BAB III HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian himpunan, relasi antara himpunan, operasi himpunan, aljabar himpunan, pergandaan himpunan, serta himpunan kuasa. Tujuan Instruksional Khusus 1) Mahasiswa dapat menyebutkan pengertian himpunan 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan 4) Mahasiswa dapat membuktikan rumus-rumus aljabar himpunan 5) Mahasiswa dapat menentukan hasil pergandaan dua himpunan 6) Mahasiswa dapat menentukan himpunan kuasa dari suatu himpunan 3.1 Teori Himpunan Pada Umumnya 3.1.1 Pengertin Himpunan Himpunan merupakan konsep dasar dari semua cabang matematika. Secara intuitif himpunan adalah kumpulan obyek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas dimana obyek-obyek sendiri disebut dengan anggota atau elemen dari sustu himpunan. Demikianlah secara intuitif kita mengerti apa yang dimaksud dengan himpunan semua pemain sepak bola, himpunan semua bilangan alam , dan sebagainya. Apabila elemen atau unsur, a menjadi anggota äari himpunan H maka dapat disajikan (ditulis) a H. Sedangkan ingkarannya, yaitu a bukan anggota H ditulis
a
H atau a H Apabila H suatu himpunan berhingga, yaitu banyak anggota H adalah berhingga, maka himpunan itu dapat disajikan dengan membuat daftar dari nama-nama anggotaanggotanya. Contohnya H = { 1, 3, 5, 7 }. Apabila H tak berhingga, cara sedemikian
tak
mungkin
dikerjakan.
Maka
H
disajikan
dengan
menggunakan
syarat
keanggotaannya. Contohnya H = { x / x adalah bilangan asli }. 3.1.2 Notasi Himpunan Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar, misalnya : A , B , C, D , … dan sebagainya. Sedangkan anggota-anggota himpunan dinyatakan dengan huruf kecil, misalnya : a , b , c, d, . . . dan sebagainya. Ada beberapa metode untuk måndefinisikan suatu himpunan yaitu : 1) Metode Rooster, yaitu dengan cara menuliskan anggota-anggota himpunan
dalam kurung korawal . Contoh :
Himpunan yang anggotanya sedikit :
Himpunan yang anggotanya berhingga banyak :
P = { 1,2,3 }
Q = { 1,2,3, . . . 100 }
Himpunan yang anggotanya tak berhingga : R = { 1,2,3, . . . }
2) Metode Roole, yaitu dengan menyatakan sifat-sifat yang dipenuhi anggota-
anggota himpunan tersebut. Contoh : P = Himpunan vokal dalam abjad latin Q = Himpunan cacah ganjil yang kurang dari 10 3) Metode Notasi Notasi Pembentuk Himpunan.
Contoh : P = { x / x adalah vokal dalam abjad latin } Q = { x / x bilangan cacah ganjil }
A = { 2x + 1 / x N } B = { x2 + 1 / x C } 4)
Metode Diagram Venn Aturan pembuatan diagram venn adalah : a) Himpunan semesta dinyatakan dengan persegi panjang b) Himpunan dinyatakan dengan kurva tertutup c) Anggota-anggota himpunan dinyatakan dengan titik-titik. Contoh :
3.1.3 Himpunan Kosong Suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong, biasanya dituliskan dengan atau {
}.
Contoh : P adalah himpunan orang-orang berkepala tiga Q = { x / x = -1 , x bilangan real } Teorema Himpunan kosong adalah himpunan bagian dari setiap himpunan Bukti : Ambil himpunan sembarang P. Andaikan bukan himpunan bagian dari P yaitu P. Maka ada x dengan x dan x P. Kalimat terakhir ini pasti salah,
karena himpunan kosong ( ) tidak mempunyai anggota. Akhirnya pengandaian harus diingkar dan terbukti P. Karena P sembarang, maka menjadi himpunan bagian dari setiap himpunan. 3.1.4 Himpunan Semesta definisi : himpunan semesta adalah himpunan dari semua obyek yang sedang dibicarakan. Pada umumnya himpunan semesta dinyatakan dengan notasi S. Contoh : Semesta pembicaraan dari K = {i, e, o } adalah S = { a, i, u, e, o } = himpunan huruf hidup dalam abjad latin atau S = { abjad latin }
3.1.5 Himpunan Berhingga (Finit) dan Himpunan Tak Berhingga ( Infinit ) Secara intuitif himpunan berhingga adalah jika himpunan itu beranggotakan elemen-elemen yang berbeda dan banyaknya tertentu. Himpunan yang tidak mempunyai syarat khusus diatas disebut himpunan tak berhingga. Contoh : P = Himpunan bilangan pada permukaan jam dua belasan maka P = { 1 , 2 , 3 , . . . 12 } Q = Himpunan bilangan asli genap maka Q = { 2, 3, 4, . . . } Sehingga suatu himpunan dapat merupakan himpunan yang berhingga atau himpunan yang tak berhingga.
