Speciální teorie relativity
IF
Speciální teorie relativity Newtonovy pohybové zákony umožňují popis chování těles pohybujících se nízkými rychlostmi. Při rychlostech, kterých dosahují částice v urychlovačích, však tyto zákony přestávají platit. Pohyb těchto částic umožňuje popsat Einsteinova speciální teorie relativity. Přesněji řečeno, tato teorie formuluje správné zákony pohybu pro libovolné těleso. Newtonovy zákony jsou zjednodušenou formou zákonů STR pro případ velmi malých rychlostí (v « c). Pro částice pohybující se malými rychlostmi je rozdíl mezi Einsteinovými a Newtonovými pohybovými zákony nepatrný. Tím lze vysvětlit, proč relativita nehraje v běžném životě významnou roli. Einsteinova teorie přesahuje Newtonovu, ale pro tělesa pohybující se běžnými rychlostmi postačuje přesnost Newtonovy teorie. Dnes je již spolehlivě ověřeno, že Einsteinova teorie skutečně platí a poskytuje možnost popsat pohyb relativistických částic, tj. těles, které se pohybují rychlostmi srovnatelnými s rychlostí světla. Vzhledem k tomu, že takové rychlosti se vymykají každodenním zkušenostem většiny z nás, mohou se některé Einsteinovy předpovědi zdát podivné nebo nepochopitelné. To však nijak nezpochybňuje jejich platnost.
Teoretický základ speciální teorie relativity Einsteinova speciální teorie relativity vyplývá ze dvou základních postulátů:
1.Rychlost světla je stejná pro všechny pozorovatele nezávisle na jejich vzájemných rychlostech. 2.Fyzikální zákony mají ve všech inerciálních soustavách (soustavy bez zrychlení) stejný tvar, hypotetický pozorovatel na relativistické částici musí pozorovat stejné fyzikální zákony jako ten, který zůstává v klidu v laboratorní soustavě.
Speciální teorie relativity
IF
Splnění těchto podmínek není možné, pokud nepřiřadíme každé vztažné soustavě nejen vlastní prostorové souřadnice, ale i čas. Veličiny jako délka a čas se musí pro jednotlivé pozorovatele měnit, aby bylo možno konzistentně vyjádřit neměnné fyzikální skutečnosti jako např. poločas rozpadu částice. Platnost obou základních předpokladů byla ověřována řadou fyzikálních experimentů a ve všech byla potvrzena.
Rychlost světla je stejná pro všechny pozorovatele. Znamená to, že existuje základní přírodní konstanta - rychlost světla. Všimněme si, jak podstatně se tato skutečnost liší od běžné zkušenosti. Jedu-li po dálnici rychlostí 120 km/h vzhledem k silnici, auto jedoucí stejným směrem rychlostí 130 km/h má vzhledem ke mně relativní rychlost 10 km/h, zatímco protijedoucí auto se stejnou rychlostí se vzhledem ke mně pohybuje rychlostí 250 km/h. Rychlost aut vůči mně závisí na mém i na jejich pohybu.
Fyzika je stejná pro všechny inerciální pozorovatele. Druhý postulát je základním, byť nevysloveným východiskem veškerého vědeckého bádání – očekáváme, že v přírodě existují obecná pravidla, která platí nezávisle na okolnostech pozorování, tzv. invariantní zákonitosti. To neznamená, že se vše chová stejně na Zemi i v celém vesmíru, např. pozorovatel na povrchu Země je ovlivněn zemskou tíží, očekáváme však, že působení síly na těleso je stejné nezávisle na tom, co sílu vyvolalo, kde se těleso nachází nebo jakou rychlostí se pohybuje.
Einsteinova speciální teorie relativity (zabývá se relativním pohybem těles) v sobě zahrnuje jak konstantní rychlost světla pro všechny pozorovatele, tak všeobecně známé skládání malých rychlostí. Připomeňme si, že Einsteinova obecná teorie relativity je zcela odlišná teorie o zcela jiném problému – působení gravitace. Postuláty OTR: 1. Fyzikální zákony mají ve všech soustavách stejný tvar. 2. Gravitační a setrvačné síly mají stejnou fyzikální podstatu a platí pro ně stejné fyzikální zákony.
