KUANTOR KHUSUS (Minggu ke-8)
1
4
Kuantor Jenis Lain
”Terdapatlah satu dan hanya satu x yang mempunyai sifat P ”. ”(∃x)(p(x) ∧ (∀y)(p(y) =⇒ y = x))” Terdapat x yang memenuhi sifat p dan untuk setiap y yang memenuhi sifat p, maka y sama dengan x. Simbol: ”(∃!x)p(x)” Dibaca: Terdapat dengan tunggal x yang mempunyai sifat p. Contoh: SP Himpunan semua bilangan real (∃!x)(∀y)(x + y = y + x = x)
2
Contoh: Terdapat tepat dua bilangan nyata yang memenuhi x2 − x − 6 = 0. Simbol: (∃u, v)(u ̸= v∧u2 −u−6 = 0∧v 2 −v−6 = 0∧(∀w)(w2 −w−6 = 0 ⇒ (w = u∨w = v))), ”Terdapat u dan v yang berbeda yang memenuhi x2 − x − 6 = 0 dan untuk setiap w yang memenuhi x2 − x − 6 = 0, maka w sama dengan u atau v”.
Bagaimana Untuk: Terdapat n unsur yang bersifat p
3
5
Kuantor dengan Pembatasan
Contoh: Diberikan kalimat-kalimat berikut ini : 1. Terdapat x yang positif dan bersifat P . 2. Terdapat u yang merupakan elemen A dan bersifat P . 3. Semua x yang positif mempunyai sifat P . 4. Semua u anggota A mempunyai sifat P . Ditulis: 1. (∃x)(x > 0 ∧ P (x)) Atau: (∃x > 0).P (x) 2. (∃x)(x ∈ A ∧ P (x)) Atau: (∃x ∈ A).P (x) 3. (∀x)(x > 0 ⇒ P (x)) Atau: (∀x > 0).P (x) 4. (∀x)(x ∈ A =⇒ P (x)) bf Atau: (∀x ∈ R).P (x)
4
5.1
Ingkaran Kalimat Berkuantor Terbatas
Bentuk ingkaran kalimat: 1. (∃x > 0).P (x) yaitu (∀x > 0).P (x) Dibaca : Semua x positif tidak mempunyai sifat P . 2. (∃x ∈ A).P (x) yaitu
(∀x ∈ A).P (x)
Dibaca : Semua x elemen R tidak mempunyai sifat P . 3. (∀x > 0).P (x) yaitu (∃x > 0).P (x) Dibaca : Terdapat x positif yang tidak mempunyai sifat P . 4. (∀x ∈ A).P (x)) yaitu
(∃x ∈ A).P (x)
Dibaca : Terdapat x elemen R yang tidak mempunyai sifat P .
5
Contoh: Tulislah dengan simbolisma logika kalimat-kalimat berikut ini. 1. Paling banyak ada satu x yang mempunyai sifat P . 2. Hanya ada satu x yang mempunyai sifat P . 3. Paling banyak ada satu bilangan positif yang bersifat P . 4. Sekurang-kurangnya ada dua x bersifat P . 5. Paling banyak ada dua elemen D yang bersifat P . Penyelesaian: 1. (∀x)(∀y)(P (x) ∧ P (y) ⇒ x = y) (∀x)(∀y)(x ̸= y ⇒ P (x) ∨ P (y)). 2. (∃x)(P (x) ∧ (∀y)(P (y) =⇒ x = y). 3. (∀x)(∀y)(x > 0 ∧ y > 0 ∧ P (x) ∧ P (y) ⇒ x = y). 4. (∃x)(∃y)(x ̸= y ∧ P (x) ∧ P (y)). 5. (∀x)(∀y)(∀z)((P (x) ∧ P (y) ∧ P (z)) ⇒ (x = y ∨ x = z ∨ y = z)).
6
Contoh SP : Himpunan semua bilangan real. Tulislah simbolisma logika kalimatkalimat berikut ini. 1. Untuk setiap bilangan positif ϵ terdapat bilangan positif δ yang bersifat |δ| < ϵ. 2. Ada bilangan L yang memenuhi untuk setiap bilangan positif ϵ terdapat bilangan positif δ yang bersifat |δ| < ϵ. 3. Untuk setiap bilangan positif ϵ terdapat bilangan positif δ sedemikian hingga untuk setiap x anggota Df yang memenuhi 0 < |x − a| < δ berlaku |f (x) − L| < ϵ. 4. Ada bilangan L sedemikian hingga untuk setiap bilangan positif ϵ terdapat bilangan positif δ sedemikian hingga untuk setiap x anggota Df yang memenuhi 0 < |x − a| < δ berlaku |f (x) − L| < ϵ.
7
Penyelesaian: 1. (∀ϵ > 0)(∃δ > 0).|δ| < ϵ. 2. (∃L)(∀ϵ > 0)(∃δ > 0).|δ| < ϵ. 3. (∀ϵ > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ Df )(0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x) − L| < ϵ). 4. (∃L)(∀ϵ > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ Df )(0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x) − L| < ϵ). Pernyataan ini merupakan definisi dari fungsi f mempunyai limit di x = a.
