MOMENTUM TRANSFER (VISCOSITY)
v x ( y)
y
x
V
Fluida terletak diantara dua plat yang sejajar. Jika fluida mula-mula diam, kemudian pada pelat bawah (y=0) digerakkan dengan kecepatan v, maka profil kecepatan fluida sepanjang arah y pada kondisi aliran laminar yang steady dapat ditunjukkan seperti gambar di atas. Fluks momentum x ke arah y adalah sama dengan tegangan gesernya yang ditulis sebagai τ yx , mempunyai satuan momentum per satuan luas per satuan waktu [ (kg)(m/det)/(m2)(det)] atau
[kg / m det2]. Ini adalah sama dengan satuan
gaya per satuan luas. Besarnya fluks momentum (tegangan geser) berbanding lurus terhadap pengurangan kecepatan arah x terhadap perubahan jarak arah y, dan ditulis sebagai Hukum Newton:
τ yx = − µ
dv x dy
Dimana µ adalah viskositas fluida tersebut.
Tabel harga viskositas untuk berbagai macam fluida, gas dan liquid metals dapat dilihat pada Table 1.1-1 s/d 3. Harga viskositas ini juga fungsi dari temperatur dan tekanan (terutama untuk gas).
Theory of Viscosity of Gases at Low Density
Kecepatan satu molekul gas ideal: Mean free path:
λ=
u=
8kT πm
1 2 π d 2n
Dari profile kecepatan dan mean free path, diturunkan:
µ=
2 3π
3/ 2
mkT d2
Viskositas gas juga bisa diperkirakan sebagai fungsi dari parameter σ dan ε di Lennard-Jones potential: µ = 2.6693 x 10 −5
MT σ Ωµ 2
Theory of Viscosity of Liquid
~ ~ Nh 3.8Tb / T Nh 0.408 ∆U vap / RT µ= ~ e ≈ ~ e V V
HEAT TRANSFER (THERMAL CONDUCTIVITY)
To T ( y)
y
x
To
T1
Satu batang material mula-mula mempunyai temperatur To. Jika kemudian di sisi bawahnya berubah tiba-tiba menjadi T1, maka setelah steady state profil temperatur menjadi seperti gambar di atas. Heat Flux (laju alir panas per satuan luas area) dalam arah y ditulis sebagai q y , yang besarnya proporsional terhadap pengurangan temperatur terhadap perubahan jarak arah y, dan ditulis sebagai Hukum Fourier:
q y = −k
dT dy
atau secara umum
q = −k∇T
Dimana k adalah termal koduktifitas dari material tersebut. Tabel harga termal koduktifitas untuk berbagai macam fluida, gas, liquid metals dan padatan dapat dilihat pada Table 8.1-1 s/d 4. Harga termal koduktifitas ini juga fungsi dari temperatur dan tekanan (terutama untuk gas). Hubungan dengan Thermal Diffusivity, α :
α=
k ρC p
Theory of Thermal Conductivity of Gases at Low Density
k=
1 k 3T d 2 π 3m
k = 1.9891 x 10 − 4
T /M σ 2Ω µ
Hubungan antara k dengan µ :
k=
15 R µ 4 M
untuk monatomic gas
5 R⎞ ⎛ k = ⎜C p + ⎟µ 4M⎠ ⎝
µ Cpk
untuk polyatomic gas
disebut Prandtl Number
Theory of Thermal Conductivity of Liquid
~ 2/3 ⎛N⎞ k = 2.80⎜⎜ ~ ⎟⎟ kvs ⎝V ⎠ MASS TRANSFER (DIFFUSIVITY)
Hukum Fick Pertama: Flux
Gradient
Formulation
nA
∇ω A
n A = − ρD AB ∇ω A
NA
∇x A
N A = −cD AB ∇x A
jA
∇ω A
j A = − ρD AB ∇ω A
JA*
∇x A
J A = −cD AB ∇x A *
Dimana DAB adalah difusifitas komponen A terhadap komponen B.
Tabel harga difusifitas untuk berbagai macam pasangan fluida, gas, liquid metals dapat dilihat pada Table 16.2-2 s/d 4. Harga difusifitas ini juga fungsi dari temperatur dan tekanan (terutama untuk gas). Slattery: P D AB
(PCA PCB ) (TCATCB ) 1/ 3
5 / 12
⎛ 1 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + M M B ⎠ ⎝ A
1/ 2
⎛ T = a⎜ ⎜ T T ⎝ CA CB
a = 2.745 x 10-4 b = 1.823 P = [atm] T = [K]
Theory of Diffusivity of Gases at Low Density Chapman-Enskog:
D AB
⎛ 1 1 + T 3 ⎜⎜ ⎝MA MB = 0.0018583 2 Ω D , AB P σ AB
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
b
Problem 1 Compute the mean molecular velocity u , cm sec-1, and the mean free path,
λ, cm, in Oxygen at 1 atm and 273.2 K. Assume d = 3 Å. What is the ratio of the mean free path to the molecular diameter in this situation? What would be the order of magnitude of the corresponding ratio in the liquid state?
Answer: Oxygen (O2), P = 1 atm
a) u =
8kT πm
k = 1.38 x 10-16 erg molecule-1K-1
molecular weight of O2 is 32 therefore m =
u=
b) λ =
λ=
d = 3 Å = 3 x 10-8 cm
T = 273.2 K
32 gram / mole 6.02 x10 23 molecule / mole
8 x1.38 x10 −16 x 273.2 = 4.25 x 10 4 cm / sec 23 π x 32 / 6.02 x10
1
where n =
2 π d 2n
(
2 π 3 x 10
)
−8 2
1 23
6.02 x10 / 22400
6.02 x 10 23 molecule 22400 cm 3
= 9.3 x 10 −6 cm
9.3 x 10 −6 c) λ / d = = 310 3 x 10 −8
(λ / d )gas 〉 (λ / d )liquid
Problem 2 Convert Eq.1.4-9 to the form of Eq. 1.4-18 and compare the two equations numerically for rigid spherical molecules with d = σ. What percentage of error is incurred by using the simple kinetic theory for such molecules?