IF
Speciální teorie relativity - kinematika
Galileova transformace – používá se v Newtonovské fyzice (i v běžném životě): Máme-li souřadnicový systém spojený se Zemí (laboratorní soustava), a jinou soustavu, která se vzhledem k Zemi pohybuje konstantní rychlostí v například podél osy x, platí mezi oběma systémy transformace
t t x x v t t t x x v t
y y z z . y y z z
Souřadnice bodu v pohybující se soustavě jsou označeny čárkou.
Pro obě soustavy platí jeden a týž čas, teoreticky se připouští jakákoliv rychlost posunu v ose x. Pohybuje-li se však soustava vysokou rychlostí (blízkou rychlosti světla), je zřejmé, že tato transformace neumožňuje splnit 1. Einsteinův postulát.
Lorentzova transformace První relativistický postulát vyplynul z Maxwellových rovnic elektrodynamiky. Právě požadavek na invariantnost této soustavy rovnic popisujících elektromagnetické záření, vedl nizozemského fyzika H. A. Lorentze k formulaci speciální transformace souřadnic.
Mějme dvě vztažné soustavy S a S', které se vůči sobě pohybují ve směru osy x rychlostí v blízkou rychlosti světla. Souřadnice v příčném směru se nemění, x-ová souřadnice a čas v obou soustavách jsou svázány těmito vztahy: v
1
v2 1 2 c
t t 2 x c v t t 2 x c
x x vt
x x vt
Speciální teorie relativity - kinematika
IF
Odkud se vzal koeficient ? Kupodivu lze k němu dospět poměrně jednoduchou úvahou na základě příkladu z klasické mechaniky.
Uvažujme loďku plovoucí rychlostí c na řece plynoucí stálou rychlostí v. Nejdříve popluje z jednoho břehu na druhý a zpět tou nejkratší možnou cestou. Je zřejmé, že aby se loďka dostala kolmo na protější břeh, musí plout šikmo proti proudu, takže její rychlost ve směru kolmo na břeh řeky bude odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka (viz pravidlo o grafickém sčítání vektorů) a čas potřebný k překonání dvojnásobku šířky řeky bude dán vztahem
1 2
2d v 1 c c2 c2 v2 Ve druhém případě vypočítáme čas potřebný k tomu, aby loďka překonala stejnou vzdálenost v podélném směru. Pluje-li proti proudu, potřebuje k překonání vzdálenosti d čas t1 t1 d , pluje-li po proudu, stačí jí čas t2 t2 d cv cv 1 d c v d c v 2dc 2d v2 t t1 t2 2 1 2 . .Celkový čas plavby je c2 v2 c v2 c c t
2d
2
1 2
t v 1 2 , t c pluje-li loďka tam a zpět ve směru rychlosti v, potřebuje na uplavání stejné dráhy jako v kolmém směru -krát delší čas. 2
Poměr časů plavby je
Nahraďme loďku světelným signálem, vodu v řece „éterem“ (hypotetická látka umožňující šíření elektromagnetického vlnění), soustavu spojenou s břehem řeky označme S, soustavu spojenou s vodou v řece S'. Náš hypotetický pokus se pak stane popisem tzv. Michelsonova pokusu, který měl na konci 19. stol experimentálně potvrdit, či vyvrátit existenci éteru. Negativní výsledky tohoto měření vedly k definitivnímu opuštění teorie éteru. http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/flashlets/mmexpt6.htm
Speciální teorie relativity - kinematika
IF
Nyní se pokusíme výsledky tohoto mechanického pokusu využít na světlo. Představme si světelné hodiny - dvě rovnoběžná zrcadla (Z1, Z2), od nichž se periodicky odráží světelný signál. Nejedná se o skutečný přístroj, který by šel použít v praxi nebo experimentální fyzice - je to jen myšlený model hodin, který je pro svoji jednoduchost výhodný v úvahách o měření času.
