VŠB – TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY
Základy matematiky Cvičení Martina Litschmannová
2015 / 2016
Základy matematiky
1. cvičení 1. Množiny Definice 1.1 Množinou rozumějme soubor (souhrn) navzájem různých (rozlišitelných) matematických či jiných objektů. Jednotlivé objekty, které patří do dané množiny, se nazývají prvky množiny. Zápis 𝒂 ∈ 𝑨 znamená, že 𝑎 je prvkem množiny 𝐴. Zápis 𝒂 ∉ 𝑨 znamená, že 𝑎 není prvkem množiny 𝐴.
Množiny zadáváme
výčtem prvků (tj. do složených závorek; obsahuje-li množina 𝐴 prvky 𝑎, 𝑏, 𝑐, píšeme 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ), pomocí charakteristické vlastnosti – zápis 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐸: 𝑉(𝑥)} znamená, že množina B je tvořena prvky z množiny 𝐸 a to pouze těmi, které mají vlastnost 𝑉(𝑥).
Množina, která neobsahuje žádný prvek se nazývá prázdná množina a označuje se ∅ nebo { }. Definice 1.2 Nechť 𝐴, 𝐵 jsou množiny. Říkáme, že množiny A, B jsou si rovny a píšeme 𝐴 = 𝐵, jestliže každý prvek množiny A je zároveň prvkem množiny B a každý prvek množiny B je zároveň prvkem množiny A.
Příklad 1.1 Rozhodněte, zda 𝐴 = 𝐵. a) Nechť 𝐴 = {2,4,5}, 𝐵 = {5,4,2}. b) Nechť 𝐴 = {2,2}, 𝐵 = {2}. Definice 1.3 Nechť 𝐴, 𝐵 jsou množiny. Říkáme, že množina A je podmnožinou množiny B a píšeme 𝐴 ⊂ 𝐵, jestliže každý prvek množiny A je zároveň prvkem množiny B.
Příklad 1.2 Najděte všechny podmnožiny množiny 𝐴 = {1,2,3}. Základní množinové operace název operace sjednocení průnik rozdíl doplněk Martina Litschmannová
označení 𝐴∪𝐵 𝐴∩𝐵 𝐴\𝐵 𝐴′ 1
1. cvičení - Množiny Příklad 1.3 Vyšrafujte dané množiny ve Vennových diagramech.
Z
Z
Z
Z
A
A
A
A
B
B
B
B
𝐴∪𝐵
𝐴∩𝐵
𝐴\𝐵
𝐴′
Příklad 1.4 Nechť 𝐴 = {1,2,3,4}, 𝐵 = {2,4,5}. Určete 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴\𝐵, 𝐵\𝐴 .
Početní pravidla pro operace s množinami 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴, 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶 = (𝐴 ∩ 𝐶) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶 = (𝐴 ∪ 𝐶) ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) (𝐴 ∩ 𝐵)´ = 𝐴´ ∪ 𝐵´, (𝐴 ∪ 𝐵)´ = 𝐴´ ∩ 𝐵´ (𝐴´)´ = 𝐴
komutativní zákony asociativní zákon asociativní zákon distributivní zákon distributivní zákon de Morganovy zákony
𝐴\𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵´
Číselné množiny ℕ = {1; 2; 3; … } ℤ = {… ; −2; −1; 0 − 1; 2; … } ℚ = { : 𝑝 ∈ ℤ; 𝑞 ∈ ℤ}
přirozená čísla celá čísla racionální čísla
ℝ ℝ\ℚ ℂ
reálná čísla iracionální čísla komplexní čísla
𝑝 𝑞
Příklad 1.5 Nechť 𝐴 = {1,2,3,4}, 𝐵 = ℕ. Určete 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴\𝐵, 𝐵\𝐴.
2
Martina Litschmannová
Základy matematiky Příklad 1.6 Zjednodušte: a) (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) b) (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) c) [[(𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶] ∩ (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶]
2. Výroková logika Definice 1.4 Výrok je tvrzení, o němž má smysl říci, zda je pravdivé nebo nepravdivé. Mějme výrok 𝐴. Je-li 𝐴 pravdivý, zapisujeme tuto skutečnost 𝑝(𝐴) = 1, je-li A nepravdivý, píšeme 𝑝(𝐴) = 0. Symboly 0, 1 se nazývají pravdivostní hodnoty.
Definice 1.5 Negací výroku budeme rozumět takový výrok, který popírá pravdivost výroku původního. Negaci výroku 𝐴 budeme značit ¬𝑨.
Definice 1.6 Obměna výroku 𝑨 je výrok, který říká totéž co výrok 𝐴, ale jinými slovy.
Příklad 1.7 Určete, zda lze dané věty považovat za výrok. V případě, že jde o výrok, určete jeho pravdivostní hodnotu a výrok negujte. a) b) c) d) e) f)
𝑉: Hradcem Králové protéká řeka Labe. 𝑉: V kolik hodin odjíždí rychlík Pendolino z Prahy? 𝑉: Rychlík Pendolino odjíždí z Prahy v 16:15h. 𝑉: 𝑥 < 5 𝑉: 4 < 5 𝑉: 4 + 5 = 10
Jednotlivé výroky lze spojovat pomocí logických spojek: název spojky konjunkce disjunkce implikace ekvivalence
označení 𝐴∧𝐵 𝐴∨𝐵 𝐴⇒𝐵 𝐴⇔𝐵
slovní vyjádření 𝐴 a zároveň 𝐵 𝐴 nebo 𝐵 jestliže 𝐴 pak 𝐵 𝐴 právě tehdy, když 𝐵
Výrok obsahující logické spojky nazýváme výrokem složeným. Neobsahuje-li výrok logické spojky, nazývá se výrok elementární. Martina Litschmannová
3
1. cvičení - Výroková logika Definice 1.7 Mějme výroky 𝐴, 𝐵. Logické spojky, které spojují dva výroky, definujeme tabulkou pravdivostních hodnot vypsáním všech existujících kombinací.
𝒑(𝑨) 𝒑(𝑩) 𝒑(𝑨 ∧ 𝑩) 𝒑(𝑨 ∨ 𝑩) 𝒑(𝑨 ⇒ 𝑩) 𝒑(𝑨 ⇔ 𝑩) 1 1 1 0 0 1 0 0
Příklad 1.8 Doplněním tabulky pravdivostních hodnot dokažte, že platí následující vztahy pro negace. 1. ¬(¬𝐴) = 𝐴 2. ¬(𝐴 ∧ 𝐵) = ¬𝐴 ∨ ¬𝐵 3. ¬(𝐴 ∨ 𝐵) = ¬𝐴 ∧ ¬𝐵 4. ¬(𝐴 ⇒ 𝐵) = 𝐴 ∧ ¬𝐵 5. ¬(𝐴 ⇔ 𝐵) = (𝐴 ∨ 𝐵) ∧ (¬𝐴 ∨ ¬𝐵)
𝒑(𝑨) 𝒑(𝑩) 𝒑(¬𝑨) 𝒑(¬𝑩) 𝒑(¬(¬𝑨)) 𝒑(¬(𝑨 ∧ 𝑩)) 𝒑(¬𝑨 ∨ ¬𝑩) 1 1 1 0 0 1 0 0 𝒑(𝑨) 𝒑(𝑩) 𝒑(¬(𝑨 ∨ 𝑩)) 𝒑(¬𝑨 ∧ ¬𝑩) 𝒑(¬(𝑨 ⇒ 𝑩)) 𝒑(𝑨 ∧ ¬𝑩) 1 1 1 0 0 1 0 0 𝒑(𝑨) 𝒑(𝑩) 𝒑(¬(𝑨 ⇔ 𝑩)) 𝒑(𝑨 ∨ 𝑩) 𝒑(¬𝑨 ∨ ¬𝑩) 𝒑((𝑨 ∨ 𝑩) ∧ (¬𝑨 ∨ ¬𝑩)) 1 1 1 0 0 1 0 0
4
Martina Litschmannová
Základy matematiky Příklad 1.9 Doplňte tabulku pravdivostních hodnot. 𝒑(𝑨) 𝒑(𝑩) 𝒑(𝑪) 𝒑((𝑨 ∨ 𝑩) ∨ 𝑪) 𝒑((𝑨 ⇒ 𝑩) ∧ (𝑩 ⇒ 𝑪)) 𝒑((𝑩 ⇒ 𝑨) ∨ (𝑨 ∧ 𝑩)) 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0
Definice 1.8 Výroková forma je tvrzení obsahující proměnné, z něhož se stane výrok po dosazení konstant za proměnné. Z výrokové formy lze vytvořit výrok také tak, že všechny proměnné ve formě vážeme nějakou omezující podmínku, jednoznačně specifikující jejich hodnoty. Tato podmínka se nazývá kvantifikátor. V matematice se nejčastěji používají dva kvantifikátory:
obecný kvantifikátor, který se označuje ∀ a čte se „pro každé, existenční kvantifikátor, který se označuje ∃ a čte se „existuje alespoň jeden“, kvantifikátor jednoznačné existence, který se označuje ∃! A čte se „existuje právě jeden“.
Negací obecného kvantifikátoru je existenční a naopak. Například: ¬(∀𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ: 𝑉(𝑥)) = ∃𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ: ¬𝑉(𝑥). Příklad 1.10 Určete pravdivostní hodnoty následujících výroků a určete jejich negace. 𝑽 ∃𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≥ 0 ∨ 𝑥 2 ≥ 0 ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ: 𝑥 ≥ 𝑦 ∀𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ: 𝑥 ≥ 𝑦 ∀𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 > 0 ⇒ 𝑥 3 ≥ 0 ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ: 𝑥 ≥ 𝑦 ⇒ 𝑥 3 ≥ 𝑦 3
𝒑(𝑽)
¬𝑽
Výroková forma, která při dosazení libovolné kombinace pravdivostních hodnot nabývá pravdivostní hodnoty 1 se nazývá tautologie.
Martina Litschmannová
5
1. cvičení - O logické výstavbě matematiky Příklad 1.11 Pomocí tabulky pravdivostních hodnot dokažte, že se jedná o tautologii: a) (𝐴 ⇒ 𝐵) ⇔ (¬𝐵 ⇒ ¬𝐴) (vztah pro nepřímý důkaz) b) (𝐴 ⇒ 𝐵) ⇔ ¬(𝐴 ∧ ¬𝐵) (vztah pro důkaz sporem) 𝒑(𝑨) 𝒑(𝑩) 𝒑(¬𝑨) 𝒑(¬𝑩) 𝒑(𝑨 ⇒ 𝑩) 𝒑(¬𝑩 ⇒ ¬𝑨) 𝒑(𝑨 ∧ ¬𝑩) 𝒑(¬(𝑨 ∧ ¬𝑩)) 1 1 1 0 0 1 0 0 𝒑(𝑨) 𝒑(𝑩) 𝒑((𝑨 ⇒ 𝑩) ⇔ (¬𝑩 ⇒ ¬𝑨)) 𝒑((𝑨 ⇒ 𝑩) ⇔ ¬(𝑨 ∧ ¬𝑩)) 1 1 1 0 0 1 0 0
3. O logické výstavbě matematiky Jednotlivé části této kapitoly jsou převzaty z [2]. Jak budovat vědeckou teorii? 1. Na počátku uvedeme axiomy, tj. výroky, jejichž pravdivost se předpokládá. V axiomech se vyskytují tzv. primitivní pojmy, které nedefinujeme. Axiomy vypovídají o primitivních pojmech vše, co je možné říci. 2. Pak následují věty, tj. pravdivé výroky, které lze odvodit pomocí pravidel logiky z axiomů nebo z vět předcházejících. Nedílnou součástí vět je jejich důkaz. 3. Další pojmy zavádíme pomocí definic, přičemž definice je vymezením obsahu a rozsahu nového pojmu. Matematické důkazy Věty mají tvar implikace (𝛼 ⇒ 𝛽) nebo ekvivalence (𝛼 ⇔ 𝛽). Protože však lze každou ekvivalenci převést na implikaci, stačí se v důkazech soustředit na věty ve tvaru implikace. Mějme větu 𝛼 ⇒ 𝛽, pak 𝛼 jsou předpoklady věty a 𝛽 jsou tvrzení věty. Slovně lze takovou větu vyjádříme některým z následujících způsobů:
Nechť platí 𝛼. Potom platí 𝛽. Jestliže platí 𝛼, potom platí 𝛽. Když platí 𝛼, pak platí 𝛽.
