2 Speciální teorie relativity 2.1 Kontrakce délek, dilatace þasu 2.1
Urþete rychlostní parametry = v/c, pro které je Lorentz$v faktor = 1,01 (10,0), (1000). [E 0,14; 0,995; 0,9999998]
2.2
St ední doba života nehybných mion$ byla nam ena jako ût0 = 2,2 µs. St ední doba života velmi rychlých mion$ ve výtrysku kosmických paprsk$ pozorovaná ze Zem byla nam ena jako ût =16 µs. Urþete rychlost v t chto kosmických mion$ vzhledem k Zemi. [v = 2,97 . 108 m s-1]
2.3
Nestabilní vysokoenergetická þástice vstupuje do detektoru a prob hne úsek L = 1,05 mm, než se rozpadne. Její rychlost vzhledem k detektoru je v = 0,992c. Jaká je její doba života t, tj. jak dlouho by þástice setrvala v detektoru do rozpadu, kdyby v n m byla v klidu? [t = 4,45 . 10-13 s]
2.4
Elektron s rychlostním parametrem = 0,999987 se pohybuje podél osy vakuové trubice, která má délku L0 =3,00 m, jak ji m í v laborato i pozorovatel S, který je vzhledem k trubici v klidu. Pozorovatel S c , který je v klidu vzhledem k elektronu, však zjiš"uje, že trubice se pohybuje rychlostí v = c. Jakou délku L trubice pozorovatel S c nam í? [L = 0,015 m]
2.2 Relativistická dynamika 2.5 Urþete rychlostní parametr = v/c a Lorentz$v faktor pro elektron, jehož kinetická energie je a) Ek = 1,00 keV b) Ek = 1,00 GeV [a) = 0,0625 = 1,002 b) = 0,9999998 = 1958] 2.6
Urþete rychlost v elektronu, jehož kinetická energie je Ek = 100 MeV. [v = 2,99996 . 108 m s-1]
2.7
ýástice má rychlost v = 0,990c v laboratorní vztažné soustav . Urþete její kinetickou energii Ek, celkovou energii E a hybnost p. Uvažujte, že þásticí je a) proton b) elektron ešení pro proton: Kinetická energie protonu je podle relativistického vztahu je dána rozdílem celkové energie E a klidové energie E0 Ek
E E0
J
m0 c 2 (J 1)
1 1
7
v2 c2
1,67 10 27 (3 10 8 ) 2 (
1
1) 5,72 GeV 1 0,990 2 Celková energie protonu je potom 1,67 10 27 (3 10 8 ) 2 2 E m0 c E k ( 5,72 10 9 ) eV (0,94 5,72) GeV 19 1,6 10 Ek
6,66 GeV
Hybnost protonu urþíme ze vztahu E 2 ( p c ) 2 ( m0 c 2 ) 2
p
E 2 ( m0 c 2 ) 2 c
6,66 2 0,94 2 GeV/c c
[b) pro elektron Ek = 3,11 MeV; 2.8
6,59 GeV / c
E = 3,62 MeV;
p = 3,59 MeV/c]
Jaká práce W se musí vykonat, aby se rychlost elektronu zvýšila o 0,01c a) z 0,18c na 0,19c b) z 0,98c na 0,99c [a) W = 1,0 keV = 1,6 . 10-16 J b) W = 1,05 MeV = 1,7 . 10-13 J]
2.9 Pr$m rná doba života mion$ v klidu je t0 = 2,2 µs. Laboratorní m ení mion$ pohybujících se ve svazku vystupujícím z urychlovaþe poskytují pr$m rnou dobu života mion$ t= 6,9 µs. Hmotnost mionu je 207 krát v tší než hmotnost elektronu. Urþete a) rychlost v mionu vzhledem k laborato i b) kinetickou energii Ek c) hybnost p [v = 2,84 . 108 m s-1; Ek = 226 MeV = 3,62 . 10-11 J; p = 315 MeV/c = 1,68 . 10-19 kg m s-1] 2.10 Urþete kinetickou energii Ek protonu vyjád enou v MeV, kterou získá proton v cyklotronu, jestliže odpovídající pom rné zvýšení hmotnosti protonu je 5 %. [Ek = 47 MeV] 2.11 Urþete energii W v MeV, která je ekvivalentní klidové hmotnosti elektronu. [W = 0,51 MeV] 2.12 Jakou rychlostí v se musí pohybovat þástice, aby její kinetická energie Ek byla ekvivalentní klidové hmotnosti m0 þástice? 3 c] [v = 4
8
4 Úvod do kvantové fyziky 4.1 Elektrony a fotony 4.1 Zjist te ve vakuu vlnovou délku a frekvenci #, které odpovídají vlastnostem fotonu o energii E = 100 MeV. [ = 1,24. 10-24 m # = 2,42 . 1022 Hz] 4.2