Uvažujeme dvě inerciální soustavy S a S′. Soustava S′ se pohybuje ve směru osy x rychlostí v → c. V čase t0 = 0 jsou počátky obou inerciálních vztažných soustav v počátku, do kterého umístíme stejné světelné hodiny H′ a H tak, aby jejich osy byly kolmé k vektoru rychlosti v. V obou inerciálních vztažných soustavách jsou pozorovatelé P′ a P, kteří uvedou hodiny současně do chodu ve chvíli, kdy osy hodin splývají (jedná se o současnou a soumístnou událost). V soustavě S′ se světelný paprsek pohybuje ve směru osy světelných hodin, ale ve vztažné inerciální soustavě se pohybuje po úsečce PM. Z postulátu rychlosti světla vyplývá, že světelný paprsek urazí za dobu t dráhu |PM| = ct. Tato dráha musí být stejná, jako dráha světla v hodinách H za dobu t. Pozorovatel v soustavě S musí na tik hodin H‘ v soustavě S‘ čekat déle, pozoruje, že hodiny tikají pomaleji. Vztah mezi t a t‘ zjistíme z pravoúhlého trojúhelníka PP‘M:
ct
2
vt ct 2
2
v2 t t 1 2 c
Odtud získáváme známý vztah pro dilataci času
2
2
v2 t t 1 2 t t c
pozn.: Podle teorie relativity je čas relativní - Když se vzhledem k nám někdo pohybuje relativistickou rychlostí, pozorujeme na něm zpomalení, i když on na sobě nic takového nepozoruje. A protože je pohyb relativní (my se pohybujeme vzhledem k němu), pozoruje i on totéž na nás. Pro pozorovatele v soustavě S′ platí opačný vztah.
Speciální teorie relativity - kinematika
IF
Při předchozí úvaze jsme vlastně použili jen první polovinu experimentu s loďkou, pohyb kolmo k toku řeky. Nyní doplníme i druhou část výsledků myšleného mechanického experimentu Když měříme délku určitého předmětu, předpokládáme, že je umístěn v soustavě, která je vzhledem k naší vztažné soustavě v klidu. Předpokládejme však, že je tyč umístěna v klidu v soustavě S′, která se vzhledem k soustavě S pohybuje rovnoměrně přímočaře rychlostí v (osa x′ je rovnoběžné s osou x). Pozorovatel v soustavě S může vypočítat délku tyče M′N′ tak, že na ose x vyznačí polohy koncových bodů M a N a délku tyče v soustavě S pak vypočítá jako vzdálenost l = |MN| okamžitých poloh obou jejich konců. Poloha bodů M a N v soustavě S musí být vyznačena současně. Pozorovatel v soustavě S′ však nepokládá úsečku MN za délku tyče M′N′, protože z jeho pohledu bylo měření v bodech MN provedeno postupně a ne současně. Předpokládáme, že z levého konce tyče O′ vyšleme ve směru jejího pohybu světelný signál. Světlo se po odrazu od zrcátka Z umístěného na druhém konci tyče vrátí zpět do bodu O′. V klidové soustavě S′ je doba t′, za níž světlo urazí dráhu O′ZO′, daná vztahem
t
2l0 . c
V soustavě S se světlo šíří od levého konce tyče k zrcátku po dobu t1 a urazí dráhu ct1 vt1 l , kde l je délka tyče v soustavě S. Při návratu paprsku k levému konci tyče urazí světlo vzhledem k soustavě S dráhu ct2 l vt2
IF
Speciální teorie relativity - kinematika
Z posledních dvou vztahů dostáváme pro dobu t, za niž se světelný paprsek v soustavě S dostane od levého konce tyče k zrcátku a nazpět, (podobně jako v příkladu s loďkou) výraz: l c v l c v l l 2lc 2l v2 2l 2 t t1 t2 1 cv cv c2 v2 c 2 v 2 c c 2 c 1
Mezi časem t′ inerciální soustavy S′ a časem t inerciální vztažné soustavy S platí vztah pro dilataci času, 2l 2l 2 takže po dosazení právě odvozených vztahů za t a t′ dostáváme rovnici 0 c c
v2 která vyjadřuje známý relativistický vztah pro kontrakci délek l l0 l0 1 2 c l0 je délka předmětu v klidové soustavě S′ a l délka předmětu v soustavě S, vzhledem k níž se předmět pohybuje. 1
Transformace rychlosti Vraťme se ke vztažným soustavám S a S'. Vyšle-li pozorovatel v soustavě S' v kladném směru osy x´ foton, pak by se tato částice podle klasického zákona skládání rychlostí (podle Galileovy transformace) pohybovala vzhledem k soustavě S rychlostí u = c + v. Tento výsledek je ale v rozporu s druhým postulátem speciální teorie relativity.
