Poznámky k přednášce Elektrodynamika a teorie relativity
PřF MU v Brně, únor 2001 - květen 2001
Michal Lenc
1
1
Maxwellovy rovnice. ............................................................................................................................ 6
2
Coulombův a Newtonův zákon............................................................................................................. 7
3
2.1
Coulombův zákon. ........................................................................................................................ 7
2.2
Newtonův zákon. .......................................................................................................................... 7
Poissonova rovnice. .............................................................................................................................. 8 3.1
Greenova funkce. .......................................................................................................................... 8
3.2
Greenova věta. .............................................................................................................................. 9
4
Elektrostatická energie nábojů. ........................................................................................................... 10
5
Multipólový rozklad pole.................................................................................................................... 11
6
7
8
5.1
Laplaceova rovnice ve sférických souřadnicích. ........................................................................ 11
5.2
Legendreovy polynomy. ............................................................................................................. 12
5.3
Kulové funkce. ............................................................................................................................ 13
5.4
Pole bodových nábojů ve vakuu. ................................................................................................ 14
Magnetostatika. ................................................................................................................................... 15 6.1
Analogie mezi elektrostatikou a magnetostatikou. ..................................................................... 15
6.2
Magnetické pole kruhové smyčky. ............................................................................................. 16
Maxwellovy rovnice v materiálovém prostředí. ................................................................................. 17 7.1
Mikroskopické Maxwellovy rovnice. ......................................................................................... 17
7.2
Makroskopické Maxwellovy rovnice.......................................................................................... 19
7.3
Maxwellovy rovnice pro prostředí s triviálními materiálovými vztahy. .................................... 19
7.4
Energie a impuls elektromagnetického pole. .............................................................................. 20
7.5
Prostředí s dispersí. ..................................................................................................................... 22
Kvasistacionární pole.......................................................................................................................... 24 8.1
Skin-efekt. ................................................................................................................................... 24 2
9
8.2
Vzájemná indukčnost a vlastní indukčnost................................................................................. 26
8.3
Komplexní odpor. ....................................................................................................................... 27
Časově proměnná elektromagnetická pole. ........................................................................................ 28 9.1
Rovinná a kulová vlna................................................................................................................. 28
9.2
Obecné řešení nehomogenní rovnice pro potenciály. ................................................................. 29
9.3
Pole časově proměnného dipólu. ................................................................................................ 30
9.4
Lienardův - Wiechertův potenciál............................................................................................... 32
10
Základy teorie relativity. ................................................................................................................. 35 10.1
Principy. ...................................................................................................................................... 35
10.2
Interval, vlastní čas. .................................................................................................................... 35
10.3
Lorentzova transformace............................................................................................................. 37
10.4
Čtyřvektory. ................................................................................................................................ 38
10.5
Čtyřrychlost a čtyřzrychlení........................................................................................................ 40
10.6
Princip nejmenšího účinku.......................................................................................................... 41
10.7
Jiná formulace principu nejmenšího účinku. .............................................................................. 42
11
Náboj v elektromagnetickém poli. .................................................................................................. 44 11.1
Variační princip........................................................................................................................... 44
11.2
Tenzor elektromagnetického pole............................................................................................... 45
12
Synchrotronové záření. ................................................................................................................... 47 12.1
Lienardův-Wiechertův potenciál................................................................................................. 47
12.2
Intenzita záření. ........................................................................................................................... 49
13
Rovnice elektromagnetického pole................................................................................................. 51 13.1
Čtyřrozměrný vektor proudu, rovnice kontinuity. ...................................................................... 51
13.2
První pár Maxwellových rovnic.................................................................................................. 53
13.3
Druhý pár Maxwellových rovnic. ............................................................................................... 53 3
13.4
Tensor energie-impulsu............................................................................................................... 54
13.5
Tensor energie-impulsu makroskopického tělesa. ...................................................................... 57
14
Elektromagnetické vlny. ................................................................................................................. 58 14.1
Vlnová rovnice............................................................................................................................ 58
14.2
Rovinná monochromatická vlna. ................................................................................................ 59
14.3
Rozklad elektrostatického pole bodového náboje....................................................................... 60
14.4
Vlastní kmity pole....................................................................................................................... 61
15
Brzdění pohybu vyzařováním. ........................................................................................................ 62
15.1
Rozklad potenciálu...................................................................................................................... 62
15.2
Lagrangeova funkce soustavy nábojů. ........................................................................................ 64
15.3
Brzdění pohybu vyzařováním. .................................................................................................... 65
15.4
Hranice platnosti klasické elektrodynamiky. .............................................................................. 66
16
Záření rychle se pohybujícího náboje. ............................................................................................ 66 16.1
17
Intenzita dipólového záření......................................................................................................... 66 Rozptyl záření volnými náboji........................................................................................................ 68
17.1
Thomsonův vzorec...................................................................................................................... 68
17.2
Modifikace Thomsonova vzorce................................................................................................. 69
18
Index lomu. ..................................................................................................................................... 69
19
Elektromagnetické pole v dispersním prostředí.............................................................................. 71 19.1
Maxwellovy rovnice. .................................................................................................................. 71
19.2
Kramersovy - Kronigovy relace.................................................................................................. 73
20
Chování vlny na rovinném rozhraní................................................................................................ 74 20.1
Fázová a grupová rychlost. ......................................................................................................... 74
20.2
Sommerfeldovo – Brilluinovo řešení.......................................................................................... 75
20.3
Odraz a lom na rovinném rozhraní. ............................................................................................ 77 4
20.4 21
Zastavené a urychlené světlo. ..................................................................................................... 77 Matematické doplňky...................................................................................................................... 78
21.1
Lorentzova grupa. ....................................................................................................................... 78
21.2
Grupa SL(2,C)............................................................................................................................. 79
21.3
Zápis Maxwellových rovnic pomocí diferenciálních forem. ...................................................... 80
21.4
Teorém Noetherové..................................................................................................................... 82
5
1
Maxwellovy rovnice.
V prostředí s hustotou náboje a hustotou proudu je ∇⋅ E =
ρ ε0
, ∇× E = −
∂B ∂t
,
(1.1) 1
µ0
∇ × B = ε0
∂E + j ∂t
, ∇⋅B = 0 .
Pro statické jevy můžeme zvlášť studovat elektrostatiku a zvlášť magnetostatiku. Pro elektrostatiku je ∇ ⋅E =
ρ ε0
∇ ×E = 0
(1.2)
, ∇⋅ B = 0 .
(1.3)
,
a pro magnetostatiku
∇× B = µ 0 j Substituce
E = − ∇φ
(1.4)
vede k tomu, že rovnice s rotací je splněna identicky a rovnice s divergencí dává ∆ φ =−
ρ ε0
.
(1.5)
Substituce B = ∇× A
(1.6)
vede k tomu, že rovnice s divergencí je splněna identicky a rovnice s rotací vede na
(
)
∆ A − ∇ ∇⋅ A = − µ 0 j .
6
(1.7)
2 2.1
Coulombův a Newtonův zákon. Coulombův zákon.
Síla, kterou působí náboj q2 (nacházející se v místě 2) na náboj q1 v místě 1 je F1 =
1
q1 q2 r12 4 π ε 0 r123
, r12 = r1 − r2
, r12 = r1 − r2
(2.1)
a síla, kterou působící náboj q1 (nacházející se v místě 1) na náboj q2 v místě 2 je F2 =
1
q1 q2 r21 , r21 = r2 − r1 , r21 = r2 − r1 4 π ε 0 r213
,
(2.2)
je tedy F1 = − F2 .
2.2
(2.3)
Newtonův zákon.
Síla, kterou působí hmotnost m2 (nacházející se v místě 2) na hmotnost m1 v místě 1 je F1 = G
m1 m2 r21 , r21 = r2 − r1 , r21 = r2 − r1 r213
(2.4)
a síla, kterou působí hmotnost m1 (nacházející se v místě 1) na hmotnost m2 v místě 2 je F2 = G
m1 m2 r12 r123
, r12 = r1 − r2
je tedy samozřejmě opět F1 = − F2 .
7
, r12 = r1 − r2
,
(2.5)
3 3.1
Poissonova rovnice. Greenova funkce.
Poissonovu rovnici pro elektrostatické pole − ∆φ =
ρ ε0
(3.1)
i rovnici pro gravitační pole ∆ φ = 4π G µ
(3.2)
budeme psát jednotným způsobem jako Hˆ ψ = J
,
(3.3)
kde Hˆ = − ∆ a J = ρ ε 0 nebo J = − 4 π G µ . Předpokládejme, že známe vlastní funkce a vlastní hodnoty operátoru Hˆ x Hˆ x′ = x ∑ λm ψ m ψ m x′ = ∑ λm ψ m* ( x′ )ψ m ( x ) . m m
(3.4)
Předpokládejme dále, že žádná z vlastních hodnot není rovna nule. Položíme pak Greenovu funkci rovnu 1 1 x Gˆ x′ = x ∑ ψ m ψ m x′ = ∑ ψ m* ( x′ )ψ m ( x ) m λm m λm
(3.5)
1 x Gˆ Hˆ x′ = x ∑ ψ m ψ m ∑ λn ψ n ψ n x′ = m λm n x ∑ ψ n ψ n x′ = x 1ˆ x′ = δ ( x − x′ ) . n
(3.6)
a platí
Řešení Poissonovy rovnice dostáváme ve tvaru x ψ = x Gˆ J = ∫ x Gˆ x′ x′ J d x′
nebo
8
(3.7)
ψ ( x) = ∑ n
1
λn
ψ n ( x ) ∫ψ n* ( x′ ) J ( x′ ) d x′ .
(3.8)
Připomeňme vyjádření jednotkového operátoru v ortonormální bázi
∫ 3.2
x x d x = 1ˆ .
(3.9)
Greenova věta.
Všimněme si nejprve působení laplaciánu na funkci 1 r . Máme 1 r ∇ =− 3 r r
1 , ∇⋅ ∇ = 0 r
(3.10)
všude, kde je tato funkce dobře definována, tedy s výjimkou bodu r = 0 . Použitím Gaussovy věty na kouli se středem v počátku máme
⌠ 1 ∇ ⋅ ∇ d V = − 4π ⌡ r
,
(3.11)
K
je tedy chování funkce ∆ (1 r ) neobvyklé a zapisujeme je pomocí Diracovy delta funkce jako 1 3 ∆ = − 4 π δ ( ) (r ) . r
(3.12)
Z Gaussovy věty plyne Greenova věta. Mějme identity
( ) ( ) ( )( ) ∇⋅ ( v ∇ u ) = v ∇⋅ ( ∇ u ) + ( ∇ v ) ⋅ ( ∇ u ) ∇⋅ u ∇ v = u ∇⋅ ∇ v + ∇ u ⋅ ∇ v
, .
Po odečtení rovnic a užití Gaussovy věty dostáváme Greenovu větu
∫ (u ∆ v − v ∆ u ) d V = ∫ (u ∇ v − v ∇ u ) n d S
.
(3.13)
∂V
V
Máme teď ∆φ = −
ρ ε0
1 3 , ∆ = − 4π δ ( ) ( r ) . r
9
(3.14)
Rozšíříme-li integrační oblast na celý prostor a předpokládáme-li dostatečně rychlý pokles v nekonečnu, dostáváme
⌠ ρ ( r ′) 3 d r′ . 4π ε0 ⌡ r − r′ 1
φ (r ) =
(3.15)
Ve dvourozměrném případě je postup podobný. Všimněme si nejprve působení laplaciánu na funkci ln r . Máme ∇ ln r =
r r2
(
)
, ∇⋅ ∇ ln r = 0
(3.16)
všude, kde je dobře definována, tedy s výjimkou bodu r = 0 . Použitím Gaussovy věty na kružnici se středem v počátku máme
∫ ∇⋅ ( ∇ ln r ) d S = 2 π
(3.17)
,
K
je tedy chování funkce ∆ ( ln r ) neobvyklé. Zapisujeme je pomocí Diracovy delta funkce jako ∆ ln r = 2 π δ (
2)
(r )
.
(3.18)
Z Greenovy věty potom dostáváme (pozor na podmínky v nekonečnu a “rozměr” ln r )
φ (r ) = −
4
1 2π ε0
∫ σ ( r ′) ln r − r ′ d
2
r′ .
(3.19)
Elektrostatická energie nábojů.
Elektrostatickou energii spojitého rozložení náboje U=
1 ρφ dV 2∫
(4.1)
můžeme pro soustavu bodových nábojů ρ ( r ) = ∑ a ea δ ( 3) ( r − ra ) zdánlivě napsat jako důsledek prostého dosazení
10
U′ =
1 ∑ ea φa 2 a
, φa = φ ( ra ) .
(4.2)
Z Coulombova zákona máme
φa =
1
eb
4π ε0
∑r b
, rab =
ra − rb
(4.3)
.
ab
Musíme tedy vyloučit působení pole vytvořeného daným bodovým nábojem na tento náboj, abychom mohli psát konečný výraz pro energii U=
5 5.1
1
ea eb 8π ε 0 a ≠ b rab
∑
.
(4.4)
Multipólový rozklad pole. Laplaceova rovnice ve sférických souřadnicích.
Laplaceův operátor ve sférických souřadnicích je ∆ψ =
1 ∂ 2 ∂ψ r r2 ∂ r ∂ r
1 ∂ ∂ψ + 2 sin θ ∂θ r sin θ ∂ θ
1 ∂2 ψ + 2 2 2 r sin θ ∂ ϕ
.
(5.1)
Separací proměnných
ψ ( r ,θ , ϕ ) = R ( r ) Θ (θ ) Φ (ϕ )
(5.2)
dojdeme ke třem obyčejným diferenciálním rovnicím d 2 Φ (ϕ ) + m 2 Φ (ϕ ) = 0 , 2 dϕ d 2 d R (r) 2 r − λ R (r) = 0 , dr dr d Θ (θ ) 2 1 d m2 + − sin θ λ sin θ d θ d θ sin 2 θ
(5.3)
Θ (θ ) = 0 .
Jednoduše odvodíme, že (požadavek periodicity v proměnné ϕ ) m musí být celé číslo a Φ m (ϕ ) = Cm cos m ϕ + Sm sin m ϕ Dále pak, že řešením radiální rovnice je (píšeme λ 2 = l ( l + 1) )
11
.
(5.4)
Rl ( r ) = Al r l +
Bl r l +1
(5.5)
.
Nejobtížnější je rovnice pro axiální souřadnici. Substituce cos θ = x vede k Legendreově rovnici
m2 m 2 m′′ m′ − − + + − x P x x P x l l Pl ( x ) = 0 , 1 2 1 ( ) ( ) ( )l ( ) l 1 − x 2
(5.6)
která má jako regulární řešení polynomy v proměnných cos θ a sin θ .
5.2
Legendreovy polynomy.
Snadno vidíme, že pro m = 0 můžeme rovnici (5.6) přepsat na d P ( x) d 1 − x2 ) l + l ( l + 1) Pl ( x ) = 0 . ( dx d x
(5.7)
Integrací rozdílu vynásobených rovnic dostaneme vztah 1
( m − n )( m + n + 1) ∫ Pm ( x ) Pn ( x ) d x = 0
,
(5.8)
−1
odkud plyne ortogonalita Legendreových polynomů Pl ( x ) na intervalu
( −1,1) .
Z mnoha důležitých
vlastností Legenreových polynomů uveďme dvě: vyjádření polynomu pomocí Rodriguesova vzorce Pl ( x ) =
l 1 dl x 2 − 1) l l ( l !2 d x
(5.9)
a výraz pro vytvářející funkci ∞
1
(1 − 2 x t + t 2 )
12
= ∑ Pl ( x ) t l
.
(5.10)
l =0
Použitím Leibnitzova pravidla d m f ( x ) g ( x ) d xm
d m−k f ( x) d k g ( x) m! d xm − k d xk k = 0 k !( m − k )! m
=∑
dostaneme m – násobným derivováním rovnice (5.7) rovnici
12
(5.11)
(1 − x ) f ′′ ( x ) − 2 x ( m + 1) f ′ ( x ) + ( n − m )( n + m + 1) f ( x ) = 0 2
kde f ( x ) = d m Pl ( x ) d x m . Substituce f ( x ) = (1 − x 2 )
−m 2
(5.12)
,
g ( x ) vede k tomu, že funkce g ( x ) musí
splňovat rovnici (5.6), je tedy konečně Pl m ( x ) = (1 − x 2 )
m 2
d m Pl ( x ) . d xm
(5.13)
Využijeme–li ještě (5.9), můžeme (5.13) rozšířit i na oblast záporných m, tedy Pl
m
( x)
( −1) = l !2l
l
(1 − x )
2 m2
l d m+l 1 − x2 ) m+l ( dx
, −l ≤ m ≤ l .
(5.14)
Polynomy (5.14) se nazývají přidružené Legendreovy polynomy. Námi definované polynomy Pl m ( x ) nebo Pl ( x ) nejsou na intervalu ( − 1,1) normované na jedničku. Ostatně různé drobné i větší odchylky v definicích speciálních funkcí jsou díky historickému vývoji bohužel zcela běžné.
5.3
Kulové funkce.
