln = Ln+2 − 3.

(2.7)

Důkaz. Viz řešená úloha č. 8, str. 27. Identita 5. Pro součet prvních n Lucasových čísel s lichými indexy platí n X i=1

L2i−1 = L1 + L3 + L5 + · · · + L2n−1 = L2n − 2.

(2.8)

Důkaz. Viz řešená úloha č. 9, str. 28. Identita 6. Pro součet prvních n Lucasových čísel se sudými indexy platí n X i=1

L2i = L2 + L4 + L6 + · · · + L2n = L2n+1 − 1.

Důkaz. Viz řešená úloha č. 10, str. 28. Identita 7. V roce 1876 Édouard Lucas objevil identitu n X i=1

Fi2 = F12 + F22 + F32 + · · · + Fn2 = Fn Fn+1 .

(2.9)

Důkaz. Viz řešená úloha č. 11, str. 29. Identita 8. Francouzský matematik a astronom italského původu Giovanni D. Cassini v roce 1680 objevil identitu, viz [20]: Fn−1 Fn+1 − Fn2 = (−1)n ,

pro n ≥ 1.

(2.10)

Důkaz. Viz řešená úloha č. 12, str. 29. Identita 9. Pro m, n ∈ N, m ≥ 2, n ≥ 1 platí rovnost Fm+n = Fm−1 Fn + Fm Fn+1 .

(2.11)

Důkaz. Viz řešená úloha č. 13, str. 30. Identita 10. Pro součet prvních n Lucasových čísel na druhou platí n X i=1

L2i = L21 + L22 + L23 + · · · + L2n = Ln Ln+1 − 2.

(2.12)

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 18 Důkaz. Viz řešená úloha č. 14, str. 30. Identita 11. Pro všechna n ∈ N platí 1 Fn = (Ln−1 + Ln+1 ). 5

(2.13)

Důkaz. Viz řešená úloha č. 43, str. 58. Identita 12. Pro všechna n ∈ N platí 1 Fn2 = (L2n − 2(−1)n ). 5

(2.14)

Důkaz. Viz řešená úloha č. 44, str. 59. Identita 13. Pro všechna n ∈ N platí L2n = L2n + 2(−1)n .

(2.15)

Důkaz. Viz řešená úloha č. 45, str. 59. Identita 14. Pro všechna n ∈ N platí F2n = Fn Ln .

(2.16)

Důkaz. Viz řešená úloha č. 38, str. 57.

Další identity Fibonacciho a Lucasových čísel Pro m, n, k ∈ N platí: F1 − F2 + F3 − · · · − F2n + F2n+1 F1 F2 + F2 F3 + · · · + F2n−1 F2n nF1 + (n − 1)F2 + (n − 2)F3 + · · · + 2Fn−1 + Fn Fn4 − Fn−2 Fn−1 Fn+1 Fn+2 Fn+1 Fn+2 − Fn Fn+3 2 Fn+1 + Fn2 Fn Fn+1 + Fn−1 Fn 2 2 Fn+1 − Fn−1 3 3 Fn3 + Fn+1 − Fn−1 2 Fn+1 − Fn2

= 1 + F2n 2 = F2n = Fn+4 − (n + 3) =1 = (−1)n = F2n+1 = F2n = F2n = F3n = Fn−1 Fn+2

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 19 Fn+1 + Fn−1 = Ln Ln+1 + Ln−1 = 5Fn Fn2 − Fn+k Fn−k L2n − Ln+1 Ln−1 L2n − 5Fn2 Fm Fn+1 + Fm−1 Fn Fn+2 − Fn−2 2 Fn + 4Fn−1 Fn+1

= (−1)n+k Fk2 = (−1)n 5 = (−1)n 4 = Fm+n = Ln = L2n .. .

Další identity je možno nalézt např. v [11], [20], [30], . . . Většinu těchto rovností lze snadno dokázat pomocí matematické indukce. Důkazy některých identit, které se dokazují jinou metodou než indukcí, jsou uvedeny v řešených úlohách, viz str. 57. Tyto vztahy můžeme také znázornit pomocí tabulky, např. identitu Fn−1 + Fn+1 = Ln n Fn Ln

2.3

0 1 0 1 2 1

2 1 3

3 4 2 3 4 7

5 6 7 8 5 8 13 21 11 18 29 47

(2.17) 9 10 . . . 34 55 . . . 76 123 . . .

Dělitelnost Fibonacciho a Lucasových čísel

Věta 2.4. (Věta o dělení se zbytkem přirozených čísel). Nechť a, b ∈ N. Pak existují čísla q ∈ N, r ∈ N0 splňující rovnost a = b · q + r,

0 ≤ r < b,

přičemž toto vyjádření je jednoznačné. Věta 2.5. Nechť m, n ∈ N a (m, n) označuje největšího společného dělitele daných čísel. Pak platí 1. m | n ⇒ Fm | Fn . 2. Každá dvě sousední Fibonacciho čísla jsou nesoudělná. 3. (Fm , Fn ) = F(m,n) Např. F6 = 8, F15 = 610; (8, 610) = 2 = F(6,15) = F3 .

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 20 Důkaz. Důkaz druhého tvrzení viz řešená úloha 20, str. 34. Další důkazy lze nalézt např. v [20]. Poznámka 2.4. Dále pro m, n ∈ N platí: 1. Fm | Fmn . Např. F3 = 2, F12 = 144; tedy 2 | 144. 2. Každé m-té Fibonacciho číslo je dělitelné Fm . Např. Každé páté Fibonacciho číslo (F5 , F10 , F15 , F20 , . . .) je dělitelné F5 = 5. 3. Jestliže (m, n) = 1, potom Fm Fn | Fmn . Např. (4, 7) = 1, F4 = 3, F7 = 13, F28 = 317 811. Potom 3 · 13 | 317 811, tedy platí F4 F7 | F28 . 4. Lm | Fn ⇐⇒ 2m | n, kde m ≥ 2. Např. 10 | 20 tedy L5 | F20 , což je 11 | 6 765. Důkaz. Důkazy jednotlivých tvrzení viz [20]. Poznámka 2.5. Z výše uvedeného plyne, že číslo Fn je dělitelné číslem Fm tehdy a jenom tehdy, jestliže číslo n je dělitelné číslem m. Vzhledem k tomu můžeme usuzovat na dělitelnost mezi Fibonacciho čísly tím, že zkoumáme dělitelnost jejich indexů. Uveďme nyní několik „znaků dělitelnostiÿ – pravidla, podle kterých se dá rozhodnout, zda některé Fibonacciho číslo je dělitelné daným číslem. • Fibonacciho číslo je sudé tehdy a jen tehdy, jestliže index je dělitelný třemi. • Fibonacciho číslo je dělitelné třemi tehdy a jen tehdy, je-li jeho index dělitelný čtyřmi. • Fibonacciho číslo je dělitelné čtyřmi tehdy a jen tehdy, je-li jeho index dělitelný šesti. • Fibonacciho číslo je dělitelné pěti tehdy a jen tehdy, je-li jeho index dělitelný pěti. • Fibonacciho číslo je dělitelné sedmi tehdy a jen tehdy, je-li jeho index dělitelný osmi. • Žádné Fibonacciho číslo nedá při dělení osmi zbytek čtyři. • Žádné liché Fibonacciho číslo není dělitelné číslem 17.

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 21 Poznámka 2.6. Další zajímavé skutečnosti. Dle věty 2.5 platí (Fm , Fn ) = Fd ,

kde d = (m, n).

Dále platí ( Ld , jestliže jsou podíly (Lm , Ln ) = 1 nebo 2, jinak,

m n , d d

Pro d = (m, n) také platí ( Ld , jestliže je podíl (Fm , Ln ) = 1 nebo 2, jinak.

m d

liché,

kde d = (m, n).

sudý a podíl

n d

lichý,

Věta 2.6. Pro libovolná přirozená čísla m a n platí Ln | Lm ⇐⇒ ∃ k ∈ {1, 2, . . .} takové, že m = (2k − 1)n, n > 1. Důkaz. Důkaz tvrzení lze najít např. v [11], [20]. Např. tedy L3 = 4 dělí L9 = 76, L15 = 1 364, . . . Věta 2.7. Dvě sousední Lucasova čísla jsou nesoudělná, tzn. pro každé n ∈ N0 platí (Ln+2 , Ln+1 ) = 1. Důkaz. Viz řešená úloha 21, str. 34.

2.4

Některé další vlastnosti Fibonacciho a Lucasových čísel

V roce 1964 nezávisle na sobě vyřešili J. H. E. Cohn [4], [5] a O. Wyler [34] dlouhou dobu neřešený problém, zda jediná Fibonacciho čísla Fn tvaru Fn = x2 (x ∈ N) jsou čísla F1 = F2 = 1 a F12 = 144. Cohn v článku [4] ukázal, že jediné Lucasovo číslo Ln tvaru Ln = x2 (x ∈ N) je číslo L3 = 4. Cohn také v článku [5] dokázal, že jediná Fibonacciho čísla tvaru Fn = 2x2 (x ∈ N) jsou F3 = 2 a F6 = 8 a Lucasova čísla s touto vlastností jsou čísla L0 = 2 a L6 = 18. H. London a R. Finhelstein [22] v roce 1969 ukázali, že jediná Fibonacciho čísla tvaru x3 (x ∈ N) jsou F1 = F2 = 1 a F6 = 8 a jediné Lucasovo číslo s touto vlastností je číslo L1 = 1.

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 22 Dosud nevyřešený je problém, zda existuje Fibonacciho nebo Lucasovo číslo tvaru xn , kde x ∈ N, x ≥ 2 a n ∈ N, n ≥ 4. Také není známo, zda existuje nekonečně mnoho Fibonacciho nebo Lucasových čísel, která jsou prvočísly. Nicméně je známo následující tvrzení, viz [24]: 1. Jestliže Fn je prvočíslo a n ∈ N, n 6= 4, pak n je prvočíslo. 2. Jestliže Ln je prvočíslo a n ∈ N, které není mocninou čísla 2, pak n je prvočíslo. Věta 2.8. Každé přirozené číslo lze vyjádřit jako součet různých Lucasových čísel Li pro i ≥ 0. Důkaz. Důkaz je uveden např. v [11]. Poznámka 2.7. Vyjádříme si alespoň prvních deset přirozených čísel: 1 = L1 2 = L0 3 = L2 = L0 + L1 4 = L3 = L1 + L2 5 = L3 + L1 = L2 + L0 6 = L3 + L0 7 = L4 = L3 + L1 + L0 8 = L4 + L1 = L3 + L2 + L1 9 = L4 + L0 = L3 + L2 + L0 10 = L4 + L2 = L3 + L2 + L1 + L0 .. . Obdobně platí: Věta 2.9. Každé přirozené číslo lze vyjádřit jako součet různých Fibonacciho čísel Fi pro i ≥ 0. Důkaz. Důkaz je opět uveden např. v [11].

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 23 Poznámka 2.8. Opět si vyjádříme alespoň prvních deset přirozených čísel: 1 = F1 = F2 2 = F3 = F1 + F2 3 = F4 = F2 + F3 4 = F4 + F2 = F3 + F2 + F1 5 = F5 = F4 + F3 6 = F5 + F2 = F4 + F3 + F2 7 = F5 + F3 = F4 + F3 + F2 + F1 8 = F6 = F5 + F4 = F5 + F3 + F2 9 = F6 + F2 = F5 + F4 + F2 10 = F6 + F3 = F5 + F4 + F3 .. .


2.5

Řešené úlohy

Fibonacciho a Lucasova posloupnost Úloha 1. Vypište prvních dvacet členů 1. Fibonacciho posloupnosti: Fn = Fn−1 +Fn−2 , pro n ≥ 3, n ∈ N, přičemž F1 = 1 a F2 = 1. 2. Lucasovy posloupnosti: Ln = Ln−1 + Ln−2 , pro n ≥ 3, n ∈ N, přičemž L1 = 1 a L2 = 3. Řešení. V tabulce je vypsáno prvních dvacet Fibonacciho a Lucasových čísel. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Ln 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

89 144 233 377 610 987 1 597 2 584 4 181 6 765

199 322 521 843 1 364 2 207 3 571 5 778 9 349 15 127

Úloha 2. Načrtněte v soustavě souřadnic v rovině graf Fibonacciho posloupnosti (2.2). Rozhodněte, zda je posloupnost nerostoucí, či neklesající.

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 25 Řešení. Několik prvních členů Fibonacciho posloupnosti: F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5, F6 = 8, . . .

Obr. 2.1: Graf Fibonacciho posloupnosti Pro všechna r, s ∈ N platí: Je-li r < s, pak Fr ≤ Fs . Fibonacciho posloupnost je tedy neklesající. Úloha 3. Načrtněte v soustavě souřadnic v rovině graf Lucasovy posloupnosti (2.3). Rozhodněte, zda je posloupnost nerostoucí, či neklesající. Řešení. Několik prvních členů Lucasovy posloupnosti: L1 = 1, L2 = 3, L3 = 4, L4 = 7, L5 = 11, . . .

Obr. 2.2: Graf Lucasovy posloupnosti Pro všechna r, s ∈ N platí: Je-li r < s, pak Lr ≤ Ls . Lucasova posloupnost je tedy také neklesající.

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 26 Úloha 4. Dokažte větu 2.1 ze str.15. Řešení. Je zřejmé, že stačí dokázat, že každá lineární kombinace libovolných dvou řešení formule (2.1) je opět řešením formule (2.1). Nechť tedy ∞ (g(n))∞ n=1 , (h(n))n=1 jsou řešení formule (2.1), tj. platí g(n + k) = a1 g(n + k − 1) + a2 g(n + k − 2) + · · · + ak g(n) h(n + k) = a1 h(n + k − 1) + a2 h(n + k − 2) + · · · + ak h(n) pro všechna n ∈ N. Potřebujeme dokázat, že pro libovolná čísla c1 , c2 ∈ R je (r(n))∞ n=1 , kde r(n) = c1 g(n) + c2 h(n), také řešením formule (2.1). Pro každé n ∈ N platí: r(n + k) = c1 g(n + k) + c2 h(n + k) = = c1 [a1 g(n + k − 1) + · · · + ak g(n)] + c2 [a1 h(n + k − 1) + · · · + ak h(n)] = = a1 [c1 g(n + k − 1) + c2 h(n + k − 1)] + · · · + ak [c1 g(n) + c2 h(n)] = = a1 r(n + k − 1) + · · · + ak r(n), což znamená, že (r(n))∞ n=1 je řešením formule (2.1).

Úlohy na využití přímého důkazu Úloha 5. Dokažte, že pro součet prvních n Fibonacciho čísel platí n X i=1

Fi = F1 + F2 + F3 + · · · + Fn = Fn+2 − 1.

Řešení. Užitím rekurentní formule (2.2) získáváme F1 = F3 − F2 , F2 = F4 − F3 , F3 = F5 − F4 , .. . Fn−1 = Fn+1 − Fn , Fn = Fn+2 − Fn+1 . Součtem všech těchto rovnic dostáváme n X i=1

Fi = Fn+2 − F2 = Fn+2 − 1.

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 27 Úloha 6. Dokažte, že pro součet prvních n Fibonacciho čísel s lichými indexy platí n X F2i−1 = F1 + F3 + F5 + · · · + F2n−1 = F2n . i=1

Řešení. Opět využijeme rekurentní formuli (2.2). Platí F1 = F2 , F3 = F4 − F2 , .. . F2n−1 = F2n − F2n−2 .

