Matematika (IPS) untuk SMA/MA kelas X
untuk SMA/MA Kelas XII
3 Matematika (IPS) SMA/MA XII
Enthusiasm is the steam that drive that engine. Spirit adalah uap yang mampu menggerakkan mesin.
i
Matematika (IPS) untuk SMA/MA Kelas XII
Penulis Tim Bimata
Editor Rini Dewi Puspitasari
Grafis Muhammad Dwi Pahlepi
Ilustrator Bayu Aprianto
Perancang Kulit Tim Willian
Diterbitkan oleh CV Willian Jl. Diponegoro No. 123 Wirogunan, Kartasura, Sukoharjo 57166 Hunting/Telp: (0271) 781797, 781853, 784754 Fax: (0271) 781797 Email:
[email protected]
Buku ini disetting dan dilayout menggunakan Adobe InDesign® CS, Corel Draw® 11, dan Adobe PhotoShop® CS. Font isi: Times 11 pt.
© Hak cipta dilindungi oleh Undang-Undang Nomor 19 Tahun 2002. Dilarang memperbanyak/menyebarluaskan dalam bentuk apa pun tanpa seizin tertulis dari penerbit.
Matematika (IPS) SMA/MA XII
ii
A man with courage is a majority. Manusia dengan keberanian adalah mayoritas.
Cover Dalam .....................................................................................................................
i
Copyright ...........................................................................................................................
ii
Let’s Get to Know .............................................................................................................
iii
Pendahuluan .....................................................................................................................
5
Pembelajaran ....................................................................................................................
6
1
2
Bab 1 Integral ......................................................................
7
Kegiatan Pembelajaran 1 Integral Tak Tentu ..................................................................
9
Kegiatan Pembelajaran 2 Integral Tentu ..........................................................................
20
Kegiatan Pembelajaran 3 Pengintegralan dengan Cara Subtitusi dan Parsial..................
28
Kegiatan Pembelajaran 4 Penggunaan Integral Tentu untuk Menghitung Luas Daerah Kurva ..........................................................................
37
Bab 2 Program Linear ........................................................
55
Kegiatan Pembelajaran 1 Sistem Pertidaksamaan Linear ...............................................
57
Kegiatan Pembelajaran 2 Nilai Optimum dari Fungsi Tujuan ........................................
70
Pelatihan Ulangan Tengah Semester 1 ...........................................................................
Matematika (IPS) SMA/MA XII
Having a goal and stick to it is changing everything. Miliki tujuan dan setia kepada tujuan adalah mengubah segalanya.
iii
90
3
Bab 3 Matriks ......................................................................
96
Kegiatan Pembelajaran 1 Pengertian dan Jenis-Jenis Matriks ........................................
98
Kegiatan Pembelajaran 2 Operasi pada Matriks .............................................................. 108 Kegiatan Pembelajaran 3 Perkalian Suatu Matriks ......................................................... 119 Kegiatan Pembelajaran 4 Determinan, Invers Matriks, dan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear ....................................................... 132 Pelatihan Ulangan Semester 1 ......................................................................................... 154
4
Bab 4 Barisan dan Deret ...................................................... 160 Kegiatan Pembelajaran 1 Barisan dan Deret Aritmetika ................................................ 162 Kegiatan Pembelajaran 2 Baris dan Deret Geometri ...................................................... 188
Pelatihan Ulangan Tengah Semester 2 ........................................................................... 205
5
Bab 5 Penerapan Konsep Barisan dan Deret ................... 209 Kegiatan Pembelajaran 1 Konsep Barisan dan Deret ..................................................... 211 Kegiatan Pembelajaran 2 Konsep Barisan dan Deret dalam Hitungan Keuangan........... 220
Pelatihan Ujian Nasional Paket 1 .................................................................................... 239 Pelatihan Ujian Nasional Paket 2 .................................................................................... 245 Glosarium .......................................................................................................................... 251 Penutup .............................................................................................................................. 254 Daftar Pustaka .................................................................................................................. 255 Matematika (IPS) SMA/MA XII
iv
The winner is the child of audacity. Pemenang adalah anak dari keberanian.
Pendahuluan
Mapping Your Mind
Konsep Matematika merupakan ilmu yang mempelajari besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Para matematikawan menemukan berbagai pola, merumuskan konjektur baru, dan membangun kebenaran melalui metode deduksi yang kaku dari aksioma-aksioma serta definisi-definisi yang bersesuaian. Matematika muncul pada saat menghadapi masalah-masalah yang rumit yang melibatkan kuantitas, struktur, ruang, atau perubahan. Mulanya masalah-masalah itu dijumpai di dalam matematika untuk memahami hubungan antarbilangan, untuk mengukur tanah, dan untuk meramal peristiwa astronomi. Empat kebutuhan ini secara kasar dapat dikaitkan dengan pembagian-pembagian kasar matematika ke dalam pengkajian besaran, struktur, ruang, dan perubahan (yakni aritmetika, aljabar, geometri, dan analisis).