8
5.2
Ingkaran Kuantor Jamak Dengan Pembatasan
Teorema 5.1 Diketahui A dan B bagian dari semesta pembicaraan: 1. (∃x ∈ A)(∃y ∈ B).p(x, y) ⇐⇒ (∀x ∈ A)(∀y ∈ B).p(x, y) 2. (∃x ∈ A)(∀y ∈ B).p(x, y) ⇐⇒ (∀x ∈ A)(∃y ∈ B).p(x, y) 3. (∀x ∈ A)(∃y ∈ B).p(x, y) ⇐⇒ (∃x ∈ A)(∀y ∈ B).p(x, y) 4. (∀x ∈ A)(∀y ∈ B).p(x, y) ⇐⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ B).p(x, y)
Bagaimana Cara memperolehnya ?
9
”Untuk x yang bersifat P terdapat y yang bersifat Q, sehingga x dan y memenuhi r” dapat dinyatakan dengan (∀P (x))(∃Q(y)).r(x, y)
Contoh: Pernyataan ”Untuk setiap ϵ yang bersifat ϵ > 0 terdapat δ yang memenuhi δ > sehingga jika 0 < |x − x0 | < δ, maka |f (x) − L| < ϵ dapat ditulis (∀ϵ > 0)(∃δ > 0).[0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − L| < ϵ]
10
Teorema 5.2 Ingkaran kuantor jamak dengan pembatasan berbentuk pernyataan: 1. (∃P (x))(∃Q(y)).r(x, y) ⇐⇒ (∀P (x))(∀Q(y)).r(x, y) 2. (∃P (x))(∀Q(y)).r(x, y) ⇐⇒ (∀P (x))(∃Q(y)).r(x, y) 3. (∀P (x))(∃Q(y)).r(x, y) ⇐⇒ (∃P (x))(∀Q(y)).r(x, y) 4. (∀P (x))(∀Q(y)).r(x, y) ⇐⇒ (∃P (x))(∃Q(y)).r(x, y)
Bagaimana memperolehnya ?
11
Contoh: Tentukan ingkaran pernyataan 1. Untuk setiap bilangan positif ϵ terdapat bilangan positif δ yang bersifat |δ| < ϵ. 2. Ada bilangan L yang memenuhi untuk setiap bilangan positif ϵ terdapat bilangan positif δ yang bersifat |δ| < ϵ. 3. Untuk setiap bilangan positif ϵ terdapat bilangan positif δ sedemikian hingga untuk setiap x anggota Df yang memenuhi 0 < |x − a| < δ berlaku |f (x) − L| < ϵ. 4. Ada bilangan L sedemikian hingga untuk setiap bilangan positif ϵ terdapat bilangan positif δ sedemikian hingga untuk setiap x anggota Df yang memenuhi 0 < |x − a| < δ berlaku |f (x) − L| < ϵ.
12
Penyelesaian: 1. (∀ϵ > 0)(∃δ > 0).|δ| < ϵ. ⇐⇒ (∃ϵ > 0)(∀δ > 0).|δ| ≥ ϵ 2. (∃L)(∀ϵ > 0)(∃δ > 0).|δ| < ϵ ⇐⇒ (∀L)(∃ϵ > 0)(∀δ > 0).|δ| ≥ ϵ 3. (∀ϵ > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ Df )(0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x) − L| < ϵ). ⇕ (∃ϵ > 0)(∀δ > 0)(∃x ∈ Df )(0 < |x − a| < δ ∧ |f (x) − L| ≥ ϵ) 4. (∃L)(∀ϵ > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ Df )(0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x) − L| < ϵ). ⇕ (∀L)(∃ϵ > 0)(∀δ > 0)(∃x ∈ Df )(0 < |x − a| < δ ∧ |f (x) − L| ≥ ϵ)
13
Latihan
1. Diberikan semesta pembicaraan himpunan semua bilangan real. Tentukanlah nilai kebenaran dari kalimat: berikut ini: 1.1 (∀x)((∀ϵ > 0)|x| < ϵ =⇒ x = 0). 1.2 (∀ϵ > 0)(∃N0 ∈ N )( N10 < ϵ). 1.3 (∃M > 0)(∀x)(e−|x| < M ).
Tulislah dalam bentuk simbolisma logika 2. Tulislah definisi lim f = L untuk x → c 3. Tulislah definisi lim f = L untuk x → c− 4. Tulislah definisi fungsi f tidak mempunyai limit di x = c. 5. Tulislah definisi fungsi f kontinu di x = c. 6. Tulislah definisi fungsi f tidak kontinu x = c.
14
11. Paling banyak ada dua x dimana f tidak kontinu di x. 12. Fungsi f kontinu pada interval I. 13. Fungsi f mempunyai derivatif di setiap x ∈ I kecuali mungkin di c. 14. Tulislah definisi barisan {xi }i≥1 konvergen, kemudian tentukan ingkarannya. 15. Tentukan nilai kebenaran dan beri alasan kalimat [(∀ε > 0)(∃δ > 0)(|x − xo | < 0 ⇒ |f (x) − fxo | < ε)] ⇒ f ′ (xo ) ada
15
