Martina Litschmannová

VŠB – TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY

Základy matematiky Pracovní listy Martina Litschmannová

2015 / 2016

Základy matematiky

1. cvičení 1. Množiny Definice 1.1 Množinou rozumějme soubor (souhrn) navzájem různých (rozlišitelných) matematických či jiných objektů. Jednotlivé objekty, které patří do dané množiny, se nazývají prvky množiny. Zápis 𝒂 ∈ 𝑨 znamená, že 𝑎 je prvkem množiny 𝐴. Zápis 𝒂 ∉ 𝑨 znamená, že 𝑎 není prvkem množiny 𝐴.

Množiny zadáváme  

výčtem prvků (tj. do složených závorek; obsahuje-li množina 𝐴 prvky 𝑎, 𝑏, 𝑐, píšeme 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ), pomocí charakteristické vlastnosti – zápis 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐸: 𝑉(𝑥)} znamená, že množina B je tvořena prvky z množiny 𝐸 a to pouze těmi, které mají vlastnost 𝑉(𝑥).

Množina, která neobsahuje žádný prvek se nazývá prázdná množina a označuje se ∅ nebo { }. Definice 1.2 Nechť 𝐴, 𝐵 jsou množiny. Říkáme, že množiny A, B jsou si rovny a píšeme 𝐴 = 𝐵, jestliže každý prvek množiny A je zároveň prvkem množiny B a každý prvek množiny B je zároveň prvkem množiny A.

Příklad 1.1 Rozhodněte, zda 𝐴 = 𝐵. a) Nechť 𝐴 = {2,4,5}, 𝐵 = {5,4,2}. b) Nechť 𝐴 = {2,2}, 𝐵 = {2}. Definice 1.3 Nechť 𝐴, 𝐵 jsou množiny. Říkáme, že množina A je podmnožinou množiny B a píšeme 𝐴 ⊂ 𝐵, jestliže každý prvek množiny A je zároveň prvkem množiny B.

Příklad 1.2 Najděte všechny podmnožiny množiny 𝐴 = {1,2,3}.

Martina Litschmannová

1

1. cvičení - Množiny Základní množinové operace název operace sjednocení průnik rozdíl doplněk

označení 𝐴∪𝐵 𝐴∩𝐵 𝐴\𝐵 𝐴′

Příklad 1.3 Vyšrafujte dané množiny ve Vennových diagramech.

Z

Z

Z

Z

A

A

A

A

B

B

B

B

𝐴∪𝐵

𝐴∩𝐵

𝐴\𝐵

𝐴′

Příklad 1.4 Nechť 𝐴 = {1,2,3,4}, 𝐵 = {2,4,5}. Určete 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴\𝐵, 𝐵\𝐴 .

Početní pravidla pro operace s množinami 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

2

𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴, 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶 = (𝐴 ∩ 𝐶) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶 = (𝐴 ∪ 𝐶) ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) (𝐴 ∩ 𝐵)´ = 𝐴´ ∪ 𝐵´, (𝐴 ∪ 𝐵)´ = 𝐴´ ∩ 𝐵´ (𝐴´)´ = 𝐴

komutativní zákony asociativní zákon asociativní zákon distributivní zákon distributivní zákon de Morganovy zákony

𝐴\𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵´


Základy matematiky Číselné množiny ℕ = {1; 2; 3; … } ℤ = {… ; −2; −1; 0 − 1; 2; … } 𝑝

ℚ = {𝑞 : 𝑝 ∈ ℤ; 𝑞 ∈ ℤ} ℝ ℝ\ℚ ℂ

přirozená čísla celá čísla racionální čísla reálná čísla iracionální čísla komplexní čísla

Příklad 1.5 Nechť 𝐴 = {1,2,3,4}, 𝐵 = ℕ. Určete 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴\𝐵, 𝐵\𝐴.

Příklad 1.6 Zjednodušte: a) (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) =

b) (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) =

c) [[(𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶] ∩ (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶] =


3

1. cvičení - Výroková logika

2. Výroková logika Definice 1.4 Výrok je tvrzení, o němž má smysl říci, zda je pravdivé nebo nepravdivé. Mějme výrok 𝐴. Je-li 𝐴 pravdivý, zapisujeme tuto skutečnost 𝑝(𝐴) = 1, je-li A nepravdivý, píšeme 𝑝(𝐴) = 0. Symboly 0, 1 se nazývají pravdivostní hodnoty.

Definice 1.5 Negací výroku budeme rozumět takový výrok, který popírá pravdivost výroku původního. Negaci výroku 𝐴 budeme značit ¬𝑨.

Definice 1.6 Obměna výroku 𝑨 je výrok, který říká totéž co výrok 𝐴, ale jinými slovy.

Příklad 1.7 Určete, zda lze dané věty považovat za výrok. V případě, že jde o výrok, určete jeho pravdivostní hodnotu a výrok negujte. a) 𝑉: Hradcem Králové protéká řeka Labe. b) 𝑉: V kolik hodin odjíždí rychlík Pendolino z Prahy? c) 𝑉: Rychlík Pendolino odjíždí z Prahy v 16:15h. d) 𝑉: 𝑥 < 5 e) 𝑉: 4 < 5 f)

𝑉: 4 + 5 = 10

Jednotlivé výroky lze spojovat pomocí logických spojek: název spojky konjunkce disjunkce implikace ekvivalence

označení 𝐴∧𝐵 𝐴∨𝐵 𝐴⇒𝐵 𝐴⇔𝐵

slovní vyjádření 𝐴 a zároveň 𝐵 𝐴 nebo 𝐵 jestliže 𝐴 pak 𝐵 𝐴 právě tehdy, když 𝐵

Výrok obsahující logické spojky nazýváme výrokem složeným. Neobsahuje-li výrok logické spojky, nazývá se výrok elementární.

4


Základy matematiky Definice 1.7 Mějme výroky 𝐴, 𝐵. Logické spojky, které spojují dva výroky, definujeme tabulkou pravdivostních hodnot vypsáním všech existujících kombinací.

𝒑(𝑨) 𝒑(𝑩) 𝒑(𝑨 ∧ 𝑩) 𝒑(𝑨 ∨ 𝑩) 𝒑(𝑨 ⇒ 𝑩) 𝒑(𝑨 ⇔ 𝑩) 1 1 1 0 0 1 0 0

Příklad 1.8 Doplněním tabulky pravdivostních hodnot dokažte, že platí následující vztahy pro negace. 1. ¬(¬𝐴) = 𝐴 2. ¬(𝐴 ∧ 𝐵) = ¬𝐴 ∨ ¬𝐵 3. ¬(𝐴 ∨ 𝐵) = ¬𝐴 ∧ ¬𝐵 4. ¬(𝐴 ⇒ 𝐵) = 𝐴 ∧ ¬𝐵 5. ¬(𝐴 ⇔ 𝐵) = (𝐴 ∨ 𝐵) ∧ (¬𝐴 ∨ ¬𝐵)

𝒑(𝑨) 𝒑(𝑩) 𝒑(¬𝑨) 𝒑(¬𝑩) 𝒑(¬(¬𝑨)) 𝒑(¬(𝑨 ∧ 𝑩)) 𝒑(¬𝑨 ∨ ¬𝑩) 1 1 1 0 0 1 0 0 𝒑(𝑨) 𝒑(𝑩) 𝒑(¬(𝑨 ∨ 𝑩)) 𝒑(¬𝑨 ∧ ¬𝑩) 𝒑(¬(𝑨 ⇒ 𝑩)) 𝒑(𝑨 ∧ ¬𝑩) 1 1 1 0 0 1 0 0 𝒑(𝑨) 𝒑(𝑩) 𝒑(¬(𝑨 ⇔ 𝑩)) 𝒑(𝑨 ∨ 𝑩) 𝒑(¬𝑨 ∨ ¬𝑩) 𝒑((𝑨 ∨ 𝑩) ∧ (¬𝑨 ∨ ¬𝑩)) 1 1 1 0 0 1 0 0


5

1. cvičení - Výroková logika Příklad 1.9 Doplňte tabulku pravdivostních hodnot. 𝒑(𝑨) 𝒑(𝑩) 𝒑(𝑪) 𝒑((𝑨 ∨ 𝑩) ∨ 𝑪) 𝒑((𝑨 ⇒ 𝑩) ∧ (𝑩 ⇒ 𝑪)) 𝒑((𝑩 ⇒ 𝑨) ∨ (𝑨 ∧ 𝑩)) 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0

Definice 1.8 Výroková forma je tvrzení obsahující proměnné, z něhož se stane výrok po dosazení konstant za proměnné. Z výrokové formy lze vytvořit výrok také tak, že všechny proměnné ve formě vážeme nějakou omezující podmínku, jednoznačně specifikující jejich hodnoty. Tato podmínka se nazývá kvantifikátor. V matematice se nejčastěji používají dva kvantifikátory:   

obecný kvantifikátor, který se označuje ∀ a čte se „pro každé, existenční kvantifikátor, který se označuje ∃ a čte se „existuje alespoň jeden“, kvantifikátor jednoznačné existence, který se označuje ∃! A čte se „existuje právě jeden“.

Negací obecného kvantifikátoru je existenční a naopak. Například: ¬(∀𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ: 𝑉(𝑥)) = ∃𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ: ¬𝑉(𝑥). Příklad 1.10 Určete pravdivostní hodnoty následujících výroků a určete jejich negace. 𝑽 ∃𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≥ 0 ∨ 𝑥 2 ≥ 0 ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ: 𝑥 ≥ 𝑦 ∀𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ: 𝑥 ≥ 𝑦 ∀𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 > 0 ⇒ 𝑥 3 ≥ 0 ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ: 𝑥 ≥ 𝑦 ⇒ 𝑥 3 ≥ 𝑦 3

𝒑(𝑽)

¬𝑽

Výroková forma, která při dosazení libovolné kombinace pravdivostních hodnot nabývá pravdivostní hodnoty 1 se nazývá tautologie.

6


Základy matematiky Příklad 1.11 Pomocí tabulky pravdivostních hodnot dokažte, že se jedná o tautologii: a) (𝐴 ⇒ 𝐵) ⇔ (¬𝐵 ⇒ ¬𝐴) (vztah pro nepřímý důkaz) b) (𝐴 ⇒ 𝐵) ⇔ ¬(𝐴 ∧ ¬𝐵) (vztah pro důkaz sporem) 𝒑(𝑨) 𝒑(𝑩) 𝒑(¬𝑨) 𝒑(¬𝑩) 𝒑(𝑨 ⇒ 𝑩) 𝒑(¬𝑩 ⇒ ¬𝑨) 𝒑(𝑨 ∧ ¬𝑩) 𝒑(¬(𝑨 ∧ ¬𝑩)) 1 1 1 0 0 1 0 0 𝒑(𝑨) 𝒑(𝑩) 𝒑((𝑨 ⇒ 𝑩) ⇔ (¬𝑩 ⇒ ¬𝑨)) 𝒑((𝑨 ⇒ 𝑩) ⇔ ¬(𝑨 ∧ ¬𝑩)) 1 1 1 0 0 1 0 0

3. O logické výstavbě matematiky Jednotlivé části této kapitoly jsou převzaty z [2]. Jak budovat vědeckou teorii? 1. Na počátku uvedeme axiomy, tj. výroky, jejichž pravdivost se předpokládá. V axiomech se vyskytují tzv. primitivní pojmy, které nedefinujeme. Axiomy vypovídají o primitivních pojmech vše, co je možné říci. 2. Pak následují věty, tj. pravdivé výroky, které lze odvodit pomocí pravidel logiky z axiomů nebo z vět předcházejících. Nedílnou součástí vět je jejich důkaz. 3. Další pojmy zavádíme pomocí definic, přičemž definice je vymezením obsahu a rozsahu nového pojmu. Matematické důkazy Věty mají tvar implikace (𝛼 ⇒ 𝛽) nebo ekvivalence (𝛼 ⇔ 𝛽). Protože však lze každou ekvivalenci převést na implikaci, stačí se v důkazech soustředit na věty ve tvaru implikace. Mějme větu 𝛼 ⇒ 𝛽, pak 𝛼 jsou předpoklady věty a 𝛽 jsou tvrzení věty. Slovně lze takovou větu vyjádříme některým z následujících způsobů:   

Nechť platí 𝛼. Potom platí 𝛽. Jestliže platí 𝛼, potom platí 𝛽. Když platí 𝛼, pak platí 𝛽.

