Materi 2: Operasi Terhadap Himpunan I Nyoman Kusuma Wardana STMIK STIKOM Bali
Operasi pada Himpunan: 1. Gabungan 2. Irisan 3. Komplemen 4. Selisih 5. Beda setangkup 6. Perkalian kartesian Hukum-hukum Himpunan Prinsip Inklusi-Eksklusi
Notasi : A B = { x x A atau x B } U
A
B
Contoh: Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 } A=A
Contoh:
A = { 2, 3, 5, 7, 8, 10, 15} B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6}
C = { 1, 5, 10, 11, 14, 15 } D = { Kucing, 14, M } Maka: A B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15} A C = {1, 2, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 14, 15}
Contoh:
A = { 2, 3, 5, 7, 8, 10, 15}
BC=? BD=?
B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6 } C = { 1, 5, 10, 11, 14, 15 } D = { Kucing, 14, M }
AD=? CD=? Jawab:
B C = { 0, 1, 2, 4, 5 , 6, 10, 11, 14, 15} B D = { 0, 1, 2, 4, 5, 6, 14, Kucing, M} A D = { 2, 3, 5, 7, 8, 10, 14, 15, Kucing, M}
C D = {1, 5, 10, 11, 14, 15, Kucing, M}
Notasi : A B = { x x A dan x B } U
A
B
Contoh: Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10} Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = Artinya: A // B
Contoh:
A = { 2, 3, 5, 7, 8, 10, 15} B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6}
C = { 1, 5, 10, 11, 14, 15 } D = { Kucing, 14, M } Maka: A B = {2, 5} A C = {5, 10, 15}
Contoh:
A = { 2, 3, 5, 7, 8, 10, 15}
BC=? BD=?
AD=? CD=? Jawab:
B C = { 1, 5} BD={} AD={}
C D = {14}
B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6 } C = { 1, 5, 10, 11, 14, 15 } D = { Kucing, 14, M }
Notasi : Ā = { x x u , x A } Terkadang: AC U
A
Contoh: Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 } jika A = {1, 3, 5, 7, 9}, maka Ā = {2, 4, 6, 8} jika A = {x|x/2 P, x ≤ 9 }, maka Ā = { 1, 3, 5, 7, 9 }
Contoh Dengan menggunakan bantuan Diagram Venn, carilah 𝐀 dan 𝐁 jika diketahui: A = { 2, 3, 5, 6, 8) B = {1, 2, 4, 6, 7, 9, 13} U = { x | x bilangan asli 14}
Jawab: A = {1, 4, 7, 9,10,11,12,13,14} B = {3, 5, 8,10, 11,12,14}
A
U
B
5
6
8 3
2
11
4 13 7 1
14 10
9 12
Contoh: Misal diketahui: A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil impor C = himpunan semua mobil yg dibuat sebelum tahun 1990 D = himpunan semua mobil yg nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu
Maka: A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil impor C = himpunan semua mobil yg dibuat sebelum tahun 1990 D = himpunan semua mobil yg nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu
“mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri” (E A) (E B) atau E (A B) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” A C D
Maka: A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil impor C = himpunan semua mobil yg dibuat sebelum tahun 1990 D = himpunan semua mobil yg nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu
“semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta” C D B
Notasi : A – B = { x x A dan x B } = A B U
A
B
Contoh: Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 } maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A = {1,3,5} – {1,2,3} = {5}, tetapi {1,2,3} – {1,3,5} = {2}
Contoh:
A = {2, 3, 4, 6, 7, 9} B = {1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10} C = {3, 5, 9} Maka: A–B=? B–A=? A–C=? B–C=? C–B=?
{4, 7} {1, 5, 8, 10} {2, 4, 6, 7} {1, 2, 6, 8, 10}
{}
Notasi: A B = (A B) – (A B) = (A – B) (B – A) Contoh: Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 } Jika C = { a, b, 2, 4, 8, 9} dan C = { a, b, c, d, 7, 8, 9 }, maka C D = { c, d, 2, 4, 7} Jika X = {apel, jeruk, mangga, markisa, pisang, salak} dan Y = {anggur, apel, tomat, mangga, pisang}, maka X Y = { anggur, jeruk, tomat, markisa, salak}
Untuk mempermudah A B = (A – B) (B – A) maka A B dapat diilustrasikan sbb:
Contoh: Misalkan diketahui, sbb: U = himpunan mahasiswa P = himpunan mahasiswa yg nilai ujian UTS di atas 80 Q = himpunan mahasiswa yg nilai ujian UAS di atas 80
Seorang mhs mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.
U = himp. mahasiswa P = himp. mhs yg nilai ujian UTS di atas 80 Q = himp. mhs yg nilai ujian UAS di atas 80
Maka: “Semua mahasiswa yg mendapat nilai A”: PQ “Semua mahasiswa yg mendapat nilai B” : PQ “Semua mahasiswa yg mendapat nilai C” : U – (P Q)
TEOREMA Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut: AB=BA (A B ) C = A (B C )
(hukum komutatif) (hukum asosiatif)
Notasi : A B = { (a,b)|aA dan bB } Contoh: C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka: C D = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}
A = B = himpunan semua bilangan riil, A B = himpunan semua titik di bidang datar
Contoh: A = {1, 2, 3}
B = {x, y}
C = {a, b, c}
Maka:
AB=?
{(1,x), (1,y), (2,x), (2,y), (3,x), (3,y)}
AC=?
{(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)}
BC=?
{(x,a),(x,b),(x,c),(y,a),(y,b),(y,c)}
Catatan: 1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: A B = A . B 2.
Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) (b, a)
3.
Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A B B A dengan syarat A atau B tidak kosong.