Požadovaný výsledek získáme opět součtem všech těchto rovností. Úloha 7. Dokažte, že pro součet prvních n Fibonacciho čísel se sudými indexy platí n X i=1

F2i = F2 + F4 + F6 + · · · + F2n = F2n+1 − 1.

Řešení. Důkaz vychází z následujícího: Z (2.4) a (2.5) plyne n X i=1

F2i =

2n X i=1

Fi −

n X

F2i−1

i=1

= (F2n+2 − 1) − F2n = (F2n+2 − F2n ) − 1 = F2n+1 − 1.

Úloha 8. Dokažte, že pro součet prvních n Lucasových čísel platí n X i=1

Li = L1 + L2 + L3 + · · · + Ln = Ln+2 − 3.

Řešení. Užitím rekurentní formule (2.3) získáváme L1 = L3 − L2 , L2 = L4 − L3 , .. . Ln−1 = Ln+1 − Ln , Ln = Ln+2 − Ln+1 .

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 28 Součtem všech těchto rovnic dostáváme n X i=1

Li = Ln+2 − L2 = Ln+2 − 3.

Úloha 9. Dokažte, že pro součet prvních n Lucasových čísel s lichými indexy platí n X L2i−1 = L1 + L3 + L5 + · · · + L2n−1 = L2n − 2. i=1

Řešení. Opět využijeme rekurentní formuli (2.3). Platí L1 = L2 − L0 L3 = L4 − L2 , .. . L2n−1 = L2n − L2n−2 . Požadovaný výsledek získáme opět součtem všech těchto rovností. n X i=1

L2i−1 = L2n − L0 = L2n − 2.

Úloha 10. Pro součet prvních n Lucasových čísel se sudými indexy platí n X i=1

L2i = L2 + L4 + L6 + · · · + L2n = L2n+1 − 1.

Řešení. Důkaz vychází z následujícího: Z (2.7) a (2.8) plyne n X i=1

L2i =

2n X i=1

Li −

n X

L2i−1

i=1

= (L2n+2 − 3) − (L2n − 2) = (L2n+2 − L2n ) − 1 = L2n+1 − 1.


Úlohy na využití matematické indukce Úloha 11. Dokažte, že platí následující rovnost n X i=1

Fi2 = F12 + F22 + F32 + · · · + Fn2 = Fn Fn+1 .

Řešení. Tvrzení dokážeme matematickou indukcí: 1. Pro n = 1 tvrzení platí, neboť F12 = 12 = 1 = 1 · 1 = F1 · F2 . 2. Předpokládejme, že tvrzení platí pro n − 1, (n ≥ 2). Indukčním předpokladem je tedy rovnost 2 F12 + F22 + F32 + · · · + Fn−1 = Fn−1 Fn .

Nyní dokažme platnost tvrzení pro n. K oběma stranám indukčního předpokladu přičtěme Fn2 : 2 F12 + F22 + F32 + · · · + Fn−1 + Fn2 = Fn−1 Fn + Fn2 =

= Fn (Fn−1 + Fn ) = Fn Fn+1 . Užili jsme rekurentní formuli (2.2) a dokázali, že tvrzení (2.9) platí pro každé n ∈ N. Úloha 12. Dokažte, že platí rovnost Fn−1 Fn+1 − Fn2 = (−1)n ,

pro n ≥ 1.

Řešení. Tvrzení dokážeme matematickou indukcí: 1. Pro n = 1 tvrzení platí, neboť

F0 F2 − F12 = −12 = −1 = (−1)1 .

2. Předpokládejme, že tvrzení platí pro n − 1. Indukčním předpokladem je tedy rovnost 2 Fn−1 = Fn−2 Fn − (−1)n−1 , 2 Fn−1 = Fn−2 Fn + (−1)n−2 .

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 30 Nyní dokažme platnost tvrzení pro n. K oběma stranám indukčního předpokladu přičtěme Fn−1 Fn : 2 Fn−1 + Fn−1 Fn = Fn−1 Fn + Fn−2 Fn + (−1)n−2 Fn−1 (Fn−1 + Fn ) = Fn (Fn−1 + Fn−2 ) + (−1)n−2 Fn−1 Fn+1 = Fn2 + (−1)n−2 Fn−1 Fn+1 − Fn2 = (−1)n−2 Fn−1 Fn+1 − Fn2 = (−1)n

V úpravách jsme opět použili rekurentní formuli (2.2), a tím dokázali, že tvrzení (2.10) platí pro každé přirozené číslo n. Úloha 13. Nechť m, n ∈ N, m ≥ 2, n ≥ 1. Dokažte, že platí Fm+n = Fm−1 Fn + Fm Fn+1 . Řešení. Tvrzení dokážeme matematickou indukcí 1. Pro n = 1: pro n = 2:

Fm−1 F1 + Fm F2 = Fm−1 + Fm = Fm+1 , Fm−1 F2 + Fm F3 = Fm−1 + 2Fm = Fm+2 .

2. Předpokládejme, že tvrzení platí pro n = 1, 2, . . . , n − 1; dokážeme jej pro n. Dle indukčního předpokladu tedy platí Fm+n−2 = Fm−1 Fn−2 + Fm Fn−1 , Fm+n−1 = Fm−1 Fn−1 + Fm Fn . Sečtením těchto dvou rovnic získáváme Fm+n−2 + Fm+n−1 = Fm−1 Fn−2 + Fm−1 Fn−1 + Fm Fn−1 + Fm Fn Fm+n = Fm−1 (Fn−2 + Fn−1 ) + Fm (Fn−1 + Fn ) = Fm−1 Fn + Fm Fn+1 . Čímž jsme tvrzení (2.11) dokázali. Úloha 14. Dokažte, že platí následující rovnost n X i=1

L2i = L21 + L22 + L23 + · · · + L2n = Ln Ln+1 − 2.

Řešení. Tvrzení dokážeme matematickou indukcí:

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 31 1. Pro n = 1 tvrzení platí, neboť L21 = 12 = 1 = 1 · 3 − 2 = L1 · L2 − 2. 2. Předpokládejme, že tvrzení platí pro n − 1, (n ≥ 2). Indukčním předpokladem je tedy rovnost L21 + L22 + L23 + · · · + L2n−1 = Ln−1 Ln − 2. Nyní dokažme platnost tvrzení pro n. K oběma stranám indukčního předpokladu přičtěme L2n : L21 + L22 + L23 + · · · + L2n−1 + L2n = Ln−1 Ln + L2n − 2 = = Ln (Ln−1 + Ln ) − 2 = Ln Ln+1 − 2. Užili jsme rekurentní formuli (2.3) a dokázali, že tvrzení (2.12) platí pro každé n ∈ N.

Další úlohy na Fibonacciho a Lucasovy identity Úloha 15. Pomocí formule (2.4) vypočtěte součet

n P

Fi pro

i=1

1. n = 5 2. n = 8 Řešení. Dle (2.4) platí

n P

i=1

1.

5 P

i=1 5 P

i=1

2.

8 P

i=1 8 P

i=1

Fi = F1 + F2 + F3 + · · · + Fn = Fn+2 − 1.

Fi = F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12, Fi = F7 − 1 = 13 − 1 = 12. Fi = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 = 54, Fi = F10 − 1 = 55 − 1 = 54.

Úloha 16. Pomocí formule (2.7) vypočtěte součet

n P

i=1

Li pro

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 32 1. n = 5 2. n = 7 Řešení. Dle (2.7) platí

n P

i=1

1.

5 P

i=1 5 P

i=1

2.

7 P

i=1 7 P

i=1

Li = L1 + L2 + L3 + · · · + Ln = Ln+2 − 3.

Li = L1 + L2 + L3 + L4 + L5 = 1 + 3 + 4 + 7 + 11 = 26, Li = L7 − 3 = 29 − 3 = 26. Li = 1 + 3 + 4 + 7 + 11 + 18 + 29 = 73, Li = F9 − 3 = 76 − 3 = 73.


n P

Fi2 pro

i=1

1. n = 5 2. n = 7 Řešení. Dle (2.9) platí

n P

i=1

1.

5 P

i=1 5 P

i=1

2.

7 P

i=1 7 P

i=1

Fi2 = F12 + F22 + F32 + · · · + Fn2 = Fn Fn+1 .

Fi2 = F12 + F22 + F32 + F42 + F52 = 1 + 1 + 4 + 9 + 25 = 40, Fi2 = F5 F6 = 5 · 8 = 40. Fi2 = 1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 + 169 = 273, Fi2 = F7 F8 = 13 · 21 = 273.


n P

i=1

1. n = 3

L2i pro

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 33 2. n = 5 Řešení. Dle (2.12) platí

n P

i=1

1.

3 P

i=1 3 P

i=1

2.

5 P

i=1 5 P

i=1

L2i = L21 + L22 + L23 + · · · + L2n = Ln Ln+1 − 2.

L2i = L21 + L22 + L23 = 1 + 9 + 16 = 26, L2i = L3 L4 − 2 = 4 · 7 − 2 = 26. L2i = 1 + 9 + 16 + 49 + 121 = 196, L2i = L5 L6 − 2 = 11 · 18 − 2 = 196.

Úloha 19. Ověřte, že platí: 1. F10 = F5 L5 ; 2. F6 + F4 = L5 ; 3. L7 + L9 = 5F8 ; 4. F72 − F52 = F12 ; 5. F62 + F52 = F11 ; Řešení. Ověříme dosazením: 1. Rovnost splňuje identitu F2n = Fn Ln . F10 = 55 = 5 · 11 = F5 L5 . 2. Rovnost splňuje identitu Fn+1 + Fn−1 = Ln . F6 + F4 = 8 + 3 = 11 = L5 . 3. Rovnost splňuje identitu Ln+1 + Ln−1 = 5Fn . L7 + L9 = 29 + 76 = 105 = 5 · 21 = 5F8 . 2 2 4. Rovnost splňuje identitu Fn+1 − Fn−1 = F2n . 2 2 2 2 F7 − F5 = 13 − 5 = 169 − 25 = 144 = F12 . 2 5. Rovnost splňuje identitu Fn+1 + Fn2 = F2n+1 . F62 + F52 = 82 + 52 = 64 + 25 = 89 = F11 .


Dělitelnost Fibonacciho a Lucasových čísel Úloha 20. Dokažte druhé tvrzení věty 2.5, str. 19. Řešení. Dokazujeme tvrzení: Každá dvě sousední Fibonacciho čísla jsou nesoudělná, tedy rovnost (Fn , Fn+1 ) = 1. A) Tvrzení dokážeme sporem. Nechť (Fn , Fn+1 ) = d, d > 1. Pak platí Potom

Fn = k · d,

Fn+1 = l · d,

(k, l) = 1.

Fn−1 = Fn+1 − Fn ⇒ Fn−1 = l · d − k · d ⇒

⇒ (Fn−1 , Fn ) = d ⇒ · · · ⇒ (F1 , F2 ) = d,

d > 1.

To je ovšem spor s tím, že (F1 , F2 ) = (1, 1) = 1 (neboť dle předpokladu d > 1). Odtud tedy plyne tvrzení (Fn , Fn+1 ) = 1. B) Toto tvrzení lze dokázat také následovně: Nechť platí (Fn , Fn+1 ) = d, d > 1. Pro n = 1 dostaneme d | F1 = 1, což je spor. Pro n > 1: Fn+1 − Fn = Fn−1 .

Dle předpokladu d | Fn , d | Fn+1 , tedy d | Fn−1 . Odtud obdobně získáme d | Fn−2 , . . . , d | F1 , což je spor. Úloha 21. Dokažte, že dvě sousední Lucasova čísla jsou nesoudělná, věta 2.7, str. 21. Řešení. Dokazujeme tedy, že pro každé n ∈ N0 platí (Ln+2 , Ln+1 ) = 1. Tvrzení dokážeme sporem. Nechť (Ln+1 , Ln+2 ) = d, d > 1. Pak platí Ln+1 = k · d,

Ln+2 = l · d,

(k, l) = 1.

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 35 Potom Ln = Ln+2 − Ln+1 ⇒ Ln = l · d − k · d ⇒

⇒ (Ln , Ln+1 ) = d ⇒ · · · ⇒ (L1 , L2 ) = d,

d > 1.

To je ovšem spor s tím, že (L1 , L2 ) = (1, 3) = 1 (neboť dle předpokladu d > 1). Odtud tedy plyne tvrzení (Ln+1 , Ln+2 ) = 1. Úloha 22. Ověřte, že platí 1. F7 | F21 ; 2. (F12 , F18 ) = F(12,18) ; 3. L5 | F10 ; Řešení. Ověříme dosazením: 1. Splňuje vztah Fm | Fmn , kde m, n ∈ N. F7 = 13, F21 = 10 946 a tedy 13 | 10 946. 2. Splňuje vztah (Fm , Fn ) = F(m,n) , kde m, n ∈ N. (F12 , F18 ) = (144, 2 584) = 8 = F6 = F(12,18) . 3. Splňuje vztah Lm | Fn ⇐⇒ 2m | n, kde m ≥ 2, m, n ∈ N. L5 = 11, F10 = 55, tedy 11 | 55; přičemž (2 · 5 | 10). Úloha 23. Vypočtěte: 1. F(F5 ,F10 ) ; 2. L(F5 ,F15 ) ; 3. L(F6 ,L6 ) ; 4. F(F5 ,F10 ,F15 ) ; 5. L(F6 ,L6 ,L9 ) ; Řešení. Přímým dosazením získáváme 1. F(F5 ,F10 ) = F(5,55) = F5 = 5. 2. L(F5 ,F15 ) = L(5,610) = L5 = 11. 3. L(F6 ,L6 ) = L(8,18) = L2 = 3.

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 36 4. F(F5 ,F10 ,F15 ) = F(5,55,610) = F5 = 5. 5. L(F6 ,L6 ,L9 ) = L(8,18,76) = L2 = 3.

Úloha 24. Ověřte, že platí: F12 = F3 (L9 − L3 ) = F3 L3 L6 = F4 (L8 + 1) = F6 L6 . Řešení. Platí: F3 = 2, F4 = 3, F6 = 8, F12 = 144, L3 = 4, L6 = 18, L8 = 47, L9 = 76. 144 = 2 · (76 − 4) = 2 · 4 · 18 = 3 · (47 + 1) = 8 · 18. Úloha 25. Ověřte, že platí: 1. L4 dělí F8 a F16 ; 2. F7 dělí F14 a F21 ; 3. F24 je dělitelné F3 , F4 , F6 , F8 a F12 ; Řešení. Ověříme dosazením: 1. L4 = 7, F8 = 21, F16 = 987; 7 | 21; 7 | 987; 2. F7 = 13, F14 = 377, F21 = 10 946; 13 | 377; 13 | 10 946; 3. Snadno lze ověřit, že F24 = 46 368 je dělitelné F3 = 2, F4 = 3, F6 = 8, F8 = 21, F12 = 144,


Kapitola 3 Fibonacciho čísla v geometrii Třetí kapitola je věnována souvislostem Fibonacciho čísel s některými geometrickými pojmy. Těžiště kapitoly tvoří vztah Fibonacciho čísel se zlatým řezem a pravidelným pětiúhelníkem (viz podkapitoly 3.1, 3.2). Dále jsou do kapitoly zařazeny zajímavosti o Fibonacciho čtyřúhelnících a důkaz jednoho geometrického paradoxu. V závěru kapitoly je uvedeno 25 řešených úloh vztahujících se k tématice Fibonacciho čísel v geometrii.

