SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY
GALILEO GALILEI (16.st.) • pohybuje-li se vztažná soustava vzhledem k jiné rovnoměrným přímočarým pohybem, je s ní rovnocenná (pohyb je vzájemný – relativní) • neexistuje žádná absolutní vztažná soustava, kterou jedinou by měly být všechny věci poměřovány • stanovil pět základních pohybových zákonů
ISAAC NEWTON (17.st.) převzal Galileiho princip relativity a zredukoval počet základních pohybových zákonů na 3 z původních pěti
PROBLÉM (přelom 19. a 20. stol.)
• díky zvýšenému zájmu o mikrosvět a pohyb při velkých rychlostech přestává klasická mechanika postačovat (platila téměř 300let!!!) • podle klasické mechaniky má platit princip skládání rychlostí • z rovnic elektromagnetického pole (Maxwellových rovnic) vyplynulo, že se světlo má šířit stále stejnou rychlostí, bez ohledu na zvolený souřadnicový systém
HENDRIK ANTOON LORENTZ (19.st.)
•1878 publikoval práci zabývající se vztahem mezi rychlostí světla a vlastnostmi prostředí, kterým se světelný paprsek šíří. (Lorentz-Lorenzova rovnice) •objevil transformaci proměnných, vůči které se Maxwellovy rovnice nemění a popisující přechod mezi dvěma navzájem rovnoběžně se pohybujícími soustavami v teorii relativity (Lorentzovy transformace – r. 1904) • navrhl teorii éteru (média pro šíření vlnění), ve kterém objekty a pozorovatelé pohybující se vzhledem k nehybnému éteru podléhají fyzickému zkracování délek (LorentzFitzgeraldově kontrakci) a změně rychlosti plynutí času (dilatace času)
(teorie éteru platila až do formulování Maxwellovy teorie elektromagnetického pole)
MOTIVACE Éter vyplňoval vesmír a byl nehybný, tvořil “univerzální vztažnou soustavu” . V roce 1905 se věřilo, že naše slunce je úplně “v klidu” vůči vesmíru a zároveň je “v klidu” vůči éteru. To znamená, že vůči vesmíru byl “v klidu” samotný éter, a tudíž tvořil UVS.
snaha experimentálně určit rychlost Země vzhledem k éteru Michelson – Morleyho pokus s interferometrem:
Albert Abraham MICHELSON
Z1 D
Z2
interference paprsků – rychlost světla je nezávislá na pohybu Země kolem Slunce
ALBERT EINSTEIN (1879-1955) • v roce 1905 publikoval fyzikální teorii (STR) nahrazující Newtonovské představy o prostoru a čase a zahrnující teorii elektromagnetického pole • „speciální“ teorie týkající se inerciálních vztažných soustav (soustav, které se pohybují navzájem rovnoměrně přímočaře), zanedbávající vliv gravitace (později ozn. Obecná teorie relativity)
POSTULÁTY STR 1. Princip relativity: ¾ Všechny fyzikální zákony mají stejný tvar (lze je vyjádřit stejnými rovnicemi) ve všech inerciálních soustavách. ¾ Všechny inerciální soustavy jsou pro popis všech dějů rovnocenné. ¾ Matematické vyjádření libovolné fyzikální teorie by mělo být pro každého pozorovatele v inerciální vztažné soustavě stejné. ¾ Pozorování fyzikálního jevu více než jedním pozorovatelem v inerciální vztažné soustavě musí u všech pozorovatelů jednotně odpovídat povaze přírody. Povaha vesmíru se nesmí změnit, přejde-li pozorovatel do jiné inerciální vztažné soustavy. neexistuje absolutní pohyb, neexistuje ani absolutní vztažná soustava, neexistuje éter !!!
2. Princip neměnnosti rychlosti světla: ¾ Rychlost světla ve vakuu (obvykle ozn. c) je stejná pro všechny pozorovatele v inerciálních vztažných soustavách, stejná ve všech směrech, a nezávisí na rychlosti objektu vyzařujícího světlo. ¾ Rychlost světla ve vakuu má tutéž hodnotu ve všech inerciálních soustavách.