Urþete, kolik foton$ sv tla žluté barvy o vlnové délce = 600 nm má ve vakuu celkovou energii E = 1 J. [3.108]
4.3
Svazek paprsk$ rentgenového zá ení se p i Comptonov jevu rozptyluje na volných elektronech pod úhlem - = 45° vzhledem k p$vodnímu sm ru ší ení (obr. 4.1). Vlnová délka rozptýleného zá ení ve vakuu je ´ = 2,2 . 10-12 m. Urþete: a) Energii E fotonu rozptýleného rentgenového zá ení. b) Vlnovou délku dopadajícího rentgenového zá ení. c) Hybnost p fotonu dopadajícího rentgenového zá ení. ešení: P i Comptonov jevu dochází p i interakci dopadajícího fotonu s volným elektronem ke zm n vlnové délky rozptýleného fotonu (obr. 4.1). y
y
p'
-
e-
p
x
O
O´
x
M
a)
e-
b) pe
v
Obr. 4.1 Interakce fotonu s volným elektronem p i Comptonov jevu
Ze zákon$ zachování energie a hybnosti pro dokonale pružnou srážku fotonu a volného elektronu o hmotnosti me lze pro úhel rozptylu fotonu - odvodit vztah pro zm nu vlnové délky ¨ h 1 cos - ' O Oc O me c a) Energie fotonu rozptýleného zá ení je dána ve vakuu vztahem
15
E
hc Oc
6,63 10 34 3 10 8 12
9,04 10 14 J
2,2 10 b) Vlnová délka dopadajícího zá ení O h 6,63 10 34 12 1 cos- 2,2 10 O Oc (1 cos 45 D ) 1,49 10 12 m 31 8 me c 9,1 10 3 10 c) Hybnost p dopadajícího fotonu h 6,63 10 34 4,45 10 22 J s m-1 p 12 O 1,49 10
4.4
Foton o frekvenci # = 3.1019 Hz se p i Comptonov jevu srazí s volným elektronem a rozptýlí se ve sm ru, odchýleném od p$vodního sm ru o úhel - = 90°. Urþete frekvenci #´ rozptýleného fotonu. [Q´ = 2,4.1019 Hz]
4.5
Maximální zm na vlnové délky pozorovaná p i rozptylu zá ení na protonech p i Comptonov jevu je ¨O = 2,6 . 10-6 nm. Urþete hmotnost mp protonu. [mp = 1,7. 10-27 kg]
4.2 Vlnové vlastnosti þástic, de Broglieova hypotéza 4.6 Urþete de Broglieovu vlnovou délku t lesa o hmotnosti m = 1 kg, které má rychlost v = 1 m s-1. [ O = 6,63.10-34 m] 4.7
Odvote vztahy pro de Broglieovu vlnovou délku v závislosti na hodnot kinetické energie Ek þástice. Diskutujte, zda je nutné použít relativistické vztahy. ešení: De Broglieova vlnová délka O je pro þástici o hybnosti p dána vztahem h O p Celková energie E þástice je dána relativistickým vztahem jako souþet klidové energie a kinetické energie E m0 c 2 E k
Mezi celkovou energií E a relativistickou hybností þástice p platí E 2 ( p c ) 2 ( m0 c 2 ) 2 Odtud je relativistická hybnost p þástice dána vztahem E 2 m02 c 4
p
c De Broglieova délka O je potom
O
h p
hc E 2 m02 c 4
16
Dosazením za celkovou energii E dostaneme vztah hc hc
O
E k2 2 m0 c 2 E k
Ek
2 m0 c 2 1 Ek
Pro relativn pomalé þástice platí, že kinetická energie Ek je podstatn menší než klidová energie m0 c2, proto m$žeme tento vztah zjednodušit na nerelativistický h
O
2 m0 E k Pro relativn rychlé þástice, u kterých je kinetická energie Ek podstatn v tší než klidová energie m0 c2 (celková energie E je p ibližn rovna Ek), m$žeme naopak vztah pro de Broglieovu vlnovou délku O zjednodušit na ultrarelativistický hc hc O Ek E 4.8
Elektron je urychlen nap tím U= 25 kV. Urþete p íslušnou de Broglieovu vlnovou délku O pomocí nerelativistických vztah$. ešení: Kinetická energie Ek elektronu o hmotnosti m pro malé rychlosti v je dána vztahem 1 p2 Ek mv2 2 2m De Broglieova vlnová délka je potom 6,63 10 34 h h h 7,75 pm O p 2 m Ek 2 m eU 2 9,1 10 31 1,6 10 19 25 10 3
