Marta Rácová. K vyučovaniu základov dynamiky špeciálnej teórie relativity na gymnáziách

Marta Rácová

K vyučovaniu základov dynamiky špeciálnej teórie relativity na gymnáziách

2

OBSAH

Úvod .................................................................................................................................

3

I. kapitola ........................................................................................................................

6

Priestor a čas ................................................................................................................

6

Princíp relativity ......................................................................................................................

6

Rýchlosť svetla je absolútna a konštantná ................................................................................

7

Absolútnosť rýchlosti svetla a relativita súčasnosti ...................................................................

8

Dilatácia času .......................................................................................................................... 10 Kontrakcia dĺžok ..................................................................................................................... 12 Lorentzove transformácie ......................................................................................................... 13 Odvodenie Lorentzových transformácií .................................................................................... 14 Transformácia rýchlosti ........................................................................................................... 15

II. kapitola ........................................................................................................................ 18 III. kapitola ........................................................................................................................ 24 IV. kapitola ........................................................................................................................ 29 Dodatok ............................................................................................................................ 35 A ................................................................................................................................. 35 B .................................................................................................................................. 36 C .................................................................................................................................. 36 D ................................................................................................................................. 37 Záver ................................................................................................................................. 39 Literatúra .......................................................................................................................... 42

3

Úvod

Dnešnú modernú fyziku si nevieme predstaviť bez teórie relativity, ktorá je dnes už dobre preverenou vedou (najmä teória relativity v inerciálnych súradnicových systémoch resp. špeciálna teória relativity, vo všeobecnej teórii relativity možno očakávať ešte další vývoj). Zatiaľ sa nenašlo nič, čo by jej protirečilo. Špeciálnej teórii relativity (ŠTR) ide navyše o efekty, ktoré sa v prírode skutočne pozorujú a dajú sa aplikovať v rôznych oblastiach fyziky. Základné myšlienky tejto modernej teórie mali podstatný vplyv nielen na fyzikálne, ale vôbec prírodné vedy, filozofiu a modernú techniku a obohatili myslenie a kultúru človeka. Preto je úplne samozrejmé, že ŠTR bola zaradená do učebných osnov fyziky na gymnáziách a v súčasnosti je obsiahnutá v Dodatku ku gymnaziálnej učebnici a v pripravovanom programe učebnej látky je zahrnutá priamo do učebných osnov. V budúcnosti možno očakávať prehĺbenie vyučovania ŠTR, prípadne zaradenie rozsiahlejšej výučby do nepovinného vyučovania fyziky. Navyše je ŠTR atraktívnou témou pre semináre z fyziky vo IV. ročníku alebo pre prácu nepovinných krúžkov z fyziky. ŠTR je na stredných školách veľkým prínosom pre vyučovanie fyziky. Súčasný rozvoj fyziky, ale i svetový trend vo výučbe fyziky na stredných školách si vyžaduje, aby sa aj u nás venovala tejto problematike väčšia pozornosť. ŠTR sama o sebe má veľa predností. Je typickým príkladom teórie, ktorá na prvý pohľad odporuje „zdravému rozumu“, čím podstatne prispieva k rozvíjaniu fyzikálneho myslenia žiakov. Svojím obsahom prehlbuje fyzikálne vedomosti žiakov, rozvíja schopnosť samostatne skúmať a posudzovať javy v rôznych podmienkach a predovšetkým ovplyvňuje predstavy žiakov o priestore a čase, čím prispieva k vytváraniu vedeckého svetonázoru. Výklad ŠTR možno rozdeliť zhruba do dvoch častí. Prvou z nich je kinematika, ktorá obsahuje základy ŠTR po Lorentzove transformácie a relativistické skladanie rýchlostí, druhá sa zaoberá dynamikou t. j. prakticky relativistickým vyjadrením hybnosti častice, hmotnosti, vzťahom medzi hmotnosťou a energiou a niekoľkými prípadmi pohybu častice s rýchlosťami len o málo menšími ako je rýchlosť svetla. Jednou stránkou samotného vyučovania ŠTR je otázka, ako a kam, za aký tematický celok, treba zaradiť ŠTR , s čím súvisí potom i celkové poňatie tejto teórie ako učiva. Druhou stránkou výkladu je obsah a poradie jednotlivých častí, spôsob vysvetľovania podstatných pojmov a hĺbka vysvetľovaných poznatkov. Všeobecne sa konštatuje, že sú určité ťažkosti s vyučovaním ŠTR, ktoré možno zhrnúť takto. Historický vývoj ŠTR sám o sebe bol síce perfektne logický, ale značne dlhý, vo výučbe ho treba vhodne skrátiť. Pritom treba vybrať podstatné veci tak, aby sa nenarušila logická stavba a jednota teórie ako celku t. j. jednoducho a jasne formulovať základné myšlienky a spojiť ich rozhodujúcimi momentmi vývinu tejto teórie. Ďalej teória relativity sa dá vykladať matematickou cestou, ale dá sa podať i ako krásna fyzika. Primárnou by mala byť u fyzika druhá alternatíva, a to si treba uvedomiť pred začatím výkladu. Vyriešenie oboch spomínaných ťažkostí je vecou vkusu pedagóga, preto je tu rôznorodosť názorov a postupov. Podstatnú ťažkosť treba však vidieť v tom, že máme príliš hlboko zakorenený názor na priestor a čas z Newtonovskej fyziky, že mnohé dosiahnuté výsledky sa nám zdajú čudné, hoci úplne súhlasia s experimentálnymi faktami iba preto, že odporujú „zdravému rozumu“. Pritom si neuvedomujeme, že „zdravý rozum“ nie je nič iné, ako jednoduché zovšeobecnenie našich predstáv a zvyklostí v dennom živote, je to určitá úroveň chápania, odrážajúca úroveň pokusu. V tomto zmysle treba viesť žiakov k správnemu chápaniu tejto teórie. Vyučovanie kinematiky sa pokladá za jednoduchšie a menej náročné na pochopenie a predstavu ako vyučovanie dynamiky. Hlavnou úlohou predkladanej diplomovej práce je uviesť niekoľko možných známych postupov vyučovania dynamiky ŠTR a posúdiť ich z hľadiska vyučovania na gymnáziách. V niektorých prípadoch navrhneme tiež zjednodušené a fyzikálne názornejšie modifikácie známych postupov. Týka sa to napr. 4

vzťahov pre energiu a hybnosť pohybujúceho sa telesa (časť o dvojfotónovom rozpade pozitrónia a niektoré ďalšie). Prvá časť diplomovej práce tvorí I. kapitolu a je pre úplnosť venovaná kinematike ŠTR. Poradie výkladu a jeho logická štruktúra je takáto: – priestor a čas, – konštantnosť rýchlosti svetla ako hlboký a principiálne nový fyzikálny poznatok, – relatívnosť súčasnosti ako dôsledok toho, že rýchlosť svetla je absolútna a konštantná, – dilatácia času, – kontrakcia dĺžok, – Lorentzove transformácie, – relativistické skladanie rýchlostí. Diskusia v tejto kapitole je často len veľmi stručná a postupy nie sú podrobne rozpracované. Z uvedeného poradia by sme radi upozornili na to, že dilatáciu času a kontrakciu dĺžok sme oproti tradične používaným postupom zaradili už pred Lorentzovu transformáciu, ktorá vyplynie ako ich dôsledok. Tento postup sa nám zdá oveľa fyzikálnejší ako bežný prístup, v ktorom sa formálne odvodí Lorentzova transformácia a až potom sa príde ku kontrakcii dĺžok a dilatácii času ako jej dôsledku. Základnou myšlienkou však zostáva krok absolútnosť rýchlosti svetla Þ relatívnosť súčasnosti; navrhujeme ešte, že v každom prípade, či pôjde o výklad kinematiky ŠTR v povinnom vyučovaní alebo na nepovinných seminároch a krúžkoch z fyziky, mal by mu predchádzať úvod do ŠTR ako samostatnej vednej disciplíny s vhodnou motiváciou tejto problematiky ako učiva. Jeho obsahom by mohlo byť uvedenie niektorých nových javov a experimentov zo súčasnosti, v ktorých sa typicky prejavujú relativistické vlastnosti napr. závislosť doby života m-mezónu od jeho rýchlosti (v ≈ c), alebo na princípe kruhového urýchľovača ukázať, že hmotnosť urýchľovanej častice závisí od jej rýchlosti... Druhá časť diplomovej práce sú skladá z troch kapitol. Každá z nich je venovaná tomu istému – dynamike ŠTR, ale v každej z nich ukazujeme iný prístup. Fyzika je napokon vo všetkých troch rovnaká, ale postupom a pedagogicky sa odlišujú. V prvom postupe (II. kapitola) rozoberáme pokus, ktorý pochádza od Einsteina a ktorý je známy ako klasický „Einsteinov vagón“. Využijúc poznatok, podľa ktorého sa poloha ťažiska izolovanej sústavy nedá zmeniť žiadnym procesom, prebiehajúcim vo vnútri sústavy, ukážeme ekvivalenciu hmotnosti a energie E = mc 2 a odtiaľ prejdeme k odvodeniu vzťahu m=

m0 1 - v 2 /c 2

Potom zavedieme relativistický vzťah pre hybnosť častice p=

m0 v 1 - v 2 /c 2

Tým máme odvodené základné dynamické vzťahy ŠTR. Na ich upevnenie uvádzame ďalej viacero príkladov – energia a hmotnosť plynu uzavretého v nádobe v závislosti od teploty, nepružná zrážka dvoch telies… V druhom postupe (III. kapitola) sa odvodenia vzťahov vzájomne dopĺňajú a prelínajú. Tematicky sa viaže táto kapitola najmä na poznatky z mechaniky a jej cieľom bolo ukázať viac spôsobov výkladu z tohto hľadiska. Najprv uvádzame nepružnú zrážku gule s nepohyblivou stenou, z ktorej prichádzame k relativistickej závislosti hmotnosti od rýchlosti m=

m0 1 - v 2 /c 2

čo nám umožňuje prejsť k vyjadreniu relativistickej hybnosti. Z tohto matematickou cestou odvodíme vzťah E = mc 2. Nepružnou zrážkou dvoch gulí ukážeme trochu odlišný postup a upevníme odvodené vzťahy. 5

V treťom postupe (IV. kapitola) volíme netradičný výklad. Najprv uvádzame pozdĺžny Dopplerov jav, ktorým prichádzame k transformácii energie fotónu E¢ =

1- b 1- b 2

E

Využitím tohto vzťahu v prípade rozpadu pozitrónia na dva fotóny prídeme k vyjadreniu energie pozitrónia v tvare E¢ =

m0 c 2 1- b 2

a relativistickému výrazu pre hybnosť sústavy. Postup je analogický s pôvodným Einsteinovým odvodením. V závere posúdime spomínané postupy z metodického hľadiska a z hľadiska možností použitia na strednej škole. V dodatku uvedieme grafické závislosti a niektoré matematické úpravy.

6

I. KAPITOLA

Priestor a čas Priestor je zaplnený hmotou, je jednou z foriem existencie hmoty. Preto hovoriť o priestore bez hmoty nemá význam. Priestor je daný existenciou a vlastnosťami tuhých telies a základnými charakteristikami pohybu telies a ich interakcií. Rovnako čas ako forma existencie hmoty je viazaný na hmotu. Pojem času nemá zmysel bez reálnych procesov v materiálnych objektoch. Čas je daný jednak periodickými procesmi, no môže byť meraný i pomocou exponenciálnych dejov (rádioaktívnych rozpadov, rastu vlasov…). Takéto poňatie priestoru a času nebolo vždy samozrejmé, pretože sa musela prekonávať predstava absolútneho priestoru ako miesta všetkých predmetov, existujúcich nezávisle od telies a hmoty vôbec. Takéto ponímanie priestoru je metafyzické, pripisuje priestoru osobitnú realitu bez vzťahu k reálnym telesám, odtŕha priestor od času, pohybu a hmotnosti. Táto predstava priestoru bola značne posilnená geometriou a Descartésovou súradnicovou sústavou a presadzoval ju i I. Newton, ktorý v absolútnom priestore zaviedol i svoju dynamiku. Napriek tomu, že sa ukázalo, že fyzikálny priestor je poznateľný len v dôsledku toho, že je značkovaný telesami, ktoré volíme za vzťažné a vzhľadom k nim určujeme polohu a pohyb iného telesa a že sa zavádza pojem relatívneho priestoru, ostáva predstava absolútneho priestoru dlho používaná. S pojmom absolútneho priestoru bol spojený i pojem absolútneho času, chápaného Newtonom ako čas, ktorý plynie rovnomerne a nezávisle od akýchkoľvek dejov. Na rozdiel od odlišných súradníc polohy v rôznych relatívnych priestoroch je podľa neho čas spoločný všetkým sústavám t. j. t = t'. Tento predpoklad sa stretol neskôr s problémom synchronizácie hodín nachádzajúcich sa v rôznych inerciálnych sústavách. V Newtonovej mechanike rýchlosť pohybu hmotného telesa nebola principiálne zhora obmedzená, V princípe bola teda možná absolútna synchronizácia hodín v dvoch rôznych súradnicových sústavách. Neskôr sa ale ukázalo, že rýchlosť pohybu telesa je zhora ohraničená a že maximálna možná rýchlosť je rýchlosť šírenia sa svetla vo vákuu. Rýchlosť svetla je navyše absolútnou konštantou. Ako ukázal Einstein, táto skutočnosť vedie priamo k relatívnosti súčasnosti dvoch udalosti a ukazuje zároveň, že absolútny čas nemožno konzistentne zaviesť. S predstavou absolútneho priestoru a času sa vyvíjala súčasne predstava priestoru, ku ktorej sa z fyzikov prikláňal Hyegens. Táto chápala priestor ako všeobecnú vlastnosť sveta, ako poriadok existencie predmetov, ktorý sa odvodzuje z polohových a pohybových vzťahov predmetov. Pomocou nej sa dali lepšie vysvetliť javy a zákony, v ktorých vystupujú súradnice polohy a čas symetricky. Išlo najmä o teóriu elektromagnetického poľa, kde napr. vlnenie bolo typickým časopriestorovým dejom. Elektrodynamika urýchlila vývin predstavy priestoru v časopriestor, v ktorom je vždy poloha spojená s časom. Nejaké miesto môžeme pozorovať len v istom čase a keď odčitujeme čas, tak sa to deje na niektorom mieste priestoru. Priestor a čas tvoria jednotu, pomocou ktorej sa dá najlepšie vyjadriť fyzikálne dianie. Fyzikálne základy súčasných predstáv o priestore a čase sformuloval Albert Einstein v roku 1905 a vyjadril v teórii relativity. Táto potvrdila, že priestor a čas nemožno odtrhnúť od vlastností pohybujúcich sa telies a priniesla nové vlastnosti priestoru a času. Matematická formulácia priestoru a času odpovedajúca myšlienkam teórie relativity v inerciálnych súradnicových systémoch t. j. ŠTR pochádza od G. Minkovského z roku 1908.