Pomocí přidružených Legendreových polynomů definujeme úplný ortonormální soubor kulových funkcí (tj. každou funkci úhlových proměnných ve sférických souřadnicích můžeme napsat pomocí (nekonečné) řady těchto funkcí) Yl m (θ , ϕ ) =
( 2 l + 1) ( l − m )! P m cos θ exp i m ϕ ) ( ) l ( 4 π ( l + m )!
.
(5.15)
Platí tedy 2π
π
∫ d ϕ ∫ d θ sin θ Y (θ , ϕ ) Y (θ , ϕ ) = δ 0
m1 * l1
m2 l2
l1 l2
δm m 1
(5.16)
2
0
a ∞
f (θ , ϕ ) = ∑
m =l
∑
m
f l Yl
l =0 m = −l
m
(θ , ϕ )
2π
,
m
fl =
∫ d ϕ ∫ d θ sin θ f (θ , ϕ ) Y (θ , ϕ )
13
m*
l
0
Několik prvních kulových funkcí je
π
0
.
(5.17)
Y00 =
3 3 sin θ exp ( − i ϕ ) Y10 = cosθ 8π 4π
Y1−1 =
−2 2
Y Y2−1 =
1 4π 3 sin θ exp ( i ϕ ) 8π
Y11 = −
15 15 = sin 2 θ exp ( − 2 i ϕ ) Y22 = sin 2 θ exp ( 2 i ϕ ) 32 π 32 π
(5.18)
15 5 15 sin θ cos θ exp ( − i ϕ ) Y20 = 3cos 2 θ − 1) Y21 = − sin θ cosθ exp ( i ϕ ) ( 8π 16 π 8π
Velmi důležitým speciálním případem rozkladu (5.17) je vztah pro Legendreův polynom obecného úhlu mezi dvěma vektory n = ( sin θ cos ϕ ,sin θ sin ϕ , cos θ ) a n′ = ( sin α cos β ,sin α sin β , cos α ) , tedy
cos γ = n ⋅ n′ = cos θ cos α + sin θ sin α cos (ϕ − β ) , Pl ( cos γ ) =
5.4
(5.19)
4π m = l m* ∑ Yl (α , β ) Yl m (θ , ϕ ) . 2 l + 1 m = −l
Pole bodových nábojů ve vakuu.
Víme, že pole bodového náboje ve vakuu je dáno Coulombovým potenciálem. Je-li náboj q umístěn mimo počátek souřadné soustavy, např. na ose z (v bodě z = R ), je tento potenciál dán vztahem
φ=
q
1
4π ε 0 x2 + y 2 + ( z − R )
2 12
=
q
1
4 π ε 0 r 2 + R 2 − 2 r R cos θ 1 2
.
(5.20)
Vztah (5.10) nám umožní zapsat potenciál (5.20) ve tvaru multipólového rozkladu ∞
r φ= Pl ( cos θ ) ∑ 4π ε 0 R l = 0 R q
∞
R φ= Pl ( cos θ ) ∑ 4π ε 0 r l = 0 r q
Pro r
l
, r≤R , (5.21)
l
, r≥R .
R převažuje rotačně souměrná (vzhledem k počátku souřadnic, nikoliv poloze náboje) složka
l = 0 . Umístíme-li však na ose z ještě náboj opačné velikosti do z = − R , vyruší se identické příspěvky
členů s l = 0 a pro r
R převažuje pak dipólová složka ( l = 1 )
14
2 q R P1 ( cos θ ) D cos θ = 2 r 4π ε0 4π ε0 r 2
φdip ≈
,
(5.22)
kde D = 2 q R označuje dipólový moment. Podobně, umístíme-li v rovině z = 0 náboje q ve vzdálenosti R od počátku na osu x a náboje − q ve vzdálenosti R od počátku na osu y , vyruší se identické příspěvky
členů s l = 0 a l = 1 (při výpočtu využíváme (5.19)) a pro r
R převažuje pak kvadrupólová složka
(l =2)
φquad ≈ −
2 q R 2 P2 ( cos θ ) Q 1 − 3cos 2 θ = r3 r3 4π ε 0 4π ε0
,
(5.23)
kde Q = q R 2 je kvadrupólový moment.
6 6.1
Magnetostatika. Analogie mezi elektrostatikou a magnetostatikou.
Viděli jsme, že řešením Poissonovy rovnice (3.1) v elektrostatice je potenciál (3.15)
⌠ ρ ( r′) 3 d r′ 4π ε0 ⌡ r − r′
(6.1)
⌠ r − r′ 3 ρ ( r ′) d r′ . 3 4π ε0 ⌡ r − r′
(6.2)
φ (r ) =
1
a tedy intensita E (r ) =
1
Řešením základní rovnice magnetostatiky (volíme kalibraci ∇⋅ A = 0 ) ∆ A = − µ0 j
(6.3)
µ 0 ⌠ j ( r ′) 3 d r′ . 4π ⌡ r − r′
(6.4)
je analogicky A(r ) = Pro magnetickou indukci pak je
15
B (r ) =
µ0 ⌠ j ( r ′) × ( r − r ′) 3 d r′ . 3 4π r − r′ ⌡
Pro bodový náboj napíšeme ρ ( r ′) d 3 r′ = e δ (
3)
( r′ − r0 ) d 3 r′
(6.5)
a z obecného vztahu (6.2) dostáváme
Coulombovo pole E (r ) =
e
r − r0
.
4 π ε 0 r − r0 3
Obdobně pro lineární vodič napíšeme j ( r ′) d 3 r ′ = J δ (
2)
(6.6)
( r⊥′ − r0 ) d 2 r0 ⊥ d r0
a z obecného vztahu (6.5) dostáváme Biotovo-Savartovo pole B (r ) =
µ0 J ⌠ d r0 × ( r − r0 ) . 3 4π r − r0 ⌡
(6.7)
Gaussova věta
⌠ρ
∫ ∇⋅ E d V = ∫ E ⋅ n d S = ⌡ ε
V
S
V
0
dV =
Q
(6.8)
ε0
má analogii v Ampérově zákonu
∫ ( ∇× B ) ⋅ n d S = ∫ B ⋅ t d S
6.2
= µ0 ∫ j ⋅ n d S = µ0 J
(6.9)
.
S
Magnetické pole kruhové smyčky.
Do vztahu pro vektorový potenciál (6.4) dosadíme j ( r ′) d 3 r ′ = J δ ( ρ ′ − a ) δ ( z ′) eϕ ′ ρ ′ d ρ ′ d z ′ d ϕ ′ , kde eϕ ′ = − sin (ϕ ′ − ϕ ) eρ + cos (ϕ ′ − ϕ ) eϕ , a dostaneme π
A ( ρ , z ) = Aϕ ( ρ , z ) eϕ
µ J⌠ a cos ϕ d ϕ , Aϕ ( ρ , z ) = 0 2 π ⌡ ( a 2 + ρ 2 + z 2 − 2 a ρ cos ϕ )1 2
,
0
(6.10) 12
µ J a k 2 Aϕ ( ρ , z ) = 0 1 − K ( k ) − E ( k ) , 2 π k ρ
16
kde
k2 =
π 2
⌠ dξ , K (k ) = ⌡ 1 − k 2 sin 2 ξ
4a ρ
(a + ρ )
2
+z
2
, E (k ) =
π 2
∫
1 − k 2 sin 2 ξ d ξ
.
(6.11)
0
0
Při výpočtu indukce potřebujeme identity ∂ E (k ) E (k ) − K (k ) = ∂k k
,
∂ K (k ) E (k ) K (k ) = − . ∂k k k (1 − k 2 )
(6.12)
a2 + ρ 2 + z2 E k ( ) − K ( k ) + , 2 (a − ρ ) + z2 + z 2
(6.13)
a2 − ρ 2 − z2 K k + E k ( ) ( ) . 2 2 2 − + a ρ z ( ) +z
(6.14)
Potom máme pro složky indukce ( Bϕ = 0 ) ∂ Aϕ
µ J = 0 Bρ ( ρ , z ) = − ∂z 2π ρ Bz ( ρ , z ) =
7 7.1
1 ∂ ρ Aϕ µ0 J = ρ ∂ρ 2π
z
(a + ρ )
2
1
(a + ρ )
2
Maxwellovy rovnice v materiálovém prostředí. Mikroskopické Maxwellovy rovnice.
Náboje a proudy rozdělíme na vázané na prostředí a vnější, mikroskopické Maxwellovy rovnice v materiálovém prostředí tedy budou ∇⋅ e =
ρ + ρext ε0
, ∇× e = −
∂e ∇× h = ε 0 + ρ v + jext µ0 ∂t 1
∂h ∂t
, (7.1)
, ∇⋅ h = 0 .
Středováním dostaneme ∇⋅ E =
ρ + ρ ext ε0
, ∇× E = −
∂E ∇× B = ε 0 + ρ v + jext µ0 ∂t 1
17
∂B ∂t
,
, ∇⋅ B = 0 ,
(7.2)
kde jsme označili e =E
h =B .
,
(7.3)
Celkový náboj vázaný na prostředí, které je plně uzavřeno uvnitř oblasti V je roven nule
∫
ρ dV = 0 ⇒
ρ = − ∇⋅ P ,
(7.4)
V
přičemž P = 0 vně materiálu. Potom je totiž
∫
V
ρ d V = − ∫ ∇⋅ P d V = ∫ P ⋅ n d S = 0 . V
(7.5)
S
Uvažujme dipólový moment
∫r
V
ρ d V = − ∫ r ( ∇⋅ P ) d V = − ∫ r ( n ⋅ P ) d S + ∫ ( P ⋅∇ ) r d V = ∫ P d V V
S
V
(7.6)
.
V
Proveďme nyní řez materiálem plně uvnitř nějaké plochy S. Celkový proud touto plochou vázaný na prostředí je dán celkovou hodnotou časové změny průmětu vektoru polarizace
∫
⌠ ∂P ⋅n d S ⌡ ∂t
ρ v ⋅n d S =
S
⇒
ρ v = ∇× M +
S
∂P ∂t
(7.7)
,
přičemž M = 0 vně materiálu. Potom je totiž T
1 ⌠⌠ ∂P ⌠ P (T ) − P ( 0) lim ∇× M + ⋅ n d S d t ≈ ∫ M ⋅ d + lim ⋅n d S = 0 . T →∞ T T →∞ ⌡ T ∂t ⌡ ⌡ S S
(7.8)
0
Uvažujme magnetický moment 1 1 1 1 r × ρ v d V = ∫ r × ∇× M d V = ∫ r × n × M d S − ∫ M ×∇ × r d V = ∫ M d V ∫ 2V 2V 2S 2V V
(
)
(
)
(
)
.
(7.9)
Definice vektorů polarizace P a magnetizace M pomocí momentů je důležitá pro jednoznačnost, jinak by vyhovovaly také P + ∇× f a M + ∇ f . Povšimněme si, že spojení rovnic (7.4) a (7.7) dává
18
∂ ρ + ∇⋅ ρ v = 0 . ∂t
7.2
(7.10)
Makroskopické Maxwellovy rovnice.
Zavedeme vektory indukce elektrického pole a intenzity magnetického pole jako D = ε0 E + P , H =
1
µ0
(B − M )
(7.11)
a dostáváme ze (7.2), (7.4) a (7.7) makroskopické Maxwellovy rovnice ve tvaru ∇⋅ D = ρ
, ∇× E = −
∂D ∇× H = + j ∂t
∂B ∂t
, (7.12)
, ∇⋅ B = 0 .
Rovnice (7.12) jsou konsistentní s rovnicí kontinuity ∂ρ + ∇⋅ j = 0 . ∂t
7.3
(7.13)
Maxwellovy rovnice pro prostředí s triviálními materiálovými vztahy.
V homogenním isotropním lineárním prostředí bez disperse máme jednoduché materiálové vztahy D = εr ε0 E
, H=
1
µ r µ0
B .
(7.14)
Zavedeme-li pro popis elektromagnetického pole vektorový a skalární potenciál B = ∇× A , E = − ∇ φ − máme po dosazení do Maxwellových rovnic
19
∂A , ∂t
(7.15)
∆φ +
∂ ρ ∇⋅ A = − ε r ε0 ∂t
,
∂2 A ∂φ ∆ A − ε r µ r ε 0 µ0 2 − ∇ ∇⋅ A + ε r µ r ε 0 µ0 = − µ r µ0 j . ∂t ∂ t
(7.16)
S využitím kalibrační transformace A → A + ∇ψ
, φ →φ −
∂ψ ∂t
(7.17)
můžeme mít ∇⋅ A + ε r µr ε 0 µ0
∂φ =0 ∂t
(7.18)
a dostáváme tak pro potenciály nehomogenní vlnovou rovnici ∆φ −
n 2 ∂ 2φ ρ =− 2 2 c ∂t εr ε0
,
n2 ∂2 A ∆A− 2 = − µ r µ0 j c ∂ t2
(7.19) .
Označili jsme rychlost světla ve vakuu c a index lomu n c=
7.4
1
, n 2 = ε r µr
ε 0 µ0
(7.20)
.
Energie a impuls elektromagnetického pole.
Mějme testovací částici s energií ε a impulsem p . Při přechodu ke spojitému rozložení náboje a proudu je ∆ε = F ⋅∆ r =
1
ρ
F ⋅ j ∆ t , F = ρ E ∆V + j × B ∆V
⇒
1 ∆ε = j ⋅E . ∆V ∆ t
(7.21)
S využitím vztahu
(
)
(
)
(
E ⋅ ∇× H − H ⋅ ∇× E = ∇ ⋅ H × E odvodíme z Maxwellových rovnic výraz
20
)
(7.22)
H⋅
∂B ∂D + E⋅ = − j ⋅E − ∇⋅ E× H ∂t ∂t
(
)
.
(7.23)
Na pravé straně vystupuje vykonaná práce a tok, výraz na levé straně můžeme tedy interpretovat jako časovou změnu hustoty energie. Po zavedení veličin hustoty energie W a Poyntingova vektoru S W=
1 E ⋅D + B⋅ H 2
(
)
, S = E×H
(7.24)
můžeme (7.23) psát jako ∂ W d V + ∫ j ⋅E d V + ∫ S ⋅n d Σ = 0 . ∂ t V∫ V Σ
(7.25)
Obdobnou úvahu můžeme provést pro impuls. Při přechodu ke spojitému rozložení náboje je ∆ p = F ∆t
, F = ρ E ∆V + j × B ∆V
⇒
1 ∆p = ρ E + j×B . ∆V ∆ t
(7.26)
Z Maxwellových rovnic odvodíme výraz D×
∂B ∂D + × B = E ∇⋅ D − B × ∇× H + H ∇⋅ B − D × ∇× E − j × B − ρ E . ∂t ∂t
(
)
(
)
(
)
(
)
(7.27)
Poslední dva členy na pravé straně popisují Lorentzovu sílu, můžeme tedy výraz na levé straně interpretovat jako časovou změnu hustoty impulsu G = D × B = ε r µ r ε 0 µ0 E × H =
n2 S . c2
(7.28)
Po úpravě, kdy předpokládáme, že permitivita ani permeabilita nezávisí na prostorových souřadnicích můžeme psát 3 E ∇⋅ D − D × ∇× E = ∑ ∂ Ei D j − 1 δ i j E ⋅ D , i j =1 ∂ x 2 j
(
)
(
)
H ∇⋅ B − B × ∇× H = ∑ ∂ H i B j − 1 δ i j H ⋅ B . i j =1 ∂ x 2 j
(
)
(
3
)
a zákon zachování má tvar
21
(7.29)
∂ ⌠ 3 + + × + G d V ρ E j B d V i ∑ Ti j n j d Σ = 0 . ∫V i i ∂ t V∫ ⌡ j =1
(
)
(7.30)
Σ
Definovali jsme Maxwellův tensor napětí Ti j jako 1 Ti j = − ( Ei D j + H i B j ) + δ i j E ⋅ D + H ⋅ B 2
(
)
(7.31)
.
Takto definovaný Maxwellův tensor určuje tok impulsu z uvažovaného objemu. Jeho stopa je rovna hustotě energie 3
W − ∑ Ti i = 0 .
(7.32)
1 1 e ( t ) + e * ( t ) , D ( t ) = d ( t ) + d * ( t ) , 2 2 1 1 B ( t ) = b ( t ) + b * ( t ) , H ( t ) = h ( t ) + h * ( t ) , 2 2
(7.33)
i=
7.5
Prostředí s dispersí.
V prostředí s dispersí musíme psát E (t ) =
kde dα ⌠ e ( t ) = e0 ( t ) exp {− i ω t} = e0 (α ) exp {− i (α + ω ) t} 2π ⌡
,
dα ⌠ d ( t ) = d 0 ( t ) exp {− i ω t} = ε 0 ε (α + ω ) e0 (α ) exp {− i (α + ω ) t} 2π ⌡ dα ⌠ h ( t ) = h0 ( t ) exp {− i ω t} = h0 (α ) exp {− i (α + ω ) t} , 2π ⌡ dα ⌠ b ( t ) = b0 ( t ) exp {− i ω t} = µ0 µ (α + ω ) h0 (α ) exp {− i (α + ω ) t} 2π ⌡
,
(7.34)
.