Nedílnou součástí věty je její důkaz. Důkazem rozumíme logické deduktivní odvození výroku z jiných pravdivých výroků. Používáme následující typy důkazů: přímý důkaz, nepřímý důkaz, důkaz sporem a důkaz matematickou indukcí.
6
Martina Litschmannová
Základy matematiky Princip matematických důkazů:
Přímý důkaz vychází z pravdivosti předpokladů 𝛼 a má tvar řetězce na sebe navazujících implikací, tj. 𝛼 ⇒ 𝛾1 ⇒ 𝛾2 … ⇒ 𝛾𝑛 ⇒ β.
Nepřímý důkaz využívá vztahu (𝛼 ⇒ 𝛽) ⇔ (¬𝛽 ⇒ ¬𝛼). (viz příklad 1.11) Vyjdeme z ¬𝛽 a přímým důkazem dokážeme ¬𝛼. ¬𝛽 ⇒ 𝛿1 ⇒ 𝛿2 … ⇒ 𝛿𝑛 ⇒ ¬𝛼.
Důkaz sporem využívá vztahu (𝛼 ⇒ 𝛽) ⇔ ¬(𝛼 ∧ ¬𝛽). (viz příklad 1.11) Chceme ukázat, že není pravda, že platí 𝛼 a zároveň neplatí 𝛽. Předpokládáme tedy současnou platnost 𝛼 a ¬𝛽 a postupně dojdeme k tzv. sporu. Spor je stav, kdy pro nějakou formuli 𝛾 ukážeme, že současně platí 𝛾 a ¬𝛾.
Důkaz matematickou indukcí je popsán např. v [2], v oddílu 2.7.
Příklad 1.12 Dokažte přímo, nepřímo i sporem, že ∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑛 ≥ 2 ⇒ 6𝑛 + 3 > 13.
Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Moravec Luboš – Výuka logiky (diplomová práce – webová aplikace pro výuku matematické logiky [2] [3] [4] [5] [6]
na střední škole) Kuben Jaromír, Šarmanová Petra - Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (kap. 2.2 Výroky a operace s výroky, kap. 2.7 Matematická indukce, kap.2.9 O log. výstavbě matematiky) VUT Brno, web Matematika online - Matematika I, Základy logiky a teorie množin (studijní text, neřešené příklady, řešené příklady) web Matematika-online-a.kvalitne.cz - Matematická logika a teorie množin, Matematické věty a jejich důkazy Havrlant Lukáš, web Matematika polopatě – Výroková logika, Výroky (příklady), Množiny, operace s množinami Šarmanová Petra, web Základy matematiky - Výroky, kvantifikátory (příklady k procvičení)
Martina Litschmannová
7
2. cvičení - Komplexní čísla – základní poznatky
2. cvičení 1. Komplexní čísla – základní poznatky Definice 2.1 Komplexním číslem 𝑧 nazýváme uspořádanou dvojici reálných čísel 𝑥 a 𝑦 píšeme 𝑧 = [𝑥; 𝑦]. Číslu 𝑥 říkáme reálná část komplexního čísla 𝑧, číslu 𝑦 imaginární část komplexního čísla 𝑧.
Geometrické znázornění komplexních čísel
Komplexní čísla znázorňujeme jako body Gaussovy roviny. Každé komplexní číslo 𝑧 = [𝑥; 𝑦] je v ní znázorněno bodem 𝑍 o souřadnicích [𝑥; 𝑦].
Každému komplexnímu číslu 𝑧 = [𝑥; 𝑦] lze přiřadit polohový vektor, jehož počáteční bod je počátek soustavy souřadnic a koncový bod je bod o souřadnicích [𝑥; 𝑦]. Geometrické znázornění komplexních čísel pomocí polohových vektorů je výhodné při znázorňování operací s komplexními čísly.
Klasifikace komplexních čísel Nechť je 𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ. Pak používáme následující označení. 𝑧 = [𝑥; 0] = 𝑥 𝑧 = [0; 1] = 𝑖 𝑧 = [𝑥; 𝑦], 𝑦 ≠ 0 𝑧 = [0; 𝑦] = 𝑦[0; 1] = 𝑖𝑦 −𝑧 = [−𝑥; −𝑦] 𝑧̅ = [𝑥; −𝑦] |𝑧| = √𝑥 2 + 𝑦 2
8
reálné číslo imaginární jednotka imaginární číslo (ℂ\ℝ) ryze imaginární číslo (leží na „imaginární“ ose) číslo opačné k 𝑧 číslo komplexně sdružené k 𝑧 absolutní hodnota (modul) čísla 𝑧
Martina Litschmannová
Základy matematiky Rovnost komplexních čísel a početní operace s komplexními čísly Nechť 𝑧1 = [𝑥1 ; 𝑦1 ], 𝑧2 = [𝑥2 ; 𝑦2 ], 𝛼 ∈ ℝ.
Rovnost:
𝑧1 = 𝑧2 ⇔ (𝑥1 = 𝑥2 ) ∧ (𝑦1 = 𝑦2 )
Součet:
𝑧1 + 𝑧2 = [𝑥1 + 𝑥2 ; 𝑦1 + 𝑦2 ]
Součin komplexního a reálného čísla:
𝛼𝑧1 = [𝛼𝑥1 ; 𝛼𝑦1 ]
Součin:
𝑧1 𝑧2 = [𝑥1 𝑥2 − 𝑦1 𝑦2 ; 𝑥1 𝑦2 + 𝑥2 𝑦1 ]
Poznámka: Rozdíl a podíl komplexních čísel není nutno definovat. 𝑧1 − 𝑧2 = 𝑧1 + (−1)𝑧2 𝑧1 𝑧2
𝑧
̅̅̅ 𝑧
𝑧 ̅̅̅ 𝑧
2 = 𝑧 1 ∙ ̅̅̅̅ = |𝑧1 |22 = |𝑧 𝑧 2
2
2
1
2 2|
∙ 𝑧1 𝑧̅2 (uvědomte si, že |𝑧
1
2 2|
je reálné číslo)
Příklad 2.1 Dokažte, že 𝑖 2 = −1.
Mocniny imaginární jednotky 𝑖1 = 𝑖 𝑖 2 = −1 𝑖 3 = 𝑖 2 ∙ 𝑖 = −𝑖 𝑖4 = 𝑖2 ∙ 𝑖2 = 1 ⋮ 𝑖 73 = 𝑖 72+1 = 𝑖 4∙18+1 = 𝑖 4∙18 ∙ 𝑖 1 = (𝑖 4∙ )18 ∙ 𝑖 1 = 1 ∙ 𝑖 = 𝑖
2. Algebraický tvar komplexních čísel Každé komplexní číslo 𝑧 = [𝑥; 𝑦] lze vyjádřit ve tvaru 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 . 𝑧 = [𝑥; 𝑦] = [𝑥; 0] + [0; 𝑦] = 𝑥[1; 0] + 𝑦[0; 1] = 𝑥 ∙ 1 + 𝑦 ∙ 𝑖 = 𝑥 + 𝑖𝑦 Operace s čísly v algebraickém tvaru Nechť 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 , 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2 , 𝛼 ∈ ℝ. Pak:
Součet: Součin reálného čísla a komplexního čísla:
Martina Litschmannová
𝑧1 + 𝑧2 = (𝑥1 + 𝑥2 ) + 𝑖(𝑦1 + 𝑦2 ) 𝛼𝑧1 = 𝛼𝑥1 + 𝑖𝛼𝑦1
9
2. cvičení - Goniometrický tvar komplexních čísel
Součin:
𝑧1 𝑧2 = (𝑥1 + 𝑖𝑦1 )(𝑥2 + 𝑖𝑦2 ) = 𝑥1 𝑥2 + 𝑖𝑥1 𝑦2 + 𝑖𝑥2 𝑦1 + 𝑖 2 𝑦1 𝑦2 = (𝑥1 𝑥2 − 𝑦1 𝑦2 ) + 𝑖(𝑥1 𝑦2 + 𝑥2 𝑦1 )
Podíl: 𝑧1 𝑧2
𝑥 +𝑖𝑦
𝑥 +𝑖𝑦
𝑥 −𝑖𝑦
= 𝑥1 +𝑖𝑦1 = 𝑥1 +𝑖𝑦1 ∙ 𝑥2 −𝑖𝑦2 = 2
2
2
2
2
(𝑥1 +𝑖𝑦1 )(𝑥2 −𝑖𝑦2 ) 𝑥22 +𝑦22
2
1
= 𝑥 2 +𝑦2 ∙ (𝑥1 + 𝑖𝑦1 )(𝑥2 − 𝑖𝑦2 ) 2
2
Poznámka: Pro určení n-té mocniny a n-té odmocniny používáme goniometrický tvar komplexního čísla. Příklad 2.2 Nechť 𝑧1 = 3 + 2𝑖, 𝑧2 = −2 − 𝑖. Určete: a) 𝑧1 + 𝑧2 b) 𝑧1 − 2𝑧2 c) 𝑧1 ∙ 𝑧2 𝑧 d) 𝑧 1 2
Příklad 2. 3 Zjednodušte: 𝑧 =
(5+2𝑖)2 𝑖−1
∙ 𝑖3 +
6𝑖 7 +6𝑖 6 −𝑖 . 𝑖 5 +1
3. Goniometrický tvar komplexních čísel Každé komplexní číslo 𝑧 = [𝑥; 𝑦] lze vyjádřit ve tvaru 𝑧 = |𝑧| ∙ (cos 𝜑 + 𝑖 ∙ sin 𝜑 ), kde |𝑧| je velikost čísla 𝑧 a 𝜑 je úhel, který svírá polohový vektor příslušný k číslu 𝑧 s kladnou poloosou 𝑥.
𝑦
sin 𝜑 = |𝑧| ⇒ 𝑦 = |𝑧| ∙ sin 𝜑 𝑥
cos 𝜑 = |𝑧| ⇒ 𝑥 = |𝑧| ∙ cos 𝜑 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 = |𝑧| ∙ cos 𝜑 + 𝑖 ∙ |𝑧| ∙ sin 𝜑 = = |𝑧| ∙ (cos 𝜑 + 𝑖 ∙ sin 𝜑 )
10
Martina Litschmannová
Základy matematiky Hodnoty funkcí sinus a kosinus pro základní úhly
Převod čísel z goniometrického do algebraického tvaru (a naopak) Příklad 2.4 Převeďte do algebraického tvaru čísla: 𝜋
𝜋
a) 3 (cos 3 + 𝑖 ∙ sin 3 ) b)
0,727(cos 0,534 + 𝑖 ∙ sin 0,534)
Příklad 2.5 Převeďte do goniometrického tvaru čísla: a) 1 b) 1 + 𝑖 c) 1 − 𝑖 d) −1,20 − 0,65𝑖
Operace s čísly v goniometrickém tvaru Nechť 𝑧1 = |𝑧1 | ∙ (cos 𝜑1 + 𝑖 ∙ sin 𝜑1 ), 𝑧2 = |𝑧2 | ∙ (cos 𝜑2 + 𝑖 ∙ sin 𝜑2 ), 𝑛 ∈ ℕ
Součin:
𝑧1 𝑧2 = |𝑧1 ||𝑧2 |(cos(𝜑1 + 𝜑2 ) + 𝑖 ∙ sin(𝜑1 + 𝜑2 ) )
Podíl:
𝑧1 𝑧2
|𝑧 |
= |𝑧1 | (cos(𝜑1 − 𝜑2 ) + 𝑖 ∙ sin(𝜑1 − 𝜑2 ) ) 2
Poznámka: Pro určení součtu a rozdílu používáme algebraický tvar komplexního čísla.