Nedílnou součástí věty je její důkaz. Důkazem rozumíme logické deduktivní odvození výroku z jiných pravdivých výroků. Používáme následující typy důkazů: přímý důkaz, nepřímý důkaz, důkaz sporem a důkaz matematickou indukcí.


7

1. cvičení - O logické výstavbě matematiky Princip matematických důkazů: 

Přímý důkaz vychází z pravdivosti předpokladů 𝛼 a má tvar řetězce na sebe navazujících implikací, tj. 𝛼 ⇒ 𝛾1 ⇒ 𝛾2 … ⇒ 𝛾𝑛 ⇒ β.



Nepřímý důkaz využívá vztahu (𝛼 ⇒ 𝛽) ⇔ (¬𝛽 ⇒ ¬𝛼). (viz příklad 1.11) Vyjdeme z ¬𝛽 a přímým důkazem dokážeme ¬𝛼. ¬𝛽 ⇒ 𝛿1 ⇒ 𝛿2 … ⇒ 𝛿𝑛 ⇒ ¬𝛼.



Důkaz sporem využívá vztahu (𝛼 ⇒ 𝛽) ⇔ ¬(𝛼 ∧ ¬𝛽). (viz příklad 1.11) Chceme ukázat, že není pravda, že platí 𝛼 a zároveň neplatí 𝛽. Předpokládáme tedy současnou platnost 𝛼 a ¬𝛽 a postupně dojdeme k tzv. sporu. Spor je stav, kdy pro nějakou formuli 𝛾 ukážeme, že současně platí 𝛾 a ¬𝛾.



Důkaz matematickou indukcí je popsán např. v [2], v oddílu 2.7.

Příklad 1.12 Dokažte přímo, nepřímo i sporem, že ∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑛 ≥ 2 ⇒ 6𝑛 + 3 > 13. 

Přímý důkaz



Nepřímý důkaz – chceme dokázat, že ……………………………………………………………………………………………



Důkaz sporem – chceme dokázat, že ……………………………………………………………………………………………

8


Základy matematiky Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Moravec Luboš – Výuka logiky (diplomová práce – webová aplikace pro výuku matematické logiky

na střední škole) [2] Kuben Jaromír, Šarmanová Petra - Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (kap. 2.2 Výroky a [3] [4] [5] [6]

operace s výroky, kap. 2.7 Matematická indukce, kap.2.9 O log. výstavbě matematiky) VUT Brno, web Matematika online - Matematika I, Základy logiky a teorie množin (studijní text, neřešené příklady, řešené příklady) web Matematika-online-a.kvalitne.cz - Matematická logika a teorie množin, Matematické věty a jejich důkazy Havrlant Lukáš, web Matematika polopatě – Výroková logika, Výroky (příklady), Množiny, operace s množinami Šarmanová Petra, web Základy matematiky - Výroky, kvantifikátory (příklady k procvičení)


9

2. cvičení - Komplexní čísla – základní poznatky

2. cvičení 1. Komplexní čísla – základní poznatky Definice 2.1 Komplexním číslem 𝑧 nazýváme uspořádanou dvojici reálných čísel 𝑥 a 𝑦 píšeme 𝑧 = [𝑥; 𝑦]. Číslu 𝑥 říkáme reálná část komplexního čísla 𝑧, číslu 𝑦 imaginární část komplexního čísla 𝑧.

Geometrické znázornění komplexních čísel 

Komplexní čísla znázorňujeme jako body Gaussovy roviny. Každé komplexní číslo 𝑧 = [𝑥; 𝑦] je v ní znázorněno bodem 𝑍 o souřadnicích [𝑥; 𝑦].



Každému komplexnímu číslu 𝑧 = [𝑥; 𝑦] lze přiřadit polohový vektor, jehož počáteční bod je počátek soustavy souřadnic a koncový bod je bod o souřadnicích [𝑥; 𝑦]. Geometrické znázornění komplexních čísel pomocí polohových vektorů je výhodné při znázorňování operací s komplexními čísly.

Klasifikace komplexních čísel Nechť je 𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ. Pak používáme následující označení. 𝑧 = [𝑥; 0] = 𝑥 𝑧 = [0; 1] = 𝑖 𝑧 = [𝑥; 𝑦], 𝑦 ≠ 0 𝑧 = [0; 𝑦] = 𝑦[0; 1] = 𝑖𝑦 −𝑧 = [−𝑥; −𝑦] 𝑧̅ = [𝑥; −𝑦] |𝑧| = √𝑥 2 + 𝑦 2

10

reálné číslo imaginární jednotka imaginární číslo (ℂ\ℝ) ryze imaginární číslo (leží na „imaginární“ ose) číslo opačné k 𝑧 číslo komplexně sdružené k 𝑧 absolutní hodnota (modul) čísla 𝑧


Základy matematiky Rovnost komplexních čísel a početní operace s komplexními čísly Nechť 𝑧1 = [𝑥1 ; 𝑦1 ], 𝑧2 = [𝑥2 ; 𝑦2 ], 𝛼 ∈ ℝ. 

Rovnost:

𝑧1 = 𝑧2 ⇔ (𝑥1 = 𝑥2 ) ∧ (𝑦1 = 𝑦2 )



Součet:

𝑧1 + 𝑧2 = [𝑥1 + 𝑥2 ; 𝑦1 + 𝑦2 ]



Součin komplexního a reálného čísla:

𝛼𝑧1 = [𝛼𝑥1 ; 𝛼𝑦1 ]



Součin:

𝑧1 𝑧2 = [𝑥1 𝑥2 − 𝑦1 𝑦2 ; 𝑥1 𝑦2 + 𝑥2 𝑦1 ]

Poznámka: Rozdíl a podíl komplexních čísel není nutno definovat. 𝑧1 − 𝑧2 = 𝑧1 + (−1)𝑧2 𝑧1 𝑧2

𝑧

̅̅̅ 𝑧

𝑧 ̅̅̅ 𝑧

2 = 𝑧 1 ∙ ̅̅̅̅ = |𝑧1 |22 = |𝑧 𝑧 2

2

2

1

2 2|

∙ 𝑧1 𝑧̅2 (uvědomte si, že |𝑧

1

2 2|

je reálné číslo)

Příklad 2.1 Dokažte, že 𝑖 2 = −1.

Mocniny imaginární jednotky 𝑖1 = 𝑖 𝑖 2 = −1 𝑖 3 = 𝑖 2 ∙ 𝑖 = −𝑖 𝑖4 = 𝑖2 ∙ 𝑖2 = 1 ⋮ 𝑖 73 = 𝑖 72+1 = 𝑖 4∙18+1 = 𝑖 4∙18 ∙ 𝑖 1 = (𝑖 4∙ )18 ∙ 𝑖 1 = 1 ∙ 𝑖 = 𝑖

2. Algebraický tvar komplexních čísel Každé komplexní číslo 𝑧 = [𝑥; 𝑦] lze vyjádřit ve tvaru 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 . 𝑧 = [𝑥; 𝑦] = [𝑥; 0] + [0; 𝑦] = 𝑥[1; 0] + 𝑦[0; 1] = 𝑥 ∙ 1 + 𝑦 ∙ 𝑖 = 𝑥 + 𝑖𝑦 Operace s čísly v algebraickém tvaru Nechť 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 , 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2 , 𝛼 ∈ ℝ. Pak:  

Součet: Součin reálného čísla a komplexního čísla:


𝑧1 + 𝑧2 = (𝑥1 + 𝑥2 ) + 𝑖(𝑦1 + 𝑦2 ) 𝛼𝑧1 = 𝛼𝑥1 + 𝑖𝛼𝑦1

11

2. cvičení - Algebraický tvar komplexních čísel 

Součin:

𝑧1 𝑧2 = (𝑥1 + 𝑖𝑦1 )(𝑥2 + 𝑖𝑦2 ) = 𝑥1 𝑥2 + 𝑖𝑥1 𝑦2 + 𝑖𝑥2 𝑦1 + 𝑖 2 𝑦1 𝑦2 = (𝑥1 𝑥2 − 𝑦1 𝑦2 ) + 𝑖(𝑥1 𝑦2 + 𝑥2 𝑦1 ) 

Podíl: 𝑧1 𝑧2

𝑥 +𝑖𝑦

𝑥 +𝑖𝑦

𝑥 −𝑖𝑦

= 𝑥1 +𝑖𝑦1 = 𝑥1 +𝑖𝑦1 ∙ 𝑥2 −𝑖𝑦2 = 2

2

2

2

2

2

(𝑥1 +𝑖𝑦1 )(𝑥2 −𝑖𝑦2 ) 𝑥22 +𝑦22

1

= 𝑥 2 +𝑦2 ∙ (𝑥1 + 𝑖𝑦1 )(𝑥2 − 𝑖𝑦2 ) 2

2

Poznámka: Pro určení n-té mocniny a n-té odmocniny používáme goniometrický tvar komplexního čísla. Příklad 2.2 Nechť 𝑧1 = 3 + 2𝑖, 𝑧2 = −2 − 𝑖. Určete: a) 𝑧1 + 𝑧2 = b) 𝑧1 − 2𝑧2 = c) 𝑧1 ∙ 𝑧2 =

d)

𝑧1 𝑧2

=

Příklad 2. 3 Zjednodušte: 𝑧 =

12

(5+2𝑖)2 𝑖−1

∙ 𝑖3 +

6𝑖 7 +6𝑖 6 −𝑖 . 𝑖 5 +1


Základy matematiky

3. Goniometrický tvar komplexních čísel Každé komplexní číslo 𝑧 = [𝑥; 𝑦] lze vyjádřit ve tvaru 𝑧 = |𝑧| ∙ (cos 𝜑 + 𝑖 ∙ sin 𝜑 ), kde |𝑧| je velikost čísla 𝑧 a 𝜑 je úhel, který svírá polohový vektor příslušný k číslu 𝑧 s kladnou poloosou 𝑥.

𝑦

sin 𝜑 = |𝑧| ⇒ 𝑦 = |𝑧| ∙ sin 𝜑 𝑥

cos 𝜑 = |𝑧| ⇒ 𝑥 = |𝑧| ∙ cos 𝜑 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 = |𝑧| ∙ cos 𝜑 + 𝑖 ∙ |𝑧| ∙ sin 𝜑 = = |𝑧| ∙ (cos 𝜑 + 𝑖 ∙ sin 𝜑 )

Hodnoty funkcí sinus a kosinus pro základní úhly

Převod čísel z goniometrického do algebraického tvaru (a naopak) Příklad 2.4 Převeďte do algebraického tvaru čísla: 𝜋 3

𝜋 3

a) 3 (cos + 𝑖 ∙ sin ) = b)

0,727(cos 0,534 + 𝑖 ∙ sin 0,534) =

Příklad 2.5 Převeďte do goniometrického tvaru čísla: a) 1 =


13

2. cvičení - Goniometrický tvar komplexních čísel b)

1+𝑖 =

c) 1 − 𝑖 =

d) −1,20 − 0,65𝑖 =

Operace s čísly v goniometrickém tvaru Nechť 𝑧1 = |𝑧1 | ∙ (cos 𝜑1 + 𝑖 ∙ sin 𝜑1 ), 𝑧2 = |𝑧2 | ∙ (cos 𝜑2 + 𝑖 ∙ sin 𝜑2 ), 𝑛 ∈ ℕ 

Součin:

𝑧1 𝑧2 = |𝑧1 ||𝑧2 |(cos(𝜑1 + 𝜑2 ) + 𝑖 ∙ sin(𝜑1 + 𝜑2 ) )



Podíl:

𝑧1 𝑧2

|𝑧 |

= |𝑧1 | (cos(𝜑1 − 𝜑2 ) + 𝑖 ∙ sin(𝜑1 − 𝜑2 ) ) 2

Poznámka: Pro určení součtu a rozdílu používáme algebraický tvar komplexního čísla. 