Předpokládáme, že e0 ( t ) a h0 ( t ) jsou pomalu se měnící funkce a že pro hodnoty integrálů jsou tedy podstatné pouze příspěvky z okolí α = 0 . Pro výpočet zobecněného vztahu (7.23) nebo (7.27) potřebujeme znát přibližné vyjádření pro ∂ d ∂ t a ∂ b ∂ t . Rozvoj příslušných integrandů kolem α = 0 napíšeme jako
22
(α + ω ) ε (α + ω ) = ω ε (ω ) +
2 d ω ε (ω ) 1 d ω ε (ω ) 2 α+ α +…≈ dω 2! d ω 2
d ε (ω ) d ω ε (ω ) −ω + (ω + α ) dω dω
(7.35)
2
nebo 2 d ω µ (ω ) 1 d ω µ (ω ) 2 α+ α +…≈ (α + ω ) µ (α + ω ) = ω µ (ω ) + 2! d ω 2 dω
d µ (ω ) d ω µ (ω ) −ω 2 + (ω + α ) . dω dω
(7.36)
To nám umožní získat hledané vyjádření d ε (ω ) d ω ε (ω ) ∂ e ( t ) ∂ d (t ) e (t ) + ε0 ≈ i ε0 ω 2 dω dω ∂t ∂t
, (7.37)
d µ (ω ) d ω µ (ω ) ∂ h ( t ) ∂ b (t ) h ( t ) + µ0 . ≈ i µ0 ω 2 dω dω ∂t ∂t Pro hustotu energie pak máme konečný výraz W=
d ω µ (ω ) 2 1 d ω ε (ω ) 2 1 E + B . ε0 2 2 dω µ0 µ (ω ) d ω
(7.38)
Řešení vlnové rovnice pro vektorový potenciál ve tvaru rovinné vlny dává
(
φ = 0 , A = 2 N a cos ω t − k r
(
E = 2 N ω a sin ω t − k r
)
(
)
,
) (
, B = 2 N k × a sin ω t − k r
a ⋅k = 0 ,
k =
nω c
)
,
(7.39)
.
Normovací podmínku pro vektorový potenciál odpovídající jednomu fotonu napíšeme jako T
1 lim ⌠ W dV d t = ω . T →∞ T ⌡ ∫ V
(7.40)
0
Po dosazení dostaneme pro normovací konstantu N
N = 2 ε 0 ω V ( ε (ω ) n ( ω ) ) ∂ (ω n (ω ) ) ∂ ω
(
23
)
12
.
(7.41)
S uvedenou hodnotou normovací konstanty N je impuls fotonu střední hodnotou veličiny úměrné Poyntingovu vektoru T
1 ⌠ ⌠ 1 ∂ (ω n (ω ) ) ωk lim 2 E×H dV d t = T →∞ T c ∂ω c k ⌡⌡ V
.
(7.42)
0
8
Kvasistacionární pole.
Poznámka: normála k ploše je dána pravidlem pravé ruky, tedy ve směru vektorového součinu tečny a vnitřní normály k orientované (proti směru hodinových ručiček) uzavřené křivce na ploše. 8.1
Skin-efekt.
Maxwellovy rovnice v přiblížení kvasistacionárního pole ∇⋅ E = 0 , ∇× E = − ∇× B = µ 0 σ E
∂B ∂t
,
(8.1)
, ∇⋅ B = 0 .
vedou na ∆ E = µ 0σ
∂E ∂t
.
(8.2)
Uvažujme nekonečný přímý drát kruhového průřezu. V důsledku symetrie má elektrické i magnetické pole jedinou složku E = E ( r ) exp {− i ω t} ez
, B = B ( r ) exp {− i ω t} eϕ
(8.3)
a máme tedy 1 d dE dE 2 r + k E = 0 , iω B = − r dr dr dr
,
(8.4)
kde jsme označili k=
2i
δ
=
1+ i
δ 24
, δ=
2
µ0 ω σ
.
(8.5)
Řešením rovnice (8.4) konečným na ose je E (r ) = K J0 (k r ) , B (r) = − i
k
ω
K J1 ( k r ) .
(8.6)
Konstantu úměrnosti získáme pomocí jedné nebo druhé následující podmínky (proud protékající drátem musí mít danou hodnotu resp. tok magnetického pole plochou protínanou drátem musí mít danou hodnotu R
2π σ ∫ E ( r ) r d r = I
, 2π R B ( R ) = µ 0 I .
(8.7)
0
Máme tedy uvnitř vodiče E (r) =
k R J0 (k r) σ π R 2 J1 ( k R ) I
2
, B (r) =
µ0 I J 1 ( k r ) . 2 π R J1 ( k R )
(8.8)
Pro malé hodnoty frekvence je E (r) ≈
I
σπ R
, B (r) ≈
2
µ0 I r , 2π R R
(8.9)
zatímco pro velké hodnoty máme v blízkosti r ≈ R E≈
12
R−r π R R−r − − ω t ez exp i exp − 4 2 π σ Rδ r δ δ I
12
µ I R B≈ 0 2π R r
R−r R−r exp − − ω t eϕ exp i δ δ
, (8.10)
.
Vztahy (8.10) získáváme z asymptotického rozvoje Besselových funkcí 12
2 1π Jν ( z ) ≈ cos z − ν + . 2 2 π z
(8.11)
Průběh relativní hodnoty hustoty proudu pro měděný drát poloměru 1 mm ( 1 σ = 1,555 ⋅10− 8 Ω m ) při dvou různých frekvencích ( f = 50 Hz
25
a
f = 5 MHz ) je
ukázán na obrázku. Je vidět, že při síťové frekvenci je skin-efekt zanedbatelný.
8.2
Vzájemná indukčnost a vlastní indukčnost.
Uvažujme dvě geometricky pevné cívky s proměnným proudem v cívce 2. Indukované napětí v cívce 1 vyvolané změnou pole buzeného cívkou 2 je U1 = −
∂ B2 ⋅ n1 d S1 , ∂ t (∫1)
∫ B ⋅n d S = ∫ A ⋅d 2
1
1
(1)
2
1
,
A2 =
(1)
µ0 I 2 ⌠ d 2 4π ⌡ r 12
.
(8.12)
( 2)
Po dosazení dostáváme U1 = M 12
d I2 dt
, M 12 = −
µ0 ⌠ ⌠ d 2 ⋅ d 4π ⌡ r1 − r2
1
.
(8.13)
⌡ ( 2) (1)
Pokud by tekl proměnný proud cívkou 1, bylo by indukované napětí v cívce 2 U 2 = M 21
d I1 dt
, M 21 = M 12 = M
(8.14)
.
Ale také změna magnetického toku cívkou 1 vytvoří indukované napětí v této cívce, stejné platí pro cívku 2. Obecně tedy můžeme psát U1 = − L1
d I1 d I2 +M dt dt
, U2 = M
d I1 dI − L2 2 dt dt
.
(8.15)
Časová změna energie magnetického pole je rovna záporně vzaté práci
dI dW dI dI dI = − U1 I1 − U 2 I 2 = L1 I1 1 + L2 I 2 2 − M I1 2 + I 2 1 , dt dt dt dt dt
(8.16)
takže pro energii magnetického pole je W=
1 1 L1 I12 + L2 I 22 − M I1 I 2 2 2
Energii magnetického pole máme ovšem také vyjádřenu jako
26
, L1 L2 ≥ M 2 .
(8.17)
W=
1 1 B⋅H dV = ∫ j ⋅ AdV ∫ 2V 2V
(8.18)
.
Při odvození rovnosti obou výrazů v (8.18) je postupně využito vztahů
(
)
(
(
)
B = ∇× A , H ⋅ ∇× A − A ⋅ ∇× H = ∇ ⋅ A × H
)
, ∇× H = j .
(8.19)
Vztahu pro energii využijeme pro výpočet vlastní indukčnosti L=
1 B2 d V 2 ∫ µ0 I V
(8.20)
.
Uvažujme dvě solenoidální cívky každou o N závitech těsně na sobě. Průřez cívek je S a jejich délka
.
Pole první a druhé cívky jsou tedy přibližně B1 ≈
µ 0 N I1
, B2 ≈
µ0 N I2
(8.21)
a pro indukčnosti máme L1 ≈ L2 ≈ − M ≈
µ0 N 2 S
.
(8.22)
Pro energii magnetického pole pak W≈
8.3
µ0 N 2 S 2
( I1 + I 2 )
2
.
(8.23)
Komplexní odpor.
Pro obvod s odporem, kondensátorem a indukčností v seriovém zapojení máme U = RI +
Q dI +L C dt
, I=
dQ dt
,
(8.24)
tedy pro harmonický průběh U = U 0 exp {− iω t} , I = I 0 exp {− iω t} dostáváme vztah
27
(8.25)
1 , Z = R − i ω L − . ωC
U =ZI
(8.26)
Vezmeme-li reálnou část (8.26), dostáváme I=
U 0 cos (ω t − ϕ )
1 R2 + ω L − ω C
2
, tg ϕ =
ωL R
−
1 ω RC
.
(8.27)
Pro soustavu induktivně vázaných obvodě má zobecnění rovnice (8.24) tvar U a = Ra I a +
Qa d Ib + ∑ La b Ca dt b
, Ia =
d Qa dt
(8.28)
,
které pro periodické děje dává U a = ∑ Z a b Ib b
i , Z a b = Ra + δ a b − i ω La b . ω Ca
(8.29)
Vlastní frekvence dostaneme z podmínky řešitelnosti soustavy rovnic pro proudy při všech U a = 0 , tedy det ( Z a b ) = 0 .
(8.30)
Rovnice (8.28) lze formálně získat dosazením lagrangiánu L a disipativní funkce R 1 d Qa d Qb 1 Qa2 −∑ + ∑ Qa U a L = ∑ La b dt dt a ,b 2 a 2 Ca a
,
1 d Qa R = ∑ Ra a 2 dt
2
.
(8.31)
do obecného vztahu d ∂L ∂L ∂R − =− d Qa d t ∂ d Qa ∂ Qa ∂ dt dt
9 9.1
.
(8.32)
Časově proměnná elektromagnetická pole. Rovinná a kulová vlna.
Vlnová rovnice v jednorozměrném případě a vlnová rovnice pro sféricky symetrické řešení v trojrozměrném případě jsou 28
∂2 ψ ( x , t ) 1 ∂2 ψ ( x , t ) − 2 =0 , ∂ x2 c ∂ t2 (9.1) 2 2 1 ∂ rψ ( r , t ) 1 ∂ ψ ( r , t ) − =0 . r ∂ r2 c2 ∂ t2
Obecné řešení těchto rovnic je
x
x
ψ ( x,t ) = f t − + g t + , c c
(9.2)
ψ (r ,t) =
r 1 1 f t − + g t + r c r
r . c
Na tato řešení se můžeme dívat jako na rovinnou vlnu jdoucí ve směru nebo proti směru osy x respektive na rozbíhavou nebo sbíhavou kulovou vlnu.
9.2
Obecné řešení nehomogenní rovnice pro potenciály.
První řešení z řešení (9.2) se sférickou symetrii je velmi důležité, neboť nám umožní zapsat obecně zpožděné potenciály, způsobené zadaným rozložením náboje a proudu. Připomeňme si, že platí 1 3 ∆ = − 4π δ ( ) ( r ) . r
(9.3)
Obecné řešení nehomogenních rovnic pro potenciály ∆φ −
1 ∂2φ ρ = c2 ∂ t 2 ε 0
,
1 2A ∆ A − 2 ∂ 2 = µ0j c ∂t
(9.4)
můžeme tedy získat jako r12 ⌠ ρ r2 , t − c 3 1 φ ( r1 , t ) = d r2 4π ε 0 r12 ⌡
29
(9.5)
a r12 ⌠ j r2 , t − c 3 µ A ( r1 , t ) = 0 d r2 4π r12 ⌡
(9.6)
,
kde r12 = r1 − r2 .
9.3
Pole časově proměnného dipólu.
Uvažujme všechny náboje soustředěny kolem počátku souřadnic. Pak můžeme pro vektorový potenciál psát A(r ,t ) ≈
µ0 ⌠ r 3 µ0 j r′ , t − d r′ = c 4π r ⌡ 4π r
∑e
a
a
r va t − c
(9.7)
neboli A(r ,t ) ≈
µ0 ∂ r pt − , c 4π r ∂ t
p ( t ) = ∑ ea ra ( t ) .
(9.8)
a
Skalární potenciál spočteme integrací vztahu ∂φ = − c2 ∇ ⋅ A . ∂t
(9.9)
Jednoduchými úpravami dostaneme ∇⋅ A = −
∂ µ0 r ⋅ 3 4π r ∂t
pt −
r r ∂2 pt − + c c ∂ t2
r , c
(9.10) ∇× A = −
∂ µ0 r × 3 4π r ∂t
pt −
r r ∂2 pt − + c c ∂ t2
r . c
r r ∂ + c c ∂t
r c
Skalární potenciál je tedy
φ (r ,t) =
r ⋅ pt − 4 π ε 0 r 3 1
Pro intenzity dostaneme 30
pt −
(9.11)
r 2 ∂ pt − 1 3 r r 1 c 2 p t − ⋅ r r − p t − + 2 ×r ×r , E (r ,t) = 3 2 ∂t 4π ε0 r r c c c r r ∂ pt − ∂ pt − µ0 r r r c c ×r , pt − = pt − + . B (r ,t) = 3 ∂t ∂t 4π r c c c
(9.12)
Dostatečně daleko od dipólu máme E (r ,t) =
1 r D t − ×n 4π ε 0 c r c 1
2
, B (r ,t) =
µ0 1 r Dt − , 4π c r c
(9.13)
kde jsme označili r ∂2 p t − r c Dt − = ×n 2 ∂t c
, n=
r r
.
(9.14)
Pro hustotu energie a Poyntingův vektor je W=
1 1 2 1 1 2 2 B = D ε0 E + 2 4 2 µ0 16 π c ε 0 r 2 1 1 1 2 S= E×B = D n . 2 3 16 π c ε 0 r 2 µ0
, (9.15)
Je přirozeně S = cn . W
(9.16)
Příklad: Vezměme rozložení proudu ve tvaru π z j ( r , t ) = J δ ( x ) δ ( y ) sin cos (ω t ) ez L
, 0≤ z≤L .
(9.17)
Podle (9.7) a (9.8) spočteme snadno p (t ) =
2LJ
πω
a podle (9.14) 31
sin (ω t ) ez
(9.18)
Dt −
r 2LJω sin θ sin ω t − =− c π
r eϕ c
(9.19)
.
Příklad: V kvantové teorii vezmeme místo integrálu z proudové hustoty maticový element operátoru proudu mezi počátečním a koncovým stavem elektronu v atomu. Ze Schrödingerovy rovnice i
2 ∂ψ i = − ∆ + V ψ i ∂t 2m
, −i
2 ∂ψ *f = − ∆ + V ψ *f ∂t 2m
(9.20)
dostaneme po úpravě ∂ ψ i ψ *f ) + ∇⋅ ψ *f ∇ψ i − ψ i ∇ψ *f = 0 . ( 2mi ∂t
(
)
(9.21)
Vztah (9.21) umožňuje zapsat „rovnici kontinuity“ ∂ ρfi ∂t
+ ∇⋅ jf i = 0 ,
(9.22)
kde hustota náboje a hustota proudu odpovídající přechodu i → f jsou
ρ f i = eψ i ψ *f
,
jf i =
e ψ *f ∇ψ i − ψ i ∇ψ *f 2mi
(9.23)
.
Jinou úpravou rovnic (9.20) získáme vztah ∂ ∂ ∂ ∂ r ψ i ψ *f ) = j f i + ( r jx ) + ( r j y ) + ( r jz ) . ( ∂t ∂x ∂y ∂z
(9.24)
Pro stacionární stavy i
i
ψ i ( r , t ) = ui ( r ) exp − Ei t , ψ *f ( r , t ) = u*f ( r ) exp E f t a s označením ω f i = ( E f − Ei )
můžeme psát p f i ( t ) = exp ( i ω f i t ) e ∫ r u*f ( r ) ui ( r ) d 3 r
9.4
(9.25)
.
Lienardův - Wiechertův potenciál.
Ať se nabitá částice pohybuje po zadané trajektorii r = r0 ( t ) . Hustota náboje je pak 32
(9.26)
ρ ( r , t ) = e δ (3) ( r − r0 ( t ) ) .
(9.27)
Vzorec pro skalární potenciál přepíšeme jako r − r′ ⌠ ρ ( r ′ , t ′) d t ′ d 3 r′ = δ t′ − t + c 4 π ε 0 ⌡ r − r′ r − r′ 1 ⌠ 1 δ t′ − t + d t′ , 4 π ε 0 ⌡ R ( t ′) c 1
φ (r ,t) =
(9.28)
kde jsme označili R ( t ′) = r − r0 ( t ′) , R ( t ′) = R ( t ′) . S pomocí vztahu
δ t′ − t +
R ( t ′) = c
δ ( t ′ − tr )
R ( tr ) ⋅ v ( t r ) 1− c R ( tr )
R ( tr ) c
(9.29)
, tr = t −
R ( tr ) . c
(9.30)
, tr = t −
R ( tr ) . c
(9.31)
, tr = t −
napíšeme výraz pro skalární potenciál jako
φ (r ,t) =
e 4π ε0
1 R ( tr ) ⋅ v ( tr ) R ( tr ) − c
Výraz pro vektorový potenciál je pak obdobně A(r ,t ) =
e µ0 4π
v ( tr ) R ( tr ) ⋅ v ( tr ) R ( tr ) − c
Vezměme teď jednoduchý případ pohybu s konstantní rychlostí podél osy x. Podmínku pro nalezení časového zpoždění přepíšeme na c 2 ( t − t r ) = ( x − v tr ) + y 2 + z 2 2
2
(9.32)
,
odkud 12
v2 vx 1 v2 2 2 1 t t x v t 1 y + z 2 ) − = − − − + − ( ) 2 r 2 2 ( c c c c
.