Pada contoh sebelumnya: C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka: C D = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} D C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)} 4.
Jika A = atau B = , maka A B = B A =
Contoh: A = {1, 2}, B = {a, b}, dan C = {, } maka A B C ? Jawab: A B C = {(1, a, ), (1, a, ), (1, b, ), (1, b, ), (2, a, ), (2, a, ), (2, b, ), (2, b, ) }
Contoh: A = himpunan makanan = { s = soto, g = gadogado, n = nasi goreng, m = mie rebus } B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }
Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas?
A = himp. makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus } B = himp. minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }
Jawab: A B = AB = 4 3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu: {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.
Contoh: Tulislah semua anggota himpunan berikut: o P() o P() o {} P() o P(P({3}))
o o o o
P() P() {} P() P(P({3}))
Jawab: P() = {} P() = (ket: jika A = atau B = maka A B = ) {} P() = {} {} = {(,)} P(P({3})) = P({ , {3} }) = {, {}, {{3}}, {, {3}} }
Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.
Prinsip Dualitas pada Himpunan Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti , , dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti , , U, U , sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.
Dualitas pada hukumhukum himpunan
Contoh: Dual dari:
adalah:
Dua Himpunan Untuk dua himpunan A dan B, berlaku: A B = A + B – A B A B = A +B – 2A B Banyaknya elemen hasil penggabungan dua himpunan A dan B sama dgn banyaknya elemen himpunan A ditambah dgn banyaknya elemen himpunan B, dikurangi dgn banyaknya elemen hasil irisan A dan B
Contoh: Dlm sebuah kelas terdapat 25 mahasiswa yg menyukai matematika diskrit, 13 mahasiswa menyukai kalkulus dan 8 orang diantaranya menyukai matematika diskrit dan kalkulus. Berapa mahasiswa terdapat dlm kelas tersebut ? Ingat:
A B = A + B – A B
Jawab: Misalkan: A =himp. mhs yg menyukai MatDis B = himp. Mhs yg menyukai Kalkulus Himp. Mhs yg menyukai KEDUA matakuliah tsb: A B Banyaknya mhs dlm kelas tsb: |A B| A B = A + B – A B A B = 25 + 13 – 8 A B = 30
Contoh: Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5? Ingat: A B = A + B – A B
Jawab: A = himp. bilangan bulat yg habis dibagi 3, B = himp. bilangan bulat yg habis dibagi 5, A B = himp. bilangan bulat yg habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK – Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15),
A = 100/3 = 33, B = 100/5 = 20, A B = 100/15 = 6 Maka: A B = A+B– A B = 33 + 20 – 6 = 47 Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.
Tiga Himpunan Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku: A B C = A + B + C – A B – A C – B C + A B C
Contoh: Berapa banyak bilangan bulat positif yang tidak melampaui 1000 yang habis dibagi oleh 5, 7 atau 11 ?
Jawab: P = himp. bil bulat yg habis dibagi 5, Q = himp. bil bulat yg habis dibagi 7, R = himp. bil bulat yg habis dibagi 11, P Q = himp. bil bulat yg habis dibagi 5&7 P R = himp. bil bulat yg habis dibagi 5&11 Q R = himp. bil bulat yg habis dibagi 7&11 P Q R = himp. bilangan bulat yg habis dibagi 5, 7 dan 11
Jadi terdapat 376 bil. positif yg tdk melampaui 1000, yg habis dibagi 5,7,atau 11
Contoh: Hasil survei terhadap 60 orang responden, diperoleh data sbb: 25 orang membaca Kompas 26 orang membaca Merdeka 26 orang membaca Bola 9 orang membaca Kompas dan Bola 11 orang membaca Kompas dan Merdeka 8 orang membaca Merdeka dan Bola 3 orang membaca Ketiganya.
Tentukan: a. Berapa banyaknya orang yg membaca paling sedikit satu buah koran? b. Gambarkan diagram Venn untuk masalah ini, c. Berapa orang yg membaca hanya satu koran?
Jawab: Misal: A = Himpunan orang yg suka baca koran kompas B = Himpunan orang yg suka baca koran merdeka C = Himpunan orang yg suka baca koran bola Maka: |A| = 25 |B| = 26 |C| = 26
|A B|= 11 |A B C|= 3 |A C|= 9 |B C|= 8
a)
Banyaknya responden yg membaca paling tidak satu koran, adalah:
|A B C| = |A| + |B| + |C| - |A B| |A C| - |B C| + |A B C| = 25 + 26 + 26 - 11 – 9 – 8 + 3 = 52
b)
Gambarkan diagram Venn-nya
|A| = 25 |A B|= 11 |B| = 26 |A C|= 9 |C| = 26 |B C|= 8 |A B C|= 3 o o o o o
o
Baca kompas & merdeka tidak Bola = 11 – 3 = 8 Baca kompas & bola tidak merdeka = 9 – 3 = 6 Baca merdeka & bola tidak kompas = 8 – 3 = 5 Baca kompas saja = 25 – 8 – 3 – 6 = 8 Baca merdeka saja = 26 – 5 – 3 – 8 = 10 Baca bola saja = 26 – 5 – 3 – 6 = 12
Diagram Venn: A = Himp. org yg suka baca kompas B = Himp. org yg suka baca merdeka C = Himp. org yg suka baca bola
B
A 8
3 6
8
10
8
12
5
C
Banyak orang yang membaca hanya satu koran = 8 + 10 + 12 = 30
Munir, R., 2012, Matematika Diskrit Revisi ke5, Penerbit Informatika Rosen, K.H., 2007, Discrete Mathematics and Its Applications 7th edition, McGraw-Hill