3.1

Zlatý řez

Uvažujme podíly dvou po sobě jdoucích čísel Fibonacciho posloupnosti, přičemž vydělíme každé číslo číslem předcházejícím, tj. hledáme čísla FFn+1 , kde n Fn = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . ; n ∈ N. Nalezneme následující posloupnost čísel: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fn+1 /Fn 1/1 = 1, 0000000000 2/1 = 2, 0000000000 3/2 = 1, 5000000000 . 5/3 = 1, 6666666667 8/5 = 1, 6000000000 13/8 = 1, 6250000000 . 21/13 = 1, 6153846154 . 34/21 = 1, 6190476191 . 55/34 = 1, 6176470588 . 89/55 = 1, 6181818182

Tabulka 3.1: Prvních deset členů posloupnosti

Fn+1 , Fn

pro n ∈ N

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 38 Posloupnost můžeme znázornit graficky, viz obr. 3.1:

Obr. 3.1: Grafické znázornění posloupnosti

Fn+1 Fn

Limita této posloupnosti je rovna hodnotě, kterou nazýváme zlatým podílem nebo také zlatým číslem, nejčastěji však zlatým řezem. Má hodnotu přibližně 1,618034. Toto iracionální číslo je označováno řeckým písmenem Φ a lze jej vyjádřit ve tvaru: √ 1+ 5 . Φ= = 1, 61803398875 . . . (3.1) 2 Označení zavedl americký matematik Mark Barr začátkem 20. století. Malým písmenem φ označujeme desetinnou část tohoto čísla √ √ 1+ 5 5−1 . = 0, 61803398875 . . . −1 = φ= 2 2 Odkud se vzalo vyjádření (3.1)? Již antický učenec Eukleides (kolem r. 300 př.n.l.), autor věhlasných Základů, knihy, podle které studovalo geometrii nejedno pokolení, se zabýval úlohou: „Jak rozdělit danou úsečku na dvě části tak, aby poměr celé úsečky k větší části byl stejný jako poměr větší části k menší.ÿ Tedy označíme-li délku dané úsečky a, délku její větší části x, pak můžeme psát: a x = x a−x Odtud x2 + ax − a2 = 0. (3.2) Jelikož hledáme délku větší části úsečky, tj. kladný kořen rovnice (3.2), pak √ √ 5−1 1+ 5 x= a, tedy a= x. 2 2

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 39 Potom

√ 1+ 5 a = = Φ. x 2

Obr. 3.2: Zlatý řez úsečky AB Ve středověku a v období renesance, která se opírala o antickou kulturu, byli matematici tak okouzleni tímto poměrem, že byl nazýván „božským poměremÿ (latinsky divina proportio)1 . Jak již bylo uvedeno výše, je možno božský poměr aproximovat zlomkem tvořeným dvěma po sobě jdoucími členy Fibonacciho posloupnosti. Zlaté číslo lze tedy zavést nejen jako poměr délek dvou částí úsečky, ale i jako limitu2 Fn+1 Φ = lim . n→∞ Fn Obdobně je tomu i pro Lucasova čísla, kdy dělíme dvě po sobě jdoucí je také rovna zlatému čísla Lucasovy posloupnosti. Limita posloupnosti LLn+1 n řezu, viz obr. 3.3. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ln+1 /Ln 3/1 = 3, 0000000000 . 4/3 = 1, 3333333333 7/4 = 1, 7500000000 . 11/7 = 1, 5714285714 . 18/11 = 1, 6363636364 . 29/18 = 1, 6111111111 . 47/29 = 1, 6206896551 . 76/47 = 1, 6170212766 . 123/76 = 1, 6184210526 . 199/123 = 1, 6178861788

Tabulka 3.2: Prvních deset členů posloupnosti 1 2

Ln+1 , Ln

pro n ∈ N

Názvů „zlatý řezÿ a „zlatý poměrÿ se začalo užívat až v 19. století. Poprvé dokázáno skotským matematikem Robertem Simsonem v roce 1753.


Obr. 3.3: Grafické znázornění posloupnosti

Ln+1 Ln

Platí tedy i tento vztah

Ln+1 . n→∞ Ln Pokud se jedná o poměr délek dvou částí úsečky, platí Φ = lim

Φ= Proto

a x = , x a−x

tedy a(a − x) = x2 .

a a−x x x 2 ) = = + =Φ+1 a−x a−x a−x a−x a kvadratická rovnice Φ2 − Φ − 1 = 0 Φ2 = (

(3.3)

má následující kořeny

√ 1+ 5 Φ= 2

√ 1− 5 a Φ = , 2 ′

kde kladný kořen Φ vyhovuje Eukleidově úloze. Poznámka 3.1. Uvědomme (3.3) je charakteristickou rovnicí √ n si, že rovnice √ n 1+ 5 1− 5 formule (2.2) a tedy a jsou řešení formule (2.2). 2 2

Poznámka 3.2. Připomeňme si nyní konstrukci zlatého řezu založenou na užití Pythagorovy věty, viz obr. 3.4: |AB| : |AE| = |AE| : |EB| V případě, že chceme rozdělit úsečku AB v poměru zlatého řezu, sestrojíme nad touto úsečkou pravoúhlý trojúhelník, jak je znázorněno na obr. 3.4. Velikost strany BC je rovna a2 . Tuto vzdálenost přeneseme na stranu AC a získáme bod D. Nyní do kružítka vezmeme velikost AD a přeneseme ji na úsečku AB, kde získáváme bod E. Bod E dělí úsečku AB v poměru zlatého řezu.


Obr. 3.4: Konstrukce zlatého řezu Ověřme nyní, že užitím Pythagorovy věty skutečně získáme úsečku rozdělenou v poměru zlatého řezu. Dle Pythagorovy věty platí: a 2 a 2 a2 + = x+ 2 2 a2 5 2 a = x2 + ax + 4 4 2 2 a = x + ax a(a − x) = x2 x a = x a−x Konstrukce celkové délky úsečky AB v případě, že známe délku většího, či menšího dílu úsečky AB rozdělené v poměru zlatého řezu, viz řešené úlohy 47, 48. Konstanty Φ a Φ′ = − Φ1 hrají také důležitou úlohu při analýze Fibonacciho čísel. A to díky vztahu pro přímé určení n-tého Fibonacciho čísla. Věta 3.1. Pro všechna n ∈ N0 platí: Fn =

Φn − (Φ′ )n Φn − (Φ′ )n √ . = Φ − Φ′ 5

(3.4)

Tento vztah nazýváme Binetova formule pro Fibonacciho čísla 3 . Důkaz. Viz řešená úloha 33, str. 55. Tuto formuli publikoval již v roce 1765 Leonhard Euler (1707–1783). V roce 1843 ji znovu objevil francouzský matematik Jacques Philippe Marie Binet (1786–1856). 3

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 42 Pro přímé určení n-tého Lucasova čísla platí: Věta 3.2. Pro všechna n ∈ N0 platí: Ln = Φn + (Φ′ )n = Φn + (−1)n Φ−n .

(3.5)

Tento vzorec pro n-tý člen Lucasovy posloupnosti, který lze odvodit z kvadratické rovnice (3.3), se nazývá Binetova formule pro Lucasova čísla. Důkaz. Viz řešená úloha 35, str. 56. Binetovu formuli (3.4), (3.5) lze využít v mnoha dalších důkazech rovností s Fibonacciho a Lucasovými čísly, viz řešené úlohy 40 – 45. Věta 3.3. Nechť Φ a Φ′ jsou řešeními kvadratické rovnice x2 − x − 1 = 0, tedy √ √ 1 − 1+ 5 5 , Φ′ = . Φ= 2 2 Pak platí: 1. Φ + Φ′ = 1. √ 2. Φ − Φ′ = 5. 3. Φ · Φ′ = −1. 4. Φ2 + (Φ′ )2 = 3. Důkaz. Všechna tvrzení lze snadno dokázat jednoduchým dosazením, viz řešená úloha 26, str. 52. Věta 3.4. Pro ∀ n ∈ N, n ≥ 2 platí: 1. Φn = ΦFn + Fn−1 , 2. (Φ′ )n = Φ′ Fn + Fn−1 . Důkaz. Viz řešená úloha 30, str. 53.


3.2

Pravidelný pětiúhelník

Pětiúhelník je jediný mnohoúhelník, který má stejný počet úhlopříček jako stran. Sestrojíme pravidelný pětiúhelník, známe-li poloměr kružnice opsané, a ukážeme, kde lze v pravidelném pětiúhelníku nalézt zlatý řez. Konstrukci provedeme tzv. eukleidovsky, tj. pouze s využitím kružítka a pravítka (bez měřítka a úhloměru).

Obr. 3.5: Konstrukce stran a5 , a6 , a10 V kružnici se středem S sestrojíme průměr AC a průměr BD na něj kolmý. Bod O je středem úsečky AS. Z bodu O opíšeme část kružnice o poloměru OD, která nám protne úsečku AC v bodě E. Vzdálenost DE je hledaná velikost strany pravidelného pětiúhelníku. Úsečka SE je stranou pravidelného desetiúhelníku a úsečka SD je stranou pravidelného šestiúhelníku, viz obr. 3.5. Již Eudoxos (4. stol. př.n.l.) věděl, že platí rovnost: a25 = a26 + a210 , kde a5 , a6 a10 značí strany pravidelného pětiúhelníku, šestiúhelníku a desetiúhelníku vepsaného stejnému kruhu. Snadno lze ověřit platnost následujících tvrzení: 1. Úhlopříčky v pravidelném pětiúhelníku se protínají v poměru zlatého

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 44 řezu. △ ABE ∼ △ F AE |BE| : |AB| = |AE| : |F A| |AB| = |BF | = |AE| |AF | = |EF | |BE| : |BF | =|BF | : |EF | = Φ Úsečka BF je větší díl úhlopříčky BE dělené zlatým řezem, viz obr. 3.6.

Obr. 3.6: Úhlopříčky pravidelného pětiúhelníku protínající se v poměru zlatého řezu 2. Poměr úhlopříčky a strany pravidelného pětiúhelníku je zlatý. Tedy poměr |BE| : |AB| = Φ, jak plyne z odvozování prvního tvrzení. 3. Jestliže sestrojíme všechny úhlopříčky tohoto pravidelného pětiúhelníku, dostaneme pěticípou hvězdu, uvnitř které je opět pravidelný pětiúhelník. Platí, že průsečíky úhlopříček pravidelného pětiúhelníku ABCDE jsou vrcholy pravidelného pětiúhelníku KLMNO, viz obr. 3.7. Poměr stran pětiúhelníků je roven Φ2 .


Obr. 3.7: Pravidelné pětiúhelníky ABCDE a KLMNO Úhlopříčky dělí každý vnitřní úhel pravidelného pětiúhelníku na tři shodné úhly, velikost každého z nich označme α = 36◦ . Z konstrukce, viz obr. 3.7, je patrno |∢ALK| = |∢ACD| = 2α = 72◦ |∢OKL| = |∢OEK| + |∢EOK| = 3α = 108◦ △ EOK ∼ = △ BLM . . . = △ AKL ∼ Pětiúhelník KLMNO je pravidelný. Označme délky jeho stran x. Je-li délka původního pětiúhelníku ABCDE rovna jedné, platí: |AE| = |AO| = 1, |AK| = |DO| = 1 − x, |AO| |AO| |AO| Φ= = = , |DO| |AK| |AO| − |KO| |KO| 1 =1− . Φ |AO| Úpravou a s využitím rovnosti Φ − 1 =

1 Φ

získáváme

Φ |AO| = = Φ2 . |KO| Φ−1


3.3

Fibonacciho čtyřúhelníky

Uvažme nyní obdélník, jehož delší strana má velikost a a kratší strana velikost b. Zvolíme-li strany a, b tak, aby ab = Φ, nazveme tento obdélník zlatým. Pro tento zlatý obdélník platí následující zajímavá vlastnost: Vepíšeme-li zlatý obdélník do čtverce, jako na obr. 3.8, vrcholy obdélníku pak dělí strany čtverce zlatým řezem.

Obr. 3.8: Zlatý obdélník vepsaný do čtverce Důkaz. Chceme tedy dokázat, že dc = Φ. Pro trojúhelník ALB (stejně jako pro trojúhelník DCN) musí dle Pythago√ a 2 2 2 2 rovy věty platit c + c = a . Odtud c = 2 . Analogicky pro trojúhelník BMC (stejně jako pro trojúhelník KAD) √ b 2 2 2 2 musí dle Pythagorovy věty platit d + d = b . Odtud d = 2 . Tedy √ a 2 c a = √2 = = Φ. 2 b d b 2

Soubor čtverců, jejichž velikosti stran jsou právě Fibonacciho čísla, nazýváme Fibonacciho čtyřúhelníky, viz obr. 3.9. Každý nový čtverec má délku strany odpovídající součtu velikostí stran dvou posledních čtverců. Spirálu tvořenou čtvrtinami kružnic a zakreslenou do Fibonacciho čtyřúhelníků způsobem znázorněným na obr. 3.10 nazýváme zlatá spirála. Zlatá spirála je tedy vepisována do obdélníků, jejichž poměry stran se blíží zlatému


Obr. 3.9: Fibonacciho čtyřúhelníky řezu. Můžeme ji nalézt na mnoha místech v přírodě – ve tvaru ulit měkkýšů, v uspořádání semen kvetoucích rostlin, ve tvaru galaxií, . . . , viz obr. 3.11, 3.12, 3.13.

Obr. 3.10: Zlatá spirála

Obr. 3.11: Galaxie

Obr. 3.12: Měkkýš

Obr. 3.13: Semena

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 48 Zlatý řez dále nalézá své uplatnění např. v umění, v architektuře, . . . Nejčastěji se připomíná členění Parthenonu na Akropoli v Aténách, obr. 3.14, které vytvořil známý sochař Feidiás (kolem roku 500 př.n.l.). Tam dělí sloupy celkovou výšku ve zlatém řezu, tj. poměr celé výšky k výšce sloupů se blíží Φ a stejný je i poměr šířky a výšky stavby.

Obr. 3.14: Parthenon


3.4

Geometrický paradox 64 = 65?

Anglický matematik Charles Lutwidge Dodgson (1832–1898), jehož literárním pseudonymem bylo jméno Lewis Carroll, rád bavil své přátele hádankami. Jeho oblíbenou hádankou byl i následující geometrický paradox, jehož základním kamenem je identita (2.10): Fn−1 Fn+1 − Fn2 = (−1)n ,

pro n ≥ 1.

Důkaz identity (2.10), viz řešená úloha 12, str. 29. Podívejme se nyní na obr. 3.15. Jedná se o čtverec se stranou o velikosti 8 jednotek a rozdělme jej na čtyři části tak, jak je naznačeno na obrázku.

Obr. 3.15: Čtverec 8 × 8 Z těchto částí pak složíme obdélník, viz obr. 3.16, velikosti jeho stran budou 13 a 5, t.j. s obsahem rovným 65.

Obr. 3.16: Obdélník 13 × 5 Obsah čtverce je tedy 8 × 8 = 64 a obsah obdélníku je roven 13 × 5 = 65. Jak je to možné?


Obr. 3.17: Obdélník 13 × 5 Vysvětlit toto na první pohled záhadné pozorování je snadné. Body A, B, C a D v obr. 3.17 totiž ve skutečnosti neleží na přímce, nýbrž jsou to vrcholy rovnoběžníku, jehož obsah je právě roven záhadné jednotce. Obsah rovnoběžníku = obsah obdélníku − obsah čtverce = 65 − 64 = 1. Obsah rovnoběžníku je tedy roven: F7 F5 − F62 = (−1)6 , 5 · 13 − 82 = 1. Obecný důkaz : Místo čtverce se stranou 8 jednotek vyjděme ze čtverce, jehož strana je rovna nějakému Fibonacciho číslu s dosti velkým sudým indexem F2n , viz obr. 3.18.