(9.33)
Jmenovatel výrazů (9.30) a (9.31) pro potenciály můžeme psát jako vx v ( x − v tr ) v2 c ( t − tr ) − = c t − 2 − 1 − 2 tr . c c c
33
(9.34)
Po malé úpravě pak dostáváme
φ (r ,t) =
e
1
4π ε0 v2 1 − c 2
12
1 r*
(9.35)
pro skalární potenciál a A ( r , t ) = ( Ax ( r , t ) ,0,0 ) ,
e µ0 1 v 12 * 2 4π v r 1 − c2
Ax ( r , t ) =
(9.36)
pro vektorový potenciál, kde jsme označili 12
2 − x v t ( ) + y2 + z2 r* = 2 1− v c2
.
(9.37)
Vektor intenzity elektrického pole je E (r ,t) =
e
1
4π ε 0 v2 1 − c 2
12
1 ( x − v t , y , z) r *3
(9.38)
a vektor indukce magnetického pole je B (r ,t) =
e µ0 1 v 0, − z , y ) . 1 2 *3 ( 4π v2 r 1 − c2
(9.39)
Pro vektor hustoty impulsu pole G = ε 0 E × B dostáváme G (r ,t) =
e 2 µ0 16 π 2
1 v ( y2 + z2 , − y ( x − v t ) , − z ( x − v t )) 2 v r *6 1− 2 c
a pro hustotu energie W = (ε 0 E 2 + B 2 µ0 ) 2 výraz
34
(9.40)
W (r ,t) =
(x − v t)
e2
1
32 π ε 0
v2 1− 2 c
2
2
v2 + 1 + 2 ( y 2 + z 2 ) c . *6 r
(9.41)
10 Základy teorie relativity. 10.1 Principy.
Princip relativity: všechny přírodní zákony jsou stejné ve všech inerciálních souřadných soustavách. Inerciální soustavy jsou takové, kde se volný pohyb děje s konstantní rychlostí. Interakce částic se v obyčejné mechanice popisuje pomocí interakční potenciální energie, která je funkcí polohy interagujících částic. Tento způsob popisu v sobě obsahuje předpoklad o okamžitém působení. Rychlost šíření interakce je konečná. Z principu relativity je tato rychlost (často “rychlost šíření signálu”) ve všech inerciálních soustavách stejná. Z Maxwellových rovnic je vidět, že jde o rychlost světa ve vakuu c = 299 792 458 m s −1 .
(10.1)
Toto je exaktní hodnota, určující tak délkovou jednotku jednotkou času. Sjednocení principu relativity s principem konečné rychlosti šíření signálu je nazýváno Einsteinovým principem relativity.
10.2 Interval, vlastní čas.
Uvažujme dvě události: emise a absorpci fotonu. V soustavě K je
( x2 − x1 )
2
+ ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 ) − c 2 ( t2 − t1 ) = 0 ,
(10.2)
+ ( y2′ − y1′ ) + ( z2′ − z1′ ) − c 2 ( t2′ − t1′ ) = 0 .
(10.3)
2
2
2
v soustavě K/ pak
( x2′ − x1′ )
2
2
35
2
2
Zavedeme obecně kvadrát intervalu mezi dvěma událostmi (dvěma body čtyřrozměrného prostoročasu) jako s122 = c 2 ( t2 − t1 ) − ( x2 − x1 ) − ( y2 − y1 ) − ( z2 − z1 ) 2
2
2
2
(10.4)
,
popřípadě pro infinitesimálně blízké události d s 2 = c2 d t 2 − d x2 − d y 2 − d z 2 .
(10.5)
Je-li interval roven nule v nějaké inerciální souřadné soustavě K, je roven nule i v libovolné jiné soustavě K/. Potom tedy musí být d s 2 = k (V ) d s′2 .
(10.6)
Vzhledem k homogenitě prostoru a času nemůže faktor úměrnosti záviset na souřadnicích, vzhledem k isotropii prostoru může pak tento faktor záviset pouze na velikosti relativní rychlosti uvažovaných inerciálních soustav. Uvažujeme-li tři soustavy K, K1 a K2 , dostáváme d s 2 = k (V1 ) d s12
, d s 2 = k (V2 ) d s22
, d s12 = k (V12 ) d s22
⇒
k (V2 ) k (V1 )
= k (V12 ) ,
(10.7)
a protože levá strana poslední rovnice nezávisí na úhlu mezi vektory rychlostí V1 a V2 , zatímco pravá strana může, musí být k (V ) = 1 .
(10.8)
Kvadrát intervalu mezi dvěma událostmi (10.4) nebo mezi dvěma infinitesimálně blízkými událostmi (10.5) je stejný ve všech inerciálních souřadných soustavách. Označme si v soustavě K t12 = t2 − t1 ,
2 12
= ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 ) 2
2
2
⇒ s122 = c 2 t122 −
2 12
.
(10.9)
Zkoumejme, existuje-li taková soustava K/ , kde by se obě události odehrály v jednom bodě prostoru, tedy že platí ′122 = 0 . Máme tak podmínku s122 = c 2 t122 −
2 12
= c 2 t12′2 > 0 , tj. interval musí být časupodobný. Naopak
požadavek na to, aby existovala soustava, ve které obě události nastanou současně ( t12′ = 0 ), vede
36
k podmínce s122 = c 2 t122 −
2 12
= − ′122 < 0 , tj. interval musí být prostorupodobný. V soustavě, která se
pohybuje s daným hmotným bodem ( ′122 = 0 ), můžeme tedy definovat vlastní čas jako t2
12
⌠ 1 v2 t2′ − t1′ = ∫ d s = 1 − 2 d t . c s1 c ⌡ s2
(10.10)
t1
10.3 Lorentzova transformace.
Soustava K′ se pohybuje vůči inerciální soustavě K rychlostí V podél osy x. Z elementárních úvah je zřejmé, že čtverec intervalu s 2 = c 2 t 2 − x 2 se nezmění při transformaci c t = x′ sinhψ + c t ′ coshψ
,
x = x′ coshψ + c t ′ sinhψ
,
(10.11)
podobně jako se nezmění čtverec vzdálenosti l 2 = x 2 + y 2 při transformaci x = x′ cos ϕ + y ′ sin ϕ
,
y = − x′ sin ϕ + y ′ cos ϕ
.
(10.12)
Pro počátek soustavy K′ (bod x′= 0 ) máme v soustavě K z definice x t =V , jednak z (10.11) x t = c tanhψ , máme tedy tanhψ = V c a vztah (10.11) můžeme zapsat jako Lorentzovu transformaci
ct =
V x′ c , V2 1− 2 c
c t′ +
x=
x′ + V t′ V2 1− 2 c
,
y = y′ , z = z′ .
(10.13)
Vždy jsou uváděny dva klasické příklady na použití vztahu (10.13). (a) V soustavě K je podél osy x v klidu měřítko, jehož dvě rysky mají v této soustavě souřadnice x1 , x2 . Vzdálenost (klidová) rysek je tedy ∆ x0 = x2 − x1 . Vzdálenost v soustavě K′ je (souřadnice jsou určovány ve stejném čase t1′ = t2′ ) je ∆ x = x2′ − x1′ = ∆ x0 1 − V 2 c 2 . Mluvíme o kontrakci délky. (b) V soustavě K′ se v časech t′1 a t′2 odehrají
37
dvě události v jediném místě x1′ = x2′ , y1′ = y2′ , z1′ = z2′ (interval mezi událostmi je tedy ∆ t0 = t2′ − t1′ . V soustavě K je interval mezi těmito událostmi ∆ t = t2 − t1 = ∆ t0
1 − V 2 c 2 . Mluvíme pak o dilataci času.
Vztah (10.13) můžeme zapsat i v diferenciálním tvaru
cd t =
V d x′ d x′ + V d t′ c , dx= , d y = d y′ , d z = d z′ . V2 V2 1− 2 1− 2 c c
c d t′ +
(10.14)
Pro transformaci složek vektoru rychlosti ( v = d r d t , v′ = d r′ d t ′ ) dostaneme z (10.14) vztah
vx =
Sledujeme-li
šíření
v′x + V v′ V 1+ x2 c
světelného
V2 c2 , vy = v′ V 1+ x2 c v′y 1 −
paprsku
v
V2 c2 , vz = v′ V 1+ x2 c v′z 1 −
rovině
.
( v x = c cos θ , v y = c sin θ , vz = 0
(10.15)
resp.
v′x = c cos θ ′ , v′y = c sin θ ′ , v′z = 0 ), dostaneme vztah (aberace světla)
sin θ =
Pro V c
1−
V2 c2
V 1 + cos θ ′ c
sin θ ′ .
(10.16)
1 položíme θ = θ ′ − ∆ θ a porovnáním nejnižšího členu Taylorova rozvoje dostaneme obvykle
uváděný vztah ∆θ =
V sin θ ′ . c
10.4 Čtyřvektory.
Nejprve definujeme podstatné tenzory. Metrický tenzor a jednotkový tenzor jsou
38
(10.17)
1 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 ik k , δi = gi k = g = 0 0 −1 0 0 0 0 0 − 1 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 . 0 1
(10.18)
Úplný antisymetrický pseudotenzor 4. řádu je definován pomocí vztahů
ε i k l m ( ε 0123 = 1) , ε i k l m ( ε 0123 = −1) .
(10.19)
Čtyřvektor souřadnic události (kontravariantní a kovariantní) zapisujeme jako xi = ( x 0 , x1 , x 2 , x 3 ) = ( c t , r ) , xi = ( x0 , x1 , x2 , x3 ) = ( c t , − r ) .
(10.20)
Platí přirozeně (s Einsteinovou sumační konvencí) xi = gi k x k
, xi = g i k xk
.
(10.21)
Interval můžeme psát jako s 2 = xi xi = g i k xi x k = g i k xi xk = c 2 t 2 − ( x 2 + y 2 + z 2 ) .
(10.22)
Věnujme se na chvíli trojrozměrnému eukleidovskému prostoru. Tam máme polární a axiální vektory. Při záměně orientace kartézských souřadných os se změní zápis vektoru průvodiče
( )
r = x i + y j + z k = (− x)(− i ) + (− y)(− j ) + (− z ) − k
.
(10.23)
Definujeme operaci zrcadlení jako r ′ = Pˆ r = − r
.
(10.24)
Pro vektor rychlosti máme tedy v=
dr dt
d Pˆ r d r ′ dr =− = −v . , v′ = Pˆ v = = dt dt dt
(10.25)
Pro vektor úhlové rychlosti ale
ω = r × v , ω ′ = Pˆ ω = r ′ × v′ = ( − r ) × ( − v ) = r × v = ω .
39
(10.26)
Vektory, které se při zrcadlení transformují jako průvodič se nazývají polární, vektory, které se transformují jako úhlová rychlost se nazývají axiální. Obecně zavádíme ve trojrozměrném prostoru axiální vektor jako pseudovektor duální k antisymetrickému tenzoru Cα =
1 3 ∑ εα β γ C β γ 2 β , γ =1
, Cβ γ = Aβ Bγ − Aγ Bβ
⇔ C = A× B .
(10.27)
Ve čtyřrozměrném prostoročase jsou duálními antisymetrický tenzor 2. řádu s antisymetrickým pseudotenzorem 2. řádu a antisymetrický pseudotenzor 3. řádu s vektorem *
1 Ai k = ε i k l m Al m 2
,
*
Ai k l = ε i k l m Am
.
(10.28)
10.5 Čtyřrychlost a čtyřzrychlení.
Definujeme čtyřvektor rychlosti přirozeným způsobem jako
ui =
i
dx ds
1 v i , u i ui = 1 . , u = , 2 2 v v 1− 2 c 1− 2 c c
(10.29)
Obdobně čtyřvektor zrychlení wi =
d ui d 2 x i = ds d s2
, u i wi = 0 .
(10.30)
Podívejme se na relativistický popis pohybu s konstantním zrychlením. V souřadné soustavě, kde rychlost částice v = 0 máme a uKi = (1,0,0,0 ) , wKi = 0, 2 , 0, 0 , c
(10.31)
kde a je obyčejné zrychlení. V obecné souřadné soustavě je rychlost a zrychlení
v dv dv 3 v 1 c d t d t i i , ,0,0 , w = , ,0,0 . u = 2 2 2 2 2 2 v v v v 2 1 1 − − c 1 1 − − c c2 c2 c 2 c 2 40
(10.32)
Po malé úpravě (z rovnosti wi wi = wKi wK i ) dostáváme
d v =a . dt v2 1− 2 c
(10.33)
S počátečními podmínkami v0 = 0 , x0 = 0 dostáváme řešení at
v=
at 1+ c
2
2 c2 at , x= 1 + − 1 . a c
(10.34)
10.6 Princip nejmenšího účinku.
Účinek musí být invariantní a co nejjednodušší. Nabízí se integrál podél světočáry. Abychom dostali pro účinek známý nerelativistický výraz, musíme konstantu úměrnosti zvolit rovnu − m c , tedy tb
b
v2 ⌠ S = − m c ∫ d s = − m c2 1 − 2 d t . c ⌡ a
(10.35)
ta
Lagrangeova funkce a impuls jsou L = −mc
2
v2 1− 2 c
,
p=
∂L = ∂v
=
p 2 c2 + m2 c4
mv v2 1− 2 c
.
(10.36)
.
(10.37)
Hamiltonova funkce je pak H = p⋅v − L =
m c2 2
v 1− 2 c
Pohybové rovnice dostaneme z variačního principu
41
b
δ S = − m c δ ∫ d s , δ d s = δ ( gi k d x d x i
)
k 12
a
=
gi k d x i δ d x k ds
= uk δ d x k
,
(10.38)
b
b
δ S = − m c ∫ uk δ d x = − m c uk δ x k
k b
a
a
d uk ⌠ ds . + m c δ xk ds ⌡ a
Odsud pak d ui =0 , ds
pi = −
∂S = m c ui ∂ xi
(10.39)
.
Čtyřvektor energie-impulsu definujeme jako časupodobný vektor H pi = , p , c
p i pi = m 2 c 2
(10.40)
a čtyřvektor síly jako prostorupodobný vektor
dp f ⋅v f , g i pi = 0 . gi = = , 2 2 ds 2 v v c 1− 2 c 1− 2 c c i
(10.41)
Hamiltonova - Jacobiho rovnice volné částice je z (10.40) ∂S ∂S g = m2 c2 i k ∂x ∂x ik
,
2 2 2 2 1 ∂ S ∂ S ∂ S ∂ S − + + = m2 c2 . 2 c ∂t ∂ x ∂ y ∂ z
(10.42)
10.7 Jiná formulace principu nejmenšího účinku.
Typický problém nalezení geodetické čáry je popsán variační úlohou ν d x µ d xν µ d x δ S ( x ) = 0 , S = ∫ − m c g µν − e g µν A dτ dτ dτ τa τb
µ
dτ
.
(10.43)
Tato formulace ale nepracuje pro m = 0 . Zvolíme-li ale τb
d xµ 1 S ( pµ , x ) = ∫ − pµ + λ (τ ) g µν ( pµ − e Aµ ) ( pν − e Aν ) − m 2 c 2 d τ dτ 2 τa ν
,
kde λ (τ ) je Lagrangeův multiplikátor, dostáváme po malé úpravě (variace vzhledem k pµ ) 42
(10.44)
τb d x µ d xν d x µ 1 1 S ( x µ ) = ∫ − g µν + λ (τ ) m 2 c 2 − e Aµ dτ 2 d d d λ τ τ τ τ ( ) τa
.
(10.45)
Připomeňme, že máme Φ Aµ = , − A , c
xµ = ( c t , − r ) ,
pµ = ( p0 , − p )
(10.46)
a m c 2 = c p0 =
m c2 12
v2 − 1 c2
+ eΦ ,
p=
mv 12
v2 − 1 c2
+eA .
(10.47)
Variací (10.45) dostáváme τb
τb
1 d xω ω 1⌠ 1 d x µ d xν δ S = − + e Aω δ x + 2 g µν − m2 c2 δ λ d τ + 2 ⌡ λ dτ dτ λ dτ τa τa
τb
(10.48)
⌠ d ⌡ dτ
1 d xω ∂ Aµ ∂ Aω − e ω − ∂ xµ λ dτ ∂x
pω = −
δ S 1 d xω = + e Aω δ xω λ d τ
τa
dx ω δ x dτ τ d µ
.
Odsud máme vyjádření impulsu (10.49)
,
vazebné podmínky 1
λ
=
mc
(10.50)
12
d x d xµ dτ dτ µ
a pohybové rovnice d 1 d xω dτ λ dτ
d xµ = e F ωµ dτ
43
, Fω µ =
∂ Aµ ∂x
ω
−
∂ Aω ∂ xµ
.
(10.51)
11 Náboj v elektromagnetickém poli. 11.1 Variační princip.
Účinek (invariantní s „minimální interakcí“) b
b
S = − m c ∫ d s − e ∫ Ai d x i a
φ Ai = , A . c
,
a
(11.1)
Lagrangeova funkce a zobecněný impuls jsou L = − m c2 1 −
v2 + e A⋅ v − e φ c2
, P=
∂L = ∂v
mv v2 1− 2 c
+eA= p+eA .
