BAB II KUANTIFIKASI Tujun Instruksional Umum
Mahasiswa memahami kuantifikasi dan simbolisme logika. Tujuan Instruksional Khusus
1) Mahasiswa dapat menggunakan kuantor 2) Mahasiswa dapat menyebutkan hubungan antara kuantor eksistensial dan kuantor universal 3) Mahasiswa dapat menyatakan kuantifikasi terbatas 4) Mahasiswa dapat menggunakan rumus-rumus tautologi dalam teori kuantifikasi 5) Mahasiswa dapat menterjemahkan kalimat matematika ke dalam bentuk simbolisme logika.
2.2 Menggunakan Simbolisme Logika 2.2.1 Kuantifikasi Terbatas Ambil sebagai semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan-bilangan real. Kita akan mencari terjemahan simbol suatu kalimat. Ada suatu x yang positif yang mempunyai sifat P. Kalimat ini menyatakan adanya suatu x yang sekaligus positif dan memiliki sifat P, ditulis : (x) x 0 & P(x) Sekarang kalimat yang kedua : Semua x yang positif mempunyai sifat P.
Terjemahannya menjadi : (x) x 0 & P(x). Simbol dalam kalimat di atas menyatakan bahwa semua bilangan real adalah positif dan mempunyai sifat P , ini hal yang salah. Sebenarnya kalimat kedua diatas menyatakan : untuk setiap x berlakulah, apabila x positif, maka x itu mempunyai sifat P. Jadi terjemahan yang benar adalah : (x) x 0 P(x). 2.2.2 Latihan menterjemahkan kesimbolisme logika Dalam pembahasan berikut ini akan dibahas penterjemahan soal-soal kesimbolisme logika, disini akan dibahas beberapa soal sebagai berikut : 1) a) Sebutkan pengertian konstanta dan variabel dalam matematika, Apakah mereka
unsur-unsur matematika ataukah unsur bahasa yang digunakan untuk menyajikan matematika ? b) Mengapa kita tidak boleh mencampuradukkan simbol dan apa yang dilambangkan oleh simbol tersebut ? Berikan suatu contoh bahwa jika orang mencampuradukkannya maka dapat ditarik kesimpulan-kesimpulan yang salah ! c) Apakah yang dimaksud dengan kalimat terbuka ? Berikan contoh-contoh dan berikan dua buah cara untuk mengubah kalimat terbuka menjadi kalimat deklaratif. Bagaimana hubungan antara kuantor eksistensial dan kuantor universal ? Apakah yang disebut Kuantifikasi terbatas ? 2) Tentukan nilai logila kalimat di bawah ini, dimana semesta pembicaraannya adalah
himpunan bilangan-bilangan real. a) (x). 2x + 1 = 2x b) (x). x2 = x Jawab :
a) Salah, sebab untuk x = 1 maka 2.1 + 1 2 . b) Benar. Misalnya untuk x = 1 3) Tentukan
nilai logika dari kalimat-kalimat dibawah ini, dimana semesta
pembicaraannya adalah { 1, 2, 3, 4, 5 }. a) (x)(y). x + y 10 b) (x)(y). x + y = 10 Jawab : a) Benar. Untuk semua pasangan terdiri atas anggota-anggota dari semesta pembicaraan, maka berlakulah x + y 10 b) Salah. Ambil x = 1 maka tidak ada anggota y sedemikian sehingga 1 + y = 10 4) Semesta pembicaraannya adalah himpunan orang-orang. M(x) diartikan x adalah mahasiswa sedangkan P(x) diartikan x pandai. Tulislah kalimat-kalimat di bawah ini dengan simbolisme logika ! a) Semua mahasiswa pandai. b) Tidak ada mahasiswa yang pandai c) Beberapa mahasiswa,pandai d) Beberapa mahasiswa tidaklah pandai Jawab : Kita ubah dulu kalimat-kalimat diatas menjadi kalimat-kalimat yang sama artinya dan yang menggunakan variabel, sehinggga didapat : a) Untuk semua x, apabila x itu suatu mahasiswa maka x pandai. Ditulis dalam simbolisme logika menjadi : (x) M(x) P(x). b) Untuk semua x, apabila x itu suatu mahasiswa maka x tidaklah pandai. Ditulis dalam simbolisme logika menjadi : (x) M(x) P(x) .
c)
Untuk beberapa x berlakulah, x adalah mahasiswa dan x adalah pandai. Ditulis dalam simbolisme logika menjadi : (x) M(x) & P(x).
d) Untuk beberapa x berlakulah, x adalah mahasiswa dan x tidaklah pandai.
