BAB III HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian himpunan, relasi antara himpunan, operasi himpunan, aljabar himpunan, pergandaan himpunan, serta himpunan kuasa. Tujuan Instruksional Khusus 1) Mahasiswa dapat menyebutkan pengertian himpunan 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan 4) Mahasiswa dapat membuktikan rumus-rumus aljabar himpunan 5) Mahasiswa dapat menentukan hasil pergandaan dua himpunan 6) Mahasiswa dapat menentukan himpunan kuasa dari suatu himpunan
3.4 Aplikasi Himpunan dan Diagram Venn Pengetahuan kita tentang himpunan dan diagram venn sangat berguna khususnya dalam menyelesaikan masalah-masalah yang melibatkan obyek-obyek dari himpunan-himpunan yang bersekutu.
Perhatikan diagram venn di bawah ini :
Misalkan dari diagram venn diatas n(A) = a, n(B) = b, dan n(A B) = x. Sehingga n(A B) = a – x + x + b – x =a+b–x = n(A) + n(B) – n(A B) Perhatikan diagram venn berikut
Misalkan n(A) = a, n(B) = b, n(C) = c dan n(A B) = x, n( B C ) = y, n( A C) =z serta n( A B C) = p Perhatikan bahwa daerah (A B C) adalah daerah I, II, III, IV, V, VI, dan VII. Maka banyaknya obyek di daerah (A B C) = n (A B C) = [ a- x – (z – p)] + [ b – y – (x – p)] + [ c – z – (y – p)] + x - p + p + y -p+z-p = (a – x – z + p) + ( b – y – x + p) + ( c – z – y + p) + x + y + z – 2p
= a – x – z + p + b – y – x + p + c – z – y + p + x + y + z – 2p =a+b+c–x–y–z+p Sehingga didapat : n (A B C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) – n( B C) – n(A C) + n(A B C) Contoh : Dari 80 orang mahasiswa, pada semester ganjil 46 orang mahasiswa mengambil mata kuliah geometri, 53 orang mahasiswa mengambil mata kuliah kalkulus, 38 orang mahasiswa mengambil mata kuliah geometri dan kalkulus. a) Berapa orang mahasiswa yang mengambil mata kuliah geometri saja ? b) Berapa orang mahasiswa yang mengambil mata kuliah kalkulus saja ? c) Berapa orang mahasiswa yang mengambil mata kuliah geometri atau kalkulus ? d) Berapa orang mahasiswa yang tidak mengambil kedua mata kuliah tersebut? Penyelesaian : Misal : Mahasiswa yang mengambil mata kuliah geometri (G) Mahasiswa yang mengambil mata kuliah kalkulus (K) Diketahui : n(G) = 46, n(K) = 53, n( G K ). Ditanya : a) n(G – K) b) n(K – G) a) n(G K) b) n(G K)c Jawab : a) n(G – K) = 46 – 38 = 8
Jadi mahasiswa yang mengambil mata kuliah geometri saja adalah 8 orang b) n(K – G) = 53 – 38 = 15 Jadi mahasiswa yang mengambil mata kuliah kalkulus saja adalah 15 orang. c) n(G K) = n(G) + n(K) – n(G K ) = 46 + 53 – 38 = 61 Jadi mahasiswa yang mengambil mata kuliah geometri atau kalkulus adalah 61 orang d) n(G K)c = 80 – 61 = 19 Jadi mahasiswa yang tidak mengambil kedua mata kuliah tersebut adalah 19 orang. Rangkuman 1. Himpunan adalah kumpulan obyek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. 2. Ada empat cara untuk menyatakan suatu himpunan, yaitu : a) Metode Rooster, yaitu dengan cara menuliskan anggota-anggota himpunan dalam kurung korawal. b) Metode Roole, yaitu dengan menyatakan sifat-sifat yang dipenuhi anggotaanggota himpunan tersebut. c) Metode Notasi Notasi Pembentuk Himpunan. d) Metode Diagram Venn 3. Himpunan kosong dadalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota, dinotasikan dengan atau { } 4. Himpunan semesta pembicaraan adalah himpunan yang mempunyai anggota semua obyek yang sedang dibicarakan.