(11.2)
(
(11.3)
Z vektorové analýzy budeme potřebovat identitu
( ) (
(
)
)
(
)
∇ a ⋅ b = a ⋅∇ b + b ⋅∇ a + b × ∇× a + a × ∇× b
)
.
Je pak ∂L = e ∇ A ⋅ v − e ∇ φ = e v ⋅∇ A + e v × ∇× A − e ∇ φ ∂r
(
)
(
(
)
)
,
d dp ∂A p+eA = +e + e v ⋅∇ A . dt dt ∂t
(
)
(
)
(11.4)
Lagrangeova rovnice je tedy dp = e E + v×B dt
(
)
,
(11.5)
kde jsme označili E = − ∇φ −
∂A ∂t
, B = ∇× A .
(11.6)
Ve čtyřrozměrné notaci b b δ S = δ − m c ∫ ds − e ∫ Ai d x i = a a b
⌠ ∂ Ai ∂ Ai i i k k i i b m c δ x d ui + e ∂ x k δ x d x − e ∂ x k δ x d x − ( m c ui + e Ai ) δ x a . ⌡ a
44
(11.7)
Použili jsme při odvození integraci per partes a vztahy
δ d s = ui d δ x i , δ Ai =
∂ Ai δ xk ∂ xk
(11.8)
.
Obvyklým postupem dostáváme výraz pro zobecněný impuls P i = m c u i + e Ai
(11.9)
a pohybovou rovnici mc
d ui = e Fi k u k ds
, Fi k =
∂ Ak ∂ Ai − ∂ xi ∂ x k
(11.10)
.
11.2 Tenzor elektromagnetického pole.
Ve vztahu (11.10) jsme zavedli tenzor elektromagnetického pole 0 Ex − c Fi k = − Ey c − Ez c
Ex c
Ey
0
− Bz
c
Bz
0
− By
Bx
Ez 0 c Ex By c ik , F = Ey − Bx c Ez 0 c
−
Ey
Ex c
−
0
− Bz
c
Bz
0
− By
Bx
Ez c By . − Bx 0
−
(11.11)
Při Lorentzově transformaci se tenzor elektromagnetického pole transformuje podle vztahu F i k = Λ im Λ nk F ′m n
(11.12)
.
Označíme-li 1 γ = 1 − V 2 c 2 , dostáváme pro V V x 0 = γ x′0 + x′1 , x1 = γ x′1 + x′0 , x 2 = x′2 c c
neboli v maticovém zápisu
45
,
x 3 = x′3 ,
(11.13)
x i = Λ ik x′k
γ V i , Λk = γ c 0 0
V γ c
γ 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1
(11.14)
transformační vztah V V 0 γ F ′0 2 + F ′12 γ F ′03 + F ′13 F ′01 c c V V 0 γ F ′12 + F ′0 2 γ F ′13 + F ′03 F ′10 c c . Fik = 2 0 V 21 21 V 20 23 0 F′ γ F′ + c F′ γ F′ + c F′ 30 V 31 31 V 30 32 0 F′ γ F′ + c F′ γ F′ + c F′
(11.15)
Převedeno do vektorů intenzity a indukce E x = E x′ Bx = Bx′
, E y = γ ( E ′y + V Bz′ ) , E z = γ ( E z′ − V B′y ) , V V , B y = γ B′y − 2 E z′ , Bz = γ Bz′ + 2 E ′y . c c
(11.16)
V nerelativistickém přiblížení ( V c → 0 ) přechází (11.16) na E
E ′ − V × B′ , B
B′ .
(11.17)
Invarianty pole můžeme zkonstruovat z tenzoru pole. Poněvadž je antisymetrický, zúžení nedává nic a máme až kvadratické výrazy g i m g k n Fi k Fm n = Fi k F i k = inv
, ε i k m n Fi k Fm n = Fi k * F i k = inv .
Duální tenzor vyjádřený pomocí intenzity elektrického pole a indukce magnetického pole má tvar
46
(11.18)
− Bx
0 Bx * Fi k = By Bz
0 Ez c E − y c
− By −
Ez c 0
Ex c
− Bz E y c E . − x c 0
(11.19)
Invarianty mají pak vyjádření E2 E⋅B Fi k F = − 2 2 − B 2 , Fi k * F i k = 4 c c ik
.
(11.20)
12 Synchrotronové záření. 12.1 Lienardův-Wiechertův potenciál.
Potenciál pole, vytvářeného jedním nábojem, který se pohybuje po trajektorii r = r0 ( t ) . Potenciál počítáme v čase t v bodě P ( x , y , z ) , je tedy dán stavem pohybu částice v čase t′ , pro který platí (doba potřebná pro šíření světelného signálu) c ( t − t ′) = R ( t ′) = r − r0 ( t ′)
.
(12.1)
V souřadné soustavě, ve které je částice v čase t′ v klidu, máme právě Coulombův zákon
φ (r ,t) =
e
1 4 π ε 0 R ( t ′)
,
A(r ,t) = 0 .
(12.2)
Podmínku (12.1) zapíšeme ve čtyřrozměrném (kovariantním) tvaru jako podmínku toho, že interval mezi událostmi "emise fotonu" ( c t ′ , r0 ( t ′) ) a "absorpce fotonu" ( c t , r ) leží na světelném kuželu, tedy pro rozdíl čtyřvektorů událostí R k = ( c ( t − t ′) , r − r0 ( t ′) ) platí R k Rk = 0 .
Pomocí tohoto nulového čtyřvektoru a jednotkového čtyřvektoru rychlosti částice
47
(12.3)
d r t′ 1 v , v = v ( t ′) = 0 ( ) , uk = 2 2 d t′ v v 1− 2 c 1− 2 c c
, u k uk = 1
(12.4)
( )
se pokusíme zapsat čtyřvektor potenciálu pole tak, aby pro v = 0 (tj. pro čtyřvektor u k = 1, 0 ) přešel do tvaru (12.2) Z možných kombinací snadno nalezneme výsledek e ui φ Ai = , A = k c 4 π ε 0 c uk R
.
(12.5)
Pokud nevypisujeme explicitně argumenty, musíme mít na paměti, že levé strany vztahů jsou uvažovány v čase t, pravé strany v čase t′ . V trojrozměrném značení pak má (12.5) tvar
φ=
e
1
4π ε0
v ⋅R R 1 − cR
,
A=
e µ0 4π
v v ⋅R R 1 − cR
(12.6)
.
Výsledek (12.6) je přirozeně stejný jako (9.30) a (9.31). Při výpočtu polí E = − ∇φ −
∂A , B = ∇× A ∂t
(12.7)
budeme potřebovat následující triky pro výpočet parciálních derivací: Derivováním vztahu (12.1) podle t dostáváme
R ⋅ v ∂ t′ ∂ R ∂ R ∂ t′ ∂ t′ = =− = c 1 − ⇒ R ∂t ∂ t ∂ t′ ∂ t ∂ t
∂ t′ = ∂t
1 v ⋅R 1− cR
.
(12.8)
.
(12.9)
Obdobně derivováním vztahu (12.1) podle r dostáváme − c ∇ t ′ = ∇ R ( t ′) =
∂R R ∇ t′ + ∂ t′ R
⇒ ∇ t′ = −
R
v ⋅R c R 1 − c R
Výrazy pro potenciály ve (12.7) pak budeme chápat jako funkce f ( r , t ′) , a budeme počítat parciální derivace podle r při konstantním t′ a podle t′ při konstantním r . Porovnáním diferenciálů
48
d f = ∇ f ⋅d r +
∂f ∂f ∂f ∂ f ∂ t′ d t = ∇ f ⋅d r + d t′ = ∇ f + ∇ t′ ⋅ d r + dt ∂t ∂ t′ ∂ t′ ∂ t′ ∂ t
(12.10)
přepíšeme (12.7) jako E = − ∇ φ ( r , t ′) −
∂ φ ( r , t ′) ∂ A ( r , t ′) ∂ t ′ ∂ A ( r , t ′) ∇ t′ − , B = ∇× A ( r , t ′) + ∇ t ′ × . (12.11) ∂ t′ ∂ t′ ∂t ∂ t′
Pro intenzitu elektrického pole dostáváme pak
e E= 4π ε0
2 v n − v n × n − v × w 1 − 2 c c c + 3 3 v ⋅n v ⋅n R2 1 − c2 R 1 − c c
,
(12.12)
zatímco pro intenzitu magnetického pole 2 v v n × n − × w 1 − 2 ( v × n ) 1 e µ0 c c + n× B = n×E = 3 3 4π 2 c v ⋅n v ⋅n c R 1 − R 1 − c c
.
(12.13)
Označili jsme jednotkový vektor n = R R a zrychlení w = d v d t′ . Limitní případy pro v c → 0 jsou E≈
en 4π ε0 R
, B≈
2
e µ0 ( v × n ) . 4π R2
(12.14)
12.2 Intenzita záření.
Poyntingův vektor (energie, procházející jednotkovou plochou za jednotku času, J m − 2 s −1 je S=
1
µ0
E × B = ε0 c E 2 n
(12.15)
a intenzitu záření (tj. energii, vyzařovanou do elementu prostorového úhlu, [W ] ) spočteme tedy jako d I = lim S ⋅ n R 2 d Ω . R→∞
Po dosazení z (12.15) a (12.12)
49
(12.16)
2 n⋅w v ⋅w 2 )( ) + e w2 ( dI= − 5 4 16 π 2 ε 0 c 3 v ⋅n v ⋅n c 1 − 1 − c c
v2 2 1 − n ⋅ w) 2 ( c dΩ . 6 v ⋅n 1 − c
(12.17)
Pro v c → 0 dostáváme s označením n ⋅ w = w cos ξ pro celkovou vyzařovanou intenzitu 2π
π 2 2 ⌠ e w e w 2 I= d η d ξ sin ξ 1 − cos ξ = ( ) ∫0 16 π 2 ε 0 c 3 6 π ε 0 c3 ⌡ 2
2
.
(12.18)
0
V klidové soustavě částice je tedy (s označením I = d E d t ) 2 2 d xi = 1,0 d E = e w 3 d t , d p = 0 , ui = 6π ε 0 c ds
( )
, wi =
d ui w = 0, . d s c2
(12.19)
Relativisticky invariantní výraz (tj. diferenciál čtyřvektroru impulzu) vytvořený z čtyřvektorů rychlosti a zrychlení, který v klidové soustavě přejde na výrazy ze vztahu (12.19), je pak e 2 d u k d uk e 2 d u k d uk i E pi = , p , d p i = − d xi = − u ds . 6π ε 0 c d s d s 6π ε 0 c d s d s c
(12.20)
V laboratorní soustavě tedy máme pro celkovou vyzařovanou intenzitu výraz v w2 − w × 2 e c I= 3 3 6π ε0 c v2 1 − c2
2
.
(12.21)
Zde jsme potřebovali vyjádření čtyřvektoru rychlosti i zrychlení v laboratorní soustavě. Abychom nemuseli při výpočtu čtyřvektoru zrychlení užít obecné Lorentzovy transformace, vypočteme wi
(
derivováním známého tvaru u i = 1
(
1 − v2 c2 , v c 1 − v2 c2
)) , potom
v ( v ⋅ w) v ⋅w w i w = , + . 2 2 2 2 2 c2 1 − v v v 3 4 c 1 − 2 c 1 − c2 c 2 c
50
(12.22)
V homogenním magnetickém poli se nabitá částice pohybuje rychlostí v po kružnici poloměru R, její zrychlení w = v 2 R je kolmé k rychlosti. Dosazením do vztahu (12.21) 4
e2 c p e2 c T I= = ≈ 2 6π ε 0 c3 2 6 π ε 0 R 2 m c 6 π ε 0 R 2 m c 2 v2 R 1 − 2 c e2
v4
4
.
(12.23)
V posledním výrazu ve (12.23) jsme použili aproximace vysokých energií, kdy pro kinetickou energii platí T = p 2 c 2 + m 2 c 4 − m c 2 ≈ p c . Z tohoto výrazu je také zřejmé, že synchrotronové záření je omezujícím faktorem při urychlování lehkých částic (elektronů a positronů). Pro normovací hodnotu R0 ≈ 0,5 km můžeme psát I ≈ ( R 0 R ) (T m c 2 ) eV s −1 . 4
2
Jsou-li rychlost a zrychlení v určitém okamžiku rovnoběžné, dostáváme ( n . v = v cos θ , rychlost podél osy z) pro úhlové rozložení záření výraz dI=
e2 w2
sin 2 θ
6 16 π 2 ε 0 c 3 v 1 − cos θ c
dΩ .
(12.24)
Pro hodnoty v c → 1 má úhlové rozložení velmi úzké, ale "dvouhrbé" maximum kolem θ = 0 . Jsou-li rychlost a zrychlení v určitém okamžiku navzájem kolmé, dostáváme ( n ⋅ v = v cos θ , n ⋅ w = w cos ϕ sin θ , rychlost podél osy z a zrychlení podél osy x) pro úhlové rozložení 2 2 e w dI= 16 π 2 ε 0 c 3 1 −
v2 2 − 1 sin θ cos 2 ϕ 2 c 1 d Ω . − 4 6 v v cos θ 1 − cos θ c c
13 Rovnice elektromagnetického pole. 13.1 Čtyřrozměrný vektor proudu, rovnice kontinuity.
Hustotu náboje píšeme jako 51
(12.25)
d Q = ρ dV
, ρ = ∑ ea δ ( a
3)
( r − ra )
(13.1)
.
Ze vztahu d Q d xi = ρ d V d xi = ρ
d xi dV d t dt
(13.2)
porovnáním geometrických vlastností (skaláry d Q a d V d t a čtyřvektor d x i ) vyplývá, že můžeme definovat čtyřvektor proudu ji = ρ
d xi = (c ρ , ρ v ) = (c ρ , j ) . dt
(13.3)
Ve výrazu pro účinek můžeme pak psát e ∫ Ai d x i = ∫ ρ Ai d x i d V =
1 Ai j i d Ω . c∫
(13.4)
Náboj, který ubude v nějakém objemu můžeme zapsat dvojím způsobem −
∂ ρ dV = ∂t ∫
∫
j ⋅n d S .
(13.5)
⌠ ∂ρ ∇⋅ j + ∂ t d V = 0 , ⌡
(13.6)
S pomocí Gaussovy věty pak z (13.5) plyne
tedy (objem je libovolný) rovnice kontinuity ∇⋅ j +
∂ ρ ∂ ji = =0 . ∂ t ∂ xi
(13.7)
Zákon zachování náboje (rovnice kontinuity) zaručuje, že při kalibrační invariancí se účinek změní pouze o divergenci ∂ ji =0 ⇒ ∂ xi
∫A
i
⌠ ∂(χ j ) ⌠ ∂χ i i Ai + ∂ x i j d Ω = ∫ Ai j d Ω + ∂ x i d Ω . ⌡ ⌡ i
i
j dΩ →
52
(13.8)
13.2 První pár Maxwellových rovnic.
Z vyjádření tensoru elektromagnetického pole pomocí potenciálu snadno odvodíme platnost vztahu ∂ Fi k ∂x
l
+
∂ Fk l ∂x
i
+
∂ Fl i ∂ xk
=0 .
(13.9)
Na levé straně je úplně antisymetrický tensor třetího řádu, představuje pouze čtyři různé rovnice. Zřetelněji je to vidět, užijeme-li zápis pomocí duálního (pseudo)vektoru
ε iklm
∂ Fl m ∂ xk
=
∂ *F i k =0 . ∂ xk
(13.10)
Nultá komponenta dává tvrzení o nezřídlovém charakteru magnetického pole, další tři komponenty Faradayův indukční zákon ∇⋅ B = 0 , ∇× E = −
∂B ∂t
.
(13.11)
13.3 Druhý pár Maxwellových rovnic.
Druhý pár Maxwellových rovnic odvodíme z variačního principu. Za Lagrangeovu funkci elektromagnetického pole zvolíme přirozeně známý invariant s vhodnou konstantou 1⌠ 1 S = − Ai j i + Fi k F i k d Ω c⌡ 4 µ0
⌠ε 1 2 = 0 E2 − ρ φ − B + j ⋅ A d V d t . 2 µ0 ⌡ 2
(13.12)
S uvážením F i k δ Fi k = Fi k δ F i k dostáváme 1⌠
1
δ S = − j i δ Ai + F i k δ Fi k d Ω = c⌡ 2 µ0 ∂ ∂ 1⌠ 1 1 Fik δ Ak − Fik δ Ai d Ω . − j i δ Ai + i k c⌡ ∂x ∂x 2 µ0 2 µ0
Po integraci per partes ve (13.13)
53
(13.13)
1 ⌠ ∂ Fik i δS=− µ0 j + ∂ x k c µ0 ⌡
1 ik δ Ai d Ω − c µ ∫ F δ Ai d Sk 0
.
(13.14)
Druhý pár Maxwellových rovnic je tedy ∂ Fik = − µ0 j i k ∂x
(13.15)
.
Nultá komponenta je rovnice pro divergenci indukce elektrického pole (zobecnění Gaussovy věty elektrostatiky), zbývající tři pro rotaci intenzity magnetického pole (Ampérův zákon doplněný Maxwellovým posuvným proudem) ∇⋅ D = ρ
, ∇× H =
∂D + j ∂t
.