Rychlost světla ve vakuu je mezní rychlost přenosu hmoty a energie v přírodě. c ≈ 3.108 m.s-1 c = 2,99792458 .108 m.s-1
Minkowského časoprostor (prostoročas), čtyřrozměrný prostor s časem jako jednou z dimenzí, ve kterém platí H. MINKOWSKI Lorentzovy 19.-20. st. transformace
MAX PLANCK (19.-20.st.) zavedl pojem relativita, kterým nahradil původní Einsteinem navrženým termín Teorie invariantů
J.H. POINCARÉ 19.-20. st. dospěl současně s Einsteinem k základním pojmům speciální teorie relativity
DŮSLEDKY STR
prostor a čas přestaly být absolutní časová a délková měření jsou také relativní události současné z hlediska jednoho souřadnicového systému nemusí být současné z hlediska jiného souřadnicového systému události současné X soumístné, časupodobné X prostorupodobné pojem časového intervalu a vzdálenosti dvou událostí závisí na zvoleném souřadnicovém systému
myšlenkový experiment 1.
myšlenkový experiment 2.
GALILEŮV (KLASICKÝ) PRINCIP RELATIVITY GALILEOVA TRANSFORMACE Všechny mechanické děje probíhají ve všech inerciálních vztažných soustavách stejně, nelze žádným mechanickým dějem provedeným uvnitř soustavy dokázat, zda se soustava pohybuje rovnoměrným přímočarým pohybem nebo je v klidu.
Galileova transformace: soustava rovnic umožňující ze souřadnic bodu jedné IVS vypočítat souřadnice bodu v jiné IVS, která se vůči dané soustavě pohybuje rovnoměrně a přímočaře
S → S´
x′ = x − vt y′ = y z′ = z t′ = t
M
r vt
x/ x
t = t′ = 0
S ≡ S′
r v = konst.
S´ → S
x = x′ + vt ′ y = y′ z = z′ t = t′ inverzní Galileova transformace
DŮSLEDKY GALILEOVY TRANSFORMACE rychlosti vyplývající z transformačních rovnic:
v′x =
dx′ d ( x − vt ) dx = = − v = vx − v ′ dt dt dt dy ′ dy v′y = = = vy dt ′ dt dz ′ dz ′ vz = = = vz dt ′ dt
dle 1. postulátu mají být fyzikální rovnice pro libovolný tentýž děj STEJNÉ Př. kulová vlna emitovaná ze zdroje • světelná kulová vlnoplocha v soustavě S v čase t :
x 2 + y 2 + z 2 = c 2t 2
• pro pozorovatele v soustavě by měla být podle 1. postulátu rovnice kulové vlnoplochy v čase daná vztahem: 2 2 2 2 2 x′ + y ′ + z ′ = c t ′
užitím Galileiho transformace: x 2 − 2 xvt + v 2t 2 + y 2 + z 2 = c 2t 2 ROVNICE SI NEODPOVÍDAJÍ! A MĚLY BY!