Cakupan Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin ilmu dan mengembangkan daya pikir manusia. Perkembangan pesat di bidang teknologi informasi dan komunikasi dewasa ini dilandasi oleh perkembangan matematika di bidang teori bilangan, aljabar, analisis, teori peluang, dan matematika diskrit. Pembelajaran dalam Buku Matematika (IPS) SMA/MA XII dibagi dalam beberapa materi utama, yaitu: 1) integral, 2) program linear, 3) matriks, 4) barisan dan deret, dan 5) penerapan konsep barisan dan deret.
Sinergisitas Matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran atau medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan merupakan cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan. Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.
Sasaran Tiap pembelajaran memiliki tujuan yang hendak dicapai berdasarkan kompetensi yang telah ditentukan. Capaian pembelajaran Matematika (IPS) SMA/MA XII, meliputi 1) menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar sederhana; 2) menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya; 3) menggunakan matriks dalam pemecahan masalah; 4) merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret; dan 5) menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret dan menafsirkan solusinya.
Matematika (IPS) SMA/MA XII
What we do everyday creat our destiny. Apa yang kita kerjakan tiap hari, menciptakan takdir kita.
5
Bab
Barisan dan Deret
4
Standar Kompetensi 4.
Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah.
Cek Kemampuan Awal 1. 2. 3. 4. 5.
Jelaskan pengertian bilangan! Apa yang Anda ketahu tentang pola bilangan? Sebutkan macam-macam pola bilangan! Apa yang Anda ketahui tentang aljabar? Sebutkan sifat-sifat dalam operasi aljabar!
Prasyarat Sebelum mempelajari barisan dan deret, Anda harus menguasai konsep pola bilangan dan aljabar. Jika Anda sudah menguasai konsep tersebut,
Sumber: scbcareers.scb.co.th
Anda dapat memahami konsep barisan
P
ernahkah Anda menyimpan uang di sebuah bank? Misalnya Anda mempunyai tabungan sebesar deret dalam menyelesaikan masalah Rp50.000,00 jika bank tersebut memberikan bunga 2% sehari-hari. per bulan, dapatkah Anda memperkirakan berapa besar tabungan yang Anda miliki setelah 6 bulan? Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan konsep barisan dan deret. Selain bidang ekonomi, konsep barisan dan deret dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan bidang fisika. Dalam bidang fisika konsep barisan dan deret sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari, misalnya untuk menghitung lintasan bola yang dilemparkan dari ketinggian tertentu. Setelah dilempar bola tersebut akan jatuh dan menyentuh lantai. Saat menyentuh lantai, bola tersebut akan memantul kemudian akan jatuh dan memantul lagi, demikian seterusnya. Gerakan tersebut memiliki pola jatuh-pantul hingga membentuk barisan. Panjang lintasan bola membentuk deret yang jumlahnya dapat dihitung dengan konsep barisan dan deret. Anda akan lebih mudah memahami konsep barisan dan deret dengan mempelajari materi berikut. dan deret. Setelah itu, Anda dapat
menerapkan konsep barisan dan
Matematika (IPS) SMA/MA XII
160
The idea is the meaning of the mind that moves. Gagasan adalah makna yang menggerakkan pikiran.
Peta Konsep metode pembelajaran
nilai sikap Barisan dan Deret
Kreatif, Rasa Ingin Tahu, Demokratis, Kerja Keras, Mandiri.
Inquiri, Kooperatif, Diskusi, dan Tanya Jawab
apersepsi Guru menjelaskan konsep matriks dalam pemecahan masalah. materi pembelajaran
Baris dan Deret Aritmetika
Barisan dan Deret Geomaetri
pengukuran
Penugasan
Pelatihan
analisis hasil
tindak lanjut
tindak lanjut
Pengayaan
Tuntas
Belum
Perbaikan
parameter hasil
parameter hasil Peserta didik mampu: 1. menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika, 2. menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret geometri.
Kata Kunci • •
Rasio Beda
• •
Aritmetika Geometri
• •
Suku Sigma
Barisan dan Deret
Things we can control and change is our attitude. Hal yang dapat kita kontrol dan kita ubah adalah sikap.
161
Kegiatan Pembelajaran 1 Barisan dan Deret Aritmetika Kegiatan Pembelajaran 1 membahas tentang barisan dan deret. Kajian dalam kegiatan pembelajaran ini meliputi pola bilangan, barisan bilangan, deret bilangan, barisan dan deret aritmetika. Sebelum memulai pembelajaran terlebih dahulu mari kita berdoa kepada Tuhan Yang Maha Esa agar sesuatu yang kita pelajari dapat bermanfaat bagi nusa dan bangsa.
A. Pola Bilangan Pola adalah sebuah susunan yang mempunyai bentuk yang teratur dari bentuk yang satu ke bentuk berikutnya. Pola bilangan adalah aturan yang menyebabkan bilangan-bilangan yang bersangkutan berubah secara teratur. Perhatikan susunan-susunan bilangan berikut ini.