Martina Litschmannová
11
2. cvičení - Goniometrický tvar komplexních čísel
Mocnina
Moivreova věta Pro každé 𝑛 ∈ ℕa všechna 𝜑𝜖ℝ platí: 𝑛
(|𝑧| ∙ (cos 𝜑 + 𝑖 ∙ sin 𝜑 )) = |𝑧|𝑛 (cos(𝑛𝜑) + 𝑖 ∙ sin(𝑛𝜑) ).
Odmocnina
Věta (důkaz lze najít v literatuře) Je-li 𝑧 = |𝑧| ∙ (cos 𝜑 + 𝑖 ∙ sin 𝜑 ) nenulové komplexní číslo a 𝑛 ∈ ℕ, pak existuje právě 𝑛 komplexních čísel, která jsou n-tou odmocninou ze 𝑧, tj. takových čísel 𝑧𝑖 , že 𝑧𝑘𝑛 = 𝑧. Jsou to čísla 𝜑+2𝑘𝜋 )+ 𝑛
𝑛
𝑧𝑘 = √|𝑧| ∙ [𝑐𝑜𝑠 (
𝜑+2𝑘𝜋 )], 𝑛
𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛 (
kde 𝑘 = 0, 1, … , 𝑛 − 1.
𝑛
(|𝑧| ∙ (cos 𝜑 + 𝑖 ∙ sin 𝜑 )) = |𝑧|𝑛 (cos(𝑛𝜑) + 𝑖 ∙ sin(𝑛𝜑) ).
Všimněte si: 𝜑 + 2𝑘𝜋 𝜑 + 2𝑘𝜋 𝜑 2𝑘𝜋 𝜑 2𝑘𝜋 𝑛 𝑛 𝑧𝑘 = √|𝑧| ∙ [𝑐𝑜𝑠 ( ) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛 ( )] = √|𝑧| ∙ [𝑐𝑜𝑠 ( + ) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛 ( + )] 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
Vidíme, že všechny n-té odmocniny ze 𝑧 mají stejnou absolutní hodnotu √|𝑧| a jejich argumenty se liší o násobek
2𝜋 . 𝑛
To znamená, že:
je-li 𝑛 ≥ 3, pak obrazy 𝑧𝑘 jsou vrcholy pravidelného n-úhelníku vepsaného do kružnice se středem
v počátku a poloměrem √|𝑧|, je-li 𝑛 = 2, pak 𝑧𝑘 (𝑧0 a 𝑧1 ) jsou čísla komplexně sdružená.
𝑛
Příklad 2.6 Určete: a) (1 + 𝑖)53 3 b) √1 + 𝑖
Příklad 2.7 3
a) 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 = 1; √𝑥 =? 3 b) 𝑥 ∈ ℂ: 𝑥 = 1; √𝑥 =?
12
Martina Litschmannová
Základy matematiky
4. Eulerův tvar komplexního čísla Každé komplexní číslo 𝑧 = [𝑥; 𝑦] lze vyjádřit ve tvaru 𝑧 = |𝑧| ∙ 𝑒 𝑖𝜑 , kde |𝑧| je velikost čísla 𝑧 a 𝜑 je úhel, který svírá polohový vektor příslušný k číslu 𝑧 s kladnou poloosou 𝑥. Pro převod čísel z goniometrického tvaru do Eulerova tvaru se používá tzv. Eulerův vzorec. Eulerův vzorec (důkaz lze najít v literatuře) 𝑒 𝑖𝜑 = cos 𝜑 + 𝑖 ∙ sin 𝜑
Operace s čísly v Eulerově tvaru Poznámka: Pro určení součtu a rozdílu používáme algebraický tvar komplexního čísla. Nechť 𝑧1 = |𝑧| ∙ 𝑒 𝑖𝜑 , 𝑧1 = |𝑧1 | ∙ 𝑒 𝑖𝜑1 , 𝑧2 = |𝑧2 | ∙ 𝑒 𝑖𝜑2 , 𝑛 ∈ ℕ
Součin:
Podíl:
Mocnina:
Odmocnina:
𝑧1 𝑧2 = |𝑧1 ||𝑧2 |𝑒 𝑖(𝜑1 +𝜑2 ) |𝑧 | 𝑧1 = |𝑧1 | 𝑒 𝑖(𝜑1 −𝜑2 ) 𝑧2 2 𝑛 |𝑧|𝑛 𝑖(𝑛𝜑)
𝑧 = 𝑛
𝑒
𝑛
√𝑧 = 𝑧𝑘 = √|𝑧| ∙ 𝑒
𝑖(
𝜑+2𝑘𝜋 ) 𝑛
, kde 𝑘 = 0, 1, … , 𝑛 − 1.
Příklad 2.8 Nechť 𝑧1 = 3𝑒 0,32𝑖 , 𝑧2 = 2𝑒 0,20𝑖 . Určete: a) 𝑧1 ∙ 𝑧2 𝑧 b) 𝑧1 2
c) 𝑧120 d) 3√𝑧1
Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Šilarová, L.: Komplexní čísla ve výuce matematiky na střední škole s využitím internetu (diplomová práce – vedoucí: RNDr. Jarmila Robová, CSc., MFF UK) [2] Kuben Jaromír, Šarmanová Petra -Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (kap. 2.3 Reálná čísla, kap. 2.4 rozšířená množina reálných čísel) [3] web priklady.eu – Komplexní čísla (řešené příklady)
Martina Litschmannová
13
3. cvičení - Algebraické výrazy
3. cvičení 1. Algebraické výrazy Definice 3.1 Proměnnou rozumíme znak, který označuje libovolné číslo z určité množiny, kterou nazýváme obor proměnné nebo definiční obor výrazu. Pokud není obor proměnné výslovně určen, považujeme za obor proměnné množinu všech čísel, která lze do výrazu dosadit, aniž ztratí smysl některá z uvedených operací (nedochází např. k dělení nulou, odmocňování záporného čísla v reálném výrazu apod.) Definice 3.2 Algebraický výraz je zápis, ve kterém se vyskytují konstanty, které nemění svou hodnotu a které jsou vyjádřeny čísly, dále proměnné a operace sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování a odmocňování prováděné s konstantami a proměnnými. Definice 3.3 Dosadíme-li za proměnné do výrazu libovolná čísla, pro která má daný výraz smysl, a provedeme všechny předepsané operace, dostaneme jako výsledek číslo – hodnotu výrazu.
Vlastnosti mocnin Nechť 𝑎 ∈ ℝ, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑚 ∈ ℕ, 𝑛 ∈ ℕ, pak
𝑎0 = 1, pokud 𝑎 ≠ 0, 𝑎1 = 𝑎, 0𝑛 = 0, (uvědomte si, že tato rovnost platí pouze proto, že 𝑛 > 0), 00 je nedefinovaný výraz, 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 ,
𝑎𝑚 : 𝑎𝑛 =
𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛,
𝑎0
𝑎𝑚 𝑎𝑛
= 𝑎𝑚−𝑛 pokud 𝑎 ≠ 0, 1
(𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 𝑏 𝑛 , (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚𝑛 ,
𝑛
𝑚
√𝑎 𝑚 = 𝑎 𝑛 .
Příklad 3.1 1
Zjednodušte
14
𝑎7 𝑏3 𝑐 2 algebraický výraz 𝑎2 𝑏5 𝑐 2
∶
3
√𝑎 7 𝑏3 . 3
Martina Litschmannová
Základy matematiky
2. Mnohočleny Mnohočlen (polynom) n-tého stupně jedné proměnné je výraz tvaru 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 , kde 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , … , 𝑎1 , 𝑎0 jsou konstanty (koeficienty) mnohočlenu a x je proměnná. Mnohočlen 1. stupně nazýváme lineární, mnohočlen 2. stupně kvadratický (popř. kvadratický trojčlen), mnohočlen 3. stupně pak kubický. Pojem mnohočlenu lze zobecnit na případ více proměnných, kde místo mocnin nx jedné proměnné vystupují součiny mocnin několika proměnných. Např.: 3𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 2 + 𝑥. Základní operace s mnohočleny Příklad 3.2 Upravte: a) (𝑥 3 + 3𝑥 2 𝑦 + 2𝑥𝑦 2 + 𝑦 3 ) − (𝑥 − 𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 2 + 1) b) (−2𝑟𝑠 2 𝑡 3 ) ∙ (2𝑠 4 𝑡 2 ) c) (3𝑥 + 5)(2𝑥 2 + 𝑥 − 1) d) (−2𝑟𝑠 2 𝑡 3 ): (2𝑠 4 𝑡 2 ) e) (15𝑟 4 𝑠 5 − 10𝑟 3 𝑠 2 + 5𝑟 2 𝑠 5 ): (5𝑟 2 𝑠 2 ) f) (20𝑥 4 − 4𝑥 3 + 10𝑥 2 − 7𝑥 + 1): (5𝑥 − 1) g) (15𝑥 4 − 10𝑥 3 + 5𝑥 − 2): (5𝑥 − 1) h) (10𝑎4 − 3𝑎2 + 2): (2𝑎 − 1) i) j)
𝑥+1 𝑥 𝑥 𝑥+1
Umocňování mnohočlenů Nechť 𝐴, 𝐵, 𝐶 jsou mnohočleny, pak:
(𝐴 + 𝐵)2 = 𝐴2 + 2𝐴𝐵 + 𝐵2 , (𝐴 − 𝐵)2 = 𝐴2 − 2𝐴𝐵 + 𝐵2 , (𝐴 + 𝐵 + 𝐶)2 = 𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶 2 + 2𝐴𝐵 + 2𝐴𝐶 + 2𝐵𝐶, (𝐴 + 𝐵)3 = 𝐴3 + 3𝐴2 𝐵 + 3𝐴𝐵2 + 𝐵3 , (𝐴 − 𝐵)3 = 𝐴3 − 3𝐴2 𝐵 + 3𝐴𝐵2 − 𝐵3 ,
Příklad 3.3 Upravte výraz (3𝑎2 𝑏 3 − 2𝑎3 𝑏 2 )2 : a) roznásobením: b) úpravou podle vzorce:
Příklad 3.4 Upravte výraz (𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧)2 .
