DISTRIBUSI GAMMA. Ada beberapa distribusi penting dalam distribusi uji hidup, salah satunya adalah distribusi gamma

DISTRIBUSI GAMMA

Ada beberapa distribusi penting dalam distribusi uji hidup, salah satunya adalah distribusi gamma.

A. Fungsi kepadatan peluang (fkp) Fungsi kepadatan peluang (fkp) dari distribusi gamma dengan dua parameter yaitu p dan σ adalah sebagai berikut: 1 x p 1  x f x   exp , p Γ p  σ  σ 

dimana:

x  0, σ  0, p  0

Г(p) = (p-1)! adalah fungsi gamma.

 Nilai mean dari distribusi gamma adalah: 

E  x    x  f  x  dx 0 

1 x p 1  x x exp  dx p Γ p  σ  σ  0 



1 xp 1 xp  x  x exp dx  exp     dx  p p     Γ p σ Γ p σ     σ σ 0 0

 

σ Γ p  1 σ  p! σ   p  1! p    σ p  p  1!  p  1! Γ p  

 

E x   x 2  f  x  dx 2

0 

  x2  0 

1 x p 1  x exp  dx p Γ p  σ  σ  

1 x p 1 1 x p 1  x  x  exp dx  exp    dx  p p     Γ p σ Γ p σ     σ σ 0 0 

σ Γ p  2  σ   p  1! σ   p  1! p   p  1    σ  p p  1  p  1!  p  1! Γ p 

 Nilai varians dari distribusi gamma adalah:

Fitriani Agustina Jurusan Pendidikan Matematika UPI

1

   σ   p  p   σ  p   σ p  σp  σ p 

Var  x   E x 2  E  x 2

2

2

2

2

2

2

 σp

B. Fungsi survivor Fungsi survivor adalah peluang suatu individu atau objek masih tetap hidup sampai dengan waktu t yang telah ditentukan. Fungsi survivor didefinisikan sebagai berikut: S t   Pr T  t  1  Pr T  t  S t  1  F t 

dimana F(t) adalah fungsi distribusi.



S t    f  x  dx t 

S t    t

1 x p 1  x exp   dx Γ p  σ p  σ  1 x p 1  x exp  dx p   Γ p σ   σ 0 t

S t   1  

S t   1  I  p, σ, x 

Fungsi survivor distribusi gamma yang kita peroleh adalah suatu fungsi survivor distribusi gamma dalam bentuk eksplisit. Kita membiarkan fungsi survivor distribusi gamma dalam bentuk eksplisit karena untuk menyelesaikan pengintegralan yang ada dalam rumus diatas pengintegralannya cukup rumit

C. Fungsi hazard Karena fungsi survivor distribusi gamma tidak dalam bentuk eksplisit, maka fungsi hazardnya juga tidak dalam bentuk eksplisit juga. Fungsi hazard didefinisikan sebagai berikut:

Fitriani Agustina Jurusan Pendidikan Matematika UPI

2

ht   F ' t  

1 S t  1 ht   f t   S t  1 t p 1 t  exp  p Γ p  σ  σ 





1 t p 1 t  exp  p Γ p  σ  σ  0

1 

D. Fungsi hazard kumulatif Fungsi hazard kumulatif pun tidak bisa kita nyatakan dalam bentuk implisit, karena fungsi hazardnya sendiri dinyatakan dalam bentuk eksplisit. Fungsi hazard kumulatif didefinisikan sebagai berikut: t

H t    h x  dx 0 t

H t   

1 t p 1 t  exp   Γ p  σ p  σ 

1 t p 1 t  0 1  exp   Γ p  σ p  σ  0 t

dx

E. Estimasi Misalkan  X 1 , X 2 ,, X n  adalah variabel random dari waktu-waktu kegagalan dan variabel random itu berdistribusi Gamma dengan parameter p dan σ. 1. Sampel lengkap Suatu sampel dikatakan sampel lengkap apabila ada sebanyak n objek yang ditempatkan pada pengujian dan pengujian dihentikan setelah semua item objek mati. o Fungsi kepadatan peluang (fkp) bersama dari  X 1 , X 2 ,, X n  adalah:





n



f x1 , x2  ,, xn  p, σ  n! f xi  p, σ



i 1

o Fungsi likelihoodnya adalah:

Fitriani Agustina Jurusan Pendidikan Matematika UPI

3









n



L p, σ x 1 , x2  ,  , xn   n! f xi  p, σ i 1 n

L p, σ x 1 , x2  ,  , xn   n! i 1



1 x p 1  x exp   Γ p  σ p  σ 

 n    xi   n  np L p, σ x 1 , x2  ,  , xn   n!Γ p  σ exp i 1  σ  





  n    xi  n  ln L p, σ   ln n!Γ p n σ np  xip 1 exp i 1 i 1  σ    

   n p 1   xi  i 1  

       n

 xi

n

 ln n! n ln Γ p   np ln σ   p  1  ln xi  i 1 σ i 1 Nilai

maksimum

 ln Lσ, p xi  σ

dari

 0 atau

Lσ, p xi 

 ln Lσ, p xi  p

akan

 ln Lσ, p xi  σ

np i 1   2 σ σ

apabila

0.

n

 xi

dicapai

n

 xi

np i 1 sehingga 0    2 σˆ σˆ

n

dan 0   np 

 xi i 1

σˆ

n

 xi

dan kita peroleh σˆ  i 1 . np Berdasarkan hasil estimasi tehadap σ yang kita peroleh diatas, maka kita dapat membuktikan bahwa E σˆ   σ dan Var σˆ  

σ2 . Distribusi dari σˆ merupakan np

distribusi gamma dengan parameter np dan

σ . np

Seperti kita ketahui  X 1 , X 2 ,, X n  adalah distribusi identik independen (iid) yang berdistribusi gamma dengan parameter p dan σ, oleh karena itu maka

n

 xi i 1

Fitriani Agustina Jurusan Pendidikan Matematika UPI

4

berdistribusi gamma dengan parameternya np dan σ , sedangkan untuk σˆ   merupakan distribusi gamma dengan parameternya np dan

xi np

σ . Sehingga kita peroleh np

fungsi kepadatan peluang (fkp) dari σˆ adalah sebagai berikut:

    σˆ  np1 1 1 g σˆ p, σ  exp   σˆ Γnp   σ  np  σ np   np      n

 xip1

diperoleh

Lx1 ,, x n p, σ  Γnp  1 i 1  n g σˆ p, σ  Γ p  np np σˆ np1

bebas dari parameter σ yang

tidak diketahui. Karena itu, σˆ adalah cocok untuk σ . Kelengkapan dari σˆ dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat unik dari transform Laplace dan mengacu pada Lehmann dan Scheffe (1955). Sehingga kita memperoleh hasil bahwa σˆ tidak hanya merupakan MLE tetapi juga merupakan UMVUE dari σ . Dalam model distribusi gamma kita mengetahui bahwa rata-rata hidup adalah pσ dan jika kita mengestimasi pσ maka MLE dan UMVUE dari pσ adalah sama untuk rata-rata sampel

1 n  xi . n i 1

Besar dari parameter p dan σ tidak diketahui. Kita akan melakukan estimasi parameter p dan σ . Berdasarkan perhitungan diatas kita telah memperoleh hasil estimasi parameter σ yaitu σˆ  

xi

np . Selanjutnya kita akan mengestimasi parameter p

berdasarkan pada estimasi σ yang telah kita peroleh. o Fungsi kepadatan peluang (fkp) bersama dari  X 1 , X 2 ,, X n  adalah:

f x1 , x2  ,, xn  p, σ  n! f xi  p, σ  n

i 1

Fitriani Agustina Jurusan Pendidikan Matematika UPI

5

o Fungsi likelihoodnya adalah:











n

L p, σ x 1 , x2  ,  , xn   n! f xi  p, σ i 1 n

L p, σ x 1 , x2  ,  , xn   n! i 1



1 x p 1  x exp  p Γ p  σ  σ 

 n    xi  L p, σ x 1 , x2  ,  , xn   n!Γ p n σ np exp i 1  σ  





  n    xi  n  ln L p, σ   ln n!Γ p n σ np  xip 1 exp i 1 i 1  σ    

   n p 1   xi  i 1  

       n

 xi

n

 ln n! n ln Γ p   np ln σ   p  1  ln xi  i 1 σ i 1 Nilai

maksimum

 ln Lσ, p xi  σ

 0 atau

dari

Lσ, p xi 

 ln Lσ, p xi  p

akan

dicapai

apabila

0 .

n

 ln Lσ, p xi  σ

 ln Lσ, p xi  p Fungsi

 xi np i 1   2 0 , σ σ  n

n  ln Γ p   n ln σ   ln xi  0 p i 1

 ln Γ p  sulit untuk dipecahkan sehingga untuk rumus diatas kita dapat p

menyelesaikannya dengan menggunakan metode iterasi Newton-Raphson. Metode lain yang dapat kita adalah dengan mensubstitusikan σˆ  

 ln Lσ, p xi  p

 n

n  ln Γ p   n ln σ   ln xi  0 . p i 1

xi np

x

Sehingga

p ke dalam persamaan

diperoleh

persamaan

seperti dibawah ini: Fitriani Agustina Jurusan Pendidikan Matematika UPI

6

d 1 n ln Γ p   ln p   xi  ln x . dp n i 1 MLEnya

σˆ  x ˆ p

adalah

dimana

pˆ adalah

d 1 n ln Γ p   ln p   xi  ln x . Persamaan dp n i 1 kita

selesaikan

dengan

menggunakan

hasil

dari

penyelesaian

d 1 n ln Γ p   ln p   xi  ln x dp n i 1 metode

interpolasi

invers.

dapat Fungsi

d ln Γ p  diketahui sebagai fungsi gamma dan perluasannya dapat dilihat pada tabel dp dalam Abramowitz dan Stegun (1964) dan Pairman (1919). Untuk nilai p yang besar, kita menggunakan aproksimasi

2. Sampel tersensor tipe I 3. Sampel tersensor tipe II

F. Estimasi reliabiliti Misalkan S t  1  F t p, σ  adalah fungsi reliabiliti. Maka untuk distribusi gamma dengan parameter p dan σ, fungsi reliabilitinya S t p, σ  adalah sebagai berikut: 

S t p, σ    t

1 x p 1  x exp   dx Γ p  σ p  σ 

MLE dari S t p, σ  dinotasikan dengan S t pˆ , σˆ  dimana pˆ dan σˆ adalah MLE dari p dan σ. Oleh karena itu untuk sampel lengkap diperoleh:

Sˆ t p, σ   S t pˆ , σˆ  



1

σˆ

pˆ

x Γ pˆ  t

pˆ 1

 x exp  dx  σˆ 





1 y pˆ 1 exp y  dy  Γ pˆ  t σˆ

Untuk nilai t , pˆ , dan σˆ yang diketahui, hasil pengintegralannya dapat kita peroleh dengan menggunakan tabel fungsi gamma tak lengkap [K. Pearson, 1968]

Fitriani Agustina Jurusan Pendidikan Matematika UPI

7

Pada kasus dimana p diketahui, MLE dari S t p, σ  akan berubah menjadi

x Sˆ t p, σˆ  dimana σˆ  . Karena itu rumus estimasi reliabiliti dimana p diketahui adalah p sebagai berikut: 

1 Sˆ t p, σ  y p 1 exp y  dy  Γ p  tp x

Seperti telah diketahui diatas bahwa apabila p diketahui maka σˆ  x

p

adalah

UMVUE dari σ dan σˆ dapat ditunjukkan

Fitriani Agustina Jurusan Pendidikan Matematika UPI

8