Determinanten We hebben al gezien : Definitie 1. Als A =
a b c d
a b , dan is det A = c d
= ad − bc.
Als A een (2 × 2)-matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar ⇐⇒ det A 6= 0. Definitie 2. Als A = (aij ) een (m × n)-matrix is, dan is Aij de ((m − 1) × (n − 1))-matrix die uit A ontstaat door de ie rij en de j e kolom te schrappen. Zo’n matrix die uit A ontstaat door (0 of meer) rijen en (0 of meer) kolommen te schrappen heet een ondermatrix van A. We defini¨eren nu de determinant van een (3 × 3)-matrix : a11 a12 a13 Definitie 3. Als A = a21 a22 a23 , dan geldt : a31 a32 a33 a11 a12 a13 a22 a23 a21 a23 a a det A = a21 a22 a23 = a11 − a12 + a13 21 22 a32 a33 a31 a33 a31 a32 a31 a32 a33 = a11 det A11 − a12 det A12 + a13 det A13 .
Vervolgens generaliseren we dit tot : Definitie 4. Als A = (aij ) een (n × n)-matrix is met n ≥ 2, dan geldt : det A = a11 det A11 − a12 det A12 + . . . + (−1)1+n a1n det A1n =
n X
(−1)1+j a1j det A1j
j=1
heet de determinant van de matrix A. Notatie : det A of |A|. Definitie 5. Als A = (aij ) een (n × n)-matrix is met n ≥ 2, dan geldt : Cij := (−1)i+j det Aij heet een cofactor van A. Dit is dus de determinant van de ondermatrix Aij (onderdeterminant) voorzien van een (extra) plus- of een minteken bepaald door het volgende schaakbordpatroon :
+ − + ... − + − ... + − + .. .. .. . . .
1
.
Hiermee hebben we nu : Stelling 1. Als A = (aij ) een (n × n)-matrix is met n ≥ 2, dan geldt : det A = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ain Cin = a1j C1j + a2j C2j + . . . + anj Cnj
(ontwikkeling naar de ie rij) (ontwikkeling naar de j e kolom).
Bewijs. Voor een (2 × 2)-determinant volgt dit onmiddellijk uit definitie 1. Voor een (3 × 3)determinant volgt dit uit definitie 3 door alle mogelijkheden uit te schrijven. In het algemeen is het bewijs erg lastig en wordt daarom buiten beschouwing gelaten. Volgens definitie 4 wordt een determinant berekend door te ontwikkelen naar de eerste rij. Stelling 1 zegt nu dat we de determinant kunnen berekenen door te ontwikkelen naar een willekeurige rij of door te ontwikkelen naar een willekeurige kolom. Bij de cofactoren dienen we dan rekening te houden met het eerder genoemde schaakbordpatroon. We bekijken nu eerst enkele voorbeelden. Voorbeeld 1. Door te ontwikkelen naar respectievelijk vinden we : 2 1 3 0 −1 2 = 2 · −1 2 − 1 · 0 2 + 3 · 4 1 5 1 5 4 1 −1 2 1 3 −0· +5· = 2 · 4 1 4 1 1 3 2 3 = −0 · −1· − 2 · 4 1 5 1
de 1e rij, de 1e kolom en de 2e rij
0 −1 = −18 + 10 + 15 = 7 5 4 1 3 = −18 − 0 + 25 = 7 −1 2 2 1 = −0 + 13 − 6 = 7. 5 4
De laatste twee vergen minder rekenwerk vanwege de 0 die optreedt. De bij die 0 behorende onderdeterminant hoeft niet uitgerekend te worden. Voorbeeld we dan : 3 5 1 −3 0 5 0 0 2 1
2. Door handig te ontwikkelen naar een rij of een kolom met veel nullen vinden −4 −1 2 3 5 −1 2 3 −1 7 2 −4 2 1 −3 2 −4 −2 0 0 = −3 · 2 −4 = (−3) · (−5) · 1 5 0 0 0 2 −1 3 0 0 2 2 1 −1 2 −4 −1 2 2 −4 1 −4 1 2 = 15 · 3 · +1· +2· −1 2 2 2 2 −1 = 15 · (0 + 10 − 10) = 0.
Definitie 6. Een matrix A = (aij ) met aij = 0 voor alle i > j heet een bovendriehoeksmatrix. Een matrix A = (aij ) met aij = 0 voor alle i < j heet een benedendriehoeksmatrix. 2
Nu is eenvoudig in te zien : Stelling 2. Als A een vierkante (boven- of beneden)driehoeksmatrix is, dan is de determinant van A het product van de diagonaalelementen. We hebben verder de volgende rekenregels : Stelling door 1. 2. 3.
