Speciální teorie relativity
IF
relativistická kinematika
2.1.1 Princip relativity Newtonovy pohybové zákony umožňují popis chování těles pohybujících se nízkými rychlostmi. Při rychlostech, kterých dosahují částice v urychlovačích, však tyto zákony přestávají platit. Pohyb těchto částic umožňuje popsat Einsteinova speciální teorie relativity. Přesněji řečeno, tato teorie formuluje správné zákony pohybu pro libovolné těleso. Newtonovy zákony jsou zjednodušenou formou zákonů STR pro případ velmi malých rychlostí (v « c). Pro částice pohybující se malými rychlostmi je rozdíl mezi Einsteinovými a Newtonovými pohybovými zákony nepatrný. Tím lze vysvětlit, proč relativita nehraje v běžném životě významnou roli. Einsteinova teorie přesahuje Newtonovu, ale pro tělesa pohybující se běžnými rychlostmi postačuje přesnost Newtonovy teorie. Dnes je již spolehlivě ověřeno, že Einsteinova teorie skutečně platí a poskytuje možnost popsat pohyb relativistických částic, tj. těles, které se pohybují rychlostmi srovnatelnými s rychlostí světla. Vzhledem k tomu, že takové rychlosti se vymykají každodenním zkušenostem většiny z nás, mohou se některé Einsteinovy předpovědi zdát podivné nebo nepochopitelné. To však nijak nezpochybňuje jejich platnost. Teoretický základ speciální teorie relativity Einsteinova speciální teorie relativity vyplývá ze dvou základních postulátů: Rychlost světla je stejná pro všechny pozorovatele nezávisle na jejich vzájemných rychlostech. Fyzikální zákony mají ve všech inerciálních soustavách (soustavy bez zrychlení) stejný tvar, hypotetický pozorovatel na relativistické částici musí pozorovat stejné fyzikální zákony jako ten, který zůstává v klidu v laboratorní soustavě. Splnění těchto podmínek není možné, pokud nepřiřadíme každé vztažné soustavě nejen vlastní prostorové souřadnice, ale i čas. Veličiny jako délka a čas se musí pro jednotlivé pozorovatele měnit, aby bylo možno konzistentně vyjádřit neměnné fyzikální skutečnosti jako např. poločas rozpadu částice. Platnost obou základních předpokladů byla ověřována řadou fyzikálních experimentů a ve všech byla potvrzena. Rychlost světla je stejná pro všechny pozorovatele. Znamená to, že existuje základní přírodní konstanta - rychlost světla. Všimněme si, jak podstatně se tato skutečnost liší od běžné zkušenosti. Jedu-li po dálnici rychlostí 120 km/h vzhledem k silnici, auto jedoucí stejným směrem rychlostí 130 km/h má vzhledem ke mně relativní rychlost 10 km/h, zatímco protijedoucí auto se stejnou rychlostí se vzhledem ke mně pohybuje rychlostí 250 km/h. Rychlost aut vůči mně závisí na mém i na jejich pohybu. Fyzika je stejná pro všechny inerciální pozorovatele. Druhý postulát je základním, byť nevysloveným východiskem veškerého vědeckého bádání – očekáváme, že v přírodě existují obecná pravidla, která platí nezávisle na okolnostech pozorování, tzv. invariantní zákonitosti. To neznamená, že se vše chová stejně na Zemi i v celém vesmíru, např. pozorovatel na povrchu Země je ovlivněn zemskou tíží, očekáváme však, že působení síly na těleso je stejné nezávisle na tom, co sílu vyvolalo, kde se těleso nachází nebo jakou rychlostí se pohybuje. Einsteinova speciální teorie relativity (zabývá se relativním pohybem těles) v sobě zahrnuje jak konstantní rychlost světla pro všechny pozorovatele, tak všeobecně známé skládání malých rychlostí. Připomeňme si, že Einsteinova obecná teorie relativity je zcela odlišná teorie o zcela jiném problému – působení gravitace. Postuláty OTR: 1. Fyzikální zákony mají ve všech soustavách stejný tvar. 2. Gravitační a setrvačné síly mají stejnou fyzikální podstatu a platí pro ně stejné fyzikální zákony.