Standar Capaian Peserta didik diharapkan dapat: 1.1 menjelaskan ciri-ciri berbagai macam pola bilangan, 1.2 menentukan rumus suku ke-n dari baris aritmetika, 1.3 menjelaskan ciri baris aritmetika, 1.4 menentukan rumus suku ke-n dari deret aritmatika.
1. 2, 4, 6, 8, 10, .... 2. 1, 4, 9, 16, 25, .... 3. 1, 3, 6, 4, 5, ....
Kompetensi Dasar 4.1 Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri.
4. 2, 5, 1, 7, 3, .... Susunan bilangan a dan b memiliki pola atau aturan tertentu, sedangkan susunan c dan d tidak memiliki pola atau atauran. Pola bilangan dapat dibedakan atas pola bilangan ganjil dan genap, pola bilangan segitiga, pola bilangan persegi, pola bilangan persegi panjang, dan pola bilangan segitiga Pascal.
Nilai Pendidikan Karakter yang Terintegrasi ► ► ► ►
1. Pola Bilangan Ganjil dan Bilangan Genap a. Pola bilangan ganjil Bilangan ganjil adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2 (bukan kelipatan 2). Himpunan bilangan asli ganjil adalah {1, 3, 5, 7, 9, ….}.
Rasa Ingin Tahu Kreatif Kerja Keras Demokratis
Nilai Semangat Kewirausahaan dan Ekonomi Kreatif ► ► ►
Optimisme Pantang Menyerah Gigih
Matematika (IPS) SMA/MA XII
162
Knowledge, insight, and experience make man wise. Pengetahuan, wawasan, dan pengalaman menjadikan manusia bijak.
Pola gambar bilangan ganjil:
Web Untuk memperdalam pengetahuan Anda tentang Barisan dan Deret, coba Anda membuka:
1
3
5
7
Pola bilangan ganjil = (2n – 1)
●
www.matematika-sma.blogspot. com
●
www.dumatika.com
●
www.matematikadisma.blogspot. com
dengan n = suku ke- (urutan suku) Jumlah dari n bilangan asli ganjil yang pertama = n2. Contoh
1. Tentukan jumlah dari 5 bilangan ganjil yang pertama! Jawab: Tujuh bilangan ganjil yang pertama adalah 1, 3, 5, 7, 9 dan n = 5. Jumlah dari 5 bilangan ganjil yang pertama adalah n2 = 52 = 25. Jadi, jumlah dari 5 bilangan asli ganjil yang pertama adalah 25. 2. Berapa banyaknya bilangan ganjil yang pertama yang jumlahnya 196? Jawab: Jumlah dari n bilangan ganjil yang pertama adalah n2, sehingga 196 = n2 n = 14, atau n = -14 (tidak memenuhi) Jadi, banyaknya bilangan ganjil adalah 14. b. Pola bilangan genap Bilangan genap adalah bilangan bulat yang habis dibagi dua. Himpunan bilangan genap, yaitu {2, 4, 6, 8, ....}. Pola gambar bilangan genap:
2
4
6
8
Pola bilangan genap = 2n dengan n = suku ke- (urutan suku) Jumlah dari n bilangan genap yang pertama = n(n + 1).
Barisan dan Deret
Allows us to take a leap in new ways. Lompatan memungkinkan kita menempuh cara-cara baru.
163
Contoh
1. Tentukan jumlah 6 bilangan genap yang pertama! Jawab: Enam bilangan asli genap yang pertama adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12. dengan n = 6, maka: Jumlah 6 bilangan genap yang pertama, yaitu: n(n + 1) = 6 (6 + 1) = 6 × 7 = 42 Jadi, jumlah 6 bilangan asli genap yang pertama 42. 2. Tentukan banyak bilangan genap yang pertama yang jumlahnya 121! Jawab: Jumlah n bilangan asli genap adalah n(n + 1), maka: n(n + 1) = 121 n2 + n – 121 = 0 (n – 10)(n + 11) = 0 n – 10 = 0 atau n + 11 = 0 n = 10 atau n = –11 (tidak memenuhi) Jadi, banyak bilangan asli genap adalah 10.
2. Pola Bilangan Segitiga Barisan bilangan segitiga adalah 1, 3, 6, 10, …. Pola gambar bilangan segitiga:
1
3
6
Pola bilangan segitiga =
10
1 n(n + 1) 2
dengan n = suku ke- (urutan suku)
3. Pola Bilangan Persegi Barisan bilangan persegi adalah 1, 4, 9, 16, …. Pola gambar bilangan persegi:
1
4
9
Pola bilangan persegi = n2
16
dengan n = suku ke- (urutan suku)
Matematika (IPS) SMA/MA XII
164
The secret life is learning to use pain and pleasure instead. Rahasia hidup adalah mempelajari memanfaatkan suka dan duka.