3. Als A een vierkante matrix is, dan geldt : als B de matrix is die uit A ontstaat een veelvoud van een rij op te tellen bij een andere rij, dan is det B = det A twee rijen van plaats te verwisselen, dan is det B = − det A een rij te vermenigvuldigen met een getal k, dan is det B = k · det A.
Deze stelling geeft de mogelijkheid om het berekenen van een determinant te vereenvoudigen door de matrix eerst te vegen tot een driehoeksvorm en vervolgens stelling 2 te gebruiken. Bij dat veegproces dient men dan rekening te houden met de rekenregels van stelling 3. Het bewijs van stelling 3 laten we achterwege. Enkele voorbeelden : Voorbeeld 3. Door te 2 1 0 −1 5 4
vegen vinden we nu : 5 1 3 4 1 2 −5 2 = − 0 −1 2 = − 0 −1 2 1 2 1 3 2 1 3 1 1 2 −5 2 −5 2 = − 0 −1 2 = −1 · (−1) · 7 = 7. = − 0 −1 0 −3 13 0 0 7
Voorbeeld 4. Door 1 −1 2 0 −1 −4 2 5 4 −1 1 2 1 0 = − 0 0 Voorbeeld 5.
te vegen vinden we ook : 1 1 −1 2 1 1 2 0 −1 −4 2 0 = = 1 0 7 0 −1 0 −3 0 0 4 −2 0 1 −1 −1 2 1 2 0 −1 −4 −1 −4 2 = − 0 4 −2 0 4 0 0 −28 13 0 0 0
−1 2 1 −1 −4 2 0 −28 13 0 4 −2 1 2 = −1 · (−1) · 4 · (−1) = −4. −2 −1
Door te vegen vinden we bijvoorbeeld ook : −1 −1 101 102 103 101 102 103 0 201 203 205 = −1 −1 −1 = − −1 −1 −1 101 102 103 302 305 309 −1 −1 0 −1 −1 0 −1 −1 0 0 −1 = 0 1 103 = −1 · 1 · (−1) = 1. = − 0 0 1 103 0 0 −1 3
Elke matrix kan geveegd worden tot een echelonmatrix. Een vierkante matrix is inverteerbaar dan en slechts dan als er in elke rij en in elke kolom een pivotpositie bestaat. In de echelonvorm verschijnen de pivots dan op de hoofddiagonaal. Er geldt dus : Stelling 4. Als A een vierkante matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar ⇐⇒ det A 6= 0. Dit hadden we al gezien voor (2 × 2)-matrices, maar geldt dus algemeen voor elke vierkante matrix. Met behulp van stelling 1 kan men bewijzen dat : Stelling 5. Als A een vierkante matrix is, dan geldt : det AT = det A. Dit betekent dat de rekenregels van stelling 3 ook gelden voor kolommen in plaats van rijen. Voorbeeld 101 102 201 203 302 305
6. We kunnen de determinant uit voorbeeld 5 nu bijvoorbeeld ook zo bepalen : 103 101 1 2 101 1 0 101 1 101 1 = 0 + 1 = 1. = 205 = 201 2 4 = 201 2 0 = 201 2 −1 0 302 3 1 302 3 7 309
Om een determinant handig te berekenen kunnen we dus het vegen met rijen, het vegen met kolommen en het ontwikkelen naar een rij of naar een kolom combineren. Voorbeeld 7. Zo vinden we bijvoorbeeld : 1 −1 1 −1 2 3 −1 0 1 −4 0 −1 = 0 3 −5 2 0 3 2 1 0 5 0 3 −1 3 −1 4 = 0 4 −1 = − 5 0 5 −4
2 3 −1 3 −1 3 −1 3 −5 2 = −5 2 3 −4 −1 −4 −1 −1 = −(−16 + 5) = 11. −4
Een andere belangrijke eigenschap van determinanten, die we niet zullen bewijzen, is : Stelling 6. Als A en B twee (n × n)-matrices zijn, dan geldt : det AB = (det A)(det B). Deze stelling heeft veel belangrijke gevolgen. Enkele voorbeelden : Gevolg 1. Als A en B twee (n × n)-matrices zijn, dan geldt in het algemeen dat AB 6= BA. Toch geldt wel dat det AB = det BA, immers : det AB = (det A)(det B) = (det B)(det A) = det BA.