IF
Speciální teorie relativity relativistická kinematika
2.1.2 Transformační vztahy Galileova transformace – používá se v Newtonovské fyzice (i v běžném životě): Máme-li souřadnicový systém spojený se Zemí (laboratorní soustava), a jinou soustavu, která se vzhledem k Zemi pohybuje konstantní rychlostí v například podél osy x, platí mezi oběma systémy transformace (souřadnice bodu v pohybující se soustavě jsou označeny čárkou). t t x x v t y y z z . t t x x v t y y z z Pro obě soustavy platí tentýž čas, teoreticky se připouští jakákoliv rychlost posunu v ose x. Transformaci rychlosti zjistíme derivováním transformačních vztahů:
dx dx v u x v uy u y dt dt dx dx ux v ux v u y uy dt dt
ux
snadno
uz u z u z uz
Pohybuje-li se však soustava vysokou rychlostí (blízkou rychlosti světla), je zřejmé, že tato transformace neumožňuje splnit 1. Einsteinův postulát. Lorentzova transformace První relativistický postulát vyplynul z Maxwellových rovnic elektrodynamiky. Právě požadavek na invariantnost této soustavy rovnic popisujících elektromagnetické záření, vedl nizozemského fyzika H. A. Lorentze k formulaci speciální transformace souřadnic. Mějme dvě vztažné soustavy S a S', které se vůči sobě pohybují ve směru osy x rychlostí v blízkou rychlosti světla. Souřadnice v příčném směru se nemění, x-ová souřadnice a čas v obou soustavách jsou svázány následujícími vztahy: v 1 t t 2 x x x vt y y z z c v2 1 2 v c t t 2 x x x vt y y z z c Odkud se vzal koeficient ? Kupodivu lze k němu dospět poměrně jednoduchou úvahou na základě příkladu z klasické mechaniky. Uvažujme loďku plovoucí rychlostí c na řece plynoucí stálou rychlostí v. Nejdříve popluje z jednoho břehu na druhý a zpět tou nejkratší možnou cestou. Je zřejmé, že aby se loďka dostala kolmo na protější břeh, musí plout šikmo proti proudu, takže její rychlost ve směru kolmo na břeh řeky bude odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka (viz pravidlo o grafickém sčítání vektorů) a čas potřebný k překonání dvojnásobku šířky řeky bude dán vztahem
2d v2 t 1 2 c c c2 v 2 2d
1 2
Ve druhém případě vypočítáme čas potřebný k tomu, aby loďka překonala stejnou vzdálenost v podélném směru. Pluje-li proti proudu, potřebuje k překonání vzdálenosti d čas t1 d
cv
.Celkový
čas plavby je t t1 t2
d c v d c v c2 v 2
, pluje-li po proudu, stačí jí čas t2 d
cv
1
t v2 2dc 2d v2 1 , poměr časů plavby je 2 1 t c2 c v2 c c2
1 2
,
pluje-li loďka tam a zpět ve směru rychlosti v, potřebuje na uplavání stejné dráhy jako v kolmém směru -krát delší čas.
