MAKALAH
DISTRIBUSI GAMMA
DI SUSUN OLEH AWAN ARGA SAPUTRA – 12611006 DESSY ROFICA WULANDARI – 12611018 SUHENDRA PRADESA - 12611089 SRI SISKA WIRDANIYATI – 12611125 UNIB SEDYA PAMUJI - 12611150
JURUSAN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA YOGYAKARTA 2013
0
BAB I PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG Salah satu distribusi kontinu dalam statistika adalah distribusi Gamma yang dapat digunakan untuk menyelesaikan banyak persolan dalam bidang rekayasa dan sains. Sebagai salah satu contohnya distribusi Gamma memainkan peranan penting dalam teori antrian dan teori keandalan (reliabilitas) misalnya untuk mengatasi kehilanagan data. Distribusi Gamma adalah salah satu teori dari distibusi probabilitas yang banyak digunakan untuk menarik kesimpulan atau menguji sebuah hipotesis statistika. Distribusi Gamma mendapat namanya dari fungsi Gamma yang sudah dikenal luas, dan dipelajari dalam banyak bidang matematika. Distribusi yang mempunyai aplikasi paling luas dalam menganalisa data uji hidup adalah distribusi Gamma. Data uji hidup atau uji reliabilitas merupakan peluang bahwa komponen tersebut akan berfungsi sebagaimana mestinya selama, paling sedikit, sampai jangka waktu tertentu dalam percobaan yang telah ditentukan. Dalam uji reliabilitas terdapat beberapa fungsi yang digunakan untuk menentukan reliabilitas suatu sistem diantaranya adalah fungsi ketahanan (survival function) dan fungsi kegagalan (failure rate function). Namun, kekurangan dari distribusi Gamma adalah memiliki fungsi ketahanan (survival function) yang tidak dapat ditentukan bentuk khususnya, kecuali jika parameter bentuknya berupa bilangan natural. Hal ini menyebabkan distribusi Gamma sedikit digunakan dibandingkan dengan distribusi Weibull karena mempunyai fungsi kegagalan dan ketahanan yang lebih sederhana. Distribusi Gamma banyak dimamfaatkan untuk mengetahui atau menghitung jarak antara waktu tiba di fasilitas pelayanan (misalnya, bank dan loket tiket kereta api), dn lamanya waktu sampai rusaknya suku cadang dan alat listrik. Distribusi Gamma sendiri mempunyai hubungan dengan distribusi eksponensial, kedua dstribusi tersebut memungkinkan kedua distribusi tersebut digunakan dalam persoalan yang sama. Oleh karena itu Distribusi Gamma sangat penting untuk dipelajari pada masa sekarang ini, karena sangat berguna untuk mengetahui dan mempelajari pengaruh dari satu variabel terhadap variabel lain pada suatu masalah yang dihadapi. Hal tersebut yang melatar belakangi penulisan makalah ini. 1
1.2 PERUMUSAN MASALAH Rumusan masalah dari makalah dengan judul distribusi gamma ini adalah sebagai berikut: 1. Apa itu distribusi gamma? 2. Bagaimana aplikasi dari distribusi gamma?
1.3 TUJUAN Tujuan dari pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut: 1. Untuk mengetahui distribusi gamma serta aplikasi yang menggunakan perhitungan distribusi gamma. 2. Untuk mengetahui macam-macam model distribusi gamma dan memahami rumus dari distribusi gamma, mulai dari simbol-simbol distribusi gamma. 1.4 MANFAAT Pembuatan makalah ini diharapkan memberikan manfaat bagi berbagai pihak sebagai berikut: 1. Menyediankan informasi terkait dari distribusi Gamma agar dapat mudah dipahami oleh penulis dan pembaca. 2. Menyediakan informasi dalam penerapan distribusi Gamma dalam menghadapi persoalan yang berhubungan erat dalam kehidupan sehari-hari. 3. Memahami distribusi Gamma untuk mengurangi terjadi kesalahan dalam penerapannya.
2
BAB II PEMBAHASAN 2.1 Distribusi Gamma Eksperimen-eksperimen probabilitas yang hasilnya menunjukkan suatu bentuk distribusi yang mempunyai variasi ukuran kemencengan yang cukup signifikan, distribusi Gamma merupakan salah satu alternatif model yang banyak digunakan.
Fungsi Gamma r () adalah :
r () = x α 1e x dx , untuk > 0 0
Sifat-sifat penting fungsi Gamma adalah : 1. Untuk sebuah bilangan bulat positif n, 2. Didefinisikan = (1/2) =
(n) = (n – 1) !
π
Distribusi Gamma Peubah acak kontinu x berdistribusi Gamma dengan parameter dan , bila padatnya diberikan oleh : f(x : , ) =
1 x α 1e x/β x 0 β (αα
= 0 untuk x lainnya Bila > 0 dan > 0
Distribusi Gamma Standard Jika parameter skala sebuah distribusi Gamma = 1 diperoleh suatu distribusi Gamma standar. x
FG = (x : ) = P (X x) =
t α 1e t 0 Γ(α) dt
x P (X x) = FG (x ; , ) = FG ; α β
3
Nilai mean dari distribusi Gamma adalah: =
Nilai variansi dari distribusi Gamma adalah: 2 = 2
2.2 Contoh Soal dan Penyelesaian Variable acak kontinu x yang menyatakan ketahanan suatu bantalan peluru (dalam ribaun jam) yang diberi pembebanan dinamis pada suatu putaran kerja tertentu mengikuti suatu distribusi Gamma dengan = 8 dan = 15, Tentukan, probabilitas sebuah bantalan peluru dapat digunakan selama 60 ribu-120 ribu jam dengan pembebanan dinamik pada putaran kerja tersebut! Hitunglah mean dan variansi di atas! Penyelesaian: P (60 x 120) = P (x 120) – P (x 60) = FG (120; 8 , 15) - FG (60 ; 8, 15 ) = FG (120/15 ; 8) - FG (60/15; 8) = FG (8 ;8) - FG (4 ; 8) = 0,5470 – 0,0511 = 0,4959 Mean
: x E( X ) (8)(15) 120
Varians
: x2 2 (8)(152 ) 1800 x 42,43
.
4
BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan Berdasarkan uraian pada makalah dapat disimpulkan bahwa: 1.
Jika 𝛼 = 1, fungsi rasio kegagalan dari distribusi Gamma merupakan fungsi naik untuk 𝛽 > 1 dan merupakan fungsi turunan untuk 𝛽 < 1.
2.
Jika 𝛽 = 1, fungsi rasio kegagalan dari distribusi Gamma merupakan suatu fungsi naik untuk 𝛽 > 1 dan merupakan fungsi turun untuk 𝛽 < 1.
3.2 Saran Agar dalam penyelesaian kasus distribusi gama dapat dikerjakan, maka perlu terlebih dahulu harus memahami rumus-rumus yang distribusi gama, baik tentang rumus fungsi distribusi Gamma hingga mean dan variansi.
5
DAFTAR PUSTAKA
Harinaldi. 2005. Prinsip-prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains. Erlangga:Jakarta. Spiegel, Murray R, dkk. 2004. Probabilitas Dan Statistik Edisi Kedua. Erlangga:Jakarta
6