JE POTŘEBA DEFINOVAT JINOU TRANSFORMACI ! POŽADAVKY:
1. musí být lineární pro souřadnice i čas (aby byly jednoznačné) 2. musí vyhovovat Einsteinovým postulátům (všechny fyzikální zákony musí být invariantní vzhledem k této transformaci a rychlost světla musí být ve všech soustavách stejná) 3. pro rychlosti mnohem menší než rychlost světla musí přejít v transformaci Galileovu
PODMÍNKÁM VYHOVUJE:
LORENTZOVA TRANSFORMACE matematicky odvozena v roce 1904 při řešení rovnice vlnoplochy z teorie elektromagnetického pole
LORENTZOVA TRANSFORMACE x′ =
M
r vt
x/
y
z
S´ x
z´
x=
x′ + vt ′ v2 1− 2 c
y′ = y
y = y′
z′ = z
z = z′
xv 2 c ′ t = v2 1− 2 c
x′v 2 c t= v2 1− 2 c t′ +
r v
y´
S
v2 1− 2 c
t−
x
r vt
x − vt
pro pohyb S´v libovolném směru vzhledem k S: rr v r r r x´ − t 2 r r − vt c r′ = t′ = 2 2 v v 1− 2 1− 2 c c
pro v << c přechází Lorentzova transformace v transformaci Galileovu
I N V E R Z N Í
RELATIVNOST SOUČASNOSTI událost: děj probíhající v daném bodě prostoru v daném čase (4 souřadnice) událost A
( x1 , y1 , z1 , t1 )
událost B ( x2 , y2 , z 2 , t 2 )
souřadnice událostí v soustavě S´:
x1′ =
x1 − vt1 v2 1− 2 c
y1′ = y1 z1′ = z1 t1′ =
x2′ =
x2 − vt2 v2 1− 2 c
y2′ = y2 z ′2 = z 2 v x 2 1 c v2 1− 2 c
t1 −
t 2′ =
v x 2 2 c v2 1− 2 c
t2 −
časový interval mezi událostmi v soustavě S´: t 2′ − t1′ =
v ( x2 − x1 ) 2 c v2 1− 2 c
t 2 − t1 −
aby byly SOUČASNÉ v S´, musely by být také SOUMÍSTNÉ
SOUČASNOST UDÁLOSTÍ JE RELATIVNÍ Dvě události současné v jedné vztažné soustavě nejsou současné v jiné vztažné soustavě, jestliže tyto události neproběhly ve stejném místě prostoru.
• Pro žádného pozorovatele neplyne čas pozpátku, tj. řada událostí v určitém místě prostoru, které nastanou v časech t1, t2, t3, ... se bude jevit všem pozorovatelův v různých inerciálních vztažných soustavách ve stejném sledu. • Žádný pozorovatel, bez ohledu na svůj pohybový stav, nemůže pozorovat nějakou událost dříve, než ve skutečnosti nastane.
ve směru jejího pohybu rychlostí v vzhledem k soustavě S bude mít při měření v S podle (4.2) rychlost
RELATIVISTICKÉ SKLÁDÁNÍ RYCHLOSTÍ Klasická mechanika: světelný paprsek vyzářený ve vztažné soustavě S´ ve směru jejího pohybu rychlostí v vzhledem k soustavě S bude mít při měření v S rychlost v x = c + v … rozpor s 2. Einsteinovým postulátem soustava S: soustava S´:
vx =
dx dt
vy =
dy dt
v′x =
dx ′ dt ′
v′y =
dy ′ dt ′
dx − vdt Lorentzova dx′ = v2 transformace: 1− 2 c
dy′ = dy
dx −v dx ′ dx − vdt v −v t d v′x = = x = = dt ′ dt − v dx 1 − v dx 1 − v v x c2 c 2 dt c2
vz =
dz dt
v′z =
dz ′ dt ′
dz ′ = dz
dt ′ =
v2 vy 1 − 2 dy′ c = v′y = dt ′ 1 − v v x c2
v dx 2 c v2 1− 2 c
dt −
v2 vz 1 − 2 dz ′ c = v′z = dt ′ 1 − v v x c2
pro v << c přejdou transformační rovnice pro rychlost ve vztahy klasické:
v′x = vx − v
pro světelný paprsek vyzářený v soustavě S´ rychlostí v soustavě S: Inverzní transformace:
vx =
pro
v′y = v y
v′z = vz
v′x = c je jeho rychlost
v′x + v v 1 + 2 v′x c v ′x = c
c+v c+v = =c vx = v c+v 1+ c c