Mocnina

Moivreova věta Pro každé 𝑛 ∈ ℕa všechna 𝜑𝜖ℝ platí: 𝑛

(|𝑧| ∙ (cos 𝜑 + 𝑖 ∙ sin 𝜑 )) = |𝑧|𝑛 (cos(𝑛𝜑) + 𝑖 ∙ sin(𝑛𝜑) ).

14


Základy matematiky 

Odmocnina

Věta (důkaz lze najít v literatuře) Je-li 𝑧 = |𝑧| ∙ (cos 𝜑 + 𝑖 ∙ sin 𝜑 ) nenulové komplexní číslo a 𝑛 ∈ ℕ, pak existuje právě 𝑛 komplexních čísel, která jsou n-tou odmocninou ze 𝑧, tj. takových čísel 𝑧𝑖 , že 𝑧𝑘𝑛 = 𝑧. Jsou to čísla 𝜑+2𝑘𝜋 )+ 𝑛

𝑛

𝑧𝑘 = √|𝑧| ∙ [𝑐𝑜𝑠 (

𝜑+2𝑘𝜋 )], 𝑛

𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛 (

kde 𝑘 = 0, 1, … , 𝑛 − 1.

𝑛

(|𝑧| ∙ (cos 𝜑 + 𝑖 ∙ sin 𝜑 )) = |𝑧|𝑛 (cos(𝑛𝜑) + 𝑖 ∙ sin(𝑛𝜑) ).

Všimněte si: 𝜑 + 2𝑘𝜋 𝜑 + 2𝑘𝜋 𝜑 2𝑘𝜋 𝜑 2𝑘𝜋 𝑛 𝑛 𝑧𝑘 = √|𝑧| ∙ [𝑐𝑜𝑠 ( ) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛 ( )] = √|𝑧| ∙ [𝑐𝑜𝑠 ( + ) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛 ( + )] 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛

Vidíme, že všechny n-té odmocniny ze 𝑧 mají stejnou absolutní hodnotu √|𝑧| a jejich argumenty se liší o násobek

2𝜋 . 𝑛

To znamená, že:



je-li 𝑛 ≥ 3, pak obrazy 𝑧𝑘 jsou vrcholy pravidelného n-úhelníku vepsaného do kružnice se středem



v počátku a poloměrem √|𝑧|, je-li 𝑛 = 2, pak 𝑧𝑘 (𝑧0 a 𝑧1 ) jsou čísla komplexně sdružená.

𝑛

Příklad 2.6 Určete: a) (1 + 𝑖)53 =

3

b) √1 + 𝑖 =


15

2. cvičení - Eulerův tvar komplexního čísla Příklad 2.7 3

a) 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 = 1; √𝑥 =?

3

b) 𝑥 ∈ ℂ: 𝑥 = 1; √𝑥 =?

4. Eulerův tvar komplexního čísla Každé komplexní číslo 𝑧 = [𝑥; 𝑦] lze vyjádřit ve tvaru 𝑧 = |𝑧| ∙ 𝑒 𝑖𝜑 , kde |𝑧| je velikost čísla 𝑧 a 𝜑 je úhel, který svírá polohový vektor příslušný k číslu 𝑧 s kladnou poloosou 𝑥. Pro převod čísel z goniometrického tvaru do Eulerova tvaru se používá tzv. Eulerův vzorec. Eulerův vzorec (důkaz lze najít v literatuře) 𝑒 𝑖𝜑 = cos 𝜑 + 𝑖 ∙ sin 𝜑

Operace s čísly v Eulerově tvaru Poznámka: Pro určení součtu a rozdílu používáme algebraický tvar komplexního čísla. Nechť 𝑧1 = |𝑧| ∙ 𝑒 𝑖𝜑 , 𝑧1 = |𝑧1 | ∙ 𝑒 𝑖𝜑1 , 𝑧2 = |𝑧2 | ∙ 𝑒 𝑖𝜑2 , 𝑛 ∈ ℕ 

Součin:



Podíl:



Mocnina:



Odmocnina:

16

𝑧1 𝑧2 = |𝑧1 ||𝑧2 |𝑒 𝑖(𝜑1 +𝜑2 ) |𝑧 | 𝑧1 = |𝑧1 | 𝑒 𝑖(𝜑1 −𝜑2 ) 𝑧2 2 𝑛 |𝑧|𝑛 𝑖(𝑛𝜑)

𝑧 =

𝑒

𝑖( √𝑧 = 𝑧𝑘 = √|𝑧| ∙ 𝑒

𝑛

𝑛

𝜑+2𝑘𝜋 ) 𝑛

, kde 𝑘 = 0, 1, … , 𝑛 − 1.


Základy matematiky Příklad 2.8 Nechť 𝑧1 = 3𝑒 0,32𝑖 , 𝑧2 = 2𝑒 0,20𝑖 . Určete: a) 𝑧1 ∙ 𝑧2 =

b)

𝑧1 𝑧2

=

c) 𝑧120 =

d) 3√𝑧1 =

Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Šilarová, L.: Komplexní čísla ve výuce matematiky na střední škole s využitím internetu (diplomová práce – vedoucí: RNDr. Jarmila Robová, CSc., MFF UK) [2] Kuben Jaromír, Šarmanová Petra -Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (kap. 2.3 Reálná čísla, kap. 2.4 rozšířená množina reálných čísel) [3] web priklady.eu – Komplexní čísla (řešené příklady)


17

3. cvičení - Algebraické výrazy

3. cvičení 1. Algebraické výrazy Definice 3.1 Proměnnou rozumíme znak, který označuje libovolné číslo z určité množiny, kterou nazýváme obor proměnné nebo definiční obor výrazu. Pokud není obor proměnné výslovně určen, považujeme za obor proměnné množinu všech čísel, která lze do výrazu dosadit, aniž ztratí smysl některá z uvedených operací (nedochází např. k dělení nulou, odmocňování záporného čísla v reálném výrazu apod.) Definice 3.2 Algebraický výraz je zápis, ve kterém se vyskytují konstanty, které nemění svou hodnotu a které jsou vyjádřeny čísly, dále proměnné a operace sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování a odmocňování prováděné s konstantami a proměnnými. Definice 3.3 Dosadíme-li za proměnné do výrazu libovolná čísla, pro která má daný výraz smysl, a provedeme všechny předepsané operace, dostaneme jako výsledek číslo – hodnotu výrazu.

Vlastnosti mocnin Nechť 𝑎 ∈ ℝ, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑚 ∈ ℕ, 𝑛 ∈ ℕ, pak     

𝑎0 = 1, pokud 𝑎 ≠ 0, 𝑎1 = 𝑎, 0𝑛 = 0, (uvědomte si, že tato rovnost platí pouze proto, že 𝑛 > 0), 00 je nedefinovaný výraz, 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 ,



𝑎𝑚 : 𝑎𝑛 =



𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛,

𝑎0

𝑎𝑚 𝑎𝑛

= 𝑎𝑚−𝑛 pokud 𝑎 ≠ 0, 1

 

(𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 𝑏 𝑛 , (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚𝑛 ,



𝑛

𝑚

√𝑎 𝑚 = 𝑎 𝑛 .

Příklad 3.1 1

Zjednodušte

18

𝑎7 𝑏3 𝑐 2 algebraický výraz 𝑎2 𝑏5 𝑐 2

∶

3

√𝑎 7 𝑏3 . 3


Základy matematiky

2. Mnohočleny Mnohočlen (polynom) n-tého stupně jedné proměnné je výraz tvaru 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 , kde 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , … , 𝑎1 , 𝑎0 jsou konstanty (koeficienty) mnohočlenu a x je proměnná. Mnohočlen 1. stupně nazýváme lineární, mnohočlen 2. stupně kvadratický (popř. kvadratický trojčlen), mnohočlen 3. stupně pak kubický. Pojem mnohočlenu lze zobecnit na případ více proměnných, kde místo mocnin nx jedné proměnné vystupují součiny mocnin několika proměnných. Např.: 3𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 2 + 𝑥. Základní operace s mnohočleny Příklad 3.2 Upravte: a) (𝑥 3 + 3𝑥 2 𝑦 + 2𝑥𝑦 2 + 𝑦 3 ) − (𝑥 − 𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 2 + 1) = b) (−2𝑟𝑠 2 𝑡 3 ) ∙ (2𝑠 4 𝑡 2 ) = c) (3𝑥 + 5)(2𝑥 2 + 𝑥 − 1) =

d) (−2𝑟𝑠 2 𝑡 3 ): (2𝑠 4 𝑡 2 ) = e) (15𝑟 4 𝑠 5 − 10𝑟 3 𝑠 2 + 5𝑟 2 𝑠 5 ): (5𝑟 2 𝑠 2 ) =

f)

(20𝑥 4 − 4𝑥 3 + 10𝑥 2 − 7𝑥 + 1): (5𝑥 − 1) =

g) (15𝑥 4 − 10𝑥 3 + 5𝑥 − 2): (5𝑥 − 1) =


19

3. cvičení - Mnohočleny h) (10𝑎4 − 3𝑎2 + 2): (2𝑎 − 1) =

i)

𝑥+1 𝑥

=

j)

𝑥 𝑥+1

=

Umocňování mnohočlenů Nechť 𝐴, 𝐵, 𝐶 jsou mnohočleny, pak:     

(𝐴 + 𝐵)2 = 𝐴2 + 2𝐴𝐵 + 𝐵2 , (𝐴 − 𝐵)2 = 𝐴2 − 2𝐴𝐵 + 𝐵2 , (𝐴 + 𝐵 + 𝐶)2 = 𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶 2 + 2𝐴𝐵 + 2𝐴𝐶 + 2𝐵𝐶, (𝐴 + 𝐵)3 = 𝐴3 + 3𝐴2 𝐵 + 3𝐴𝐵2 + 𝐵3 , (𝐴 − 𝐵)3 = 𝐴3 − 3𝐴2 𝐵 + 3𝐴𝐵2 − 𝐵3 ,

Příklad 3.3 Upravte výraz (3𝑎2 𝑏 3 − 2𝑎3 𝑏 2 )2 : a) roznásobením:

b) úpravou podle vzorce:

20


Základy matematiky Příklad 3.4 Upravte výraz (𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧)2 .

Příklad 3.5 Upravte výraz (𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 − 2𝑤)2 .

Rozklad mnohočlenů na součin 

vytýkáním



použitím vzorců  𝐴2 − 𝐵2 = (𝐴 − 𝐵)(𝐴 + 𝐵)  𝐴3 − 𝐵3 = (𝐴 − 𝐵)(𝐴2 + 𝐴𝐵 + 𝐵2 )  𝐴3 + 𝐵3 = (𝐴 + 𝐵)(𝐴2 − 𝐴𝐵 + 𝐵2 )  𝐴2 + 𝐵2 …. nelze v reálném oboru rozložit!!!