4
Gevolg 2. Als A inverteerbaar is, dan geldt : det A−1 = AA−1 = I
=⇒
1 , immers : det A
1 = det I = det AA−1 = (det A)(det A−1 )
=⇒
det A−1 =
1 . det A
Gevolg 3. Als A een (n × n)-matrix is, dan geldt : det(λA) = λn det A, immers : λA = (λI)A
=⇒
det(λA) = (det(λI))(det A) = λn det A.
Tenslotte gaan we nog even in op de meetkundige betekenis van de determinant van een (2 × 2)-matrix en een (3 × 3)-matrix. Stelling 7. Er geldt : 1. Als A een (2 × 2)-matrix is, dan is | det A| de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door de kolommen van A. 2. Als A een (3 × 3)-matrix is, dan is | det A| de inhoud of het volume van het parallellepipedum opgespannen door de kolommen van A. Bewijs. Zie ook pag. 200 en 201 van Lay.
a 0 0 d
, dan is | det A| = |ad| en dat is de 0 a oppervlakte van de rechthoek opgespannen door de vectoren en . 0 d
1. Als A een diagonaalmatrix is, zeg A =
Stel nu dat A = a1 a2 , dan geldt :
det A = det a1 a2 = det a1 a2 + λa1 voor iedere λ ∈ R. We kunnen vervolgens λ zo bepalen dat a1 en a2 + λa1 een rechthoek opspannen. De determinant is dus gelijk aan de oppervlakte van deze rechthoek en die is gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door a1 en a2 zoals blijkt uit figuur 2 op pag. 200 van Lay. 2. Het bewijs voor een (3×3)-matrix gaat op dezelfde manier. De inhoud of het volume van een parallellepipedum is gelijk aan de oppervlakte van het grondvlak maal de hoogte. Door op dezelfde manier te ’schuiven’ kunnen we zo’n parallellepipedum transformeren tot een rechthoekig blok waarvan de inhoud gelijk is aan de lengte maal de breedte maal de hoogte. Zie figuur 3 en figuur 4 op pag. 200 en pag. 201 van Lay.
5
Deze stelling geeft ons de mogelijkheid om allerlei oppervlakte- en inhoudsberekeningen uit te voeren in R2 en R3 die anders veel lastiger zijn. We bekijken enkele voorbeelden : Voorbeeld 8. Stel P = (1, −2), Q = (2, 5) en R = (−1, 2). Vraag : Wat is dan de oppervlakte van driehoek P QR ? Eerst verschuiven we de driehoek zodat het punt P in de oorsprong O terechtkomt. Dan geldt dat de oppervlakte van driehoek P QR gelijk is aan de helft van de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door de vectoren 2 1 1 −1 1 −2 − = en b = − = . a= 7 4 5 −2 2 −2 Dus : opp(P QR) =
1 1 −2 1 · det = · |4 + 14| = 9. 7 4 2 2
Voorbeeld 9. Stel A = (−1, 1), B = (3, −1), C = (4, 3), D = (2, 5) en E = (0, 4). Vraag : Wat is de oppervlakte van vijfhoek ABCDE ? Merk eerst op dat de oppervlakte van vijfhoek ABCDE gelijk is aan de som van de oppervlaktes van de driehoeken ABC, ACD en ADE. Om die te berekenen verschuiven we de vijfhoek ABCDE zodanig dat hoekpunt A in de oorsprong O terechtkomt. Voor de oppervlaktes van de drie driehoeken gebruiken we de vectoren 3 −1 4 4 −1 5 b−a= − = , c−a= − = , −1 1 −2 3 1 2 d−a=
2 5
−
−1 1
=
3 4
en
e−a=
0 4
−
−1 1
=
1 3
.
We vinden dus : opp(ABCDE) = =
1 4 5 5 3 3 1 + det + det · det −2 2 2 4 4 3 2 1 37 · (18 + 14 + 5) = . 2 2
Voorbeeld 10. De inhoud van het parallellepipedum in R3 opgespannen door de vectoren 1 −1 2 1 −1 2 3 0 . a = −1 , b = 3 en c = 0 is gelijk aan det −1 1 1 3 1 1 3
We vinden :
1 −1 2 1 −1 2 2 2 −1 2 2 = 3 0 = 0 2 1 1 1 3 0 2 1
Dus : de inhoud van het parallellepipedum is gelijk aan 2.
6
= 2 − 4 = −2.