Ditulis dalam simbolisme logika menjadi : (x) M(x) & P(x). 5) Tentukan ingkaran dari kalimat berikut : a) Apabila guru tidak hadir maka semua murid bersukaria. Jawab : Guru tidak hadir dan ada beberapa murid yang tidak bersukaria. b) Beberapa guru susah apabila ada beberapa murid yang tidak lulus.
Jawab : Ada beberapa murid yang tidak lulus dan semua guru tidaklah susah. 6) Tulislah kalimat berikut dengan simbolisme logika . Sebanyak-banyaknya ada satu x yang mempunyai sifat P. Jawab : Di bawah ini diberikan beberapa penyelesaian yang ekuivalen. (a) (x)(y). P(x) & P(y) x = y. (b) (x)(y). x y P(x) v P(y) (c) (x)(y). x y [[P(x) P(y) ] (d) (x) (y). P(x) x y Rangkuman 1) Untuk mengubah kalimat terbuka menjadi kalimat deklaratif dapat dengan menggunakan kuantor “(x)” dan “(x)” yang berturut-turut dibaca “terdapat suatu x sedemikian sehingga” dan “untuk semua x berlaku”. 2) Dalam penggunaannya kuantor diikuti oleh sifat tertentu.
Misal : (x) P(x) disebut kuantor eksistesil. (x) Q(x) disebut kuantor Universal.
3) Hubungan antara kuantor eksistensial dan kuantor universal dititikberatkan pada ingkarannya. Jadi ingkaran adalah : (x)g(x) = (x)g(x) (x)g(x) = (x)g(x) 4) Kuantor khusus dengan simbul “(!x)”,dimana simbul tersebut dibaca “terdapat satu dan hanya satu x yang mempunyai sifat P” atau “terdapat dengan tunggal x yang mempunyai sifat P”. 5) Dalam kuantor yang terbatas, kita mencari terjemahan simbul suatu kalimat yang dibatasi oleh sifat-sifat tertentu. Latihan Soal-Soal 1) Ucapkan kalimat-kalimat di bawah ini terlebih dahulu, kemudian renungkan artinya dan ucapkan dengan perkataan biasa. Semesta pembicaraannya dalah himpunan bilangan-bilangan real. Tentukan kemudian nilai kebenaran dari setiap kalimat. a) (x) (y). y x b) (y) (x). y x c) (x) (y). x = y y = x d) (x) (y). x y (z) (x z & z y) v (y z & z x)) e) (x) (y). x + y = y + x = y f) (x) (y). x + y = y + x = 0
g) (z) (x) (y). xy =z x =z v y = z h) (x) (y) (z), xz = y i) (x) (y). xy = x j) (x) (y). x y x y v y x 1) Tentukan nilai logika dari kalimat-kalimat di bawah ini dimana semesta pembicaraannya adalah himpunan yang terdiri dari 1, 2, 3 . . . 10. a) (x). x + 1 < 5 b) (x). x 5 c) (x). x + 4 < 10 d) (x). x + 2 = 7 2) Tentukan ingkaran dari kalimat-kalimat di bawah ini, dengan ketentuan x dan y adalah bilangan real. a) (x) (y) (2x + y = 4) b) (x) (y) (x + y y + x) c) (x) (y) (xy = yx) 3) Perlihatkan bahwa ingkaran-ingkaran dari (x 0) P(x) dan (x 0) P(x) adalah berturut-turut (x 0) P(x) dan (x 0) P(x) 4) Tulislah dengan simbolisme logika, kalimat di bawah ini. Sekurang-kurangnya ada dua x yang mempunyai sifat P.