Příklad 3.6 Rozložte na součin: a) 6𝑥 2 𝑡 3 + 24𝑥 4 𝑡 5 =

b) 𝑥 2 𝑡 4 − 16𝑎4 𝑏6 =

c) 𝑡 3 − 7𝑡 2 − 𝑡𝑎2 + 7𝑎2 =



rozkladem kvadratického trojčlenu (Vietovy vzorce, doplnění na čtverec)


21

3. cvičení - Mnohočleny Rozklad kvadratického trojčlenu Mějme kvadratický trojčlen 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Je-li 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0, pak 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ), kde 𝑥1,2 =

−𝑏±√𝐷 . 2𝑎

Vietovy vzorce (𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) = 𝑥 2 − (𝑥1 + 𝑥2 )𝑥 + 𝑥2 𝑥2 = 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞, kde 𝑝 = −(𝑥1 + 𝑥2 ), 𝑞 = 𝑥2 𝑥2 Příklad 3.7 Rozložte na součin: a) 𝑥 2 + 7𝑥 + 10 =

b) 𝑥 2 − 6𝑥 + 5 =

5

c) 2𝑥 2 − 6𝑥 + 2 =

Rozklad kvadratického trojčlenu doplněním na čtverec – „přinutíme fungovat“ druhou mocninu trojčlenu a následně rozdíl čtverců. Například: 𝑥 2 + 8𝑥 + 7 = 𝑥 2 + 8𝑥+ ? ?

𝑥 2 + 2𝐵𝑥 + 𝐵2

− ? ? +7 = 𝑥 2 + 8𝑥 + 16 − 16 + 7 = (𝑥 + 4)2 − 9 =

𝑥 2 + 2𝐵𝑥 + 𝐵2

(𝑥 + 𝐵)2

= [(𝑥 + 4) − 3][(𝑥 + 4) + 3] = (𝑥 + 1)(𝑥 + 7)

22


Základy matematiky Příklad 3.8 Doplňte na čtverec a následně, pokud to lze, rozložte na součin. a) 𝑥 2 + 4𝑥 − 3 =

b) 𝑥 2 − 6𝑥 − 7 =

c) 2𝑥 2 − 8𝑥 + 10 =

d) −3𝑥 2 − 2𝑥 + 1 =

Doporučená on-line dostupná literatura: [1] [2] [3] [4] [5]

web Matematika s radostí – Základní poznatky web priklady.eu – Algebraické výrazy, Odmocniny (řešené příklady) Martíšek, Faltusová, Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám – Algebraické výrazy web Matematika-online-a.kvalitne.cz – Algebraické výrazy a jejich úpravy Havrlant Lukáš, web Matematika polopatě - Zlomky


23

4. cvičení - Racionální lomené výrazy

4. cvičení 1. Racionální lomené výrazy Definice 4.1 Racionálním lomeným výrazem rozumíme výraz, který lze zapsat ve tvaru podílu dvou mnohočlenů. Vždy bychom měli uvádět, kdy mají dané výrazy smysl. Příklad 4.1 Zjednodušte: a)

3𝑥 2 +12𝑥+12 6𝑥 2 −24

=

b)

𝑎+1 𝑎−1 + 𝑎+1 𝑎−1

=

𝑥2

𝑥2

c) (1 − 𝑦2 ) (𝑦2 −𝑥2 + 1) =

d)

𝑎𝑚2 −𝑎𝑛2 𝑚2 +2𝑚𝑛+𝑛2 𝑎𝑚2 −2𝑎𝑚𝑛+𝑎𝑛2 3𝑚+3𝑛

e)

𝑥 𝑦 𝑦2 𝑥− 𝑥

24

1−

=

=


Základy matematiky

2. Iracionální výrazy Příklad 4.2 Usměrněte výrazy: a)

1 √𝑥+√𝑦

=

1+𝑎 1−𝑎 +√ 1−𝑎 1+𝑎

√

b)

1+𝑎 1−𝑎 −√ 1−𝑎 1+𝑎

√

3

𝑎 √𝑏

c) √ 3

√𝑎√𝑏

d)

=

=

√3−√2 √3+√2 + 3− 2 √3+√2 √ √

=


25

4. cvičení - Iracionální výrazy 1+√3 √3

e) 1 + 2+

f)

1+√𝑥 1−√𝑥

=

3√𝑥 √𝑥

− 1+

+

3+√𝑥 1−𝑥

=

Doporučená on-line dostupná literatura: [1] web Matematika s radostí – Základní poznatky [2] web priklady.eu – Algebraické výrazy, Odmocniny (řešené příklady) [3] Martíšek, Faltusová, Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám – Algebraické výrazy

26


Základy matematiky

5. cvičení 1. Reálné funkce jedné reálné proměnné Definice 5.1 Nechť 𝐴 ⊂ ℝ, 𝐴 ≠ ∅. Zobrazení 𝑓 množiny 𝐴 do množiny ℝ (𝑓: 𝐴 → ℝ) nazýváme reálnou funkcí jedné reálné proměnné (dále jen funkcí). Množina 𝐴 se nazývá definiční obor funkce 𝑓 a značí se 𝐷(𝑓)

Ke každému prvku 𝑥 ∈ 𝐴 existuje právě jeden prvek 𝑦 ∈ ℝ takový, že 𝑦 = 𝑓(𝑥). Množinu všech takových 𝑦 ∈ ℝ, k nimž existuje 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓), pak nazýváme obor hodnot funkce 𝑓 a označujeme 𝐻(𝑓). Zadání funkce K zadání funkce 𝑓 je nutné uvést jednak definiční obor 𝐷(𝑓) a jednak pravidlo (předpis), pomocí něhož je každému 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) přiřazen právě jeden prvek 𝑦 ∈ 𝐻(𝑓). Je-li funkce zadána pouze předpisem a definiční obor není výslovně uveden, pak za definiční obor pokládáme množinu takových 𝑥 ∈ ℝ, pro která má daný předpis „smysl“. Příklad 5.1 Určete definiční obory následujících funkcí. 13

a) 𝑓: 𝑦 = 𝑥 2 −3𝑥+2

b) 𝑓: 𝑦 = √1 − 𝑥 ∙ √1 + 𝑥

c) 𝑓: 𝑦 = √𝑥 2 − 5𝑥 + 6

d) 𝑓: 𝑦 =

√3𝑥−1 √𝑥+1−2

6


27

5. cvičení - Reálné funkce jedné reálné proměnné √𝑥+5

e) 𝑓: 𝑦 = 𝑙𝑛(9−𝑥)

Rovnost funkcí Definice 5.2 Funkce 𝒇 a 𝒈 jsou si rovny, právě když mají stejný definiční obor a v každém bodě tohoto definičního oboru platí 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥).

Příklad 5.2 Rozhodněte, zda se následující funkce rovnají. a) 𝑓: 𝑦 = 𝑥 + 1, 𝑥 ∈ (−∞; −1), 𝑔: 𝑦 =

𝑥 2 −1 ,𝑥 𝑥−1

∈ (−∞; −1)

b) 𝑓: 𝑦 = 2 𝑙𝑛 𝑥 , 𝑔. 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥 2

Graf funkce Definice 5.3 Grafem funkce 𝑓: 𝐷(𝑓) → ℝ rozumíme množinu bodů {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) ∧ 𝑦 = 𝑓(𝑥)}, kde (𝑥, 𝑦) značí bod roviny o souřadnicích 𝑥a 𝑦.

POZOR! Ne každá množina uspořádaných dvojic je funkcí (např. kružnice, elipsa, hyperbola, …)

28


Základy matematiky Příklad 5.3 Nakreslete graf funkce. −1, 𝑥 < 0 a) 𝑓: 𝑦 = 𝑠𝑔𝑛 (𝑥) = { 0, 𝑥 = 0 1, 𝑥 > 0

(signum)

𝑥, 𝑥 ≥ 0 b) 𝑓: 𝑦 = |𝑥| = { −𝑥, 𝑥 < 0

(absolutní hodnota)

0, 𝑥 < 0 c) 𝐻: 𝑦 = { 1, 𝑥 ≥ 0

(Heavisideova funkce, také jednotkový skok)


29

5. cvičení - Některé vlastností funkcí ∞, 𝑥 = 0 d) 𝛿: 𝑦 = { 0, 𝑥 ≠ 0

(Diracova 𝜹 funkce, také jednotkový impuls)

1, 𝑥∈ℚ e) 𝑓: 𝑦 = { 0, 𝑥 ∈ ℝ\ℚ

(Dirichletova funkce)

2. Některé vlastností funkcí Ohraničená funkce Definice 5.4 Funkce 𝑓 je shora ohraničená na množině 𝑴 ⊂ 𝐷(𝑓), jestliže existuje 𝐿 ∈ ℝ, tak že 𝑓(𝑥) ≤ 𝐿 pro každé 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). Je-li 𝑀 = 𝐷(𝑓), říkáme, že funkce je shora ohraničená.

y

L

x

30


Základy matematiky Definice 5.5 Funkce 𝑓 je zdola ohraničená na množině 𝑴 ⊂ 𝐷(𝑓), jestliže existuje 𝐾 ∈ ℝ, tak že 𝑓(𝑥) ≥ 𝐾 pro každé 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). Je-li 𝑀 = 𝐷(𝑓), říkáme, že funkce je zdola ohraničená.

y

K

x

Definice 5.6 Funkce 𝑓 je ohraničená na množině 𝑴 ⊂ 𝐷(𝑓), jestliže je na množině 𝑀 ohraničená shora i zdola. Jeli 𝑀 = 𝐷(𝑓), říkáme, že funkce je ohraničená.

Příklad 5.4 𝑥 2 −1

Určete, zda je funkce 𝑓: 𝑦 = 𝑥 2 +1 , 𝑥 ∈ ℝ ohraničená.

Monotónní funkce Definice 5.7 Řekneme, že funkce je a) rostoucí (resp. klesající) na množině 𝑴 ⊂ 𝐷(𝑓), jestliže pro každé 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑀 takové, že 𝑥1 < 𝑥2 , platí 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ) (resp. 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 )), b) nerostoucí (resp. neklesající) na množině 𝑴 ⊂ 𝐷(𝑓), jestliže pro každé 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑀 takové, že 𝑥1 < 𝑥2 , platí 𝑓(𝑥1 ) ≤ 𝑓(𝑥2 ) (resp. 𝑓(𝑥1 ) ≥ 𝑓(𝑥2 )), c) rostoucí (resp. klesající, nerostoucí, neklesající), je-li rostoucí resp. klesající, nerostoucí, neklesající) na celém svém definičním oboru.


31

5. cvičení - Některé vlastností funkcí Příklad 5.5 Vyšetřete monotónii následujících funkcí.

a)

b)

c)

d)

Prostá funkce Definice 5.8 Řekneme, že funkce 𝒇 je prostá, právě když pro každé 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐷(𝑓) takové, že 𝑥1 ≠ 𝑥2 platí, že 𝑓(𝑥1 ) ≠ 𝑓(𝑥2 ).

funkce prostá

funkce, která není prostá

Poznámka: Složením dvou prostých funkcí vznikne funkce prostá. Příklad 5.6 Dokažte, že 𝑓: 𝑦 = (𝑥 − 1)2 + 7, 𝑥 ∈ ⟨1; ∞) je prostá.

32


Základy matematiky Sudá a lichá funkce Definice 5.9 Funkce 𝒇 se nazývá sudá (resp. lichá), pokud platí: a) Je-li 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓), pak −𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). b) 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) (resp. 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)) pro všechna 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓).

funkce lichá (graf souměrný podle počátku)

funkce sudá (graf souměrný podle osy y)

Příklad 5.7 Určete, zda jsou následující funkce sudé nebo liché. 𝑥

a) 𝑓: 𝑦 = 𝑥 2 +1

1−𝑥 2

b) 𝑔: 𝑦 = 1+𝑥2

1+𝑥

c) ℎ: 𝑦 = 1+𝑥2

Periodická funkce Definice 5.10 Řekneme, že funkce 𝑓 je periodická s periodou 𝑝, 𝑝 ∈ ℝ+, jestliže platí: a) Je-li 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓), pak 𝑥 + 𝑝 ∈ 𝐷(𝑓). b) 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝑝) pro všechna 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓).