5. Suatu himpunan dikatakan berhingga (finit) jika himpunan itu beranggotakan elemen-elemen berbeda yang banyaknya tertentu (berhingga). Sedangkan himpunan tak berhingga (infinit) adalah himpunan yang tidak finit. 6. Suatu himpunan disebut himpunan bagian (subset) dari suatu himpunan lain jika setiap anggota himpunan itu juga merupakan anggota himpunan lain tersebut, dinotasikan “”. Contoh A B. 7. Dua buah himpunan dikatakan sama jika dan hanya jika kedua himpunan itu merupakan subset satu dan lainnya, dinotasikan “=”. Contoh A = B. 8. Dua himpunan dikatakan berpotongan jika dan hanya jika ada anggota himpunan yang satu yang buka menjadi anggota himpunan yang lain. 9. Dua himpunan dikatakan saling lepas jika dan hanya jika kedua himpunan itu tidak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama, dinotasikan “”. Contoh
A
B. 10. Banyaknya anggota yang berbeda di dalam suatu himpunan disebut bilangan kardinal himpunan itu. Contoh : bilangan kardinal A = n(A). 11. Dua himpunan dikatakan ekivalen jika dan hanya jika banyak kedua himpunan itu sama. Contoh A B. 12. Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan semua anggota A tau B atau kedua-duanya, dinotasikan : A B. 13. Irisan dari himpunan A dan Himpunan B adalah himpunan dari anggota persekutuan himpunan A dan himpunan B, dinotasikan : A B. 14. Komplemen dari suatu himpunan A adalah himpunan anggota-anggota di dalam semesta pembicaraan yang bukan anggota A, dinotasikan : Ac.
15. Selisih dua himpunan A dan B sama dengan irisan himpunan A dan himpunan Bc atau ditulis : A – B = A Bc. 16. Selisih simetri dua himpunan A dan B adalah himpunan anggota-anggota A atau B tetapi bukan anggota persekutuan dari himpunan A dan himpunan B, atau ditulis : H K = df ( H K ) - ( H K ) Latihan Soal-Soal 1)
Ditentukan A = { a, i, r }. Benar atau salahkah pernyataan dibawah ini? Jika ada pernyataan yang salah, jelaskan
2)
(a) a A
(c) {i} A
(b) r A
(d) {r} A
Tulislah dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan (a) P = Himpunan bilangan kuadrat (b) K = { a, b, c, d } (c) T beranggotakan negara-negara Asia Tenggara
3)
Tuliskan semesta pembicaraan yang mungkin dari himpunan di bawah ini (a) K = { . . . , -1, 0, 1, . . . } (b) M adalah himpunan bilangan asli (c) N = Himpunan bilangan asli
4)
Buatlah masing-masing tiga contoh untuk himpunan kosong dan himpunan finit
5)
Jika P = ( 3, a, 6, d }, berapa banyaknya himpunan bagian dari P ? serta tuliskan semua himpunan bagian tersebut.