Speciální teorie relativity relativistická kinematika Nahraďme loďku světelným signálem, vodu v řece „éterem“ (hypotetická látka umožňující šíření elektromagnetického vlnění), soustavu spojenou s břehem řeky označme S, soustavu spojenou s vodou v řece S'. Náš hypotetický pokus se pak stane popisem tzv. Michelsonova pokusu, který měl na konci 19. stol experimentálně potvrdit, či vyvrátit existenci éteru. Negativní výsledky tohoto měření vedly ke konečnému opuštění teorie éteru. http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/flashlets/mmexpt6.htm
2.1.3 Dilatace času Nyní se pokusíme výsledky tohoto mechanického pokusu využít na světlo. Představme si světelné hodiny - dvě rovnoběžná zrcadla (Z1, Z2), od nichž se periodicky odráží světelný signál. Nejedná se o skutečný přístroj, který by šel použít v praxi nebo experimentální fyzice - je to jen myšlený model hodin, který je pro svoji jednoduchost výhodný v úvahách o měření času. Uvažujeme dvě inerciální soustavy S a S′. Soustava S′ se pohybuje ve směru osy x rychlostí v → c. V čase t0 = 0 jsou počátky obou inerciálních vztažných soustav v počátku, do kterého umístíme stejné světelné hodiny H′ a H tak, aby jejich osy byly kolmé k vektoru rychlosti v. V obou inerciálních vztažných soustavách jsou pozorovatelé P′ a P, kteří uvedou hodiny současně do chodu ve chvíli, kdy osy hodin splývají (=současná a soumístná událost). V soustavě S′ se světelný paprsek pohybuje ve směru osy světelných hodin, ale v soustavě S se pohybuje po úsečce PM. Z postulátu rychlosti světla vyplývá, že světelný paprsek urazí za dobu t dráhu |PM| = ct. Tato dráha musí být stejná, jako dráha světla v hodinách H za dobu t. Pozorovatel v soustavě S musí na tik hodin H′ v soustavě S′ čekat déle, pozoruje, že hodiny tikají pomaleji. Vztah mezi t a t′ zjistíme z pravoúhlého trojúhelníka PP′M: v2 2 2 2 ct vt ct t2 t 2 1 2 c Odvozený vztah není transformační vztah pro časovou souřadnici, ale vyjádření toho, jak se mění pozorovaný časový interval mezi dvěma událostmi v různých inerciálních soustavách. Zdůrazníme-li skutečnost, že se jedná o časový interval použitím , získáváme známý vztah
v2 t t c2 pozn.: Podle teorie relativity je čas relativní - Když se vzhledem k nám někdo pohybuje relativistickou rychlostí, pozorujeme na něm zpomalení, i když on na sobě nic takového nepozoruje. A protože je pohyb relativní (my se pohybujeme vzhledem k němu), pozoruje i on totéž na nás. Pro pozorovatele v soustavě S′ platí opačný vztah. pro dilataci času
t t 1
IF
IF
Speciální teorie relativity relativistická kinematika
2.1.4 Kontrakce délek Při předchozí úvaze jsme vlastně použili jen první polovinu experimentu s loďkou, pohyb kolmo k toku řeky. Nyní doplníme i druhou část výsledků myšleného mechanického experimentu Když měříme délku určitého předmětu, předpokládáme, že je umístěn v soustavě, která je vzhledem k naší vztažné soustavě v klidu. Předpokládejme však, že je tyč umístěna v klidu v soustavě S′, která se vzhledem k soustavě S pohybuje rovnoměrně přímočaře rychlostí v (osy x, x′ jsou rovnoběžné). Pozorovatel v soustavě S může délku tyče M′N′ vypočítat tak, že na ose x vyznačí polohy koncových bodů M a N a délku tyče ve své soustavě S pak vypočítá jako vzdálenost l = |MN| okamžitých poloh obou jejich konců. Poloha bodů M a N v soustavě S musí být vyznačena současně. Rozdílný výsledek měření vzplývá ze skutečnosti, že pozorovatel v soustavě S′ nepokládá úsečku MN za délku tyče M′N′, protože z jeho pohledu bylo měření v bodech MN provedeno postupně, ne současně. Předpokládáme, že z levého konce tyče O′ vyšleme ve směru jejího pohybu světelný signál. Světlo se po odrazu od zrcátka Z umístěného na druhém konci tyče vrátí zpět do bodu O′. V klidové soustavě S′ je doba t′, za níž světlo urazí dráhu O′ZO′, daná 2l vztahem t 0 . c V soustavě S se světlo šíří od levého konce tyče k zrcátku po dobu t1, urazí dráhu ct1 vt1 l , kde l je délka tyče v soustavě S. Při návratu paprsku k levému konci tyče urazí světlo vzhledem k soustavě S dráhu ct2 l vt2 . Z posledních dvou vztahů dostáváme pro dobu t, za niž se světelný paprsek v soustavě S dostane od levého konce tyče k zrcátku a nazpět, (podobně jako v příkladu s loďkou) výraz: 1
l c v l c v l l 2lc 2l v2 2l t t1 t2 2 1 2 2 2 2 2 cv cv c v c v c c c
Mezi časem t′ inerciální soustavy S′ a časem t inerciální vztažné soustavy S platí vztah pro dilataci času, takže po dosazení právě odvozených vztahů za t a t′ dostáváme rovnici 2l 2 2l 0 c c která vyjadřuje známý relativistický vztah pro kontrakci délek
v2 l l0 l0 1 2 c 1
l0 je délka předmětu v klidové soustavě S′ a l délka předmětu v soustavě S, vzhledem k níž se předmět pohybuje.
