OPERASI HIMPUNAN (Minggu ke-10 dan 11)
Definisi 1. Irisan dari dua himpunan H dan K dengan notasi HK adalah himpunan yang anggota-anggotanya menjadi anggota H sekaligus menjadi anggota K, Notasi matematisnya :
H
HK K
HK = x | x H dan x K . S HK = , maka H dan K disebut saling asing
Contoh: 1. Jika H = 2,4 dan K = 2,3,5, maka HK = 2, 2. Irisan himpunan A = 4k | k = 1, 2, ... dan B = { ..., -4, -2, 0, 3, 6, ... } adalah A B = 12, 24, 36, ... . 3. Jika X
himpunan semua huruf vokal dan Y
“MERCUSUAR”, maka X Y A, E,U .
himpunan semua huruf penyusun kata
Definisi 2. Gabungan himpunan H dan K dengan notasi HK adalah himpunan yang anggotaanggotanya terdiri atas elemen yang sekurang-kurangnya menjadi anggota dari salah satu himpunan H atau K. Notasi matematisnya: HK = x | xH atau x K.
S H
K
Keterangan H∪K : Seluruh daerah arsiran
Contoh: 1. Jika H = 2,4 dan K = 2,3,5, maka H∪K = 2, 3, 4, 5, 2. Gabungan himpunan A = 4k | k = 1, 2, ... dan B = { .., -4, -2, 0, 3, 6, ...} adalah A B = ..., -4, -2, 0, 3, 4, 6, 8, 9, 12, ... .
3. Jika X himpunan semua huruf konsonan setelah “P” dan Y himpunan semua huruf penyusun kata “MERCUSUAR”, maka X Y A, C, E, M , R, S , T ,U ,V ,W , X , Y , Z . Definisi 3. Selisih dua himpunan H dan K dengan notasi H – K, adalah himpunan yang anggotaanggotanya terdiri atas anggota-anggota H yang bukan anggota K. Notasi matematisnya: H – K = x | xH dan x K .
S H-K
K H
Keterangan: H−K : Daerah berwarna jingga
Contoh: 1. Selisih antara H dan K adalah H K = 4, 2. Selisih A = 4k | k = 1, 2, ... dan B = { .., -4, -2, 0, 3, 6, ...} adalah B A = ..., -4, -2, 0, 3, 6, 9, 15, 18, 21, 27, 30, ... .
3. Jika X himpunan semua huruf konsonan setelah “P” dan Y himpunan semua huruf penyusun kata “MERCUSUAR”, maka { T, V, W, X, Y, Z }. Definisi 4. Simetri dari dua himpunan H dan K dengan notasi H∇K, adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas elemen-elemen H
K atau elemen-elemen K
matematisnya: H ∇ K = x | x H K atau x K H .
S H-K
K H
Keterangan K-H
H ∇ K daerah terasir merah
Contoh: 1. Karena
K = 4 dan K
= { 5 }, maka H ∇ K = { 4, 5 }
. Notasi
2. A∇ B = .., -4, -2, 0, 3, 4, 6, 8, 9, 15, 16, 18, 20, 21, 27, 28, 30, ...} 3. Himpunan XY A, E, C, M ,U , T ,V ,W , X , Y , Z .
Aljabar Himpunan Teorema 1. Berikut ini berturut-turut disebut sifat idempoten, komutatif, assosiatif dan distributif. 1. X X = X 2. X Y = Y X dan X Y = Y X 3. (X Y) Z = X (Y Z) dan (XY)Z = X(YZ) 4. X(YZ) = (XY)(XZ) dan X(Y Z) = (XY)(XZ).
Teorema 2. 1. X XY dan Y XY
2. XY X
dan XY Y
3. X Z dan Y Z jika dan hanya jika XY Z 4. Z X dan Z Y jika dan hanya jika Z XY
Teorema 3. X Y jika dan hanya jika XY = Y jika dan hanya jika XY = X. Teorema 4.. (XY)c = XcYc dan (XY)c = XcYc (Rumus ini disebut rumus de Morgan) Teorema 5. 1. X = dan SX = X 2. X = X dan SX = S 3. XXc = dan XXc = S Teorema 6. Sifat ini disebut absorpsi: X(XY) = X(XY) = X Teorema 7.
1. X – Y = XYc. 2. X ∇ Y = (X Yc) ∪ (Y XC) 3. W ∩ (X ∇ Y ) = (W ∩X ) ∇ (W ∩Y )
Hasil Ganda Kartesius, Himpunan Kuasa, Keluarga Himpunan
Ani memiliki 2 pasang sepatu, 3 celana panjang, 4 rok, 3 kaos, dan 5 kemeja atasan. Saat dia kuliah, Ani harus mengenakan pakaian dan sepatu. Berapa banyak pilihan cara berpakaian yang bisa Ani pilih ?
Definisi 5. Pasangan berurutan (a1, b1) dan (a2, b2) dikatakan sama jika dan hanya jika a1 = b1 dan a2 = b2, sehingga secara umum (a, b) (b, a).