6)
Buktikan bahwa : (a) Jika M adalah himpunan bagian dari , maka M =
(b) Jika A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { bilangan cacah ganjil } maka A bukan subset B. (c) Jika A B dan B C maka A B C (d) Jika K L, L M dan M K maka K = M 7) Diantara himpunan-himpunan dibawah ini, pasangan yang manakah yang merupakan himpunan yang sama dan yang manakah merupakan himpunan yang ekuivalen ? (a) A = { bilangan pada permukaan jam biasa } dan B = { bilangan pada aritmatika jam duabelasan } (b) P = { x / x2 – 6x = -8 } dan Q = { x / (x – 2)2 = 0 } (c) K = { x / x2 = 4, x bilangan positif } dan L = { bilangan prima yang genap } (d) B = { bilangan bulat } dan D = { y / y = 2k + 1, untuk k bilangan bulat} (e) M = { 4,5 } dan N = { y / y – 9y + 20 = 0 } 8) Diketahui P dan Q adalah bukan himpunan kosong. Jika P dan Q himpunan yang saling lepas, maka P dan Q himpunan yang tidak dapat dibandingkan. 9) Buktikan bahwa : (a) A ( A B ) = A (b) A ( A B ) = A 10) Buktikan bahwa A = {2, 3, 4, 5 } bukan subset dari B = { x / x N, dan bilangan ganjil }. 11) Diketahui : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } dan A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 4, 5, 6, 7 } Tentukan :
C = { 5, 6, 7, 8, 9 } D = { 1, 3, 5, 7, 9 }
E = { 2, 4, 6, 8 } F = { 1, 5, 9 }
a) A B dan D F b) E E dan E E c) Dc dan Ec d) D – E dan F – D e) ( A D) – B f) (B F) (C E) 12) Tunjukkan bahwa A B = A C tanpa B = C 13) Arsirlah himpunan : (a) A Bc dan (b) (B – A )c dengan menggunakan diagram venn. 14) Diketahui : A adalah himpunan mahasiswa yang senang bermain sepak bola, dan B adalah himpunan mahasiswa yang senang bermain basket. Dan juga diketahui n(S) = 60, n(A –B) = 30, n(B – A) = 25 dan n(A B) = 5. Tentukanlah : a) Berapa banyaknya mahasiswa yang senang bermain sepak bola b) Berapa banyaknya mahasiswa yang senang bermain basket c) Berapa banyaknya mahasiswa yang tidak senang kedua permainan diatas. 15) Buktikan bahwa : (a) A B = ( A B ) – ( A B ) (b) B – Ac = B A (c) Jika A B = maka A Bc
16) Dalam pesta olahraga kampus, diadakan survey terhadap 150 mahasiswa atas jenis olahraga yang dimainkannya. 57 orang bermain tenis, 69 orang bermain catur, 74 orang bermain volley. 30 orang bermain tenis dan catur, 35 orang bermain catur dan volley, 25 orang bermain tenis dan volley, serta 20 orang mahasiswa bermain ketiga permainan tersebut. a) Berapa orang mahasiswa yang hanya bermain volley ? b) Berapa orang mahasiswa yang tidak bermain volley ? c) Berapa orang bermain paling sedikit satu diantara ketiga olahraga tersebut ? d) Berapa orang mahasiswa bermain catur atau volley ? e) Berapa orang mahasiswa tidak memainkan ketiga jenis olahraga diatas ?
3.5 Aljabar Himpunan Uraian-uraian diatas memperlihatkan bahwa himpunan-himpunan dapat dikomposisikan satu dengan yang lainnya. Selain komposisi-komposisi yang menyangkut dua himpunan, seperti gabungan ( union ), irisan ( interseksi ), selisih dan selisih simetri,( yang disebut operasi biner ), ada juga operasi yang hanya mengenai satu himpunan saja, yaitu komplementasi. Dalam uraian berikut akan dibicarakan rumusrumus pokok aljabar himpunan, dimana adanya kesamaan tapi ada juga perbedaan dengan hukum-hukum operasi-operasi pada ilmu hitung. Untuk mempermudah tipografi maka dalam uraian-uraian di bawah ini, himpunan-himpunan kita sajikan dengan huruf-huruf terakhir dari abjad seperti x, y ,z dan seterusnya. Sedangkan anggota-anggota himpunan ditulis dengan huruf-huruf permulaan dari abjad seperti a, b, c, dan seterusnya. Rumus-rumus dibawah ini berlaku untuk setiap himpunan x, y, z.
Rumus xx
( sifat refleksif )
x y y x jhj x = y
( Sifat antisimetris )
x y&yzxz
( sifat transitif )
Bukti : sifat transitif Pembuktian diturunkan langsung dari definisi himpunan bagian. Ambil a x sehingga : x y berarti ( a ) , a x a y y z berarti ( a ), a y a z sehingga dari definisi diatas didapat a, a x a z. maka terbukti x z. Rumus x x = x dan x x = x
( sifat idempoten )
x y = y x dan x y = y x
( Sifat komutatif )
(x y) z = x (y z) dan (x y) z = x (y z) ( sifat assosiatif ) x (y z) = (x y) (x z) dan x (y z) = (x y) (x z) ( sifat distributif ) Semua rumus diatas dapat dibuktikan langsung dari definisi-definisi dengan menggunakan arti dati kata-kata “ dan”, “ atau “ seperti tertuang dalam tabel-tabel nilai logika. Perhatikan bahwa ada dua hukum distributif, yaitu dari irisan terhadap gabungan dan dari gabungan terhadap irisan. Sebagai contoh akan dibuktikan hukum distributif dari union terhadap interseksi.