Speciální teorie relativity relativistická kinematika
2.1.5 Transformace rychlosti Vraťme se ke vztažným soustavám S a S'. Vyšle-li pozorovatel v soustavě S' v kladném směru osy x´ foton, pak by se tato částice podle klasického zákona skládání rychlostí (podle Galileovy transformace) pohybovala vzhledem k soustavě S rychlostí u = c + v. Tento výsledek je ale v rozporu s druhým postulátem speciální teorie relativity. Je zřejmé, že v Lorentzově transformaci bude vzorec pro skládání rychlostí vypadat jinak. Tento obecnější vztah, který platí při libovolných rychlostech, nyní odvodíme. Mějme dvě inerciální vztažné soustavy S a S′ (v každé je pozorovatel) s rovnoběžnými osami x a x′. V soustavě S′ se pohybuje částice, která ve dvou různých okamžicích vyšle signál. Předpokládejme, že v čase t = t´= 0, v němž souřadnicové osy obou soustav splývají, je částice v jejich společném počátku a vyšle první signál. Za dobu dt´ se rovnoměrným pohybem dostane do nějakého bodu A a urazí při tom v soustavě S' dráhu dx´ a vzhledem k soustavě S dráhu dx. Průchod částice bodem A je událost, která má v soustavě S' souřadnice dx´, dt´ a v soustavě S souřadnice dx, dt. Každý pozorovatel změří prostorový a časový interval mezi těmito dvěma událostmi. Provedená čtyři měření jsou spojena rovnicemi: v dt 2 dx dx vdt c dt dx v2 v2 1 2 1 2 c c Z definice rychlosti rovnoměrného přímočarého pohybu vyplývá, že částice má vzhledem dx dx k soustavě S' rychlost u , vzhledem k soustavě S rychlost u . dt dt hledaný vzorec pro relativistické skládání rychlostí získáme vydělením infinitezimálních úseků dráhy a času a několika jednoduchými algebraickými úpravami dx dt v d x v d t dx dt u u v u uv v v dx dt 1 2 dt 2 dx dt 1 2 c c c dt pozn.: 1. Když v rovnici formálně použijeme c → ∞, redukuje se na klasickou rovnici skládání rychlostí. 2. V transformačním vztahu pro rychlost nevystupuje relativistický koeficient gama.
Kontrolní otázky: Vysvětlete základní postuláty speciální teorie relativity. Vysvětlete rozdíl mezi Galileovou a Lorentzovou transformací (aspoň tři zásadní odlišnosti) Vysvětlete, případně matematicky odvoďte pojmy dilatace času a kontrakce délek. Kdy platí Lorenzova transformace? Dokažte na konkrétním příkladu, že Galileova transformace neumožňuje splnit první Einsteinův postulát, zatímco Lorentzova transformace ano.
IF