Princíp relativity Mechanický pohyb každého telesa môžeme charakterizovať Newtonovými pohybovými zákonmi. Pohyb telesa v priestore pozorujeme vždy v určitej vzťažnej sústave a teda opis pohybu tohto telesa 7

závisí od toho, v akej vzťažnej sústave ho pozorujeme. Zaujíma nás, či zostávajú pohybové zákony v platnosti bez ohľadu na to, či sa sústava, v ktorej pohyb pozorujeme sama pohybuje a ako, alebo sa nepohybuje. Dá sa dokázať, že ak máme dve súradnicové sústavy, z ktorých jedna je v pokoji a druhá sa vzhľadom k nej pohybuje rovnomerne priamočiaro, v oboch platí prvý i druhý Newtonov zákon v nezmenenej forme. Zo skúsenosti vieme, že existujú vzťažné sústavy, v ktorých pre všetky mechanické deje platia Newtonove zákony. Nazývame ich inerciálne sústavy (zotrvačné), pretože ich základnou vlastnosťou je, že v nich platí princíp zotrvačnosti (zotrvačnosť latinsky inertia). Vzťažné sústavy spojené s telesom, ktoré sa vzhľadom k inerciálnej vzťažnej sústave pohybujú zrýchlene alebo spomalene sú neinerciálne. Vzťažná sústava pevne spojená so stálicami je inerciálna. Napr. heliocentrická sústava, ktorej začiatok je v strede Slnka a jej osi smerujú k určitým stáliciam, má s veľkou presnosťou vlastnosti inerciálnej sústavy. K inerciálnym sústavám patrí s dostatočnou presnosťou i geocentrická sústava t. j. vzťažná sústava pevne spojená so Zemou. Vzťažná sústava, ktorá je vzhľadom k inerciálnej v pokoji alebo v rovnomerne priamočiarom pohybe je tiež inerciálna. Ako sme už uviedli, mnohé pokusy a príklady zo života ukazujú, že rovnomerne priamočiary pohyb súradnicového systému nevplýva na zákony pohybu telies, ktoré sa v ňom nachádzajú. Celkove možno povedať: Nijakými mechanickými pokusmi vykonanými vo vnútri sústavy nemožno rozhodnúť. Či je inerciálna sústava v pokoji, alebo sa pohybuje rovnomerne a priamočiaro vzhľadom na inú. Všetky inerciálne sústavy sú z hľadiska dynamického úplne rovnocenné. Každú z nich možno vyhlásiť za nehybnú a vzťahovať na ňu pohyb ostatných inerciálnych sústav. To je obsah Galileiho princípu relativity, ktorý možno vyjadriť i takto: Vo všetkých súradnicových systémoch, ktoré sa navzájom pohybujú rovnomerne priamočiaro, prebiehajú pohyby telies podľa rovnakých zákonov. Poznámka 1. Táto kapitola je v doplnku k učivu fyziky pre I. ročník gymnázia zaradená za Newtonove pohybové zákony.

Rýchlosť svetla je absolútna a konštantná Princíp relativity pohybu platí pre všetky druhy pohybu, to znamená, že musí platiť i pre šírenie svetla. Svetlo sa však vyznačuje zvláštnymi vlastnosťami, ktoré iné druhy pohybu nemajú, a preto sa na prvý pohľad zdalo, že šírenie svetla protirečí uvedenému princípu. Najskôr uvedieme vlastnosti šírenia sa svetla. Svetlo sa nešíri okamžite, hoci sa šíri kolosálnou rýchlosťou – 300 000 km/s. Táto rýchlosť sa dá ťažko postihnúť, pretože v dennom živote sa stretávame s neporovnateľne menšími rýchlosťami. Rýchlosť svetla sa vyznačuje prísnou stálosťou. Zatiaľ, čo napr. rýchlosť strely závisí od konštrukcie zbrane a vlastností pušného prachu, svetelná rýchlosť je rovnaká pri všetkých zdrojoch svetla. Svetlo sa šíri i v nehmotnom prostredí a na rozdiel od všetkých iných pohybov má tú dôležitú vlastnosť, že vo vákuu ho nemožno ani urýchliť, ani spomaliť. Ale, ak svetlo prechádza napr. sklom, pohybuje sa v ňom pomalšie, ako vo vákuu. Avšak po vyjdení zo skla pôjde znovu rýchlosťou 300 000 km/s. Letiaca strela sa oproti tomu po prejdení sklom bude pohybovať pomalšie ako pred nárazom do skla, lebo pri prechode stratí časť svojej kinetickej energie. Pri určovaní vlastností šírenia sa svetla v pohybujúcich a nepohybujúcich sa súradnicových sústavách sa robili rôzne úvahy, ktoré vychádzali z predstáv, že rýchlosť svetla vzhľadom k súradnicovej sústave, ktorá sa pohybuje rýchlosťou v voči zdroju svetla, by mala byť podľa „zdravého rozumu“ určená vzťahom c ± v podľa smeru pohybu. To znamená, že ak by sme sa nachádzali v prednej časti vlaku, ktorý sa pohybuje veľkou rýchlosťou v a na konci vlaku sa rozsvieti lampa, čas, ktorý potrebuje svetlo na to, aby sa dostalo od zadného konca vlaku k prednému bude iný, ako čas v prípade, ak by sa lampa nachádzala v prednej časti vlaku a svetlo by postupovalo v opačnom smere. Zdalo by sa nám, že v prvou prípade sa svetlo bude pohybovať len rýchlosťou c − v a v druhom c + v. To by ale znamenalo, že v pohybujúcom sa vlaku by sa svetlo šírilo do rôznych smerov rôznymi rýchlosťami, naproti tomu v nehybnom vlaku je táto rýchlosť rovnaká v oboch smeroch. Tento záver protirečí princípu relativity. 8

Inak je to v prípadu strely. Ak strieľame vo vlaku v smere pohybu alebo proti smeru, rýchlosť strely vzhľadom na steny vagóna je vždy rovnaká – rovná sa rýchlosti strely v nehybnom vlaku. Je to preto, že rýchlosť strely závisí od rýchlosti zbrane. Rýchlosť svetla sa však nemení so zmenou rýchlosti zdroja. Uvedené úvahy týkajúce sa rýchlosti svetla v pohybujúcich sa súradnicových sústavách neboli správne. Experimentálne sa dokázalo, že rýchlosť svetla je c = 300 000 km/s (merania Römera a Bradleyho z aberácie hviezd; pokusy Fizeaua, Foucalta, Michelsona; merania objemovými rezonátormi a radarmi), je absolútna, nezávisí od pohybu zdroja ani pozorovateľa, nezávisí od rýchlosti prostredia, v ktorom sa šíri vo všetkých smeroch rovnako. Tento fakt sa stal základným kameňom relativistického formulovania fyzikálnych zákonov. Predchádzalo mu viacero pokusov, ktoré vyvrátili predchádzajúce teórie (teória éteru,…). Najpresvedčivejší bol pokus A. A. Michelsona a E. W. Morleyho v roku 1381, ktorý jednoznačne dokázal, že rýchlosť svetla je absolútna. Medzi zaujímavé pokusy tohto druhu patrí napr. experiment Sadeho (pozri lit. [4] s. 358), v ktorom ukázal, že rýchlosť g – lúčov, vysielaných zdrojom pohybujúcim sa rýchlosťou 1/2 c, ostáva konštantná s presnosťou – 10 % nezávisle od rýchlosti pohybu zdroja. Uvedené poznatky sú vyjadrené v druhom princípe relativity – v princípe nezávislosti šírenia sa svetla: rýchlosť svetla vo vákuu je invariantná pre všetky inerciálne systémy súradníc.

Absolútnosť rýchlosti svetla a relativita súčasnosti Galileiho princíp relativity doplnený poznatkom o absolútnosti rýchlosti svetla vo vákuu viedli k novým predstavám o priestore a čase. Prv ako uvedieme dôsledky týchto poznatkov, rozoberieme si pojem súčasnosti. Nech sú v priestore v bode A umiestnené hodiny. Pozorovateľ, nachádzajúci sa v bode A, môže určiť hodnoty času pre udalosti odohrávajúce sa v blízkosti bodu A. Každej udalosti v momente pozorovania odpovedá určitá poloha ručičiek na hodinách – meranie času je založené na pozorovaní dvoch súčasných dejov, udalosti a polohy ručičiek. Podobne, ak sú v druhom bode priestoru B také isté hodiny, vie pozorovateľ v bode B určiť čas pre udalosti v blízkosti bodu B. Vieme určiť čas v bode A i v bode B. Ako však porovnáme časy pre udalosti v bodoch A a B. Najprv definujeme, že čas potrebný pre prechod svetla z A do B sa rovná času potrebnému pre prechod svetla z B do A. Zoberme sústavu, v ktorej sa hodiny umiestnené v bode A i hodiny umiestnené v bode B nachádzajú v pokoji. V momente, keď hodiny v bode A ukazujú čas tA, vyjde z bodu A svetelný lúč smerom k bodu B. Do bodu B dopadne a zároveň sa odráža v okamihu, keď hodiny v touto bode ukazujú čas tB. Do bodu A sa znovu dostane v momente t'A, určenom vzhľadom na čas meraný hodinami v A. Hodiny v bodoch A a B budú synchronizované, ak tB − tA = t'A − tB Synchrónnosť hodín znamená, že udalosti, ktorým zodpovedá rovnaká poloha ručičiek, prebiehajú súčasne. Takto sme stanovili, čo rozumieme pod synchronizáciou hodín, nachádzajúcich sa v pokoji v rôznych miestach priestoru a určili predstavu pojmu súčasnosti a času. Skúmajme súčasnosť dvoch udalostí v pohybujúcich sa súradnicových systémoch. Sledujme takýto pokus. Vlak sa pohybuje rovnomerne priamočiaro rýchlosťou v. Nech sa v určitom okamihu v strede vlaku zažne lampa. Zaujíma nás, či svetlo dorazí na obidva konce vlaku súčasne z hľadiska pozorovateľa vo vlaku i z hľadiska pozorovateľa na nástupišti. Rozoberme oba prípady najprv z hľadiska klasickej fyziky. Rýchlosť svetla pre pozorovateľa vo vlaku je v oboch smeroch c, takže podľa neho dorazí svetlo na oba konce vlaku súčasne, (zdroj je umiestnený v strede). V druhom prípade je situácia takáto (obr. 1):

9

Obr. 1

Voči pozorovateľovi v sústave S' (nástupište) je rýchlosť svetla v pravej časti vlaku rovná súčtu vlastnej rýchlosti svetla a rýchlosti vlaku, teda c + v a v ľavej c − v. Nech svetlo dopadne na prednú stenu vagóna za čas t1. Za tento čas vagón prejde vzdialenosť x = vt1 t. j. pre pozorovateľa na nástupišti o túto vzdialenosť predná stena vagóna ubehne pred prichádzajúcim svetlom a zadná sa priblíži. Nech t0 je čas, za ktorý svetlo dorazí k zadnej stene vagóna. Matematicky vyjadríme oba časy takto: t1 =

L+ x c+v

(1)

L-x t2 = c-v Za x dosadíme vt1 a máme: t1 =

L + vt1 c+v

t1(c + v) − vt1 = L t1c = L t1 =

L c

(2)

podobne t2 =

L - vt1 L - vL/c L = = c-v c-v c

Porovnaním (2) a (3) dostaneme: t1 = t2. Teda i pre pozorovateľa na nástupišti dorazí svetlo súčasne na oba konce vlaku. Klasické úvahy vychádzali z predstavy existencie nehmotného špeciálneho prostredia tzv. éteru, v ktorom sa svetlo šíri podobne ako zvuk vo vzduchu. Predpokladalo sa, že nepohybujúci sa éter, vyplňujúci celý priestor, je univerzálnou vzťažnou sústavou, vzhľadom ku ktorej môžeme skúmať každý pohyb. Rýchlosti merané vzhľadom k tejto sústave sa považovali za absolútne, teda ak sa náš vlak voči éteru nepohybuje, svetlo sa šíri do oboch smerov rovnakou rýchlosťou. Pohyb vlaku voči éteru sa však prejaví zmenou rýchlosti svetla – svetlo sa šíri prostredím, ktoré nie je unášané vlakom. Podľa ŠTR je rýchlosť svetla absolútna, teda pre oboch pozorovateľov sa rovná c. Takže pre pozorovateľa na nástupišti predný koniec vlaku uteká pred svetlom rýchlosťou v a zadný koniec sa blíži k svetlu rýchlosťou v. Pre neho svetlo najskôr dorazí k zadnému koncu vlaku a potom k prednému.