pozorovatelé v soustavách S i S´ stanoví pro rychlost světla stejnou hodnotu c
RELATIVNOST V MĚŘENÍ DÉLKY KONTRAKCE DÉLKY tyč umístěná ve směru osy x´v soustavě S´, která je v této soustavě v klidu o délce l0 = x2′ − x1′ l Lorentzova l0 = x2′ − x1′ = transformace:
x2 − vt 1−
v2 c
−
2
Měření délky tyče probíhá za t =t současného určení souřadnic! 1 2 tj. určujeme vzdálenost současných poloh jejích krajních bodů
x1 − vt 1−
v2 c
2
=
x2 − x1 1−
v2 c
=
l 1−
2
l = l0
v2 c2
v2 1− 2 c
l0 … vlastní délka tyče
RELATIVNOST V MĚŘENÍ ČASOVÝCH INTERVALŮ DILATACE ČASU • hodiny H´ jsou v klidu vůči soustavě S´ • hodiny H1 a H2 jsou v klidu vůči soustavě S časový interval průchodu hodin H´ nad hodinami H1, H2 : t1 =
v x′ c2 v2 1− 2 c
t1′ +
x′v x′v ′ + t 1 2 2 ∆t0 t′ − t′ c c ∆t = t2 − t1 = − = 2 1 = v2 v2 v2 v2 1− 2 1− 2 1− 2 1− 2 c c c c t2′ +
t0
t2 =
v x′ c2 v2 1− 2 c
t 2′ +
∆t =
∆t0 v2 1− 2 c
… vlastní čas trvání děje
ZÁVISLOST HMOTNOSTI NA RYCHLOSTI PŘÍKLAD: Urychlení elektronu z nulové rychlosti na rychlost v elektrickým polem mezi dvěma místy o rozdílu potenciálů U: 1 2
2
m0 v = eU
kde m0 je hmotnost elektronu při nulové rychlosti Po dosazení:
m0 = 9,1.10 −31 kg
v = 0,59.106 U
e = 1,6.10−19 C
Pro U ≥ 106 V
v ≥ 5,9.108 m/s, tj. v f c NELZE!
Je nutno předpokládat, že se při urychlování elektronu zvětšila jeho hmotnost!
m=
m0 v2 1− 2 c
RELATIVISTICKÁ HYBNOST r r p = mv
r p=
r m0 v v2 1− 2 c
RELATIVISTICKÁ SÍLA 2. Newtonův pohybový zákon:
r r dpr r dv F= =m = ma dt dt
…klasická fyzika
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ r dpr d ⎜ m0 vr ⎟ F= = ⎜ 2 ⎟ dt dt v ⎜⎜ 1 − ⎟⎟ c2 ⎠ ⎝ Pozn: Uvedený vztah pro sílu není týž, jako
r F≠
r dv v 2 dt 1− 2 c m0
neboť
m = m(v(t ))
SOUVISLOST HMOTNOSTI A ENERGIE vztah pro souvislost mechanické energie a práce v klasické fyzice:
r r dp d (mv ) ds dEk = dW = Fdr = Fds = ds = d s = m d v = m v dv dt dt dt v relativistické fyzice:
m = m(v(t ))
dE k =
d (mv ) ds ds ds = m dv + v dm = m v dv + v 2 dm dt dt dt
analogicky ze vztahu pro relativistickou hmotnost:
(
⎛ v2 ⎞ m ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ = m02 ⎝ c ⎠
)
m 2 c 2 − v 2 = m02 c 2
2
v2
rr rr 2 mc dm − m d(v .v ) − 2m v .v dm = 0 2
2
(
)
2 m c 2 − v 2 dm − m 2 2vdv = 0
c dm = m v dv + v dm 2
2
v
diferencujeme
dE k = c dm 2
integrace
Ek = (m − m0 ) c 2
„Kinetická energie pohybující se částice se rovná přírůstku její hmotnosti v důsledku relativního pohybu částice násobenému druhou mocninou rychlosti světla ve vakuu.“
m c 2 = Ek + m0 c 2 celková energie volné částice
E=mc
2
klidová energie
E = E k + E0 Pro celkovou energii soustavy platí i v teorii relativity zákon zachování energie – celková energie izolované soustavy těles (hmotných bodů) zůstává při všech dějích probíhajících uvnitř soustavy konstantní.
SOUVISLOST HYBNOSTI A ENERGIE
E =mc = 2
v2 =
m0 c 2
p=mv=
2
v 1− 2 c
v2 1− 2 c
p 2c 2 v = 2 2 p + m0 c 2
E c −m c E2 2 2
m0 v
2 6 0
2
porovnáme:
E = m02 c 4 + p 2 c 2
p=
E2 2 2 − m 0 c 2 c