Je zřejmé, že v Lorentzově transformaci bude pro skládání rychlostí vypadat jinak. Tento obecnější vztah, který platí při libovolných rychlostech, nyní odvodíme.
Speciální teorie relativity - kinematika
IF
Mějme dvě inerciální vztažné soustavy S a S′ (v každé je pozorovatel) s rovnoběžnými osami x a x′. V soustavě S′ se pohybuje částice, která ve dvou různých okamžicích vyšle signál. Předpokládejme, že v čase t = t´= 0, v němž souřadnicové osy obou soustav splývají, je částice v jejich společném počátku a vyšle první signál. Za dobu dt´ se rovnoměrným pohybem dostane do nějakého bodu A a urazí při tom v soustavě S' dráhu dx´ a vzhledem k soustavě S dráhu dx. Průchod částice bodem A je událost, která má v soustavě S' souřadnice dx´, dt´ a v soustavě S souřadnice dx, dt. Každý pozorovatel změří prostorový a časový interval mezi těmito dvěma událostmi. Provedená čtyři měření jsou spojena rovnicemi:
dt
v dx 2 dx vdt c dx 2 v v2 1 2 1 2 c c
dt
Z definice rychlosti rovnoměrného přímočarého pohybu vyplývá, že částice má vzhledem k soustavě S' dx dx rychlost u , vzhledem k soustavě S rychlost u . dt dt hledaný vzorec pro relativistické skládání rychlostí získáme vydělením infinitezimálních úseků dráhy a času a několika jednoduchými algebraickými úpravami
dx vdt dx u v dt dt 2 dx c
dx v u v dt u uv v dx dt 1 2 1 2 c dt c
dt
pozn.: Když v rovnici formálně použijeme c → ∞, redukuje se na klasickou rovnici skládání rychlostí.
Speciální teorie relativity - kinematika
IF
Speciální relativistické jevy Jeden z nejnepochopitelnějších důsledků STR je skutečnost, že dva pozorovatelé, kteří se vzájemně pohybují, dospějí k jiným výsledkům měření délky téhož tělesa nebo časového intervalu mezi dvěma událostmi. Uvažujme dva pozorovatele, každého ve své kosmické lodi, s vlastními hodinami a vlastní metrovou tyčí. Obě lodi se vůči sobě pohybují rychlostí blízkou rychlosti světla. Pak platí:
Každý pozorovatel vidí metrovou hůl druhého jako -krát kratší než svou vlastní kontrakce délek. Každému pozorovateli se hodiny ve druhé soustavě jeví jako tikající -krát pomaleji než jeho vlastní – dilatace času.
Pokusy v urychlovačích částic jasně potvrzují, že k oběma jevům skutečně dochází.
Dilatace času Částice mají své vlastní vnitřní hodiny, které určují poločas rozpadu. Nicméně čas, který odpočítávají hodiny v pohybující se soustavě, pozorovaný statickým pozorovatelem, je pomalejší než čas měřený statickými hodinami. Proto se statickému pozorovateli jeví čas měřený pohyblivým pozorovatelem jako -krátvětší. Pozorujme například částici , která někdy v urychlovači vzniká. Ve své klidové soustavě má dobu života přibližně 3.05 · 10-13 s. Vypočítáme, jak daleko doletí, než se rozpadne: d= v t = (3 · 108 m·s-1) · (3,05 · 10-13 s) = 9,15 · 10-5 m Změřením dráhy částice nás však překvapí – naměříme, že částice doletěla dál!