10

Takto dve celkom rovnaké udalosti sú pre jedného pozorovateľa súčasné (pre pozorovateľa v sústave S) a pre druhého (v S') oddelená časovým intervalom. Poznámka 2. Matematické vyjadrenie uvedieme za témou kontrakcia dĺžok.

Ak sa dva súradnicové systémy voči sebe pohybujú, potom udalosti v jednom z nich súčasné, musia byť v druhom považované za časovo rôzne. Predstava súčasnosti sa stáva relatívnou, zmysel má len vtedy, keď určíme súradnicovú sústavu, v ktorej o súčasnosti udalostí hovoríme. Udalosti súčasné v jednej súradnicovej sústave nebudú súčasné v inej sústave. Súčasnosť je teda relatívnym pojmom. Je to niečo podobné, ako keď pre jedného človeka sú dve hviezdy pri pozorovaní zo Zeme totožné, no nemusia byť totožné pri pozorovaní z iných bodov priestoru. Časový úsek medzi dvoma udalosťami, ako aj ich priestorová vzdialenosť si vyžadujú, aby sa určil súradnicový systém, v ktorom ich pozorujeme. Objavenie skutočnosti, že čas je relatívny, znamená hlboký prevrat v ľudských predstavách. Relatívnosť času objavil v roku 1905 Albert Einstein a učenie o relatívnosti času a dôsledky, ktoré z neho vyplývajú, nazývame teóriou relativity. Pokusy vyvrátili absolútnosť času, a preto ani prenášanie signálov nemôže byť okamžité. Účinok sa nemôže šíriť z jedného miesta na iné nekonečnou rýchlosťou – nemôže prekročiť určitú konečnú hodnotu, ktorú nazývame hraničnou rýchlosťou. Touto hraničnou rýchlosťou je rýchlosť šírenia sa svetla vo vákua c. Tvrdenie, že rýchlosť nemôže prekročiť danú hranicu, je prírodný zákon, a preto musí byť veľkosť hraničnej rýchlosti rovnaká vo všetkých súradných systémoch, čo pre rýchlosť svetla platí. Objav jestvujúcej hraničnej rýchlosti je jeden z najväčších triumfov ľudského umu a experimentálnych možností človeka. Existujúcim dôkazom toho, že nemožno dosiahnuť rýchlosť väčšiu ako c je pokus Bertocca (pozri lit. [4] s. 359). Záverom možno povedať: Z absolútnosti rýchlosti svetla vyplýva relatívnosť súčasnosti a z relatívnosti času existencia hraničnej rýchlosti c.

Dilatácia času Skúmajme bližšie relatívnosť času na takomto myslenom príklade. Cestujúci nasadne do vlaku, ktorý sa pohybuje veľmi veľkou rýchlosťou 240 000 km/s. Tento myšlienkový experiment nazývame niekedy „Einsteinovým vlakom“. Na nástupnej stanici si pred odchodom vlaku skontroluje svoje hodinky podľa staničných. Po príchode na druhú stanicu vzdialenú povedzme 860 miliónov km však zistí, že jeho hodinky meškajú oproti staničným. Ako to vysvetlíme, ak sú hodinky cestujúceho v úplnou poriadku. Nech cestujúci namieri svetelný lúč z lampy postavenej na podlahe vagóna na povalu vagóna, kde je umiestnené zrkadlo. Pozoruje, že vyslaný lúč sa odráža od zrkadla kolmo naspäť (obr. 2a). Pre pozorovateľa na nástupišti je však dráha lúča iná. Za čas, ktorý potreboval svetelný lúč na to, aby prešiel od lampy k zrkadlu, sa samotné zrkadlo v dôsledku pohybu vlaku premiestnilo. Kým sa bude lúč vracať, lampa sa posunie o tú istú vzdialenosť dopredu (obr. 2b).

Obr. 2a

Obr. 2b

Pre pozorovateľa na nástupišti prešlo svetlo zrejme dlhšiu dráhu ako pre pozorovateľa vo vlaku. rýchlosť svetla je ale absolútna, a preto na nástupišti prešlo medzi vyslaním a návratom lúča viac času ako vo vlaku. Z toho teda vyplýva, že akékoľvek pohybujúce sa hodinky meškajú vzhľadom na hodinky, ktoré sú v pokoji. Na tomto je založený pekný „myšlienkový prístroj – svetelné hodiny“. 11

Poznámka 3. Myšlienkový prístroj je taká vec, ktorá ako prístroj reálne neexistuje, ale je veľmi vhodná na teoretické úvahy.

Nech sa takéto svetelné hodiny nachádzajú v sústave S a sú vzhľadom k nej v pokoji. Sú to dve paralelné zrkadlá umiestnené pevne vo vzájomnej vzdialenosti D. Označme čas, za ktorý prejde v tejto sústave svetelný signál z dolného zrkadla na horné t . Každý dopad svetla na niektoré zo zrkadiel zodpovedá jednému „tiknutiu hodín“. Uvažujme dvoje celkom rovnaké svetelné hodiny tikajúce súčasne v časových intervaloch t = D/c. Uveďme druhé hodiny do pohybu smerom doprava rýchlosťou v a s nimi spojíme súradnicový systém S'. Pozorujeme, že v pohybujúcich sa svetelných hodinách musí svetelný lúč prejsť od jedného zrkadla k druhému dlhšiu dráhu v smere diagonály a potrebuje na to čas t '. Pozorovateľ v pevnej sústave S vidí svetelné hodiny v pohybujúcej sa sústave S' takto (obr. 3):

Obr. 3

Z úvah uvedených na začiatku dostaneme situáciu, ktorú vidíme na obrázku. Z trojuholníka OBA platí: |ct '|2 = |vt '|2 + |ct |2 a potom matematickou úpravou vyjadríme |c 2 − v 2 |t ' 2 = c 2t 2

t ¢2 = t¢ =

1 t2 2 2 1 - v /c 1 1 - v 2 /c 2

t

(4)

Pretože v < c, potom i v/c < 1. Z toho vyplýva, že 1 - v 2 /c 2 < 1

1 - v 2 /c 2 < 1

(5)

Aplikáciou (5) vo vzťahu (4) dostaneme

t' > t

(6)

Vzťah (4) vyjadruje vzájomný vzťah časových intervalov meraných v súradnicových systémoch S a S', z ktorých sa S' pohybuje vzhľadom k pevnému S rýchlosťou v. Zo vzťahu (6) vyplýva: Čas t ', ktorý určuje časové intervaly tikania pohybujúcich sa hodín je dlhší ako t t. j. pohybujúce sa hodiny tikajú pomalšie ako hodiny v pokoji. Tento jav sa nazýva dilatácia času. Pretože je dilatácia času špecifickou vlastnosťou času, spomaľujú sa okrem chodu hodín aj všetky fyzikálne procesy a tiež chemické reakcie, ak prebiehajú v pohybe (starnutie kozmonauta prebieha 12

pomalšie ako na Zemi; rádioaktívny rozpad látok sa spomaľuje, pričom mierou spomalenia je faktor 1 - v 2 /c 2 – tento jav sa pozoroval priamo pri meraní polčasu rozpadu nestabilných elementárnych častíc). Zaujímavým príkladom dilatácie času je rozpad m-mezónu. Polčas rozpadu tejto nestabilnej častice je približne t ≈ 2,2·10−6 s. Pri jeho rýchlosti 2,994·108 m/s (čo je 0,998 c) a tak krátkej dobe života nemôže mezón prejsť viac ako 600 m. A hoci vznikajú mezóny vo vonkajších hladinách atmosféry, priemerne vo výške 10 km, predsa sa s kozmickým žiarením dostanú až k povrchu Zeme. Vysvetlenie: polčas rozpadu resp. doba života pre pozorovateľa mimo mezónu t. j. na Zemi je podľa (4):

t¢ =

2 × 10-6 1 - (0,998c ) /c 2

2

= 31,7 ×10 - 6 s

Za tento čas môže raezón prejsť vzdialenosť okolo 9 500 km. Dilatáciu času nepozorovali len použitím mikroskopických „hodín“ realizovaných nestabilnými elementárnymi časticami, ale i v roku 1960 bol tento jav pozorovaný makroskopickými hodinami založenými na Mösbauerovom jave. Hlavnou myšlienkou uvedeného javu je poznatok: Spomaľovanie chodu hodín je priamym dôsledkom toho, že rýchlosť svetla je konštantná.

Kontrakcia dĺžok Napriek poznatku, že priestor je relatívny, sme doteraz mlčky pripisovali rozmerom telies absolútny charakter. Táto predstava nie je správna. Použitím princípu relativity a princípu stálosti rýchlosti svetla analyzujeme jednoduchý príklad. Nech vlak, ktorý sa pohybuje rovnomerne priamočiaro, prechádza rýchlosťou v popri staničnom nástupišti. Pre pozorovateľa na nástupišti je dĺžka nástupišťa L (je to dĺžka v pevnom, pre pozorovateľa nepohybujúcom sa súradnicovom systéme S). Pre neho prejde vlak od jedného konca nástupišťa po druhý za čas Dt = L/v

(7)

Pre cestujúceho vo vlaku uplynie zatiaľ čas Dt = Dt 1 - v 2 /c 2 počas ktorého sa nástupište okolo neho hýbalo rýchlosťou v. Použitím princípu relativity možno dĺžku nástupišťa ako sa javí cestujúcemu vyjadriť v tvare L' = vDt

(8)

Do vzťahu (8) dosadíme za Dt a upravíme pomocou (7). L' = vDt = vDt 1 - v 2 /c 2 = L 1 - v 2 /c 2 L' = L 1 - v 2 /c 2

(9)

Aplikáciou (5) na vzťah (9) prichádzame k záveru, že L' < L

(10)

Vidíme, že dĺžka nástupišťa je z hľadiska voči nemu nehybného súradnicového systému väčšia ako z hľadiska súradnicového systému, voči ktorému sa nástupište pohybuje rýchlosťou v. Každé pohybujúce sa teleso sa skracuje v smere svojho pohybu 1 - v 2 /c 2 krát, kde v je rýchlosť pohybu telesa. Tento jav sa nazýva kontrakcia dĺžky. Kontrakciu dĺžok pozorujeme už v spomínanom príklade rozpadu m-mezónu. Pozrime sa na tento problém zo vzťažnej sústavy m-mezónu, v ktorej je jeho doba života 2·10−6 s. Zatiaľ, čo na túto strednú 13

dobu života mezónu pohyb nepôsobí, jeho dráha sa nám na Zemi javí skrátená v pomere 1 - v 2 /c 2 . Teda, ak na zemskom povrchu zmeriame výšku vzniku mezónu y0, pre mezón je táto veľkosť rovná y = y0 1 - v 2 /c 2 Ak položíme y = 600 m ako maximálnu vzdialenosť, ktorú môže prejsť mezón vo svojej vlastnej vzťažnej sústave, dostaneme príslušnú vzdialenosť v našej vzťažnej sústave y0 =

600 1 - (0,998c ) 2 /c 2

= 9 500 m

Kontrakciu dĺžok využijeme na odvodenie časového posunutia dvoch udalostí v navzájom sa pohybujúcich súradnicových systémoch. Uvažujme dve súradné sústavy: S – nástupište, S' – vlak pohybujúci sa rýchlosťou v voči nástupišťu – Einsteinov expres. Dĺžka expresu v sústave S' je 2L', v sústave S je to 2L, Potom platí 2 L = 2 L¢ 1 - v 2 /c 2

(11)

pretože dĺžku v pohybe meria pozorovateľ na nástupišti. Nech uprostred expresu blikne lampa. Pre pozorovateľa v sústave S' (vo vnútri expresu) príde svetlo na oba konce expresu súčasne. Ako bude tento jav pozorovať pozorovateľ na nástupišti. Svetlo sa šíri i v sústave S rýchlosťou c, ale relatívna rýchlosť prednej steny expresu a svetla je c – v, takže svetlo doletí dopredu za čas t2 = L/(c – v)

(12)

t1 = L/(c + v)

(13)

a dozadu za čas kde c + v je relatívna rýchlosť zadnej steny expresu a svetla v S. Časový rozdiel Dt bude Dt = t2 – t1 =

L L 2 Lv = 2 c - v c + v c (1 - v 2 /c 2 )

Pri použití (11) ho môžeme vyjadriť v tvare: Dt =

1 1 v v × 2L × = 2 L¢ 2 2 2 2 c 1 - v /c c 1 - v 2 /c 2 Dt =

v 2 L¢ 2 c 1 - v 2 /c 2

(14)

Dve udalosti súčasné v sústave S' sú v sústave S, ktorá sa vzhľadom k nej pohybuje rýchlosťou v posunuté o časový rozdiel Dt, ktorý je vyjadrený vzťahom (14).

Lorentzove transformácie Galileiho princíp relativity platný v klasickej mechanike nebol v súlade s Maxwellovými rovnicami. Rozriešenie tohto rozporu vyžadovalo revidovať buď princíp relativity, alebo Maxwellove rovnice, alebo klasickú mechaniku. Einstein si vybral alternatívu, že princíp relativity je správny, ale zákony a pojmy mechaniky vyžadujú opravu. Zmenil definíciu hmotnosti, energie, hybnosti a najmä základné klasické predstavy o vlastnostiach priestoru a času tak, aby rovnice z náuky o elektrine boli v súhlase s princípom relativity.

14

Hlavným bodom Einsteinovej teórie bol poznatok, že rýchlosť svetla je absolútna. Z toho priamo vyplývala relatívnosť súčasnosti. Einstein vychádzajúc z relatívnosti času dokázal existenciu hraničnej rýchlosti c a použitím všetkých spomínaných faktov objavil nové vlastnosti priestoru a času – kontrakciu dĺžky a dilatáciu času. Táto fyzikálna interpretácia a jej dosah v celej fyzike bola Einsteinovým vlastným prínosom a úplne zatienila matematické vyjadrenie tohto problému, ktorý v podstate rozriešil už niekoľko rokov predtým H. A. Lorentz a ktoré vošlo do fyziky pod názvom Lorentzove transformácie. Prvýkrát tieto vzťahy odvodil v roku 1887 W. Voigt a neskôr v roku 1900 J. Lamor. Obaja však vychádzali z predstavy éteru.