33

5. cvičení - Operace s funkcemi Příklad 5.8 Nakreslete graf periodické funkce 𝑓, jejíž perioda 𝑝 = 2 a 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓), jestliže víte, že −1, 𝑥 ∈ (−1,0) 𝑓(𝑥) = { 0, 𝑥 = −1 𝑎 𝑥 = 0 . 1, 𝑥 ∈ (0,1)

3. Operace s funkcemi Součet, rozdíl, součin a podíl funkcí Definice 5.11 Nechť 𝑓 a 𝑔 jsou funkce. Součtem 𝒇 + 𝒈, rozdílem 𝒇 − 𝒈, součinem 𝒇 ∙ 𝒈 a podílem 𝒇/𝒈 funkcí 𝒇 a 𝒈 nazveme funkce, které jsou dány předpisem: (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥), (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥), 𝑓

𝑓(𝑥)

(𝑔) (𝑥) = 𝑔(𝑥),

𝑝𝑟𝑜 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔), 𝑝𝑟𝑜 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔), 𝑝𝑟𝑜 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔),

𝑝𝑟𝑜 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔) {𝑥 ∈ ℝ: 𝑔(𝑥) = 0}.

Absolutní hodnotou funkce f nazýváme funkci definovanou předpisem |𝑓|(𝑥) = |𝑓(𝑥)| 𝑝𝑟𝑜 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓).

Skládání funkcí Definice 5.12 Nechť 𝑓 a 𝑔 jsou funkce. Složenou funkcí 𝒇 ∘ 𝒈 nazveme funkci definovanou předpisem (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)), 𝑝𝑟𝑜 𝑥 ∈ 𝐷(𝑔) ∧ 𝑔(𝑥) ∈ 𝑓(𝑥). Funkci 𝑓 nazýváme vnější složka a funkci 𝑔 nazýváme vnitřní složka složené funkce 𝑓 ∘ 𝑔.

34


Základy matematiky Příklad 5.9 Jsou dány funkce 𝑓: 𝑦 = 3 − 2𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥. a) Určete složenou funkci 𝑓 ∘ 𝑔 a její definiční obor.

b) Určete složenou funkci 𝑔 ∘ 𝑓 a její definiční obor.

Inverzní funkce Definice 5.13 Nechť 𝑓 je funkce. Funkce 𝑓 −1 se nazývá funkce inverzní k funkci 𝑓, jestliže platí: a) 𝐷(𝑓 −1 ) = 𝐻(𝑓). b) ∀𝑦 ∈ 𝐷(𝑓 −1 ): 𝑓 −1 (𝑦) = 𝑥 ⇔ 𝑦 = 𝑓(𝑥).

Věta 5.1 Nechť 𝑓 je funkce. Funkce 𝑓 −1 existuje právě tehdy, když 𝑓 je funkce prostá. (Důkaz lze najít například v [1].)

Grafy funkcí 𝑓 a 𝑓 −1 jsou souměrné podle přímky 𝑝: 𝑦 = 𝑥. Jak postupujeme, chceme-li najít funkci inverzní k funkci 𝒇? 1) Ověříme, že funkce 𝑓 je prostá. 2) Určíme definiční obor 𝐷(𝑓) a obor hodnot 𝐻(𝑓) funkce 𝑓. 3) Určíme 𝐷(𝑓 −1 ) a určíme předpis 𝑓 −1.


35

5. cvičení - Operace s funkcemi Příklad 5.10 𝑥+2

Ověřte, že k funkci 𝑓: 𝑦 = 𝑥−3 existuje funkce inverzní, a najděte ji.

36


Základy matematiky

4. Transformace grafu funkce Nechť je dána funkce 𝑓: 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). Připomeňme si, jak lze pomocí grafu funkce f sestrojit grafy následujících funkcí: a) 𝑓1 : 𝑦 = −𝑓(𝑥), d) 𝑓4 : 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑎),

b) 𝑓2 : 𝑦 = 𝑓(−𝑥), e) 𝑓5 : 𝑦 = 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥),

c) 𝑓3 : 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑏, f) 𝑓6 : 𝑦 = 𝑓(𝑚𝑥),

kde 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ\{0}, 𝑘 ∈ ℝ+ , 𝑚 ∈ ℝ+ jsou konstanty.

a) grafy funkcí 𝑓 a 𝑓1 jsou souměrné podle osy x

b) grafy funkcí 𝑓 a 𝑓2 jsou souměrné podle osy y

d) graf funkce 𝑓4 je posunutím e) graf funkce 𝑓5 je grafu funkce 𝑓 o |𝑎| ve deformací grafu funkce 𝑓 směru osy x (je-li a > 0, jde ve směru osy y (je-li 𝑘 > o posunutí „doprava“; je-li 1, jde o 𝑘 násobné b < 0, jde o posunutí „zvětšení“ ve směru osy y; „doleva“) je-li 0 < 𝑘 < 1, jde o 𝑘 násobné „zmenšení“ ve směru osy y)


c) graf funkce 𝑓3 je posunutím grafu funkce 𝑓 o |𝑏| ve směru osy y (je-li b > 0, jde o posunutí „nahoru“; (je-li b < 0, jde o posunutí „dolů“)

f)

graf funkce 𝑓6 je deformací grafu funkce 𝑓 ve směru osy x (je-li 𝑚 > 1, jde o 𝑚 násobné „zúžení“ ve směru osy y; je-li 0 < 𝑚 < 1, jde o 𝑚 násobné „rozšíření“ ve směru osy y)

37

5. cvičení - Transformace grafu funkce Příklad 5.11 1

Nakreslete v jednom souřadnicovém systému grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 𝑥 2 a 𝑔: 𝑦 = 2 𝑥 2 − 4𝑥 + 9.

Doporučená on-line dostupná literatura: [1] web Matematika s radostí – Funkce [2] web priklady.eu – Funkce (řešené příklady) [3] Kuben Jaromír, Šarmanová Petra – Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (kap. 3 Reálné funkce jedné reálné proměnné) [4] Míča Daniel – Průběh funkce (freeware program prezentující vliv parametrů nejčastěji se vyskytujících funkcí na jejich graf) 38


Základy matematiky

6. cvičení 1. Grafy elementárních funkcí Lineární funkce 𝑝: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑥 ∈ ℝ a … směrnice přímky (𝑎 > 0 ⇒ 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑒𝑚 𝑗𝑒 𝑟𝑜𝑠𝑡𝑜𝑢𝑐í 𝑝ří𝑚𝑘𝑎, 𝑎 < 0 ⇒ 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑒𝑚 𝑗𝑒 𝑘𝑙𝑒𝑠𝑎𝑗í𝑐í 𝑝ří𝑚𝑘𝑎)

Příklad 6.1 Načrtněte grafy funkcí: 𝑝: 𝑦 = 2𝑥, 𝑥 ∈ ℝ; 𝑞: 𝑦 = −2𝑥, 𝑥 ∈ ℝ; 𝑟: 𝑦 = −2𝑥 + 2, 𝑥 ∈ ℝ.


39

6. cvičení - Grafy elementárních funkcí

Zdroj: Jan Čepička, Petr Girg, Petr Nečesal, Josef Polák: Herbář funkcí, dostupné z mi21.vsb.cz 40


Základy matematiky

Zdroj: Jan Čepička, Petr Girg, Petr Nečesal, Josef Polák: Herbář funkcí, dostupné z mi21.vsb.cz Martina Litschmannová

41

6. cvičení - Grafy elementárních funkcí Příklad 6.2 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 𝑥 2 a 𝑔: 𝑦 = 3𝑥 2 − 6𝑥 − 1 (využijte doplnění na čtverec).

Příklad 6.3 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = √𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 2 − √1 − 𝑥.

42


Základy matematiky Příklad 6.4 3

3

V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = √𝑥 2 a 𝑔: 𝑦 = 1 + √(2 − 𝑥)2 .

Příklad 6.5 1

𝑥+1

V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 𝑥+2.


43

6. cvičení - Grafy elementárních funkcí Příklad 6.6 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 𝑒 𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 1 + 𝑒 4−2𝑥 .

Příklad 6.7 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 0,3𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 1 − 2 ∙ 0,3𝑥−1 .

44


Základy matematiky Příklad 6.8 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 1 − 2 𝑙𝑛(𝑥 + 3).

Příklad 6.9 𝜋 4

V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 1 + 2 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 + ).


45

6. cvičení - Grafy elementárních funkcí Příklad 6.10 𝜋

V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 1 − 2 𝑠𝑖𝑛 ( 2 − 2𝑥).

Příklad 6.11 𝜋 2

V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 1 + 𝑐𝑜𝑠 ( − 2𝑥).

46


Základy matematiky Příklad 6.12 𝜋

V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 1 − 2 𝑡𝑔 ( 2 − 2𝑥).

Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Míča Daniel – Průběh funkce (freeware program prezentující vliv parametrů nejčastěji se vyskytujících funkcí na jejich graf) [2] Jan Čepička, Petr Girg, Petr Nečesal, Josef Polák - Herbář funkcí


47

7. cvičení - Rovnice a nerovnice - základní pojmy

7. cvičení 1. Rovnice a nerovnice - základní pojmy Rovnice (nerovnice) je zápisem rovnosti (nerovnosti) hodnot dvou výrazů. Hodnoty neznámých, po jejichž dosazení do rovnice (nerovnice) získáme pravdivý výrok, nazveme kořeny dané rovnice (nerovnice). Množinu, ve které hledáme všechny kořeny rovnice, označíme O a nazveme ji oborem řešení rovnice. Množinu, která vznikne jako průnik množiny O a množin, ve kterých jsou definovány výrazy na levé i pravé straně rovnice, označíme D a nazveme ji definiční obor rovnice. Množinu všech kořenů dané rovnice označíme písmenem K. Obdobnou terminologii pak používáme i u nerovnic. Ekvivalentní rovnice (nerovnice) Dvě rovnice (nerovnice) nazveme ekvivalentní, právě když mají stejnou množinu kořenů. Ekvivalentní úprava Úpravu rovnice nazveme ekvivalentní úpravou, právě když tato úprava převede rovnici na rovnici jinou, s ní ekvivalentní. Obdobně definujeme ekvivalentní úpravy nerovnic. Neekvivalentní (důsledková) úprava Úpravu rovnice nazveme důsledkovou úpravou, právě když tato úprava převede rovnici na rovnici jinou, pro niž platí, že množina kořenu původní rovnice je podmnožinou množiny kořenů nové rovnice. (Při použití důsledkových úprav je nutné dělat zkoušku.) Ekvivalentní úpravy rovnic jsou:  přičtení téhož čísla, nebo výrazu obsahující neznámou, který je definovaný v celém 𝑂, k oběma stranám rovnice,  vynásobení obou stran rovnice stejným číslem nebo výrazem s neznámou, který je definovaný a nenulový v celém 𝑂,  umocnění obou stran rovnice přirozeným mocnitelem, jsou-li obě strany rovnice nezáporné (nebo naopak záporné) v celém 𝑂. Ekvivalentní úpravy nerovnic jsou:  přičtení téhož čísla, nebo výrazu obsahující neznámou, který je definován na celém 𝑂, k oběma stranám nerovnice,  vynásobení obou stran nerovnice číslem, nebo výrazem s neznámou, který je definovaný a kladný, pro všechny hodnoty neznámé z 𝑂,  vynásobení obou stran nerovnice záporným číslem, nebo výrazem s neznámou, který je záporný a definovaný v celém 𝑂, přitom znak nerovnosti se mění v obrácený,  umocnění obou stran nerovnice přirozeným mocnitelem, jsou-li obě strany nerovnice nezáporné v celém oboru řešení nerovnice 𝑂,  umocnění obou stran nerovnice přirozeným mocnitelem, jsou-li obě strany nerovnice nekladné v celém 𝑂 a současným otočením znaménka nerovnosti.

48


Základy matematiky

2. Lineární rovnice a nerovnice Příklad 7.1 Řešte v ℝ rovnici √3 − √3𝑥 = 3.

Příklad 7.2 Řešte v ℤ rovnici √3 − √3𝑥 = 3.