Speciální teorie relativity - kinematika IF Co je příčinou? V naší soustavě se částice pohybuje. Dobu rozpadu můžeme vnímat jako pohybující se hodiny, podle STR tikají pohyblivé hodiny -krát pomaleji než statické. Vynásobením času v pohybující se soustavě koeficientem získáme odpovídající čas v laboratorní soustavě. Tento čas násobený c, což je přibližná rychlost částice , určuje vzdálenost, kterou částice urazí. Kolik je v tomto případě? To záleží na energii částice . Pro = 20 bylo naměřeno, že částice uběhne před rozpadem přibližně vzdálenost 20 · (9,15 · 10-5 m) = 1,8 · 10-3 m neboli asi 1,8 mm. To je 20-krát více, než bychom očekávali při výpočtu podle klasické fyziky. Pozorování částic různých rychlostí potvrdilo, že dilatace času skutečně nastává. Vysvětluje např., jak mohou mezony z kosmického záření doletět až na zemský povrch.
Kontrakce délek Po rozboru pohybu částice v naší souřadné soustavě si položme opačnou otázku: Co uvidí ve své vztažné soustavě? Její doba života je 3.05·10-13 s, měla by zůstat zachována i v její vlastní vztažné soustavě. V této soustavě se nepohybuje. Nechť pozorovatel v klidové soustavě pozoruje po dobu života částice pozorovatele spojeného s laboratorní soustavou. Jak daleko se pozorovatel dostane? Spočítali jsme, že v laboratorní soustavě proletí částice dráhu 1,8 mm. Očekávali bychom, že pozorovatel v soustavě bude vidět nás, jak urazíme stejnou dráhu vůči němu, ale není tomu tak. Pozorovatel -soustavy hlásí: vůči mně jste se posunuli pouze o 1,8 mm· = 0,09 mm. Tento jev nazýváme kontrakce délek. Jaká je doba života částice pro pozorovatele v její soustavě? Můžeme přepsat d = v·t do tvaru t = d/v. Protože rychlost pozorovatele v laboratoři vůči -pozorovateli je, až na orientaci, stejná jako rychlost -pozorovatele vůči laboratoři, můžeme použít stejnou hodnotu rychlosti. Potom poločas rozpadu bude 0,09·10-3 m/(3·108)m/s = 3,0·10-13 s. To je doba života částice pozorovaná v jeho klidové soustavě, přesně tak, jak by měla vyjít!
Speciální teorie relativity - dynamika
IF
Relativistické pojmy Částice, pro něž je v/c srovnatelné s 1 jsou "relativistické" částice, částice s v/c mnohem menším než jedna v/c«1 jsou "nerelativistické". V dalším textu budou uvedeny základní odlišnosti pro obě skupiny částic. 1 Relativistický koeficient v2 Měřitelné účinky relativity vyjadřujeme pomocí koeficientu 1 2 c kde c je rychlost světla, v je rychlost uvažovaného tělesa. Tento koeficient je závislý výhradně na rychlosti částice a je vždy větší než jedna. Například uletí-li elektron v urychlovači dráhu kolem 3m, získá rychlost asi 0,99c, při níž má hodnotu 7,09. Když doletí na konec lineárního urychlovače ve Stanfordu (délka asi 2míle) má rychlost 0.99999999995c takže dosahuje 100000.
(Při Newtonovských rychlostech je přibližně rovno jedné.). Hybnost a hmotnost Pro nerelativistická tělesa definujeme hybnost p, jako součin hmotnosti a rychlosti: p = m·v. Při relativistických rychlostech definice platí ve stejné podobě za předpokladu, že dosazujeme relativistickou hmotnost místo klidové, tj.: p = m v = m0v. Tato rovnice nám říká, že pro jakoukoli částici s nenulovou klidovou hmotností narůstá relativistická hmotnost a tedy i hybnost tím více, čím více se její rychlost blíží rychlosti světla. Dosáhne-li částice rychlosti světla, vzroste její hybnost (hmotnost) nade všechny meze. Protože urychlení částice na takovou hybnost vyžaduje buď působení nekonečné síly, nebo konečné síly po nekonečnou dobu, dospíváme k závěru, že hmotná částice se vždy musí pohybovat rychlostí menší než rychlost světla.
Speciální teorie relativity - dynamika
IF
Energie Snad nejznámější definice všech dob je Einsteinův vztah E = mc2. Umožňuje nám například určit množství energie odpovídající klidové hmotnosti m0. Pokud tato hmotnost zmizí, např. při nukleární fúzi, odpovídající množství energie se musí objevit v nějaké jiné podobě. Zároveň tento vztah umožňuje určit celkové množství energie částice hmotnosti m0, která je v klidu.