Odvodenie Lorentzových transformácií Uvažujme dve súradné sústavy S a S'. Ich začiatky i súradné osi splývajú. Nech sa sústava S' začne pohybovať v smere osi x' voči sústave S rýchlosťou v a v tomto okamihu začneme merať čas v sústave S (označený bez čiarky). Aká bude poloha bodu A' sústavy S' v sústave S po uplynutí času t. Situáciu znázorňuje obrázok 4:

Obr. 4

Pre pozorovateľa v sústave S' sa x-ová súradnica bodu A' rovná x' t. j. ak má tento pozorovateľ v rukách metrovú tyč, tak ju položí za sebou práve x'-krát od bodu 0 po bod A'. Pre pozorovateľa v sústave S je tá istá metrová tyč skrátená 1 - v 2 /c 2 krát, pretože sústava S' sa pohybuje vzhľadom k tomuto pozorovateľovi rýchlosťou v. Potom vzdialenosť x' bude pre pozorovateľa v S skrátená na x' 1 - v 2 /c 2 . Takže x-ová súradnica bodu A' v S v čase t bude x = vt + x' 1 - v 2 /c 2

(15)

Vyjadrením x' z (15) dostaneme vzťah, ktorý vyjadruje, ako sa menia súradnice bodu pri prechode z pevnej sústavy S do sústavy S' pohybujúcej sa rýchlosťou v – I. Lorentzovu transformáciu: x¢ =

x - vt 1 - v 2 /c 2 y' = y

(16)

z' = z (pri uvedenej polohe osí sa ostatné súradnice nemenia). Podobnou úvahou by sme dostali: x=

x ¢ + vt ¢ 1 - v 2 /c 2 y = y'

(17)

z = z' 15

Druhú Lorentzovu transformáciu dostaneme takto. Znovu uvažujeme dve súradné sústavy S a S', pričom S' sa pohybuje vzhľadom k S rýchlosťou v (obr. 5).

Obr. 5

Nech v sústave S' v bodoch O' a X' v čase t' súčasne bliknú dve baterky, pričom súčasnosť chápeme v zmysle sústavy S'. V sústave S budú bliknutia pozorované v bodoch (x0, t0) a (x, t). Pre prvý blik bude platiť: x0 = vt t¢

t0 =

(18)

1 - v 2 /c 2

Druhý blik bude zaregistrovaný v čase posunutom t = t0 + Dt

(19)

Kde Dt je časový interval, o ktorý sú časovo posunuté dve udalosti v S pozorované v S' ako súčasné, daný vzťahom (14). Po dosadení (18) a (14) do (19) dostaneme t=

t¢ 1 - v 2 /c 2

+

x¢ v 2 c 1 - v 2 /c 2

kde sme namiesto Dx' položili x'. Potom II. Lorentzovu transformáciu vyjadrujúcu transformovanie času dostaneme v tvare t=

t ¢ + vx¢/c 2 1 - v 2 /c 2

(20)

a symetricky t¢ =

t - vx/c 2 1 - v 2 /c 2

(21)

V klasickej fyzike odpovedajú Lorentzovým transformáciám vzťahy: x' = x + vt t' = t

Transformácia rýchlosti Lorentzove transformácie vyjadrujú vzťah súradníc a času v súradnicových systémoch, ktoré sa vzájomne pohybujú v smere osi x a majú tvar (16) a (21). Túto sústavu štyroch rovníc o štyroch neznámych možno riešiť i tak, že pomocou x', y', z', t' vyjadríme x, y, z, t. Tak dostaneme rovnice, ktoré 16

charakterizujú ako vyzerá súradnicový systém „v pokoji“ z pohľadu „pohybujúceho sa“ súradnicového systému t. j. (17) a (20). Riešme takúto úlohu. Nech sa predmet vo vnútri rakety pohybuje rýchlosťou 200 000 km/s, a rýchlosť samotnej rakety je tiež 200 000 km/s. Ako rýchlosťou sa pohybuje predmet z pohľadu vonkajšieho pozorovateľa. Zo zvyku by sme povedali 400 000 km/s, čo však nie je možné, lebo rýchlosť svetla je hraničnou rýchlosťou. Pre skladanie rýchlostí v teórii relativity platia iné vzťahy. Odvodíme si ich v nasledujúcom príklade. Nech sa raketa vzhľadom na Zem pohybuje rýchlosťou v a v nej sa pohybuje predmet rýchlosťou vx' z hľadiska pozorovateľa v rakete (x' preto, lebo uvažujeme tak zvolené súradné systémy, že pohyb má smer osi x). Potom určitú vzdialenosť x', ktorú prejde predmet v rakete za čas t' vyjadríme x' = vx' t'

(22)

Vonkajší pozorovateľ vidí túto dráhu ako x a platí pre ňu prvá Lorentzova transformácia daná vzťahom (17). Po dosadení (22) do (17) dostaneme v x¢ t ¢ + vt ¢

x=

1 - v 2 /c 2

(23)

podobne čas t daný vzťahom (20) nadobudne tvar t=

t ¢ + v ( v x¢ t ¢ ) / c 2 1 - v 2 /c 2

(24)

Rýchlosť predmetu v rakete z hľadiska vonkajšieho pozorovateľa označíme vx. Je daná podielom ním pozorovanej dráhy a času. Použitím (23) a (24) vyjadríme vx vx =

1 - v 2 /c 2 x v x ¢ t ¢ + vt ¢ = 2 t 1 - v 2 /c 2 t ¢(1 + vv x¢ /c ) vx =

v + v x¢ 1 + vv x¢ /c 2

(25)

Vzťah (25) vyjadruje relativistické skladanie rýchlostí v smere osi x. Pre ďalšie dve zložky rýchlosti odvodíme vzťah analogicky. Ukážeme ešte odvodenie relativistického skladania rýchlostí pre zložku vy. Z prvej Lorentzovej transformácie platí y = y'. V sústave S' sa dá y' vyjadriť v tvare y' = vy' t'

(26)

vy = y/t

(27)

V sústave S zasa platí Dosadením (26) a (24) do (27) dostaneme vy =

2 2 y y ¢ v y¢ t ¢ v y¢ t ¢ 1 - v / c = = = t t t t ¢(1 + vv x¢ /c 2 )

takže vy =

v y¢ 1 - v 2 / c 2 1 + vv x¢ /c 2

(28)

Úplne analogicky vz =

v z ¢ 1 - v 2 /c 2 1 + vv x¢ /c 2

(29)

17

Ak je v << c redukujú sa rovnice (25), (28), (29) na klasické vzťahy. Na vyjadrenie vx', vy', vz' stačí zameniť v za −v a čiarkované veličiny za nečiarkované v x¢ =

v y¢ = vz ¢ =

vx - v 1 + vv x /c 2 v y 1 - v 2 /c 2 1 + vv x /c 2

(30)

v z 1 - v 2 /c 2 1 + vv x /c 2

Ukážeme si jednoduché použitia týchto relativistických vzťahov pre skladanie rýchlostí. Nech je vyžiarený svetelný lúč vo vzťažnej sústave S', ktorá sa pohybuje voči S rýchlosťou v (v smere pohybu) t. j. vx' = c. Pozorovateľ v sústave S zmeria rýchlosť vx =

v x¢ + v c+v c(c + v) = = =c 2 2 c+v 1 + vv x¢ /c 1 + vc/c

Pre oboch pozorovateľov má rýchlosť svetla rovnakú hodnotu. Tým sme zároveň overili platnosť postulátu relativity. Nech je rýchlosť telesa vo vnútri sústavy S' c/2 a samotná sústava sa pohybuje rýchlosťou c/2 oproti sústave S. vx =

c/2 + c/2 c(c + v) 4 = = c c+v 5 1 + c 2 /4c 2

Takže výsledná rýchlosť svetla pre pozorovateľa v sústave S je (4/5)c a nie 1 c ako by to vyplývalo z klasického skladania rýchlosti.

18

II. KAPITOLA

Pre výklad dynamiky ŠTR volíme v tejto kapitole nezvyčajný a dosť náročný postup, ktorý si vyžaduje znalosť poznatkov z témy elektromagnetické žiarenie a na prvý pohľad sa zdá jednoduchou úvahovou úlohou na zákony zachovania hybnosti z mechaniky. Rozborom pokusu, ktorý pochádza od Einsteina a je známy ako klasický „Einsteinov vagón“, ukážeme najprv vzájomný vzťah hmotnosti a energie E = mc2. Využitím tohto vzťahu odvodíme v úvahe o pohybe telesa vplyvom pôsobiacej sily F vzťah pre hmotnosť pohybujúceho sa telesa a definujeme relativistickú hybnosť a kinetickú energiu telesa. Uvedením príkladu nepružnej zrážky dvoch telies a skúmaním závislosti hmotnosti plynu uzavretého v balóne od jeho teploty, ukážeme hlbší fyzikálny zmysel a dôsledky relativistických vzťahov. Poznámka J. P. Myšlienkový experiment (A. Einstein – virtuóz Gedankenexperimentu) Myšlienkový experiment je model reálnej situácie, ale idealizovaný model. Jeho cieľom je presvedčiť sa o konzistentnosti niektorých tvrdení alebo odvodenie dôsledkov týchto tvrdení. V istom zmysle je to analogické preverovanie konzistentnosti niekoľkých axiómov v matematike, ale je to iné v tom, že: · v matematike je všetko a priori čisté – bod je bod a „a priori“ neodpovedá ničomu v reálnom svete, · vo fyzike elektrón je realita a niekedy si ju môžme predstaviť ako bod, ale iba niekedy, · myšlienkový experiment je preto realistický, hoci idealizovaný, aby boli pod kontrolou rôzne aproximácie typu – považujme tú a tú časticu za „bodovú“. Myšlienkový experiment má určitý „záves“. To sú fyzikálne tvrdenia, ktoré sa berú ako pravdivé alebo s veľkou pravdepodobnosťou pravdivé. Napríklad to, čo sme robili doteraz sú myšlienkové experimenty zavesené na absolútnosti rýchlosti svetla a na princípe relativity, ale to prvé povýšil na princíp až Einstein. Odtiaľ vyplýva všetko ostatné v relativite. Einsteinov vagón (pôvodne valec) je zavesený najmä na vlastnostiach svetla, ktoré je relativistickým objektom a je dosť známe v istých aspektoch.

Predstavme si uzatvorený vagón s hmotnosťou M a dĺžkou l, umiestnený na dokonale hladkých koľajniciach. Vagón sa nachádza v pokoji. V ňom sú na protiľahlých stranách upevnené dva prístroje zostrojené tak, že I. môže vysielať krátkovlnný svetelný signál v určitom smere a II. úplne pohlcovať prichádzajúci svetelný signál (obr. č. 6).

Obr. 6

Nech v určitom okamihu začne svetelný zdroj I. vysielať svetelný signál v smere pristroja II. Svetelný signál predstavuje určitú dávku svetelnej energie E, ktorej prislúcha hybnosť p=

E c

(31)

Tento vzťah medzi hybnosťou a energiou svetelného záblesku vyplýva z teórie elektromagnetického poľa a experimentálne bol tlak svetelného žiarenia pozorovaný v roku 1901 Lebedevom. V okamihu emisie žiarenia sa vagón pohne na opačnú stranu ako je smer vysielaného lúča, aby celková hybnosť sústavy zostala konštantná. Zastaví sa v momente, keď žiarenie dopadne do prístroja II. absorbuje sa a jeho hybnosť sa vzájomne zruší s hybnosťou vagóna. Pri výmene oboch prístrojov by sa vagón pohyboval naspäť. 19

Ak je celková hmotnosť vagóna M a rýchlosť jeho pohybu v dôsledku udelenej hybnosti je v, tak zo zákona zachovania hybnosti vyplýva Mv = p =

E c

(32)

Zo vzťahu (32) vyjadríme v v=

E Mc

(33)

Vagón sa pohybuje touto rýchlosťou po celý ten čas t, pokým sa svetlo dostane od zdroja I. k absorbéru II. t. j. t=

l c

(34)

kde l je vzdialenosť oboch prístrojov resp. dĺžka vagóna. Za tento čas sa ale vagón posunie vľavo o vzdialenosť x = vt

(35)

Ak do (35) dosadíme vzťahy (33) a (34) dostaneme x=

El Mc 2

(36)

Pod vplyvom vnútorných síl sa ťažisko sústavy vagón – žiarenie nesmie zmeniť, preto musíme predpokladať, že prenos energie od prístroja I. k prístroju II. je sprevádzaný súčasným prenosom hmotnosti v tom istom smere. Ak označíme túto zatiaľ neznámu hmotnosť m, tak posun ťažiska pri takomto rozložení hmotnosti bude Mx − ml Podľa zákona o nehybnosti ťažiska musí sa tento rozdiel rovnať nule t. j. Mx = ml

(37)

Z tohto vzťahu vyjadríme m a za x dosadíme z(36) m=M

x El E =M = l Mlc 2 c 2

(38)

čo môžeme písať i v tvare E = mc 2

(39)

a m je hmotnosť prenášaná fotónom. Vzťah (39) vyjadruje princíp ekvivalencie hmotnosti a energie, ktorý hovorí: Hmotnosť telesa je mierou jeho energie. Ak sa energia telesa zmení o DE, tak jeho hmotnosť sa zmení v tom istom zmysle o DE/c 2 pri meraní energie v ergoch a hmotnosti v gramoch. Poznámka 4. Pri riešení sme využili predpoklad, že „vugón“ je dokonale tuhé teleso t. j. že sa celý začne pohybovať hneď ako dôjde k emisii a celý sa zastaví v okamihu, keď je žiarenie absorbované, čo je značne idealizované.