Bukti : Untuk membuktikan bahwa x (y z) = (x y) (x z) maka akan diperlihatkan bahwa setiap anggota di ruas kiri menjadi anggota dari ruas kanan dan sebaliknya. Bukti : Apabila
a x (y z) berarti a x atau a (y z)
jika a x maka a x y dan dalam x z maka a (x y) (x z). Jika a x maka a (y z), ini berarti a y dan a z, sehingga a (x y) dan a (x z). Maka a (x y) (x z) Jadi terbukti bahwa a x (y z) a (x y) (x z). Sebaliknya, misalkan a (x y) (x z). Jika a x maka a x (y z), jika a x maka pastilah a y dan a z. Ini berarti a (y z), sehingga juga a x (y z). Jadi terbukti bahwa a (x y) (x z) a x (y z). Kesimpulannya : x (y z) = (x y) (x z). Rumus : x (x y) dan y (x y) (x y) x dan (x y) y x z & y z jhj x y z z x & z y jhj z x y Rumus-rumus diatas dapat dibuktikan langsung dari definisi. Gunakan diagram-diagram Venn untuk mengingat rumus-rumus diatas .
Bukti : Kita buktikan rumus : (x y) x dan (x y) y (x y) x ini berarti :(a) a (x y) a x dimana a (x y) berarti : a x dan a y. Sehingga (a) a x dan a y a x (a) a (x y) a x Jadi (x y) x Digambarkan dengan diagram venn sebagai berikut :
Rumus-rumus yang lainnya dapat dibuktikan dengan cara yang sama. Rumus x y jhj x y = y jhj x y = x jhj x y = Bukti : Terlebih dahulu kita buktikan : xy xy = y. x y berarti (a) a x a y maka a x y berarti juga y x y x y = y berarti (x y) y dan y (x y) a x y berarti a x v a y untuk (a) a x y maka a y , ini berarti x y y. Dari y xy dan xy y sehingga didapat : x y = y. Jadi terbukti : x y xy = y .........................(1) Sekarang kita buktikan : x y = y x y. Bukti :
x y = y x y y dan y x y. (a) a x y berarti a x atau a y misalkan a x maka pastilah a y a x maka a y Dari pernyataan diatas didapat : x y Sehingga : x y = y x y ........................(2) Jadi dari (1) dan (2) terbukti bahwa x y jhj x y = y. Dengan cara yang sama dapat dibuktikan kelanjutan dari rumus tersebut. Rumus ( x y)c = x c y c ( x y) c = x c y c Rumus-rumus diatas disebut rumus-rumus De Morgen. Perhatikan konstruksi dari rumus-rumus tersebut, dimana dimana tanda komplementasi masuk ke dalam yang dikurung, sedangkan tanda irisan berubah menjadi gabungan dan sebaliknya. Akan dibuktikan rumus De Morgan yang kedua yaitu ( x y) c = x c y c Untuk pembuktiannya akan dibuktikan : ( x y) c x c y c dan x c y c ( x y) c Bukti : ( x y) c x c y c (a) a(x y ) c berarti a x y Dari a x y a x dan a y. Sekarang dari a x a x c dan
a y a yc Sehingga dari pernyataan diatas didapat : a x c y c. (a) a (x y ) c a x c yc ini berarti (x y )c xc yc. Sekarang kita buktikan : xc yc (x y)c. (a) a xc yc a xc dan a yc. a xc dan a yc identik dengan a x atau a y berarti a x y. a x y identik dengan a(x y )c Jadi (a) a xc yc a(x y )c berarti xc yc (x y)c. Sehingga terbukti : xc yc (x y)c. Rumus yang pertama dapat dibuktikan dengan cara yang sama. Rumus : (xc)c = x c = S ( S = semesta pembicaraan ) Sc = Bukti : (xc)c = x akan dibuktikan (xc)c x dan x (xc)c . (a) a (xc)c a xc a x, Jadi (xc)c x. (a) a x a xc a (xc )c. Jadi x (xc)c .