Příklad 7.3 1

1

3𝑥−10

Řešte v ℝ rovnici 𝑥−2 − 𝑥−3 = (2−𝑥)(3−𝑥).

Příklad 7.4 Řešte v ℝ rovnici (𝑥 − 1)2 − (𝑥 + 1)2 = −4𝑥.


49

7. cvičení - Lineární rovnice a nerovnice Příklad 7.5 Řešte nerovnice v daném oboru řešení. a) 𝑥 ≥ −7 v ℝ

b) √2 ≤ 𝑥 v ℝ

c) 𝑥 ≥ −7 v ℕ

d) √2 ≤ 𝑥 v ℤ

Příklad 7.6 Řešte v ℝ nerovnici −3𝑥 − 5 ≤ 𝑥 − 3.

Příklad 7.7 Řešte v ℝ nerovnici −𝑥 − 5 ≤ −𝑥 − 3.

Příklad 7.8 Řešte v ℝ nerovnici 𝑥 + 5 ≤ 𝑥 + 3.

Soustava lineárních nerovnic Postup: 1. Určíme 𝑂 a 𝐷 společné pro celou soustavu (pro všechny nerovnice), 2. určíme množiny kořenů 𝐾1 , 𝐾2 , … pro každou nerovnici zvlášť, 3. najdeme průnik všech množin 𝐾1 , 𝐾2 , …, které nám vyšly. Tím získáme 𝐾 celé soustavy, neboli všechna 𝑥, která jsou řešením všech nerovnic současně.

50


Základy matematiky Příklad 7.9 1

Řešte v ℝ soustavu nerovnic: −3 ≤ 𝑧 − 2 < 2𝑧 + 1 < 2 𝑧.

Lineární rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Rovnice, jejichž jedna strana se dá zapsat jako součin libovolného počtu součinů lineárních dvojčlenů a jejichž druhá strana je nulová nazýváme lineární rovnice v součinovém tvaru. Rovnice, jejichž jedna strana se dá zapsat jako podíl libovolného počtu součinů lineárních dvojčlenů v čitateli i jmenovateli a jejichž druhá strana je nulová nazýváme lineární rovnice v podílovém tvaru. Obdobně definujeme lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru.

Příklad 7.10 Řešte v ℝ rovnici

(3−𝑥)(2𝑥−4) (5+𝑥)(𝑥−3)

= 0.

Příklad 7.11 Řešte v ℝ nerovnici

(3−𝑥)(2𝑥−4) (5+𝑥)(𝑥−3)


≤ 0.

51

7. cvičení - Lineární rovnice a nerovnice

Příklad 7.12 Řešte v ℝ nerovnici

𝑥+1 𝑥−2

< 0.

Příklad 7.13 𝑥+1

Řešte v ℝ nerovnici 𝑥−2 ≤ 1. POZOR!!! Při násobení a dělení výrazem s neznámou (musíme zjistit, zda je výraz kladný nebo záporný a pokud může být obojí, musíme výpočet rozdělit).

52


Základy matematiky

3. Kvadratické rovnice a nerovnice Příklad 7.14 Řešte v ℝ rovnice: a) 2𝑥 2 + 𝑥 − 1 = 0

b) 2𝑥 2 − 1 = 0

c) 2𝑥 2 + 𝑥 = 0

d) 9𝑡 2 + 12𝑡 + 4 = 0

e) 𝑎2 + 𝑎 + 1 = 0

Příklad 7.15 Řešte v ℂ rovnici 𝑎2 + 𝑎 + 1 = 0.


53

7. cvičení - Kvadratické rovnice a nerovnice Příklad 7.16 5

7

3

Řešte v ℝ rovnici 𝑥−2 − 𝑥−1 = 3−𝑥.

Příklad 7.17 Řešte v ℝ nerovnice: a) 2𝑥 2 + 𝑥 − 1 > 0

b) 9𝑡 2 + 12𝑡 + 4 ≤ 0

c) 9𝑡 2 + 12𝑡 + 4 > 0

d) 9𝑡 2 + 12𝑡 + 4 < 0

54


Základy matematiky e) 𝑎2 + 𝑎 + 1 > 0

Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Jaromír Gloc: web Rovnice a nerovnice - http://www.rovnice.kosanet.cz/ (teorie + řešené příklady použité v těchto pracovních listech) [2] web priklady.eu – Lineární rovnice, Lineární nerovnice, Kvadratické rovnice, Kvadratické nerovnice (řešené příklady)


55

8. cvičení - Iracionální rovnice a nerovnice

8. cvičení 1. Iracionální rovnice a nerovnice Iracionální rovnice se nazývají rovnice s neznámou pod odmocninou. Základní ekvivalentní úpravou, kterou budeme v této kapitole používat je umocnění obou stran rovnice na druhou. Tato úprava je ekvivalentní pouze, když obě strany rovnice mají stejné znaménko. Pokud ale toto nejsme u řešených rovnic schopni zajistit a použijeme-li přesto tuto úpravu, je nezbytně nutné, abychom po jejich vypočtení, provedli zkoušku, kterou si správnost vypočtených hodnot ověříme. Příklad 8.1 Řešte v ℝ rovnici √𝑥 − 3 = 2.

Příklad 8.2 Řešte v ℝ rovnici √2𝑥 + 5 = 8 − √𝑥 − 1.

56


Základy matematiky Iracionálními nerovnicemi se nazývají nerovnice, ve kterých se vyskytuje neznámá pod odmocninou. Při řešení iracionálních nerovnic je velmi důležité dbát na ekvivalentnost úprav, které s nerovnicí provádíme. U nerovnic totiž nemáme možnost provádět zkoušku dosazením. Nemůžeme tedy ověřovat, zda všechna vypočítaná čísla jsou kořeny i původní nerovnice. Příklad 8.3 Řešte v ℝ nerovnici √𝑥 − 3 < −1.

Příklad 8.4 Řešte v ℝ nerovnici √2𝑥 − 6 ≥ −1.

Příklad 8.5 Řešte v ℝ nerovnici −√𝑥 2 − 4 ≥ 𝑥 − 2.


57

8. cvičení - Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou

2. Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Zápis |𝑎 − 𝑏| můžeme interpretovat jako vzdálenost obrazu čísla 𝑎 od obrazu čísla 𝑏. Příklad 8.6 Řešte v ℝ dané rovnice a nerovnice. a) |𝑥| = 3

b) |𝑥| < 3

c) |𝑥 − 2| > 3

d) |𝑥 + 2| = 3

e) |2𝑥 + 2| = 4

f)

|2 − 𝑥| ≥ 3

g) |2 − 3𝑥| ≥ 3

58


Základy matematiky Příklad 8.7 Řešte v ℝ dané rovnice a nerovnice. a) 2𝑥 + |𝑥| = 1 + |1 − 𝑥|

b) |𝑥 2 − 2𝑥| < 𝑥


59

8. cvičení - Rovnice a nerovnice s parametry

3. Rovnice a nerovnice s parametry V matematice slovo parametr nejčastěji znamená nějaké číslo, jehož konkrétní hodnotu v době řešení, nebo zpracování úlohy ještě neznáme. Nicméně potřebujeme onu úlohu vyřešit i bez této znalosti, abychom pak mohli pro konkrétní hodnoty parametrů jednoduše získat konkrétní řešení celé úlohy. Řešit rovnici s neznámou x a s parametrem t znamená řešit celý systém rovnic, tj. ke každé přípustné hodnotě parametru t určit obor pravdivosti K rovnice, kterou získáme po dosazení této hodnoty za t. Příklad 8.8 Řešte v ℝ rovnici s neznámou x a reálným parametrem t. a) 𝑥 + 𝑡 = 1 − 𝑥

b) 𝑡(2 − 𝑡)𝑥 = 4𝑡

60


Základy matematiky Příklad 8.9 Řešte v ℝ rovnici

2+𝑎𝑡 𝑎+𝑡

= 2𝑎 s neznámou t a reálným parametrem a.

𝑚 𝑥

4

Příklad 8.10 Řešte v ℝ rovnici

2

− 𝑚𝑥 = 1 − 𝑚 s neznámou x a parametrem 𝑚 ∈ ℝ\{0}.


61

8. cvičení - Rovnice a nerovnice s parametry Příklad 8.11 Řešte v ℝ rovnici

62

𝑎𝑧 2 +(𝑎−1)𝑧−1 𝑎−3

= 0 s neznámou z a parametrem 𝑎 ∈ ℝ\{3}.


Základy matematiky Řešení nerovnic s parametry není principiálně jiné než řešení rovnic s parametry. Často ale řešení bývá rozvětveno do více částí, těžší na diskuzi řešení v závislosti na hodnotě parametrů a celkově náročnější na pozornost. Příklad 8.12 Řešte v ℝ nerovnici 𝑎(𝑎 − 1)𝑥 < 2 s neznámou x a parametrem 𝑎 ∈ ℝ.

Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Jaromír Gloc: web Rovnice a nerovnice - http://www.rovnice.kosanet.cz/ (teorie + příklady použité v těchto pracovních listech) [2] web priklady.eu


63

9. cvičení - Exponenciální funkce

9. cvičení 1. Exponenciální funkce Exponenciální funkce: 𝑓: 𝑦 = 𝑎 𝑥 , kde neznámá 𝑥 ∈ ℝ a 𝑎 ∈ ℝ+ \{1}.

Příklad 9.1 Určete pravdivostní hodnotu daných výroků. a) 𝑉1: 30,375 > 0

b) 𝑉2: 3−0,375 > 0

c) 𝑉3: 30,375 > 1 d) 𝑉4: 3−0,375 > 1

e) 𝑉5: (−3)0,375 > 0

f)

𝑉6: 30,375 > 0,30,375

g) 𝑉7: 3−0,375 > 0,3−0,375

64


Základy matematiky Příklad 9.2 Řešte nerovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ: a) 3𝑥 > 0

b) 0,3𝑥 > 0

c) 3𝑥 > 1

d) 0,3𝑥 > 1

2. Logaritmus, logaritmická funkce Logaritmus čísla 𝑥 > 0 o základu 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 je takové číslo 𝑦, pro které platí 𝑎 𝑦 = 𝑥, tj. log 𝑎 𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑎 𝑦 = 𝑥 Příklad 9.3 Určete: a) 𝑙𝑜𝑔2 8 = b) 𝑙𝑜𝑔10 100 = 𝑙𝑜𝑔 100 = 1

c) 𝑙𝑜𝑔5 25 = 7

d) 𝑙𝑜𝑔2 2 = 7

e) 𝑙𝑜𝑔𝑒 𝑒 3 = 𝑙𝑛 𝑒 3 = Věty o logaritmech ∀𝑎, 𝑧 ∈ ℝ+ \{1}, 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ+ , 𝑐, 𝑛 ∈ ℝ: 1. Vztah mocniny a logaritmu: 𝑎log𝑎 𝑥 = 𝑥 (např.: 𝑒 ln 𝑥 = 𝑥, 10log 𝑥 = 𝑥; 2log2 𝑥 = 𝑥) 2. Logaritmus součinu: log 𝑎 𝑥 𝑦 = log 𝑎 𝑥 + log 𝑎 𝑦 𝑥

3. Logaritmus podílu: log 𝑎 𝑦 = log 𝑎 𝑥 − log 𝑎 𝑦 4. Logaritmus mocniny: log 𝑎 𝑥 𝑛 = 𝑛 log 𝑎 𝑥 log 𝑥

5. Podíl dvou logaritmů: log𝑎 𝑧 = log 𝑧 𝑥 𝑎

log 4

ln 4

(např.: log 3 4 = log 3 = ln 3)

6. Převod reálného čísla na logaritmus: 𝑐 = log 𝑎 𝑎𝑐 (např.: 3 = log 2 23 = log 103 = ln 𝑒 3 )


65

9. cvičení - Logaritmus, logaritmická funkce Příklad 9.4 Vypočtěte: a) 𝑙𝑜𝑔3 (81 ∙ 27) = b) 𝑙𝑜𝑔6 9 + 𝑙𝑜𝑔6 4 = c) 𝑙𝑜𝑔3 18 − 𝑙𝑜𝑔3 2 = d) 𝑙𝑜𝑔3 94 = e) 3 𝑙𝑜𝑔8 2 = Logaritmická funkce: 𝑓: 𝑦 = log 𝑎 𝑥, kde 𝑎 ∈ ℝ+ \{1}, 𝑥 ∈ ℝ+

Příklad 9.5 Určete pravdivost daných výroků: a) 𝑉1: 𝑙𝑜𝑔3 5 > 0 b) 𝑉2: 𝑙𝑜𝑔3 0,2 > 0 c) 𝑉3: 𝑙𝑜𝑔0,1 5 > 0 d) 𝑉4: 𝑙𝑜𝑔0,1 0,25 > 0 e) 𝑉5: 𝑙𝑜𝑔3(−5) > 0 f)

66

𝑉6: 𝑙𝑜𝑔3 1 > 0


Základy matematiky

3. Exponenciální rovnice Exponenciální rovnicí (nerovnicí) nazýváme každou rovnici (nerovnici), ve které je neznámá v exponentu nějaké mocniny. Rovnice ve tvaru 𝒂𝒇(𝒙) = 𝒂𝒈(𝒙) , resp. rovnice, které lze převést na tento tvar Rovnice 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑔(𝑥) s neznámou 𝑥 ∈ ℝ je pro 𝑎 ∈ ℝ+ \{1} ekvivalentní s rovnicí 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). Tuto ekvivalentní úpravu nazýváme porovnání exponentů.