Martina Litschmannová
15
3. cvičení - Mnohočleny Příklad 3.5 Upravte výraz (𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 − 2𝑤)2 . Rozklad mnohočlenů na součin
vytýkáním použitím vzorců 𝐴2 − 𝐵2 = (𝐴 − 𝐵)(𝐴 + 𝐵) 𝐴3 − 𝐵3 = (𝐴 − 𝐵)(𝐴2 + 𝐴𝐵 + 𝐵2 ) 𝐴3 + 𝐵3 = (𝐴 + 𝐵)(𝐴2 − 𝐴𝐵 + 𝐵2 ) 𝐴2 + 𝐵2 …. nelze v reálném oboru rozložit!!! rozkladem kvadratického trojčlenu (Vietovy vzorce, doplnění na čtverec)
Rozklad kvadratického trojčlenu Příklad 3.6 Rozložte na součin: a) 6𝑥 2 𝑡 3 + 24𝑥 4 𝑡 5 b) 𝑥 2 𝑡 4 − 16𝑎4 𝑏6 c) 𝑡 3 − 7𝑡 2 − 𝑡𝑎2 + 7𝑎2 Mějme kvadratický trojčlen 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Je-li 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0, pak 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ), kde 𝑥1,2 =
−𝑏±√𝐷 . 2𝑎
Vietovy vzorce (𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) = 𝑥 2 − (𝑥1 + 𝑥2 )𝑥 + 𝑥2 𝑥2 = 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞, kde 𝑝 = −(𝑥1 + 𝑥2 ), 𝑞 = 𝑥2 𝑥2 Příklad 3.7 Rozložte na součin: a) 𝑥 2 + 7𝑥 + 10 b) 𝑥 2 − 6𝑥 + 5 5
c) 2𝑥 2 − 6𝑥 + 2
Rozklad kvadratického trojčlenu doplněním na čtverec – „přinutíme fungovat“ druhou mocninu trojčlenu a následně rozdíl čtverců. Například: 𝑥 2 + 8𝑥 + 7 = 𝑥 2 + 8𝑥+ ? ?
𝑥 2 + 2𝐵𝑥 + 𝐵2
− ? ? +7 = 𝑥 2 + 8𝑥 + 16 − 16 + 7 = (𝑥 + 4)2 − 9 =
𝑥 2 + 2𝐵𝑥 + 𝐵2
(𝑥 + 𝐵)2
= [(𝑥 + 4) − 3][(𝑥 + 4) + 3] = (𝑥 + 1)(𝑥 + 7) 16
Martina Litschmannová
Základy matematiky Příklad 3.8 Doplňte na čtverec a následně, pokud to lze, rozložte na součin. a) 𝑥 2 + 4𝑥 − 3 b) 𝑥 2 − 6𝑥 − 7 c) 2𝑥 2 − 8𝑥 + 10 d) −3𝑥 2 − 2𝑥 + 1
Doporučená on-line dostupná literatura: [1] [2] [3] [4] [5]
web Matematika s radostí – Základní poznatky web priklady.eu – Algebraické výrazy, Odmocniny (řešené příklady) Martíšek, Faltusová, Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám – Algebraické výrazy web Matematika-online-a.kvalitne.cz – Algebraické výrazy a jejich úpravy Havrlant Lukáš, web Matematika polopatě - Zlomky
Martina Litschmannová
17
4. cvičení - Racionální lomené výrazy
4. cvičení 1. Racionální lomené výrazy Definice 4.1 Racionálním lomeným výrazem rozumíme výraz, který lze zapsat ve tvaru podílu dvou mnohočlenů. Vždy bychom měli uvádět, kdy mají dané výrazy smysl. Příklad 4.1 Zjednodušte: a) b) c) d) e)
3𝑥 2 +12𝑥+12 6𝑥 2 −24 𝑎+1 𝑎−1 + 𝑎+1 𝑎−1 𝑥2 𝑥2 (1 − 2 ) ( 2 2 + 𝑦 𝑦 −𝑥 𝑎𝑚2 −𝑎𝑛2 𝑚2 +2𝑚𝑛+𝑛2 𝑎𝑚2 −2𝑎𝑚𝑛+𝑎𝑛2
1)
3𝑚+3𝑛
𝑥 1− 𝑦 𝑦2 𝑥− 𝑥
2. Iracionální výrazy Příklad 4.2 Usměrněte výrazy: a)
1 √𝑥+√𝑦 1+𝑎 1−𝑎 +√ 1−𝑎 1+𝑎
√
b)
1+𝑎 1−𝑎 −√ 1−𝑎 1+𝑎
√
3
𝑎 √𝑏
c) √ 3
√𝑎√𝑏
d)
√3−√2 √3+√2 + 3− 2 √3+√2 √ √ 1+√3 √3
e) 1 + 2+ f)
18
1+√𝑥 1−√𝑥
3√𝑥 √𝑥
− 1+
+
3+√𝑥 1−𝑥
Martina Litschmannová
Základy matematiky Doporučená on-line dostupná literatura: [1] web Matematika s radostí – Základní poznatky [2] web priklady.eu – Algebraické výrazy, Odmocniny (řešené příklady) [3] Martíšek, Faltusová, Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám – Algebraické výrazy
Martina Litschmannová
19
5. cvičení - Reálné funkce jedné reálné proměnné
5. cvičení 1. Reálné funkce jedné reálné proměnné Definice 5.1 Nechť 𝐴 ⊂ ℝ, 𝐴 ≠ ∅. Zobrazení 𝑓 množiny 𝐴 do množiny ℝ (𝑓: 𝐴 → ℝ) nazýváme reálnou funkcí jedné reálné proměnné (dále jen funkcí). Množina 𝐴 se nazývá definiční obor funkce 𝑓 a značí se 𝐷(𝑓)
Ke každému prvku 𝑥 ∈ 𝐴 existuje právě jeden prvek 𝑦 ∈ ℝ takový, že 𝑦 = 𝑓(𝑥). Množinu všech takových 𝑦 ∈ ℝ, k nimž existuje 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓), pak nazýváme obor hodnot funkce 𝑓 a označujeme 𝐻(𝑓). Zadání funkce K zadání funkce 𝑓 je nutné uvést jednak definiční obor 𝐷(𝑓) a jednak pravidlo (předpis), pomocí něhož je každému 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) přiřazen právě jeden prvek 𝑦 ∈ 𝐻(𝑓). Je-li funkce zadána pouze předpisem a definiční obor není výslovně uveden, pak za definiční obor pokládáme množinu takových 𝑥 ∈ ℝ, pro která má daný předpis „smysl“. Příklad 5.1 Určete definiční obory následujících funkcí. 13
a) 𝑓: 𝑦 = 𝑥 2 −3𝑥+2 b) 𝑓: 𝑦 = √1 − 𝑥 ∙ √1 + 𝑥 c) 𝑓: 𝑦 = √𝑥 2 − 5𝑥 + 6 d) 𝑓: 𝑦 = e) 𝑓: 𝑦 =
√3𝑥−1 √𝑥+1−2 √𝑥+5 𝑙𝑛(9−𝑥) 6
Rovnost funkcí Definice 5.2 Funkce 𝒇 a 𝒈 jsou si rovny, právě když mají stejný definiční obor a v každém bodě tohoto definičního oboru platí 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥).
Příklad 5.2 Rozhodněte, zda se následující funkce rovnají. a) 𝑓: 𝑦 = 𝑥 + 1, 𝑥 ∈ (−∞; −1), 𝑔: 𝑦 = b) 𝑓: 𝑦 = 2 𝑙𝑛 𝑥 , 𝑔. 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥 2
20
𝑥 2 −1 ,𝑥 𝑥−1
∈ (−∞; −1)
Martina Litschmannová
Základy matematiky Graf funkce Definice 5.3 Grafem funkce 𝑓: 𝐷(𝑓) → ℝ rozumíme množinu bodů {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) ∧ 𝑦 = 𝑓(𝑥)}, kde (𝑥, 𝑦) značí bod roviny o souřadnicích 𝑥a 𝑦.
POZOR! Ne každá množina uspořádaných dvojic je funkcí (např. kružnice, elipsa, hyperbola, …) Příklad 5.3 Nakreslete graf funkce. −1, 𝑥 < 0 a) 𝑓: 𝑦 = 𝑠𝑔𝑛 (𝑥) = { 0, 𝑥 = 0 1, 𝑥 > 0
(signum)
𝑥, 𝑥 ≥ 0 b) 𝑓: 𝑦 = |𝑥| = { −𝑥, 𝑥 < 0
(absolutní hodnota)
0, 𝑥 < 0 c) 𝐻: 𝑦 = { 1, 𝑥 ≥ 0
(Heavisideova funkce, také jednotkový skok)
∞, 𝑥 = 0 d) 𝛿: 𝑦 = { 0, 𝑥 ≠ 0
(Diracova 𝜹 funkce, také jednotkový impuls)
1, 𝑥∈ℚ e) 𝑓: 𝑦 = { 0, 𝑥 ∈ ℝ\ℚ
(Dirichletova funkce)
2. Některé vlastností funkcí Ohraničená funkce Definice 5.4 Funkce 𝑓 je shora ohraničená na množině 𝑴 ⊂ 𝐷(𝑓), jestliže existuje 𝐿 ∈ ℝ, tak že 𝑓(𝑥) ≤ 𝐿 pro každé 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). Je-li 𝑀 = 𝐷(𝑓), říkáme, že funkce je shora ohraničená.
y
L
x
Martina Litschmannová
21
5. cvičení - Některé vlastností funkcí Definice 5.5 Funkce 𝑓 je zdola ohraničená na množině 𝑴 ⊂ 𝐷(𝑓), jestliže existuje 𝐾 ∈ ℝ, tak že 𝑓(𝑥) ≥ 𝐾 pro každé 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). Je-li 𝑀 = 𝐷(𝑓), říkáme, že funkce je zdola ohraničená.
y
K
x
Definice 5.6 Funkce 𝑓 je ohraničená na množině 𝑴 ⊂ 𝐷(𝑓), jestliže je na množině 𝑀 ohraničená shora i zdola. Jeli 𝑀 = 𝐷(𝑓), říkáme, že funkce je ohraničená.
Příklad 5.4 𝑥 2 −1
Určete, zda je funkce 𝑓: 𝑦 = 𝑥 2 +1 , 𝑥 ∈ ℝ ohraničená.
Monotónní funkce Definice 5.7 Řekneme, že funkce je a) rostoucí (resp. klesající) na množině 𝑴 ⊂ 𝐷(𝑓), jestliže pro každé 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑀 takové, že 𝑥1 < 𝑥2 , platí 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ) (resp. 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 )), b) nerostoucí (resp. neklesající) na množině 𝑴 ⊂ 𝐷(𝑓), jestliže pro každé 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑀 takové, že 𝑥1 < 𝑥2 , platí 𝑓(𝑥1 ) ≤ 𝑓(𝑥2 ) (resp. 𝑓(𝑥1 ) ≥ 𝑓(𝑥2 )), c) rostoucí (resp. klesající, nerostoucí, neklesající), je-li rostoucí resp. klesající, nerostoucí, neklesající) na celém svém definičním oboru.
Příklad 5.5 Vyšetřete monotónii následujících funkcí.
a)
22
b)
c)
d)
Martina Litschmannová
Základy matematiky Prostá funkce Definice 5.8 Řekneme, že funkce 𝒇 je prostá, právě když pro každé 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐷(𝑓) takové, že 𝑥1 ≠ 𝑥2 platí, že 𝑓(𝑥1 ) ≠ 𝑓(𝑥2 ).