kde Ek = eU 4.9
Urþete de Broglieovu vlnovou délku protonu s kinetickou energií Ek = 15 eV. Rozhodn te, zda je nutno použít relativistické vztahy, je-li hmotnost protonu mp = 1,67.10-27 kg. [není nutno použít relativistické vztahy; O = 7,4.10-12 m]
4.10 Energie E fotonu je stejná jako kinetická energie Ek elektronu. Urþete vlnovou délku fotonu f a vlnovou délku elektronu e pro p ípady a) E = 1,00 eV b) E = 1,00 GeV Ov te, že p ípad a) lze ešit nerelativisticky, p ípad b) pomocí relativistických vztah$. [a) f = 1240 nm, e = 1,23 nm b) f = 1,24.10-6 nm, e = 1,24.10-6 nm] 4.11 Dosažitelná rozlišovací schopnost elektronového mikroskopu je dána vlnovou délkou urychlených elektron$. Urþete pot ebné urychlovací nap tí U, aby elektronový mikroskop m l stejnou rozlišovací schopnost, jakou m$žeme získat pomocí -zá ení o energii E = 100 keV. ešení: Rozlišovací schopnost elektronového mikroskopu p i urychlovacím nap tí U je dána de Broglieovou vlnovou délkou urychleného elektronu o hmotnosti m
17
O
h p
h
h
2 m Ek 2 m eU Vlnová délka -zá ení o energii E se urþí ze vztahu hc O E Porovnáním obou vztah$ dostaneme pro urychlovací nap tí U E2 (100.10 3 1,6 10 19 ) 2 9,76 kV U 2 m e c 2 2 9,1 10 31 1,6 10 19 (3.10 8 ) 2 4.12 Neurþitost polohy elektronu je ¨x = 50 pm. Pomocí Heisenbergova principu neurþitosti stanovte nejmenší neurþitost x-ové složky hybnosti elektronu ¨px dosažitelnou p i souþasném m ení polohy a hybnosti elektronu.
ešení: Z Heisenbergovy relace neurþitosti = 'x 'p x t 2 urþíme minimální neurþitost x-ové složky hybnosti elektronu ¨px = 6,63 10 34 'p x 1,06 10 24 kg m s 1 2 'x 4 S 50 10 12 4.13 P i souþasném stanovení polohy a hybnosti elektronu s kinetickou energií Ek = 1 keV byla neurþitost polohy elektronu ¨x = 0,1 nm. Urþete odpovídající minimální relativní 'p x nejistotu x-ové složky hybnosti elektronu. Poþítejte pomocí nerelativistických p vztah$. 'p [ x = 0,031] p
4.3 Úvod do kvantové teorie, vlnová funkce, operátory 4.14 Zd$vodn te, které z následujících funkcí \ (x) mohou být vlnovými funkcemi stacionárních stav$ þástice na intervalu x (f, f). Poznámka: Zam te se na spln ní podmínky pro koneþnost funkce a spojitost její derivace na uvedeném intervalu. Spojitost derivace se vyžaduje p i koneþné zm n potenciálu. \ ( x) x pro x t 0 2 a) b)\ ( x) sin x c) \ ( x) e x \ ( x) 0 pro x¢ 0 [a) není koneþná pro x o f a nemá spojitou derivaci v x = 0 b) nemá spojitou derivaci v x = 0 c) ano, popisuje základní stav harmonického oscilátoru]
18
5. Kvantové ešení vodíkového atomu 5.1 Bohr$v model vodíkového atomu 5.1
Pomocí postulát$ Bohrova modelu atomu vodíku odvote vztah pro celkovou energii En elektronu na n-tém orbitu. ešení: Celkovou energii E elektronu o hmotnosti me a náboji -e, který se rychlostí v pohybuje po kružnicové trajektorii o polom ru r, vyjád íme jako souþet kinetické a potenciální energie Ek E p
E
e2 1 me v 2 2 4S H 0 r
Elektrostatická síla, kterou p$sobí jádro atomu na elektron, je silou dost edivou a platí pohybový zákon pro rovnom rný pohyb po kružnici me v 2 r
e2 4S H 0 r 2
Tento vztah m$žeme upravit me v
e2
2
4S H 0 r
a dosadit do vztahu pro celkovou energii E E
e2 8S H 0 r
e2 4S H 0 r
e2 8S H 0 r
Dosadíme-li dále do p edposledního vztahu za rychlost v výraz z Bohrova postulátu v
n= me r
n = 1, 2, ….