Zovšeobecnením vzťahu (39) môžme predpokladať, že energiu každého telesa môžme vyjadriť v tomto tvare. Ak máme teda nejaké teleso, ktoré sa nachádza v pokoji, označíme jeho energiu E0 a píšeme E0 = m0 c 2 m0 je hmotnosť telesa v pokoji alebo tzv. pokojová hmotnosť.

20

(40)

Zistime teraz, ako vplýva pohyb telesa na jeho hmotnosť, pričom predpokladáme platnosť vzťahu (39). Skúmajme takýto pokus. Prikladajme k telesu, ktoré je v pokoji, silu, ktorá ho pohne z miesta a udeľuje mu kinetickú energiu. Ak rastie energia, začne rásť i hmotnosť. Pokým pôsobí sila, energia a hmotnosť rastú. Vieme, že rýchlosť vzrastania energie s časom sa rovná súčinu sily a rýchlosti dE = F ×v dt

(41)

Veľkosť sily F určuje druhý Newtonov pohybový zákon, ktorý môžeme písať v tvare F=

d( mv ) dt

1

(42)

Dosaďme vzťahy (39) a (42) určujúce E a F do (41). d( mc 2 ) d( mv ) =v × dt dt

(43)

Riešme túto rovnicu s cieľom vyjadriť m. Rovnicu (43) vynásobíme 2m dm d( mv ) = 2mv × dt dt

c 2 2m

(44)

Aby sme sa zbavili derivácií, celú rovnicu zintegrujeme. Pretože platí 2m 2mv

d m d m2 = dt dt

d( mv) d( mv) 2 = dt dt

rovnicu(44) napíšeme takto c2

d m 2 d( m 2 v 2 ) = dt dt

(45)

Ak sa rovnajú derivácie dvoch veličín, potom sa veličiny môžu odlišovať len o nejakú konštantu c1. Preto c2m2 = m2v2 + c1

(46)

Rovnica (46) musí platiť pri ľubovoľných rýchlostiach. Explicitne určíme c1 zo začiatočných podmienok. Položíme v = 0, v tom prípade hmotnosť m = m0. Takže dostaneme c1 = m02c2 Potom m2c2 = m2v2 + m02c2

(47)

2

Vynásobením rovnice(47) s 1/c a prenesením členov s m na ľavú stranu rovnice dostaneme m2(1 − v2/ c2) = m02

1

Pri tomto je treba bzť opatrný a vysvetliť prečo je m v zátvorke. Einstein už z predchádzajúceho tušil, že m závisí od energie (Einsteinov vagón) a preto si mohol vybrať medzi F = m

d(mv) dv alebo F = . Vybral si to druhé. Treba uviesť komentár dt dt

prečo.

21

odkiaľ m0

m=

1 - v 2 /c 2

= m( v)

(48)

Tento vzťah vyjadruje závislosť hmotnosti od rýchlosti (preto sa niekedy používa i označenie m(v) t. j. hmotnosť závislá od rýchlosti v). Teda hmotnosť telesa nie je vo všeobecnosti veličina konštantná, ale vzrastá s rýchlosťou telesa. Takto chápanú hmotnosť nazývame i relativistickou. Relativistický prírastok hmotnosti je podstatný len pri rýchlostiach blízkych rýchlosti svetla. Dostatočne veľkú rýchlosť pre merateľnosť relativistických efektov majú mikročastice. V súčasnosti vieme napr. urýchliť elektróny na také veľké rýchlosti, pri ktorých sú až niekoľko tisíckrát ťažšie. O. Hahn a W. Kaufman už v roku 1902 pri meraní merného náboja e/m b-častíc metódou parabol zistili, že zapísané stopové krivky nie sú úplne parabolické, čo znamenalo, že merný náboj nebol konštantný. Pretože e je základná atómová konštanta, nestálosť merného náboja môže byť spôsobená len nestálosťou hmotnosti elektrónu. Tým dokázali závislosť hmotnosti elektrónu od rýchlosti. Použitím vzťahu (48) definujeme relativistickú hybnosť p = m( v) v =

m0 v

(49)

1 - v 2 /c 2

V Newtonovej mechanike bola hybnosť úmerná rýchlosti. V relativistickej mechanike sú tiež vo veľkom intervale rýchlostí približne úmerné, pretože

1 - v 2 /c 2 sa málo odlišuje od 1. No keď je

rýchlosť v takmer rovná c, potom sa 1 - v 2 /c 2 takmer rovná 0 a hybnosť rastie do nekonečna. Ak vo vzťahu (39) dosadíme za m relativistickú hmotnosť, dostaneme vyjadrenie energie v tvare E=

m0c 2

(50)

1 - v 2 /c 2

Z tohto vzťahu pre v = 0 dostávame vlastnú, pokojovú energiu telesa E0 = m0 c2. Kinetickú energiu telesa ako energiu pohybu môžme vyjadriť rozdielom Ekin = E − E0 = mc2 − m0 c2. æ ö 1 - 1÷ m0 c 2 Ekin = ç ç - v2 2 ÷ /c è 1 ø

(51)

V nasledujúcich príkladoch si ukážeme použitie relativistických výrazov pre hmotnosť, hybnosť a energiu, ich hlbší fyzikálny zmysel a dôsledky. Skúmajme nepružnú zrážku dvoch rovnakých telies, rovnakej pokojovej hmotnosti m0, ktoré sa proti sebe pohybujú rovnakými rýchlosťami w. Teda do okamihu zrážky majú hmotnosti m0/ 1 - v 2 /c 2 . Pre jednoduchosť predpokladajme, že po ich zrážke vzniká nové teleso s hmotnosťou M, ktoré sa ďalej nerozpadá (obr. 7a, b).

Obr. 7a Pred zrážkou

Obr. 7b Po zrážke

Pozrieme sa teraz na túto zrážku z výťahu, ktorý sa pohybuje veľmi malou rýchlosťou u, orientovanou priečne k rýchlostiam w. Situáciu pred zrážkou a po zrážke budeme vidieť takto (obr. 8a, b):

Obr. 8a

22

Obr. 8b

Horizontálne zložky rýchlosti oboch telies sú vlastne rovné rýchlosti w a vertikálne rýchlosti u. Pre horizontálne zložky rýchlosti je výsledná hybnosť nulová pred i po zrážke. Pre vertikálne zložky platí, že do zrážky je p = 2mw u a po zrážke p' = Mu u Podľa predpokladu je rýchlosť u veľmi malá, takže Mu = M0. Zo zákona zachovania hybnosti vyplýva p = p'

t. j.

M0 = 2mw

To znamená, že hmotnosť telesa vzniknutého nepružnou zrážkou dvoch telies sa nerovná súčtu ich pokojových hmotností 2m0, pretože v okamihu zrážky sa spájajú telesá s väčšou hmotnosťou ako je m0, vyplýva to zo závislosti telesa od jeho rýchlosti. Teleso s hmotnosťou 2m0 by sme dostali, ak by sme obe telesá k sebe priložili. Ak ich však zrazíme, vznikne teleso s hmotnosťou väčšou o prinesenú kinetickú energiu. Zachovanie hybnosti v teórii relativity je teda nevyhnutne sprevádzané zachovaním celkovej energie telesa, a tým i hmotnosti. V teórii relativity existuje teda jediný zákon – zákon zachovania energie – hmotnosti. Nech sa teraz teleso zmeranej hmotnosti M rozpadne na dve rovnaké telesá, pohybujúce sa rýchlosťou w a majúce hmotnosť mw . Po určitom čase sa telesá zastavia a majú hmotnosť m0. Energiu, ktorú odovzdali prostrediu vypočítame použitím predchádzajúcich úvah ako E = (M − 2m0)c 2

(52)

2

lebo každé z telies odovzdá energiu (mw − m0)c a 2 mw = M. Vzťah (52) sa použil i na výpočet množstva energie uvoľnenej jadrovým výbuchom a má veľký význam pri štúdiu jadrových reakcií a vo fyzike elementárnych častíc. V ďalšom príklade budeme skúmať vlastnosti plynu uzavretého v balóne. Ak plyn zahrejeme, rýchlosť molekúl vzrastie, a tým aj ich hmotnosť. Plyn sa stane ťažším. Prírastok hmotnosti určíme takto. Rozložením m0/ 1 - v 2 /c 2 (kde w je rýchlosť pohybu molekúl plynu a m0 je jeho hmotnosť pred zahriatím) do radu podľa binomickej vety. Podľa Newtonovho člena nájdeme vzrasť hmotnosti pri malých rýchlostiach. 1/ 2

æ w2 ö m = m0 çç1 - 2 ÷÷ c ø è

æ 1 w2 3 w4 ö = m0 çç1 + + + L÷÷ 2 4 8 c è 2 c ø

Stačí zobrať prvé dva členy m » m0 +

1 æ1ö m0 w 2 ç 2 ÷ 2 èc ø

(53)

Druhý člen na pravej strane vo vzťahu (53) vyjadruje zväčšenie hmotnosti plynu zvyšovaním rýchlosti častíc. Keď rastie teplota, rastie i rýchlosť w, to znamená, že zväčšenie hmotnosti plynu je úmerné 1 zvýšeniu teploty. Člen rovný m0w2 je kinetická energia v Newtonovom zmysle, t. j. prírastok hmot2 nosti plynu sa rovná prírastku kinetickej energie delenej c2. m = m0 + DEkin/c2 Dm = DEkin/c2 Týmto sa znovu potvrdzuje správnosť Einsteinovho vzťahu vzájomnej väzby energie a hmotnosti.

23

V bežných podmienkach je však Dmi veľmi malé. Typické rýchlosti molekúl plynu pri teplotách okolo niekoľko sto K sú rádovo 500 m·s−1. Odtiaľ máme Dm »

1 æwö mç ÷ 2 ècø

2

2

2 Dm 1 æ w ö 1 æ 5 × 102 ö ÷ » 10 -12 » ç ÷ » çç m 2è c ø 2 è 3 ×108 ÷ø

24

III. KAPITOLA

V tejto kapitole ukážeme niekoľko možných postupov výkladu relativistických vzťahov v dynamike ŠTR pomocou základných relativistických vzťahov kinematiky a poznatkov z mechaniky. Najprv uvedieme jednoduchý príklad – nepružný náraz guľky na stenu, v ktorom odvodíme relativistickú závislosť hmotnosti od rýchlosti telesa. Potom ukážeme dva rôzne postupy odvodenia ekvivalencie hmotnosti a energie. Oba vychádzajú zo vzťahu pre relativistickú hmotnosť a majú matematický charakter. Nakoniec urobíme rozbor pružnej zrážky dvoch bodových telies ako vhodného príkladu, v ktorom ukážeme trochu iný postup pri vysvetľovaní relativistických výrazov a najmä ich vzájomnú fyzikálnu súvislosť. Pozorujme nepružný náraz telieska resp. guľky pokojovej hmotnosti m0 na stenu v pevnej nepohybujúcej sa sústave. Guľka sa pohybuje rýchlosťou u << c a pri dopade zanechá v stene dierku (obr. 9a).

Obr. 9a

Veľkosť dierky je úmerná hybnosti, ktorú guľka odovzdá stene pri náraze, pričom sa prejaví len zložka hybnosti kolmá na stenu (sila od steny pôsobí kolmo na guľku). Túto hybnosť vyjadríme ako p = m0 u

(54)

Teraz sa pozrime na tento náraz zo sústavy, ktorá sa voči predchádzajúcej pohybuje veľkou rýchlosťou v v smere rovnobežnom so stenou (obr. 9b).

Obr. 9b

Rýchlosť guľky v smere kolmom na stenu môžeme teraz vyjadriť ako podiel u¢ =

Dy¢ Dt ¢

ktorý upravíme takto u¢ =

Dy¢ Dy¢ Dt = Dt ¢ Dt Dt ¢

(55)

Pretože u = Dy/Dt a z efektu dilatácie času (4) platí Dt v2 = 1- 2 Dt ¢ c píšeme u¢ = u 1 -

v2 c2

(56)

25

Hybnosť guľky v smere kolmom na stenu z hľadiska pohybujúcej sa sústavy bude p¢ = m¢u ¢ = m¢u 1 - v 2 /c 2

(57)

Dierka je z hľadiska oboch sústav rovnako veľká, preto p' = p Ak do tejto rovnosti dosadíme vzťahy (54), (57) dostávame m'u' = m0u Vyjadríme m' a za u' dosadíme vzťah (56) m¢ =

m0u m0u = u¢ u 1 - v 2 /c 2

Teda m¢ =

m0 1 - v 2 /c 2

= m( v)

(58)

Hmotnosť m(v) vyjadrená vzťahom (58) sa považuje za relativistickú hmotnosť telesa s pokojovou hmotnosťou m0 pri jeho pohybe rýchlosťou v voči pozorovateľovi. Potom hybnosť častice pohybujúcej sa rýchlosťou v je p = m( v) v =

m0 v 1 - v 2 /c 2

Ďalej nás bude zaujímať vzťah medzi hmotnosťou a energiou. Tento vzťah možno odvodiť veľmi jednoducho zo závislosti hmotnosti telesa od jeho rýchlosti. Ak rozvinieme výraz (58) do radu pódia binomickej vety a obmedzíme sa na prvé dva členy rozvoja, dostaneme æ ö v2 m = m0 çç1 + 2 + L÷÷ è 2c ø Úpravou 1 mc2 = m0c2 + mv2 2 alebo 1 2 mv = mc2 − m0c2 (59) 2 Ľavá strana rovnice (59) vyjadruje kinetickú energiu telesa hmotnosti m0 pohybujúceho sa rýchlosťou v. Pri správnom odvodení musí mať i pravá strana rozmer energie. Člen = mc2 = E vyjadruje celkovú energiu telesa a m0c2 = E0 pokojovú energiu telesa, ktoré sa nepohybuje. Ak sa teda zväčší hmotnosť telesa, vzrastie i jeho energia a to o kinetickú energiu. Einsteinov vzťah vzájomnej väzby hmotnosti a energie je jedným z najdôležitejších záverov teórie relativity. Ukážeme preto ešte jeden spôsob odvodenia priamo z definície kinetickej energie pohybujúceho sa telesa ako práce, ktorá sa vykoná pri uvedení telesa z pokoja do daného pohybového stavu. Kinetická energia s

Ekin =

òF ds

(60)

0

kde F je zložka pôsobiacej sily v smere posunutia ds a s je dĺžka dráhy, ktorú prejde teleso vplyvom pôsobenia tejto sily.