Poznámka: Složením dvou prostých funkcí vznikne funkce prostá. Příklad 5.6 Dokažte, že 𝑓: 𝑦 = (𝑥 − 1)2 + 7, 𝑥 ∈ ⟨1; ∞) je prostá. Sudá a lichá funkce Definice 5.9 Funkce 𝒇 se nazývá sudá (resp. lichá), pokud platí: a) Je-li 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓), pak −𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). b) 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) (resp. 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)) pro všechna 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓).
funkce lichá (graf souměrný podle počátku)
funkce sudá (graf souměrný podle osy y)
Příklad 5.7 Určete, zda jsou následující funkce sudé nebo liché. 𝑥
a) 𝑓: 𝑦 = 𝑥 2 +1
1−𝑥 2
b) 𝑔: 𝑦 = 1+𝑥2 1+𝑥
c) ℎ: 𝑦 = 1+𝑥2 Periodická funkce Definice 5.10 Řekneme, že funkce 𝑓 je periodická s periodou 𝑝, 𝑝 ∈ ℝ+, jestliže platí: a) Je-li 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓), pak 𝑥 + 𝑝 ∈ 𝐷(𝑓). b) 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝑝) pro všechna 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). Martina Litschmannová
23
5. cvičení - Operace s funkcemi Příklad 5.8 Nakreslete graf periodické funkce 𝑓, jejíž perioda 𝑝 = 2 a 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓), jestliže víte, že −1, 𝑥 ∈ (−1,0) 𝑓(𝑥) = { 0, 𝑥 = −1 𝑎 𝑥 = 0 . 1, 𝑥 ∈ (0,1)
3. Operace s funkcemi Součet, rozdíl, součin a podíl funkcí Definice 5.11 Nechť 𝑓 a 𝑔 jsou funkce. Součtem 𝒇 + 𝒈, rozdílem 𝒇 − 𝒈, součinem 𝒇 ∙ 𝒈 a podílem 𝒇/𝒈 funkcí 𝒇 a 𝒈 nazveme funkce, které jsou dány předpisem: (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥), (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥), 𝑓 𝑔
( ) (𝑥) =
𝑓(𝑥) , 𝑔(𝑥)
𝑝𝑟𝑜 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔), 𝑝𝑟𝑜 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔), 𝑝𝑟𝑜 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔),
𝑝𝑟𝑜 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔) {𝑥 ∈ ℝ: 𝑔(𝑥) = 0}.
Absolutní hodnotou funkce f nazýváme funkci definovanou předpisem |𝑓|(𝑥) = |𝑓(𝑥)| 𝑝𝑟𝑜 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓).
Skládání funkcí Definice 5.12 Nechť 𝑓 a 𝑔 jsou funkce. Složenou funkcí 𝒇 ∘ 𝒈 nazveme funkci definovanou předpisem (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)), 𝑝𝑟𝑜 𝑥 ∈ 𝐷(𝑔) ∧ 𝑔(𝑥) ∈ 𝑓(𝑥). Funkci 𝑓 nazýváme vnější složka a funkci 𝑔 nazýváme vnitřní složka složené funkce 𝑓 ∘ 𝑔. Příklad 5.9 Jsou dány funkce 𝑓: 𝑦 = 3 − 2𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥. a) Určete složenou funkci 𝑓 ∘ 𝑔 a její definiční obor. b) Určete složenou funkci 𝑔 ∘ 𝑓 a její definiční obor. Inverzní funkce Definice 5.13 Nechť 𝑓 je funkce. Funkce 𝑓 −1 se nazývá funkce inverzní k funkci 𝑓, jestliže platí: a) 𝐷(𝑓 −1 ) = 𝐻(𝑓). b) ∀𝑦 ∈ 𝐷(𝑓 −1 ): 𝑓 −1 (𝑦) = 𝑥 ⇔ 𝑦 = 𝑓(𝑥). Věta 5.1 Nechť 𝑓 je funkce. Funkce 𝑓 −1 existuje právě tehdy, když 𝑓 je funkce prostá. (Důkaz lze najít například v [1].) 24
Martina Litschmannová
Základy matematiky Grafy funkcí 𝑓 a 𝑓 −1 jsou souměrné podle přímky 𝑝: 𝑦 = 𝑥. Jak postupujeme, chceme-li najít funkci inverzní k funkci 𝒇? 1) Ověříme, že funkce 𝑓 je prostá. 2) Určíme definiční obor 𝐷(𝑓) a obor hodnot 𝐻(𝑓) funkce 𝑓. 3) Určíme 𝐷(𝑓 −1 ) a určíme předpis 𝑓 −1. Příklad 5.10 𝑥+2
Ověřte, že k funkci 𝑓: 𝑦 = 𝑥−3 existuje funkce inverzní, a najděte ji.
Martina Litschmannová
25
5. cvičení - Transformace grafu funkce
4. Transformace grafu funkce Nechť je dána funkce 𝑓: 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). Připomeňme si, jak lze pomocí grafu funkce f sestrojit grafy následujících funkcí: a) 𝑓1 : 𝑦 = −𝑓(𝑥), d) 𝑓4 : 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑎),
b) 𝑓2 : 𝑦 = 𝑓(−𝑥), e) 𝑓5 : 𝑦 = 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥),
c) 𝑓3 : 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑏, f) 𝑓6 : 𝑦 = 𝑓(𝑚𝑥),
kde 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ\{0}, 𝑘 ∈ ℝ+ , 𝑚 ∈ ℝ+ jsou konstanty.
a) grafy funkcí 𝑓 a 𝑓1 jsou souměrné podle osy x
b) grafy funkcí 𝑓 a 𝑓2 jsou souměrné podle osy y
d) graf funkce 𝑓4 je posunutím e) graf funkce 𝑓5 je grafu funkce 𝑓 o |𝑎| ve deformací grafu funkce 𝑓 směru osy x (je-li a > 0, jde ve směru osy y (je-li 𝑘 > o posunutí „doprava“; je-li 1, jde o 𝑘 násobné b < 0, jde o posunutí „zvětšení“ ve směru osy y; „doleva“) je-li 0 < 𝑘 < 1, jde o 𝑘 násobné „zmenšení“ ve směru osy y)
26
c) graf funkce 𝑓3 je posunutím grafu funkce 𝑓 o |𝑏| ve směru osy y (je-li b > 0, jde o posunutí „nahoru“; (je-li b < 0, jde o posunutí „dolů“)
f)
graf funkce 𝑓6 je deformací grafu funkce 𝑓 ve směru osy x (je-li 𝑚 > 1, jde o 𝑚 násobné „zúžení“ ve směru osy y; je-li 0 < 𝑚 < 1, jde o 𝑚 násobné „rozšíření“ ve směru osy y)
Martina Litschmannová
Základy matematiky
Příklad 5.11 1
Nakreslete v jednom souřadnicovém systému grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 𝑥 2 a 𝑔: 𝑦 = 2 𝑥 2 − 4𝑥 + 9.
Doporučená on-line dostupná literatura: [1] web Matematika s radostí – Funkce [2] web priklady.eu – Funkce (řešené příklady) [3] Kuben Jaromír, Šarmanová Petra – Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (kap. 3 Reálné funkce jedné reálné proměnné) [4] Míča Daniel – Průběh funkce (freeware program prezentující vliv parametrů nejčastěji se vyskytujících funkcí na jejich graf)
Martina Litschmannová
27
6. cvičení - Grafy elementárních funkcí
6. cvičení 1. Grafy elementárních funkcí Lineární funkce 𝑝: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑥 ∈ ℝ a … směrnice přímky (𝑎 > 0 ⇒ 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑒𝑚 𝑗𝑒 𝑟𝑜𝑠𝑡𝑜𝑢𝑐í 𝑝ří𝑚𝑘𝑎, 𝑎 < 0 ⇒ 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑒𝑚 𝑗𝑒 𝑘𝑙𝑒𝑠𝑎𝑗í𝑐í 𝑝ří𝑚𝑘𝑎)
Příklad 6.1 Načrtněte grafy funkcí: 𝑝: 𝑦 = 2𝑥, 𝑥 ∈ ℝ; 𝑞: 𝑦 = −2𝑥, 𝑥 ∈ ℝ; 𝑟: 𝑦 = −2𝑥 + 2, 𝑥 ∈ ℝ.
28
Martina Litschmannová
Základy matematiky
Zdroj: Jan Čepička, Petr Girg, Petr Nečesal, Josef Polák: Herbář funkcí, dostupné z mi21.vsb.cz Martina Litschmannová
29
6. cvičení - Grafy elementárních funkcí
Zdroj: Jan Čepička, Petr Girg, Petr Nečesal, Josef Polák: Herbář funkcí, dostupné z mi21.vsb.cz 30
Martina Litschmannová
Základy matematiky Příklad 6.2 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 𝑥 2 a 𝑔: 𝑦 = 3𝑥 2 − 6𝑥 − 1 (využijte doplnění na čtverec).
Příklad 6.3 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = √𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 2 − √1 − 𝑥.
Příklad 6.4 3
3
V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = √𝑥 2 a 𝑔: 𝑦 = 1 + √(2 − 𝑥)2 .
Příklad 6.5 1
𝑥+1
V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 𝑥+2.
Příklad 6.6 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 𝑒 𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 1 + 𝑒 4−2𝑥 . Příklad 6.7 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 0,3𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 1 − 2 ∙ 0,3𝑥−1 .
Příklad 6.8 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 1 − 2 𝑙𝑛(𝑥 + 3).
Příklad 6.9 𝜋
V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 1 + 2 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 + 4 ). Příklad 6.10 𝜋
V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 1 − 2 𝑠𝑖𝑛 ( 2 − 2𝑥). Příklad 6.11 𝜋 2
V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 1 + 𝑐𝑜𝑠 ( − 2𝑥). Příklad 6.12 𝜋
V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥 a 𝑔: 𝑦 = 1 − 2 𝑡𝑔 ( 2 − 2𝑥). Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Míča Daniel – Průběh funkce (freeware program prezentující vliv parametrů nejčastěji se vyskytujících funkcí na jejich graf) [2] Jan Čepička, Petr Girg, Petr Nečesal, Josef Polák - Herbář funkcí Martina Litschmannová
31
7. cvičení - Rovnice a nerovnice - základní pojmy
7. cvičení 1. Rovnice a nerovnice - základní pojmy Rovnice (nerovnice) je zápisem rovnosti (nerovnosti) hodnot dvou výrazů. Hodnoty neznámých, po jejichž dosazení do rovnice (nerovnice) získáme pravdivý výrok, nazveme kořeny dané rovnice (nerovnice). Množinu, ve které hledáme všechny kořeny rovnice, označíme O a nazveme ji oborem řešení rovnice. Množinu, která vznikne jako průnik množiny O a množin, ve kterých jsou definovány výrazy na levé i pravé straně rovnice, označíme D a nazveme ji definiční obor rovnice. Množinu všech kořenů dané rovnice označíme písmenem K. Obdobnou terminologii pak používáme i u nerovnic. Ekvivalentní rovnice (nerovnice) Dvě rovnice (nerovnice) nazveme ekvivalentní, právě když mají stejnou množinu kořenů. Ekvivalentní úprava Úpravu rovnice nazveme ekvivalentní úpravou, právě když tato úprava převede rovnici na rovnici jinou, s ní ekvivalentní. Obdobně definujeme ekvivalentní úpravy nerovnic. Neekvivalentní (důsledková) úprava Úpravu rovnice nazveme důsledkovou úpravou, právě když tato úprava převede rovnici na rovnici jinou, pro niž platí, že množina kořenu původní rovnice je podmnožinou množiny kořenů nové rovnice. (Při použití důsledkových úprav je nutné dělat zkoušku.) Ekvivalentní úpravy rovnic jsou: přičtení téhož čísla, nebo výrazu obsahující neznámou, který je definovaný v celém 𝑂, k oběma stranám rovnice, vynásobení obou stran rovnice stejným číslem nebo výrazem s neznámou, který je definovaný a nenulový v celém 𝑂, umocnění obou stran rovnice přirozeným mocnitelem, jsou-li obě strany rovnice nezáporné (nebo naopak záporné) v celém 𝑂. Ekvivalentní úpravy nerovnic jsou: přičtení téhož čísla, nebo výrazu obsahující neznámou, který je definován na celém 𝑂, k oběma stranám nerovnice, vynásobení obou stran nerovnice číslem, nebo výrazem s neznámou, který je definovaný a kladný, pro všechny hodnoty neznámé z 𝑂, vynásobení obou stran nerovnice záporným číslem, nebo výrazem s neznámou, který je záporný a definovaný v celém 𝑂, přitom znak nerovnosti se mění v obrácený, umocnění obou stran nerovnice přirozeným mocnitelem, jsou-li obě strany nerovnice nezáporné v celém oboru řešení nerovnice 𝑂, umocnění obou stran nerovnice přirozeným mocnitelem, jsou-li obě strany nerovnice nekladné v celém 𝑂 a současným otočením znaménka nerovnosti.