získáme vztah pro polom ry rn orbit$, po kterých se elektrony podle Bohrova modelu atomu vodíku pohybují E
rn
4S = 2 H 0 2 n e 2 me
n = 1, 2, ….
Dosadíme-li nyní tento výsledek za polom r r do vztahu pro celkovou energii n = 3 elektronu E, dostaneme tuto energii jako funkci hlavního kvantového þísla n. n = 2 En 5.2
e 4 me 1 n = 1, 2, …. 2 2 2 32 S = H 0 n 2
13,6 E3 = - 9 eV 13,6 E2 = - 4 eV
n=1
Na základ vztah$ odvozených v p íkladu 5.1 vyjád ete celkovou
E1 = - 13,6 eV
Obr. 5.1 Hladiny energií
25
energii elektronu na n- té hladin v atomu vodíku v elektronvoltech a vypoþt te polom r orbitu r1 = a0, který odpovídá kvantovému þíslu n = 1. Zakreslete hladiny energií pro n = 1,2 a 3. 13,6 r1 = a0 = 5,3.10-11 m; Obr. 5.1] [En = 2 eV ; n 5.3 Urþete hodnotu Rydbergovy konstanty RH v Rydber1 1 · § 1 RH ¨ 2 2 ¸ . Pro výpoþet vlnové gov vztahu O m ¹ ©n délky diskutujte p ípad, kdy je p i p echodu elektron$ mezi dv ma orbity vyzá ena energie odpovídající þervené barv spektrální þáry v Balmerov sérii.
ešení: Balmerova série spektrálních þar je ve viditelné þásti spektra a vlnové délky této série odpovídají p echod$m elektron$ z vyšších hladin energií na hladinu energie odpovídající kvantovému þíslu n = 2 (obr. 5.2). ýervená barva spektrální þáry potom odpovídá nejmenšímu rozdílu t chto energií, tedy p echodu elektronu z hladiny pro m = 3 na hladinu pro n = 2. P íslušný rozdíl t chto hladin energií je 13,6 § 13,6 · E3 E 2 2 ¨ 2 ¸ eV 1,89 eV 3,02 10 -19 J 3 © 2 ¹ E3 E 2 1
O
n=6 n=5 n=4 n=3
n=2 Balmerova
n=1 Obr. 5.2 Balmerova série spektra atomu vodíku
hc
O
E3 E 2 hc
1 · § 1 R¨ 2 2 ¸ 3 ¹ ©2
( E3 E 2 ) 36 3,02 10 19 36 1,09 10 7 m 1 34 8 5 6,63 10 5 hc 3 10 Urþete celkovou energii E3 elektronu v atomu vodíku pro kvantové þíslo n = 3 a ionizaþní práci W, tj. práci pot ebnou k uvoln ní elektronu z této hladiny. [E3 = -1,5 eV W = 1,5 eV] RH
5.4
5.5
Elektron v atomu vodíku je na hladin s nejnižší energií (v základním stavu). Urþete: a) Energii nejnižší hladiny E1. b) Práci W12 pot ebnou k p esunu elektronu ze základního stavu na hladinu energie pro n = 2. c) Práci W13 pot ebnou k p esunu elektronu ze základního stavu na hladinu energie pro n = 3. [a) E1 = -2,16.10-18 J b) W12 = 1,62.10-18 J c) W13 = 1,92.10-18 J]
5.6
Urþete ve vakuu vlnovou délku v nm prvých t í spektrálních þar série: a) Lymanovy (n = 1) b) Balmerovy (n =2) c) Paschenovy (n = 3)
26
d) hrany t chto sérií (m:) [a) 121,5 102,5 b) 656,1 486,0 c) 1874,6 1281,4 d) 91,1 364,5 5.7
97,2 433,9 1093,5 820,1]
Vypoþítejte vlnovou délku spektrální þáry ve vakuu, která odpovídá p echodu elektronu v atomu vodíku ze stavu s kvantovým þíslem m = 4 do stavu s kvantovým þíslem n = 2. [ = 480 nm]