Sehingga terbukti : (xc)c = x. Bukti : c = S artinya terdiri dari semua elemen yang tidak dalam himpunan kosong. Jadi komplemen dari himpunan kosong adalah sama dengan S. Sehingga syarat keanggotaan dari c dipenuhi oleh semua elemen S yang dibicarakan. Bukti : Sc = artinya himpunan semua dari elemen S yang tidak dibicarakan. S = himpunan semua elemen S yang dibicarakan. Jadi komplemen dari S adalah himpunan kosong. Rumus : xS x = dan S x = x x = x dan S x = S x xc = dan x xc = S Kita buktikan rumus yang terakhir yaitu x xc = Bukti : (a) a x xc, ini berarti a sekaligus berada dalam x dan tidak dalam x. Hal ini tidak dapat dipenuhi oleh anggota manapun dari semestanya, sehingga x xc = . Rumus- rumus yang lain silahkan pembaca buktikan sendiri. Rumus : x ( x y ) = x ( x y ) = x ( hukum absorpsi )
Bukti : Karena x x y ( dalam rumus terdahulu ) maka x ( x y ) = x. Demikian juga, karena x y x maka x ( x y ) = x. Rumus : x - y = x yc Bukti : x - y = { a / a x dan a y } = { a / a x dan a y } = x yc. Rumus : x y = (x yc) (y xc) x y=yx (x y) z = x (y z) x (y z) = (x y) (x z) Bukti rumus yang pertama : x y = ( x y) - ( x y) = (x y) (x y)c = (x y) (xc y) = x (xc yc). . y ( xc yc) = x xc. . xyc .. yxc .. yyc = .. x yc .. y xc .. = (x yc) (y xc) Jadi terbukti bahwa : x y = (x yc) (y xc)
Rumus-rumus yan lain disa dibuktikan dengan cara yang sama. Contoh - contoh soal : c
c
1) Buktikan x y jhj y x .
Bukti : Kita harus membuktikan x y yc xc dan yc xc x y. Bukti : x y yc xc x y berarti (a) a x a y. kontraposisinya menjadi a y a x. Dari a y identik dengan a yc , demikian juga untuk a x identik dengan a xc Sehingga didapat a yc a xc , ini berarti yc xc Jadi terbukti : x y yc xc ...................(1) Sekarang kita buktikan : yc xc x y yc xc berarti a yc a xc . Kontraposisinya menjadi : a x a y, ini identik dengan Sehingga didapat x y. Jadi terbukti : yc xc x y .................(2) Dari (1) dan (2) disimpulkan x y jhj yc xc . 2) Buktikan bahwa : x – ( y x ) = x – y
Bukti : x – ( y x ) = x ( y x)c = x ( yc xc )
a x a y.