26

Druhý Newtonov pohybový zákon môžeme písať v tvare d( mv) dt

F=

Ak použijeme vzťah (58) dostaneme relativistickú pohybovú rovnicu v tvare F=

d æç m0 v ç d t è 1 - v 2 /c 2

ö ÷ ÷ ø

(61)

Dosadením do vzťahu (60) a úpravou dostaneme s

d æç m0 v d t çè 1 - v 2 /c 2 0 s

ò

Ekin = F d s = 0

ò

v ö æ ÷ v d s = v dç m0 v ÷ ç 1 - v 2 /c 2 ø è 0

ò

ö ÷ ÷ ø

Úpravou sme dostali integrál, v ktorom je jedinou premennou v, takže aj integrovať budeme v hraniciach tejto premennej; pri zmene dráhy od 0 po s sa rýchlosť mení v intervale á0, vñ. Integráciou po častiach podľa vzťahu ∫ xdy = xy – ∫ ydx, ak položíme x=y

m0 v

y=

a

1 - v 2 /c 2

dostaneme Ekin = =

v

m0 v 2 1 - v 2 /c 2 m0 v 2 1 - v /c 2

2

- m0

ò 0

vdv

=

1 - v 2 /c 2

m0 v 2

v

- ém0 c 2 1 - v 2 /c 2 ù = êë úû 0 2 2 1 - v /c

- m0 c 2 + m0c 2 1 - v 2 /c 2

Ďalšou úpravou Ekin =

m0 v 2 + m0 c 2 (1 - v 2 /c 2 ) 2

1 - v /c

2

- m0 c 2 =

m0 c 2 2

1 - v /c

2

- m0 c 2 = mc 2 - m0 c 2 = (m - m0 )c 2

Ekin = (m − m0)c2

(62)

Kinetická energia telesa sa rovná prírastku jeho hmotnosti v dôsledku relatívneho pohybu telesa násobenému štvorcom rýchlosti svetla. Vzťah (62) prepíšeme do tvaru mc2 = Ekin + m0c2 kde mc2 interpretujeme ako celkovú energiu telesa E a m0c2 ako pokojovú energiu. Teda okrem kinetickej, potenciálnej, elektromagnetickej, tepelnej a iných známych foriem energie sa energia môže prejavovať ako hmotnosť. Teraz ukážeme veľmi vhodné a jednoduché odvodenie relativistických výrazov pre hmotnosť a hybnosť použitím vzťahu E = mc2. Uvažujme pružnú zrážku dvoch bodových telies v sústave S', ktoré majú rovnakú pokojovú hmotnosť m0 a v tejto sústave sa pohybujú proti sebe rýchlosťami u'1 = u', u'2 = −u' priamočiaro a rovnobežne s osou x'. Nech ide o zrážku dokonale pružnú, takže po zrážke si telesá vymenia rýchlosti. V okamihu zrážky nech sú obe telesá nachádzajúce sa v S' v pokoji. Opíšme okamih zrážky z hľadiska sústavy S. Relatívna rýchlosť S' vzhľadom k S je v. Rýchlosť oboch častíc v S označíme u1, u2, hmotnosti m1, m2 aby sme odlíšili ich možnú závislosť od rýchlosti a M nech je súčet oboch hmotností v okamihu zrážky. Zo zákona zachovania hybnosti platí: p1 + p2 = p, kde p1, p2 sú hybnosti oboch častíc pred zrážkou a môžeme ich vyjadriť v tvare p1 = m1u1,

p2 = m2u2

(63)

27

a p = Mv je hybnosť po zrážke. Takže m1u1 + m2u2 = Mv

(64)

Zákon zachovania energie v našom prípade môžeme písať v tvare E1 + E2 = E

(65)

E1, E2 sú energie častíc pred zrážkou a E je celková energia v okamihu zrážky. Delením rovnice (65) s 1/c2 a využitím vzťahu vzájomnej väzby hmotnosti a energie dostaneme E1 E2 E + = , c2 c2 c2

m1 + m2 = M

(66)

Rýchlosti u1, u2 si môžeme na základe vzťahu (25) pre relativistické skladanie rýchlosti vyjadriť v tvare: u¢ + v 1 + u¢v/c 2 - u¢ + v u2 = 1 - u¢v/c 2 u1 =

(67)

Dosadením (66), (67) do vzťahu (64) dostaneme m1

u¢ + v - u¢ + v + m2 = m1v + m 2 v 2 1 + u¢v/c 1 - u¢v/c 2

Matematickými úpravami (uvedieme ich v dodatku) vyjadríme podiel m1 m2

=

1 + u ¢v/c 2 1 - u ¢v/c 2

(68)

V ďalších úpravách tohto podielu použijeme vzťah 1-

(1 - u12 /c 2 )(1 - v 2 /c 2 ) u12 = c2 1 + u1¢v/c 2

(69)

jeho platnosť dokážeme v dodatku. Vzťah (69) platí aj pre u2. Pomocou tohto vzťahu vyjadríme čitateľa i menovateľa podielu (68) a dosadíme m1 m2

=

1 + (u1¢ ) 2 /c 2 (1 - v 2 /c 2 ) 1 + (u2 ) 2 /c 2 1 + (u¢2 ) 2 /c 2 (1 - v 2 /c 2 ) 1 + (u1 ) 2 /c 2

Pretože (u'1)2 = (u'2)2 platí m1 m2

=

1 + (u 2 ) 2 /c 2 1 + (u1 ) 2 /c 2

(70)

Podľa predpokladu m2 (u2 = 0) = m0. Ak vo vzťahu (70) položíme u2 = 0 dostaneme vzťah m1 =

m0 1 + (u1 ) 2 /c 2

ktorý vyjadruje závislosť hmotnosti prvej častice od jej rýchlosti. 28

(71)

Hybnosť tejto častice dosadením do (63) bude mať tvar p1 = m1u 1 =

m 0u 1 1 + (u1 ) 2 /c 2

a energia E1 = m1c 2 =

m 0c 2 1 + (u1 ) 2 /c 2

Odvodené relativistické výrazy môžeme zovšeobecniť.

29

IV. KAPITOLA

Postup výkladu v tejto kapitole i tematika, o ktorú sa opierame, sú veľmi netradičné. Základnú myšlienku sme prevzali z pôvodnej Einsteinovej práce venovanej vzájomnému vzťahu hmotnosti a energie, realizovali sme ju však pomocou najnovších poznatkov teórie elementárnych častíc a kvantovej optiky. Najprv uvedieme pozdĺžny Dopplerov jav, vyjadrujúci transformáciu frekvencie svetelného signálu pri prechode do súradnej sústavy pohybujúcej sa rýchlosťou v vzhľadom k pôvodnej. Využitím Lorentzových transformácií a poznatkov z teórie elektromagnetického žiarenia odvodíme transformáciu energie fotónu, Na jednoduchom myšlienkovom pokuse stručne charakterizujeme pozitrónium a odvodíme vzájomné vzťahy energie a hmotnosti pozitrónia a fotónov v pevnej súradnej sústave. Použitím transformačných vzťahov pre energiu fotónu prejdeme k relativistickému vyjadreniu energie pozitrónia v pohybujúcej sa súradnej sústave. V ďalšej časti ukážeme vzťahy, ktoré platia pre hybnosti fotónov vzniknutých rozpadom pozitrónia v oboch sústavách a vyjadríme hybnosť pozitrónia ako sústavy dvoch fotónov v pohybujúcej sa súradnej sústave t. j. dostaneme vzťah pre relativistickú hybnosť. Z tohto zavedieme pojem relativistickej hmotnosti telesa. Uvažujme dve súradnicové sústavy S a S'. Ak sa S' pohybuje vzhľadom k S rýchlosťou v v smere osi x, platia Lorentzove vzťahy, ktoré napíšeme v tvare x - vt

x¢ =

t¢ =

b=

1- b 2 t - vx/c 2 1- b 2 v c

Zo začiatku súradnicovej sústavy S vyšleme dva signály. Prvý v čase t1 = 0, druhý v čase t2 = t , pričom predpokladáme, že prvý signál vyšleme v okamihu, keď začiatky sústav S a S' splývajú. Zaujíma nás, kedy sa tieto signály dostanú do začiatku súradnicovej sústavy S', ak sa šíria rýchlosťou svetla c. Prvý signál sa objaví v začiatku sústavy S' v čase t'1 = 0. Druhý signál je vypustený v čase t2. Za tento čas sa začiatok súradnicovej sústavy S' posunul o vzdialenosť x', takže v okamihu vyslania druhého signálu je situácia podľa obr. 10a.

Obr. 10a

x2 = vt2 = vt 30

Druhý signál dobehne začiatok súradnicovej sústavy S' v bode s x-ovou súradnicou x3 (obr. 10b).

Obr. 10b

Takže platí rovnosť x3 x3 - x2 x3 - vt 2 = = c v v

(72)

Zo vzťahu (72) vyjadríme x3. x3v = x3c − vct2 x3(c − v) = vct2 x3 =

(73)

vc v t2 = t c-v 1 - v/ c

Druhý signál dorazí do začiatku súradnicovej sústavy S' v čase t3 = t2 +

x3 c

Dosadením vzťahu (73) dostaneme t3 = t +

vt /c t = 1 - v/c 1 - v/c

(74)

Teda v sústave S dosiahne signál začiatok sústavy S' v mieste x3 a čase t3, ktoré sú určené vzťahmi (73), (74). V sústave S' odpovedá miestu registrácie signálu súradnica x'3 a čas t'3. Použitím Lorentzových transformácií pre ne platí x'3 = 0 1 æ v2 ö t v vt ç1 - ÷ - 2 1 - v/c çè c 2 ÷ø 1 v / c 1 v / c c t3¢ = t = 1- b 2 1- b 2 Ďalšou úpravou t3¢ =

1- b 2 (1 - b ) 1 - b

2

t =t

1+ b 1- b

Časový interval medzi oboma signálmi je v sústave S' daný vzťahom t'3 − t'1 = t'3 = t ' (označíme t ') a teda 1+ b t¢ = t (75) 1- b 31

Poznámka 5. Vzťah (75) môžeme zovšeobecniť takto. Ak je v začiatku sústavy S človek, ktorý bliká baterkou v pravidelných intervaloch 0, t, 2t, …, nt, pozorovateľ v začiatku sústavy S' registruje záblesky v čase 0, t ', 2t ', …, nt ' a medzi t a t ' platí vzťah (75). Frekvencia tohto periodického procesu v sústave S je f = 1/t a v sústave S' je f ' = 1/t '. Takže 1t 1+ b f¢= =f t t¢ 1- b Takto sa bude transformovať frekvencia každého periodického procesu, ktorý sa šíri rýchlosťou svetla.

Ak uvažujeme periodické vysielanie signálov, potom frekvencia w (w') je úmerná 1/t (1/t ') a zo vzťahu (75) vyplýva

w¢ = w

1- b 1- b =w 1+ b 1- b 2

(76)

Rovnica (76) opisuje relativistický Dopplerov jav pre svetelné vlny vo vákuu. Priamo môžeme prísť k tomuto vzťahu i tak, že budeme skúmať frekvenciu svetla vysielaného zdrojom v pokoji a v pohybe vzhľadom k pozorovateľovi. Nech zdroj predstavuje atóm v pokoji, kmitajúci so svojou vlastnou frekvenciou w0. Vtedy i frekvencia pozorovaného svetla bude w0. Vezmime druhý príklad. Nech taký istý zdroj vysiela svetlo s frekvenciou w1 pričom sa pohybuje smerom k pozorovateľovi rýchlosťou v. Vtedy počet kmitov s frekvenciou w1, ktoré prebehli za časový interval Dt sa z hľadiska novej sústavy v dôsledku skrátenia vlnovej dĺžky lzdroj na lpoz = lzdroj (1 − v/c) „natlačia“ do intervalu (1 − v/c)Dt ; zo vzájomného vzťahu w, T, l

w=

2 p 2p = c T l

vyplýva, že pozorovateľ uvidí svetlo s väčšou frekvenciou (w1)poz (w1)poz = w 1

1 1 - v/ c

Je nám ale známe, že medzi vlastnou frekvenciou pohybujúceho sa zdroja w1 a vlastnou frekvenciou zdroja v pokoji w0 je v dôsledku dilatácie času vzťah

w1 = w 0 1 - v 2 /c 2 Takže pozorovateľ registruje frekvenciu (w1)poz =

w 0 1 - v 2 /c 2 1+ b 1+ b = w0 = w0 1 - v/ c 1- b 1- b 2

čo je Dopplerov efekt pre prípad pohybu svetelného signálu v opačnom smere vzhľadom k pozorovateľovi ako v príklade, z ktorého sme ukázali platnosť vzťahu (76). Podľa kvantových predstáv považujeme svetelný signál za veľké konečné množstvo svetelných kvánt – fotónov, pričom energia každého fotónu je určená vzťahom E = ħw kde ħ = 1,054·10

−34

(77)

J·s je Planckova konštanta a w je frekvencia svetelného vlnenia.