32
Martina Litschmannová
Základy matematiky
2. Lineární rovnice a nerovnice Příklad 7.1 Řešte v ℝ rovnici √3 − √3𝑥 = 3. Příklad 7.2 Řešte v ℤ rovnici √3 − √3𝑥 = 3. Příklad 7.3 Řešte v ℝ rovnici
1 1 − 𝑥−2 𝑥−3
3𝑥−10
= (2−𝑥)(3−𝑥).
Příklad 7.4 Řešte v ℝ rovnici (𝑥 − 1)2 − (𝑥 + 1)2 = −4𝑥. Příklad 7.5 Řešte nerovnice v daném oboru řešení. a) 𝑥 ≥ −7 v ℝ b) √2 ≤ 𝑥 v ℝ c) 𝑥 ≥ −7 v ℕ d) √2 ≤ 𝑥 v ℤ Příklad 7.6 Řešte v ℝ nerovnici −3𝑥 − 5 ≤ 𝑥 − 3. Příklad 7.7 Řešte v ℝ nerovnici −𝑥 − 5 ≤ −𝑥 − 3. Příklad 7.8 Řešte v ℝ nerovnici 𝑥 + 5 ≤ 𝑥 + 3.
Soustava lineárních nerovnic Postup: 1. Určíme 𝑂 a 𝐷 společné pro celou soustavu (pro všechny nerovnice), 2. určíme množiny kořenů 𝐾1 , 𝐾2 , … pro každou nerovnici zvlášť, 3. najdeme průnik všech množin 𝐾1 , 𝐾2 , …, které nám vyšly. Tím získáme 𝐾 celé soustavy, neboli všechna 𝑥, která jsou řešením všech nerovnic současně.
Příklad 7.9 1
Řešte v ℝ soustavu nerovnic: −3 ≤ 𝑧 − 2 < 2𝑧 + 1 < 2 𝑧.
Martina Litschmannová
33
7. cvičení - Kvadratické rovnice a nerovnice Lineární rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Rovnice, jejichž jedna strana se dá zapsat jako součin libovolného počtu součinů lineárních dvojčlenů a jejichž druhá strana je nulová nazýváme lineární rovnice v součinovém tvaru. Rovnice, jejichž jedna strana se dá zapsat jako podíl libovolného počtu součinů lineárních dvojčlenů v čitateli i jmenovateli a jejichž druhá strana je nulová nazýváme lineární rovnice v podílovém tvaru. Obdobně definujeme lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru.
Příklad 7.10 Řešte v ℝ rovnici
(3−𝑥)(2𝑥−4) (5+𝑥)(𝑥−3)
= 0.
Příklad 7.11 Řešte v ℝ nerovnici
(3−𝑥)(2𝑥−4) (5+𝑥)(𝑥−3)
≤ 0.
Příklad 7.12 Řešte v ℝ nerovnici
𝑥+1 𝑥−2
< 0.
Příklad 7.13 𝑥+1
Řešte v ℝ nerovnici 𝑥−2 ≤ 1. POZOR!!! Při násobení a dělení výrazem s neznámou (musíme zjistit, zda je výraz kladný nebo záporný a pokud může být obojí, musíme výpočet rozdělit).
3. Kvadratické rovnice a nerovnice Příklad 7.14 Řešte v ℝ rovnice: a) 2𝑥 2 + 𝑥 − 1 = 0 b) 2𝑥 2 − 1 = 0 c) 2𝑥 2 + 𝑥 = 0 d) 9𝑡 2 + 12𝑡 + 4 = 0 e) 𝑎2 + 𝑎 + 1 = 0
Příklad 7.15 Řešte v ℂ rovnici 𝑎2 + 𝑎 + 1 = 0.
34
Martina Litschmannová
Základy matematiky Příklad 7.16 5
7
3
Řešte v ℝ rovnici 𝑥−2 − 𝑥−1 = 3−𝑥.
Příklad 7.17 Řešte v ℝ nerovnice: a) 2𝑥 2 + 𝑥 − 1 > 0 b) 9𝑡 2 + 12𝑡 + 4 ≤ 0 c) 9𝑡 2 + 12𝑡 + 4 > 0 d) 9𝑡 2 + 12𝑡 + 4 < 0 e) 𝑎2 + 𝑎 + 1 > 0 Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Jaromír Gloc: web Rovnice a nerovnice - http://www.rovnice.kosanet.cz/ (teorie + řešené příklady použité v těchto pracovních listech) [2] web priklady.eu – Lineární rovnice, Lineární nerovnice, Kvadratické rovnice, Kvadratické nerovnice (řešené příklady)
Martina Litschmannová
35
8. cvičení - Iracionální rovnice a nerovnice
8. cvičení 1. Iracionální rovnice a nerovnice Iracionální rovnice se nazývají rovnice s neznámou pod odmocninou. Základní ekvivalentní úpravou, kterou budeme v této kapitole používat je umocnění obou stran rovnice na druhou. Tato úprava je ekvivalentní pouze, když obě strany rovnice mají stejné znaménko. Pokud ale toto nejsme u řešených rovnic schopni zajistit a použijeme-li přesto tuto úpravu, je nezbytně nutné, abychom po jejich vypočtení, provedli zkoušku, kterou si správnost vypočtených hodnot ověříme. Příklad 8.1 Řešte v ℝ rovnici √𝑥 − 3 = 2. Příklad 8.2 Řešte v ℝ rovnici √2𝑥 + 5 = 8 − √𝑥 − 1.
Iracionálními nerovnicemi se nazývají nerovnice, ve kterých se vyskytuje neznámá pod odmocninou. Při řešení iracionálních nerovnic je velmi důležité dbát na ekvivalentnost úprav, které s nerovnicí provádíme. U nerovnic totiž nemáme možnost provádět zkoušku dosazením. Nemůžeme tedy ověřovat, zda všechna vypočítaná čísla jsou kořeny i původní nerovnice. Příklad 8.3 Řešte v ℝ nerovnici √𝑥 − 3 < −1. Příklad 8.4 Řešte v ℝ nerovnici √2𝑥 − 6 ≥ −1. Příklad 8.5 Řešte v ℝ nerovnici −√𝑥 2 − 4 ≥ 𝑥 − 2.
2. Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Zápis |𝑎 − 𝑏| můžeme interpretovat jako vzdálenost obrazu čísla a od obrazu čísla b.
Příklad 8.6 Řešte v ℝ dané rovnice a nerovnice. a) |𝑥| = 3 b) |𝑥| < 3 c) |𝑥 − 2| > 3 d) |𝑥 + 2| = 3 e) |2𝑥 + 2| = 4 f) |2 − 𝑥| ≥ 3 g) |2 − 3𝑥| ≥ 3 36
Martina Litschmannová
Základy matematiky
Příklad 8.7 Řešte v ℝ dané rovnice a nerovnice. a) 2𝑥 + |𝑥| = 1 + |1 − 𝑥| b) |𝑥 2 − 2𝑥| < 𝑥
3. Rovnice a nerovnice s parametry V matematice slovo parametr nejčastěji znamená nějaké číslo, jehož konkrétní hodnotu v době řešení, nebo zpracování úlohy ještě neznáme. Nicméně potřebujeme onu úlohu vyřešit i bez této znalosti, abychom pak mohli pro konkrétní hodnoty parametrů jednoduše získat konkrétní řešení celé úlohy. Řešit rovnici s neznámou x a s parametrem t znamená řešit celý systém rovnic, tj. ke každé přípustné hodnotě parametru t určit obor pravdivosti K rovnice, kterou získáme po dosazení této hodnoty za t. Příklad 8.8 Řešte v ℝ rovnici s neznámou x a reálným parametrem t. a) 𝑥 + 𝑡 = 1 − 𝑥 b) 𝑡(2 − 𝑡)𝑥 = 4𝑡 Příklad 8.9 Řešte v ℝ rovnici
2+𝑎𝑡 𝑎+𝑡
= 2𝑎 s neznámou t a reálným parametrem a.
𝑚 𝑥
4
Příklad 8.10 Řešte v ℝ rovnici
2
− 𝑚𝑥 = 1 − 𝑚 s neznámou x a parametrem 𝑚 ∈ ℝ\{0}.
Příklad 8.11 Řešte v ℝ rovnici
𝑎𝑧 2 +(𝑎−1)𝑧−1 𝑎−3
= 0 s neznámou z a parametrem 𝑎 ∈ ℝ\{3}.
Řešení nerovnic s parametry není principiálně jiné než řešení rovnic s parametry. Často ale řešení bývá rozvětveno do více částí, těžší na diskuzi řešení v závislosti na hodnotě parametrů a celkově náročnější na pozornost. Příklad 8.12 Řešte v ℝ nerovnici 𝑎(𝑎 − 1)𝑥 < 2 s neznámou x a parametrem 𝑎 ∈ ℝ.
Martina Litschmannová
37
8. cvičení - Rovnice a nerovnice s parametry Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Jaromír Gloc: web Rovnice a nerovnice - http://www.rovnice.kosanet.cz/ (teorie + příklady použité v těchto pracovních listech) [2] web priklady.eu
38
Martina Litschmannová
Základy matematiky
9. cvičení 1. Exponenciální funkce Exponenciální funkce: 𝑓: 𝑦 = 𝑎 𝑥 , kde neznámá 𝑥 ∈ ℝ a 𝑎 ∈ ℝ+ \{1}.