Obr. 3.18: Čtverec F2n × F2n Rozdělíme tento čtverec na části a z těchto částí složíme obdélník obr. 3.19.


Obr. 3.19: Obdélník F2n+1 × F2n−1 Pro n sudá, tzn. n = 2k, lze identitu (2.10) přepsat 2 F2k−1 F2k+1 − F2k = (−1)2k = 1,

tedy v našem případě je obsah rovnoběžníku také roven jedné. Určeme nyní výšku h tohoto rovnoběžníku: Obsah rovnoběžníku = základna · výška, q 2 2 + F2n−2 · h, 1 = F2n

základnu jsme určili dle Pythagorovy věty. Největší šířka této štěrbiny, t.j. výška rovnoběžníku, je tedy rovna h= p

1 . 2 2 F2n + F2n−2

Proto, vyjdeme-li od čtverce se stranou 21 cm a „proměníme-liÿ jej v obdélník se stranami 34 cm a 13 cm, dostaneme jako největší šířku štěrbiny hodnotu √ 1 cm, t.j. přibližně 0,4 mm, což se okem skoro nedá postřehnout. 212 +82


3.5

Řešené úlohy

Základní vlastnosti čísel Φ a Φ′ Úloha 26. Dokažte větu 3.3 ze str. 42. Řešení. Dokazujeme tedy platnost tvrzení: 1. Φ + Φ′ = 1. √ 2. Φ − Φ′ = 5. 3. Φ · Φ′ = −1. 4. Φ2 + (Φ′ )2 = 3. Tvrzení dokážeme jednoduchým dosazením Φ = 1. 2.

√ 1+ 5 2 √ 1+ 5 2

+

√ 1− 5 2 √ 1− 5 2

=

√ √ 1+ 5+1− 5 2 √ √ 1+ 5−1+ 5 2

− = √ √ 3. 1+2 5 · 1−2 5 =

4.

√ 2 1+ 5 2

+

√ 2 1− 5 2

=

2 2

=

√ 2 5 2

√ 1+2 5+5 4

Φ′ =

= =

+

√

5.

1−5 4

= − 44 = −1.

√ 1−2 5+5 4

=

1+5+1+5 4

=

12 4

Úloha 27. Ověřte, že platí: Φ=1+

1 . Φ

Řešení. √ 2(1 − 5) √ = 1+ √ √ = 1+ 5 (1 + 5)(1 − 5) 2 √ √ 1+ 5 (1 − 5) = = Φ. =1− 2 2

1 1+ =1+ Φ

√ 1− 5 . 2

= 1.

√ √ (1+ 5)(1− 5) 4

=

√ 1+ 5 , 2

1

Úloha 28. Ověřte, že platí: Φ−1 = −Φ′ .

= 3.

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 53 Řešení. Φ−1

√ !−1 √ ! 2 1+ 5 1− 5 √ √ = = = 2 1+ 5 1− 5 √ √ 1− 5 2(1 − 5) =− = −Φ′ . = 1−5 2

Úloha 29. Ověřte, že platí: Φ= Řešení.

1 . Φ−1

√ 2(−1 − 5) √ √ √ = = 1+ 5 (−1 + 5)(−1 − 5) − 1 2 √ √ 1+ 5 −2(1 + 5) = = Φ. = −4 2

1 = Φ−1

1

Úloha 30. Dokažte, že pro ∀ n ∈ N, n ≥ 2 platí: 1. Φn = ΦFn + Fn−1 , 2. (Φ′ )n = Φ′ Fn + Fn−1 , viz věta 3.4 ze str. 42. Řešení 1. Nejprve dokažme první tvrzení: Φn = ΦFn + Fn−1 . Tvrzení dokážeme matematickou indukcí: 1. Pro n = 2 tvrzení platí, neboť √ √ √ !2 3+ 5 1+2 5+5 1+ 5 2 = ; = Φ = 2 4 2 √ √ 1+ 5 3+ 5 ΦF2 + F1 = Φ + 1 = +1= . 2 2 Pro n = 3 tvrzení také platí √ √ √ √ !3 √ 16 + 8 5 1 + 3 5 + 15 + 5 5 1+ 5 3 = = 2 + 5; = Φ = 2 8 8

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 54 √ √ 1+ 5 ΦF3 + F2 = 2 + 1 = 2 + 5. 2 2 Zde si povšimněme, že Φ = Φ + 1. 2. Předpokládejme nyní, že tvrzení platí pro 2, . . . , n; n ≥ 3 a dokažme jej pro n + 1: Φn+1 = Φ2 Φn−1 = Φn + Φn−1 = ΦFn + Fn−1 + ΦFn−1 + Fn−2 = = Φ(Fn + Fn−1 ) + (Fn−2 + Fn−1 ) = ΦFn+1 + Fn .

Řešení 2. Nyní dokažme druhé tvrzení: (Φ′ )n = Φ′ Fn + Fn−1 . Tvrzení opět dokážeme matematickou indukcí: 1. Pro n = 2 tvrzení platí, neboť √ !2 √ √ 1− 5 3− 5 1−2 5+5 ′ 2 (Φ ) = = ; = 2 4 2 √ √ 3− 5 1− 5 +1= . Φ F2 + F1 = Φ + 1 = 2 2 Pro n = 3 tvrzení také platí √ √ !3 √ √ √ 5 1 − 16 − 8 5 1 − 3 5 + 15 − 5 5 ′ 3 (Φ ) = = = 2 − 5; = 2 8 8 ′

′

√ √ 1 − 5 Φ′ F3 + F2 = 2 + 1 = 2 − 5. 2 2. Předpokládejme nyní, že tvrzení platí pro 2, . . . , n; n ≥ 3 a dokažme jej pro n + 1: (Φ′ )n+1 = (Φ′ )2 (Φ′ )n−1 = (Φ′ )n + (Φ′ )n−1 = = Φ′ Fn + Fn−1 + Φ′ Fn−1 + Fn−2 = = Φ′ (Fn + Fn−1 ) + (Fn−2 + Fn−1 ) = Φ′ Fn+1 + Fn .

Úloha 31. Nechť platí Φ2 = Φ + 1. Ověřte platnost rovností: 1. Φ3 = 2Φ + 1;

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 55 2. Φ4 = 3Φ + 2; Řešení. Rovnosti ověříme dosazením: 1. Φ3 = Φ(Φ2 ) = Φ(Φ + 1) = Φ2 + Φ = (Φ + 1) + Φ = 2Φ + 1. 2. Φ4 = Φ(Φ3 ) = Φ(2Φ + 1) = 2Φ2 + Φ = 2(Φ + 1) + Φ = 3Φ + 2.

Úloha 32. Ověřte, že platí: L3 = Φ3 −

1 . Φ3

Řešení. Využijeme platnost vztahu z úlohy 31: Φ3 = 2Φ + 1. Platí tedy √ 1 1 1 √ Φ3 − 3 = 2Φ + 1 − =2+ 5− Φ 2Φ + 1 2+ 5 √ √ = 2 + 5 + 2 − 5 = 4 = L3 .

√ ! 2− 5 √ = 2− 5

Úloha 33. Dokažte platnost Binetovy formule pro Fibonacciho čísla: Fn =

Φn − (Φ′ )n Φn − (Φ′ )n √ = , Φ − Φ′ 5

pro ∀ n ∈ N0 .

Řešení. Podle Věty 2.2 lze libovolné řešení (g(n))∞ n=1 formule (2.2) zapsat jako (viz poznámka 3.1, str. 40): √ !n !∞ √ !n 5 5 1 − 1 + + c2 g(n)∞ c1 n=1 = 2 2 n=1

Hledejme tedy takové řešení (Fn )∞ n=1 formule (2.2), že F1 = 1 a F2 = 1. Musí platit: √ √ 1+ 5 1− 5 c1 + c2 = 1, 2 2 √ !2 √ !2 1− 5 1+ 5 + c2 = 1. c1 2 2

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 56 Tato soustava rovnic má právě jedno řešení 1 c2 = − √ . 5

1 c1 = √ , 5 Odtud plyne 1 Fn = √ 5

"

√ !n 1+ 5 − 2

√ !n # Φn − (Φ′ )n 1− 5 √ . = 2 5

Úloha 34. Ověřte, že platí: F4 =

Φ4 − Φ−4 √ . 5

Řešení. Využijeme platnost rovnosti z úlohy 26: a platnost rovnosti z úlohy 28: Φ−1 = −Φ′ .

Φ − Φ′ =

√

5

Φ4 − (Φ′ )4 Φ4 − Φ−4 √ = = F4 . Φ − Φ′ 5 Úloha 35. Dokažte platnost Binetovy formule pro Lucasova čísla: Ln = Φn + (Φ′ )n = Φn + (−1)n Φ−n ,

pro ∀ n ∈ N0 .

Řešení. Hledejme tedy takové řešení (Ln )∞ n=1 formule (2.3), že L1 = 1 a L2 = 3. Musí platit: √ √ 1− 5 1+ 5 + c2 = 1, c1 2 2 √ !2 √ !2 1+ 5 1− 5 c1 + c2 = 3. 2 2 Tato soustava rovnic má právě jedno řešení c1 = c2 = 1. Odtud plyne Ln =

√ !n 1+ 5 − 2

√ !n 1− 5 = Φn + (Φ′ )n . 2


Vztah mezi Fibonacciho čísly, rekurentními formulemi a zlatým řezem Úloha 36. Nechť an =

Fn+1 ,n Fn

∈ N. Nalezněte rekurentní formuli pro an .

Řešení. Užitím rekurentní formule (2.2) získáváme an =

Fn−1 + Fn Fn−1 Fn+1 = = +1= Fn Fn Fn

tedy an = 1 +

1 Fn Fn−1

+1=

1 an−1

+ 1,

1 . an−1

Úloha 37. Nechť bn =

Fn+1 ,n Fn

∈ N. Nalezněte rekurentní formuli pro b2n .

Řešení. Opět užitím rekurentní formule (2.2) získáváme b2n =

2 2 Fn−1 + 2Fn−1 Fn + Fn2 Fn+1 (Fn−1 + Fn )2 = = = Fn2 Fn2 Fn2

2 Fn−1 Fn−1 = +1= +2 2 Fn Fn

tedy b2n =

1 b2n−1

+

2 bn−1

1 Fn2 2 Fn−1

+2

1 Fn Fn−1

+1=

1 b2n−1

+

2 bn−1

+ 1,

+ 1.

Úloha 38. Nechť n ∈ N. Dokažte, že platí identita (2.16): F2n = Fn Ln . Řešení. K důkazu využijeme Binetovu formuli pro 2n-tý člen Fibonacciho posloupnosti: n Φ2n − (Φ′ )2n Φ − (Φ′ )n F2n = = (Φn + (Φ′ )n ) = Fn Ln . Φ − Φ′ Φ − Φ′ Úloha 39. Nechť n ∈ N, n ≥ 2. Ukažte, že dvojnásobek zlomku vyjádřit jako podíl dvou Fibonacciho čísel.

1 1 + L1 Fn n

lze

Řešení. Využijeme formuli (2.2), identitu (2.17) a rovnost Fn Ln = F2n . 1 Fn

2 +

1 Ln

=

2 Ln +Fn Ln Fn

=

2F2n 2F2n F2n 2Fn Ln = = = . Fn + Ln Fn + Fn−1 + Fn+1 Fn+1 + Fn+1 Fn+1

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 58 Úloha 40. Nechť je dán vztah pro určení n-tého Fibonacciho čísla (3.4), n > 0. Dokažte, že platí F−n = (−1)n+1 Fn . Řešení. Vztah pro Fibonacciho čísla se zápornými indexy odvodíme pomocí Binetovy formule (3.4) a věty 3.3. Platí tedy F−n

Φ−n − (Φ′ )−n = = Φ − Φ′ = (−1)

1 Φn

1 (Φ′ )n − Φ′

−

Φ

=−

Φn − (Φ′ )n = (Φ · Φ′ )n (Φ − Φ′ )

− (Φ′ )n = (−1)n+1 Fn . ′ Φ−Φ

n n+1 Φ

Úloha 41. Nechť je dán vztah pro určení n-tého Lucasova čísla (3.5), n > 0. Dokažte, že platí L−n = (−1)n Ln . Řešení. Vztah pro Lucasova čísla se zápornými indexy odvodíme pomocí Binetovy formule pro Lucasova čísla (3.5). Platí tedy L−n = Φ−n + (Φ′ )−n =

1 1 Φn + (Φ′ )n + = = Φn (Φ′ )n (Φ · Φ′ )n

= (−1)n (Φn + (Φ′ )n ) = (−1)n Ln .

Úloha 42. Nechť n ∈ N, n ≥ 3. Dokažte, že platí identita (2.17): Ln = Fn−1 + Fn+1 . Řešení. Dle (3.5) a Věty 3.4 a 3.3 platí Ln = Φn + (Φ′ )n = ΦFn + Fn−1 + Φ′ Fn + Fn−1 = 2Fn−1 + Fn (Φ + Φ′ ) = = Fn−1 + Fn−1 + Fn = Fn−1 + Fn+1 .

Úloha 43. Nechť n ∈ N, n ≥ 3. Dokažte, že platí rovnost (2.13): 1 Fn = (Ln−1 + Ln+1 ). 5

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 59 Řešení. Dle úlohy 42 platí Ln−1 = Fn−2 + Fn ,

Ln+1 = Fn + Fn+2 .

Tedy 1 1 (Ln−1 + Ln+1 ) = (Fn−2 + Fn + Fn + Fn+2 ) = 5 5 1 = (Fn − Fn−1 + Fn + Fn + Fn + Fn+1 ) = 5 1 1 = (4Fn + Fn+1 − Fn−1 ) = (4Fn + Fn ) = Fn . 5 5 Úloha 44. Nechť n ∈ N. Dokažte, že platí identita (2.14): 1 Fn2 = (L2n − 2(−1)n ). 5

Řešení. Dle vztahu (3.4) a Věty 3.3 platí n 2 1 Φ − (Φ′ )n 1 2 √ Fn = = (Φn − (Φ′ )n )2 = (Φ2n − 2Φn (Φ′ )n + (Φ′ )2n ) = 5 5 5 1 1 = (L2n − 2(Φ · Φ′ )n ) = (L2n − 2(−1)n ). 5 5

Úloha 45. Nechť n ∈ N. Dokažte, že platí rovnost (2.15): L2n = L2n + 2(−1)n . Řešení. Dle vztahu (3.5) a Věty 3.3 platí L2n = (Φn +(Φ′ )n )2 = Φ2n +2Φn (Φ′ )n +(Φ′ )2n = L2n +2(Φ·Φ′ )n = L2n +2(−1)n . Úloha 46. Nechť n ∈ N. Dokažte, že platí: L4n − (−1)n L2n = 5F3n Fn . Řešení. Dle vztahu (3.4), (3.5) a rovnosti Φ · Φ′ = −1 platí

Φ3n − (Φ′ )3n Φn − (Φ′ )n √ √ · = 5 5 = Φ4n + (Φ′ )4n − (Φ · Φ′ )n (Φ2n + (Φ′ )2n ) = L4n − (−1)n L2n .

5F3n Fn = 5 ·

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 60 Úloha 47. Nechť je dána úsečka AE. Sestrojte úsečku AB tak, aby ji bod E dělil v poměru zlatého řezu, tedy |AB| : |AE| = |AE| : |EB|. Řešení. Úsečka AE je „větším dílemÿ úsečky AB rozdělené v poměru zlatého řezu, viz obr. 3.20. Nad úsečkou AE sestrojíme čtverec AECD. Bod F je středem úsečky AE. Opíšeme kružnici se středem v bodě F o poloměru F C. Průsečík polopřímky AE a kružnice je hledaný bod B.