Relativistický výraz pro určení celkové energie částice s klidovou hmotností m0 a hybností p je dán vztahem E2 = m02c4 + p2c2. Energie E je celková energie volně se pohybující částice. Rozdělíme-li ji na klidovou a kinetickou, získáme relativistický vztah pro kinetickou energii, neboť platí Ek = E - m0c2 1 E0 . Je zřejmé, že tento vztah se liší od Newtonovského Ek = 1/2mv2.
Substitucí rovnice pro p do rovnice pro E, získáme E = mc2, tj. celková energie relativistické částice je –násobkem energie klidové. Příklad: Klidová energie elektronu je 0,511 MeV. Po průchodu dráhy 3m urychlovačem má rychlost 0,99c, koeficient = 7,09. Aplikací předchozí rovnice zjišťujeme, že získal energii 7,09·0,511MeV = 3,62 MeV; na konci urychlovače, při koeficientu =105, má pak energii 100000 · 0,511 MeV = 51,1 GeV. Rozcvička pro počtáře: vypočítejte kinetickou energii Ek = E – m0c2 pro rychlost v « c; ukažte, že jde o součet známého výrazu pro kinetickou energii 1/2 mv2 a korekcí, které jsou mocninami druhého a vyšších řádů výrazu (v/c). Výpočet názorně ukazuje, nevhodnost oddělování kinetické a klidové energie u relativistických částic. Charakterizujeme-li relativistickou částici její energií, máme vždy na mysli její celkovou energii.
Výraz pro výpočet celkové energie částice zřejmě platí i pro částice s nulovou klidovou hmotností m0 = 0. Taková částice se vždy pohybuje rychlostí c, tj. rychlostí světla. Fotony mají kinetickou energii a hybnost, nemají však žádnou klidovou hmotnost! Einsteinův vztah nám říká ještě více: Energie a hmotnost jsou vzájemně zaměnitelné Lépe řečeno, klidová hmotnost je jen jednou z forem energie. U směsi není hmotnost celku jen součtem hmotností jednotlivých složek, ale součtem jejich energií, což zahrnuje kinetickou, potenciální a „hmotnostní“ energii. Rovnice E=m0c2 reprezentuje převodní vztah mezi jednotkami energie a hmotnosti. I malá hmotnost odpovídá značnému množství energie.
IF V libovolném případě atomové exploze se „hmotnostní“ energie uvolňuje v podobě kinetické energie výsledného materiálu, jehož hmotnost bývá o něco menší než hmotnost původní. V libovolném procesu rozpadu částice se část původní klidové energie přeměňuje na kinetickou energii produktů. Dokonce i při chemických reakcích dochází k nepatrným změnám hmotnosti, které odpovídají uvolněné nebo pohlcené energii. Při experimentech s částicemi můžeme být svědky i opačného jevu - energie vytváří novou látku. V přítomnosti nabitých částic se může foton (mající jen kinetickou energii) změnit v hmotnou částici a jí odpovídající antičástici. Přítomnost původní částice je nezbytná pro absorpci přebytečné energie a hlavně zachování hybnosti. Tento jev je dalším potvrzením platnosti STR a zároveň možností jak vytvářet antihmotu. Speciální teorie relativity - dynamika
Jednotky hmotnosti, energie a hybnosti Místo používání kilogramu pro měření hmotnosti používají fyzikové v problematice teorie částic jednotku energie elektronvolt (eV).
Je to energie, kterou získá jeden elektron, projde-li potenciálovým rozdílem jednoho voltu. Odtud vyplývá, že 1 eV = 1.6 · 10-19 J.
Ukažme si, jak tato jednotka funguje. Klidová hmotnost elektronu je 9,11·10 -31 kg. Z E = mc2 vyplývá: E = 9,11 · 10-31 kg · (3 · 108 m/s)2 = 8,199 · 10-14 J To je energie ekvivalentní jednomu elektronu. Takže jak 9,11·10 -31 kg, tak 8,199·10-14 J, označuje totéž - elektron. Převedení joulů na elektronvolty umožňuje postoupit ještě dále a vyjádřit hmotnost elektronu jako 0,511 MeV.