= (x yc ) (x xc) = (x y c) = x yc =x–y c
3) Sederhanakanlah : x (x y) .. y ( y z) .. y
Jawab : x (xc y) .. y ( y x) .. y = (x xc) (x y).. (y y) (y x) .. y = (x y).. y (y x) .. y = (x y) y .. y = y (x y) .. y =y Rangkuman Rumus-rumus pokok aljabar himpunan adalah
1) x x
( sifat refleksif )
2) x y y x jhj x = y
( Sifat antisimetris )
3) x y & y z x z
( sifat transitif )
4) x x = x dan x x = x
( sifat idempoten )
5) x y = y x dan x y = y x
( Sifat komutatif )
6) (x y) z = x (y z) dan (x y) z = x (y z ( sifat assosiatif ) 7) x (y z) = (x y) (x z) dan x (y z) = (x y) (x z) ( sifat distributif ) 8) x (x y) dan y (x y)
(x y) x dan (x y) y x z & y z jhj x y z z x & z y jhj z x y 9) Rumus-rumus De Morgen ( x y)c = xc yc ( x y)c = xc yc 10) Rumus-rumus komplemen (xc)c = x c = S ( S = semesta pembicaraan ) Sc = 11) Rumus-rumus Identitas xS x = dan S x = x x = x dan S x = S x xc = dan x xc = S 12) x ( x y ) = x ( x y ) = x ( hukum absorpsi ) 13) x - y = x yc 14) x y = (x yc) (y xc) xy=yx (x y) z = x (y z) x (y z) = (x y) (x z) Latihan Soal-Soal 1) Buktikan x - (x - y) = x y
c
c
2) Buktikan (x - y) = y x
3) Buktikan (x - y) (y - x) = (x y) - (x y). c
c
4) Buktikan x = jhj ( x y ) (x y) = y. 5) Buktikan ( x y) (x y) = x dan ( x y) ( x y) = x. c
c
c
6) Sederhanakanlah (x y) ( x y) ( x y ) menjadi y x. c
c
7) Sederhanakanlah y (x y z) u ( u v ). c
8) Apabila x y = x y maka x = . Buktikan 9) Apabila x y z dan u v maka buktikan bahwa
( x y z ) ( u v ) =. 10) Sederhanakanlah (x y ) z.. x z y.
3.6 Pergandaan Himpunan 3.6.1 Pasangan Terurut Pada suatu himpunan bersahaja ( plain set ) Urutan tidak diperhatikan. Umpamanya { a, b } = { b, a }. Perhatikan bahwa suatu anggota timbul satu kali saja sebagai anggota suatu himpunan, yaitu “ kartu keanggotaan “ diberikan satu kali saja. Maka ditulis { a, b } dan tidak { a, a, b }. Sebaliknya pada pasangan terurut., maka urutan diperhatikan dan anggotanya boleh diulang. Pasangan-pasangan terurut memang timbul didalam matematika. Ingat saja geometri analitik bidang datar dimana ada titik-titik dengan koordinat ( 2, 2 ), ( 5, 5 ) da n sebagainya. Demikian juga dapat didefinisikan n-tupel terurut atau ganda nterurut. Umpamanya ( a1, a2, . . . , an ) dimana urutan diperhatikan. Perhatikan bahwa untuk membedakan dengan himpunan bersahaja maka notasi dengan kurung kurawal
diganti dengan kurung lengkung. Kesamaaan dua n-tupel terurut didefinisikan di bawah ini. Definisi : (a1, a2, . . ., an ) = ( b1, b2, . . ., bn ) jhj ai = bi untuk setiap I = 1, 2, . . . , n. Pada khususnya ( a1, a2 ) = ( b1 , b2 ) jhj a1 = b1 dan a2 = b2 Suatu hal yang mengejutkan ialah bahwa pengertian pasangan terurut dapat dikembalikan kepada himpunan bersahaja. Definisi ( a, b ) = df { {a}, {a, b} } Pada ruas kiri dari definisi diatas terdapat suatu pasangan terurut, sedangkan pada ruas kanan ada sustu himpunan bersahaja. Definisi ini efektif untuk mengembalikan pengertian pasangan terurut kepada himpunan bersahaja, terlihat dari fakta bahwa kesamaan dalam ruas kanan dari dua himpunan bersahaja, identik dengan kesamaan pasangan terurut menurut definisi