Příklad 9.6 Řešte rovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. a) 3𝑥−1 = 32

b) 5𝑥 =

1 25

c) 22𝑥+1 = 1

d) 5𝑥 ∙ 2𝑥 = 100𝑥−2

4

3

6

e) √4𝑥 ∙ √2𝑥−3 = √16


67

9. cvičení - Exponenciální rovnice

f)

27 8

2 𝑥 3

9 𝑥+1 4

=( ) ∙( )

g) 3𝑥 + 3𝑥+2 = 90

h) 2 ∙ 5𝑥+2 − 5𝑥+1 = 9

Logaritmování Rovnice 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑔(𝑥) s neznámou 𝑥 ∈ ℝ je pro 𝑎 ∈ ℝ+ \{1}, 𝑏 ∈ ℝ+ \{1} ekvivalentní s rovnicí 𝑓(𝑥) ∙ log 𝑐 𝑎 = 𝑔(𝑥) ∙ log 𝑐 𝑏 pro 𝑐 ∈ ℝ+ \{1}. Tuto ekvivalentní úpravu nazýváme logaritmování.

68


Základy matematiky Příklad 9.7 Řešte rovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. a) 2𝑥 = 10

b) 3𝑥 = 13𝑥−1

c) 2𝑥 ∙ 3𝑥−1 = 4𝑥+1

d) 3 ∙ 7𝑥 − 7𝑥−1 = 60


69

9. cvičení - Exponenciální rovnice Substituce Úpravě rovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ, kde všechny výskyty výrazu 𝑉(𝑥) nahradíme neznámou 𝑎 tak, že v nové rovnici se nevyskytuje neznámá 𝑥, říkáme substituce výrazu 𝑽(𝒙) neznámou 𝒂.

Příklad 9.8 Řešte rovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. a) 4𝑥 − 5 ∙ 2𝑥 + 4 = 0

3

b) 5𝑥 + 2 = 5𝑥

c) 3𝑥 + 31−𝑥 = 4

d) 16𝑥−0,5 + 160,5−𝑥 =

70

17 4


Základy matematiky 1 𝑥

1 𝑥

1 𝑥

1 −1

e) 2 ∙ (4) − 3 ∙ (2) = [1 + (2) ] ∙ (4)

4. Exponenciální nerovnice Porovnávání exponentů Nerovnice 𝑎 𝑓(𝑥) < 𝑎 𝑔(𝑥) s neznámou 𝑥 ∈ ℝ je pro 𝑎 ∈ ℝ+ \{1} ekvivalentní s nerovnicí 

𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥), pro 𝑎 > 1,

 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥), pro 0 < 𝑎 < 1. Tuto ekvivalentní úpravu budeme nazývat porovnání exponentů.

Příklad 9.9 Řešte nerovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. a) 3𝑥+1 ≤ 27


71

9. cvičení - Exponenciální nerovnice 1 𝑥−2

b) (3)

>3

c) 73𝑥−3 ≥ 1

1 𝑥 2

d) 2𝑥−1 < 4𝑥+1 ∙ ( )

e) 3𝑥

f)

72

2 −2

∙ 2𝑥

1 𝑥−1

(2)

2 −2

< 36

1 𝑥−2

+ (2)

≤ 12


Základy matematiky Logaritmování Při logaritmování nerovnic platí:  Logaritmujeme-li nerovnici logaritmem se základem 𝑎 > 1, neotáčíme znaménko nerovnosti.  Logaritmujeme-li nerovnici logaritmem se základem 𝑎 ∈ (0; 1), otáčíme znaménko nerovnosti.

Příklad 9.10 Řešte nerovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. a) 2𝑥 ≤ 7

b) 0,3𝑥 < 5

c) 4𝑥 ∙ 3𝑥 > 14𝑥−1


73

9. cvičení - Exponenciální nerovnice Substituce Příklad 9.11 Řešte nerovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. a) 9𝑥 − 10 ∙ 3𝑥 + 9 < 0

1 𝑥 4

1 𝑥 2

b) 2 ∙ ( ) − 9 ∙ ( ) + 4 > 0

Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Miroslav Řezáč: Exponenciální, logaritmické rovnice a jejich soustavy na internetu (diplomová práce) - http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/miroslav_rezac/index.php (teorie + příklady použité v těchto pracovních listech) [2] Martin Krynický: Matematika pro SŠ - http://www.realisticky.cz/ucebnice.php?id=3 74


Základy matematiky

10. cvičení

– 11. cvičení

1. Logaritmické rovnice Logaritmickou rovnicí (nerovnicí) nazýváme každou rovnici (nerovnici), ve které je neznámá v argumentu nebo v základu nějakého logaritmu.

Porovnání argumentů Rovnice log 𝑎 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑔(𝑥) s neznámou 𝑥 ∈ ℝ je pro 𝑎 ∈ ℝ+ \{1} ekvivalentní s rovnicí 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) za předpokladu, že 𝑓(𝑥) > 0 a 𝑔(𝑥) > 0. Tuto ekvivalentní úpravu budeme nazývat porovnání argumentů. Příklad 10.1 Řešte rovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. a) 𝑙𝑜𝑔4 (𝑥 + 2) = 𝑙𝑜𝑔4 (4 − 𝑥)

b) 𝑙𝑜𝑔3 (2𝑥 + 1) = 3

c) 𝑙𝑜𝑔0,3(𝑥 + 1) = 2

𝑥 2 +1

d) 𝑙𝑜𝑔5 ( 𝑥−1 ) = 1


75

10. cvičení - Logaritmické rovnice Aplikace logaritmických vět Logaritmické rovnice lze upravovat pomocí vět o logaritmech. V argumentech logaritmu nemusí být jen čísla, ale i výrazy s neznámou. Příklad 10.2 Řešte rovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. a) 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 7) − 𝑙𝑜𝑔3 (2𝑥) = 𝑙𝑜𝑔3 4

b) 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 + 1) + 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 − 1) − 3 = 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 − 2)

c) 𝑙𝑜𝑔8 (6𝑥 − 2) = 2𝑙𝑜𝑔8 (𝑥 − 3)

d) 2 𝑙𝑜𝑔(𝑥 + 1) = 𝑙𝑜𝑔(𝑥 + 4) + 𝑙𝑜𝑔 𝑥

76


Základy matematiky Substituce Příklad 10.3 Řešte rovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. a) 2𝑙𝑜𝑔22 𝑥 + 7 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 − 4 = 0

b)

20 𝑙𝑜𝑔 𝑥 2

= 1 + 𝑙𝑜𝑔 𝑥 3

c) 𝑙𝑜𝑔52 5𝑥 + 𝑙𝑜𝑔5 25𝑥 = 7


77

10. cvičení - Logaritmické rovnice Převod neznámé na logaritmus Příklad 10.3 Řešte rovnici s neznámou 𝑥 ∈ ℝ: 𝑙𝑜𝑔3 (10 ∙ 3𝑥 − 3) − 1 = 2𝑥

Rovnice s různými základy logaritmů log 𝑥

Připomeňme si, že log 𝑧 𝑥 = log𝑎 𝑧. 𝑎

Příklad 10.4 Řešte rovnici s neznámou 𝑥 ∈ ℝ: 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 − 2 𝑙𝑜𝑔1 𝑥 = 9 2

78


Základy matematiky Rovnice s neznámou v základu logaritmu Příklad 10.5 Řešte rovnici s neznámou 𝑥 ∈ ℝ: 𝑙𝑜𝑔𝑥−2 9 = 2

Logaritmování Příklad 10.6 Řešte rovnici s neznámou 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 = 9𝑥


79

10. cvičení - Logaritmické nerovnice

2. Logaritmické nerovnice Porovnávání argumentů Nerovnice log 𝑎 𝑓(𝑥) < log 𝑎 𝑔(𝑥) s neznámou 𝑥 ∈ ℝ je ekvivalentní s nerovnicí 

𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥), pro 𝑎 > 1,

 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥), pro 0 < 𝑎 < 1. Tuto ekvivalentní úpravu budeme nazývat porovnání argumentů.

Příklad 10.7 Řešte nerovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ: a) 𝑙𝑜𝑔2 (2𝑥 + 1) > 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 + 7)

b) 𝑙𝑜𝑔1 (𝑥 + 5) > 𝑙𝑜𝑔1 (5𝑥 − 3) 3

3

c) 𝑙𝑜𝑔 1 (𝑥 + 3) > −1 10

d) 𝑙𝑜𝑔6 (𝑥 2 − 3𝑥 + 2) ≤ 1

80


Základy matematiky Aplikace logaritmických vět Příklad 10.8 Řešte nerovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ: a) 𝑙𝑜𝑔1 (𝑥 2 + 6) ≤ 𝑙𝑜𝑔1 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔1 5 6

6

6

1

b) 2 𝑙𝑜𝑔(𝑥 − 1) ≥ 2 (𝑙𝑜𝑔 𝑥 5 − 𝑙𝑜𝑔 𝑥)

Substituce Příklad 10.9 Řešte nerovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ: a) 𝑙𝑜𝑔52 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 ≥ 2


81

10. cvičení - Slovní úlohy vedoucí na exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice 2+𝑙𝑜𝑔1 𝑥

b)

2

𝑙𝑜𝑔1 𝑥

<3

2

3. Slovní úlohy vedoucí na exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice Příklad 10.10 Je známo, že atmosférický tlak s rostoucí nadmořskou výškou klesá. Předpokládejme, že se pokles řídí rovnicí 𝑝 = 𝑝0 ∙ 0,88ℎ , kde 𝑝0 je atmosférický tlak v nadmořské výšce 0 m.n.m a h je nadmořská výška uváděná v kilometrech. Jestliže klesne tlak vzduchu na 40% 𝑝0 , nemá již člověk dostatečný přísun kyslíku z atmosféry. Určete kritickou výšku.

82


Základy matematiky Příklad 10.11 Do banky jste uložil na úrok 3% částku 500 000 Kč. Za kolik let budete mít k dispozici 750 000 Kč?

Příklad 10.12 Do banky chcete uložit částku 500 000 Kč. Jaký musí banka poskytnout úrok, abyste si za 10 let našetřil 750 000 Kč?