(13.16)
13.4 Tensor energie-impulsu.
Tensor energie-impulsu dostaneme z teorému Noetherové při transformaci, odpovídající translaci souřadnic , Q jA = 0 , T ji ( x ) = q A , j
X ij = δ ij
∂L − L δ ij ∂ q A ,i
.
(13.17)
Tady je index j vlastně indexem “náhodně” tensorovým. Takto získaný tensor energie impulsu T i k není obecně symetrický. Pro Lagrangeovu funkci elektromagnetického pole je ∂L ∂L 1 = = − Fi j A µ0 ∂ q , i ∂ Aj ,i
(13.18)
a tensor energie impulsu vychází nesymetrický T ik = −
1 ij ∂ Al k m 1 i k g g F − g Fl m F l m . lm j µ0 ∂x 4
(13.19)
K výrazu pro T i k můžeme ovšem přidat člen, zaručující symetrii, který přitom neovlivní celkový impuls T ik
→ T ik = T ik +
54
∂τ i k l ∂ xl
, τ i k l = −τ i l k
.
(13.20)
Požadavek symetrie se objevuje proto, aby byl splněn i zákon zachování momentu impulsu, definovaného vztahem M i k l = xi T k l − x k T i l , tedy ∂ M ikl = 0 ⇔ T ik = T k i . l ∂x
(13.21)
Pro elektromagnetické pole tensor τ i k l snadno najdeme jako
τ ikl =
1
µ0
Ai F k l
,
(13.22)
takže výsledný tensor energie impulsu bude T ik =
1 1 ik il km lm − gl m F F + g Fl m F . µ0 4
(13.23)
Zapsáno pomocí třírozměrných veličin
T ik
W = 1S α c
1 Sβ c , − σ α β
(13.24)
kde 1 1 2 1 W = ε0 E 2 + B , S= E×B µ0 µ0 2
(13.25)
jsou hustota energie a Poyntingův vektor a
σ α β = ε 0 Eα Eβ +
1
µ0
Bα Bβ − W δα β
(13.26)
je Maxwellův tensor napětí. Jiný způsob odvození tensoru energie-impulsu poskytuje variace účinku S=
1 Λ −g d Ω c∫
vzhledem k metrickému tensoru
55
(13.27)
δS 1 Ti k = ik δg 2c ∫
− g δ g ik d Ω = 0 ,
∂ 2 ∂ − g Λ − l Ti k = ik ∂x −g ∂g
∂ − g Λ . ik ∂g ∂ xl
(13.28)
Poněvadž variace δ g i k nejsou nezávislé (je pouze 10 komponent symetrického tensoru), nemůžeme z (13.28) psát Ti k = 0 . Platí δ − g δ g i k = − − g gi k 2 . Lagrangeova funkce pro elektromagnetické pole je
1 il k m Λ = − g i k Ai jk + g g Fi k Fl m . 4 µ0
(13.29)
Variací dostáváme (při počítání musíme uvážit ∂ g l m ∂ g i k = (δ l i δ m k + δ l k δ mi ) 2 ) Ti k = − ( Ai jk + Ak ji ) +
1 lm 1 lm − g Fi l Fk m + gi k Fl m F . µ0 4
(13.30)
Tensor energie-impulsu soustavy částic zapíšeme pomocí analogie s tensorem energie-impulsu elektromagnetického pole. Hustotu impulsu soustavy částic napíšeme jako
π α = µ c uα
, µ = ∑ ma δ ( a
3)
( r − ra )
(13.31)
.
Hustota impulsu je u elektromagnetického pole rovna hustotě toku energie dělené c 2 . Výraz (13.31) bude tedy analogicky roven T 0α c . Veličina µ c je nultou komponentou (stejně jako hustota náboje u čtyřvektoru proudu) čtyřvektoru toku hmoty µ d x i d t . Tensor energie-impulsu tak můžeme konečně psát jako T
ik
d xi d x k ds =µc = µ c ui u k ds dt dt
, T ik = T ki
.
(13.32)
Pro tensor energie-impulsu elektromagnetického pole dostaneme s využitím Maxwellových rovnic ∂ F ik = − µ0 ji ∂ xk 56
, ε iklm
∂ Fl m ∂ xk
=0
(13.33)
výraz ∂ ik TF = − F i k jk ∂ xk
(13.34)
.
Pro tensor energie-impulsu soustavy částic dostaneme s využitím pohybových rovnic
µc
d ui = ρ F i k uk ds
⇔ µc
d ui = F i k jk dt
(13.35)
a rovnice zachování hmotnosti (rovnice kontinuity pro čtyřvektor toku hmotnosti, podobně jako pro čtyřvektor proudu) ∂ d xk µ =0 ∂ xk d t
(13.36)
výraz ∂ ik T = F i k jk k P ∂x
(13.37)
.
Spojením (13.34) a (13.37) dostáváme zákon zachování ∂ T i k + TPi k ) = 0 . k ( F ∂x
(13.38)
Pro tensor energie-impulsu platí (rovnost právě pro elektromagnetické pole) Ti i ≥ 0 .
(13.39)
13.5 Tensor energie-impulsu makroskopického tělesa.
Tok impulsu elementem plochy povrchu tělesa je síla, působící na tento element. Užitím Pascalova zákona můžeme psát (v souřadné soustavě pevně spojené s elementem plochy) 3
fα = ∑ σ α β d S β = p d Sα β =1
V této souřadné soustavě tedy
57
⇒ σ α β = p δα β
.
(13.40)
u i = (1, 0, 0, 0 ) , T i k
ε 0 = 0 0
0 p 0 0
0 0 . 0 p
0 0 p 0
(13.41)
Invariantní výraz, který přejde na předchozí je pak T i k = ( p + ε ) ui uk − p g i k
.
(13.42)
Použijeme-li pro zápis trojrozměrných veličin, máme v2 p c2 W= v2 1− 2 c
ε+
, S=
( p + ε )v 2
v 1− 2 c
, σα β =
( p + ε ) vα vβ v2 c 1 − 2 c
.
(13.43)
2
14 Elektromagnetické vlny. 14.1 Vlnová rovnice.
Vezmeme druhý pár Maxwellových rovnic (ve vakuu) a dosadíme vyjádření pole pomocí potenciálů
∂ A ∂ Aj ∂ Fik , = 0 , F i k = g i j g k l lj − k ∂x ∂ x l ∂x ∂ 2 Ak ∂ 2 Ai kl −g =0 . g ∂ x j ∂ xk ∂ xk ∂ xl
(14.1)
ij
Lorentzova kalibrační podmínka zjednoduší (14.1) na vlnovou rovnici ∂ Ak ∂ 2 Ai kl 0 , = − g =0 . ∂ xk ∂ xk ∂ xl
(14.2)
Pomocí d’Alambertova operátoru =∆− máme pak ve třírozměrném zápisu
58
1 ∂2 c2 ∂ t 2
(14.3)
∂φ + ∇⋅ A = 0 , ∂t
φ =0 ,
A=0 .
(14.4)
14.2 Rovinná monochromatická vlna.
Řešení hledáme ve tvaru rovinné vlny, tedy konstantní čtyřvektor násobený komplexní jednotkou. Je pak
{
}
Ai = Re ai exp ( i k j x j )
, ki k i = 0 , ki a i = 0 .
(14.5)
Poslední vztah ve (14.5) je dán Lorentzovou kalibrační podmínkou. Čtyřvektor impulsu zapisujeme jako
ω ω k i = , k , k = n , n2 = 1 . c c
(14.6)
Velmi jednoduše popíšeme pomocí charakteristik rovinné monochromatické vlny Dopplerův jev. Mějme zdroj světla, který je v klidu v soustavě K ( 0) . Soustava K ( 0) se pohybuje vzhledem k laboratorní soustavě K rychlostí V. Ať je úhel mezi směrem pohybu zdroje a směrem šíření světla α . Potom platí
k(00) =
V 1 k c V2 1− 2 c
k0 −
V k − k0 c = V2 1− 2 c
, k(00 ) =
c
, k0 =
ω
,
c
(14.7)
1
k(10)
ω( 0)
, k(10 ) =
ω( 0) c
cos α ( 0)
, k1 =
ω c
cos α
a odtud
ω = ω( 0)
1−
V2 c2
V 1 − cos α c
.
(14.8)
Pro rychlosti malé ve srovnání s rychlostí světla máme
ω ≈ ω (0) 1 +
V 1V2 cos α + cos 2 α . 2 c 2c
Tensor energie-impulsu je 59
(14.9)
T ik =
c2
ω
2
W ki kk
, W=
1
(a a i
2 µ0
})
{
+ Re a i ai exp ( 2 i k j x j )
* i
(14.10)
.
Ve střední hodnotě podle času je druhý člen ve výrazu pro hustotu energie roven nule. Oba invarianty (11.20) jsou rovny nule. Se speciální volbou kalibrace (spojené ovšem s jednou určitou inerciální souřadnou soustavou) máme
(
Ai = 0, A
)
A = a y cos (ω t − k x + α ) e y + a z sin (ω t − k x + α ) ez
,
E = ω a y sin (ω t − k x + α ) e y − ω az cos (ω t − k x + α ) ez
,
B = k a z cos (ω t − k x + α ) e y + k a y sin (ω t − k x + α ) ez
.
,
(14.11)
Eliptická polarizace takové vlny je vidět ze vztahu E y2 Ez2 + =1 , ω 2 a 2y ω 2 az2
B y2 Bz2 + =1 . k 2 a z2 k 2 a 2y
(14.12)
14.3 Rozklad elektrostatického pole bodového náboje.
Potenciál bodového náboje (Coulombův potenciál) vyhovuje rovnici ∆φ (r ) = −
e
ε0
δ ( 3) ( r ) .
(14.13)
Uvažujme Fourierovu transformaci
⌠
(
φ ( r ) = φk exp i k ⋅ r ⌡
3
) (d2 πk)
3
(
)
, φk = ∫ φ ( r ) exp − i k ⋅ r d 3 r
.
(14.14)
Máme dvě vyjádření pro Fourierovu transformaci působení Laplaceova operátoru
⌠ ∆ φ ( r ) = − k 2 φk exp i k r ⌡
) (d2πk)
e⌠ ∆ φ ( r ) = − exp i k r ε0 ⌡
d3 k
(
(
Porovnáním obou vyjádření dostáváme
60
3
3
) ( 2π )
3
⇒ ⇒
( ∆ φ )k ( ∆ φ )k
= − k 2 φk =−
e
ε0
, (14.15) .
φk =
e ε0 k 2
(14.16)
.
14.4 Vlastní kmity pole.
Objem V uzavřený v krychli o hranách délky A, B, C. Kalibrace taková, že φ = 0 , ∇⋅ A = 0 . Máme
(
A = ∑ Ak exp i k ⋅ r k
)
, k ⋅ Ak = 0 ,
A− k = Ak*
,
(14.17)
přitom kx =
2 π nx A
, ky =
2π ny B
, kx =
2 π nz C
(14.18)
,
kde n x , n y , nz jsou celá čísla. Fourierovy složky vyhovují rovnici d 2 Ak + ω 2 Ak = 0 . d t2
(14.19)
Jsou-li rozměry A, B, C zvoleného objemu dostatečně velké, jsou sousední hodnoty k x , k y , k z velmi blízké a můžeme uvažovat o počtu možných stavů v intervalu hodnot vlnového vektoru ∆ nx =
A ∆ kx 2π
B C ∆ k y , ∆ nz = ∆ kz 2π 2π ∆ kx ∆ k y ∆ kz ∆ n = ∆ n x ∆ n y ∆ nz = V . 3 (2π ) , ∆ ny =
, (14.20)
Pro pole dostaneme s potenciálem (14.17) d Ak ∂A exp i k r = −∑ ∂t dt k
( ) B = ∇× A = i ∑ k × A exp ( i k r ) E=−
k
k
, (14.21) .
Celková energie pole je E=
d Ak d Ak* V 1⌠ 1 2 1 2 E B d V k × Ak ⋅ k × Ak* + = ⋅ + ε ε 0 ∑ 0 dt dt 2⌡ 2 k µ0 µ0
(
)(
Jednoduchou úpravou (využití kalibrační podmínky) přepíšeme výraz (14.22) na
61
)
.
(14.22)
* V ε 0 d Ak d Ak E= ⋅ + ω k2 Ak ⋅ Ak* , ω k = c k ∑ 2 k dt dt
(14.23)
.
Rozklad potenciálu (14.17) obsahuje jak stojaté, tak postupné vlny. Vhodnější pro interpretaci je rozklad potenciálu, který obsahuje jen postupné vlny
((
A = ∑ ak exp i k ⋅ r − ω k t k
)) + a
* k
( (
))
exp − i k ⋅ r − ω k t .
(14.24)
Porovnáním (14.24) a (14.17) dostáváme Ak = ak exp ( − i ω k t ) + a−* k exp ( i ω k t ) .
(14.25)
Dosazení (14.25) do (14.23) umožňuje teď napsat energii pole jako E = ∑ Ek k
, Ek = 2V ε 0 ω k2 ak ⋅ ak* .
(14.26)
Obdobně dostaneme pro impuls P=
1
µ0
k ∫ (E × B)d V = ∑ k k
Ek c
(14.27)
.
Nakonec zavedeme kanonické proměnné Qk = ε 0 V ( ak exp ( − i ω k t ) + ak* exp ( i ω k t ) ) , Pk = − i ω k ε 0 V ( ak exp ( − i ω k t ) − ak* exp ( i ω k t ) ) =
d Qk dt
.
(14.28)
V těchto proměnných máme energii vyjádřenu jako energii souboru harmonických oscilátorů E = ∑ Ek k
, Ek =
1 2 Pk + ω k2 Qk2 2
(
)
.
(14.29)
15 Brzdění pohybu vyzařováním. 15.1 Rozklad potenciálu.
Pro skalární a vektorový potenciál elektromagnetického pole vytvořeného daným rozložením náboje a proudu máme integrály (9.5) a (9.6), které zde ještě jednou přepíšeme
62
R ρ r′ , t − ⌠ 1 c 3 ′ φ (r ,t) = d r 4π ε0 R ⌡
(15.1)
R j r′ , t − ⌠ µ c 3 ′ A(r , t ) = 0 d r , 4π R ⌡
(15.2)
a
kde R = r − r′ . Rozklad potenciálů soustavy nábojů, pohybujících se rychlostmi malými ve srovnání s rychlostí světla má tvar (předpokládáme, že se rozložení málo změní za dobu R c )
φ (r ,t) ≈
⌠ ρ ( r′ , t ) 3 1 ∂2 1 ∂3 3 ′ ′ ′ + − d r R r , t d r R 2 ρ ( r ′ , t ) d 3 r ′ , ρ ( ) 2 2 ∫ 3 3 ∫ 4 π ε 0 ⌡ R 2c ∂t 6c ∂t 1
µ A(r , t ) ≈ 0 4π
⌠ ρ ( r′ , t ) v ( r′ , t ) 3 1 ∂ d r′ − ρ ( r ′ , t ) v ( r ′ , t ) d 3 r ′ , ∫ R c ∂t ⌡
(15.3)
kde jsme již uvážili zachování celkového náboje, t.j. položili jsme ∂ ρ ( r′ , t ) d 3 r ′ = 0 . ∫ ∂t
(15.4)
V dalším nebudeme vypisovat argumenty funkcí, neboť jsou zřejmé. Pro další zjednodušení výrazů provedeme kalibrační transformaci
φ →φ −
∂f ∂t
,
A→ A+∇ f
,
(15.5)
kde kalibrační funkce je f =
1 ∂ 1 ∂2 3 ′ R d r − R 2 ρ d 3 r′ . ρ 2 3 2 ∫ ∫ 4π ε0 2 c ∂ t 6c ∂ t 1
(15.6)
Po kalibrační transformaci jsou potenciály
φ= µ A= 0 4π
⌠ ρ d 3 r′ , 4π ε0 ⌡ R 1
⌠ ρ v 3 1 ∂ ⌠ ρR 3 1 ∂ 1 ∂2 3 ′ ′ ′ d r d r v d r ρ ρ R d 3 r ′ . + − − 2 ∫ ∫ c ∂t 2 ∂t ⌡ R 3c ∂ t ⌡ R 63
(15.7)
Označíme-li R R = n jednotkový vektor ve směru od náboje k místu pozorování a připomeneme-li, že ∂ R ∂ t = − v , můžeme výraz (15.7) zapsat jako
φ= µ A= 0 4π
⌠ ρ d 3 r′ , 4π ε 0 ⌡ R 1
(15.8)
1 ⌠ ρ 2 ⌠ ∂v 3 v + ( n ⋅ v ) n ) d 3 r′ − d r ′ . ( ρ 2 3c ⌡ ∂ t ⌡R
Uvažujeme-li o soustavě bodových nábojů, přejde předchozí výraz (15.8) na
φ=
ea
1 4π ε0
∑R a
,
a
(15.9)
2 µ 1 e dv A = 0 ∑ a ( va + ( na ⋅ va ) na ) − ea a . ∑ 4 π 2 a Ra 3c a dt
15.2 Lagrangeova funkce soustavy nábojů.
Ponecháme-li i v kinetické energii jen členy do řádu v 2 c 2 , můžeme psát pro jednu částici La = ea µ 0 8π
1 1 v4 e ma va2 + ma a2 − a 2 8 c 4π ε0
eb
∑R
b≠a
+
ab
eb e µ dv va ⋅ vb + ( na b ⋅ va )( nab ⋅ vb ) − a 0 ∑ eb va b ∑ dt 6π c b b ≠ a Ra b
(15.10) .