Odvote pomocí Bohrových postulát$ vztah pro energii En n – té hladiny energetického spektra atom$ vodíkového typu (mají jeden elektron a jádro s nábojem +Ze). Z 2 e 4 me 1 [ En n = 1,2, … ] 32 S 2 = 2 H 02 n 2 5.9 Vypoþítejte vlnovou délku spektrální þáry ve vakuu, která odpovídá p echodu elektronu v iontu Li2+ ze stavu s kvantovým þíslem m = 4 do stavu s kvantovým þíslem n = 2. [ = 53,3 nm]
5.8
5.10 Urþete tzv. orbitální gyromagnetický pom r, tj. koeficient úm rnosti mezi velikostmi orbitálního magnetického momentu m a orbitálního momentu hybnosti L elektronu, který se pohybuje po orbitu o polom ru r. Zapište vztah mezi ob ma vektory.
ešení: Elektrony obíhající po kružnicových trajektoriích kolem jádra p edstavují malou proudovou smyþku. Elektron nese záporný náboj o velikosti e a vytvá í tak elektrický proud I, který urþíme jako náboj prošlý pr$ ezem (na obr. 5.3 nap . ploškou S) za jednotku þasu I
e T
L S r
v
I
e 2S r / v
G Vektor m orbitálního magnetického momentu elektronu, který je spojen s uvedenou proudovou smyþkou, je kolmý k rovin trajektorie (orbitu) a jeho orientace je daná znaménkovou konvencí pro sm r proudu a pravidlem pravé ruky. Jeho velikost je
m Obr. 5.3 Elektron obíhající kolem jádra po orbitu
1 evr 2 Elektron o hmotnosti me pohybující se po kružnici je charakterizován vektorem moG mentu hybnosti L . Jeho hodnota vzhledem ke st edu kružnice je urþena vztahem G K G L r u me v G G Sm r vektoru L , který urþíme pravidlem pravé ruky, je opaþný než sm r vektoru m . m
IS
I S r2
Velikost momentu hybnosti L L
me v r
27
5.17 S využitím tabulky vlnových funkcí zapište vztah pro hustotu pravd podobnosti \\ výskytu elektronu v atomu vodíku a) pro stav 1s b) pro stav 2s
1 [a) \\ = 3 e 2 r / a0 Sa 0
r 1 r / a0 § ¨¨1 e b) \\ = 3 8Sa 0 © 2a 0
2
· ¸¸ ] ¹
5.18 Zapište pravd podobnost výskytu dP elektronu v atomu vodíku v objemovém elementu dV, který je vymezen intervaly sférických sou adnic (r+dr, r), (3+d3, 3) a (- d- , - ) Diskutujte závislost pravd podobnosti výskytu elektronu na sférických sou adnicích a ešte pro: a) základní stav 1s b) stav 2p1 1 1 2 r / a0 2 [a) dP = e r dr sin - d- dI e r / a0 r 4 dr sin 3 - d- dI ] b) dP = 3 64Sa05 Sa 0
6. Jaderná a þásticová fyzika 6.1 Základní vlastnosti atomových jader 6.1
Lord Rutherford bombardoval tenkou zlatou fólii D-þásticemi s kinetickou energií Ek = 5,5 MeV. Na jakou nejmenší vzdálenost rmin se D-þástice p iblížily k jádru zlata? Protonové þíslo zlata Z = 79. Rozm r D-þástice zanedbejte. ešení: D-þástice s nábojem QD= 2e a jádro Au s nábojem QAu= 79e na sebe p$sobí odpudivou elektrostatickou silou. Ze zákona zachování energie dostaneme 1 QD Q Au 2 79 1,6 10 19 1 QD Q Au rmin 41 fm Ek E p 4SH 0 rmin Ek 4SH 0 4S 8,85 10 12 5,5 10 6