Příklad 9.1 Určete pravdivostní hodnotu daných výroků. a) 𝑉1: 30,375 > 0 b) 𝑉2: 3−0,375 > 0 c) 𝑉3: 30,375 > 1 d) 𝑉4: 3−0,375 > 1 e) 𝑉5: (−3)0,375 > 0 f) 𝑉6: 30,375 > 0,30,375 g) 𝑉7: 3−0,375 > 0,3−0,375
Příklad 9.2 Řešte nerovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ: a) 3𝑥 > 0 b) 0,3𝑥 > 0 c) 3𝑥 > 1 d) 0,3𝑥 > 1
Martina Litschmannová
39
9. cvičení - Logaritmus, logaritmická funkce
2. Logaritmus, logaritmická funkce Logaritmus čísla 𝑥 > 0 o základu 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 je takové číslo 𝑦, pro které platí 𝑎 𝑦 = 𝑥, tj. log 𝑎 𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑎 𝑦 = 𝑥 Příklad 9.3 Určete: a) 𝑙𝑜𝑔2 8 b) 𝑙𝑜𝑔10 100 = 𝑙𝑜𝑔 100 1
c) 𝑙𝑜𝑔5 25 = 7
d) 𝑙𝑜𝑔2 2 = 7
e) 𝑙𝑜𝑔𝑒 𝑒 3 = 𝑙𝑛 𝑒 3 = Věty o logaritmech ∀𝑎, 𝑧 ∈ ℝ+ \{1}, 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ+ , 𝑐, 𝑛 ∈ ℝ: 1. Vztah mocniny a logaritmu: 𝑎log𝑎 𝑥 = 𝑥 (např.: 𝑒 ln 𝑥 = 𝑥, 10log 𝑥 = 𝑥; 2log2 𝑥 = 𝑥) 2. Logaritmus součinu: log 𝑎 𝑥 𝑦 = log 𝑎 𝑥 + log 𝑎 𝑦 𝑥 𝑦
3. Logaritmus podílu: log 𝑎 = log 𝑎 𝑥 − log 𝑎 𝑦 4. Logaritmus mocniny: log 𝑎 𝑥 𝑛 = 𝑛 log 𝑎 𝑥 log 𝑥
5. Podíl dvou logaritmů o stejném základě: log𝑎 𝑧 = log 𝑧 𝑥 𝑎
log 4
ln 4
(např.: log 3 4 = log 3 = ln 3)
6. Převod reálného čísla na logaritmus: 𝑐 = log 𝑎 𝑎𝑐 (např.: 3 = log 2 23 = log 103 = ln 𝑒 3 ) Příklad 9.4 Vypočtěte: a) 𝑙𝑜𝑔3 (81 ∙ 27) b) 𝑙𝑜𝑔6 9 + 𝑙𝑜𝑔6 4 c) 𝑙𝑜𝑔3 18 − 𝑙𝑜𝑔3 2 d) 𝑙𝑜𝑔3 94 e) 3 𝑙𝑜𝑔8 2
40
Martina Litschmannová
Základy matematiky Logaritmická funkce: 𝑓: 𝑦 = log 𝑎 𝑥, kde 𝑎 ∈ ℝ+ \{1}, 𝑥 ∈ ℝ+
Příklad 9.5 Určete pravdivost daných výroků: a) 𝑉1: 𝑙𝑜𝑔3 5 > 0 b) 𝑉2: 𝑙𝑜𝑔3 0,2 > 0 c) 𝑉3: 𝑙𝑜𝑔0,1 5 > 0 d) 𝑉4: 𝑙𝑜𝑔0,1 0,25 > 0 e) 𝑉5: 𝑙𝑜𝑔3(−5) > 0 f)
𝑉6: 𝑙𝑜𝑔3 1 > 0
3. Exponenciální rovnice Exponenciální rovnicí (nerovnicí) nazýváme každou rovnici (nerovnici), ve které je neznámá v exponentu nějaké mocniny. Rovnice ve tvaru 𝒂𝒇(𝒙) = 𝒂𝒈(𝒙), resp. rovnice, které lze převést na tento tvar Rovnice 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑔(𝑥) s neznámou 𝑥 ∈ ℝ je pro 𝑎 ∈ ℝ+ \{1} ekvivalentní s rovnicí 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). Tuto ekvivalentní úpravu nazýváme porovnání exponentů. Martina Litschmannová
41
9. cvičení - Exponenciální rovnice Příklad 9.6 Řešte rovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. a) 3𝑥−1 = 32 1
b) 5𝑥 = 25
c) 22𝑥+1 = 1 d) 5𝑥 ∙ 2𝑥 = 100𝑥−2 3
4
6
e) √4𝑥 ∙ √2𝑥−3 = √16 f)
27 = 8 𝑥
2 𝑥
9 𝑥+1
(3) ∙ (4)
g) 3 + 3𝑥+2 = 90 h) 2 ∙ 5𝑥+2 − 5𝑥+1 = 9 Logaritmování Rovnice 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑔(𝑥) s neznámou 𝑥 ∈ ℝ je pro 𝑎 ∈ ℝ+ \{1}, 𝑏 ∈ ℝ+ \{1} ekvivalentní s rovnicí 𝑓(𝑥) ∙ log 𝑐 𝑎 = 𝑔(𝑥) ∙ log 𝑐 𝑏 pro 𝑐 ∈ ℝ+ \{1}. Tuto ekvivalentní úpravu nazýváme logaritmování.
Příklad 9.7 Řešte rovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. a) 2𝑥 = 10 b) 3𝑥 = 13𝑥−1 c) 2𝑥 ∙ 3𝑥−1 = 4𝑥+1 d) 3 ∙ 7𝑥 − 7𝑥−1 = 60
Substituce Úpravě rovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ, kde všechny výskyty výrazu 𝑉(𝑥) nahradíme neznámou 𝑎 tak, že v nové rovnici se nevyskytuje neznámá 𝑥, říkáme substituce výrazu 𝑽(𝒙) neznámou 𝒂.
Příklad 9.8 Řešte rovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. a) 4𝑥 − 5 ∙ 2𝑥 + 4 = 0 3
b) 5𝑥 + 2 = 5𝑥
c) 3𝑥 + 31−𝑥 = 4 d) 16𝑥−0,5 + 160,5−𝑥 = 1 𝑥
1 𝑥
17 4
1 𝑥
1 −1
e) 2 ∙ (4) − 3 ∙ (2) = [1 + (2) ] ∙ (4)
42
Martina Litschmannová
Základy matematiky
4. Exponenciální nerovnice Porovnávání exponentů Nerovnice 𝑎 𝑓(𝑥) < 𝑎 𝑔(𝑥) s neznámou 𝑥 ∈ ℝ je pro 𝑎 ∈ ℝ+ \{1} ekvivalentní s nerovnicí
𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥), pro 𝑎 > 1,
𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥), pro 0 < 𝑎 < 1. Tuto ekvivalentní úpravu budeme nazývat porovnání exponentů.
Příklad 9.9 Řešte nerovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. a) 3𝑥+1 ≤ 27 1 𝑥−2
b) (3) c) 7
3𝑥−3
>3
≥1
1 𝑥 2
d) 2𝑥−1 < 4𝑥+1 ∙ ( ) e) 3𝑥 f)
2 −2
∙ 2𝑥
1 𝑥−1 ( ) 2
+
2 −2
< 36
1 𝑥−2 ( ) 2
≤ 12
Logaritmování Při logaritmování nerovnic platí: Logaritmujeme-li nerovnici logaritmem se základem 𝑎 > 1, neotáčíme znaménko nerovnosti. Logaritmujeme-li nerovnici logaritmem se základem 𝑎 ∈ (0; 1), otáčíme znaménko nerovnosti.
Příklad 9.10 Řešte nerovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. a) 2𝑥 ≤ 7 b) 0,3𝑥 < 5 c) 4𝑥 ∙ 3𝑥 > 14𝑥−1
Substituce Příklad 9.11 Řešte nerovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. a) 9𝑥 − 10 ∙ 3𝑥 + 9 < 0 1 𝑥
1 𝑥
b) 2 ∙ (4) − 9 ∙ (2) + 4 > 0
Martina Litschmannová
43
9. cvičení - Exponenciální nerovnice Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Miroslav Řezáč: Exponenciální, logaritmické rovnice a jejich soustavy na internetu (diplomová práce) - http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/miroslav_rezac/index.php (teorie + příklady použité v těchto pracovních listech) [2] Martin Krynický: Matematika pro SŠ - http://www.realisticky.cz/ucebnice.php?id=3
44
Martina Litschmannová
Základy matematiky
10. cvičení – 11. cvičení 1. Logaritmické rovnice Logaritmickou rovnicí (nerovnicí) nazýváme každou rovnici (nerovnici), ve které je neznámá v argumentu nebo v základu nějakého logaritmu.
Porovnání argumentů Rovnice log 𝑎 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑔(𝑥) s neznámou 𝑥 ∈ ℝ je pro 𝑎 ∈ ℝ+ \{1} ekvivalentní s rovnicí 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) za předpokladu, že 𝑓(𝑥) > 0 a 𝑔(𝑥) > 0. Tuto ekvivalentní úpravu budeme nazývat porovnání argumentů. Příklad 10.1 Řešte rovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. a) 𝑙𝑜𝑔4 (𝑥 + 2) = 𝑙𝑜𝑔4 (4 − 𝑥) b) 𝑙𝑜𝑔3 (2𝑥 + 1) = 3 c) 𝑙𝑜𝑔0,3(𝑥 + 1) = 2 𝑥 2 +1 ) 𝑥−1
d) 𝑙𝑜𝑔5 (
=1
Aplikace logaritmických vět Logaritmické rovnice lze upravovat pomocí vět o logaritmech. V argumentech logaritmu nemusí být jen čísla, ale i výrazy s neznámou. Příklad 10.2 Řešte rovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. a) 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 7) − 𝑙𝑜𝑔3 (2𝑥) = 𝑙𝑜𝑔3 4 b) 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 + 1) + 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 − 1) − 3 = 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 − 2) c) 𝑙𝑜𝑔8 (6𝑥 − 2) = 2𝑙𝑜𝑔8 (𝑥 − 3) d) 2 𝑙𝑜𝑔(𝑥 + 1) = 𝑙𝑜𝑔(𝑥 + 4) + 𝑙𝑜𝑔 𝑥
Substituce Příklad 10.3 Řešte rovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. a) 2𝑙𝑜𝑔22 𝑥 + 7 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 − 4 = 0 b) c)
20 = 1 + 𝑙𝑜𝑔 𝑥 3 𝑙𝑜𝑔 𝑥 2 𝑙𝑜𝑔52 5𝑥 + 𝑙𝑜𝑔5 25𝑥
Martina Litschmannová
=7
45
10. cvičení - Logaritmické nerovnice Převod neznámé na logaritmus Příklad 10.3 Řešte rovnici s neznámou 𝑥 ∈ ℝ: 𝑙𝑜𝑔3 (10 ∙ 3𝑥 − 3) − 1 = 2𝑥 Rovnice s různými základy logaritmů log 𝑥
Připomeňme si, že log 𝑧 𝑥 = log𝑎 𝑧. 𝑎
Příklad 10.4 Řešte rovnici s neznámou 𝑥 ∈ ℝ: 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 − 2 𝑙𝑜𝑔1 𝑥 = 9 2
Rovnice s neznámou v základu logaritmu Příklad 10.5 Řešte rovnici s neznámou 𝑥 ∈ ℝ: 𝑙𝑜𝑔𝑥−2 9 = 2 Logaritmování Příklad 10.6 Řešte rovnici s neznámou 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 = 9𝑥
2. Logaritmické nerovnice Porovnávání argumentů Nerovnice log 𝑎 𝑓(𝑥) < log 𝑎 𝑔(𝑥) s neznámou 𝑥 ∈ ℝ je ekvivalentní s nerovnicí
𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥), pro 𝑎 > 1,
𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥), pro 0 < 𝑎 < 1. Tuto ekvivalentní úpravu budeme nazývat porovnání argumentů.
Příklad 10.7 Řešte nerovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ: a) 𝑙𝑜𝑔2 (2𝑥 + 1) > 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 + 7) b) 𝑙𝑜𝑔1 (𝑥 + 5) > 𝑙𝑜𝑔1 (5𝑥 − 3) 3
3
c) 𝑙𝑜𝑔 1 (𝑥 + 3) > −1 10
d) 𝑙𝑜𝑔6 (𝑥 2 − 3𝑥 + 2) ≤ 1
46
Martina Litschmannová
Základy matematiky
Aplikace logaritmických vět Příklad 10.8 Řešte nerovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ: a) 𝑙𝑜𝑔1 (𝑥 2 + 6) ≤ 𝑙𝑜𝑔1 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔1 5 6
6
b) 2 𝑙𝑜𝑔(𝑥 − 1) ≥
1 (𝑙𝑜𝑔 𝑥 5 2
6
− 𝑙𝑜𝑔 𝑥)
Substituce Příklad 10.9 Řešte nerovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ: a) 𝑙𝑜𝑔52 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 ≥ 2 2+𝑙𝑜𝑔1 𝑥
b)
2
𝑙𝑜𝑔1 𝑥
<3
2
3. Slovní úlohy vedoucí na exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice Příklad 10.10 Je známo, že atmosférický tlak s rostoucí nadmořskou výškou klesá. Předpokládejme, že se pokles řídí rovnicí 𝑝 = 𝑝0 ∙ 0,88ℎ , kde 𝑝0 je atmosférický tlak v nadmořské výšce 0 m.n.m a h je nadmořská výška uváděná v kilometrech. Jestliže klesne tlak vzduchu na 40% 𝑝0 , nemá již člověk dostatečný přísun kyslíku z atmosféry. Určete kritickou výšku.