Obr. 3.20: Konstrukce úsečky AB v případě, že známe délku úsečky AE – „větší dílÿ úsečky AB rozdělené v poměru zlatého řezu Vysvětlení: Označme |AE| = x. Nad úsečkou AE máme sestrojen čtverec AECD, tedy |EC| = x. Pak |F E| = |AF | =

x 2 r

r

5x2 x√ = = 5 2 4 2 √ x x x√ 5 = (1 + 5) |AB| = |AF | + |F B| = + 2 2 2 x√ x √ x |EB| = |F B| − |F E| = 5 − = ( 5 − 1) 2 2 2 |F C| = |F B| =

x2 +

x 2

Potom √ √ x 5) (1 + 5 1 + |AB| = 2 = = Φ, |AE| x 2 √ √ √ 5+1 x 1+ 5 |AE| 2 2( 5 + 1) = x √ = = Φ. =√ ·√ = |EB| 5 − 1 2 ( 5 − 1) 5 − 1 5 + 1 2

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 61 Úloha 48. Nechť je dána úsečka EB. Sestrojte úsečku AB tak, aby ji bod E dělil v poměru zlatého řezu, tedy |AB| : |AE| = |AE| : |EB|. Řešení. Úsečka EB je „menším dílemÿ úsečky AB rozdělené v poměru zlatého řezu, viz obr. 3.21. Nad úsečkou EB sestrojíme čtverec EBCD. Bod F je středem úsečky ED. Opíšeme kružnici se středem v bodě F o poloměru F C. Průsečík polopřímky EF a kružnice je bod G. Pomocí kružnice se středem v bodě E a poloměru EG nalezneme hledaný bod A, jakožto průsečík kružnice s polopřímkou BE.

Obr. 3.21: Konstrukce úsečky AB v případě, že známe délku úsečky EB – „menší dílÿ úsečky AB rozdělené v poměru zlatého řezu Vysvětlení: Označme |EB| = z. Nad úsečkou EB máme sestrojen čtverec EBCD, tedy |DE| = z. Pak |EF | = |F D| =

z 2 r

r

z√ 5z 2 5 = 2 4 2 √ z z√ z |AE| = |EG| = |EF | + |F G| = + 5 = (1 + 5) 2 2 2 √ √ √ z z z |AB| = |AE| + |EB| = (1 + 5) + z = (1 + 5 + 2) = (3 + 5) 2 2 2 |F C| = |F G| =

Potom

z2 +

z 2

=

√ √ z 5) (3 + |AB| 5 3 + √ = √ = 2z |AE| (1 + 5) 1+ 5 2 √ √ −2 − 2 5 1+ 5 = = −4 2

√ √ √ 1− 5 3−3 5+ 5−5 √ = = · 1−5 1− 5 = Φ,

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 62 z (1 + |AE| = 2 |EB| z

√

5)

√ 1+ 5 = = Φ. 2

Úloha 49. Metoda rozdělení úsečky zlatým řezem naznačuje euklidovskou konstrukci úhlu 36◦ , viz obr. 3.22. Narýsujte tedy pomocí úsečky rozdělené v poměru zlatého řezu úhel 36◦ , 72◦ a 108◦. Řešení. Narýsujeme oblouky se středy v bodech B a E s poloměrem AE, viz obr. 3.22. Jejich průnik označíme F a sestrojíme úsečky AF , EF a BF . Potom |∢BAF | = 36◦ , |∢EBF | = 72◦ a |∢AEF | = 108◦ . Přímka EF je osou úhlu AF B.

Obr. 3.22: Násobky úhlu 36◦

Úloha 50. Určete velikost strany a10 pravidelného desetiúhelníku vepsaného do kružnice o jednotkovém poloměru. Řešení. Na obr. 3.23 vidíme rovnoramenný trojúhelník ABS. S takovýmto trojúhelníkem jsme se již setkali a víme, že platí |SA| = Φ, |AB| 1 a10 = . Φ


Obr. 3.23: Pravidelný desetiúhelník


Kapitola 4 Fibonacciho čísla a řetězové zlomky Do čtvrté kapitoly jsou zařazeny základní charakteristiky řetězových zlomků, a to jak konečných, tak nekonečných. Vyšetřována je konvergence těchto zlomků a poté je popsána souvislost řetězových zlomků se zlatým řezem a Fibonacciho čísly. V závěru kapitoly je uvedeno 20 úloh vztahujících se k této tématice.

4.1

Konečné řetězové zlomky

Podíly po sobě jdoucích Fibonacciho čísel lze využít i při tvorbě iracionálních čísel a řetězových zlomků. Začněme nejprve několika základními charakteristikami řetězových zlomků. Základ teorie řetězových zlomků byl vytvořen italským matematikem Pietrem Antoniem Cataldim (1548–1626). Definice 4.1. Konečným řetězovým zlomkem nazveme výraz tvaru 1

x = a1 + a2 +

1 .. .

a3 + am−2 + kde a1 ∈ N0 , ai ∈ N pro i ≥ 2.

,

1

1 am−1 +

1 am

(4.1)

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 65 Tento zápis je trochu nešikovný, proto zlomek (4.1) často zapisujeme jako a1 +

1 1 1 . a2 + a3 + · · · + am

Protože je čitatel každého zlomku roven 1, lze zápis redukovat na [a1 ; a2 , a3 , . . . , am ], kde a1 ∈ N0 a středník odděluje celou část od části zlomkové. Příklad 4.1. [1; 2, 3, 4, 5, 6] = 1 +

1 1 1 1 1 =1+ 2+3+4+5+6

1 1

2+

1

3+ 4+

1 5+

1 6

Věta 4.1. Hodnota konečného řetězového zlomku je kladné racionální číslo. Příklad 4.2. Určete hodnotu konečného řetězového zlomku [1; 2, 3, 4, 5, 6]. Řešení. Hodnotu konečného řetězového zlomku snadno vypočítáme postupnými úpravami složeného zlomku: 1

1+

1

2+

4+

1 5+

1

2+

1

3+

1

=1+

3+ 1 6

=1+

1 6 4 + 31

=1+

1 1 2+ 31 3 + 130

=

421 1393 1 =1+ = . 972 972 130 2+ 421

Je tedy pochopitelné, že hodnota konečného řetězového zlomku je kladné racionální číslo. K výsledku totiž dospějeme pouze sčítáním a dělením přirozených čísel.

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 66 Opačný proces – hledání řetězového zlomku daného racionálního čísla spočívá v aplikaci Eukleidova algoritmu1 : 1393 = 1 · 972 + 421 972 = 2 · 421 + 130 421 = 3 · 130 + 31 130 = 4 · 31 + 6 31 = 5 · 6 + 1 Nyní dělme každý dělenec odpovídajícím dělitelem. Zapamatujme si dílčí zbytek, a pak pro tento dílčí zbytek použijme substituci. 1 421 1 1393 =1+ = 1 + 972 = 1 + 130 = 1 + 972 972 2 + 421 421 1

=1+ 2+

1

2+

1

3+

130 31

1

=1+

1

=1+

2+

1

2+

421 130

1

=1+

1

1 31 3 + 130 =

1

2+

1 3+ 6 4 + 31

1

=1+

3+

1 4+

1 31 6

= [1; 2, 3, 4, 5, 6].

1

2+

1

1

3+ 4+

1 5+

1 6

Konvergence řetězových zlomků Rozštěpením konečného řetězového zlomku (4.1) následujícím způsobem a1 , a1 +

1 1 , a1 + a2 a2 +

1 , a3

1

a1 + a2 +

, ...

1 a3 +

1 a4

získáváme posloupnost Ck = [a1 ; a2 , a3 , . . . , ak ], která konverguje k x, viz (4.1), přičemž k ≥ 1 a C1 = [a1 ] = a1 . Ck nazýváme k-tý sblížený zlomek konečného řetězového zlomku. Eukleidův algoritmus spočívá v opakovaném použití Věty o dělení se zbytkem 2.4, podrobně popsaný např. v [25]. 1

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 67 Příklad 4.3. Uvažme podíl dvou po sobě jdoucích Fibonacciho čísel Nalezněme konečný řetězový zlomek tohoto zlomku: 21 = [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 1 + 13

1

.

1

1+

21 . 13

1

1+

1

1+ 1+

1 1+

1 1

Snadno si můžeme ověřit, že jednotlivé sblížené zlomky jsou C1 = [1] = 1 C2 = [1; 1] = 1 +

=1 1 1

C3 = [1; 1, 1] = 1 +

=2 1 1+

= 1, 5

1 1

1

C4 = [1; 1, 1, 1] = 1 + 1+

1 1+

C5 = [1; 1, 1, 1, 1] = . . . C6 = [1; 1, 1, 1, 1, 1] = . . . 21 C7 = [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 13

. = 1, 6666666667 1 1

= 1, 6 = 1, 625 . = 1, 6153846154

21 . Hodnoty Ck konvergují pro zvyšující se k (1 ≤ k ≤ 7) k hodnotě 13 Ve skutečnosti se hodnoty s lichým indexem přibližují k této hodnotě zdola, zatímco hodnoty se sudými indexy se přibližují shora, viz obr. 4.1. Hodnoty jsou střídavě méně než a více než 21 , kromě hodnoty poslední. 13

Obr. 4.1: Konvergence hodnot Ck k hodnotě

21 , 13

pro 1 ≤ k ≤ 7.

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 68 Tyto sblížené zlomky mají zajímavou vlastnost: 2 3 5 8 13 21 1 C1 = , C2 = , C3 = , C4 = , C5 = , C6 = , C7 = . 1 1 2 3 5 8 13 Pokud si je blíže prohlédneme, zjistíme, že se vždy jedná o podíl dvou sousedních Fibonacciho čísel. Opravdu pro n ≥ 1 platí Cn =

Fn+1 , Fn

jak dokážeme později, viz důkaz věty 4.2.

Rekurzivní definice Cn Nechť Cn = pqnn označuje n-tý sblížený zlomek konečného řetězového zlomku (4.1). Pak pro n ≥ 3 platí rekurentní vztahy pn = an pn−1 + pn−2 , qn = an qn−1 + qn−2 , přičemž C1 =

(4.2) (4.3)

p2 1 p1 = a1 , C2 = = a1 + . q1 q2 a2

Tedy užitím sblížených zlomků Cn−2 a Cn−1 můžeme snadno vypočítat n-tý sblížený zlomek Cn . Příklad 4.4. Uvažme opět konečný řetězový zlomek kde ai = 1 pro všechna i. Dle očekávání získáváme C1 =

21 13

= [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1],

p1 1 p2 1 1 2 = a1 = , C2 = = a1 + =1+ = , q1 1 q2 a2 1 1 a3 · p2 + p1 1·2+1 3 p3 = = = , C3 = q3 a3 · q2 + q1 1·1+1 2 p4 a4 · p3 + p2 1·3+2 5 C4 = = = = ,... q4 a4 · q3 + q2 1·2+1 3

Ve skutečnosti můžeme k výpočtu Cn použít následující tabulku. První dva sloupce tabulky (pod q1 a q2 ) vyplníme, jak je naznačeno, a pro ostatní používáme vzorců (4.2), (4.3).

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 69 an pn qn

a1 a1 1

a2 a3 a1 a2 + 1 a2

. . . an

Tabulka 4.1: Výpočet sblížených zlomků Příklad 4.5. Sestavte tabulku, kde budou uvedeni čitatelé i jmenovatelé všech sblížených zlomků konečného řetězového zlomku [3; 2, 1, 1, 2, 3]. Přímým výpočtem můžeme ověřit, že platí 149 = [3; 2, 1, 1, 2, 3] = 3 + 44

1 2+

1

1+ 1+ n an pn qn

1 3 3 1

.

1

2 3 4 5 2 1 1 2 7 10 17 44 2 3 5 13

1 2+

1 3

6 3 149 44

Posloupnost sblížených zlomků je 3, 72 , 10 , 17 , 44 , 149 . 3 5 13 44

4.2

Nekonečné řetězové zlomky

Definice 4.2. Nechť je dána nekonečná posloupnost a1 , a2 , a3 , a4 , . . ., kde a1 ∈ N0 , ai ∈ N pro i ≥ 2. Touto posloupností určený řetězový zlomek 1

[a1 ; a2 , a3 , a4 , . . .] = a1 +

1

a2 + a3 +

1 a4 + · · ·

nazýváme nekonečným řetězovým zlomkem. Uvažme nekonečný řetězový zlomek [1; 1, 1, 1, 1, . . .]. Z předchozí analýzy konečných řetězových zlomků lze usuzovat, že n-tý sblížený zlomek Cn nekonečného řetězového zlomku [1; 1, 1, 1, 1, . . .] je též roven podílu dvou sousedních Fibonacciho čísel FFn+1 . n

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 70 Věta 4.2. Nechť Cn označuje n-tý sblížený zlomek nekonečného řetězového zlomku [1; 1, 1, 1, 1, . . .]. Pak platí Cn = Důkaz. Pro n = 1 je C1 = 1 =

Fn+1 , Fn F2 , F1

pro n ≥ 1.

(4.4)

pro n = 2 je C2 = 2 =

p1 = 1 = F2 ; p2 = 2 = F3 ;

F3 . F2

Položme

q1 = 1 = F1 , q2 = 1 = F2 .

Předpokládejme nyní, že vzorec (4.4) platí pro všechna celá kladná čísla k ≤ (n − 1), kde n ≥ 3: pk Ck = . qk Potom pn = a1 · pn−1 + pn−2 = 1 · pn−1 + pn−2 = Fn + Fn−1 = Fn+1 . Podobně qn = a1 · qn−1 + qn−2 = 1 · qn−1 + qn−2 = Fn−1 + Fn−2 = Fn . Celkem

Fn+1 pn = . qn Fn Dle matematické indukce vztah platí pro všechna n ≥ 1. Cn =

Tento vztah byl poprvé publikován v roce 1753 anglickým matematikem Robertem Simsonem (1687–1768). Tímto Simson dokázal, že nekonečný řetězový zlomek [1; 1, 1, 1, 1, . . .] konverguje ke zlatému řezu Fn+1 = Φ. n→∞ Fn

lim Cn = lim

n→∞

Tvrzení přináší velmi pěknou rovnost Φ = [1; 1, 1, 1, 1, . . .] = 1 +

1 1 1 1 =1+ 1+1+1+1+···

1

.

1

1+

1

1+ 1+

1 1+···

To se shoduje se skutečností, že hodnota každého nekonečného řetězového zlomku je iracionální číslo, důkaz viz [29].

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 71 Platnost vztahu [1; 1, 1, 1, 1, . . .] = Φ je možné dokázat i bez použití sblížených zlomků. Označme x = [1; 1, 1, 1, 1, . . .]. Zřejmě platí [1; 1, 1, 1, 1, . . .] = [1; [1; 1, 1, 1, 1, . . .]]. Odtud x = [1; x] 1 x=1+ x 2 x − x − 1 = 0. Tedy pro x ≥ 0 platí x = Φ, tj. Φ = [1; 1, 1, 1, 1, . . .]. Lze odvodit, že pro n sudá se hodnota Cn = FFn+1 blíží ke zlatému řezu n shora a pro n lichá se přibližuje zdola. Toto chování je ilustrováno na obr. 4.2 (pro 1 ≤ n ≤ 10).

Obr. 4.2: Konvergence sblížených zlomků Cn nekonečného řetězového zlomku [1; 1, 1, 1, 1, . . .] ke zlatému řezu Φ.