diatas. Misalkan (a1 , b1 ) = ( a2 , b2 ). Menurut definisi diatas maka a1 = a2 dan b1 = b2 . Maka { a1 } = { a2 } dan juga { a1 , b1 } = { a2 , b2 }, maka juga { { a1 } {a1 , b1 }} = { {a2 }, { a2 , b2 }}. Sebaliknya, misalkan { {a1 }, { a1, b1 }} = { {a2 } , {a2, b2 }}. Maka haruslah {a1 } = { a2 }, sehingga a1 = a2 , dan juga { a1, b1 } = { a2,b2 }. Karena telah terbukti a1 = a2 maka b1 = b2 . Dengan terbuktinya a1 = a2 dan b1 = b2 maka terbukti pula ( b1 , b2 ). 3.6.2 Pergandaan cartesius
( a1, a2 ) =
Definisi : Dengan hasil ganda cartesius ( cartesian product ) H x K dari dua himpunan H dan K dimaksud himpunan semua pasangan-pasangan terurut (h, k ) dengan h H dan k K. H x K = df { ( h, k ) / h H & k K } ( h, k ) H x K jhj h H dan k K. Apabila salah satu dari faktor-faktornya sama dengan himpunan kosong ( ) maka H x K didefinisikan sebagai himpunan kosong ( ). Perhatikan bahwa dalam pergandaan cartesius faktor-faktornya diperbolehkan sama. Jadi diperbolehkan H = K. Perhatikan juga bahwa pada umumnya H x K tidak sama dengan K x H. Contoh : Misalkan H = { a, b } dan K = { c, d } maka H x K = { ( a, c ), ( a, d ), ( b, c ), ( b, d ) } sedangkan K x H = { ( c, a ), ( c, b ), ( d, a ), ( d, b ) }. Karena ( a, c ) ( c, a ) maka himpunan H x K tidak sama dengan K x H. Selanjutnya H x H = { ( a, a ), (a, b ), (b, a ), (b, b ). Hasil ganda cartesius tidak terbatas pada dua himpunan saja. Misalkan himpunan-himpunan H1 , H2 , . . . Hn maka dengan H1 x H2 x . . . x Hn dimaksud himpunan semua n-tupel ( h1 , h2 , . . . hn ) dengan hi H untuk I = 1, 2, . .. , n. Perhatikan juga bahwa pada H1 x H2 x . . . x Hn beberapa dan mungkin semua Hi, diperbolehkan sama. Untuk menurunkan rumus-rumus dan menyelesaika soal-soal tentang hasil ganda cartesius diperlukan beberapa fakta. Himpunan { x / P(x) & Q(x) } terdiri atas unsur-unsur x yang memenuhi syarat keanggotaan bahwa memiliki sifat P dan sekaligus memiliki sifat Q. Himpunan ini sama
dengan irisan himpunan anggota-anggota yang memiliki sifat P saja dengan himpunan anggota-anggota yang memiliki sifat
Q saja , yaitu
{ x / P(x)} { x / Q(x) }. Didapat rumus { x / P(x) & Q(x) } = { x / P(x) Q(x) } Demikian juga { x / P(x) v Q(x) } = { x / P(x) } v { x / O(x) }. Rumus : ( H K ) x M = ( H x M ) ( K x M ) Bukti : ( H K ) x M = { (a, b) / a H K & b M } = { (a, b) / (a H v a K ) & b M } = { (a, b) / (a H & b M) v ( a K & b M } = { (a, b) / a H & b M} {(a,b) /a K& bM } = (H x M) (K x M) Catatan. Pada umumnya ( H x K ) M ( H M ) x ( K M ). Misalkan H = { h }, K = , M = { m } dengan h m. Maka H x K = , sehingga ( H x K ) M = { m } = {m}. Di lain pihak H M = {h, m } dan K M = {m}. Sekarang ( H M ) x (K M) = {h, m} x {m}= {(h, m), (m, m)}. Maka terlihat (H x K) M ( H M) x ( K M). Contoh-contoh soal 1) Buktikan H - (K M) = ( H - K ) ( H - M )
Bukti
H - ( K M ) = { a / a H & a (K M) ={a/aH&(aK&aM} = { a / a H & a K } & { a/ a H & a M } =(H-K)(H-M) Sebaliknya (H - K) (H - M) = { a / a H & a K } { a/ a H & a M } = { a / a H & ( a K & a M } = { a / a H & a (K M )} = H - ( K M ). 2) Buktikan ( H1 H2 ) x ( K1 K2 ) = ( H1 x K1 ) ( H2 x K2 )