Příklad 10.11 Do banky jste uložil na úrok 3% částku 500 000 Kč. Za kolik let budete mít k dispozici 750 000 Kč?
Příklad 10.12 Do banky chcete uložit částku 500 000 Kč. Jaký musí banka poskytnout úrok, abyste si za 10 let našetřil 750 000 Kč?
Příklad 10.13 Intenzita rentgenových paprsků se sníží na polovinu při průchodu vrstvou olova o tloušťce 13,5 mm. Určete tloušťku olověné desky, která zeslabí intenzitu rentgenových paprsků na desetinu původní hodnoty.
Martina Litschmannová
47
10. cvičení - Slovní úlohy vedoucí na exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice Příklad 10.14 Počet baktérií jisté kultury vzroste za 1h o 32%. Označme počáteční počet baktérií 𝑁0 , čas měření t a konečný počet baktérií 𝑁𝑡 . Vyjádřete závislost počtu baktérii na čase vztahem: a) 𝑁𝑡 = 𝑁0 ∙ 𝑎𝑡 (tj. určete parametr a) b) 𝑁𝑡 = 𝑁0 ∙ 𝑒 𝜆𝑡 (tj. určete parametr 𝜆)
Příklad 10.15 Hmotnost izotopu radia je 133 g. Jeho poločas rozpadu je 2,7minut. Určete, jaké množství z původního izotopu radia zůstane za 19 minut.
Příklad 10.16 Pacientovi byla jednorázově podána léčebná látka, jejíž koncentrace v krvi pacienta dosáhla 3 mg/l. Poločas přeměny této látky je cca 4 h. Za jak dlouho se koncentrace látky sníží na 0,5 mg/l? Příklad 10.17 DDT (dichlordifenyltrichlorethan), pro člověka velice škodlivá látka, se dostává potravinovým řetězcem do mléka a dalších potravin. Její koncentrace ve výši 5 ∙ 10−6 % je v současné době ještě tolerována, do budoucna je však požadována limitní koncentrace 2 ∙ 10−6 %. Používání DDT je dnes téměř všude zakázáno. Chemický rozklad této látky však probíhá velmi pozvolna (poločas rozpadu je 30 let). Za jakou dobu bude dosaženo požadované nižší koncentrace?
Příklad 10.18 Radiouhlíková metoda určování stáří organických materiálů využívá rozpad radioaktivního uhlíku 146𝐶 . Radioaktivní uhlík 146𝐶 má poločas rozpadu 5 730 let, protože však neustále vzniká kvůli dopadu kosmického záření, jeho obsah v atmosféře se nemění. Protože suchozemské živé organismy čerpají uhlík z atmosféry, je za jejich života obsah radioaktivního uhlíku 146𝐶 v jejich tělech stejný jako v atmosféře. Jakmile však zemřou, přestane se radioaktivní uhlík v jejich tělech doplňovat a kvůli rozpadu jeho množství exponenciálně klesá. Z podílu radioaktivního uhlíku tak můžeme zjistit, jak dlouhá doba uplynula od okamžiku, kdy organismus uhynul. Při vykopávkách byl nalezen skelet zvířete, který obsahoval 78,6% radioaktivního uhlíku živého organismu. Jaké je stáří nálezu?
Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Miroslav Řezáč: Exponenciální, logaritmické rovnice a jejich soustavy na internetu (diplomová práce) - http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/miroslav_rezac/index.php (teorie + příklady použité v těchto pracovních listech) [2] Martin Krynický: Matematika pro SŠ - http://www.realisticky.cz/ucebnice.php?id=3
48
Martina Litschmannová
Základy matematiky
12. cvičení – 13. cvičení
Martina Litschmannová
49
13. cvičení - Goniometrické funkce
13. cvičení 1. Goniometrické funkce
50
Martina Litschmannová
Základy matematiky
2. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 𝑐 𝑏 𝑎 cos 𝜑 = 𝑏 sin 𝜑 𝑐 𝜋 tg 𝜑 = = 𝑝𝑟𝑜 𝜑 ≠ + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ cos 𝜑 𝑎 2 sin 𝜑 =
cotg 𝜑 =
1 cos 𝜑 𝑎 = = 𝑝𝑟𝑜 𝜑 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 𝑡𝑔 𝜑 sin 𝜑 𝑐
3. Goniometrické funkce – základní tabulkové hodnoty Hodnoty funkcí sinus a kosinus pro základní úhly
𝜋
𝜋
6
4
Pomocné obrázky pro určení goniometrických funkcí úhlů: ;
;
𝜋 3
Jak pracovat s jednotkovou kružnicí při určování hodnot goniometrických funkcí?
𝟎
𝝅⁄𝟔
𝝅⁄𝟒
𝝅⁄𝟑
𝝅⁄𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝝋
√0 2
√1 2
√2 2
√3 2
√4 2
𝐜𝐨𝐬 𝝋
√4 2
√3 2
√2 2
√1 2
√0 2
0
√3 3
1
√3
---
---
√3
1
√3 3
0
𝐭𝐠 𝝋 𝐜𝐨𝐭𝐠 𝝋
Tabulka základních hodnot goniometrických funkcí
Martina Litschmannová
51
13. cvičení - Goniometrické rovnice
Příklad 11.1 Pomocí jednotkové kružnice určete: 3𝜋 4 3𝜋 𝑐𝑜𝑠 4 3𝜋 𝑡𝑔 4 3𝜋 𝑐𝑜𝑡𝑔 4 7𝜋 𝑠𝑖𝑛 6 7𝜋 𝑐𝑜𝑠 6 7𝜋 𝑡𝑔 6 7𝜋 𝑐𝑜𝑡𝑔 6 4𝜋 𝑠𝑖𝑛 (− 3 ) 4𝜋 𝑐𝑜𝑠 (− 3 ) 4𝜋 𝑡𝑔 (− 3 ) 4𝜋 𝑐𝑜𝑡𝑔 (− 3 )
a) 𝑠𝑖𝑛 b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)
4. Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá objevuje uvnitř goniometrických funkcí. Základní goniometrická rovnice je každá rovnice zapsaná ve tvaru 𝑔(𝑥) = 𝑎, kde 𝑔(𝑥) je jedna z goniometrických funkcí (𝑠𝑖𝑛 𝑥, 𝑐𝑜𝑠 𝑥, 𝑡𝑔 𝑥, 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥), 𝑎 ∈ ℝ, 𝑥 ∈ ℝ. (Uvědomte si, že při definici goniometrické rovnice uvažujeme, že 𝑥 ∈ ℝ, tzn. že hodnoty neznámé 𝑥 uvádíme v obloukové míře!!!) Řešení základních goniometrických rovnic je přímo viditelné z grafů příslušných goniometrických funkcí nebo z jednotkové kružnice. Příklad 11.2: Řešte goniometrické rovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. a) 𝑠𝑖𝑛 𝑥 =
𝑐𝑜𝑠 𝑥−1 4𝑐𝑜𝑠 𝑥+1 − 3 2 √3 𝑡𝑔 𝑥 = 3 √3 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 = − 3
b) 2 c) d)
1 2
= −1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥
e) 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = −0,374 1 (výsledek zapište s přesností na 2 des. místa)
52
Martina Litschmannová
Základy matematiky
Složitější goniometrické rovnice Substituce na základní typ: Pomocí jednoduché substituce 𝑦 = 𝑥 + 𝑙 nebo 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑙 převedeme složitější gon. rovnici typu 𝑔(𝑥 + 𝑙) = 𝑘 nebo 𝑔(𝑥 ∙ 𝑙) = 𝑘, kde 𝑔 je gon. funkce s neznámou 𝑥 a 𝑙, 𝑘 jsou reálná čísla, na základní typ gon. rovnic 𝑔(𝑥) = 𝑘. Příklad 11.3: Řešte goniometrické rovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. a) 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 = −
√2 2
b) √2 𝑐𝑜𝑠(4𝜋 + 2𝑥) = −1
Substituce na kvadratickou rovnici Příklad 11.4: Řešte goniometrické rovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. a) 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 1 = 0 b) 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 3 = 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 Dvojnásobný argument – při řešení tohoto typu úloh se využívají vzorce pro dvojnásobný argument gon. funkcí: sin(2𝑥) = 2 sin 𝑥 ∙ cos 𝑥 cos(2𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 Příklad 11.5: Řešte goniometrické rovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. a) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 = 0 b) 2 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 − 2 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 2
Goniometrické funkce součtů a rozdílů, součet a rozdíl gon. funkcí – při řešení tohoto typu úloh se používají následující vzorce: sin(𝑥 + 𝑦) = sin 𝑥 sin 𝑦 + cos 𝑥 cos 𝑦 sin(𝑥 − 𝑦) = sin 𝑥 sin 𝑦 − cos 𝑥 cos 𝑦 cos(𝑥 + 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 − sin 𝑥 sin 𝑦 cos(𝑥 − 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 + sin 𝑥 sin 𝑦
𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 cos 2 2 𝑥−𝑦 𝑥+𝑦 sin 𝑥 − sin 𝑦 = 2 sin cos 2 2 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 cos 𝑥 + cos 𝑦 = 2 cos cos 2 2 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 cos 𝑥 − cos 𝑦 = −2 sin sin 2 2 sin 𝑥 + sin 𝑦 = 2 sin
Martina Litschmannová
53
13. cvičení - Goniometrické nerovnice Příklad 11.6: Řešte goniometrické rovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. 𝜋
a) 𝑠𝑖𝑛 (5𝑥 + 4 ) = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 b) − 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 7𝑥
5. Goniometrické nerovnice Základní goniometrické nerovnice Příklad 11.7: Řešte goniometrické nerovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. a) 𝑠𝑖𝑛 𝑥 > 0,5 b) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 < −0,5 c) 𝑡𝑔 𝑥 ≤
√3 3
Složitější goniometrické nerovnice Příklad 11.8: Řešte goniometrické nerovnice s neznámou 𝑥 ∈ ℝ. 𝜋 4
a) 𝑠𝑖𝑛 (2𝑥 − ) ≤ 0,5 b) −2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 5 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 4 ≥ 0
6. Slovní úlohy vedoucí na goniometrické rovnice Příklad 11.9: Silnice má stoupání 3°30‘. O kolik metrů se liší nadmořská výška dvou míst, která jsou od sebe po silnici vzdálená 2km? (Výsledek zaokrouhlete na celé metry.) Příklad 11.10: Železniční násep má průřez tvaru rovnoramenného lichoběžníku, jehož základny mají délky 12m a 8m, výška náspu je 3m. Vypočítejte úhel sklonu náspu. (Výsledek zaokrouhlete na celé stupně a minuty.)
Příklad 11.11: Štít střechy má tvar rovnoramenného trojúhelníka. Jeho šířka je 14m, sklon střechy je 31°. Jaká je výška štítu v metrech? (Výsledek zaokrouhlete na jedno desetinné místo.)
54
Martina Litschmannová
Základy matematiky Příklad 11.12: Na těleso působí v jednom bodě dvě síly: síla F1 o velikosti 760N působí ve vodorovném směru (zleva doprava) a síla F2 o velikosti 28,8N působí ve směru svislém (shora dolů). Těleso se vlivem těchto dvou sil dá do pohybu. Určete odchylku trajektorie tělesa od vodorovného směru. (Výsledek zaokrouhlete na celé stupně a minuty.)
Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Matúš Kepič: Využitie internetu vo výuke goniometrických rovníc a nerovníc (bakalářská práce) http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/matus_kepic_bp/ (teorie + příklady použité v těchto pracovních listech) [2] Martin Krynický: Matematika pro SŠ - http://www.realisticky.cz/ucebnice.php?id=3
Martina Litschmannová
55