Poznámka 6. Max Planck v roku 1900 postuloval, že svetelná energia sa skladá z konečného počtu kvánt s energiou E = h ·f , kde f je frekvencia svetelného vlnenia a h = 6,62 ·10−34 J ·s. Z teórie elektromagnetického žiarenia platí l = c ·T a f = 1/T (l je vlnová dĺžka, T je perióda pohybu a f je frekvencia vlnenia). Kruhová frekvencia elektromagnetického žiarenia w = 2p/T = 2pf. Takže E = h ·f = h · w /2p a označíme ħ (há trans) = h/2p. ħ = 1,054·10−34 J ·s a dostaneme vzťah E = ħw, ktorý sa často používa namiesto vzťahu E = h ·f .

Pretože frekvencia svetelného vlnenia sa pri prechode do inej súradnicovej sústavy transformuje podľa vzťahu (76) a ħ je konštanta, bude sa podobne transformovať i energia fotónu. 32

Ak sa fotón pohybuje v sústave S v smere osi x a má v tejto sústave energiu Eg = ħw, v sústave S', ktorá sa vzhľadom na pevnú sústavu S pohybuje rýchlosťou v, bude mať energiu E'g = ħw'

(78)

Použitím vzťahu (76), (77) dostaneme Eg¢ = hw

1- b 1- b 1- b = Eg = Eg 1+ b 1+ b 1- b 2

(79)

Podobne pre fotón vyslaný v sústave S v opačnom smere s energiou Eg, by sme v sústave S' dostali frekvenciu svetelného vlnenia w" a energiu fotónu E"g.

w ¢¢ = w

1+ b 1+ b =w 1- b 1- b 2

1+ b 1+ b Eg¢¢ = hw ¢¢ = hw = Eg 1- b 1- b 2

(80)

Vzťahy (76), (79) a (80) využijeme pri skúmaní ďalšieho javu. V prírode existuje nestabilný viazaný stav elektrónu a pozitrónu tzv. pozitrónium, ktoré sa časom rozpadá na dva fotóny. Schematicky píšeme (e+ e−) → g + g Aby sme určili vzájomný vzťah medzi hmotnosťou pozitrónia a energiou vznikajúcich fotónov, predstavme si sústavu zloženú z dvoch skriniek (obr. 11).

Obr. 11

V ľavej je pozitrónium umiestnené pre jednoduchosť v strede skrinky a v pravej sa nachádza nejaká hmotnosť m. Sústava je v pokoji. Nech pri rozpade pozitrónia jeden fotón vyletí vpravo a druhý vľavo. Sústava sa nepohne, lebo fotóny majú rovnaké hybnosti, ale orientované opačným smerom. Po anihilácii sú fotóny súčasne absorbované stenami nádoby. Hmotnosť ľavej skrinky sa však nesmie zmeniť, lebo inak by sa posunulo ťažisko sústavy len pod vplyvom vnútorných síl. Na základe analógie s Einsteinovým vagónom vieme, že fotón s energiou Eg po pohltení stenou zvýši hmotnosť steny o Dm = Eg /c2. Prírastky hmotnosti stien spôsobené fotónmi predstavujú vlastne hmotnosť pozitrónia. Z toho potom platí, že m0 = mpoz = 2 Eg /c 2 Eg =

(81)

1 m0c 2 2

Pozorujme teraz rozpad pozitrónia v pevnej sústave S, v ktorej sa pozitrónium nachádza v pokoji. V tejto sústave jeho hmotnosť charakterizuje vzťah (81), v ktorom Eg je energia fotónu v sústave S a platí Eg = ħw0 Zo vzťahu (81) vyjadríme hmotnosť pozitrónia a dosadíme za Eg mpoz =

2 Eg c

2

=

2hw0 c2 33

kde čitateľ 2ħw 0 musí potom predstavovať energiu pozitrónia v sústave S Epoz = 2ħw 0 = m0c2

(82)

Aká bude energia pozitrónia v sústave S', ktorá sa voči pozitróniu pohybuje rýchlosťou v v smere osi x. V sústave S' bude mať pozitrónium energiu E'poz, ktorá sa rovná súčtu energií fotónov meraných v tejto sústave a vzniknutých jeho rozpadom (to platí v každej sústave). Ak predpokladáme, že pri rozpade sa emituje jeden fotón v smere osi x a druhý proti smeru osi x, tak použitím (79), (80) dostaneme pre energiu pozitrónia v sústave S' vzťah E'poz = E'g + E"g = ħw ' + ħw " 1 E'poz = hw0 1 - b + hw0 1 + b = hw0 1 - b + 1 + b = 2hw 0 1- b 2 1- b 2 1- b 2 1- b 2 Použitím vzťahu (82) prídeme k vyjadreniu relativistickej energie v tvare E'poz = Epoz

1 1- b 2

=

m0 c 2 1- b 2

(83)

Tento výsledok zovšeobecníme takto: Ak má teda teleso v sústave, v ktorej je v pokoji, hmotnosť m0, potom má v tejto sústave pokojovú energiu E0 = m0c2 (stačí položiť v = 0) a v každej inej sústave, ktorá sa voči S pohybuje rýchlosťou v bude mať celkovú energiu E danú vzťahom E=

m0 c 2 1 - v 2 /c 2

Na príklade rozpadu pozitrónia sa pokúsime teraz odvodiť relativistický výraz pre hybnosť častice. Pre fotóny emitované pri rozpade pozitrónia v sústave S platí p1 + p2 = 0

pretože

Eg hw0 = c c Eg hw p2 = =- 0 c c

p1 =

Hybnosť pozitrónia v tejto sústave je teda nulová, čo podľa predpokladu platí. V sústave S' sa transformuje energia fotónov podľa vzťahov (79), (80), takže pre hybnosť z hľadiska tejto sústavy píšeme Eg¢ hw0¢¢ = c c E ¢¢ hw ¢ p2¢ = - g = - 0 c c

p1¢ =

Takže celková hybnosť sústavy dvoch fotónov je p1¢ + p¢2 =

hw0¢¢ hw0¢ c c

Čo upravíme ďalej použitím vzťahov (76), (80) p1¢ + p¢2 =

34

hw 0 1 + b hw 1 - b hw 1 + b - 1 + b 2hw0 v - 0 = 0 = 2 c 1- b 2 c 1- b 2 c c 1- b 2 1- b 2

(84)

Použitím vzťahu (82) dostaneme m0 c 2 v m0 v = 2 2 c 1- b 1- b 2

p1¢ + p2¢ = p¢poz =

m0 v

(85)

1 - v 2 /c 2

Vzťah (85) vyjadruje relativistickú hybnosť častice – pozitrónia ak sa pohybuje rýchlosťou v. Z definície hybnosti a zo vzťahu (85) potom vyplýva, že výraz m0/ 1 - b 2 vyjadruje hmotnosť telesa pohybujúceho sa rýchlosťou v. Takže p = mv kde m=

m0 1 - v 2 /c 2

je relativistická hmotnosť telesa pohybujúceho sa rýchlosťou v. Ak sa teleso nepohybuje (v = 0), m = m0 a hovoríme, že teleso má pokojovú hmotnosť m0. K tomu istému tvaru relativistickej hybnosti pozitrónia by sme sa dopracovali cez odvodenie transformačného vzťahu pre hybnosť fotónu. Budeme vychádzať zo vzťahov (84) hw0 hw0 v + hw ¢¢ hw0 1 + b c c p1¢ = = = c c c 1- b 2 1- b 2 Použitím vzťahov pre hybnosť a energiu fotónu v sústave S dostaneme p1¢ =

p1 + Eg v/c 2 1- b 2

analogicky p¢2 =

p2 + Eg v/c 2 1- b 2

Potom výsledná hybnosť sústavy dvoch fotónov resp. pozitrónia v tomto stave je p1¢ + p2¢ =

p1 + p2 + 2 Eg v/c 2 1- b 2

Pretože p1 + p2 = 0, dostaneme hybnosť pozitrónia v tvare p¢ =

2m0 vc 2 2c

2

1- b

2

=

m0 v 1 - v 2 /c 2

35

DODATOK

V tejto prílohe uvádzame grafické závislosti, diskusiu o ich zaradení a niektoré dlhšie matematické úpravy.

–A– V I. kapitole v téme „Absolútnosť rýchlosti svetla a relativita súčasnosti“ je ako dôkaz existencie hraničnej rýchlosti uvádzaný pokus Bertocca. V tomto pokuse sa elektróny postupne urýchľovali stále silnejšími elektrostatickými poliami vo Van-de-Graafovom urýchľovači a potom sa pohybovali so stálou rýchlosťou v priestore, kde už pole nepôsobí. Čas, ktorý potrebovali na prejdenie zmeranej vzdialenosti a tiež ich rýchlosť, sa zmerala priamo a kinetická energia, ktorá sa menila na teplo pri dopade na terčík umiestnený na konci dráhy, sa odmerala pomocou kalibrovaného termočlánku. V tomto pokuse bola s veľkou presnosťou určená hodnota urýchľovaného potenciálu. Kinetická energia elektrónu je Ekin = eEL = e j kde L je vzdialenosť, na ktorej sa elektrónu udeľuje zrýchlenie a j = EL je rozdiel elektrických potenciálov na vzdialenosti L. Meraním sa dokázalo, že elektróny odovzdajú terčíku všetku kinetickú energiu, ktorú získali urýchlením, takže Ekin sa dala presne určiť. Avšak lineárny vzťah medzi v 2 a Ekin z nerelativistickej mechaniky pre energie prevyšujúce hodnotu 105 eV experimentálne neplatil. Namiesto toho sa pozorovalo, že rýchlosť častíc sa pri veľkých energiách približuje k hraničnej hodnote 3·1010 cm/s. Graf 1 ukazuje závislosť štvorca rýchlosti elektrónov od ich kinetickej energie.

Graf 1 Krivka a znázorňuje skutočný relativistický priebeh – asymptoticky sa blíži k priamke v2 = c2, kde c je medzná rýchlosť. Priamka b znázorňuje aproximatívnu klasickú závislosť

36

–B– V I. kapitole za témou „Lorentzove transformácie“ je vhodné uviesť graf 2, ktorý vyjadruje závislosť g = 1/(1 − v2/c2) od v/c. Pri vysvetľovani jeho priebehu sa môžeme vrátiť k pojmom kontrakcie dĺžky a dilatácie času a tiež zdôrazniť, že pre v << c je g ≈ 1, čím vysvetľujeme platnosť Galileových transformácií pre telesá pohybujúce sa „obyčajnými“ rýchlosťami.

Graf č.2

–C– Pri vysvetľovaní základných pojmov dynamiky ŠTR považujeme za vhodné zaradiť do výkladu i grafické závislosti 3, 4, 5, na ktorých sa upevní matematický tvar i fyzikálny obsah relativistických výrazov pre hmotnosť, hybnosť a energiu a dokumentuje sa ich odlišnosť od nerelativistického chápania. Graf 3 vyjadruje závislosť hmotnosti telesa od jeho rýchlosti

Graf č.3

37

Graf 4 znázorňuje závislosť hybnosti telesa od jeho rýchlosti

Graf 5 znázorňuje závislosť energie telesa od jeho rýchlosti

Graf 4

Graf 5

–D– Matematické úpravy v kapitole III. sú jednoduché, môžu ich urobiť žiaci samostatne. Odvodenie vzťahu (68). m1

u¢ + v - u¢ + v + m2 = m1v + m 2 v 2 ¢ 1 + u v/c 1 - u ¢v/c 2

æ - u¢ + v ö æ u¢ + v ö - v÷ = 0 m1 ç - v ÷ + m2ç 2 2 è 1 - u¢v/c ø è 1 + u¢v/c ø u¢ - v v - u ¢v 2 /c 2 - v + u¢ m1 1 - u¢v/c 2 = 1 - u¢v/c 2 = u¢ + v m2 u¢ + v - v - u¢v 2 /c 2 v 1 + u ¢v/c 2 1 + u¢v/c 2 v+

m1 m2 m1 m2

=

(1 + u¢v/c 2 )(u ¢ - u¢v 2 /c 2 ) (1 - u¢v/c 2 )(u¢ - u¢v 2 /c 2 )

=

(1 + u ¢v/c 2 ) (1 - u¢v/c 2 )

Odvodenie vzťahu (69); vychádzame zo vzťahu (67) u1 =

38

u 1¢ + v u¢ + v = 2 1 + u ¢v/c 1 + u ¢1v/c 2

(68)

Umocnime na druhú a vynásobíme 1/c2 u 12 c2

=

(u¢1 + v) 2 c 2 (1 + u¢1v/c 2 ) 2

K obom stranám rovnice pričítame −1 a upravíme 1-

u 12 c2

1-

=1-

u 12 c2

=

(u ¢1 + v) 2 c 2 (1 + u¢1v/c 2 ) 2 c 2 (1 + u¢1v/c 2 ) 2 - (u 1¢ + v) 2 c 2 (1 + u¢1v/c 2 ) 2

1 + 2u¢1v/c 2 + (u ¢1v) 2 /c 4 - (u¢1 + v) 2 /c 2 1- 2 = c (1 + u¢1v/c 2 ) 2 u 12

(1 - u¢12 /c 2 )(1 - v 2 /c 2 ) 1- 2 = c 1 + u¢1v/c 2 u 12

(69)