Answer:
Eq. 1.4-9
:
Eq. 1.4-18 :
µ=
2 3π
3/ 2
mkT d2
µ = 2.6693 x 10 −5
MT σ Ωµ 2
For rigid spherical molecules with d = 10 −8 σ and m =
Eq. 1.4-9
:
µ=
2 3π
3/ 2
M x 1.38 x 10 −16 T 6.02 x 10 23
σ
For rigid spherical molecules, Ω µ = 1
2
M 6.02 x 10 23
= 1.81 x 10 −5
MT
σ2
µ = 2.6693 x 10 −5
Eq. 1.4-18 :
MT
σ2
Problem 3: Predict DAB for methane-ethane system at 104 oF and 1 atm using: a) Slattery equation b) Chapman-Enskog theoretical equation, using critical pressure and temperatures to estimate the Lennard-Jones parameters.
Answer:
a) Slattery Equation: P D AB
(PCA PCB ) (TCATCB ) 1/ 3
5 / 12
⎛ 1 1 ⎜⎜ + ⎝ MA MB
⎞ ⎟⎟ ⎠
1/ 2
⎛ T = a⎜ ⎜ T T ⎝ CA CB
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
b
a = 2.745 x 10-4 b = 1.823 P = 1 atm T = 104 oF = 313 K
Data: Component
M
Tc (K)
Pc (atm)
A (Methane)
16.04
190.7
45.8
B (Ethane)
30.07
305.4
48.2
(PCA PCB )1 / 3 = (45.8 x 48.2)1 / 3 = 13.02 (TCATCB )5 / 12 = (190.7 x 305.4)5 / 12 ⎛ 1 1 ⎜⎜ + ⎝ M A MB
⎛ T a⎜ ⎜ T T ⎝ CA CB
⎞ ⎟⎟ ⎠
1/ 2
= 96.72
1 ⎞ ⎛ 1 =⎜ + ⎟ ⎝ 16.04 30.07 ⎠
1/ 2
= 0.309
b
⎞ ⎞ ⎛ 313 ⎟ = 2.745 x 10 − 4 ⎜ ⎟ ⎜ 190.7 x 305.4 ⎟ ⎟ ⎠ ⎝ ⎠
1.823
= 4.41 x 10 − 4
D AB = (4.41 x 10 −4 )(13.02)(96.72)(0.309 ) = 0.172 cm 2 sec −1
b) Chapman - Enskog Equation:
D AB
⎛ 1 1 + T 3 ⎜⎜ ⎝MA MB = 0.0018583 2 P σ AB Ω D , AB
Estimation:
ε k
= 0.77 TC
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎛T σ = 2.44 ⎜⎜ C ⎝ PC
⎞ ⎟⎟ ⎠
1/ 3
⎛ε ⎞ ⎜ ⎟ = 0.77 x 190.7 = 146.839 K ⎝ k ⎠A
⎛ε ⎞ ⎛ε ⎞ ⎛ε ⎞ ==Î ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 185.82 K ⎝ k ⎠ AB ⎝ k ⎠ A⎝ k ⎠B ⎛ε ⎞ ⎜ ⎟ = 0.77 x 305.4 = 235.158 K ⎝ k ⎠B
⎛ 190.7 ⎞ ⎟ ⎝ 45.8 ⎠
1/ 3
σ A = 2.44 ⎜
= 3.925 Å ==Î σ AB =
⎛ 305.4 ⎞ σ B = 2.44 ⎜ ⎟ ⎝ 48.2 ⎠
kT
ε AB
=
(σ A + σ B ) 2
= 4.22 Å
1/ 3
= 4.515 Å
313 = 1.684 185.82
from Table B-2:
1 1 ⎞ + ⎟ ⎝ 16.04 13.07 ⎠
Ω D , AB = 1.144
(313)3 ⎛⎜ D AB = 0.0018583
(1)(4.22) (1.144) 2
= 0.156 cm 2 sec −1
Problem 4: Estimate DAB for acetic acid in dilute aqueous solution at 12.5 oC by using Eq. 15.5-9. The density of acetic acid at its normal boiling point is 0.973 g cm-3.
Answer; 7.4 x 10 −8 (ψ B M B ) T 1/ 2
D AB =
µ v A 0.6
T = 12.5 o C = 285.5 K
ψ B (Water ) = 2.6
M B = 18
µ solution ≈ µ water = 1 cp
ρ A = 0.937 g / cm 3
Î
7.4 x 10 −8 (2.6 x 18)
1/ 2
D AB =
(1)(64.03)
0.6
v=
MA
ρA
=
60 = 64.03 cm 3 / gmole 0.937
(285.5) = 1.19 x 10 −5
cm 3 sec −1
Problem 5: Prove that D AB = DBA
Answer: Eq. 16.2-1: j A * = −cD AB ∇x A j B = −cDBA ∇x B *
In Table 16.1 – 30: j A * = − j B * Or
− cD AB ∇x A = cDBA ∇x B
But
x A = 1 − x B and ∇x A = ∇(1 − x B ) = −∇x B
So
cD AB ∇x B = cDBA ∇x B
Or
D AB = DBA