Příklad 10.13 Intenzita rentgenových paprsků se sníží na polovinu při průchodu vrstvou olova o tloušťce 13,5 mm. Určete tloušťku olověné desky, která zeslabí intenzitu rentgenových paprsků na desetinu původní hodnoty. 𝑑∗ 𝑑∗ 𝑑∗ 𝑑∗

⋯ 𝑰𝟎

𝟎, 𝟓𝑰𝟎


(𝟎, 𝟓)𝟐 𝑰𝟎

⋯ 𝒅

(𝟎, 𝟓)𝒌 𝑰𝟎 = (𝟎, 𝟓)𝒅∗ 𝑰𝟎

83

10. cvičení - Slovní úlohy vedoucí na exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice Příklad 10.14 Počet baktérií jisté kultury vzroste za 1h o 32%. Označme počáteční počet baktérií 𝑁0 , čas měření t a konečný počet baktérií 𝑁𝑡 . Vyjádřete závislost počtu baktérii na čase vztahem: a) 𝑁𝑡 = 𝑁0 ∙ 𝑎𝑡 (tj. určete parametr a)

b)

𝑁𝑡 = 𝑁0 ∙ 𝑒 𝜆𝑡 (tj. určete parametr 𝜆)

Příklad 10.15 Hmotnost izotopu radia je 133 g. Jeho poločas rozpadu je 2,7minut. Určete, jaké množství z původního izotopu radia zůstane za 19 minut.

84


Základy matematiky Příklad 10.16 Pacientovi byla jednorázově podána léčebná látka, jejíž koncentrace v krvi pacienta dosáhla 3 mg/l. Poločas přeměny této látky je cca 4 h. Za jak dlouho se koncentrace látky sníží na 0,5 mg/l?

Příklad 10.17 DDT (dichlordifenyltrichlorethan), pro člověka velice škodlivá látka, se dostává potravinovým řetězcem do mléka a dalších potravin. Její koncentrace ve výši 5 ∙ 10−6 % je v současné době ještě tolerována, do budoucna je však požadována limitní koncentrace 2 ∙ 10−6 %. Používání DDT je dnes téměř všude zakázáno. Chemický rozklad této látky však probíhá velmi pozvolna (poločas rozpadu je 30 let). Za jakou dobu bude dosaženo požadované nižší koncentrace?


85

10. cvičení - Slovní úlohy vedoucí na exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice Příklad 10.18 Radiouhlíková metoda určování stáří organických materiálů využívá rozpad radioaktivního uhlíku 146𝐶 . Radioaktivní uhlík 146𝐶 má poločas rozpadu 5 730 let, protože však neustále vzniká kvůli dopadu kosmického záření, jeho obsah v atmosféře se nemění. Protože suchozemské živé organismy čerpají uhlík z atmosféry, je za jejich života obsah radioaktivního uhlíku 146𝐶 v jejich tělech stejný jako v atmosféře. Jakmile však zemřou, přestane se radioaktivní uhlík v jejich tělech doplňovat a kvůli rozpadu jeho množství exponenciálně klesá. Z podílu radioaktivního uhlíku tak můžeme zjistit, jak dlouhá doba uplynula od okamžiku, kdy organismus uhynul. Při vykopávkách byl nalezen skelet zvířete, který obsahoval 78,6% radioaktivního uhlíku živého organismu. Jaké je stáří nálezu?

Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Miroslav Řezáč: Exponenciální, logaritmické rovnice a jejich soustavy na internetu (diplomová práce) - http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/miroslav_rezac/index.php (teorie + příklady použité v těchto pracovních listech) [2] Martin Krynický: Matematika pro SŠ - http://www.realisticky.cz/ucebnice.php?id=3

86


Základy matematiky

12. cvičení – 13. cvičení 1. Goniometrické funkce


87

12. cvičení - Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku

2. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 𝑐 𝑏 𝑎 cos 𝜑 = 𝑏 sin 𝜑 𝑐 𝜋 tg 𝜑 = = 𝑝𝑟𝑜 𝜑 ≠ + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ cos 𝜑 𝑎 2 sin 𝜑 =

cotg 𝜑 =

1 cos 𝜑 𝑎 = = 𝑝𝑟𝑜 𝜑 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 𝑡𝑔 𝜑 sin 𝜑 𝑐

3. Goniometrické funkce – základní tabulkové hodnoty Hodnoty funkcí sinus a kosinus pro základní úhly

𝜋

𝜋

6

4

Pomocné obrázky pro určení goniometrických funkcí úhlů: ;

;

𝜋 3

Jak pracovat s jednotkovou kružnicí při určování hodnot goniometrických funkcí?

𝟎

𝝅⁄𝟔

𝝅⁄𝟒

𝝅⁄𝟑

𝝅⁄𝟐

𝐬𝐢𝐧 𝝋

√0 2

√1 2

√2 2

√3 2

√4 2

𝐜𝐨𝐬 𝝋

√4 2

√3 2

√2 2

√1 2

√0 2

0

√3 3

1

√3

---

---

√3

1

√3 3

0

𝐭𝐠 𝝋 𝐜𝐨𝐭𝐠 𝝋

Tabulka základních hodnot goniometrických funkcí

88


Základy matematiky

Příklad 11.1 Pomocí jednotkové kružnice určete: a) 𝑠𝑖𝑛

3𝜋 4

b) 𝑐𝑜𝑠

3𝜋 4

c) 𝑡𝑔

3𝜋 4

d) 𝑐𝑜𝑡𝑔

3𝜋 4

e) 𝑠𝑖𝑛

7𝜋 6

𝑐𝑜𝑠

7𝜋 6

f)

g) 𝑡𝑔

7𝜋 6

h) 𝑐𝑜𝑡𝑔

7𝜋 6

i)

𝑠𝑖𝑛 (−

4𝜋 ) 3

j)

𝑐𝑜𝑠 (−

4𝜋 ) 3

k) 𝑡𝑔 (− l)

4𝜋 ) 3

𝑐𝑜𝑡𝑔 (−

4𝜋 ) 3


89

12. cvičení - Goniometrické rovnice

4. Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá objevuje uvnitř goniometrických funkcí. Základní goniometrická rovnice je každá rovnice zapsaná ve tvaru 𝑔(𝑥) = 𝑎, kde 𝑔(𝑥) je jedna z goniometrických funkcí (𝑠𝑖𝑛 𝑥, 𝑐𝑜𝑠 𝑥, 𝑡𝑔 𝑥, 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥), 𝑎 ∈ ℝ, 𝑥 ∈ ℝ. (Uvědomte si, že při definici goniometrické rovnice uvažujeme, že 𝑥 ∈ ℝ, tzn. že hodnoty neznámé 𝑥 uvádíme v obloukové míře!!!) Řešení základních goniometrických rovnic je přímo viditelné z grafů příslušných goniometrických funkcí nebo z jednotkové kružnice. Příklad 11.2: Řešte goniometrické rovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. a) 𝑠𝑖𝑛 𝑥 =

b) 2

𝑐𝑜𝑠 𝑥−1 4𝑐𝑜𝑠 𝑥+1 − 3 2

c) 𝑡𝑔 𝑥 =

90

1 2

= −1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥

√3 3


Základy matematiky

d) 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 = −

√3 3

e) 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = −0,374 1 (výsledek zapište s přesností na 2 des. místa)

Složitější goniometrické rovnice Substituce na základní typ: Pomocí jednoduché substituce 𝑦 = 𝑥 + 𝑙 nebo 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑙 převedeme složitější gon. rovnici typu 𝑔(𝑥 + 𝑙) = 𝑘 nebo 𝑔(𝑥 ∙ 𝑙) = 𝑘, kde 𝑔 je gon. funkce s neznámou 𝑥 a 𝑙, 𝑘 jsou reálná čísla, na základní typ gon. rovnic 𝑔(𝑥) = 𝑘. Příklad 11.3: Řešte goniometrické rovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. a) 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 = −

√2 2


91

12. cvičení - Goniometrické rovnice b) √2 𝑐𝑜𝑠(4𝜋 + 2𝑥) = −1

Substituce na kvadratickou rovnici Příklad 11.4: Řešte goniometrické rovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. a) 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 1 = 0

92


Základy matematiky b) 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 3 = 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥

Dvojnásobný argument – při řešení tohoto typu úloh se využívají vzorce pro dvojnásobný argument gon. funkcí: sin(2𝑥) = 2 sin 𝑥 ∙ cos 𝑥 cos(2𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 Příklad 11.5: Řešte goniometrické rovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. a) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 = 0


93

12. cvičení - Goniometrické rovnice b) 2 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 − 2 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 2

Goniometrické funkce součtů a rozdílů, součet a rozdíl gon. funkcí – při řešení tohoto typu úloh se používají následující vzorce: sin(𝑥 + 𝑦) = sin 𝑥 sin 𝑦 + cos 𝑥 cos 𝑦 sin(𝑥 − 𝑦) = sin 𝑥 sin 𝑦 − cos 𝑥 cos 𝑦 cos(𝑥 + 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 − sin 𝑥 sin 𝑦 cos(𝑥 − 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 + sin 𝑥 sin 𝑦

𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 cos 2 2 𝑥−𝑦 𝑥+𝑦 sin 𝑥 − sin 𝑦 = 2 sin cos 2 2 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 cos 𝑥 + cos 𝑦 = 2 cos cos 2 2 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 cos 𝑥 − cos 𝑦 = −2 sin sin 2 2 sin 𝑥 + sin 𝑦 = 2 sin

94


Základy matematiky Příklad 11.6: Řešte goniometrické rovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. 𝜋

a) 𝑠𝑖𝑛 (5𝑥 + 4 ) = 𝑠𝑖𝑛 𝑥

b) − 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 7𝑥


95

12. cvičení - Goniometrické nerovnice

5. Goniometrické nerovnice Základní goniometrické nerovnice Příklad 11.7: Řešte goniometrické nerovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. a) 𝑠𝑖𝑛 𝑥 > 0,5

b) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 < −0,5

c) 𝑡𝑔 𝑥 ≤

96

√3 3


Základy matematiky Složitější goniometrické nerovnice Příklad 11.8: Řešte goniometrické nerovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. 𝜋

a) 𝑠𝑖𝑛 (2𝑥 − 4 ) ≤ 0,5

b) −2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 5 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 4 ≥ 0


97

12. cvičení - Slovní úlohy vedoucí na goniometrické rovnice

6. Slovní úlohy vedoucí na goniometrické rovnice Příklad 11.9: Silnice má stoupání 3°30‘. O kolik metrů se liší nadmořská výška dvou míst, která jsou od sebe po silnici vzdálená 2km? (Výsledek zaokrouhlete na celé metry.)

Příklad 11.10: Železniční násep má průřez tvaru rovnoramenného lichoběžníku, jehož základny mají délky 12m a 8m, výška náspu je 3m. Vypočítejte úhel sklonu náspu. (Výsledek zaokrouhlete na celé stupně a minuty.)

Příklad 11.11: Štít střechy má tvar rovnoramenného trojúhelníka. Jeho šířka je 14m, sklon střechy je 31°. Jaká je výška štítu v metrech? (Výsledek zaokrouhlete na jedno desetinné místo.)

98


Základy matematiky Příklad 11.12: Na těleso působí v jednom bodě dvě síly: síla F1 o velikosti 760N působí ve vodorovném směru (zleva doprava) a síla F2 o velikosti 28,8N působí ve směru svislém (shora dolů). Těleso se vlivem těchto dvou sil dá do pohybu. Určete odchylku trajektorie tělesa od vodorovného směru. (Výsledek zaokrouhlete na celé stupně a minuty.)

Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Matúš Kepič: Využitie internetu vo výuke goniometrických rovníc a nerovníc (bakalářská práce) http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/matus_kepic_bp/ (teorie + příklady použité v těchto pracovních listech) [2] Martin Krynický: Matematika pro SŠ - http://www.realisticky.cz/ucebnice.php?id=3


99

Martina Litschmannová

Recommend Documents