3.2 Relasi Antara Himpunan 3.2.1 Kesamaan Dua Himpunan Kesamaan dua himpunan didefinisikan secara ekstensional, yaitu kesamaan dua himpunan ditentukan oleh anggota-anggotanya. Definisi : Dua himpunan H dan K disebut sama atau berimpitan jhj setiap anggota H adalah anggota K dan sebaliknya. H = K jhj (x) xH x K Dengan demikian { 1,2,3 } = { 3, 1, 2 } = { 2, 3, 1 } dan seterusnya, sehingga urutan tidak diperhatikan. 3.2.2 Himpunan Bagian Definisi : Himpunan H dikatakan menjadi himpunan bagian ( sub himpunan, subset ) dari himpunan K, dengan notasi H K , jhj setiap anggota dari H menjadi anggota dari K. H K jhj (x) x H x K Perhatikan bahwa menurut definisi ini setiap himpunan menjadi himpunan bagian dari dirinya sendiri. Kesamaan dua himpunan sekarang dapat dinyatakan dengan himpunan bagian : H = K jhj H K dan K H Ini berarti H = K jhj H termuat dalam K dan K termuat dalam H 3.2.3 Himpunan Berpotongan Definisi : Dua himpunan A dan B dikatakan berpotongan jika dan hanya jika ada anggota A yang bukan anggota B dan ada anggota B yang bukan anggota A. Contoh :
P = { 1, 2, 3 } Q = { 1, 3, 7 }
P dan Q adalah dua himpunan yang berpotongan, karena ada anggota P yaitu 2 yang bukan menjadi anggota Q. sehingga P Q
3.2.4 Himpunan Saling Lepas Definisi : Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas ( ditulis A B ) jika dan hanya jika kedua himpunan itu tidak kosong dan tidak mempunyai eleman yang sama. Contoh :
P = { 1, 2, 3, 4 } Q = { 6, 7, 8, 9 }
Sehingga P dan Q adalah dua himpunan yang saling lepas, karena tidak ada nggota kedua himpunan tersebut sama. 3.2.5 Himpunan yang ekivalen Definisi : Dua himpunan A dan B dikatakan ekivalen ( ditulis A B ) Jika dan hanya jika banyak anggota kedua himpunan itu sama. Contoh : Misalkan P = { 6, 7, 8 } dan Q = { a, i, u }. Maka P Q, karena n(P) = n(Q).
3.3 Operasi Himpunan 3.3.1 Irisan Himpunan Definisi : Irisan atau interseksi dari dua himpunan H dan K, dengan notasi
H
K , didefinisikan sebagai himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas semua anggota yamg sekaligus berada dalam H maupun dalam K.
H K = df {x / x H x K } Tanda = df dibaca didefinisikan sebagai .
Dalam diagram diatas, bagian yang diarsir adalah H K. Apabila H = { 2, 3, 5 } sedangkan K = { 3, 7 } maka H K = { 3 }. Apabila H = { x / 0 x 3 } dan K = { x / 1 x 2 } maka H K = { x / 1 x 2 }. Apabila H K = maka H dan K disebut saling asing. 3.3.2 Gabungan Himpunan Definisi : Gabungan dari himpunan H dan K, dengan notasi H K, didefinisikan sebagai himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas semua elemen yang sekurang-kurangnya menjadi anggota dari salah satu himpunan H atau K. H K = df { x / x H x K } Contoh :
H = { 1, 2, 3 , 4, 5 } K = { 5, 6, 7, 8 } maka H K = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }.
3.3.3Selisih Himpunan
Definisi : Selisih atau beda dari dua himpunan H dan K, dengan notasi H - K, didefinisikan himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas semua elemen dari H yang tidak berada dalam K. H - K = df { x / x H x K } Contoh : H = { 1, 4, 7 } dan K = { 1, 4, 8 } maka H - K = { 7 } sedangkan K - H = { 8 }. 3.3.4 Komplemen Himpunan Definisi : Selisih dari semesta S dengan himpunan H yaitu S - H, disebut komplemen dari H, dengan notasi Hc . Jadi Hc terdiri atas semua elemen dari semesta S yang tidak berada dalam H. Hc = { x / x S, x H }. Contoh : Ditentukan A = { 0, 2, 3, 4, 6, . . . } didalam semesta pembicaraan Himpunan bilangan cacah. Maka Ac = { 1, 3, 5, 7, . . . } Diagram-diagram Venn di bawah ini menggambarkan definisi diatas
Contoh : Apabila semesta S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ,10 } sedangkan H = { 2,4, 6, 7 } dan K = { 2, 3, 5, 7 } maka H K = { 2, 7 } H K = { 2, 3, 4, 5, 6, 7 }, H - K = { 4, 6 }, K - H = { 3, 5 },
Hc = { 1, 3, 5, 8, 9, 10 } dan Kc = { 1, 4, 5, 6, 8, 9, 10 }. 3.3.5 Selisih Simetris Definisi : Selisih simetri atau beda simetri dari dua himpunan H dan K, dengan notasi H K, didefinisikan himpunan yang terdiri atas semua anggota H atau K tetapi bukan anggota persekutuan dari himpunan A dan B, yaitu semua anggota H K yang tidak dalam H K. H K = df ( H K ) - ( H K ) Contoh : Ditentukan R = { x / x2 – 3x + 2 = 0 } dan T={x/x=2}
Maka R T = { x / x = 1 }