Bukti : ( H1 H2 ) x ( K1 K2 ) = { (a, b) /a ( H1 H2 ) & b ( K1 K2 ) } = { (a, b) / a H1 & a H2 & b K1 & b K2 } =
{
(a,
b)
/
a
H1
&
b
K1
}
{ (a,b)/aH2 & bK2} = ( H1 x K1 ) ( H2 x K2 ) Rangkuman 1) Pada pasangan terurut, maka urutan diperhatikan dan anggotanya boleh diulang , sedangkan dalam himpunan bersahaja urutan tidak diperhatikan. 2) Hasil ganda cartesius (cartesian product) dari dua himpunan H dan K dimaksudkan himpunan semua pasangan-pasangan terurut (h, k) dengan h H dan k K, atau dapat dituliskan : H x K = df { ( h, k ) / h H & k K }
Latihan Soal- Soal 1) Buktikan bahwa
( H H ) x (K K) = (H1 x K1) (H1 x K2) (H2 x K1) (H2 x K2) 2) Buktikan
( H - K ) x M = ( H x K) - ( K x M) 3) Buktikan bahwa
H x ( K M ) = (H x K) ( H x M) bernilai benar 4) Selidiki apakah
(H x K) M = ( H x M) ( K x M) bernilai benar. 5) Selidiki apakah
H x (K M) = (H x K) (H x M) bernilai benar.
3.7 Kumpulan Himpunan 3.7.1 Himpunan Kuasa Definisi : Dengan himpunan kuasa ( power set ) dari himpunan H, notasi 2H , dimaksudkan himpunan semua himpunan bagian dari H . Perhatikan bahwa maupun H sendiri merupakan himpunan bagian dari H. Contoh H = { a, b, c } Maka 2H = { , {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}} Terema Apabila H terdiri atas n anggota, dengan n suatu bilangan asli, maka banyaknya anggota dari himpunan kuasa 2H adalah 2n .
Bukti : Himpunan kuasa 2H terdiri atas yang berikut ini : (1) Himpunan Kosong ( ) banyaknya 1 1
(2) Himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas satu unsur banyaknya C
n
2
(3) Himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas dua unsur , banyaknya C
n
Dan seterusnya. Akhirnya, himpunan -himpunan bagian yang terdiri atas n unsur banyaknya Cnn . Jadi banyaknya anggota dari 2H adalah : 1 + C1n + C2 n + . . . + Cnn = (1 + 1)n = 2n ( langkah terakhir menggunakan beberapa rumus elementer dari teori kombinasi ).
3.7.2 Keluarga Himpunan Definisi : Dengan suatu keluarga himpunan ( family of set ) dimaksudkan himpunan yang anggota-anggotanya adalah himpunan-himpunan. Himpunan kuasa suatu himpunan merupakan keluarga himpunan. Untuk menyajikan anggota-anggota suatu keluarga himpunan maka diperlukan nama-nama dari para anggotanya. Biasanya digunakan himpunan indeks I , yang tidak lain adalah himpunan nama -nama . Misalkan : I = { 1, 2, 3 } maka dengan {Hi }i I dimaksud { H1, H2, H3 }dimana setiap Hi adalah himpunan. Rangkuman 1) Keluarga himpunan adalah himpunan yang obyek-obyeknya merupakan himpunan.
2) Himpunan kuasa suatu himpunan A (dinotasikan 2A) adalah keluarga himpunan yang beranggotakan semua subset dari himpunan itu. Himpunan kuasa A = 2n. Latihan Soal-Soal 1) Tentukan himpunan kuasa dari: a) H = { 1, 2, 3, 4 }. b) K = {{1,2}} c) P = { a, {c, d}} d) Q = {1, { 2, 3, 4 }, 5 }. 2) Misalkan A = [ { a, b }, {c}, {d, e, f } ]. a) Tentukan pernyataan berikut benar atau salah : (i) a A , (ii) {c} A, (iii) {d, e, f} A, (iv) {{ a, b }} A ,
(v) A
b) Tentukan himpunan kuasa dari A 3) Misalkan A himpunan berhingga dan n(A) = m, buktikan bahwa himpunan kuasa dari A memiliki 2m anggota.