Lagrangeova funkce soustavy je pak (není to prostý součet La , nesmíme interakční členy započítávat dvakrát) L = L( ) + L( ) + L( 0
2
3)
(15.11)
,
kde základní člen je L( ) = 0
1 1 ea eb ma va2 − ∑ ∑ 2 a 8π ε 0 a , b Ra b
,
(15.12)
b ≠a
člen druhého řádu je L( ) = 2
1 8 c2
∑m
a
a
va4 +
1
ea eb
16 π ε 0 c
2
64
∑R a ,b b≠a
ab
va ⋅ vb + ( na b ⋅ va )( na b ⋅ vb )
(15.13)
a konečně člen třetího řádu L( ) = − 3
1
d ∑ ea eb va ⋅ vb 12 π ε 0 c d t a , b 3
(15.14)
.
15.3 Brzdění pohybu vyzařováním.
Potenciál a intenzitu elektrického pole v opravě třetího řádu můžeme podle (15.9) napsat pomocí dipólového momentu soustavy nábojů p = ∑ a ea ra jako A=−
d2 p 6π ε 0 c3 d t 2 1
, E=
d3 p . 6 π ε 0 c3 d t 3 1
(15.15)
Celková práce vykonaná na soustavě nábojů je
∑ ea va ⋅ E = a
dp 1 d p d3 p ⋅E = ⋅ = dt 6 π ε 0 c3 d t d t 3
d2 p d d p d2 p 1 ⋅ − 6π ε 0 c3 d t d t d t 2 6π ε 0 c3 d t 2 1
(15.16)
2
.
Ve střední hodnotě (předpokládáme finitní pohyb) tedy je vyzářený výkon (střední hodnota práce vzatá s opačným znaménkem)
d2 p dE 1 = d t 6 π ε 0 c 3 d t 2
2
.
(15.17)
Pro časovou změnu celkového momentu impulsu M = ∑ a ra × Pa dostáváme obdobně dM dP 1 d3 p p = ∑ ra × a = ∑ ra × ea E = × = dt dt d t3 6 π ε 0 c3 a a d d2 p d p d2 p 1 p . × − × d t 2 6 π ε 0 c 3 d t d t 2 6 π ε 0 c 3 d t 1
(15.18)
a ve střední hodnotě pak dM d p d2 p 1 . =− × dt 6 π ε 0 c3 d t d t 2
65
(15.19)
15.4 Hranice platnosti klasické elektrodynamiky.
Pro jednu částici s nábojem e je brzdění zářením studované v předchozím odstavci vyjádřeno silou
f =
e2
d2 v 6 π ε 0 c3 d t 2
(15.20)
.
Pohybová rovnice částice ve vnější poli se započtením brzdné síly je (v souřadné soustavě, kde je rychlost částice blízká nule)
dv e2 d 2 v = eE + ev ×B + m 6π ε 0 c3 d t 2 dt
.
(15.21)
Za časovou změnu zrychlení dosadíme do (15.21) výraz, získaný derivováním této rovnice a zanedbáním členů vyššího řádu
m
dE e d2 v dE dv ≈e +e ×B ≈ e + E×B . 2 dt dt dt dt m
(15.22)
Dostáváme tedy rovnici
dE e dv e e3 E + v ×B + = + E×B . 3 6π m ε 0 c d t m dt m
(
)
(15.23)
Uvažujeme-li jako vnější pole elektromagnetickou vlnu o frekvenci ω = 2 π c λ a intenzitě E vychází z podmínky, aby brzdná síla byla malá ve srovnání s Lorentzovou silou
λ
re
, e E re
m c2
,
(15.24)
kde
re =
e2 4 π ε 0 m c2
je klasický poloměr elektronu.
16 Záření rychle se pohybujícího náboje. 16.1 Intenzita dipólového záření.
Pro Poyntingův vektor dipólového elektromagnetického pole jsme měli výrazy (9.14) a (9.15) 66
(15.25)
Pro jednu nerelativistickou částici, která se pohybuje se zrychlením w je pak
D = e w×n
(16.1)
a intenzita záření vychází jako
d I = S ⋅n r2 d Ω =
e2 16 π ε 0 c 2
3
w2 sin 2 θ d Ω .
(16.2)
Po integraci dostaneme
dE e2 = I= w2 . 3 d t 6π ε 0 c
(16.3)
V souřadné soustavě, kde je částice v klidu, můžeme tedy psát
dE =
e2 6π ε 0 c3
w2 d t , d P = 0
(16.4)
a invariatní forma těchto vztahů je
e 2 d u k d uk E Pi = , P , d Pi = − d xi 6π ε 0 c d s d s c
.
(16.5)
V klidové soustavě je totiž (vztah (10.31))
d xi = 1,0 u = ds
d ui w , w = = 0, . d s c2
( )
i
i
(16.6)
Celkový vyzářený čtyřimpuls je pak ∆ Pi = −
⌠ d u k d uk d xi 6π ε 0 c d s d s ⌡
e2
.
(16.7)
S využitím pohybových rovnic
mc
d uk = e F k l ul ds
(16.8)
přejde (16.7) na ∆ Pi = −
e4 F F k m u l um d x i 2 3 ∫ kl 6π ε 0 m c
67
.
(16.9)
17 Rozptyl záření volnými náboji.
17.1 Thomsonův vzorec.
Zavedeme pojem účinného průřezu. Ať d I značí intenzitu záření, tj. střední hodnotu energie vyzařované soustavou za jednotku času do elementu prostorového úhlu d Ω a S je střední hodnota Poyntingova vektoru (střední hodnota toku energie) dopadajícího záření. Potom je diferenciální účinný průřez (účinný průřez rozptylu do elementu prostorového úhlu d Ω ) veličina rozměru elementu plochy dσ =
dI S
(17.1)
.
Uvažujme teď rozptyl elektromagnetické vlny jedním volným nábojem. Budeme předpokládat, že rychlost získaná nábojem bude malá a že vlnová délka je mnohem větší než amplituda vyvolaných kmitů náboje okolo původní polohy (kam umístíme počátek souřadnic), tedy můžeme psát
m
d2 r = e E0 cos k ⋅ r − ω t + α ≈ e E0 cos (ω t − α ) . d t2
(
)
(17.2)
Pro intenzitu dipólového záření kmitajícího náboje máme podle (9.15)
dI=
e4 16 π ε 0 m c 2
e4
2
2
3
E0 × n cos 2 (ω t − α ) d Ω =
32 π ε 0 m c 2
2
3
E02 sin 2 θ d Ω .
(17.3)
a pro střední hodnotu Poyntingova vektoru dopadající vlny S = c ε 0 E02 cos2 (ω t − α ) =
1 c ε 0 E02 2
,
(17.4)
takže pro diferenciální účinný průřez je 2
e2 dσ = sin 2 θ d Ω . 2 4π ε0 m c
(17.5)
Celkový účinný průřez je pak dán Thomsonovým vzorcem (klasický poloměr elektronu re je zaveden vztahem (15.25))
68
2
8 2 8π e2 σ= = π re . 2 3 4π ε0 m c 3
(17.6)
17.2 Modifikace Thomsonova vzorce.
Uvažujme nyní nikoliv volný náboj, ale tlumený oscilátor, tedy
d2 r dr e +γ + ω 02 r = E0 cos ω t . 2 dt dt m
(17.7)
Pro dipólový moment p = e r odsud dostáváme
p=
2 2 e 2 (ω 0 − ω ) cos ω t + γ ω sin ω t E0 . 2 2 2 2 2 m ω ω γ ω − + ( 0 )
(17.8)
Celkový účinný průřez je v tomto případě
σ=
8π 2 ω4 re 2 3 (ω02 − ω 2 ) + γ 2 ω 2
(17.9)
.
18 Index lomu. Definujeme polarizovatelnost α (ω ) jako konstantu úměrnosti ve vztahu mezi (lokálním) elektrickým polem Eloc a dipólovým momentem p . Vyjdeme z komplexního zápisu (17.7)
d2 r dr e +γ + ω 02 r = Eloc exp ( − i ω t ) . 2 dt dt m
(18.1)
Potom
p = ε 0 α (ω ) Eloc
e2 1 , α (ω ) = 2 ε 0 m ω0 − i γ ω − ω 2
.
(18.2)
Polarizace je pak P = N p . Musíme ovšem uvážit, jaké pole působí na náboj. Připomeňme z elektrostatiky, že je-li v dielektriku s homogenním polem dutina, je lokální pole rovno
69
Eloc = E , Eloc = E +
1
ε0
P , Eloc = E +
1 P 3ε 0
(18.3)
,
podle toho, jde-li o štěrbinu podél nebo napříč pole nebo o kulovou dutinu. Pro úplnost poznamenejme, že pro magnetické pole máme v podobné situaci Bloc = B − M
, Bloc = B , Bloc = B −
2 M 3
(18.4)
.
Pro dielektrika uvažujeme o vázaných nábojích uvnitř kulové dutiny, můžeme tedy psát P=
Nα ε0 E 1 1− Nα 3
(18.5)
a pro index lomu (za velmi častého předpokladu µ (ω ) = µ0 ) n2 = 1 +
Nα 1 1− Nα 3
(18.6)
.
Obvyklá forma tohoto vztahu je (Clausius - Mossotti)
n2 − 1 3 2 = Nα . n +2
(18.7)
Ve vodiči uvažujeme o téměř volných elektronech (nevázaných k atomu, tedy ω0 = 0 ) a dále máme pro konstantu γ (ze dvou různých vyjádření proudu a zápisu změny impulsu za dobu mezi srážkami)
j =σ E ,
j = N e vd
, m vd γ = e E
⇒ γ =
N e2 mσ
.
(18.8)
Také lokální pole je rovno vnějšímu, opět díky neustálému pohybu téměř volných elektronů. Odtud máme pro index lomu 2
n =1−
ω p2
ε ω + iω ω 0 σ 2
2 p
70
, ω p2 =
N e2 mε0
.
(18.9)
19 Elektromagnetické pole v dispersním prostředí. 19.1 Maxwellovy rovnice.
Maxwellovy rovnice pro Fourierovy složky (píšeme obecně bez vyznačení prostorové proměnné) 1 f (t ) = 2π
∞
∫ f (ω ) exp ( − i ω t ) d ω
(19.1)
−∞
jsou ∇⋅ B (ω ) = 0 , ∇× H (ω ) = − i ω D (ω ) ,
(19.2)
∇⋅ D (ω ) = 0 , ∇× E (ω ) = i ω B (ω ) . Předpoklad lineárního a příčinného vztahu mezi intenzitou a indukcí ∞ ∞ D ( t ) = ε 0 E ( t ) + ∫ χ e (τ ) E ( t − τ ) d τ , B ( t ) = µ 0 H ( t ) + ∫ χ m (τ ) H ( t − τ ) d τ 0 0
(19.3)
vede k vyjádření
D (ω ) = ε 0 ε ( ω ) E (ω ) , B (ω ) = µ 0 µ ( ω ) H ( ω ) ,
(19.4)
kde ∞
ε (ω ) = 1 + ∫ χ e (τ ) exp ( i ω τ ) d τ 0
∞
, µ (ω ) = 1 + ∫ χ m (τ ) exp ( i ωτ ) d τ
.
(19.5)
0
Z tohoto vyjádření máme hned
ε ( − ω ) = ε * ( ω ) , µ ( − ω ) = µ * (ω )
(19.6)
a lim ε (ω ) = 1 ,
lim µ (ω ) = 1 .
ω →∞
(19.7)
ω →∞
Pro dielektrika nabývá ε (ω ) při ω → 0 konečnou hodnotu statické relativní permitivity. Pro kovy je
(
)
chování zajímavější. Z porovnání dvou tvarů ∇× H (ω → 0 ) dostáváme − i ω ε (ω → 0 ) E (ω → 0 ) → σ E (ω → 0 ) ⇒ ε (ω → 0 ) →
71
iσ
ω
.
(19.8)
S využitím vztahů (19.4) můžeme Maxwellovy rovnice (19.2) přepsat na
n 2 (ω ) E (ω ) , ∇⋅ B (ω ) = 0 , ∇× B (ω ) = − i ω c2 ∇⋅ E (ω ) = 0 , ∇× E (ω ) = i ω B (ω ) ,
(19.9)
kde
ε 0 µ0 =
1 c2
, ε (ω ) µ (ω ) = n 2 (ω ) .
(19.10)
Vhodnou volbou kalibrace potenciálů je φ (ω ) = 0 , ∇⋅ A (ω ) = 0 , takže
E (ω ) = i ω A (ω ) , B (ω ) = ∇× A (ω )
(19.11)
a pro vektorový potenciál máme Helmholtzovu rovnici ∆ A (ω ) +
ω 2 n 2 (ω ) c2
A (ω ) = 0 .
(19.12)
Vezměme nyní výraz (7.23) − ∇⋅ S = H ⋅
∂B ∂D + E⋅ . ∂t ∂t
(19.13)
Uvažujme monochromatickou elektromagnetickou vlnu. Poněvadž pravá strana (19.13) obsahuje kvadratické výrazy, musíme brát reálné hodnoty pole, tj. dosazovat 1 E (ω ) exp ( − i ω t ) + E * (ω ) exp ( i ω t ) , 2 ∂ D iω ε0 − ε (ω ) E (ω ) exp ( − i ω t ) + ε * (ω ) E * (ω ) exp ( i ω t ) = ∂t 2
(19.14)
1 H (ω ) exp ( − i ω t ) + H * (ω ) exp ( i ω t ) , 2 ∂ B i ω µ0 − µ (ω ) H (ω ) exp ( − i ω t ) + µ * (ω ) H * (ω ) exp ( i ω t ) . = ∂t 2
(19.15)
E=
a H=
Pro časovou střední hodnotu Poyntingova vektoru
72
T
1 S (ω ) = lim ∫ S (ω , t ) d t T →∞ T 0
(19.16)
dostáváme ze vztahu (19.13) dosazením z (19.14) a (19.15) − ∇⋅ S (ω ) =
2 2 ω ε ε ′′ ω E ω + µ0 µ ′′ (ω ) H (ω ) . 0 ( ) ( )
2
(19.17)
Energie přidávaná do jednotky objemu je proměňována na teplo. Podle druhé věty termodynamické musí být toto teplo při disipaci energie vytvářeno, musí tedy být
ω ε ′′ (ω ) > 0 , ω µ ′′ (ω ) > 0 .
(19.18)
19.2 Kramersovy - Kronigovy relace.
Studium vlastností permitivity a permeability jako komplexních funkcí komplexní proměnné vede k tomu, že můžeme tvrdit, že jsou to funkce analytické v horní polorovině, na reálné ose má funkce
ε (ω ) nejvýše jeden pól v bodě ω = 0 . Zobecnění na komplexní rovinu má často bezprostřední interpretaci. Tak vztah
ε ( − ω * ) = ε * (ω ) , µ ( − ω * ) = µ * (ω )
(19.19)
plyne z požadavku, aby reálné veličině E = E0 exp ( − i ω t ) + E0* exp ( i ω * t )
(19.20)
D = ε (ω ) E0 exp ( − i ω t ) + ε ( − ω * ) E0* exp ( i ω * t ) .
(19.21)
odpovídala reálná veličina
Užitím Cauchyho věty pro vhodnou oblast dostáváme Kramersovy - Kronigovy vztahy pro reálnou a imaginární část funkcí ε (ω ) a µ (ω ) , píšeme dále jen pro permitivitu (proměnnou na reálné ose značíme x) ∞
∞
σ ⌠ ε ′′ ( x ) ⌠ ε ′( x) ε ′ (ω ) − ε ′ ( 0 ) = P d x , ε ′′ (ω ) − = − P dx . π ⌡ x −ω ω ⌡ x −ω 1
−∞
−∞
73
(19.22)
Vzhledem k antisymetrii ε ′′ ( − ω ′ ) = − ε ′′ (ω ′ ) můžeme první vztah přepsat na ∞
⌠ x ε ′′ ( x ) dx ε ′ (ω ) − 1 = P 2 π ⌡ x −ω2
(19.23)
x ≥ 0 ⇒ ε ′′ ( x ) ≥ 0 , x ≤ 0 ⇒ ε ′′ ( x ) ≤ 0 .