Nekonečný řetězový zlomek pro (−Φ′) V roce 1951 americký matematik √ Frank Chappell Ogg (1899–1976) uveřejnil zajímavý způsob, jak převést 5 − 1 na nekonečný řetězový zlomek: √

5−1 =1+ =1+

√

5−2=1+ √ 1

4+

1 1 √ =1+ 5+2 4+ 5−2

√1 5+2

1

=1+

1 √ 4+ 5−2 1 =1+ 1 4+ 1 4 + 4+··· 4+

= [1; 4, 4, 4, . . .] Několik prvních sblížených zlomků je rovno 1; 1 +

1 1 5 = ; 1+ 4 4 4+

1 4

=

21 ; 1+ 17

1 4+

1 4+

=

89 ; ... 72

1 4

Nyní vydělme sblížené zlomky dvěma. Získáváme 1 5 21 89 ; ; ; ; ... 2 8 34 144

(4.5)

Jedná se o podíl dvou po sobě jdoucích Fibonacciho čísel Fn , Fn+1

pro n = 3k + 2, k ∈ N0 .

Platí, že 1 Fn = = −Φ′ = lim n→∞ Fn+1 Φ přičemž

√

√

5−1 , 2

5−1 = [0; 1, 1, 1, 1, . . .]. 2 Zlomky (4.5) tvoří n-té sblížené zlomky nekonečného řetězového zlomku [0; 1, 1, 1, . . .] pro n = 3k, k ∈ N. −Φ = ′


4.3

Řešené příklady

Úloha 51. Určete hodnotu konečného řetězového zlomku [1; 4, 1, 3, 5]. Řešení. Hodnotu konečného řetězového zlomku snadno vypočítáme postupnými úpravami složeného zlomku: 1

1+

1

4+ 1+

1

=1+

1 3+

4+

=1+

1 5 1 + 16

1 4+

16 21

=1+

121 21 = . 100 100

1 5

Úloha 52. Určete hodnotu konečného řetězového zlomku [2; 3, 1, 5]. Řešení. Hodnotu konečného řetězového zlomku opět snadno vypočítáme postupnými úpravami složeného zlomku: 1

2+ 3+

1

=2+

1 1+

3+

1 5

5 6

=2+

52 6 = . 23 23

Úloha 53. Určete hodnotu konečného řetězového zlomku [0; 1, 1, 2, 3, 5]. Řešení. Hodnotu konečného řetězového zlomku opět snadno vypočítáme postupnými úpravami složeného zlomku: 1

0+

1

1+

2+

1 3+

1+

1

=

1

1+

1

1+

1

=

1 5 2 + 16

1+

1 16 1 + 37

1

=

1+

1 5

Úloha 54. Vyjádřete racionální číslo

43 30

řetězovým zlomkem.

37 53

=

53 . 90

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 74 Řešení. Dle Eukleidova algoritmu platí: 43 = 1 · 30 + 13 30 = 2 · 13 + 4 13 = 3 · 4 + 1 4= 4·1 Tedy 13 1 43 =1+ = 1 + 30 = 1 + 30 30 13 =1+

1 2+

1

1

=1+

4 2+ 13

3+


51 35

=

= [1; 2, 3, 4].

1

2+

13 4

1

1 4


Řešení. Dle Eukleidova algoritmu platí: 51 = 1 · 35 + 16 35 = 2 · 16 + 3 16 = 5 · 3 + 1 3= 3·1 Tedy 16 1 51 =1+ = 1 + 35 = 1 + 35 35 16 =1+

1 2+

1

1

=1+

16 3


2+

1 3 2+ 16

137 37

= [1; 2, 5, 3].

1 5+

=

1 3


Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 75 Řešení. Dle Eukleidova algoritmu platí: 137 = 3 · 37 + 26 37 = 1 · 26 + 11 26 = 2 · 11 + 4 11 = 2 · 4 + 3 4=1·3+1 Tedy 26 1 137 =3+ = 1 + 37 = 3 + 37 37 26

1

=3+ 1+

1+

2+ 1

3 4

4 11

=

1 2+

=

1

1+

26 11

1+

1 2+

1

1

1

=3+

=3+

1 2+

1

=3+

1 1+

1 2+ 11 4

1 2+

1 4 3

= [3; 1, 2, 2, 1, 3].

1

1+

11 1+ 26

= 3+

1

=3+

1

1

2+ 2+

1 1+

1 3

Úloha 57. Vypočítejte všechny sblížené zlomky konečného řetězového zlomku [1; 3, 3, 3, 3] (bez využití vztahů (4.2),(4.3)). Řešení. C1 = 1, C2 = 1 +

1 4 = , 3 3


C3 = 1 +

1 3+

C4 = 1 + 3+

1 3 1

=1+

1

C5 = 1 +

3+

1 3

3+

3 10

=1+

3+

3+

1 3

1

=1+

1

3+

1

10 43 = , 33 33

1

= 1+

1

3+

1

=1+

1 3+

3 13 = , 10 10

3 10

3+

10 33

=1+

33 142 = . 109 109

Úloha 58. Vypočítejte všechny sblížené zlomky konečného řetězového zlomku [1; 1, 2, 3, 2]. Sestavte tabulku dle 4.1. Řešení. Přímým výpočtem můžeme ověřit, že platí 39 = [1; 1, 2, 3, 2]. 23 Využijeme vztahů (4.2),(4.3) a sestavíme tabulku: n an pn qn

1 1 1 1

2 1 2 1

3 2 5 3

4 5 3 2 17 39 10 23

Posloupnost sblížených zlomků je 5 17 39 1, 2, , , . 3 10 23 Úloha 59. Vypočítejte všechny sblížené zlomky konečného řetězového zlomku [0; 2, 1, 2, 1, 2]. Sestavte tabulku dle 4.1. Řešení. Přímým výpočtem můžeme ověřit, že platí 11 = [0; 2, 1, 2, 1, 2]. 30 Využijeme vztahů (4.2),(4.3) a sestavíme tabulku:

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 77 n an pn qn

1 0 0 1

2 2 1 2

3 1 1 3

4 5 6 2 1 2 3 4 11 8 11 30

Posloupnost sblížených zlomků je 1 1 3 4 11 0, , , , , . 2 3 8 11 30 Úloha 60. Vypočítejte všechny sblížené zlomky konečného řetězového zlomku [1; 2, 1, 4, 1, 2, 3]. Sestavte tabulku dle 4.1. Řešení. Přímým výpočtem můžeme ověřit, že platí 218 = [1; 2, 1, 4, 1, 2, 3]. 161 Využijeme vztahů (4.2),(4.3) a sestavíme tabulku: 1 1 1 1

n an pn qn

2 2 3 2

3 4 5 1 4 1 4 19 23 3 14 17

6 7 2 3 65 218 48 161

Posloupnost sblížených zlomků je 3 4 19 23 65 218 1, , , , , , . 2 3 14 17 48 161 Úloha 61. Vypočítejte všechny sblížené zlomky konečného řetězového zlomku [2; 1, 3, 4, 2, 3, 5]. Sestavte tabulku dle 4.1. Řešení. Přímým výpočtem můžeme ověřit, že platí 1915 = [2; 1, 3, 4, 2, 3, 5]. 693 Využijeme vztahů (4.2),(4.3) a sestavíme tabulku: n an pn qn

1 2 2 1

2 3 4 1 3 4 3 11 47 1 4 17

5 6 7 2 3 5 105 362 1915 38 131 693

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 78 Posloupnost sblížených zlomků je 11 47 105 362 1915 2, 3, , , , , . 4 17 38 131 693 Úloha 62. Vypočítejte všechny sblížené zlomky konečného řetězového zlomku racionálního čísla 30 . Sestavte tabulku dle 4.1. 41 Řešení. Nejprve vyjádříme racionální číslo leidova algoritmu platí:

30 41

řetězovým zlomkem. Dle Euk-

30 = 0 · 41 + 30 41 = 1 · 30 + 11 30 = 2 · 11 + 8 11 = 1 · 8 + 3 8= 2·3+2 3= 1·2+1

Tedy 30 30 1 =0+ = 0 + 41 = 0 + 41 41 30

1

=0+ 1+

1

1 11 1+ 30

1+

1

=0+ 1+

1+

1 2+

= [0; 1, 2, 1, 2, 1, 2].

2 3

1

1

1 8 3

=

1 1

2+

1

1+ 2+

1 1+

8 11

=

1

1+

1+

1

2+

1

3 8

=0+

1

2+

2+

=

1

1+

30 11

1+

1

2+

1

1

=0+

=0+

1

1+

1 1+

1

=0+

1 2+ 11 8

=0+

1 2

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 79 Pak platí

30 = [0; 1, 2, 1, 2, 1, 2]. 41 Využijeme vztahů (4.2),(4.3) a sestavíme tabulku: n an pn qn

1 0 0 1

2 1 1 1

3 2 2 3

4 5 1 2 3 8 4 11

6 7 1 2 11 30 15 41

Posloupnost sblížených zlomků je 2 3 8 11 30 0, 1, , , , , . 3 4 11 15 41

Úloha 63. Vypočítejte všechny sblížené zlomky konečného řetězového zlomku . Sestavte tabulku dle 4.1. racionálního čísla 2001 1760 Řešení. Nejprve vyjádříme racionální číslo kleidova algoritmu platí:

2001 1760

řetězovým zlomkem. Dle Eu-

2001 = 1 · 1760 + 241 1760 = 7 · 241 + 73 241 = 3 · 73 + 22 73 = 3 · 22 + 7 22 = 3 · 7 + 1 7=7·1 Tedy 2001 241 1 =1+ = 1 + 1760 = 1 + 1760 1760 241

1

=1+

1

= 73 1 7+ 7 + 241 241 73 1 1 1 = 1+ = =1+ =1+ 1 1 1 7+ 7+ 7+ 22 1 1 3+ 3+ 3+ 73 73 7 3+ 22 22

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 80 1

=1+

1

7+

3+

1 22 7

=

1

7+

1

3+

1

=1+

1

3+ 3+

1 3+

1 7

= [1; 7, 3, 3, 3, 7]. Pak platí

2001 = [1; 7, 3, 3, 3, 7]. 1760 Využijeme vztahů (4.2),(4.3) a sestavíme tabulku: n an pn qn

1 1 1 1

2 3 4 7 3 3 8 25 83 7 22 73

5 6 3 7 274 2001 241 1760

Posloupnost sblížených zlomků je 8 25 83 274 2001 , . 1, , , , 7 22 73 241 1760 Úloha 64. Druhým a třetím sblíženým zlomkem konečného řetězového zlomku [1; 2, 3, 4, 5, 6] jsou zlomky 32 a 10 . Nalezněte čtvrtý a pátý sblížený zlomek. 7 Řešení. Využijeme vztahů (4.2), (4.3). Platí tedy 3 p2 10 p3 = , C3 = = , 2 q2 7 q3 a4 = 4, a5 = 5.

C2 =

Pak a4 · p3 + p2 4 · 10 + 3 43 p4 = = = , q4 a4 · q3 + q2 4·7+2 30 p5 a5 · p4 + p3 5 · 43 + 10 225 C5 = = = = . q5 a5 · q4 + q3 5 · 30 + 7 157 C4 =

Úloha 65. Třetím a čtvrtým sblíženým zlomkem konečného řetězového zlomku 10 3 a 33 . Nalezněte pátý a šestý sblížený zlomek. [0; 3, 3, 3, 3, 3, 3] jsou zlomky 10

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 81 Řešení. Využijeme vztahů (4.2), (4.3). Platí tedy p3 10 p4 3 = , C4 = = , 10 q3 33 q4 a5 = 3, a6 = 3.

C3 =

Pak p5 a5 · p4 + p3 3 · 10 + 3 33 = = = , q5 a5 · q4 + q3 3 · 33 + 10 109 a6 · p5 + p4 3 · 33 + 10 109 p6 = = = . C6 = q6 a6 · q5 + q4 3 · 109 + 33 360 C5 =

Úloha 66. Osmým a devátým sblíženým zlomkem konečného řetězového 34 zlomku [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] jsou zlomky 21 a 55 . Nalezněte desátý sblížený 34 zlomek. Řešení. Využijeme vztahů (4.2), (4.3). Platí tedy C8 = Pak C10 =

p8 55 p9 34 = , C9 = = , a10 = 1. 21 q8 34 q9

p10 a10 · p9 + p8 1 · 55 + 34 89 = = = . q10 a10 · q9 + q8 1 · 34 + 21 55

Úloha 67. Nechť je dán nekonečný řetězový zlomek 1

1+

.

1

2+

1

2+ 2+

1 2 + ...

Nalezněte prvních pět sblížených zlomků tohoto nekonečného řetězového zlomku. Řešení. C1 = 1, C2 = 1 +

1 3 = , 2 2


C3 = 1 +

1 2+

C4 = 1 + 2+

1 2 1

=1+

1

C5 = 1 +

=1+

1 2+

2 7 = , 5 5

2+

1 2

2+

5 17 = , 12 12

1 2+

1

2+

2 5

= 1+

=1+

1

2+

1

1

2+

2 5

2+

1 2

1

=1+

5 12

=1+

12 41 = . 29 29

Úloha 68. Nechť je dán nekonečný řetězový zlomek 1

2+

.

1

4+

1

4+ 4+

1 4 + ...

Nalezněte první čtyři sblížené zlomky tohoto nekonečného řetězového zlomku. Řešení. C1 = 2, 9 1 = , 4 4 1 4 38 C3 = 2 + =2+ = , 17 17 1 4+ 4 161 1 17 1 = . =2+ =2+ C4 = 2 + 72 72 1 4 4+ 4+ 17 1 4+ 4 C2 = 2 +

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 83 Úloha 69. Nechť je dán nekonečný řetězový zlomek 1

0+

.

1

1+

1

1+ 1+

1 1 + ...

Nalezněte prvních šest sblížených zlomků tohoto nekonečného řetězového zlomku. Řešení. C1 = 0, C2 = 0 + C3 = 0 +

C4 = 0 +

C5 = 0 +

C6 = 0 +

Tedy Ck =

Fk−1 Fk

1 = 1, 1 1 1 = , 2 1 1+ 1 2 1 = , 3 1 1+ 1 1+ 1 3 1 1 = , = 5 1 2 1+ 1+ 3 1 1+ 1 1+ 1 1 1 = 1 1 1+ 1+ 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1

pro k = 1, 2, 3, 4, . . ..