6.2
Spoþt te, jakou minimální kinetickou energii Ek musí mít podle klasické fyziky (neuvažujte tunelový jev) D-þástice, aby se p iblížila jádru 197Au na vzdálenost rovnou jeho polom ru. P epokládejte, že pro polom r R jader platí vztah: R = 1,2 A1/3 fm. [a) Ek = 33 MeV]
6.3
Typická neutronová hv zda má hmotnost m = 1,4 mSlunce a hustotu U stejnou jako je hustota atomových jader (U= 2,3 . 1017 kg m-3). Spoþt te polom r R neutronové hv zdy. Hmotnost Slunce mSlunce = 1,99 . 1030 kg. [a) R = 14 km]
31
6.2 Radioaktivita 6.4 Radioaktivní izotop rtuti 197Hg se rozpadá E-rozpadem na izotop zlata 197Au s rozpadovou konstantou O = 0,0108 h-1. Na poþátku je celková hmotnost izotop$ rtuti 197Hg ve vzorku m = 1,0 mg. Spoþt te: a) poloþas rozpadu T1/2 izotopu rtuti 197Hg, b) poþet N izotop$ rtuti, které z$stanou ve vzorku po dob t = 3 T1/2 , c) aktivitu A izotop$ rtuti, které z$stanou ve vzorku po dob t = 10,0 dní.
ešení: a) Pro poloþas rozpadu T1/2 platí: T1 / 2 ln 2 / O 64,2 h b) Pro poþet N0 izotop$ 197Hg na poþátku rozpadu platí: m 10 6 N0 3,06 1018 , kde u je atomová hmotnostní jednotka. 27 197u 197 1,66 10 N0 Z rozpadového zákona N N 0 e Ot pak dostáváme: N N 0 e 3 ln 2 3,8 1017 8 c) Aktivitu A spoþteme ze vztahu: A O N O N 0 e Ot 6,9 1011 Bq 6.5
Poloþas D-rozpadu izotopu plutonia 239Pu T1/2 = 24100 let. Spoþt te hmotnost m izotopu helia 4He, které vznikne ze vzorku plutonia 239Pu o hmotnosti m0 = 12,0 g za dobu t = 20000 let. [m = 87,9 mg]
6.6
Radionuklid 32P s poloþasem rozpadu T1/2 = 14,28 d se používá jako znaþený izotop pro sledování pr$b hu biochemických reakcí, kterých se úþastní fosfor. Na poþátku m ení byla aktivita 32P A0 = 3500 Bq. Za jakou dobu t poklesne aktivita na hodnotu A = 170 Bq? [t = 62,3 d]
6.7
Vzorek KCl o hmotnosti m = 2,71 g je radioaktivní a rozpadá se s konstantní aktivitou A = 4 490 Bq. Ukazuje se, že se rozpadá izotop draslíku 40K, který tvo í 1,17 % normálního složení draslíku. Vypoþt te poloþas rozpadu T1/2 draslíku 40K. Molární hmotnost draslíku je MK = 39,102 g mol-1, molární hmotnost chlóru MCl = 35,453 g mol-1. ešení: Poþet NK izotop$ 40K ve vzorku urþíme ze vztahu m 1,17 1,17 2,71 NK NA 6,022 10 23 M K M Cl 100 100 39,102 35,453 Pro rozpadovou konstantu O platí O ln 2 / T1 / 2 A O NK Tedy T1 / 2
6.8
N K ln 2 A
2,56 10 20 ln 2 4490
2,56 10 20
3,95 1016 s 1,25 10 9 let
M ení vzorku horniny z M síce na hmotnostním spektrometru ukázala, že pom r poþtu stabilních izotop$ argonu 40Ar k poþtu radioaktivních izotop$ draslíku 40K v hornin je R = 10,3. Urþete stá í t horniny za p edpokladu, že všechny izotopy argonu 40Ar vznikly