(19.24)
2
−∞
a máme přitom na paměti, že
Z těchto relací odvodíme výrazy ∞
d ε ′ (ω ′ ) 4 ω ′ ⌠ x ε ′′ ( x ) = P dx , x 2 − ω ′2 2 d ω′ π ) ⌡(
d ω ′2 ( ε ′ (ω ′ ) − 1) d ω′
−∞
∞
3 4 ω ′ ⌠ x ε ′′ ( x ) = P d x . (19.25) x 2 − ω ′2 2 π ) ⌡( −∞
Z výrazů (19.25) dostáváme nerovnosti
d ε ′ (ω ′ ) ≥0 d ω′
,
d ε ′ (ω ′ ) 2 (1 − ε ′ (ω ′ ) ) ≥ . dω′ ω′
(19.26)
Zcela obdobně bychom získali pro permeabilitu nerovnosti
d µ ′ (ω ′ ) ≥0 , d ω′
d µ ′ (ω ′ ) 2 (1 − µ ′ (ω ′ ) ) ≥ . ω′ d ω′
(19.27)
20 Chování vlny na rovinném rozhraní. 20.1 Fázová a grupová rychlost.
Uvažujme šíření vlny ve směru osy z. Prostředí má velmi slabou dispersi, tedy kvadrát indexu lomu bude součinem reálných částí permitivity a permeability (čárky vynecháváme) a vlnu napíšeme jako ∞
⌠ ω n (ω ) A = a (ω ) exp i z − ω t d ω . c ⌡ −∞
Je zřejmé, že fázová rychlost je
74
(20.1)
vf =
c
(20.2)
n (ω )
a může nabývat i nadsvětelných rychlostí. Nikoliv tak grupová rychlost vg =
c d ω n (ω )
(20.3)
,
dω
pokud jsou ovšem splněny podmínky (19.26) a (19.27). 20.2 Sommerfeldovo – Brilluinovo řešení.
Na rovinné rozhraní dopadá v čase t = 0 kolmo elektromagnetická vlna. Poloprostor x > 0 vyplňuje opticky průzračné prostředí, charakterizované indexem lomu n (ω ) = ε (ω ) (předpokládáme µ (ω ) = 1 ). Máme tedy na rozhraní
E ( x = 0, t ) = 0
t<0
(20.4)
E ( x = 0, t ) = E0 exp {−i ω 0 t} t > 0 neboli ve Fourierových složkách ∞
E ( x = 0, ω ) = E0 ∫ d τ exp {i (ω − ω 0 )τ } .
(20.5)
0
Vlna šířící se v poloprostoru x > 0 má obecně tvar
{
}
f (ω ) exp i ( k (ω ) x − ω t )
, k (ω ) =
ω c
n (ω )
(20.6)
a v našem případě tedy ∞
E ⌠ E ( x , t ) = 0 d ω t (ω ) exp i ( k (ω ) x − ω t ) 2π ⌡
{
∞
} ∫ d τ exp {i (ω − ω )τ }
−∞
0
,
(20.7)
0
kde t (ω ) je pomalu se měnící amplituda propustnosti při dopadu na rozhraní. Nejprve ukážeme výpočet podle Landaua. Hlavní příspěvek k integrálu bude pocházet od frekvencí ω ≈ ω 0 . Rozvojem funkcí a ponecháním nejnižších členů Taylorova rozvoje dostaneme
75
∞
∞ ⌠ ξ ⌠ E0 t (ω 0 ) x u ′ ξ 2 E ( x,t) = exp i ( k (ω 0 ) x − ω 0 t ) d τ d ξ exp i ( x − u t + u τ ) − , (20.8) 2 2π u 2 u ⌡ ⌡ −∞
{
}
0
kde jsme zavedli grupovou rychlost u a její derivaci u ′ vztahy 1 dk = u dω
, u′ = ω = ω0
du dω
(20.9)
. ω = ω0
Po jednoduchých úpravách dostaneme z (20.9)
{
}
E ( x , t ) = E0 t (ω 0 ) exp i ( k (ω 0 ) x − ω 0 t )
π exp ∓ i ∞ 4 d ξ exp ± i ξ 2 , { } ∫
π
(20.10)
w
kde znaménko je signaturou u ′ a proměnná w je dána vztahem
w=
x − ut 2 x u′
.
(20.11)
Pro u t − x → ∞ přejde (20.10) na stacionární tvar
{
}
E ( x , t ) = E0 t (ω 0 ) exp i ( k (ω 0 ) x − ω 0 t )
.
(20.12)
Pro c t − x → 0+ hrají hlavní roli velké frekvence, kdy můžeme psát
ω 2p k (ω ) − ≈ − c 2ω
(20.13)
ω p2 x i E0 ⌠ d ω x x exp − i + t − ω − E0 exp − i t − ω 0 , E ( x,t) ≈ 2π ⌡ ω c c 2 c ω
(20.14)
ω
a tedy místo (20.7) ∞
−∞
kde integrační cesta (na obrázku) je zvolena podle Sommerfelda tak, aby obsahovala pouze velké absolutní hodnoty (komplexní) integrační proměnné. Druhý člen na pravé straně (20.14) je příspěvek residua v ω = ω 0 , předpokládáme dále t (ω 0 ) ≈ 1 . S označením ξ = (ω p2 x ) ( 2 c ) a τ = t − x c přepíšeme (20.14) na 76
∞
iE ⌠ dω ξ E ( x,t) ≈ 0 exp − i + τ ω − E0 exp − i t − 2π ⌡ ω ω −∞
x ω0 . c
(20.15)
Zvolíme-li r = ξ τ , můžeme pomocí různých integrálních representací Besselovy funkce zapsat (20.15) jako ωp E ( x , t ) = E0 J 0 2 ξ τ = E0 J 0 c
(
)
x 2 x ( c t − x ) − exp − i t − ω 0 . c
(20.16)
Čelo vlny se tedy šíří rychlostí rovnou rychlosti světla ve vakuu, amplituda narůstá z nulové hodnoty. Pro x − c t > 0 dostáváme přirozeně z (20.7) vztah E ( x , t ) = 0 .
20.3 Odraz a lom na rovinném rozhraní. 20.4 Zastavené a urychlené světlo.
77
21 Matematické doplňky. 21.1 Lorentzova grupa.
S obvyklým značením
1 0 0 0 ct x 0 −1 0 0 i G = ( gi k ) = , x = (x ) = 0 0 −1 0 y 0 0 0 − 1 z
(21.1)
můžeme definovat skalární součin dvou čtyřrozměrných vektorů jako
( x , y ) = xT G y = g i k x i y k
.
(21.2)
Lorentzova transformace je lineární zobrazení, které zobrazuje prostoročas sám na sebe a které zachovává skalární součin xi → x′i = Λ ik x k
, x → x′ = Λ x .
(21.3)
Podmínka pro invarianci skalárního součinu je
(Λ x)
T
G ( Λ y ) = xT Λ T G Λ y = xT G y ⇒ ΛT G Λ = G .
(21.4)
Použijeme-li zápisu ve složkách, můžeme (21.4) přepsat na
(Λ ) T
k i
= Λ ik
, g l m Λ li Λ mk = g i k
(21.5)
.
Jsou-li Λ a Μ Lorentzovy transformace, jsou také Λ −1 a Λ Μ Lorentzovy transformace, což snadno odvodíme
gi k = gl m Λ lr Λ ms ( Λ −1 ) ( Λ −1 ) = g r s ( Λ −1 ) ( Λ −1 ) r
s
r
s
i
k
i
k
,
gi k = gl m Μ li Μ mk = g r s Λ lr Λ ms Μ li Μ mk = g r s ( Λ Μ )i ( Λ Μ ) k r
s
(21.6) .
Lorentzovy transformace tvoří grupu. Grupa má čtyři podmnožiny, charakterizované signaturou determinantu a Λ 00 , neboť
( det Λ )
2
=1 ,
3
(Λ ) − ∑ (Λ ) 0 2 0
j =1
78
j 2 0
=1 .
(21.7)
Speciální Lorentzova grupa je tvořena transformacemi s det Λ = 1 a sgn Λ 00 = 1 . Máme
L++ : det Λ = 1 , sgn Λ 00 = 1 , I ∈ L++ + −
L
− +
L
, + −
0 0
: det Λ = − 1 , sgn Λ = 1 , I s ∈ L
− +
0 0
: det Λ = 1 , sgn Λ = −1 , I st ∈ L
,
(21.8)
,
L−− : det Λ = − 1 , sgn Λ 00 = − 1 , I t ∈ L−− . Speciální Lorentzova grupa obsahuje identickou transformaci, další podmnožiny jsou charakterizovány Is (prostorová inverse), It (časová inverse) a Ist (časoprostorová inverse), definovaných pomocí vztahů
( I s x ) = x0 , ( I s x ) = − x j 0 j ( It x ) = − x0 , ( It x ) = x j 0
( I x)
0
st
j
= − x0
,
( I x) st
j
,
(21.9)
,
= −xj
.
Se speciální Lorentzovou grupou je spojena grupa komplexních matic druhého řádu s determinantem, rovným jedné, platí SO ( 3,1) = SL ( 2, C ) Z 2 .
21.2 Grupa SL(2,C).
Čtyřvektoru x přiřadíme komplexní matici xˆ vztahem
1 0 , σˆ 0 = , i =0 0 1 0 1 0 −i 1 0 , σˆ 2 = , σˆ 3 = σˆ 1 = , 1 0 i 0 0 − 1 3
xˆ = ∑ x i σˆ i
(21.10)
takže
x0 + x3 xˆ = 1 2 x +ix
x1 − i x 2 . x0 − x3
(21.11)
Platí det xˆ = xi xi
{
, xi =
}
1 tr { xˆ σˆ i } . 2
Každé dvojici matic λˆ , − λˆ ∈ SL ( 2, C ) lze přiřadit Lorentzovu transformaci Λ zobrazením
79
(21.12)
xˆ′ = λˆ xˆ λˆ +
⇒ x′ = Λ x .
(21.13)
Matici λ lze zapsat jako součin hermiteovské matice a unitární matice 1 2
i 2
λˆ ( u , ω ) = exp σˆ ⋅ u exp σˆ ⋅ω .
(21.14)
( )
Důkaz: Zapišme λˆ λˆ + = exp σˆ ⋅ u , potom +
1 ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ i exp − 2 σˆ ⋅ u λ exp − 2 σˆ ⋅ u λ = 1 ⇒ exp − 2 σˆ ⋅ u λ = exp 2 σˆ ⋅ω .
(21.15)
Jiný způsob zápisu
ϕ ϕ θ θ ϕ iθ λˆ = exp − nϕ ⋅σˆ exp nθ ⋅σˆ = cosh − nϕ ⋅σ sinh cos + i nθ ⋅σ sin . 2
2
2
2
2
2
(21.16)
Protože pro Pauliho matice platí
(σˆ ⋅ a )(σˆ ⋅ b ) = a ⋅ b + i σˆ ⋅ ( a × b )
,
(21.17)
můžeme poslední vztah přepsat na
λˆ = cosh
ϕ 2
cos
θ 2
− i nϕ ⋅ nθ sinh
ϕ 2
sin
θ 2
+
(21.18)
ϕ θ ϕ θ ϕ θ − nϕ sinh cos + i nθ cosh sin − i nϕ × nθ sinh sin ⋅σˆ . 2 2 2 2 2 2
21.3 Zápis Maxwellových rovnic pomocí diferenciálních forem.
Základní formou je 1- forma potenciálu
A = Ai d x i
.
(21.19)
2-forma pole je pak F =d A=
1 Fi k d x i ∧ d x k 2
Explicitní vyjádření forem je
80
.
(21.20)
A = φ d t − Ax d x − Ay d y − Az d z
(21.21)
a
F = E x d t ∧ d x + E y d t ∧ d y + Ez d t ∧ d z − Bz d x ∧ d y + B y d x ∧ d z − Bx d y ∧ d z . (21.22) Duální forma je *
E Ez E d x ∧ d y + y d x ∧ d z − x d y ∧ d z . (21.23) c c c
F = − c Bx d t ∧ d x − c By d t ∧ d y − c Bz d t ∧ d z −
Z obecného vztahu d dω = 0
(21.24)
plyne dF =0 ⇒ −
1 ∇× E c
(
)
x
+
*
*
dF =0 ,
∂ Bx 1 d x − ∇× E ∂t c
(
)
y
+
d F = − c ∇⋅ B d t −
∂ By ∂ Bz 1 d y − ∇× E + dz . z ∂t ∂ t c
(
)
(21.25)
Pro zápis druhého páru Maxwellových rovnic spočteme nejprve 1 ∂ Ez d * F = c ∇× B − d t ∧ d x ∧ d y − c ∇× B z c ∂t
(
)
(
)
y
−
1 ∂ Ey d t ∧d x ∧d z + c ∂ t
1 ∂ Ex 1 + c ∇× B − d t ∧ d y ∧ d z − ∇. E d x ∧ d y ∧ d z x c ∂t c
(
)
(
)
(21.26)
a formu k ní duální 1 ∂ Ex d * F = ∇× B − 2 d x + ∇× B x c ∂t
(
*
)
(
)
y
−
1 ∂ Ey dy+ c 2 ∂ t
1 ∂ Ez ∇× B z − c 2 ∂ t d z − ∇ . E d t .
(
)
(
)
(21.27)
1 - forma proudu je
J = ρ c 2 d t − jx d x − j y d y − jz d z ,
(21.28)
takže druhý pár Maxwellových rovnic máme zapsán jako
d * F = − µ0 J
*
81
.
(21.29)
V předchozím jsme používali dualitu ve smyslu Hodgeova zobrazení, které je definováno v n rozměrném prostoru s metrickým tensorem g i k jako zobrazení p-forem na (n-p)-formy * : Ω p ( n ) → Ωn − p ( n ) *
1 j p +1 j1… j p d x j1 ∧… ∧ d x j p = ∧… ∧ d x jn j p + 1… jn d x ( n − p )! ε
.
(21.30)
Pro formy tak máme
ω=
1 j ω j1… j p d x j1 ∧ … ∧ d x p p! det ( gi k )
ω=
*
p !( n − p )!
, (21.31)
ε j …j ω 1
j1… j p
n
dx
j p +1
∧ … ∧ d x jn
.
Pro složky duálních forem je z (21.31) *
ω=
( ω)
1 j ω j p +1… jn d x p +1 ∧ … ∧ d x jn ( n − p )!
*
j p + 1… jn
det ( gi k )
=
p!
ε j …j ω 1
j1… j p
n
, (21.32) .
21.4 Teorém Noetherové.
Pohybové rovnice pro pole odvozujeme z variačního principu
δ S = δ ∫ L ( q A , q A ,i ) d Ω = 0 , Ω
⌠ ∂ L ∂ ∂ L A ⌠ ∂L A q d Σ + − δ δ q dΩ=0 . i ∂ qA ∂ q A ∂ x i ∂ q A , i ⌡ ,i ⌡ Σ
(21.33)
Ω
Lagrangián, který dává druhý pár Maxwellových rovnic jako pohybovou rovnici variačního principu je
L = L ( Ai , Ai , k ) = −
1 1 i j kl i µ0 Ai j + g g Fi k F j l . 4 c µ0
(21.34)
Teorém Noetherové říká, že každé spojité s-parametrické transformaci souřadnic a funkcí pole, která vede k nulové variaci účinku, odpovídá s kombinací funkcí pole a jejich derivací, které se v čase nemění. Uvažujme 82
xi → x′i = xi + δ xi
, q A ( x ) → q ′ A ( x′ ) = q A ( x ) + δ q A ( x ) ,
δ xi = X ni ( x ) δ ω n , δ q A ( x ) = QnA ( x ) δ ω n .
(21.35)
Takto definované variace funkcí pole nejsou vhodné, protože obecně nekomutují s derivacemi podle souřadnic. Proto definujeme redukované variace
δ q A ( x ) = q ′ A ( x′ ) − q A ( x ) = δ q A ( x ) + q A , i ( x ) δ x i
,
δ q A ( x ) = q′ A ( x ) − q A ( x ) = ( QnA ( x ) − X ni ( x ) q A , i ( x ) ) δ ω n .
(21.36)
Pro variaci účinku dostáváme
δ S = ∫ L′ ( q′ A , q′ A, i ) d Ω′ − ∫ L ( q A , q A , i ) d Ω = Ω
Ω
⌠ ∂L i L ( x ) + δ L ( x ) + ∂ x i δ x d Ω′ − ∫ L ( x ) d Ω . ⌡ Ω
(21.37)
Ω
Poněvadž pro objemový element je
d Ω′ =
∂ ( x′ ) ∂ δ xi d Ω = 1 + d Ω , ∂ ( x) ∂ xi
(21.38)
můžeme psát
⌠ ⌠ ∂L ∂ ( L δ xi ) ∂ ( L δ xi ) ∂L A A d Ω = A δ q + d Ω = δ S = δ L + δ q ,i + ∂ q ∂ xi ∂ q A ,i ∂ xi ⌡ ⌡ Ω
Ω
⌠ ∂L ⌠ ∂ ∂L ∂ ∂ L A i + Ω + − δ q L δ x d d Ω . ∂ xi ∂ q A ∂ q A ∂ xi ∂ q A , i , i ⌡ ⌡ Ω
(21.39)
Ω
Jsou-li splněny pohybové rovnice, dostáváme konečné vyjádření změny účinku
⌠ ∂ Θn ( x ) δ ωn d Ω , i ⌡ ∂x i
δ S = − Ω
∂L Θ ( x ) = − A QnA ( x ) − X nj ( x ) q A , j − L X ni ( x ) . ∂ q ,i i n
83
(21.40)
Jestliže se účinek nezmění, dostáváme diferenciální zákony zachování. Integrální tvar dostaneme z Gaussovy věty, předpokládáme-li hranici čtyřrozměrné oblasti ve tvaru "válce", kde podstavami jsou nadroviny s t = const . Potom pro s veličin Cn platí zákon zachování
Cn = ∫ Θ0n ( x ) d V V
84
,
d Cn =0 . dt
(21.41)