Úloha 70. Dokažte platnost rovnosti lim (Cn − Cn−1 ) = 0,

n→∞

= 2 3

1 1+

3 5

5 = . 8

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 84 kde Cn označuje n-tý sblížený zlomek nekonečného řetězového zlomku [1; 1, 1, 1, 1, 1, . . .]. Řešení. Lze řešit: A) Dle věty 4.2 platí Cn =

Fn+1 . Fn

V úpravách dále využijeme identitu (2.10): Cn − Cn−1 =

Fn Fn+1 Fn−1 − Fn2 (−1)n Fn+1 − = = . Fn Fn−1 Fn Fn−1 Fn Fn−1

Platí tedy

(−1)n = 0. n→∞ Fn Fn−1

lim (Cn − Cn−1 ) = lim

n→∞

B) Platí lim (Cn − Cn−1 ) = lim Cn − lim Cn−1 = Φ − Φ = 0.

n→∞

n→∞

n→∞


Kapitola 5 Fibonacciho čísla a Pascalův trojúhelník V této kapitole si ukážeme, kde se v Pascalově trojúhelníku „skrývajíÿ Fibonacciho čísla. Pascalův trojúhelník je trojúhelníkové schéma sestavené z kombinačních n čísel k . Je zřejmé, že pro n ∈ N je toto schéma nekonečné. Následující obrázek ukazuje Pascalův trojůhelník pro n = 6. 0 0 1 1 1 0 2 2 2 2 1 0 3 3 3 3 3 2 1 0 4 4 4 4 4 4 3 2 1 0 5 5 5 5 5 5 5 4 3 2 1 0 6 6 6 6 6 6 6 6 5 4 3 2 1 0 ... Abychom si mohli ukázat, kde se v tomto schématu „skrývajíÿ Fibonacciho čísla, je výhodné přepsat Pascalův trojúhelník do „pravoúhlého tvaruÿ:


Obr. 5.1: Pascalův trojúhelník v pravoúhlém tvaru Nyní určíme součet sn všech kombinačních čísel, která „ležíÿ na přímce pro n cházející kombinačním číslem 0 a svírají s řádky tohoto trojúhelníku úhel 45◦ . Pro n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 získáváme: 1 0 = 1 = F2 , = 1 = F1 , s1 = s0 = 0 0 2 3 1 2 = 3 = F4 , + = 2 = F3 , s3 = + s2 = 1 0 1 0 3 4 5 2 3 4 = 8 = F6 . + + = 5 = F5 , s5 = + + s4 = 2 1 0 2 1 0 Na základě těchto několika součtů můžeme vyslovit domněnku, že posloupnost s0 , s1 , s2 , s3 , . . . je rovna posloupnosti F1 , F2 , F3 , F4 , . . . , tj. pro všechna celá nezáporná čísla n je sn = Fn+1 . K důkazu této domněnky (vzhledem k tomu, že obě posloupnosti se shodují ve svých prvních dvou členech) stačí ukázat, že pro posloupnost s0 , s1 , s2 , s3 , . . . platí rekurentní vztah sn+1 = sn + sn−1 . Uvědomme si nejprve, že pro n sudé je n n−2 n−1 n + · · · + n2 + + sn = 2 1 0 2 a pro liché n n−1 +1 n−2 n−1 n 2 . +···+ + + sn = n−1 2 1 0 2

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 87 Pro n sudé je tedy n−2 +1 n−3 n−2 n−1 2 . +···+ + + sn−1 = n−2 2 1 0 2 Tento výraz jsme dostali dosazením n − 1 za n do výrazu sn pro liché n; je-li totiž n sudé, je n − 1 liché. Podobně dostaneme, že pro liché n je n−1 n−3 n−2 n−1 2 + · · · + n−1 + + sn−1 = . 2 1 0 2 Určíme nyní součet sn + sn−1 , a to opět v závislosti na tom, je-li n sudé n nebo liché. Pro sudé n tak máme (s užitím známých vztahů nk + k+1 = n n+1 n+1 n , 0 = 0 a vzhledem k tomu, že součet sn má 2 + 1 sčítanců a sn−1 k+1 + 1 = n2 ): jich má n−2 2 n−1 n−1 n + + + sn + sn−1 = 1 0 0 n−2 n +1 n−2 n−2 2 +···+ + + + n2 = n−2 2 1 2 2 n +1 n−1 n n+1 2 +···+ . + + = n 2 1 0 2 Snadno lze nyní vidět, že výraz, který nám vyšel, je roven součtu sn+1 pro sudé n. Přesvědčíme se o tom třeba tak, že ve vztahu pro sn , kde n je liché, za n dosadíme n + 1. Je-li naopak n liché, mají oba součty sn a sn−1 stejný počet sčítanců, takže dostaneme: n−2 n−2 n−1 n−1 n + + + + + sn + sn−1 = 2 1 1 0 0 n−1 n−1 n−1 +1 +1 2 2 2 +···+ + + n−1 = n−1 n−1 − 1 2 2 2 n−1 n−1 +2 n−1 n n 2 2 +···+ + + = + n−1 = n−1 2 1 0 2 2 n+1 n−1 +2 n−1 n n+1 2 2 + n+1 . +···+ + + = n−1 2 1 0 2 2 Je zřejmé, že poslední součet je vskutku roven sn+1 pro liché n. Stačí do součtu sn pro sudé n za n dosadit n + 1.

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 88 Tím je dokázáno, že pro všechna celá nezáporná čísla n je sn = Fn+1 . Výsledek můžeme zformulovat takto: „Vedeme-li v Pascalově trojúhelníku n zapsaném v pravoúhlém tvaru kombinačním číslem 0 , kde n je libovolné celé nezáporné číslo, přímku svírající s jeho řádky úhel 45◦ , pak součet sn všech kombinačních čísel, která na této přímce leží, je roven Fibonacciho číslu Fn+1 .ÿ

Obr. 5.2: Fibonacciho čísla a Pascalův trojúhelník


Kapitola 6 Fibonacciho čísla a příroda Závěrečná kapitola se poněkud vymyká tím, že neukazuje souvislost Fibonacciho čísel s jinými matematickými pojmy, ale souvislost Fibonacciho čísel s přírodou. Uvádíme příklady výskytu Fibonacciho čísel v botanice a zoologii. Některé skutečnosti popisujeme pomocí jednoduchých matematických modelů.

6.1

Fibonacciho čísla a králíci

Fibonacciho králíci Ve 12. kapitole knihy Liber Abaci [26] je řešena úloha, jak rychle se mohou množit králíci za jistých velice specifických a idealizovaných podmínek. Otázka zní: „Kolik párů králíků je stvořeno jedním párem za jeden rok?ÿ Předpokládejme, že nově narozený pár (1 samec a 1 samice) je vložen do ohrady. Králíci jsou schopni pářit se (dospějí) ve věku jednoho měsíce a na konci druhého měsíce může samice porodit nový pár králíků. Doba březosti je tedy jeden měsíc. Přitom se předpokládá, že naši králíci nikdy neumírají, nikdy nejsou nemocní a že dospělá samice porodí každý měsíc vždy jen jednoho samce a jednu samici. Postupně můžeme počítat, viz obr. 6.1: • na konci 1. měsíce se již mohou pářit, ale v ohradě je stále pouze 1 pár • na konci 2. měsíce samice porodí nový pár, tedy v ohradě máme 2 páry králíků


Obr. 6.1: Fibonacciho králíci • na konci 3. měsíce původní samice porodí druhý nový pár, v ohradě jsou nyní 3 páry králíků • na konci 4. měsíce původní pár zplodí další nový pár, a také samice narozená druhý měsíc porodí svůj první pár potomků, tedy v ohradě je nyní 5 párů králíků. V rovnici (2.2) pak Fn+1 značí počet králičích párů v ohradě na konci n-tého měsíce. Počty párů králíků na začátku každého měsíce jsou 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . . Každý měsíc je tedy počet párů králíků roven součtu počtu párů v předminulém měsíci a počtu párů v minulém měsíci – získáváme Fibonacciho posloupnost.

Abstraktní model Pokusme se nyní popsat tyto biologické skutečnosti pomocí abstraktního modelu. Následující schéma je čistě hypotetické a ukazuje, z jakých jednoduchých genetických podmínek mohou Fibonacciho čísla vyvstávat. Uvažme nyní jakýsi ideální vzorek A0 s následujícími dvěma vlastnostmi: i) Ve stejných časových intervalech, tedy v čase t = t1 , t2 , . . ., kde ti+1 − ti = τ,

pro i ≥ 1,

vzorek A0 generuje nové vzorky A1 , A2 , . . . Vzorek A1 je tedy vygenerován vzorkem A0 v čase t1 , vzorek A2 v čase t2 , . . .

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 91 ii) Každý jedinec A1 , A2 , . . . se po svém vygenerování stává „dospělýmÿ po čase 2τ a začíná též generovat nové vzorky ve stejném časovém intervalu τ jako A0 . „Období dospíváníÿ jakékoliv nové generace je rovno 2τ . Označme si nyní sn počet jedinců, kteří jsou vygenerováni ve stejný časový okamžik tn . Snadno je vidět, že sn = sn−2 + sn−1 ,

pro n ≥ 3, kde

sn−1 . . . je počet dospělých vzorků v generačním okamžiku tn−1 , sn−2 . . . je počet vzorků vygenerovaných v čase tn−2 = tn − 2τ , tj. počet vzorků, které se právě stávají dospělými. Ale s1 = s2 = 1, a proto čísla s1 , s2 , s3 , . . . jsou právě Fibonacciho čísla. Abstraktní model potomstva vzorku A0 je znázorněn na obr. 6.2 následujícím způsobem – vzorky vygenerované ve stejný časový okamžik tn jsou umístěny na stejné horizontále. Vzorek A0 je umístěn nad první řádek.

Obr. 6.2: Abstraktní model Označme nyní σn =

n X i=1

si + 1,

pro n ≥ 1.

Což je ekvivalentní s tím, že σn pro n ≥ 1 představuje celkový počet vzorků vygenerovaných vzorkem A0 (včetně vzorku A0 ), jestliže proces generování

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 92 vzorků popsaný pomocí i) a ii) bude zastaven v okamžiku T splňujícím nerovnost tn < T < tn+1 . Čísla σ1 , σ2 , σ3 , . . . jsou také Fibonacciho čísly a σn = sn+2 ,

pro n ≥ 1.

Důkaz. Zřejmě platí si = Fi , pro i ≥ 1. Tedy σn =

n X

Fi + 1.

i=1

Je dobře známé, viz. (2.4) n X i=1

Následkem toho získáváme

Fi = Fn+2 − 1.

σn = Fn+2 = sn+2 .

Biologickou interpretací tohoto abstraktního modelu jsou právě Fibonacciho králíci, viz obr. 6.1.

6.2

Fibonacciho čísla a včela medonosná

Včela medonosná a její rodokmen Známe asi 30 tis. druhů včel, přičemž nejvýznamnější je pro nás včela medonosná. Ukažme si nyní souvislost Fibonacciho čísel s rodokmenem včely medonosné. Nejprve některá méně známá fakta o včele medonosné, např.: „Ne všechny z nich mají dva rodiče!ÿ V kolonii včely medonosné existuje jedna zvláštní samice, kterou nazýváme královna. Dále je zde velké množství včel dělnic, což jsou samice, které neprodukují vajíčka. A každý včelí roj má i několik včel samců, ty nazýváme trubci. Samci jsou vyprodukováni královnou z neoplozených vajíček. Tedy trubci (samci včel) mají jen matku, žádného otce. Samice (dělnice) jsou vyprodukovány královnou z oplozených vajíček. Tedy samice (dělnice) mají oba rodiče. Podívejme se nyní na rodokmen samce včely medonosné – trubce, obr. 6.3.

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 93 • Trubec má pouze 1 rodiče, a to matku (samici). • Trubec má 2 prarodiče, samici a samce. • Trubec má dále 3 praprarodiče, jeho „babičkaÿ měla dva rodiče a „dědečekÿ jednoho, . . .

Obr. 6.3: Rodokmen včely medonosné – trubce Kolik předků trubec měl? Nalézáme Fibonacciho posloupnost, viz tabulka 6.1. Počet Trubci Včely

Rodiče Prarodiče Praprarodiče Další předci 1 2 3 5 2 3 5 8

... 8 ... 13 . . .

Tabulka 6.1: Počty předků

Fibonacciho čísla a cesty v buňkách plástve Uvažme nyní dvě přilehlé řady buněk v nekonečném úlu, jak zobrazuje obr. 6.4. Pokusme se nalézt počet cest, kterými může včela lézt z jedné buňky do jiné buňky skrz ostatní buňky, jestliže může lézt jedině vpravo nebo šikmo vpravo dolů nebo šikmo vpravo nahoru. Nechť bn označuje počet cest k n-té buňce. Potom tedy existuje právě jedna cesta k buňce A, viz obr. 6.5, b1 = 1. Do buňky B vedou dvě odlišné cesty, viz obr. 6.6. Tedy b2 = 2. K buňce C se včela může dostat třemi různými cestami, viz obr. 6.7, b3 = 3.


Obr. 6.4: Dvě přilehlé řady buněk

Obr. 6.5: Cesta do buňky A

Obr. 6.6: Cesty do buňky B

Obr. 6.7: Cesty do buňky C Dále existuje pět rozdílných cest, kterými se včela může uchýlit do buňky D, jak je patrné z obr. 6.8. Proto b4 = 5, podobně, b5 = 8.

Obr. 6.8: Cesty do buňky D Model postupného vývoje je zřejmý z tabulky 6.2. Z toho induktivně vyplývá, že pro včelu lezoucí do buňky n existuje bn = Fn+1 odlišných cest, kde Fn+1 označuje (n + 1)-ní Fibonacciho číslo.

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 95 n bn

1 2 3 1 2 3

4 5 5 8

... n ... ?

Tabulka 6.2: Model postupného vývoje

6.3

Okvětní lístky a Fibonacciho čísla

Pro mnoho rostlin počet okvětních lístků odpovídá právě Fibonacciho číslům. • 1 okvětní lístek: calla, . . . • 2 okvětní lístky: euforbia, . . . • 3 okvětní lístky: kosatce, lilie, trillium, . . . • 5 okvětních lístků: blatouchy, divoké růže, columbine, karafiáty, . . . • 8 okvětních lístků: celandine, sanguinaria canadensis, stračky, . . . • 13 okvětních lístků: některé sedmikrásky, třapatky, starčeky, . . . • 21 okvětních lístků: astry, čekanky, sedmikrásky, . . . • 34 okvětních lístků: kopretiny, . . . • 55, 89 okvětních lístků: čeleď Hvězdnicovitých, . . .

Obr. 6.9: Calla

Obr. 6.10: Euforbia

Obr. 6.11: Trillium

Samozřejmě existují i výjimky, kdy se počet okvětních lístků Fibonacciho číslům nerovná. Velice málo rostlin má např. 4 okvětní lístky. Čtyřka není Fibonacciho číslo, ale je Lucasovo číslo. Takový počet okvětních lístků má např. fuchsie, obr. 6.16.


Obr. 6.12: Columbine

Obr. 6.13: Sanguinaria

Obr. 6.15: Sedmikráska

6.4

Obr. 6.14: Třapatka

Obr. 6.16: Fuchsie

Uspořádání semen v terči rostlin a Fibonacciho čísla

Fibonacciho čísla a kvetoucí rostliny Fibonacciho čísla můžeme také nalézt v uspořádání semen v terči. Řada rostlin např. slunečnice vytváří spirálovité uspořádání semen v terči. Část semen je ve spirálách ve směru hodinových ručiček a část jich je ve spirálách vinoucích se opačným směrem, viz obr. 6.17.

Obr. 6.17: Uložení semen v terči slunečnice Nikdy se nejedná o náhodný počet spirál, ale vždy o počet odpovídající sousedním Fibonacciho číslům. U slunečnice to bývá většinou 34 spirál po

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 97 směru hodinových ručiček a 21 spirál proti jejich směru (počet spirál může být i 55 a 34, či 55 a 89). Na otázku, proč tomu tak je, nabídli odpověď francouzští matematici Yves Couder a Stéphane Douady. Podle nich je to jediný způsob, jak se do terče slunečnice vejde co největší množství semen. Podobně je tomu i u mnoha dalších rostlin.

Fibonacciho čísla a šišky jehličnatých stromů Tyto spirály jsou poměrně zřetelně vidět i na šiškách jehličnatých stromů, např. borovice. Opět můžeme pozorovat spirály ve směru a proti směru hodinových ručiček. Po směru hodinových ručiček napočítáme 8 spirál a proti směru 13 spirál. Počty spirál tedy opět odpovídají Fibonacciho číslům. Toto tvrzení platí pro libovolnou šišku jehličnatých stromů.