Definisi 6. Hasil ganda Kartesius H × K dari dua himpunan H dan K adalah himpunan semua pasangan berurutan (h, k) dengan h diambil dari H dan k dari K. Secara matematis dinyatakan dengan H × K = (h, k) | h H & k K Teorema 8. K dan
H
=
Contoh: Jika H = a, b dan K = 1, 2, maka H×K=(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2) dan K×H = (1, a), (2, a), (1, b), (2, b). Jika H = K, maka H×K juga diberi notasi dengan H2.
Contoh: ℝ2 = ℝ × ℝ = { (x, y) | x, y ℝ }. Y
x
(x, y) ⦁ y
O
X
Contoh: Seseorang melempar secara bersamaan sebuah dadu bersisi 6 beraturan dengan jumlah mata masing-masing sisi M 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan sekeping koin dengan sisi N G, A, yaitu G gambar dan A angka. Semua kemungkinan sisi yang muncul adalah
M N 1, G , 1, A, 2, G , 2, A, 3, G , 3, A, 4, G 4, A, 5, G , 5, A, 6, G , 6, A
Hasil ganda kartesius H1, H2, …, Hn :
H i H 1 H 2 H n h1 , h2 ,, hn h1 H 1 ,,h n H n i 1 n
Jika H i H untuk i 1, 2, , n , maka
H i H H H h1 , h2 ,, hn h1 , h2 ,,h n H i 1 n
diberi notasi dengan H n .
Contoh: 1. 0, 1, 1 0,1 x, y, 0, x, y, 1 0 x ,1 y 1 2. ℝn = ℝ × ℝ × ⋯ × ℝ = { (x1, x2, ⋯, xn) | xi ℝ, i = 1, 2, ⋯, n }.
Aplikasi Letak suatu pesawat di udara dapat ditentukan dengan paling sedikit 5 komponen, yaitu : x derajat Lintang Utara atau Lintang Selatan, y derajat Bujur Timur, z feet (ketinggian dari permukaan laut),
t jam, menit, detik (waktu), v mil/jam (kecepatan), dengan x, y, z, t , v 0, . 5
Teorema 9. Sifat-sifat berikut berlaku: 1. Secara umum A × B ≠ B× A 2. A B dan D E ⇒ A ×D B×E A ⊂ B dan D E ⇒ A ×D ⊂ B×E 3. A × = = × A 4. A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A×C) dan (B ∩ C) × A = (B × A) ∩ (C×A) 5. A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A×C) dan (B ∪ C) × A = (B × A) ∪ (C×A) Coba Buktikan Untuk Latihan Mandiri
Jika S dan T menyatakan dua buah semesta pembicaraan dengan A S dan B T, maka dapat didefinisikan
A B
C
S T A B .
Contoh: Diambil S = 1, 2, 3, 4 dan T = a, b, c, d , e. Jika A = 1, 2 dan B = c, d , e, maka
S T 1, a , 1, b, 1, c , 1, d , 1, e, 2, a , 2, b, 2, c , 2, d , 2, e,
3, a , 3, b, 3, c, 3, d , 3, e, 4, a , 4, b, 4, c, 4, d , 4, e,
sehingga A B C
1, a , 1, b, 2, a , 2, b, 3, a , 3, b, 3, c, 3, d , 3, e, 4, a , 4, b, 4, c, 4, d , 4, e. Meskipun demikian jika semesta pembicaraan dari A B adalah S 0 maka yang dimaksud
A B
C
S0 A B
Definisi 7. Himpunan Kuasa (power set) dari himpunan H dengan notasi P(H) adalah himpunan semua himpunan-himpunan bagian dari H.
Contoh: Jika H = a, b, c, maka P(H) = , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.
Teorema 10.
1.
Jika A B , maka P(A) P(B).
2.
P() = { }
3.
P(A∩B) = P(A)∩P(B).
Definisi 8. Keluarga Himpunan atau koleksi himpunan atau keluarga himpunan ( family of sets) adalah suatu himpunan dengan anggota-anggotanya juga himpunan.
Contoh: 1. N = { [ n, n +1] | n bilangan asli }, yaitu himpunan semua interval tutup dari n sampai dengan n 2. K = { { 1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4 }, ... }
Untuk mempermudah penamaan masing-masing elemen suatu himpunan digunakan himpunan indeks. Contoh
1. Pada N = { [ n, n +1] | n bilangan asli }, ℕ = { 1, 2, … } himpunan indeks 2. Jika K = { (x – 0.5, x + 0.5) | x ℝ }, himpunan ℝ merupakan himpunan indeks 3. Diketahui A = { x1, x2, …, x6 }. Himpunan indeks himpunan A adalah { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Latihan 1.Buktikan : X Yc jika dan hanya jika XY = 2.Buktikan : XY = S jika dan hanya jika
Xc Y.
3.Buktikan bahwa X – (X -Y) = XY. 4.Buktikan bahwa jika Z Y X maka (X - Y)(Y - Z) = X - Z. 5. Sederhanakan : (XY)(ZX)(XcYc)c. 6. Buktikan bahwa apabila H dan K merupakan himpunan-himpunan sedemikian hingga H×H = K×K, maka H = K. 7. Buktikan ( HK)×M = (H×M)(K×M). 8. Perlihatkan dengan mengambil contoh penyangkal bahwa pada umumnya :
(H×K)M (HM) × (KM).