32
radioaktivním rozpadem izotopu draslíku 40K, který má poloþas rozpadu T1/2 = 1,25 . 109 let. Poznámka: Ze vztah$ N K N 0 e Ot a N Ar N 0 (1 e Ot ) pro poþet izotop$ 40K a 40Ar v þase t vylouþíme neznámý poþáteþní poþet N0 izotop$ 40K. [t = 4,37 . 109 let] 6.9
Vzorek d ev ného uhlí o hmotnosti m = 5,00 g z dávného ohništ má aktivitu izotopu uhlíku 14C A = 63,0 rozpad$ za minutu. Vzorek živého stromu o hmotnosti m0 = 1,00 g má aktivitu izotopu uhlíku 14C A0 = 15,3 rozpad$ za minutu. Urþete stá í t vzorku d ev ného uhlí za p edpokladu, že poloþas rozpadu izotopu uhlíku 14C T1/2 = 5730 let. [t = 1605 let]
6.3 Vazebná energie jader 6.10 Spoþt te, kolik energie B je t eba k odd lení všech nukleon$ z jádra izotopu 120Sn, a urþete vazebnou energii na jeden nukleon B/A pro tento izotop. Hmotnost protonu je mp = 938,27 MeV/c2, hmotnost neutronu mn = 939,57 MeV/c2, hmotnost izotopu 120Sn m(120Sn) = 111662,86 MeV.
ešení: Pro vazebnou energii B izotopu 120Sn platí: B = Z mpc2 + N mnc2 - m(120Sn) c2 = 50 938,27 70 939,57 111662,86 1020,54 MeV Vazebná energie na jeden nukleon je pak B/A = 8,5045 MeV 6.11 Izotop uranu 238U se rozpadá D-rozpadem: 238U o 234Th + 4He. a) Spoþt te energii Q uvoln nou p i D-rozpadu 238U. b) Ukažte, že 238U se nem$že rozpadnout tak, aby emitoval proton (tj. nem$že probíhat rozpad: 238U o 237Pa + 1H). Hmotnost protonu je mp = 938,27 MeV/c2, hmotnost neutronu mn = 939,57 MeV/c2, vazebné energie B(238U) = 1801,69 MeV, B(234Th) = 1777,67 MeV, B(237Pa) = 1794,07 MeV, B(4He) = 28,30 MeV. [a) Q = 4,28 MeV
b) energie uvoln ná p i rozpadu je záporná]
33
N které fyzikální konstanty Konstanta
Znaþka
Název jednotky
Hodnota
elementární náboj
e
coulomb
e 1,602 10 19 C
permitivita vakua
H0
farad na metr
H 0 = 8,854 10 12 F m-1
permeabilita vakua
P0
henry na metr
P 0 = 4 S 10 7 H m-1
rychlost ší ení elektromagnetického vln ní ve vakuu
c
metr za sekundu
c = 2,999 108 m s-1
Stefanova-Boltzmannova konstanta
V
watt na þtvereþný metr a kelvin na þtvrtou
V
Boltzmannova konstanta
k
joule na kelvin
k = 1,381 10 23 J K-1
Planckova konstanta
h
joulesekunda
h
6,626 10 34 J s
Planckova konstanta
=
joulesekunda
=
h = 1,055 10 34 J s 2S
Rydbergova konstanta
RH
reciproký metr
RH = 1,097 10 7 m-1
klidová hmotnost elektronu
me
kilogram
me = 9,110 10 31 kg
klidová hmotnost protonu
mp
kilogram
mp = 1,673 10 27 kg
klidová hmotnost neutronu
mn
kilogram
mn = 1,675 10 27 kg
Atomová hmotnostní jednotka
u
kilogram
u = 1,661 10 27 kg
Bohr$v polom r
a0
metr
a0 = 5,292 10 11 m
Bohr$v magneton
PB
joule na tesla
P B = 9,274 10 24 J T-1
Avogadrova konstanta
NA
reciproký mol
NA = 6,022 . 1023 mol-1
34
5,670 10 8 W m-2 K-4