Obr. 6.18: Spirály u šišky borovice Šišky jehličnatých stromů jsou v podstatě zdřevnatělé květy, tedy proto jsou jejich šupiny též uloženy ve spirále.

6.5

Fibonacciho čísla a fylotaxe

Fibonacciho čísla můžeme také nalézt v uspořádání listů na stonku – pokud vyrůstají jednotlivě. Bude nás zajímat střídavé postavení listů, viz obr. 6.19. Podíváme-li se na rostlinu shora, zjistíme, že listy jsou uspořádány tak, aby nezakrývaly ty listy, co vyrůstají pod nimi. Díky tomu se každému listu dostane dostatečný díl slunečního světla, obr. 6.20. Listy, pokud vyrůstají jednotlivě, jsou na větvičkách rozloženy tak, že každý list vyrůstá nad předchozím listem posunut o určitý úhel, jak je znázorněno na obr. 6.21. Fylotaxe1 je botanický termín pro postavení listů na stoncích rostlin. V dolní části stonku jsou listy starší a větší, u vrcholu mladší a menší. 1

Z řeckého phyllon, list, a taxis, uspořádání.


Obr. 6.19: Postavení listů u slunečnice

Obr. 6.20: Pohled shora na dosud nerozkvetlou slunečnici

Obr. 6.21: Spirálovité postavení listů

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 99 Všechny listy jsou stejnoměrně osvětlovány, menší nestíní větším, které nad to mají ještě delší řapíky. Zákonitostmi uspořádání listů se ve 30.–40. letech minulého století zabývali francouzští badatelé, bratři Louis a Antoine Bravais, a němečtí morfologové Karl Schimper a Alexander Braun. Tito botanici vybudovali celou nauku o postavení listů, která k výkladům používá právě matematiku. Listy jsou na stoncích uspořádány tak, že spirálovitě stoupají (od kořene). Tuto myšlenou spirálu nazýváme genetická spirála. Počet listů mezi dvěma listy, které vyrůstají přesně nad sebou, je roven některému Fibonacciho číslu. Například u slunečnice na obr. 6.19, musíme udělat 3 otočky ve směru hodinových ručiček, než se setkáme s listem vyrůstajícím přímo nad listem výchozím. Po cestě potkáme 5 listů. Zapisujeme 3/5. Pokud půjdeme proti směru hodinových ručiček, stačí pouze 2 otočky. Všimněme si, že čísla 2, 3, 5 jsou po sobě jdoucí Fibonacciho čísla. U rostliny na obr. 6.20 uděláme 5 otoček ve směru hodinových ručiček, cestou potkáme 8 listů. Zapisujeme 5/8. A v levotočivém směru uděláme právě 3 otočky. Čísla 3, 5 a 8 jsou opět po sobě jdoucí Fibonacciho čísla. Dva sousední listy jsou od sebe vzdáleny o určitou výškovou distanci d a odchýleny o úhel, který nazýváme divergence δ. Distance je proměnlivá veličina podle tlouštky osy (stonku) a příkrosti genetické spirály, kdežto divergence je vždy stálá a lze ji vyjádřit zlomkem. Samozřejmě existují výjimky (vzniklé působením vnějšího prostředí), ale přes 90% všech rostlin má toto uspořádání listů odpovídající právě Fibonacciho číslům. Některé běžné stromy, keře a jejich postavení listů: • 1/2 – jilm, lípa, vinná réva, . . . • 1/3 – buk, líska, . . . • 2/5 – dub, třešeň, jabloň, švestka, . . . • 3/8 – topol, hruška, vrba, . . . • 5/13 – mandlovník, . . . V zápise t/n značí t počet otáček a n počet listů, které potkáme po cestě, než narazíme na list vyrůstající přesně nad listem výchozím. Tento zlomek bývá u celé rostliny stejný. Je dokázáno, že květy dnešních rostlin vznikly přeměnou listů. Tedy proto jsme mohli hovořit o spirále v květu slunečnice.


6.6

Model popisující spirálovité uspořádání semen, šupin i listů rostlin

Historie zkoumání fylotaxe sahá daleko. Zmínky je možné najít již v pramenech pocházejících z doby krátce před naším letopočtem. Nicméně prvního výraznějšího pokroku bylo dosaženo až po roce 1830 díky pracím již zmíněných botaniků K. Schimpera a A. Brauna. Karl Schimper zkoumal uspořádání listů na stonku rostliny a jako první poukázal na souvislost s Fibonacciho čísly. Alexander Braun studoval uspořádání šupin na šiškách a popsal spirály jdoucí po i proti směru chodu hodinových ručiček a jejich počty. Vypozoroval, že nově vyrostlá šupina se vzdaluje rovně od středu šišky a další vyroste odkloněna vždy o stejný úhel, již zmíněnou divergenci δ. Měřením došel k závěru, že plný úhel (360◦ ) je k divergenci √ δ v poměru zlatého řezu r = Φ = 1+2 5 . Pro lepší pochopení celého problému si nyní uveďme jednoduchý model vysvětlující tyto skutečnosti. Vraťme se ke spirálovitému uspořádání semen v terči slunečnice, viz obr. 6.17. A představme si její kruhový květ. Semínka vyrůstají z prostředku v pravidelných časových intervalech. Každé semínko, po tom, co vyrostlo, se od středu začne vzdalovat rychlostí úměrnou druhé odmocnině z času, aby se zachovávala plošná hustota semínek. Následující semínko se tedy „vydáÿ ve směru odkloněném o úhel δ = r · 360◦ od předchozího. Proč by se příroda měla chovat právě podle tohoto modelu? A proč poměr r má být zlatý řez? Pokusíme se vysvětlit, že jen takto mezi semínky nebudou zbytečné mezery a tím se tedy do terče rostliny vejde největší možný počet semen. Pokud bychom totiž zvolili odklon r jako racionální číslo s malým jmenovatelem r = pq , pozorovali bychom pak semínka rostoucí v q rovných větvích, viz obr. 6.22, a zde je mezer opravdu zbytečně mnoho.

Obr. 6.22: Chování modelu pro r =

3 5

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 101 Je-li r blízké nějakému racionálnímu číslu s malým jmenovatelem, potom pozorujeme q spirál, což je znázorněno na obr. 6.23. Směr spirály závisí na tom, zda je číslo větší či menší než zlomek jemu blízký.

Obr. 6.23: Vlevo r = 0, 605; vidíme 5 spirál po směru hodinových ručiček, neboť 0, 605 > 35 ; Vpravo r = 0, 595; vidíme 5 spirál proti směru hodinových ručiček, neboť 0, 595 < 53 . Pokud bychom v tomto případě nechali narůst tisíce semínek, na okraji pak opět pozorujeme rovné větve, protože semínka tvořící spirály by se od sebe dostala příliš daleko a spirála by nebyla oku patrná – zase příliš mnoho mezer. Použijme tedy nějaké iracionální číslo r, například r = π. Uspořádání semínek pak závisí na tom, kolik jich necháme narůst, viz obr. 6.24.

Obr. 6.24: Simulace pro r = π pro a) 100; b) 1 000 c) 10 000 semínek Pro 100 semínek pozorujeme 7 spirál, pro 1 000 semínek již začne obrazec na koncích vypadat tak, jak chceme (tedy mezi semínky již nejsou zbytečné mezery), ale pro 10 000 semínek pozorujeme opět nechtěné mezery mezi semínky uprostřed i na okrajích květu. Vysvětlení je jednoduché. Sblížené zlomky pro π jsou 3, 22 , 333 , 355 , . . ., 7 106 113

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 102 neboť řetězový zlomek π je 1

π =3+

. = 3, 141 592 653 . . . .

1

7+ 15 +

1 1+

1 292+···

333 . Porovnáme-li ale například třetí sblížený zlomek 106 (= 3, 141 509 434 . . .) . a čtvrtý sblížený zlomek 335 ( = 3, 141 592 920 . . .), zjistíme, že čtvrtý se k π 113 přibližuje mnohem více. Tedy vhodným kandidátem pro r bude takové iracionální číslo, jehož sblížené zlomky se přibližují k r poměrně pomalu a tedy jeho rozvoj do řetězového zlomku obsahuje samé jedničky: √ 1 1+ 5 . r =Φ=1+ = 2 1 1+ 1 1+ 1 1 + 1+···

Tedy právě A. Baumanem naměřený zlatý řez – jehož sblížené zlomky jsou 2 3 5 8 13 21 34 1, , , , , , , , . . . 1 2 3 5 8 13 21 Protože počty spirál odpovídají jmenovatelům, vidíme opět souvislost s Fibonacciho čísly. Na obr. 6.25 jsou znázorněny výsledky simulace pro úhel odklonu odpovídající zlatému řezu pro různé počty vyrostlých semínek. Pro 30 semínek pozorujeme 8 a 13 spirál; pro 300 jich je 21 a 34; pro 3 000 semínek je spirál 89 a 144. Vidíme, že zde již nechtěné mezery skutečně nejsou. Sblížené zlomky zlatého řezu navíc splňují nerovnosti: 1< 3 < 2 8 < 5 21 < 13

r < 2, 5 r< , 3 13 r< , 8 34 r< , 21 .. .


Obr. 6.25: Simulace pro r = Φ =

√ 1+ 5 2

pro a) 30; b) 300 c) 3 000 semínek

Proto se spirály odpovídající dvěma po sobě jdoucím Fibonacciho číslům (jmenovatelům zlomků) točí v opačných směrech. Vzpomeňte na vysvětlení směru spirál u obr. 6.23. Zlatý řez samozřejmě není jediný přípustný kandidát pro úhel odklonu. V přírodě se ale vyskytuje naprosto nejčastěji. Celá teorie fylotaxe je samozřejmě mnohem složitější. Závěrem ale ještě poznamenejme, že z výsledků Stéphane Douadyho, Yves Coudera (r. 1992) a později i dalších vědců plyne, že spirálové vzory jsou výsledkem dynamického růstového procesu „odpuzujícíchÿ se semínek. Nejsou tedy zakódovány v genech rostliny, ani nevznikly nějakou složitou evoluční cestou. Přičemž ono odpuzování semínek je realizováno např. pouhým dělením a růstem buněk.


Literatura [1] Bečvář, J.: Leonardo Pisanský – Fibonacci. Matematika ve středověké Evropě, Dějiny matematiky, svazek 19, Praha, 2001, 264–339. [2] Britton, J.: Fibonacci Numbers in Nature. [online]. poslední revize 7.5.2005 [cit. 10.7. 2007]. . [3] Calda, E.: Fibonacciova čísla a Pascalův trojúhelník. Rozhledy matematicko-fyzikální 71, 1993/94, 15–19. [4] Cohn, J. H. E.: On square Fibonacci numbers. J. London Math. Soc. 39, 1964, 537–540. [5] Cohn, J. H. E.: Square Fibonacci numbers etc. Fibonacci Quarterly 2, 1964, 109–113. [6] Došlá, Z.– Kuben, J.: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Masarykova univerzita v Brně, Brno, 2003. [7] Fuchs, E.: Diskrétní matematika pro učitele. Masarykova univerzita v Brně, Brno, 2001. [8] Fuchs, E.: Diskrétní matematika a teorie množin pro učitele. CD-ROM, Brno, 2000. [9] Golé Ch. – Atela P.: Phyllotaxis. An Interactive Site for the Mathematical Study of Plant Pattern Formation, [online], [cit. 1.8.2007]. . [10] Hejl, J.: Zlatý řez. Učitel matematiky 4, č. 1, 1995, 1–8. [11] Hoggatt, V. E. Jr.: Fibonacci and Lucas Numbers. Houghton Mifflin Company, Boston, 1969.

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 105 [12] Chinčin, A. J.: Řetězové zlomky. Přírodovědecké vydavatelství, Praha, 1952. [13] Jarošová, M.: Abstraktní modely pro biologickou interpretaci Fibonacciho čísel. In XXIV. mezinárodní kolokvium o řízení osvojovacího procesu: Sborník abstraktů a elektronických verzí příspěvků na CD– ROMu. Brno: Univerzita obrany, 2006. [14] Jarošová, M.: Fibonacciho čísla a příroda. In XXIII. mezinárodní kolokvium o řízení osvojovacího procesu: Sborník abstraktů a elektronických verzí příspěvků na CD–ROMu. Brno: Univerzita obrany, 2005. [15] Jarošová, M.: Souvislost Fibonacciho čísel s jinými matematickými pojmy. Matematika v proměnách věků IV, Dějiny matematiky, Brno, svazek 32, 2007, 181–196. [16] Jarošová, M.: Zajímavosti o Fibonacciových číslech. Rozhledy matematicko-fyzikální 82, č. 2, 2007, 7–15. [17] Knott, R.: A Continued Fraction Calculator. [online]. c2003–2006, poslední revize 11.9.2006 [cit. 14.7.2007]. . [18] Knott, R.: Fibonacci Numbers and Nature. [online]. c1996–2007, poslední revize 23.6.2007 [cit. 18.7. 2007]. . [19] Knott, R.: Why is the Golden section the „bestÿ arrangement? [online]. c1996–2007, poslední revize 2.5.2007 [cit. 1.8.2007]. . [20] Koshy, T.: Fibonacci and Lucas numbers with applications. John Wiley & Sons, Inc., New York, 2001. [21] Křížek, M.– Luca, F.– Somer L.: Aritmetické vlastnosti Fibonacciových čísel. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie 50, č. 2, 2005. [22] London H., Finhelstein R.: On Fibonacci and Lucas numbers which are perfect powers. Fibonacci Quarterly 7, 1969, 476–481 a 487. [23] Nagyova, I. Zlatý řez. [online]. poslední revize únor 2005 [cit. 29.7. 2007]. .

Fibonacciho čísla a jejich souvislost s jinými matem. pojmy 106 [24] Ribenboim, P.: The book of prime numbers records. Springer Verlag, New York, 1988. [25] Rosický, J.: Algebra. Masarykova univerzita v Brně, Brno, 2002. [26] Sigler, L. E.: Fibonacci’s Liber Abaci. Springer Verlag, New York, 2002. [27] Veselý, J.: Zlatý řez a co vše s ním souvisí. Učitel matematiky 6, č. 3, 1998, 153–158. [28] Vinogradov I. M.: Základy theorie čísel. Nakladatelství Československé akademie věd, Praha, 1953. [29] Vít, P.: Řetězové zlomky. Škola mladých matematiků, Mladá Fronta, Praha, 1982. [30] Vorobiev, N. N.: Fibonacci Numbers. Birkhäuser Verlag, Basel, 2002. [31] Wikipedia (The free encyclopedia): Edouard Lucas. [online]. Poslední revize 7.2.2007 [cit. 10.7. 2007]. . [32] Wikipedia (The free encyclopedia): Fibonacci numbers. [online]. Poslední revize 13.11.2006 [cit. 7.7. 2007]. . [33] Wikipedia (The free encyclopedia): Mersenne prime. [online]. Poslední revize 9.7.2007 [cit. 12.7. 2007]. . [34] Wyler, O.: Squares in the Fibonacci series. Amer. Math. Monthly 7, 1964, 220–222. [35] Zdeborová, L.: Květ slunečnice a Fibonacciova čísla. Rozhledy matematicko-fyzikální 82, č. 1, 2007, 1–10. [36] Zylinski, E.: Numbers of Fibonacci in Biological Statistics. Atti del Congr. internaz. matematici 4, 1928, 153–156.

FIBONACCIHO ČÍSLA A JEJICH SOUVISLOST S JINÝMI MATEMATICKÝMI POJMY

Recommend Documents