39

Záver

Už v úvode sme naznačili zložitosť výkladu ŠTR na gymnáziách a ťažkosti, ktoré s tým vznikajú. Túto diplomovú prácu sme sa snažili obsahovo zostaviť a členiť tak, aby sme na nej mohli posúdiť oprávnenosť niektorých spomínaných problémov a ukázať prednosti, či nevýhody ich riešenia tak, ako ich vidíme my. Predkladáme tri postupy výkladu dynamiky ŠTR, ktoré tvoria viac-menej samostatné celky, sú však i vnútorne členené na menšie časti. Samotnému spracovaniu kinematiky, ktoré uvádzame v I. kapitole, sa nebudeme do hĺbky venovať. Podstatné veci sme zdôraznili v úvode a tu sa dotkneme iba tých, ktoré úzko súvisia s dynamikou. Obsah jednotlivých kapitol venovaných dynamike teraz bližšie rozoberieme. Ako sme už naznačili, z metodického a pedagogického hľadiska ide o odlišné spôsoby výkladu tých istých fyzikálnych pojmov a javov. Túto odlišnosť vidíme v dvoch základných veciach – je to otázka výberu témy a poznatkov, o ktoré sa pri výklade opierame a potom obsah, hĺbka a poradie vysvetľovaných nových pojmov. Prvý postup (II. kapitola) sa vo veľkej miere opiera o poznatky z mechaniky, využíva pohybové zákony a zákon zachovania hybnosti. Dôležité postavenie tu majú i poznatky z teórie elektromagnetického žiarenia, najmä pojem hybnosti a energie svetelných kvánt. Je to spôsobené tým, že sme za základný východzí problém volili jav, ktorý tieto poznatky využíva a odvodením vzájomného vzťahu energie a hmotnosti sa stal ťažiskovým, pretože v ďalšom naň nadväzujeme. Z tohto vyplýva i logická stavba celej kapitoly – použitím vzťahu E = mc 2 sme matematickou cestou odvodili vzťah pre relativistickú hmotnosť a hybnosť a uvedením ďalších príkladov sme ukázali ich hlbší vzťah, súvis a dôsledky. Klasický „Einsteinov vagón“ sme spracovali podľa lit. [7], v odvodení vzťahu pre relativistickú hmotnosť a v uvedených príkladoch sa opierame hlavne o lit. [3]. Druhý postup (III. kapitola) sa nevyznačuje až tak presnou nadväznou štruktúrou. Na príklade nepružnej zrážky telesa so stenou sme najprv ukázali platnosť relativistického vzťahu pre hmotnosť a hybnosť telesa, čo nám umožnilo prejsť matematickou cestou k ekvivalencii hmotnosti a energie. Z množstva možných postupov takéhoto typu sme uviedli dva, ktoré sa značne odlišujú fyzikálnym obsahom a podaním a matematickou náročnosťou. Prvý z nich je síce veľmi jednoduchý, ale často sa používa, druhý je po fyzikálnej stránke bohatší a presvedčivejší, matematicky je však náročný. Za jadro celej kapitoly považujeme pružnú zrážku dvoch bodových telies spracovanú podľa lit. [13]. Je vhodnou diskusiou pre pochopenie dôsledkov dynamiky ŠTR pre celú klasickú mechaniku, vhodne využíva pojmy kinematiky ŠTR, matematické úpravy sú síce zdĺhavé, ale nie náročné (matematické postupy sme prevzali z lit. [2], [3]). Svojím obsahom je táto kapitola „mechanikou v novom podaní“. Tretí postup (IV. kapitola) má netypický štýl a uplatňuje najnovšie poznatky modernej fyziky. Pozdĺžnym Dopplerovým javom v ňom priamo nadväzujeme na kinematiku ŠTR. Uvádzame ho v dvoch formách, pričom druhá v poradí sa nám zdá byť jednoduchšia a fyzikálne krajšia. Pri spracovaní sme vychádzali najmä z lit. [3], [4]. Transformačný vzťah pre energiu fotónu sme využili pri skúmaní rozpadu pozitrónia a odvodili vzájomný vzťah energie a hmotnosti. Použitím tohto, ale v odlišnom prístupe ako v II. kapitole prídeme k relativistickému vzťahu pre hybnosť a hmotnosť telesa. Uvedené postupy výkladu dynamiky ŠTR zďaleka nemôžu vyčerpať všetky existujúce možnosti interpretácie tejto problematiky, veď okrem tematicky takto ladených postupov sme vôbec nepoužili javy z elektriny a magnetizmu. V každom z nich sme ukázali niečo iné, aby sme sa zbytočne neopakovali, takže v niektorých momentoch sme boli možno trochu struční pri rozbore fyzikálneho obsahu nových pojmov a relativistických vzťahov v jednom postupe, ak sme sa o tom do dostatočnej hĺbky zmienili už v inom. Takouto stavbou a výberom prostriedkov pre výklad dynamiky ŠTR sme chceli dokumentovať, že je celkom samozrejmou otázka, s akou časťou školskej fyziky treba zviazať výklad ŠTR. Vo veľkej miere rozhoduje o tom práve dynamika. Kinematika vyžaduje tiež od žiakov určitú zásobu vedomostí napr. o súradnicových systémoch, z geometrie o vzdialenosti bodov, z mechaniky 40

i optiky; dynamika ŠTR je v tomto smere oveľa náročnejšia a vyžaduje tiež všestrannejšie fyzikálne myslenie spojené s vytváraním súvislosti. ŠTR historicky vznikla v súvislosti s elektrodynamikou a optikou. Ukázali sme ale, že sa dá podať i ako opakovanie a prehĺbenie mechaniky (kapitola III.), ale i v súvislosti s kvantovou fyzikou a teóriou elementárnych častíc (kapitola IV.). Skutočnosť, že základy ŠTR nadväzujú na rôzne časti fyziky (na učivo o relatívnosti polohy, pohybu a pokoja, na Newtonove pohybové zákony, na princíp skladania rýchlostí, pri preberaní Michelsonovho pokusu na poznatky z optiky, pri diskusii Lorentzovej sily na poznatky z elektriny, pri vysvetlovaní Dopplerovho javu na akustiku) viedla k rôznym názorom na riešenie tejto otázky. V poslednou období bolo u nás používané zaradenie ŠTR po optike, pričom sa ďalej preberá fyzika atómového obalu. Tieto tri vedné disciplíny tvoria do istej miery organický celok. Na to nadväzovala jadrová fyzika, kde je využitá fyzika atómového obalu a optika, ale i ŠTR. Takto zostavená učebná látka tvorí takú sústavu poznatkov, ktoré sa dajú preberať z hľadiska kvantovej i relativistickej fyziky. Ak chceme podať ŠTR v poňatí, kde sa ukáže genialita tejto teórie ako vedy, ktorá zasiahla takmer celú fyziku, nemôžeme to urobiť pri jednoznačnom zaradení do nižšieho ročníka gymnázia, napr. za mechaniku. Žiaci prvého ročníka nielenže nemajú dosť vedomostí, aby sme im mohli vysvetliť relativistické javy z viacerých hľadísk, ale nemajú ešte ucelenú predstavu o fyzike vôbec, nevedia s čím všetkým sa v stredoškolskom kurze stretnú, nemajú a nemôžu mať potrebný pojmový aparát. Výklad by sme museli ochudobniť o tie krásne aplikácie, ktoré môžme zaradiť až v záverečných častiach fyziky resp. ho rozdeliť na etapy. Za vhodné pokladáme zaradenie ŠTR v záverečných kapitolách, ako už bolo spomínané, avšak predprípravu pre správne pochopenie ŠTR treba robiť všade tam, kde vidíme možnosť aplikácie relativistických poznatkov na úrovni myslenia žiaka strednej školy počas celého štúdia. Otázka poradia vysvetľovaných pojmov sa nám nezdá nejako problematická,Ukázali sme,že pri takom či inom postupe vždy možno jednotlivé časti vhodne nadviazať, zladiť a vytvoriť celok, prípadne načrtnúť spätný postup uvedením nejakého príkladu pre lepšie pochopenie súvislostí a najmä preto, aby nevznikla u žiakov predstava, že to platí iba takto… Obsah a hĺbka zavádzaných pojmov v takej miere, ako sme uviedli, by mala byť postačujúca, prípadne by sme ju mohli dokresliť uvedením skutočných javov z rôznych oblastí fyziky. Dôležitejšou otázkou je vhodnosť zaradenia určitého postupu do povinného a nepovinného vyučovania fyziky na gymnáziách a dôvody, ktoré k tomu vedú. Tento základný ciel diplomovej práce sme mali na mysli už pri spracovávaní kinematiky a dynamiky. Snažili sme sa vychádzať predovšetkým z fyzikálnych javov, vyhnúť sa formálnemu matematickému podaniu tam, kde sa dala uplatniť fyzika, dodržať správnosť po odbornej stránke a náročnosť a úroveň formulácií podľa požiadaviek pedagogických. Uvedené postupy sme úmyselne zostavili tak, že majú určité špecifiká, ktoré musíme brať do úvahy pri rozhodovaní o ich zaradení do povinného vyučovania fyziky. V tomto zmysle pokladáme za najvhodnejší druhý postup (III. kapitola) bez v poradí druhého uvádzaného matematického odvodenia vzájomného vzťahu hmotnosti a energie. Tento postup je zo všetkých najmenej náročný a tematicky je veľmi blízky fyzikálnemu mysleniu žiakov. Uvádzané príklady zrážok sú veľmi jednoduché, nenútene a logicky vedú k základným relativistickým výrazom. Za veľkú prednosť tohto postupu pokladáme, že umožňuje žiakom vidieť v prvom rade súvis teórie relativity s mechanikou a jej dôsledky v nej napr. pri definovaní pojmov hmotnosť, hybnosť a energia telesa. V prvom štádiu zoznámenia sa s dynamikou ŠTR je to vhodný a osvedčený postup. Na to sa dá potom naviazať náročnejším a tematicky inak zameraným výkladom napr. v nepovinnom vyučovaní, a tým úplne dotvoriť celkovú predstavu žiakov o ŠTR. Do samotného výkladu podľa tohto postupu by sme pravdaže museli zaradiť hlbší rozbor fyzikálneho obsahu nových pojmov a relativistických výrazov pre hmotnosť, hybnosť a energiu telesa uvedením aplikácií zo súčasnej fyziky (i príkladov napr. z II. kapitoly) a diskusiou grafických závislostí. Prvý postup (II. kapitola) je charakteristický väčšou náročnosťou po fyzikálnej i matematickej stránke, akú si vo všeobecnosti nemôžeme dovoliť v povinnom vyučovaní fyziky. Okrem viac známych príkladov a postupov obsahovo stavaných na mechanike uvádza odvodenie vzájomného vzťahu hmotnosti a energie netradičnou cestou. Vyniká logickou a nadväznou štruktúrou, dobre volenými príkladmi a javmi, v ktorých jednoducho ukazuje platnosť relativistických poznatkov v rôznych oblastiach fyziky. 41

V tom sú jeho prednosti. Za určitých podmienok (v triedach s rozšíreným vyučovaním fyziky, pri vhodnej odbornej príprave žiakov) by mohol byť resp. jeho niektoré časti súčasťou výkladu dynamiky ŠTR, pripadne by sa mohol kombinovať s niektorými inými postupmi. V predkladanej forme je podľa nás vhodný pre zaradenie do niektorej z foriem nepovinného vyučovania fyziky. Pri dosiahnutí výchovných a pedagogických cieľov v nepovinnom vyučovaní ŠTR, zachovajúc jeho typické vlastnosti a špecifiká sa uplatňuje odlišný prístup a netradičné formy v pedagogickej a odbornej práci učiteľa. Tretí postup (IV.kapitola) svojím netypickým štýlom, podaním i náročnosťou úplne spĺna požiadavky takejto formy vyučovania, nie je však práve preto vhodný pre povinné vyučovanie. Pretože výklad v nepovinnom vyučovaní má byť len doplnením už získaných vedomostí, vyhli sme sa v ňom podrobnému rozboru fyzikálneho obsahu nových pojmov a relativistických výrazov. Prednosti tohto postupu vidíme v tom, že podáva výklad ŠTR z nového hľadiska, vychádza z nových fyzikálnych alebo myšlienkových pokusov resp. javov a z metodickej stránky má predpoklady pre zaktivizovanie žiakov. Spomínaná náročnosť tohto postupu je primeraná formám nepovinného vyučovania. Predloženými návrhmi výkladu kinematiky a dynamiky ŠTR a diskusiou k otázkam jej vyučovania na gymnáziách sme chceli prispieť k riešeniu problematiky vyjadrenej témou diplomovej práce.

42

LITERATÚRA

[1] OREAR, J.: Základy fyziky. Bratislava : Alfa, 1977. [2] BEISER, A.: Úvod do moderní fyziky. Praha : Academia, 1975. [3] FEYNMAN, R. P., SANDS, M., LEIGHTON, R. B.: Fejmanovskije lekcii po fizike 2, 3. Moskva : Mir, 1965. [4] KITTEL, Ch., KNIGHT,W. D., RUDERMAN, M. A.: Berkelejevskij kurs fiziki 1. Moskva : Nauka, 1971. [5] LANDAU, L. D., RUMER, J. B.: Čo je teória relativity. Bratislava : Alfa, 1966. [6] RUMER, J. B., Ryvkin : Teória relativity,Moskva 1964 [7] BORN, M.: Atomnaja fizika, Moskva 1963 [8] VYBÍRAL, B.: Fyzikální pole z hlediska teorie relativity. Praha : SPN, 1976. [9] VANOVIČ, J.: Úvod do atómovej fyziky. Bratislava : SPN, 1967. [10] VANOVIČ, J.: Dodatok k učivu fyziky pre 4. roč. gymnázií. Bratislava : SPN, 1972 [11] FUKA, J., VANOVIČ, J.: Metodické poznámky k vyučovaniu fyziky vo 4. roč. gymnázií. Bratislava : SPN, 1972 [12] MOLOV, N. N.: O vyučovaní špeciálnej teórie relativity. In: Fyzika v škole r. 1974 č. 3 [13] HORSKÝ, J.: Pedagogické zamyslenie nad teóriou relativity. In: Fyzika v škole r. 1969 [14] FUKA, J.: Základy špeciálnej teórie relativity na strednej škole. In: Fyzika v škole r. 1969

43